4. 面積分

積分の心
×43
4. 面積分
×13
積分の心
２変数関数の積分
y
面積
×89
グラフ y = f (x) と x 軸，および
y = f (x) ≥ 0
×84
直線 x = a と直線 x = b で囲ま
れる図形の面積 S
S
S=
x
b
a
および４つの平面 x = a, x = b
y = c, y = d で囲まれる立体の
体積 V は？
V
底面は長方形 [a, b] × [c, d]
x
長方形上の積分
S1 (y) =
y
S1 (y)
b
d
長方形上の積分
f (x, y)dx
a
!
V =
!
S1 (y)dy =
c
!
d
c
!
b
S2 (x) =
S2 (x)
V =
!
d
S2 (x)dx =
a
微小厚み dx を
持つ柱体の体積
z = f (x, y) ≥ 0
V =
y
V
x
!
a
b
!
d
f (x, y)dydx
c
内側が先
!
c
体積
内側が先
f (x, y)dy
c
b
z
f (x, y)dxdy
a
微小厚み dy を
持つ柱体の体積
!
f (x, y)dx
グラフ z = f (x, y) と xy 平面，
y
体積
b
a
z = f (x, y) ≥ 0
z
!
d
!
b
f (x, y)dxdy =
a
!
a
b
!
d
f (x, y)dydx
c
積分の順序は交換可能
Ex.4-1
以下の長方形上の積分を計算し，積分の順序を交換しても
結果が同じになることを確かめよ．
(1)
!
0
2
!
0
1
(x − y)2 dxdy
(2)
!
0
1
!
0
1
x2 y 3 dxdy
長方形上の積分
Ex.4-1 の解答
!
(1) 1
2
#1
1
1
1
1
= (1 − y)3 − (−y)3 = − y + y 2
(x − y)3
(x − y) dx =
3
3
3
3
0
x=0
!
"2
#
! 2! 1
! 2"
1
1 2 1 3
1
2
2
=
y− y + y
− y + y dy =
(x − y) dxdy =
3
2
3
3
0
0
0
y=0
#2
"
! 2
1
1
1
8
(x − y)2 dy = − (x − y)3 = − (x − 2)3 + x3 = 2x2 − 4x +
3
3
3
3
0
y=0
#
!
"1
! 1! 2
! 1"
8
2 3
8
2
2
2
dx =
(x − y) dydx =
2x − 4x +
x − 2x + x =
3
3
3 0
0
0
0
(2)
!
0
1
!
"
1
x2 y 3 dxdy =
0
!
1
y3
0
!
1
x2 dxdy =
0
!
1
x2 dx
0
!
1
長方形上の積分
y
y 3 dy =
0
!
d
dy
4
3
a
c
a
4
3
1 1
1
· =
3 4
12
Ω を微小領域に分解し，そのそれ
ぞれの微小領域を底面とし高さ f
を持つ柱体を考える．
面積要素
dS
x
微小領域の面積を dS と書けば
Ω
この柱体の(符号も込めた)体積は f dS
これらを領域 Ω で全部足し合わせたものを，関数 f の
!
領域 Ω 上での面積分といい
f dS と表す．
積分領域も必ずしも長方形である
必要はない．
面積分
!
y
1
T
Ω
f dS の計算は適当な座標曲線に沿った２回の積分を
例．三角形 T = {(x, y) | x + y ≤ 1, x, y ≥ 0} 上の積分
y
1
!
T
f dS =
0
1
1−y
1
0
T
y
!
=
x
!
1
0
!
1−y
y
1
f (x, y)dxdy
(x + y)dS =
T
T
1−y
1
(x + y)dS =
!
0
0
!
x
!
1−y
−(1−y)
1
!
1−y
1−x
f (x, y)dydx
1−x
0
0
1
"
#1
1
2
(2y − 2y 2 )dy = y 2 − y 3 =
3
3
0
1
T = {(x, y) | x + y ≤ 1, x − y ≥ −1, y ≥ 0} とするとき
!
