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第5学年5組 算数科学習指導案
第５学年５組 算数科学習指導案 平成２２年１１月１６日（火）第５校時 １．単元名 児童数 男子１７名 女子１７名 指導者 教諭 伸弘 小松 四角形と三角形の面積（台形の面積） ２．題材について （１）題材のねらい 本題材は、小学校学習指導要領 算数における第５学年の内容 B（１） を基に構成されている。 Ｂ「量と測定」（１）図形の面積を計算によって求めることができるようにする。 ア 三角形、平行四辺形、ひし形及び台形の面積の求め方を考えること。 〔算数的活動〕（１）イ 三角形、平行四辺形、ひし形及び台形の面積の求め方を、具体物を用いたり、 言葉、数、式、図を用いたりして考え、説明する活動 第４学年では、長方形と正方形の面積の学習において、１cm2 など単位となる大きさを決めると、その いくつ分（何倍）として面積の大きさを数値化して表わすことができることを学んだ。また、長方形や 正方形の面積は、その図形の大きさを決める要素である辺の長さに着目することによって計算で求める ことができることから、面積公式としてまとめてきた。本単元では、面積を求める図形の対象を平行四 辺形及び三角形、ひし形、台形など直線で囲まれた基本的な図形に広げ、求積に必要な部分の長さを測 り、既習の図形の面積の求め方に帰着させ計算によって求めたり、新しい公式をつくり出し、それを用 いて求めたりすることができるようにすることが主なねらいである。 旧学習指導要領（平成 10 年告示）においては、本単元で扱うひし形や台形の求積方法は内容として示 されていなかったため、一般的には、三角形及び平行四辺形の面積を活用するための発展的内容として 位置付けられることが多かった。しかし、新学習指導要領（平成 20 年告示）においては、平行四辺形や 三角形の求積とともに内容に位置付けられており、面積公式も扱うことになる。したがって、既習の求 積可能な図形の面積の求め方を基に考えたり、説明したり、公式をつくり出したりすることや、その過 程で筋道を立てて考える力の育成を図ることについては、より一層重視していく必要があると考える。 特に、面積公式について扱う際には、単に図形の面積を求めるための知識を与えるのではなく、公式 化していく過程を重視することによって、数学的な思考力や表現力を高めていく場としていくことが重 要である。 本単元で扱う内容は、 「量と測定」の領域に位置付けられ 図１ ているが、 「図形」領域をはじめとした他領域と密接に関係 A D しているという特徴がある。例えば、平行四辺形の面積を 求める一つの方法として、既習の求積可能な図形である長 方形に着目し、求めたい平行四辺形と等しい面積をもつ長 方形に等積変形することが考えられる（図１）。この場合、 B L C M 平行四辺形 ABCD において、直角三角形 ABL を矢印のように平行移動すると四角形 ALMD が長方形に なり、長方形 ALMD の面積を求めることで平行四辺形 ABCD の面積を求めたことになるという方法で 1 ある。ここで、四角形 ALMD が常に長方形になるという一般性を示すには、平行四辺形の性質や、平行 と垂直などの既習の学習内容を用いて説明する必要がある。多くの場合、方眼上に図形を示すことによ って、これらの説明は視覚的に確認されることになるが、既習の学習を根拠に演繹的に考え、説明する 活動は、極めて重要なことである。また、等積変形した長方形を基にすると、平行四辺形の面積を求め るための要素として「底辺」とそれに対する「高さ」に着目でき、 「平行四辺形の面積＝底辺×高さ」の 面積公式が導かれる。この式は、平行四辺形の「辺などの長さ」と「面積」の間に成り立つ関係を示し たものである。すなわち、平行四辺形の面積は、底辺と高さに比例することを表わしている。さらに、 辺などの長さを知ることによって、 「長さ」とは別の「面積」という量を求めることができるということ を実感することもできる。 このように、図形の求積の仕方を考えたり、説明したりするなどの活動を通して、数学的な思考力や 表現力を育成していくことができる。 なお、本単元を構成するにあたっては、 「三角形」と「平行四辺形」のどちらを先に指導すべきである かが問題になることも少なくない。しかし、どちらから導入することが望ましいかについては、これま での先行研究からも一概には結論付けることはできない。そこで本実践では、平行四辺形のもつ性質が 既習である長方形の性質と近いことから、児童が既習である長方形に帰着しやすいのではないかと考え、 平行四辺形から扱うこととした。 （２）指導観 本単元にかかわる学習内容について、平成 19 年度より実施されている全国学力・学習状況調査では、 図形の求積に関するものが出題されている。 平成 19 年度 正答率（％） さいたま市 96.1 （全国 96.0） 平成 20 年度 正答率（％） さいたま市 88.8 （全国 89.4） 平成 21 年度 正答率（％） さいたま市 86.3 （全国 85.2） 平成 22 年度 正答率（％）※ さいたま市 67.3 （全国 70.1） 正答率（％） さいたま市 67.0 （全国 66.9） ※平成 22 年度は抽出調査のため、さいたま市の結果は 抽出対象校（17 校）の結果であり、さいたま市全体の 結果を正確に表しているものではない。