リーマン面に関連する位相幾何学

Title
Author(s)
Citation
Issue Date
リーマン面に関連する位相幾何学
河澄, 響矢
Technical Report Series of Department of Mathematics,
Hokkaido University
1997-01-01
DOI
Doc URL
http://eprints.math.sci.hokudai.ac.jp/archive/00001234/;
http://hdl.handle.net/2115/752
Right
Type
bulletin
Additional
Information
File
Information
51.pdf
Instructions for use
Hokkaido University Collection of Scholarly and Academic Papers : HUSCAP
リーマン面に関連する位相幾何学
1997年 9月 16日 rv 9月 19日
於:北海道大学理学部数学教室
予稿集
S
e
r
i
e
s#51
. September，
1997
HOKKAIDOUNIVERSITY
TECHNICALREPORTSERIESINMATHEMATICS
H1
9
:
H
.S
u
z
u
k
i(
E
d
.
)，複素多様体のトポロジ-Topologyo
fComplexM
a
n
i
f
o
l
d
s，1
3
3p時 四 . 1
9
9
0
.
H2
0
:
R
.Agemi(
E
d
.
)，第 1
5回偏微分方程式論札幌シンポジウム予稿集， 6
5p
a
g
e
s
.1
9
9
1
H2
1
:
Y
.Giga，Y
.Watatani(
E
d
s
.
)，1
9
9
0年度談話会アブストラクト集 ColloquiumL
e
c
t
u
r
e
s，1
0
5pag
田. 1
9
91
.
H2
2
:
R
.Agemi(
E
d
.
)，第 1
6回偏微分方程式論札幌シンポジウム予杭集， 5
0p唱団. 1
9
91
.
H2
3
: Y
.Giga，Y
.Watatani(
E
d
s
.
)，1
9
9
1年度談話会・特別講前アブストラクト集 ColloquiumL
e
c
t
u
r
民 8
9p
a
g
e
s
.
1
9
9
2
.
H2
4
:
K
.Kubota(
E
d
.
)，第 1
7回偏微分方程式論札幌シンポジウム予稿集， 2
9p
a
g
e
s
.1
9
9
2
.
H2
5
:
K
.T
:
他 国a
k
i，“非線型可積分系の数理" 1992.9.28~10.2 北海道大学での集中講義講義録， 5
2p
a
g
e
s
.1
9
9
3
.
H2
6
:
T
.N
a
k
a
z
i(
E
d
.
)，第 1回関数空間セミナー報告集， 9
3p
a
g
e
s
.1
9
9
3
.
H2
7
:
K
.Kubota(
E
d
.
)，第 1
8回偏微分方程式論札幌シンポジウム予稿集， 40pag
田. 1
9
9
3
.
H2
8
:
T
.H
i
b
i(
E
d
.
)，1
9
9
2年度談話会・特別講演アブストラクト集 ColloquiumL
e
c
t
u
r
e
s，1
0
8p
a
g
e
s
.1
9
9
3
.
H2
9
:
1
.Sawashima
，T
.N
a
k
a
z
i(
E
d
s
.
)，第 2回関数空間セミナ一報告集， 7
9p
a
g
e
s
.1
9
9
4
.
H3
0・ Y
.Giga，Y
.G
.Chen，動く曲面を追し、かけて，講義録， 6
2p
a
g
e
s
.1
9
9
4
.
H3
1・ K
.Kubota(
E
d
.
)，第四回偏微分方程式論札幌シンポジウム予稿集， 3
3p
a
g
e
s
.1
9
9
4
.
H3
2
:
T
.Ozawa(
E
d
.
)，1
9
9
3年度談話会・特別講演アブストラクト集 ColloquiumL
e
c
t山 崎 1
1
3pag
田. 1
9
9
4
.
H3
3
:
Y
.Okabe(
E
d
.
)，
TheF
i
r
s
tSapporoSymposiumonComplexS
y
s
七e
ms，
2
4pag
出. 1
9
9
4
.
H3
4
:
A
.A
r
a
i，
1
n
f
i
n
i
t
eD
i
m
e
n
s
i
o
n
a
lA
n
a
l
y
s
i
sonanE
x
t
e
r
i
o
rBundleandSupersymmetricQuantumF
i
e
l
dTheory
，
1
0P唱団. 1
9
9
4
.
H3
5
:
，T
.N
a
k
a
z
i(
E
d
s
.
)，第 3団関数空間セミナ一報告集， 1
0
4p
a
g
e
s
.1
9
9
5
.
S
.Miyajima
H3
6
:
N
.Kawazumi(
E
d
.
)，リーマン面に関連する位相幾何学， 6
3p
a
g
e
s
.1
9
9
5
.
H3
7
:
1
.Tsuda(
E
d
.
)，
TheSecond& Tl
古【1S
apporoSymposiumonComplexSystems，
1
9
0pag
田. 1
9
9
5
.
H3
8
:
M.S
a
i
t
o(
E
d
.
)，1
9
9
4年度談話会・特別講演アブストラクト集 ColloquiumL
e
c
t
u
r
e
s，1
0
0pag
回. 1
9
9
5
.
H3
9
:
S
.1zumiya(
E
d
.
)，接触幾何学と関連分野研究集会報告集， 1
8
6pag
田. 1
9
9
5
.
H4
0
:
H
.Komatsu，A
.Kishimoto(
E
d
s
.
)，作用素論圃作用素環論研究集会予稿集， 6
1pag
田. 1
9
9
5
.
H4
1
:
K
.Okubo，T
.N
a
k
a
z
i(
E
d
s
.
)，第 4回関数空間セミナ一報告集， 1
0
3p
a
g
e
s
.1
9
9
6
.
H4
2
:
R
.Agemi(
E
d
.
)，第 20回偏微分方程式論札 I
P'晃シンポジウム予稿集， 47p
a
g
e
s
.1
9
9
6
.
H4
3
:
R
.Age
凶
， Y
.GigaandT
.Ozawa(Eds.)，N
o
n
l
i
n
e
a
rWaves，
P
r
o
c
e
e
d
i
n
g
so
ft
h
eFou
吋 1 MSJ1
n
t
e
r
n
a
t
i
o
n
a
l
，269pag回 . 1
9
9
6
.
R
e
s
e
a
r
c
h1
n
s
t
i
t
u
t
eV
o
l1
U4
4
:
R
.Age
凶
， Y
.GigaandT
.Ozawa(Eds.)，N
o
n
l
i
n
e
a
rWaves，
P
r
o
c
e
e
d
i
n
g
so
ft
h
eF
o
u
r
t
hMSJ1
n
t
e
r
n
a
t
i
o
n
a
l
a
τ
c
h1
n
s
七i
t
u
t
eV
o
lI
I，
270pag
田. 1
9
9
6
.
R田 e
H4
5
:
G
.1
s
h
i
k
a
w
a(
E
d
.
)，1
9
9
5年度談話会・特別講演アブストラクト集 ColloquiumL
e
c
t
u
r
同 9
8pag
田. 1
9
9
6
.
H4
6
:
R
.Agemi(
E
d
.
)，第 21回偏微分方程式論札幌シンポジウム予稿集， 3
4p
a
g
e
s
.1
9
9
6
.
H4
7
:
N
.Kawazumi(
E
d
.
)，リーマン面に関する位相幾何学， 6
1p唱団. 1
9
9
6
.
H4
8
:
.1
n
o
u
e(
E
d
s
.
)，第 5回関数空間セミナ一報告集， 9
0p唱団. 1
9
9
7
.
S
.Miyajima，J
H4
9
:
T
.Ozawa(
E
d
.
)，
P
r
o
c
e
e
d
i
n
g
so
f七he22ndSapporoSymposiumonP
a
r
t
i
a
l
リーマン面に関連する位相幾何学
1997年
9月 16
日~
19日
於:北海道大学理学部数学教室
予稿集
はじめに
この予稿集は、平成 9年度科学研究費基盤研究 A I
位相幾何学の総合
的研究J (課題番号 08304006、代表者:森田茂之先生(東大数理) )
の補助により 1997年 9月 16日から 19日まで北海道大学理学部数
学教室で行われる研究集会「リーマン面に関連する位相幾何学Jに際し、
予め各講演者からあつめた原稿をそのまま印刷したものである O
その目的は、参加者が講演への理解を深め、より活発な研究討論を行
う一助とするとともに、記録として残すことによって後々の研究に役立
てることにある O
この研究集会の開催は、森田先生はじめ多くの方々のご理解ご協力、
さらに北海道大学理学部数学教室各位のご支援の上に成り立っているこ
とを付記させていただく O
1997年 8月
河j
登響矢(北大理)
日次
配列は 50音 )
1
¥
買による O
伊j
宰毅(北大理)
C
h
e
r
nn
u
m
b
e
rf
o
r
m
u
l
af
o
rr
a
m
i
f
i
e
dc
o
v
e
r
i
n
g
s.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
遠藤久顕(阪大理)
符号数が O でない曲面上の曲面束の一構成法..................
4
大場 j
青、橋本義武(お茶の水大理、阪市大理)
井桁にまつわるエトセトラ..................................
7
岡井孝行
H
y
p
e
r
b
o
l
i
c4
g
g
o
n
sa
n
dP
S
U
(
l， l
)
r
e
p
r
e
s
e
n
t
a
t
i
o
n
so
fs
u
r
f
a
c
e
g
r
o
u
p
s .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. 1
1
奥村善英(金沢大工)
タイヒミュラー空間の座標付けとその応用....................
笠原泰(高知工科大)
2
0
種 数 2の J
o
n
e
s表現の指数展開と T
o
r
e
l
l
i群の降中心列......
4
4
鎌田聖一(阪市大理)
量子逆元とプレイドモノドロミー
4
5
小松信(京大数理研)
種 数 2の曲線族から得られる周期写像........................
5
3
小森洋平(阪市大理)
タイヒミュラー空間のアール埋め込みとプリーツ座標について
(
C
.
S
e
r
i
e
s との共同研究) • • • • ..• • ..• .• • .• • • .• • ..• • • • • • • ...
6
1
須川敏幸
(京大理)
S
p
e
c
t
r
ao
fo
p
e
nR
i
e
m
a
n
ns
u
r
f
a
c
e
s.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7
3
中居功(北大理)
W
E
B幾何学:なぜ、 (
D
o
u
b
l
e
) T
r
a
n
s
l
a
t
i
o
n面 か ら リ ー マ ン 面 が で て
くるか? •••.•.••••.••.•••••...••.••.....•..••••••..•..••••
7
7
中村博昭(東大数理)
G
r
o
t
h
e
n
d
i
e
c
k
T
e
i
c
h
m
u
e
l
l
e
r群のある精密化...• • • • • • • .
.• • • .
.•
葉広和夫(東大数理)
9
1
G
r
o
u
p
so
fh
o
m
o
l
o
g
yc
o
b
o
r
d
i
s
m
so
fs
u
r
f
a
c
e
s
'
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
9
3
贋j
頼進(佐賀大理工)
3次元ハンドル体の写像類群について........................
9
5
松本幸夫(東大数理)
点抜き球面の写像類群と「量子逆元J .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
9
9
皆川宏之(北大理)
G
e
n
u
so
n
es
u
r
f
a
c
e
so
fs
e
c
t
i
o
no
fAno
s
o
vf
l
o
w
s.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. 1
0
7
森田茂之(東大数理)
写イ象類群の構造をめぐるいくつかの予想と夢.• .• • .• • • • .• ...• • . 1
1
1
森藤孝之(東大数理)
種数 2の写像類群と s
i
g
n
a
t
u
r
ec
o
c
y
c
l
e，マ-不変量...
.
..• • .
.
.. 1
1
3
森吉仁志(北大理)
曲面束の指数と写像類群の中心拡大..• • • • • • ...• • • ..• • • • .• .• .. 1
1
5
Chernnumberf
o
r
m
u
l
af
o
rr
a
m
i
f
i
e
dc
o
v
e
r
i
n
g
s
TakeshiIzawa
DepartmentofMathematicsFacultyofScience
ぅ S
apporo0
60，
Japan
HokkaidoUniversity
1997
September19th，
Contents: 1
.S
t
a
t
e
r
n
e
n
to
ft
h
emainr
e
s1l1
t
.
2
.A
p
p
l
i
c
a
t
i
o
n
s
.
3
.Ideao
fproo
f
.
1
.L
e
tf:Y一→ X bearami
五edc
o
v
e
r
i
n
gbetweenn
d
i
r
n
e
n
s
i
o
n
a
lcompactcomplex
m
a
n
i
f
o
l
d
swithc
o
v
e
r
i
n
gm
u
l
t
i
p
l
i
c
i
t
y
μ
.L
e
tRJ二
I:i1
'i
Ri b
et
h
er
a
m
i
f
i
c
a
t
i
o
nd
i
v
i
s
o
ro
f
f，andBJニI:ib;B;bethebranchlocusoff
.WeaSSllmethattherami五cationdivisOI
1t
h
ebranchl
o
c
u
sa
r
ea
l
ln
o
n
s
i
n
g1l1
a
r
.Ther
n
a
i
nr
e
s
u
l
t
andanyi
r
r
e
d
u
c
i
b
l
ecomponents0"
i
s，
7
1
( = I: ~=1 i.N;):
(
c
F 小)(Y)- μ(C~l
小)
(
X
)
\\~r T) l
b
;
(η+1 ) ¥
二乞 (HT
C
l
(
LR
;
)
)n[R;トー子~HTBi(Cl(LBJ) n[
B
;
]
)
R
i(
(TT
日ニ
+1
)叶
lh
(1- (
1
'
;
=乞乞
Z
fT
O
1)
一一一九 (
c
l
(
B
;
)
.
.
.
c
(
B
;
)
).
c
l
(
Ln)
白 川 島l
n l
1
'
;
(
1
'
;十 1
)
ー
内
wherewes
e
tf
o
r
m
a
l
l
y
会
(
共(
l
)= l
l.(
c
;
(C
)+c
P i
st
h
ec
o
e
f
f
i
c
i
e
n
to
fl
O
: o
fH(l)a
sa1
刈y
nomiali
nl
.
白
2
. Weg
i
v
esomea
p
p
l
i
c
a
t
i
o
n
so
fo
u
rform
1
l1
af
o
rp
a
r
t
i
c
u
l
a
rc
a
s
e
s
. Ther
e
s
u
l
tf
o
rt
h
e
topChernc
l
a
s
si
m
p
l
i
e
st
h
eg
e
n
e
r
a
l
iJl;edRiernann-Hurwiti
¥f
orm
1
l1
a
χ(
Y
)-μ-χ (X)=-乞 b
;.
χ(
B
;
)
whichi
st
h
es
p
e
c
i
a
lC
e
h
s
eぱ
0f十
t
h
ef
臼
o
nn
1
百
、
U1U
山 p
rovedbyY.Yo
即m
d
白
i
i
nヲ [
Y
]
}-
1
nc
a
s
et
l
凶 (
n= 2
)
:(
s
e
e[
1
v
]
.)
c2(TY)n[Y]-μ.c2(TX)n[
X
]=-L b
)
i.χ(B
i
叩
Y川
+
竺
子
]
μ 川 川X]二
一平 (2bi χ(Bi).
Nowfromt
h
ef
a
c
tt
h
a
tt
h
es
i
g
n
a
t
u
r
co
ft
h
es
u
r
f
a
c
ei
se
x
p
r
e
s
s
e
dbyL1ニ (
1
/
3
)
P
1
2C2+c
ヲ
)
I (Thecalc山LtionforT andL-genusi
sfoundi
n[
H
z
1
]
)，
we1
二
i
(-
時s
]
Theorem[
H
i
r
z
e
b
r
u
c
hformulaf
o
rs
i
g
n
a
t
u
r
ef
o
rr
a
m
i
f
i
e
dc
o
v
e
r
i
Letf
:Y 一→ X b
eα ramz
βe
dc
o
v
e
r
'
l
n
gb
e
t
ωe
e
ncoη~pα ct c
o
r
n
p
l
e
xα
J
凡α
l
y
t
'
l
cs
'U7
i
f
αceswdh
c
o
v
e
r
i
n
gm，
J
7l
t
i
p
l
i
c
d
yμ
JRJ 二 ~i r
iR;t
h
eT
・
αr
r
a
f
i
c
a
t
i
o
nd
i
v
'
l
s
0
7
・o
ff，αndBJ 2
2l
y
z
B
tt
l
b
c
b
r
α
ηc
hl
o
c'Llso
ff
. WeαSS'Llmet
hαtT
αr
n
ポcationdivisorαndirn~d'Ll cible cornponentsBiof
t
h
eb
Tαnchl
o
c
ω BJα陀 αI
IT
w
n
s
'
l
n
g'Lll
a
r
. Then
二
Sign(Y) μ.Sig川X)
j(m(Y)-μ
日(
X
)
)
l
{
(
C
y
)
2- jJ，' C
l
(
X
?
)-2(C2(Y)μ C2(X))}
1(
ゃん (
r
;+2
-)
.
一
一
一
一
一)
I
.B
;.B;
ム~ 3(T;+1)~l
~l
v
V
ecana
l
s
odeducet
h
eform
山 f
o
rt
h
cToddg
e
n
u
s，
whichi
s占(
C
2+c
i
)
:
Corollary Undert
h
es
a
:
r
n
eαSS'Llr
n
p
t
'
l
o
no
ft
h
ea
b
oυet
h
e
o
r
e
r
n
占{川)-μ
T(Y) μ.T(X)
C2(X))十 附 ? ー μ
Cl(X)2)}
(bi
，b
i
(
(
T
i十 1
?- 1 ) ¥
-L!
二T
，
(
B
;
)十
1
2
r
;
( i+1) )
fTl ( n¥
\ 2~'\~'J'
~，
1
'
~')
O
r
i
g
i
n
a
l
l
yt
h
es
i
g
n
a
t
u
r
efonnulaf
o
rc
y
c
l
i
cc
o
v
e
r
i
n
g
si
sf
o
r
m
u
l
a
t
e
df
o
r4
m
a
n
i
f
o
l
de
l
.
S
f
o
l
l
o
w
s
.
う
団
f
古1
r
Z
(
Theorem[H
d
出'
l
m
e
η
n
，
S
幻
訓
wη，
47
.
切
L
J
i
t
抗
h
μ
W叫
7
.
d ωb O即bぱ
dα
仰T~，υ'j 0ηωl
附
a
i
化
c
ht
仇
he句
c υ di化
~c g
T
仰O
'
I
伊
L
.
psG ofordeTn αc
t
sb
υorzeηt
a!
;
ionp
re町 r
v
i
n
gd
i
f
f
e
o
m
o
T
p
l
a
s
m
s
. S'lJ.pposet
h
a
tY i
sd
i
f
f
e
T
e
n
t
i
a
ls
'
/
J
.b
manifoldo
fX J not
ηe
c
e
s
;
叩 r
i
l
ycom
叩 c
t
e
d
，α
'
凡 dh
ascodimension2
. AndGn opemtesf
r
e
e
l
υonX -Y. Then
円
州
一州
(
X
)
η
一
三1yF yt
(
X
/
G
n) =
，川
2
3
. Wep
r
o
v
et
h
eformulabya
p
p
l
y
i
n
gt
h
eframcworko
ft
h
el
o
c
a
l
i
z
a
t
i
o
no
fc
h
a
r
a
c
t
e
r
i
s
t
i
cc
l
a
s
s
e
sbasedont
h
eCech
1
トべ
(
(
白 Rh
凶削
a
旧m c
oho山 )
辻
山
l
o
g
yt
廿
h
l
叩e
ラ
O
凹
Or
3
下
3
Cla
凶
s
s
i
c
a
l
l
ya
l
ls
o
r
t
so
ft
o
p
o
l
o
g
i
c
a
li
n
v
a
r
i
a
n
t
scanbec
a
l
c
u
l
a
t
e
da
st
h
ei
n
t
e
g
r
a
lv
a
l
u
co
f
d
i
f
f
e
r
e
n
t
i
a
lformsthrought
h
edeRhamtheoremぅ whichg
i
v
e
st
h
cr
e
p
r
e
s
e
n
t
a
t
i
o
no
fc
o
homologyc
l
a
s
s
e
sandd
e
s
c
r
i
b
et
h
ee
x
p
l
i
c
i
tcorespondencei
nt
h
eP
o
i
n
c
a
r
ed
u
a
l
i
t
y
. The
Cech-deRhamcohomologyt
h
e
o
r
e
yp
l
a
y
st
h
csamer
o
l
ef
o
rr
c
l
a
t
i
v
ecohomologygroups<-h')
t
h
eA
l
e
x
a
n
d
e
r
L
e
f
s
c
h
e
t
zd
u
a
l
i
t
y
.80a
p
p
l
y
i
n
gt
h
i
sa
n
a
l
o
g
ywecanl
o
c
a
l
i
z
eChernc
l
a
s
s
e
s
a
tt
h
erami
五c
a
t
i
o
ns
e
t whichg
i
v
c
susmorcs
p
e
c
i
五cg
e
o
m
e
t
r
i
ci
n
f
o
r
m
a
t
i
o
nahoutwhati
s
ffg
i
v
e
sas
i
r
n
p
l
e(non-rami
色町i)μsheded
causedbydegenerancyo
fholomorphicmaps.I
Y
)-μι (X)二 0，
whichs
u
g
g
e
s
t
su
st
h
a
tt
h
egapi
sbrought
covennιthenwes
e
ct
h
a
tι(
五c
a
t
i
o
n
. 80wee
x
p
e
c
tt
h
a
ts
u
b
t
r
a
c
t
i
o
no
fChernc
l出 s
e
scanbel
o
c
a
l
i
z
e
d
aboutt
h
erami
五c
a
t
i
o
ns
e
t
.Thisi
st
h
ep
r
i
n
c
i
p
a
landp
r
i
m
i
t
i
v
ei
d
e
ao
fourproo
f
.
a
tt
h
erami
、
う
う
う
References
[
G
r
H
] P
.G
r
i
f
f
i
t
h
sa
n
c
lJ
.H
a
r
r
i
sヲ Principleso
fAlgebmicGωmctry
，JohnWiley& 80ns，
NewYork C
h
i
c
h
e
s
t
e
r，B
r
i
s
b
a
n
e，Toronto，1
9
7
8
.
う
[
H
z
1
] F
.Hirzebruch，TopologicalMethodsi
nA
l
g
e
b
T
I
α
化 Gω 附 t
T
Y
，8
p
r
i
略 目V
e
r
l
a
g，
New
e
i
d
e
l
b
e
r
gB
e
r
l
i
nヲ 1
9
6
6
.
Yorkヲ H
う
[
H
z
2
司
] F
.Hi
江
r
z
問e
b
江川
r
町
u
1
Honoro
fK
.K
o
d
a
i
r
;
:
仏 Univ.TokyoPress，
Tokyo，
1969 p
p
.2
5
3
2
6
5
ヲ
[
1
v
]
I
r
L
7
Ja
T
iα
ηt
sandr
n
7
1
l
t
i
p
l
eplanes，Ame
r
.J
.-Math.92，1970ヲ
B
.1
v
e
r
s
e
n，N肌~eTical '
9
6
8
9
9
6
.
[
L
h
1 D.Lelu
凶 n
n，v
i
αT'l
e
t
e
sS
t
Tαt
i
βe
e
sC∞ Integmtiondc Cech-deRhαmc
ttheOT'l
C
de ChCTn
一
日T
eu
，GcometryandTopologyo
f8ubmanifoldsI
I，P
r
o
c
. Con
，
.
f May
30-June3ヲ1988，Avignon，France，
World8
c
i
c
n
i
f
i
c，8
i
n
g
a
p
o
r
e 1990ヲpp2
0
5
2
4
8
.
う
[
L
h
2
1 D. Lehmann R.iidue，dcs s
o
'
u
s
-叩 T
i
e
t
e
s'
l
n
v
a
T
'
i
αntes d"
u
nf
e
'
u
u
l
c
t
α
ge s
'
m
g
凶 e
T
，
Ann.1
n
s
t
.F
o
u
r
i
e
r41，
1
9
9
12
1
1
2
5
8
.
ぅ
う
[
L
8
]
e
s
'
l伽 e
so
fh
o
l
o
r
n
oψh
i
c"山c
t
o
Tf
i
e
l
d
sT
e
l
a
t
'
l
v
et
os
'
l
n
D.Lehmanna
n
c
lT
.8uwa，R
グ
“α
lT'
ln
vαT
'
i
a
n
tS
7
1
b
V
a
T
i
c
t
i
e
s，GeometryandT
opologyo
f8ubmanifoldsI
I，
P
r
o
c
.
Con
ヲ
.
f May30-June3，1988ヲAvignon，France World8
c
i
e
n
i
五c，8
ingaporc 1990，
pp2
0
5
2
4
8
.
う
う
[
8
]
T
.8uwa，L
e
c
t
u
r
c
sa
tHokkaidoU
n
i
v
e
r
s
i
t
j
ら1
9
9
4
1
9
9
5
[
Y
]
t
問 C
t
7
1
T
CofS
t
Tα
t
α
μ ニ c
o
n
s
ti
nαc
T
i
t
i
c
a
ls
e
tofα c
o
r
n
p
l
e
t
e
Y.Yomdin，Thc s
η'
i，teTscctions
i
n
g
7
1
l
α
7的 e
s
，8ingula
此l
e
sぅp
a
r
t2(
A
r
c
a
t
a，
C
a
l
i
，
.
f 1981)ヲProc.8ympo.
Ame
r
.Math.8
0
c
.，
Providcnce，
R
.
I
.
， 1983，6
6
3
6
6
5
.
PureMath.、
3-
F
お号寺X 刀T、oc
、Vぃ曲面」二の曲面京のーオト局、法
d
i
主み入耳員
ndoOmath.sci.os叫c
a
u
.a
c
.jp
t}
え^・玉里
日
1
担
白 L の由白末，¥河口、その企空p
t
i
Jの 荷 号 1Xく SI9市 川 陀 ) ， 芸 曲 面 ホ 的
r
i.f!たれ左反日受 lてけ1(}と考えられ /ao
市モロジ、一円
ごとで，
J特 "
;
b
.
マ 771ベ、ーの
干
重t
xCgen崎 〉 と 杓 号 f天 と の F点 7糸 1'-つけてiie.べ、尺、、。
Z~ ，
1
:
1
i
.
;
f
重t
xCJ 'f
Lの l
司 き プ¥7う れ k 同 曲 面
Di芳+2:九L.fL の向き左 1i示っ白乙~/司年目会 4不の r，i 可落手
え立て曲面上の曲血ネ〉
L~ 工 0lJ.， 九ホと t 手
さ
E，
手企空 P
由、
了、ムlJ0
;;:了、
で‘めゐ
Eの 符 号 1 ':{ε
T‘
o
τ (E)
0
が
‘
万
'
1
<
:r
)立 つ o
こ
ご Z~ x Zた の よ 易 冶
1¥ 11
符号奇支のキ11:心バ
τCL'
i
J ) τ仁Zh) = 0
ぐ Kunne
什1の/応可、そ支え汁う.r:"¥"の足長、刀、今"0ぐ‘ t王わず'J0
，
λヘ。ヌトル丹ミタ rJ
ε 長周べ‘オ11J
"
‘
.
J告 や
と。、〈ぐと t て~ゐ口
s守、自 H月 r，fJ%や 、 つ d' ') E
τCE)
'
f
s:
;CE，Z8，?
，
Z仇 ，D
i
J
f
十Z
n
.) のぐと
p:E→ Z1
: 1a:身す号う、 D
i
1
f
t
-Z仇 I(f ドi主
t
千
co 77イベ‘ーホ
)
Jのふ手 yl
，
' 1d .sのわモログー θヲr
，
，
'f
反 れ 刀 ぜ 白 8月 r
.
i
F
:f
i
，
A お さ れ 々 。
ま4呈ぐ Chぽ't1-Hi
r
z
e
b
r
u
c
h-S
er
陀 [
5J/q57)
í~ の y息不 ir 干す11
自8月/，干用 1{けゐ
CZ'J) /
.
)
¥
"
"
71
'
1
パ
、 - 0) ;r，モログ-，&手
τ(E) ニ
r
d
、
ら 1J
"
""
O
H，C，
Z
五 .Eコ
(
，
，
でJ
T
)l
(
}0
符 号1
1
:t
J
'
" 0T
.
"
'r
c
fいよう r
，
J
'曲面 I
二 の 曲 曲 ホ の 最 初 の 作JI
:
a、 Kodair司 [ / 2J と
Ai;γeh[J] I主 よ フ て 与 え ら れ た 。
互主主ぐ K
odaira[
/
2
]/q67)
み m，
tぞ Z ぐ 府L 三 2 ， -c三ヨ) r，オ干 Iτ. 戊武、 &J
ナξ
f 可ょう T
JZ
9ょ の
Z1
i京 5 ニ
s
(7n， t;) t
J，
"
'.
(
手
i
瓦草 l
a
o
l
i ::=
mZちく t-I)十
f
i
.=
? nt
かト円
2
τ(
l
t-/)ぽ
s
.( m 古 ) め 必 '
}
:
p
訂E(
正
I
一品'i~ -1¥、守支曲面で・めつ、
ー I)
L
.
'
j
Jx Zc の m 責/か吋械Jlと t
τ 庁
1
I
j
:A‘さオ1
.
l
;
J
そ の 符 号 手 瓦 τCE) I喜 0-s
i
g
η3
似 肥 え 王 里 t J? 1
.
，
手T 耳 γさゐ ([9J，[II] 移民正〉。
-4-
ε才{的 l
a -舟主白勺 r
，
j
' /~y\、 l 喜門 eyer- [
16][，マ] /
;
;
: J" "
"
]
て
与えられた。
具 ゆ 的 tτId ‘ Le
r
a
y-s
e
問
λ 々フド L 糸予 J
I，
;
: J" '
} τCE)ε 局 内 1
品紋
コi
f
、モロジL 怠
手 HI(Z
'
i
j
， HIC
l
:
f
'
z f
R)) の 工 の f守寺万三宝又再長切れ武、の 1
苛号毒文と{て
リい力、え、 でら 1¥
: l:¥Jのバンツノ小肝 ε;
.
.
a
.l'
{ -t刷を
旧 加 陀 CCC〉
cled
519
τA :Sp仁2f
i
.
，
.
7
Qコx SpC
2
f
i
..
!
i
Z) 一 →
左 用 、 ' ¥ 菩 さ 下 IT
Meyei ほ ぐ の 必 八 、 と Binnan-Hilden[3]の J
ちも耳ミャ
A1
Iyah-5
i
l
l
g
e
rの 足 玉 里 左 用 、 、 て /
Ak 1
j
¥ tT
曲面工の曲面ホの符号ヰ丈
I
z
，
0
，
0
主主呈(Meyer[16][1
7) (q73 )
みえ主
o/ て バ
l、 めゐ宮主 O とめゐ Z~ 工l7) Z
f
i耳
元
τCE)::::.〆n
， と な ゐ J う rぶ 仇 ぞ
zの 企 1JlS-の本ゃ ε S仁九〉
と河、〈。
S(I) = SC2コ= {O}
SC花 ) = 4Y
t C凡 主 3 )
く J)
く2 )
;の l
汁e
yer-の足 1望之，)、まえて
主主主旦
S 炉、イミト，(::t.. t:
¥
A主.3
)Aの j
明夫E左 希 え 々
o
Z CクZキ 0) '"j刊 で . 訂 正 )=4'71.. EJt尺 9 Z~J二の L.å 京 5
下 、 存 仕 事 ゐ 占 う v最 d‘の g ε '
i
J(
瓦，〆n ) と力、ぐ o
み
Jの 4直
I
I
'
J
'
Lぞ
f( え ， 伺 〉 を 吾 T耳せよ。
，
との M 長~，主 P点 l て)/\の持る呆~ 1~ T 。
み た さ ヨ ， ク1
1
'
:7
L(/11..キ 0 ) 1;;:吋 l， ;，買の不等;;-¥'が、応(，)立つ o
え王呈
l l
札
一一一一十
見ー 1
五
止 H月の，j，
01シト
ぐ五イルjの々に等式、〉
(えヨイル lの 不 等 武 、 〉
1
三 f
JC/
L何〉 三 111 I汎 l
Luck[/4] ，
;
:Jゐ 岩 手 の e
-&1ti幸正の考正予 o、ら
曲 面 I二 の 曲 面 ホ I<
f W
i
n
k
e
l
n
k
e
r
n
戸 rの々、等Kε dj[:;::可 o
Meyerの 府 守 幸 丈 ε与 え ゐ 準 向 型1長:
H2CA1
抗 ，Jt)→ z
，
;
;
:J
:7 て与えられ(0::. 4何 1
;
;
: うフゐ Jう T
J H2CA
{
p
.
， !
a
') の えε
J
什J
政つい ，
j ゐ。
ぐのとき，Ho
pずのえ王里正つ s{f
iの 2
-cycle
左 ノf
た の い/
ε
U
η
I
γ bf
舟f
糸ラ「か今
さち/，・
I
丁、ロ/;:'一千草
H2C
1
T
iCZ~))
H2
.
ぐA
1
fU のえ.J/-;::うフノジょっパ
いで\c捌I11Ll加わr の:JITI ひ“え~' l-F~ 1下
仁 ∞r
n
m(j相10r c
o
I
l
e
c
t
i
o
nproα59
を 1tう
。
必
wot
寸とJ-tl
;
}0
l
司fE1χ:7
1
1C
Z宮 〉 → メ1
f
t左
の笠五又‘元~ 1
，
)\'~与えられ T，
荷五百‘可わ
TfJ
a
A
'
1
/
i Id
' Zえの手 1~~阿君千で‘めゐ o
-5
の最も‘ンンヌペレヤ J~ペト〉
AJI
-，
/ f自:主 11 わ 0、7 r
"ぐ と
く1)
Meyerの 足 王 室 の 仁 2) 1三わ、けて‘
旬
、
l
. Wajnryb[(q]のふホ左用、、J/1IJ" A
t
i
)
'
日h
-5
i
匂 erの定王宝
Scえ 〉 ニ 4
71i
J"‘わ刀、ゐ。
I If小久芋で\直-r~
に2)
JB
iH11an-H
ildenL3J と
I
SCI
i) 仁 4LZI者At
i
y
a
h-S
ingerの足王室。、ら
51
‘
gr a I D 陀 仁αヶ
de旬、勺 p灯台、リ、
れ旬、ゐ o
sc えココ 4~
昌子 fI
泊 A、
'j'C
民 ，n ) 三 1
1
11
川 lε パ 勺 部 lけ 干 与 オ1
ゐ 曲 面 L の曲白木{(f
h~
3，
~ニ f I(
，
T(E)二
4
色J
ァT
:
:
:"
00
.
:
有
ミ
ドJsCm，t ) の す で 最 も 干 1
若者'^0) ，
J
川、、
1
/
1 l;
t
Kα
，l
:
aira[J2] の
Sく2.，ろコ
(ミオ1 1手
。
，
点== 6 ， ~二 129 ， で CE)=之 5 6 ~ J
tl
と"0 ) ，
F
'
) "ú さら"干安寺文句 ~'d 、~，
く3)
Chem 、け ìrze防vcch- 忌ηでのえ却の 1f t元え ε hlミでは~， ( "
'
7}'
)
、
け 1CZtL2
2
'
)へ の 作 用
0'"
τ仁E)二 O と fイ 々 も の 乞
C-1
羽
tミ
白目月で、 T.
j、
‘ょう Trf )
曲面L の曲白ホ
f
之 〈 さ ん A -1
苧自ヲ 1
:
:
:1
下々とと
f
J
'
"
1
T
1(L~ コの
5了
、
で.き々。
々5tr
:
:
.く 三 人 ノ う 干 々 Jと;()，'"で.手々。)
てC
E).:=: 411 と r
r
f
REFERENCES
1
. M.F
.Atiyah，Thes
i
g
n
a
t
u
r
巴 o
ff
i
b
r
e
b
u
n
d
l巴s
，GlobalAnalysis，Papersi
nHonoro
fK.Kodaira，
TokyoUniv.Pr
田町 1
969，p
p
.7
3
8
4
.
e
t
e
r
sandA.VandeVcn，Comp
αc
tComplexSu
ヴαc
e
s，ErgebnissederMath2
. W.Barth，C.P
cmatikundi
h
r
e
rGrenzgebiete3F
o
l
g
e，Bd4，S
p
r
i
n
g
e
r
V
e
r
l
a
g，B
e
r
l
i
n
H
e
i
d
e
l
b
e
l
g
N
e
wYorkTokyo，
1
9
8
4
.
¥den，Onm
αppingc
l
a
s
sg
r
o
u
p
so
fc
l
o
s
e
ds
u
r
f
'
αc
e
sa
sc
o
v
e
r
i
n
gs
p
a白 s
，
3
.J
. BirmanandH. Hi
Advanc田 i
ntheTheoryo
fRiemannS
u
r
f
a
c
e
s，Ann.Math.S
t
u
d
.66，PrincetonU
n
i
v
.P
r
e
s
s，
1971，p
p
.81-115.
4
. K.S
.Brown，Cohomologyo
fGroups，GraduatcTextsi
nMath.87，S
p
r
i
n
g
e
r
V
e
r
l
a
g，1
9
8
2
.
5
.S
.S
.Chern，F
.HirzebruchandJ
.P
.S
c
r
r
e，Oni
n
d
e
xo
faf
i
b
r
e
dman
ザo
l
d，P
r
o
c
.Ame
r
.Math.
S
o
c
.8 (
1
9
5
7
)，
587-596.
6
.C
.J
. Earleand J
.E
e
l
l
s，Thed
すeomorphismgroup o
fa comp
αc
tRiemanns
u
r
J
αce
，Bull.
Amer
.Math.S
o
c
.73(
1
9
6
7
)，
5
5
7
5
5
9
.
7
. A.M.GaglioneandH.V.Waldinger，Thecommutatorc
o
l
l
e
c
t
i
o
np
r
o
c
e
s
s
，Contemp.Math.
43-58.
109(
1
9
9
0
)，
8
. A.HatcherandW.Thurston，
Ap
r
e
s
e
n
t
a
t
i
oロf
o
r仇 emappingc
l
a
s
sgroupo
fac
l
o
s
e
do
r
i
e
n
t
e
d
s
u
r
f
α
，
c
e，Topology19(
1
9
8
0
)，2
2
1
2
3
7
.
9
.F
. HirzebruCh，The s
i
g
n
a
t
u
r
eo
fmmified c
o切巴r
i
n
g
s，GlobalAnalysis，Papersi
n Honoro
f
K.Kodaira，TokyoUniv.P
r
e
s
s，1969，p
p
.2
5
3
2
6
5
.
Genemtorsf
o
rt
h
em
αp
pingc
l
a
s
sg
r
o
u
po
fαc
l
o
s
e
do
r
i
e
n
t
a
b
l
es
u
r
f
a
c
e
，
Topology
1
0
.S
.Humphries，
o
fLo
w-dimensional Manifolds，LectureNotesi
nMathcmatics722，S
p
r
i
n
g
e
r，B
e
r
l
i
n，1979，
pp.44-47.
11
.F
.E
.A.Johnson，A mtionα1i
n
v
a
r
i
a
n
tf
o
rc
巴r
t
i
a
ni
n
f
i
n
i
t
ed
i
s
c
陀 t
eタoups，
Math.P
r
o
c
.Camb.
Phil
.S
o
c
.113(
1
9
9
3
)，
473-47
8
.
