塩害劣化を受けるコンクリート構造物の 腐食ひび割れが発生する 限界

塩害劣化を受けるコンクリート構造物の
腐食ひび割れが発生する
限界腐食減量に関する研究
指導教員 安全システム建設工学科
平成 17 年 2 月 16 日
香川大学工学部 安全システム建設工学科
田中 大博
要旨
腐食ひび割れの発生は，コンクリート構造物の維持管理における補修時期の判断指標のひとつ
であり，構造物の耐荷力を評価する際の大きな指標となる．補修時期を判断するために，その目
安となる「ひび割れ発生時の鉄筋の腐食減量」を知る必要がある．コンクリート標準示方書によ
れば，ひび割れ発生時の鉄筋の腐食減量は 10mg/cm2とされている．さらに，表面コンクリートの
はく離はく落を防ぐために，はく離ひび割れとなるときのかぶり及び鉄筋間隔も重要である．本
研究では理論モデルによる計算，乾湿繰返試験，数値解析を用いて，ひび割れ発生時の鉄筋の腐
食減量及びひび割れモードがはく離ひび割れとなるときのかぶりと鉄筋間隔の無次元量を求め
た．その結果，ひび割れ発生時の鉄筋の腐食減量は 40∼130mg/cm2となり，この値はコンクリー
ト標準示方書の値よりも大きい．表面はく離ひび割れと鉄筋に沿ったひび割れの境界となるかぶ
りの無次元量は 2.0∼4.9，水平はく離ひび割れと鉄筋に沿ったひび割れの境界となる鉄筋間隔の
無次元量は 5.5∼9.0 となった．
40
目次
1.
2.
はじめに.................................................................................................................................... 1
1.1
背景.................................................................................................................................... 1
1.2
目的.................................................................................................................................... 1
塩害劣化による鉄筋コンクリート構造物のひび割れモードと腐食減量................................. 2
2.1
概要.................................................................................................................................... 2
2.2
鉄筋の腐食とひび割れ発生のメカニズム ......................................................................... 2
(1)
塩分の進展 ..................................................................................................................... 2
(2)
鉄筋の腐食 ..................................................................................................................... 2
(3)
ひび割れの発生と進展................................................................................................... 3
2.3
3.
理論モデル ................................................................................................................................ 5
3.1
腐食ひび割れの力学モデル ............................................................................................... 5
3.2
鉄筋に沿ったひび割れ....................................................................................................... 5
(1)
かぶりコンクリート....................................................................................................... 6
(2)
腐食生成物 ..................................................................................................................... 7
(3)
まだ腐食していない鉄筋 ............................................................................................... 8
3.3
表面はく離ひび割れ .......................................................................................................... 9
3.4
鉄筋かぶりの理論モデルを用いた計算........................................................................... 10
(1)
計算条件....................................................................................................................... 10
(2)
かぶりと限界腐食減量の関係...................................................................................... 10
(3)
鉄筋の腐食膨張率の検討 ............................................................................................. 10
(4)
コンクリートの引張強度の検討 ...................................................................................11
(5)
まとめ............................................................................................................................11
3.5
水平はく離ひび割れ ........................................................................................................ 12
3.6
鉄筋間隔の理論モデルを用いた計算............................................................................... 13
(1)
計算条件....................................................................................................................... 13
(2)
かぶりと限界腐食減量の関係...................................................................................... 13
(3)
鉄筋の腐食膨張率の検討 ............................................................................................. 13
(4)
コンクリートの引張強度の検討 .................................................................................. 13
(5)
まとめ........................................................................................................................... 13
3.7
4.
鉄筋の限界腐食減量 .......................................................................................................... 3
まとめ .............................................................................................................................. 14
乾湿繰返試験........................................................................................................................... 15
4.1
概要.................................................................................................................................. 15
4.2
試験装置........................................................................................................................... 15
4.3
試験方法........................................................................................................................... 16
(1)
試験体の補修方法 ........................................................................................................ 16
40
(2)
4.4
試験体........................................................................................................................... 17
(2)
ひび割れの進展............................................................................................................ 17
(3)
腐食の分布 ................................................................................................................... 18
(4)
限界腐食減量の算出..................................................................................................... 19
試験体........................................................................................................................... 21
(2)
ひび割れの進展............................................................................................................ 22
(3)
腐食の分布 ................................................................................................................... 23
(4)
限界腐食減量の算出..................................................................................................... 24
まとめ .............................................................................................................................. 25
数値解析.................................................................................................................................. 27
5.1
概要.................................................................................................................................. 27
5.2
ひずみ軟化則 ................................................................................................................... 27
5.3
材料特性........................................................................................................................... 27
5.4
鉄筋かぶりのモデル ........................................................................................................ 28
(1)
モデル........................................................................................................................... 28
(2)
限界腐食減量................................................................................................................ 30
5.5
鉄筋間隔のモデル............................................................................................................ 31
(1)
モデル........................................................................................................................... 31
(2)
限界腐食減量................................................................................................................ 33
5.6
まとめ .............................................................................................................................. 34
理論モデル・乾湿繰返試験・数値解析の比較 ....................................................................... 35
6.1
理論モデルと乾湿繰返試験の比較 .................................................................................. 35
(1)
鉄筋かぶりのモデル..................................................................................................... 35
(2)
鉄筋間隔のモデル ........................................................................................................ 35
6.2
理論モデルと数値解析の比較.......................................................................................... 36
(1)
鉄筋かぶりのモデル..................................................................................................... 36
(2)
鉄筋間隔のモデル ........................................................................................................ 36
6.3
乾湿繰返し試験と数値解析の比較 .................................................................................. 37
(1)
鉄筋かぶりのモデル..................................................................................................... 37
(2)
鉄筋間隔のモデル ........................................................................................................ 37
6.4
7.
鉄筋間隔の試験体............................................................................................................ 21
(1)
4.6
6.
鉄筋かぶりの試験体 ........................................................................................................ 17
(1)
4.5
5.
鉄筋腐食後の調査方法................................................................................................. 16
理論モデルと乾湿繰返試験と数値解析の比較................................................................ 38
(1)
鉄筋かぶりのモデル..................................................................................................... 38
(2)
鉄筋間隔のモデル ........................................................................................................ 38
まとめ...................................................................................................................................... 39
謝辞
40
参考文献
参考資料
