電熱アルミラジエーター

第２章 一次元定常熱伝導










伝熱工学の基礎： 伝熱の基本要素、フーリエの法則、ニュートンの冷却則
１次元定常熱伝導： 熱伝導率、熱通過率、熱伝導方程式
２次元定常熱伝導： ラプラスの方程式、数値解析の基礎
非定常熱伝導： 非定常熱伝導方程式、ラプラス変換、フーリエ数とビオ数
対流熱伝達の基礎： 熱伝達率、速度境界層と温度境界層、層流境界層と
乱流境界層、境界層厚さ、混合平均温度
強制対流熱伝達： 管内乱流熱伝達、円柱および球の熱伝達、管群熱伝達
自然対流熱伝達： 垂直平板自然対流熱伝達、密閉層内自然対流、共存対
流熱伝達
輻射伝熱： ステファン-ボルツマンの法則、黒体と灰色体、輻射率、形態係数
凝縮熱伝達： 鉛直平板膜状凝縮、凝縮数、水平円管膜状凝縮、滴状凝縮
沸騰熱伝達： 沸騰曲線、気泡力学、沸騰熱伝達率
講義内容




熱源の無い体系： フーリエの法則
熱源を含む体系： 熱伝導方程式
対流熱伝達のある熱伝導問題： フィン
接触熱抵抗
フーリエの法則（Fourier’s Law）

実験的な事実： （熱移動量）∝（温度勾配）
Q dT

A dx

比例定数 k を導入すると、
Q
dT
 k
A
dx


フーリエの法則（Fourier’s Law）
ここで、
k : 熱伝導率 [W m  K ] or [ kcal m  hr  C ]
k →大： 物体内での熱移動能力→大
フーリエの法則の適用例
フーリエの法則
Q
dT
 k
A
dx
高温側
壁
低温側
温度 T2 [℃]
熱流束 q [W/m2]
熱流束qを求めたい時：
q
T
Q
T  T2
 k
 k 1
x
A
t
温度（差）を求めたい時：
Qt
T2  T1 
kA
温度 T1[℃]
厚さ t [mm]
発熱の無い物体を通過する熱流束
ー 平板(多層平板)の場合 －
Q
QA
QB
QC
Q
発熱の無い物体を通過する熱流束
ー 平板(多層平板)の場合 －
T  T1
A
QA  k A 2
x A
QB   k B
T3  T2
A
x B
QC   kC
T4  T3
A
x C
定常状態を仮定
→
→
→
T1  T2 
T2  T3 
x A
kA A
 QA
x B
 QB
kB A
x
T3  T4  C  QC
kC A
→ 一定熱量が移動 ： Q  Q A  QB  QC
 x
x 
x
T1  T4   A  B  C   Q
 k A A k B A kC A 
Q
T1  T4
q 
∴
A x A x B xC


kA
kB
kC
n層の場合
Q T1  Tn  1
q  n
x i
A

i 1 ki
（温度ポテンシャル）
（熱流束）＝
（熱抵抗）
ここで、
Rth 
x
k
： 熱抵抗
発熱の無い円筒を通過する熱流束の計算(1/2)
フーリエの法則より
dT
Q   kAr
dr
ここで
Ar  2rL
Q
境界条件：
r  ri T  Ti
r  ro T  To
とすると：
2kLTo  Ti 
Q
 qr  Ar
lnro ri 
発熱の無い円筒を通過する熱流束の計算(2/2)
dT
dT
 2kLr
Q   kAr
dr
dr
Q dr
  dT
2kL r
ここで、境界条件より
r  ri
T  Ti
r  ro T  To
であるから
T0
Q r0 dr
   dT

r
Ti
2kL i r
Q
lnr rrio  T TTio
2kL
Q
lnro   lnri   To  Ti 
2kL
 ro 
Q
ln   To  Ti 
2kL  ri 
Q
2kLTo  Ti 
 qr  Ar
lnro ri 
k To  Ti 
qr  
r  ln ro ri 
多層円筒の場合
T1  T2
→
lnr2 r1 
2k A L
T2  T3
dT

