pdfファイル - 首都大学東京 高エネルギー理論研究室

弦理論入門の入門
ver. 1.0
弓林 司
2015 年 3 月 9 日
前書き
本資料は数学や物理学を専攻する学部２年生くらいまでの知識を前提とし弦理論
の入門書を読む為の入門となるべく作成された。但し種々の計算を参考文献無しに
行っている所も多く計算ミスが無数に存在している。本資料を読まれる方はそれを
直しながら読まれる事を薦める。
特に本資料は弦理論入門を謳っているが場の理論入門についての分量が多い。場
の理論入門を飛ばしたい人の便利の為、場の理論入門部分については、節の題の頭
に*を附けた*1 。
本資料は “常に未完成” であるので、叱咤激励、要望等、常に受け付けている。現
状少なくとも
• 粒子の力学と場の理論の接続
• 相対論
• リーマン幾何学の基礎
• 場の摂動論
等の話題が不足している。これらの話題については適宜追加して行ければと考えて
いる。
*1
*が多すぎる！という意見はごもっともである。大きな骨付き肉を見て期待したらほとんどが骨
だった様なものだ。
i
目次
第1章
本資料の流れ
1
第2章
弦理論とは？
2
第3章
弦理論の古典論
4
3.1
Polyyakov 作用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
3.2
*変分原理＝作用から運動方程式へ . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
3.3
*対称性, 補助場 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
3.4
Polyakov 作用と Nambu-Goto 作用 . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3.5
*対称性と Noether の定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3.6
*Noether Charge の性質
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
3.7
エネルギー-運動量 テンソル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
3.8
EM テンソルと Scale 変換対称性 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
3.9
共形ゲージと運動方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
3.10
複素座標での計量、EM テンソル . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
3.11
開弦と閉弦 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
3.12
運動方程式の解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
3.13
*Hamilton 形式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
3.14
弦の Hamiltonian と質量スペクトル
16
第4章
. . . . . . . . . . . . . . . .
弦理論の量子論
17
4.1
*演算子量子化, 正準量子化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
4.2
*確率解釈 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
ii
目次
4.3
*状態/演算子の時間発展, Schrödinger/Heisenberg 形式 . . . . . .
19
4.4
*調和振動子の量子化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
4.5
*正規順序と Wick の定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
4.6
*遷移振幅と時間順序 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
4.7
閉弦の量子化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
4.8
エネルギー スペクトルと低エネルギー有効場 . . . . . . . . . . . .
25
共形場理論と弦の摂動論
27
5.1
*ゲージ対称性を持つ理論の量子化 . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
5.2
*経路積分量子化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
5.3
*ゲージ固定と Faddeev-Popov 処方 . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
5.4
*BRST 対称性と BRST 量子化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
5.5
弦理論の完全な作用と共形対称性 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
5.6
動径量子化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
5.7
*量子論的 Noether の定理と Ward-Takahashi 恒等式 . . . . . . .
32
5.8
２次元世界面上の WT 恒等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
5.9
演算子積展開（OPE） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
5.10
プライマリー場 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
5.11
Virasoro 代数
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
5.12
Virasoro 代数の表現 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
5.13
*場の理論に於ける摂動論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
5.14
弦の摂動論と Riemann 面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
5.15
状態/演算子対応と頂点作用素 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
5.16
例：タキオン２点函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
弦理論のコンパクト化と T-双対性
42
6.1
弦理論とコンパクト化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
6.2
Kaluza-Klein コンパクト化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
6.3
KK コンパクト化と弦の巻付きモード . . . . . . . . . . . . . . . .
43
6.4
T-双対性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
汎函数について
46
第5章
第6章
付録 A
iii
目次
A.1
汎函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
A.2
汎函数微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
A.3
汎函数積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
場の理論入門
49
B.1
連続無限自由度について . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
B.2
自由な Klein-Gordon 場の量子化：正準量子化 . . . . . . . . . . .
50
遷移振幅と経路積分
53
補足：Green 函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
付録 B
付録 C
C.1
参考文献
58
1
第1章
本資料の流れ
はじめに本資料の流れを示す：
• 弦の古典論：作用、運動方程式、開弦と閉弦、解、古典論的質量スペクトル
• 弦の量子論：正準量子化、量子論的質量スペクトル、低エネルギー有効場
• 共形場理論と弦の摂動論：ゲージ固定、動径量子化、Ward-Takahashi 恒等
式、演算子積展開、Virasoro 代数、状態/演算子対応、弦の摂動論
• 弦理論のコンパクト化と T-双対性：Kaluza-Klein コンパクト化、弦の巻き付
きモード、T-双対性
本資料に於いて、超対称性を持つ弦理論、ブレーン、弦の場の理論等の話題は、重
要ではあるが、割愛した。
2
第2章
弦理論とは？
弦理論は、元々、強い相互作用を記述する為の理論として登場した。ハドロンに関
する、Regge 軌跡、Veneziano 振幅等の現象を巧く説明し、期待されていた。しか
し、（ボゾン）弦理論にはタキオンが存在し、更に、矛盾の無い（ボゾン）弦理論は
２６次元で定義される等、問題も多々あった。そこに、強い相互作用を記述するゲー
ジ理論、量子色力学（QCD）が登場し、成功を収めた為、強い相互作用を記述する
理論としての弦理論の価値は、無くなっていった。
しかし、その後、
• ゲージ理論と重力理論の統一
⇒ Coleman-Mandula の定理、Haag-Lopuszanski-Sohnius の定理
⇒ 超対称性理論
• ４次元超対称性理論と１０及び１１次元超対称性理論*1
• 超対称性を持つ弦理論と低エネルギー有効理論
⇒ 重力相互作用とゲージ相互作用を持つ理論
• 紫外発散の回避
⇒ 繰り込み可能な量子重力理論？
*1
４次元で、スピンが１の場まで存在すると仮定すると１０次元で超対称性が１（N = 1 と書く）、
スピンが２の場まで存在すると仮定すると１１次元で超対称性が１、これらの理論から出発する事
で、全ての４次元での超対称性（ゲージ及び重力）理論が記述される。
第 2 章 弦理論とは？
と発展を遂げ、現在も謳われるような最終理論としての弦理論の役割が得られて
きた。
とは言え、現在に至るまで弦理論は様々な発展を遂げたものの、理論の全容を理解
し、現実を記述するには程遠いと言える。例えば、
• 高種数 Riemann 面のモジュライ空間の構造は？
⇒ 弦の経路積分が実行出来ない？
• 弦の場の理論（∼弦の多体問題の理論）は完成していない
⇒ “正しい” 量子化の方法は？
• D ブレーンに代表される弦理論及び M 理論に存在する（と考えられる）ソリ
トン的対象とその力学は？
⇒ 対象の “運動” は？
等、挙げればキリが無い。それでも、ミラー対称性に代表される、興味深い多くの構
造を持ち、多くの分野の数学、物理との交流を繰り返し発展し続けている。
3
4
第3章
弦理論の古典論
本節では以下の流れで、適宜物理用語を説明しつつ、弦の１体問題について話を進
めていく：
• 場の作用：理論を定義する汎函数：場→数である。
• 変分原理と運動方程式：作用の極値（∼変分の零点又は汎函数微分の零点）か
ら運動方程式を定義する。
• 対称性と保存量（＝ Noether の定理）
：作用がある（連続）変換 T に対して運
動方程式を不変にする（∼T 対称性がある）と不変量（∼時間変化しない量）
が存在する。
• Noether チ ャ ー ジ と 変 換 の 生 成 子：Noether の 定 理 か ら 得 ら れ る 不 変 量
（Noether チャージ）は変換の生成子となる。
• Hamilton 形式：時間発展生成子による運動方程式の記述。
•（古典）質量スペクトル：エネルギーと質量の等価性により、弦の振動モード
は、弦の質量スペクトルを与える。
第 3 章 弦理論の古典論
5
3.1 Polyyakov 作用
（Boson）弦理論の作用*1 （=Polyakov 作用）は以下で与えられる：
1
S[X(σ), gαβ (σ)] := −
4πα′
∫
α, β = 0, 1,
√
d2 σ −gg αβ (σ)ηµν (X)∂α X µ (σ)∂β X ν (σ),
µ, ν = 0, 1, . . . , D − 1.
ここで X µ (σ) は径数が σ := (σ 0 , σ 1 ) に於ける弦の位置を表している。即ち、（２次
元）径数空間（世界面）Σ から、（D 次元）時空多様体（標的空間）M への写像、
X µ : Σ → M,
µ = 0, . . . , D − 1,
のことである*2 。また gαβ , ηµν はそれぞれ Σ, M 上の（擬 Riemann）計量を表して
いる。特に ηµν は平坦
ηµν := diag(−1, 1, . . . , 1),
とする*3 。
3.2 *変分原理＝作用から運動方程式へ
ある物理量*4 についての作用が与えられると、古典論的な場は作用を極小にする
という、変分原理により、場が従うべき微分方程式*5 は作用の変分が 0 となる、ま
たは作用の汎函数微分が 0 となる、という条件から導かれる。
一般に d 次元径数 σ := (σ 0 , σ 1 , . . . , σ d−1 ) を持つ場 ϕ の作用は Lagrangian（密
度）L(ϕ(σ), ∂ϕ(σ)) により、
S[ϕ(σ), ∂ϕ(σ)] :=
*1
∫
dd σL(ϕ(σ), ∂ϕ(σ)),
作用は函数 X, gαβ が定まると値が定まる、所謂汎函数である。汎函数については付録 A を参照
の事。
*2 弦の一体問題では世界面は一枚の局所座標で張る事が出来る。しかし弦の多体問題では世界面は
（一般には高種数の）Riemann 面により記述される。
*3 後々、弦の励起モードが記述する低エネルギー有効場を背景場とし、Polyakov 作用は曲がった時
空上に拡張される。
*4 本資料本文中では場を扱う。所謂粒子の理論と、場の理論の関係については、付録を参照 B の事。
*5 これを場の運動方程式という。
第 3 章 弦理論の古典論
6
で与えられる。作用の変分を取り（適当な境界条件の下）部分積分を用いて変形を行
うと、
∫
δS[ϕ(σ), ∂ϕ(σ)] =
{
}
∂L(ϕ(σ), ∂ϕ(σ)) ∂L(ϕ(σ), ∂ϕ(σ))
+
d σ δϕ(σ) −∂α
,
∂∂α ϕ
∂ϕ
d
を得る。
結 果 、変 分 原 理 δS[ϕ(σ), ∂ϕ(σ)] = 0 よ り 、場 ϕ の 運 動 方 程 式（ ＝ Euler-
Lagrange(EL) 方程式）、
∂α
∂L(ϕ(σ), ∂ϕ(σ)) ∂L(ϕ(σ), ∂ϕ(σ))
−
= 0,
∂∂α ϕ
∂ϕ
を得る。以上のように、Lagrangian を用いた力学の形式を Lagrange 形式と呼ぶ。
ちなみに変分と汎函数微分は対応がある*6 ：
δS[ϕ(σ), ∂ϕ(σ)] = 0 ∼
δS[ϕ(σ), ∂ϕ(σ)]
= 0.
