IT活用数学科学習指導案

ＩＴ活用数学科学習指導案
作成者
１．校
種
教育センター指導主事
高等学校
２．対象生徒
第２学年
３．教科等
数学科・数学Ⅱ
４．単元名
図形と方程式
５．単元の指導計画（総時数２４時間）
第一次
点と直線
・・・・・・・・・・・（１０時間）
第二次
円 ・・・・・・・・・・・・・・（
６時間）
第三次
軌跡と領域 ・・・・・・・・・・（
６時間）
１時
軌跡と方程式（１）・・・・本時
２時
軌跡と方程式（２）
３時
直線を境界線とする領域
４時
円を境界線とする領域
５時
連立不等式の表す領域
６時
領域と最大・最小
第四次
章末問題 ・・・・・・・・・・・（
２時間）
６．本時の学習
(1) 題
目
軌跡と方程式
(2) ねらい
・軌跡となる図形を与えられた条件を満たす点の集合としてとらえ，考察することができ
る。
【数学的な見方・考え方】
・点Ｐに与えられた条件から手順にしたがって，軌跡となる図形の方程式を求めることができ
【表現・処理】
る。
(3) ＩＴ教材を使う意図
直線や円などの平面上に表された図形が，ｘ座標とｙ座標に一定の条件を与えた点の集ま
りであることを視覚によって直感的にとらえさせる。また，点の動きによって求める軌跡の
概形をイメージさせることができ，実際に軌跡の方程式を求めるとき，線などの集合体で考
えるのではなく一般的な座標（Ｘ，Ｙ）を用いて点で考えればよいことの理解を手助けする。
(4) 使用ソフト Microsoft 社
PowerPoint2002
ﾌﾘｰｿﾌﾄ Function View(Ver5.34)
(http://hp.vector.co.jp/authors/VA017172/ より入手可能)
※functionview.exe とファイルを関連づける必要がある。
(5) 展
開
時間
学習過程
５
分
１ 軌跡の定義
導
入
40
分
展
開
生徒の学習活動
教師の指導・支援
○ある条件を満たしな ・軌跡の定義を説明する。
がら動く点の集合が ・例として円の場合を示す。
軌跡であることを 理 ・点が集まることによって円や直
解する。
線などの図形を構成することを
視覚的に理解させる。
①
２ 座標平面上
例 ２点から等しい距離にある点の軌跡
の軌跡
（ 垂 直 ２ 等 分 ○ 求める点の軌跡がど ・AP=BP を満たしながら点 P
線）
②
うなるかスクリーンを を移動する。
・指名しながらどんな図形になる
見て予想する。
か考えさせる。
○ 図 形の 概形を つか ・ 条件を満たす任意の点 P の座
標を（ｘ，ｙ）として条件に当ては 求 め る 軌 跡 を
み，方程式がどうな
め，ｘ，ｙの関係式を導く。
るかを考える。
条件を満たす
点の集合とし
○ 得 ら れ た 関 係 式 が ・ ２点間の距離の公式を忘れて て と ら え る こ と
いるようなら板書する。
予想した直線の方
ができる。
程式であることを確 ・逆に，求めた直線上にある点は 【 数 学 的 な 見
すべてこの条件を満たすことを 方・考え方】
認する。
確認する。
（発言・観察）
○ 軌 跡の 求め方を 理 ・ 軌跡の方程式を求める手順を
説明する。
解し，ノートに書く。
３ 座標平面上 例題 ２点からの距離の比が一定である点の軌跡
の軌跡
（アポロニウス ○ 求める点の軌跡がど ・条件を満たしながら点 P を移
の円）
③
うなるかスクリーンを 動させる。
・ 段階にしたがって軌跡の方程
見て予想する。
式の求め方を説明する。
・ ところどころ指名しながら，生徒
の理解度を確認する
４ 問題演習
○ 練習問題（１）（２）を ・ 机間指導でとまどっている生徒
に助言を与える。
２つの例題を参考に
・ 逆を確かめることを再度注意す
プリントに解く。
る。
○ プリントを提出する。
５
分
ま
と
め
評価規準
手 順に 従っ て
軌跡の方程式
を求めることが
できる。
【表現・処理】
（プリント）
５ 次時の学習 ○ 本時の学習の確認 ・ 線分の中点の軌跡を予想さ