1
2
. K.Kodaira，A c
e
r
t
a
i
nt
y
p
eo
fi
r
r
e
g
u
l
a
rα1
g
e
b
m
i
cs
u
r
f
'
αc
e
s，J
.Ana
.Math.19(1967)，207-215.
l
1
3
. W.B
.R.L
i
c
k
o
r
i
s
h，A f
i
n
i
t
es
e
to
f9巴nemtorsf
o
rt
h
ehomotopyg
r
o叩 o
f2-mαn
i
f
o
l
d
，Proc.
Camb.Phil
.S
o
c
.60(
1
9
6
4
)，7
6
9
7
7
8
.
1
4
. W.Luck，L2B
e
t
t
inumberso
fm
αp
pingt
oバ 叩dg
r
o
u
p
s，Topology33(
1
9
9
4
)，2
0
3
2
1
4
.
1
5
.ヘ
¥.
rMagnus，A. KarrassandD. Solitar，Combinatorial Group Theory，IntersciencePub
，
.
l
1
9
6
6
.
1
6
. W.Meycr，
DieSignαturv
oη l
o
kαl
e
nJ(o
e
f
f
i
z
i
e
n
t
e
n
s
y
s
t
e
m
e
nundFaserbundeln，
BonnerMathematischeS
c
h
r
i
f
t
e
n53(
1
9
7
2
)
.
α
t
町
vonFlachenbundeln，Math.Ann.201(
1
9
7
3
)，2
3
9
2
6
4
.
1
7
. W.Mcyer，DieSign
1
8
.S
.Morita，Ch
α
m
c
t
e
r
i
s
t
i
cc
l
a
s
s
e
so
fs
u
r
f
a
c
eb
u
n
d
l
e
s，I
n
v
c
n
t
.Math.90(
1
9
8
7
)，551-577.
1
9
. B. Wajnryb，A s
i
m
p
l
ep
r
e
s
e
n
t
a
t
i
o
nf
o
rt
h
emappingc
l
a
s
sgroup o
fano
r
i
e
n
tαb
l
es
u
r
f
l
αc
e
，
I
s
r
a
e
lJ
.Math.45(1989
，
) 157-174.
2
0
.C
.T.C.WaU，Geometrics
t
r
u
c
t
u
r
e
soncomplexαn
a
l
y
t
i
cs
u
r
f
a
c
e
s，
Topology
6-
井祈了によつわるエトセトう
1
.
大1
忠治
(お阜の 7<
1---1;:与久手!f J
キ
色
ヱ
ド 義武
(久限ヰ立大究)
Gα~SS 平面(寸はもち庖株問教 Z
を千Jx
し T二域主 (71 )
/
皇寺卑)上の平行・寄長な手ネう?の対を「井不行 J
l
(dl-1 )p
寸pX →
ι
1
4空間Q) T I\.6\.川~~
が史まっている.
雨林(-:.. 守 f
国向互い(::女
R
i
~M a.~仇函
ヮラコシ， e
ヴ
ト
井t
f
r{こ
tt 数 1 的つ γ I f! ワト Rì~ 仇叫札 Eむ ψごでを
I
1
ヒ作し， 需
:r
良
企 t点 P t P で の
あ〆~.
0手~~・.
t，限達点乏つ t73k，
切れ目を入れ，ヰ行妨勧で・貼?合わ吃，
松浦ラ号たのように
(
.
t
息数
ι，L fj. 、井利持、ら
(XI
1
7αmed point
1的
代
P，4
:TpX→<c)かごで.d
-J.この kき
，
f
金丸ザ dz iJご Pl こユ f 立仇~主主毛つ X 上の佑1 よ方的予えを定める.
しf
:
..
，
;
.
.
‘
可
1
.I
t
井 淳 行 を わ か す こ ヒ ー 一 井 桁2
1
白し一一
i
救/合併r，¥C7)府、始閉をえをや λ
し1
.I
f
ぺ仇
ec
;
l
t
dI
p
C'nt
- っき 1
<ie
η 牧主格 iE を支持~ TaJ
二Ì':[工なるわけ t~. ぷ，
比百b
Wl-(A"，，-
)I
今回 l~ Z
{
/
) r -1町中を定Þ\ í ヒオ~ ~
I
‘
5ht色
τ・
J
1
'
) ~.
2.
(X，P，<p)を時数 3の
1
'
l
a
.m
e
o
l point
つ f コシ I~ つ~ R，'仇肌此iiJ〆
X ム σ〉弘北(l) C
tolomol'L-p
ι
i
c
..
liYle bμ 円(;(/乙色可 3
. '
!
.
*
"
'
t
:"i守して，
"
t
f
!雪
.1
:
. L Ol白明
まず
d
il'Y¥
L 左
p内まわ')て の
t
~t .
t1':.自伝ド!た z きこ t を i近ぺ~.
H
α
0，L+川I...P):::.o， J.山 W'cx，L+(阿~+I)P))= I をみ{-:す車運え
れL が‘ t:.[:::- 勺 n.Q 寸~.
ー弘-1 三~I-壬
Y
i
L
.1
ま
卜も+私-¥-Yl.L ~
もー弘一~み T三す.
7-
，t
け 九 +1 ~ 0
0
すr
c
fJ
h
ち
H白 川 CL，
~
V
L
)こ河し1
モ同干与に鬼伝
1-~ + 2~ -2- ~ + V
¥
.
I
v 主 0，
- 21
¥
弘
キ 1 豆 町L
V
寸ら
臼f
dな
1
:
:
:•
2. ~-2- 払+
三 -'
}+仇t-i
1
1
:
‘定ま'}
η，
V
1~
v
¥
.L
"寸
~dth す.
I
すなも円
(
>
~ヲ!.
-2~~ Y)し+ V
l
e
'
壬 O
.
p
氏
{
凡
'
'
'
'
(
¥
H
.
O
O
:
.，L
-1- (
V
¥L+ t)P)
(j) 判。('/"，ピ.f.(I'\~叶) p)-~ I
te
/
-，n¥(nL寺 山 + 之 )p )
1"
7
.T
t
.
. で
の 1~く 11
定認ょっ
凡 寸 門
H
[
)
t
χ，
.
r
0キ (nL+I1L
こは入らない.
Y+1)P) I
ρ
、=十
1
:
:
をみ下し
~
n寺 川 山 +1
d.
tし し
hご 上
p~ìf\.. ì V\すの
0¥
ま一義、 l:::
Q
)'
c3 [ま7. I-=- 先取 E 九す~1: ~+t ~ 昨(¥L 一
定
!
こ
入るt-いう存升 m 下
Y
l
l
・
‘
Y
i
I
.
.
Y
'
l
f
)
を
欠
と仇~ ~ p(l) まわ"ぴ>
s
t縁 関 数 γf pL-F
キー 1
.
l-1 (p) = - ο ( db・1
イ
与
ょっ(
0
Y
l
J
-+ n
L
Y
三-2
0)乞空 l
I
れらす~.
@c Piζ ヨ-1 cX)
を寸~~Jo..
d
;山 机 / す な わ ぢ 守 -1 え m
fctiυι
モ
巳
町 線J
E
ll
可他業曳内全う本 kし 1
xtL)~ J
; r
f
C
X，L
)
-d~ H
'
t
，
.
XL
) ~ 1-~寺弘
t弘
、
1
.
.
.
， '
t， I
'
lL + n
/
Y =
=
-0
17
.
Lχ (L) P 与⑪ {こ l
司ぅ直.
i
'
i
~'
)
古 ι
'
)I L+(nL+1)P 町 oC
'
‘t
J
. (、代d~on 0-0 が史をえ ~~ ~
L
d
i
ν ISO川
阿
1
7
}
f
f
i
.'
¥L --免[':.史まる えこ℃¥ し+n? 例 代ctioYl (/にすすし JZn♂ ojfr
を i
lfh~ L -C 疋 ι (e
.J(D <
C[(豆、 J
1 Q)元をす寸 t
るき-tt ~. こうして POlまわツ
1
で句
Lω 旬 開 H p
:~~られ T-::..
仇も1
令室M¥ l 艮l
J
. 守こ¥:，
る
H
;
:
:
:
:
:
t
C
"
lJ<
D ι[C
'
l
{
J
J
U f--f'OZ，し+れ p) を " lc
v1(
J
.
仇't'
)r
-!è.よ~~よ l \~
pご τ了を~. 乙 i
HP (^，Ltt?) ;
:
.
三二で
乍1
z心[?l，れ:. c([~-1]]
σb
7
げ
;
:
:
:H
寸0
7J
L
.
t弘、く. 目 的 部 分
与
i
1
弘 V →村/十f
- が rrtec\~~1'I1すなわち抜・
全 点 以 市F
払 〉 同 の 毛 の 令 停 を Gr L 急
く
Z的 G 4-<l1'l1.0¥.1-trt 多待係
t
d
; i V\ð.'0~可な h ち核包会秒、 a γ欠長引先 χ[~ J
:
.7 L 分 (
7られ3>:
.
Gr
θι ・ ?hEtiEべ・下汁 ~l こ γ) ， HOCX，し け p) I;A
べ‘ワト tし を 附
V ・
で
F
叫
こ
υ
x
，
t
!
L
Gr
-χ
~__r..
仏)
~元 k えなす Z ヒかごすき~.
-8
(X，P，，
p
<
1
，
又
〉
仇
o
d
v
di 光 3・仇
1
1
γY
¥
4d "
'
l
-i
乙で/:トをれから
へ仇写 j尽力ご作られτ
Tて
t
-lこな"JJ. ~ iv~ ま k 何 t
否: U~.号、~ Gr 'c主く
GγI-'
b
t
e
'
v
充。，弘は
1丸で，
f
与l
z z-im 広 H叶巴 Gr ぃ~ .
。ーがβ)pε ⑪
から
(
'
1
/ f/<
t
) 0) mootlÆ~ i mOIホ?ら白，-f~へ内写?毎ド'
河内わ 1
.
d
.t
:・ 1
-61
7
f
二
i
.
.
.
.1
:
- G)場合 E 主とえ 3 と y
し= 0
仇日，
6叫 う う h1o..VlV¥ 今
平
年i
本命的 ?
Lck
.
e
.
'
し
t
[
.込 み に つ い L i
I
べ
也 3、
t
¥
塾 教 町 北 け ' } 刊 <Y¥2.く・・
で十分丈き.， } (
:
:
.
汁 LMj=jズ
H m元の可J1-)回内外徳 'l11 1 八~Yì'2..ハー'
E 宅九?-hらの可草寺年毛Lt
口 q なすべt つト I し宮市1~ 八 χk す"ð.
をd
rr~ す主0) 1二 つ
111F
G
r
χ O'¥ 1c V 町 ba..'}{... ~， 各八 勺ト tしが令 f
f
l~国1- ffl~ 1
. M
寸ι
f わち長島)/史的うえれが 1 で あ っ て ュ欠警交めどヰB 安 な る よ う 1"";:.
kきこ~ þ ごて~ t~. z
め よ う な と 司 を D.ol W1 ~S$ ì ら t~ ~se L v1/~ ・・).
そO\R.を未払 ηrト1""，‘\~ 1-: 並べ、工可ベ'lの 件 後 五 l
'
}， そ h~ ，展開
ll. 八χ¥o 0
¥ Tvを伐~ • (
八x l二人ら 7i
-ぃ地 L
(
}
:t
為
t
-1
.) C\d例 I's~ìble
bα仰を~ '
1f
J、
え/L~結界!<J:良~~ も
I
' τれ di
;11 な め で
ヨ
(1'X T、ら
l'
t
0
yl /
'
C
.
F
I
F 八百ヘ仇写 f与が~~られ T三 Z '
ct
こT
よる
ハ花街
^χ
とれ t'I尊射で
I
~~I j"，
→}-f@げの八同八%→八 χ+1@ハ孔1
町 令 成 を ふ k 主く乞
I
2，
/
A
.
式
、 δ(き/三) :
;
.0
てt 吟倣づ、 11ら
l
k
)
(t
¥，^ cb:~ f\，閉咋式〉
1
P/
¥
Y 上仇弘次、へptαれ乞
bl;\.Y\di~
d叶也八¥N¥iV¥ωt b
¥
A
.
V
1o
t
l
e ヒ 1、).
1
ニ7
喜志功¥ ~みよ j.
c
3
χ
r l
三
和1
長Lトて0'¥ ~
:
:
.
.
れ
を ヨ
2
3・
弘 !こびをえ Vすιイ
可
を
-9-
十分1¥雪
l
三台寸して
t、
N
ト
tの{-(*つりド
を乞ォ、 1
1
.
"
﹃
‘
、
﹁
どd
F
?
rl
主b 乏
﹂
ー仏以南
/e-ι
li
ご，れ
上
リ
z
: f~
ふる.
B
IこF
、
Gr 上
+tVA
Iy¥
l
こ
t
αl
'
¥
，
&
¥
!
h
i b nd
.l巳
上の
は
刊
f問 題 ] deieへ
W
¥ α
n
tb
l
A
l
'
¥
c
;
ll
モ 1
1 Y
'
v
1o
ネ
4
. 最後
1144
し る (X， L) E
ρU
AU
こ ~l (t
Zを
I
，
，
良す 3ヒ
子IX L T::t.~ち l 乙品') r
m，
ベ+ 1こ 同 宝 こ な る .
1
;町
、印
O'lb
if
o
l
d
を
f
'lt'..c，な町て.
KfL
上の
l
i
' Z いは
川
八9 ・~/ C
O
ι
t
. ~と
f
，
f~
マ'ほん
dd/
1- ~1
F同
作用 --C;~~.
fbω X
σ)
3
Yん
、
一
力
れ
euF
t
hv
7
hV句
4
、L こ れ ま で ・ 町
q
t
7 ‘﹂
i
tE172 規可~ ~ ~ ρどで空~，
>
<作 用 〆 dιteぺ削 iαiftt
1~~¥
'
;
1τ3 t.十らさかれ~ c
ご
<CJ(作用 lま
l
i
f
t する.
上 f
ぺαm ，
η
3千
E 問
'
HI
)
?
-N}{_
ハ
hhHd
l
'も
臼B
F
¥ T、 ?
ー G
r が単射であるこ k を述べ‘~.
歪 : U )こ
司
・R ー
で
ト σ〕 記 を 又{告す 3ご k トら普かれ~ 7
Lf
'
f 同ヵミ‘
Iま
(
]
r
χ
のえを
E
Gr'
Xr にうっす.
Z M 'Í~
(}'Y)~ 1 )する
写f急!ま，
V ε Gr
I~ 対し
/
レ 主 導 く の で こ れ を Gr 上 σ〉
はむ写 i
ゑ [z J: V ーーヲ 日
ペヴト し七E
Lk みな寸 ご
l
:
:
:
.(
J二(;'守る.
とh ら I
d:旦也、{こ 可喰ず，
Z
n
ご作用す a
._
r ト !こ(ま Z メ C
1 下町 t モ可 r~ミ. t つ し て GK ict
¥
e
.vefl.イ左犠ち 旬 結 果 を 問いる C/ 歪 (う
ど8・弘 ) 土 の
‘
・
1こヌヌ正史') て
丸 に 汁 し て をれを令む ぺ
P，
'C (X)
。6it ぷ
d
ある ミ t がわか~. と れ を Gr [:入守 て い 3 ぢt1Laf
-if
，
'cu;
f;
ol1.
をn --c a
Cs
.
1 的 J，tJご 泊 予 貝 士 告 し て 1¥ ~. T
t， ヌ
yし る .
=
-ヒえ lず
;
1
: Pic1 (X) m 中 の 哨αt;ve t
r
?郁
ザl::. C "L 七
月 ，
}出
てt hる.
X[
阿
t
仰
凡
υ
ごうして
写 i~ 歪によって，
me
d
pc
>
;n"
1
つ
!
ミ
』
、
￠
仲1仇 れ ハ
?
刊
ト
さ
r
「伸文分的式、0) 号、均月号数を千.->< LL ，
rID司;主主点迭を去苛ちする J
ミk ゴ
ヵ 来 z見すれ~.
J
.
.
:
(
上
的諮
1
J
-
'R;切仰い企J(
:
.
.
.
持 t，点合:払 3 t4令\-=-之 1よ弘され~.
c
1)
日
U
0
n
sa
日芝川。 l
i
c 48-8
n
dPSU(i1)-同 p
r
e
s
.
e
1
T
U
t
-i
o
n
so
f.
su
市c
egr
ωps
j
OKA工 ( 肉 牛 考 行 )
寸~kuy\tki
位 凡l
i
m
i
nCA.山
Let 弓 b~ Q仇 orient~J c
/o
s
dSI
l
t
f
Q
.
u巳 o
fg
白川
3(Atyd
l
-
1ll1t州
・3
e
らゐ
)干
。 2;]
3以
F
ir
&
to
fQ
UI w.
ef
i
XQ
Q
干
f
t
ち
伐
巳 rh
c
;ω
o
凶iω d αい
b
t
Q
ぱ
ε
民
S巳
吋
p
o
山
υ
川
i
吋
吋
n
辻
1
t ネれE .
L
弓'
8 a
n
q
世
m 巳eJ史引叩IT
限『
o
f
干π
町
吋
バ
t(
句 *吋) 川
w
州
川
l
比
川
川
廿
t
出
川
い
h
、
川r
山
古川 }=
ベ
1，
w
h
iC
hi
sQr巴rr~s~ntQtiバ i
:h 附kìn~
n
巳
(
丸
事
ん
) 了h
u
st
h
e.
c
h
c
，
jc
.
eso
f (i:';叫
d
Q
S凶
t
l
fPQth~f~m Qfh~d p
o
i
n
t 九 ε弓 t
o叫 i
そ
r
り「山，t
sギE Zg，w
h
凶 ω
n
s
t
i
t
.
u
t
ε
，
t
h巴
内 沿 いQ
t
:h
i
"
2b
Q
t¥
t
h巴 c
ht
>i
c
v
;o
fh
o
m
o
t
u
p
y
2
u
n
i
v
er
s
a
.
¥c
の 川"
8呂町千三8
・
De
.
f
i
n
i
i
i
o!
'
l
.
(
1
.
)
.
F
o
r i=(~ì)ε(IR ~ol ，
1=主
()
ε 仇 ofωd p
r=行
()
ε
(
I
R
/
ユ1fZ)
"
1守) .thモれìfJ~ (.Q)1
，ψ) js S
Q
I.
d+
0be.-札 syst~m of.
d
d
:
Q0
干Q m
Q
t
-1
く
とd
φ1
(mod.
2
.1
てj
p
EiehdL)di-MIdi)州
②
w
h
色代
一
一
一
A
W
Z付
①.
。
h
y
p
e
J
6
o
l
i
c4d-g
o
n i
fi
ts
a
t
:
.i
s
t
i
e
:s t
h色 f
¥
!
1
叫
川8
1t
w
o にo
l
1d
i
t
i叶 1.')
r
c
h
L
.
f
)s
h
l
4
h
~_
_
_
.
. .•
1
h
(見}=[shd) 仁川会)
J
ζ
r
S
U
l)1
)
巴
ヲ
¥
'
2
)e
.h
(
仰と(払 H)cl(主)州i
I
' =工
J
さ
i
r
.
e
巴(
<
f
)= l~
0 1 I，~....，..
，
.
!
l
i
εdjζpsu(1，1) Q吋
よl
A
i
， "
F .
，
.
'
.A~
.=A
(
ユ
)
. F
o
rct s
y
.
a
e
mo
fdaQ (
.
Q
)1
，C
P
)Q
Si
n(1
，
)
n
Q 附~ヒd hγp廿bolì仁 4~- Oo
XCQ，瓦や). i
sQ o
¥
!
e
d
i
c
l
ho
fs
帆 e
!
>S:IVモ 4
aO
r
i
e
A
(
;
巳dg
e
.o
d
e
s
i
.
cQ
r
C
s
.i
n
t
hl
2
.
-I
ミi
h
E
a
r
g
d
i
s
k
:
p
川
仁
Y
4
1
2
6
l (SO I11~
dasdt，p
h
d
i
}
F
i
r・，守 J 府
p
o
il
)
t) wít~ th色合I! owì 句 prCJf~辻ies ，
o
f+
he
.mm
ザb
e
. s~ri 咋I:J f
:
:
oα
-Ei
s
i
/
e
n
g
t
h色
千
(
I
)，
i= I
日1
3
t
ho
f<
<
'
Z
'
¥ =J~)
O(
P
i
-=1
!~hdth
o
fP
i=l史ザ~ iJf
I
(
C
=
¥
)
・
・
・ ]~ )
4
9
mP
3
1そ"0 0(， Q
r
モ
(
I
i
)
， -th~ e点巾r-a
.
¥
'
¥
a
k
s干¥"iJl'l¥ 0(¥ そU ~I ;
，
千
t
om p~ も dft 〉
中
¥， も ，
" J
吋
・
C
P
4
3， 内 巴 辻i
N()t~ ~o..t i:~巳Ç.onditìon @ i
sn
o
i
h
i
n
g6
u
tt
h色白州t
i
oV
¥ i:haJ う((t~ ， ~)やhl\ s .
)
(( . J 悦 』 以 内 乞
i
n[
O
:
l
，
EEl(刷
叩叫
aωω
m叫
n叩~
品
芝
奇d
' ω
伽
Qn
札
、
<
l<
t デS品t
も
t~
ごモ馴m 4
干ð'~fl
史明n 乞「辻ゐorS 川
c
吋
叫
刈
り
i
，
ソ
，仰
r
g
1
ρ
) 01
'吋
1
π
叫
口
t
R
パ
t
(
ミ
句
弓
zy氷心) 吋 凶 叩 七
t
品i
n
g
ρ
)J
1
dυ(
J
d
i
元
初
，
パ
イ(
氷 G
口
(c
帆巴也制何叫辻ゐ
w
.
c
ci
rtl
ι
t0.. m Q卜kd I
.
勺d山うえ『7 1 =
yp廿 b
九m(人工の(1'lI 町民泊))今)
W
i出
J
i t.>G
ヤ h吋-t h~
j
〈爪
ulizdiOM dMIF P
収 r
U
n
1r
l
J
r
乙 貯 に sf
巳
.D
4
:
りi
whkh Q
r
o刷 本 も 本
8e
eB
J
dg??234(3jIJ
e
M
boV<L m叶 k~ h
(
1
)， UsiI
山 i
.
c 4d
，
'
)
ぐ
い (1)f
1 t
¥
~)，
y
p
'
-3
J heQ
[
0
主 主 ([02]，
め
‘
Qfi~卜♀ xìn~ a
j干to
.l
h
i~ctìon
fォ
l
:
. e.l:>~e. S'i 仁 u\" c.叶士。払~ d
d
巳
，
W 色 叫 ¥ I Ji
t
r
c
d
C
W
h th乞 hD! 、 h l:J~ t'e p~ 富山主tlon
fth 史r-~d
.
c
之
r
hn
<
l
.
1
1
山 0)
以 is 乙 P St
3-
)，
p
) :τi(
S
U
(
.
l
)1
Q
"
)c
弓 ポ)ー→ f
J= f(1):
3
1
社長Le
'
w
h
i
C
hc
.
.
I
1
¥
Q
.
:
r
¥h5
o什 巴s
sto 廿1 巳 dlv~h m叶 k
e
.JR
.
.
ie
d
p
"
n.
'
守
今i
s
云ち)
f
(
C
イ
4l-I))ε(X
i
)モ ( ト (~'f l-2. i-<
d = ~(云ち)モ h l
f
>
険): i
J
π一
l
部)
f(Pi)= 山 信 勺 )~~(主) e印 恥 + 川 ) 色(
s 9 11i内 I~rit
o
n
i
t
il:Jl'¥ C
Di
ル吋モト-fue:. ωn~d:ion @
.
d
)t
h
ec
H 巳代 W~ 代町ャk t~ l'J)
1
¥[f'
<
VL
C
)
J
1ニ工，
F
(
ri)
(
1
)
.
i~
s oSQ
n fi
Ah
b
!hm
yr~pr e. sent. Qti o
c
>ロ
l
¥d
t
h
er
巳
a
.
!c
t
X
I
SQ
似
，
<
X
QX(
I
)
)(i
P
C
C
A
)c
e
日出品¥:Q山
l
.
a
xlfl~I)) = ~~\ζ
Ot
h
tr~1 乱 tìM1
t
-
t
i0!
1t
f
h
ts
.
O
Si
l i
t
d
'
1~Qト cl p
e
.1
t
ob
.
lD2.
(
her巴~f"
廿 b
c
. e-1e-1II ~vit
oI
ah
i
;
p
似
(
F
¥
.
<
>
(
'
¥
)
)=
(
叫
AE PSU1
辻
色 t
n
s
t
r
us
.
tQ C
(
)
リ
.
L
.
r
吐n
s
i
'r
ma
J
:l
oV¥ i
nP
S寸〔ち 1
) so 廿\~-t fs
ib
-<l¥
¥
s
千
l
)irl
Y
¥
e
.
d+
0Q
d
W 巳 (:Q~ì
Cn
l
:
)
，
r~pr~s巳1\t
c
t
ti
Dt
'
) i
I
¥ t
h色 s
.
1
Q
V
ld
札r
c
tP
Q
s
i
t
i
o
h
. 1れ fドQ~比尚ご北七
tむi 叫叶l仏札r ，
れ
=
丸
ん
れ?
Eち
f
M
何 川
，
π
l(
弓
Z
3吟 川
弘wωJハi吋川t叫巾
叫~
Q
VJ色 C
叫
Q
¥
，
¥
凶
4
色
t巳叶ト m
i
h
肌乞
0
.
d~手口4仇~S吉di し α「仁 よ
n
川
w
川
汁
I
巾
川
1
永
:
l
<
，
ヘ江
目
削
1
山
1
ω
山
1
川
ω
0
川
川
巴
¥
1
印叩
1
山
¥
1¥川
t
h
児
e
巳E
仇
ω
o
針
…
1
1
仙
、
川
u
肋
州
れ
削i
巾
?
刊u
也 巳
占
l
ド
も
凶叫
2巴
d
.å~
史ωDcI.んe; ìc
乙
邑阻ιιFo
卜
も
」
色ι
凶
。
叩
叩
m日
a
f
同
r
モ
包
巳
V h o
式
そ
む
匂
叩
が
「
刊i
ιち γ
.
)
也叩肌附 b
予
ω
ω P
4d~()むれへ
亡
∞
。n
附V色
叫
J
(
弓 y 品九史
m
肌巴=(作
f
れ
。
;'
似
L
d
ザ
ぱ
叫
ω
t
f
J
l
。
j
』，
刈
3ぽ
t
)
)ι
川叫トk~d ~加抑
p~巳山「
ho..川
郎叩山
q
vJ
帥
れ
色
叶
r
f
n
. 1n o己e
4 n
此
ω
Q
t
.
a
吐1ふ
d
s
mQ.i
Y
¥ 0
1
干 (
2
:
3
)
干吐伽帆吋
血吐肌肌セ
凡
吋
札
Q
.
!
)
X i{九)m(l)~
丸j 中刊)いs同 d
l
い
ωモ
ザ
y
五 ω
n
v
ν色以×
(
E
x
c
t
m
p
ko
fε
.
k
づi
U
l
¥Q (se.~ A
p
p
e
n
d
i
x
)
)
.
三
ユ
.
! CQS巴 千si:h色 Teieh凶 1Ie.rI
"
l
l
t•
仁川叩悦
It i
swe
.
l!
k
n
o
w
n机 Q.t i
h巳 ε
p
Q.Ce. uf
-γι
rr~民l\tQti o
ns 仙
H
t
い
(
1
1
){
川
π
司
】(
1
:
弓8
，
)P
S
U
(
1
九
ρ
い
川
F
川
リ
1
)
)
/
.
ωn
吋
j
.i
s
s
d
紅巴
ω
町
ω
℃
凹
0
刷
ω
l
加叩机
ヤf
刊
仏
h印
E
l
l
u
叫l
色
ト
れ
胤
川
札
刷
刷h
e
.
巴
卜 己 d H色
「γe
.s
巴
凶r
i
t
Q
t
i
o 〔臼~'1. 卜i 点 t也~i
ば
st1 杭
1
h
.C
ω
.
0h
e
.
色d
色
吋
d
.c
o
m
p
o悦
百
吐
(
: 0干
巴
←
=2一羽
22
[
弘sn
山吋か i
枇
4
批
色
ω
削
は
侃
山
t
i
打
f
rd川
wi
t
叫
h-th~ Te
.i
c.hmìi !l~十品作白石 a2
(
J
ハ芝
2
:
t
)
ヤ
e-児e-
1
n ~O. F
Qf
s
. (1))
仁
d
.
Q
t
Qcf
帆
o
:
也
凶
巳
hu.v巳 d~仁トì b
e
.
&t
hた
い0
[h
CIn
Jr~pre.s巴n-tQi: ioh
c
t1)c
p
) W
モc， k
i
削卜k巴~ h
y
pe
.
t
-b
l
l
l
i
ι
1
3
-s
C
l
V
¥ X~) I
n
S'-t:Q~-ti\j 干\-\lhl
0
.
1
'
¥
Y
n
p
c
Q，
i，I
p
)千
t
-o
Mi
h色
t
h
{
)
.
t th~ C
D
h
V
山乞 u
lsoh
C
ll
d
s:
Q
6
s
t
t
いtャ叩吋u.
t
i
ol' f
:而(与)→ PSU(l.
1
)w
i
t
h吋)=ユーす (ωct~ト
J
Qh
or-]1)<th
z
Q
1
i
o
l
] “受戸ぷ (
s
e
.
eb
e
¥
a
w
)
)J: VJ~
，
"
"h
i
c
hr
巴
?
同d
l
l
t
e
.
，
5
‘
f
l
hd巳i~i- mì恥 u
(Q
y
l
l叶
kq hyp~t- bc>\ic
，
"
4
;
]
-~on
Vモ f:
t
h
色
a
-1
I
'
)
Le.m
m
c
tt
1
.1~ (C
内
n的叩~i*ioh o
f PSU(1)1)}
A l1J 山~ht [;~]ε
P~U (
:
1
;1
)w
i
t
h bキ o i
s
. t
.
th
i
1
ue
.~ q
e
c
olY]posed 瓜ロ ~J= 吋) ~hU) モ(⑪1) w
i
t
h
1>D 吋 生 F ⑪ 6 I
R
T
1
t
:
a.
Q
q
a
1
0千Qct，i
干w
ε
w
t
i
tt
h
色盟主
，
Q
.~，
@ Q陀 d
式叶r
n
iVll!-Q り
H巳「巴
巴
巳
W巴 『 モtn叶
111
)<
lS 土
/
i
H
so
f[~ ~] ToSu(
空
ノ8
)= (8す千，f)一千). 口
i=2
J
苛f
l
Q
¥十五戸了j l¥Q C
Q
い叫
k士hd ((s+1L)十 t
(
0十
ヰ
， 0ーヰ) d
oe
.
.
sn
a
t ~~pωd.
c
o
r
f
e
s
p
oれQ
S。
十 r
r
b.~二 0"
0
¥
1l
L
Qhd
e
(
θ 吋 -L
i
刑
，
)= (日寸ヰ I ーヰ)
c
h‘口iC巳 Jα h
Hin ~U(1 ， 1)•
[~ ~]
日s
.
vb~ w ャìtt~Y\ 、
CQ
l
t
)a
.
I
¥Qt
h
l
{s
f
1
l
0Q:
z
.
¥
仇
c
J
s
crモ川ャkth~t
。~
=D))
色
(
杢
)~\， ~口)\Ll9) =巳(杢+@)千Dト S()/ll巴
(竹i:h~ SL
l
I
1
¥
杢
十
⑪ ;
s\Å(lì~IÁ.~7 ~，，-tl:ì-iT\ì ne
.
t
c)
歪馴~8)
R
色C
Q
I
I廿¥
Q
{i
:
h
e
.
.J
e
s
c
¥
rl
向
。no
t
-fU
I
)I
)lp) i
l
¥ ~O
dsQl
1o
r
m
Q
l
i
z
l
t
1
i
o
n
f
o
rt
h色作i
t
i
o
h
Y
¥
t
>
.
.
叫)品、 と
(色)色h
U
t
¥
).
e(9
，
)
，
o
f(k i
l
千to
f3
eod~sì に Q
r
.
c0
(
， ・Wh~\') w巳 d~c.oiTI p() 児 pctl，午) c
i
:h
i
sn
o
r
m
Q
l
i
z
Q
1
i
o
nc
Q
l
16
色 Wけ
t
t
e
n<
t
S th~ c
o
n
d
i
t
i
o
n
F
金l=OFF.
{
)
¥
y
!
'
2
-
Ju
‘
，
内
n
p
t
・
sat
，
，
ハ
﹁1
EEJ
n
u
'1hH
t?I
し
4
U
内
白L
L
，十
HH
It-
ε( 金~) ~hUn 巳((8)了)
、‘，，，
一
i
JA
，
d-
、
口
γ﹄
lsh
﹁
i
L
t
(
的
，) a
s
ふ
巳仁O
m
p
(
)
s
巳
dと(ザ):= 2 2
3，
) 干i
r
s
t W巴 d
(i=¥
，
・
， J ~)
iMド
(
t
rt) E- PSU¥
1/
1
)
g
i
v色n巴l
叩 巴n
t
s ザ帆)，
W
iwJ
MU
﹂
仙
4lL
O
a
v
‘
口Y E
hu可
色
=工
(
1
f
，f
Z
a
)
) PSU(1
，
1
)
)
巴
=
:
J
."
"
"
g
g 廿川、円
V
ζ H
ThttS e
f
i
Vh Q
t
1
1 Qb
s
t
ro
.
d
:r
モf
r~en-bdi o
n f
l
hi
sP
f
ε〔
歪n
=f， T
，be.川 巳子炉，)i
s h
Y
F山 t
i
t巴
￨
巳m
e
.
n
t
)Qnd put モ(告，'Ir
J~
>0
3
Q
l
=
0
1 sωndw
S
Q
t
i
s
f
iむ をh
巳 印n
J
i
t
i
o
n 歪
と(金t.)~~ Ui
.
)~(elJ
7
8
h
ε
C
Q
¥
'
t
Q
I
1t
c
e
.c
Ol
Y
lp
o
s
i
t
i
ohS f
i
v巳 t
(
c
u
)=
4
3
中~ (乃) ε (庶/令官 )
t
h
eデs
t
e
mo
f吋u.Q
t
-i
o
n
s仏
ャ
やJ
0
j
=
=
I，
，
，
・3刊)
I
R
j
1
.
1
1
U (
(ーい(同日中'4ì-~))
=
o
三
E
li)
E
¥1J
、
q
，
，d
，
u
'd
m
，
・
・
)d
(
i=I
、
‘
，
も
hH
十t
AU
u帆‘
FJ
PL
け un
。ー
町
H
仇
、
u
内
H
H
r
、d
n
u‘
lhH
t
r
"ト:l ，
= 1¥-
4S
= ⑪i
…
1ト 3 一 ⑪i十を L
L
肯宵):
(
L
.
:
:
:1
)，
・
. 8)w
i
t
h<
I
>
，
ご 0，
州五 η
十
〔
一
五
、
〕
~i
Qhc
.
¥
トdth巴叩辻;州(宵)干 1'"伽 r
:
(
1
C
-¥
t
r
中4ト， )
1
4H_十
=占 i
，
?
1 =0
S
Q
t
i
s
今
年
豆
e
i
t !
G
i
v
引 1 告し⑪りを
ε
(
i=¥，"')d
)， w
h巳 内
f﹂
﹂
Le
.mmQ1
.1
.
ユ
.
ーな十三ち
巴
.h
(
忘
)
モ(
e
i
)
p
(
ri) = モ(缶)e
f
uト
li
.
)i
i:;>0 ，Qhd 5~~k .
ρ
!
巴
@i 十 @i
中'4i-l = - ~ì 一 ⑪I
金 I十
~4t
14-
吾川
口
N
o
wW
EE
a
ndmdlychd±
h
a
t叫 i
s(
2
，1
><
P
) ~üÎ$Hω -t~e. c
白
川d
:
io
nsの ω1~
t
h
u
s
@
，
t
Q
i
nQS
J
'
s
t
e
i
T
lo
fJ
Q
t
Q (丸五叩i.
c
f(L mQr l<~d f山 d
Q
r
ne
.
ばQ
( 4(
f
:
JO
i
i whìι~ s
o
t
i
s
f
iむ
wεob
p(~， 1
)中)=p
..
S!Ullm
i
nt
)u
-p WεhQV
巳
We
.
Theorem1
.1~
CQt
1
ωnstr
L
lc
tQ 0 恥お on己 Corre.ザond日仁巴 b~i:wee.V\ t
民
主Ho
w
i
n
g two o
b
a巳c
t
s
{rιHomCπI~弓)， P
S
U
C
t
，
1
)
)色三ユ斗 j f&(
J
，
:
t
Is
f
ie
st
h
e Y
1
d
l
t
L
u
hk 杢l
=
o
'
)i
nthc
q
山
仙.
仁口
q
ec
:
o
m
p
t
l亘i
t
i
o，^ f
(
<
i
d= ~0杢1) e
.h
L
，
Q
.)
ε
(
@
t
)
}
(
w
h川悦de.n
れャ
R4
二
1
2
)，
ω {C~)]: ， C
P
"
)モ
C
i
R>
o
i(
)(
l
R
)D
)
dx C
l
R/
u
r
宮)43;d
，
E，中)~J:ìs1ì~s ① J 白 ctY) 4e
Cf
L
t1
.r
c
j
)=
口
ユ
ー
ユd}.
W三l
l
o
たt
hClt th~
h 加匂 LPS'UCL1))ド
pr(}c.~dur巳 o
ft
h巳
14-
1
1
0ヤf
f
i
QI
i
之
社i
o
n k吾lzb〉75ivuul
hzfy bmuE色 ~ve.ワ
C
u
=
b
ω
d
モ臼rt¥p
o
s
i
t
i
ol'l f
(
o
{
，
) =巴(杢;).
e
hl~l) ~(@I) WÎt~ J
I>(j，
S
I
L
U
1
4
i
a
f w
i
t
he
.C
け=ヱサ
M
~d +h~
hQS Q
k
doぃ e
(
s
I
>
t
)
Qb S
f
ι
i千
i
e
.
di
he
Q
t
hp
.
亡 ¥
'
I 巳
Ul
n
f
dth史 m~-thod o
N
t
l
W W巳 i
l
¥
v
e
.
s
t
i
g
a
.
t
巳
， 3
ωetric
. m~Q吋
V
¥ ~()
F
Q
d
s凶 i
，
C
[03，9
2
} 込町巾{ユ.)]，
) we tQ¥'l d
e
.
t
巳
，r
l
l
1I
n
e
.t
h
e
.s
.
1
Q
n
d
Q
バp
O
S
I
¥
ta
Y)干()t'
(日巴
t
ni
sf
.バ
1
St> we
.C
Q
nd
品 川I
h
.
eQ b
Q
S色 村 氏 ボ 壬 Z3 4札
r
e
.p
r!e..S
柑 t
d
:
i
v巳 (
o
u，
'
"，P
d
) 刊L
ヲ
ノ
吋
ζ
江川
品
)，ωhd ib~
口千九 州 帥g
LAlp-v
f
<
l
.
t
h J'平cìfìed ヤt-h~ s
t
Q
山吋 p
o，sH
:
i
a
¥
'
¥
. Theも
にt
n
(
T
h
e
.
o
r
e
m1
.
