金融工学への誘い （4） PDF

金融工学への誘い（４）
１．分散投資
過去 3 回で金融工学の最も中心的な課題であるオプション価格の理論について述べました
が、今回は金融工学のもう一つの中心課題であるポートフォリオ理論について解説しまし
ょう。個人も企業もいろいろな種類の資産を組み合わせて所有し運用しています。この資
産の組み合わせのことをポートフォリオといいます。全ての資金を一つの資産に投資する
ことは危険です。もしその資産価格の変動が激しいときは、価格が上昇すれば大きな利得
が得られますが、下落すれば損失も大きくなります。価格変動が激しい資産はリスクが大
きいといいます。通常、リスクの大きさは変動の尺度である標準偏差で表します。リスク
を避けるために、資金を複数の資産に分散して投資しておくこが賢明です。このことは、
比喩的に「全ての卵を一つの籠に入れておくな」と表現されます。つまり一つの籠に全て
の卵を入れておくと、籠を落としたときに、全ての卵が割れてしまうリスクがありますが、
卵を分けて籠に入れておけばこのようなリスクを回避することが出来るからです。他方、
資産運用に当たっては収益、すなわちリターンも当然考慮しなければなりません。誰しも、
出来ることならリターンは大きく、リスクは小さくしたいと考えるでしょう。リターンと
リスクを勘案しながら、どのように資産を分散させれば良いかということを教えてくれる
のが、ポートフォリオの理論です。
分散投資をすることの利点を次のような簡単な例を使って説明しましょう。
例１
資産１と資産２の期待収益率と分散は次の表に与えられたとしましょう。
表１
期待収益率
標準偏差
資産１
資産２
μ1 =2%
σ 1 =1%
μ 2 =6%
σ 2 =3%
さらに資産 1 と資産 2 の価格の間の関連の度合いを表す相関係数を ρ12 とします．このとき
資産 1 と資産 2 へ分散投資してポートフォリオを構成したとします。このポートフォリオ
を資産 3 とします。そして資産 1 への投資比率を X 、資産 2 へは投資比率を 1 − X とし、X
は０と 1 の間の数とします。このとき資産 3 は
資産 3＝資産 1× X ＋資産 2× (1 − X )
と表されます。そして資産 3 の期待収益率（リターン）とリスクは次の式で表されること
が知られています。
（１）
資産 3 のリターン＝ Xμ1 + (1 − X ) μ 2
（２）
資産 3 のリスク＝
Xσ 12 + (1 − X ) 2 σ 22 + 2 X (1 − X )σ 1σ 2 ρ12
この二つの式に、上に与えられた数値といろいろなＸの値をいれてリスクとリターンを計
算してみると次の表のような結果が得られえます。この表で X = 1 は，資金を全て資産１に
投資することを， X = 0 は全ての資金を資産２の投資することを表しています．この表に
示された結果から二つの資産を組み合わせると，個別に資産を運用するよりリスクを減少
させることが出来ることがわかります．しかしこの結果は、どのように二つの資産を組み
合わせても，二つの資産の高い方のリターンを上回ることはできないことも示しています．
表 2 ポートフォリオのリスクとリターン
X
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
リターン
0.06
0.056
0.052
0.048
0.044
0.04
0.036
0.032
0.028
0.024
0.02
リスク
0.03
0.0261
0.0222
0.0187
0.0156
0.0132
0.012
0.0123
0.014
0.0167
0.02
次のグラフ１は表 2 のリスクを横軸に，リターンを縦軸にとってグラフに表したものです．
この曲線を有効フロンティア曲線といいます．この曲線は，たとえば 0.04(あるいは 4%)の
リターンを上げるポートフォリオを構成したいとしましょう．そのようなリターンをもた
らす組み合わせは多数あるのですが，その中からリスクを最小にする組み合わせ見つける
ためには，リターンを表す縦軸の 0.04 のところを右に辿っていってこの曲線とぶつかる点
を見つければ，その点の横座標の値が最小のリスクを示しています.この場合，最小リスク
は 0.132 です．そしてそのようなリスクとリターンをもたらすポートフォリオは資産 1 と
資産２に 50％ずつ投資すればいいことを表しています．逆にリスクを 0.132 に止めたいと
き，最大のリターンを求めたい場合は，リスクを表す横軸の 0.132 の所から真上にたどっ
て行ってこの曲線と交わる点を見つけます．その点は 0.04 です．すなわちリスクが 0.132
のとき，得られるリターン中で最大のリターンは 0.04 であることを意味しています．この
ようにこの曲線は，一定のリターンに対する最小のリスクと一定のリスクに対する最大の
リターンを表しています．このような意味をもつので，この曲線は有効フロンティア曲線
と呼ばれるのです．このグラフからポートフォリオを組成する際，高いリターンを求めれ
ばリスクも高くなり，リスクを下げようとすればリターンも低くなることが分かります．
いわゆるハイリスクーハイリターン，ローリスクーローリターンという現象が現れていま
す．
グラフ１ 有効フロンティア