参考資料１ 表面はく離ひび割れと鉄筋に沿ったひび割れの試験体図
参考資料２ 水平はく離ひび割れと鉄筋に沿ったひび割れの試験体図
参考資料３ かぶり面のひび割れスケッチ
参考資料４ 鉄筋断面方向のひび割れスケッチ
参考資料５ 鉄筋腐食スケッチ
参考資料６ 有限要素法
参考資料７ 数値解析ひび割れ図
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1. はじめに
1.1 背景
鉄筋コンクリート構造物は，コンクリートと鉄の複合材であり，力学的には，引張りに弱いコ
ンクリートが鉄を補強し，また耐久性上は錆び易い鉄をコンクリートが保護することにより，相
互に相手の欠点を補った優れた構造体である．日本の数多くの社会資本が鉄筋コンクリート構造
物であり，今後も数多くの鉄筋コンクリート構造物が造られると考えられる．
鉄筋コンクリート構造物は，一般に耐久性に優れていると言われてきたため，メンテナンスの
必要がないと考えられてきた．しかし，近年になって塩害，アルカリ骨材反応などをはじめとし
た様々なコンクリート構造物の劣化が指摘されはじめ，維持管理の重要性が改めて認識されてい
る．維持管理において補修時期判断のひとつの目安は腐食ひび割れの発生時期であり，また腐食
ひび割れの発生はコンクリート構造物の耐久性を評価するための大きな指標の一つである．
鉄筋コンクリートの腐食ひび割れは，鉄筋が腐食することで生成される腐食生成物の体積が元
の鉄筋よりも大きいために結果的に鉄筋が膨張し，それによる内圧によって発生する．腐食ひび
割れの発生時期を推定するには，ひび割れ発生時の鉄筋の腐食減量を知る必要がある．
1.2 目的
ひび割れ発生時の腐食減量（以下，限界腐食減量とする）は，一般に電食実験の結果から求め
られており，コンクリート標準示方書によると 10mg/cm2とされている．しかし，電食実験では以
下のような問題点も指摘されている．
① 腐食がひび割れ面に集中し，局所的な腐食が生じる．
② 鉄筋全体がアノードとなることから，二次的形状の腐食形態になる．
③ 電食実験と実際の環境で発生する腐食生成物が若干異なる．
さらに，実構造物の鉄筋とコンクリートの間には，施工時のブリージングや乾燥収縮により隙
間が開いている．鉄筋が腐食すると，その隙間を腐食生成物が埋めてから内圧が発生する．しか
し，電食実験における鉄筋の腐食の場合，局所的な腐食により局所的に応力が集中し，ひび割れ
が発生するため，隙間の影響が出にくいと考えられる．したがって，実構造物では空隙を埋める
ために鉄筋の腐食生成物が多く必要となる．
本研究は，乾湿繰返試験の結果，理論モデル及び数値解析を使った計算結果から，実構造物の
鉄筋の限界腐食減量を推定することを目的とする．
2. 塩害劣化による鉄筋コンクリート構造物のひび割れモードと腐食減量
2.1 概要
鉄筋コンクリート構造物は耐久力が高いとされ，多くの社会資本をはじめとする構造物に多用
されてきた．しかし，その寿命は本来想定されていたものよりも短いことが最近の研究で判って
きた．実際にその短い寿命を終え，耐久力に問題を抱えている構造物も少なくない．
一方で，外観にかなりの変化が見られながら耐久力に問題のない構造物も存在している．腐食
による鉄筋の断面減少が 10 パーセント程度まではその耐久力はさほど減少せず，その後急激に
耐久力が低下することが既往の研究で明らかになっている．耐久力の低下が始まる前に適切なメ
ンテナンスを施すためには，鉄筋の腐食の状態と鉄筋コンクリート構造物の耐久力の低下の関係
を明らかにする必要がある．
2.2 鉄筋の腐食とひび割れ発生のメカニズム
(1) 塩分の進展
塩害環境下での鉄筋コンクリート部材の劣化は，塩化物イオンが部材内部に浸透し，鉄筋の不
導態被膜を破壊することが発端と考えられる．鉄筋位置での塩化物イオン量が限界塩化物イオン
量を超えると鉄筋の腐食が開始する．コンクリート表面からコンクリート中に浸透蓄積する塩化
物イオンは固体空隙中のイオンの拡散，乾湿による移動，細孔中の毛管現象，塩化物イオンの一
部のセメント水和物との反応による固定化，コンクリートの炭酸化による塩化物イオンの移動な
ど，様々な要因により生じる．現在，全ての現象を表現するには至っておらず，式(2.2.1)の Fick
の一次拡散方程式を用いて，鉄筋位置での塩化物イオン量を表すことができると仮定する．
⎧⎪
⎛
⎞⎫⎪
Xt
⎟ +C
C c (X t ，t ) = (C F − C I )⎨1.0 − erf ⎜
I
⎜ 2 D − t ⎟⎬⎪
⎪⎩
c
⎝
⎠⎭
(2.2.1)
ここで， C c (X t , t) はコンクリート表面からの深さ X t における表面の塩化物イオンの浸透開始
からの経過時間ｔにおける塩化物イオン量(kg/m3)，D c は拡散係数(cm2/sec)，erf (⋅) は誤差関数，C I
は施工時のコンクリート内に含まれる初期塩化物イオン量(kg/m3)，また C F は塩化物イオンの表
面濃度(kg/m3)である．この塩化物イオン量が鉄筋の酸化被膜を破壊する限界値を超えた時を腐食
開始時期とする．
(2) 鉄筋の腐食
鉄の腐食には酸素と水が大きな役割を果たしている．鉄錆の形態は水と鉄が反応して生成され
る水酸化第一鉄が主体であり，表面全体に形成される場合，部分的に形成される場合，孔食とな
る場合などがある．空気中の酸素は酸化剤となり鉄筋の腐食反応に影響を及ぼす．酸素が存在す
る環境下では，鉄筋の腐食反応が進行する可能性が大きくなる．酸素の濃度が高い場合は，不導
体の形成が促進されるため腐食発生の確率は低下するが，腐食の進行速度は逆に速くなる．塩化
物イオンの浸透や中性化により不導態皮膜が破壊された場合，酸素供給量が多くなるほど腐食の
進行は早くなると推測される．コンクリート中の酸素の量は酸素の拡散係数に支配されているも
のとする．
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(3) ひび割れの発生と進展
塩害劣化は急に発生する現象ではなく，内部鋼材を腐食に至らせるための長期にわたる塩分蓄
積が必要である．本研究では，この塩分蓄積の時期を以下のように潜伏期，進展期，加速期，劣
化期と分ける．
・潜伏期
塩化物イオンがかぶりコンクリート中を浸透し，鉄筋付近に蓄積される過程である．塩化物イ
オンの拡散速度に支配される．機能損傷は全く無く，健全な状態である．
・進展期
鉄筋が塩化物イオンにより腐食し始め，腐食生成物が蓄積され，腐食生成物の膨張圧でかぶり
コンクリートにひび割れが入る過程である．主として溶存酸素と水分の供給量及びコンクリート
の電気抵抗に支配される．機能損傷は潜伏期と比べると多少表れるが，ほぼ健全な状態である．
・加速期
鉄筋に沿うひび割れの発生によって，腐食速度が促進され，かぶりコンクリートのはく離はく
落が生じる過程である．支配要因は促進期とほぼ同様であるが，荷重作用も受ける．機能面では
ひび割れの発生により，かぶりコンクリートと鉄筋の一体化が消失したり，破壊形式の変化が起
こったり，耐荷力の低下が見られたりする．健全度は潜伏期，進展期と比べると急に低下する．
・劣化期
鉄筋腐食が進み，断面減少が顕著になり，耐力の低下が明らかになる過程である．支配要因は
加速期とほぼ同様であるが，健全度は格段に低下する．
2.3 鉄筋の限界腐食減量
コンクリート構造物の維持管理において補修判断の重要な指標となる腐食ひび割れの発生を
予測するために必要な「鉄筋の限界腐食減量」はコンクリート標準示方書維持管理編によれば，
10mg/cm2とされている．本研究では鉄筋の限界腐食減量を算出するため図 2.3 のようにモデル化
し，数値解析の結果に利用した．
腐食生成物の量は式(2.3.1)
のように表される．
A = n∆
(2.3.1)
ここで，n は腐食生成物の膨張
率である．
また，コンクリートの応力 q 0
は式(2.3.2)で表される．
q 0 = Er ′ε
q 0 = Er ′
δ
A
(2.3.2)
ここで，Er ′ はコンクリートの
弾性係数を減じたもの
図 2.3 腐食減量のモデル
2
(N/mm )である．
40
式(2.3.1)，(2.3.2)より q 0 は式(2.3.3)で示される．
q 0 = Er ′
δ
n∆
(2.3.3)
また，図 2.3 より式(2.3.4)が成り立つ．
∆h = A − δ − ∆ − ∆p
(2.3.4)
式(2.3.1)，(2.3.3)，(2.3.4)より， ∆ は式(2.3.5)のように表される．
q ⎞
⎛
∆h = n∆⎜1 −
⎟ − ∆ − ∆p
E
r′ ⎠
⎝
∆=
−∆hEr ′ − ∆pEr ′
nq 0 − (n − 1)Er ′
(2.3.5)
これにより， ∆h と q 0 が求まれば，限界腐食減量を求めることができる．
40
3. 理論モデル
3.1 腐食ひび割れの力学モデル
腐食ひび割れは，主鉄筋に沿ったひび割れを生じるのが一般的であるが，これまでの現場観測
から，コンクリートかぶりが十分に無い場合や鉄筋間隔が密に配筋された場合は，鉄筋に沿った
ひび割れにならないことがある．コンクリートかぶりが十分に無い場合は図 3.1.1 のように表面
はく離ひび割れを生じ，主鉄筋が密に配筋された場合は図 3.1.2 のように水平はく離ひび割れが
卓越することがわかっている．本研究では，コンクリートかぶり，鉄筋間隔に着目し，このよう
なひび割れモードの違いによって限界腐食減量にどのような影響があるかを理論モデルを用い
て調査した．影響因子はかぶり d ，鉄筋間隔 A の無次元量である D / φ (D = 2d ) ， A / φ を用いた．
3.2 鉄筋に沿ったひび割れ
酸素の拡散により鉄筋腐食が進行し，腐食生成物の膨張圧によりひび割れが生じる．この力学
モデルを図 3.2.1 に示す．膨張した腐食生成物により鉄筋に生じる圧力q0，及びかぶり部に圧力q1
が生じ，表面にひび割れが生じると仮定した．本来はq0とq1の値は異なる値を取るが，本モデル
では，腐食厚さが鉄筋径に比べて微小であることから，q0=q1=qとして簡便に考えた．
塩害による鉄筋の腐食は，全体的に発生することがこれまでの調査で明らかになっている．鉄
筋の応力，変位は円形に発生すると仮定し，腐食膨張圧によるひび割れモデルとして厚肉円筒モ
デルを採用した．鉄筋の腐食膨張圧による応力は均一に発生せず，鉄筋に近い方が大きい．応力
の分布はコンクリートの品質も関係するため，コンクリートのひび割れ発生条件として，平均応
力説に基づいてかぶりコンクリートの平均引張応力 σ t を計算し，この応力がコンクリートの引張
強度を超えると，腐食ひび割れが発生するとした．腐食生成物の体積膨張率は，平均的な値と言
われている 2.5 を採用した．ひび割れ発生前の腐食速度Δr1は，0.05％/yr.(D25 で換算すると
2.5mg/cm2/yr.)と仮定した．ブリージング等によるコンクリートと鉄筋の隙間は，既往の研究より
0.00135cmと設定した．
せん断補強筋
せん断補強筋
主筋
主筋
鉄筋に沿ったひび割れ
水平はく離ひび割れ
鉄筋に沿ったひび割れ
表面はく離ひび割れ
図 3.1.1 表面はく離と鉄筋に沿ったひび割れ
図 3.1.2 水平と鉄筋に沿ったひび割れ
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抵抗領域
かぶりコンクリート
腐食生成物
腐食していない鉄筋
q1
q1
q0
q0
鉄筋に作用する圧力
腐食生成物に作用する圧力
コンクリートに作用する圧力
図 3.2.1 鉄筋に沿ったひび割れの力学モデル
(1) かぶりコンクリート
コンクリートが腐食生成物の膨張圧による内圧を受けることより，かぶりコンクリートは鉄筋
の腐食膨張による内圧 q を受ける厚肉円筒シェルとして仮定する．コンクリートの内径（鉄筋径）
を φ とし，外径を D とすると，コンクリート内周の半径方向の変位 u c (mm)は式(3.2.1)のように得
られる．
uC =
(1 + ν C )(1 + 2ν C )
EC
⋅
⎧⎪ (D / 2 )2 ⎫⎪ φ
(φ / 2)
⎨1 +
⎬⋅ ⋅q
(D / 2)2 − (φ / 2)2 ⎪⎩ (φ / 2)2 ⎪⎭ 2
(3.2.1)
ここで， E C :コンクリートの弾性係数(N/mm2)， ν C :コンクリートのポアソン比， D :厚肉円筒シ
ェルとして仮定した時の外径 D = 2C + φ ， C :かぶり(mm)， φ :内径（鉄筋径）である．
鉄筋腐食による膨張圧は，時間的にゆっくりした荷重であり，クリープ変形を考慮する必要が
ある．クリープ変形を考慮するためクリープ係数を用いて弾性係数を低減した式(3.2.2)に示す有
効弾性係数 E CE を用いる．
E CE =
EC
1 + φC
(3.2.2)
ここで φ C はクリープ係数で 2.5 とする．
コンクリートは完全塑性体でもぜい性体でもなく，その中間の性質がある．本研究では，完全
塑性体として仮定した式(3.2.3)の厚肉円筒シェルの周方向の引張応力 σ t がコンクリートの引張強
度 f t を超えた時にひび割れが発生すると考えた．
σt =
1
q
α 0 (D / φ − 1)
(3.2.3)
ここで，α 0 は，完全塑性体を考慮したことによる低減係数である．既往の研究より α 0 = 0.6 とす
る．
40
(2) 腐食生成物
鉄筋の径は，元の径 φ が腐食により減少し，腐食が全面腐食の形態をとるならば，腐食により
減少した径 φ1 と腐食生成物により増加した径 φ 2 は，式(3.2.4)，(3.2.5)で表される．
φ1 = φ − 2d s
(3.2.4)
φ 2 = φ + 2(n − 1)d s
(3.2.5)
ここで，n は腐食膨張倍率で n = 2.5 と仮定した．d s は，腐食した鉄筋の減肉した厚さで，鉄筋径
φ と比べ， φ >> d s であるから，腐食断面積は A W = π ⋅ φ ⋅ d s で求められる．したがって，腐食生成
物の厚さ d s と腐食断面積の関係は式(3.2.6)で表される．
ds =
AW
φ⋅π
(3.2.6)
腐食生成物の腐食膨張倍率は，腐食環境により異なり，生成物の種類により図 3.2.2 のように
なる．一般に，鉄は溶存酸素により酸化し，水酸化第一鉄Fe(OH)2になる．この化合物は，水を
失って水酸化化合物Fe2O3（赤錆）になる．また，酸化不十分のままFe3O4（黒錆）になるものも
ある．このように環境条件により錆の種類が異なり，腐食膨張倍率も異なる．
腐食生成物は鉄筋とコンクリートに拘束され，３次元的な拘束状態にあると考えられる．腐食
生成物は厚さが薄く，水平方向に無限であると仮定した．３次元の一般化フックの法則は，式
(3.2.7)で表すことができる．
{
(
)}
εx =
1
σ x − υr σ y + σ z
Er
εy =
1
σ y − υ r (σ z + σ x )
Er
εz =
1
σ z − υr σ x + σ y
Er
{
}
{
(
(3.2.7)
)}
平面ひずみ状態にあるとの仮定から，y,z 方向のひずみ ε y = ε z = 0 より，式(3.2.7)は式(3.2.8)のよ
うに変換される．
F e(O H )3 3H 2O
6.5
腐食成生物の種類
F e(O H )3
4.3
F e(O H )2
3.8
2.3
F e2O 3
2.2
F e3O 4
1.8
F eO
1.0
Fe
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
膨張倍率n
5.0
図 3.2.2 鉄筋の腐食の種類による腐食膨張倍率
40
6.0
7.0
{
}
1
⎫
σ y − υ r (σ z + σ x ) ⎪
Er
⎪
⎬
1
σ z − υr σ x + σ y ⎪
0=
⎪⎭
Er
0=
{
(
(3.2.8)
)}
式(3.2.8)より σ y , σ z は σ x で式(3.2.9)のように表される．
σy = σZ =
νr
σx
1− νr
(3.2.9)
式(3.2.9)と式(3.2.7)より，式(3.2.10)が求められる．
σx =
υr
1 − 2υ r
2
E rεc
(3.2.10)
腐食生成物の変位 u 0 は，式(3.2.10)の σ x = q とおき，腐食生成物の厚さを t c = n ⋅ d s として，式
(3.2.11)で求められる．
2
u0 =
1 − 2υ r
t ⋅q
(1 − υ r )E rE c
(3.2.11)
ここで， E rE は腐食生成物のクリープを考慮した弾性係数である． E r = 2000kg / cm 2 である． E rE
は式(3.2.12)のように求められる．
E rE =
Er
1 + φr
(3.2.12)
ここで， φ r はクリープ係数で， φ r = 2.5 とする．
(3) まだ腐食していない鉄筋
まだ腐食していない鉄筋は，外圧 q を受ける径 φ1 の中実断面と考えれば，半径方向の変位 u s は
式(3.2.13)で求められる．
us =
(1 + ν s )(1 − 2ν s ) φ1 q
E SE
(3.2.13)
2
ここで， E SE :鉄筋のクリープを考慮した弾性係数で式(3.2.14)で求められる． ν S :鉄筋のポアソン
比， φ1 :まだ腐食していない鉄筋の鉄筋径である．
E SE =
ES
1 + φS
(3.2.14)
ここで， φ S はクリープ係数で， φ S = 2.5 とする．
発生する引張応力 σ t が，コンクリートの引張強度 f tu を超えるとひび割れが発生する．
また，ひび割れ発生後の腐食速度は，既往の調査結果から求めた．ひび割れ発生後の鉄筋の腐
食速度は，式(3.2.15)で定義される鉄筋の断面減少率を腐食開始からの経過年数で除した平均腐食
速度 ∆ r 2 で評価した．
∆ r2 =
∆ r A d A s × 100
=
tc
tc
(3.2.15)
ここで， ∆ r は鉄筋の断面減少率(％)， A d は腐食した鉄筋の断面積(cm2)， t c は経過年数である．
ひび割れ発生後の腐食速度は平均的な値である 0.35％/yr.(D25 で換算すると 17.5mg/cm2/yr.)とし
た．
40
3.3 表面はく離ひび割れ
かぶりが薄い場合，鉄筋の腐食膨張によるひび割れによって表面コンクリートがはく離する．
既往の研究より，表面から鉄筋までの距離 D を鉄筋径 φ で除した値 D / φ が 1.5 以下であれば表面
はく離ひび割れが卓越し，それ以上であれば鉄筋に沿ったひび割れが発生することが示されてい
る．一般に表面はく離ひび割れの角度はかぶりが大きいと狭くなり，かぶりが小さいと広くなる．
本研究においては，一般的なモデルとして図 3.3.1 のように表面コンクリートのはく離ひび割れ
は 45°方向に生じると仮定し，力学モデルを構築した．
はく離ひび割れが発生するコンクリート部に働く単位奥行長さあたりの力 Pc (N/mm)は，式
(3.3.1)のように表される．
Pc =
φ ⋅ Ec
uc
Xt
(3.3.1)
ここで， φ :鉄筋径(mm)， E c :コンクリートの弾性係数(N/mm2)， X t :かぶり(mm)， u c :はく離ひび
割れが生じるために必要なコンクリート部の変位(mm)である．
鉄筋の腐食膨張圧によりコンクリートに生じる引張力 Pcr (N/mm)は式(3.3.2)のように表される．
Pcr =
φ ⋅ E cr
u cr
2n ⋅ t cr
(3.3.2)
ここで， E cr :腐食生成物の弾性係数(N/mm2)， n :腐食生成物の体積膨張率(=2.5 と仮定した)， u cr :
はく離ひび割れが生じるために必要な腐食膨張圧が作用した時の鉄筋の変位(mm)， t cr :腐食した
鉄筋の厚さ(mm)で腐食減量 ∆ r (％)と式(3.3.3)のような関係がある．
t cr =
(
1
φ 1 − 1 − ∆ r 100
2
)
(3.3.3)
式(3.3.1)，(3.3.2)と式(3.3.4)に示す変位の適合性と Pcr = Pc の釣り合いから，はく離ひび割れ発生
時の腐食減量厚さ t cr と，はく離ひび割れ時の荷重 Pcr (N/mm)の関係は式(3.3.5)のように表される．
u c + u cr = (n − 1) ⋅ 2t cr
Pcr =
(3.3.4)
2(n − 1) ⋅ φ ⋅ t cr ⋅ E c ⋅ E cr
2n ⋅ t cr ⋅ E c ⋅ X t ⋅ E cr
(3.3.5)
式(3.3.5)の引張力 Pcr が式(3.3.6)のひび割れ面の引張力 Pu (N/mm)に達した時に，はく離ひび割れが
発生するものと考えた．
Pu = 2α n ⋅ X t ⋅ f t
(3.3.6)
2
ここで， f t :コンクリートの引張強度(N/mm )で， α n は引張面の応力分布を考える係数で，
α n = 1 / 1.5 とする．
40
腐食されていない鉄筋
腐食生成物
Xt＝ｎ・ｔｃｒ
n=2.5
はく離コンクリート
はく離引張耐力
Ｐｕ＝Ａｃ・ｆｔ
45°
図 3.3.1 表面はく離ひび割れの力学モデル
3.4 鉄筋かぶりの理論モデルを用いた計算
(1) 計算条件
本力学モデルにおいて，かぶり厚さの違いによってひび割れモードに変化を与え，かぶりの
大きさと限界腐食減量の関係を計算した．
計算において，鉄筋の腐食膨張率 n は一般的な値である 2.5 を用いた．コンクリートの引張
強度 f t は次章で述べる乾湿繰返試験で試験体の引張強度が 30kg/cm2となるように配合設計を行
ったので，ここでも 30kg/cm2とした．腐食生成物の弾性係数 E r はクリープを考慮し，3.2 節で述
べた式(3.2.12)により E r = 2000kg / cm 2 を低減した E rE を採用した．鉄筋径 φ は以下で述べる乾湿繰
返試験，数値解析と同様に 16mmとした．これらの値を表 3.4.1 に示す．
表 3.4.1 計算の諸条件
鉄筋の腐食膨張率 n
2.5
コンクリートの引張強度 ft
30kg/cm2
腐食生成物の弾性係数 Er 2000kg/cm2