1
)t
h
l
t
1fCa.nb~ 民3叶~~q Q
S P(~，丸中)干Dヤ弘 uni1牝InQrkeJ h
y
p
e
r
b
o
¥
iに句 8o
)((ω~/J支f3中
判
)n
r
肌t
叫a
附
Q
n
凶
1
S
t
仏
h
l
ド
t
t
t
-
ち 士h~乞 ヤ
切
「
ド
巴
山
州
州¥
i
cs
め
.
1
恥
t
t
れ
仏
山
r
机
U
u
ぱ
d
t
ば
ピ
c
:
t
l
札
l
t
'
陀
eq
e
t
廿川
m
{
h
吋色db
y庁
C
f
1斗
ξ
否
7
ω
-t叫恥
h~
亡 問(肋
七
tI
n
31
1
¥
削
札
比
恥
制
巳
む
e
.
dh
}
'
f
ド
巴
廿
山
ヤ
山
b
o
li
c
.4
;
j
寸
、
，
j
3閃 件
(
巴
災
5e
l 口
Q
5
恥O. 臥
E
}
え
>
tm
吋p
¥
e
.
吋
巳
斗
) Co山にì~es
巳
匂sw
判叫
t
i
hX
(
ωQ
，
，
Q
"'
f
'
判
札
'
)
. τ
η
h邸 fω b
e
巳ヤ
吋
巳
苛
o
'
t
-d
e
dQ.s恥
t
J
It
、
匂
q
中
代
い
いい
0
i
h
ln
り
刷
且
白
凶
π
I匂
(
甘
弓
2 Pギ料)一→ P
おSU(
い
1
J
バ
1
)い
(
s
ω
ば山
d
i
古
今
令1
0
句
3er杢
¥=D、
J
) 干
叶 Qu.ni~ 乞
.
u
叶
b川
州
刊
=
¥
:
¥
<
j
(
q
'
J・"'f~))
unì~ue h
y
r
州、i
l
c
. strU c:turとがt~Hnì l\~~ b
jC
P
)j QÌ\~ XO?1
)çp) 加代中川~
Q
h
dC
¥
.
t
oth~ r
e
.
a
.f
i
z
o
.
t
:i
o
n
af '
0
<
，
;
.
.
.
)0d) 6y.j，，-o.
d
e
s
ic
.QわcS
弓} Wモ ω
åi
ve
.nQ
n
，
y 1: E l
i
JQi¥dQ
り m= ¥
:
¥
<
) 靴、 " r
o
)
)ι
Conv~r斗
に
ロ
h
s
:
t
r
u
.
d
.Q
M MfGhL::73witi1 仏~ ft'口 p
eャi
y
:t~ct-t F帆)， P
l~ì) Q凡 ~ð叫巳J c
t
sh
o
l巴
r
.
oo
u
e
s6
;d
吋
p
<
t
t
hsO(i) ~ì 千LbrY1 キち末 wì t
hr~sp e.<:.-{ち tn~
Th
い
は5 仏¥
.
'S
P
Qα
h
;
p
'b
t
>
¥
ic s1刊の同C{d~ヤmì l1~d. y
r = (p].
"C
叶
R
仏史
叩P
;
工
:
;
二
ご
;
:
プ
ザJ い
¥
3
W
Q
S QP
M
山
同c
ld S
t
-ヤr
刊
凡
Q
l
凶
λ
μ
E
刊札
Z
札山
l
.
¥
.
札
h
α
vt
叫h
巳干'0¥
1
いo
w
i
n
g
色
.2，
Theot-例 1
刊 e PSU(l)1
)-b
u
n
.
d
1
巳 H
O!l，(町(弓)， P
S
U
{
1
)
1
)
)
ε
ト
1
1
1
1
1
¥ (而(与し PSU(l， l)')巳=1.-~う/ωnj.
~、、~
2
y
ωnj.
l
i
ieQ仁川 o
r
i之口 I
I
t
c
t
f-SP
Q
民主 x1m!ζ
i n
.
1f i
s.
en
Q
o
wdw
i
t
h.
a8 e.Qm~t'γ ÌC-
巳モ
1
1
¥
色
ー→
Q
.
.
S
H
o
m(
t(
Z
a
)，
PSU[1，
1)/=ユー
1
f
J
i
f)(芝J
↓
r、-
F.;l?， =o
VA
↓
ん
一
句
←
VA
ウ
，
旬
、
』
一
'
、
同
町
ー
ー
Re=z-43
↓
→
i
sQ
.
e
.
∞m
p
o
s
e
.
4i
n
t
ot
w
or
川
u
.
c
:
tれ 州 側
H
O¥11 (
1
[
，(
L
.)
a，.I?SU(1)1))~=2-.2~
色
3
ヱト2.
J
a
，
.
.
.
.
、
，
r、h同~
色='.l-2~\
R
叩弘=
¥
，
l
(
m= (
:
:
:
Y
; (0(，)‘..~ r~))ε 与).， ~V~ヴ
n
r巴札i1i
n(
jω t
h
eh
o
l
o
n口 f
l
¥
lt-~prモs e.l1tQ-tì Cli'l
，
*
)
1
(
¥(
L
i
j
PS
'
V(
1
，1
) (
w
i
t
h匂¥:
.0") 干oト弘巴 ~pe山Iì ι め吋\1代 d巳セャmì l\ d り〔内f.lJ Q
h
q
t
h
esf
巴巳 j
'
f
i
da
e
.n
叶 o
t
o
ャS (
o
u，
-1 f
d
)o
fi
C
， (Z~ >ホ
)，
\N hv~\'.
r
e
s
p
o吋 t
ot
h巳 r
r
l
Qトk
e
.d砂
ド
トb
Q
;
¥C 4d-801
¥qJ
.
(0ャ
ヤ帆
l
i
Z
Q
i
i¥l¥
'
¥
Sh
J(
j
色
。d
e
.
s
i
ι
u
'
r
C
.S
門b同 Q
V
et"
aiv~n .
on
yf
.ε込pZZ73
u~i I
'
laf
u
es
t
Q
h
q
Q
t
-qp
o
s
i
t
io
no
f.
p
) れに叫 dd色村nìhモ怖~ poilltm~ 2
'
3
'会rw
h
i斗
fbe.叩U
t
h
eh
o
¥ロh
O¥l1j fe
.
-p
r-ロミぬ
8
2
. Comro 1
t
Sw
i
t
h~l1\o.ll
附
EukrhQmb~rS.
F
o
rr
e
r
r
¥
'
.
s巳n
t
<
l
t
i
o
n
sfw
i
t
h モL
p
)=2 ーヱれもが，，~
0
.
s)'it~\l\ o
fM
t
Q(
t
:
t<
p
)¥(((}，.se<刊iVItI~l\t
t
od
ì ，，~ ({h~ 剛山巴.{içQIll~tヴc..!Q，S o
f
)Qmuャb.~ h
y
p叶 b
o
i
¥
c4
(
[
-(
!
o
n XU
，
f
:'
f
)
， b~<.R~l~ 0
.
[
¥.
Ji
伽L.Qi 刷辻も巴 rC>$ìt~ 児江川仇s Wモ山&è-i:~Y-rnìl)巳 uH 河山ù1 IA.今干同同十h 屯 pìc--tれ o干 X\~ ， 1
，
中
)
A~d:"-11I
l
士
。
1
-'
f
.w
i
i
h¥
e
.{
P
)I
く.23
ーヱ) t
h
esih~l: ioh b巴c:omむ dí干'f~r屯rit'
干d
t
t
t
Q(
x，1，匂)~et叶mìòes
0
a 凶\qu~ XU11
にや)} h~t -th e.にChV色同~ i
sn
o
t
-tHt巴 i
ng巴 !\~ra! ‘
Howi
s:
i
h
e民 !
U
i
ol] b
e
t
W巳巳1
1
)l
f
l
)w
i
i
h(
i
)Q
l
¥d~，
Q7 (~， 2
6
yt
k+
>
¥
"
t
n
t
t
lQ
.(
合
)
.
t
1
¥i
t
k.
e
。れ
t
hミ
P
伯、
れ巳帆
d(
.
Q
，
1，中)
(:
c
t，"
T
h
.
e
o
rlUT11
.i)?
OfC
o
肘巳)
3
i
v
e
n
d
e
.
i
.
t
r
t
n
i
ne
.Qllnl~U巳ヤザ陀S巳1\そ，<l.-t i O
h fW
H
.
h("も=0"
o
c
r
d
:ru7)千 we叶 色 g
i
v
e
nQ
，
れy F
w
I
¥
:
h i，
杢l=otw色(QI'¥
G
は Qt
t
色c.o
m
p
G
s
i
t
iO
h
S f例)=モ(杢 i
)~h(lt) モ(@n) ωd F
l
r
L
)=巳(:fc: )~h(t)εCêrL)
l
¥
(
w
i
t
hJ
t，]
i?o))
的
l
cl{s
i'
f
lS
t
hともr-mu
.
{
Q (台前， w巳 也n仁o
n
s
t
r
.c
u
tc
tモ
y
s
t
巳刷。干d.
Q
t
Q(t正
午L
H色r巴 i 干~ i (l'~sp. ]i)= 0，01)1
)
't
h
e
.v
a
l
u巳杢t @t γ
(回 f
・主斗 8l)i
sw
e¥
i
-de:tih~d )
十
Qn~ th
.
u
s:
i
h
e
.
r
εremQins s
o
m
ef
r
巴
，e
{
t
o
mi
n-th~ d
e
t
r
m
I
nQ
"
[i
o
no
f，
P
< I'f.色V巴rth~1同，悦 wi \l巳 IQì
o
nX(
t
h
Q
t
-f CQ¥'I d
e
:
t
叶 m
i1¥巳札 u
n
i
q
u巳 n
r俳 kd h
y
p叶 b
o
¥
ic4g-8
'
2
，
f，
ψ)
，.
Theoretn 2 T h e r
色 町i
ふ ιmQP 干干ャO
f
f
i
S
Q
t
iふ su杢I=o
?
)
XO)f
，~)
1
f
r
EH
om(
π
I(
弓
)
， PSU(
1
，
1
)
) p
.
7
P
"
-blk4([-~OhS
恥 P，
;
:
g= む
t
o {
(
t
n
Q
トk
色
d
.i
s口吋ワ ι¥QSS o~) m.
a
r
k
e
.
d
1= 玉 川 北(rt+h巳台I!owinadias
t
Q
1
'
l
1
t
(~) l
)中〕モ(恥J
i
-¥
'
l
c
n
m川 e
s
x(RJx 恨んTl"7Lì'f~; (
1，
!I
¥
f
)s
o
.
ti
sf
i
t
s① Q
t
¥
l
.@
，
I
X
R
守生， = 0
、で品
X(
.
Q7Q
，
c
p
)
守
〉
J
て
t
7
0tì::l/"'?~J.
MI
l
r
，
巴o
V
e
r吃h
em
Q
P
sXUI\4 干肌 bìà~(tì'lε I'fweQI同町stri c
i
d1
:
oth
色日記 .
2i> 0 q
n
d
色盟主
G
i
v
e
n C{n
y fεReps
.
;
1= 0
，W色色keQhQrbi:
i
rr
yU 1
，
ヤ
)S
l
th-I:~Q-t f=
f
'C
f
).
o
o
d ddl町 1~ε mQP干 b
y f←一予
fU1，
l
.
1
仁
XU，1
，
中
)
. W色 wi
1
1sh
O
V
it
h
ew~lI- q~f，吋
o
fヂ
S.
up
p
o
s
et
h
Q
:
i.
Q
i
.=O. Oht
l
陀
p
.W h.
a
v Pl
)=モ(金 i el，
)
γ叩「巴叫臥:t
i
O
Y
l
0
n X(
01'1 t
.
h
巴h1叶 k
t
dh
.
e
r
1
o
l
i
c4
e
i
-8
1，
]
日
中
)
，
y
p
t
h
u
sI
nfkp
i
d
u
r
色 o
fく
)(
，
Q
，
I，叫S"O
i
l
W
.o\tt~，ャ
B u
s
.
et
h
tk
n
(
}
ホs a Q.d，å~s
ば
乞叫
J
Q
.
.
巳
(
<
>
l
'
十
th
巳代氏陀 c
o
n
{
:
;
ヤ
【l
d
:
i
o
n
so
fl
e
q
a
e
St
o'
fD
i
n
i
.
sQ
nJ
.
αt'I8 k:.S Q
?
pQ.(tト ω
m5ds
o
H
l巳
γJT.
l
l
m
So
fC
P
ia
n
4
d
f
lb
k
b
m
ι 0，
-th~ .
c
"
H色に1¥'01'1 (
)
f S
J
-J5
" ¥'Yll(s
:
l
CC
n
t
Q
I
h 中4
t
ベ +r
'
4i-3 Q
l
l
q C
P
4
i
-ユ十中4H Q
S .s州同 i
ohfQ
c
.
i
o
r
s
. ト
J
t
i
十i
c
et
h
Q
ti
nt
h
e千
o
r
m
¥
ll
Q
.
ζI
:
l
t
背
骨
)
，
o
n
rC(J4i-
3
ャ
(e
s
p
.九
(t-守 ，'
P
q
.i
2，C
f
"
l
t
l'
) c
OI
i
t
Q
i
h
S -t⑪ L (
i
ι
s
p，→杢 i
) -E0ら一杢 i
)
a
.t
n
o吋
匂 '.s. Thus t
h
e 九州s~f ち・ヲJF 削s1. b
.
ew
r
i
t
t
.
e
hi
h込 山 正 吾L+ 8.
ia
t
do
t
h
叶
杢~ ，⑪lt，
主
主 y 私 {い i
)
. Th
色 t也 氏
f
o
[
"I
i=0 ωbe1
:
吋
e
.
.
d.
o
sWe
.
I
¥
. Ih仏i
swuy
WeC-Q
nd
.
e
t
e
けれ巳 Q
(
¥吐h
.
eQrp~Qャina o
l
l
t
モ
.
V
"
' Q
n
}
e
l
.
e
s(
w
h
i
<
:
hI
nQ
yb~ S
l
U
Y
lS
0
1
中J
)
S
)i
nt
h巳 p
i.
c
t
u陀
X(Q，
:
Q
d
c
p
)，c
r
n
l
yU
!
;
i
h
8th~ ~QtQ o
ff
. Th
u
.
st
h
色 m
叩干 i
sw
e
l
l
-c1~find .口
Arpendix.~ EXQmpleo
fI'l on-conv~ f
f
i
Q
l
'
k
e
.
c
¥h
Y
fe
r
b
o
!i
c
.4
2-8山 W
h
i
(
こ い 肘D
U
l
1d
sQ私 的 問 t
i
a
J~()mQin
sP
(
d
'a
.p
re
r
'
o
f
e
s
s
o
rS
.k
o
j
il
1
1Q
)
Le
:
ll
l
S dQ
式w
i
t
ht{児ヤe
a.
u{
Q
rm叶 k
e
.dh
y
r
.
e
r
h
o
[
乙
¥o
c
t
匂o
nw
it
hQ
(
(t
h
eI
n
t
ei
:
r
o
r<Zf
l
8
l
e
se
j=
K-TJ= 2
F
. Afbthtf怖 に 巳 仇 陀 D
fP
Q
s
t
i小 v
J
e
.h
Q
V
巴 Q ~I 乞附m5 はrf也氏
(1=2 1 ~) Q
h
.
d
å'è.O~ e.S'C Q
r
C
S ぱ1
，r
l
J位，
0干
o
i
n
t
- p~ L
戸mQp
2
;
J
.
t
oPf
pω 「出pah~S も ihe.
t〆
月
、
、
、
、
symm~try ，
，
)~J
ss
it¥
tQ
l
:e
dI
.
nt
h
巳 d
O
S
>
'
e
.
dclω~e..s i l;. e
c
f
pi
，〆-¥
. NW ¥
e
.
i
.，usm
o
v巳士h
.
ep
o
i
r
r
tp
C
l
~\\
tot
h
e ~i
r
e
.
c
.
t
i0V¥ o
f恥
，
Q
(Ol1l
eG
ぱi
l
JJ f
作) Ct~ R
l?o).
ャ
千o
r
nF
伏) t
oP
仕)?
0
>
¥
1
ヤQ
tF
仕
)
.
S
)
. 8y
ye
.
'
(
'
也
氏
r
1
1 ; w巴 o
b
t
山 Qo
t
l
己 P
Q
¥
'叩点「私的 o
f~oÎnts
WムCQh.sn
州 北 正t
，干'
o
rQ
¥
lt モlR~()，
ヤモ
p
r
色s
w
t
i
n
3th
巳 8
i
ve
.nt
T
I
Q
r
k
i0
3ぅ
T
hLtsW巳 o
b
t
<
L
i
n
t
h
e8O
t
l
.
e
s
i
ι
貯巴見(!
'
e
.
s
.i
t
n
f
¥
e.
o
n
c
¥
e b~ 山町民
l
i
'
叫
ω.
，.，~.2. lt.)
Q
hv
巴 i
n
t
e
十S
巴巳f
i
on
.
s
r
¥
<
e
dh
y
pモr
b
o
¥
i
c4d
8
0V¥ Whi.
chs
l
.
tr
r
O
吋 s (，\-ll北自tむtn加
馴川
恥n1μ吋~叩峨日川
刊 t
札 剛氏
d
州州
0m
帆
州
札
州
叫
刷
i
¥
to
f(
広
乙
1
.
，
パ
呪
)
. Also? Q
St→ ∞ > .
0
1th~ i
耐 i
o
rQ
h
a¥
e
s
.
iozけ 0; thus
QK
.S
r
tf
o
r 08
'
巴沢氏
C州
巳'rg
e
> 1て f
o
re
h
ol{a
h1
0
.
.
守
巳
t
. (s:伐-t.h~ pid
.
u
r
.
e
sb
e
l
o
¥
V
.
)
18-
。
E
一一一一一今p
tタ
References
て
らJ W.(
J
<
ll
d
r
no..Y1 : T
o
p
o
l
o(
jI
c.
ol
c
o
t
n
p
o附 t
t
so
fs
P
Q
c
e
:
;o
fr
モp
l
r
e
s
e
n
:
1
Q
t
i
o
n
，
s
.
λ
1
同
¥
w
e
ι
，557-607
.
門
耐
従
品h
.皇i~ (
川
!
げ7犯
8
制
E
ω
)
[
K
] L
.Keen: C
(
u
¥
o
n
i
c
dp
o
l
Y
8
o
n
s千
o
r千i
n
i
t
e
，
ケg
e
n
e
r
.
a
t
e
d Fi川山l ~roupS フ
A
c
t(t M
Q
t
h
.~
[
O
l
JT
. Okcd:
(!~()6) ， 1-J
6
.
E千f
e
c
t
so
faC
h
Q
l
l
g
eo
fp!Ln
t
s
.d
e
c
o
t
n
p
os
i
t
i。
ωont
h
e
i十 F
J
e
n
c
h
d-
lc
.o
o
r
d
in
a
t
e
s，
k
o
b
eJ
.Mr
.
t
t
h
.1
旦(l竹 3
)，
215-♀ 23
N
i
e
l
s
e1
(
0
2
]
T
.Okai . R
e
-d
i
n
gt
h
eF
u
.
c
.h
s
i
Q!
l r
e
p
r
e
s
e
n
i
Q
t
i
o
n
so
f d
o
s
e
dR
i巴m
Q
n
nS
{
.
¥
r
千
Q
.
.
c
e
札
f
r
o
mi
t
sf
l
.
ln
d
Q
t
l
l
e
n
t
.
a
1d{)rnQins~ p
r
e
p
r
i
n
t
.
[
0
3
JT O
k
Q
i
H
y
re
.
r
-b
o
l
i
cL
f8
-~ons ct l1~ F，吋活 i
Q
.
1
l r
e
p
γ
e
s
e
n
t
a
t
i
o
n
)
;， 数 理 解 村
研 究 所 講 究 録 旦1 A
nQ(
ys
i
sQ
fD
i
s叶式巳Err
o
u
p
s (rq~6)? 1
3ユ
ー 141.
114
Qd
タイヒミュラー空間の座標付けとその応用
リーマン面に関連する位相幾何学(19
9
7
.
9
.
1
6
1
9
.)
金沢大学工学部
奥村善英 CYoshihideOKUMURA)
Abstract
ものの大きさを知る(あるいは、表示する)ために、いくつかの特定の部分
の長さを測ることをよく行う。とれから、素朴な問題として、 Iリーマン面を、
いくつかの指定された閉測地線の長さのみで表示できるか ?J が考えられる。
これは、「タイヒミュラー空間を長さ変数のみで表示できるか ?J と同じ問題と
なり、古くから可能であることが知られている。
まず、タイヒミュラー空間を大域実解析的に表示する長さ変数の最少個数
ど、この変数空間について考察する。しかし、この変数空間は複雑であること
が分かる。次に、「双曲幾何では長さより角度の方が細工しやすく情報量が多い
だろう j 左いうアイデアで、角度によるタイヒミュラー空間の大域実解析的な
表示を考察する
また、これらの考察を解く鍵となる一次変換の幾何に関する結果も述べる。
さらに、ブックス群の行列群への持ち上げを用いて、リーマン面上の単純分
割閉曲線の特徴付けを行う
O
O
1 まくら
2 準備
3 長さ変数によるタイヒミュラー空間の座標付け
4 角度変数によるタイヒミュラー空間の座標付け
5(
1，
0，
1
)型 タ イ ヒ ミ ュ ラ ー 空 間 の 場 合
6(
2，
0，
0
)型 タ イ ヒ ミ ュ ラ ー 空 間 の 場 合
7 一次変換の幾何とトレース不等式
8 持ち上げ問題と単純分割閉曲線の特徴付け
1 まくら
詳 し い 定 義 は 2節で行うこどにして、この説では、問題提起と各節の簡単な説明
を行う
O
私達は、「もの j の 部 分 的 な 長 さ を 測 る だ け で 、 あ る 程 度 正 確 に 「 も の 」 全 体 の
大きさを理解することがある。また、より正確な大きさを知るために測る部分を増
や す こ と を 行 う 。 卑 近 な 例 と し て 、 バ ス ト ・ ウ エ ス ト ・ ヒ ッ プ の 3サ イ ズ (3つ の
ワμ
ハU
特定の閉曲線の長さ)、場合によっては、さらに首まわり等を測ることで、体の大き
さを判断し、服を購入している。「もの j をリーマン面にするこ左で、次の素朴な問
題が考えられる。
Problem1
.1 リーマン面 S を、いくつかの指定された閉測地掠の長さのみで表
示できるか(したがって、二つの異なるリーマン面を区別できるか)?
口
この問題を考えるためには、まず閉測地線の指定の方法を考える必要がある。例
えば、
Sの基本群 I
I
1
(
S
)の標準生成元系
2ニ
，
•.
.Xn)
(Xl1X2
1
を与えると、 1番目と 2番目の生成元の積 XIX2 に自由ホモトピックな閉測地線と
いうように、すべての閉測地線を 2 の元の積で指定できる。閉測地線の指定の方法
を考えると、正確には S ではなく、組 (S，~) の表示を求めることになる。この組は
「標識付きリーマン面j 土いわれる。二つのリーマン面は等角同値なときに同じと考
えられたが、今度は、二つの標識付きリーマン面をいっ同じとするかを考える必要
.
1は
が起こる。この議論から、「タイヒミュラー空間 j が自然に導入されて、問題 1
次のように言いかえられる。
Problem1.2 タイヒミュラー空間を、標識付きリーマン面上のいくつかの指定さ
れた閉測地線の長さのみで変数表示できるか?
口
a~
く?〉
(
仏BbbAε
」
γ
一
一
ぜ
J
立訪れi
イ圏働輔君か警は
O
lu
図1.1
臼
つ
，
ー
i
S を双曲型リーマン面とする左、複素平面の単位円板 D に作用する適当なブッ
クス群 G~ とより、 Sは商空間 DjGと表される。また、一意化定理より I
h
(
S
)は
G と群同型なので、 2 から G の「標準生成元系 J が得られることになる。これか
ら、問題1.2は、ブックス群の言葉に翻訳できる。
2節では、タイヒミュラー空間や「一次変換の平方根 J の定義等を行う。
3節では、問題1.2を「長さ変数」による座標付けの問題に翻訳できることを示
し、その結果を述べる。
長さ変数の変数空間は複雑になることから、 4節では、新たな「良い J変数 Eし
.
2を角度変数による座標付けの問題に
て、「角度変数」を導入する。そして、問題 1
翻訳し、その結果を述べる。
5、 6節では、 (
1，
0，
1
)型と (
2，
0，
0
)型タイヒミュラー空間の場合に、長さ変数
と角度変数に関する具体的な結果を述べる。
上述の結果を導くために、筆者は一次変換の幾何を考察した。 7節では、このよ
うな幾何に関する結果を一つ述べる。
筆者は座標付けの問題の考察から、ブックス群の「持ち上げ問題」を構成的に証
明した。 8節では、ブックス群の持ち上げを用いて、リーマン面上の「単純分割閉
曲線 I の特徴付けを行う。
7， 8節は、他の節と独立に読むこ左ができる。
2 準備
この説では、双曲型変換の軸、ブックス群の標準生成元系、タイヒミュラー空間
や一次変換の平方根の定義等を行う。
複素球面 Gに作用する一次変換全体の群を M
(
e
)ど表す二各元は、
zトb
g
(
z
):=一一一
Z十
と表され、特殊線型群~
d
'
αb
，
c
，
dε C，αd-b
c=1
SL(2，
C
)の三つの元
¥
、tl﹄，Iノ
d
FO ，
、
αc
士
/fal--
に対応する。これらの行列は g の二つの行列表現左いわれる。また、 D を不変にす
る一次変換全体の群を M(D) と表す二 M(D)の双曲型変換 g は単位円周上に異な
る二つの不動点を持つが、これらを結ぶ (
D上の双曲距離に関する)測地線は g の
軸 a
x
(
g
) といわれる 筆者は、一次変換の幾何を考える場合に有用となるので、軸
(
g
)から吸い込み不動点 q
(
g
)への向きも与えることにする。
に湧き出し不動点 p
タイヒミュラー空間をブックス群の生成元系から定義するため、次の結果に注目
O
する。
U
qL
つ
Theorern2.1 (Keen[
5
]
) G を D に作用する (
g，
0，
m)型 (2g+m三 3
) のフッ
クス群(つまり、 DjGが種数 g で m 個の穴を持つリーマン面になる)土する。こ
のとき、 G の生成元系I; ~して、次を満たすものがとれる:
(
i
)Aj，
Bj，
Cj := [B
，
A
j
] = BjlAjlBjAj (
j= 1，
・
・
・，
g
) ~ Ek (
k二 1，
・
・
・，
m
)
j
を、図 2
.
1のような軸の配置を持つ双曲型変換とする。ただし、 g= 0(
r
e
s
p
.m 二 0
)
のときには、 Aj，
Bj ~ C
r
e
s
p
.Ek
) を除く
j(
O
(
i
i
)I
;
二(
A
l
'B
l
'・
・，
Ag，
Bg，
E
l
'・
・，
Em).
(
必)EmEm-l・
・ E1Cg
Cg
-1・
・ C1 = i
d
e
凶 t
y
.
口
この定理の主張 (
i
i
)と (
i
i
i
)f
士
、 G が表現するリーマン面の基本群の標準生成元
系表示から分かる。実際、 Aj，
Bjはこのリーマン面の同じーっのハンドノレ、 E
l
.は
i
)の主張左なるが、これ
一つの穴のまわりをまわる生成元に対応する。メインは (
は Aゎ Bj，
Cj，
Ekの不動点の配置に関する主張ともいえる。 G をピノレディング・ブ
ロック左いわれる基本的な (
1，
0，
1
)型部分群土 (
0，
0，
3
)型部分群に分割し、各部分
群の生成元の軸の配置を調べることで、この主張を示せる。この示し方は、基本群
の標準生成元系をファン・カンベンの定理を用いて決定する方法によくにている。
Bg Ag
/
/
/
/
I
-，
aa
J
，
，
.
，
， ，/
/
Al
B
l
E
机
図 2
.
1
-23-
El
Definition2
.2 定理 2
.
1で述べた生成元系 2 は(仏 O
，
m
)型標準生成元系といわれ
る。二つの (g ， O ， m) 型標準生成元系 ~l = (
X
j
)とお=(的)は、適当な hε M(D)
により、生成元の順番も考慮して各生成元がめ二 hxþ-l 、つまりおご h~lh-l と表
せるとき、同値といわれる。 (
g，
0
，
m)型タイヒミユラー空間 T(g，
0
，
m) (
2
g十 m 三 3
)
とは、 (
g，
0，
m) 型標準生成元系 2 の同値類 [~l 全体の集合である。
口
標準生成元系を指定されたブックス群は標識付きフックス群といわれる。標準生
成元系を指定することは、生成元の順番で表現するリーマン面のハンドルと穴に番
号、つまり「標識Jを付けること左いえる。また、このようなリーマン面は標識付き
リーマン面といわれる。同値な標準生成元系は、同じリーマン面を表してハンドル
と穴の番号も同じにする、つまり同じ標識付きリーマン面を表すといえる。標識付
きフックス群は、同値な標準生成元系を持っときに同値といわれる。明らかに、一
つのブックス群からも標準生成元系を取りかえることで、同値でない標識付きブッ
0，
m)は (
g，
O，
m
)型標識付きブックス群の同値類全体の
クス群が構成できる。 T(g，
集合ともいえる。古く(本質的には 19世紀末)から様々な方法で、次の定理が示
されている(定理 3
.
2を参照)。
Theorem2.3 T(g，
0，
m) (
2
g+m 三 3
) は 6g十 3m-6次元実解析的多様体と
なる。
口
筆者は一次変換の平方根を次のように定義した。定義自体はとても自然で単純だ
が、一次変換の幾何を考えるときに左ても役立つことが分かる。
Definition2.4 AεM(D)を双曲型または放物型とする。このとき、 Xε M(D)
で X2= Aを満たすもの(唯一に決まる)を A の平方根といい、 A1/2 と表す。
口
A から Al/2 を求める計算は容易である。実際、 A の行列表現を A とすると、
Al/2の行列表現は、
J1 - ( A
I
) (tr(A)<Oの場合)、
I
t
r
(
A
)I
十2
士1
一一一一 (
A十1) も
(r
(
A
)>0の場合)
となる。
A が一般の一次変換のどきには、 X に制限を加えないと、このような X は唯一
に決まらない。
-24-
3 長さ変数によるタイヒミュラ一空間の座標付け
まず、問題1.2が次に述べる標準生成元系の同値類を決定する問題にいいかえら
れることを示そう。
Problem3.1 標準生成元系 2 で生成されるブックス群を考える。この群の双曲
型変換のトレースの絶対値をいくつか指定し、これらの値で [
L
;
]を実解析的に表示
せよ。さらに、この変数空間も記述せよ。
口
六トレースの絶対値を変数に採用した理由:
(
1
) トレースの絶対値は一次変換の共役で不変なので、 2 の選び方によらない同
値類 [
L
;
]で、の意味を持つ量となる。
(
2
)同値類 [
L
;
]の任意の元は同じ標識付きリーマン面を表していた。双曲型変換
gのトレースの絶対値は、 I
gに対応する曲面上の閉測地線の長さに実解析的に対応
する j という幾何的な解釈ができる。実際、 9 に対応する閉測地線の長さは、 g の
トランスレーション固レングス t
l
(
g
) (gによる移動距離の下限のこと)に一致し、
t
l
(
g
)が
、
t
l
(
g
) := i
n
f
{
d
(
z，
g
(
z
)
)
l
zεD}
1I
t
r
(
g
)
1
-2cosh-I-E(ただし、 dを定曲率 1の双曲距離とする)とトレースの絶対値の実解析関数にな
ることから分かる。この理由から、 トレースの絶対値は長さ変数といわれるこ止が
ある。
以上の理由から、問題 3
.
1は問題1.2を標準生成元系の言葉に翻訳した問題であ
ることが分かる。
長さ変数は一次変換の共役で不変となる。よって、長さ変数の情報は一次変換の
共役で保たれる性質を記述することになる。R.F
r
i
c
k
eの時代から、同値類 [
L
;
]~土長
さ変数のみで実解析的に決定されることが知られている (
F
r
i
c
k
e
-K
l
e
i
n[
3
]を参照)。
これから、次の定理を得る。
Theorem3.2 タイヒミュラー空間は長さ変数のみからなる大域実解析座標を持つ
O
口
N1(
g，
0，
m)を T(g，
0，
m)の大域実解析座標を与える長さ変数の最小個数とする
と、次の問題が自然に考えられる。
Problem3.3 N1(g，
0，
m)を求めよ。
-25-
口
Wolpert[
2
9
]，[
3
0
]の結果から、
dim(T(g，
O，
O
)
)<N1(
g，
0，
0
)
(
3
.
1
)
が導かれ、 S
e
p
p
a
l
a
S
o
r
v
a
l
i[
2
5
]が
、
N1(
g，
0，
0
)三dim(T(g，
0，
0
)
)十 2
となることを示した。
g，
0，
m)型 (m#0
) 自由ブックス群を特殊な性質を持った二元生
一方、筆者は (
成フックス部分群に分解し、各部分群を長さ変数で具体的に構成することで、次の
定理を得た。
Theorem3.4 (Okumura[
1
3
]
)
N1(
g，
0，
m)ニ dim(T(g，
0，
m)) (mヂ0の場合)•
口
また、この議論の応用として、筆者は S
e
p
p
ι
l
a
S
o
r
v
a
l
iの結果の別証も行った。
g，
0，
0
)型ブックス群は自由群でないことから、この議論でも N1(
g，
0，
0
)を
しかし、 (
決定することはできなかった。最終的に、筆者は一次変換の平方根を用いて一次変
換の幾何を調べるこ左により、次の定理を得た。
Theorem3.5 (Okumura[
1
4
]
)
g，
0，
0
) dim(T(g，
0，
0
)
)十 1= 6
g-5
.
N1(
二
さらに、長さ変数をすべて単純閉測地線の長さから選べる。
口
この結果は Schmutz[
2
2
] も同時期に別方法で証明している。しかし、筆者の方
法では詳細な議論が可能となり、長さ変数を具体的に与え、変数空間の記述にも成
功している。具体的な場合の結果を、定理 5
.
1，
6
.
1で報告する。
Remark3.6 このような長さ変数の最小{回数は、 T(g，
叫 m) (ただし、
η
はリーマン
面の分岐点とパンクチャーの個数の和とする)の場合にも考えられている (Okumura
[
1
2
]
)。
口
ρhu
qム
4
角度変数によるタイヒミュラー空間の座標付け
長さ変数の変数空間は複雑な多項式系で記述されることが分かり、長さ変数によ
るタイヒミュラー空間の解析は大変となる。筆者は別のアプローチとして、標識付
きリーマン面上の測地線聞の交角で座標付けするこ土を試みた。このような交角を
角度変数ということ l
こする。
リーマン面の閉測地線は標識で指定されたので、二つの閉測地線が一度だ、け交わ
るなら、その交点も標識で指定される。さらに、このような交点を頂点とする多角
形やその内角(角度変数に採用できる)も標識で指定されることになる。
問題 3
.
1を角度変数の言葉に翻訳すると、次の問題が得られる。
Problem4
.1 標準生成元系 2が表現する標識付きリーマン面を考える。標識で、
この面上の角度変数をいくつか指定して、これらの値で [~l を実解析的に表示でき
るか?表示可能なら、この変数空間も記述せよ。
口
この問題の前半に関しては、実解析的に表示可能なことが示せる。実際、双曲幾
何の性質「双曲三角形は三辺の長さと三内角のどちらからでも実解析的に決定でき
るj を用いて、次のように示せる:
双曲構造を持つリーマン面は、単位円板上の双曲計量に関する多角形として実現
される。まず、標識で、長さ変数のデータを与える双曲三角形をいくつか指定する。
これらの三角形は内角のみで決定されることから、長さ変数のデータも内角のみで
与えられることになる。よって、問題 4
.
1のような表示は可能となる。
問題 4
.
1の前半の結果より、次の定理が得られる。
Theorem4.2 タイヒミュラー空間は角度変数のみからなる大域実解析座標を持つ
O
口
大角度変数を採用した理由:
(
1
)上述の双曲幾何の性質から、双曲幾何では角度のデータは長さのデータに劣
.
1のように、図形を変形する際、角度は長さより「変
ると思えない。さらに、図 4
化の方向 J が記述しやすいと考えられる。このようにして、
双曲幾何では、角度は長さより情報量が多いだろう
というアイデアを筆者は持った。タイヒミュラー空間を大域実解析的に表示する角
，
m) とすると、
度変数の最小個数を N2(ιO
Nz
(g，
O，
m)三N1(g，
O，
m)?
と予想される。
i
円
心
つ
(
2
)双曲三角形の余弦定理を適用していくことで、長さ変数は角度変数の三角関
.
5を参照)。これから、長さ変数の多
数による有理式で表されると思える(注意 5
項式系で表される変数空間を、角度変数の三角関数からなる多項式系で表せると期
待できる。三角関数の多項式は変形すると一次式に帰着できることから、角度変数
の変数空間の記述は容易であるとも予想される。また、長さ変数の変数空間は非有
界領域 kなっているが、角度変数の変数空間は、角度変数を上手くとることにより、
(
0，
π
)の直積空間に含まれる有界領域になるこ kが示せる。
メi
tl'E (0 μ)
0
、対
J
p
i
iE (
.
J
'
A
o花)
.
1 図のような閉測地線 L の右側のブロックのみを L に沿って「ずらすj
図4
ことを考える。これは L~ こ関するフェンチェル関二一ルセン変形といわれる。
前後とずらす方向が違っても、図の閉測地線 L
'の長さでは等しくなるこ左が
あるので、 L
'の長さのみでは二方向の変化は区別できない。
しかし、図の交角 μ では区別できる。
ワ
白
。
。
双曲型変換の軸から決定される多角形の辺の長さと内角の関係を、一次変換の平
方根で考察していくことで、次の結論が得られる。
Theorem4.3 (Okumura[
1
5
，][
1
8
]
)
N2(
2，
0，
0
)三dim(T(2，
0，
0
)
)十1.
(
2，
0，
0
)型以外の場合には、
N2(
g，
0，
m)=d
i
m
(
T
(
g，
0，
m
)
)
.
口
Corollary4
.4 特に、 g三3の場合には、
N2(
g，
0，
0
) d
i
m
(
T
(
g，
0，
0
)
)<N1(
g，
0，
0
)
二
となり、角度変数は長さ変数より情報量が多いといえる。
口
4
， 6
.
3で報告する。
具体的な場合の結果を、定理 5.
5 (
1，
0ぅ 1
)型タイヒミュラー空間の場合
この説では、長さ変数と角度変数による T(l，
0，
1
)の具体的な座標付けを報告す
1
，
B1'C1) (
ただし、 C1:
二 [B
，
A
1
1)を (
1，
0，
1
)型標準生成元系
るo ~(l)O)l) = (A1
1
とする。
長さ変数による座標付けに関しては、次のような結果が多くの人達により示され
ている。
Theorem5
.1 (
F
r
i
c
k
e
K
l
e
i
n[
3
，] Keen[
6
，] Okumura[
1
3
，] e
t
c
.
)X1 :
二 I
t
r
(
A11
)，
Y1 :=
I
t
r
(
B11
)と Zl : Itr(B1A1)
1は
、 A1と B1を同じ一次変換の共役を除いて(つまり、
h を M(D) の任意の元とする土き hA1
h ヘhB1
h-1の形の元を)実解析的に決め
る。したがって、 [~(l)o)d は実解析的に決まり、三個の長さ変数による T(l ， 0
，
1
)の
1，
0，
1
)= dim(T(l，
0，
1
)
) となる。また、この変数空
大域実解析座標が得られ、 N1(
間は次のように記述される:
，
X1
>2，
υ
1>2，
Zl >2
，
x
i+
υ
?十 z?-zd
山 <o
.
