平成26年度推薦入学者選抜適性試験・解答例

平成２６年度推薦入学者選抜適性試験・解答例
１ 次の問いに答えなさい。
（各４点）
(1) (a + 2b − 3c)2 − (a − 2b − 3c)2 を展開しなさい。
(2) (2a − b) : (a + b) = 3 : 4 のとき，a : b の比の値を求めなさい。
(3) 平行四辺形 ABCD について，∠B は鋭角とする。辺 BC 上に BE : EC = 2 : 1 となる点 E をと
り，直線 AE と対角線 BD との交点を F，直線 AE と辺 DC の延長との交点を G とする。このとき，
△AGD の面積は △BEF の面積の何倍か求め，最も簡単な分数で答えなさい。
(4) 50098 を有効数字３けたで表しなさい。
(5) ２つの関数 y = −6x + 1 と y = ax2 について，x の値が −4 から 2 まで増加するとき，それぞれの
変化の割合は等しい。このとき，a の値を求めなさい。
（解）
(1) 8ab − 24bc
(2)
(3)
7
5
45
8
(4)
5.01 × 104
(5)
a=3
1
２ 下図は，ルーローの三角形とよばれる図形であり，P，Q，R は正三角形の頂点，弧 PQ は R を中
心とする円弧，弧 QR は P を中心とする円弧，弧 PR は Q を中心とする円弧である。正三角形 PQR
の１辺の長さを a とする。ここで，次の問いに答えなさい。
（各５点）
P
(1) ルーローの三角形の周の長さを a を用いて表しなさい。
(2) ルーローの三角形の面積を a を用いて表しなさい。
Q
R
（解）
(1) 弧 PQ，弧 QR，弧 PR は，中心角 60◦ のおうぎ形の弧だから，その長さは，
2πa ×
1
1
= πa
6
3
である。よって，ルーローの三角形の周の長さは，πa である。
(2)
求める面積は，
(おうぎ形 PQR − △PQR) × 3 + △PQR
で得られる。おうぎ形 PQR の面積は，
πa2 ×
正三角形 PQR の面積は，
1
1
= πa2 ，
6
6
√
√
1
3
3 2
×a×
a=
a 。
2
2
4
よって，ルーローの三角形の面積は，
(
)
√
√
√
1 2
3 2
3 2 π− 3 2
πa −
a ×3+
a =
a
6
4
4
2
である。
３ 偶数と奇数の和が奇数になることを証明しなさい。
（１０点）
（解）
偶数と奇数は，整数 m，n を用いて，それぞれ 2m，2n + 1 と表すことができる。その和は，
2m + (2n + 1) = 2(m + n) + 1
となる。m + n が整数なので，この和は奇数である。
2