16mm
鉄筋径 φ
(2) かぶりと限界腐食減量の関係
表 3.4.2，図 3.4.1 に前項で述べた計算条件を用い，かぶりの無次元量 D / φ と限界腐食減量 ∆ の
関係を計算した結果を示す．かぶりの無次元量 D / φ が大きくなるにつれて，限界腐食減量 ∆ も増
大している．ひび割れモードの境界はかぶりの無次元量 D / φ が 3.6 以下の場合は表面はく離ひび
割れ，3.8 以上の場合は鉄筋に沿ったひび割れとなった．
(3) 鉄筋の腐食膨張率の検討
図 3.4.2 に鉄筋の腐食膨張率 n と限界腐食減量 ∆ の関係を示す．腐食膨張率 n は図 3.2.2 にもみ
られるように，だいたい 2.0 以上で大きくても 10.0 程度である．したがって，ここでは 2.0∼10.0
の範囲の鉄筋の腐食膨張率 n について計算を行った．鉄筋の腐食膨張率 n が大きくなれば限界腐
40
食減量 ∆ は指数的に減少する．鉄筋の腐食膨張率 n が大きくなれば，限界腐食減量 ∆ の鉄筋の腐
食膨張率 n に対する感度は低いが，鉄筋の腐食膨張率 n が小さくなると，限界腐食減量 ∆ の鉄筋
の腐食膨張率 n に対する感度は高くなり，値が大きく変化する．一般的な鉄筋の腐食膨張率 n は
2.5 であり，このとき限界腐食減量 ∆ の鉄筋の腐食膨張率 n に対する感度は高く，値が変化しや
すい状態にある．かぶりの無次元量 D / φ が大きくなっても限界腐食減量 ∆ は増大するが，鉄筋の
腐食膨張率 n ほど影響は大きくない．
(4) コンクリートの引張強度の検討
図 3.4.3 にコンクリートの引張強度 f t と限界腐食減量 ∆ の関係を示す．一般的に考えられるコ
ンクリートの引張強度は 20∼45kg/cm2であるので，この範囲のコンクリートの引張強度 f t につい
て計算を行った．コンクリートの引張強度 f t が大きくなれば限界腐食減量 ∆ はほぼ線形的に増加
する．
(5) まとめ
かぶりの無次元量 D / φ ，鉄筋の腐食膨張率 n ，コンクリートの引張強度 f t のいずれも限界腐食
減量 ∆ に影響を与えるが，最も影響が大きいのは鉄筋の腐食膨張率 n であるといえる．今回計算
したかぶりの無次元量 D / φ に対する限界腐食減量 ∆ は 10∼50mg/cm2の範囲にあり，かぶりの無
次元量 D / φ が大きくなれば限界腐食減量 ∆ も増大する．ひび割れモードの境界はかぶりの無次元
量 D / φ が 3.6 以下の場合は表面はく離ひび割れ，3.8 以上の場合は鉄筋に沿ったひび割れとなっ
た．
表 3.4.2 かぶりの無次元量と限界腐食減量の関係
D/φ
1.88
2.50
3.13
3.75
4.38
5.00
5.63
6.25
6.88
7.50
限界腐食減量
mg/cm2
9.2
11.7
17.8
27.0
29.6
32.1
34.7
37.7
42.8
49.5
ひび割れモード
表面はく離ひび割れ
表面はく離ひび割れ
表面はく離ひび割れ
鉄筋に沿ったひび割れ
鉄筋に沿ったひび割れ
鉄筋に沿ったひび割れ
鉄筋に沿ったひび割れ
鉄筋に沿ったひび割れ
鉄筋に沿ったひび割れ
鉄筋に沿ったひび割れ
40
限界腐食減量Δ (mg/cm2)
50
表面はく離ひび割れ
鉄筋に沿ったひび割れ
40
30
20
10
0
0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
Ｄ／φ
図 3.4.1 かぶりの無次元量と限界腐食減量の関係
限界腐食減量Δ (mg/cm2)
140
D/φ=2
D/φ=3
D/φ=4
D/φ=5
120
100
80
60
40
20
0
0.0
2.0
4.0
6.0
鉄筋の腐食膨張率n
8.0
10.0
40
50
図 3.4.2 鉄筋の腐食膨張率の影響
限界腐食減量Δ (mg/cm2)
70
D/φ=2
D/φ=3
D/φ=4
D/φ=5
60
50
40
30
20
10
0
0
10
20
30
コンクリートの引張強度 ft
図 3.4.3 コンクリートの引張強度の影響
3.5 水平はく離ひび割れ
鉄筋が密に配筋された梁などでは，ひび割れは鉄筋に沿ったひび割れよりも主筋同士を結ぶよ
うな水平はく離ひび割れが発生することが多い．図 3.4.1 に水平はく離ひび割れの力学モデルを
示す．図に見られるように，腐食した鉄筋は，強制変位によりコンクリートに引張応力を生じさ
せ，せん断補強筋とコンクリートの引張力により抵抗している．
腐食生成物の内圧による圧力は図 3.2.1 に示したつりあいモデルと同じように考えられるが，
膨張圧によるひび割れは鉄筋に沿った位置では発生せず，鉄筋同士を結んだコンクリートの引張
応力となる．したがって，このはく離を生じるのは，鉄筋の膨張圧 q 0 の鉛直成分がコンクリート
の引張力と釣り合う時と仮定する．鉄筋膨張圧 q 0 の鉛直成分の合力 PV は式(3.4.1)で表される．
∫
r
PV = 2 q 0 sin θdθ = πq 0 r
(3.4.1)
0
ここで， r :鉄筋の半径(cm)， q 0 :コンクリートが受ける圧力である．
次に，鉄筋膨張圧 q 0 の鉛直成分の合力 PV が生じた時のコンクリートの引張応力 σ c を求める．既
往の調査などをみると水平はく離ひび割れは，鉄筋を結ぶひび割れが発生するが，せん断補強筋
がある場合は，せん断補強筋を乗り越えて外部までひび割れが進展するのは，かなり劣化が進ん
でからである．したがって，水平はく離面は，鉄筋のかぶり部は拘束条件から寄与しないとし，
引張ひび割れの発生する長さは式(3.4.2)のように求められる．
(
)(
A = nφ −1 Aφ − φ
)
(3.4.2)
ここで， n φ :鉄筋の本数， A φ :鉄筋の本数(mm)， φ :鉄筋径(mm)である．
水平抵抗に関与する抵抗長さは式(3.4.2)に示すように，かぶり部分は抵抗しないものと考えた．
コンクリート部が受け持つ引張力 Pc は式(3.4.3)で表される．
Pc = α n ⋅ f t ⋅ A
(3.4.3)
ここで， α n :抵抗領域の応力の分布を平均化したことによる低減係数で， α n = 1 / 1.5 とした．
せん断補強筋が，ひび割れ面を拘束することは自明であるが，本研究ではコンクリートの引張
ひび割れは，かなり小さなひずみで生じることから，補強筋を超えてひび割れが進展することを
防ぐが，引張ひび割れの発生を保護するには断面が小さいと考えて，式(3.4.3)で示したように，
鉄筋の腐食膨張
水平引張ひび割れ
q0
引張応力
r
qv
コンクリート表面
r
Pv = 2∫ q V dx = πq 0 r
0
図 3.4.1 水平はく離ひび割れの力学モデル
12
全てコンクリートの引張力のみで抵抗すると考えた．
3.6 鉄筋間隔の理論モデルを用いた計算
(1) 計算条件
本力学モデルにおいて，鉄筋間隔の違いによってひび割れモードに変化を与え，鉄筋間隔と
限界腐食減量の関係を計算した．計算において，鉄筋の腐食膨張率 n ，コンクリートの引張強度
f t ，腐食生成物の弾性係数 E r ，鉄筋径は 3.4(１)と同じ値を用いた．
(2) かぶりと限界腐食減量の関係
表 3.6.1，図 3.6.1 に前項で述べた計算条件を用い，鉄筋間隔の無次元量 A / φ と限界腐食減量 ∆ の
関係を計算した結果を示す．鉄筋間隔の無次元量 A / φ が大きくなるにつれ，限界腐食減量 ∆ も増
大しており，ひび割れモードが鉄筋に沿ったひび割れとなった時点からは限界腐食減量 ∆ は増大
せず，一定となった．ひび割れモードの境界は鉄筋間隔の無次元量 A / φ が 8.25 以下の場合は水平
はく離ひび割れ，8.31 以上の場合は鉄筋に沿ったひび割れとなった．
(3) 鉄筋の腐食膨張率の検討
図 3.6.2 に鉄筋の腐食膨張率 n と限界腐食減量 ∆ の関係を示す．腐食膨張率 n は 3.4 節と同様に
2.0∼10.0 の範囲について計算を行った．鉄筋の腐食膨張率 n が大きくなれば限界腐食減量 ∆ は指
数的に減少する．鉄筋の腐食膨張率 n が大きい場合は，限界腐食減量 ∆ の鉄筋の腐食膨張率 n に
対する感度は低いが，鉄筋の腐食膨張率 n が小さくなると，限界腐食減量 ∆ の鉄筋の腐食膨張率
n に対する感度は高くなり，値が大きく変化する．鉄筋間隔の無次元量 A / φ が大きくなっても限
界腐食減量 ∆ は増大するが，鉄筋の腐食膨張率 n ほど影響は大きくない．
(4) コンクリートの引張強度の検討
図 3.6.3 にコンクリートの引張強度 f t と限界腐食減量 ∆ の関係を示す．3.4 節と同様に，20∼
45kg/cm2の範囲のコンクリートの引張強度 f t について計算を行った．コンクリートの引張強度 f t
が大きくなれば限界腐食減量 ∆ はほぼ線形的に増加する．
(5) まとめ
鉄筋間隔の無次元量 A / φ ，鉄筋の腐食膨張率 n ，コンクリートの引張強度 f t のいずれも限界腐
食減量 ∆ に影響を与えるが，最も影響が大きいのは鉄筋の腐食膨張率 n であるといえる．今回計
算した鉄筋間隔の無次元量 A / φ に対する限界腐食減量 ∆ は 15∼35mg/cm2の範囲にあり，鉄筋間隔
の無次元量 A / φ が大きくなれば限界腐食減量 ∆ も増大するが，ひび割れモードが鉄筋に沿ったひ
び割れとなってからは，限界腐食減量 ∆ は増大せず，一定値となる．ひび割れモードの境界は鉄
筋間隔の無次元量 A / φ が 8.25 以下の場合は水平はく離ひび割れ，8.31 以上の場合は鉄筋に沿った
ひび割れとなった．
40
表 3.6.1 鉄筋間隔の無次元量と限界腐食減量の関係
限界腐食減量
mg/cm2
3.75
18.9
5.00
21.9
6.25
25.0
7.50
29.1
8.75
32.1
10.00
32.1
11.25
32.1
12.50
32.1
A/φ
ひび割れモード
水平はく離ひび割れ
水平はく離ひび割れ
水平はく離ひび割れ
水平はく離ひび割れ
鉄筋に沿ったひび割れ
鉄筋に沿ったひび割れ
鉄筋に沿ったひび割れ
鉄筋に沿ったひび割れ
限界腐食減量Δ (mg/cm2)
40
30
20
水平はく離ひび割れ
鉄筋に沿ったひび割れ
10
0
0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
10.0
12.0
14.0
A/φ
図 3.6.1 鉄筋間隔の無次元量と限界腐食減量の関係
限界腐食減量Δ (mg/cm2)
140
l/φ=5
l/φ=7
l/φ=9
120
100
80
60
40
20
0
0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
鉄筋の腐食膨張率n
図 3.6.2 鉄筋の腐食膨張率の影響
10.0
限界腐食減量Δ (mg/cm2)
70
l/φ=5
l/φ=7
l/φ=9
60
50
40
30
20
10
0
0
10
20
30
コンクリートの引張強度 ft
40
50
図 3.6.3 コンクリートの引張強度の影響
3.7 まとめ
鉄筋かぶりの理論モデルの計算結果と鉄筋間隔の理論モデルの計算結果を比較する．
① かぶりの無次元量 D / φ ，鉄筋間隔の無次元量 A / φ が増加すれば限界腐食減量 ∆ も増加する．
D / φ と A / φ とでは， D / φ の方が限界腐食減量 ∆ に与える影響は大きい．
② 鉄筋かぶりの理論モデル及び鉄筋間隔の理論モデルのどちらも，限界腐食減量 ∆ は鉄筋の
腐食膨張率 n が変化すれば指数的に変化し，コンクリートの引張強度 f t が変化すれば線形的
に変化する．
③ かぶりの無次元量 D / φ に対する限界腐食減量 ∆ は 10∼50mg/cm2の範囲であり，鉄筋間隔
の無次元量 A / φ に対する限界腐食減量 ∆ は 15∼35mg/cm2の範囲である．鉄筋かぶりの理論モ
デルの方が，限界腐食減量 ∆ の範囲が広くなっている．
④ 鉄筋かぶりの理論モデルの計算結果の場合，かぶりの無次元量 D / φ が 3.6 以下の場合は表
面はく離ひび割れ，3.8 以上の場合は鉄筋に沿ったひび割れとなった．鉄筋間隔の理論モデ
ルの計算結果の場合は鉄筋間隔の無次元量 A / φ が 8.25 以下の場合は水平はく離ひび割れ，
8.31 以上の場合は鉄筋に沿ったひび割れとなった．
14
4. 乾湿繰返試験
4.1 概要
鉄筋コンクリート構造物の塩害による耐荷力の低下では，鉄筋が腐食し，増加した腐食生成物
により発生する膨張圧によりコンクリート表面にひび割れやはく離が発生，さらに腐食が進行す
ると，コンクリートと鉄筋の間の付着力がなくなり，構造物としての機能が失われる，という過
程をたどる．鉄筋コンクリート構造物の補修の目安は，ひび割れが発生するまでとしている場合
が一般的であり，ひび割れが発生した時点を補修の限界としている場合もある．この理由は，公
共的な構造物においては，かぶりコンクリートのはく落などといった第三者障害が考えられ，こ
れを未然に防ぐためと考えられる．
限界腐食減量を求めることを目的とする本研究においては，ひび割れが発生するまでの過程も
重要となる．既往の研究においては，鉄筋腐食によるひび割れ発生の解析結果を，電食実験や静
的破砕材による内圧をかけた実験の結果と照査してきた．実際の鉄筋コンクリート構造物におけ
るひび割れと照合した例は少ない．しかし，電食実験においては，電流を流すため電極の方に腐
食が起こりやすく，ひび割れが生じる部分にのみ集中するために，比較的少ない腐食量で発生す
るという問題がある．実際のコンクリート構造物は，鉄筋付近の塩化物イオン濃度が限界濃度以
上になったとき腐食を開始するため，鉄筋全体に腐食が発生する．本研究では，実際の腐食機構
を模擬するために，乾湿繰り返しによる腐食試験を行う．本試験は試験体を海水に浸し，乾かす
ことを繰返し，試験体中の鉄筋を腐食させようとするものである．海水に浸すことにより，試験
体中に水と塩化物イオンを浸透させ，乾かすことにより酸素を進入させて，鉄筋の酸化を促進さ
せる．実際の鉄筋コンクリート構造物においても，同様の現象は起きている．本試験では乾湿繰
り返しを定期的に行い，鉄筋腐食を促進させるものである．
本試験の目的は，梁部材断面での多数鉄筋のひび割れモードの違いを検証すること．次に，ひ
び割れの発生した試験体の鉄筋の腐食量から，鉄筋の限界腐食減量を算出することである．鉄筋
のかぶり厚，鉄筋間隔により，ひび割れモードは変化すると考えられ，それにより，腐食減量も
変化する．本試験は実際の鉄筋コンクリート構造物の腐食減量と影響因子の関係を検証すること
を目的とする．
4.2 試験装置
写真 4.2.1 は水槽と試験体の写真である．水槽に蓋をして海水を満たす過程を 3 日半，海水を
抜き乾かす過程を 3 日半，１週間を１サイクルとして実施した．試験体は両端に添え木を置いて
固定し，各方向から塩化物イオンが入りやすいようにした．写真 4.2.2，写真 4.2.3，写真 4.2.4 は
海水を入れるタンクである．海水の温度は 70℃，乾燥時の温度は 15℃とし，塩化物イオンが浸
透し腐食が進みやすいようにした．ポンプで水槽から海水を汲み上げ，写真 4.2.5 のボイラーで
加熱し水槽に戻すサイクルを行っている．乾燥時の空気は写真 4.2.6 の空気調和機で調節してい
る．全てのサイクルを写真 4.2.7 の装置で管理し試験を行っている．
40
(a)水槽を海水で満たした状態
(b)海水を抜き乾燥させている状態
写真 4.2.1 水槽と試験体の写真
図 4.2.2 乾湿繰返し試験タンク写真１
図 4.2.3 乾湿繰返し試験タンク写真２
写真 4.2.4 乾湿繰返試験タンク写真３
図 4.2.5 海水加熱ボイラー
図 4.2.6 空気調和機
図 4.2.7 腐食試験装置
4.3 試験方法
(1) 試験体の補修方法
鉄筋がコンクリートから飛び出している部分は，試験体作成時の鉄筋の固定に必要である．
しかし，試験開始後は不要になるばかりか，腐食の妨げになる．鉄筋はどこか一部で腐食が起こ
ると，その部分のみで腐食が進行し，他の部分の腐食が妨げられる．これを防ぐために本研究の
試験体では鉄筋の飛び出している部分にエポキシ樹脂を塗布し，無駄な腐食を防いでいる．また，
エポキシ樹脂がひび割れたりはく離したりして，錆が発生することがあるので，毎週確認し，補
修を施した．補修にはエポキシ系二液式接着剤を用いた．
(2) 鉄筋腐食後の調査方法
腐食ひび割れ幅が 0.1∼0.2mm に達すると，かぶり面のひび割れの様子をスケッチした後，鉄
筋のはつり出しを行う．その後，鉄筋からかぶりにかけての断面のひび割れの様子をスケッチす
る．腐食した鉄筋の状態を調べるために，腐食部のスケッチと限界腐食減量の測定を行う．限界
腐食減量の測定はクエン酸水素二アンモニウム 10％溶液をさび取り剤として用いてさびを取り
除き，腐食前の質量と比較した．
4.4 鉄筋かぶりの試験体
(1) 試験体
一般に鉄筋コンクリート構造物において，かぶりが小さいと表面はく離ひび割れを生じ，かぶ
りが大きいと鉄筋に沿ったひび割れが発生する．実際の構造物で，せん断補強筋付近はかぶりが
小さくなる場合があることから，よく見られる現象である．本研究では，最も影響が大きいと考
えられるかぶりをひび割れモードの影響因子と考えた．同様の条件でかぶりを変えた試験体を作
成，かぶりが変化することで，鉄筋の限界腐食減量にどのような影響があるか検証を行った．
試験体は図 4.4.1 のようになる．
一つの試験体について四方向で鉄筋四本を同時に腐食させる．
塩化物イオンはかぶり方向からのみ浸透するものとする．試験体の寸法は，20cm×20cm×14cm
とした．対象をせん断補強筋として異形鉄筋 D16 を採用した．試験での因子は，コンクリート表
面から鉄筋中心までの距離 C に対する鉄筋径 φ の無次元量 C / φ とした．表 4.1.1 に試験体の一覧
を示す．既往の観測や理論から C / φ が 1.5 以下になるとはく離ひび割れが，1.5 以上になると鉄
筋に沿ったひび割れが生じることから，その値をはさむように試験体を設定した．試験体の全て
の図を巻末資料に示す．
(2) ひび割れの進展
図 4.4.2 にかぶり面のひび割れスケッチの例を示す．(a)はひび割れモードが表面はく離ひび割
れとなる例で，(b)は鉄筋に沿ったひび割れとなる例である．巻末資料に全てのかぶり面のひび割
れスケッチを示す．図 4.4.3 にかぶりコンクリート断面のひび割れスケッチの例を示す．スケッ
チの中心にある円は鉄筋である．ここでも(a)はひび割れモードが表面はく離ひび割れとなる例で，
(b)は鉄筋に沿ったひび割れとなる例である．巻末資料に全てのコンクリート断面のひび割れスケ
ッチの例を示す．かぶり面のひび割れ
200
20
20
140
100(腐食部分)
200
20
20
C
主筋D16
D16
（両端をエポキシ樹脂で被膜）
図 4.4.1 試験体のモデル
40
（両端をエポキシ樹脂で皮膜）
表 4.4.1 試験体一覧
試験体名
補強筋
かぶり
C(mm)
無次元量
C/φ
15
0.94
20
1.25
25
1.56
CS30
30
1.88
CS40
40
2.50
CS15
CS20
CS25
無し
スケッチとかぶりコンクリート断面のひび割れスケッチが対応していないのは，かぶりコンクリ
ート断面のひび割れスケッチを行うためにコアを切断するとき，小さなひび割れが大きく広がっ
たためと考えられる．ひび割れ幅が 0.10mm 前後になるとひび割れからさび汁が染み出してくる
ものが多く，このあたりでひび割れがかぶり面から鉄筋まで貫通したものと考えられる．本研究
では，ここをひび割れの入り始めとして取り扱った．
(3) 腐食の分布
図 4.4.4，図 4.4.5 に腐食した鉄筋のスケッチの例を示し，巻末資料に全ての試験体の腐食した
鉄筋のスケッチを示す．
図 4.4.4 は表面はく離ひび割れだと考えられる CS15 右の鉄筋を含む CS15
試験体の全ての鉄筋のスケッチで，図 4.4.5 は鉄筋に沿ったひび割れだと考えられる CS30 上の鉄
筋を含む CS30 試験体の全ての鉄筋のスケッチである．図の上部にある点の位置がかぶりの位置
を示している．ここで，R：試験体の右面，T：上面，L：左面，U：下面である．試験体作製時
に鉄筋の下部にはブリージングによる弱点が形成される．これにより，鉄筋の腐食はかぶり側と
作製時に下になった部分の両方で発生する．図中で，作製時に下になった部分とは，上面の腐食
スケッチではスケッチの両端，下面の腐食スケッチではスケッチの中央，側面の腐食スケッチで
は図中に下と示してある部分である．図 4.4.5 の CS30(鉄筋の中心からコンクリート表面までの距
離が 30mm，かぶり厚は 22mm)の例では，かぶり側と作製時に下になった部分が腐食している様
子がよくわかる．ひび割れモードによる鉄筋の腐食分布への影響はみられない．
40
(a)表面はく離ひび割れの例(CS15 右)
(b)鉄筋に沿ったひび割れの例(CS30 上)
図 4.4.2 かぶり面のひび割れスケッチ
(a)表面はく離ひび割れの例(CS15 右)
(b)鉄筋に沿ったひび割れの例(CS30 上)
図 4.4.3 かぶりコンクリート断面のひび割れスケッチ
下
上
左
右
下
上
右
左
図 4.4.4 腐食した鉄筋のスケッチの例(表面はく離ひび割れの試験体)
下
上
左
右
下
上
左
右
図 4.4.5 腐食した鉄筋のスケッチの例(鉄筋に沿ったひび割れの試験体)
(4) 限界腐食減量の算出
以下に限界腐食減量の算出方法を示す．
① 試験体作成前に，試験で使用する全ての鉄筋の平均長さ，平均質量を測定し，単位長さ
当たりの質量を求める．
② 試験終了後の鉄筋の長さに①で求めた単位長さ当たりの質量を掛け，腐食前の鉄筋の質
量を求める．
③ ②で求めた腐食前の鉄筋の質量から腐食後の鉄筋の質量を引く．
この手順により，限界腐食減量を求めた．
表 4.4.2，図 4.4.6 に乾湿繰返試験より得られたかぶりの無次元量 D / φ と限界腐食減量 ∆ 及び鉄