口
2
9
この定理より、 A1，
B1に関係する三点(例えば、 A1の二つの不動点在 A1 と B1
の軸の交点)を指定すると、 hの自由度はなくなり、 X1，
Y1，
Zl から A
1，
B1が唯一に
実解析的 l
こ決まることになる。このように、一次変換 h による共役の取り方を指定
することは正規化するといわれる。
A
1
'B
1
'C1 が 双 曲 型 変 換 で ん と B1の軸が交
この定理で述べた変数空間は、 r
わる j としづ条件のみから得られることが定理 7
.
1より理解できる。
ここで、記号を一つ準備しよう。双曲平面またはその境界上の二点
，
Zl Z2 にたい
し
、 L
(
Z
l
'Z
2
)をこれらのこ点を通り引からぬへの向きを持つ測地線とする。
0，
1
) の座標付けに関する結果は、次の定理を使って示さ
角度変数による T(l，
れる。
Theorem5.2 (Okumma[
1
8
]
)A
1
'BlE M(D)を軸が交わる双曲型変換とする
と
、 BIAl も双曲型となる。また、 P1 を A1 ~ Blの軸の交点土すると、
2
2 ¥¥ t
Dl/2(~
1(
B1A1)
a
x
(
B
I
A
l
)=L(A~1/22(~
(pl)¥， B
i/(
pr
)
， 一
一 一L1} =d(A~1/2(Pl) ， B
i
/
(
P
l
)
)
2
これから、 Al，
Bl 左 BIA1の軸は、三辺の長さが与.u与立
を決める。特に、この三角形は一点につぶれることはない。
μ与竺.uの三角形
口
C1
。
(B1)
A1
。
(A1)
BIAl
図 5
.
1 p(A1
)
，
q
(
B
1
)
'q
(
A
l
) と p(B
r
)が、この順で単位円周上に時計まわりに並ぶ
場合(見やすいように、共役をとり、 A1の不動点を p
(
g
)= l，
q
(
g
)=-1に
P
lを 0となるように、 Al，
Blを正規化しておく)。
-30-
Remark5.3 双曲型変換 g は
、 t
l
(
g
)(
したがって、 I
t
r
(
g
)1
)、湧き出し不動点 p
(
g
)
と吸い込み不動点 q
(
g
)により決められる。よって、 BIAlを幾何的に決定できるこ
とも、定理 5
.
2は主張している!
口
定理 5
.
2より、標準生成元系'E(l，
u，
l
) の元 Al
ぅB
l
'BIAlの軸は三角形を定める。
その三内角を図 5
.
1のように B(Al)，
B
(
B
l
)，
B
(
B
I
A
l
)とすると、次の定理が得られる。
Theorem5.4 (Okumura[
1
8
]
) 三内角。 (A1
)
，
B(Bl) 土 B
(
B
I
A
l
)は
、 Al ど Bl を
同じ一次変換の共役を除いて実解析的に決める。したがって、 T(l，
0，
1
)は三個の角
度変数からなる大域実解析座標を持ち、 N2(
1，
0，
1
) dim(T(l，
0，
1
)
) 左なる。また、
この変数空間は次のように記述される:
二
。，
(A1
) B(Bl)，B(BIAl)ε(0，
π
)，
B(A1
)十 B
(
B
l
)十 B(B1Ar
)<7r，
F
'(
B
(
A
l
)，
B
(
B
l
)
'B
(
B
I
A
l
)
)>1
.
ただし、
F(x，
y，
z
):=
OS2X 十
c
o
s2Y十 c
o
s2Z 十 2cosx c
o
sυcosz-1
smxsmysmz
口
この定理で述べた変数空間は、「双曲三角形の存在条件~ A
l
'Blの(任意の)行
列表現 Al，
Blが
t
r
(
[
B
l，
A1]) <-2
を満たす」という条件のみから得られる。 F
(l
.
{
あ孟 7孟
)<1のように一つの角度変
数が π に近いと、 F>1は成り立たない。これは、 A
l
'B
l
'BIAlに対応する閉測地
線の長さが極端に違わないことに対応している。この変数空間は正四面体のエッジ
を削り取ったような領域になる。
Remark5.5 図 5
.
1の双曲三角形に余弦定理を用いるこ左で、 Alの長さ変数は、
I
t
r
(
A
l
)
1
七l
(
Ar
)
2cosh一一一一
2
2{c
o
s
B
(
A
l
)十 cosB(B1)cosB(B1A1
)
}
s
i
n
B
(Bl)
s
i
n
B
(BlA1
)
と角度変数の三角関数による有理式で表される。
口
TIよ
qJ
以下、 T(l，
0，
1
)の座標付けで用いた長さ変数と角度変数の性質を見ていく
O
2
:(
1，
0
，
1
)が表現する標識付きリーマン面を S どする。このとき、 A1，
B1 と B1Al
の軸の射影は、 S の a
n
t
i
h
o
l
o
m
o
r
p
h
i
ci
n
v
o
l
u
t
i
o
n(
Jc!::する)で不変な単純閉測地
線となり、 S上に二つの合同な三角形を決める。これらの三角形と三内角は Jでう
つりあう。特に、三角形の三頂点、つまり、 P17AJ1/2(P1)kBJ/2(P1)の射影は Jの
.
2を参照せよ)。これらから、次のことが分かる:
不動点となる(図 5
-長さ変数は J の三つの不動点から決まる三つの単純閉測地線の長さになる
.角度変数は Jの三つの不動点から決まる三角形の三内角になる。
0
1，
0，
1
)型の場合には、長さ変数左角度変数は Jで指定され、 Jの不
このように、 (
変量となる o
S を C1 の軸の射影で二成分に分割するとき、その有界成分は 3 の二一ルセン
核といわれる。明らかに、 S のニ」ーノレセン核も長さ変数や角度変数で実解析的に決
定される。
制{
f
t似
品
目3
f
Y
C
REE
、
DH
ぬ﹄
dF
r
バ
"
'
<
(
8
ゆ
R
θ(
A
，
)
・・
値
目
BS-BE
9
e aa-hu--
d
(
i
i
u
)
aa--a唱
図 5
.
2
-32-
r
t
(
@
;
鷲(
c
，
>
)
6 (
2，
0，
0
) 型タイヒミュラー空間の場合
この説では、長さ変数と角度変数による T(2，
0，
0
)の具体的な座標付けを報告す
る
。 (
2，
0，
0
)型標準生成元系をI;(
2，
Oρ)二 (
1
11
，
1
)
1
，
1
1
，
1
)
2
) とする。
2
長さ変数による座標付けに関しては、次の定理が成り立つ
O
Theorem6
.1 (
O
k
u
m
u
r
a[
1
4
]
) T(2，0，0
)は 7 個の長さ変数による大域実解析
座標を持つ。このような長さ変数として、次の 7個の双曲型変換のトレースの絶対
値がとれる:
1
11
1
11
，1
)
1
， 1
)
1
，
1
1
1
.
1
1
，1
)
2
，1
)
2
1
1
2
1
1
1，1
)
2
2
1
)
1
2
したがって、 (
3
.
1
) より N1(
2，
0，
0
)二 dim(T(2，
0，
0
)
)十 1二 7となる。また、この変
数空間は次のように記述される:
υ
Xj，'
j，
Z1，
U，
V
>2 (
j= 1，
2
)，
(
6
.
1
)
1
1
zi+uf+zf-Z1UIZ1二 z
i十 d十 I
t
r
(1
)
2
2
)
12-X2め I
t
r(
1
)
2A2)1
<0，
む
￨(B2A2)￨=
71
ー
ヤ1 YX1Y1Z1一
î-4L~V
2
(
X
rトd十 z
[
)
+
4
y
V仰 向 一 (U 十 日 + イ ) 十 4
十2(X1U 十 Y1V)-
ただし、
Xj
(
6
.
2
)
り
)
}>2，
Z1(Y1U 十 X1
(
6
.
3
)
1
1
1
11
=j
t
r
(
1
1
)
¥，約二 I
t
r
(1
)
j
)
1(
j= 1，
2
)，
z1 = 1
七
r
(1
)1
1
1
d，¥ U 二 I
t
r
(1
)
2
2
)1そ
j
してり二￨七r
(1
)
2A21
)
11)1 とする。
口
定理 6
.
1の証明の概略:
O，
O
) が、定理で述べた長さ変数で唯一に実解析的に決まる
適当に正規化したI;(2，
ことを示せばよい。正規化を、 1
11，1
)1 f
こ関係する三点を指定して行う。
1
1
j，
1
)
j
，
C
j
1
)(
j= 1
，
2
)が (
1，
0，
1
)型標準生成元系となることが、ブック
I
;j :=(
ス群の結合定理より示せる。
まず、 1
11，
1
)1 は X1，
Y1，
Z1 で唯一に実解析的に決まるこ止が、この正規化と定理
5
.
1より分かる。また、一次変換の幾何を調べることで、1)21
1
2 は A1，
1
)
1 と叫りで
t
r
(1
)
2
1
1
2
)1は (
6
.
3
) を満たすことが示せる(この部分が
唯一に実解析的に決まり、 j
1
1
.
1より I
t
r
(1
)
2
2
)
1 と X2，
めからおは共役を除
証明の鍵になる)。よって、定理 5
いて実解析的に決まる。さらに、 1
)
2A2 と C2(
二 C1
"l) の不動点がすで、に定まってい
1
1
)
2 が唯一に実解析的に決まることになる。
ることから、おつまり 1
2，
O，
O
)が (
2，
0，
0
)型標準生成元系であることと、I;j (
j=1，
2
)が
変数空間は、 i
I
;(2，
(
1ヲ0，1
)型標準生成元系で C2 ニ Cf1 となることが同値 1 となることから示される。
t
r
(
C
)
jの条件より得られる。
特に、 (
6
.
2
)は I
t
r
(
C
)
1二 j
2
1
33-
口
次に、角度変数による T
(2，
0，
0
)の座標付けについて考える
A
j，
B
j，
B
j
A
jの軸からできる三角形の三内角を図 5
.
1のような θ(
A
j
)，
D
(
B
)土
j
(
B
j
A
j
)にする (
j= 1，
2
)。また、 AjkBjの軸の交点を P
jJ
:
:
:
し
、 苅
2(丸
2
叩
2
ρ
0，刈が表現
ω
S
ξ する)へ射影した点を q
町
J 左する(匂
j= 1，
幻
2
)
は種
する標識付付-きリ一マン面 (
y
p
e
r
e
l
l
i
p
t
i
ci
n
v
o
l
u
七i
o
n (J とする)を持つ
数 2のコンパクト・リーマン面より、 h
このとき、次の補題が得られる。
O
。
0
s
O
Lemma6.2 q1 と q2 を通る測地線と C1 の軸の射影は、ともに Jで不変な単純
閉測地線となる。さらに、これらのこつの閉測地線は二回交わり、二交点での交角
は J でうつりあい、角度は等しくなる。
口
12)-1J
11B1 の軸の射影が
実際、 (B
2J
主張が示せる。
μ を補題で述べた角度とする。
ql
左 q2 を通る単純閉測地線となり、補題の
p~( 側( (弘んγ
I内(
1
)
)
図 6
.
1
34
これらから、次の定理が得られる。
Theorem6.3 (Okumura[
1
8
]
)T(2，
0，
0
)は 7個の角度変数 O
(
A
j
)，O
(
B
j
)，O(BjAj)
(
j=1，
2
)と μ による大域実解析座標を持つ。ゆえに、 N2(
2，
0，
0
)三 dim(T(2，
0，
0
)
)十
1ニ 7となる。また、この変数空間は次のように記述される:
。
(
A
j
)，O
(
B
j
)，O(BjAj)，μ
ε(0，π)
(
j= 1
，
2
)
(
6.
4
)
ヲ
O(A
)+O(B
)十 O(BjAj)<π(j 1
，
2
)，
j
j
(
6
.
5
)
二
~(O(A1) ， O(B1) タ (B 1 Ar)) 二 ~(O(Aふ O(B2 ) ， O(B2 A 2 ))
>1
.
(
6
.
6
)
口
定理 6
.
3の証明の概略:
幾何的に説明しよう。
任意の (
2，
0，
0
)型標識付きリーマン面 S は C1 の軸の射影 (1単純分割閉測地線J
となる)で分割する左、境界の長さが等しいこつの (
1，
0，
1
)型標識付きリーマン面
のニールセン核ができる。逆に、境界の長さが等しい任意の二つのニールセン核を
2，
0，
0
)型標識付きリーマン面が得られる。
境界で貼り合わせることで、 (
.4より (
6.
4
)
， (6.5) と ~(O(Aj) ， O
(
B
j
)，
O
(
B
j
A
j
)
)>1
三つのニーノレセン核は、定理 5
を満たす O(A
)
，O
(
B
j
)，O(BjAj)，(
j= 1，
2
) で実解析的 i
こ決まる。二つのニールセ
j
ン核の境界の長さが等しいことは、 (
6
.
6
)と同値になることが示せる。また、二つの
ニールセン核の貼り合わせ方は μ で指定できるこ土も示せる。さらに、角度変数の
構成の仕方から、 μ は他の六つの角度変数と独立に (
0，
π
)の任意の値をとれること
2，
0，
0
)型標識付きリーマン面を
も分かる。このようにして、 7個の角度変数から、 (
実解析的に構成できることが示せ、変数空間も得られる。
Okumura[
1
8
]では、ブックス群で議論し、結合定理等を用いて証明している。
口
以下、 T(2，
00
)の座標付けで用いた長さ変数と角度変数の性質を見ていく
ヲ
O
(
1，0，1
)型の場合と同様に、 Aj，Bjと BjAjの軸の射影は Sの h
y
e
r
e
l
l
i
p
t
i
ci
n
v
o
l
u
t
i
o
nJで不変な単純閉測地線となり、 S上に二つの合￨司な三角形を決める。これらの
j，
A
j
l
/
2
(
町)と B
J
/
2
(
p
j
)
三角形は Jでうつりあう。特に、三角形の三頂点、つまり、 P
の射影は Jの不動点左なる。よって、 6点 的 ?Af
勺Pj) と BJ勺Pj)(
j= 1，
2
)の射
影が、 S のワイエルシュトラス点となる。
一次変換の幾何を調べることで、
1
山 七1
(B2A2A1)
ax(B
A2
A1
)= L((B
A1
)
1B~/"(P1) ， P2) ，
2
1
2
J(/ n
A¥-1n
1
1
2(
二 d((B 1 A 1 )-1 Bi/
P
1
)，
P
2
)，
1
も1
(B
A2
B1)11A
1
/
2
1
a
x
(B2
A2
B1
) 二 L(A~1/2(P1) ， P
2
)
2
二 d(A~lβ (P1) ， P
2
)
J
円
D
﹁
が分かり、 B
2A2Al'B2
A2
B1-1 の軸の射影も Jで不変な単純閉測地線であるこ左が
示される。また、定理 6
.
3で述べた角度変数は各々 S上の二つの交角に対応し、 J
でうつりあう(図 6
.
2を参照せよ)。これらから、次のことが分かる:
-長さ変数は S のワイエルシュトラス点から決まる 7つの単純閉測地線の長さ
になる。
・角度変数は S のワイエルシュトラス点から決まる 6つの交角と μ になる。
定理 6
.
3の証明で見たように、二つの (
1，
0，
1
)型標識付きリーマン面のニーノレセン
核を貼り合わせる方法として、 μ を導入した。 μ はフェンチエル 二一ルセンねじ
れ変数に対応している。
a
(
2，
0，
0
)型の場合にも、長さ変数と角度変数は Jの不変量となる。
f"~峨仇))
r
t
(
1
似{吋り)
r(CllC(B~))
t
"
36-
。
(
8
)
1
、
、
I
I
。(~)
b~(A8) ~\
図 6
.
2
7 一次変換の幾何とトレース不等式
前節まで、フックス群の標準生成元系を考えてきたが、これは各生成元に「作
用 j の方向と不動点の「位置関係 j の条件を与えたもの Eいえる。筆者 l
士、双由平
Y，
Z が ZyX = i
dentuyを満たしてし 1 る土き、こ
面に作用する三つの一次変換 X，
れらの「作用 j の方向と不動点の「位置関係 j が X，
Y の行列表現 X，
Y のトレー
ス関数
t
r
(
X
)む (
Y
)む (
Y
X
)，
tr(y-lx-lyX) -2
の符号で判定できることを示した。これらの関数値は、
よらないことに注意せよ。
X，
Y の行列表現の取り方に
Y
， Zがすべて双曲型変換になる場合の結果のみを述べよう
この節では、 X，
の定理では、不動点の位置関係を軸の配置で説明している。
G
次
Theorem7
.1 (Okumura[
1
6
]
)X，
Y，
Z を双曲平面 l
こ作用する三つの双曲型変換と
X=i
d
e
n
t
i
t
yを満たしているとする。この左き、三つの軸 a
x
(
X
)，
a
x
(
Y
)，
a
x
(
Z
)
し
、 ZY
の配置は次のどれかとなる:
37-
(
α
)三つの軸は互いに素となる。
(
b
)三つの軸は平行(つまり、三つが境界の一点でのみ接する)、または、三つが
一致する。
(
c
)三つは一点で交わらないが、二つどうしが交わり、一つの三角形を決定する
これから、二つの軸が互いに素、平行、一致、または、交わるなら、三つの軸も同
じ状況になる。また、三つの軸の向きは図 7
.
1のようになる。さらに、 X，
Y の任意
Y とすると、三つの軸の配置がトレース関数で次のように特徴付
の行列表現を X，
O
けられる:
(
α
1
){
:
}t
r
(
X
)七r
(
Y
)七r
(
Y
X
)<0，
(
α
2
)り な (
X
)む (
Y
)七r
(
Y
X)>0
，t
r
(
y
1X-1
YX
)-2>0
，
1
(
b
)特 t
r
(
X
)t
r
(
Y
)t
r
(
Y
X)>0
，t
r
(
y
1X-YX
)-2=0
，
(
c
) 仲 仕(
X
)t
r
(
Y
)む (
Y
X
)>0，t
r
(
y
1
X
1
y
X
)-2<O
.
口
Remark7.2 (
α
1
)の場合には、
七r
(
y
1
x
1
y
X
)>18.
口
Y
Y
zz
X
X
U
(
a
l
)
v
(
a
z
)
v
vx
X
、‘，，，，
，，‘、
L
u
r
Y
(
c
)
図 7
.
1 単位円板の場合。ただし、 (U
，
V，
W)は X，
Y，
Z の任意の順列とする。
-38
8 持ち上げ問題と単純分割閉曲線の特徴付け
一次変換群 M(e)は
、 SL(2，
C)/{土I
}と表されるように、 SL(2，
C
)の射影とい
われる。この対応関係により、多くの概念が SL(2，
C)から M(C)に誘導されてい
る。例えば、一次変換のトレースや M(e) の位相がある。一次変換 gの二つの行
列表現は g の二つの持ち上げともいわれる。
タイヒミュラー空間の座標付けを考察中に、 M(e)の部分群 G の持ち上げ問題
を思いついた。これは、 fCの各元にたいし、二つの行列表現(持ち上げ)の一方を
上手に選ぶ在、これら全体が G と同型な行列群になるかJ ~しづ問題である。でき
るとき、 G は持ち上げ可能といわれる。この問題は 20世紀初めから、多くの人達
により考察されている有名な問題であることが分かつた。例えば、 Kra[
1
0
]を参照
せよ。
G がブックス群の場合には、次のような結果が得られている。
Theorem8
.1
(
C
u
l
l
e
r[
1
，] Kra[
1
0
，] Okumura[
1
6
，] e
t
c
.
) 有限生成フックス群に
たいしては、持ち上げ可能であるこ止と、位数 2の楕円型変換を含まないことは同
{直となる。
口
明らかに、群の生成元の持ち上げを指定することで、群の持ち上げは決定され
る。楕円型や放物型変換が含まれているブックス群の場合にも、標準生成元系は定
義される(例えば、 Okumura[
1
2
]を参照)。この標準生成元系に注目すると、次の
ことが示せる:
-群の持ち上げの取り方によらず、楕円型変換の像は唯ーとなる。特に、標準生
成元系の楕円型生成元はトレースが負の行列表現にうつる。
・一般には、群の持ち上げを取りかえると、放物型変換の像は変化する。
このように群を持ち上げる際、楕円型変換は制限を受ける。楕円型変換と放物型変
換を区別するために、次の定義を導入する。
Definition8
.2 ブックス群 G は、種数 gで γ 個の分岐点を持つコンパクト・リー
g，
T，
s，
m)
マン面から S 個の点と m 個の閉円板を除いて得られる面を表現するとき、 (
型といわれる。また、このようなリーマン面も (
g，
円s
，
m)型といわれる。
口
ブックス群の生成元の持ち上がり方を調べることで、次の結果がただちに得ら
れる。
-39
Theorem8.3 (Okumura[
1
6
]
) G を位数 2の楕円型変換を含まない有限生成ブッ
クス群左する。このとき、 G の持ち上げの個数は、
2g
個
、
(
i
)
Gが (
g，
T，
O
，
O
)型のとき、 2
(
i
i
)
Gが (
g，
T，
s
，
m)型 (
s十 m 三 1
)のとき、 22g十 十m-1 個
、
となる。
S
口
持ち上げの性質を調べている
E、リーマン面上の単純閉曲線が「分割している」
という位相的性質が、このリーマン面を表現するフックス群の解析的性質から判断
できることが分かつた。ただし、(連結な)曲面上の単純分割閉曲線とは、この曲面
を二つの連結集合に分け、境界成分または一点にホモトピックでない単純閉曲線の
ことである。
，
.
0
図 8
.
1 α1，
b
d1，
e
1以外は単純分割問曲線。
1，
結果を述べるために、いくつか設定を行う :8を双由型リーマン面とし、 L を S
上の閉曲線左する。 8 を表現する(任意の)ブックス群を G とする。ここで、 G が
持ち上げ可能、つまり、 S に分岐点があればその位数はすべて奇数左仮定する。ま
た
、 g
Lを L に対応する G の(任意の)元左する。
このとき、次の定理が得られる。
Theorem8.4 (Okumura[
1
6
]
) 8 をコンパクト Eする。このとき、 L が S 上の
Lの像は、 G の持ち上げの取り方によ
単純分割閉曲線なら、 G の持ち上げによる g
らず唯一で、 トレースが負の行列表現となる。
口
40
この定理は次のように述べるこ左もできる。
Corollary8
.5 (Okumura[
1
6
]
) S をコンパクトとする。このとき、 G の適当な
持ち上げにより、 g
Lが正のトレースを持つ行列表現にうつるなら、 L は単純分割閉
曲線でない。
口
次に、 Sがコンパクトでない場合を考える。このときには、期待に反し、次の主
張が成り立つ
O
Lemma8.6 (Okumura[
1
6
]
) Sを(仏 7・，
3
，
m)型 (3+mど 2
) 在する。このとき、
単純分割閉曲線のなかには、 G の適当な持ち上げにより、正のトレースを持つ行列
表現にうつるものがある。
口
しかし、コンパクトでない場合にも、次のように持ち上げを制限すると、コンパ
クトの場合と同じ主張が成り立つ
O
Theorem8
.7 (Okumura[
1
6
]
) Sを (
g，
汽 3，
m)型 (
3十 m 三1)とする。 S のパ
ンクチャー土穴に対応する G の標準生成元系の生成元は S 十 m 個ある。これらの
生成元をすべて負のトレースを持つ行列表現にうっす G の持ち上げのみを考える。
2g
個ある。 G の持ち上げをこのように制限すると、定
このような G の持ち上げは 2
理 8.4と系 8
.
5の主張が成り立つ また、 G の持ち上げの制限をこれ以上緩和する
と、定理 8.4と系 8
.
5の主張は成り立たない。
O
口
参考文献
[
l
J M.Culler，Liftingrepresentationst
oc
o
v
e
r
i
n
gg
r
o
u
p
s Adv.i
nMath.，
5
9
(
1
9
8
6
)，
ヲ
6
4
7
0
.
r
o
j
e
c
t
i
v
es
t
r
u
c
t
u
r
e
sonRiemanns
u
r
f
a
c
e
s，Compos.Math.，
[
2
J G.F
a
l
t
i
n
g
sヲ Realp
4
8
(
1
9
8
3
)，
2
2
3
2
6
9
.
.F
r
i
c
k
eandF
.K
l
e
i
n，
V
o
r
l
e
s
u
n
g
e
nuberd
i
eT
h
e
o
r
i
ed
e
rautomorphenFu
出一
[
3
]R
t
i
o
n
e
n，
B
.G.Teubner，
L
e
i
p
z
i
g，
1
9
2
6
.
H
a
l
f
o
r
d
e
rd
i
旺e
r
e
n
t
i
a
l
sonRiemanns
u
r
f
a
c
e
s，
Acta
[
4
JN
.HawleyandM.S
c
h
i
f
f
e
r，
Math.，
1
1
5
(
1
9
6
6
)，
1
9
9
2
3
6
.
一
← 41-
[
5
]L
.Keen，
I
n
t
r
i
n
s
i
cmodulionRiemanns
u
r
f
a
c
e
s，
Ann.o
fMath.，
8
4
(
1
9
6
6
)，
4
0
4
4
2
0
.
r
i
c
k
emoduli，
i
nAdvar
悶 s
i
nt
h
eTheoryo
fRiemannS
u
r
f
a
c
e
s，
(
e
d
.
[
6
]L
.Keen OnF
L
.V.A
h
l
f
o
r
se
ta
l
.
)
， Ann.Math.Studies66，PrincetonUniv.Press，
P
r
i
n
c
e
t
o
n，
N
.J
.，
1
9
7
1，
2
0
5
2
2
4
.
ヲ
可
[L
.Keen，
Ac
o
r
r
e
c
t
i
o
nt
o"OnF
r
i
c
k
emod
凶
"
， Proc.Amer
.Math.S
o
c
.，
4
0
(
1
9
7
3
)，
6
0
6
2
.
o
rT
e
i
c
h
m
u
l
l
e
rs
p
a
c
e
s，Bul
.
lAmer
.
[
8
]L
. Keen，A roughfundamentaldomainf
Math.S
o
c
.，
8
3
(
1
9
7
7
)，
1
1
9
9
1
2
2
6
.
S
e
m
i
a
l
g
e
b
r
a
i
cd
e
s
c
r
i
p
t
i
o
no
fT
e
i
c
h
m
u
l
l
e
rs
p
a
c
e，
p
r
e
p
r
i
n
t
[
9
] Y.Komori，
[
1
0
]1
.Kra，Onl
i
f
t
i
時 o
fK
l
e
i
n
i
a
ng
r
o
u
p
st
oSL(2，
C)，
i
nD
i
f
f
e
r
e
凶a
lGeometryand
ComplexA
n
a
l
y
s
i
s(Ra
吋 1
，H.E
.MemorialVolume)，S
p
r
i
時 e
r
V
e
r
l
a
g，B
e
r
l
i
n，
I
l
e
i
d
e
l
b
e
r
g，
NewYork，
1
9
8
5，
1
8
1
1
9
3
.
h
ee
x
i
s
t
a
n
c
eo
fac
o
n
n
e
c
t
i
o
nwithc
u
r
v
a
t
u
r
ez
e
r
o，Comment.
[
1
1
]J
. Milnor，Ont
Math.I
le
l
v
e
七i
c
i，
3
2
(
1
9
5
8
)，
2
1
5
2
2
3
.
[
1
2
] Y.Okumura，
G
l
o
b
a
lr
e
a
la
n
a
l
y
t
i
cc
o
o
r
d
i
n
a
t
e
sf
o
rT
e
i
c
h
m
u
l
l
e
rs
p
a
c
e
s，
D
o
c
t
o
r
'
s
T
h
e
s
i
s，
KanazawaU
n
i
v
.，
Kanazawa，
1
9
8
9
.
On吐1
eg
l
o
b
a
lr
e
a
la
n
a
l
y
t
i
cc
o
o
r
d
i
n
a
t
e
sf
o
rTeichm
[
1
3
] Y.Okumura，
Math.S
o
c
.Japan，
42(
19
9
0
)，
9
1
1
01
.
[
1
4
] Y. Okumura，G
l
o
b
a
lr
e
a
lan叫r
t
i
c1
印 刷1parametersf
o
rT
e
i
c
h
m
u
l
l
e
rs
p
a
c
e
s，
I
I
i
roshimaMath.J
.，
2
6
(
1
9
9
6
)，
1
6
5
1
7
9
ロ
l
1
5
司
JY.Oku
mu
凹
Colloquium，
(
e
d
.1
.L
a
i
n
eandO
.M
a
r
t
i
o
)，
WalterdeG
r
u
y
t
e
r，
B
e
r
l
i
n，
NewYork，
1
9
9
6，
1
8
1
1
9
0
.
i
f
七i
時 p
roblemandac
l
日 a
c
t
e
r
i
z
a
t
i
o
no
fs
i
m
p
l
ed
i
v
i
d
i
n
gl
o
o
p
s
[
1
6
J Y.Okumura，L
onRiemanns
u
r
f
a
c
e
s，
(
J
a
p
a
n
e
s
e
)，
i
nA
n
a
l
y
s
i
so
fD
i
s
c
r
e
t
eGroups，
(
e
d
.Y.Okumura)，RIMSKokyuroku967，R
e
s
e
a
r
c
hI
n
s
t
i
t
l
山 f
o
rMathematicalS
c
i
e
n
c
e
s
KyotoU
n
i
v
. Kyoto，
1
9
9
6，
1
4
2
1
5
4
.
ヲ
G
l
o
b
a
lr
e
a
la
n
a
l
y
t
i
cl
e
n
g
t
hp
a
r
a
m
e
t
e
r
sanda
n
g
l
ep
a
r
a
m
e
t
e
r
sf
o
r
[
1
7
J Y.Okumura，
T
e
i
c
h
m
u
l
l
e
rs
p
a
c
e
s，D
o
c
t
o
r
'
sT
h
e
s
i
s，TokyoI
n
s
七i
t
u
t
eo
fTechnology
，Tokyo，
1
9
9
6
.
42-
[
1
8
] Y.Okumu
叫 G
l
o
b
a
lr
e
a
la
n
a
l
y
t
i
ca
n
g
l
ep
a
r
a
m
e
t
e
r
sf
o
rT
e
i
c
h
m
u
l
l
e
r叩 悶s
，J
.
4
9
(
1
9
9
7
)，
2
1
3
2
2
9
.
Math.S
o
c
.Japan，
[
1
9
] Y.Okumura，
G
l
o
b
a
lr
e
a
la
n
a
l
y
t
i
ca
n
g
l
ep
a
r
a
m
e
t
e
r
sf
o
rTeichmu
伽
i
np
r
e
p
a
r
a
t
i
o
n
.
s
p
a
c
e
sI
I，
[
2
0
] H.P
e
t
e
r
s
s
o
叫 Z
ura
n
a
l
y
t
i
s
c
h
e
nT
h
e
o
r
i
ed
e
rG
r
e
n
z
k
l
e
i
s
g
r叩 penI
I
I，
Math.Ann.ヲ
1
1
5
(
1
9
3
8
)，
5
1
8
5
7
2
[
2
1
]K
.S
a
i
t
o，A
l
g
e
b
r
a
i
cr
e
p
r
e
s
e
n
t
a
t
i
o
n
so
fT
e
i
伽
1
7
(
1
9
9
4
)，
6
0
9
6
2
6
u
1
1
e
rs
p
a
c
e，Kodai Ma
七h
.J
.，
. Schmutz，DieP
a
r
a
m
e
t
r
i
s
i
e
r
u
n
gd
e
sT
e
i
c
h
m
u
1
1
e
r
r
a
u
m
e
sdurchg
e
o
d
a
t
i
s
c
h
e
[
2
2
]P
Comment.Math.H
e
l
v
.，
6
8
(
1
9
9
3
)，
2
7
8
2
8
8
.
Langenfunktionen，
[
2
3
] M.SeppalaandT
.S
o
r
v
a
l
i，
0時 e
o
r
r
肥t
r
i
cp
a
r
a
m
e
t
r
i
z
a
t
i
o
no
fTeichmu
伽
Ann.Acad.S
c
i
.F
e
n
n
.S
e
r
.A 1Mathヲ 1
0
(
1
9
8
5
)，
5
1
5
5
2
6
s
p
a
c
e
sヲ
[
2
4
] M.Sepp
瓦l
品a
ndT
.S
o
r
v
a
l
iP
a
r
a
m
e
t
r
i
z
a
t
i
o
no
fMobiusg
r
o
u
p
sa
c
t
i
n
gi
nad
i
s
k，
Comment.Math.H
e
l
v
.，
6
1
(
1
9
8
6
)，
1
4
9
1
6
0
.
ヲ
[
2
5
] M.S
e
p
p
a
l
瓦a
ndT
.S
o
r
v
a
l
i，
P
a
r
a
m
e
t
r
i
z
a
t
i
o
no
fT
e
i
c
h
m
u
1
1
e
rs
p
a
c
e
sbyg
e
o
d
e
s
i
c
i
nHolomorphicFunc
七i
o
n
sandModuliI
I(
e
d
.D
.D
r
a
s
i
ne
tal
.
)
ヲ
l
e
n
g
t
hf
u
n
c
t
i
o
n
s，
Mathema
七i
c
a
lS
c
i
e
n
c
e
sR
e
s
e
a
r
c
hI
n
s
七i
t
u
t
eP
u
b
l
i
c
a
t
i
o
n
s1
1，S
p
r
i
n
g
e
r
V
e
r
l
a
g，
NewYork，
B
e
r
l
i
n，
H
e
i
d
e
l
b
e
r
g London，
P
a
r
i
s，
Tokyo 1988，
2
6
7
2
8
4
.
う
ヲ
[
2
6
] M.SeppalaandT
.S
o
r
v
a
l
i，官a
c
e
so
fcommutatorso
fMぬ i
u
st
r
a
n
s
f
o
r
m
a
t
i
o
n
s，
M抗 h
.S
c
a
n
d
.ヲ 6
8
(
1
9
9
1
)，
5
3
5
8
.
[
2
7
] M. Sepp瓦l
aandT
.S
o
r
v
a
l
i，Geometryo
fRiemannS
u
r
f
a
c
e
s刷
a
n
凶d1
i
耳
e
飢
加
i
加
i
c
凶
h
m
凶首
r
凶
世
i
副
凶
l
1
匂
a
c
e
町
，
町
S M
athematicsS
t
u
d
i
e
s1
6
9，Nor
吐1
H
o
1
1
a
n
d，Amsterdam，London，New
Sp配
Tokyo，
1
9
9
2
.
York，
.L
.S
i
e
g
e
l，Ubere
i
n
i
g
eUngreichungenb
e
iBewegungsgruppeni
nd
e
rn
i
c
h
[
2
8
]C
Math.Annヲ 1
3
3
(
1
9
5
7
)ヲ 1
2下 1
3
8
t
e
u
k
l
i
d
i
s
c
h
e
nEbene，
[
2
9
]S
.A.Wolpertヲ On吐1
es
y
m
p
l
e
c
t
i
cgeometryo
fd
e
f
o
r
m
a
t
i
o
n
so
fahyperbo
1
ic
An
n
.o
fMath. 1
1
7
(
1
9
8
3
)，
2
0
7
2
3
4
.
s
u
r
f
a
c
e，
ヲ
[
3
0
]S
.A.Wolpert，
G
e
o
d
e
s
i
cl
e
n
g
t
hf
u
n
c
t
i
o
n
sand七heN
i
e
l
s
e
nproblem，
J
.D
i
f
f
e
r
e
n
2
5
(
1
9
8
7
)，
2
7
5
2
9
6
.
t
i
a
lGeom.，
-43-
THE EXPONENT EXPANSION OF THEJONES
REPRESENTATION AND THE LO
羽 TER CENTRAL SERIES OF
THETORELLI GROUP OF GENUS 2
YASUSHIKASAHARA
I
nh
i
sfamouspaperonpolynomiali
n
v
a
r
i
a
n
t
so
fl
i
n
k
s，V.F.R.J
o
n
e
sh
a
sc
o
n
s
t
r
u
c
t
e
dar
e
p
r
e
s
e
n
t
a
t
i
o
no
ft
h
emappingc
l
a
s
sgroupo
ft
h
ec
l
o
s
e
ds
u
r
f
a
c
eo
fgenus
3
3
5
3
8
8
]
.I
ti
sal
i
n
e
a
rr
e
p
r
e
s
e
n
t
a
t
i
o
no
v
e
rt
h
ei
n
t
e
g
r
a
l
2[
A
n
n
.o
fMath. 1
2
6
(
1
9
8
7
)，
La
旧 e
n
tp
o
l
y
r
閉 山a
l
sZド
，
r1，] andcomesfromacertaingenericallyirreduciblecomy
p
eI
w
a
h
o
r
i
H
e
c
k
ea
l
g
e
b
r
ar
e
p
r
e
s
e
n
t
a
t
i
o
no
ft
h
e6
sもr
i
n
gb
r
a
i
d
ponento
ft
h
eA5t
g
r
o
u
p
.
I
nt
h
i
st
a
l
k，
wer
e
p
o
r
tonourc
o
n
t
i
n
u
i
n
gs
t
u
d
yo
f
t
h
i
sr
e
p
r
e
s
e
n
t叫 i
o
n
.Wec
o
n
s
i
d
e
r
as
e
r
i
e
so
fr
e
d
u
c
t
i
o
n
so
ft
h
eJo
n
e
sr
e
p
r
e
s
e
n
t
a
t
i
o
no
b
t
a
i
n
e
dbyu
s
i
n
gt
h
eT
a
y
l
o
r
ex
pansiono
ft二 exphandr
e
d
u
c
i
n
gt
h
ep
a
r七so
fd
e
g
r
e
e
sh
i
g
h
e
rthanag
i
v
e
no
n
e
.
Thek
t
hr
e
d
u
c
t
i
o
nv
a
n
i
s
h
e
sont
h
ek
t
h七ermo
ft
h
el
o
w
e
rc
e
n
t
r
a
ls
e
r
i
e
so
ft
h
eT
o
r
e
l
l
i
group，
andt
h
e
r
e
[
o
r
et
h
es
e
r
i
e
so
ft
h
eredudionsn
a
t
u
r
a
l
l
yi
n
d
u
c
e
sar
e
p
r
e
s
e
n
七a
t
i
o
n
o
ft
h
egradedq
u
o
t
i
e
n
t
so
ft
h
el
o
w
e
rc
e
n
t
r
a
ls
e
r
i
e
so
ft
h
eT
o
r
e
l
l
ig
r
o
u
p
.I
np
a
r
t
i
c
u
l
a
r，
t
h
e五r
sもn
o
n
t
r
i
v
i
a
lr
e
d
u
c
t
i
o
n，
upt
od
e
g
r
e
e1
，
g
i
v
e
sana
b
e
l
i
a
nq
u
o
t
i
e
n
to
f
t
h
eT
o
r
e
l
l
i
group，
andt
h
i
squo七l
e
n
もi
saZ
f
r
e
el
i
f
to
fo
u
rp
r
e
v
i
o
u
sq
u
o
t
i
e
n
t，
o
b
t
a
i
n
e
dbyu
s
i
n
g
t
h
es
p
e
c
i
a
l
i
z
a
t
i
o
nt=ゾ
二I
Kocl
I
l UNIVERSITY OF TECIINOI，
OGY，TOSAYAMADA，KOCl
I
l
， 782JAPAN
E-mailαd
d
r
e
s
s
:kasahara白ele.kochi-tech.丑 c.jp
-44-
量子逆元とブレイドモノドロミー
鎌田聖一
大阪市立大学理学部
2次元プレイドのプレイドモノドロミーの標準形を定義しようとするとき，つぎのよう
な問題が起こります.プレイドモノドロミーは局所モノドロミーの有限列で記述できます
が，この有限列はユニークではなく，ある種の基本変形を法にして定まるものです.この
基本変形にはプレイドの共役が現われますが，プレイドの標準形(たとえば G
a
r
s
i
d
e標準
形)は共役に関してうまく計算できません.
