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日常業務に於ける土地の境界確認作業
ノートパソコン持参の方へ HP【プログラムに】ある VectorV1.0.xls エクセル henkanV4.6.xls エクセル 事例データ．xls エクセル この３つを ディスクトップ に移動させる。 エクセルセキュリティー設定（２０００，２００２，２００３） ツール（T） − マクロ（M） − セキュリティー （S） −中（M） にチェックを入れ OK で閉じる 2010 日常業務に於ける土地の境界確認作業 確率と最小二乗法による土地の境界復元 復元の基礎（伸縮、歪み、層別） 土地家屋調査士・測量士 小野孝治（東京土地家屋調査士会） http://homepage2.nifty.com/onojimusyo/ 1 筆界の三理・三証 筆界とは表題登記がある一筆の土地（以下単に「一筆の土地」という。）とこれに隣接する他の土地（表題登記がない土地 を含む。以下同じ。）との間において、当該一筆の土地が登記された時にその境を構成するものとされた二以上の点及び これらを結ぶ直線をいう。 三証（筆界を特定、復元するための証拠になるもの） 三理 書証 （西本孔昭先生の提唱している地籍学 の基本となる考え方） 土地台帳、登記簿、公図（地引絵図）、地籍図、区画整 理図等の公的資料、測量図などの私的資料から筆界 の復元に使える情報 法理 法律、規則 物証 境界を示すその位置に石垣・境界石等があるときに、 地形等から筆界の復元に使える情報 数理 測量理論、 変換の理論 人証 善意の基に維持・管理されてきた筆界であることの証言 を関係者から得、筆界の復元に使える情報（「この塀が この境界石が筆界ですね」と確認することではない） 心理 納得、承知 情報を数値に変えて読み取る能力 法理、数理（測量） （境界標の設置義務はない、筆界とは不確実なもの、だけどそこに存在するもの） 法理 「不動産登記法１条」目的 「不動産登記法１４条」地図・区画 「不動産登記法１２３条」筆界の定義 「不動産登記規則１０条３」地図・基準点 「不動産登記規則１３条２」地図・座標値 「不動産登記規則７７条１の７」地積測量図・座標値 「不動産登記規則７７条１の８」地積測量図・境界標の表示 「民法２３３条」境界標 （正確すぎることはない、正しい復元には正確な測量が原則） 数理（測量） 「正確な測量」・・・・・・GPS測量、基準点の展開は厳密網を使う 「同じ土俵で測る」・・・世界測地系で測る、離れていても相対的に復元できる 2 数理（復元） 、心理とは （筆界とは復元するもの、登記官、土地家屋調査士が筆界の精度を落としてはならない） 数理（復元） 「原始筆界」「創設筆界」「後発的原始筆界」筆界の種類よって異なる復元手法 「経年変化に対応する座標解析が必要」 「正しい変換手法で復元する」按分は比例計算で小学校の算数並、交点計算は一次方 程式で中学生の数学並。 土地家屋調査士がする最小二乗法は微分で高校生並の数学に大学生並の統計学を加 えて復元する。 （境界標の管理レベルで筆界の復元レベルが決まる） 心理（納得、承知、境界標の管理） 「立会とは」登記官又は土地家屋調査士が復元した筆界に対して所有者、管理者に所有 権の範囲を認識してもらう行為。 「確認とは」所有者、管理者が管理している境界標が筆界か筆界で無いか、境界標が不 明な場合に筆界を明示してもらに筆界の位置を認識する行為（筆界特定も確認のひとつ である）。 筆界の種類に復元方法 （原則は崩さない） 「原始筆界」 元々が所有権境界を確認して作成されたものでその図面（改組図、更正図等）の点と所有 者又は管理者が管理している所有権の範囲を確認して図面と現地が一致している点を準 拠点として復元する。 図面（改組図、更正図等）が作成されてから１００年以上の年月が経過しており経年変化が 多く見られること当時の測量技術の未熟さから図面の精度が低いため図面の持ってい精 度内であれば原則として境界標を筆界とみなす。 「創設筆界」 土地の分筆登記によって形成されることから分筆登記に添付される地積測量図、分筆申 告図を基に復元することになります。 地積測量図に描かれた分割点以外の図面作成時多角点、引照点、筆界点と現存するこれ らの点を準拠点として復元し原則として復元した位置を筆界とします（分筆の規模、形態に よって分割点も準拠点とすることが多い）。 「後発的原始筆界」 区画整理図、耕地整理図、土地改良図を基に現存する多角点、街区点、画地点から適正 な点を準拠点として復元し原則として復元した位置を筆界とします。区画整理図、耕地整理 図、土地改良図は法務局に保管されていないため組合又は市町村が保管する図面を入手 する必要がある。 3 復元の原則 測量 測量は最小二乗法による誤差の 処理 最小二乗法 以前の実測値 今回の実測値 図面の能力は 図面値 復元計算も最小二乗法による座 標変換（ヘルマートとアフィン） 実測値 誤差は正規分布 最小二乗法 復元 重ね図 1 公図 実測図 課題（土地境界基本実務V） どの点、あるいはどの線を基準に 重ねるか？ 図面の伸縮、歪みをどうやって修正 するか？ 異常な点、線をどうやって除くか？ 4 重ね図 2 復元 残念ながら土地境界基本実務Vでは重ねたあと具体的にどう計算するかの説明が無いことです。 図面境界と現地境界が不一致の要因（六つの現象） 図面（境界を表す資料に起因する） ① 伸縮がある ② 歪みがある ③ 一部に回転がある ④ 個々の測点に誤差が有る 現地（境界標の管理に起因する） ⑤ 境界標の経年変化（人的、自然的） ⑥ 線のデータが現地に存在する（方向杭） 概ね、この６点についてを解析すると準拠点が決まります。 図面対境界標の相対精度（標準偏差、伸縮率等）が確認できます。 以下、これらの６つの現象について解説しますが基本は次の通りです。 ① 図面が作成された時からの不動点を探す。 ② この点から確率論によって変換の基準とする点、準拠点を選ぶ。 ③ この準拠点を使って最小二乗法による座標変換をする。 5 図面の基本 図面＝相似形である 図面の境界 図面＝境界を縮小して紙に写したもの・・図＆数値（辺長）＆座標値 現地の境界 復元の基本 図面を投影することによって亡失 した点は復元される。 図面の境界 現地の境界 この境界標が亡失 他の3点を重ねて投影すれ ば現地に復元される 6 ① 図の変形パターン（伸縮） 伸縮---伸縮率として計算できる 光波 図面 ３ ① 気圧＆温度補正（伸縮は1.0000で ごまかしがきかない） ６ Ｔ３ Ｇ 実測 ２ ７ Ｔ２ 実際より長く測った テープ測距に見られる （スチールでは伸縮は1.005以下が目安） ① 尺常数補正 ② 温度補正（実際より気温が高いと短く測る） 間尺 ③ 張力補正（実際より短く長く測る） ① 6尺５寸（伸縮は1.08、歩伸び17％） ④ 傾斜補正（実際より長く測る） ② 6尺３寸（伸縮は1.05、歩伸び10％） ⑤ たるみ補正（実際より長く測る） ① ヘルマート変換 2henkan A 現在の実測値 B 旧測量図 点数は3点以上（2点でも出来るが結果は2点法になる） A図をB図に重ねる場合 A図の重心（★）とB図の重心（★）を求め重ねる A図の各点とB図の各点の離れが平均になる位置まで 重心を支点として回転する（離れの大きい点は無視し て） （コピー機の倍率を使って） 重心から各点の距離を求め 倍率＝A図の距離合計 /B図の距離合計 を求めB図を伸縮させる A図の各点とB図の各点の離れが均等になるよう調整 する（離れの大きい点は無視して） 実際の計算ではこのイメージに沿って計算されるのではなくあくまでも説明用のイメージです。 7 ② 図の変形パターン 歪（つぶれ）----観測精度不良もあるが測量機器の構造上の問題もある ４ Ｔ４ ３ ５ ６ Ｔ３ 特定方向への伸 縮（長尺道路） 実測 ２ Ｔ２ ７ 図面 板測平量に多い（更正図とか地積測量図に 見られる） ① アリダードの構造上、視準線と図上線 にズレがあるため視準誤差、致芯誤差がで る。 ② トランシットでも古いタイプ（バーニア式） は視準誤差、致芯誤差がでる。 ③ 丈量図から座標を計算するときに歪み が出る。 ② アフィン変換 1 A 現在の実測図 点数は4点以上（3点でも出来るが結果は2点 法になる） A図をB図に重ねる場合 A図の重心（★）とB図の重心（★）を求め重ね る B 旧測量図 A図の各点とB図の各点の離れが平均になる 位置まで重心を支点として回転する（離れの 大きい点は無視して） B図の歪方向を確認する 8 ② アフィン変換 2 1henkan B 旧測量図 A 現在の実測図 B b A （コピー機の縦倍率、横倍率を使っ て伸縮させます、ガラス面に対して 長辺を横に置きます） a コピー機ガラス面 横倍率＝（a+b）×A/（A+B）/a 縦倍率＝（a+b）×B/（A+B）/b A図の各点とB図の各点の離れが平均になるよう横倍率、縦倍率を変えながら微調整する（離 れの大きい点は無視して） A図の縦長さとB図の縦長さを測って縦倍率、 A図の横長さ とB図の横長さを測って横倍率で伸縮させる その後各点の離れが均等になるように調整する（離れの大 きい点は無視して） 実際の計算ではこのイメージに沿って計算されるのではなくあくまでも説明用のイメージです。 ③ 図の変形パターン 多角点の前視点視準ミス、後視点視準ミスなどで開放トラバーに多い 図面 一部の回転 T2で前視点視準ミス 実測 1，2，7，8基準で重ねるとベクトルが一定 方向に回転して見える ５ ５ 座標軸 ４ Ｔ４ ４ ６ ６ ３ Ｔ３ ３ ２ ７ Ｔ２ １ ７ 座標軸 ８ Ｔ１ ２ １ ８ T2で後視点視準ミス ②の歪みと似ていますが違いは座標軸が異なることです。 