Q
QB   k B Ar 
B
→
lnr3 r2 
dr
2k B L
T3  T4
dT
→ QC  lnr r 
QC   kC Ar 
4
3
dr
2kC L
dT
Q A   k A Ar 
dr
Q A QB QC
QA 
 lnr2 r1  lnr3 r2  lnr4 r3  
T1  T4  Q 



2
k
L
2
k
L
2
k
L



A
B
C


T1  T4
Q
lnr2 r1  lnr3 r2  lnr4 r3 


2k A L
2k B L
2kC L
発熱の無い球殻を通過する熱流束の計算
フーリエの法則より
dT
Q   kAr 
dr
ここで
Ar   4r 2
境界条件：
Q
r  ri
r  ro
T  Ti
T  To
より
4k To  Ti 
Qr 
1 ro   1 ri 
熱通過率(対流がある場合)－ 平板の場合 －
Q1
Q2
Q3
ニュートンの冷却則
（Newton’s law of cooling）
実験的な事実： （熱移動量）∝（温度差）
Q A  Tw  T 
比例定数を h とすると、
Q
q   hTw  T 
A
ここで、h W
m2  K

ニュートンの冷却則
（Newton’s law of cooling）
は、熱伝達率 と呼ばれる。
h →大： 流体と物体間の熱移動能力→大
熱通過率 － 平板の場合 －
Q1  h1 AT  To 
To  Ti
dT
Q2   kA
 kA
dx
x
Q3  h2 ATi  TR 
Q1
T  To 
h1 A
x
T

T

Q2
→ o
i
kA
→
→
定常状態： Q1  Q2  Q3  Q
Q
q   U T  TR 
A
1
1 x 1

熱通過率：  
U h1 k h2
Q3
Ti  TR 
h2 A
Q  1 x 1 
 
T  TR   
A  h1 k h2 
Q T  TR
q 
A
R
熱抵抗： R 
1 x 1


h1 k h2
熱通過率 － 円筒の場合 －
Q3
Q1  h1 Ai TA  T1 
T1  T2
Q2 
lnr2 / r1  2kL
Q2
Q1
Q3  h2 A0 T2  TB 
定常： Q1  Q2  Q3  Q
 1
lnr2 r1 
1 


TA  TB  Q 


2kL
h2 Ao 
 h1 Ai
熱抵抗（外壁を基準とすると）：
 1
ln r2 r1 
1 
  A0


Rt  
2kL
h2 Ao 
 h1 Ai
熱通過率とオームの法則
オームの法則
T  T0
q 
Rt
V
I
R
Rt ： 熱抵抗
熱通過率
平板の場合：
1 x 1
Rt  