δϕ(σ ′ )
3.3 *対称性, 補助場
対称性
Lagrangian に場 ϕ(σ) が含まれていない場合 EL 方程式は、
∂α
∂L(∂ϕ(σ))
= 0,
∂∂α ϕ
となる。これは後で見る様に “運動量密度”Πα :=
∂L(∂ϕ(σ))
∂∂α ϕ
が Noether カレントで
ある事を表す。
補助場
同様に、Lagrangian に ϕ(σ) の微分 ∂ϕ(σ) が含まれていない場合、EL 方程式は、
∂L(ϕ(σ))
= 0,
∂ϕ
*6
詳しくは付録 A 参照。
第 3 章 弦理論の古典論
7
となり、ϕ(σ) についての条件式となる。この様に Lagrangian に微分が入った項を
持たない場を補助場と呼ぶ。補助場は物理的自由度を持たない*7 。
3.4 Polyakov 作用と Nambu-Goto 作用
Polyakov 作用は、場 X µ (σ), gαβ (σ) を持つが、gαβ (σ) について微分の項を持た
ない。即ち gαβ (σ) は補助場である。
gαβ (σ) の運動方程式は、
1
gαβ g γδ (σ)ηµν (X)∂γ X µ (σ)∂δ X ν (σ) = ηµν (X)∂α X µ (σ)∂β X ν (σ),
2
で与えられる。両辺の行列式（α, β の脚についての）をとると、
)2
1 ( γδ
g g (σ)ηµν (X)∂γ X µ (σ)∂δ X ν (σ) = det [ηµν (X)∂α X µ (σ)∂β X ν (σ)] ,
4
より、
1√
−gg γδ (σ)ηµν (X)∂γ X µ (σ)∂δ X ν (σ) =
2
√
−det [ηµν (X)∂α X µ (σ)∂β X ν (σ)],
を得る。
ここで左辺は Polyakov 作用の Lagrangian である。つまり右辺の量は on-shell
で同値な Lagrangian と考える事が出来る。これを Nambu-Goto(NG) 作用の La-
grangian と呼ぶ。
LN G
1
:= −
2πα′
√
−det [ηµν (X)∂α X µ (σ)∂β X ν (σ)].
NG 作用は時空を運動する弦が掃く面積を意味する：
dS ∼ |dX| |dY | sin θ
√
2
2
2
= |dX| |dY | − (dX · dY )
√
2
2
2
= (∂0 X) (∂1 Y ) − (∂0 X · ∂1 Y ) d2 σ
√
= det (∂α X · ∂β Y ) d2 σ.
*7
正確には古典運動方程式を満たす時（=on-shell で）消去出来る自由度である。
第 3 章 弦理論の古典論
8
特に NG 作用から弦の作用は径数付けによらない事が分かる。つまり弦の作用は世
界面の微分同相変換で不変である。
3.5 *対称性と Noether の定理
作用が変換 T に対して運動方程式が不変とするとき系は T 対称性を持つという。
特に作用が連続変数で径数付けられる変換に対して対称性を持つとき系に不変量
（Noether チャージ）が存在する事が知られている。これを Noether の定理と呼ぶ。
以下で（最も簡単な場合の）Noether の定理を示す。
場の変換 ϕ → ϕ + δϕ に対して Lagrangian は、
∂L(ϕ(σ), ∂ϕ(σ))
∂L(ϕ(σ), ∂ϕ(σ))
δϕ +
δ∂α ϕ
∂ϕ
∂∂α ϕ
(
)
∂L(ϕ(σ), ∂ϕ(σ))
∂L(ϕ(σ), ∂ϕ(σ))
=
− ∂α
δϕ
∂ϕ
∂∂α ϕ
)
(
∂L(ϕ(σ), ∂ϕ(σ))
+∂α
δϕ ,
∂∂α ϕ
δL(ϕ(σ), ∂ϕ(σ)) =
と変換する。ここで右辺第一項は EL 方程式であるので 0 と置くと、
(
δL(ϕ(σ), ∂ϕ(σ)) = ∂α
)
∂L(ϕ(σ), ∂ϕ(σ))
δϕ ,
∂∂α ϕ
を得る。一般に Lagrangian に任意函数の全微分項 ∂α K α (ϕ(σ), ∂ϕ(σ)) を付け加え
ても運動方程式は不変である。従って、Lagrangian が場の変換に対し運動方程式を
不変にする時、
δL(ϕ(σ), ∂ϕ(σ)) = ∂α K α (ϕ(σ), ∂ϕ(σ)),
と書ける事から、
(
∂α
∂L(ϕ(σ), ∂ϕ(σ))
δϕ − K α (ϕ(σ), ∂ϕ(σ))
∂∂α ϕ
)
= 0,
を得る。結果
J α (σ) :=
∂L(ϕ(σ), ∂ϕ(σ))
δϕ − K α (ϕ(σ), ∂ϕ(σ)),
∂∂α ϕ
は以下に見る様に “保存流” となる。保存流 J α (σ) を Noether current と呼ぶ。
第 3 章 弦理論の古典論
9
∂α J α (σ) = 0 より、両辺を積分し、
∫
dd−1 σ ∂α J α (σ) = 0, α = 0, 1, . . . , d − 1
C
∫
∫
d
d−1
0
d σ J (σ) =
dd−2 Sa J a (σ), a = 1, . . . , d − 1,
dσ 0 C
∂C
ここで、右辺は Noether current が積分境界で消える事を要求すると、
dQ
= 0,
dσ 0
∫
dd−1 σ J 0 (σ),
Q :=
C
となる。即ち Q は時間 σ 0 発展に対し保存する。保存量 Q を Noether charge と
呼ぶ。
3.6 *Noether Charge の性質
後述する Poisson 括弧（量子論では交換子積）により Noether charge は物理的に
重要な様々な性質を持つ：
• 変換の生成子となる：
{Qϵ , A}P.B. = −
dA
,
dϵ
{Qϵ , ϵ}P.B. = −1
• Lie 代数の構造を持つ：
{Qi , Qj }P.B. =
∑
k
fij
Qk
k
これは J ∼ δϕ より {Ji , Jj }P.B. ∼ {δi , δj }P.B. ϕ となる事から理解出来る。
• 可換な charge は同時に保存可能：
⇒ 量子論に於ける同時固有状態
3.7 エネルギー-運動量 テンソル
弦理論に於いて作用の微分同相対称性（∼局所平行移動対称性）からエネルギー
と運動量の保存法則を導きだす事が出来る。正確にはエネルギー-運動量 テンソル
（EM テンソル）、
第 3 章 弦理論の古典論
10
4π δS[X µ (σ), gαβ (σ)]
T αβ := √
,
−g
δgαβ
の保存法則、
∂α T αβ = 0,
が得られる。EM テンソルは対称テンソルであり対角化が出来る。結果、それぞれ
の対角成分が、
• 時間方向 T 00 ：エネルギー密度
• 空間方向 T 11 ：運動量密度
と解釈される。
弦の世界面上の EM テンソルは定義より gαβ (σ) に対する運動方程式として導い
た表式、
Tαβ
1
=− ′
α
(
)
1
µ
ν
γδ
µ
ν
ηµν (X)∂α X (σ)∂β X (σ) − gαβ g (σ)ηµν (X)∂γ X (σ)∂δ X (σ) ,
2
によって与えられる。特にこの EM テンソルは gαβ (σ) に対する運動方程式より 0 と
なる。これは量子化の際にも要求され（古典及び量子論どちらに於いても）Virasoro
条件と呼ばれる。
3.8 EM テンソルと Scale 変換対称性
この EM テンソルの trace、
Tr T αβ := gαβ T αβ ,
は 0 となる。
一般に scale 変換対称性を持つ理論は EM テンソルが traceless になる：
Scale 変換は以下で与えられる計量の変換である。
gαβ → Ωgαβ .
第 3 章 弦理論の古典論
Ω の変化に伴う作用の変化は
11
δS
δΩ
で与えられるが、これは、
δS δgαβ
δS
=
δΩ
δgαβ δΩ
∼ T αβ gαβ ,
と書き直す事が出来る。従って作用が scale 変換に対し不変であればこの量は 0 と
なる。従って Polyakov 作用も scale 変換対称性を持つ事が分かる。
3.9 共形ゲージと運動方程式
以上の議論により Polyakov 作用は、
•（世界面の）微分同相：σ → f (σ)
• Scale 変換：gαβ → Ωgαβ
に対する対称性がある事が判った*8 。
これらの対称性を利用すると計量 gαβ を局所的に固定する事が出来る（＝共形
ゲージ）：
gαβ = diag(−1, 1).
これを用いると、弦の運動方程式は、
(
)
∂02 − ∂12 X µ (σ) = 0,
と書くことが出来る。特に、世界面の径数の取り方により、運動方程式を様々な形に
書き直す事が出来る：
(
より、
*8
)
∂02 − ∂12 X µ (σ) = (∂0 + ∂1 ) (∂0 − ∂1 ) X µ (σ),
σ ± := σ 0 ± σ 1 ,
これらを合わせるとおおよそ共形対称性となる。これについては後で詳しく扱う事になる。
第 3 章 弦理論の古典論
12
とおくと、運動方程式は、
∂+ ∂− X µ (σ) = 0,
書き換えられ、解は “左右周りの解” に分解される。
また同値であるが、
z := σ 1 + iσ 2 ,
z̄ := σ 1 − iσ 2 ,
σ 2 = iσ 0 ,
とおくと、運動方程式は、
∂z ∂z̄ X µ (σ) = 0,
書き換えられ、解は “正則函数と反正則函数の解” に分解される。
3.10 複素座標での計量、EM テンソル
複素座標 z, z̄ に於ける計量と EM テンソルについてまとめる：
• 計量：
(dσ 0 )2 − (dσ 1 )2 = dzdz̄,
(
より
gij =
• EM テンソル：
gzz
gz̄z
gzz̄
gz̄z̄
)
(
=
0 1
1 0
)
= g ij .