筋位置の関係を示す．ここで，試験体作製時に上になった面を上面，下になった面を下面，横に
なった面を側面とする．ただし，左右は考えないものとし，ともに側面とする．CS30 試験体の
上面の鉄筋は処理に失敗し，データが正確でないのでここでは使用しないものとする．前述した
ように施工時に下になった部分とかぶり側に腐食が集中することがわかっているが，下面では両
者が一致するため限界腐食減量 ∆ は小さくなっている．
図 4.4.7 に限界腐食減量 ∆ とかぶりの無次元量 D / φ ，ひび割れモードの関係を示す．CS20 試験
体の右，上，下部，及びCS25 試験体の左，右部はコアを抜いた時点で，表面はく離ひび割れは
発生していなかったが，表面はく離ひび割れを発生する可能性があるのでひび割れモードを決定
することはできない．ひび割れモードと限界腐食減量には相関性はみられず，限界腐食減量はか
19
ぶりの無次元量 D / φ の大きさにかかわらず，60∼180mg/cm2の範囲にある．ひび割れモードの境
界のかぶりの無次元量 D / φ は 2.0∼3.0 であると考えられ，これ以下の場合は表面はく離ひび割れ，
この値以上の場合は鉄筋に沿ったひび割れとなる．
限界腐食減量 ∆ と最大ひび割れ幅の関係を図 4.4.8 に示す．最大ひび割れ幅はそのほとんどが
0.1mm で，若干大きな場合もある．図に見られるように，限界腐食減量 ∆ とひび割れ幅の相関性
は見られないため，限界腐食減量 ∆ と同じであると考えられる．
図 4.4.9 に限界腐食減量と頻度の関係を示す．限界腐食減量の平均は 103.04mg/cm2で，標準偏
差は 27.13mg/cm2となった．ばらつきはあまりみられず，ほとんどが 60∼140mg/cm2の範囲にあ
る．
図 4.4.10 に限界腐食減量の累積密度を示し，図から読み取れるひび割れ発生確率 5％，15％，
30％のときの限界腐食減量を表 4.4.3 に示す．全てのひび割れを防ぐことは不可能であるので，
15％以下のひび割れを許容するとしたときの限界腐食減量は 93mg/cm2である．
表 4.4.2 乾湿繰返試験から得られるかぶりの無次元量と限界腐食減量の関係
D / φ 鉄筋位置
1.88
2.50
3.13
3.75
5.00
左
右
左
右
左
右
左
右
左
右
限界腐食減量
限界腐食減量
鉄筋位置
mg/cm2
mg/cm2
100.33
105.81
上
121.92
91.27
下
114.72
78.21
上
125.24
79.43
下
176.24
126.30
上
106.62
98.69
下
77.51
308.04
上
92.55
61.97
下
130.62
上
70.34
下
限界腐食減量Δ (mg/cm2)
200
側面
上面
下面
160
120
80
40
0
0.0
1.0
2.0
3.0
Ｄ／φ
4.0
5.0
図 4.4.6 かぶりの無次元量と限界腐食減量と鉄筋位置
40
6.0
限界腐食減量Δ (mg/cm2)
200
表面はく離ひび割れ
どちらともいえない
鉄筋に沿ったひび割れ
160
120
80
40
0
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
Ｄ／φ
図 4.4.7 かぶりの無次元量と限界腐食減量とひび割れモード
限界腐食減量Δ (mg/cm2)
200
160
120
80
40
0
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
最大ひび割れ幅W(mm)
図 4.4.8 最大ひび割れ幅と限界腐食減量の関係
7
平均 103.04mg/cm2
6
標準偏差 27.13mg/cm2
頻度
5
4
4
3 3
3
3
2
1
1
1
1
1
0
0
10 20 30 40 50
60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200
限界腐食減量Δ(mg/cm2)
図 4.4.9 限界腐食減量の頻度
1
0.9
累積密度
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200
限界腐食減量Δ(mg/cm2)
図 4.4.10 累積密度と限界腐食減量
表 4.4.3 累積密度と限界腐食減量
累積密度
5%
15%
30%
限界腐食減量Δ
88mg/cm2
93mg/cm2
98mg/cm2
4.5 鉄筋間隔の試験体
(1) 試験体
前節では，かぶり厚さによってひび割れモードが変化する試験体について述べた．ここでは，
鉄筋間隔の長さによりひび割れモードの変化を生じる試験体について述べる．一般に，鉄筋間隔
が短いと水平はく離ひび割れを生じ，長いと鉄筋に沿ったひび割れを生じる．実際の構造物では，
鉄筋が密に配筋された梁などでよく見られる．本研究では，最も影響が大きいと考えられる鉄筋
間隔をひび割れモードの影響因子と考えた．同様の条件で鉄筋間隔を変えた試験体を作成，鉄筋
間隔が変化することで，鉄筋の限界腐食減量にどのような影響があるか検証を行った．
図 4.5.1 に試験体のモデルを示す．一つの試験体について鉄筋四本を同時に腐食させる．
塩化物イオンはかぶり方向からのみ浸透するものとする．対象を主鉄筋として，異形鉄筋 D16 を
採用した．試験での因子は，鉄筋中心間隔 A に対する鉄筋径 φ の無次元量 A / φ とした．表 4.5.1 に
試験体の一覧を示す．試験体の全ての図を巻末資料に示す．
21
Ｄ16
（両端をエポキシ樹脂で被膜）
40
Ｄ10
100
40
Ｄ10
A
40
（エポキシ樹脂で被膜）
A
A
40
D16
（エポキシ樹脂で皮膜）
20
20
D10
（エポキシ樹脂で被膜）
140
100
(腐食部分)
20
20
40
A
A
A
40
図 4.5.1 試験体のモデル
表 4.5.1 試験体一覧
試験体名 補強筋 鉄筋間隔 無次元量 かぶり
HC80
HC100
HC120
HC140
HC160
HC180
HC200
有り
A(mm)
A/φ
C (mm )
80
100
120
140
160
180
200
5.00
6.25
7.50
8.75
10.00
11.25
12.50
40
(2) ひび割れの進展
図 4.5.2，図 4.5.3 にかぶり面のひび割れスケッチの例を示す．図 4.5.2 は水平はく離ひび割れで
あると考えられるひび割れスケッチの例で，図 4.5.3 は鉄筋に沿ったひび割れであると考えられ
るひび割れスケッチの例である．全ての試験体のかぶり面のひび割れスケッチを巻末資料に示す．
前節の試験体と違い，この試験体では鉄筋位置による影響が大きいと考えられるため，四本の鉄
筋を一度に取り出す必要がある．実験終了の時期を判断するのが前節の試験体よりも困難である
が，鉄筋に沿ったひび割れのひび割れ幅が 0.1mm となったとき，あるいは試験体の横に水平はく
離ひび割れらしきものが目視で確認されたときを試験終了として取り扱った．図 4.5.2 で示した
HC80 試験体は水平はく離ひび割れが卓越しているのでかぶり面に現れるひび割れが少なくなっ
ている．かぶり面のひび割れは外側よりも内側の方が発生しやすいことがわかる．
図 4.5.4，図 4.5.5 に鉄筋断面方向のひび割れスケッチの例を示す．図 4.5.4 は水平ひび割れであ
ると考えられるひび割れスケッチの例で，図 4.5.5 は鉄筋に沿ったひび割れであると考えられる
ひび割れスケッチである．全ての試験体の鉄筋断面方向のひび割れスケッチを巻末資料に示す．
40
図中の矢印の方向がかぶり側である．
(3) 腐食の分布
図 4.5.6，図 4.5.7 に腐食した鉄筋のスケッチの例を示し，巻末資料に全ての腐食した鉄筋のス
ケッチを示す．図 4.5.6 は水平はく離ひび割れとなった試験体の鉄筋のスケッチで，図 4.5.7 は鉄
筋に沿ったひび割れとなった試験体の鉄筋のスケッチである．図の上部にある点の位置がかぶり
の位置を示している．試験体作製時に鉄筋の下部にはブリージングによる弱点が形成される．こ
れにより，鉄筋の腐食はかぶり側と作製時に下になった部分の両方で腐食する．これらは，HC
試験体の場合は下方向で一致するので腐食はかぶり側に集中する．図 4.5.6，図 4.5.7 でもこのこ
とは顕著である．ひび割れモードによる鉄筋の腐食分布への影響はみられない．
右
左
4
3
2
1
図 4.5.2 水平はく離ひび割れの場合のかぶり面のひび割れスケッチの例(HC80)
右
左
4
3
2
1
図 4.5.3 鉄筋に沿ったひび割れの場合のかぶり面のひび割れスケッチの例(HC120)
40
左
右
3
4
1
2
図 4.5.4 水平はく離ひび割れの場合の鉄筋断面のひび割れスケッチの例(HC80)
↑
↑
↑
↑
4
3
2
1
右
左
図 4.5.5 鉄筋に沿ったひび割れの場合の鉄筋断面のひび割れスケッチの例(HC120)
左
右
左
右
左
右
左
右
図 4.5.6 水平はく離ひび割れを発生する場合の腐食した鉄筋のスケッチ(HC80)
左
右
左
右
左
右
左
右
図 4.5.7 鉄筋に沿ったひび割れを発生する場合の腐食した鉄筋のスケッチ(HC120)
(4) 限界腐食減量の算出
表 4.5.2，図 4.5.7 に乾湿繰返試験より得られた鉄筋間隔の無次元量 A / φ と限界腐食減量 ∆ 及び鉄
筋位置の関係を示す．鉄筋位置は，試験体作製時に左右を決定し，右の鉄筋から順に鉄筋１，鉄
筋２，鉄筋３，鉄筋４とした．ただし，グラフにプロットする際には，外側と内側とし，左右は
考えないものとした．この形式の試験体の場合は，前述したように，一箇所でひび割れが貫通し
たら四本全てを抜き取らなければならなかったので，全ての値が限界腐食減量というわけではな
い．図 4.5.8 にひび割れが貫通したと考えられる鉄筋の限界腐食減量のみをプロットした限界腐
食減量 ∆ と鉄筋間隔の無次元量 A / φ の関係を示す．この図から，内側のほうがひび割れが発生し
やすい傾向にあることがわかるが，限界腐食減量 ∆ と鉄筋位置の関係は見当たらない．
図 4.5.9 に鉄筋間隔の無次元量 A / φ と限界腐食減量 ∆ ，ひび割れモードの関係を示す．HC100
試験体はコアを抜いた時点では，水平はく離ひび割れは発生していなかったが，水平はく離ひび
割れを発生する可能性があるのでひび割れモードを決定することはできない．ひび割れモードと
限界腐食減量 ∆ の相関性はみられず，ひび割れが貫通した鉄筋の限界腐食減量 ∆ は鉄筋間隔の無
次元量の大きさにかかわらず，40∼120mg/cm2の範囲にある．ひび割れモードの境界の鉄筋間隔
の無次元量は 5.5∼7.5 であった．この値以下では水平はく離ひび割れが発生し，この値以上では
鉄筋に沿ったひび割れが発生する．
図 4.5.10 に限界腐食減量と頻度の関係を示す．限界腐食減量の平均は 71.25mg/cm2，標準偏差
は 22.28 mg/cm2となった．ばらつきはあまりみられず，ほとんどが 40∼90 mg/cm2の範囲にある．
図 4.5.11 に限界腐食減量の累積密度を示し，図から読み取れるひび割れ発生確率 5％，15％，
30％のときの限界腐食減量を表 4.5.3 に示す．全てのひび割れを防ぐことは不可能であるので，
15％以下のひび割れを許容するとしたときの限界腐食減量は 68mg/cm2である．この値はCS試験
体の場合よりも小さい．
表 4.5.2 乾湿繰返試験から得られる鉄筋間隔の無次元量と限界腐食減量の関係
A/φ
5.00
6.25
7.50
8.75
10.00
11.25
12.50
鉄筋位置
鉄筋１
鉄筋２
鉄筋１
鉄筋２
鉄筋１
鉄筋２
鉄筋１
鉄筋２
鉄筋１
鉄筋２
鉄筋１
鉄筋２
鉄筋１
鉄筋２
限界腐食減量
限界腐食減量
鉄筋位置
mg/cm2
mg/cm2
59.58
60.80
鉄筋３
104.70
42.48
鉄筋４
65.82
54.43
鉄筋３
46.05
38.21
鉄筋４
47.80
54.12
鉄筋３
54.40
53.04
鉄筋４
83.66
99.46
鉄筋３
47.11
115.73
鉄筋４
67.32
114.41
鉄筋３
110.12
86.51
鉄筋４
60.71
74.58
鉄筋３
78.23
55.50
鉄筋４
64.28
70.76
鉄筋３
46.26
56.00
鉄筋４
24
限界腐食減量Δ (mg/cm2)
200
外側
内側
160
120
80
40
0
0.0
2.0
4.0
6.0
A/φ
8.0
10.0
12.0
14.0
図 4.5.7 鉄筋間隔の無次元量と限界腐食減量と鉄筋位置
外側
内側
160
120
80
40
0
0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
10.0
12.0
14.0
A/φ
図 4.5.8 鉄筋間隔の無次元量と限界腐食減量と鉄筋位置
(ひび割れが貫通したものだけを抽出)
200
限界腐食減量Δ (mg/cm2)
限界腐食減量Δ (mg/cm2)
200
水平はく離ひび割れ
どちらともいえない
鉄筋に沿ったひび割れ
160
120
80
40
0
0.0
2.0
4.0
6.0
A/φ
8.0
10.0
12.0
14.0
図 4.5.9 鉄筋間隔の無次元量と限界腐食減量とひび割れモード
10
平均 71.25mg/cm2
9
8
7
6
頻度
標準偏差 22.28mg/cm2
7
5
5
5
4
3
3
3
2
2
1
1
1
1
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90 100 110 120 130 140 150
限界腐食減量Δ(mg/cm2)
図 4.5.10 限界腐食減量の頻度
1
0.9
0.8
累積密度
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
10 20 30
40 50 60 70 80
90 100 110 120 130 140 150
限界腐食減量Δ(mg/cm2)
図 4.5.10 限界腐食減量の累積密度
表 4.5.3 累積密度と限界腐食減量
累積密度
5%
15%
30%
限界腐食減量Δ
62mg/cm2
68mg/cm2
72mg/cm2
4.6 まとめ
鉄筋かぶりの試験体の試験結果と鉄筋間隔の試験体の計算結果を比較する．
① かぶりの無次元量 D / φ ，鉄筋間隔の無次元量 A / φ による限界腐食減量 ∆ の違いは見られな
い．
② 鉄筋かぶりの試験体の下面の鉄筋と鉄筋間隔の試験体の鉄筋は，ブリージングによる弱点
とかぶり側が一致するため，限界腐食減量 ∆ が小さくなっている．
③ 鉄筋かぶりの試験体では限界腐食減量 ∆ は 60∼180 mg/cm2の範囲にあり，鉄筋間隔の試験
体では限界腐食減量 ∆ は 40∼120 mg/cm2の範囲にあった．鉄筋間隔の試験体の方が小さな値
となった．
25
④ 鉄筋かぶりの試験体での限界腐食減量の平均は 103.04 mg/cm2で，標準偏差は 27.13mg/cm2
であった．鉄筋間隔の試験体では平均は 71.25mg/cm2で，標準偏差は 22.28mg/cm2であった．
鉄筋間隔の試験体の方がばらつきが小さく，安定した試験結果が得られた．
⑤ 鉄筋かぶりの試験体の場合のひび割れモードの境界のかぶりの無次元量は 2.0∼3.0 で，こ
の値以下であれば，表面はく離ひび割れ，この値以上であれば鉄筋に沿ったひび割れが発生
する．鉄筋間隔の試験体の場合のひび割れモードの境界の鉄筋間隔の無次元量は 5.5∼7.0 で
あり，この値以下であれば，水平はく離ひび割れ，この値以上であれば鉄筋に沿ったひび割
れが発生する．
⑥ ひび割れ発生確率が 15％以下のときを許容した場合の限界腐食減量は鉄筋かぶりの試験
体では 93mg/cm2，鉄筋間隔の試験体では 68mg/cm2であり，鉄筋間隔の試験体の方が小さな
値になっている．
40
5. 数値解析
5.1 概要
これまでに腐食生成物とコンクリート変位の関係から，ひび割れモードと影響因子の理論式を
示した．本章では理論式，乾湿繰返試験の結果を検証するために，数値解析によるひび割れ進展
の検証を行った．その際，ひび割れモードのモデルとして，経験上最も起こりうるモードを選択
した．本研究ではひび割れ進展の数値解析の手法として，有限要素法を用いた．本解析モデルは，
精度がよいとされる六面体要素を主に用い，補助的に四面体要素を用いて試験体を分割した．
5.2 ひずみ軟化則
初期ひび割れの進展に関して腐食鉄筋の膨張圧によりコンクリートが引張りひび割れを起こ
すものとした．コンクリートに引張応力が作用すると，ひずみが局所的に現れ，ひび割れが発生
する．あるひび割れ幅まではひび割れを介してコンクリートのひび割れに直角方向の引張応力が
伝達される．図 5.2.1 に示したように，ひび割れが目視可能なひび割れ幅にまで進行する過程は，
無数の微細ひび割れが発生した状態でひび割れが進行し，次第に一本のひび割れへと成長する．
ひび割れを介してコンクリートに伝達される応力とひび割れ幅の関係を，引張軟化曲線といい，
図 5.2.2 に塑性時の引張軟化曲線の例を示す．これはコンクリートが引張強度に達した後，ひび
割れ幅の増加に伴い，コンクリートに伝達される引張応力が減少する様子を図に示したものであ
る．ただし，破壊エネルギー： G F ，引張力： f t とする．ひび割れ領域の応力ひずみ曲線を求め
るためには，二つのパラメーターが必要となる．破壊エネルギーとはひび割れ開口によって消費
されるエネルギーで，単位面積あたりのエネルギーで定義される．本研究ではコンクリートの
G F = 100 Nm / m 2 を用いて解析を行った．
5.3 材料特性
材料特性の一覧を表 5.3 に示す．表にも見られるように，各部のポアソン比は一般的な値であ
る 0.2 を用いた．弾性係数はクリープ変形を考慮し，式(5.3)を用いて一般的な値 20000N/mm2を低
減した値を採用した．
E CE =
EC
1 + φC
φ C：クリープ係数(= 2.5)
(5.3)
ひび割れのせん断伝達のための係数は，実験値はないが経験的に開口時は 0.2 と小さく，閉口時
は 0.6 と大きく設定した．二軸圧縮強度はコンクリート標準示方書による実験式 f = 1.2f c より求
めた．
40
(kg / cm
) )
2
ft
引張力
GF
0.25f t
微細ひび割れ
εcr 0.75G F / f t
0
ひび割れ
0.75G
5G
/fF / f t
図 5.2.2 引張軟化曲線
図 5.2.1 引張軟化のモデル
表 5.3 各部の材料特性
コンクリート部
弾性係数
6000N/mm2
ポアソン比
0.2
亀裂開口時のせん断伝達係
0.2
数
亀裂閉口時のせん断伝達係
0.6
数
一軸引張強度
3.0N/mm2
一軸圧縮強度
30N/mm2
二軸圧縮強度
36N/mm2
主鉄筋部
弾性係数
200000N/mm2
ポアソン比
0.2
熱膨張係数
1.0×10-5mm/℃
鉄筋径
D16
補強筋部
弾性係数
200000N/mm2
ポアソン比
0.2
鉄筋径
D10
5.4 鉄筋かぶりのモデル
(1) モデル
本項では，かぶりの無次元量 D / φ が限界腐食減量 ∆ に与える影響について考察する．図 5.4.1
は解析モデルの例である．本モデルでは図に見られるように，二次元での計算を試みたが，コン
40
クリートのひび割れ軟化をモデル化するにあたり，三次元ソリッド要素を使わなければならない
という制限があるため，奥行きを単位量とした三次元モデルを採用した．モデル上面を全拘束し，
ひび割れの進展に拘束の影響が出ないよう，モデルの高さをかぶりの 10 倍とし，得た値と鉄筋
の腐食膨張率を加味して計算を実施した．既存の研究よりメッシュの大きさによってひび割れの
入りやすさが変わることが分かっているので，ひび割れが発生する範囲はメッシュの大きさがほ
ぼ同じになるように努めた．他の部分の要素は節点数を節約するため，四面体の遷移要素を介し
て警告限度（短辺と長辺の長さの比が 10 倍）いっぱいまで大きくした．
主鉄筋の腐食による膨張は鉄筋部分に熱膨張する筒状の物体を置き，これに熱荷重を与えるこ
とでシミュレーションした．この熱膨張係数は x，y，z 方向へそれぞれ別の値を設定できる異方
性要素を採用した．この熱膨張係数は x，y，z 方向へそれぞれ別の値を設定できる異方性要素を
採用した．鉄筋部分に熱荷重をステップ荷重として与え，鉄筋部分を熱膨張させ，腐食による鉄
筋の膨張を模した．鉄筋部分の熱膨張率は 1.0 × 10 −5 mm / °C とし，計算はひび割れがかぶり面に
貫通した時点で終了とした．
表 5.4.1 に示すようにかぶりの大きさを変化させたモデルを作り，ひび割れモードと腐食減量
に与える影響を計算により求めた．かぶりが 32.75mm のモデルにおけるひび割れを図 5.5.2（a）
に，かぶりが 64.00mm のモデルにおけるひび割れ図を図 5.5.2（b）に示す．前者では表面はく離
ひび割れ，後者では鉄筋に沿ったひび割れが発生している．全ての解析モデル，ひび割れ図を巻
末資料に示す．各メッシュの角部に現れている赤い線がひび割れを示している．また，各ひび割
れ図から読み取れるひび割れモードを表 5.5.1 に併せて示す．
図 5.4.1 解析モデルの例
40
表 5.4.1 モデルとひび割れモード
かぶりの大きさ(mm)
ひび割れモード
14.00
表面はく離ひび割れ
20.25
表面はく離ひび割れ
26.50
表面はく離ひび割れ
32.75
表面はく離ひび割れ
39.00
鉄筋に沿ったひび割れ
42.25
鉄筋に沿ったひび割れ
51.50
鉄筋に沿ったひび割れ
57.75
鉄筋に沿ったひび割れ
64.00
鉄筋に沿ったひび割れ
(a) かぶり 32.25mm
(b) かぶり 64.00mm
図 5.4.2 ひび割れ図
(2) 限界腐食減量
数値解析より得られたかぶりの無次元量 D / φ と限界腐食減量 ∆ ，ひび割れモードの関係を表
5.4.2，図 5.4.3 に示す．２章で述べた式(2.3.5)を用いて限界腐食減量 ∆ を算出した．かぶりの無次