ところが昨年，松本幸夫先生が「量子逆元j という概念を提唱されました.点抜き球而
の写像類群において共役を求めるときに，最も初歩の段階で現われるものです.これはプ
レイドそノドロミーの基本変形に利用できると思い早速話に加わった次第です.
[量子逆元j の定義，性質，計算方法については，松本先生の原稿で説明されていると
思いますので，ここではプレイドモノドロミーとの関係について簡単に述べたいと思いま
す.なお，松木先生は，
r
量子逆元]を点抜き球面の写像類群で考えられていますが，プ
(
34).本質的にはまったく同じです.
レイド群でも定義ができます
1 プレイド
3
Dを 2次元円板とし ，K
二
{
Z
lγ
・
・
，
Zm}を D -δD上の m個の点集合とする.
θD上恒等写像かっ h(K) K をみたす同相写像 h:D→ D をプレイド写像 (
A
r
t
i
n
二
の同相写像)という.プレイド写像のイソトピ一同値類全体がつくる群を B
;n(DK)で
う
表す. (ただし
2つのプレイド写像の積(合成)は左側が先とみなす. )
TypesetbyAMS-T
J
'
芥
﹁
﹁υ
4
鎌田聖一
Iを l次元円板(線分)とする .D x1内に埋め込まれた 1次元多様体 β が
(
1
)p
T
2
¥β :s→ Iが被覆写像，
(
2
)
δs=KxθI
をみたすとき， β を ((
D，K)に関する)幾何的プレイドという. (ここでP
T1 や
P
T2
は D xIの各成分への射影を去す. ) 2つの箆何的プレイド s
1，s
2が同値とは，つぎを
t:D x1→ D x1(
tε[0，1
]
)が存在するときをいう.
みたす全同位 g
(
1
)g
l(
β
1
) s2
二
(
2
)各 g
tは D xθI上で恒等的.
(
3
)各 g
tはf
i
b
e
r
p
r
e
s
e
r
v
i
n
g (すなわち ，PT20 g
tニ 仇 oP
T
2
)
幾何的プレイドの同値類をプレイドという. (しばしばプレイドと代表元である幾何的プ
レイドは区別しないで用いられる. )プレイド全体がつくる群をプレイド群といい，
Bm(D，K)で表す .Bm(D，
K) と Bム
(D，K)には自然な同一視がある.
1次元円板 Iを 2次元円板 B におき直したものが， 2次元プレイドである .DxB
内に埋め込まれた 2次元多様体Fが
(
1
)PT2¥F:F-rBが分l
岐被覆写像，
(2)θF K xδB
二
のとき ，Fを (B
上の) 2次元プレイドという. 2つの 2次元プレイド F
1
'F2が同値と
は，つぎをみたす全同位 g
t
:D
xB → D xB (
tι[0，1
]
)が存在するときをいう.
(
1
) gl(F
2
1)=F
(
2
)各 g
tは D xθB上で恒等的.
(
3
)各 自 はf
i
b
e
r
p
r
e
s
e
r
v
i
n
g (すなわち ，PT20 g
t二 g
t0 P
T
2
)
(B上の) 2次元プレイドの同値類全体を Bm(B)で表す.
2プ レ イ ド モ ノ ド ロ ミ ー
3
3 を連結な 2次 元 多 様 体 ，2:;二 {
Y
1，• ・・ ， Y
n
} を S θS内の
する.基点的を
η
個の点集合と
5-2:;にとる.基本群 π1(
5-2
:
;
，Y
o
) からある群 G への準同
型 f:π
1(5-2
:
;
，υ
0
)→ G を
(
5，2:;)上の Gモノドロミーという.
-46-
量子逆元とプレイドモノドロミー
G カ宝対称群(または置換群)のとき普通の意味でのモノドロミーであり ，G がプレイド
~I!fのときプレイドモノドロミーという.
C を cp2内の代数曲線とする.射影 P:Cp2-0 → Cplが C について一
例1.
般的になるように点 O を Cp2-C にとる.つまり ，P の制限写像 p:C→ Cplは分
l
i
皮被覆写像. :
E
'
を
U の特異点集合，:Eを Cp1での像とする.このとき
p
ρ:π1(CPl-:
E
，Y
O
)→ Bn(p-l(YO)，
p-l(υ
o
)
)
/
c
e
n
t
e
r
は，プレイドモノドロミーである.ただし，この場合は本来の円板上のプレイド群でなく，
「開円板上のプレイド群j である.座標をうまくとって ，Cp1
二
CU{∞}について，普
通のプレイドモノドロミー
ρ:町 (C-:
E
，Y
O
)→ Bn(p-l(
Y
O
)，
p-l(
υ
0
)
)rv Bn(D，K)
を考えることができる. (最後の同型は自然なものではない. )
.
例2
F を D x B内の 2次元プレイドとする.定義より ，P
二
p
r
2:D xB → B
の制限 p:F→ B は分岐被覆写像. :
E
'
を F の特異点集合，:Eを B での像とする.
p:πl(B- :
E
，y
o
)→ Bn(p-l(
y
o
)，
p-l(
Y
o
)
)
はプレイドモノドロミーである.とくに ，Y
oを θB上にとれば，
p:πl(B:
E
，Y
o
)→ Bn(D，K)
を得る.
f:1r1(B- :
E
，y
o
)→
が
(
B，:E) についての
各市
G を (B，
:
E
) 上の Gモ ノ ド ロ ミ ー と す る .γ1，.
・
・
， γn
Hurwitza
r
csystem(goodo
r
d
e
r
e
dsystemo
fa
r
c
s
) とは，
(
i 1，.
・
・?
η
)は B 上の単純弧であり，:Eとの交わりはその 1つの端点で，もう
二
一つの端点は υ
0，そして，仰のまわりでは γ1，.
・
・ 7γnがこの順番で現わているもので
る.このような Hu
r
w
i
t
za
r
csystemは基本群町 (B-:E，仰)の生成元の列 Hurwitz
g
e
n
e
r
a
t
o
rsystem(goodorderedsystemo
fg
e
n
e
r
a
t
o
r
s
)を定める.この生成元の列
-47-
鎌田聖一
に fでの値を対応させて， G の元からなる有￨現列 (
g
lγ
a
r
csystem
・
・
，
g
n
)を得る.これと Hurwitz
の情報があれば，完全にもとの G モノドロミ ~f が復元できる.
基本変形とは
tg
g
it
tg
i十 1， g
i十 IHgjJ1gzgi
十 1， g
jt
j
)
c
iヂi，i+1
またはこの逆操作のことである.このような基本変形を有限回繰り返しても Gモノドロ
ミーは同値である.これは H
urwitza
r
csystemのとり方の差に対応する.
仮に
G の各元に標準形が定義されていても，共役元について標準形が直ちに計算でき
なければ役に立たないのである.
3 重 み 何 き 単 純 弧 の RACK
3
D を 2次元円板， K={ZIr・・ ，Z
m} を D-δD上の m 個の点集合とする.
D -θD上の単純弧 α で αn K =θ
α となるようなものを考える .α に「重み j がつ
いているとは，ある Oでない整数(重み)が指定されていることである.このような
「重み j がついた単純弧 α全体を A(D
K) とする .A(D，K)をイソトピ一同値なも
，
ので割った集合を
A(D，K) とする .A(D，K)の元 α =(
[
α，] η，)に対して， η>0
(η<0
) なら正の向き(負の向き)に α にそってディスクツイストを η 回
(-n回)
合成した写像を対応させて，写像
n
:
A:A(D，
K)→ B (D，
K)
が定まる .A(D
K)の 元 民 bに対して ，A(D，K)の元
，
αb をつぎの様に定める.
(
b
)
lA
A(ab)= A
(
α)
A
(
b
)
これにより ，A(D
K)には Rackの構造が入る .A(D，K)の部分集合で重みが η である
，
ものを
なので
例1.
An(D，K) と表すと， αε An(D，K)，bE A(D，K)に対し， αb E An(D，K)
An(D，K)は「正規部分RackJ である.
代数曲線のプレイドモノドロミーにおいて，局所モノドロミーは
(ηε{1，
}
) の元である .η
2，3
二
An(D，K)
1のとき，局所モノドロミーは branchp
o
i
n
tの
48-
量子逆元とプレイドモノドロミー
odeに対応し ，n=3のとき，
まわりの局所モノドロミーである .n=2のとき， n
c
u
s
pに対応する.
.
例2
F を[単純J2次元プレイドと仮定する.このとき，プレイドモノドロミーの
K
)(
ηε{1，-1}) の元である.また，ここでは定義を
局所モノドロミーは An(D，
与えないが「単純特異 J2次元プレイドのときには，局所モノドロミーは An(D，
K)
(
nε{1，2，-1，-2}) の元である.
K)
これらの例では ，An(D，
(
ηε{1，2
ぅ3
，-1，2
}
) の元ついてのみ標準形を定義
ackの作用を求めれば十分である.
し，そこでの R
3
4Al(D，K)と 量 子 逆 元
Al(D，K)のなかでも端点が Zl，Z
2であるものを A{12}(D，K)で表す.(D，K)に関
して H
urwizta
r
csystemγ1ぅ
・
・
・?
γ
η を固定する. (ただし， θ市 二 {
Z
i
'z
O
}
' 基点 Z
o
は θD上にとる. )
systemを
Xl，
・
・
・
またこれに付随した πl
(D-K，z
o
)の Hurwitzg
e
n
e
r
a
t
o
r
πl(D-K，z
，
Xm とする .
o
)は自由群 F(Xl，・
・
・
ぅ Xm)である.
α =(
[
叫
，1
)
ε A{12}(D，K)に対して， α に Z
2から
Zl に向かう向きをいれると約束す
れば，両側剰余類
1
α
l
ε (X2)¥F(Xl，・・・ヲ Xm)/(Xl)
が定まる.つまり，
A{ロ}(D，
K)→ (
X
2
)¥F(Xlγ ・，
.Xm)/(Xl)
が定義できる.さらに
Xl が生成する正規部分群で、割って，
p:A{
1以D，
K
)ー--t (X2)¥F(X2，・
・
・
ぅX
m)
を得る.
定理.
写像 p:
A{12}(D，K)→ (
X
2
)¥F(X2γ ・
・
ぅ Xm)は全単射である.
49
鎌田聖一
Zl
と
Z2
を端点とし， Hu
r
w
i
z
ta
r
csystemγ1，
・
・
・
， γn とは端点のみで交わるよう
な D 上の単純弧を α
12 とする . α =(
[
α，
]1
)
ε A{12}(D，K)に対して， α を α12に
そって正のディスクツイストをおこない得られた単純弧を
T:A
{12}(D，
K)→
T
(α
) と表し，
A{12}(D，
K)
を
T
(
[
α
，] 1
)ニ (
[
T
(α
)
，] 1
)
により定義する.このとき， p
re-quantumi
n
v
e
r
s
emap
Ipre:
が
Ipre 二
(
X
2
)¥F(X2，・
・
・，
Xm)→ (
X
2
)¥F(X2γ ・
・，
Xm)
pOTOρ
-1 により得られる.
X
2に関する指数和を保つように調整して， quantumi
n
v
e
r
s
emap1が定義される.
5まとめと課題
3
3
4に述べたように A{12}(D，K
)の元については標準形が得られました.さらに，
A{12}(D，K)の元による共役は quantumi
n
v
e
r
s
emap1を用いて再び標準形にできま
す. しかし一般の場合 (An(D，
K)) はさらに工夫が必要になります .A1
(Dヲ K)の場合
も代数的に計算する方法が見つかりましたがまだ実用的ではありません.今後の課題です.
最後に 2次元プレイドと松本先生が研究されているレフシェツ・ファイパー空間の関係
ですが， d
e
g
r
e
e2
η，の 2次元プレイドにおいてファイバーを球面に拡張し，また底空間を
2 次元円板 B でなくリーマン面 S とします.この 2 重分Ji皮被覆は，極数が η~
-1のリー
マン面をファイパーにもつ S上のレフシェツ・ファイパー空間になります.もちろんすべ
てのレフシェツ・ファイパー空間がこのようにして得られる訳ではありません.逆に
2
次元プレイドには d
e
g
r
e
eが奇数のものがあり，レフシェツ・ファイパー空間を対合写像
で割る方法でこれらを得ることはできません. 2次元プレイドとレフシェツ・ファイパー
空間の共通部分は重要な，美しいクラスのようですが，よくわかっていません.
また 2次元プレイドの定義の θFの条件を自明なプレイドから 1回ひねりのプレイドに
変更すれば，Cp2の中の 2次元フ守レイドが定義できます.これは代数曲線の拡張になって
います.
←
5
0
量子逆元とプレイドモノドロミー
REFERENCES
[
1
]
E
.Artin，Theoryofb
r
a
i
d
s，Ann.ofMath.48(
1
9
4
7
)，101-126.
[
2
]
1
. Bersteinand A. L
. Edmonds，Ont
h
ec
o
n
s
t
r
u
c
t
i
o
no
fbranched c
o
v
e
r
i
n
g
s of1
0初 日
dimensionalmanifolds，
Tra
n
s
.Amer
.Math.S
o
c
.247(
1
9
7
9
)，
87-124.
[
3
]
1
.BersteinandA.L
.Edmonds，Ont
h
ec
l
a
s
s
i
f
i
c
a
t
i
o
no
fg
e
n
e
r
i
cbranchedc
o
v
e
r
i
n
g
so
f
5町 f
αc
e
s，I
l
li
n
o
i
sJ
.Math.28(
1
9
8
4
)，6
4
8
2
.
[
4
]
J
.S
.Birman，Onb
r
a
i
dgTOUpS，Commun.PureApp1
.Math.22(
1
9
6
9
)，41-72
[
5
]
J
.S
.Birman，Mα，
ppingc
lα
s
sgroups，Commun.PureApp1
.Math.22(
1
9
6
9
)，213-238.
[
6
]
J
.S
.Birman，Bra
叶雪 ，l
i
n
k
s，andm叩 pingc
lα
S
SgTOUpS，Ann.Math.Studies82，P
r
i
n
c
e
tonUniv.Press，Princeton，N.J.，1
9
7
4
.
[
可
7
R.Fen
叫
n
1，
C
.Ro旧 k鳥
e，
Rαc
k
sα
ηd1
肌 k
s叩
1(
1
9
9
2
)，343-406.
[
8
]
K.Habiro，S
.Kamada，andY.Matsumoto，準備中.
[
凹
同
叫
9
S.K
‘
王
C
凶
匂
a
出
a
mada，Onb
問
r
α
，
Zdmor
η
wd問
r
o
，
J
】 m
Phi
日
1
.S
o
c
.120(
1
9
9
6
)，
237-245.
，J
.KnotTheoryRami
泊
五c
ation
Cω
o
出
d
4
叩
η
m
e
叩η
swηt
ω
仰 0
“
[
1
0
] S
.Kamada，Surt
αc
e
sin4
s
pαc
e
:A v
i問 。'
fn
o
r
r
n
a
lformsαndb
r
a
i
d
i
n
g
s，Lecturesa
t
e
d
.S
.Suzuki)，WorldS
c
i
e
n
t
i
f
i
cP山 l
i
s
h
i
n
gCo
，・ 1997，pp.39-71
.
Knots96(
[
1
1
] Y.Matsumoto，写像類群の共役公式と[量子逆元J，研究集会報告集「結び目理論と
様々な数学の絡み J (1996年 12月大阪市立大学文化交流センター) ，1997年 2月.
[
1
2
] Y. Matsumoto，On quantum i
n
v
e
r
s
ei
n αf
r
e
e gTOUp，The Proceedings ofthe f
i
f
t
h
nTaejon，Korea，1997，t
oappea
r
.
Korea-JapanSchoolo
fKnotsandLinks，heldi
[
1
3
] B. G.Moishezon，S
t
a
b
l
ebranchc
u
r
v
e
sαndb
r
a
i
dmonodTOmies，AlgebraicGeometry
，
L
e
c
t
.Notesi
nMath.862，1981，
pp.1
0
7
1
9
2
.
.R凶 olph，A
l
g
e
b
r
a
i
cfunctionsαndc
l
o
s
e
db
r
α
，i
d
s，Topology22(
1
9
8
3
)，1
9
1
2
0
2
.
[
1
4
] L
.Rudolph，Braidedsurf
αc
e
s andSe
ザatr
i
b
b
o
n
sforc
o
s
e
db
r
α
，
i
d
s，Comment.Math.
[
1
5
] L
Helv.58(
1
9
8
3
)，1
3
7
.
. Rudolph，Somet
o
p
o
l
o
g
i
c
a
l
l
yl
o
c
a
l
l
y
f
i
a
ts
u
r
f
a
c
e
si
nt
h
e complexp
T
O
j
e
c
t
i
田 p
lane，
[
1
6
] L
Comment.Math.H
e
l
v
.59(
1
9
8
4
)，
5
9
2
5
9
9
.
.Rudolph，
S
p
e
c
i
a
lp
o
s
i
t
i
o
n
sfors
町 f
a
c
e
sboundedb
yc
l
o
s
e
dbmids，
Rev.Mat.Iberoamer[
1
7
] L
icana1(
1
9
8
5
)，
9
3
1
3
3
.
-51
極 数 2の曲線族から得られる周期写像
K0MATUMakoto (小松信) e
m
a
i
l
:[email protected]
c
.
j
概要
A
，1型 c
u
r
v
es
i
n
g
u
l
a
r
i
t
yの変形のパラメータ空間の C*-bundleとしての構造を、
周期写像を使うとと K より解明する。(まだ出来ていない。)
1 Introduction.
F(x，
y，
t
):=_y2十 25十 t
x3十 t
3x2十 t
t
5，
4x十 "
2
~二 {(x ， y，
t
)ε C2 X SI
F(町 仏 t
)二 O
}ヲ
4
S二 SA1:
二C(
ヨt二 (
t
2
't
t
i5
))
4，
3，
とおく
o
-仕 A4型 c
u
r
v
es
i
n
g
u
l
a
r
i
t
yy2二 x5の v
e
r
s
a
ld
e
f
o
r
m
a
t
i
o
n (略して変形)の空間、
Sはそのパヲメータ空間と呼ばれる o -及び S Kは
入
・
(
x，
y，
t):=(入2Xヲ入5Uヲ入・ t
)ヲ
入
・ t:
二(入 4
入8
入1
0t
5)
t
2ぅ入6
t
3，
t
4，
入
( εC*)
によって C
*
a
c
t
i
o
n が定義される。との作用により Sは広義の C*-bundle (の全空間) t.見
在される O 我々の目標仕との C
*-bundleの正体をも Eめると Eである。つまり次の問題(及び
4
.
2
)
) を考える。
後述の問題 (
1
.1 (問題) A4型 curvεs
i
n
g
u
l
a
r
i
t
yの変形のパフメ←夕空間の C九 bundlet.しての構造を
解明ぜよ O
他の An型 c
u
r
v
es
i
n
g
u
l
a
r
i
t
yK閲してはん型(自明)、 A2型(楕円 modular形式)の場合
だけ知られている O モζ で非自明な例つまり A2型の Eきの話の真似をして A4型 の 場 合 を 調
べるととにする o nが奇数(三 3
) の止きの An型仕 A2型のときの話を単純に真似できない事
情があり、どうしたらいいのかわからない。また更に別の特異点 K対してもとの問題はあるの
だが私は知らない o
A2型のときに仕周期I
c
f
.
(
2
.
1
)
)
写像を使って保型形式の枠組をあてはめた (
次節でその枠組を説明する O
2 保型形式の枠組
複素多様体 X K
群 G が不連続に作用していて、更に X 上の G K
関する保型因子 jが与え
られれば保型形式というものを考えると Eが出来る O ととろで X K Gが作用しているとき次
のふたつ
e 保型因 子 jを与える ζ と
、
G
l
C*x Xへの G の作用を p
r
o
j
e
c
t
i
o
nmapC*xX → X t
.e
q
u
i
v
a
r
i
a
n
tt
仁左るように、
かっ C
"
¥
a
c
t
i
o
nと可換に在るよう K与えるとと、
0
Fhd
qtu
仕同じととである o (
jが与えられたとき、 C*xX への G の作用は
σ:(入バ)ー(j(σJ)-kσ (
x)
)
K よって定義する o )とのとき関数 fεO(C
xX)が G不変だとすると、
本
z
(
"
1
σεG，V
x
εX
)
J'
二
1i
f
ζ ζ で更
，
.
、
〆，，、、
f
(
j
(σ，
X
)
l
ヲ
入 σ(
x
)
)=f
(入，x)，
が成り立つ。よって、
σ
( モG)
vcfεO(X)[
入
，
入1
]だとすると、との fを
(wherefkεO(X))
入k
f
k (
f
i
n
i
t
esum)
kεZ
左表示すると、
Lj(σ，
X)-k).kf(σ(
x
)
)=玄
入 kfk
より
f
k
(σ(
x
)
)= j
(
σ ヲx)kfk(x)
(
"
1
σεG，
VxεX，
V
k
)
が得られる O つまり、粗く言うと大体
I
X上の (G，j)保型形式副竺 ￨C x
X上の G 不変式環￨竺 ￨
(
C
*x
X)jG上の関数環 I
(
2
)
ネ
と見在せる O 空間 Y が或る C*-bundleの全空間のときとの Yvc
対し
Y竺
(
C
*xX)jG
(
3
)
と見倣ぜるような X、 G を与えるととが出来れば、そとで得られる jは Y の変換関数系を去
す。そして Y v
ca
s
s
o
c
i
a
t
eする l
i
n
eb
u
n
c
l
l
eの切断仕 X 上の (G，
j
)一保型形式左見在される。
2
.
1 (
例) A2型 (y2=4x3-g
2x-g
3
) の場合
2
との場合、 SA2 :
二 C 、 DA2:二 {g ι SA2Ig~ -2791ニ O
}、 Y:=SA2-DA2 とおく。
への Cに αc
t
i
o
n仕、入:g
iI→入 2，
g
i(
入ξ C勺 i=2，
3
)と定義する。 ζ のとき(多価)写像
Y 3 gl-+
(r
l/
¥JA(g)
dx
Y
Y
r dx Ir dx¥
/ =
=
/
/ =
=
1
ε
C
*xH
JB(g)
Y / JA(g) Y }
により (
ζ のとき G = SL(2ヲ
Z
)
) Y竺 (
C
*xH)jSL(2ヲZ)が成立し、 g2，g3の、 H 上の保
型形式としての表示(楕同モジュラ←形式)が得られる。
3 問題の定式化
まずいくつか定義を述べる。
ム:二
3125t~ - 3750hhl~ 十 2000t2t~t~ 十 2250t~t4t~ - 900t~t4t~ 十 825t~t~t~
十 108t~t~ - 1600t3i~l5 十 560t~t3t~t5 - 630t2t~t4t5 - 72lit 3 t 4 t 5 十 108t~t5
2
_A
，
-_
2
1
3
43 o 42
322
7
1
;
t
4 4
t
2
1
3
1
4
十 16t~t~t5 1
-256t~ - 1
28ちら十 144t2t
612d 2
九十 1
3
.
l
I
1 A ，
LI_
O，l
(
xの多項式F(x，
)の判別式)，
I
1r
>
.
1
.
L
l
"
7
J
.
.
.
J
.
A.
.
L .
.
L .
J
.
﹁
4D
Dニ
DA1 : 二
n
uつ
H
Xt:
A:
{
tεSIム(
t
)ニ O
}，
:
:
:
:
3(
x，
y，
t
)一 向 S，
1
f
ニ
π一l
(
t
)ヲ
= {MoTIMεSp(4Z)， ァ εH2， Tは対角行列}，
ヲ
AM
H2-A (
但し H2 は genus2の S
i
e
g
e
l上半空間).
二
前節で述べた Y として S-Dを採る O そして C*xXの候補として後述の monodromyc
o
v
e
r
i
n
g
S-DK.注目する o (A2型の左きにはとれでうまくいった。 ) S-Dの点 t
oをひとつ採る こ
れは S-Dの基本群の基点在して使う 自然な projedion:
:
: πl
(D)→ S-Dの局所自明性
により H1(X
)K.仕基本群町 (S-Dt
o
)が作用する。しかもとの作用は H1(X
)の交差
t
o'Z
t
o'Z
O
O
ヲ
形式 Iを保存する。とうしていわゆる monodromy表 現
p:πl(S-D，
t
o
)→ Aut(
J
h(Xto，
Z)，
I
)
が得られる。但し Aut(H
)，
I
)仕 H1(Xtoヲ Z
)の自己同型で Iを保存するものの全体で
1(X
t
o'Z
ある。 f:二 ρ
(
πl(S-D，
t
o
)
)を monodromygroupと呼ぶ ζ とにする。 Xt
)
o 上 で H1(X
t
oヲ Z
のb
a
s
i
sを Figure-lの様 K採り五xすると、とれにより同型
A叫 (
I
h(X
)，
I
)竺 Sp(4，
Z)
t
oZ
ラ
が得られる。との同型対応 K より E は S
p(4，
Z)の部分群と見なぜる。表現 ρから得られる S
D の monodromyc
o
v
e
r
i
n
gを σ :S-D→ S-DとE
!
?くO そして周期写像を次のように定義す
るo
P:仏
~(
L
J
(
h
)ザ)日 2
h
ε C2X4
但し A
l(h)，
A2(h)ヲA
3
(
h
)
(二 B1(
h
，
) A4(
h
)
(二 B
2
(
h
)
)は H1(X
σ(
l
小Z
)の symplecticb出
hK
. [連続的 JK.依存するものとする(l
o
c
a
lsystem) 0
ようにとっておく
o
l
Sで
、
(ある h
oεσ一1(
t
o
)で Figure-1の
)更に
ψ :Imαge(P)ヨ(
nA nB)←→ nA-1nBε H2
と定義する。
4 現在までの結果 (
1
)
S-DK.仕 monodromygroup止 C*が作用し、その両者の作用は互い K可換である。更に
o
i
n
tf
r
e
eV
C作用するととがわかり S-D仕厳密な意味での C*との C* 仕 S-Dには五xedp
bundleの構造を持つ。ととろで A2 型の場合、 SA2-D
*-bundle
A2 仕周期写像 K より自明在 C
C x Hと同型 Kなる。 A4型ではどうかというと、実は次が成り立つ。
本
4
.
1 (補題)
c九 bundle としての同型
正b竺 C本× H
2
が成り立つ。
(
4
)
にd
﹁
ひ
(証明の概略)まず R
osenhainの公式 (
1
0
)から得られる関数町 (
c
f
.
(
1
2
))を使って H
3から SD への写像を定義し、次にその写像を Hiから S-Dへの写像に l
i
f
tするとと Kよって S-Dの
大 域 切 断 を も と め た 。 ( 証 明 の 概 略 終 )
とれより件の枠組における X として Hiをとればいい、というととがわかった。よって (
2
)、
(
3
)より S-D上の関数仕 H
3上の (f，
j
)一保型形式の幾つかの和と見なされる。とくに変形の
パラメータむ (
2壬 i壬 5
)は w
e
i
g
h
tが 2
iの保型形式と見なされる。但しととでの保型因子 j
は C*× Hi上の f
a
c
t
i
o
nから得られるものである。従ってとの jは同型 (
4
)の与え方、す在
わち S-Dの g
r
o
b
a
ls
e
c
t
i
o
nのとり方に依存する。
同型 (
4
)が得られると、 Sの関数環を表す保型形式環を特徴付ける問題が浮上する。つま
り
4
.
2 (問題) Hg上の (
f，
j
)ー保型形式環の中で、部分環 C
[
t
2，
t
，
t
，
t
]を特徴付ける条件を
3
4
5
求めよ O
たぶん何らかの境界条件が答えになるのだろうが、
ζ れはまだ求まっていない。
5 Siegelmodularformの 環 と の 関 係
極数 2の曲線族を使って周期写像を与えた結果、その像が C*xHg(
w
i
t
ht
h
emor
剛 l
romy
i
e
g
e
l
group a
c
t
i
o
n
)となっていた Eいうと止になる止、その結果得られる保型形式の環と、 S
modularf
o
r
m
s の環止の関係仕当然気になると
ζ
ろである。種数 2の S
i
e
g
e
lmodul目 f
o
r
m
s
の環は周知のよう K
C
[
ψ4，
'
l
t6，
X，
O
l X12，
X
3
5
]
下っきの数字は w
e
i
g
h
tを表す。)
仇
ヲ ψ6フχ山 χ12仕C上代数的独立、 χ35εC[ゆ4ヲ
ゆ6ヲ
χ山 χ斗
(
5
)
という構造をしている(井草準ー [
2
]
[
3
]
) 0 いっぽう我々が研究対象としている環仕
C
[
t
2t
3t
4，
t
5
]
w
e
i
g
h
t
(
t
i
)二 2
i
t
，
t
，
t
2
3t
4
5仕C上代数的独立
ヲ
ヲ
ぅ
である。とれより環 C
[
t
2ヲt
t
，
t
]の保型形式環としての特徴付けは未だ不明ながら、その代
3，
4
5
数的構造は (
5
)とは異なっているととがわかる。との違いは A2型(楕円曲線計二 4x3-g2X-
g
3
) のとき K は生じなかった違いである。
以下で仕との αz達の満たす保型性 (
9
.
2
)について述べる。
6 theta (テータ) constantsの 定 義 と 変 換 公 式
本節の内容はすべて [
6
]に書いてあります。
行列 X I'C対して X の転置行列を
と書くととにする。
t
x
Hg:={
T
I
TはC成分の g次対称行列で、 Im(T)は正定値}，
(
6
)
fg(η):={MεSp(2g，
Z)IM三
(
7
)
~56~
I
z
}
g modn
e
:
$
'
く
。 Hgを主I
T数 g の S
i
e
g
e
l上半空間、 f
g
(
n
)を l
e
v
e
ln の主合阿部分前:という o
C
二
2
g及び Tε Hg K対して、
(
c
γ
'
)=(
ε
;…ε;Ef--d)ε Z
ぺ
)
十
的):= '
Le吋 i(n+j)Tt(
n
ε Zg
L
三
￨
2訂 (n+j)
-
J
h
a
r
a
c
t
e
r
i
s
t
i
ccをもっ
二絶対かっ広義一様収束する。 ζ れを c
と定義する。右辺の級数は HgJ
n
s
t
a
n
t
" e:言っても Hg上の関数である O 混乱のおそれが無い場
t
h
e
t
ac
o
n
s
t
a
n
t と呼ぶ。町o
c
l
t
r
e
s
p
.odd) で
r
e
s
p
.奇数)のとき εは even (
c
T
)を乱と略記する。
合は、。ε(
"が偶数 (
あると言う。実は εが oddの Eき 乱 仕 恒 等 的 K Oである。
ID C ¥
2
gK対して、次の式が成り立っと
c二 (
c
'c
"
)
ε Z
Z) Tε Hg，
εSp(2g，
¥B A J
Eが知られている。
ぅ
Tl
x
p
(
2
π 仲(M
)
1
9
;
(
T
)
1
9A
)
二 κ(M)2e
)det(CT十 D
戸)
o
ε (Moア
a
(
8
)
但し
，r
t
D
)
o(
A
t
B
)
o
)
Moc: εM-1 十 (
(C
M 0 T:=(AT十 B)(CT十 D)二
c
):
州
j
{却 を
f
二
γ
十 川B
ヲ
t
c
"十 2仰
月 A
l
l
t
C
)凶 )
o
}
-c
と ζ で gxg行列 X K
対して X の対角成分を順に並べて得られる 1xg行列を XO
E書く ζ とにする。また κ(M?は M K
は依存するが cKも 7 にも依存しない定数である。
Z)K対して κ(M)8= 1が成り立つ事が知られている。
更に任意の Mε Sp(2gヲ
とおく
o
7 程 数 2の曲線と Rosenhainの公式
本節の目的仕 αi達の定義を与えるととである。粗く言うと、 α1ぅ・・・， α5仕種数 2の曲線の
l
o
s
e
n
h
a
i
nの公式 (
1
0
)の分母を払って平行移動したものである。種数 2の任意
周期同期する l
の曲線は超楕円的であるから次の表示を持つ。
EEJ'
Qd
、
〆t
、
.
，
2二 ♂ (
X: υ
x-l
)
(
x-A
(
x-A
3
)
(
Xーん )
s
)
i 3パ
oヲ1
9
) とその曲線上 K
}(
)入3ヲ
入4ヲ
入5 仕互いに相異在る。曲線 (
但 し ん ε C- {
ヲ5
a
s
eKより周期行列 T ε H2が得られる。とのとき
Z)の b
Figure-lのとうりに Eった H1(X，
ζ
ニ3
h
e
t
ac
れら入 di
o
n
s
t
a
n
t
sの比で表した。 Figure-lで与
Rosenhain仕 [
、
)を t
7
]で
ん5
ご
lノ
o
u
‘
、
-，，，，‘‘、
lノ
ァ
、
・lノ
ア一 T
、
〆'、、一，，
EE
a
、
、
，u
一
内U 一 日
11-ti
nu
一ハ U
9
h
H
n
u qA1i
lノ
ア一 T
u
AU一AU
、I1
、
土
f
，
'
a
、
一
〆
， a
、
、
，
円U 一 向
nu-nu
nu 一 向 U
AU一AV
401100(ァ)
1
9
r
0
0
1(
T
)
'
，n
U 一勺ム 11
qu
に
ひ
1A
一向
T)
T
)
1
9
6
0
0
1(
1
0
0(
入 。6
一
一
l
市
円
41¥ / l
ハU 一、
日 U
U
ハU 、
i-11
9unu
一qAti
AU一AV
、
.
，
﹄
ノ
一
、
、
， J'
T 一T
/
・1 /l¥
一
、U 一 日 u
A
Z
一
AU一AU
d
nu 一 向 u
nu 一 向 U
9unu
、八
一
一つ
、T一TBj
〆
、
一
ノ一
a
s
eK対して、 Rosenhainの公式仕、次のよう Kなる (
[
7
]
)。
えた b
便宜上入 1:=0うん:=1 e
:$'く。とのん K対して
s
i:
二{)?
n n n1J~"f n n{)~入、
1
0
0
01
1
0
0 1001
U
とおく
o
U
(
1壬 i壬 5
)
(
1
1
)
そして
日 -i 室内(~さ(ßi 削
(
1
2
)
ワ
i
﹁
ひ
とb くo
(
10
)、 (
1
1
)及び (
1
2
)より、各町仕次の表示をもっ。
5α1
-'
l
9i
o
o
o'
l
9I
1
0
0'
l
9i
o
0
1一 時0
0
0'
l
95
l
9i
o
0
1-'
l
9i
o
o
o'
l
95
1
0
0'
l
95
0
0
1一 時0
0
0'
l
9i
'
l
95
0
0
1，
1
0
0'
l
Oo
5α2
十OLOOT711000io01-dimO21diO01-03oJill001000-02
即 時o
l
O
'
l
9i
l
Ooヲ
5α3
十時0
0
0'
l
95
l
9i
o
0
1十 時0
1
0'
l
95
l
9i
o
0
1-'
l
9
1
0
0'
1
1
0'
5α4
5α5
また、各 αz
5
l
9i
1
1
1'
l
95
1
0
0- '
l
9
5
01
O
'
l
9i
1
1
1'
l
9
5
0
0
0，
1
1
0'
十
'
l
9I
o
o
o'
l
96
1
0
0'
l
96
0
0
1十 時011'
l
96
l
9i
o
o
o十 時1
10
'
l
9i
1
1
1'
l
96
1
0
0- '
l
96
0
1
1'
l
9i
1
1
1t
J6
0
0
1
1
1
0'
十d
喝:
00
0'
l
9I
l
O
叩O
t
J
喝: m十 特
d
:
叩o
喝3OJi10
0十 d
喝;
0J?L11J:
ん
L
0
0
0十 o
喝;凹 o
吋
i d
喝;
0
叩
0
1.
ヲ
凹
凹
凹凹
山
αj 仕次の表示をもっ O
α2一 α1=t
Ji
o
o
ot
Ji
l
Oo
t
Ji
o
0
1
α3ー α1二tJ5
0
0
0t
J5
1
0
0t
Ji
o
0
1，
J5
J6
α4α1=t
Ji
o
o
ot
1
0
0t
0
0
1
'
α5α1二tJ6
0
0
0'
l
9i
1
0
0t
J
6
0
0
1ヲ
α3α2=t
J
5
0
1
0t
J
5
1
1
0'
l
9i
o
0
1
'
α4α2二tJi
o
o
ot
J5
0
1
1'
l
9
5
1
1
0，
1
1t
J6
0
1
0t
Ji
1
0
0ヲ
α5ー αz二 時0
α4ー α3= t
J5
not
Ji
1
1
1t
J
6
1
0
0ヲ
α5ー α3=t
J6
0
0
0t
J5
01
O
t
Ji
山う
α5ー α1= t
J6
0
1
17
9
i
1
1
1t
J6
0
0
1・
ヲ
7
.
1 (補足)上の 10個 の 式 ( I
町
内二・・・」のとりは全て次の様に書ける。
j
)t
J[
i
J+
L
l
i十 [
k
J
{
}
[
i
J
+
[
府
αi一 αJ二 Stgη
(
i-
但L
.i
，
j，
kヲ
ムm 仕 1
，
2，
3，
4ヲ5の置換を去す
αc
t
e
r
i
s
t
i
c
sを表すもの止する。それから
8 群
O
(
1
3
)
また[]は (
1
4
)で対応づけられる oddt
h
e
t
αc
h
a
r
-
Stg叫i-j
)仕 t - J の符号を表すものとする。
r
'の定義
1
'2
(
1
)
/1
'2
(
2
)が 6 次対称群 5
6 t同型であると左は良く知られた事実である O とれは 6個
h
児叫
e
t
同ac
h
町a
の oddt
1"を定義する際必要 K在るので、との同型対応を具体的に与えよう。種数 2では oddt
h
e
t
a
c
h乱r
a
c
t
e
r
i
s
t
i
c
sは次の 6個
[
1
]:
二 (
0
1
0
1
)，[
2
]
:二 (
0
1
1
1
)，[
3
]
:二 (
1
0
1
1
)，[
4
]
:二 (
1
0
1
0
)，[
5
]
:二 (
1
1
1
0
)ヲ[
6
]
:
=(
1
1
0
1
)ヲ(14
)
であるが、各 M ε 1
'2
(
1
)に対して
cmod.(2Z)1←→ M 0cmod.(2Z)1
(
15
)
在る対応が、上記の 6個の oddt
h
e
t
ac
h
a
r
a
c
t
e
r
i
s
t
i
c
sの置換を惹き起とす。よって、各 M
ε
1
'2(1)及び tε{1，
…
，6
}K対して
[
M
(
i
)
]=
=M 0[
i
]mod.(2Z)4.