gij T ij = 0 ⇒ T zz̄ = 0,
及び
∂i T ij = 0 ⇒ ∂z̄ Tzz = ∂z Tz̄z̄ = 0,
(
より
Tij =
T (z)
0
0
T̄ (z̄)
)
,
と正則部分と反正則部分に分解する。この事実は後で EM テンソルのモード
展開等を考える際に利用する。
第 3 章 弦理論の古典論
13
3.11 開弦と閉弦
今まで無視してきたが弦理論に存在する弦には開弦と閉弦の２種類が可能である。
特にそれぞれに応じた境界条件が存在する：
• 開弦：
– Neumann（自由端）境界条件
∂1 X µ (σ)|σ1 =0,π = 0
– Dirichlet（固定端）境界条件
δX µ (σ)|σ1 =0,π = 0
• 閉弦：
– 周期境界条件
X µ (σ 0 , σ 1 ) = X µ (σ 0 , σ 1 + 2π)
これらは作用の変分を用いて運動方程式を導く際に部分積分で出てきた項を落とす
為の自然な条件である*9 。以降、簡単の為閉弦を用いて説明を行う。
3.12 運動方程式の解
閉弦の運動方程式の解は、
µ
µ
(σ − ),
X µ (σ) = X+
(σ + ) + X−
µ = 0, 1, . . . , D − 1,
*9
{
}
∂L(X, ∂X)
∂L(X, ∂X)
µ
µ
δS[X(σ)] =
d σ
δ(∂α X )
δX +
∂X µ
∂(∂α X µ )
[
[
](σ0 )2 ∫ (σ0 )2
]π
∫ π
∂L(X, ∂X)
µ
0 ∂L(X, ∂X)
µ
dσ 1
δX
+
dσ
δX
=
∂(∂0 X µ )
∂(∂1 X µ )
(σ0 )1
0
(σ0 )1
0
∫
− d2 σ(EL equation)δX µ ,
∫
2
ここで、第一項は変分条件 δX µ (σ)|σ0 =(σ0 )1 ,(σ0 )2 = 0 より消えるが、第二項は適切な条件を置
かなければ消えない事が分かる。
第 3 章 弦理論の古典論
14
と分解し +（∼反正則）方向を右回り、−（∼正則）方向を左回りの（振動）解と呼
ぶ*10 。
特に、それぞれの方向の解は、
µ
X±
(σ ± )
√
1 µ 1 µ ±
α′ ∑ (α± )µn −inσ±
= x + p σ +i
e
,
2
2
2
n
µ = 0, 1, . . . , D − 1,
n̸=0
で与えられる。ここで x, p は弦の重心の位置と運動量である。
3.13 *Hamilton 形式
弦理論の古典論の最後に弦理論の Hamilton 形式について説明する。Hamilton 形
式は正準量子化に必須であり正準量子化は量子化に於ける物理的意味を明確にして
くれる。更に Hamiltonian は弦理論に於いて質量とエネルギーの等価性から弦の振
動モードに対する質量スペクトルを与える。
Lagrange 形式から Hamilton 形式への話の流れを記す：
• EL 方程式は (ϕ, ∂α ϕ) を独立変数とする２階の微分方程式である。新しい独
立変数 Vα := ∂α ϕ をおいて得られる１階の連立微分方程式を考える。これは
後述する Hesse 行列が正則だとベクトル場の微分方程式、
∂α (ϕ, Vβ )t = M (ϕ, Vβ )
の形に書き直す事が出来る。故に (ϕ, Vβ )t の空間（配位空間）では場の運動
をベクトル場の積分曲線として表現出来る。
• しかし Vβ を独立変数とするやり方では運動方程式が複雑であり物理的意
味も解り難い。そこで独立変数を Vα から Πα := ∂L/∂α ∂ϕ へ取り替える。
（Legendre 変換）
以上の操作で移行される形式が Hamilton 形式である。即ち、Hamilton 形式は、
*10
ちなみに、明らかであるが、閉弦の場合は左右周りの解は独立だが、開弦の場合は左右周りの解は
独立でない。
第 3 章 弦理論の古典論
15
• Hesse 行列
∂ 2 L(ϕ(σ), ∂ϕ(σ))
,
∂∂α ϕ∂∂β ϕ
が逆行列を持つ事を条件とし*11 （かつ、Legendre 変換可能で、）、
• 場 ϕ と正準運動量（密度）
Πα :=
∂L(ϕ, ∂ϕ)
,
∂∂α ϕ
を独立変数とする
形式である。
Lagrangian から Legendre 変換によって独立変数を書き換えた量
H(ϕ(σ), Π(σ)) := Π0 (σ)∂0 ϕ(σ) − L(ϕ(σ), ∂ϕ(σ)),
を Hamiltonian（密度）と呼ぶ。これは系のエネルギー（密度）を与える。つまり、
Hamiltonian は時間発展の生成子となり、結果、系は Hamilton の（正準）運動方
程式、
dϕ(σ)
= {ϕ((σ)), H(ϕ(σ), Π(σ))}P.B ,
dσ 0
}
dΠ0 (σ) { 0
= Π ((σ)), H(ϕ(σ), Π(σ)) P.B ,
0
dσ
に従う。ここで {A, B}P.B は Poisson 括弧、
[
∫
{A, B}P.B :=
dσ
d−1
]
δA
δB
δB
δA
−
,
δϕ(σ) δΠ(σ) δϕ(σ) δΠ(σ)
である。
*11
特に Hesse 行列が逆行列を持たないような Lagrangian を特異 Lagrangian と呼ぶ。そのような
系は特殊な方法を用いなくては Hamilton 形式に移行する事は出来ない。（Ex. ゲージ対称性を持
つ系）
第 3 章 弦理論の古典論
16
3.14 弦の Hamiltonian と質量スペクトル
以上の定義の下、弦の（世界面上の）Hamiltonian（密度）は、
H=
)
1 (
(∂0 X µ )2 + (∂1 X µ )2 ,
′
4πα
ここで、
Πµ := (Πµ )0 =
∂L(X, ∂X)
1
=
∂0 X µ ,
∂∂0 X µ
2πα′
である。
Hamiltonian は時間発展に対して不変である。従って Hamiltonian を解を用いて
書き直すことに意義がある：
∫
2π
dσ 1 H =
H :=
0
ここで
N ± :=
∑
1 ′ 2
α p + N + + N −,
2
(α± )µ−n (α± )nµ ,
n>0
と置いた*12 。
Hamiltonian は系のエネルギーを与える、即ち、系の EM テンソル T 00 により与
えられる。従って弦の Hamiltonian は 0 である。
また、相対論に於いて質量とエネルギーの等価性、
p2 − M 2 = 0,
が成り立つ。
これらの結果を合わせると（古典論的）質量スペクトル、
N+ + N− =
1 ′ 2
αM ,
2
を得る。これは弦の振動と弦の質量の関係を与え、量子化することで励起モードの
弦の質量スペクトルを与える。
*12
古典論に於いて (α± )−n (α± )nµ は振動数 n の波のエネルギーを与え、量子論に於いては、後で
確認する様に振動数 n の波の “個数” を与える。
µ
17
第4章
弦理論の量子論
本節では以下の流れで、適宜物理用語を説明しつつ、弦の励起モードと、物理的場
について話を進めて行く：
• 演算子量子化：物理量 A を演算子 Â に書き換え物理量演算子と状態ベクトル
の組で系を記述する。
• Fock 量子化：線型方程式に従う物理量を波動の振幅で特徴付ける形で量子化
する手法。
• Wick の定理：Fock 量子化の下、演算子の並べ替えのルール。
•（量子論的）質量スペクトル：古典理論で与えた質量スペクトルを Fock 量子
化の立場から見直す。
• 低エネルギー有効場：弦の励起モードの内、consistent で、最もエネルギーの
低い状態は massless となる。この励起モードが表す物理量（＝場）を低エネ
ルギー有効場と呼ぶ。
4.1 *演算子量子化, 正準量子化
量子化は幾通りかの方法で行われるが、まず（Schrödinger 形式の）演算子量子化
について説明する：
第 4 章 弦理論の量子論
18
（演算子）量子化は物理量 A を演算子 Â に置き換え、固有値方程式、
Â|a >= a|a >,
を考える。このとき固有ベクトル |a > を、物理量 Â の値が a と観測される状態、と
解釈する。これを物理量 Â の（値 a を観測する）の固有状態と呼ぶ。特に、固有状
態 {|a >} の張る空間は一般に、複素内積空間（=Hilbert 空間）を成す。ベクトル
|a > の双対ベクトル (|a >∗ )t を < a| と書く。
物理量演算子は固有値が実である為に Hermit 演算子（ = † ）である事を仮定
する。Hermit 演算子 Â の固有状態 |a > は以下の性質を満たす：
• 実固有値：
Â|a >= a|a >,
• 規格直交性：
a∈R
< a|a′ >= δ(a − a′ )
• 完全性：
∫
1=
da |a >< a|
系の状態は、適当な物理量演算子の固有状態で展開され、その時間発展を記述する
方程式が、後述する Schrödinger 方程式である。
特に、Hamilton 形式で書かれた系の量子化は、正準量子化の方法により与えられ
る。即ち、位置演算子 X̂ 及び運動量演算子 Π̂ の間には、以下の（同時刻）正準交換
関係を設定する*1 ：
[
]
X̂ (σ , σ ), Π̂ (σ , σ ) = iη µν δ(σ 1 − σ 1′ ).
µ
0
1
ν
0
1′
特に非可換な行列は同時対角化不可能である。従って非可換な物理量は同時固有状
態を持たない。この事は、非可換な物理量を同時に観測出来るような状態が存在し
ない事を意味しており、所謂、不確定性関係へと結びつく。
*1
厳密には正準交換関係は変換の生成子（∼Noether charge）と変換される径数との関係である。
この事を変換するものとされるものは “正準共役” な関係にあるという。
第 4 章 弦理論の量子論
19
4.2 *確率解釈
量子論は以下の Step を踏む事で確率解釈に至る：
• 状態 |ψ(σ 0 ) > の Â 表示：
状態ベクトル |ψ(σ 0 ) > を Â の固有状態 |a > で展開すると、
∫
|ψ(σ ) >=
∫
da |a >< a|ψ(σ ) >=
0
0
da ψ (σ 0 , a)|a >,
と書く事が出来る。ψ (σ 0 , a) =< a|ψ(σ 0 ) > を  表示の波動函数と呼ぶ。
以上の定義の下、
∫
0
0
< ψ(σ )|Â|ψ(σ ) > =
∫
da
∫
=
∫
da
∫
=
∫
da
∫
da′ < ψ(σ 0 )|a >< a|Â|a′ >< a′ |ψ(σ 0 ) >
da′ ψ̄ (σ 0 , a)a′ < a|a′ > ψ (σ 0 , a′ )
da′ ψ̄ (σ 0 , a)ψ (σ 0 , a′ )a′ δ(a − a′ )
da a|ψ (σ 0 , a)|2 ,
=
を 得 る 。従 っ て 、|ψ (σ 0 , a)|2 を a の 確 率 密 度 関 数 と 解 釈 す る こ と で 、
< ψ(σ 0 )|Â|ψ(σ 0 ) > を物理量 Â の期待値と解釈することが出来る。
4.3 *状態/演算子の時間発展, Schrödinger/Heisenberg
形式
状態 |ψ(σ 0 ) > の時間発展は Unitary 変換、
′
′
|ψ(σ 0 ) >= U (σ 0 − σ 0 )|ψ(σ 0 ) >,
により与えられ、これの無限小変換、
i
′
U (σ 0 − σ 0 ) := e−iĤ(σ
d
|ψ(σ 0 ) >= Ĥ|ψ(σ 0 ) >,
dσ 0
0
′
−σ 0 )
,
第 4 章 弦理論の量子論
20
を Schrödinger 方程式と呼ぶ。
状態の時間発展（Unitary 変換）が与えられれば、今度は、演算子の時間発展を与
える事が出来る。
S
< ψ(σ 0 )|AS |ψ(σ 0 ) >S =H < ψ|AH (σ 0 )|ψ >H ,
′
|ψ >H := U (σ 0 )−1 |ψ(σ 0 ) >S ,
′
′
AH (σ 0 − σ 0 ) := U (σ 0 − σ 0 )−1 AS U (σ 0 − σ 0 ),
従って、演算子の時間発展を考える際は、状態の時間発展は無視される。逆も同様で
ある。
演算子の時間発展の無限小変換、
i
dAH (σ 0 )
:= [AH (σ 0 ), HH (σ 0 )],
dσ 0
を Heisenberg 方程式と呼ぶ*2 。
これらをまとめると、
• Schrödinger 形式：状態のみが時間発展し、状態の時間発展は Schrödinger 方
程式により与えられる
• Heisenberg 形式：演算子のみが時間発展し、演算子の時間発展は Heisenberg
方程式により与えられる
• それぞれの形式は Unitary 変換で移り合う
となる。
*2
unitary 変換、
ÂH (t) = eiĤt ÂS e−iĤt
より、この式を以下のように変形すると、
ÂH (t + ∆t) = eiĤ∆t ÂH (t)e−iĤ∆t
= (1 + iĤ∆t)ÂH (t)(1 − iĤ∆t)
= ÂH (t) + i[Ĥ, ÂH (t)]∆t
∆ÂH (t) = i[Ĥ, ÂH (t)]∆t
より、Heisenberg 方程式、
dÂH (t)
= i[Ĥ, ÂH (t)]
dt
を得る。
第 4 章 弦理論の量子論
21
4.4 *調和振動子の量子化
以下に調和振動子の Fock 量子化について説明する。これは場の量子論の基礎とな
る計算を含む重要な例である：
• Lagrangian
*3
：
L(q(t), q̇(t)) =
• 運動方程式：
mq̇ 2 (t) mω 2 q 2 (t)
−
.