元量 D / φ が大きくなれば限界腐食減量 ∆ も増加する傾向がある．この傾向に反し，限界腐食減量
∆ が減少する場合もある．これは，モデルの鉄筋周辺などの不規則な形状の要素を分割する際，
全てのモデルにおいて同じ形状にすることは不可能であり，力の伝わり方が若干異なっているた
めであると考えられる．限界腐食減量 ∆ はかぶりの無次元量 D / φ にかかわらず 10∼25mg/cm2の
範囲にある．ひび割れモードの境界のかぶりの無次元量 D / φ は 4.1∼4.9 となった．この値以下の
場合は表面はく離ひび割れが，この値以上のときは鉄筋に沿ったひび割れが発生する．
40
表 5.4.2 かぶりの無次元量と限界腐食減量の関係
D/φ
限界腐食減量
mg/cm2
ひび割れモード
14.60
表面はく離ひび割れ
17.34
表面はく離ひび割れ
17.74
表面はく離ひび割れ
18.65
表面はく離ひび割れ
17.46
鉄筋に沿ったひび割れ
19.85
鉄筋に沿ったひび割れ
21.07
鉄筋に沿ったひび割れ
18.01
鉄筋に沿ったひび割れ
20.52
鉄筋に沿ったひび割れ
1.8
2.5
3.3
4.1
4.9
5.7
6.4
7.2
8.0
限界腐食減量Δ (mg/cm2)
25
20
15
10
表面はく離ひび割れ
鉄筋に沿ったひび割れ
5
0
0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
10.0
Ｄ／φ
図 5.4.3 かぶりの無次元量と限界腐食減量の関係
5.5 鉄筋間隔のモデル
(1) モデル
次に鉄筋間隔の無次元量 A / φ が限界腐食減量 ∆ に与える影響について考察する．図 5.5.1 は解
析モデルの例で，乾湿繰返試験にて作成した試験体をシミュレーションした．図に見られるよう
にサイズは乾湿繰返試験の試験体を踏襲し，高さのみ前節のモデルと同様，かぶりの 10 倍とし
た．また，節点数の節約のため，試験体中央で二つに切ったような二分の一モデルを採用した．
試験体中央の切断面で x 方向を拘束することで反対側にもモデルが存在しているようにシミュレ
ーションした．
前節と同様に，主鉄筋の腐食による膨張は鉄筋部分に熱膨張する筒状の物体を置き，これに熱
荷重を与えることでシミュレーションした．水平はく離ひび割れ，または鉄筋に沿ったひび割れ
が貫通した時点で解析終了とした．
表 5.5.1 に示すような鉄筋間隔 A を変化させたモデルを作り，ひび割れモードと限界腐食減量 ∆
に与える影響を計算により求めた．鉄筋間隔が 104mm のモデルにおけるひび割れを図 5.5.2（a）
に，鉄筋間隔が 144mm のモデルにおけるひび割れ図を図 5.5.2（b）に示す．前者では水平はく離
ひび割れ，後者では鉄筋に沿ったひび割れが発生している．全ての解析モデル，ひび割れ図を巻
末資料に示す．各メッシュの角部に現れている赤い線がひび割れを示している．また，各ひび割
40
れ図から読み取れるひび割れモードを表 5.5.1 に併せて示す．
高さ
400mm
½モデル
( かぶりの10 倍)
かぶり
40mm
図 5.5.1 解析モデル例
表 5.5.1 モデルとひび割れモード
鉄筋間隔(mm)
ひび割れモード
40
水平はく離ひび割れ
64
水平はく離ひび割れ
80
水平はく離ひび割れ
104
水平はく離ひび割れ
120
水平はく離ひび割れ
144
鉄筋に沿ったひび割れ
160
鉄筋に沿ったひび割れ
184
鉄筋に沿ったひび割れ
(b) 鉄筋間隔 144mm
(a) 鉄筋間隔 104mm
図 5.5.2 ひび割れ図
40
(2) 限界腐食減量
数値解析より得られた鉄筋間隔の無次元量 A / φ と限界腐食減量 ∆ ，ひび割れモードの関係を表
5.5.2，図 5.5.3 に示す．ここでも２章で述べた式(2.3.5)を用いて限界腐食減量 ∆ を算出した．鉄筋
間隔の無次元量 A / φ が大きくなれば限界腐食減量 ∆ も増加する傾向があるが，ひび割れモードが
鉄筋に沿ったひび割れとなってからは，限界腐食減量 ∆ は増加せず，ほぼ一定の値となる．限界
腐食減量 ∆ は鉄筋間隔の無次元量 A / φ にかかわらず 15∼25mg/cm2の範囲にある．ひび割れモード
の境界の鉄筋間隔の無次元量は 7.5∼9.0 となった．この値以下の場合は水平はく離ひび割れが，
この値以上のときは鉄筋に沿ったひび割れが発生する．
表 5.5.2 鉄筋間隔の無次元量と限界腐食減量の関係
A/φ
2.5
4.0
5.0
6.5
7.5
9.0
10.0
11.5
限界腐食減量
mg/cm2
ひび割れモード
18.63
水平はく離ひび割れ
20.05
水平はく離ひび割れ
20.85
水平はく離ひび割れ
21.26
水平はく離ひび割れ
21.59
水平はく離ひび割れ
23.90
鉄筋に沿ったひび割れ
23.94
鉄筋に沿ったひび割れ
23.99
鉄筋に沿ったひび割れ
限界腐食減量Δ (mg/cm2)
30
25
20
15
10
水平はく離ひび割れ
鉄筋に沿ったひび割れ
5
0
0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
10.0
12.0
A/φ
図 5.5.3 鉄筋間隔の無次元量と限界腐食減量の関係
40
14.0
5.6 まとめ
鉄筋かぶりのモデルの計算結果と鉄筋間隔のモデルの計算結果を比較する．
① かぶりの無次元量 D / φ ，鉄筋間隔の無次元量 A / φ が増加すれば限界腐食減量 ∆ も増加する．
D / φ と A / φ とでは， D / φ の方が限界腐食減量 ∆ に与える影響は大きい．
② 逐次破壊をしているため，かぶりの無次元量 D / φ に対する感度が理論モデルより低い．
③ かぶりの無次元量 D / φ に対する限界腐食減量 ∆ は 10∼25mg/cm2の範囲であり，鉄筋間隔
の無次元量 A / φ に対する限界腐食減量 ∆ は 15∼25mg/cm2の範囲である．鉄筋かぶりのモデル
の方が，限界腐食減量 ∆ の範囲が広くなっている．
④ 鉄筋かぶりのモデルの場合のひび割れモードの境界となるかぶりの無次元量は 4.1∼4.9 で
あり，この値以下の場合は表面はく離ひび割れが，この値以上のときは鉄筋に沿ったひび割
れが発生する．鉄筋間隔のモデルの場合は 7.5∼9.0 であり，この値以下の場合は水平はく離
ひび割れが，この値以上のときは鉄筋に沿ったひび割れが発生する．
40
6. 理論モデル・乾湿繰返試験・数値解析の比較
6.1 理論モデルと乾湿繰返試験の比較
(1) 鉄筋かぶりのモデル
図 6.1.1 に理論モデルと乾湿繰返試験の結果を併せて示す．理論モデルと乾湿繰返試験の限界
腐食減量に差があるのは，理論モデルでは３次元的な広がりや，腐食生成物の浸み込みや流れ出
しを考慮していないためである．ひび割れモードの境界のかぶりの無次元量は，理論モデルでは
3.6∼3.8，乾湿繰返試験の場合は 2.0∼3.0 であり，理論モデルの方が大きいが乾湿繰返試験のば
らつきを考慮すると，ほぼ同じぐらいであるといえる．
(2) 鉄筋間隔のモデル
図 6.1.2 に理論モデルと乾湿繰返試験の結果を併せて示す．前項と同様に，理論モデルと乾湿
繰返試験の限界腐食減量に差があるのは，理論モデルで３次元的な広がりや，腐食生成物の浸み
込みや流れ出しを考慮していないためである．ひび割れモードの境界の鉄筋間隔の無次元量は，
理論モデルでは 8.25∼8.31，乾湿繰返試験の場合は 5.5∼7.5 であり，理論モデルの方が大きい．
理論モデルの方が大きいが乾湿繰返試験のばらつきを考慮すると，ほぼ同じぐらいであるといえ
る．
限界腐食減量Δ (mg/cm2)
200
乾湿繰返試験 (はく離)
乾湿繰返試験 (不明)
乾湿繰返試験 (鉄筋沿)
理論モデル (はく離)
理論モデル (鉄筋沿)
160
120
80
40
0
0.0
2.0
4.0
Ｄ／φ
6.0
8.0
図 6.1.1 理論モデルと乾湿繰返試験
限界腐食減量Δ (mg/cm2)
200
乾湿繰返試験 (はく離)
乾湿繰返試験 (不明)
乾湿繰返試験 (鉄筋沿)
理論モデル (はく離)
理論モデル (鉄筋沿)
160
120
80
40
0
0.0
2.0
4.0
6.0
A/φ
8.0
10.0
12.0
図 6.1.2 理論モデルと乾湿繰返試験
40
14.0
6.2 理論モデルと数値解析の比較
(1) 鉄筋かぶりのモデル
図 6.2.1 に理論モデルと数値解析の結果を併せて示す．どちらも３次元的な広がりや，腐食生
成物の浸み込みや流れ出しを考慮していないので，前節のような限界腐食減量の大きな違いは見
られない．数値解析では，逐次破壊をしているので，理論モデルよりもかぶりに対する感度が小
さい．ひび割れモードの境界のかぶりの無次元量は，理論モデルでは 3.6∼3.8，数値解析の場合
は 4.1∼4.9 であり，数値解析の方が若干大きいがほぼ同じであるといえる．
(2) 鉄筋間隔のモデル
図 6.2.2 に理論モデルと数値解析の結果を併せて示す．どちらも３次元的な広がりや，腐食生
成物の浸み込みや流れ出しを考慮していないので，前節のような限界腐食減量の大きな違いは見
られない．数値解析では，逐次破壊をしているので，理論モデルよりも鉄筋間隔に対する感度が
小さい．ひび割れモードの境界の鉄筋間隔の無次元量は，理論モデルでは 8.25∼8.31，乾湿繰返
試験の場合は 7.5∼9.0 であり，ほぼ同じ値になっている．
限界腐食減量Δ (mg/cm2)
60
理論モデル (はく離)
理論モデル (鉄筋沿)
数値解析 (はく離)
数値解析 (鉄筋沿)
50
40
30
20
10
0
0.0
2.0
4.0
Ｄ／φ
6.0
8.0
図 6.2.1 理論モデルと数値解析
限界腐食減量Δ (mg/cm2)
40
30
20
理論モデル (はく離)
理論モデル (鉄筋沿)
数値解析 (はく離)
数値解析 (鉄筋沿)
10
0
0.0
2.0
4.0
6.0
A/φ
8.0
10.0
図 6.2.2 理論モデルと数値解析
40
12.0
14.0
6.3 乾湿繰返し試験と数値解析の比較
(1) 鉄筋かぶりのモデル
図 6.3.1 に乾湿繰返試験と数値解析の結果を併せて示す．乾湿繰返試験と数値解析の限界腐食
減量に差があるのは，数値解析で３次元的な広がりや，腐食生成物の浸み込みや流れ出しを考慮
していないためである．ひび割れモードの境界のかぶりの無次元量は，乾湿繰返試験の場合は 2.0
∼3.0，数値解析では 4.1∼4.9 であり，数値解析の値の方が大きいが，乾湿繰返試験のばらつきを
考慮すると，ほぼ同じであるといえる．
(2) 鉄筋間隔のモデル
図 6.3.2 に乾湿繰返試験と数値解析の結果を併せて示す．乾湿繰返試験と数値解析の限界腐食
減量に差があるのは，数値解析で３次元的な広がりや，腐食生成物の浸み込みや流れ出しを考慮
していないためである．ひび割れモードの境界の鉄筋間隔の無次元量は，乾湿繰返試験の場合は
5.5∼7.5，数値解析では 7.5∼9.0 であり，数値解析の値の方が大きいが，乾湿繰返試験のばらつ
きを考慮すると，ほぼ同じであるといえる．
限界腐食減量Δ (mg/cm2)
200
乾湿繰返試験 (はく離)
乾湿繰返試験 (不明)
乾湿繰返試験 (鉄筋沿)
数値解析 (はく離)
数値解析 (鉄筋沿)
160
120
80
40
0
0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
10.0
Ｄ／φ
図 6.3.1 乾湿繰返試験と数値解析
限界腐食減量Δ (mg/cm2)
200
乾湿繰返試験 (はく離)
乾湿繰返試験 (不明)
乾湿繰返試験 (鉄筋沿)
数値解析 (はく離)
数値解析 (鉄筋沿)
160
120
80
40
0
0.0
2.0
4.0
6.0
A/φ
8.0
10.0
12.0
図 6.3.2 乾湿繰返試験と数値解析
40
14.0
6.4 理論モデルと乾湿繰返試験と数値解析の比較
(1) 鉄筋かぶりのモデル
図 6.4.1 に理論モデルと乾湿繰返試験と数値解析の結果を併せて示す．理論モデル，数値解析
は３次元的な広がりや，腐食生成物の浸み込みや流れ出しを考慮していないため，限界腐食減量
が乾湿繰返試験に比べて小さくなっている．乾湿繰返試験は実現象に近いので限界腐食減量のば
らつきが大きくなっている．ひび割れモードの境界のかぶりの無次元量は，理論モデルでは 3.6
∼3.8，乾湿繰返試験の場合は 2.0∼3.0，数値解析では 4.1∼4.9 であり，数値解析の値が最も大き
いが乾湿繰返試験のばらつき等を考慮するとほぼ同じであるといえる．これらの結果と考察を表
6.4.1 にまとめる．
(2) 鉄筋間隔のモデル
図 6.4.2 に理論モデルと乾湿繰返試験と数値解析の結果を併せて示す．理論モデル，数値解析
は３次元的な広がりや，腐食生成物の浸み込みや流れ出しを考慮していないため，限界腐食減量
が乾湿繰返試験に比べて小さくなっている．乾湿繰返試験は実現象に近いので限界腐食減量のば
らつきが大きくなっている．
ひび割れモードの境界の鉄筋間隔の無次元量は，
理論モデルでは 8.25
∼8.31，乾湿繰返試験の場合は 5.5∼7.5，数値解析では 7.5∼9.0 であり，数値解析の値が最も大
きいが乾湿繰返試験のばらつき等を考慮するとほぼ同じであるといえる．これらの結果と考察を
表 6.4.2 にまとめる．
限界腐食減量Δ (mg/cm2)
200
乾湿繰返試験 (はく離)
乾湿繰返試験 (不明)
乾湿繰返試験 (鉄筋沿)
理論モデル (はく離)
理論モデル (鉄筋沿)
数値解析 (はく離)
数値解析 (鉄筋沿)
160
120
80
40
0
0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
10.0
Ｄ／φ
図 6.4.1 乾湿繰返試験と理論モデルと数値解析
40
表 6.4.1 結果と考察
手法
限界腐食減量Δ
mg/cm2
ひび割れモードの
境界のかぶりの
無次元量 D / φ
理論モデル
10~50
3.6∼3.8
数値解析
10~25
4.1∼4.9
乾湿繰返試験
60~180
2.0∼3.0
考察
３次元的な広がりや、腐食生成物の浸
み込みや流れ出しを考慮していない。
３次元的な広がりや、腐食生成物の浸
み込みや流れ出しを考慮していない。
逐次破壊をしているために、かぶりに
対する感度が理論モデルより小さい。
限界腐食減量の平均：103.04mg/cm2
実現象に近いのでばらつきが大きい。
乾湿繰返試験 (はく離)
乾湿繰返試験 (不明)
乾湿繰返試験 (鉄筋沿)
理論モデル (はく離)
理論モデル (鉄筋沿)
数値解析 (はく離)
数値解析 (鉄筋沿)
限界腐食減量Δ (mg/cm2)
200
160
120
80
40
0
0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
10.0
12.0
14.0
A/φ
図 6.4.2 乾湿繰返試験と理論モデルと数値解析
表 6.4.1 結果と考察
手法
理論モデル
ひび割れモードの
限界腐食減量Δ
境界の鉄筋間隔の
mg/cm2
無次元量 A / φ
15~35
8.25∼8.31
数値解析
15~25
7.5∼9.0
乾湿繰返試験
40~120
5.5∼7.5
考察
３次元的な広がりや、腐食生成物の
浸み込みや流れ出しを考慮していな
い。
３次元的な広がりや、腐食生成物の
浸み込みや流れ出しを考慮していな
い。逐次破壊をしているために、か
ぶりに対する感度が理論モデルより
小さい。
限界腐食減量の平均：71.25mg/cm2
実現象に近いのでばらつきが大きい。
7. まとめ
本研究では，鉄筋の腐食膨張率，コンクリート変位から求めたひび割れモードと影響因子の理
論モデルによる計算，乾湿繰返試験，破壊力学に基づいた数値解析の結果から限界腐食減量を推
定してきた．
理論モデルにより，かぶりの無次元量及び鉄筋間隔の無次元量と限界腐食減量，ひび割れモー
ドの関係を計算した．さらに，鉄筋の腐食膨張率，コンクリートの引張強度を変化させ，限界腐
食減量及びひび割れモードに与える影響を検討した．
乾湿繰返試験では，試験体を 70℃の熱海水に３日半浸し，温度 15℃で３日半乾燥させる促進
試験を行った．コンクリート標準示方書に示された限界腐食減量は，電食実験により算出された
結果であり，電食実験の問題点を改善するために，実際の鉄筋コンクリート構造物におけるひび
割れと照合した．この試験により，表面はく離ひび割れを発生する鉄筋かぶりの試験体と水平は
く離ひび割れを発生する鉄筋間隔の試験体におけるひび割れモード，鉄筋の腐食分布，限界腐食
減量についての検討を行った．また，試験により得られた結果からひび割れ発生確率ごとの限界
腐食減量を求めた．
理論モデルによる計算，乾湿繰返試験の結果を検証するために，数値解析によるひび割れ進展
の検証を行った．乾湿繰返試験の試験体をシミュレーションしたモデルを作製し，乾湿繰返試験
の結果と比較した．
理論モデルによる計算，乾湿繰返試験，数値解析の結果をそれぞれの特徴を考慮して比較，検
討し，ひび割れモードの境界のかぶりの無次元量及び鉄筋間隔の無次元量を求め，限界腐食減量
を推定した．
（１）理論モデル
① かぶりの無次元量，鉄筋間隔の無次元量が増加すれば限界腐食減量も増加する．かぶりの
無次元量と鉄筋間隔の無次元量とでは，かぶりの無次元量の方が限界腐食減量に与える影響
は大きい．
② 鉄筋かぶりの理論モデル及び鉄筋間隔の無次元量の理論モデルのどちらも，限界腐食減量
は鉄筋の腐食膨張率が変化すれば指数的に変化し，コンクリートの引張強度が変化すれば線
形的に変化する．
③ かぶりの無次元量に対する限界腐食減量は 10∼50mg/cm2の範囲であり，鉄筋間隔の無次元
量に対する限界腐食減量は 15∼35mg/cm2の範囲である．鉄筋かぶりの理論モデルの方が，限
界腐食減量の範囲が広くなっている．
④ 鉄筋かぶりの理論モデルの計算結果の場合，かぶりが 3.6 以下の場合は表面はく離ひび割
れ，3.8 以上の場合は鉄筋に沿ったひび割れとなった．鉄筋間隔の理論モデルの計算結果の
場合は鉄筋間隔が 8.25 以下の場合は水平はく離ひび割れ，8.31 以上の場合は鉄筋に沿ったひ
び割れとなった．
（２）乾湿繰返試験
① かぶりの無次元量，鉄筋間隔の無次元量による限界腐食減量の違いは見られない．
② 鉄筋かぶりの試験体の下面の鉄筋と鉄筋間隔の試験体の鉄筋は，ブリージングによる弱点
とかぶり側が一致するため，限界腐食減量が小さくなっている．
③ 鉄筋かぶりの試験体では限界腐食減量は 60∼180 mg/cm2の範囲にあり，鉄筋間隔の試験体
では限界腐食減量は 40∼120 mg/cm2の範囲にあった．鉄筋間隔の試験体の方が小さな値とな
った．
④ 鉄筋かぶりの試験体での限界腐食減量の平均は 103 mg/cm2で，標準偏差は 27mg/cm2であ
った．鉄筋間隔の試験体では平均は 71mg/cm2で，標準偏差は 22mg/cm2であった．鉄筋間隔
の試験体の方がばらつきが小さく，安定した試験結果が得られた．
⑤ 鉄筋かぶりの試験体の場合のひび割れモードの境界のかぶりの無次元量は 2.0∼3.0 で，鉄
筋間隔の試験体の場合のひび割れモードの境界の鉄筋間隔の無次元量は 5.5∼7.0 であった．
⑥ ひび割れ発生確率が 15％以下のときを許容した場合の限界腐食減量は鉄筋かぶりの試験
体では 93mg/cm2，鉄筋間隔の試験体では 47mg/cm2であり，鉄筋間隔の試験体の方が小さな
値になっている．
（３）数値解析
① かぶりの無次元量，鉄筋間隔の無次元量が増加すれば限界腐食減量も増加する．かぶりの
無次元量と鉄筋間隔の無次元量とでは，かぶりの無次元量の方が限界腐食減量に与える影響
は大きい．
② 逐次破壊をしているため，かぶりの無次元量に対する感度が理論モデルより低い．
③ かぶりの無次元量に対する限界腐食減量は 10∼25mg/cm2の範囲であり，鉄筋間隔の無次元
量に対する限界腐食減量は 15∼25mg/cm2の範囲である．鉄筋かぶりのモデルの方が，限界腐
食減量の範囲が広くなっている．
④ 鉄筋かぶりのモデルの場合のひび割れモードの境界となるかぶりの無次元量は 4.1∼4.9 で
あり，鉄筋間隔のモデルの場合は 7.5∼9.0 であった．
（４）限界腐食減量の推定とひび割れモードの境界
本研究で行った理論モデルによる計算，乾湿繰返試験，数値解析を用いた計算の結果より限界
腐食減量を推定した．理論モデル，数値解析は３次元的な広がりや，腐食生成物の浸み込み，流
れ出しを考慮していない．対して，乾湿繰返試験では，腐食が広がって発生しており，実現象に
近い現象であるといえる．理論モデル，乾湿繰返試験，数値解析の結果より，塩害劣化を受ける
コンクリート構造物の腐食ひび割れが発生する限界腐食減量は 40∼130mg/cm2であるといえる．
この値はコンクリート標準示方書に示されている 10mg/cm2よりも大きくなっている．
本研究で行った理論モデルによる計算，乾湿繰返試験，数値解析それぞれから得られたひび割
れモードの境界のかぶり及び鉄筋間隔の無次元量より，ひび割れモードの境界を推定した．鉄筋
かぶりのモデルのひび割れモードの境界となるかぶりの無次元量を 3.5，鉄筋間隔のモデルのひ
び割れモードの境界となる鉄筋間隔の無次元量は 7.5 と推定した．
40
謝辞
本研究の遂行，取りまとめに際しまして，終始丁寧なご指導，ご鞭撻をいただきました指導教
官の松島学教官に心より感謝いたします．また，本研究の中の実験で数多くの助言，サポートを
いただきました，四国総合研究所，土木技術部横田優主席研究員をはじめ，土木技術部の皆様に
深く感謝いたします．同時に，同研究室の大学院生，伊澤純平先輩，黒田裕伸先輩には，私のふ
がいなさから多大なるご迷惑をおかけしましたにもかかわらず，温かな助言，心からの叱咤激励
いただきました．そして，岡孝二君，熊谷公輔君，西岡裕紀君は協力して研究，実験を実施し，
仲間の大切さを学ぶことができました．ここに感謝の意を表します．