9 ③ 層別の例 G4-T1 ネジレhenkan ベクトル図例 1 ベクトル図例 2 ネジレ層別 ネジレvector 全体でヘルマート変換 標準偏差 0.004 G8-T1 G5-T1 グループ別にヘルマート変換 G7-T2 G1-T1 1グループ標準偏差 0.001 2グループ標準偏差 0.001 G3-T2 G9-T2 G4-T1 G6-T2 2グループ 1 ｸﾞﾙｰﾌﾟ G3-T2 G6-T2 G7-T2 G9-T2 2 ｸﾞﾙｰﾌﾟ G4-T1 G8-T1 G2-T2 G5-T1 G5-T1 G1-T1 G8-T1 G7-T2 G1-T1 G2-T2 列指定 関係 中心 X 中心 Y 標準偏差 σ1+σ２ G3-T2 1 異軸 -0.0003 0.0008 0.0014 0.0044 1グループ 2 大 0.0004 -0.0010 0.0006 G9-T2 G6-T2 G2-T2 特定の点ｇ４−ｇ７を選ん で重ねる（交点計算） ④ 最小二乗法による投影 g5 g6 g7 g8 現地の境界 g1 g2 現地の境界 g1 g3 g5 g2 g6 g4 g7 g3 g4 ベクトル（乖離）の二乗の総 和が最小になる点の位置を 探す・・・ g8 10 ④ 以前測った図面Aと今測った実測図B 図面を使って現地に直接復元出来ないので以前測った図面と今回測った実測図と比較して計 算していく。 測量方法、機器、技術によっ て生ずる誤差の大きさが異 なる 今回測った実測図 以前測った図面 誤測 現地の境界 ④⑤ 経年変化という誤差・不動点を探す 経年変化 誤測 経年変化 比較 図面A 不動点又は不動点と推定される 点を選ぶ 書証・物証・人証 実測図B 統計的手法で不動点から準拠 点（計算していく基準となる点） を選ぶ 11 ⑥ 線情報（方向杭）の活用 民民が管理してきた境界標 方向杭の活用 所有者が維持管理してきた境界標を復元データとして活用 民民の境界標は街区線から下げ てある場合が多い。 道路の現況が境界線ではない。 コンクリート杭方向 民民の方向は生きている。 御影石中丸 道路線が未確定 道路線確定 鋲 方向 方向 民民の境界標は民民相互は正確でも官民とは正確でない、多くの場合は若干道路から下げてあるのが普通（道路工 事当によって破壊されるのを防ぐため？）、これらは方向杭としては生きているのでこれらを生かした復元方法が必要 になる。 ⑥ 線のデータ（方向杭） 方向杭 ｇ５ 16henkan 16vector ｇ６ ｇ７（亡失） ｇ８ ｇ１（不明） ｇ４（不明） ｇ２ 民民境界の線は決まっているが道路線が不明である 場合などに重要な手法です。 公図レベルの復元で道路が広がっている場合。 区画整理地区で道路工事による亡失を避けるため後 退し設置されている場合。 ｇ３ 道路 ｇ５，ｇ６，ｇ8 の位置誤差によって 生じるｇ２，ｇ３ の東西への振れが 押さえられる。 12 差のデータは正規分布になる サンプル2 一次元正規分布図 二次元散布図 観察値 2. 45σ誤差円 3σ円 2σ円 1σ円 0. 06 正規分布曲線とヒストグラム 300 250 0. 04 相対度数 200 0. 02 150 100 0 -0. 06 -0. 04 -0. 02 50 0 0. 02 0. 04 0. 06 0 4.5 -0. 02 3.5 2.5 1.5 0.5 -0.5 -1.5 -2.5 -3.5 -4.5 標準偏差の幅 -0. 04 分布は楕円状になります（誤差楕円 と言います）、楕円の長軸が緑の線 になり -0. 06 二次元正規分布図 線の直角方向、青の矢印側から見 た分布図がこの図です。 この点の組み合わせを探す 散布図を立体的にイメージした図 標準偏差の計算式 標準偏差 σx＝√(∑(（Xi−Xi平均）² /(ｎ-1)) 標準偏差=STDEV(B7:B36) エクセル関数 幅の下限 平均 160.3529 幅の上限 標準偏差 21.8316 幅の中心 標準偏差幅 身長 ％ № №１ №２ №３ №４ №５ №６ №７ №８ №９ №１０ №１１ №１２ №１３ №１４ №１５ №１６ №１７ №１８ №１９ №２０ №２１ №２２ №２３ №２４ №２５ №２６ №２７ №２８ №２９ №３０ データXi 合計 133 123 145 150 123 143 165 170 177 180 166 175 167 166 155 189 199 17 枠内確率 標準偏差の計算 51.195 73.027 62.1 -4.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 73.027 94.858 83.9 -3.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 94.858 116.690 105.8 -2.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 116.690 138.521 127.6 -1.5 18 3 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 138.521 160.353 149.4 -0.5 24 4 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 160.353 182.185 171.3 0.5 47 8 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 182.185 204.016 193.1 1.5 12 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 204.016 225.848 214.9 2.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 225.848 247.679 236.8 3.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 247.679 269.511 258.6 4.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.13 2.14 13.59 34.14 34.14 13.59 2.14 0.13 0 13 ヒストグラム ヒストグラム 50 40 割合 ％ 30 20 10 0 62.1 83.9 105.8 127.6 149.4 171.3 193.1 214.9 236.8 258.6 -10 幅の中心値 一変数の正規分布の確率（基本） 標準偏差 標準偏差 正規分布曲線 確率（ﾊﾟｰｾﾝﾄ） 正規分布図 ±1σ ±2σ ±3σ 標準偏差（0.5σ毎） 確率表 標準偏差 確率 ±1σ 68.3 ±2σ ±3σ 95.5 99.7 14 正規分布図と確率（１次元と２次元） 一次元正規分布図 ±1σ 68.3 境界はこっち 二次元正規分布図 ±2σ 95.5 （散布図からイメージ） ±3σ 99.7 39.4 一次元確率表 標準偏差 86.5 確率 98.9 1σ 68.3 2 95.5 3 99.7 二次元確率表 標準偏差 確率（約） 1σ 39.4 2 86.5 3 98.9 準拠点の選択の意義 正規分布に近いデータ 標準偏差に関係なく復元精 度の良い点の準拠点の組 み合わせがある。 標準偏差 小 復元精度 全説明変量使用から出発 し、順次変数を減少させて いく方法、標準偏差に悪い 影響のある変数を順次減 少させていく。 標準偏差 変数減少法 高 復元精度 21 準拠点の選択とは○のポイ ントを探すことにつきます。 準拠点減少 高 23 22 21 20 19 18 ○の精度のよい点の範囲が狭いので 簡単に見つかる このデータは正解のある作られたデータから計算したもので実際のデータからは計差できません。 15 23点、22点 サンプル2−23 二次元分布図 0. 08 0. 06 正規分布曲線とヒストグラム 1200 0. 04 1000 ２３点 0. 02 相対度数 800 観察値 2. 45σ誤差円 3σ円 2σ円 1σ円 0 -0. 1 -0. 08 -0. 06 -0. 04 -0. 02 0 0. 02 0. 04 0. 06 0. 08 600 -0. 02 400 -0. 04 200 -0. 06 0 4.5 3.5 2.5 1.5 0.5 -0.5 -1.5 -2.5 -3.5 -4.5 -0. 08 標準偏差の幅 正規分布曲線とヒストグラム 二次元分布図 300 0. 08 ２２点 250 観察値 2. 45σ誤差円 3σ円 2σ円 1σ円 0. 06 相対度数 200 0. 04 150 0. 02 100 50 0 -0. 08 -0. 06 -0. 04 0 4.5 3.5 2.5 1.5 0.5 -0.5 -1.5 -2.5 -3.5 -0. 02 0 0. 02 0. 04 0. 06 0. 08 -0. 02 -4.5 標準偏差の幅 -0. 04 -0. 06 -0. 08 二次元分布図 21点、20点 0. 08 この円の中に３９％の点がある 0. 06 正規分布曲線とヒストグラム 観察値 2. 45σ誤差円 3σ円 2σ円 1σ円 0. 04 200 0. 02 180 160 ２1点 相対度数 140 0 -0. 08 120 -0. 06 -0. 04 -0. 02 100 0 0. 02 0. 04 0. 06 0. 08 -0. 02 80 60 -0. 04 40 20 -0. 06 0 4.5 3.5 2.5 1.5 0.5 -0.5 -1.5 -2.5 -3.5 -4.5 -0. 08 標準偏差の幅 正規分布曲線とヒストグラム 二次元分布図 350 0. 06 ２０点 300 相対度数 250 0. 04 200 150 観察値 2. 45σ誤差円 3σ円 2σ円 1σ円 0. 02 100 0 50 -0. 06 -0. 04 -0. 02 0 0. 02 0. 04 0. 06 0 4.5 3.5 2.5 1.5 0.5 -0.5 -1.5 -2.5 -3.5 -4.5 -0. 02 標準偏差の幅 -0. 04 目視で判断しないで統計手法を使う t 異常値検定、χ²正規分布適合度検定 -0. 06 16 復元精度と準拠点数 交点計算 歪みの無いベクトル図 5へ 交点計算 歪みのベクトル量 8 準拠点が多いほど復元精度が良い 復元精度（指数）×σ 準拠点の重心ほど復元精度がよい 15.0 14.0 13.0 12.0 11.0 10.0 9.0 8.0 7.0 6.0 5.0 4.0 3.0 2.0 1.0 0.0 2点は参考で二 点法ではもっと 悪い、この場合 の２点は最も精 度の良い点を 選んでいます。 １０点との差は 約３倍 2 5 １５∼２０点あ たりから安定 図形の枠付近 10 20 30 40 5 0 100 0 1 2 3 4 5 6 準拠点重心からの距離（si/so） このグラフはバラツキが大きいので傾向として御使用ください。 