2
2
mq̈(t) = −mω 2 q(t).
• 解：
q(t) = q− (t) + q+ (t) = ae−iωt + a∗ eiωt .
• 運動量：
p(t) =
∂L(q(t), q̇(t))
= mq̇(t) = imω(−ae−iωt + a∗ eiωt ).
∂ q̇(t)
• Hamiltonian：
H(q(t), p(t)) = p(t)q̇(t) − L(q(t), q̇(p(t))) =
p2 (t) mω 2 q 2 (t)
+
.
2m
2
• 解を用いた Hamiltonian の表現：
H(a, a∗ ) = mω 2 (aa∗ + a∗ a).
ここで量子化を意識し aa∗ と a∗ a を区別した。
ここで、a, a∗ は、
1
a(t) =
2
(
p(t)
q(t) −
imω
)
e
iωt
,
1
a (t) =
2
∗
(
)
p(t)
q(t) +
e−iωt ,
imω
で与えられる。従って、正準量子化 [q̂(t), p̂(t′ )] = iδ(t − t′ ) に於いて、
[â(t), ↠(t)] = δ(t − t′ ),
*3
m は質量、ω は振動数を表す。
第 4 章 弦理論の量子論
22
√
が成り立つ。（右辺が 1 になるよう a → 2 mωa 等と規格化した）
以上の結果から個数演算子 N̂ := ↠â 及び個数固有状態、
N̂ |n >= n|n >,
を定義すると、
N̂ (â|n >) = ↠ââ|n >
= (â↠− [â, ↠])â|n >
= â(N̂ − 1)|n >
= (n − 1)â|n >
同様に、
N̂ ↠|n >= (n + 1)↠|n >
が成り立つ。即ち、â(↠) は、個数固有状態の固有値を 1 下げる（上げる）事が分か
る。このことから、â を降下演算子 ↠を上昇演算子と呼ぶ。
そこで “真空”|0 >（∼最高ウェイト）を、
â|0 >= 0,
と定義すると、全ての固有状態は真空から ↠を適当な回数作用する事で得られる：
|n >∼ (↠)n |0 > .
特に、個数固有状態 |n > は Hamiltonian に対する固有状態でもあり、その固有値
（エネルギー固有値）は、
(
1
Ĥ|n >= ω N̂ +
2
(
より、ω n +
1
2
)
)
(
)
1
|n >= ω n +
|n >,
2
で与えられる。つまり個数固有状態は “振動エネルギー量子”ω が
n 個励起された状態を表す*4 。
*4
真空 |0 > に於いてもエネルギーが 0 にならない事が分かる。この真空に於けるエネルギー
E = 1/2 を零点エネルギーと呼ぶ。
第 4 章 弦理論の量子論
23
4.5 *正規順序と Wick の定理
零点エネルギーの発生は â, ↠の順序の非可換性によるものである*5 。零点エネ
ルギーは、一般に場の理論において（場が無限個の調和振動子で表現される為）種々
の計算を発散させてしまう。従って、何らかの正則化が必要になる。その一つの方
法に正規順序に依る方法がある。即ち a, a† の積に対し適当な順序を与える方法で
ある：
• 正規順序：: : で囲われた演算子 : A : は正規順序を取ると約束する。正規順序
とは、全ての生成演算子は左側、消滅演算子は右側にとる順序である。例えば
以下の様になる：
: â↠:= ↠â.
次節で見る様に、q̂(t)q̂(t′ ) 等の積が重要であるが、この積は q̂(t) = q̂+ (t)+ q̂− (t) =
↠eiωt + âe−iωt より、
q̂(t)q̂(t′ ) = (q̂+ (t) + q̂− (t))(q̂+ (t′ ) + q̂− (t′ ))
= q̂+ (t)q̂+ (t′ ) + q̂+ (t)q̂− (t′ ) + q̂− (t)q̂+ (t′ ) + q̂− (t)q̂− (t′ )
= q̂+ (t)q̂+ (t′ ) + q̂+ (t)q̂− (t′ ) + q̂+ (t′ )q̂− (t)
−q̂+ (t′ )q̂− (t) + q̂− (t)q̂+ (t′ ) + q̂− (t)q̂− (t′ )
= (q̂− (t)q̂+ (t′ ) − q̂+ (t′ )q̂− (t))
+(q̂+ (t)q̂+ (t′ ) + q̂+ (t)q̂− (t′ ) + q̂+ (t′ )q̂− (t) + q̂− (t)q̂− (t′ ))
= c(q̂(t), q̂(t′ ))+ : q̂(t)q̂(t′ ) :,
を満たす。ここで、
c(q̂(t), q̂(t′ )) := [q̂− (t), q̂+ (t′ )],
と置いた。これを q̂(t), q̂(t′ ) の (Wick) contraction と呼ぶ*6 。
一般の演算子の積も正規順序と contraction で書ける。特に、
: eA :: eB := ec(A,B) : eA+B :,
1
ω
2
(
)
â↠+ ↠â =
1
ω
2
(
)
[â, ↠] + 2↠â =
1
ω
2
(
)
(
)
2 + 2↠â = ω N̂ + 12 .
*5
Ĥ =
*6
contraction は次節で扱う遷移振幅 K(t|t′ ) :=< q̂(t)q̂(t′ ) >（に時間順序積を入れたもの）に
よって与えられる。
第 4 章 弦理論の量子論
24
が成り立つ。これを Wick の定理と呼ぶ。
4.6 *遷移振幅と時間順序
真空に q̂(t) が作用する事は、
q̂(t)|0 >= q̂+ (t)|0 >= eiωt |1 >,
となるから時刻 t においてエネルギーを生成する事が分かる。
今度は “２点函数”< 0|q̂(t)q̂(t′ )|0 > を考える。
< 0|q̂(t)q̂(t′ )|0 > = < 0|q̂− (t)q̂+ (t′ )|0 >
′
= eiω(t −t) .
但し、
< 0|q̂+ (t)q̂+ (t′ )|0 >∼< 0|2 >= 0,
等を用いた。これは時刻 t′ でエネルギーが生成し時刻 t で消滅する “真空から真空
への遷移” の様子を表している事が分かる。
但し因果律からより早い時間に生成が起こりその後消滅が起こるべきである。こ
の為 “遷移振幅” の計算では因果律を守るような順序を取る必要がある。これを時間
順序と呼ぶ：
< 0|T [q̂(t)q̂(t′ )]|0 >= θ(t−t′ ) < 0|q̂− (t)q̂+ (t′ )|0 > +θ(t′ −t) < 0|q̂− (t′ )q̂+ (t)|0 > .
以上の結果と Wick の定理を組み合わせると n 点函数は全て２点函数を用いて表現
出来る事が分かる*7 。
4.7 閉弦の量子化
調和振動子の議論は弦の量子化（弦の１体問題に対する量子化）にもそのまま適用
出来る。ここでは結果のみを記す：
*7
但し以上の事実は自由場に限る。
第 4 章 弦理論の量子論
25
• 交換関係：
[(a± )µn , (a± )νm ] = η µν δ0,n+m ,
[xµ , pν ] = iη µν ,
hat は省略した。その他の交換関係は 0 となる。この交換関係により調和振動子と
同様に（αn , n < 0 を生成演算子等とする）Fock 量子化が出来る*8 。更に、0-モー
ド、つまり、重心の運動量固有状態、
pµ |n+ , n− ; k >= k µ |n+ , n− ; k >,
が加わる。
• 質量スペクトル
2
M = ′
α
2
(
)
D−2
+
−
N +N −
.
12
4.8 エネルギー スペクトルと低エネルギー有効場
弦の質量スペクトルは、特に非励起モードと、その次の励起モードが重要である。
これについても結果のみを記す：
• 非励起モード：質量は、
M2 = −
D−2
,
6α′
で与えられる。これはタキオンである。
• 第一励起状態：閉弦の場合、左右周りの励起モードが一致していなければなら
ない（＝ level maching 条件）。従って第一励起状態は、
(α+ )µ−1 (α− )ν−1 |0, 0; k >,
*8
実は η µν の符号の関係からゴーストを含む。大雑把には以下の通り。
< 1|1 > = < 0|aa† |0 >
= < 0|[a, a† ] + a† a|0 >
= < 0| ± 1 + N |0 >
= ±1 < 0|0 >= ±1.
これを取り除くにはゲージ固定が必要である。例えば光円錐ゲージを取り径数の自由度を固定す
る。この操作は Lorentz 対称性 SO(D − 1, 1) は SO(D − 2) に破る事が分かる。
第 4 章 弦理論の量子論
26
で与えられる。この状態の質量は、
M2 =
26 − D
,
6α′
で与えられるが、適当なゲージ固定の下自由度を勘定すると無質量状態であ
る事が要求される*9 。従って D = 26 でなければならない。これを臨界次元
と呼ぶ。
閉弦の無質量状態は３つの既約表現に分解する：
• Trace：Dilaton ϕ
• 対称テンソル：Graviton Gµν
• 反対称テンソル：Kalb―Ramond 場 Bµν
同様に開弦の無質量状態は１つの既約表現を持つ：
• ベクトル：ゲージ場 Aµ
無質量状態は弦理論の無質量極限（∼低エネルギー極限）の振る舞いを記述すると
考えられる。以下に見る様に、弦理論は共形対称性を持つが、これらの場は時空計量
の摂動に対し β 函数が 0 になる事（∼繰り込み変換の不動点）が要求される。この
条件を運動方程式と解釈する事でこれらの場に対する場の理論が生まれる。この様
に得られる理論を低エネルギー有効理論と呼ぶ。
閉弦*10 の低エネルギー有効場の作用は、
∫
Seff [ϕ(x), Gµν (x), Bµν (x)] ∼
√
(
)
−G
1 2
d x 2ϕ
R + 4(∂ϕ) − H ,
e
12
26
で与えられる。ここで x は標的空間の座標、R は標的空間の scalar 曲率、H は
Kalb-Ramond 場の強さを表す。特に、gs = eϕ は全体にかかる因子であり、実は弦
の相互作用の強さを与える “結合定数” を意味することになる。
光円錐ゲージとして考えると残った Lorentz 対称性は SO(D − 2) である。有質量状態は静止系
に移る事が出来るためその小群は SO(D − 1) となり、また、無質量状態はそれが出来ないためそ
の小群は SO(D − 2) となる。即ち第一励起状態がゲージ固定と両立する為にはこの状態が無質量
でなければならない事が分かる。
*10 開弦については D ブレーンを設置する事で適当なゲージ対称性を持った DBI 作用により記述さ
れる。
*9
27
第5章
共形場理論と弦の摂動論
本節では以下の流れで、適宜物理用語を説明しつつ、共形場理論と、弦の摂動論に
ついて話を進めて行く：
• ゲージ固定と BRST 量子化、共形対称性：ゲージ対称性を持つ理論を量子化
する方法として BRST 量子化がある。弦理論は BRST 量子化の結果共形対
称な理論（共形場理論（CFT））となる。
• 動径量子化：CFT では正則な座標変換により時間発展を極座標の動径方向に
とる事が出来る。こうする事で種々の計算を留数計算として記述する事が出
来る。
• Ward-Takahashi 恒等式と演算子積展開：対称性と不変量の関係は Noether
の定理で扱った通りだが量子論でも同様の関係が成り立つ。これを Ward-
Takahashi（WT）恒等式という。WT 恒等式により種々の計算を演算子積展
開（OPE）の方法で行う事が出来る。
• Virasoro 代数、Virasoro 代数の表現：共形対称性は Virasoro 代数により生成
される。特に共形場は Virasoro 代数の表現により与えられる。
• 状態/演算子対応と頂点作用素, 弦の摂動論：CFT では状態と演算子を同一
視する事が可能である。但し弦理論には弦自体の生成消滅を扱う場の理論が
無い。従って弦の Feynmann 図に対応する量を計算するには工夫が必要で
ある。
第 5 章 共形場理論と弦の摂動論
28
5.1 *ゲージ対称性を持つ理論の量子化
古典論の part で弦理論が持つ微分同相及び scale 変換に対する対称性について言
及した。実は局所対称性*1 を持つ理論を量子化しようとすると理論がうまく定義出
来なくなる事が知られている。その理由はいくつかある：
• Lagrangian が特異になり Hamilton 系に移行出来ない
• 理論にゴースト（負の確率）が現れる
• 対称性がある為経路積分に於いて重複した和を取る事になり計算結果が発散
してしまう
その為正しい量子化の為には何らかの方法で正則化する必要がある。即ち対称性を
固定（ゲージ固定）する必要がある。
5.2 *経路積分量子化
以下では簡単のため経路積分量子化を用いて計算を行う*2 。経路積分量子化は状
′
態 |ψa (σ 0 ) > から |ψb (σ 0 ) > への遷移する確率振幅（＝遷移振幅）を汎函数積分に
より与える手法の事である*3 ：
∫
0′
′
ψb (σ 0 )
Zab :=< ψb (σ )|ψa (σ 0 ) >=
ψa
Dϕ(σ) eiS[ϕ(σ)] .