最後となりましたが，学校生活において惜しまぬご助力をいただきました安全システム建設工
学科の教官各位に，厚く感謝いたします．
参考文献
1) 小林豊治・米澤敏男・出頭圭三：コンクリート構造物の耐久性診断シリーズ 3，鉄筋腐食の
診断，森北出版，1993
2) 片脇清士：最新コンクリート防食と補修技術，山海堂 pp．62∼66，1999
3) 松島学，堤知明，関博，松井邦人：塩害劣化における RC 構造物の設計かぶり，土木学会論
文集，No.490/V-23，pp．41∼49，1994.5
4) 三好俊郎：有限要素法入門改訂版，培風館
5) 松尾真紀：局所挙動を表現する有限要素モデルを用いた RC 構造物のひび割れ進展と付着性
状評価，p.11，2002.11
参考資料
参考資料１ 表面はく離ひび割れと鉄筋に沿ったひび割れの試験体図
試験体名 補強筋
CS15
CS20
CS25
CS30
CS40
無
かぶり 無次元量
備考
(mm)
C/φ
15
0.94
20
1.25
鉄筋径はD16を採用
25
1.56
する。
30
1.88
40
2.50
ただし，ここで言うかぶりとは鉄筋中心からコンクリート表面までの距離を指す．
参考資料２ 水平はく離ひび割れと鉄筋に沿ったひび割れの試験体図
試験体名
HC80
HC100
HC120
HC140
HC160
HC180
HC200
かぶり 鉄筋間隔 試験体長 無次元量
備考
(mm)
(mm)
(mm)
80
320
5.00
6.25
100
380
主鉄筋はD16、
120
440
7.50
せん断補強筋は
40
140
500
8.75
D10とする。
160
560
10.00
180
620
11.25
12.50
200
680
ただし，ここで言うかぶりとは鉄筋中心からコンクリート表面までの距離を指す．
HC80
D16
（両端をエポキシ樹脂で被膜）
D10
40
100
D10
40
（エポキシ樹脂で被膜）
40
80
80
80
40
20
20
D16
(エポキシ樹脂で被膜)
140
100
(腐食部分)
D10
(エポキシ樹脂で被膜)
20
20
40
80
80
80
40
HC100
D16
(両端をエポキシ樹脂で被膜)
D10
40
100
D10
40
(エポキシ樹脂で被膜)
40
100
100
100
40
D16
20
20
(エポキシ樹脂で被膜)
140
100
(腐食部分)
D10
(エポキシ樹脂で被膜)
20
20
40
100
100
100
40
HC120
D16
(両端をエポキシ樹脂で被膜)
D10
40
100
D10
40
(エポキシ樹脂で被膜)
40
120
120
120
40
20
20
D16
(エポキシ樹脂で被膜)
140
100
(腐食部分)
D10
(エポキシ樹脂で被膜)
20
20
40
120
120
120
40
HC140
D16
(両端をエポキシ樹脂で被膜)
D10
40
100
D10
40
(エポキシ樹脂で被膜)
40
140
140
140
40
20
20
D16
(エポキシ樹脂で被膜)
100
140
(腐食部分)
D10
(エポキシ樹脂で被膜)
20
20
40
140
140
140
40
HC160
D16
(両端をエポキシ樹脂で被膜)
40
D10
100
D10
40
(エポキシ樹脂で被膜)
40
160
160
160
40
D16
20
20
(エポキシ樹脂で被膜)
140
100
(腐食部分)
D10
(エポキシ樹脂で被膜)
20
20
40
160
160
160
40
HC180
D16
(両端をエポキシ樹脂で被膜)
D10
40
100
D10
40
(エポキシ樹脂で被膜)
40
180
180
180
40
D16
20
20
(エポキシ樹脂で被膜)
140
100
(腐食部分)
D10
(エポキシ樹脂で被膜)
20
20
40
180
180
180
40
HC200
D16
(両端をエポキシ樹脂で被膜)
40
D10
100
D10
40
(エポキシ樹脂で被膜)
40
200
200
200
40
D16
20
20
(エポキシ樹脂で被膜)
140
100
(腐食部分)
D10
(エポキシ樹脂で被膜)
20
20
40
200
200
200
40
参考資料３ かぶり面のひび割れスケッチ
CS15左
CS15右
上
下
上
下
CS15上
左
CS15下
右
右
左
CS20左
CS20右
上
下
上
下
CS20上
右
CS20下
左
右
左
CS25左
CS25右
上
下
上
下
CS25上
右
CS25下
左
左
右
CS30右
CS30左
上
下
上
CS30下
CS30上
右
下
左
右
左
CS40上
右
CS40下
左
右
左
HC80-1
HC80-2
左
右
HC80-3
HC80-4
右
左
ひび割れなし
左
右
左
右
HC100-1
右
HC100-2
左
右
左
HC100-3
右
HC100-4
左
右
左
HC120-1
右
HC120-2
左
HC120-3
HC120-4
左
右
ひび割れなし
右
左
右
左
HC140-1
左
HC140-2
左
右
右
HC140-4
HC140-3
左
右
左
右
HC160-2
HC160-1
左
右
右
HC160-3
右
左
HC160-4
左
右
左
HC180-1
左
HC180-2
右
HC180-3
左
右
左
HC180-4
右
左
右
HC200-1
右
HC200-2
左
右
左
HC200-4
HC200-3
右
左
右
左
参考資料４ 鉄筋断面方向のひび割れスケッチ
CS15左
CS15右
上
上
上
上
CS15下
CS15上
左
右
右
左
右
右
左
左
CS20左
CS20右
上
上
上
上
CS20上
左
右
右
左
CS20下
左
右
右
左
CS25左
CS25右
上
上
上
上
CS25上
左
右
CS25下
右
左
右
左
左
右
CS30左
CS30右
上
上
上
上
CS30上
左
CS30下
右
右
左
右
左
左
右
CS40上
左
CS40下
左
右
右
右
右
左
左
HC80
左
右
4
3
左
1
2
右
HC100
4
3
2
1
HC120
右
左
3
4
↑
2
↑
1
↑
↑
HC140
右
左
1
2
3
4
HC160
2
1
右
右
左
左
4
3
右
左
右
左
HC180
2
1
右
左
右
4
3
右
左
左
右
左
HC200
2
1
左
右
右
4
3
右
左
左
右
左
参考資料５ 鉄筋の腐食のスケッチ
CS15
CS20
CS25
CS30
CS40
HC80
HC100
HC120
HC140
HC160
HC180
HC200
参考資料６ 有限要素法
1.有限要素法とは
有限要素法は，微小要素の集合を用いて連続体力学における問題を，数
値的に解析するために用いられる近似法である．また，他の近似法として
代表的なものには差分法がある．
差分法では，図 1.1 に示すように各要素を格子状に区切ることにより，
差分近似していく．差分法では得られる差分式は簡単であるが，複雑な形
図 1.1
状の境界処理の場合，格子点が境界上にないため困難である．そこで図 1.1
の場合に，空間分割を四角形だけでなく三角形も許すと，図 1.2 のように
境界の形状を容易に近似できる．
有限要素法ではこのように，２次元ならば三角形または四角形，３次元
の場合には四面体，五面体，六面体の各要素を用いて対象領域を埋め尽く
す．そしてこの各要素を小さくすれば近似値を真値に近づけることができ
図 1.2
る．
2.マトリックス法
有限要素法はマトリックス法とも呼ばれるが，厳密にはマトリックス法の中で連続体力学の分野を
取り扱うのが有限要素法であり，マトリックス法は構造力学等の分野も含めた総称である．
棒材（軸力のみが働く）を例にとって，マトリックス法で解析する手順を説明する．
棒材の剛性マトリックスを考える．
ε=
d
A
σ = Eε =
⎧fi⎫ ⎡ k − k ⎤ ⎧ui ⎫
⎨ ⎬=⎢
⎥⎨ ⎬
⎩fj⎭ ⎣− k k ⎦ ⎩ uj⎭
f
A
棒材の
f=
EA
u
A
剛性マトリックスは
k=
EA
A
y
図 2.1 のような棒材がｘ軸からθだけ傾いている
場合の剛性マトリックスを考える．
局所座標系での力の関係は，
⎧f x′i ⎫ ⎡ k − k ⎤ ⎧δ x′i ⎫
⎨ ⎬=⎢
⎥⎨ ⎬
⎩f x′j ⎭ ⎣− k k ⎦ ⎩δ x′j ⎭
j
y′
材軸方向では，
x′
(2.1)
(2.2)
となる．式(2.1)，(2.2)をまとめると，次式が得ら
れる．
δ x′j
E
垂直方向では，
⎧f y′i ⎫ ⎡0 0⎤ ⎧δ y′i ⎫
⎨ ⎬=⎢
⎥⎨ ⎬
⎩f y′j ⎭ ⎣0 0⎦ ⎩δ y′j ⎭
f x′j
i
f x′i
θ
x
δ x′i
図 2.1
⎧f x ′i ⎫ ⎡ k
⎪f ⎪ ⎢
⎪ y ′i ⎪ ⎢ 0
⎨f ⎬ =
⎪ x ′j ⎪ ⎢− k
⎪f ⎪ ⎢⎣ 0
⎩ y ′j ⎭
0 − k 0⎤ ⎧δ x ′i ⎫
⎪
⎪
0 0 0⎥⎥ ⎪δ y ′i ⎪
⎨
⎬
0 k 0⎥ ⎪δ x ′j ⎪
⎥
0 0 0⎦ ⎪ δ y ′j ⎪
⎩
⎭
(2.3)
節点 i での x ′、y′ と x，y の関係，節点ｊでの x ′、y′ と x、y の関係はそれぞれ次式のようになる．
f x′i = f xi cos θ + f yi sin θ
(2.4)
f y′i = −f xi sin θ + f yi cos θ
f x′j = f xj cos θ + f yj sin θ
(2.5)
f y′j = −f xj sin θ + f yj cos θ
同様に変位についても次式のような関係が得られる．
δ x′i = u i cos θ + v i sin θ
(2.6)
δ y′i = −u i sin θ + v i cos θ
δ x′j = u j cos θ + v j sin θ
(2.7)
δ y′j = − u j sin θ + v j cos θ
式(2.4)，(2.5)，(2.6)，(2.7)をマトリックス表示すると，式(2.8)，(2.9)となる．
⎧f x′i ⎫ ⎡ cos θ sin θ
0
0 ⎤ ⎧f xi ⎫
⎪ ⎪
⎪f ⎪ ⎢
0
0 ⎥⎥ ⎪f yi ⎪
⎪ y′i ⎪ ⎢− sin θ cos θ
⎨ ⎬
⎨ ⎬=
0
cos θ sin θ ⎥ ⎪f xj ⎪
⎪f x′j ⎪ ⎢ 0
⎥
⎪f y′j ⎪ ⎢⎣ 0
0
− sin θ cos θ⎦ ⎪⎩f yj ⎪⎭
⎩ ⎭
(2.8)
⎧δ x′i ⎫ ⎡ cos θ sin θ
0
0 ⎤ ⎧u i ⎫
⎪ ⎪
⎪δ ⎪ ⎢
0
0 ⎥⎥ ⎪ v i ⎪
⎪ y′i ⎪ ⎢− sin θ cos θ
=
⎨ ⎬
⎨ ⎬
0
cos θ sin θ ⎥ ⎪u j ⎪
⎪δ x′i ⎪ ⎢ 0
⎢
⎥
⎪δ y′i ⎪ ⎣ 0
0
− sin θ cos θ⎦ ⎪⎩ v j ⎪⎭
⎩ ⎭
(2.9)
ここで，
⎧f x′i ⎫
⎧f xi ⎫
⎧δ x′i ⎫
⎧δ xi ⎫
⎪f ⎪
⎪f ⎪
⎪δ ⎪
⎪δ ⎪
⎪ y′i ⎪
⎪ yi ⎪
⎪ y′i ⎪
⎪ yi ⎪
{
}
=
f
，
=
f
，
=
δ
，
⎨ ⎬
⎨ ⎬
⎨ ⎬
⎨ ⎬ = {δ}
f
δ
f
⎪ x′j ⎪
⎪ xj ⎪
⎪ x′j ⎪
⎪δ xj ⎪
⎪f y′j ⎪
⎪f yj ⎪
⎪δ y′j ⎪
⎪δ yj ⎪
⎩ ⎭
⎩ ⎭
⎩ ⎭
⎩ ⎭
{}
⎡k
⎢ 0
⎢
⎢− k
⎢
⎣ 0
0 −k
0 0
0 k
0 0
{}
0⎤
0
0 ⎤
⎡ cos θ sin θ
⎢
⎥
− sin θ cos θ
0⎥
0
0 ⎥⎥
= k ，⎢
= [T ]
⎢ 0
0⎥
0
cos θ sin θ ⎥
⎢
⎥
⎥
− sin θ cos θ⎦
0⎦
0
⎣ 0
[]
(2.10)
とおくと，式(2.3)及び式(2.8)，(2.9)はそれぞれ式(2.11)，(2.12)で表される．
{f }= [k ]{δ}
{f }= [T]{f }
{δ}= [T]{δ}
式(2.11)に式(2.12)を代入すると次式になる．
(2.11)
(2.12)
{f } = [T]−1 [k ][T]{δ}
[]
ここで [k ] = [T ] k [T ] とおくと次式で表される．
−1
{f } = [k ]{δ}
(2.13)
座標変換マトリックス [T ] の転置マトリックス [T ] は式(2.14)になる．
−1
[T]−1
0
0 ⎤
⎡cos θ − sin θ
⎢ sin θ cos θ
0
0 ⎥⎥
=⎢
⎢ 0
0
cos θ − sin θ⎥
⎢
⎥
0
sin θ cos θ ⎦
⎣ 0
(2.14)
となる．
[k ] = [T]−1 [k ][T] に式(2.10)，(2.14)を代入すると，全体座標系ｘ∼ｙにおける剛性マトリックスを求
めることができる．
⎡ cos 2 θ
− cos 2 θ
− cos θ sin θ⎤
cos θ sin θ
⎢
⎥
2
θ
− cos θ sin θ
− sin 2 θ ⎥
sin θ
[k ] = k ⎢⎢ cos θ sin
− cos 2 θ
− cos θ sin θ
cos 2 θ
cos θ sin θ ⎥
⎢
⎥
2
− sin θ
cos θ sin θ
sin 2 θ ⎦⎥
⎣⎢− cos θ sin θ
(2.15)
3.全体剛性マトリックス
前章で求めた剛性マトリックスを用い，構造全体の剛性マトリックスを考える．ここでは図 3.1 の
ようなバネの組み合わせを例にする．
図 3.1 において，部材 a は接点 1，2 を持ち，ｘ軸とのなす角は 90°である．cos 90° = 0 ，sin 90° = 1
より剛性方程式は式(3.1)になる．
⎧ f x1 ⎫
⎡0 0
⎪f ⎪
⎢0 1
⎪ y1 ⎪
⎨ ⎬ = k⎢
⎢0 0
⎪f x 2 ⎪
⎢
⎪f y 2 ⎪
⎣0 − 1
⎩ ⎭
0 ⎤ ⎧ u x1 ⎫
⎪
⎪
0 − 1⎥⎥ ⎪ u y1 ⎪
⎨
⎬
0 0 ⎥ ⎪u x 2 ⎪
⎥
0 1 ⎦ ⎪⎩u y 2 ⎪⎭
0
ｙ
(3.1)
⎡ 1
⎢ 2
⎧f x 2 ⎫
⎢ 1
⎪f ⎪
⎢
⎪ y2 ⎪
⎢ 2
k
=
⎨ ⎬
f
⎢− 1
⎪ x3 ⎪
⎢ 2
⎪f y 3 ⎪
⎩ ⎭
⎢ 1
⎢−
⎣ 2
1
2
1
2
1
−
2
1
−
2
1
2
1
−
2
1
2
1
2
−
1⎤
− ⎥
2 ⎧u ⎫
1 ⎥⎪ x 2 ⎪
− ⎥ u
2 ⎥⎪ y2 ⎪
1 ⎥ ⎨u x 3 ⎬
⎪
⎪
2 ⎥ ⎪u y3 ⎪
⎭
1 ⎥⎩
⎥
2 ⎦
ｋ
45°
2
F
同様にして，部材 b についても式(3.2)が成り立つ．
3
b
a
ｋ
1
90°
ｘ
(3.2)
式(3.1)，(3.2)を重ね合わせて全体剛性方程式(3.3)を作る．
図 3.1
0
⎡0 0
⎢0 1
0
⎧ f x1 ⎫
⎢
1
⎪f ⎪
⎢0 0
⎪ y1 ⎪
2
⎢
⎪⎪f x 2 ⎪⎪
1
⎢
k
=
⎨ ⎬
⎢0 − 1 2
⎪f y 2 ⎪
⎢
1
⎪f x 3 ⎪
⎢0 0 −
⎪ ⎪
2
⎢
⎪⎩f y3 ⎪⎭
⎢0 0 − 1
⎢⎣
2
0
−1
1
2
3
2
1
−
2
1
−
2
0
0
1
−
2
1
−
2
1
2
1
2
0 ⎤
0 ⎥⎥ ⎧ u x1 ⎫
1 ⎪
⎪
− ⎥ ⎪ u y1 ⎪
2⎥
1 ⎥ ⎪⎪u x 2 ⎪⎪
− ⎥⎨
⎬
2 ⎪u y 2 ⎪
⎥
1 ⎪u ⎪
⎥ x3
2 ⎥ ⎪u ⎪
1 ⎥ ⎪⎩ y3 ⎪⎭
2 ⎥⎦
(3.3)
また，荷重条件と拘束条件は図 3.1 より
f x2 = F
u x1 = u y1 = u x 3 = u y3 = 0
となる．また，拘束されていない節点では反力が生じないので，
f y2 = 0
これらの条件を考慮すると，全体の剛性方程式は次のようになる．
0
⎡0 0
⎢
0
⎧f x1 ⎫
⎢0 1
1
⎪f ⎪
⎢
0 0
⎪ y1 ⎪
2
⎢
⎪⎪ F ⎪⎪
1
⎢
⎨ ⎬ = k ⎢0 − 1
2
⎪0 ⎪
⎢
1
⎪f x 3 ⎪
⎢0 0 −
⎪ ⎪
2
⎢
⎩⎪f y3 ⎭⎪
1
⎢
⎢⎣0 0 − 2
0
−1
1
2
3
2
1
−
2
1
−
2
0
0
1
−
2
1
−
2
1
2
1
2
0 ⎤
0 ⎥⎥ ⎧ 0 ⎫
1
− ⎥ ⎪⎪ 0 ⎪⎪
2⎥
1 ⎥ ⎪⎪u x 2 ⎪⎪
− ⎥⎨
⎬
2 ⎪u y 2 ⎪
⎥
1 ⎪ 0 ⎪
⎥
⎪
2 ⎥⎪
1 ⎥ ⎩⎪ 0 ⎭⎪
2 ⎥⎦
(3.4)
式(3.4)は未知数と既知数が混在しておりわかりにくいので，並べ替えを行うと式(3.5)になる．
⎡ 1
⎢ 2
⎧F⎫
⎢ 1
⎪0⎪
⎢
⎪ ⎪
⎢ 2
⎪⎪ f x1 ⎪⎪
⎢ 0
⎨ ⎬ = k⎢
0
⎪ f y1 ⎪
⎢ 1
⎪f x 3 ⎪
⎢−
⎪ ⎪
⎢ 2
⎪⎩f y3 ⎪⎭
⎢− 1
⎢⎣ 2
1
2
3
2
0
−1
1
−
2
1
−
2
1
2
1
0 −1 −
2
0 0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
−
0
1
2
1
2
1⎤
− ⎥
2 ⎧u x 2 ⎫
1 ⎥⎪
− ⎥ u y2 ⎪
⎪
2 ⎥⎪
0 ⎥ ⎪⎪ 0 ⎪⎪
⎬
⎨
0 ⎥⎪ 0 ⎪
⎥
1 ⎪ 0 ⎪
⎥
⎪
2 ⎥⎪
1 ⎥ ⎪⎩ 0 ⎪⎭
2 ⎥⎦
(3.5)
荷重ベクトル，変位ベクトルをともに２つに分けることができた．既知部分の荷重ベクトルを {f1 } ，
未知部分の荷重ベクトルを {f 2 } で表す．既知部分の変位ベクトルを {u 1 } ，未知部分の変位ベクトルを
{u 2 } で表す．一方，剛性マトリックスは４つの部分マトリックスに分けることができた．これらより，
式(3.5)は，式(3.6)のように書くことができる．
⎧ f1 ⎫ ⎡ k 11
⎨ ⎬=⎢
⎩f 2 ⎭ ⎣k 21
k 12 ⎤ ⎧ u 1 ⎫
⎨ ⎬
k 22 ⎥⎦ ⎩u 2 ⎭
(3.6)
式(3.6)を分解すると式(3.7)，(3.8)が得られる．
{f1} = [k11 ]{u1}+ [k12 ]{u 2 }
(3.7)
{f 2 } = [k 21 ]{u1} + [k 22 ]{u 2 }
(3.8)
変位ベクトル {u 2 } は零ベクトルであるから，式(3.7)，(3.8)は式(3.9)，(3.10)となる．
{f1} = [k11 ]{u1}
(3.9)
{f 2 } = [k 21 ]{u1}
(3.10)
ここで，荷重ベクトル {f1 } は既知であり，変位ベクトル {u 1 } は未知であるから，式(3.9)は変位ベク
トル {u 1 } に関する式(3.11)となる．
{u1} = [k11 ]−1 {f1}
(3.11)
さらに，式(3.11)を書き下すと式(3.12)を得る．
⎡1
⎧u x 2 ⎫
⎢
⎨
⎬ = k ⎢ 12
⎩u y 2 ⎭
⎢
⎣2
1⎤
2 ⎥ ⎧⎨F⎫⎬
3 ⎥ ⎩0 ⎭
⎥
2⎦
(3.12)
式(3.12)を解くことで，未知の変位が求められる．未知の変位が求められれば，式(3.10)に代入して
未知反力を得ることができる．
4.弾性体の支配方程式
弾性体に外力が作用する場合の応力成分，ひずみ成分，変位成分などの間の関係を示す式は，弾性
論の基礎となる式で，以下の３つに分けられる．
つり合い方程式
ひずみ−変位関係式
応力−ひずみ関係式
4.1.つり合い方程式
外力を受ける物体内部の応力状態は，空間に固定した直交座標系ｘ-ｙ-ｚに関して定義された９個
の応力成分
σ x 、σ y、σ z、τ xy、τ yx、τ yz、τ zy、τ zx 、τ xz
によって表される．物体内の１点におけるこれらの応力成分相互間の関係は，互いに無関係ではあり
えない．これらの応力成分の間の関係は，物体内部の１点のまわりに微小直方体を考え，この微小直
方体に作用する力とモーメントのつり合いを考えることによって求められる．
図 4.1.1 に示すように，点 P のまわりに微小直方体を考える．点 P の座標を(x,y,z)とする．微小直方
体は点 P を１頂点とし，各辺は x，y，z 軸に平行で長さはそれぞれ dx，dy，dz である．
面X
面 Z’
面Y
面 X’
σy
dz
τ yz
z
∂σ z
dz
∂z
∂τ zy
τ zy +
dz
∂z
∂τ zy
τ zx +
dz
∂z
∂τ
σ x τ yz + yz dy
∂y
τ xy
σz +
τ yx
∂τ xz
dx
τ xz
∂x
∂τ xy
τ xy +
dx
∂x
∂σ
σ x + x dx
P
∂x
τzx
τzy
σy +
τ xz +
τ yx +
∂τ yx
∂y
∂σ y
∂y
面 Y’
dy
dy
dx
σz
dy
面Z
y
図 4.1.1
x
点 P を含む３つの面は基準直交面であるから，これらの面には以下のような応力が作用する．
面 X： σ x (x , y, z ), τ xy (x , y, z ), τ xz (x , y, z )
面 Y： σ y (x , y, z ), τ yz (x , y, z ), τ yx (x , y, z )
面 Z： σ z (x , y, z ), τ zx (x , y, z ), τ zy (x , y, z )
他の３つの面は基準直交面からそれぞれ dx，dy，dz だけ離れているから，これらの面に作用する応
力は以下のようになる．
面 X’： σ x (x + d, y, z ), τ xy (x + d, y, z ), τ xz (x + d, y, z )
面 Y’： σ y (x , y + d, z ), τ yz (x , y + d, z ), τ yx (x , y + d, z )
面 Z’： σ z (x , y, z + d ), τ zx (x , y, z + d ), τ zy (x , y, z + d )
ここで，dx，dy，dz などの２次以上の項が無視しうる程に微小であるとすれば，テイラー展開より
次式が成り立つ．
f (x + d, y + d, z + d ) = f (x , y, z ) +
∂f
∂f
∂f
dx +
dy + dz