また、全国の 結果は文部科学省が発表した抽出校による「推計値」 で、±１％の誤差を含んでいる。 2 これらの調査結果から次の２点が児童の実態として分かる。 ①平行四辺形の求積より三角形の求積に抵抗を感じる。台形についてはより一層抵抗を感じる。 ②求積のために必要な長さを自分で調べたり、余分な条件を与えられたりすると抵抗を感じる。 特に、今年度に出題された台形の求積については、台形の面積を求める上で必要最低限の長さのみが 与えられているものであり、基礎的・基本的な問題と見ることができる。しかし、平均正答率は約 70％ であり、およそ３割の児童は台形の求積についての理解が不十分であるという結果であった。また、公 式以外の解法で正答したのはわずか 0.8%であった。この結果の要因の一つとして考えられることは、児 童は面積公式に強く依存しており、公式の理解があいまいであることに加え、必要に応じて自分で公式 をつくり出すことができないことにあると考える。 そこで、本単元の授業を展開するに当たっては、公式化する過程を重視し、児童が自ら公式をつくる 活動を繰り返し体験させることを通して、公式に対する理解を深めるとともに、数学的な思考力・表現 力を育成していきたいと考える。公式をつくる活動で大切にしていきたいことは、対象としている図形 の中から、求積に必要な要素（長さ）に着目できるようにすることである。そのためには、まず求積を 考えた際に帰着した図形で用いた要素が、対象図形のどこに当たるのかを図を通して一致させていく。 次に、見いだした要素に一般性をもたせるために「言葉」に置き換えさせ、言葉を用いて式化を図る。 最後に、より簡潔で明瞭な表現へと精査していく。これら一連の活動を「公式をつくる活動」として、 平行四辺形、三角形、台形、ひし形の求積において一貫して取り組ませていきたい。 本時では、台形の面積公式を扱う。一般的な指導では、既習 図２ a の図形に着目し多様な方法で面積を求めた後、例えば、右の図 ２のような公式化を図りやすい方法を基にして、台形の面積公 を求める際も用いられたアイデアであり、また、 「（上底＋下底） 解しやすいものであると考えられる。 b h 式をつくることが多い。この倍積変形の方法は、三角形の面積 ×高さ÷2」という台形の面積公式とも図的に一致するため、理 倍積変形 a b 台形の面積＝平行四辺形の面積÷2 ＝(a+b)×h÷2 しかし、前時で児童が考えた台形の面積の求め方は、必ずしもこの方法であるとは限らない。また、 児童は公式のつくりやすさを考えているわけではなく、この解決方法に基づいて公式を考えていく必要 感も得られないままで取り組むことになる。そこで、公式のつくりやすさではなく、児童それぞれが前 時までの解決方法に基づき、自分なりに公式をつくる活動を設定する。この活動で、児童は、方向転換 を迫られることや簡潔な表現にまで至らないことも考えられるが、互いに考えた公式を比較・検討して いく中で、簡潔さや明瞭さを追求していく態度を育成していきたい。 （３）本題材に関わる既習事項と発展 第４学年 第５学年 合同 第６学年 円の面積 面積のはかり方と表し方 およその面積 平行四辺形と三角形の面積 垂直・平行と四角形 3 （４）児童の実態 本学級の児童は、男女を問わず仲がよく、互いに助け合える子どもたちである。授業中の発言はやや 消極的であるが、友達の考えに付け足しをしたり皆で答えを導き出そうとしたりする態度が見られ、進 んで発言をすることが少ない児童も、友達の考えを聞きながら素直な驚きなどを学習感想に書いている。 しかし、新たな学習内容を理解するのに必要となる基礎・基本の定着や、既習事項を活用する意識が十 分に育っていないため、少しでも理解できないと諦めてしまう傾向がある。さらに、言葉や図、式など で自分の考えを的確に表現しようという意識が十分に高まっていない児童が多い。 レディネステストでは、特に平行と垂直において、多くの児童が視覚的には理解しているものの、そ の定義を言葉でとらえることが苦手であることが明らかになった。また、長方形の公式について 100%の 児童が正答しているものの、複合図形の求積の問題では与えられた長さを全てかけてしまうなど、長方 形の公式を活用するところまでは十分高まっていないことが分かった。 そこで本単元では、以下２点を中心として、思考力・表現力を高めることを目指すこととした。 ①児童の既習事項の定着を図り、それらを活用できたことを実感させること ②伝え合う活動に必要な言葉や手順を共有化し、考えが伝わることのよさを実感させること 参考：事前のレディネステスト NO １ ２ 問 題 問題のねらい 正答率 平行と垂直、基本図形の性質 あてはまる言葉を選んで答えましょう。 を理解しているか。 (1) 直角に交わる２本の直線 (1)47% （言葉による理解） (2) １本の直線に垂直な２本の直線 (2)59% (3) 向かい合った１組の辺が平行な四角形の名前 (3)81% (4) 向かい合った２組の辺が平行な四角形の名前 (4)81% (5) ４つの辺の長さがみな等しい四角形の名前 (5)81% 平行と垂直の性質を理解して 図を見て答えましょう。 いるか。（視覚的理解） (1) 平行になっている直線は、どれとどれですか。 (1)84% (2) (ア)の直線に垂直な直線はどれですか。 ３ 長方形や正方形の面積を求め (2)81% 次のような形の面積を答えましょう。 ることができるか。 (1)100% 長方形の面積公式を利用して (2)97% 複合図形の面積を求めること (3)66% ができるか。 誤答 28％ 無解答 6％ 4 ３．研究主題及び研究課題とのかかわり （１）研究の構想 「思考力・判断力・表現力を向上させる授業の創造」 ~「書く活動」「言葉で表現する活動」の工夫を通して~ 考えを表現す る過程で、自分の よい点に気付い たり、誤りに気付 いたりする。 自分の考えを 表現することで、 筋道を立てて考 えを進めたり、よ りよい考えをつ くったりできる ようになる。 ＜本研究で目指す子どもの姿＞ 言葉や数、式、図、表、グラフなどを使って、 自分の考えを表現できる子 問題を解決す るための新しい 方法をつくり結 果を得ようとす るとき、見通しを もち筋道を立て て考えることが 必要になる。 （２）算数をつくる活動を行うための工夫と手だて ○既習事項を活用させるための工夫 児童が問題を解決するための新しい方法をつくり上げていくことができるようにするには、それ までに身に付けてきた知識及び技能を重視し、それらを基にして考えたり、説明したりするなど活 用できることが必要である。そこで、児童が解決すべき問題と関連付けながら、既習の内容とその 意味をふり返らせ、意識付けながら問題の解決に向かわせることで、思考・表現の土台を確かなも のにする。 手だて① 新しく学習する単元の理解に関わる既習内容を反復させる。 手だて② 新しく学習する内容を、既習内容との関係を根拠として説明させる。 ○筋道を立てて考えたり、表現したりさせるための工夫 児童が問題を解決するための新しい方法をつくり上げていくことができるようにするには、その 5 つくり上げてきた過程の妥当性を振り返り、正しいことを自分で確かめたり、他者に示したりする ことが重要である。そこで、自力解決や解決方法を共有する場面において、極力曖昧な言葉や手順 に頼らずに既習の用語を用いて表現させることで、「分かりやすく伝わった」経験を増やす。 手だて③ 解決に必要な要素を明らかにさせる。 手だて④ 伝えたい内容を的確な言葉で表現させる。 ○よりよい方法を追求させるための工夫 児童が問題を解決するための新しい方法をつくり上げていくことができるようにするには、多様 な方法において解決に至った工夫（アイデア）を互いに見いだし、認め合い、見いだした工夫を活 用してさらによりよい方法をつくろうと考える意欲をもたせることが重要である。そこで、練り上 げの場で不完全な解決を提示し、補完し合う活動を取り入れたり、言葉による説明と図、式による 説明を関連付けたりすることで、工夫をとらえやすくする。また、言葉による説明と図、式による 説明を関連付けたりすることで、学習内容の確実な定着を図る。 手だて⑤ 互いの意見を補い合いながら練り上げを行う。 手だて⑥ 図と式を関連付けて理解させる。 ４．目標 ○ 平行四辺形や三角形などの面積の求め方を理解し、それらの面積を求めることができる。 ○ いろいろな平面図形の面積について、既習の図形の面積の求め方を基に考えたり、活用したりす る能力を高める。 （１）算数への関心・意欲・態度 ・平行四辺形や三角形などの面積を求めるときに、既習の経験や知識を用いようとする。 （２）数学的な考え方 ・既習の面積の求め方を基にして、平行四辺形や三角形などの面積の求め方を工夫して考えたり、 公式をつくったりすることができる。 （３）表現・処理 ・公式を用いて平行四辺形、三角形などの面積を求めることができる。 （４）知識・理解 ・平行四辺形、三角形などの面積の求め方を理解する。 ５．指導計画（本時 時 目 ８／１３時間） 標 学 習 活 動 評 価 規 準 １ ① 平行四辺形の面積の求め方 ・いろいろな平面図形の図を提示し、求積方法が既習の図形を振り返り、整理しながら新たな課 題となる平行四辺形、三角形の面積の求め方について、興味・関心を高める。 ○平行四辺形の面積 ・平行四辺形の面積の求め方を既習 の求め方を既習の 図形に帰着して考 の図形に帰着して考える。 ・長方形に等積変形する平行四辺形 6 関 平行四辺形の面積を既習の図 形の求積方法と関連付けて工 夫して求めようとしている。 えることができる。 の面積の求め方を説明する。 考 長方形の求積方法に帰着し て、平行四辺形の面積の求め ２ 方を考えている。 ○平行四辺形の面積 の公式を、つくり出 ・平行四辺形の面積を求める公式を 考 の長さに着目して、平行四辺 考える。 すことによって理 ・公式をつくるには、等積変形した 解し、それを適用し 長方形のどこの長さが分かればよ て面積を求めるこ いかを考える。 とができる。 形の面積の公式を考えてい る。 表 平行四辺形の面積の公式を用 ・「底辺」「高さ」の意味を知る。 いて面積を求めることができ ・平行四辺形の面積を求める公式を る。 ３ まとめ、公式を適用して面積を求 知 平行四辺形の面積の求め方を める。 理解している。 ○高さが平行四辺形 ・高さが平行四辺形の外にある場合 の外にある場合で 等積変形した長方形の縦と横 考 高さを表す垂線の足が平行四 辺形の外にある場合でも、工 の面積の求め方を考える。 