(σ 0 )
汎函数積分とは、一言で言えば、ある函数空間の元全てに関する和を取る事と定義さ
れる。特に、経路積分は遷移振幅を与えるので、境界条件が重要である。
経路積分には固有状態の完全性から Chapman-Kolmogorov 方程式という重要な
性質がある：
∫
Zab =
*1
′′
′
′′
′′
dψc (σ 0 ) < ψb (σ 0 )|ψc (σ 0 ) >< ψc (σ 0 )|ψa (σ 0 ) >
本講演ではゲージ対称性と呼ぶ。
便利の為付録に於いて粒子の経路積分量子化について詳しく載せた。記法が異なるのはご了承願
いたい。
*3 |ψa (σ 0 ) > は Heisenberg 表示である。
*2
第 5 章 共形場理論と弦の摂動論
∫
=
29
′′
dψc (σ 0 ) Zac Zcb .
Chapman-Kolmogorov 方程式により任意の経路積分は原理的に分割して計算する
事が出来る。
5.3 *ゲージ固定と Faddeev-Popov 処方
次に、ゲージ固定の処方である Faddeev-Popov 処方について、その雰囲気を説明
する。ここでは簡単の為通常の積分を用いた説明を試みる。
原点を中心とする回転に対し対称性を持つ函数 S(x, y) を取り、以下の積分を考
∫
える：
Z[S(x, y)] :=
dxdy e−S(x,y) .
この積分は対称性の分だけ重複がある。そこで対称性の方向を炙り出し（座標変換
し）δ 函数を挿入することで固定したい。
∫
Z[S(x(r, θ), y(r, θ))] =
∂(x, y) −S(x(r,θ),y(r,θ))
e
drdθ .
∂(r, θ) ゲージ固定条件を F (θ) − C = 0（C は任意定数）とすると、積分に δ(F (θ) − C) を
挿入すれば良いから、
∫
Zfixed [S(x, y)] =
∂(x, y) −S(x(r,θ),y(r,θ))
e
drdθ δ(F (θ) − C) ,
∂(r, θ) となる。加えて、δ 函数の Fourier 変換と、Grassmann 変数の積分と行列式の関係
を用いると
∫
Zfixed [S(x, y)] =
∂(x,y)
drdθdBdbdc e−S(x(r,θ),y(r,θ))+iB(F (θ)−C)+b ∂(r,θ) c ,
を得る。最後の式に於いて、指数の肩に載っている部分がゲージ固定された作用で
ある*4 。
Sfixed := −S(x(r, θ), y(r, θ)) + iB(F (θ) − C) + b
*4
∂(x, y)
c.
∂(r, θ)
実は、更に C を平均化するという操作が行われ、B に関する積分は完全に実行されて B や C は
消えてしまう。
第 5 章 共形場理論と弦の摂動論
30
また、経路積分に於いて積分変数は何らかの場を表すが、ここで新たに導入された場
はそれぞれ、
• B : Nakanishi-Lautrap 場。作用に微分が入っていない為、補助場
• b, c：Faddeev-Popov ゴースト場。ゲージ固定のため導入された非物理的
（ゴースト）場
• ∆FP :=
∂(x,y)
∂(r,θ) ：Faddeev-Popov
行列
と呼ばれる。
5.4 *BRST 対称性と BRST 量子化
以上の方法を経路積分に格上げする事で “ゲージ固定された正しい量子化を実行す
る為の作用” を得る事が出来る。この作用はゲージを固定してしまったためゲージ対
称性は失われている。しかし実は BRST 対称性*5 と呼ばれる（大域的な）対称性が
生じている。逆に BRST 対称性を与える様に作用を決めることでゲージ固定された
作用を得る事が出来る。
但し、Faddeev-Popov の処方では、非物理的な場が導入され、それに伴い非物理
的状態も発生してしまう。しかし、これも BRST 対称性により、物理的状態取り出
す事が可能となる（Kugo-Ojima 条件）。
ここでは結論のみ述べる事にする。ゲージ固定条件を F (A) = 0（A はゲージ対称
性を持つ場）とすると、ゲージ固定によって付け加わる作用 SGhost は、
∫
SGhost [b, c, B, A] :=
dD x δB (bF (A)),
2
で与えられる。ここで δB は BRST 変換の生成子（＝ BRST charge）であり δB
=0
を満たすとする。そこで
δB b = iB,
∫
と置くと、
SGhost [b, c, B, A] :=
*5
δB F (A) = ∆FP c,
dD x (b∆FP c + iBF (A)) ,
C. Becchi, A. Rouet, R. Stora, I. V. Tyutin.
第 5 章 共形場理論と弦の摂動論
31
2
を得る。δB
= 0 より SGhost は BRST 変換に対し不変である事が分かる。
特に BRST charge は物理的場をゴースト場に変換する。従って物理的な場の固
有状態（∼物理的状態）はゴーストを含まないとすると
δB |phys >= 0,
が要請される。特にこの要請は δB の冪零性から
|phys >∼ |phys > +δB |ψ >,
∀
|ψ >∈ H ,
が成り立つので、この cohomology として得られる空間が物理的状態であると定義
する*6 。この BRST charge を用いた物理的状態の満たすべき条件を Kugo-Ojima
条件と呼ぶ。
5.5 弦理論の完全な作用と共形対称性
以上の議論を、Polyakov 作用の持つ微分同相及び Weyl 変換に対する対称性を、
g zz = g z̄z̄ = 0,
と固定する様に適用する。その結果以下の完全な作用を得る：
Sfixed [X, gij , b, b̄, c, c̄, B, B̄] := SPolyakov [X, gij ] + SGhost [gij , b, b̄, c, c̄, B, B̄],
∫
(
)
1
d2 σ δB (bg zz ) + δB (b̄g z̄z̄ )
SGhost [gij , b, b̄, c, c̄, B, B̄] =
2π
∫
(
)
1
=
d2 σ b∂c + b̄∂c̄ + Bg zz + B̄g z̄z̄ )
2π
ここで、
δB g zz = ∂ z c,
δB b = B,
(+c.c)
とおいた。
*6
この条件は量子論的条件と考える事が出来る。弦の場の理論の中には弦の量子論の基礎方程式と
してこの条件を用いる形式（＝ Witten 形式）もある。
第 5 章 共形場理論と弦の摂動論
32
実は、完全な作用は共形変換、
z → f (z),
f : C → C : Holomorphic function,
(+c.c)
に対して不変である。しかしこの対称性は固定する事無く量子化を行う事が出来
る*7 。
この事実から完全な作用で記述される弦理論は２次元世界面上の共形場理論
（CFT）として扱う事が出来る。弦の理論を世界面上の場の理論として考える事を世
界面理論と呼ぶ。
5.6 動径量子化
共形対称性により世界面の径数を自由に取り替える事が出来る。ここでは、
w := σ 1 + iσ 2 (= σ 1 − σ 0 )
→
z := e−iw
と変換し、時間発展の方向を動径方向に取るような径数を取る。こうする事で “無限
に過去” の点が z 空間の原点になる。
これから議論する弦の摂動論では、弦の境界状態に対し局所的に無限未来、過去を
一点に取る径数を取り、張り合わせ、境界状態を無限の未来、過去にする極限で議論
を行う（質量殻極限）。
従って、弦の摂動論に於いて弦の境界状態は点と理解され、その境界状態に “頂点
作用素” と呼ばれる作用素を対応させ、計算を行う（状態/演算子対応）
。これが弦の
摂動論に於ける経路積分が点付き高種数 Riemann 面のモジュライ空間上の積分に帰
着出来る理由である。
5.7 *量子論的 Noether の定理と Ward-Takahashi 恒等式
ここでは量子論的 Noether の定理とも言える Ward-Takahashi（WT）恒等式を
紹介する。
*7
要は、Hesse 行列が逆行列を持ったり、理論にゴーストが含まれなければ良いのである。
第 5 章 共形場理論と弦の摂動論
33
一般的な場 ϕ(σ) の（無限小）変換、
ϕ′ (σ) = ϕ(σ) + δϕ(σ),
に対し、経路積分の測度、
Dϕ(σ)eiS[ϕ(σ)] ,
が不変である時、系は、変換 δϕ(σ) に対する、量子論的対称性があるという。
今度は、任意函数 ρ(σ) に対し、変換、
ϕ′ (σ) = ϕ(σ) + ρ(σ)δϕ(σ),
を考える。このとき、一般に経路積分の測度は、
′
iS ′ [ϕ(σ)]
Dϕ (σ)e
= Dϕ(σ)e
iS[ϕ(σ)]
(
)
∫
iϵ
d √
α
2
1+
d σ −gJ (σ)∂α ρ(σ) + O(ϵ ) ,
2π
と変化する*8 。ここで ϵ は無限小変換を特徴付ける径数である。特に、函数 ρ(σ) が
ある領域 R でのみ値を取るものとし、その外側で定義された任意の物理量（作用素）
O についての期待値を考えると、場の変換に対し不変となる：
)
(
∫
∫
∫
iϵ
d √
α
′
iS ′ [ϕ(σ)] ′
iS[ϕ(σ)]
d σ −gJ (σ)∂α ρ(σ) O >
Dϕ (σ)e
O − Dϕ(σ)e
O=<
2π R
(
)
∫
iϵ
d √
α
=< −
d σ −gρ(σ)∂α J (σ) O >
2π R
∫
√
ϵ
=
dd σ −gρ(σ) < ∂α J α (σ)O >
2πi R
= 0.