∂z
∂x
∂y
(4.1.1)
いま，dx，dy，dz は微小であるとしているから，２次以上の項は無視できる．このことから式(4.1.1)
を用いることができ，面 X’，Y’，Z’に作用する応力は次のようになり，これを図 4.1.1 に示してある．
∂σ x
dx
∂x
∂τ xy
τ xy (x + d, y, z ) = τ xy (x , y, z ) +
dx
∂x
∂τ
τ xz (x + d, y, z ) = τ xz (x , y, z ) + xz dx
∂x
σ x (x + d, y, z ) = σ x (x , y, z ) +
面 X’
σ y (x , y + d, z ) = σ y (x , y, z ) +
面 Y’
∂σ y
dy
∂y
∂τ yz
τ yz (x , y + d, z ) = τ yz (x , y, z ) +
dy
∂y
∂τ yx
τ yx (x , y + d, z ) = τ yx (x , y, z ) +
dy
∂y
∂σ z
dz
∂z
∂τ
面 Z’
τ zx (x , y, z + d ) = τ zx (x , y, z ) + zx dz
∂z
∂τ zy
τ zy (x , y, z + d ) = τ zy (x , y, z ) +
dz
∂z
微小直方体にはこれらの応力による力（応力と作用する面の面積をかけたもの）と体積力が作用す
σ z (x , y, z + d ) = σ z (x , y, z ) +
る．この体積力を単位体積当りの力で考え，その x，y，z 方向成分をそれぞれ Fx , Fy , Fz とする．
ここで，x 方向の力のつり合いについて考える．x−y 面への投影図を図 4.1.2 に示す．
面Z
y
面 Z’
面 Y’
∂τ
⎞
⎛
⎜ τ yz + yx dy ⎟dxdz
⎟
⎜
∂y
⎠
⎝
面 X’
面X
dy
σ xdydz
∂σ
⎛
⎞
⎜ σ x + x dx ⎟dydz
∂x
⎝
⎠
τzx dxdy
∂τ
⎛
⎞
⎜ τzx + zx dz ⎟dxdy
∂z
⎝
⎠
面Y
τ yxdxdz
x
dx
図 4.1.2
x 方向には，図 4.1.2 に示した力と体積力 Fx dxdydz が作用する．x 軸の正方向を力の正方向とすると，
力のつり合いは式(4.1.2)となる．
∂τ yx ⎞
⎛
∂σ
⎞
⎛
dy ⎟⎟dxdz
− σ x dydz − τ yx dxdz − τ zx dxdy + ⎜ σ x + x dx ⎟dydz + ⎜⎜ τ yx +
∂y
∂x
⎠
⎝
⎝
⎠
∂τ
⎞
⎛
+ ⎜ τ zx + zx dz ⎟dxdy + Fx dxdydz = 0
∂z
⎠
⎝
(4.1.2)
この両辺を dxdydz で割れば，式(4.1.3)が得られる．
∂σ x ∂τ yx ∂τ zx
+
+
+ Fx = 0
∂x
∂y
∂z
(4.1.3)
同様にして，y 方向，z 方向の力のつり合いより式(4.1.4)，(4.1.5)が得られる．
∂τ xy
∂σ y
(4.1.4)
∂τ xz ∂τ yz ∂σ z
+
+
+ Fz = 0
∂x
∂y
∂z
(4.1.5)
∂y
+
∂τ zy
+ Fy = 0
∂x
+
∂z
これが力のつり合いを示すつり合い式である．
次に，モーメントのつり合いを考える．ここでは，点 P を通り z 軸に平行な直線をモーメントの軸
として考える．モーメントを生じさせる力を図 4.1.3 に示す．
面Z
y
面 Z’
面 Y’
∂τ
⎛
⎞
⎜ τ yz + yx dy ⎟dxdz
⎜
⎟
∂
y
⎝
⎠
面 X’
面X
dy
σ xdydz
∂σ
⎛
⎞
⎜ σ x + x dx ⎟dydz
x
∂
⎝
⎠
τzx dxdy
∂τ
⎛
⎞
⎜ τzx + zx dz ⎟dxdy
∂z
⎝
⎠
面Y
τ yxdxdz
x
dx
図 4.1.3
ここで，モーメントは力に微小長さをかけたもので，力よりも１次だけ高次の微小量であるから，
面 X’，Y’，Z’における応力の微小変化を省略している．これにより，面 X’，Y’，Z’に作用する応力
は面 X，Y，Z に作用する応力と符号が反対で大きさは等しくなる．これに対応させるために，モー
メントのつり合いでは，dx，dy，dz 以上の微小量を省略して考える必要がある．
いま，左まわりのモーメントを正とすると，モーメントのつり合いは式(4.1.6)となる．
dy
dx
dy
dx
dy
dx
+ σ y dxdz ⋅
+ τ zx dxdy ⋅
+ τ zy dxdy ⋅
− σ x dydz ⋅
− σ y dxdz ⋅
2
2
2
2
2
2
dy
dx
− τ zx dxdy ⋅
− τ zy dxdy ⋅
+ τ xy dydz ⋅ dx − τ yx dxdz ⋅ dy = 0
2
2
σ x dydz ⋅
これより次式が得られる．
(4.1.6)
τ xy = τ yx
同様にして，P を通り x 軸に平行な軸まわりのモーメント，P を通り y 軸に平行な軸まわりのモー
メントを考えることにより，次の２式が得られる．
τ yz = τ zy、 τ zx = τ xz
これら３式を式(4.1.3)，(4.1.4)，(4.1.5)にそれぞれ代入すると式(4.1.7)が得られる．
∂σ x ∂τ xy ∂τ zx
+ Fx = 0
+
+
∂z
∂y
∂x
∂τ xy
∂x
+
∂σ y
∂y
+
∂τ yz
∂z
+ Fy = 0
(4.1.7)
∂τ zx ∂τ yz ∂σ z
+
+
+ Fz = 0
∂x
∂y
∂z
この式をつり合い方程式といい，弾性論における第１の支配方程式である．
4.2 ひずみ−変位関係式
図 4.2.1 のような４つの応力が長方形 ABCD
に働く場合ついて考える．
図 4.2.2 のように四角形 ABCD が応力を受け
て A’B’C’D’に変形したとする．この時，点 A か
σy
ｙ
D
τ yx
ら点 A’の移動量のｘ成分を u，ｙ成分を v とす
C
τ xy
る．ここで，点 A からｘ方向に ∆x だけ離れた
点 B(x + ∆x , y ) の x 方向の変位量が u + ∆u の時，
σx
AB 間の距離は ∆u だけ伸びたことになる．これ
を単位長さ当りに直すと式(4.2.1)になる．
εx =
∆u ∂u
=
∆x ∂x
(4.2.1)
B
A
ｘ
また，せん断応力も働いているので，同様に
図 4.2.1
ｙ方向へも変形する．τyxによるせん断ひずみ
はΔu/Δy，τxyによるせん断ひずみはΔv/Δxで表される．これら２つのせん断ひずみの和は式(4.2.2)
である．
γ xy = θ x + θ y =
∂v ∂u
+
∂x ∂y
これはせん断力による変形を表す．他の力についても同様に式(4.2.3)に示される．
(4.2.2)
∂u
∂v ∂u
γ xy =
+
∂x
∂x ∂y
∂v
∂w ∂v
εy =
γ yz =
+
∂y
∂y ∂z
∂w
∂u ∂w
εz =
γ zx =
+
∂z
∂z ∂x
C’
εx =
y
(4.2.3)
D’
D
C
B’
これをひずみ−変位関係式といい，弾性論に
A’
おける第２の支配方程式である．
v
A
B
u
x
図 4.2.2
4.3.応力とひずみの関係
フックの法則により
σ = Eε
(4.3.1)
一様断面の棒が軸方向に引張られて ε のひずみを生じる時は，これと直角の方向に ε ′ なるひずみが
生じ，次の関係が成立することが知られている(ポアソン効果)．
ε ′ = −υε = −υ
σ
E
(4.3.2)
図 4.3.1 に，引張方向をｘ軸にとった場合を示す．
σx ,εx
ｘ
ｙ
ε y = − υε x
ε z = − υε x
σx ,εx
図 4.3.1
式(4.3.1)，(4.3.2)に対応して次式が得られる．
ｚ
1
σx
E
εx =
σx
(4.3.3)
E
σ
ε z = −υε x = − υ x
E
これはｘ方向の応力 σ x が単独でｘ，ｙ，ｚ方向に生じさせるひずみを示したもので，一般の応力状
ε y = −υε x = −υ
態のひずみは， σ x ， σ y ， σ z のおのおのが単独に作用する場合の結果を重ね合わせることにより求め
られる． σ y ， σ z についても式(4.3.3)の形の式を求め，それらを重ね合わせると式(4.3.4)となる（一般
化したフックの法則）
．
{
(
)}
εx =
1
σx − υ σy + σz
E
εy =
1
σ y − υ(σ z + σ x )
E
εz =
1
σz − υ σx + σy
E
{
{
}
(
(4.3.4)
)}
このときせん断応力とせん断ひずみの間には次の関係が成立する．
τ xy =
E
γ xy
2(1 + υ)
τ yz =
E
γ yz
2(1 + υ)
τ zx =
E
γ zx
2(1 + υ)
(4.3.5)
つまり，せん断応力・せん断ひずみの関係と垂直応力・垂直ひずみの関係とは相互関係はない．
以上により，６個の応力成分と６個のひずみ成分の関係が求められた．これら６個の式をマトリッ
クス表示すると，
0
0
0 ⎤⎧ σ x ⎫
⎧ εx ⎫
⎡ 1 −υ −υ
⎪ε ⎪
⎪ ⎪
⎢− υ 1 − υ
0
0
0 ⎥⎥ ⎪ σ y ⎪
⎪ y⎪
⎢
⎪⎪ ε z ⎪⎪ 1 ⎢− υ − υ 1
0
0
0 ⎥ ⎪⎪ σ z ⎪⎪
⎥⎨ ⎬
⎨ ⎬= ⎢
0
0 2(1 + υ)
0
0 ⎥ ⎪τ xy ⎪
⎪γ xy ⎪ E ⎢ 0
⎢ 0
⎪ γ yz ⎪
0
0
0
2(1 + υ)
0 ⎥ ⎪ τ yz ⎪
⎢
⎥⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪⎩ γ zx ⎪⎭
0
0
0
0
2(1 + υ)⎦⎥ ⎪⎩τ zx ⎪⎭
⎣⎢ 0
(4.3.6)
式(4.3.6)を応力成分に関して解く，あるいは，式(4.3.6)の係数マトリックスの逆マトリックスを求め
ることにより式(4.3.7)が得られる．
E(1 − υ) ⎧
υ
⎫
εy + εz ⎬
⎨ε x +
(1 + υ)(1 − 2υ) ⎩ 1 − υ
⎭
E(1 − υ) ⎧
υ
(ε z + ε x )⎫⎬
σy =
⎨ε y +
(1 + υ)(1 − 2υ) ⎩ 1 − υ
⎭
(
σx =
σz =
τ xy
τ yz
τ zx
)
E(1 − υ) ⎧
υ
(ε + ε )⎫
ε +
(1 + υ)(1 − 2υ) ⎨⎩ z 1 − υ x y ⎬⎭
(4.3.7)
E
=
γ xy
2(1 + υ)
E
=
γ yz
2(1 + υ)
E
=
γ zx
2(1 + υ)
これをマトリックス表示すると次のようになる．
⎡
⎢ 1
⎢ υ
⎢
⎧σ x ⎫
⎢1 − υ
⎪σ ⎪
y
⎢ υ
⎪ ⎪
⎪⎪ σ z ⎪⎪
E(1 − υ) ⎢1 − υ
⎢
⎨ ⎬=
⎪τ xy ⎪ (1 + υ)(1 − 2υ) ⎢ 0
⎢
⎪τ yz ⎪
⎢
⎪ ⎪
⎪⎩τ zx ⎪⎭
⎢ 0
⎢
⎢ 0
⎢⎣
υ
1− υ
υ
1− υ
υ
1− υ
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1 − 2υ
2(1 − υ)
0
0
0
0
1 − 2υ
2(1 − υ)
0
0
0
0
1
υ
1− υ
⎤
⎥
⎥
0 ⎥⎧ ε x ⎫
⎥⎪ ⎪
⎥ εy
0 ⎥⎪ ⎪
⎪⎪ ε ⎪⎪
⎥⎨ z ⎬
0 ⎥ ⎪γ xy ⎪
⎥⎪γ ⎪
⎥ yz
0 ⎥ ⎪⎪ γ ⎪⎪
⎩ zx ⎭
⎥
1 − 2υ ⎥
2(1 − υ) ⎥⎦
0
(4.3.8)
式(4.3.8)は物体の弾性的性質を考慮に入れて導かれたもので，弾性論における第３の支配方程式で
ある．
5.ひずみエネルギー
ある物体に外力 f を加え，物体が力の加わる方向に u だけ移動する時，この外力 f のなす仕事 W は
(力)×(その力の方向に動いた距離)すなわち，式(5.1)で与えられる．
W = fu
(5.1)
f が一定でなく u の関数であるときは，式(5.2)となる．
∫
u
W = f du
0
つまり， W は図 5.1 の灰色の部分の面積に相当する．
(5.2)
f
f
W
W
u
u
O
u
O
u
図 5.1
k
fx ,u
x
0
図 5.2
図 5.2 のような，一端を固定したばねの他端に外力 f x を加える場合を考える．ばねが u だけ伸びた
とすると，ばねになされた仕事は式(5.3)となる．
∫
u
W = f x du =
0
1
fxu
2
(5.3)
この仕事 W は，ばねの弾性的変形により位置エネルギーの形でばね内部に貯えられる．
弾性体についても同様のことがいえる．弾性体が弾性変形することによって貯えられた位置エネル
ギーをひずみエネルギーといい， U で表す．熱などによるエネルギー損失のない弾性体では，弾性体
になされた仕事 W は，ひずみエネルギー U として貯えられるから，式(5.4)が成り立つ．
∫
u
U = W = fdu
0
(5.4)
ひずみエネルギー U が，応力成分およびひずみ成分によってどのように表されるかを調べる．
簡単のため，引張試験のように x 方向にのみ荷重が作用する場合について考える．弾性体であるか
ら図 5.3(a)のような荷重‐伸び線図が描ける．したがって，伸びが 0 から u になるときのひずみエネ
ルギーは，式(5.5)となる．
∫
u
U = f x du =
0
1
fxu
2
(5.5)
y
fx
u
dx
x
dy
z
fx
U
dz
u
u
O
fx
(b)
(a)
図 5.3
図 5.3(b)に示した微小体積を考えると，式(5.6)が得られる．
f x = σ x dydz
(5.6)
u = ε x dx
これを式(5.5)に代入すると，この微小体積に貯えられるひずみエネルギー ∆U が得られる．
1
1
f x u = σ x ε x dxdydz
2
2
∆U =
(5.7)
全体積に貯えられるひずみエネルギー U は， ∆U を全体積について積分して式(5.8)になる．
U=
1
2
∫∫∫ σ
x ε x dxdydz
=
1
2
∫σ
V
x ε x dV
(5.8)
次にせん断荷重 f xy が作用してせん断変形 u が生じる場合について考える．図 5.4(a)，(b)について同
様に考えると式(5.9)が与えられ，全体積のひずみエネルギー U が求められる．
f xy = τ xy dxdz
u = γ xy dy
∆U =
(5.9)
1
f xy u
2
U=
1
2
∫∫∫ τ
=
1
2
∫
V
xy γ xy dxdydz
τ xy γ xy dV
(5.10)
y
fx
dx
x
u
f xy
dy
z
γ xy
U
f xy
u
u
O
dz
(b)
(a)
図 5.4
一般の応力状態のひずみエネルギーは以上の結果を一般化して式(5.11)となる．
U=
1
2
∫ (σ
V
xεx
)
+ σ y ε y + σ z ε z + τ xy γ xy + τ yz γ yz + τ zx γ zx dV
(5.11)
ここで，応力ベクトル {σ} ，ひずみベクトル {ε} をそれぞれ式(5.12)と定義する．
⎧σ x ⎫
⎧ εx ⎫
⎪σ y ⎪
⎪ εy ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪
ε
⎪σz ⎪
{σ} = ⎨ ⎬ 、 {ε} = ⎪⎨ z ⎪⎬
γ
τ
⎪ xy ⎪
⎪ xy ⎪
⎪τ yz ⎪
⎪ γ yz ⎪
⎪⎩τ zx ⎪⎭
⎪⎩γ zx ⎪⎭
(5.12)
式(5.11)，(5.12)より，一般の応力状態のひずみエネルギーは応力ベクトルとひずみベクトルの内積
で式(5.13)のように表すことができる．
U=
1
2
∫ {ε} {σ}dV
T
(5.13)
V
6.仮想仕事の原理
仮想仕事の原理は「１つの質点が，これに働くいくつかの力の作用のもとでつり合い状態にあると
き，この質点に任意の微小な仮想変位を与えても，質点に働いてる全ての力がこの仮想変位によって
」と述べられる．
なす仕事の総和は 0 である．
このことを式で表す．いま，与えられた仮想変位の x，y，z 方向の成分を δu ， δv ， δw とし，質点
に働く力の総和を
れ δu
∑f
δu
x
， δv
∑f
x
∑f
∑f
+ δv
y
∑f
x
，
∑f
， δw
y
∑f
+ δw
，
y
z
∑f
z
∑f
z
とすると，この仮想変位によってなす仕事の総和は，それぞ
となる．したがって仮想仕事の原理は式(6.1)で表される．
=0
任意の仮想変位に対して式(6.1)が成立することから，式(6.2)であるといえる．
(6.1)
∑f
x
∑f
= 0，
y
∑f
= 0，
=0
z
(6.2)
このことから，仮想仕事の原理はつり合い方程式と等価であるといえる．
外力の作用のもとで弾性変形をしている物体の各点はつり合い状態にあり，応力による内力の和と
外力の和は等しい．これを示したのが第４章の式(4.1.7)である．よって，弾性体に対する仮想仕事の
原理は「つり合い状態にある弾性体の各点に，任意の微小な仮想変位を与えた時，この仮想変位によ
」といえる．仮想仕事の原理は，仮想変位 δu ，δv ，δw
って，外力および内力のなす仕事は 0 である．
に対して式(6.3)のように表すことができる．
∫∫ (P δu + P δv + P δw )dS + ∫∫∫ (F δu + F δv + F δw )dxdydz
− ∫∫∫ (σ δε + σ δε + σ δε + τ δγ + τ δγ + τ δγ )dxdydz = 0
x
y
x
x
z
y
x
y
z
z
xy
y
xy
z
yz
yz
zx
(6.3)
zx
こ こ で ， Px 、Py 、Pz は 単 位 面 積 当 り の 表 面 力 ， Fx 、Fy 、Fz は 単 位 体 積 当 り の 体 積 力 ，
δε x 、δε y 、δε z、δγ xy、δγ yz、δγ zx は，式(6.4)に示すように，仮想変位の各成分 δu ， δv ， δw に対応
するひずみ成分である．
∂ (δu )
∂ (δv ) ∂ (δu )
+
、δγ xy =
∂x
∂x
∂y
∂ (δv )
∂ (δw ) ∂ (δv )
δε y =
+
、δγ yz =
∂y
∂y
∂z
∂ (δw )
∂ (δu ) ∂ (δw )
δε z =
+
、δγ zx =
∂z
∂z
∂x
δε x =
(6.4)
いま，単位面積当りの表面力ベクトルを {P} ，単位体積当りの体積力ベクトルを {F} ，仮想変位ベク
{ }
{ }
トルを δ ∗ ，仮想ひずみベクトルを ε ∗ ，応力ベクトルを {σ} をそれぞれ式(6.5)とする．
⎧ δu ⎫
⎧Fx ⎫
⎧Px ⎫
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪
∗
{P} = ⎨Py ⎬、 {F} = ⎨Fy ⎬、 δ = ⎨ δv ⎬
⎪δw ⎪
⎪F ⎪
⎪P ⎪
⎩ ⎭
⎩ z⎭
⎩ z⎭
{ }
{ε }
∗
⎧σ x ⎫
⎧ δε x ⎫
⎪σ ⎪
⎪ δε ⎪
⎪ y⎪
⎪ y⎪
⎪σ ⎪
⎪⎪ δε z ⎪⎪
{σ} = ⎪⎨ z ⎪⎬
=⎨
⎬、 ⎪τ xy ⎪
⎪δγ xy ⎪
⎪τ yz ⎪
⎪δγ yz ⎪
⎪ ⎪
⎪
⎪
⎪⎩τ zx ⎪⎭
⎪⎩δγ zx ⎪⎭
(6.5)
仮想仕事の原理はベクトルで表現することができて，式(6.6)となる．
∫ {δ } {P}dS + ∫ {δ } {F}dV − ∫ {ε }{σ}dV = 0
∗ T
∗ T
∗
この仮想仕事の原理は前述したように，つり合い方程式と等価であり，弾性体の支配方程式を
1) つり合い方程式
(6.6)
2) ひずみ−変位関係式
3) 応力−ひずみ関係式
の代わりに
1) 仮想仕事の原理
2) ひずみ−変位関係式
3) 応力−ひずみ関係式
とできる．前者では境界条件として，外力，拘束変位に関する条件を付け加える必要があるが，後者
では仮想仕事の原理に表面力に関する項が入っているので，加えるべき境界条件は，拘束変位による
ものだけということになる．
7.２次元問題
外力を受ける弾性体の変位，ひずみ，応力状態は，一般に３次元であり，
変 位： u、v、w
ひずみ： ε x 、ε y、ε z 、γ xy、γ yz、γ zx
応 力： σ x 、σ y、σ z 、τ xy、τ yz、τ zx
の各成分を考える必要がある．しかし，以下に述べるような条件下では，z 方向の成分を考える必要
がなく，２次元的に扱うことができる．
7.1 平面応力
図７.1 に示すように，非常に薄い平板が面内荷重を受ける場合や，物体の自由表面近傍などでは，
応力の z 方向成分 σ z 、τ yz、τ zx は無視してよい．この状態を平面応力状態といい，式(7.1)が成立する．
σ z = τ yz = τ zx = 0
(7.1)
γ yz = γ zx = 0
このことから，考えるべき変位，ひずみ，応力の成分は以下のようになる．
変 位： u、v
ひずみ： ε x 、ε y 、ε z 、γ xy
応 力： σ x 、σ y、τ xy
7.2 平面ひずみ
図 7.2 に示すように，非常に長い柱がその側面に長さ方向に一様な荷重を受ける場合や，z 方向を拘
束された柱が x‐y 面内に z 方向に一様な荷重を受ける場合などは，ひずみの z 方向成分 ε z 、γ yz、γ zx
は無視してよい．この状態を平面ひずみ状態といい，式(7.2)が成立する．
ε z = γ yz = γ xy = 0
τ yz = τ zx = 0
このことから，考えるべき変位，ひずみ，応力の成分は以下のようになる．
(7.2)
変 位： u、v
ひずみ： ε x 、ε y、γ xy
応 力： σ x 、σ y、σ z 、τ xy
実際の問題には，近似的にこれらの条件にあてはまるものが多い．有限要素法では，一般的に計算
時間は３次元問題に比べ飛躍的に短縮できるので，可能な限り２次元問題として解析することが望ま
しい．
y
z
x
y
x
図 7.1
y
y
x
z
x
(a)
(b)