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
２．最適ポートフォリオ
ここで当然，投資家にとっては曲線上のどの点が最適なのか，という疑問が生じます．し
かしこれに対す万人向けの回答はありません．どのような比率で投資するかは，投資家の
好みの問題でもあります．少々危険を冒してでも,大きく儲けたいという投資家もいるでし
ょうし，儲けは小さくてもいいから危険を冒したくないと言う投資家もいるでしょう．前
者のタイプをファイナンス理論では「リスク愛好型」，後者のタイプを「リスク回避型」と
呼びます.そのどちらでもない場合を「中立型」といいます．この 3 つのタイプの投資家の
リスクとリターンに対する態度は，すぐ下に述べる無差別曲線の考え方によって，次のよ
うに分類されます．
（１） リスク回避型（右上がりの無差別曲線）
リスクが増えれば，それを補って余りあるリターンを求めるタイプ．
（２） リスク愛好型（右下がりの無差別曲線）
リターンが減少しても（大儲けに賭けて）リスクの増大を厭わないタイプ．
（３） 中立型（水平な無差別曲線）
リターンが同じであればリスクは問わない．
これらの 3 つのタイプを図示したものが無差別曲線と呼ばれるグラフ２です．グラフ２の
リスク回避型の無差別曲線を例にとって説明しましょう．横軸はリスク,縦軸はリターンを
表します．この曲線上の点はリスクとリターンの組み合わせを表しています．そしてこの
曲線上ではどの点を取っても，投資家にとっては選好が同じ（無差別）になるような曲線
です．たとえばグラフ２（a）のＡ点とＢ点を比較すると，Ｂ点はＡ点よりリスクが大きく
なっていますがリターンも大きくなっています．リスクを嫌う投資家にとっては，リスク
が増大は，それを補って余りあるリターンの増加が無ければ受け入れることはできません．
Ｂ点はＡ点よりリスクは大きいのですが，リターンも大きくなっているので，リスク回避
型のこの投資家にとってはＡ点もＢ点も好み（選好）に関しては変わりありません（無差
別です）．このような意味で無差別な点を繋いだグラフを無差別曲線といいます．グラフ２
の（b），（c）の解釈も同様です．また無差別曲線は上方にあるほど効用（満足度）が高く
なります．
グラフ２(a)
グラフ２(b)
0.08
グラフ２（c)
0.06
0.04 5
0.075
0 .0 4
0.07
0 .0 55
B
0.065
0.03 5
0.05
0.06
0 .0 3
0.02 5
0.055
0 .0 45
0 .0 2
0.05
A
0.045
0.04
0.04
0.01 5
0 .0 1
0 .0 35
0.00 5
0.035
0.03
0.03
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0
0
0 .0 1
0 .0 2
0.03
0 .0 4
0
0.01
0 .0 2
0.03
0.04
グラフ３は，3 つのリスク回避型無差別曲線 1,2,3 と有効フロンティア曲線を同じ図に重
ねて描いたものです．先ほど，有効フロンティア曲線上のどの点が最適投資になるかとい
う先の疑問に対しては，投資家の好みによるといいました．そこで投資家の好みと有効フ
ロンティアとの関係を見るために，グラフ３に無差別曲線と有効フロンティア曲線を同じ
グラフ上に描いてみました．もう一度確認すると，投資家にとって有効フロンティア曲線
上の点の中から最適な投資の組み合わせ，すなわちポートフォリオを選ばなければなりま
せん（曲線に乗らない点は，最小リスクと最大リターンという観点から有効ではありませ
ん）．また投資家は満足度（効用）を最大にするようなポートフォリオを選択します．この
二つの要求を満たすようなポートフォリオは，無差別曲線２と有効フロンティアが接する
点以外ではありえません．なぜならば無差別曲線３と有効フロンティア曲線との交点は，
満足度では接点Ａに劣ります．また無差別曲線１の上にある点は有効フロンティアから外
れているので有効ではありません．
グラフ３ 最適ポートフォリオの決定
0.08
1
0.07
2
3
0.06
A
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
以上では，危険資産のみからポートフォリオを構成する場合を説明しました．当然，安全
資産をポートフォリオに組み入れることもありますが，その場合についてはここでは省略
します．また、無差別曲線をどのようにして求めるかについての説明も省略します。
３ トピックス・コア 30 銘柄による最適ポートフォリオ
次の例は，2004 年１月の日次株価データ（終値）を用いて，東証 1 部上場の代表的な 30
銘柄（トピックス・コア 30 銘柄、２００５年５月時点）を用いて日経２２５インデックス
と同等の収益率をもたらすポートフォリオを実際に月毎に構成しいてみましょう．この月
の日経 225 の平均収益率は 0.052，リスク（標準偏差）は 0.996 でした．二つの資産から構
成されるポートフォリオのリスクは，上に示した資産３のリスクを表す式）で表されます．
一般に n 個の銘柄で構成されるポートフォリオのリスクは以下の式で表されます．
n
（３） ポートフォリオのリスク＝
n