このデータは正解のある作られたデータから計算したもので実際のデータからは計算できません。 ベクトル図による確認 実測点から図面値へ向けたベクトル図 ベクトル図を見るポイント 誤差の三公理から 異常点 １．絶対値の等しい正の誤 差と負の誤差との起こる度 数は相等しい（ベクトル線の 方向が360度に渡ってまんべ んなく向いていること）。 0.042 0.047 a11 G12 G9 a13 a14 ２．絶対値の小さな誤差の 方が大きい誤差より現れる 度数が多い（ベクトル線の長 さがこの原則にあってること）。 ３．ある程度以上の大きな 誤差は実際上起こらない （確率から考えて他と比較し て大きなベクトル線があって はならない）。 0.032 G10 0.065 0.070 G20 G15 0.053 1.265 G16 G17 0.075 G19 G18 0.330 準拠点に偏在が無いか、ベクトル線の方向に偏りが無いかを確認する 17 11A_soubetu ベクトル図の例 1 224 344 46 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.009 0.014 0.025 0.014 0 0.015 0.024 0 0 0.017 0.016 0.029 0.038 0.053 0.058 0.07 0.065 0.052 0.061 0.06 0.059 0.065 0.064 0.064 0.064 0.067 0.07 0.072 0.075 0.071 0.082 0.079 gl 1 gl 2 gl 3 gl 7 gl 8 gl 1 1 gl 1 5 gl 1 6 gl 1 9 gl 2 2 gl 2 3 gl 2 4 gl 2 5 gl 2 6 gl 2 8 gl 2 9 gl 3 0 gl 3 2 gl 3 3 gl 3 4 gl 3 6 gl 3 8 gl 3 9 gl 4 0 gl 4 2 gl 4 4 gl 4 5 gl 4 6 gl 4 8 gl 5 0 gl 5 3 gl 5 6 gl 5 8 gl 6 2 全体に何らかの問題 を抱えている。 gl 6 6 gl 7 0 gl 7 4 gl 7 5 gl 8 0 gl 8 4 gl 8 8 gl 9 2 gl 9 6 gl 9 8 gl 1 0 1 344 104 18 0 0 0 0 0 0.041 0.021 0.022 0.005 0.015 0.012 0.018 0.008 0.015 0.02 0.031 0.021 0.014 0.01 0.01 0 0 0 0 0.005 0 0 0.088 0.004 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 104 224 6 0.043 0.054 0.056 0.04 0.033 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 層別の例へ戻る 0.074 0.083 0.083 0.08 0.073 0.086 0.079 0.076 0.079 0.078 0.085 0.078 0.063 0.072 0.082 0.085 0.072 0.089 0.086 0.066 0.072 0.076 0.033 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.066 0 0 0 0 0.038 0.073 0.09 0 0 0 0 0.076 0.067 0.093 0.066 0.062 0 0 0.072 0 0.06 0.037 0.025 0.042 0 0.096 0.073 0.034 0.022 0.024 0.014 0.025 0.056 0 0.025 0.02 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.04 0 0.041 0.026 0.042 0.008 0 0 0 0.092 0.081 0.074 0.083 0 0 0 0 0 0.045 0.05 0 0.062 0 0 0 0 0.035 0 0 0 0 0 0 0 0 0.041 0 0 ４soubetu ベクトル図の例 2 層別の例へ戻る 一方向に回転しいる。 G22-G2 G23-G2 G15-G1 G14-G1 G13-G1 G16-G1 G24-G2 G17-G1 G25-G2 G12-G1 G19-G1 G-T1 1 5 -0.0009 -0.0072 0.0069 0.0078 1 ｸﾞﾙｰﾌﾟ G20-G1 G09-G1 2 19 0.0002 0.0019 G32-G2 G17-G1 G24-G2 G31-G2 G27-G2 G20-G1 G04-G1 グループ指定 関係 中心 X 中心 Y σ₁ ＆σ₂ σ₀ 1 異軸 0.0002 0.0019 0.0069 0.0082 2 -0.0009 -0.0072 0.0078 単独点 G15-G1 G16-G1 G30-G2 G22-G2 G23-G2 G05-G1 G29-G2 G28-G2 G-T1 G19-G1 G25-G2 G01-G1 G02-G1 G05-G1 G04-G1 G27-G2 G28-G2 G29-G2 G32-G2 G31-G2 G02-G1 G09-G1 G13-G1 G14-G1 G01-G1 G12-G1 G30-G2 アフィンデータ、ＬSoubetu2.6 18 座標変換方法の選択 AIC（赤池情報量基準） 2henkan ヘルマート変換かアフィン変換かどっちが適している？ モデル選択の基準として現在もっとも標準的に使われている赤池のAICモデル検定式を使う。 電卓ではlogをLn（σ＾2） と押す。 AIC モデル検定式 AIC = n×log（σ²,e）+ 2( m + 1) σは標準偏差、n は観測値数（準拠点数） mはパラメータ数（ヘルマート変換は4、アフィン変換は6） AIC は、 モデル選択（model selection）の立場から作られた指標であり、同一のデータセットに対して、 複数のモデルを考え、AIC 最小のモデルを選択する、２つの差が1 を超えれば有意 平板測量の図面はアフィン変換が適している。 標定が正確でない為です。 区画整理図のように図面に基づいて現地が作られている場合はヘルマート変換が適している。 図に歪みがない為です。 復元計算 準拠点選択後の計算方法 ここまでで復元計算の基とする点の選択が終わりました この後どのような計算で復元するかはそれぞれの状況によって考えなければなりませんが次に示す ①∼③から①ができなければ②を②ができなければ③、④と手順を踏むことが最低限求められる。 ① ヘルマート変換、アフィン変換を中心とした最小二乗法による座標変換をする。 ② 点の中から特定の点をさらに絞り込み最小二乗法による座標変換をする。 （区画整理地区、大規模分譲等で多角点、街区点と筆界点で精度差があれば有効な手法である） 筆界の再形成が認められないので手順②で終了する。 ③ 準拠点選択をしないで隣接の2点以上の点から交点計算する。 （精度は良くない。特に交角が３０∼１５０度を超えるときはしてはならない） ④ 登記面積と図面の面積が一致している場合に面積按分で計算する。 （復元の手法ではない。区画整理地区、大規模分譲などの後発的原始筆界はこの方法は使わな い、基本的には同じ条件下で分筆された土地全体で按分する、原始筆界の場合はその周囲の土地も 含めて登記面積と図面の面積が完全な相関関係にあること条件・・そんなところが有るわけがない） 19 交点計算の注意 1 境界復元計算に交点計算を可とした解説書はない 福永先生の１７条地図活用マニュアルから 2000年 福永先生の14条地図活用マニュアルから 2008年 交点計算の注意 実測値 2 85 １４ ．１ ４２ ２２ １ ４． ６ １２ ．３ ６１ 77 １０．０００ 図面値 78 ２２ ２２ ． ２ ２ ３ ６１ ．３ ７８ 74 ６ ．３ １ ３０．０００ 52 １０．０００ 55 １０．０００ ９．９８４ 56 実測値 ２０．０００ ２０．０３１ 57 59 １０．０００ １０．０００ １０．０００ １０．０００ １０．０００ １０．０００ ９．９８５ ９．９６９ １０．０００ １０．０００ １０．０９２ ９．９３９ 43 44 45 46 47 48 49 道路の点５５は４４と４５の２点から交点計算 筆界の点７７は８５と７８の２点から交点計算 20 交点計算の注意 歪みの無いデータ 3 点番 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 点名 43 44 45 46 47 48 49 52 55 56 57 59 74 77 78 85 図面値=期待値 X 40 40 40 40 40 40 40 50 50 50 50 50 70 70 70 80 G43 G44 G45 G46 G47 G48 G49 G52 実測値 X 39.992 39.924 39.977 39.992 40.015 40.015 39.985 49.962 G56 G57 G59 G74 50.023 49.992 49.97 70.023 50.008 59.992 80.023 29.985 G78 G85 70.015 79.97 69.985 40.015 Y 点名 20 30 40 50 60 70 80 10 40 50 60 80 30 60 70 40 Y 19.992 29.992 39.992 50.084 60.023 70.008 79.977 9.977 55 77 このデータには母集団があり期待値は図面値同じか１mm程度の復元誤差がある。 実測値空白の５５と７７の点を交点計算し、期待値との差をみてみる。 交点計算 歪みの無い復元値 4 交点期待値henkan （期待値） 2円交点計算値 H55 50.000 40.000 H55 49.977 39.939 交点計算 x=０.０２３ y=０．０６１ ベクトル０．０６５ （期待値） ヘルマート変換計算値 H55 50.000 40.000 H55 49.986 40.001 ヘルマート変換 x=０.０１４ y=０．