T
(x + y)dS を求めよ．
いろいろな図形上の面積分
y
(x + y)dxdy
なので
x
Ex.4-2
1
−(1−y)
(x + y)dx = 2y(1 − y) = 2y − 2y 2
T
0
!
例．単位円 D 上の積分
Ex.4-2 の解答
!
!
実行することによって行う．
いろいろな図形上の面積分
−1 y − 1 0
f (x, y)dydx であれ
このような柱体は必ずしも微小な
長方形が底面である必要はない．
Ω
y
c
f (x, y)dxdy であれ
いろいろな図形上の面積分
xy 平面上の任意の領域 Ω 上で
関数 f の積分を考える．
y
b
a
! d
どちらの方向に先にスラ
イスしたかの違いだけ
面積分
z = f (x, y)
!
結局，微小な底面積 dxdy を
持つ四角柱の集合体によって
求める体積を近似している．
x
b
dx
積分が積の形に分離するので明らかに積分の順序交換可能
z
d
c
! b
!
D
y
−1
!
x
1 − y2
!
1
−1
D
1
−1
!
− 1 − y2
f dS =
=
!
1
−1
! √1−y2
√
−
!
√
1−y 2
1−x2
√
− 1−x2
f (x, y)dxdy
f (x, y)dydx
Ex.4-3
D = {(x, y) | x2 + y 2 ≤ 1, y ≥ 0} とする．
!
D
dS を求めよ．
x
いろいろな図形上の面積分
Ex.4-3 の解答
!
dS =
D
極座標の座標曲線
!
!
0
D
1
π
2
0
π
2
! √1−y2
√
0
=2
!
=
!
極座標の面積要素
−
"
1−y 2
dxdy = 2
!
1
0
"
1 − sin2 θ cos θdθ = 2
π
(1 + cos 2θ)dθ =
2
!
π
2
dr
dθ
O
面積要素 dS は扇形の面積の差で書ける．
1
1
dS = (r + dr/2)2 dθ − (r − dr/2)2 dθ =
2
2
π
この場合は半径１の半円の面積だから明らかに 2
丸いものを四角く計算していてセンスが悪い．
もうちょっと計算が簡単になるんでは？
dS = rdrdθ
面積分の計算
Ω
(1) Ω = {(x, y) | x + y ≤ 1, y ≥ 0}, f (x, y) = 1
Ex.4-4 の解答
(1)
(2) Ω = {(x, y) | x2 + y 2 ≤ 1, x, y ≥ 0}, f (x, y) = y
(3) Ω = {(x, y) | 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 4}, f (x, y) = x2 + y 2
Ex.4-5
!
f dS を求めよ．
次の関数 f (x, y) と領域 Ω に対し，面積分
Ω
(1) Ω = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}, f (x, y) = x sin πy
(2) Ω = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 1, x2 ≤ y ≤ 1}, f (x, y) = x
(3) Ω = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1 x}, f (x, y) = ex
2
!
dS =
Ω
2
(2)
(3)
!
!
!
π
0
ydS =
!
!
1
!
!
π
2
∞
−∞
1
rdr
0
0
0
Ω
!
1
0
(x2 + y 2 )dS =
Ω
r2 sin θdrdθ =
!
2π
0
!
!
0
2
π
0
! 1
r3 drdθ =
1
dθ =
+y 2 )
Ω
dS を考える．
2
e−x dx =
√
1
π
·π =
2
2
π
2
0
!
2
r3 dr
1
1
3
sin θdθ =
!
2π
15π
2
dθ =
0
Ex.4-5 の解答
! 1! 1
! 1
! 1
1
x sin πydS =
x sin πydxdy =
xdx
sin πydy =
π
0
0
0
0
! 1
!
! 1 ! √y
1
1
(2)
ydy =
xdS =
xdxdy =
4
0 2
Ω
0
0
!
! 2 ! x2
! 2
1
1
ex dS =
ex dydx =
xex dx = (e2 + 1)
(3)
2 0
2
0
Ω
0
(1)
!
Ω
面積分
!