図 7.2
8.トラスから連続体への変換
8.1 有限要素とトラス部材
連続体を有限要素法により解析する場合，解析対象を有限の大きさを有する要素である有限要素で
分割して取り扱う．
ここでは２次元の場合を取り扱い，有限要素として三角形要素を用いる．前章で述べたように，板
厚が他の寸法に比べて非常に小さい，あるいは非常に大きい場合で，内部の応力状態が板厚方向には
変化せず一定であると考えられる状態を２次元状態という．この場合，板厚方向の形状は一定でなけ
ればならないから，解析対象の形状としては図 8.1 のように２次元的な形状のみを考えればよいこと
になる．
y
y
x
x
z
物体は３次元
部材は 1 次元
形状は２次元的
構造は２次元的
応力，ひずみ状態は２次元
応力，ひずみ状態は１次元
変位，荷重は x 方向，y 方向の２次元
変位，荷重は x 方向，y 方向の２次元
図 8.1
図 8.2
トラスの場合を図 8.2 に示す．トラスの場合は，実際には３次元的な部材から構成されているが，
断面積に比べ部材の長さが長いことから，トラス部材は１次元の棒として扱う．よって，応力，ひず
みも１次元である．しかし，これらの部材の組み合わせからなる構造は，２次元トラスの場合，２次
元的に組み合わされるので，荷重，節点変位は２次元的である．
トラスの場合，以下のことは物理的に当然である．
(１) 荷重は節点を介してのみ伝えられる．
(２) 応力，ひずみは部材内で一定である．
これにならって，連続体の場合にも同じ仮定を設ける．すなわち，三角形要素の３頂点を節点とい
い，以下のような仮定をする．
(１) 荷重は節点を介してのみ伝えられる．
(２) 応力，ひずみは要素内で一定である．
まず(１)について考える．三角形の節点の節点力，および節点変位を図 8.3 のように定める．荷重は
実際には要素の境界上の全ての点で表面力として伝わる．トラスの場合は要素境界は節点に一致して
いるから，表面力は節点力に一致するが，連続体の場合は，表面力と節点力は一致しない．そのため
に，(１)のような仮定を設ける．節点力の大きさは，節点力が要素になす仕事が，表面力が要素にな
す仕事に一致するように仮想仕事の原理を用いて決められる．
f yk , v k
k (x k , y k )
f xk , u k
f yi , vi
m
y
i
f xi , u i
(x i , yi )
f yj, v j
(
j x j,y j
)
f xj , u j
x
図 8.3
次に，(２)について考える．トラスの場合は，変位が部材
内で直線的に変化するので，応力，ひずみが部材内で一定と
A
i
f
なるが，連続体の場合は一般に一定とはならない．しかし，
j
ヤング率 E
f
A
要素分割を細かくすれば，要素内でほぼ一定であると考えて
u
もよい．トラスの場合，図 8.4 に示したように，変位 u は式
uj
(8.1)になる．
u = α1 + α 2 x
(8.1)
ui
O
さらに， u i 、u j はそれぞれ次式のようになる．
伸び δ
u i = u (0) = α 1
x
ε
ε=
u j = u (A ) = α 1 + α 2 A
du δ
=
dx A
よって， α 1、α 2 は式(8.2)で与えられる．
α 1 = u i 、α 2 =
u j − ui
A
(8.2)
x
O
式(8.2)を式(8.1)に代入すると式(8.3)が得られる．
x⎞
x
⎛
u = ⎜1 − ⎟ u i + u j
A⎠
A
⎝
σ = Eε = E
(8.3)
これはトラス部材の変位−節点変位関係式を示している．
連続体の場合も，応力，ひずみが要素内で一定であると仮
x
O
定することは，要素内で変位が直線的に変化することに相当
δ
A
図 8.4
する．三角形要素内の変位場を式(8.4)のように仮定する．
u = α1 + α 2 x + α 3 y
v = α4 + α5x + α6 y
(8.4)
ここで， u ：x 方向の変位， v ：y 方向の変位である．定数 α 1 , α 2 , " , α 6 を節点変位および節点座標
で表す．式(8.4)に全ての節点変位，節点座標をあてはめると式(8.5)となる．
u i = u (x i , y i ) = α 1 + α 2 x i + α 3 y i
v i = v(x i , y i ) = α 4 + α 5 x i + α 6 y i
( )
v j = v(x j , y j ) = α 4 + α 5 x j + α 6 y j
u j = u x j , y j = α1 + α 2 x j + α 3 y j
(8.5)
u k = u (x k , y k ) = α 1 + α 2 x k + α 3 y k
v k = v(x k , y k ) = α 4 + α 5 x k + α 6 y k
これを解くと α 1 , α 2 , " , α 6 が得られる．これを式(8.4)に代入すると，三角形要素の変位−節点変位
関係が，次のように得られる．
{
(
)
}
{
(
)
}
1
(a i + b i x + c i y )u i + a j + b j x + c j y u j + (a k + b k x + c k y )u k
2∆
1
(a i + b i x + c i y )v i + a j + b j x + c j y v j + (a k + b k x + c k y )v k
v=
2∆
u=
(8.6)
ここで，
a i = x j y k − x k y j、 a j = x k y i − x i y k 、 a k = x i y j − x j y i
b i = y j − y k、
b j = y k − y i、
bk = yi − y j
c i = x k − x j、
c j = x i − x k、
ck = x j − xi
∆ は三角形要素の面積で，三角形要素の３節点 i，j，k が図 8.3 のように反時計方向の順ならば，行列
式を用いて式(8.7)と書ける．
1 xi
1
∆ = 1 xj
2
1 xk
yi
yj
(8.7)
yk
以上のように，変位−節点変位関係が得られれば，ひずみ−変位関係を用いてひずみ−節点変位関
係が求められる．
トラスの場合のひずみ−変位関係式は次式である．
ε=
du
dx
これを式(8.3)に適用すると式(8.8)を得る．
ε=
(
)
1
δ
u j − ui =
A
A
三角形要素の場合のひずみ−変位関係式は次式である．
εx =
∂u
∂v
∂v ∂u
、ε y = 、γ xy =
+
∂x
∂y
∂x ∂y
これを式(8.6)に適用すると式(8.9)が得られる．
(8.8)
(
)
1
bi u i + b ju j + b k u k
2∆
1
=
y j − y k u i + (y k − y i )u j + y i − y j u k
2∆
1
εy =
ci vi + c jv j + ck v k
2∆
1
x k − x j v i + (x i − x k )v j + x j − x i v k
=
2∆
1
ci u i + c ju j + ck u k + bi vi + b jv j + b k v k
γ xy =
2∆
1 ⎧⎪ x k − x j u i +(x i − x k )u j + x j − x i u k ⎫⎪
=
⎬
⎨
2∆ ⎪⎩+ y j − y k v i + (y k − y i )v j + y i − y j v k ⎪⎭
εx =
{(
)
(
(
) }
(
) }
)
{(
)
(
(8.9)
)
(
(
)
(
)
)
(
)
これをマトリックス表示すれば，式(8.10)と書ける．
⎡y j − y k
⎧ εx ⎫
⎪ ⎪ 1 ⎢
⎨ εy ⎬ =
⎢ 0
⎪γ ⎪ 2∆ ⎢ x − x
j
⎣ k
⎩ xy ⎭
yk − yi
yi − y j
0
0
0
0
xk − x j
xi − xk
xi − xk
x j − xi
y j − yk
yk − yi
⎧ui ⎫
⎪u ⎪
⎪ j⎪
⎤
0
⎥ ⎪⎪u ⎪⎪
x j − x i ⎥⎨ k ⎬
v
y i − y j ⎥⎦ ⎪ i ⎪
⎪v j ⎪
⎪ ⎪
⎪⎩v k ⎪⎭
(8.10)
このひずみ−節点変位関係式の係数マトリックスを [B] とおき，ひずみベクトルを {ε} ，節点変位ベク
トルを {δ}m とおけば，ひずみ−節点変位関係式は式(8.11)と書くことができる．
{ε} = [B]{δ}m
(8.11)
ひずみと節点変位の関係がわかれば，応力−ひずみ関係式を用いて，応力と節点変位の関係がわか
る．
２次元の三角形要素の場合は，
応力−ひずみ関係は応力−ひずみマトリックス [D] によって式(8.12)
のように表される．
{σ} = [D]{ε}
(8.12)
⎧ εx ⎫
⎧σ x ⎫
⎪ ⎪
{σ} = ⎨ σ y ⎬ 、 {ε} = ⎪⎨ ε y ⎪⎬
⎪γ ⎪
⎪τ ⎪
⎩ xy ⎭
⎩ xy ⎭
(8.13)
ここで，応力ベクトル {σ} ，ひずみベクトル {ε} を式(8.13)に示す．
マトリックス [D] は，平面ひずみの場合は式(8.14)，平面応力の場合は式(8.15)となる．
⎡
⎢ 1
⎢
[D] = E(1 − υ) ⎢ υ
(1 + υ)(1 − 2υ) ⎢1 − υ
⎢
⎢ 0
⎣
⎡1 υ
⎢υ 1
[D] =
2 ⎢
1− υ
⎢⎣ 0 0
E
υ
1− υ
1
0
⎤
⎥
⎥
0 ⎥
⎥
1 − 2υ ⎥
2(1 − υ) ⎥⎦
0
⎤
⎥
⎥
(1 − υ) 2⎥⎦
0
0
(8.14)
(8.15)
以上より，三角形要素の応力は，節点変位ベクトルから次のように求められる．
{σ} = [D]{ε} = [D][B]{δ}m
(8.16)
9.三角形要素の剛性マトリックス
前章では，要素の節点変位から応力，ひずみを導く手順を示した．しかし，実際に荷重を受けてい
る連続体に生じる応力，ひずみを求めるためには，節点荷重と節点変位の関係，すなわち剛性マトリ
ックスを求めなければならない．
トラス，あるいはばねの場合は，フックの法則から直ちに剛性マトリックスを導くことができた．
しかし，２次元である三角形要素の剛性マトリックスは簡単には求められない．要素の剛性マトリッ
クスは仮想仕事の原理から導かれる．
仮想仕事の原理を式(9.1)に書き下す．
∫ {δ } {P}dS + ∫ {δ } {F}dV − ∫ {ε } {σ}dV = 0
∗ T
∗ T
∗ T
(9.1)
{ }
ここで， δ∗ ：仮想変位ベクトル， {P} ：単位面積当りの表面力ベクトル， {F} ：単位体積当りの体
{ }
積力ベクトル， ε∗ ：仮想ひずみベクトル， {σ} ：応力ベクトルである．
いま，体積力を考えないとすると，式(9.1)は式(9.2)のようになる．
∫ {δ } {P}dS = ∫ {ε }{σ}dV
∗ T
∗
(9.2)
要素に作用する表面力 {P} は，一般には，三角形要素の各辺に作用するが，この表面力がなす仕事と
等価な仕事をする節点力を定義する．すなわち，三角形要素の節点力ベクトルを {f }m ，節点変位ベク
トルを {δ}m とするとき，節点力のなす仕事 {δ}m {f }m が，表面力 {P} のなす仕事に等しくなるように，
T
節点力を定義する．したがって，式(9.2)の左辺は式(9.3)，右辺は式(9.4)となる．
∫ {δ } {P}dS = {δ }
{f }m
(9.3)
∫ {ε } {σ}dV = V{ε } {σ}
(9.4)
∗ T
∗
∗ T
T
m
∗ T
{ }
ここで， δ∗
m
は仮想節点変位ベクトル， V は三角形要素の体積 (= t∆ ) である．以上から，仮想仕
事の原理は三角形要素に対して式(9.5)で書くことができる．
{δ }
∗
m
T
{f }m = t∆{ ε∗ } {σ}
T
(9.5)
これに，ひずみ−節点変位関係（式(9.6)）
，応力−ひずみ関係（式(9.7)）を代入し，仮想節点変位ベ
クトルに対する仮想ひずみベクトルが式(9.8)で表されることを考慮して式(9.5)を書き直すと式(9.9)と
なる．
{ ε} = [B]{ δ}m
{ σ} = [D]{ ε} = [D][B]{ δ}m
(9.7)
{ε } = [B]{δ }
(9.8)
∗
∗
m
(9.6)
{δ }
∗
T
m
{f }m = t∆{ ε∗ } { σ}
T
= t∆ ([B]{ δ∗ }m ) [D][B]{ δ}m
T
T
= { δ∗ }m ( t∆[B] [D][B]){ δ}m
T
{ }
ここで， δ∗
m
(9.9)
は任意の仮想節点変位ベクトルであるから，式(9.9)が成立するためには式(9.10)が必要
である．
{ f }m = (t∆[B]T [D][B]){ δ}m
(9.10)
これは三角形要素の節点力ベクトルと節点変位ベクトルの関係を表しており，三角形要素の剛性方程
式であり式(9.11)と書ける．
{ f }m = [K ]m { δ}m
(9.11)
[K ]m = t∆[B]T [D][B]
(9.12)
[K ]m は三角形要素の剛性マトリックスであり，当然，式(9.12)である．
以上のようにして，要素の剛性マトリックスは， [B] ， [D] ， t ， ∆ から計算できる．
10.アイソパラメトリック２次要素
アイソパラメトリック 2 次要素とは，正規化座標系を用いて定義される 2 次要素をアイソパラメト
リック写像により x−y 座標系に写像して得られる曲線要素である．
10.1 2 次要素
２次要素とは，解の精度を上げるために８章で示した変位−節点変位関係（形状関数）を座標の２
次関数で表した要素である．形状関数等は正規化座標系を用いて表現される．正規化の一例として
ξ = (x − x c ) a ， η = (y − yc ) b とした長方形 2 次要素を図 10.1 に示す． a ， b は長方形の辺の長さで
あり，点 (x c , yc ) は長方形の重心である． ξ ， η は節点において±1 または 0 の値を持つ．この場合の
要素内の変位 u ， v は式(10.1)で表される．
u=
8
∑ N ( ξ, η)u
i
i
，v =
i =1
8
∑ N ( ξ, η)v
i
(10.1)
i
i =1
ただし，u i ，v i は節点 i の x および y 方向の変位である．節点 i の座標を ( ξi , ηi ) とすると形状関数 N i
は式(10.2)で与えられる．
(
)(
)
(
(
)
(
)
1
N = ξ 2 η 2 ⎧⎨ 1 + ξ ξ 1 + η η − ⎛⎜1 − ξ 2 ⎞⎟ 1 + η η − ⎛⎜1 − η 2 ⎞⎟ 1 + ξ ξ ⎫⎬
i 4 i i ⎩
i
i
i
i ⎭
⎝
⎠
⎝
⎠
1
1
+ η 2 ⎛⎜1 − ξ 2 ⎞⎟⎛⎜1 − ξ 2 ⎞⎟ 1 + η η + ξ 2 ⎛⎜1 − η 2 ⎞⎟⎛⎜1 − η 2 ⎞⎟ 1 + ξ ξ
i
i
i
i ⎠
i
⎠
⎝
⎠⎝
⎠⎝
2
2 i ⎝
N ⎛⎜ ξ , η ⎞⎟ = δ
i⎝ j j⎠
ij
)
⎛⎜ δ ：クロネッカーのデルタ⎞⎟
⎝ ij
⎠
要素内で変位は 2 次的に，ひずみおよび応力は線形に変化する．
(
)
(10.2)
a
η =1
a
8
1
4
η
b
ξ = −1
5
(x c , yc )
ξ
7
b
y
2
6
x
3
η = −1
ξ =1
図 10.1
10.2 アイソパラメトリック写像
2 次要素を実際に使用する場合，希望する精度を得るために必要な要素数は，8 章で述べた三角形要
素などの線形要素の場合より，かなり減少するが，少ない要素数で複雑な形状を表現するのはかなり
困難である．
そのため写像関数を用いて要素を x−y 座標系へ写像して曲線要素を得ることが考案され
た．図 10.2 のように，写像関数として形状関数を用いるのがアイソパラメトリック要素である．正規
化座標系 ξ − η と x − y 座標系の対応は式(10.3)で表される．
8
8
x = ∑ N (ξ, η)x 、y = ∑ N (ξ, η)y
i
i
i
i
i =1
i =1
(ξ, η) 系と (x, y ) 系が 1 対１の対応関係にあるのは式(10.3)より明らかである．
η
η
4
8
1
y
1
8
4
ξ
7
7
5
5
3
2
x
(10.3)
ξ
アイソパラメ
トリック写像
6
2
6
3
図 10.2
座標に関する１次係数については，式(10.4)の関係式が成り立つ．
⎧ ∂N i ⎫ ⎡ ∂x
⎪
⎪
⎪ ∂x ⎪ ⎢ ∂ξ
⎨ ∂N ⎬ = ⎢ ∂x
⎪ i⎪ ⎢
⎪⎩ ∂y ⎪⎭ ⎢⎣ ∂η
∂y ⎤
∂ξ ⎥
⎥
∂y ⎥
∂η ⎥⎦
−1 ⎧ ∂N ⎫
⎧ ∂N i ⎫
i
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪ ∂ξ ⎪
− 1 ⎪ ∂ξ ⎪
[
]
J
=
⎨ ∂N ⎬
⎨ ∂N ⎬
⎪ i⎪
⎪ i⎪
⎪⎩ ∂η ⎪⎭
⎪⎩ ∂η ⎪⎭
(10.4)
全体座標系における，ひずみ，応力は式(10.1)，(10.4)，(10.5)，(10.6)により局所座標系で表される．
⎧ ∂u ⎫
⎧
⎫ ⎪ ∂x ⎪
⎪ ε x ⎪ ⎪ ∂v ⎪
⎪
⎪
⎪ ⎪
⎨ εy ⎬ = ⎨
⎬
⎪
⎪ ⎪ ∂y ⎪
⎪⎩γ xy ⎪⎭ ⎪ ∂v + ∂u ⎪
⎪ ∂x ∂y ⎪
⎭
⎩
⎧σ x ⎫
E
⎪ ⎪
⎨σ y ⎬ =
2
⎪τ ⎪ 1 − υ
⎩ xy ⎭
(10.5)
⎡
⎤
⎧ εx ⎫
0 ⎥⎧ ε x ⎫
⎢1 υ
⎪ ⎪
⎪
⎪
⎢υ 1
0 ⎥ ⎨ ε y ⎬ = [D]⎨ ε y ⎬
⎢
1 − υ ⎥⎪ ⎪
⎪γ ⎪
⎢0 0
⎥ ⎩γ xy ⎭
⎩ xy ⎭
2 ⎦
⎣
(10.6)
ただし，ヤコビのマトリックスの成分はそれぞれ式(10.7)である．
∂x
=
∂ξ
∂x
=
∂η
ここで，
8
∑
i =1
8
∑
i =1
∂N i
∂y
x i、
=
∂ξ
∂ξ
∂N i
∂y
x i、
=
∂η
∂η
8
∑
i =1
8
∑
i =1
∂N i ⎫
yi ⎪
∂ξ
⎪
⎬
∂N i ⎪
yi
∂η ⎪⎭
(10.7)
∂N i ∂N i
、
は式(10.2)より求まる．剛性マトリックスは式(10.8)の関係と仮想仕事の原理を用
∂ξ ∂η
いて式(10.9)で与えられる
dxdy = J dξdη
(10.8)
[K ]m = ∫∫ [B]T [D][B]tdxdy
=
1
(10.9)
1
T
∫−1 ∫−1 [B(ξ, η)] [D][B(ξ, η)] J tdξdη
式(10.9)はガウスの数値積分を用いて計算できる．正規化座標系を介して要素を考えることは，全体座
標系から直接有限要素法の諸式を導くよりはずっと簡単で，有利な点も多い．
図 10.3 に示す６節点アイソパラメトリック要素についても，形状関数を式(10.10)のように定めるこ
とにより，剛性マトリックスが導ける．
N i = A 1 (2A 1 − 1)L1 (2L1 − 1) + A 2 (2A 2 − 1)L 2 (2L 2 − 1)
(10.10)
+ A 3 (2A 3 − 1)L 3 (2L 3 − 1) + 16(A 2 A 3 L 2 L 3 + A 3 A 1 L 3 L1 + A 1A 2 L1 L 2 )
ここで， L1、L 2、L 3 は図 10.3 に示す面積座標であり， A 1、A 2、A 3 は節点 i の面積座標である．
1
1
5
6
y
6
3
2
4
x
図 10.3
5
(L1 , L 2 , L 3 )
アイソパラメト
リック写像
P
点 P の面積座標
2
4
3
L1 =
∆P 23
∆123
L2 =
∆P31
∆123
L3 =
∆P12
∆123
要素の剛性マトリックスが得られると，重ね合わせにより構造全体の剛性方程式 {f } = [K ]{δ} が求まる．
この式を解いて構造全体の変位 {δ} がわかると，各要素のひずみ，応力が式(10.5)，(10.6)より求まる．
アイソパラメトリック要素の剛性マトリックスの評価においては，式(10.11)の積分を求めることが
問題になる．
I=
1
1
∫∫
−1 −1
F(ξ , η)dξdη
(10.11)
しかし，ガウス積分では，式(10.11)の積分値を式(10.12)の形で求める．
I=
1
1
∫∫
−1 −1
F(ξ , η)dξdη =
m
∑ w F(ξ , η )
i
i
(10.12)
i
i =1
ここに，w i は i 点（ガウス点）における重みである．６節点アイソパラメトリック要素の場合，式(10.12)
の ξ、η の代わりに面積座標 L1、L 2、L 3 を用い，式(10.13)となる．
I=
1 1− L1
∫∫
0 0
F(L1、L 2、L 3 )dL 2 dL1 =
m
∑ w F(A 、A 、A
i
1
2
3
)
(10.13)
i =1
ここで， A 1、A 2、A 3 は節点 i の面積座標である．面積座標 L1、L 2、L 3 は図 10.3 に示したように，式
(10.14)で表される．
L1 =
∆P31
∆P 23
∆P12
、L 2 =
、L 3 =
∆123
∆123
∆123
(10.14)
x-y 座標系との関係は式(10.15)で与えられる．
x = L1 x 1 + L 2 x 2 + L 3 x 3 ⎫
⎪
y = L1 y1 + L 2 y 2 + L 3 y 3 ⎬
⎪
A = L1 + L 2 + L 3
⎭
(10.15)
参考資料７ 数値解析ひび割れ図
かぶり (14.00mm)
かぶり (20.25mm)
かぶり (26.50mm)
かぶり (32.75mm)
かぶり (39.00mm)
かぶり (45.25mm)
かぶり (51.50mm)
かぶり (57.75mm)
かぶり (64.00mm)
鉄筋間隔 (40mm)
鉄筋間隔 (64mm)
鉄筋間隔 (80mm)
鉄筋間隔 (104mm)
鉄筋間隔 (120mm)
鉄筋間隔 (144mm)
鉄筋間隔 (160mm)
鉄筋間隔 (184mm)