ここで、ρ(σ) が領域 R でのみ値を取る事を用いて、部分積分を実行した。従って、
任意の量 ρ(σ), O に対し、結果が 0 である為には、
∂α J α (σ) = 0,
でなければならない事が分かる。つまり J α は変換 δϕ(σ) に対する Noether current
である事が分かる。
*8
ρ(σ) = 1 のとき測度が不変である事から ϵ の一次で ρ(σ) の微分に比例すると分かる。
第 5 章 共形場理論と弦の摂動論
34
同様の議論を、ρ(σ) を R 上で 1、R 内の点 σ0 で定義された物理量 A(σ0 ) につい
て計算すると、
ϵ
δA(σ0 ) =
2πi
∫
√
dd σ −g∂α J α (σ)A(σ0 ),
R
を得る。δA(σ0 ) は、変換 δϕ(σ) に伴う物理量 A(σ0 ) の変化量を表す。これを WT
恒等式と呼ぶ。特に、WT 恒等式は発散定理により、
ϵ
δA(σ0 ) =
2πi
∫
dA nα J α (σ)A(σ0 ),
∂R
と書き換えられる。ここで、dA は ∂R の超曲面面積素、nα は ∂R の法ベクトルで
ある。
5.8 ２次元世界面上の WT 恒等式
弦理論は２次元世界面上の CFT として記述される。従って WT 恒等式は以下で
与えられる：
ϵ
δA(z0 , z̄0 ) =
2πi
I
¯
(dzJ α (z) − dz̄ J(z̄))A(z
0 , z̄0 ).
C
従って、変換 δϕ(z, z̄) に伴う、物理量 A(z0 , z̄0 ) の変化は、
1
δA(z0 , z̄0 ) = Resz→z0 J(z)A(z0 , z̄0 ) + Resz̄→z̄0 J(z̄)A(z0 , z̄0 ),
ϵ
で与えられる。
つまり、２次元世界面上の理論では、異なる点で定義された演算子同士の積の特異
部分が重要である事が分かる。
5.9 演算子積展開（OPE）
以下では異なる点で定義された演算子同士の積を考える。これを、同一点での演
算子同士の積に書き直す為、Laurent 展開の様に一方の点で定義された演算子で展
開する。これを演算子積展開（OPE）と呼ぶ：
Ai (z)Aj (z ′ ) =
∑
k
ckij (z − z ′ )Ak (z ′ ).
第 5 章 共形場理論と弦の摂動論
35
OPE は Wick の定理を用いて、演算子の積を一つの正規順序の中に放り込み、
Laurent 展開する事で計算出来る：
: A(z) :: A′ (z ′ ) : = : A(z)A′ (z ′ ) : + contraction
I
∞
∑
dz ′′
A(z ′′ )
′ n
=:
(z − z )
A′ (z ′ ) : + contraction.
′′ − z ′ )n+1
2πi
(z
C
n=−k
特 に、前 節で 議論し た 、異 なる 点で 定義された演 算子同 士の積の特異 部分は、
contraction、つまり系の遷移振幅として記述される*9 。
5.10 プライマリー場
CFT では EM テンソルとプライマリー場と呼ばれる場が主要な役割を果たす。特
にこれらの OPE は中心電荷と共形ウェイトと呼ばれる量により完全に決定される。
つまり CFT では中心電荷と共形ウェイトが与えられると理論の様々な計算が実行出
来る。
例として平行移動変換*10 z → z ′ = z + ϵ を考える。このとき場 A は、
δA(z) = A(z + ϵ) − A(z) = ϵ∂z A(z)
と変換する。また、
1
δA(z0 ) = Resz→z0 T (z)A(z0 )
ϵ
より、OPE T (z)A(z0 ) の一位の極は ∂z A(z)、即ち、
T (z)A(z0 ) = . . . +
∂z A(z)
+ ...,
z − z0
である。
*9
*10
Polchinski の教科書では汎函数微分を用いて contraction の計算方法を与えている：
[ ∫
]
1
δ
δ
′
2
2
: A :: A := exp
d z1 d z2 ∆F (z1 − z2 )
: AA′ :
2
δX µ (z1 , z̄1 ) δX µ (z2 , z̄2 )
共形変換の一部。
第 5 章 共形場理論と弦の摂動論
36
つまり、変換についての場の変観則が与えられれば、Nother current と場の間の
OPE の情報が得られる事が分かる。特に共形変換に対しては２位の極までの情報を
定める事が出来る。逆に２位以上の情報を定める事は出来ない。そこで OPE の特
異性が２位の極までしか持たないものをプライマリー場と呼ぶ。
プライマリー場は O(z) 共形変換 z → z ′ に対して、
O′ (z ′ ) = (∂z z ′ )h (∂z̄ z̄ ′ )h̄ O(z),
と変換する場である。特に、z ′ = z + ϵ(z) として*11 、
O(z ′ ) − ϵ(z)∂z O(z) = (1 + ∂z ϵ(z))h O(z)
= (1 + h∂z ϵ(z))O(z)
δO(z) = ϵ(z)∂z O(z) + h(∂z ϵ(z))O(z)
と変換する。
また、z, z̄ 方向はそれぞれ弦の振動の回転方向を現しており、|h − h̄| は場の spin
を与えると解釈される。この h, h̄ を共形ウェイトと呼ぶ。
以下に重要な OPE を与える：
• プライマリー場と EM テンソル：
T (z)A(0) ∼
h
1
A(0)
+
∂A(0)
z2
z
• EM テンソル同士：
T (z)T (0) ∼
c
2
1
+ 2 T (0) + ∂T (0)
4
2z
z
z
ここで、∼ は特異部分、c は中心電荷を表す。即ち、重要な OPE は、共形ウェイト
と中心電荷で決まってしまうのである。
*11
以下種々の計算で z̄ 部分を無視して計算を行う。
第 5 章 共形場理論と弦の摂動論
37
5.11 Virasoro 代数
動径量子化と OPE から EM テンソルのモード展開の係数（生成子）についての
交換関係が与えられる（＝共形変換の代数）：
T (z) =
∞
∑
Ln z
−(n+2)
I
,
Ln =
C
n=−∞
dz
T (z)z (n+2)−1 ,
2πi
+(c.c)
として、
I
I
dw
T (z)z (n+2)−1 T (w)z (n+2)−1
2πi
C1
C2
I
dz
dw
−
T (z)z (n+2)−1 T (w)w(n+2)−1
C3 2πi C2 2πi
I
I
dw
dz (n+2)−1 (n+2)−1
=
z
w
T (z)T (w)
C2 2πi C 2πi
[Lm , Ln ] :=
dz
2πi
I
従って、
[Lm , Ln ] = (m − n)Lm+n +
c
(m3 − m)δm+n,0 ,
12
を得る。これは Virasoro 代数と呼ばれる、無限次元 Lie 代数を成す。特に L0 , L±1
は Virasoro 代数の部分代数を成す（特殊共形変換∼Möbius 変換）。
特に n > −2 ならば質量殻上で T (z) は正則であるから Ln は 0 である。従って “
真空”
*12
に、
Ln |1 >= 0,
n > −2,
を要求する。このことから真空は Möbius 変換に対して不変である事が分かる。
5.12 Virasoro 代数の表現
共形場理論で記述される状態は Virasoro 代数の表現となっていなければならな
い。ここでは簡単に Virasoro 代数の表現について与える。
*12
真空以外の物理的状態では OPE から Ln |O >= 0,
n > −1 を要求する。
第 5 章 共形場理論と弦の摂動論
38
Virasoro 代数より、
[L0 , Lm ] = −mLm ,
m ̸= 0,
が成り立つので、L0 の固有状態、
L0 |h >= h|h >,
を定義すると*13 、
L0 Lm |h >= (Lm L0 − mLm )|h >= (h − m)Lm |h >,
が成り立つ。つまり Lm は L0 の固有値を m 下げる作用をする。特に、
Ln |phys >= 0,
n > −2,
であったから、h を固定し L−m , m > 1 を作用していく事で表現をつくる事が出
来る。
5.13 *場の理論に於ける摂動論
まず場の理論に於ける摂動論についてその結果を与える。
• 生成汎函数（自由）：
∫
∫ d
∫ d ∫ d
i
Z[J] := Dϕ ei d σ(L(ϕ(σ),∂ϕ(σ))+ϕ(σ)J(σ)) ∼ e− 2 d σ1 d σ2 J(σ2 )∆F (σ2 −σ1 )J(σ1 )
• n 点函数：
1
δ n Z[J]
< T [ϕ(σ1 ) . . . ϕ(σn )] >= n
i δJ(σ1 ) . . . δJ(σn ) J=0
• 相互作用がある場合：
∫
∫ d
Zint [J] := Dϕ ei d σ(L(ϕ(σ),∂ϕ(σ))+Lint (ϕ(σ))+ϕ(σ)J(σ))
= ei
*13
∫
dd σLint (δ/δJ(σ))
Z[J]
実は L0 は系の Hamiltonian と（ほぼ）同値である。それは EM テンソルのモード展開から分
かる。
第 5 章 共形場理論と弦の摂動論
39
5.14 弦の摂動論と Riemann 面
一般に、経路積分は様々な理由で難しいが、弦理論に於いては以下で見る様に共形
対称性があるため（摂動論的に）、
• 弦の n 点函数 ∼
∑
g
n 点付き種数 g の Riemann 面のモジュライ空間上の積分
が成り立ち*14 、感覚的に簡単に理解出来る。また、Chapman-Kolmogorov 方程式
より、所謂 pants 分解が可能である。加えて、点付き Riemann 面は頂点作用素の期
待値として定義される*15 。
5.15 状態/演算子対応と頂点作用素
動径量子化の導入の際述べた様に、弦の境界状態は共形変換によって一点に潰す
事が出来、状態と演算子が対応する（状態/演算子対応）。状態/演算子対応とは経路
積分に於いて、
∫
∫
′
ψb (σ 0 )
ψa
(σ 0 )
Dϕ(σ) e
iS[ϕ(σ)]
∼
′
ψb (σ 0 )
lim
σ 0 →−∞
Dϕ(σ) eiS[ϕ(σ)] O(σ0 )
の様に、境界状態を演算子に置き換える事が出来る、という対応である。
|ψa (−∞) >∼ O(−∞)
このとき演算子 O を状態 |ψa > の頂点作用素と呼ぶ。状態/演算子対応は、理論が
共形対称性を持ち、かつ、境界時刻を −∞ で取る場合（＝質量殻極限）にのみ可能
な対応である。
以下に代表的な頂点作用素を与える：
• 真空：
*14
*15
1 ∼ |0 : 0 >
厳密には、様々な証拠から成り立つ事が予想される、が正しい。
KP 階層の τ 函数と対応する事が知られている。
第 5 章 共形場理論と弦の摂動論
• タキオン：
40
VT (z, p) :=: eipµ X
• ベクトル：
µ
(z)
VV (z, p) :=: ∂z X(z)eipµ X
:∼ |0; p >
µ
(z)
:∼ |1; p >
特にタキオン頂点作用素は KP 階層の Bäcklund 変換に対応する。
5.16 例：タキオン２点函数
具体的な例として、loop の無いタキオン２点函数の計算を見る*16 。即ち、タキオ
ン頂点作用素は : eipµ X
µ
(z)
: より、
′
′
Φ0 (p, z, p′ , z ′ ) :=<: eipX(z) :: eip X(z ) :>,
と書かれる*17 。以下でこれを計算して行く。
まず、複素座標で書かれた弦の運動方程式の解は、
X(z) =
∑ αn
1
i
x + α0 log z +
zn,
2
4
n
n̸=0
である。
以下の正準交換関係で量子化する：
[ x α ]
0
i ,−
= −1,
2
4
[
]
i
αn , iα−m = −δnm ,
n
n, m ∈ N.