００１ ベクトル０．０１４ （期待値） 2円交点計算値 H77 70.000 60.000 H77 69.998 60.005 交点計算 x=０.００２ y=０．００５ ベクトル０．００５ （0.006） （期待値） ヘルマート変換計算値 H77 70.000 60.000 H77 69.999 59.999 ヘルマート変換 x=０.００１ y=０．００１ ベクトル０．００１ ヘルマート変換における図の標準偏差は０．０２７、点の復元精度の標準偏差は５５、７７とも０．００３ 21 交点計算 歪みの無いベクトル図 5 復元精度と準拠点数 ベクトル長さ1/2mm 変換値ベース 赤：ヘルマート変換値 85 求点以外を準拠点選 択に求めた 0.006 0.001 77 55 56 57 45 46 47 74 青：交点計算値 78 近隣の点から求めた 0.014 0.065 52 43 44 59 48 49 交点計算の復元精度は基準とした点の位置誤差を背負って計算される。 交点計算をする方は基点の位置誤差を調べないので復元精度を予測できないのが問題と なる。 2点の交点計算が一番復元精度が悪い・・・・・筆界の場合再形成になるので使ってはなら ない（再形成出来るの判決の時だけ）。 交点計算 歪みのベクトル量 8 復元精度と準拠点数 歪みの無いデータ 歪みのあるデータ（14度回転） 43 44 45 46 47 48 49 52 55 56 57 59 74 77 78 85 平均 交点計算 ヘルマート変換 0.061 0.025 0.030 0.021 0.032 0.018 0.011 0.015 0.012 0.014 0.042 0.014 0.023 0.016 0.012 0.027 0.065 0.014 0.035 0.011 0.034 0.009 0.021 0.013 0.013 0.015 0.006 0.001 0.023 0.004 0.025 0.012 0.028 0.013 43 44 45 46 47 48 49 52 55 56 57 59 74 77 78 85 平均 交点計算 アフィン変換 0.107 0.027 0.074 0.023 0.058 0.019 0.204 0.016 0.060 0.013 0.209 0.013 0.048 0.014 0.094 0.028 0.116 0.015 0.095 0.011 0.086 0.008 0.060 0.011 0.245 0.012 0.074 0.003 0.221 0.007 0.162 0.008 0.120 0.014 ベクトル図省略 歪み無いデータで２．２倍あり、さらに準拠点が増えれば座標変換による精度は上がり ますから表以上の差があるとかんがえる。 図面には必ず歪みがありますから交点計算による復元精度は全く期待出来ないと言え ます。 22 結果の判断と処置 境界標等を筆界とする場合（原始筆界） 図面値に誤測あったか 境界標が経年変化で動いたのか ① 図面を直す 境界標を筆界として追認する。 ② 境界標を再設置する 図面はそのままで基準以上の境界標を再設置する。 計算された点を筆界とする場合（後発的原始筆界＆創設的筆界） 図面に基づいて筆界が形成されたことが基本 図面に誤差は有りませんので図面の値をいかにして正確に現地に明示するかを考える。 区画整理図、土地改良、大規模分譲で原始筆界が含まれない場合 どの範囲まで境界標を修正するのか？ 基準（出合差か位置誤差か）か 統計的判断か 数値法では計算された標準偏差の3.7倍以内は放置という考えもある。 （図解法では標準偏差の３倍） 23 2010 日常業務に於ける土地の境界確認作業 確率と最小二乗法による土地の境界復元 誤差の基礎（標準偏差、正規分布、確率） 土地家屋調査士・測量士 小野孝治（東京土地家屋調査士会） http://homepage2.nifty.com/onojimusyo/ 与点があって境界標を測った時 平均二乗誤差に戻る 複数の点を一回測量して標準偏差を求める例 前回の図面値 今回の実測値 ｚ１ ｚ２ ｚ５ ｚ２ −Ｙ２ ＋Ｘ ２ ｚ４ ｚ３ 実測値を原点として 多角点が亡失 与点 多角点 多角点 与点 24 標準偏差の計算 1 宿題回答 与点が同じ場合 № 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数 図面値 Xa 98132.033 98074.220 98079.396 98084.969 98093.863 98095.638 98115.828 98147.233 98137.638 98131.510 98131.144 98131.161 98131.289 98131.768 点名 K21 K2 K3 K5 K6 K7 K9 K12 K22 K23 K24 KK2 KK3 KK25 Ya -12812.170 -12792.521 -12798.465 -12798.969 -12798.901 -12798.189 -12798.162 -12796.223 -12833.485 -12836.571 -12839.798 -12839.948 -12841.053 -12845.202 点名 C21 C2 C3 C5 C6 C7 C9 C12 C22 K4 K5 K6 K7 K8 X 軸の標準偏差 変数Xi Δx Yb Xb-Xa Xi-平均 -12812.184 0.013 0.021 -12792.518 0.000 0.008 -12798.469 -0.017 -0.009 -12798.955 -0.005 0.003 -12798.889 -0.006 0.002 -12798.188 -0.011 -0.003 -12798.155 -0.016 -0.008 -12796.233 0.001 0.009 -12833.489 -0.030 -0.022 -12836.576 0.001 0.009 -12839.794 -0.017 -0.009 -12839.944 -0.019 -0.011 -12841.059 0.001 0.009 -12845.201 -0.006 0.002 計 -0.111 平均 -0.0079 標準偏差ｘ 実測値 Xb 98132.046 98074.220 98079.379 98084.964 98093.857 98095.627 98115.812 98147.234 98137.608 98131.511 98131.127 98131.142 98131.290 98131.762 14 変数Xi=Xb−Xaを求めると Δx^2 0.000438 0.000063 0.000082 0.000009 0.000004 0.000009 0.000065 0.000080 0.000487 0.000080 0.000082 0.000123 0.000080 0.000004 0.001604929 0.0111 Y軸の標準偏差 変数Yi Δｙ Yb-Ya Yi-平均 -0.014 -0.014 0.003 0.003 -0.004 -0.004 0.014 0.014 0.012 0.012 0.001 0.001 0.007 0.007 -0.010 -0.010 -0.004 -0.004 -0.005 -0.005 0.004 0.004 0.004 0.004 -0.006 -0.006 0.001 0.001 0.003 0.0002 標準偏差ｙ Δｙ^2 0.000202 0.000008 0.000018 0.000190 0.000139 0.000001 0.000046 0.000104 0.000018 0.000027 0.000014 0.000014 0.000039 0.000001 0.000820357 0.0079 エクセルの関数STDEV（X₁：Xn）でX軸の標準 偏差0.0111が求まる Y軸も同様にしてもとめると0.0079となる。 次の式でも求まる 標準偏差 σx＝√(∑(（Xi−Xi平均）² /(ｎ-1)) 標準偏差 σy＝√(∑(（Yi−Yi平均）² /(ｎ-1)) 二次元の標準偏差σ＝√（σx²/2 + σy²/2） （XとYに相関関係がない） √（0.0111²/2＋0.0079²/2)＝0.0097 です 散布図（標準偏差と分布の関係） 平均二乗誤差へ戻る 標準偏差0.0097 1倍標準偏差に含まれ る個数は5個で5/14＝ 35.7％で二次元の確率 39.4％に近い数字にな ります。 原点 標準偏差 1 8 （86.5-39.3=47.2） 10 2 14 4 13 5 6 11 3 2倍標準偏差 7/14＝ 50.0％で二次元の確率 47.2％に近い数字にな ります。 12 9 Y=0.0002 7 X=−0.0079 3倍標準偏差 2/14＝ 14.3％で二次元の確率 12.4％に近い数字にな ります。 （98.9-86.5=12.4） 原点（0，0）で分布してるのではな く平均（X=0.0079、Y=−0.0002）を 中心に分布している。 1σの確率は68.3％ではなく39.4％ である。 25 二変数の正規分布と確率 二変数立体像 二変数の確率 2次元 確率 0.118 0.393 0.675 0.865 0.956 0.989 0.998 1.000 1.000 1.000 標準偏差 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 体積を100として 39.4 86.5 98.9 １次元 確率 0.383 0.683 0.866 0.954 0.988 0.997 1.000 1.000 1.000 1.000 サンプル2−23henkan 一変数の正規分布と確率 二次元分布図 観察値 2. 45σ誤差円 3σ円 2σ円 1σ円 0. 03 1 0. 02 3 0. 01 2 0 中心値 -0. 04 -0. 03 -0. 02 -0. 01 0 0. 01 6 0. 02 0. 03 0. 04 -0. 01 2 -0. 02 0 157度軸の分布（長辺） -0. 03 正規分布曲線とヒストグラム -0. 