2
e−(x
+y 2 )
dS =
Ω
=
!
∞
0
!
∞
e−y
0
2
!
∞
!
∞
2
e−(x
+y 2 )
dxdy =
0
2
e−x dxdy =
!
∞
2
e−x dx
0
0
一方，極座標で計算すると
π
!
r2 dr
この面積分を直交座標で計算すると
2
e−(x
この面積分を直交座標と極座標の２通りで計算することに
よって，次の公式を導出せよ．
!
極座標での面積要素の表式
rdrdθ =
面積分
Ω を第１象限として
rdrdθ
面積分の計算
Ex.4-4
!
f dS を求めよ．
次の関数 f (x, y) と領域 Ω に対し，面積分
Report 課題
dS ：面積要素
cos2 θdθ
0
dS は領域 D の面積であることに注意．
2
(r, θ)
1 − y 2 dy
!
2
e−(x
+y 2 )
dS =
π
2
0
Ω
=
ゆえに
!
!
0
∞
2
!
∞
2
e−r rdrdθ =
0
"∞
!
2
π
1
π
− e−r
=
2
2
4
0
e−x dx =
√
!
!
∞
0
∞
!
0
π
2
dθ
2
2
e−x e−y dxdy
2
e−y dy =
0
!
∞
0
!
∞
!"
∞
2
e−x dx
0
2
re−r dr
0
! ∞
√
2
π
e−x dx = π が従う．
であり，
2
−∞
#2
面積分の応用
面積分の応用
Ex.4-6
半径 R の薄い円盤がある．ρ = ρ(r) を面密度（単位面積あたり
の質量）とする．ただし r は円盤の中心からの距離とする．
!
"
r2
ρ(r) = ρ0 1 + 2 であるときこの円盤の総質量
R
M を求めよ．
Ex.4-7
半径 R の球の体積 V を面積分を使って求めてみよ．
Ex.4-6 の解答
D = {(x, y) | x2 + y 2 ≤ R2 } とおくと
#
! R"
#
!
! 2π ! R "
r3
r2
r + 2 dr
ρ0 1 + 2 rdrdθ = 2πρ0
M=
ρdS =
R
R
0
0
0
D
!
"R
1
r4
3π
= 2πρ0 r2 +
=
ρ0 R 2
2
4R2 0
2
Ex.4-7 の解答
z=
!
R2 − x2 − y 2
のグラフと xy 平面で挟まれた領域は
2
2
2
半径 R の半球である．D = {(x, y) | x + y ≤ R } とおくと
V
=
2
! "
D
R2 − x2 − y 2 dS =
!
0
2π
!
"R
3
1
2
= 2π − (R2 − r2 ) 2
= πR3
3
3
0
積分の加法性
定積分の加法性
xi−1 xi
a
a = x0 < x1 < x2 < · · · < xN = b ならば
b
!
b
f (x)dx =
a
線積分の加法性
C
Ci
"!
i
xi
i
領域 Ω が Ω1 , Ω2 , · · · , ΩN に分割されているとき
Ωi
!
Ω
f dS =
"!
i
Ωi
f dS
R
"
R2 − r2 rdrdθ
よって
V =
4 3
πR
3
縦横の辺の少なくとも一方が整数値で
あるような長方形のタイルを使って，
左図のように長方形の部屋が敷き詰め
られている．このときこの部屋の縦横
の辺の少なくとも一方は整数値である
ことを示せ．
Di
面積分の加法性
Ω
D
f (x)dx
Ci
0
パズル面積分
xi−1
曲線 C が C1 , C2 , · · · , CN に分割されているとき
!
"!
f ds =
f ds
C
Ex.4-8
!
Hint：部屋の長方形領域を D = [0, a] × [0, b] とし，第 i 番目の
タイルの長方形領域を Di = [Ai , Ai + ai ] × [Bi , Bi + bi ] とする．
!
"!
f dS =
f dS において，
面積分の加法性の公式
D
i
Di
f (x, y) = sin 2πx sin 2πy として両辺を計算してみよ．