これは、新しい変数 tn , n = 0, 1, 2, . . . を用いて、
x
t0 = i ,
2
tn :=
i
αn ,
n
∂
1
:= − α0 ,
∂t0
4
∂
:= iα−n ,
∂tn
と “微分表現” 出来る。従って、頂点作用素は、
|p, z >∼ V (p, z) := eipX(z) = eipX
*16
*17
同様の方法で n 点函数を計算する事が出来る。
簡単の為時空添字の縮約は省略した。
−
(z) ipX + (z)
e
,
n ∈ N,
第 5 章 共形場理論と弦の摂動論
X − (z) := −i
∞
∑
41
(
z n tn ,
n=0
∞
∑ z −n ∂
∂
X + (z) := −i log z
−
∂t0 n=1 n ∂tn
)
,
と書かれる。
また、Wick の定理より、
′
V (p, z)V (p′ , z ′ ) = e−pp [X
+
(z),X − (z ′ )]
: V (p, z)V (p′ , z ′ ) :,
である。ここで、
) ∞
]
∞
−n
∑
∑
∂
z
∂
−
,
[X + (z), X − (z ′ )] = −
log z
z ′m tm
∂t0 n=1 n ∂tn
m=0
(
[
] ∑
[
])
∞ ∑
∞
1 z ′m ∂
∂
, t0 −
, tm
= − log z
n
∂t0
n
z
∂t
n
n=1 m=1
(
)
∞
∞
∑ ∑ 1 z ′m
n
= − log z −
δm
n
n z
n=1 m=1
(
( )n )
∞
∑
1 z′
= − log z −
n z
n=1
(
[
( ′ )])
z
= − log z + log 1 −
z
′
= − log(z − z ),
[(
である。従って、
′
V (p, z)V (p′ , z ′ ) = (z − z ′ )pp : V (p, z)V (p′ , z ′ ) :,
を得る。
最後に、
より、
を得る。
: V (p, z)V (p′ , z ′ ) := 1 + i(pX(z) + p′ X(z ′ )) + . . . ,
′
Φ0 (p, z, p′ , z ′ ) = (z − z ′ )pp ,
42
第6章
弦理論のコンパクト化と T-双
対性
本節では以下の流れで、適宜物理用語を説明しつつ、弦理論のコンパクト化につい
て話を進 めていく*1 。:
• 弦理論とコンパクト化：
• Kaluza-Klein コンパクト化
• T-双対性、境界条件
6.1 弦理論とコンパクト化
矛盾の無い弦理論は高次元で定義される*2 。しかし現実の世界は４次元である様
に見える。これらの事実を繋ぐため弦理論では空間のコンパクト化と呼ばれる手法
が存在する*3 。ここでは例として５次元時空の Kaluza-Klein（KK） コンパクト化
（＝ torus コンパクト化）について見ていく*4 。
*1
特に以降の節では計算を省略し概略を示す事にする。
Bosonic 弦理論は２６次元、超弦理論は１０次元である。
*3 最近は、D ブレーンの登場により、brane world モード l など、コンパクト化を必要としない記
述も多く登場している。
*4 超弦理論では、超対称性が存在する為、Calabi-Yau コンパクト化を行うべきであると考えられて
いる。
*2
第 6 章 弦理論のコンパクト化と T-双対性
43
6.2 Kaluza-Klein コンパクト化
５次元時空上の scalar 場 ϕ(5) は時空径数 (x0 , x1 , . . . , x4 ) の函数として表現され
る。５次元方向 x4 を半径 R の円と見做すと場 ϕ は Fourier 展開され、
ϕ(5) (x0 , x1 , . . . , x4 ) =
∞
∑
n
4
0
1
3 iRx
ϕ(4)
n (x , x , . . . , x )e
n=0
(4)
と書く事が出来る。つまり５次元の場は無限個の４次元の場 ϕn （KK 粒子）と対応
する。scalar 場の運動方程式から５次元で無質量の scalar 場の質量は ∼ 1/R で与え
られる：
□(5) ϕ(5) (x0 , x1 , . . . , x4 ) = 0
(□
(4)
+ ∂4 )
∞
∑
n
4
0
1
3 iRx
=0
ϕ(4)
n (x , x , . . . , x )e
n=−∞
(
( n )2 )
n 4
iR
x
(4)
0
1
3
e
□ −
ϕ(4)
n (x , x , . . . , x ) = 0
R
n=0
(
( n )2 )
(4)
0
1
3
⇒ □ −
ϕ(4)
n (x , x , . . . , x ) = 0,
R
∞
∑
n = 0, 1, 2, . . . ,
6.3 KK コンパクト化と弦の巻付きモード
KK コンパクト化を行うと空間のある方向が S 1 となる。弦はこの S 1 に巻き付く
事が出来る。結果、S 1 の半径 R、弦の張力 T と巻付き数 n に比例したエネルギーを
持つ：
E ∼ nT R.
6.4 T-双対性
T-双対性とは、系が共形変換不変であるので、
R → 1/R
という変換に対して理論は不変である。この変換は、
第 6 章 弦理論のコンパクト化と T-双対性
44
• 弦の KK モードと巻き付きモードを取り替える：自由な弦と巻き付いた弦を
写し合う。
• Chirality を取り替える：
（巻き付きモードより）弦の向き付けを変更する。超
弦理論に於いては 2A 型と 2B 型の理論を写し合う*5 。
• Neumann 境界条件と Dirichlet 境界条件を取り替える：これまで開弦の境界
条件は Neumann 境界条件を採用してきたが T-双対性によってこれらは互い
に移り合う：
∂0 ∼ ∂z + ∂z̄ ,
等を引き起こす。
*5
Mirror symmetry の最も簡単な例である。
∂1 ∼ ∂z − ∂z̄
45
謝辞
本文章は Koriyama Geometry and Physics Days 2014 での発表スライドに基づ
き作成されました。主催者のゲスト・マーティン先生、乙藤隆史先生、阿部拓さん、
参加者の郡敏昭先生に、この場を借りてお礼申し上げたいと思います。有り難うご
ざいました。
また、このスライド、文章を使い、数物セミナー＠放送大学及び、弦理論ゼミ＠首
都大で講演をさせて頂きました。それぞれの主催者、参加者の皆様にも、この場を借
りてお礼申し上げたいと思います。有り難うございました。
46
付録 A
汎函数について
A.1 汎函数
汎函数は、
F : 函数空間 → 値,
という対応により定義される。函数空間は定義域及び値域を固定する。即ちある集
合 I, J に対し、
函数空間 := {f : I → J},
と定義する。
∫
特に、典型的には、
F [f (x)] =
dx G(f (x)),
I
という形の汎函数が現れる。
A.2 汎函数微分
汎函数 F [f (x)] の点 y に於ける汎函数微分は、
δF [f (x)]
F [f (x) + ϵδ(x − y)] − F [f (x)]
= lim
,
ϵ→0
δf (y)
ϵ
により与えられる。
付録 A 汎函数について
47
A.2.1 計算例：通常の微分と汎函数微分の対応
汎函数 F [f (x)] =
∫
dx G(f (x)) の汎函数微分は、
∫
dx [G(f (x) + ϵδ(x − y)) − G(f (x))]
δF [f (x)]
= lim I
ϵ→0
δf (y)
ϵ
∫
dG(f (x))
= dx
δ(x − y)
dx
I
dG(f (x)) ,
=
dx
x=y
I
で与えられる。このことから分かるように、
∫
合成函数 G(f (x)) → 汎函数 F [f (x)] =
dx G(f (x)),
I
と対応させると、函数の微分と汎函数微分が、
dG(f (x)) δF [f (x)]
dG(f (x)) ⇐⇒
=
,
dx
δf (y)
dx
x=y
x=y
と対応する。
以下ではこの形の汎函数を考えていくことにする。
A.2.2 計算例：変分法と汎函数微分の対応
汎函数 F [f (x)] =
∫
I
dx G(f (x)) の変分は、変数函数 f (x) を変分 δf (x) でずらし
たときの、汎函数のずれ δF [f (x)] のことである。計算は以下のように与えられる。
δF [f (x)] = F [f (x) + δf (x)] − F [f (x)]
∫
dG(f (x))
δf (x),
= dx
dx
I
ここで、汎函数微分の計算と比べてみると、
δf (x) → δf (y)δ(x − y)
と置くと、
dG(f (x)) δF [f (x)] =
δf (y),
dx
x=y
となって汎函数微分の記法と整合がつくことが分かる。
付録 A 汎函数について
48
A.3 汎函数積分
汎函数 F [f (x)] =
∫
I
dx G(f (x)) の汎函数積分は、
∫
∫
Df (x) F [f (x)] = lim
I
N →∞
∞
−∞
∫
dxN −1 · · ·
∞
−∞
dx1
N
−1
∑
G(f (xi+1 ))(xi+1 − xi ),
i=0
但し I = [a, b]、a = x0 < x1 < · · · < xN −1 < xN = b と置いた。
つまり、汎函数積分とはいわゆる函数空間の元についての和をとることを意味す
るが、計算は空間を分割し、各点でとり得る値全ての和をとる、という方法で実現さ
れる。その結果汎函数積分は無限積分によって表現される。つまり一般にはこの積
分は発散することが予想される。
この計算は実は行列の積をとる際の添字の和の計算に似ている。
ABCD =
n ∑
n ∑
n
∑
Ai j1 Bj1 j2 Cj2 j3 Dj3 k
j1 =1 j2 =1 j3 =1
実際経路積分は時間発展演算子（∼ 行列）を無限個の行列の積に分けることによっ
て得られる。
49
付録 B
場の理論入門
場の理論の考え方と基礎の基礎を与える。特に以下の議論ではスカラー場につい
てのみ扱う。
B.1 連続無限自由度について
場の理論は連続無限自由度系と言われる。それは以下のように理解出来る。
自由な１自由度の Lagrangian
自由な１自由度の（非相対論的粒子の）Lagrangian は、
L(q1 (t), q̇1 (t)) =
mq̇ 2 (t)
,
2
で与えられる。
自由な N 自由度の Lagrangian
自由な N 自由度の（非相対論的粒子の）Lagrangian は、
L(q1 (t), . . . , qN , q̇1 (t), . . . , q̇N (t)) =
N
∑
i=1
L(qi (t), q̇i (t)) =
N
∑
mq̇ 2 (t)
i=1
2
,
付録 B
50
場の理論入門
で与えられる。これは、
L(q1 (t), . . . , qN , q̇1 (t), . . . , q̇N (t)) =
N
∑
L(q(t, i), q̇(t, i)),
i=1
と見ることも出来る。特に、自由度のラベルが空間の各点 i = (x, y, z) であるとき、
多自由度系の Lagrangian が、
∫
dxdydz L(q(t, x, y, z), ∂q(t, x, y, z))
L(q(t), q̇(t)) =
D
と書けることが分かるだろう*1 。このとき、L(q(t, x, y, z), ∂q(t, x, y, z)) を La-
grangian 密度と呼ぶ。
つまり、空間の各点に自由度を持つ物理量は、連続無限自由度系であることが分
かる。
B.2 自由な Klein-Gordon 場の量子化：正準量子化
自由な*2 Klein-Gordon 場（KG 場）ϕ(t, x, y, z) の Lagrangian は、
L(ϕ(t, x, y, z), ∂ϕ(t, x, y, z)) =
1
ϕ(t, x, y, z)(□ + m2 )ϕ(t, x, y, z),
2
で与えられる。ここで、□ は d’Alembertian である。KG 場の運動方程式は、場の
Euler-Lagrange 方程式により*3 、
(□ + m2 )ϕ(t, x, y, z) = 0,
で与えられる。これを解くには、
∫
∞
ϕ(t, x, y, z) =
d3 p eipẋ ϕ̃(t, p)
−∞
*1
微分が時間微分を表す ˙ から ∂ になっているのは相対論的拡張を念頭に於いてのものであり他意は
ない。
*2 また余裕があれば相互作用がある場合の話（摂動論等）を書きたいと思う。
*3 本文中でも述べた通り、最小作用の原理を場の作用（Lagrangian 密度）に適用することで、
∂ ∂L(ϕ(t, x, y, z), ∂ϕ(t, x, y, z))