も、平行四辺形の面 夫して平行四辺形の面積の公 積の公式を適用で 式を適用しようとしている。 きることを理解し ている。 ４ ② 三角形の面積の求め方 ○三角形の面積の求 ・三角形の面積の求め方を既習の図 め方を既習の図形 考 形に帰着して考える。 に 帰 着 し て 考 え る ・いろいろな求め方を図などで説明 ことができる。 ５ ○三角形の面積を求 める公式を、つくり 出すことによって 既習の図形に帰着して、三角 形の面積の求め方を考えてい る。 する。 ・三角形の面積を求める公式を考え 考 三角形の底辺の長さと高さに 着目して、三角形の面積の公 る。 ・帰着した図形を基にして、公式を 式を考えている。 理解し、それを適用 つくるために三角形のどこの長さ 表 公式を用いて、三角形の面積 して面積を求める が分かればよいかを考える。 を求めることができる。 ことができる。 ・三角形の面積を求める公式をまと 知 め、公式を適用して面積を求める。 ６ ○高さが三角形の外 にある場合でも、三 ・高さが三角形の外にある場合の面 考 積の求め方を考える。 三角形の面積の求め方を理解 している。 高さを表す垂線の足が三角形 の外にある場合でも、工夫し 角形の面積の公式 て三角形の面積の公式を適用 が適用できること しようとしている。 を理解する。 7 ７ ③いろいろな四角形の面積の求め方 ・台形の面積の求め方を既習の図形 考 ○台形の面積の求め に帰着して考える。 方を既習の図形に の面積の求め方を考えてい ・いろいろな求め方を図などで説明 帰着して考えるこ する。 とができる。 既習の図形に帰着して、台形 る。 知 台形の面積の求め方を理解し ８︻本時︼ ている。 ○台形の面積を求め ・台形の面積を求める公式を考え る公式を、つくり出 考 高さに着目して、面積の公式 る。 を考えている。 す こ と に よ っ て 理 ・帰着した図形を基にして、公式を 解し、それを適用し つくるために台形のどこの長さ て面積を求めるこ が分かればよいかを考える。 とができる。 台形の上底及び下底の長さと 表 公式を用いて、台形の面積を 求めることができる。 ・台形の面積を求める公式をまとめ、 ９ 公式を適用して面積を求める。 ○ひし形の面積の求 ・ひし形の面積の求め方を既習の図 考 め方を既習の図形 形の面積の求め方を考えてい 形に帰着して考える。 に帰着して考える る。 ・対角線の長さの積がひし形の面積 ことができる。 ○ひし形の面積を求 める公式を。つくり の２倍になっていることを利用し 表 公式を用いて、ひし形の面積 て、ひし形の面積を求める公式を を求めることができる。 知 考える。 出すことによって ひし形の面積の求め方を理解 している。 ・ひし形の面積を求める公式をまと 理解し、それを適用 既習の図形に帰着して、ひし め、公式を適用して面積を求める。 して面積を求める ことができる。 ④いろいろな形の面積の求め方 １０ ○外的な活動を通し ・葉のおよその面積の求め方を考え て学習内容の理解 考 複雑な形の面積は、およその 面積で表せばよいことに気づ る。 いている。 を深め、興味を広げ る。 ⑤高さと面積の関係 １１ ○平行四辺形の底辺 ・底辺の長さが５cm の平行四辺形 考 ２つの数量の関係を、表に表 の長さを一定にし で、高さが１cm、２cm、…６cm したり、□や○を用いた式で て、高さを変えたと と変化するときの面積の大きさを 表したりして、数量の関係を きの面積と高さの 調べる。 とらえている。 関係を理解する。 ・この関係を「比例」ということを おさえる。 ・平行四辺形の高さを□cm、面積を ○cm として面積を求める式を考 える。 8 ⑥まとめ １２ ○学習内容を確実に ・適用問題に取り組む。 考 題を解決することができる。 身に付ける。 １３ ○学習内容の理解を ・確認問題に取り組む。 知 基本的な学習内容について理 解している。 確認する。 評価規準 学習内容を正しく用いて、問 関：算数への関心・意欲・態度 考：数学的な考え方 表：数量や図形についての表現・処理 知：数量や図形についての知識・理解 ６．前時の学習指導（７／１３） （１）目標 台形の面積の求め方を既習の図形に帰着して考えることができる。 （２）評価規準 既習の図形に帰着して、台形の面積の求め方を考えている。【数学的な考え方】 台形の面積の求め方を理解している。【表現・処理】 （３）展開 【第７時（前時）】 学 習 活 動 指導上の留意点（○）と研究にかかわる手だて（◇） 発問と予想される児童の反応 評価（□） １．既習の図形の名前や性質を復習する。 ○パワーポイントを用いて平面図形について既習 発問「次の二つの直線は、どのような位置 内容を振り返らせることで、定着を図るとともに の関係でしょうか。」 Ｃ１ 垂直 Ｃ２ 平行 Ｃ３ 交わっている角が直角だから。 Ｃ４ 辺と辺の幅がどこも等しいから。 本時での活用を意識付ける。 ・平行と垂直 ・いろいろな四角形 ＜提示する図＞ 発問「次の図形は何という名前ですか。ど 直線と直線との関係 図形の名前と性質 y 平行 y 平行四辺形 ・・・どちらもエに垂直だから ２組の辺が平行 エ Ｃ１ のような性質がありましたか。」 ア ４つの辺の長さが全て等しく、４つ イ D C ウ の角が全て直角だから正方形。 