h1 k h2
円筒の場合：
1 1 x 1
 

U h1 k h2
U ( TA  TB )  q 
 1
lnr2 r1 
1 
  A0
Rt  


2kL
h2 Ao 
 h1 Ai
Q
Ao
Ao
Ao  ln r2 r1  1
1



U h1 Ai
2kL
h2
問題2-1
厚さ t=10[mm]、熱伝導率 k=10[W/m・K]
の平板の表面温度が1=100[℃] となっ
ている。平板の単位面積当たり
Q/A=10,000[W/m2]
2
Q/A=10[kW/m2] の熱量が外面から内面
へ伝わっているとすると、外面温度 2 は
1=100[℃]
どれだけか。
t=10[mm]
問題2-2
図のような同一の材料からなる
線材の十字形がある。AX, BX,
CX, DXの長さはそれぞれ15[cm],
10[cm], 10[cm], 12[cm]、AX, BX,
CXの断面積はそれぞれ2[cm2],
2.5[cm2], 3[cm2]である。A, B, C,
Dの温度はそれぞれ常に60[℃],
50[℃], 40[℃], 30[℃]に保たれ、
線材の表面からの放熱はないも
のとする。このような定常状態が
成り立つときXの温度が42[℃]で
あった。DXの断面積を求めよ。
（熱管理士試験問題）
B
10[cm]
10[cm]
15[cm]
A
C
X
12[cm]
D
断面積[cm2]
温度[℃]
A B C D X
2 2.5 3 ？ 60 50 40 30 42
問題2-3
内径2[cm]、外径4[cm]のステ
ンレス製（18%Cr、8%Ni、
k=19[W/m・K]）の厚肉管が、
3[cm]のグラスウールで断熱
されている。
内壁が600[℃]、グラスウール
（k=0.2[W/m・K]）の外壁が
100[℃]に保たれているとき、
単位長さ当りに失われる熱量
を計算しなさい。
ステンレス鋼
グラスウール
r2
r1
T1=600[℃]
T２=100[℃]
r3
問題2-3の回答方針
管の長さをLとする。この間を横切る熱流束は
2 T1  T2 
Q

L lnr2 / r1  lnr3 / r2 

kS
kA
ステンレス鋼
グラスウール

r2
r1
T1=600[℃]
T２=100[℃]
r3
問題2-4
しっくいとレンガの壁に、グラスウール断熱材を設置することにより、
屋内から屋外への熱損失を元の値の20%以下にまで減少させた
い。グラスウール断熱材の厚さを何ｃｍ以上にすればよいか？
屋
外
グラス
ウール
屋
内
Q
問題2-4回答の方針
Ti  To
1  x A x B 



A  kA
kB 
Ti  To
Qx 
1  x A x B xC



A  kA
kB
kC
Q0 
グラスウールがない場合：
グラスウールがある場合：
題意より： Q x  0.2  Q0
であるから ∴ x 
C
屋
外
cm 
グラス
ウール
屋
内
Q



一次元熱伝導方程式
W / m 
2
T
  T 
 k
c
  q
 x  x 
様々な初期条件、境界条件下で、要素内の
温度分布温度変化を予測することができる。
各座標系における三次元熱伝導方程式

熱伝導率が一定とした場合、（ c ：熱容量）
温度伝導率（Thermal Diffusivity）：   k c [m2/s]とすると、
直交座標系：

円筒座標：

球座標：

  2T  2T  2T  q
T

  2 

2
2 
 x


y

z

 c
 1   T  1  2T  2T  q
T
 2 
 
 2
r
2
 r r  r  r 

z  c

2 
 1   2 T 
T


T

T  q
1
1



 2

 2 2
 2
 sin
r
2



  r sin    c
 r r  r  r sin  
熱伝導方程式の変形

非定常一次元熱伝導方程式
n=0：平板座標系
T 1   n T 
 n
c
r k
  q n=1：円筒座標系
t r r 
r 
n=2：球座標系

定常一次元熱伝導方程式（発熱無しq=0の場合）
1 d  n dT 
r k
0
n
r dr 
dr 

平板体系を考えると、n=0であるから、
dT
Q
k
 const.  熱流束 
dr
A
熱源を含む系ー 発熱平板の場合 －
熱伝導方程式：
d  dT 

  q  0
dr  dr 
ここで q：単位体積当たりの発熱量
境界条件： Tr  0  Tmax
温度分布：
熱流束：
dT
dr
0
r 0
q 2
T r   T 0 
r
2
dT
q   
 qr
dr
熱源を含む系ー 発熱平板の場合 －
温度分布と熱流束分布
熱源を含む系ー 発熱する円柱の場合 －
熱伝導方程式：
1 d  dT 
  q  0
 r
dr 
r dr 
境界条件：
Tr  0  Tmax
↓
dT
dr
0
r 0
温度分布：
q 2
T r   Tmax 
r
4
熱流束分布：
dT q
q  