∂L(ϕ(t, x, y, z), ∂ϕ(t, x, y, z))
−
= 0,
µ
∂x
∂(∂µ ϕ(t, x, y, z))
∂ϕ(t, x, y, z)
と求まる。
付録 B
51
場の理論入門
と Fourier 変換すると、
(
)
d2
2
2
+ p + m ϕ̃(t, p) = 0
dt2
を得る。これは ωp2 = p2 + m2 と置くことで、調和振動子の運動方程式となる。従っ
て、解 ϕ(t, x, y, z) は、
∫
∞
ϕ(t, x, y, z) =
−∞
d3 p eipẋ (ap e−iωp t + a∗p eiωp t ) = ϕ− (t, x, y, z) + ϕ+ (t, x, y, z)
で与えられる。ここで、
∫
ϕ− (t, x, y, z) =
∞
−∞
∫
ϕ+ (t, x, y, z) =
d3 p eipẋ ap e−iωp t
∞
−∞
d3 p eipẋ a∗p eiωp t
と置いた。
KG 場の量子化は、調和振動子の量子化と同様に、âp , â†p に対し、
[âp , â†p′ ] = δ(p − p′ )
が成り立ち、個数（密度）演算子 N̂p = â†p âp を定義し、その固有状態で議論をする
ことが出来る。
従って、â†p を真空 |0 > に作用することは、運動量 p の KG 粒子 ϕ を生成する
ことを意味することになる。特に、場の演算子 ϕ̂(x) を真空 |0 > に作用すると、
ϕ̂(x) = ϕ̂+ (x) + ϕ̂− (x) より、ϕ̂+ (x) により時空点 x に場を生成させることが分
かる。
場の量子論に於いて基本となるのは以下の様な量である。
< 0|T [ϕ̂(x)ϕ̂(y)]|0 > = < 0|T [(ϕ̂+ (x) + ϕ̂− (x))(ϕ̂+ (y) + ϕ̂− (y))]|0 >
= < 0|T [ϕ̂+ (x)ϕ̂− (y) + ϕ̂− (x)ϕ̂+ (y)]|0 >
= < 0|ϕ̂− (y)ϕ̂+ (x) + ϕ̂+ (y)ϕ̂− (x)|0 >,
= < 0|ϕ̂− (y)ϕ̂+ (x)|0 >
if y0 > x0
付録 B
場の理論入門
ここで、T [A(x)B(y)] は時間順序積と呼ばれ、演算子を時間の順序に並べ替える（時
間が古いものを右に持っていく）ことを意味する。これによって因果律が保証され
る。特に、最後の式から、< 0|T [ϕ̂(x)ϕ̂(y)]|0 > という量は場 ϕ が時空点 x で生成
され、時空点 y まで遷移し消滅する確率振幅を与えることが分かる。
52
53
付録 C
遷移振幅と経路積分
ある時刻 t に於ける  表示の波動函数 ψ (a, t) は、
ψ (a, t) =< a|ψ(t) >S
で与えられる。状態ベクトルの添字 S は Schrödinger 描像を表す。この式を、
< a|ψ(t) >S = < a|e−iĤt |ψ(0) >
= < a, t|ψ >H
と変形することで Heisenberg 描像*1 の表示に移ることが出来る。
Heisenberg 描像における固有状態も Schödinger 描像における固有状態と同様に
規格直交性、完全性等の性質を満たす。これらの性質を用いて、
ψ (a, t) = < a, t|ψ >H
∫
= da′ < a, t|a′ , t′ >< a′ , t′ |ψ >H
*1
状態 |a, t > は Heisenberg 描像の演算子 ÂH (t) = eiĤt ÂS e−iĤt の固有状態、
ÂH (t)|a, t >= a|a, t >
を表す。このことは、
eiĤt ÂS e−iĤt eiĤt |a > = aeiĤt |a >
ÂS |a > = a|a >
の様に確認することが出来る。
付録 C
54
遷移振幅と経路積分
∫
=
da′ K(a, t|a′ , t′ )ψ (a′ , t′ )
という変形を行うと、K(a, t|a′ , t′ ) =< a, t|a′ , t′ > は、始状態 ψ (a′ , t′ ) から終状態
ψ (a, t) へ遷移させる作用をしていることが分かる。K(a, t|a′ , t′ ) を Feynman 核と
呼ぶ。
この K(a, t|a′ , t′ ) は、更に 1 =
∫
da′′ |a′′ , t′′ >< a′′ , t′′ | を挟むことで以下の
Chapman-Kolmogorov の公式、
∫
′ ′
K(a, t|a , t ) = da′′ K(a, t|a′′ , t′′ )K(a′′ , t′′ |a′ , t′ )
を満たす。経路積分とはこの公式を無限小時間間隔ごとに用いて Feynman 核を展
開したものである。
従って、経路積分量子化とは、粒子の時空点 (ta , qa ) から (tb , qb ) への遷移振幅を、
∫
qb
< qb ; τ = tb |qa ; τ = ta >=
qa
[
1
Dq exp −
ℏ
∫
]
tb
dτ LE (q(τ ), q̇(τ ))
ta
により与える量子化であるといえる*2 。
ここでは自由場の経路積分を実行する。自由場の経路積分は Gauss 汎函数積分に
より与えられる*3 。
まず、よく知られているように通常の Gauss 積分は以下で与えられる。
∫
∞
√
−ax2
dxe
=
−∞
これを一般の二次函数にした場合、
∫
∞
dxe
−∞
−ax2 −bx
∫
∞
π
a
a>0
2
dxe−a(x+ 2a )
−∞
∫ ∞
2
b2
4a
=e
dye−ay
−∞
√
π b2
=
e 4a
a
=
b
2
b
+ 4a
(C.1)
この表式は数学的に Well Defined になるように Wick 回転 t → t = −iτ を行っている。従って、
LE とは通常の Lagrangian に Wick 回転を行ったものとする。これを Euclid 経路積分と呼ぶ。
*3 これを自由場の定義だと思っても良い。粒子の力学に於いては自由場は調和振動子と同等になる。
*2
付録 C
55
遷移振幅と経路積分
を得る。多変数の Gauss 積分は、
∫
∞
−
n
d xe
n
∑n
π2
2
i=1 ai xi
=∏
n
−∞
により与えられる。ここで、dx̄ =
∫
∞
1
i=1
dx
√
π
dn x̄e−
ai2
と置く事で、
∑n
i=1
ai x2i
=∏
n
−∞
1
1
2
i=1 ai
と書く事が出来る。
一般の二次形式 −
∑
i,j
*4
∑
xi Aij xj −
i bi xi
について計算を行う。その為に行列 A
の対角化が必要である 。そこで行列 A を対角化する行列を U と置き、対角化され
た行列を Ã と書く事にすると、
à = U AU t
但し、Ã は A の固有値 λ1 , . . . , λn を用いて、



à = 


λ1




λ2
..
.
λn
と書かれる。更に基底を変更されたベクトル v を ṽi =
の定義のもと、−
−
∑
i,j
∑
i,j
xi Aij xj −
xi Aij xj −
∑
∑
i bi xi
bi xi = −
i
∑
x̃i Ãij x̃j −
∑
λi x̃2i +
i
=
∑
i
*4
j
Uij vj により表す。以上
を変形すると、
i,j
=−
∑

−λi
(
∑
∑
b̃i x̃i
i
b̃i x̃i
i
x̃i −
(C.2)
b̃i
2λi

)2
+
b̃2i
4λi

二次形式を与える行列は対称行列であるので、直交行列により常に対角化が可能である。
付録 C
56
遷移振幅と経路積分
を得る。従って多変数の Gauss 積分を思い出せば、一般の二次形式の Gauss 積分は、
∫
∞
dn x̄e−x
t
Ax−bt x
−∞
=∏
n
1
1 t
1
2
e4b
A−1 b
(C.3)
i=1 λi
1 t −1
1
=√
e4b A b
detA
と計算する事が出来る。
以上の議論は多変数の積分計算であった。しかし汎函数積分とは、変数が函数と
なる積分の事であり、以下の置き換えで以上の議論を汎函数積分の場合に一般化出
来る。
• 無限積分
∫ ∏∞
i=1
dqi → 汎函数積分
∫
Dq(t)
• 行列 A → 演算子 Â
以上の置き換えにより、一般の二次形式に置ける汎函数積分は、
∫
qb
[ ∫
Dq(t) exp −
qa
1
[
]
tb
ta
1
=√
exp −
4
DetÂ
dτ (q(τ )Âq(τ ) + q(τ )J(τ ))
∫
∫
tb
t
dτ
t
−1
dτ J(τ )Â
(C.4)
]
(τ − τ )J(τ )
′
′
ta
により与えられる。ここで、Â−1 は  の Green 函数を表す。また、Det は函数行
列式と呼ばれる Â の無限固有値積である*5 。ここで J(τ ) は Sauce 関数と呼ばれ、
以下の議論にて重要な役割を果たす。
C.1 補足：Green 函数
 の Green 函数とは、演算子  の逆演算子を意味しており、以下のような非斉次
線型微分方程式の解法に用いられる。
K(∂)ψ(x) = j(x)
*5
無限積は一般に発散するので、何らかの形で正則化が必要になる。
付録 C
57
遷移振幅と経路積分
ここでは判りやすく演算子を K(∂) と書く事にする。この時、K(∂) の Green 函数
G(x − y) は以下のように定義される。
K(∂)G(x − y) = δ(x − y)
Green 函数を用いることで、元の非斉次線型微分方程式の解は
∫
ψ(x) = dy G(x − y)j(y)
により与えられる*6 。
特に Green 函数は方程式を Fourier 変換することで解く事が出来る。
∫
K(∂)
∫
dp e
ip(x−y)
K(∂)G(x − y) = δ(x − y)
∫
ip(x−y)
G̃(p) = dp eip(x−y)
dp e
[
]
K(ip)G̃(p) − 1 = 1
K(ip)G̃(p) − 1 = 0
1
G̃(p) =
K(ip)
従って、Green 函数 G(x − y) は、
∫
G(x − y) =
dp
eip(x−y)
K(ip)
で与えられる。
*6
これは以下のように簡単に示すことが出来る。
∫
dy G(x − y)j(y)
ψ(x) =
∫
dy K(∂)G(x − y)j(y)
K(∂)ψ(x) =
∫
=
dy δ(x − y)j(y)
= j(x)
(C.5)
58
参考文献
[1] M. Green, J. H. Schwarz and E. Witten, “Superstring Theory” (2 volumes),
Cambridge University Press (1988).
[2] J. Polchinski, “String Theory” (2 volumes), Cambridge University Press
(1998).
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(2002).
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[5] 山田泰彦, “共形場理論入門”, 培風館 (2006).
[6] 橋本幸士, “弦理論の D ブレーン”, 2009 年度原子核三者若手夏の学校素粒子論
パート講義 A 講義録 (2009).
[7] B. Zwiebach, “A First Course in String Theory”, Cambridge University
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[8] 今村洋介, “超弦理論の基礎”, サイエンス社 (2011).
[9] 伊藤克司, “共形場理論”, サイエンス社 (2011).
[10] 立川裕二, “２次元の物理と４次元の物理の不思議な関係”, http://member.
ipmu.jp/yuji.tachikawa/tmp/danwakai.pdf.
[11] 立 川 裕 二, “四 次 元 ゲ ー ジ 理 論 と 二 次 元 共 形 場 理 論 の 不 思 議 な 関 係”,
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[12] 瀧雅人, “Alday-Gaiotto-Tachikawa 予想とその発展”, 素粒子論研究・電子版,
Vol. 11(2011).
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参考文献
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hamanaka/.
59