内容の予告
をしながら次回取り
せ，次回の学習に対する意欲
組む問題を知る。
付けをする。
④
：IT 活用場面
(6) ＩＴ教材の説明
１ 軌跡とは
・ ある条件を満たしながら動く点が描く図形を、
その条件を満たす点の軌跡という。
軌跡と方程式
例 平面上で、点Cに対して CP=２ を満たす点Pの軌跡は
１
２
３
４
点Cを中心とする半径２の円である。
軌跡とは
座標平面上の軌跡
軌跡の方程式の求め方
線分の中点の軌跡（次回予告）
・ その図形の方程式を、軌跡の方程式
という。
その図形の方程式を、軌跡の方程式という。
①について
定点Ｃからの距離が２である点Ｐを例として
１つとり，他にも多数あることを残像を残すこ
とによって示す。
2
C
さらに多く点Ｐをとり，円となっていく様子
を表示する。
P
２ 座標平面上の軌跡
その図形上の任意の点の
ｘ座標とｙ
座標とｙ座標に一定の関係があるとき
例 ２点A
２点A（０，２）、B
（０，２）、B（４，０）に対して、AP=BP
（４，０）に対して、AP=BP
を満たす点P
を満たす点Pの軌跡
P（ｘ、ｙ）とおくと
AP= x 2 + ( y - 2 )2
２点間の距離の公式 より
BP= ( x - 4 )2 + y 2
条件は AP=BP だから
2
2
x 2 + ( y - 2 ) ＝ (x - 4 ) + y 2
両辺を２乗して
x2 + ( y - 2)2 ＝ (x-4)2 + y2
その関係式が
図形の方程式
x2 + y2 -4y +4＝ x2 -8x +16+ y2
ｙ
7
AP=7.0711
BP=7.0711
P
②について
6
２定点Ａ，Ｂからの距離が等しい点Ｐがどの
5
ような図形上にあるかを予想させるため，点Ｐ
4
3
を条件を満たしながら移動する。
A
2
1
B
-4
-3
-2
-1
O
-1
-2
-3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
ｘ
例題
原点O
原点Oからの距離と点A
からの距離と点A（３，０）からの距離の比が
２：１ である点P
である点Pの軌跡を求めよ。
３ 軌跡の方程式の求め方
① 軌跡を求めたい点の座標を（X,Y
）とおく。
軌跡を求めたい点の座標を（X,Y）とおく。
解）P
解）P（X,Y)とする。
X,Y)とする。
・・・・・・・・・・ ①
Pに関する条件は OP：
OP：AP＝２：１
AP＝２：１
だから
２AP＝
AP＝OP
すなわち
４AP２＝OP２
２
AP２＝（X
X
－３）
＋
Y２ 、 OP２＝X２＋Y２ を代入して ・・・②
＝（
・・・②
４｛ （X －３）２＋Y２ ｝＝X
｝＝X２＋Y２
② 条件を使い、X,Y
だけの関係式を導く。
条件を使い、X,Yだけの関係式を導く。
③ X→ｘ、Y→ｙ に変えると軌跡の方程式
である。
整理すると X２－８X＋Y２＋１２＝０
変形して （X－４）２＋Y２ ＝２ ２
④ ③で求めた図形上のすべての点が、条件
を満たすことを確かめる。
ｙ
5
③について
4
２定点Ｏ，Ａからの距離の比が一定である点
3
Ｐの軌跡が円（アポロニウスの円）になってい
P
2
く様子を残像を残すことによって理解させるこ
1
A
-5
-4
-3
-2
-1
O
1
2
3
4
5
6
7
8
9
ｘ
とができる。
-1
-2
-3
-4
-5
４ 線分の中点の軌跡
応用例題
点Qが 円ｘ２＋ｙ２＝２２ 上を動くとき、
点A（４，０）と点Q
の中点P
Pの軌跡を
（４，０）と点Qを結ぶ線分AQ
を結ぶ線分AQの中点
求めよ。
考え方
Q（ｓ、ｔ）、P
、ｔ）、P（X,Y)とし、
X,Y)とし、
Qの満たす条件の式から
X,Yだけの関係式を導く。
X,Yだけの関係式を導く。
ｙ
④について
3
点Ｑが円上を動くことにともなって，中点Ｐ
2
が動く様子を動画によって示し、軌跡のイメー
Q
1
P
ジをとらえさせる。
A
-2
-1
O
-1
-2
-3
1
2
3
4
5
6
ｘ