∑∑ x x σ
i =1 j =1
i
j
ij
ここで xi は第 i 銘柄のポートフォリオに占める比率， σ ij は第 i 銘柄と第 j 銘柄の共分散
です．いまトピックス・コア 30 銘柄でポートフォリオを構成しようとしていますから n＝
３０です．また σ ij はこの 1 ヶ月の 30 銘柄の収益率のデータから計算されます．日経 225
の平均収益率 0.052 をもたらす 30 銘柄の組み合わせは多数ありえます．その中でリスクが
最小になる組み合わせ（構成比）が，最適なポートフォリオです．そのようなポートフォ
リオは（3）式を、与えられた収益率に対して，2 次計画法という数学的な手法によって最
小化することによって求められます．この手法によって得られたポートフォリオに占める
30 銘柄の比率は以下のようになりました．
表３ トピックス・コア 30 銘柄から構成されたポートフォリオの例
証券コード
4063
4502
4689
4901
5108
6501
6752
6753
6758
6902
信越化
武田薬
ヤフー
富士写
ブリヂ
日立製
松下電
シャー
ソニー
デンソ
学工業
品工業
真フイ
ストン
作所
器産業
プ
ー
ルム
ウェイト
0.022 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.036 0.000 0.000
証券コード
6971
7201
7203
7267
7751
7974
8058
8183
8264
8306
京セラ
日産自
トヨタ
本田技
キヤノ
任天堂
三菱商
セブン
イトー
三菱東
動車
自動車
研工業
ン
事
－イレ
ヨーカ
京フィ
ブン・
堂
ナンシ
ジャパ
ャル・
ン
グルー
プ
ウェイト
0.000 0.000 0.000 0.000 0.108 0.016 0.000 0.000 0.000 0.000
証券コード
8307
8316
8411
8604
8766
9020
9432
9433
9437
9501
ＵＦＪホ
三井住
三井住
野村ホ
ミレア
東日本
日本電
ＫＤＤＩ
エヌ・
東京電
ールデ
友フィ
友フィ
ールデ
ホール
旅客鉄
信電話
ティ・テ
力
ィング
ナンシ
ナンシ
ィング
ディン
道
ス
ャルグ
ャルグ
ス
グス
ループ
ループ
ウェイト
ィ・ドコ
モ
0.000 0.000 0.040 0.139 0.000 0.000 0.068 0.248 0.000 0.324
グラフ４は，2004 年 4 月のデータを用いていろいろな収益率を縦軸に，それぞれに対応す
る最適ポートフォリオのリスクを横軸に取ってグラフに表したものです．
グラフ４ 2004年4月の有効フロンティア
0.8
0.6
期待収益率
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
標準偏差
そしてこのポートフォリオのリスクは 0.449 でした．すなわちこのポートフォリオは日経
225 と同じ収益をもたらしながら，リスクはそれより小さいのです．同様に 2004 年の 2 月
から 12 月まで月別に日経 225 と同じ収益率をもたらす（リスク最小の）最適ポートフォリ
オを求め，それらのリスクを計算しました．グラフ５は，その結果をグラフにしたもので
す．横軸は月，縦軸は日経 225 と
最適ポートフォリオのリスクを表しています．
表４ ポートフォリオのリスクと日経平均株価のリスクの比較
2004 年
日経平均株価
日経平均株価のリ
ポートフォリオの
の期待収益率
スク
リスク
1月
0.052
0.996
0.449
2月
0.125
1.113
0.453
3月
0.257
1.012
0.556
4月
0.019
1.117
0.347
5月
-0.254
2.065
1.004
6月
0.245
1.194
0.494
7月
-0.219
1.183
0.601
8月
-0.099
0.892
0.375
9月
-0.118
0.840
0.411
10 月
-0.024
1.150
0.535
11 月
0.059
1.020
0.675
12 月
0.251
0.883
0.599
グラフ４
ポートフォリオと日経平均のリスク
2.500
2.000
1.500
1.000
0.500
0.000
2003年11月
2004年1月
2004年3月
2004年4月
2004年6月
2004年8月
2004年9月
2004年11月
2004年12月
ポートフォリオのリスク
日経平均株価のリスク
このグラフから全ての月に関してポートフォリオのリスクは日経 225 のリスクよる常に小
さくなっています．以上の説明はトピックス･コア３０銘柄を使ったポートフォリオの単純
な一例に過ぎませんが、実際に金融機関が巨額な資金を投じてポートフォリオを組む場合
は、一銘柄あたりの投資比率の上限を設けるなど、もう少しいろいろな条件を追加して最
適化を図ります。また、ここでは与えれた３０銘柄を使ってポートフォリオを最適ポート
フォリオを構成しましたが、取り入れるべき銘柄の選択に関しても様々な手法があります。
おわりに
次回は証券価格変動モデルとしてよく知られている GARCH モデルを応用して、為替変
動の分析結果を紹介します。
広島大学副学長(財務担当) 前川功一