を満たすよう K M
(i)ε{1，
…
，6
}を採る。とうして群の準同型む (
1
)→ 5
6が得られた。との
(
1
)
/1
'2
(
2
)竺 5
6が得られる。
準同型により同型1'2
ととろで今回私が注目している群は1'2
(
1
)そのものではなくて次に定義する群1"である 0
8
.
1 (定義) 1":二 { Mε1
'2(
1
)
I
M0 (
1
1
0
1
)三 (1101)mod.(2Z)4}.
5
8
ζ の群は次の性質を持つ。
r2(
2
)仁 r
'仁 r2(
1
)
and
r'jr2(
2
)竺 5
5・
突は次が成り立つ。
8
.
2 (補題 (A'G
αmpo[
1
}
)
)
r
' r
.
二
9 現在までの結果 (
2
)
上記の αi (
1三i三5
)と群
9
.
1 (補題) r
':
3M
る
。
f
+
r'K対して、次のt
m
題が成り立っととがわかった。
χ(
M):=κ (M)2exp[27ri
ゆ(M
ヲ(
1
1
0
1
)
)
] E C*仕群の準同型であ
との補題 (
9
.
1
)はテータ定数の変換公式により明らかである。
fD C ¥
3，
4ヲ5
}，
V M二 I ~ ~ Iεr'，
VTモH2 K対して、
9
.
2 (補題) Viε{1ヲ2，
¥B A /
αM
(
i
)
(
M0 T
)二 χ(M)det(CT十 D
)
3向(ァ)•
が成り立つ O
証明は t
h
e
t
ac
o
n
s
t
a
n
t
sの変換公式と (
7
.
1
)を使う o 補題 (
9
.
2
)より保型因子 jはおそらく次の
ようになっているものと思われる o
C﹂
H
T
f
ヒ
r
¥
、 BEt-/
CA
DB
、¥
/'﹄'Et
一
一
M
9
.
3 (予想) j(M
，
T
)=ゾχ(M)det(CT+D):
1
(平方根の符号をうまくとれるかが未だ確認出来ていない。)との予想が正しければ、我々が
調べている bund1eと S
i
e
g
e
1modu1arformに対応する bund1eとの関係が明確になるであろう
という期待を持っている。
10 先生方のコメン卜
今年の 7月に、九州大の吉田正章先生から非常 K気になるコメントを戴きました。吉田先生
達が数年前に出した結果のなかで問題(1.1)の解答が(もっと一般的な状況で)既に与えられ
ているらしいのです。 p2の中の直線の配置空間 (K3曲面の或る moduli空間)を使って周期
写像(と modu1ar関数)の理論を作る際、その空間の内部 K pl上の 6点の配置空間が現れ
[
4
]
)が該当するものであるとのととでした。そ
る。その部分の構造の、先生方による研究結果 (
の後広島大の松本圭司先生に伺ったととろ、問題意識が違うし多分やっている計算もちがうだ
ろう、とのコメントを戴きました。結局そのへんの事情がまだ私には把握できていまぜん。現
在、確認している最中でまだ何とも言えません。
(
1
9
9
7年 8月 22日)
参考文献
[
1
]Norbert AヲCampo. T
r
e
s
s
e
s，monodromiee
t1
eg
r
o叩 es
y
m
p
1
e
c
t
i
q
u
e
. Comment.
l
.54(
1979)，
p
p
.3
1
8
3
2
7
.
Math.H
e
1
v
e
t
i
c
i vo
ヲ
にJ
Qd
[
2
]I
g
u
s
a，
J
.:OnS
i
e
g
e
1mod山，1'formso
fgenustwo，
Ame1'i
c
a
nJ
o
u
r
n
a
lo
fMathematics，
vo
1
.84(1962) pp.175-200.
ヲ
[
3
]I
g
u
s
a，J
.
3
9
2
4
1
2
.
On S
i
e
g
e
1modu1a
1
'f
orms o
fgenustwo(
I
I
)，
Am. J
.Math. 86 (
1
9
6
4
)，
[
4
] Matsumoto，K. Sa日 k
i，
T
.Yoshida，
M. Themonodromyo
ft
h
epe1'i
o
dmapo
fa
1
'a
r
r
同 e
1
'f
a
凶 1
yo
fK3s
u
r
f
a
c
e
sandt
h
ehype1'geomet1'i
cf
u
n
c
t
i
o
no
ftype (
3点
)
ヲ
4-pa
I
n
t
e
r
n
a
t
i
o
n
a
1J
o
u
r
n
a
lo
fMathematicsVo
l
.3，
No.1(
1
9
9
2
)1
1
6
4
.
[
5
] Joseph A. Minahar
し
t
h
/
9
5
0
7
0
3
2
.
Hype1'e
l
l
i
p
t
i
cc
u
r
v
e
sf
o
r S叩 e
1
's
ymmet1'i
cY
a
n
g
M
i
l
l
s，h
e
p
-
[
6
] H.E
.Rauch，
H.M.Fa
1
'k
a
s:ThetaF
u
n
c
t
i
o
n
swithA
p
p
l
i
c
a
t
i
o
n
st
oRiemannS
u
r
f
a
c
e
s，
Baltimore1
9
7
4
.
[
7
] Rosenhain，
G.:Abhand1u時 ube1' d
i
eFunctionenz
w
e
i
e1' Va
1
'i
a
b
1
e1'mitv
i
e1' Pe1'ioden，
1851ヲ O
s
t
w
a
l
d
'
sK
1
a
s
s
i
k
e1' de1' ExactenW
i
s
s
e
n
s
c
h
a
f
t
e
n，
n
o
.6
5(
1
8
9
5
)
.
Figure-l
B1
CXl
ノ
、
、
ノ
60-
タイヒミュラー空間のアール埋め込みと
プリーツ座標について
小森洋平(大阪市立大学理数学)
研 究 集 会 「 リ ー マ ン 面 に 関 す る 位 相 幾 何 学1
1997年 9月 18日(木) (北海道大学)
タイヒミュラ-空間のアールモデル
1
D
e
f
i
n
i
t
i
o
n1.1(標準的な生成系)
S を 1つ穴の開いた向き付けられたトーラスとする.このとき S の基本群の
生成系の順序対仏 Fが標準的とは、与えられた Sの向きに対して、 αesの
交点数が十 1であることとする
O
D
e
f
i
n
i
t
i
o
n1.2(
rのプラス成分。+とマイナス成分。)
r=<A B >を
ma1'k
e
dq
uαs
i
-F
'
u
c
h
s
i
α
η
"g
7'OU
po
fo
n
c
e
p
u
n
c
i
U7'(e
dt
o1'ω とす
る このとき Iの不連続領域。(1')は 2つの連結成分からなる。その一方の成
のプラス成分であるとは、 Fの与えられた生成系 A B から定まる
分。十がr
ヲ
O
ヲ
Q十 /r の基本群の生成系が1J~~ 準的であることとする。もう一方の成分。ーを E
のマイナス成分ということにする。
Theorem1.1(1つ穴の聞いたトーラスのアールスライス (
[
3
]，
[
9
]参照))
Sを 1つ穴の聞いたトーラスと同型なリーマン面とし、その基本群の標準的な
生成系を引戸とする さらに Sの向きを逆にする微分同相写像から誘導され
るπ
1
(
5
)の involutionをOとする このとき、次の 2つの条件をみたす m
α 1'ked
quαs
i
F
'
uc
h
s
i
αng7'OU
pr < AB >がメピウス変換での共役を除いて一意
仁定まる
O
O
二
ヲ
O
1
.
α を Aに
、 Fを B にうっすような π
1
(
5
)から rへの同型写像を誘導
する、 S から Q十/
rへの confo7'malm仰が存在する
O
2
.n
十から Qーへの c
o
n
f
o1'malmapを与える位数 2のメピウス変換 E が存
の任意の元γ と Qーの任立の点 Z に対し、次の関係式 E
(
γz
)
在し、 r
B
(γ)E(z)を満たす。ここで、 0をr
のi
n
v
o
l
u
l
i
o
nとみなすため、条件 1
にある π
1
(め か ら Fへの同型写像を用いることとする
二
O
-61
(証明)リーマン面 Sの正則な普遍被覆空間として上半平面 H をとり、その
被覆変換群を G とする。。を誘導する、 Sの向きを逆にする微分同相写像は
穴まで連続にのびると仮定してもよい。その H への持ち上げを fとすると、
(
g
z
)= O
(
g
)
j
(
z
)を満たす。次に下半平面 H*
任意の g モGと zεHに対し j
から H への写像 hを h
(
z
)=j
(
z
)(ここで Zは zの複京共役)で定義すると、
(
g
z
)二 O
(
g
)
h
(
z
)(
gξ G Z εH*)を満たす。そこで、 G不
同様の関数等式 h
変なベルトラミ微分μを次のように定義する
ヲ
O
I0
μ二
ihz/hz
i
nH
i
n H*・
このとき可測なリーマンの写像定理より、ベルトラミ方程式 ωzμωzを満
たす、リーマン球面上の擬等角写像 ω がメビウス変換の合成を除いて一意
に存在する ここで ω と ω oh-1は H で正則であることに注意する o f 二
ωGωI，
A=ωαω ，
l B二 wsw-1とおくと、 r二< A，
B >はQ十 二 叫 H)と
n
-=ω(H*)を不連続領域の不変成分にもつ markedquasi-Fuchsiangroupに
なり、等角写像 w:H→ Q十は条件 Iを満たす。次に等角写像 C 二 ωhω1
。-→ n+
が位数 2のメピウス変換であることをいう o fの不連続領域。 (
f
)
上の写像 E を、。ーでは E = C、。十では E 二 C-1で定義すると、￨羽数等式
EγE-1 二 O
(γ
)(
γ
ε 1')を満たす。ここで Eは quasi-F肌 hsiangroupより幾
何学的有限であり、 0はリーマン面の自己同相写像から誘導されているので、
typep
r
e
s
e
r
v
i
n
g
. よってマーデンの同型定理より E はメピウス変換。特に E2
は恒等写像なので、位数 2であり条件 2をi
?
日ーたす
次に上の 2つの条件をみたす markedq
u
a
s
i
-Fuchsiangroupf二< A，
B>
がメピウス変換での共役を除いて一立でああることを示す。いま t二 1
，
2に対
l
l
a
s
i
F
u
c
h
s
i
a
ng
r
o
l
l
pf
i=<A
i，
Bi>
し、上の 2つの条件を満たす markedq
とその不変成分o
faMIIJおよび位数 2のメビ、ウス変換 Ei:
n
:
;→ があっ
I: → 口 が存在し、
上で
たとする このとき条件 1から等角写像 I
I
IA1I
I
-1 二 A2 と I
IB1I
I
-1 二 B2を満たす。 n(f1)から n(f2)への正則写像
Fを
、 n
i
トで F
'二 H、n
I0 E1 として定義すると F はI
¥
1で F二 (E2)-10 I
からむへの typep
r
e
s
e
r
v
i
n
gな同型を導く。よって、再びマーデンの同型定理
色
志
2
主:を満たす ma
紅，
r
k
叩e
dq
l
l
a
ι
1
より F はメピウス変換となる つまり、題:意
groupf二< AB >はメピウス変;換央での共役を除いて一立である
O
】
O
0
7
n
t J
O
o
t
i
O
O
ヲ
Theorem1
.1より、穴の 1つ開いたトーラス Sのタイヒミュラー空間 T
(
5
)
をq
u
a
s
i
-Fuchs~洋の空間 QF(5) に正則に埋め込むことが出来る ([3 ]， [11] 参
j
!
{
i
)。この像をアールスライスといい、 Egと書くことにする o Eoはπ1(
5
)の
i
n
v
o
l
u
t
i
o
n0 のみに依ることに注}j~する o 次に Eg が、複素平面内の領域とし
て実現出来ることを示す。
62
Theorem1
.2 (アール埋め込み (
[
3
]，
[
1
1
]，
[
1
2
]参照))
1
.
1で定まる
m
αr
k
e
dquαs
i
-Fuchsiang/ Oψ r二 < AB >で、その生成系 A Bの SL2(C)
での代表系 Ad，
Bdが次の形になるものが一意的に定まる
。を、 α を ß~ご移すπl(S) の involuiion とする。このとき Th印 rem
ヲ
ヲ
O
/ 豆土l
kl
= I封
.
.
o
d
a-¥
註
2
¥ d
/ 互土1
B"= I .
.
o
d
α
i一出与呈
¥ d
ここで、 dは 0でない複素数とする
O
(証明) fの生成系 A，
B の交換子 P [
ABJは p
a
r
a
b
o
l
i
cであり、その固定点
を Xpとする o E
l
l
i
p
t
i
cな元 E は、。の条件より EAE-1 B を満たすので、
EPE-1 p-1も満たす。つまり E は Xpを固定点として持つ。 E のもう Iつ
の固定点を XEとする o XP，
XE，
P(XE)をそれぞれ∞ぅ 0，
1に移すメビウス変換
でr
の共役をとると、 P E はそれぞれ P
(
z
)二 Z 十 1
，
E
(
z
)二 zとなる o fを
SL2(
C
)に不連続群として持ち上げるためには P の持ち￨二げを
二
ヲ
二
二
ヲ
P
o -1
二
(-~つ
とすればよく、条件 [A，
BJ二 P とEAE-1= B より、 A，
B の持ち上げは上の
Ad，
Bdでとれることが計算からわかる。
fd < Ad，
Bd>CSL2(C)をパラメータ - dに対応する m
arkedq
u
a
s
i
SL2(
C
)の SL2(
C
)への持ち上げの自由度は
F
u
c
h
s
i
a
ng
r
o
u
pとする。 r
d仁 P
dの符号に対宣する またタイヒミュラー空間の複素構造の定義から、 Adの
令占止ど当社主は
Ee上正則である。よってポはんの正則な大域的座標にな
(
d2十 1
)
二
O
る (
[
3
Jヲ[
1
1
J参照)0 Eo={
dζqr
o}とおく
d EE
O
Lemma1
.
1 dが Oでない実数とすると、 dは ん の 元 で あ る
O
(証明)んとんのトレースはともに咋主よって d州 で な い 実 数 と す る
y
p
e
r
b
o
l
ic.一方 [
A
d，
B
d
Jのトレースは 2より、 Adと Bdで、生成
と Adと Bdは h
される群はフックス群になり、 dはEeの元である
O
63
Lemma1
.
2 dが ん の 元 な ら ばy その複素共役dもんに含まれる O
(証明)AJと BJで、生成される群は fdを複素共役 I
(
z
)二乏で共役したものであ
る また Iは P E と可換より、 dもア)ルスライスの元になる
O
O
う
Proposition1
.1 虚軸は Eoの外にある
O
(証明)虚l
!
i
l
h
上の点 dがんに含まれているとする。タイヒミュラー空間 T
(
S
)は
弧状連結より、島内で、 d と実J!il~上の点 d' を結ぶ道がある。この道に d f---t
と df---t dを作用させると、 E
o内に自明でない閉曲線ができる
ミュラー空間 1
'(
S
)が単連結であるととに矛盾する。
O
-d
これはタイヒ
P
r
o
p
o
s
i
t
i
o
n1
.1より、 E
oは右半平面にあるとしてよい。特に dを Eoの正
Iをアールラインといい、
則な大域的座標に取ることが出来る o Eo内のー正の実事h
Ro~ 書くこととする O
Proposition1
.2 アールラインは E
o内の F
u
c
h
s
i
a
ng
r
o
u
p
sの部分仁一致す
るO
(
証I
Y
j
)Lemma1.]よりアールラインの元はみなフックス群である 逆に fd二<
O
Ad，
Bd>がブックス群のとすると Adのトレース当土lとAdBdのトレース寄生1
はともに実数なので、 dも実数である
O
Lemma1
.2で見たように、複素共役写{象 I
(
d
)二 dは Eoの反正則な lnvol
u
t
i
o
nを与える 次に Egの正則な i
n
v
o
l
u
t
i
o
nをみる
O
O
Proposition1
.3 S
(d
)=告は Egの正則な z
n叫 u
t
i
o
nである。
u
a
s
i
-F
u
c
h
s
i
a
ngroupfd二<A
出 B
d>に対し、 Bd，
Ad1 もまた
(証明)markedq
標準的な生成系で同じプラス成分とマイナス成分を持つ。この生成系をメピウ
i111
"
ス変換 MAd(ここで M:=1
¥0
が得られる
1
)
共ィ交をとると fl二< Al，
T
'
Bl>
~1 l
' -/"/------u ---u'-u
v
ノ
O
穴の 1つ聞いたトーラス Sのタイヒミュラー空間 T
(
S
)は次のように自
然、に上半平面 H と同一視出来る (
[
6
1
1
]，
[
1
6
]参照) 0 H 内の点 7に対し、
，
][
-64-
Z I--+ Z十 1と Z f-)- Z十 Tで生成される群を
γ 二{ァ εqz#
GT とする o GT は C
n十 mT f
or m川 ε
Z}に作用する。 Hから CTjGTへの正則な普遍被覆写
'T をπの被覆変換群とする O このとき条件π(
A
z
)二 π(
z
)十 1と
像を πとし、 1
π(
J
J
z
)二 π(
z
)十 7を満たすれの生成系 AぅB は Riemann面 HjI
'T の標準的な
homotopy基j
まになる O この対応により H から 1
'(
5
)への conformalmapが
定まる o TheOTem1
.1でみた 1
'
(めからんへの自然な写像との合成により、
H から Ee
への confOTmalmapψ が定まる O この写f
象 ψ:H→ E
eをア ル
埋め込みという アール埋め込みで、 Eeの i
n
v
o
l
u
t
i
o
n
sISやアールライン
を上半平面でみると以ドの通り
O
う
O
Proposition1
.4
1
.7
t10507
t
(
T
)= -~.
2
.7
t
ー 10Ioψ
(
T
)二
j
3
. アール埋め込み ψ
により、上半平而内の半1=']{
Tξ
H
I
Iァ1
=1}はアール
ライン RD に移る
O
(証明)
1
. Ad，
Bdから Bd，
A;/への基底の変換に対応するモジュラ一群 P5L2(Z)
の元は
より。
T
H;
2 主張 1より、 Sの固定I主主にゆ -1 050ψ の固定点同宣対応する。また
iは Iの固定点でもある。一方ψ
-10I0 ψ
(ァ)は入
数)の形をしていると左から入 =1がわかる
f
(ここで入は正の実
O
3
. RDと{ァ ε
H
I
Iァ1
=1}はそれぞれ Iとψ10Ioψの固定点集合より、主
張 2から主張 3がでる O
2 穴の 1つ聞いたトーラス上の単純閉曲線の記号化
以下 [
1
6
]に従い、穴の 1つ開いたトーラスヒの単純閉曲線の自由ホモトピ一
類全体と有理数全体3εQU{∞}の聞に対応を作る。平面に正方格子を描き、
頂点をすべて外す。縦の辺には記号αを、植の辺には記号9
をふる O 既約分数
tεQU{ ∞ =D に対し、傾きが?で格子の頂点を通らない直椋を L(~) とす
る 辺α、Fをそれぞれ同士張り合わせると、穴の 1つ開いたトーラス Sがで
O
き、 L(~) は S 上の穴の周りのループに自由ホモトープでない単純閉曲線を定
65-
める o 5上の穴の周りのループに自由ホモトープでない単純閉山線の自由ホ
5
)とし、 S上の曲線 Lの白白ホモトピー類を [
L
] とする
モトピー類全体をI;(
とき、以 Fのことがわかる
O
Proposition2
.
1(
[
1
6
]参照)
1・
iεQU{∞二 Dに [L(3)lε I;(5)を対応させる写像は ωell-definedか
つ全単射0
2
. [L(~)] に対応する π1(5) 二 <α ， ß> の元 W(~) を以下のように帰納的に
定めることが出来る。まず、 W(~) と W( ?ï)を次のように定める。
W(!) α，W(;) F
ご
二
ps- qr 二士 1 を満たす p/q<r/s に対し、すでに W(~) と W(~) が定
まっているとする。このとき W(出)は次の式で定める。
出
)
二 W(:)W(:)
W(
以下、 αとF
を AdとBょ う っ す π
l
(めから口への同型写像により、 W
(
;
'
)
を口の元とみなす。
3
Rationalp
l
e
a
t
i
n
gr
a
y
s
日の l
i
m
i
ts
e
tをA
(
r
d
)として、 3次元双 r
J
J
J空間 H3での A
(rd
)の凸包 Cdおよ
3
びその凸境界δCd を考える o r
dはポアンカレ拡張により H に作用し、 Cd
および、δCd をそれぞれ保つ。そこで次のような t
h
en
e
a
r
e
s
tr
e
t
r
a
c
t
i
o
nmap
r:n
(日)→ θCdを定義する (
[
4
]
，
[
8
]参照 )
0n
(
rd)の点 zに対し、 H3での z
:
I
]
)
L
、とした h
o
r
o
b
a
l
lで内部が CdVこ触らないもののうち最大のものを考え、
をI
δCdとの接点を r
(
x
)とする。このとき、この写像 T はr
d
l
可変な同相写像にな
(
r
)とn
(r)に対応する 8Cdの連結成分をそれぞ
る。この写像によって、。 +
と書くことにする
れθ
O
c
f、。C
i
凸境界θCd はまたプリーツ面の構造ももっ o ここで、簡単にプリーツ面の
[
2
定義を復習しておく (
4
]参照)。双曲 3次元多様体 M 内のプリーツ面と
，
][
(
5
)
は、完備な双曲曲面 S とSから M への写像 f:5→ M の組で、その像 j
に M から定まる距離を入れると 1:5→ 1
(
5
)は等長的であり、 Sの任意の点
、 fにより M 内の測地線に移るようなある S内の測地線の内点である
Sは
O
66
さらに、 fが誘導する基本群の聞の準同型写像は単射であることを仮定する o
pleatedlocus とは、 fにより M 内の測地線に移るようなただ 1本の S内
l
e
a
t
e
d
の測地線の内点になっているような Sの点の全体である このとき、 p
l
o
c
u
sは Sの g
e
o
d
e
s
i
cl
a
m
i
n
a
t
i
o
n，つまり Sの閉集合で互いに交わらない単
と
J
=
/
1
'dはそれ
純な完備測地根からなることがわかる 我々の場合、
3
3
ぞれ H と H /日のフ。リーツ面である いま日は Fuchsiangroupでない、つ
まり dε Ee-Re と仮定する。このとき W(~) は loxodromic な元であり、そ
O
θ
c
tδ
c
O
O
の H 3 で、の軸を γ (~) とかき、
H 3 / 1' d 内での対応する lÌ'Í.純閉測地椋を i(~) と書
くことにする。 a
c
t
;
/
1
'd (または θc
;
Z/
1
'd
)の pleatedlocusをp
l十 (
d
)(または
p
Z一(
d
)
)とし、以下のような集合を定義する
O
一
一
J
、
、
.
， J
、h'，
ft¥/lk
十一
q
q p一
P一
pp
{
dξ E
a
¥
p
Z
+
(
d
)二す(?)}
ノ
{
dE E
e
¥
p
Z
(
d
)二?づ)}
ht
ノ
一
一
、
T 一S T 一S
1tFJ
〆' s t ¥ r l L
pp
PA-qp一q
P( ト~)を
p十 (:)np一(:)
μ
)uP(汗)
P
(
(
p
/
q，
r
/δ
)ーrationalpleati時 rayという
O
Proposition3.1 (Rationalpleatingraysの基本的な性質)
1
.p/q ヂ r/s ならば、 p十(~) nP+(~) 二日かつ P-(~) ηp一(~) =
2
.p
Z十 (
d
)= i(~)
.
o
で・あるための必要十分条刊二は pZ-( d) 二 i(~) である。よっ
てもし r/s ヂ q/p ならば P(t ぅ~)は空集合。
3
.i
(土1)は p
Z十 (
d
)にも p
Z一(
d
)にもならない。
4
.I(P(~ ， ~))二 P(j ヲ~). S(P(~ ， ~))二 P( ト t)f
l
e
'
'
'
，，ー、、
明
‘
、
、
、
証
1
.P
l
e
a
t
e
dl
o
c
u
sは g
e
o
d
e
s
i
cl
a
m
i
n
a
t
i
o
nかつ c
u
s
pの endに向かう測地線
は幾何学的有限なクライン群の場合、 p
l
e
a
t
e
dl
o
c
u
sの成分にならないの
l
e
a
t
e
dl
o
c
u
sの成分は IつO
でp
67
2
. メピウス変換 E:n十→ Qーは等長変換 E :8Ct→ θ
c
;
;を誘導する 一
方 EW(~)E 二 W(~) より、 γ(~) 亡。cJ は E で、γ(}) 仁 θc;; にうつる 0
O
3
.主張 2より、 pl+(d)=i
(士1
)とすると p
l一(
d
) i
(土1
)
.一方、。Ct/fd
二
とθ
c
;
;/fdは互いに交わらないので矛盾。
4
.I
n
v
o
l
u
t
i
o
n
s1，
5のアー jレスライスへの作用の仕方から明らか。
4 Hyperbolicl
o
c
iとr
a
t
i
o
n
a
lpleatingraysの関係
?εQU{∞}に対し、 W(~) ε SL 2 (C) のトレース TTW(t) を考える。以下
これを Eo上の正則関数 T
p
j
qとみなす。また複素平面上の有理関数とみなすこ
ともある。トレース関数九 j
qの hyperboliclocusを次のように定義する。
H(?) {ι qTpjq(d)ξ R，I
T
p
j
q
(
d
)
1>2
}
ご
Proposition4.1 (Hyperbolicl
o
c
iの基本的な性質)
y
p
e
r
b
o
i
cl
o
c
u
sはアールラインを含む。
1.任意の h
2
. 任意の ?εQU{∞}に対し、耳 j
q二 Tq
j
p.よって、 H(3)=H(;).
3.P{:
ヲ
pは H(?)に含まれる。
明
ニ=H
正L
1.アールライン上、 W(~) は hyperbolic なので 0
2
. TrW(~) 二 TrEW(~)E = TrW(~).
3.γ(~) がθct の pleated locus ならば、 γ(~) を境界にもつ 2 つの support­
i
n
gp
l
a
n
e
sがある o W(~) は OCJ に作用し、その l/!Ihγ(t) を不変にする
ので、もし TrW(~) が複素数ならば、この 2 つの supporting p
l組 e
sは
γ
(
?
)をl
i
l
hとして回転してしまう よって TTW(?)は実数。
O
a
t
i
o
n
a
lp
l
e
a
t
i
n
gr
a
y
sと h
y
p
e
r
b
o
l
i
cl
o
c
iの関係において大切
次の結果は r
である
O
68-
Proposition4.2 (
P
r
o
p
o
s
i
t
i
o
n5.
40
1[
6
]、 Theorem3
.
7o
f[
7
]参照)
R
a
t
i
o
n
a
lp
l
印 t
i
n
gmuP(??j) は H(~) \ Re 内で、聞かっ閉部分集合O
次の結果は r
a
t
i
o
n
a
lp
l
e
a
t
i
n
gr
a
y
sの存在を保証する O
Proposition4
.
3 (
[
9
]参照)
Ee¥Roの元 dが h
y
p
c
r
b
o
l
i
cl
o
c'UsH(
p/
q
)に入っていて、かつ E
αr
l
εl
i
nεRo
の十分近くにあれば、 dは r
a
t
i
o
n
a
lp
l
e
a
t
吋 my13{t ヲ~}の元である。
5 Rationalp
l
e
a
t
i
n
gr
a
y
sの構造
次の定理で R
a
t
i
o
n
a
lp
l
e
a
t
i
n
gr
a
y
sの構造について述べる O
Theorem5
.
1 土1でない任意の有理数?に対し、 r
a
t
i
o
nαl
p
l
e
a
t
i
n
gr
a
yP(~， ~)
はs
i
m
p
l
eα
r
cである。その境界は θEe上の点 C
p
j
qと E
a
r
l
el
i
n
eRo上の点 b
p
j
q
であり、 Cpjq で、は ITpjq(cpjq)1 ニ 2 を 71~lti たし、 b pjq は Tpjq の Re 上で、のただ 1 つ
のc
r
i
t
i
c
a
lp
o
i
n
tになっている
O
定型1を示すためにいくつかの準備が必要である O
Lemma5
.
1 アールライン Roヒ
、 dが 0や無限大にいくと、 トレース関数
l~jq( d
)の絶対値は無限大にいく。 T
p
f
qの符号は Ro上一定より、 T
p
j
qの c
r
i
t
i
c
a
l
p
o
i
n
tが Re上にあるととがわかる
O
Lemma5
.
2 1節でみたように、上半平面 H を穴の Iつ聞いたトーラスのタ
イヒミュラー空間と思い、 H
/I
'T の p
/
qに対応する単純閉測地線の長さがた 以
下な H の点T全体を C
p
j
q
(
k
)とする このとき、 C
p
j
q
(た)の境界θCp
k
)と実
j
q(
j
!
i
l
iの交点は p/qである O さらにた 1 >んならば、 C
p
j
q
(
k1)コCp
k2)であり、
j
q(
O
n
k
>
O
C
p
j
q
(た
)
二p
/
q
.
Lemma5
.
3 U をi
}
主連結領域とし、 D を単位円板とする もし、 U 内の α陀
a
n
dするならば、リーマン写像による引き戻しで定ま
治宝境界 aU上の一点に l
る D 内の α陀も境界θD上の一点におηdする。さらに境界上の相異なる 2点
lndする αr
c
sのリーマン写像による引き戻しも δDの相異なる 2点に α
lnd
仁α
する
O
O
以上の準備の下で、 Theorem5
.
1を証明する o Lemma5
.
1より、 Re上
仁トレース関数 T
p
j
q
(d
)の c
r
i
t
i
c
a
lp
o
i
n
tb
p
j
q がある。そこから Ee-Reに
向かつて H
(p/q)の枝をとる。 I
T
p
j
q
(c
p
j
q
)
1 2まで枝をたどる。以上により、
b
p
j
qへの simplea
r
cl
p
j
qが符られた。 Pro
p
o
s
i
t
i
o
n4
.
2 より、 l
p
j
qは
p
j
qから C
二
・
69-
P{pjqヲq
j
p
}に含まれる o P
r
o
p
o
s
i
t
i
o
n3
.1
.4より必要ならば複素共役をとっ
j
qは P
(
p
j
q，
q
j
p
)の部分集合としてよい o P
(
p
j
qヲqjp)-I
/
qが
て
、
p
j
qの点 αp
とれたとする αp
/
qから H
(
p
j
q
)の枝を I
T
p
/
q
lが 2に向かう方向にとっていく
に沿っても
(
口)
との枝を Jp/
J
/
j日 の p
j
qに
qとすると、 T
p
f
q
pqに沿っても Q十
-1での
対応する単純閉測地椋の双曲的長さは Oに向かう よって、それらの ψ
{象は Lemm
乱 5
.
2により p
j
qに向かう よって Lemma5
.
3より Jpjq も /
qと
以上のことから
はトレース関数
に向かう
同じく C
/
C
/
T
p
/
q
(
d
)
の
c
r
i
t
i
c
a
l
pq
pq
p
o
i
n
tである よって Cp/qの近傍において、 Ip/qと Jp/qで分離される両側に、
C
p
j
qから始まり
1
1
;
jqlが Oに向かう H(pjq)の枝が両側にとれる O トレー
スの値からこれら 2つの枝は Eeの外にあり、同じ i
m
p
r
e
s
s
i
o
ncp/qを持つ 2つ
r
i
m
ee
n
d
sがみつかる これらはともにリーマン写像であるアー
の相異なる p
ル埋め込み ψ
の境界への拡張で、 p
j
qに対応しているのでカラテオドリーの定理
(Theorem1
5
.
5i
n[
1
4
]参照)仁矛盾する よって P
(
p
j
qヲq
j
p
)こらj
q
'
ι
O
O
ι
O
O
O
O
O
O
Corollary5
.
1p
j
qヂr
j
sならば
Cp/
q
ヂCr/s'
、 [
(
P
r
o
o
f
.
)r
Cnl は
5
]の立味での maximalp
a
r
a
b
o
l
i
cg
r
o
u
pになり、 Theo
n
rem3i
n[
5
]より、そのような群は群の同型とその p
a
r
a
b
o
l
i
ce
l
e
m
e
n
t
sにより、
PSL2(C)での共役を除いて一意に定まる
O
Corollary5
.
2 bp/q br
j
s p
j
qまたは r
j
s q
j
p
.
j
sならば r
二
二
二
(
P
r
o
o
f
.
)Theorem1i
n[
1
0
]により、 r
j
sに対応する単純閉測地線の双山的長
さ￨羽数は δCp/q(k)上狭義に凸関数である よって θCpfq(k)とθCrjs(
l
)は高々
2点でしか交われない
・
方 bp/qは8C
た
)
と
R
e
のただ
I
つの接点である。
/
(
pq
r
j
sならぼう θCp/
(
た)と 8C
/
(
l
)とRoは
ヲ I点 b
/
よって bp
p
qで接する。以
q
f
q b
s
r
上のことから Cpjq(k)とCrjs(
l
)は包含関係仁あり、 Lemma5
.
2より pjq=rjs
O
0
二
カ可っかる。
7
0
6 アールモデルのグラフィック
アー J
レモデルをコンビューターで描く基本的なアイデアは次の通り。有理数
p
/りこ対し、 2節の方法でんと Bdの wordW(p/q)を帰納的に計算する。そ
C
)の元 A，
Bに対
のトレース TTW(p/q)はケーリーハミルトンの公式 iSL2(
J により帰納的に言弓手できる。正の
し
、 TT(AB)=TTA.TTB-TT(AB-1)
q
(d
)の c
r
i
t
i
c
a
lpointb
実軸上にただ Iつ 九 /
/
p
qがある。そこからただ Iつだ
(
p
/
q
)の枝が Ee-Reにのびているので、それをたどっ
け hyperboliclocusH
/
q
(
c
p
/
q
)
1=2なる点 Cp
て￨九 /
qまでいく この点は Eeの境界上の点であり、こ
の simplearcが rationalpleatingrayP
(p/q，
q
/
p
)である。
O
References
[
1
] L.V.Ahlfors，1ectures on Quasiconformal Mappings，Wadsworth 乱立d
Brooks/ColeMathematicsS
e
r
i
e
s(
1
9
8
7
)
.
[
2
] R.D.Canary，D.B.A.EpsteinandP.Green，
Notesonn
o
t
e
so
fThurston，
Analyticandgeometricaspectso
fhyperbolicspace(ed.D.BλEpstein)，
10凶 onMath.S
o
c
.1ectureNotesS
e
r
i
e
s111(1987)，
5
9
2
.
[
3
]C
.
J
.
E
a
r
l
e，Some I
n
t
r
i
n
s
i
c coordinates on Teichmuller space，P
r
o
c
.
r
.Math.S
o
c
.83(1981)，
52753l
.
Ame
戸
1i
マ
'
[
4
] D.B.A.EpsteinandA.Marden，
Convexh
u
l
l
si
nh
y
p
e
r
b
o
l
i
cs
p
a
c
e at
h
e
oremo
fS
u
l
l
i
v
a
n
乱
，ndmeasuredpleatedsurfaces，
A
n
a
1
y
t
i
candgeometr
i
ca
s
p
e
c
t
s0
"
1h
y
p
e
r
b
o
l
i
cs
p
a
c
e(
e
d
.
D
.
B
.
A
.
E
p
s
t
e
i
n
)，
LondonMath.S
o
c
.
L
e
c
t
u
r
eNo
t
e
s伽
Se
町巾
r.
ヲ
同
[
司
5
]L. Ke田en叫ヲB. Ma出北
sl~ki
出
~l江t a
ndC
.
S
e
r
i
e
s，
G
e
o
m
e
t
r
i
c
f
i
n
i
t
e
n
e
s
sa
吋 u
n
i
q
u
e
n
e
s
s"
1
o
r
K
1
e
i
n
i
a
ng
r
o
u
p
sw
i
t
hc
i
r
c
l
ep
a
c
k
i
n
gl
i
m
i
ts
e
t
sヲ J
.ReineAngew.Math.
0
9
2
1
9
.
4
3
6
(
1
9
9
3
)ヲ2
l
e
a
t
i
n
gc
o
o
r
d
i
n
a
t
e
s"
1
o
rt
h
eMaskitembeddi時 o
f
[
6
] L.KeenandC
.
S
e
r
i
e
sP
"
1p
uncturedt
o
r
i，
Topo1ogy3
2
(
1
9
9
3
)ヲ7
1
9
7
4
9
.
t
h
eT
e
i
c
h
m
u
l
l
e
rs
p
a
c
e0
う
.KeenandC
.
S
e
r
i
e
s，
TheR
i
l
e
ys
l
i
c
eo
JS
c
h
o
t
t
k
ys
p
a
c
e，
P
r
o
c
.London
[
7
]L
Math.S
o
c
.6
9
(
1
9
9
4
)η90
ヲ
.KeenandC
.
S
e
r
i
e
sヲ C
o
n
t
i
n
u
i
t
yo
fc
o
n
v
e
xh
u
l
lb
o
u
n
d
a
r
i
e
s，
P
a
c
i
五c
.J
.
[
8
]L
Math.1
6
8
(
1
9
9
5
)，
1
8
3
2
0
6
.
.KeenandC
.
S
e
r
i
e
s，
Howt
obendp
a
i
r
so
fpuncturedt
o
r
i，
p
r
e
p
r
i
n
t
.
[
9
]L
[
1
0
] S.Kerckho
，
f
l
: TheN
i
e
1
s
e
nr
e
a
l
i
z
a
t
i
o
np
r
o
b
1
e
叫 A
nn.ofMath.1
1
7
(
1
9
8
3
)
2
3
5
2
6
5
.
ヲ
.Kra，
Onι
乱
a
I
酔
g
e
b
r
a
泊JCCU
[
1
1
]I
An凶n
l
札
a
.
1田
e
sP叶
o
1
0
山:iMa
凶
叫
t
h
.XLVI(1995)1
4
7
1
5
6
.
ヲ
.KraandB.M出 k
i
t，B
a
s
e
sf
o
rq
u
a
d
r
a
t
i
cd
i
:
l
f
e
r
e
n
t
i
a
l
s，Comment.Math.
[
1
2
]I
6
0
3位 6
.
H
e
r
v
.5
7
(
1
9
8
2
)，
Thegeometryぱ
0
f1
五
1
正
1
1
n
l
凶
[
1
3
] A.Marden，
Ma
副
叫t
h
.9
9
(
1
9
7
4
)，
3
8
3
4
6
2
.
Dynamicsi
nOneComp1exV乱r
i
a
b
1
e
:I
n
t
r
o
d
u
c
t
o
r
yL
e
c
t
u
r
e
s，
[
1
4
]J
.
M
i
1
n
o
r，
I
n
s
t
i
t
u
t
ef
o
rMath.S
c
i
.，
SUNYStonyBrook 1
9
9
0
.
ヲ
BendingJ
o
r
m
u
1
a
eJ
o
rconvexh
u
1
1b
o
u
n
d
a
r
i
e
sヲ
[
1
5
]J
.
R
.
P
a
r
k
e
randC
.
S
e
r
i
e
s，
J
o
u
r
n
a
ldAnalyseMath 67(
1995)，
1
6
5
1
9
8
.
ヲ
・
f Marko
:
l
f numbers， Math. I
n
t
e
l
l
i
g
e
n
c
e
r
[
1
6
]C
.
S
e
r
i
e
sヲ The geometry o
2
0
2
9
.