r
dr
2
自動車・自動二輪
エンジン
自動車における熱交換器類
東洋ラジエータHPより抜粋
各種のフィン型ヒートシンク
(古川電工株式会社提供、日本機械学会「伝熱工学」 図7.31 )
対流熱伝達のある熱伝導問題（拡大伝熱面）
対流熱伝達のある熱伝導問題
要素 dx に対しする熱エネルギーの収支：
（左側面から流入する熱量）＝（右側面から流出する熱量）
＋（対流によって持ち去られる熱量）
（左側面から流入する熱量）   kA
dT
dx
dT
（右側面から流出する熱量）  kA
dx
x  dx
 dT d  dT  
  kA


 dx 
 dx dx  dx  
（対流によって持ち去られる熱量）  h  Pdx   T  T 
対流熱伝達のある熱伝導問題(解1：温度境界条件)
基礎方程式：
d 2T hP
T  T   0

2
dx
kA
置き換え：   T  T
m2 
d 2
2

m
 0
2
dx
一般解：
境界条件：
hP
kA
  C 1e  mx  C 2 e mx
x0
x
 0    0  T0  T
T  T
    0
温度分布：
T  x   T  T0  T e  mx
放出熱量：
dT
Q   kA
dx
  kAT0  T    m   mkA T0  T 
x 0
対流熱伝達のある熱伝導問題(解1：温度境界条件)
一番目の境界条件から  0  C1  C2  T0  T
また、 x   のとき有限でなければならないから
C2  0
 ( x)  T  T  T0  T   e  mx
 C1  T0  T
 T ( x)  T  T0  T   e  mx
dT
 T0  T    m   e  mx
dx
dT
 T0  T    m 
dx x  0
dT
Q   kA
dx
 mkAT0  T 
x0
対流熱伝達のある熱伝導問題(解２：断熱条件)
d 2T hP
T  T   0

基礎方程式：
2
dx
kA
置き換え：   T  T
2
d
2

m
 0
2
dx
 mx
mx


C
e

C
e
一般解：
1
2
d
0
境界条件：
xL
放出熱量：
dT
dx
hP
kA
dx
e m  L x   e  m  L x 
coshm  L  x 
 x   0
 0
mL
 mL
e e
coshmL 
温度分布：
Q   kA
m2 
  kA 0 
x 0
 m   sinhm L  x   mkA tanhmL 
0
coshmL 
x 0
フィン効率
[フィン効率]≡[実際に伝達される熱量]／
[フィンの全表面積がフィンの基底温度に
等しいと仮定したとき伝達される熱量]
断熱条件の場合：
f 

kAhP T0  T  tanhmL 
h PLT0  T 
kA tanhmL 
hP
L
フィン効率の計算
f 
kA tanhmL  tanhmL 

hP
L
mL
ここで
m
hP

kA
h2 z  2t 
kzt
フィンの幅が十分大きいとすると、 z  t であるから、
m
h2 z  2t 
h2 z


kzt
kzt
2h
kt
フィン先端での対流を考慮した有限長さのフィン効率
理想的な境界条件：
解1：温度境界条件
(フィンは無限長で先端の温度が周囲温度と等しい)
解2：断熱境界条件(フィン先端は断熱されている)
現実的な境界条件：
解3：フィンの長さは有限でフィン先端で対流により熱移動
tanhmLc 
t
ただし Lc  L 
近似解：  f 
2
mLc
 ht 1 
 
近似解の誤差 < 8% 
 2k 2 
円管内外の熱伝達
円管内外の熱伝達
流入熱量：
Q1  Vc 1
流出熱量：
Q2  Vc 2

管壁からの吸熱・放熱： Qw  Pdx  K    f
Q1  Q2  Qw
エネルギーバランス：


Vc 1  Vc 2  Pdx  K    f
d   2   1
     f
a
KP
Vc
d 
 a    0
dx

円管内外の熱伝達
d 
 a    0
dx
→
  Ce  ax

  x   1   f
 e ax   f
長さ l の円管の放熱量：
 x 0   1  (  1   f )  1   f   1

xl


  2   1   f  e  al   f


 1   2   1   f 1  e  al

Q  cV  1   2 
 cV  1   f 1  e  al

 Q  cV 
1
 f



 KP  
1  exp  cV l  



接触熱抵抗
Q  k A A
T2 A  T1
x A
Q  hc AT2 A  T2 B 
T3  T2 B
Q  kB A
x B
↓
T3  T1
Q
q 
A  x A 1 x B 