Ｃ２ ４つの角が全て直角だから長方形。 Ｃ３ ２組の辺が平行だから平行四辺形。 ○関係や図形の名称のみしか答えない場合は、「な Ｃ４ ４つの辺の長さが全て等しいから、 ぜ○○だと判断したのですか」と問うことで、常 ひし形。 に判断するための根拠に目を向けさせる。 ◇ 新しく学習する単元の理解に関わる既習内容 を反復させる。 9 【手だて①】 時間 ３分 ２．問題場面について知る。 ○多様な考えが出やすいように、方眼の目が入った 1cm 台形 ABCD の面積を求めましょう。 図形を提示する。 1cm ○はじめに図形だけを提示し、１の学習活動と関連 D A ２分 させながら、台形の定義や平行の性質や高さを明 確にしていく。 B C ○名称しか答えない場合は、「なぜ○○だと判断し たのですか」と問うことで、常に判断するための 発問「これは何という四角形ですか。また、 根拠に目を向けさせる。 何か特徴はありましたか。」 Ｃ１ １組の辺が平行だから台形です。 Ｃ２ 平行なので、AD と BC の幅はどこ ◇ 新しく学習する単元の理解に関わる既習内容 を反復させる。 【手だて①】 も等しくなっています。 発問「台形も面積を求められるでしょうか。」 ○「高さ」という言葉が出た場合には、どこを高さ と呼ぶのかを確認する。 Ｃ１ 求められる。 Ｃ２ 平行四辺形や三角形の面積の求め方 ○既習の平行四辺形や三角形の面積を想起させる を考えたときのようにすれば、求め ことで、既習を使って解けそうだという見通しを られそう。 もたせる。 課題：台形の面積の求め方を考えましょう。 ３．自力解決する。 ○図形カードを十分に用意し、複数の解決方法に取 指示「今までの学習を生かして、台形の面 積を求めてみましょう。 」 Ｃア 分 り組めるようにしておく。 ○既習の公式（正方形・長方形・平行四辺形・三角 ２つの三角形に分ける。 形）を掲示し、必要に応じて参照できるようにす る。 ○解決の糸口が見つからない児童に対して、以下の 2×4÷2＋8×4÷2＝20 Ｃイ 手だてを用意する。 1. 合同な台形をくっつけて平行四辺形 をつくり、２等分する。 複数の台形を用意し、並べたり切ったりする などの活動を伴わせる。 2. 補助線の入ったヒントカードを用意し、必要 に応じて渡す。 (8＋2)×4÷2＝20 Ｃウ 三角形と平行四辺形に分ける。 ○解決方法が見つかった児童には、図や式、言葉に よる説明を用意させる。その際、底辺と高さ、平 行と垂直、対角線といった既習の用語を的確に使 2×4＋6×4÷2＝20 Ｃエ 高さの半分で切り取り、回転させて 用するように指導する。 ◇ 伝えたい内容を的確な言葉で表現させる。 平行四辺形にする。 【手だて④】 考 既習の図形に帰着して、台形の面積の求め方 を考えている。 10 １５ (8＋2)×(4÷2)=20 Ｃオ ○複数の方法が見つかった児童には「お勧めの解決 方法」と「その理由」を考えさせる。 三角形２つと長方形に分ける。 ○式化が難しい児童について以下の手だてを行う。 1. 4×4÷2＋2×4＋2×4÷2=20 Ｃカ 分けた図形に番号を付けながら求めさせ、筋 道を立てやすくする。 一部を等積変形して三角形をつくる。 2. 求め方の手順を示したヒントカードを用意 し、既習の公式のどれを参照にするか、考え (8＋2)×4÷2＝20 Ｃキ ながら記入するよう指示する。 一部を等積変形して長方形をつくる。 4×5＝20 ４．練り上げる （１）自分の考えた求め方を発表する。 指示「どのような工夫で台形の面積を求め Ｃア Ｃイ １５ ○求積の根拠や手順について、以下の点を明らかに たのか、説明しましょう。」 しながら説明するよう指示する。 対角線で２つの三角形に分け、三角 1. どのように知っている図形にしたのか 形の公式を使って求めました。 2. 知っているどの公式を使ったのか 合同な台形を合わせて平行四辺形を 3. それぞれの数字が、どこの長さ（または操作） つくり、平行四辺形の公式を使って 求めました。 Ｃウ を表わしているのか ◇ 頂点 B から辺 AB に平行な直線を引 新しく学習する内容を、既習内容との関係を 根拠として説明させる。 【手だて②】 いて三角形と平行四辺形に分け、三 角形と平行四辺形の公式を使って求 Ｃエ めました。 を明らかにして説明するよう助言する。また、既 高さの半分のところで台形を底辺と 習の用語（太字の部分）については特に正確に使 平行に切り、回転させて右側につな うよう指示する。 ぐと平行四辺形になります。平行四 Ｃオ ○説明しているものが、図や式のどの部分であるか ○聞き手は、表されている辺をワークシートで指し 辺形の公式を使って求めました。 示しながら確認し、分からない場合は質問できる 頂点 A、D から底辺に垂直な直線を ようにする。 ひいて三角形と長方形に分けまし た。三角形と長方形の公式を使って ◇ 伝えたい内容を的確な言葉で表現させる。 求めました。 Ｃカ 【手だて④】 三角形 ADE を合同な三角形 FCE に 移動させると一つの大きな三角形に なります。三角形の公式を使って求 11 分 めました。 Ｃキ 辺 AB と辺 CD の半分の線で底辺と 垂直に台形を切り、上につなげて長 方形をつくります。長方形の公式を 使って求めました。 （２）解決方法を比較・検討する。 ○答えがどれも 20cm2 であることを確認する。 