7
(
1
9
8
5
)，
，Lectures on 1
出a
t
i時 c
o
o
r
d
i
n
a
t
e
sf
o
rt
h
e Maskit embed
[
1
7
] C.S自主 s
d
i
n
go
ft
h
epuncturedt
o
r
u
s
.I
nP
r
o
c
e
e
d
i
n
g
so
ft
h
eDaewoo C
o
n
f
e
r
e
n
c
eonMathematicsandP
h
y
s
i
c
s
.S
e
o
u
1Na
t
i
o
n
a
1U
n
i
v
e
r
s
i
t
yS
e
o
u
1，
Korea(1992)1
1
5
1
4
6
.
ヲ
ヲ
-72
SPECTRAOFOPENRIEMANNSURFACES
須川敏幸
京都大学・理学部
S
e
p
t
e
m
b
e
r1
61
9
9
7
ヲ
1.序
双曲的リーマン面(あるいは、より一般にリーマン多様体) R 上の(計量による)
L
a
p
l
a
c
e
-B
c
l
t
r
a
m
i作用素-，dに関するスベクトルの分布は『音を聴いて面の幾何学的
構造がどの程度分かるか』という観点からこれまで多くの人により研究されてきた。
i
s
o
s
p
e
c
t
r
a
lp
r
oblemと呼ばれるのがそれである。スベクトルの分布はもちろん、面
を変形すれば変化する。では、面の変形によって不変な量はないだろうか。例えば素
数定理に対応するような形でスベクトルの漸近挙動によって次元や双曲面積(体積)
が分かる、というタイプの結果が古くは W
e
i
lなどにより知られてきた。
一方、これとはある意味で対極をなす、第一固有値と呼ばれる量入 (
R
)がある。こ
の量も様々な観点から調べられている。例えば、これは R
e
i
l
e
i
g
hq
u
o
t
i
e
n
tと呼ばれ
る次のような量の下限としても特徴付けることが出来る口
J~ I
V
t
p
l
2
d
Vo
l
λ(
R
)= inf
ψ
εC
[
;
'
(
R
)
J
f
¥
1
:
一
一
・
この値が正であるという性質はいかなる変形によって保たれるか、あるいはどのよう
な時にこの値が正になるか。これについて双曲的リーマン面の場合に考えよう、とい
うのが今回のお話のテーマである。
P
o
i
n
c
a
r
e計量)内二 ρn
(z
)
l
d
z
lを持っ
以下 Rは常に -4の定曲率を持つ双曲計量 (
たリーマン面とする。すなわち、単位円板からのある正則な普遍被覆写像'fJ:
I
l
J
)→ R
があって P*PR(Z)二 市 が 成 り 立 つ と す る 口 ( 定 曲 率 一 1を好む人々も多いので色々
な人の結果を比較したり使ったりする際には注意が必要である。自戒の念もこめて。)
この量入 (
R
)の重要性は次の而の収束指数との関係を見ても分かるであろう O
i
ワ
つd
Theorem1
.1 (
Elstrodt-Patterson-Sullivan[
6
]
)
.
b
(
R
)= <;
I
d
(
R
)
(
l-b
(
R
)
)
i
ザ0三d
(
R
)三
ザ 三d
(
R
)三 1
i
ヲ
ここに面の収束指数b
(
R
)とは Fを Rの単位円板上のフックス群模型としたときに
(つまり、 p:J
D
)→ Rの被覆変換群)，
乞 1ー γ(oW< ∞
7εF
となるような正数6の下限として定義される。実はこの数は Fの c
o
n
i
c
a
ll
i
m
i
ts
e
tの
H
a
u
s
d
o
r
f
f次元に等しいことが知られている。特にこの定理から収束指数が 1より小
さいことが入 (
R
)>0であるための必要卜分条件であることが分かる。
(同様のことが高次元の双曲的多様体でも成り立つことが知られてきているが、そ
れについてはここではこれ以 t言及しない。)
さて入 (
R
)を直接計算したり評価するのは難しいので、ここで Chccgcr定数と呼ば
(R)を導入しよう。 DRを R
I
*
Jに含まれる相対コンパクトな領域で境界が
れる定数 h
ordan曲線からなるもの全体とする。 D εDR
滑らかな互いに交わらない有限個の J
に立すして
三
ル
I
D
I I
D
I
R
二
R
(
z
f州
ニ
ん
川)Idzl
問D
I= 1
ω
I
R
と定め、
h
(
R
)
S叩
I
D
I
D
O
l
t
￨
θD
I
と定義する。次の左辺が有名な C
hcegerの不等式である O
二
Theorem1
.2(
c
f
.[
2
]
)
.
1一 三 入 (R)<-L
1
6
h
(
R
)
2= .'\~~J - 4
h(R)
この結果より特に入 (
R
)>0であるための必要十分条件は h
(
R
)< ∞である，つま
り双曲的等周不等式
三h
(
R
)
1 が成り立つことであることが分かる。なお、簡
(
R
)=1
/
2である。
単な計算から分かるように Rが単連結であれば h
I
D
I
θ
D
I
2
. 有界幾何学
さて、よく知られているように固有値に関するスベクトルの対応物として閉測地
l
c
n
g
t
hspectrum) がある。これらの間には密接な関係があ
総に関するスペクトル (
ることが知られており、例えば適当な条件のもとでは固有値のスベクトルが同じであ
れば閉測地線のスペクトルも同じであることなどが知られている。そこで、次のよう
な定義をしたくなるのが人情というものである。
η'd
4
i
De
:
f
inition2
.1
. Rの閉測地線の長さの下限を LR
'と書き、これが正となるようなリー
マン面を Lehner型であると呼ぶ。
なお、 Rが Lehner型であるための必要卜分条件は N
i
e
b
u
r
S
h
e
i
n
g
o
r
n[
4
J によって
その上の任意の可積分な正則 2次微分が双曲的有界である，ということが知られて
いる。
R
) Oとなる例は平面領域でも
ただ、これではやや弱く(実際、 Lelmer型だが入 (
簡単に作れる)，ここではもう少し強く次のような面を考えよう O
二
De
:
f
inition2
.
2
. LRを Rが punctureを持たない時は LR
'で，持つ時は 0によって定
義する。 LR>0であるような面は単射半径が下から正の定数 LR/2で押さえられる
fboundedgeometry)
とも言い換えられるので、このような面を有界幾何学を持つ(o
と呼ぶ。
特に Rが平面領域である場合は Rが有界幾何学を持つための必要十分条件は境界
が一様完全(旧u
formlyp
e
r
f
e
c
t
)であることである (
c
f
.[
5
]
)。
F
e
r
n
a
n
d
e
z
-Rodriguezによって次のことが知られている。
Theorem2
.
1(
[
2
]
)
.平面領域 Rが有界幾何学を持てば入 (
R
)>0である。また R内
の閉集合 A が条件 i
n
f
α，
b
εAヲザbd
R
(o" b
)>0を満たせば入 (
R¥A
)>0である。ここに
む は Rの双曲距離を表す。
R
)>0という性質が擬等角写像によって保たれる
(注意)同じ論文において、入 (
ことが証明されている。
この講演ではこの結果を次のように一般化しなおかつ量的な評価を与える。
一R
Qd
π一
L
十
1i一
ワ
ム
l'ノ
一
<
R
、
、
Theorem2
.
2
.Rを有界幾何学を持つコンパクトでないリーマン面で種数 g>Oは
有限であるとする。このとき、
特に入 (
R
)>0が成り立つ口
3
Jの意味での roughi
s
o
m
e
t
r
yの概念を用いれ
(注意)種数が有限の場合も金井氏 [
.
1から容易に導けることが分かる。ただ、それだと良い評価を得るのは難 L
ば定理2
いであろう。
また、多少の p
u
n
c
t
u
r
eなどがあっても先と同様の適当な分離条件があれば入 (
R
)>0
が成り立つことが分かる D これについては講演の時に詳しく述べることにしたい。
-75
3
. 無限種数の場合
先の定理では種数は有限に限ったが、実は種数が無限の場合は而が有界幾何学を
持ったとしても入 (
R
)ニ Oとなることがあり f
尋る。実際、例えば次のことが知られて
いる。
π :R→ R を(不
分岐) G
αl
o
i
s被覆写像で、被覆変換群が有限生成とすると入 (
R
)ニ Oであるための必要
Theorem3
.
1 (Brooks [
1
]
)
.Rをコンパクトリーマン面とする。
十分条件はこの被覆が αrnenαb
l
eであることである。
ここで被覆が amenahleであるとはこの場合には被覆変換群のある生成元系に関す
る Cayleyグラフが vertexの個数に関して“等周不等式"を満たすことだと思ってよ
い。例えば、 Ahel群は amenahleだが自由群は non-amcnahlcである。なお、この論
文では B
rooksは普遍被覆についてしか述べていないがこのように一般の形でも成り
立つ。
REFERENCES
泊O
OKS
叫
ヲ R
.Theb叫
ot
t
ω
冶
;
omo
ぱf
t
出
J
右
hes
p
e
c
t
r
l
l
mぱ
0f
乱 R
i
匂
emannianc
o
v
e
白r
恒g
ヲJ
.Ri
叩η
巴 A
η炉
gE初 .Mαa
t
ι
h
.，357
1
. BR
(
1985)，
1
0
1
1
1
4
.
2
. FERNANDEZ，
J
.L.ANDRODRIGUEZ，
J
.M.Thecxponento
fconvergenceo
fRiemanns
l
1r
f
a
c
e
s
.
c
a
d
.S
c
i
.F
e
n
n
.S
e
T
.A 1Math.，
15(
1
9
9
0
)，
1
6
5
1
8
3
.
BassRiemanns
u
r
f
a
c
e
s Ann.A
3
. KANAJ，
M.ROllghi
s
o
m
e
t
r
i
e
s andc
o
m
b
i
n
a
t
o
r
i
a
lapproximationso
fg
e
o
m
e
t
r
i
e
so
fnoncompact
Riemannianm
a
n
i
f
o
l
c
l
s，
J
.Ma仇 S
o
c
.J
a
p
(
叫 3
7(
1985)，
3
9
1
4
1
3
.
4
. NmnuRヲ D
.ANDSHEINGORN，M.Characterizationo
fFuchsiang
r
o
l
l
p
swhosei
n
t
e
g
r
a
b
l
eforms
a
r
cbounded，
Ann.o
fMath. 106(
1
9
7
7
)，
2
3
9
2
5
8
.
5
. SUGAWA，
T.Variousc
l
o
m
a
i
nc
o
n
s
t
a
n
t
sr
e
l
a
t
e
dt
ol
l
n
i
f
o
r
mpe巾 c
t
n
e
s
s，
P
r
e
p
r
i
n
t(
1
9
9
7
)
.
6
. SULLIVAN，
D.R
e
l
a
t
e
c
la
s
p
e
c
t
so
fp
o
s
i
t
i
v
i
t
yi
nRiemanniangeometry
，J
.D
i
f
f
. Geom.，
25(
1
9
8
7
)
327-351
.
ヲ
ヲ
ヲ
ヲ
ー
76-
明 TEB
幾何学:なぜ (DOUBLE)TRANSLATION
面からリーマン面がでてくるか?
中居功
数学教室
北海道大学
BLSCHKESCHOOLにより WEB幾何学が発達するきっかけとなった LIEの発見，それに続
の仕事を紹介する
くPOINCARE，WIRTINGER
O
Translations
u
r
f
a
c
eとはつぎのようにして符られる曲面のことを言う
R
.
フ O→]R.
3ヲキを
c
u
r
v
e
s
)C1(町)ヲ C2(71'2) :]
O
二つの空間曲線(
parametric
(
U
1
)= (
C1
1
1
(
U
1
)，
]
2
(
U
1
)う
ん (ud)，
(
U
2
)ニ (91(
C2
'
U
2
)，
の(
U
2
)，
9
3
(U
2
)
)
とする。
このとき写像
示をもっ山面となる
C1十 C2:]R.1X]R1→]R3の像 S Im(C1+C2)は次のパラメーター表
二
O
Z二
h(U1)十 91(
U
2
) υ h(ud十 92(
U
2
) Z h(U1)十 93(U
2
)
.
ヲ
ヲ
二
二
ここで、 C1，C2の像はともに直線ではないと仮定しよう o (円そうでない刊とき S は単純なものになって
しまう o )この曲面は U
1曲線 C1十本 :C1
牢
)
ヲU
2一山線 C2十本 :C1
キ
)+C2
(
U
1
)+C2
(
(
(
U
2
)によ
f
i
，
F2を持つ。
る 2つの葉層構造:
明らかに曲面 S は次の方程式をみたす。
x
jθU
1δU
2 O
δ2
二
この山両を
Zニ
ぅ
θ2
y
jθ'
U
1θ，J7 2 = 0，
δ2
z
jθU
1θU
2 O
二
F(町 υ
) と表わして上の 3番目の方程式を x，yで書き直すと
f
J
d凡;
x十(1
{
9
;+]~9~)
Fxy 十 ]~ι Fyy
=0
となる。もう少しのべると Gaussmap(
F
xぅF
y
)
:Sー}C2(1
P
'
2のc
h
a
r
tとおもう)は genencな点で
非特異であり S上の局所座標と思ってよいので f
Lj
Ld
?
ι は Fx，Fyの関数として書け、次のタ
r
e微分方程式となる O
イフ。の Monge-Ampe
P(Fx，
F
y
)F
x
x十 Q(Fx，
F
y
)F
x
y十 R(Fx F
y
)F
y
y O
ヲ
二
(これはムリヤリ書き直しているようにみえるがこの方程式は後に L
i
eによる Doublet
r
a
n
s
l
a
t
i
o
n
s
u
r
f
a
c
eの分類で、基本的役割をしている o )
7
7
L
i
eの仕事を説明するために kで、触れた Gaussmapについてもう少し詳しく述べよう
Gaussmap
C~ :S→]p2
o
ui-曲線の
み
:
ど
C~(U1) = [
j¥
(
U
1
)
:f
'2(U1):f
'3(ud
，]
C~( U
2
)= [
g
¥(
U
2
):g
'
2
(U
2
):
g
'3
(U
2
)
，]
と定義し G
aussmap G
αu
ss:S→]p2 V を
G
α uss(p)={Sのp での接ベクトルを]p2の元とみなしたもの }
V
+
と定める。言い替えると p= C1
(ud C2
(
U
2
)ε Sとしたとき G
αu
s
s
(
p
)はCHU1
)ヲ CHU2
)で張
u
a
l
)で、ある O
られる射影直線(の d
Gaussmapはクラメールの公式から
p
hリ J
位
打札
引
J
﹄
十U
TQ
e
P九 的
J
μAJ
引
4し
J仏叫
e
，
G
P九
が
AJ
め
唱
d
F
+し
e
一
一
E
QU
¥lj
p
w
u
α
、
，
，
・
〆
s
G
と表わせる O
s
.Lie(
1842-1899)は1882年の論文でDoubletranslationsurfaceを研究した。
七r
a
n
s
l
a
t
i
o
ns
u
r
f
a
c
eとは、 2通りの t
r
a
n
s
l
a
t
i
o
nt
l
l
;
'
)
査を持つ曲面のことをいう
3を用いて
曲線 1ヲ・・・ C4 C
C
，
O
ここで、D
ouble
つまり 4つの空間
C
C
S 二 Im(C
)ニ Im(C
)
1+C2
3+C1
と書けるものを言う O ここで、は二つの杭造 C
1十
よい。さて L
i
eの結果は以下のものである
C2，
C3十 C4が一般の位置にあることを仮定しなくて
O
定理0
.1Lie(1882). S C ~3 を dOllble t
r
a
n
s
l
a
t
i
o
ns
l
1
r
[
a
c
eとする。このとき Ga山
の像はすべて一つの]p2 の 4次の代数山線にふくまれる
smapC:
O
この定理は後で証明する O この定理により T
r
a
n
s
l
a
t
i
o
ns
u
r
f
a
c
eを生成する空間曲線を忘れてし
まってもそれらは"特別な場合"以外は一意に決まることを言っている O その特別なものが面白いの
だが…
O
f
麦でわかることだ均三
.
2
. この 4次の代数曲線は既約である O しかもそれは種数 3、次数 4の標準平面曲線CC ]
p2
命題 0
であり、曲面 S はその曲線のヤコビアンのテータ因子と自然に同一視できる O
命題 0
.
3
.
G
a
l
l
s
smapS→]p2 V は 6枚の s
h
e
e
tをもっ b
r
a
n
c
h
e
dc
o
v
e
r
i
n
g
で、あり、その分岐
集合は Cの射影双対曲線である O
1
. 射影空間山総の双対Projective(Linear)Web.
ここでは一般に代数的な d
e
g
r
e
edの空間曲線 C 仁]pn にたいして双対空間]pn V 上の d-web構
造 刊)c について説明する O
-78-
定義1.1. Cの点 Z の双対超平面を X V =Hxと書く
双 対 日T
e
bまたは単に A
l
g
e
b
r
a
i
cWぬ と い う O
o
HxのJ
1
矢を Wc={
H
x，
xξC}と書き、 Cの
まずはじめに射影幾何の双対性より
pε
Hx
二
V
X ~斗 pV う Z
であるから p通る H
xの数はpVncの元の(もちろん重複度をこめた)個数、つまり曲線C の次数に等
しい。
pV円 C =
{Xlγ ・・ぅ川}
このとき交点町は重複していないので、そこで C と pVは横断的に
、
でxi はすべて異なるとしよう
p
)とみなすことがで
交わるので、交点町 ε Cはpのまわりで定義された Cに値をとる非特異な関数町 (
きる 従って p のまわりで超平面 z
y HXi {Xi(p)ニ
により非特異な葉層 :
F
iが定義され
は一般の位置となる。
るo Xlγ ・・ぅ引が一般の位置にあるとき葉層 :
F
i
F
i に関して次の興味深い結果が知られている O
葉層 :
O
O
二
x
J
二
定理1.2Nakai. Cヲ C
'cl
p
m を非退化〔超平面 l
こ含まれない)で既約な空間山線、 h をl
p
mの位相同
形写像とする。 hが向きイ寸けを保ち(逆にしていて)Web
構造 Wc を W c'に移しているとき、言い
)
=
H
ゅ
(
p
)
ぅ
p
E
C
となる写像ゆ
:
C
→
C
'があるとする。このとき C または C
'が
替えると h(H
p
次数n+lの楕円曲線でなければ、 g および hうゆは正則同形(反正則同形)である。
p
Jnの双対日T
e
bW c は j
p
'n の双対‘空間jp'n V 上に定義されたが、双対空間
次数dの空間曲線 C C j
は C 上の L
i
n
e
a
rsystemとしてもみなせる O ここで L
i
n
e
a
rsystemについて少し説明しておく O
C の超平面H による断面 CnHはd
1
固の点からなる O
CnH= {Xl
γ
・
・
ヲ Xd}
これを次のような形式的な C の点の和
D
二
Xl
+
.
.
.Xd
と書くとき、 D を C 上の(正の)因子と呼ぶ。このようにして得られる因子は次のような面白い性質を
もっている O
D
' CnH'
二
を別の超平面 H
'により定義される因子とする o H，
H
'を([n上で定義する 1次式をそれぞれ j，
gと
すると g
/
1は分母、分子の次数が同じなのでjp'n 上の有理関数を定義し C 上の有理形関数に制限す
=
(
g
/
f
)
= 0点集合一∞点集合)は明らかに
るO この関数の因子 (
(
g
/t
)= D'-D
となる O またこのような有理形関数は定数倍をのぞいてただ一つ定まる O 一般に 2つの因子 DフD
'に
h
)=D'-D となるとき DヲD'を線形同値と言う O この言葉を使う
対して有理関数 hが存在して (
と
j
p
'n V はD と線形同値な因子からなる集合とみなせる O また有理形関数の言葉でいうと
(
h
)+D三O
(つまりんの O点集合が
-79-
D
)
となる有理形関数 hのなす射影空間の部分空間と同一視できる このような有理形関数 h全体のなす
D
Iとかき completelinearsystemとよぶ。これた、けで、分かつたとは思えないが、い
射影空間を I
いたいことは
O
(正の因子)
ε
I
D
Iや斗超平面による断面
であるということ
O
このとき上の定理1.2
は次のように言い替えられる
O
定理1.3
.
C，C
'は桔円曲線でないとし、 D，Eを上のような Cヲ C
'の因子とする
向き付けを保つ(逆にする)位相同形で
ゆ(
1D 1
)
二
となるとき、言い替えると
O
ゆ :C→ C
'を
I
E
I
Dと紘-]f;
1
司値な因子 D'二 X
1...十川亡 I
D
Iに対して
ゆ(
D
'
)二世 (
X
1・・・十 X
d
)ニゆ (Xd十・・・+ゆ (
X
d
)
はE と線形同値となるときゅは正則同形(反正則同形)である。
2 積分写像と標準曲線.
最も重要な空間由椋は標準山線(
Canonicalc
u
r
v
e
)である
標 準 曲 線 Cg C j
p
>g-lの双対
(
2
g-2)-WebW c を考察しよう まず標準曲線の作り方からはじめる。 Cgを種数g のリーマン面と
する o C上 l
こ
は g個の線形独立な正則 lー形式 ω1，
・
・
・ ?ωg があることが知られている(例えばRiema
g
nn-Roch定理による)。いま積分写像ゆ :C→
を次のように定義する。
O
O
c
仰)二(ぷsepointω1?l:sepointω g
)
もちろん上の積分は basep
o
i
n
tからの積分経路によっているので C のサイクル c
ξ町 (
C
)に沿った
凶の積分
つまり周期のぶんだけ ambiguityi
J
王残る つまりゅの行き先はヤコビアン Jc= CgjA
L
ω
z
O
とするのが正しい定義です。ここで A は周期ベクトル (
J
cω1，
.• .， J~ ωg) ε c の集合で c の部分
群となる この積分写像の像をやはり C 仁 CgjAとかく
このヤコビアン Jcの中にはテータ因子と呼ばれる余次元 1の部分多様体 O が棲んでいる。これは
ヤコビアン上のリーマンのテータ関数の O点集合だが、ある別の定義によれば、。は
g
g
O
O
X
1)十・・・十世 (
Xg
1
)ヲ
ゆ(
の集合で言い替えると Cのg-l
個の
Xi E C
g
c
のベクトル集合としての和
。二 C十・・・十 C
として書け t
r
a
n
s
l
a
t
i
o
ns
u
r
f
a
c
eの構造を持つ。つまり S
e
l
ft
r
a
n
s
l
a
t
i
o
ns
u
r
f
a
c
eである。ここでは
g-l本の空間曲娘はそれぞれX
1γ ・・ぅ勺 -1 ECによりパラメトライズされ g-l次の C の因子
DニX
1十・・・十 Xg
1 モC
0
(
g
1
)
がのの局所座標となる
O
00
ハU
次に標準曲線 C 仁
c
g- 1を定義する
ψ(x)
ニ
O
標準埋め込み写像
ψ:C→ I
P
'g-l は
{holomorphic1
-formωs.t.ω(x)=O}V
=
[
，ω1(δx
):・・・ :
ωg
(θx]
)
と定義される O
正則 1ー形式 ω を
ω=α1ω1十・・・十 αgωg
と書いておくと、条件 ω(
x
)ニ Oは
ω(
x
)= α1ωl
(
X
)+・・・十 α
g
ωg
(
x
)= 0
となる
O
従って射影双対の定義に従って
ゆ(
x
)= ω
[l
(
X
):・・・ :
ωg
(
x
]
)
となる O この連比の意味は Cの余接線の元としての比、または言い替えると
ψ(
x
)
二
Z
をC の局所座標とすると
[
ω
1
(
θx
):・・・ :
ωg
(θx
)
]
(この写像は、かつてな C上の直線族の正則切断の線形空間 L
i
n
e
a
rsystemに対して同様に定義でき
る。)
C上の正則 1ー形式の O点集合は Cの標準因子と呼ばれf{cとあらわされる o (もちろん C上にたく
さんの正則 1ー形式があるので、たくさんの見かけ上集合として異なる標準因子がある o )上の ψの
P
'g-lの超平両による断面(もちろんmu
1
ti
p
l
i
c
i
t
yも込めて考え
定義から C の標準因子は標準山線 C 仁 I
る)に 1対 1に対応することがわかる O ここで標準曲線は次数 2
g- 2を持つことを注意しておく O
(あるリーマン面Cが超精円的であるとは Cが射影直線1P'1上の 2重被援となっていることを言う O この
とき標準埋め込み写像も次数g-lの正規有理曲親への 2重被覆に退化してしまいの上の 2g-2-Web
構造も g-l-Webに退化する。)
以前に見たように二つの超平面による断面は因子として線形同値である O これは次のようにして
もわかる o 叫 J を 2つの正則 1ー形式、その O点集合をそれぞれDヲ
D
'とする O ωヲω1 を局所的に
f
(
z
)
d
z，
g
(
z
)
d
z とかくと ω
'
/
ω = f/g となるので、比 ω
'
/
ω はC上の有理形関数となりその因子は
(
ω
'
/
ω
)= D'-D
である O
かつてに与えた g
enencなg1
1
1
，i1
のCの点集合D十は標準曲線上で考えると I
P
'gー1の超平面Hを張
H η Cをきめる この f{= H円 Cのうちで、D十以外の点は g-l個ありその点
りD十をふくむ K
集合を
二
O
十 十
〈
D一二{〆 1
I}
言い替えれば
D十十 D一
二 f{
となるようにする O このとき対応
D十 字 二 今 D
ー
は明らかに 1対 1である。このことからヤコピアンのテータ因子は D十のほかに Dーによってもパラ
v-川
にパラメトライズされる曲線によ
メトライズされているとみなすことができ、各座標 4
りg-l個の 1次元葉層構造九ヲ...F2g-2 を持つことがわかる。以下でこれら町一山線は平行移動で一
意であること、つまり
;
1
。 は D によってもある桓の T
r
a
n
s
l
a
t
i
o
n
構造をもっ
ことを示す。
-81
3
. Abelの定理.
cn の Translationsurface構造は余次元 1のη-l-Web構造
足えられることを注意する o T
r
a
n
s
l
a
t
i
o
ns
u
r
f
a
c
eS を
として J
S二 C1十・・・十 Cn-1
と書いたとき、 S は i= 1
γ・
・
フ n-1にたいして
C1十・・・十本+・・・十 Cn-1，キ ε C
i
を葉 (
l
e
a
f
)とする余次元 lの葉層構造を持つ。従って S が d
o
u
b
l
et
r
a
n
s
l
a
t
i
o
nsu
r
f
a
c
eであるとき
S は2n- 2-web構造 (
o
fcodim1
)を持つ。
これを定義する l~ 形式について考察する O
一般に C C l
P
'n を次数d、程数gの代数曲線とし ω をC上の 1ー形式とする o Cの超平面
る断固を
cnH
{
X
1(
p
)
p
二
う う
Hp によ
X
d
(
p
)
}
と書く o C 円 Hpが非特異なとき各 X
i
(
p
)ε Cは局所的にpの解析関数となる O
双対空間lP'nV上の 1形式 Tr
αce(ω
)は以下のように定義される O
Trα
c
e
(ω)=i=E d z
;
ω
ω が正則であるとき T
Tαce(ω)も正則となるのを見るのはそれほど難しくない(これがAbelの定理の
Abelにより証明された部分の特別な場合らしい)。 射影空向上の正則 lー形式は O以外にないことから
Trα
c
e
(ω
)二 O
を得る O
(
d
zはu二 l
/
zとすると d
z=-z2d
z=-l/uduとかけるので z=∞ εPで 2位の極を持つ。 ω
をlP'1 上の解析的 1ー形式とすると ω/
d
zはlP'1 上の解析的関数となり 1
/
g(fぅタは同次)とかける。
これから ω の因子は (
ω
)二 (
d
z
)= -2 となる。)
Web幾何学の立場から上の等式を Abel
方程式とよぶ。この方程式はリーマン面 C から射影空間
imbeddingで、なくても)解析的写像に対して成り立つことを注意しておく(値域の双対空間
l
P
'n への (
l
P
'nV 上に Traceが定義される)。
D二X
1+ ・
・
・ +Xd
，D'二 υ
1+・・・十仰を C上の次数dの因子とする O もう一度定義を思い出す
と Dヲ
D'が線形同値とは、ある C上の有理関数f
があり
D
' - D= (f)二 fの O点集合
fの極集合
1
:C →lP'1 とみたとき DフD'はともにこの写像
となることを言う 0
の
l
P
'1はそれの双対lP'1と同一視できるので)上の等式から
ω
vd
piI'fz
2ι
一
一
82-
ω
fiI/
，
d
zL
d
，
d
ft''fJ
EL
F
u
b
i
n
i型の公式より
fのOヲ∞の逆像で、ある。(値域
ω
e
c
α
T
T
F
t
'
'
'
'
L
u
n
υ
一一一一
となることがわかる。次の Abelの定理は逆にこれが線形同値を特徴ずけることを主張している O
定理3
.1Abelの定理.
つぎの条件は同値。
(
1
)
rXi
仁
o mod
2
j
I ω
l，
.
.
， dJ
x
'
-
がすべての正則 1ー形式 ω に対して成り立つ。
(
2
) D = Xl 十・・・十 Xd と D'二叫十・・・十
4
1 は線形同値
A
0
4
. PoincaI・6の仕事.
Abelの定理の応用として以前に約束したうヤコビアンの Oが doublet
r
a
n
s
l
a
t
i
o
n構造を持つこと
を示す。因子D+，
D の作り方からJ(二 D十十 D は標準因子で、 Abelの定理から
_
ωz
9
1
j
X
十
X
9
lωz 十 j
j
X
lωi十 十 j
ω
X1
i+
は各i= 1 ，..・フ g に対して O 上のパラメータ
当に選びそこから積分を解析接続することで
z
g〉
j
X
lωi十 十 j
と仮定してよい。
~D
によらない定数となる O 積分の base
_
ωz
9
1
j
X
+f1ωt十 十
p
o
i
n
t を適
O
さてこれを
z
g〉
j
X
lωz十 十 j
O
は c g の中の X~
EC によりパラメトライズ
nリu
n
u
d
に
﹂
1J
ω
c
z
r
，
﹄
ω
v
b
一
一
z
4
-
g
のi 番目の座標なので O
c
fI1/
この左辺は O 仁
曲線
c
と書く
された
からなる t
構造を持つことがわかる O 従 つ て の は d
r
a
n
s
l
a
t
i
o
n
oublet
r
a
n
s
l
a
ti
o
ns
u
r
f
a
c
eで、ある O
。が d
oublet
r
a
n
s
l
a
t
i
o
n構造を持つことがわかったところで L
i
eの定理のアイデアをここでも適
用してみると面白い。まず、町一曲線の Gaussmapは
ψ(
ωg
・
・ :
X
i
)= [ω1(
X
i
):・
(町)]
また z
;曲総の Gaussmap も
.:
ψ(XD= [
ωg
'
rD
ω
l
(
.
(心
:.
)]
83-
?
4
となりこれらは標準埋め込み ψ:C→lP'
g-l に よ る 町
の像、つまり標準曲線に他ならない o
の Gaussmapはこれらのベクトルで技られるlP'
gー 1の超平面の射影双対ーである O その超平面を
e
α1ω1(町)十・・・十 αgー 1
ωg-l(Xi)=0
ぅ
または
α
1
ω l(XD十・・・ +αgー 1
ω g-l(XD = 0
4
とかくとそれは [
α
1 ・
・
・ :
α g-l] あるいは Xiヲ で消える 1ー形式
ω ニ α1ω1十・・・十 αg-lωg-l El
P
'
g-l
に l対 1に対応する
O
5 Torelliの 定 理 十 E，E >O
.
ここで、 Doublet
r
a
n
s
l
a
t
i
o
n杭 造 に 直 接 に よ ら ず に の か ら リ ー マ ン 両 C を絞り出す方法を考
えよう 町
一c
urveヲZ;curveの 接 ベ ク ト ル が の のpでの接平面を張るとき、あるいは言い替えれば
G
αu
s
s
(
p
)の双対超平I
百i
Hpと標準曲線の交わりが Hpの 中 で 非 退 化 で あ る と き の はpで、非特異で、あ
る。またのの特異性(例えばTangentc
one)はその退化の様子 (
S
p
e
c
i
a
ld
i
v
i
s
o
rのdeformation)で
記述される 非特異な点pで
、
の Gaussmapの特異性は Hp と標準山線の交わりの特異性で記述される
O
O
O
まずはじめに次を証明する O
.1(Torelli?).
定理 5
e→lP'g-lVののでの分岐点(特異点)集合は
Gaussmapの制限 G
α uss:
{
ゆ (Xd十・・・+ゆ (Xg-d
Iある i#jに た い し て 町 二 Xj}，
またjp'
g-l での分岐点集合は
{pιl
P
'
g-lVI
pV円 C
Iは特異}=Cの Projectivedualvariety
である O
証明
pモ
j
p
'
g-lV とし Hpnc= X1十・・・十 X2g-2 と書こう O 交わりが非特異であるとき各Z
町z は
点pの非特異な正則関数で、あり♂町Zを適当にうまく動かすことで
l
は
土
点p、
でi
最註大の陪数を持つ o Hpncが特異なときこのpの双対超平面は自由に動けない o X1，・
・
・
ヲ Xg-1
がHp を生成するとき l
P
'
gー 1Vのpで、の接平面は、lP'g-lVを
l
P
'
g-lの超平面の集合(グラスマン)とみなし
たとき、町ヲ i= 1
γ・
・
， 9-1で
、
の Hpへの法方向のベクトルで生成される。
・，
Xgー 1を適当に(無限小に)動かしても X1 二 X2で、は標準曲線の
例えばX1 二 X2で、あるとき X1γ ・
接線は Hpに含まれてしまうので、 HpのX1 二 X2で、の法方向のベクトルは張らない。従って
corankdGα山 s
(
p
)三 1
である O これより Gaussmapの特異値集合は標準曲椋の接超平面の双対全体、つまり標準曲線の射
影双対多様体である 射影幾何の再帰性(
b
i
d
u
a
l
i
t
y
)により特異値集合の射影双対が標準曲椋、つまり
埋め込まれたリーマン面 Cである O これでよく知られた T
o
r
e
l
l
iの定理の証明を終わる O
O
-84-
一般に余次元 1の多様体の射影双対は余次元 1となり、それが曲線となるのはきわめて稀である O
そうなるための条件も MongeAmpere
方程式で、かける
上の命題の証明のなかの議論に空間曲線の T
angentS
c
r
o
l
lの基本的結果を応用することで、もっ
と一般に町二・・・二叫が C 、
でg
enencで、あるとき
O
Gaussmapのpを通る五berはz
一重点
である
O
またもっと強く
Gaussmapはp、
でA
z-1_typeのs
t
a
b
l
emapである
O
であることカ宝わかる O
AZ(Gαu
s
s
)= {pεeI
Ga
.
ωδ はpでi
一重の分￨肢をする}
とすると A
Zは O のフィルトレーションをあたえる O とくに i二 g-2のとき Ag-2は由主是となる O こ
れは g-l個のベクトルの和集合
(
g-1
)ゆ
.(
x
)=ゆ(
x
)十・..十件 (
x
)
に一致し、その G
aussmapによる像は標準曲線の(I-I.Weylによって定義された)双対射影曲線(
s
t
r
i
c
t
d
u
a
l
)であることも簡単な Wronskianを使った議論で、わかる 我々は次の定理に導かれた。
O
定理 5
.
2(
T
o
r
e
l
l
i十
E)E
>0
)
. ecCs)C C j
p
'
g
l を上のものとする。
G
αuss(A1
(Gαuss)
)
二 projectivedualofthecanonicalcurveC仁jp'g-lV
G
αUSS(Ag-2(Gαu
s
s
)
)= s
t
r
j
c
tp
r
o
j
e
c
t
i
v
ed
u
a
lo
ft
h
ec
a
n
o
n
j
c
a
lc
u
r
v
eCζ
この定理はのの"変山点集合"として
C が埋め込まれていることを主張している
j
p
'
g-lV
O
6
. Webの定義と AbellJ程式.
v
Iをη一次元多様体とする o M_tの余次7GCのd-Webとは、 d個の余
さて一般に Webを定義する o J
次元 Cの葉j
百F
iヲi= 1，
・
・
・
ヲ dの重ね合せれJ二 (F
・
・
・
ヲF
d
)をいう 通 常 九 は す べ て 非 特 異 で 一 般
1，
i
e
-P
o
i
n
c
a
r
eの仕事を含むために、また常微分方程式への応用をみこんで
の位置にあると仮定するがL
O
緩やかな特異性も許したい。しかしながらいま簡単のために非特異で一般の位置とする O また余次元
lの場合のみを考える o
定義 6
.1.余次元cの d-Web、W こ (F
• ・・ ， Fd) 、 W' 二 (F{ ， ・・・ヲ F~) が|司型であるとは M の正
1，
則同型 hがあり h
(
F
i
)二 3? となることを言う O
n
d三 n のときは 余次元 1のd-Webは座標関数引により定義された c
の P
r
o
j
e
c
t
i
v
eWeb、
W = (F
.・
・
ヲF
d
)、 冗 = { 町 二 const}に同型となることはすぐにわかる。 従って η+1三dの
1，
場合が局所的で非特異のときの研究の対象となる O
Web幾何学で、は主に局所的な構造をあっかう:Algebr
包a
t
i
o
ntheorem(定理 21
.1
)などに見られ
るように局所的な桔:造が大域的な代数的構造までも決定してしまう
O
さて葉層 Fi は多様体あるいは多様体の開領域で定義された正則関数υ~ i~こよって定義されているとし
よう
O
hu
﹁
o
o
定義 1
6.1Abel方程式.次の形の等式
h(Ul)dul十・・・
+fd(Ud)dud= 0
を WebWの Abel
方程式と呼ぶ。
b
l
et
r
a
n
s
l
a
t
i
o
ns
u
r
f
a
c
eS
例 え ば dou
C1
(
U
l
)十・・・十 Cn-1(Un-l)
CHVd十・・・十
C~-l(υn-d を、 U，わりz を定義level関数とする 2n-2-Web とみなしたとき明らかに次の関係式が
成り立つ
C1(Ud十・・・十 Cn-1(Un-l)= C~(υd 十・・・十 C~_l(りn-d
これを微分形式で、かくと
dC
(Unー l)dun-l-dC
(
υdd
υ
1ー・・・ - dC~_l (
υn-dd
υ
π ー 1= 0
1(Uddul十・・・十 dC
nー l
1
という A
bel方程式になる O
定義6
.
2
.{
1
γ・
・，
d
}の部分集合
{
i1，
.
・
・，
i
s
}に対して
f
i1(叫 1)
d
U
i1 十・・・十人 (
u
i
s
)
d
u
t
s二 O
が成り立っとき Abel
方程式は可約であるといい、そうでないとき既約であるという。
定義6
.
3
. 自明(=すべての項が 0)でない Abel
方程式全体のなす線形空間を A と書き
此 (W)
dimAニ ra
という
O
次数dう種数gの代数的空岡山紘 C 仁jp'n の双対 d-WebW c に対しては r
a
n
l
王
三 gである O また
缶t
Lie-Darboux-Gri
h
sの定理によりリーマン面 C上の局所的 1ー形式f
i
)
d
u
iはC上で、定義された
i
(U
共通の正則 1ー形式に拡張する O 従って
加
.
r
此
I
r
a
である o C
a
s
t
e
l
n
u
o
v
o
(
1
8
6
4
1
9
5
2
)により次数dをきめたときの種数 g の最大値は次の Castelnuovo
boundであることが知られている O
定理6.4(Castelnuovo)
.