04 45 40 6 35 正規分布曲線 相対度数 30 楕円角157° 長辺 標準偏差 0.011 25 短辺 標準偏差 0.008 20 3 15 2 2 10 5 一変数の標準偏差 0 1 標準偏差 σx＝√(∑(（Xi−Xi平均）² /(ｎ-1)) 0 4.5 3.5 2.5 1.5 0.5 -0.5 標準偏差の幅 -1.5 -2.5 -3.5 -4.5 エクセルの関数STDEV（X₁：Xn）で求まる。 26 一変数の正規分布の確率 正規分布曲線 確率（ﾊﾟｰｾﾝﾄ） 一次元正規分布図 ±1σ ±2σ ±3σ 標準偏差（0.5σ毎） 確率表 標準偏差 1σ 68.3 確率 2 95.5 3 99.7 座標系が異なり図が回転している 実測値 約10度左回転を与える 図面値 公共座標 任意座標 日本測地系 など 方位を一致させれば座標系が異なっても標準偏 差の計算はできる 27 標準偏差の計算 2−1 宿題回答 座標系が異なり図が回転している № 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 図面値 点名 S21 S2 S3 S5 S6 S7 S9 S12 S22 S23 S24 SS2 SS3 SS25 数 Xa 81.047 20.701 26.83 32.406 41.153 42.777 62.656 93.247 90.269 84.77 84.97 85.012 85.33 86.522 Ya 40.628 49.939 44.985 45.456 47.067 48.077 51.609 58.972 20.61 16.507 13.265 13.121 12.055 8.052 実測値 点名 C21 C2 C3 C5 C6 C7 C9 C12 C22 K4 K5 K6 K7 K8 X 軸の標準偏差 変数Xi Δx Yb Xb-Xa Xi-平均 -12812.184 98050.999 1.007 -12792.518 98053.519 3.527 -12798.469 98052.549 2.557 -12798.955 98052.558 2.566 -12798.889 98052.704 2.712 -12798.188 98052.850 2.858 -12798.155 98053.156 3.164 -12796.233 98053.987 3.995 -12833.489 98047.339 -2.653 -12836.576 98046.741 -3.251 -12839.794 98046.157 -3.835 -12839.944 98046.130 -3.862 -12841.059 98045.960 -4.032 -12845.201 98045.240 -4.752 計 1372699.889 平均 98049.99207 Xb 98132.046 98074.220 98079.379 98084.964 98093.857 98095.627 98115.812 98147.234 98137.608 98131.511 98131.127 98131.142 98131.290 98131.762 14 標準偏差ｘ Y軸の標準偏差 変数Yi Δｙ Yb-Ya Yi-平均 -12852.812 -2.812 -12842.457 7.543 -12843.454 6.546 -12844.411 5.589 -12845.956 4.044 -12846.265 3.735 -12849.764 0.236 -12855.205 -5.205 -12854.099 -4.099 -12853.083 -3.083 -12853.059 -3.059 -12853.065 -3.065 -12853.114 -3.114 -12853.253 -3.253 -179899.997 -12849.99979 標準偏差ｙ Δx^2 1.014 12.439 6.538 6.584 7.355 8.168 10.010 15.959 7.039 10.569 14.708 14.916 16.258 22.582 154.139 3.443 Δｙ^2 7.909 56.894 42.847 31.235 16.352 13.949 0.056 27.094 16.804 9.506 9.359 9.396 9.698 10.583 261.681 4.487 エクセルの関数STDEV（X₁：Xn）でX軸の標準 偏差3.443が求まる Y軸も同様にしてもとめると4.487となる。 図面値を回転と移動している 回転を修正すれば計算できる 計算できていない。 （方位を一致させる） 標準偏差の計算 2−2 宿題回答 回転を修正して（10度0分29秒回転してた） № 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数 図面値 点名 IK21 IK2 IK3 IK5 IK6 IK7 IK9 IK12 IK22 IK23 IK24 IKK2 IKK3 IKK25 実測値 Xa 82.038 24.228 29.403 34.976 43.870 45.645 65.835 97.241 87.640 81.512 81.145 81.162 81.290 81.769 Ya 37.818 57.476 51.531 51.026 51.093 51.805 51.829 53.763 16.503 13.418 10.191 10.041 8.936 4.786 点名 C21 C2 C3 C5 C6 C7 C9 C12 C22 K4 K5 K6 K7 K8 Xb 98132.046 98074.220 98079.379 98084.964 98093.857 98095.627 98115.812 98147.234 98137.608 98131.511 98131.127 98131.142 98131.290 98131.762 X 軸の標準偏差 変数Xi Δx Xb-Xa Xi-平均 98050.008 0.020 98049.992 0.005 98049.976 -0.012 98049.988 0.000 98049.987 -0.001 98049.982 -0.006 98049.977 -0.011 98049.993 0.006 98049.968 -0.020 98049.999 0.012 98049.982 -0.006 98049.980 -0.008 98050.000 0.012 98049.993 0.006 計 1372699.823 平均 98049.98734 Yb -12812.184 -12792.518 -12798.469 -12798.955 -12798.889 -12798.188 -12798.155 -12796.233 -12833.489 -12836.576 -12839.794 -12839.944 -12841.059 -12845.201 14 標準偏差ｘ Δx^2 0.000413 0.000021 0.000135 0.000000 0.000000 0.000032 0.000113 0.000037 0.000387 0.000139 0.000033 0.000060 0.000154 0.000036 0.001560 0.0110 Y軸の標準偏差 変数Yi Δｙ Yb-Ya Yi-平均 -12850.002 -0.012 -12849.994 -0.003 -12850.000 -0.009 -12849.981 0.009 -12849.982 0.009 -12849.993 -0.002 -12849.984 0.007 -12849.996 -0.006 -12849.992 -0.001 -12849.994 -0.003 -12849.985 0.006 -12849.985 0.006 -12849.995 -0.004 -12849.987 0.003 -179899.8676 -12849.99054 標準偏差ｙ 標準偏差 Δｙ^2 0.000141 0.000009 0.000087 0.000090 0.000076 0.000004 0.000047 0.000033 0.000001 0.000009 0.000036 0.000036 0.000016 0.000009 0.001 0.0068 0.0091 回転を除いた図面値 エクセルの関数STDEV（X₁：Xn）でX軸の標準 偏差0.0110がY軸は0.0068となる。 計算1と一致しない X軸の標準偏差0.011１ Y軸の標準偏差0.0079 図が回転しているから 移動も有るが標準偏差の計算には移 動は関係無い 28 宿題回答 回転、伸縮、歪みを取ればよい 係数a 係数b 移動量x 移動量y 計算例1 点番 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 伸縮率 指定伸縮率 回転角 K21 K2 K3 K5 K6 K7 K9 K12 K22 K23 K24 KK2 KK3 KK25 98132.033 98074.220 98079.396 98084.969 98093.863 98095.638 98115.828 98147.233 98137.638 98131.510 98131.144 98131.161 98131.289 98131.768 係数a 係数b 移動量x 移動量y ○ ○ ○ ○ ○ -12812.170 -12792.521 -12798.465 -12798.969 -12798.901 -12798.189 -12798.162 -12796.223 -12833.485 -12836.571 -12839.798 -12839.948 -12841.053 -12845.202 0.984783 0.173789 98,045.151 -12,838.097 ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ 1.000 平均二乗誤差 AIC 標準偏差 尖度 点名セット furee 0.008077251 準拠点をアフィンAICへ I 変換の基となる座標値（実測値） 点名 X Y C21 98132.046 98074.220 98079.379 98084.964 98093.857 98095.627 98115.812 98147.234 98137.608 98131.511 98131.127 