発問「似ているアイデアで解決している方 ○解決方法を工夫に着目しながら分割、等積変形、 ８分 倍積変形に分類する。 法はどれですか」 Ｃ１ ○既習の求積公式だけで台形の面積を求めること ア、ウ、オはどれも台形を切って、 ができたことを確認する。 習った図形が組み合わさったものと 考えて求めています。 Ｃ２ ◇ エ、カ、キは、形を変えて、台形と 互いの意見を補い合いながら練り上げを行 う。【手だて⑤】 等しい面積の知っている図形にして 知 います。 Ｃ３ 台形の面積の求め方を理解している。 イは、三角形の面積を求めたときの ように、合同な図形をつけて、知っ ている図形にしています。 Ｃ４ どの解決方法も習った公式が使える 工夫をしています。 ○既習の図形の求積公式を用いて、台形の面積を求 ６．学習感想を書く。 めることができるなどの感想を取り上げる。 ２分 ○ノートを回収して児童の解決方法を確認し、次時 の公式化を行うグループをつくっておく。 （４）板書計画 １１／１５（月）台形の面積の求め方 課題：台形の面積の求め方を考えましょう。 1cm 台形 ABCD の面積を求めましょう。 A B 式 1cm 1cm 台形 ABCD の面積を求めましょう。 D A C 10×4÷2＝20 答え 知っている図形の面積公式 B 式 1cm 1cm A C 20 cm2 式 答え 正方形の面積＝一辺×一辺 平行四辺形の面積＝底辺×高さ A B 式 C 1cm 1cm D B 式 答え D 台形 ABCD の面積を求めましょう。 A 2×10＝20 20 cm2 台形 ABCD の面積を求めましょう。 1cm 1cm D B 10×2＝20 1cm 長方形の面積＝たて×横 台形 ABCD の面積を求めましょう。 D C 4×5＝20 20 cm2 答え 20 cm2 面積を求めるための工夫② 合同な図形をくっつけて、 （知っている図形）にする。 C 10×4÷2＝20 答え 1cm 20 cm2 台形 ABCD の面積を求めましょう。 A 1cm D 三角形の面積＝底辺×高さ÷２ 1cm A 面積を求めるための工夫③ （知っている図形）に分けて、 別々に求める。 1cm 1cm 台形 ABCD の面積を求めましょう。 台形 ABCD の面積を求めましょう。 D A 1cm D B 台形の面積も、習った図形に変えて、 C 1cm その公式を使えば求められます。 台形 ABCD の面積を求めましょう。 B 式 面積を求めるための工夫① 形を変えて、 （知っている図形）にする。 C 2×4÷2＋8×4÷2＝20 答え 20 cm2 B 式 C 2×4＋6×4÷2＝20 答え 20 cm2 式 12 2×4＋6×4÷2＝20 答え 20 cm2 1cm ７．本時の学習指導（８／１３） （１）目標 台形の面積を求める公式を、つくり出すことによって理解し、それを適用して面積を求めること ができる。 （２）評価規準 台形の上底及び下底の長さと高さに着目して、面積の公式を考えている。【数学的な考え方】 公式を用いて、台形の面積を求めることができる。【表現・処理】 （３）展開 【第８時（本時）】 学 習 活 動 指導上の留意点（○）と研究にかかわる手だて（◇） 発問と予想される児童の反応 １．前時の学習を振り返る。 評価（□） ○前時までの流れを想起しやすいように、前時に使 前時に挙がった求め方を、発表者とは 別の児童が説明する。 時間 ３分 用した発表カードを掲示しておく。 ○前時の発表者とは違う児童に説明させることで、 全体の理解を確認する。 ◇ 新しく学習する単元の理解に関わる既習内容 を反復させる。 【手だて①】 ○発表に際し、以下の点を確認させる。 ◇ 1. 求めたときの工夫 2. 使用した公式（三角形、平行四辺形） 新しく学習する内容を、既習内容との関係を根 拠として説明させる。 ２．本時の課題を把握する。 【手だて②】 ○平行四辺形や三角形の面積を求めた際、既習の図 発問「どんな台形の面積でも、すぐに計算 形に変形したり、分けたりしなくとも、図形の大 で求められるようにするには、どう きさを決定する辺の長さに着目して計算で求め すればよいでしょう。」 られた公式のよさを確認し、本時の活動への意欲 平行四辺形や三角形のように、台形 付けを図る。 Ｃ１ も公式をつくればよい。 Ｃ２ Ｃ３ ２分 ○「公式づくりの条件」を掲示し、確認する。 台形の面積を求めたときに使った長 1. できるだけ短い式にする さを調べて、言葉に置き換えて表せ 2. 長さを測る回数を少なくする ばよい。 3. 同じ言葉が何度も使わない 平行四辺形も三角形と底辺と高さで 公式をつくることができた。 課題：台形の面積の求め方をもとにして、台形の面積を求める公式をつくりましょう。 ３．自力解決する。 指示「昨日の台形の面積の求め方を基に公 式をつくってみましょう。」 ５分 ○各自が前時の台形の求め方のどの方法を基に考 えていくのかを確認する。 13 ○公式化する際の注意点を示す。 1. 求積に使用した長さを、色を塗ることにより はっきり示させる。 2. 式の下に言葉を書かせることによって、変数 （長さ）と定数（÷2）の違いを明確にさせる。 3. 計算した手順を明確にさせる。 ◇ 解決に必要な要素を明らかにさせる。 【手だて③】 □台形の上底及び下底の長さと高さに着目して、面 積の公式を考えている。 