 
hc
kB 
 kA
hc ：接触熱伝達率
1 / hc A ：接触熱抵抗
問題2-5
厚さt=3.0mm、長さ
L=7.5cmのアルミニウム
製(k=200W/m･K)フィン
が左図のように壁につい
ている。フィンの根元は
300℃に保たれ、周囲の
温度は50℃、熱伝達率
はh=10W/m2･Kである。
フィンから放出される(z方
向)単位幅あたりの放出
熱量を計算しなさい。
回答の方針2-5
フィンからの放出熱量は：
Q  mkA  0 tanhmLc 
と表される。ただし
hP
2h


m
kA
kt
t
Lc  L  
2
であるから
Q  mkA  0 tanhmLc  
tanh5.774 0.0765   0.415
問題2-6
200Aの電流が直径3mmのステンレス製(熱伝導
k=19W/m･K)鋼線中を流れる。鋼の比抵抗を70μΩ･
cm、鋼線の長さを1mとする。鋼線は110℃の液体に浸
されており、熱伝達率は4kW/m2･Kとする。ステンレス
鋼の中心温度を計算しなさい。
問題2-6の回答指針
P  I 2R
鋼線中での発熱量はオームの法則により：
鋼線の抵抗値は、比抵抗をρとすると：
R
L

A

よって鋼線からの全発熱量は： P  I 2 R 
この熱が液体中に放出されるから：
P  q  hA(Tw  T ) より：
Tw 
C
一方、単位体積当たりの発熱量は：

q
P
P


V   r02 L
W / m3
よって、鋼線の中心温度は：

q r02
T0 
 Tw 
4k
C
W
問題2-7
発熱の無い球殻を通過する熱流束が、以下の式に
よって表されることを示しなさい。ただし、式の導出に
は、以下の図の記号を用いなさい。
4k To  Ti 
Qr 
1 ro   1 ri 
問題2-8
大きさ1 m ×0.5 m ×0.5 m の冷蔵庫を考える。この冷凍庫が
厚さL = 5 cm の押出発泡ポリスチレン断熱材で覆われている。
冷凍庫の外部壁面と内部壁面の温度をそれぞれT1=20℃、
T2=-18℃とするとき、年間(t = 365×24×3600 s)の電力使用量
を計算せよ。ただし、この冷蔵庫の成績係数(COP, Coefficient of
Performance)を2とし、押出発泡ポリスチレン断熱材の熱伝導率は
k=0.038[W/(m・K)]とする。
なお、成績係数は以下の関係式で表される。
COP 
伝熱量
実際の電力使用量
問題2-9
図に示すような、厚さ20 mmのコンクリート
(k=1.6 W/(m・K))の壁がある。内側の表面温度
T1が30℃、外側の表面温度T2が5℃のとき、
壁の面積1.5 m2を通過する単位時間あたりの
熱量を求めよ。
問題2-10
(a) 厚さ3 mmのガラス(k=1.1W/(m・K))の窓がある。
室内温度Ti=20℃、外気温度T0=-10℃として、外気への
損失熱流束q1を求めよ。ただし、室内側の熱伝達率
hi=5 W/(m2・K)、外気側への熱伝達率h0=15W/(m2・K)
とする。
(b) このガラスの窓を厚さ5 mmの空気層(ka=0.024W/(m・
K))を含む二重ガラス(それぞれのガラスの厚さは3 mm)
にした場合の損失熱流束q2を求めよ。ただし、ガラス間の
空気は静止しており、対流は無いものとする。