98131.142 98131.290 98131.762 C2 C3 C5 C6 C7 C9 C12 C22 K4 K5 K6 K7 K8 伸縮率 指定伸縮率 回転角 1.000038 1.000000 10°0′29" 点名 -12812.184 -12792.518 -12798.469 -12798.955 -12798.889 -12798.188 -12798.155 -12796.233 -12833.489 -12836.576 -12839.794 -12839.944 -12841.059 -12845.201 1.000 IK21 IK2 IK3 IK5 IK6 IK7 IK9 IK12 IK22 IK23 IK24 IKK2 IKK3 IKK25 81.047 20.701 26.830 32.406 41.153 42.777 62.656 93.247 90.269 84.770 84.970 85.012 85.330 86.522 40.628 49.939 44.985 45.456 47.067 48.077 51.609 58.972 20.610 16.507 13.265 13.121 12.055 8.052 ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ C21 I 98132.046 98074.220 98079.379 98084.964 98093.857 98095.627 98115.812 98147.234 98137.608 98131.511 98131.127 98131.142 98131.290 98131.762 C2 C3 C5 C6 C7 C9 C12 C22 K4 K5 K6 K7 K8 -12812.184 -12792.518 -12798.469 -12798.955 -12798.889 -12798.188 -12798.155 -12796.233 -12833.489 -12836.576 -12839.794 -12839.944 -12841.059 -12845.201 Y -12812.172 -12792.515 -12798.460 -12798.964 -12798.898 -12798.186 -12798.162 -12796.227 -12833.488 -12836.573 -12839.800 -12839.950 -12841.055 -12845.204 計算例１henkan 平均二乗誤差 AIC 標準偏差 尖度 点名セット furee 変換の基となる座標値（実測値） 点名 X Y 14 98132.026 98074.215 98079.391 98084.964 98093.858 98095.633 98115.823 98147.228 98137.628 98131.499 98131.133 98131.150 98131.278 98131.756 10.00818517 準拠点をアフィンAICへ 0.013 72 0.009 0.65 変換された座標値 X 指定数 指定数までリセット 14 変換される座標値(図面値） 準拠点 点名 X Y S21 S2 S3 S5 S6 S7 S9 S12 S22 S23 S24 SS2 SS3 SS25 1.000037 1.000000 0°0′29" 指定数 指定数までリセット 14 変換される座標値(図面値） 準拠点 点名 X Y 計算例2 点番 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1.000000 0.000141 1.800 13.832 計算例１henkan 0.013 72 0.009 0.61 14 変換された座標値 X 点名 IK21 IK2 IK3 IK5 IK6 IK7 IK9 IK12 IK22 IK23 IK24 IKK2 IKK3 IKK25 98132.025 98074.216 98079.391 98084.964 98093.857 98095.632 98115.823 98147.228 98137.628 98131.500 98131.133 98131.150 98131.277 98131.756 Y -12812.172 -12792.515 -12798.459 -12798.964 -12798.898 -12798.186 -12798.162 -12796.227 -12833.488 -12836.573 -12839.801 -12839.950 -12841.055 -12845.204 多角点の測量においてすでに回転・移動がある 7ｇ2と7ｇ3を登記用に使うとして T2 ヘルマートの標準偏差は2mmです T3 A 厳密網 （簡易網もほぼ同じ結果） 40a4 T4 40b 街区補助点 7g4 節点 0.003 7g2 7g3 街区多角点 0.005 T1 7g1 0.003 0.006 多角網だけで14秒 の回転が起きている 東へ5mm移動が起 きている 結合トラバー点 40a 40b 7g4 0.001 7g3 0.004 7g2 0.005 7g1 0.005 29 標準偏差とはなにか 標準偏差の基となる変数はXi=Xb（実測値）−Xa（図面値） の差である 偏差＝変数 − 変数の最確値 （確率論によって求めた平均値） 誤差＝変数 − 真の値 （真の値は解らないので厳密には誤差とは言わない） 標準偏差²（分散） ＝ 図面値と実測値（現地の点の位置）のバラツキを表す指標 標準偏差が小さい＝バラツキが小さい＝図面値と実測値の差が小さい＝精度が高い たとえば「この図面の精度が高い」というのは実測値に対しての図面値の差が小さいことと差 のバラツキも小さいことを言う。 個々の点の評価もできるが図面全体の評価をするには標準偏差を使う。 公差 ＝ 規定上許される誤差の範囲で標準偏差はこの幅の6分の１とか7分の１に設 定する（許される異常値の確率による） 誤差の区分 変数が1つの誤差 変数が2つの誤差 変数が3つの誤差 距離だけ / 角度だけ 座標値（X・Y・Z） 座標値（X・Y） 測定対象が１つの誤差 測定対象が多数の誤差 一つのものを繰り返し測定＝測定誤差 境界の数だけ測定＝モノ（図面対現地）の誤差 真北測量 同じ点を数回測量する（非現実的） 個々の測定には測定誤差ある。 個々の間にはモノのバラツキがある。 モノの誤差（バラツキ）より測定誤差が十分 小さいことが要件 境界を測る 30 測量の注意点 注意点 図面の誤差に対して実測の誤差が大きい場合は ①実測上の問題点が計算される。実測値の誤差をしる。 図面の誤差と実測の誤差が同じ場合は ②図面と実測の相対的な関係が計算される。実測と図面の相対的な誤差。 図面の誤差に対して実測の誤差が小さい場合は ③図面の問題点が計算される。図面の誤差を知る。 常に図面の問題点が計算されるわけではない。 図面の精度より高い精度で実測する 古い図面を基に測量する場合は図面の誤差に対して実測 の誤差が小さいので測定誤差の問題は生じない。 誤差の三公理 過失誤差 必然誤差 経年変化 １．絶対値の等しい正の誤差と負の誤差 との起こる度数は相等しい。 ２．絶対値の小さな誤差の方が大きい誤 差より現れる度数が多い。 ３．ある程度以上の大きな誤差は実際上 起こらない 偶然誤差 誤差は正規分布に従う （ガウスの分布） 経年変化も三公理に倣う 経年変化 １．絶対値の等しい正の変化と負の変化 の起こる度数は相等しい。 ２．絶対値の小さな変化の方が大きい変 化より現れる度数が多い。 ３．ある程度以上の大きな変化は実際上 起こらない 三公理に倣わない点が混じる・・だから難しい これらをひっくるめて現地（実測値）対図面 （図面値）との相対的な位置誤差を考える。 31 経年変化という誤差 経年変化 作業直後 図解法による場合、図からスキャナー等 で座標値を読み取って数値化しますが 辺の交角が鈍角、鋭角のところでは作 図誤差が大きく、作図誤差が測量誤差 より大きくなる関係で誤差は正規分布に ならない。 50∼１００年後 境界標が動かされると分布が崩れる 境界標が動くと分布が崩れる 準拠点選択とは？（確率論から） 書証、物証、人証によってその図面が作られた当時からの境界を探し出 す作業はこの確率論に入る前に必要 32 準拠点選択のイメージ 不動点（正規分布になる点） 正規分布になる点の組み合わせを 探す理由は「復元の基礎」「準拠点 選択の意義」で説明してあります 不動点（正規分布から外れる点） 通常の測量であれば正規分布から 外れる点は無い 初めから異常な点、異常な経 年変化のある点、 現地調査、聞き取りの時点で 除くこと 通常の測量であれば異常な点は無 い、境界標の管理がされていれば 異常な経年変化点は無い 確率論のイメージ 異常な値があるデータの分布 実際の分布曲線 正規分布曲線とヒストグラム 60 正規分布曲線 50 正規分布＋有意水準 30 20 10 0 4.5 3.5 2.5 1.5 0.5 -0.5 -1.5 -2.5 -3.5 異常な値を除いたデータの分布 -4.5 標準偏差の幅 正規分布曲線とヒストグラム 45 40 35 30 この状態を統計的に選ぶ 相対度数 相対度数 40 25 20 15 10 5 0 4.5 3.5 2.5 1.5 0.5 -0.5 標準偏差の幅 -1.5 -2.5 -3.5 -4.5 33 t異常値検定 1 異常点の除去と準拠点選択に使う ｔ検定はｔ値を期待値と観測値について求め 期待値＜観測値 のばあい異常がある 期待値＞観測値 の場合異常が無い 期待値のｔ値はｔ分布の限界値表から求めるかエクセルの関数TINVから有意水準，自由度を指定して 求める 有意水準は1％∼5％の間を使いますが統計では一般的に5％が使われます 自由度は観測数ｎ−2です。 観測値のｔ値は =（（√n−2）×τ）／√（ｎ−1−τ²） τ=（xk−ｘm）／σ xkは判定する観測値、xｍは観測値の平均値、σはｎ（観測数）を使った標準偏差 で求めます。 t異常値検定 4 t 検定とは 異常値を除くのに適した検定でデータ数が少ない場合にそのデータが正規分布になっているかどうか の判断が難しいので異常値を検定して除けば充分である。 もちろん、データ数が多い場合でも使える。 