【数学的な考え方】 ４．同じ考え方の児童どうしでグループをつく ○同じ考え方の児童同士で４∼５人のグループを り、台形の公式を考える。（グループ） つくり、各々が考えた公式を発表し合うことで、 指示「自分でつくった公式と同じ解決方法を 台形の公式の表し方を確認させる。 基に考えている友達の公式を比べて、 協力して公式を考えましょう。」 ＜予想される児童の反応＞ Ｃア ２つの三角形に分ける。 上辺×高さ÷2＋下辺×高さ÷2 Ｃイ 倍積変形で平行四辺形をつくり２等 ○グループによる公式化の活動では、以下の点を重 分する。 点的に指導する。 1. 必要な既習の言葉については正確に使用する よう留意させる。 (上辺＋下辺)×高さ÷2 Ｃウ 2. 未習の言葉（上底・下底）については、初め 三角形と平行四辺形に分ける。 て聞く人でも分かる言葉を考えさせる。 3. 計算のきまりが曖昧な児童には（ ）等を正 確に使用させる。 上辺×高さ＋(下辺−上辺)×高さ÷2 Ｃエ ◇ 伝えたい内容を的確な言葉で表現させる。 高さ÷2 で切り平行四辺形にする。 【手だて④】 ○公式化が難しいグループには、自分の考え方を図 (上辺＋下辺)×(高さ÷2) Ｃオ 三角形２つと長方形に分ける。 形ごとに公式化するなど、一つの式にこだわらな くてもよいことを伝える。 ○Ｃ３、Ｃ５、Ｃ６は公式が出にくいと思われるの で、クラス全体で考えていけばよいことを伝えた 上底×高さ＋(下底−上底)×高さ÷2 うえで、言葉に置き換えた長さと、置き換えたい 14 １０ 分 Ｃカ 一部を等積変形して三角形をつく 式（あるいは言葉）が考えつかなかった長さとを る。 明確に区別させる。 (上辺＋下辺)×高さ÷2 Ｃキ ○早く終わったグループには、自分たちの公式で他 一部を等積変形して長方形にする。 のグループの考え方を説明できるかどうか考え させる。 (上辺＋下辺)÷2×高さ ５．練り上げる。 ○既習の言葉は正確に用いるよう指示する。 （１）グループ毎に自分たちのつくった公 ○図形の性質や平行・垂直など、根拠を明らかにし 式を発表する て説明させる。 ＜予想される児童の反応＞ Ｃア ○台形の性質を確認させるため、その構成要素とな 私たちのグループでは、 「２つの三角 る長さについて以下の点に留意する。 形に分ける」方法を基に公式を考え 1. 「高さ」や「辺」については、同じものを使 ました。つくった公式は、 用する場合と違うものを使用する場合で厳密 「①上辺×高さ÷2＋②下辺×高さ÷2」 2. 「上底」 「下底」については、聞く側に伝わり です。 ①は上の三角形の面積 を求める式で、②は に名称を分けて表現させる。 ① ② 下の三角形を求 める式です。台形の面積はこの２つ の三角形の面積を合わせた大きさだ やすい表現であれば「上の辺」「上辺」「辺 A」 などいずれの表現でも可とする。 3. 既に「上底」 「下底」を知っている児童につい ても、その意味を改めて考えさせる。 ○Ｃアにおいて「高さ」についての説明がない場合 から、たします。 は、「公式で使われている２つの高さは別々のも 台形の上辺と下辺は平行です。平行 のですか」と問いかけることで、高さは共通して な線はどこもはばが等しいので、二 いること、また、上辺、下辺、高さの３つの長さ つの三角形の高さは等しいから、同 のみが必要であることを確認する。 じ言葉を使っています。 Ｃイ 私たちのグループでは、合同な台形 ○Ｃイにおいて、平行四辺形の高さは示されている をつないで平行四辺形をつくる方法 台形の高さと一致することを明確にさせる。 を基に公式をつくりました。つくっ た公式は「 ①（上辺＋下辺）×高さ ÷2」です。 平行四辺形 の底辺は、 台形の上辺 と下辺をたした長さになります。平 行四辺形の面積は①の式です。求め たい台形の面積はその半分だから、 15 １０ 分 「÷2」となります。 Ｃウ 私たちのグループでは、三角形と平 ○Ｃウにおいて、②の三角形の底辺は、上辺と下辺 行四辺形に分ける方法を基に公式を の差で表現できること、Ｃアと同様に「高さ」が つくりました。つくった公式は、 共通であることを説明させる。 「①上辺×高さ＋②(下辺−上辺)×高さ÷2」 です。 ◇ 伝えたい内容を的確な言葉で表現させる。 ①は左側の平行四辺形の面積を求め 【手だて④】 る式で、②は右側の三角形の面積を 求める式です。 ②の底辺は台形 の下辺から上辺 を引いた長さになります。 求める台形の面積はこの２つの図形 の面積を合わせた大きさだから、た します。 Ｃエ 私たちのグループでは、台形の高さ の半分のところで切って平行四辺形 にする方法を基に公式をつくりまし た。つくった公式は、 「(上辺＋下辺) ×(高さ÷2)」です。 平行四辺形の 底辺は台形の上の辺と下の辺を足し た長さになり、高さは台形の高さの 半分なので「高さ÷2」になります。 Ｃオ 私たちのグループでは、２つの直角 ○Ｃオにおいて、前時で解決方法を検討する際、３ 三角形と長方形に分ける方法を基に つの図形に分けるアイデアを２つの図形として 公式をつくりました。つくった公式は 処理したことをふまえて説明させる。 「①上辺×高さ＋②(下辺−上辺)×高さ÷2」 です。 ① ② ①は長方形の面積で、②は２つの直 角三角形をまとめた三角形を求める 式です。