データに異常な値が無いかどうかの判断にはｔ 検定が適している、データ数ｔ値の期待値として、実デー タのｔ値を求め 期待値（理論値）＞実測値 の関係で異常値の判断ができる。 除番号 G22 G17 G4 G21 G20 G11 G6 G7 G15 G16 G12 G13 G14 G19 G3 G8 G9 G23 標準偏差 0.017 0.014 0.010 0.009 0.009 0.008 0.007 0.007 0.006 0.005 0.005 0.005 0.004 0.004 0.003 0.003 0.002 0.002 0.001 差 0.003 0.004 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.001 0.000 0.000 0.000 0.001 理論ｔ値 2.0930247 2.10092367 2.10981852 2.11990482 2.13145086 2.1447886 2.16036824 2.17881279 2.20098627 2.22813924 2.26215889 2.30600563 2.36462256 2.44691364 2.57057764 2.77645086 3.18244929 4.30265573 実測T値 3.17791925 9.1772385 1.69724099 0.63180175 0.79061201 0.39545834 0.14964119 0.37687857 -0.2074008 -0.4901547 -1.3870153 -0.7960487 -0.644869 0.31004261 -0.7794504 -1.2488154 -1.6742446 1 平均ｍ 標準偏差ｓ 0.000896 0.000890 0.000765 0.000717 0.000598 0.000208 0.000577 0.000196 0.000569 0.000199 0.000558 0.000202 0.000551 0.000208 0.000549 0.000216 0.000541 0.000224 0.000546 0.000235 0.000559 0.000244 0.000599 0.000228 0.000626 0.000232 0.000652 0.000241 0.000636 0.000261 0.000689 0.000267 0.000794 0.000225 0.000951 0.000051 τ 2.635 3.957 1.615 0.643 0.800 0.407 0.155 0.390 -0.216 -0.508 -1.327 -0.813 -0.670 0.332 -0.806 -1.184 -1.390 1.000 判定 × × 34 t異常値検定 5 1henkan 2henkan データが少ないとｔ検定では正確に判断できないことがある（n=8、アフィンフルカウントのデータ例） Ｔ検定で異常であればこの欄に × が入る。 標準偏差 0.148 0.076 0.047 0.034 0.017 差 差の変化 初回判定 0.072 0.029 0.013 0.016 0.0800 0.0700 0.0600 0.0500 0.0400 0.0300 0.0200 0.0100 0.0000 変化点 平均 7 6 5 4 異常と判断されない 変化の大きい点を境にその前の点の値と変化後の数点の平 均が約2.5倍∼3.0倍を超えれば変化点以前の点は異常点と 判断できる。 Χ²正規分布適合度検定 1 準拠点選択に使う Χ²検定はχ²値を期待値と観測値について求め 期待値＜観測値 のばあい異常がある 期待値＞観測値 の場合異常が無い 期待値のχ²値はχ²分布の限界値表から求めるかエクセルの関数CHIINVから有意水準，自由度を 指定して求める。 有意水準は1％∼5％の間を使いますが統計では一般的に5％が使われます。 自由度は級の数−3で、級はヒストグラムの級の数で級の幅の値によって変わります。 観測値のχ²値は =Σ(（ｆi−ｆi*）²／ ｆi*) （（ｆi−ｆi*）²／ ｆi* を級毎に求めその合計） ｆi は観測度数 （級に当てはまる観測値数） ｆi* は期待度数 （ｆi×確率） 35 Χ²正規分布適合度検定 2 2.3σが含まれる級の上限値 中数値 -4.125 -3.875 -3.625 -3.375 -3.125 -2.875 -2.625 -2.375 -2.125 -1.875 -1.625 -1.375 -1.125 -0.875 -0.625 -0.375 -0.125 0.125 0.375 0.625 0.875 1.125 1.375 1.625 1.875 2.125 2.375 2.625 2.875 3.125 3.375 範囲 ∼ ∼ ∼ ∼ ∼ ∼ ∼ ∼ ∼ ∼ ∼ ∼ ∼ ∼ ∼ ∼ ∼ ∼ ∼ ∼ ∼ ∼ ∼ ∼ ∼ ∼ ∼ ∼ ∼ ∼ ∼ -3.785 -3.535 -3.285 -3.035 -2.785 -2.535 -2.285 -2.035 -1.785 -1.535 -1.285 -1.035 -0.785 -0.535 -0.285 -0.035 0.215 0.465 0.715 0.965 1.215 1.465 1.715 1.965 2.215 2.465 2.715 2.965 3.215 3.465 3.715 -4.000 -3.750 -3.500 -3.250 -3.000 -2.750 -2.500 -2.250 -2.000 -1.750 -1.500 -1.250 -1.000 -0.750 -0.500 -0.250 0.000 0.250 0.500 0.750 1.000 1.250 1.500 1.750 2.000 2.250 2.500 2.750 3.000 3.250 3.500 自由度の計算 上限値 -4.125 -3.875 -3.625 -3.375 -3.125 -2.875 -2.625 -2.375 -2.125 -1.875 -1.625 -1.375 -1.125 -0.875 -0.625 -0.375 -0.125 0.125 0.375 0.625 0.875 1.125 1.375 1.625 1.875 2.125 2.375 2.625 2.875 3.125 3.375 3.625 Χ² 計算例 σ中心 4.25 3.75 3.25 2.75 2.25 1.75 1.25 0.75 0.25 -0.25 -0.75 -1.25 -1.75 -2.25 -2.75 -3.25 -3.75 -4.25 25 20 15 10 5 0 -3 σ 2 2.05 2.1 2.15 2.2 2.25 2.3 2.35 2.4 2.45 2.5 2.55 2.6 2.65 -2.5 両側 95.45 95.96 96.43 96.84 97.22 97.56 97.86 98.12 98.36 98.57 98.76 98.92 99.07 99.20 -2 -1.5 -1 -0.5 片側 47.72 47.98 48.21 48.42 48.61 48.78 48.93 49.06 49.18 49.29 49.38 49.46 49.53 49.60 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 級の数はデータ数を100と仮定したとき の両側98％（片側１％未満＝2.3σ 2.3σ）が含まれる級の＋側上限値と− 側上限値の差を級の幅で割った値＝ｎ 2.625＋2125／0.25＝19 自由度19 −3=16 級の数はデータ数を100と仮定したとき の両側99％（片側0.5％未満）＝2.55σ 2.55σが含まれる級の＋側上限値と− 側上限値の差を級の幅で割った値＝ｎ 2.875＋2.375／0.25＝21 自由度21 −3＝18 自由度は16∼18の間にあると推定でき る。 Χ²正規分布適合度検定 5 χ²値計算 確率 実点数 期待度数 ｘ＾2 0.0001 0 0.001 0.001 0.0002 0 0.004 0.004 0.0011 0 0.021 0.021 0.0049 1 0.092 8.944 0.0116 0 0.219 0.219 0.0491 1 0.932 0.005 0.0919 1 1.745 0.318 0.1499 2 2.848 0.253 0.1915 6 3.638 1.534 0.1915 3 3.638 0.112 0.1499 1 2.848 1.199 0.0919 2 1.745 0.037 0.0491 1 0.932 0.005 0.0116 0 0.219 0.219 0.0049 1 0.092 8.944 0.0011 0 0.021 0.021 0.0002 0 0.004 0.004 0.0001 0 0.001 0.001 1.00000 19 21.841 19 19 21.841 Χ²観測値 21.841 期待値 22.36（自由度１３） 実際には19個のデータで0度∼180度まで10度毎に計算して、19個、18個、17個と1個づつ変数減少法で 減らしていき 期待値＞観測値 となるまで繰り返します。 この場合χ²は自由度13で 期待値は 22.36、観測χ² 21.841 で観測値が小さいので正規分布に従う と判断します。 36 Χ²正規分布適合度検定 6 2henkan Χ²値観測値の変化 準拠点対χ²値 1200.00 1000.00 χ²値 800.00 準拠点対χ²値 600.00 25.00 期待値22.36 自由度で変わる（13） 400.00 200.00 20.00 0.00 21 20 19 18 17 準拠点数 15.00 χ²値 観測値 10.00 5.00 0.00 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 準拠点数 信頼限界による準拠点選択 観察値 2. 45σ誤差円 3σ円 2σ円 1σ円 二次元分布図 0. 06 0. 04 0. 02 0 -0. 08 -0. 06 -0. 04 -0. 02 0 0. 02 0. 04 0. 06 -0. 02 観察値 2. 45σ誤差円 3σ円 2σ円 1σ円 0. 04 -0. 04 0. 03 -0. 06 0. 02 -0. 08 0. 01 0 -0. 04 -0. 03 -0. 02 -0. 01 0 0. 01 0. 02 0. 03 0. 04 -0. 01 この異常点が無くなるま で繰り返し計算する。 -0. 02 精度は低い。 -0. 03 統計より数学的な判断 -0. 04 37 平均二乗誤差とはなに？ 平均二乗誤差の計算式 平均二乗誤差と標準偏差は違う 標準偏差は平均値からのバラツキの指標 調測附44 38 標準偏差へ 平均二乗誤差の図 前回の図面値 平均二乗誤差＝2.9 今回の実測値 ｚ１ σ₁ ［σ²］=σ₁²＋σ₂²＋σ₃²＋σ₄²＋σ₅² ｚ５ ｚ２ σ₅ =2²＋3²＋1²＋2²＋4² σ₂ =34 ｚ４ 標準偏差＝1.1 ｚ３ σ₃ ［σ²］=(σ₁-σ平均)²＋（σ₂ -σ平均) ²＋(σ₃ -σ平均) ²＋(σ₄ -σ平均) ² ＋(σ₅ -σ平均) ² σ₄ 与点 =2-(2.4)²＋3 -(2.4) ²＋1 -(2.4) ² ＋2 -(2.4) ²＋4 -(2.4) ² 多角点 多角点 与点 =5.2 調測附44 平均二乗誤差 計算例1 図面値 Xa 98132.033 98074.220 98079.396 98084.969 98093.863 98095.638 98115.828 98147.233 98137.638 98131.510 98131.144 98131.161 98131.289 98131.768 № 点名 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 標準偏差 0.009 平均二乗誤差 0.0159 z1 z2 z3 z4 z5 z6 z7 z8 z9 z10 z11 z12 z13 z14 数 Ya -12812.170 -12792.521 -12798.465 -12798.969 -12798.901 -12798.189 -12798.162 -12796.223 -12833.485 -12836.571 -12839.798 -12839.948 -12841.053 -12845.202 点名 g1 g2 g3 g4 g5 g6 g7 g8 g9 g10 g11 g12 g13 g14 実測値 Xb 98132.046 98074.220 98079.379 98084.964 98093.857 98095.627 98115.812 98147.234 98137.608 98131.511 98131.127 98131.142 98131.290 98131.762 宿題回答 Yb -12812.184 -12792.518 -12798.469 -12798.955 -12798.889 -12798.188 -12798.155 -12796.233 -12833.489 -12836.576 -12839.794 -12839.944 -12841.059 -12845.201 計 平均 14 変数Xi Xa-Xb 0.013 0.000 -0.017 -0.005 -0.006 -0.011 -0.016 0.001 -0.030 0.001 -0.017 -0.019 0.001 -0.006 -0.111 -0.0079 変数Yi Ya-Yb -0.014 0.003 -0.004 0.014 0.012 0.001 0.007 -0.010 -0.004 -0.005 0.004 0.004 -0.006 0.001 0.003 計 0.0002 平均二乗誤差 xi^2+yi^2 0.00036500 0.00000900 0.00030500 0.00022100 0.00018000 0.00012200 0.00030500 0.00010100 0.00091600 0.00002600 0.00030500 0.00037700 0.00003700 0.00003700 0.00330600 平均二乗誤差 0.0159 計算例2 標準偏差 0.009 平均二乗誤差 102621.384 № 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数 図面値 点名 kz1 kz2 kz3 kz4 kz5 kz6 kz7 kz8 kz9 kz10 kz11 kz12 kz13 kz14 14 実測値 Xa 81.047 20.701 26.83 32.406 41.153 42.777 62.656 93.247 90.269 84.77 84.97 85.012 85.33 86.522 Ya 40.628 49.939 44.985 45.456 47.067 48.077 51.609 58.972 20.61 16.507 13.265 13.121 12.055 8.052 点名 g1 g2 g3 g4 g5 g6 g7 g8 g9 g10 g11 g12 g13 g14 Xb 98132.046 98074.220 98079.379 98084.964 98093.857 98095.627 98115.812 98147.234 98137.608 98131.511 98131.127 98131.142 98131.290 98131.762 X 軸の標準偏差 変数Xi Xb-Xa 98050.999 98053.519 98052.549 98052.558 98052.704 98052.850 98053.156 98053.987 98047.339 98046.741 98046.157 98046.130 98045.960 98045.240 計 1372699.889 平均 98049.99207 Yb -12812.184 -12792.518 -12798.469 -12798.955 -12798.889 -12798.188 -12798.155 -12796.233 -12833.489 -12836.576 -12839.794 -12839.944 -12841.059 -12845.201 Y軸の標準偏差 変数Yi Yb-Ya -12852.812 -12842.457 -12843.454 -12844.411 -12845.956 -12846.265 -12849.764 -12855.205 -12854.099 -12853.083 -12853.059 -12853.065 -12853.114 -12853.253 -179899.997 -12849.99979 平均二乗誤差 xi^2+yi^2 9779193181.20535000 9779421290.08021000 9779256676.04752000 9779283024.28028000 9779351347.26555000 9779387917.57272000 9779537836.41603000 9779840662.18819000 9778508546.08272000 9778365163.32597000 9778250028.12613000 9778244887.87112000 9778212811.81859000 9778075199.33961000 136904928571.62000000 平均二乗誤差 102621.384 39 平均二乗誤差と確率 標準偏差 計算１ 1倍平均二乗誤差円内 3平均二乗誤差の円 8/14 57.1％で二次元 正規分布の確率39.3％ とは関係が無い 2平均二乗誤差の円 ２倍平均二乗誤差 標準偏差 1平均二乗誤差の円 1 8 6/14 42.3％で二次元 正規分布の確率47.2％ に近い数字になります。 （86.5-39.3=47.2） 10 2 14 4 13 5 6 11 3 X=−0.0079 7 12 3倍平均二乗誤差 0/14＝0％で二次元の 確率12.4％とは関係が 無い （98.9-86.5=12.4） 9 Y=0.0002 平均二乗誤差は確率とは関係が ない。 平均二乗誤差は与点から 与点（四等三角点 1.5km）に対する位 置誤差？ 調測附44 街区基準運用基準９条 1級基準点 2級基準点 街区三角点 一次地籍図根三角点 3級基準点 街区多角点 二次地籍図根三角点 4級基準点 街区補助点 地籍図根多角点 「多角点の測量においてすでに回転・移動がある」から実際の境界観測に使う多角点ですでに数十ミリ から数ミリの位置誤差をもっている。 国土調査成果に対する合否の判定に使う と考える 40 基準点と与点 与点（別表5の平均二乗誤差、 位置誤差は与点から） 公共作業規定 1級基準点 2級基準点 3級基準点 4級基準点 地籍調査 都市再生街区基本調査 1次地籍図根三角点 2次地籍図根三角点 150m 地籍図根多角点 30m 地籍細部図根点 街区三角点 500ｍ 街区多角点 200ｍ 街区補助点 50m 基準点（出合 基準点（出合差 差は基準点か は基準点から） ら） 地籍調査 地籍図根三角点 は 基本三角点、認証基準点 から点間距離150ｍ（やもうえない100ｍ）以上 地籍図根多角点 は点間距離30ｍ（やもうえない10ｍ）以上 都市再生街区基本調査街区基準点測量の定義 街区基準点には街区三角点と街区多角点がある。 街区三角点は，約500ｍ間隔に設置し，公共測量の２級基準点に相当する。 街区多角点は，約200ｍ間隔に設置し，公共測量の３級基準点に相当する。 出合差の制限 都市再生街区基本調査 地籍調査運用基準 甲1 地籍調査運用基準 甲2 地籍調査運用基準 甲3 地籍調査運用基準 乙1 地籍調査運用基準 乙2 地籍調査運用基準 乙3 放射法の出合差mm 20 30 50 90 120 160 200 標準偏差で見ると（3.7σ） 5 8 14 24 32 43 54 甲1∼乙3は14条地図活用マニュアルp61から 都市再生街区基本調査の 測量方式及び観測値の点検結果 街区点測量では，街区基準点において主にTSを整置し，放射法観測により街区点を設置する。 TSで基準方向から街区点までの角度と距離を測定し，そのデータを用いて計算し，街区点の 座標，高さを求める。 観測値の点検は，作業地域の街区点測量点数の概ね２％を抽出して行い，その出会差は 20mmとされている。 出合差と位置誤差 放射法の出合差とは、２点以上の基準点を基礎として測定した場合の筆界点の座標差を言う。 位置誤差は与点から（別表５参照）で通常の倍の精度が出る測量が必要です。 41