下辺と上辺の差になるので このように表しました。 Ｃカ 私たちのグループでは、台形を面積 の等しい三角形にする方法を基に公 16 式をつくりました。つくった公式は、 「(上辺＋下辺)×高さ÷2」です。 新しくでき た三角形の 底辺は、元の 台形の上辺と下辺の和になります。 Ｃキ 私たちのグループでは、台形を面積 ○Ｃキにおいて、中辺を測定するためには、まず辺 の等しい長方形にする方法を基に公 AB と辺 CD の長さを測定し、わり算をして中点 式をつくりました。つくった公式は、 を特定していることを確認する。 「中辺×高さ」です。 中辺というのは、 中辺 台形の平行でない ２つの辺の真ん中 の点どうしを結んだ辺（長さ）のこ とです。これが長方形の横の長さに なり、たては高さです。 ○Ｃカ、Ｃキについては、本時の活動において取り 組むグループがあれば取り上げる。 （２）お互いにつくった公式を検討し合う。 ○それぞれの公式を「簡潔」 「明瞭」 「統合」の視点 発問「みんなが考えてくれた公式の中で、 で整理していく。 分 似ているところはありますか」 ・上辺、下辺、高さが使われている回数。 Ｃ１ イとカは同じ式になっている。 ・必要な要素（長さ）を計算で新たにつくり出す Ｃ２ ウとオも同じ式になっている。 などの作業をせず、台形の要素のみで処理でき Ｃ３ ア∼カまでの公式は、どれも上辺と る。 下辺、高さが使われている。 ○それぞれの公式において、台形の求積に必要な要 Ｃ４ エはイやカと似ている。 Ｃ５ ア、ウ、オは「上辺」 「下辺」 「高さ」 ◇ 素（長さ）があることに着目させる。 互いの意見を補い合いながら練り上げを行う。 を２つ使っているが、イ、エ、カは 【手だて⑤】 1 回だけでよい。 Ｃ６ 計算のきまりではかけ算に（ 要らないから、 （ ）は やカと同じになると思う。 Ｃ７ ○「公式の条件」に当てはまることを話合いの基準 ）を外せばエはイ にする。 ○どの公式も「上辺」 「下辺」 「高さ」に着目してい アは上辺と下辺以外は同じだから、 ることから、共有化を図るために必要な用語とし 計算のきまりを使って（ て「上底」「下底」「高さ」を知らせる。 ）でまと めるとイ、エ、カと同じになる。 Ｃ８ キは簡単な式になっているが、中辺 ◇ 解決に必要な要素を明らかにさせる。 をだすのに手間がかかる。 Ｃ９ 【手だて③】 アやエの公式もイ、カにまとめられ るから、「(上辺＋下辺)×高さ÷2」 を公式としてまとめるのがよい。 17 １０ ６．本時のまとめをする。 ５分 まとめ：台形の面積は、(上底＋下底)×高さ÷2 で求めることができます。 ○教師の板書を写すのではなく、自分でノートに書 き表せることで、公式への意識付けを図る。 ７．適用問題に取り組む。 指示「台形の公式を使って次の台形の面積 ○公式を改めて図に置き換えて振り返らせる。 を求めて、使った長さ ○隣どうしで説明し合うことで、台形の公式の理解 を示しながら を深める。 説明してみま ◇ 図と式を関連付けて理解させる。【手だて⑥】 しょう。」 ８．学習感想を書く ○授業後ノートを回収し、必要な長さを的確に選択 できたかどうか確認する。 （４）板書計画 １１／１６（火） 課題：台形の面積の求め方をもとにして、台形の面積を求める公式をつくりましょう。 1cm 台形 ABCD の面積を求めましょう。 1cm 1cm 1cm 台形 ABCD の面積を求めましょう。 D A 1cm 台形 ABCD の面積を求めましょう。 1cm 1cm 台形 ABCD の面積を求めましょう。 D A D A 1cm 1cm 台形 ABCD の面積を求めましょう。 D A 1cm 底辺 上の辺→上底 D A 下の辺→下底 B C B 10×4÷2＝20 答え 式 10×2＝20 式 20 cm2 B C 20 cm2 D A C 1cm 1cm 台形 ABCD の面積を求めましょう。 台形 ABCD の面積を求めましょう。 C 1cm ＝ (上辺＋下辺)×高さ÷2 B 2×4＋6×4÷2＝20 答え 20 cm2 C 式 4×5＝20 答え D B A C D C 台形の面積 ＝(上辺＋下辺)÷2×高さ ＝上辺×高さ＋(下辺−上辺)×高さ÷2 C B 10×4÷2＝20 答え 式 台形 ABCD の面積を求めましょう。 1cm 1cm 台形 ABCD の面積を求めましょう。 D A A B 20 cm2 A C C 式 答え D 台形の面積 ＝ (上辺＋下辺)×高さ÷2 B C 2×10＝20 式 20 cm2 B C B ＝ (上辺＋下辺)×高さ÷2 B 2×4＋6×4÷2＝20 答え 20 cm2 A D 台形の面積 ＝高さ÷2×(上辺＋下辺) ＝ (上辺＋下辺)×高さ÷2 1cm A B 20 cm2 B 台形の面積 D A D A 式 A 台形の面積 ＝上辺×高さ÷2＋下辺×高さ÷2 1cm C D B 台形の面積 ＝(上辺＋下辺)×高さ÷2 B 2×4÷2＋8×4÷2＝20 答え 20 cm2 A B 台形の面積 ＝ (上辺＋下辺)×高さ÷2 高さ ÷２ C 式 答え D A B C C (2＋8)×4÷2＝20 答え 20 cm2 ＝ (上辺＋下辺)×高さ÷2 D C 台形の面積 ＝上辺×高さ＋(下辺−上辺)×高さ÷2 18 式 1cm D まとめ 台形の面積は （上底＋下底）×高さ÷２で求めることができます。