η
)= (d- n
π(
)+(d- 3n十 2
d，
)+(d- 2n+1
)十・.• +(d- kn+k- 1
)
ここで kはd- 1:
:
:
，
.k
(η-1) となる最大の自然数。とくに口二 2
(
平面曲線)の場合は
π
(い)二 ;
)
(d 仰 -2
である O
これは次の定理により拡張される O
定理6.5(Chern(1978)).
二 1のd-Webにたいし
Cn のcodim
η
)
ranlc(W)三π(
d，
が成り立つ。
8
6
定 義6
.6Linearization と AIgebI
・
i
z
a
t
i
o
n
. W =(
F
1
'・・・ ，
F
d
)を余次元 1の d-Webのgerm
とする O
正則￨司形の germ、fがあり f
(
F
i
)のl
e
a
fが す べ て 超 平 面 と な る と き 、 つ ま り あ る 正 則
P
'n 我あって f(F
Hx二 XVヲxECi となるとき、 W はL
i
n
e
a
r
i
z
a
b
l
eで
曲線の germCi仁 ]
i) = {
あるという o L
ineard-WebのgermフW cぅC = (
C
・・・ヲ C
i は]P'nの正則由娘の germ
フが与
d)フC
1，
・・・ ，
Cdはひとつの m 一次元代数由根のなかにふくまれるとき円七は
えられたとする O このとき C1，
A
l
g
e
b
r
i
z
a
t
i
o
nできるという o
ドグマチックな大問題.いつ L
i
n
e
a
r
i
z
a
t
i
o
nや A
l
g
e
b
r
i
z
a
t
i
o
nで、きるか?
つぎの L
i
e
W
i
r
t
i
時e
rの結果は maximalrankな(
C
a
s
t
e
l
n
u
o
v
oboundをa
t
t
a
i
n
する )Webにたい
してはこれらの問題は肯定的であることを示唆している O
さてリーマン面のヤコピアンのなかに棲む O上には 2
g-2-Web構造があった (
313)
。この場合の
Castelnuovoboundは
π(
2
g-2，
9- 1
)二 g
irtingerは次の定理を証明した。
である o W
定 理6
.6S
.
S
.ChernLie-WirtingertheoremMonatshefte
Math.Phys.
46ヲ384-431)
ideaは Poincare によっている).
=(
:
F
F
2g) を余次
1ヲ・・・ぅ :
n
の芽とする orank=g十 1ならば Web
はP
r
o
j
e
c
t
i
v
i
z
eできる
元 1の gで定義された 2g-Web
の葉がすべて超平面からなる Webに解析的に同型となる。
w
c
hern-Gri
血
七h
sによってさらに一般化されている
このアイデアは C
c
O
7
. Darboux
・G
ri
田 thsの仕事.
日T
i
r
t
i
n
g
e
rの仕事を(おそらく)うけて Darbouxは次の定理を示した。
定 理 21
.1(Lie-Darboux-Griffiths). rank三 1の余次元 1の既約な L
i
n
e
a
rWebは代数化でき
るO
証明，簡単のために η=2の場合に証明する o qニ
ト 1:
α :b
]ζ ]
P
'2のまわりで d-WebW が定義さ
れているとする o Webはすで、に線形化されているので W は双対射影平面の本の滑らかな qの双対直
.:x二 α
υ 十 b(ここで(町 υ
)は双対射影平面の座標)と横断的に交わる曲線 C1，
・・・ぅ C
dから定ま
線e
F
i
る双対WebWcであるとしてよい。もう一度定義を思い出すと W cはd個の 1次 元 葉 層 冗 の 組 で:
は Ciの点の双対直娘の族である o qVとCiの横断性より交点目 =P
i
(
q
)はqの正則関数で、ある O
上で、定義された lー形式を ω
いま Ci
とし、双対平面に引き戻された
1ー形式 p;ωi も ω
i
z とかく o
いま
p;ω1十-ー十 p;ωd O
二
が成り立っとする O 証明のプログラムは次のとおりである O
に極をもっ有理形 2ー形式 Q のr
e
s
i
d
u
eとして書く
1ωzはtの周りで定義された Ci
2 nが射影平面全体に解析的に拡張する
3
4
O
nのresidueは は じ め の 凶 の 拡 張 で あ り
nの 極Cは次数dの代数曲線である
ω の極は Ci
を繋ぐ代数曲線である
O
-87-
O
8
. Part 1 Darbouxのアイデアによる.
五を Ciの定義式とし
y
)
ωt=7jdz=Res(fdz八 d
とかく:ここで f
上の関数つまり Zの r
m数で、ある o
/f
z
/θyまた gz
I= θf
Iは Ci
微分だけできまるので
Resは f
iの 防 で の
g
t
d1J
d
z八
.
.
i
)
I
(y-Y
f
ω Res
二
"<7
"~
とも書けることに注意する O
Q=291
i
)
I
(y-Y
f
dz八 υ
d
と定義する O ただしこの京昔話日は直線fとCiとの交点Piすべてにわたってのものである O これは定義によ
空間の 2 形式である O しかしそれは見かけ上であり、実はυ
りa，
b
α十 b=xと νの 2戸形式である
フU
ことがわかる O もちろんそれには次の(定理の)仮定をもちいる O
2ωi=23dz=0
i上 の 関 数 む を つ か つ て 去 二 θ山 と か く と
告 は Ci上の関数だから C
l，
ノ
. 唱E
‘
¥ l、
t
，
/
二
23
である O む は
I
;3
bt
i
Ci上の関数なので
d
t
i t
i
yd
i
xdx十 t
υ
二
+
また x =αU十 bより dx二 yd
α十 αd
y d
bなので
ti
i
y
)
d
d
t
i= t
i
xd
i
x Y
xα+t
idα十 (
υ十 t
従って αで、偏微分すると (
d
y二 Oだから)
、
，
〆
'
a
、11ノ
キ
を得る。さて
会
α
δ む =υiθb
t
i Y
i
二
(
i
)式を αで偏微分すると
-唱
JJ
f1¥
・-EE4A
、、，，
山
b
t
i二 勾z
十
。
をえる O さて
・守
J
、
、
J'azt
・
1
t
，
'
i
‘
、
・11
I
;
θ'
g
i
b
t
i
一
I
;
=.
Y-Yi
f
I(Y-Yi)
口
0
00
がzヲUの関数で、あることをみるのには微分作用素
θ
α
一 υθb
での微分が Oであることを示せばよい (
i
i
i)より
υδbzz
f
I(
y
二
抗)
Yg
i
2θb
f
I
(υ υi
)
- - U
=~θh
Y
ig
i
Uf
I
(υ一的)
上のトリック(*)により
ニ
8
"
t
o
2θbー土二一
Y-Y
i
8b
8at
βt
i8b
Y
~..::...'一一一三十~-;土三一J :J Z
Y-Y
i '-υ
( 一 抗)
2
ふたたび上のトリック(*)により
A九
十
υ
2
θb
t
iθ
h約
υ-Y
i 'υ
( 抗)
2
θ
α
θb
t
i
θb
t
iδ
α
υ
t
ニ呂一一一『十一一一一U一 肌
(
y-Y
i
)
2
二~-=-土一一十
θ"
t。
=8n~--ー
υ
( 一山)
叫
二 θn~
U
-
-gi
f
I
(ν 抗)
これで証明の 1の部分を終わる O
9
. Part2
. 拡張定理.
これには様々な拡張定理を使えるだろう
O
ここでは二つを紹介する O
定理9
.
1(Camacho-Lins-Sadヲ Ann.Math. 1992). M 2をコンパクトな曲面、 C 仁 M を曲
t
e
i
nであるとする O このとき ωはλI
lの
線
、 ωをCの近傍で、定義された有理形関数とする o M - Cが S
有理形関数に拡張する O
G
r
i
伍t
h
sは次のような拡張定理を使っている
O
定理9
.
2(Gri
面t
hsInv.Math. 1976). 射影直組 e
c]
p
'n のまわりで定義された有理形関数は射
影空間全体]p'nに解析的に拡張する o
我々は n=2の場合だけだからどちらでも同じである O
-89-
10. Part4
. Lagrangeinterpolationformula.
1で定義された 2ー形式 Q は、その形から明らかに ν二抗で、極を持つ
そのほかに υ=∞で、も極
i、
で
を持つように見える(きっと持つはずである)。そこでの Q の形を観察しよう o 一般に1P'1上の ν= Y
1一位の極を持つ 1ー形式は υ= Y
iで、の r
e
s
i
d
u
eを P
i書くと
O
(
2
:
:
: P
i 十p
o
l
y
n
o
r
n
i
a
li
ny
)dy
υ y
i
と書ける o
U
二1
/
υ とおくと
du
1
dυυ2
これより
dド ~y2du = ~今
u
u
上の 1ー形式を uで、書くと
(
2
:
:
: P
i 十p
o
l
y
n
o
r
n
i
a
li
ny
)dy
y~ y
i
ι
二
=
(
2
σ
:
:
2
:
ニ
μ
/i
E一 1
抗
2二
山
山
mh
凶凶山
凶
1泊叫
i
n
ι 生十 polynornialin1/叶今
.u
1~ y
i
uu
'
2
du
=2:::一州十仰十 υ
ω
(
仰i
山
u
川
U
polyn凹ol
n
l
a
ι
1i
立
l/u
ι、
ワ
C)du~ 2
:ρ
i=
=
-+(holornorphicfunctiono
fu
)du
u
u~
これがL
agrangeのi
n
t
e
rp
o
r
l
a
t
i
o
nf
u
r
r
n
u
l
aである o 1でイ乍った 1ー形式 Q に
g
i
ρ
z二
万
として適用すると定理の仮定より
2ρi 2 3 = 0
二
従って Q はν二∞でも正則である O 特に直線 tは係数αヲ b
を少し動かしても曲線Cと丁度d個の点
υ二 ν
1
γ ・・ぅ加で、交わる O 従って Cの次数は dである O
証明の核にあたるのは R
e
i
s
sの方法 (
i
i
) と Darbouxの計算 (
i
i
i
)である。この定理は G
r
i
自 由sに
より一般化されているが、そこでもこれらの方法が繰り返し用いられている O
定理 1
0
.1
. n次元の doublet
r
a
n
s
l
a
t
i
o
ns
u
r
f
a
c
eS は種数n十1の標準曲線 C εI
P
'n の双対2n-Web
W cと同形であり、 Cのヤコビアンのテータ因子の 2n-WebW eと同形である O
証明
T
r
a
n
s
l
a
t
i
o
ns
u
r
f
a
c
eはrank>1なので Lie-Darboux-Gri
団t
h
sの定理により線形化でき
る、つまり S はある次数2
η，の射影山線 C EI
P
'n の双対2n-Webv
¥
ノ
cと同形である O また Cは既約で、
あることがわかる O 上の定理の証明の後半の部分と同じ議論により Cは標準曲線である O
札幌市 060
E-mα
i
l
:n
[email protected]
-90
グロタンディーク・タイヒミュラー群のある精密化について
中村￨専昭
参照
P'L
ochak
，L.Schneps との共同研究 [LNS]
程数 gで η点マークされたリーマン面の写像類群を M(gヲ
η
)とし K(gぅ
η
)をその pure
n
) は標準的な組紐生成元 σ
1
γ ・・ぅ山一 1で生成さ
subgroup とする.特に写像類群 M(O，
(
O川)は Xij σる(σ2Jニ σ-1σ戸2
σ j-1σj-2 ・同)たちで生成され
れ、このとき K
1:
:
;i<j壬 η
).簡単のため Xji ♂りとおし また〈で副有限完備化を表す.群
る(
K
(
Oうのは 2元 X12，X23 で生成される副有限自由群であり、これを以下 K
(
Oぅ5
) におけ
る同じ元で生成される部分群と同一視する。 K
(
Oぅ5)を生成するには 5元町，i+1(添字は
mod5
) を取れば十分である。任意の副有限群 G への任意の準同型ゆ :K
(
Oヲ4)→G は
ta，
X23 け bを指定すれば定まるがこのときのゆ(
J
) を f(αぅ
b
)と
生成元の行く先 X12 r
かく.
E
Definition1
.互 を組(入ヲ1)ε会 xK
(
O，
4
)でつぎの (
I
)，
(
I
I
)ぅ
(
I
I
I
) を満たすもの全
X12)f(X12，
X23) = 1
;
体の集合とする。(J)f(X23，
(
J
1
)f(♂山 X23)Xí2 f(:r:~3 ぅ X12)X~3 川 f(X23 ， X・13)25i=1;
(
1
11
)f(X34ぅX45)f(X51 X12)f(X23ぅX34)f(X45、
X51)f(x山 X23)= 1
.
2
3
)
1
.
但しここで rn=入
( 1
)
/
2ぅ2
1
3 (X12X
こ の と き 宣 の 各 元 はK
(
O，
4
)上に♂ 1
2叶♂ ?
2ヲZ23Hf-14fで自己準同型を定め、
は
monoid になる o G
r
o
t
h
e
n
d
i
e
c
k
-T
e
i
c
h
m
u
l
l
e
r群 UT(
b
yD
r
i
n
f
e
l
d
合成積により豆
[
D
]
)は GTの可逆元全体のなす群として定義される O
GQ=Gal(む/fQ)とすると、 K(O ， 4) を川 (IP~ -{
Oぅ
1ぅ∞})と同一視する際に、 D
e
l
i
g
n
e
ヲ
二
E
のt
a
n
g
e
n
t
i
a
lb
a
s
ep
o
i
n
t'
o
iうを基点として用いる事で自然な単射準同型 GQ斗 UTが生
島削
叶，f社'e
ずることが知られている口(但
e ld ， 匝
h旧
a
r
a問
I
1
1
]
)
.
Bel:孔 Dri‘~ln
[
可
[
L
S
2
] において、勝手な元(入ぅ1)εUFにたいして一意的に gεK
(
Oうのが存在して
1
9
は
が成り立つことが知られている。ここで O K
(
)の上の X12 と X23 を交
f =e
(
Oぅ4
換する自己同型である。 [
r
o
t
h
e
n
d
i
e
c
k
-T
N
l
2
]の結果に基づいて G
e
i
c
h
m
u
l
l
e
r群の "new
v
e
r
s
i
o
n
" を定義するのに適当なつぎの 2条件を見いだすことができる。
ω
Definition2.σi (
)を K ゅ
)の生成元とし、 rを GTの部分群で各元 (
1三 i三 4
λ1
う5
)
がつぎの条件 (
I
I
I
)
'ヲ(
I
V
) を満たす最大のものとする O
(
I
I
I
'
)g
(X45 X51)f(♂ 払 X23)f(X34 X45)= f(σ1σ3、
σ
?
)
;
2(
f
)
2 (f)
2(
f
)
σ
;
ρ
(
σ
1
σ
2
)
6
ρ
f
(
f(
(
I
V
) σhσi
)=
σ? ゥ σ~)σ ア
ここで ρ2(
2はアーベル化 FFにおける等式 g(Xヲy)三 (
)ρ2(f) で定義されるコ
:
r
:y
J)ε
サイクルとする。
ヲ
ぅ
ラ
TypesetbyAMS1
E
;
X
日叫d
11よ
関係式 (
I
I
I
')はそれが GTの定義に現れる (
I
I
I
) をつぎのように合意するためにこの
ように名付けられた。実際、自己同型7]ξA11tlZ(Oぅ 5
) をσ1 卜+σ3ぅ σ2 f→σ2ぅ σ3 ト+σ1ぅ
σ4 r
+ σ15 で /'(σ1σ3ヲイ)を固定するように定義するとき (
I
I
I
'
) の左辺を L と書けば
η(
L)-lL= 1が得られるが、 '
1
7
(
L)
1L は丁度 (
I
I
I
)の左辺である 0 ・
さて種数 g の 1点マークのリーマン面 L
;g，
l の上のループムラ 6
;及び、 Ei で与えられる
パンツ分解を P :L
;g，
l
U
7
1
7
1
p
乙とする。 (P
i は各々のパンツ)。このとき
二
MainTheorern. (
i
)1
[
'は G
I
Q を含む U
Tの部分群である。
(
i
i
) 自然な忠実表現U
TL+A1川 ι
1
)
)がある。
K
(
(
i
i
i
)(
a
)この U
Fの作用は r(Pi)→r(L;g，l
)の像を各 R ε ?ごとに保つ。
(
b
) さらに部分群 I に制限すると r(P
j
)→r
(L;g，
l
)の像を各パンツのベア
iU P
Pi，
乃ごとに保つ。
ε2
02ε3
εEーl
δ
;
References
[
D
1
V.G. D1'i
n
f
el
'd Onq
u
a
s
it
1
'i
<
L
時 叫a
rquasi-Hopfa
l
g
c
b1'a
sand a gro叩
ヲ
c
l
o
s
e
l
yconnectedwith
Gal(QjQ)，
Leni吋 radM
αt
h
.J
.2 (
1
9
9
1
)，
8298
6
0
.
[GGA] G
e
o
r
n
e
t
r
i
cG
αl
o
'
i
5 Action5ヲ P.Locl
叫
1
:
， L
.Schnepse
d
s
.，LondonMath. S
o
c
. L
e
c
t
. Note Ser
.
242 Camb1'i
d
g
eU
n
i
v
e
r
s
i
t
yPress 1
9
9
7
.
Esquissed'unProg1'amme1984 i
n[GGA
，
]5
4
7
.
[
G
r
]
A.Grothcndicck，
叩o
t
的
h
附e
ndi巴ckt
h
m
♂
巴印
07υo
fDe
白58
幻Z
η
川 5d
'
官
E
官
n
f
'
αn
山
t
お
sL
[GTDE]TheGr
Ser
. 200，
CambridgcU
n
i
v
e
r
s
i
t
yP1'e
s
s，
1
9
9
4
.
【
う
守
ヲ
ヲ
[
1
]
Y.1hara，
Ont
h
eembeddi問 。fG
I
QintoGT，in[GTDE
，
] 173-200.
匹
[
LS1] P.Loch乱
k
.L
.Schl
町 p
s
，
町 TheGr
叩o
t
吐h
児e
町
nd
凶i
e
町c
k
T
e
ι
i
c
h
m
l
U
己
叩
L
孔
山
l
l
c1'伊
g
1'0叩 a
但副
n
姐
l
吋
dε
剖
a
t
1
芯
叫
1
u
加
1
t
ω
o
n
l
o1'
'
叩
p
h
山 mso
fbr
心
a
山dg
r
印'
o
u
p
s
町
i
n[GTDE
，
] 323-358.
山，
、
ヲ
川e
r
p問 t
a
t
i
o
no
ft
h
eGrothcndieck-T
e
i
c
h
m
i
i
l
l
e
rgroup
P.Lochak L.SchnepsA cohomologicali
I
n
v
e
n
t
. Math. 127(
1
9
9
7
) 571-600.
L.Schnepsヲ On乱 newv
e
r
s
i
o
no
ftheG1'印
o
t
1
悶
[LNS] P
.
L
o
c
h
e
t
kヲ H.Nakalllura，
C
.R.Ac
αd
.S
c
i
. PaT'i
5325(1997
，
) 11-16.
[N1
可 H.Nak
臼叩
a
n
l
l
l
159-173.
[
N
2
]
H.Nakalllura，
Limitso
fG
a
l
o
i
sr
e
p
r
c
s
e
n
t
a
t
i
o
n
si
nfundar
肘 n
t
a
lg1'oupsalongmaxi山 1
1degene1'
a
t
i
o
no
fmarkedcurves1
ヲ p
r
e
p
r
i
n
t1AS，
1
9
9
6
.
i
l
l
l
p
l
ep
r
e
s
e
n
t
a
t
i
o
nf
o
rt
h
emappingc
l
a
s
sgro叩 o
fano
r
i
e
n
t
a
b
l
es
u
r
f
a
c
eぅ I
s
r
a
e
l
[W]
B.Wajnryb A s
1
. Math. 45(
1983)，
157-174.
[
L
S
2
1
ヲ
ヲ
ヲ
時
QJ
ワU
GROUPS OFHOMOLOGY COBORDISMS OF SURFACES
KAZUOHABIRO
I
nt
h
i
st
a
1
k we五r
s
ti
n
t
r
o
d
u
c
et
h
cn
o
t
i
o
no
fk
s
u
r
g
e
r
ye
q
u
i
v
a
1
e
n
c
eon3
m
a
n
i
f
o
1
d
s
.
fhomo1ogycobordismso
fas
u
r
f
a
c
e2
:
;d
i
v
i
d
e
dbyt
h
e(
k十 1)
ThemonoidC/r vk十 1o
旧 g
erye
q
u
i
v
a
1
e
n
c
ei
sagro叩 ThesubgroupsCk = Ck/ 吋 十 1o
fC
/r v糾 1consisting
S
o
fthe(
k+1)-surgeryequiva1enceclassesofhomo1ogycobordismswhicharek-surgery
吋i
sm2
:
;x1f
ormsagradedL
i
ea
1
g
ebraC二@立 1Ck.We
e
q
u
i
v
a
1
e
n
tt
ot
h
et
r
i
v
i
a
1cobo
d
c
s
c
r
i
b
e山
t
J
占
hes
叫t
;
疋r
u
児c
北
巾
印
t
1
ur
町eo
fC也
i
nt
e
白r
ms0
ぱfu
凹
引
n
1
吐
i
一t
廿n
討
v
司
叫
a
l
e
r
凶
1
U g
叶
r
a
p
μ
h
swhoseu
n
i
討
v
川
a
叫
ι
1
e
r
凶
1
凶
tve
白r
札
t
t
i
c
e
s
但r
edecoratedwi
抗
the
叶1
e
白r
II
l悶
a
凹
∞
叫
I
I
I
Wec
o
n
j
e
c
t
u
r
et
h
e
s
er
e
1
a
t
i
o
n
sa
r
ec
ω
O
羽
w厄emayre
句g
剖
a
r
d仙
e 1c立沼
~IIl
宜
III悶
ent臼;沼so
ぱft出
占
J
he map
戸
pl
n
培
gc
l
a
s
sgroupん10
ぱf
the
うS
剖u
汀r
f
a
c
∞
c2
:
;出
ashom叶
o
l
一
ogy∞
c
:
氾
ob凹
o
rdismso
f2
:
;吋
vi
乱 山
t
J
占
hemapl
戸
}
止i
n
gc
y
l
i
n
d
e
rc
o
n
s
t
r
u
c
t
i
o
n
.Wcthushavcagraded
L
i
es
l
l
b
a
1
g
e
b
r
a
λイニ@立 1
λイ
ko
fC
.I
tseemsthatλイi
sd
e
s
c
i
b
e
dbyl
l
n
i
t
r
i
v
a
1
c
n
t
t
r
c
c
s
. Thed
esccndingf
i
l
t
r
a
t
i
o
nonル
イ givenbyk-surgerycqlliva1cnccsi
sveryc
l
o
s
e
1
y
:
;
.
r
e
l
a
t
c
dwitht
h
e1
0
w
e
rc
e
n
t
r
a
ls
c
r
i
e
so
ft
h
eT
o
r
e
l
l
igroupo
f2
ヲ
GRADUATESCHOOLOF孔i[ATHEMATICALS
C
I
E
N
C
E
SU
N
I
V
E
R
S
I
T
YOFTOKYO
ぅ
qJ
n可U
3次元ハンドル体の写像類群について
康瀬進
佐賀大学理工学部数理科学科
種数 gの 3次元ハンドル体とは， 1個の 3次元球体に g個の 1ハンドル (
D2X[
0，1
，] D2X
{
0，1
}
)を接合して得られる有向 3次元多様体の事を言います.以下では，略して Hgと書
くことにします.Hgの写像類群(冗g と書くことにします)は， 3次元多様体の H
eegaard
分解，リーマン面上の写像類群，自由群上の自己同型写像等と関連した興味深い対象と
思われます.今回の講演では，種数 2の場合の Kramer(Cではないことに注意)の結果
を用いて具体的に冗2 の表示を求め，種数が 3以上の場合に表示を求める方法を説明し
ます.
行2 の表示
冗2 の表示を書くために以下の記号を用います.
記号.1.左図は右図に与えられている冗2 の元を表すことにします:
寸w'，
.
.
t
ーー一ー今
い州寸一
舟
王
自
T
J
L
巴
ムf
¥
-t w'.~t
ー一ー一一』三》
Typ田 e
tbyA
ん#τEX
-95
贋瀬進
2
. 記号己は左側に書かれたものと右側に書かれたものが可換であることを意味しま
M，
N に対して ，L己 M ，
N は，L M =λi
f
L，
L N= N Lを意味
す.例えば，冗2 の元 L，
します.
冗ヲの表示
C1，
C2，
C3，
d12，
の 1，
tヲ eを下図で与えられる冗2 の元とする.
ζl
C:l-
士臼私
ζ
3
士同年三
t
c
A31
すると，冗2 は
e
.
.
C1，
C2，
C3，
d12，
d31，
t，
eを生成元とし，次の式を基本関係とする群である:
C1，
C2ヲ C3 t
=
三 C1，
C2，
C3
e~
C1，
C2ヲ C3，
d12，
d3bt
t己
C1 C2
dI2=
，
2
t己
d
12
d~l 二 e 2 = 1，
?
(d12d31
二
1， e= r1d12td12
d12C1d12= C2， d31C1d31 二 C3， d12己 C3， d31 t
=
三 C2
(
t-1C3)2= (C1C2)2.
以下では，表示の求め方のアウトラインについて述べます.
-96-
3次元ハンドル体の写像類群について
H2 に p
roperに埋め込まれた非分離的な本質的 2円盤の事をメリデイアン円盤と呼
ぶことにします.Dl，
D2，
D3 を H2のメリデイアン円盤で互いに i
s
o
t
o
p
i
cではなく，さ
らに互いに交わらないものとします.この時，和集合 D1 U D2U D3 を marking と呼
u
tと呼びます.例えば，今の場合，
び
， markingから連結成分を一つ取り除いたものを c
D1UD2，D2UD3や D3U D1 は c
u
tでありを， markingD1U D2UD3に付随する c
u
t
と呼ぶことにします.ここで， markingや c
u
tの位相型が一意で、あることに注意して下
K
] は H2 に対して ，0
-単体を H2 の marking及び c
u
tの i
s
o
t
o
p
yc
l
a
s
s，
さい. Kramer[
1
-単体を markingとそれに付随する c
u
tをつなぐものとして構成される 1次元単体的複
r
e
eになるこ
体 Kr2を考えました.実は Kr2は単連結な一次元単体的複体，すなわち t
とが示せます
(
[
K
][McC]).冗2 は Kr2に自然に作用していて，さらにその作用は単体的
かっ各 1単体の向きを保つものとなっています.そこで，K乃/冗2 は，先ほどの注意よ
u
tに対応する 2個の 0
-単体と，それらをつなぐ 1個の 1
-単体とからな
り
， markingと c
ることがわかります.これより， S
e
r
r
eの本 [
S
e
]の Chap. 1s
e
c
t
i
o
n5の結果を用いて，
u
t を保つ部分群との融合積になっていること
冗2 は，冗2 の markingを保つ部分群と c
がわかります.一方，それらの部分群の表示は Birman[
B
i
] による議論を用いて求める
ことができ，以上から，冗2 の表示が得られます.
注意.昨年 12月の数理研での集会
I
A
n
a
l
y
s
i
so
fD
i
s
c
r
e
t
eGroupsn
Jで diskcomplex
(後述)を用いて，冗2 の表示を求めました [
H
]
. 今回得られた表示と，以前求めた表示が
同値であることは確かめることが出来ます.
g が 3以上の場合の Hgの表示
Hgの d
i
s
kcomplex~(Hg)
とは単体的複体で，各 m-単体が， m 十 1 個のメリデイアン
円盤で互いに i
s
o
t
o
p
i
cでなく交差しないもののなす集合 {DoヲDl'・・・ DrrJの i
s
o
t
o
p
y類
となっているものを言います.この単体的複体ム (H
g) が単連結であることは知られてい
ます[J] [McC].冗2 の表示を得るのに用いた t
r
e
eK乃 は ム (H
2) の重心細分の冗2 の作
用により集合として不変な部分複体となっています.そこで，先ほどと同様の方法により
冗g の表示を得るためには ，~(Hg) の重心細分の冗g の作用により集合として不変な部
-97-
債瀬進
分複体で t
r
e
eとなるものを見いだすことが出来ればよいのですが，現時点(1997年
8月 18日現在)では見いだせていません.一方 ，~(Hg) への冗g の作用から， Brown
[
B
r
]の方法により gに つ い て 帰 納 的 に 冗g の表示を求めることが可能であり，現在，こ
の方法で表示を求めようと試みています.
REFERENCES
[
B
i
]
J
.
8
. Birman，Mα
，
pp
，
/
'句
c
l
αs
sg
r
o叩 sαη dt
h
e
i
rr
e
m
t
i
o
n
s
h
i
p
st
o bmidg
r
o
u
p
s，
Comm.PureApp
l
.Math.22(
1
9
6
9
)，
2
1
3
2
3
8
.
[
B
r
]
r
e
s
e
n
t
a
t
i
o
n
sf
o
rg
r
o
u
p
sαc
t
i
n
g ons
i
m
p
l
y
c
o
n
n
e
c
t
e
dc
o
m
p
l
e
x
e
s
，
K
.
8
. Brown，P
J
o
u
r
.PureandApp
l
.A
l
g
.32(
1
9
8
4
)，
1
1
0
.
日
!
8
.H
i
r
o
s
e Genemtorsα
ηdr
e
l
a
t
i
o
n
sf
o
rt
h
em
α'
P
pingc
l
αs
sg
r
o
叩 o
f
t
h
ehαn
d
l
e
b
o
d
y
う
。
I
fgenus2，
p
r
e
p
r
i
n
t
.
[
J
]
K. Johannson，T
o
p
o
l
o
g
yα
η d combin
αt
o
T
I
c
so
f3-m
αn
i
f
o
l
d
s
，Lecturenotesi
n
math.1
5
9
9，
8
p
r
i
n
g
e
r，
1
9
9
5
.
[
K
]
R
.Kramer，
Thet
w
i
s
tgroupo
fα
ηo
T
I
e
n
t
αb
l
ec
u
b
e
w
i
t
h
t
w
o
h
a
n
d
l
e
si
sn
o
t五
n
i
t
e
l
y
αt
e
d
，
p
r
e
p
r
i
n
t
.
g
e
n
e
r
l
] D.McCullo略 h，Vi吋 u
a
l
l
y9ωm
e
t
T
I
c
a
l
l
yβn
i
t
em
α:
p
p
i
n
gc
l
αs
sg
r
o
u
p
so
f3-mα
ηi
f
o
l
d
s，
[McC
J
.D
i
f
f
.Geom.33(
1
9
9
1
)，1
6
5
.
[
8
e
]
J
P
.8
e
r
r
e，1ト配s
，8
p
r
i
n
g
e
r
-V
e
r
l
a
gB
e
r
l
i
nH
e
i
d
e
l
b
e
r
gNewYork，1
9
8
0
.
[
8
u
]
8
.8
u
z
u
k
i，
Onhomω morphismso
fα3
d
i
m
e
n
s
i
o
n
a
lh
a
n
d
l
e
b
o
d
y，
Canad.J
.Math.
ヲ
1
1
1
1
2
4
.
29(
1
9
7
7
)，
DEPARTMENT OF MATHEMATICS FACULTY OF SCIENCE AND ENGINEERING SAGA UNIVERSITY
840JAPAN
SAGA，
E-m
αi
la
d
d
r
e
s
s
:[email protected]
98-
点抜き球面の写像類群と「量子逆元」
松本幸夫
東京大学数理科学研究科
1997.Aug.7
「量子逆元(quantuIIl inverse)Jというのは聞きなれない言葉だと思いますが，
点抜き球面の写像類群のなかで共役公式を求めようとすると，自然に現れるオペ
レーション(自由群の内部の)で，通常の逆元をとる操作に高次の非可換性を組
み込んだようなものです.それは共役公式を離れても何やら面白そうな対象に思
えたので，量子逆元という名前をつけて宣伝しました [
0
]， [
1
]
.
幸い，鎌田聖一氏，葉広和夫氏が興味をもってくださって，当初，分からなかっ
た「量子逆元の代数的計算法を求める」問題が解決しました.この結果は今準備
中の共著論文で詳しく述べる予定です [
2
]
. また，吉川克之氏 [
6
]も興味をもって
くださり，すこし遅れて，べつの形の解法を教えて下さいました.池田 徹氏と
中川義行氏は量子逆元を計算するコンビュータ・プログラムを組んでくださいま
した.以上の方々に，この場を借りて感謝~'\たします.また，今度のシンポジュー
ムにご招待くださった河澄響矢氏に感謝いたします.
量子逆元の「数学的な本性」は L、まの段階でもまだはっきり分かった感じがしな
いので、すが， "
R
a
c
k
"[3] による解釈が自然なのではな~'\かと思うようになりまし
たので，それについて後で述べます.
1量子逆元の性質
3
Fnを n 佃の生成元により生成された自由群とします:
Fnニ
<υo ν1γ ・. ，
Yn-l >.
ぅ
生成元のあいだには，予め決められた線型順序が入っているものとします:
υ
。
< Yl < ・・・
< Ynー 1・
1991Mathemαt
i
c
sS
u
b
j
e
c
tClαs
s
ポc
a
t
i
oπ57M05，
57M25，
57R50.
Keywordsαndphr
αs
e
s
. 写像類群，共役公式， 自由群.
99-
松本幸夫
最小の生成元 ν
。は特別の役割を果たしますので，特別な記号 zで表します.
次の 6つが量子逆元の性質で-す.ただし，これらの性質だけでは，量子逆元は特
徴 づ け ら れ な い (?) ι思われます.
1)量子逆元は Fnからそれ自身への全単射 I:Fn→ Fnである. (あとで分かるよ
うに，じつは c
r
o
s
s
e
da
n
t
i
-homohorphismであり，同時に c
r
o
s
s
e
dhomomorphism
である.
2)Iは Z による内部自己同型の「平方根」である.すなわち，任意の W
ついて，
εFn'こ
I(
I(W))= x-1Wx
がなりたつ.
3) Iは次の意味で「安定」である.すなわち ，Fm=<Zoヲ
Zl，
" .バm>をもうひ
とつの自由群とし， h:Fn→ Fmを
，
h
(ν
0
)
二
Zoヲかつ
h
(υ
i
)=Zkヲ h
(的)=ZIぅ 約 < め な ら ば
Zk
<Z[
を満たす準同型とするとき，次の図式が可換になる:
Fn-i
→ Fn
1111V
Illiv
'九
Fm ー←ー→ Fm
I
4) (x 1とおけば，古典的逆元に一致する. :r
量子」逆元の由来.)すなわち，
二
っき、の図式は可換である.
F71--L
Fn
F口 j
N
(
x
)一 一 → 凡 j
N
(
x
)
ただし ，N
(
x
)は Z で生成される正規部分群である.
5)
c
r
エネルギー保存則」が成り立つ.)すなわち ，I(W)のなかの
は W のなかの
Z
の指数の和
Z の指数の和に等しい.
6) C
5
郎、安定性.) Fn の生成元 YO ヲ ν1 ヲ・・ • ，
Y
nのうちから ，Y
Oで・ないものをいくつ
か選んでフィックスしたものを 抗 1フ 九 ..，
Y
ik とする.そして，これらを全て
に
1 とおく，という簡約操作を考える.この簡約操作で W E Fnが W'E Fn
'
になる.
I
(
W
)
E
F
n
は
I
(
W
'
)
ε
F
n
なったとすると，同一の簡約操作で
'
二
-100
点抜き球面の写像類群と「量子逆元」
つぎに，簡単な計算例をあげます.ここでは，簡単のため.F1 = < 町 仏 引 ω>で
考えます.(x<y<z<ω)
1
(
1
)= 1
1
(
x
)二 民 1
(υ)= y，
I 1(z)= z ヘ1(ω)=ω-1
1
(ジ)ニ x2，1
(
y
2
)=勾 -12-1U-1 1
(
z
2
) μ121zーヘこれは安定性の例.
ヲ
二
I(ym)= xm(x-1y-1)m，¥
1
m EZ. とくに • I
(ν-1)=z-1υι
上の最後の式は
1(
I
(ν
)
) x-1
yx と同じ.
二
もう少し複雑なものとして
1
(νmzz)=zm(z121U1z)mM-1
Z-1 1Z)mz1(ymz)= x勺 X -1
1
ν
があります.これは次の鎌田氏 (Dec.1996) の公式の例になっています.
1(W
xkW2)= 1(W
W2)1(W
lxk
I(W
.
1
2)
2)
1
鎌田氏の公式の特別な場合として，
I(W
Xk)= I(W
)
Xk
1
1
I
(
xkW2
)= xkI(W
2)
k
I(W-1
X W)= I
(W)-lxkI(W)
がなりたつ.上の 3番目の式は古川氏から注意されました.
3
2Iはどこから出てきたか.
それは η 十 2個の点を抜いた球面の写像類群 M
(Oヲη 十 2)のなかの共役公式を考え
ることからです.ここで n は 2以上の自然数です.とくに，種数 2のレフシェツ・
ファイパー空間との関連から M
(Oヲ 6
)に興味がありますが，いまは，特に η+2=6
の必要はありません.
さて.M
(Oヲη+2
)の標準的生成元として
(
1ヲ (
2ヲ・・・ ぅ(n+1
があります.球面 S
2から除く
η
十
2点をー列に並べ，左からI
J
闘に
P
1，
P2γ ・・ぅ Pn十 2
1
0
1
松本幸夫
と名前をつけます. (
iは，P
iと P
i十 1を結ぶ線分を，その中点を中心として正の向
きに 180 回転させて P
iと P
i十 1を入れ替える同相写像: S2- η
{ 十 2points} →
S2_ {η+2p
o
i
n
t
s
}によって代表される写像類です.
0
)のなかでは写像類は左から右に合成して行くも
以下，通常とは逆に，M(Oη 十 2
のとします.
ヲ
α =(
1(
2.
.
.
(
n
+
1
'
b= (
;
(
2・
.
.(
n十 1
とおくと
α百十 2 二 1ヲ
n十 1 二
1
b
がなりたちます.
η 十 2
)の元を決
よく知られているように ，S2上の n+2本糸のプレイドは M(O，
めます. Birmanの本 [
4
]の記号で， pureb
r
a
i
dAoi
+
1に対応する M(Oヲ 口 十 2
)の
元を ν
zとすると，次の事実が知られています.
1，
.
.
.
， Yn-1は M(O，
η
定 理 (G
i
l
l
e
t
t
eandVanBuskirk [
5
]).νoヲY
かの自由な部分群 Fnを生成する.
十
2
)のな
さて，まず考えたいのは，M(Oヲη 十 2
)のなかの元で、あって， (
1に共役なものの標準
形です.一般に，そのような元 Uは Q-1(lQという形(ここに，Q E M(O，
η十2
))
に書けますが，この Q は Uについて一意的には決まらないので，そこが最初の問
題です.先に導入した元 α b，ν(i= 0 ヲ 1 ，・・ • ，
n -1) を使うと，標準形の問
題は次のように解けます.
定理.Q-1(iQは
αk
bl
1Wb-la-k
日r-1(
の形の標準形で一意的に表される.ここに ，W1
は
土
， ν
抑0ν
仇1γν
仇n一
1で
白由群 Fnの元でで、あつて，左端に ν
抑0の「べき」を合まないものでで、あり， また α， b
は上で定義しておいた 1
¥
1(
0，
n +2
)の元で，指数 k，1は 0三 k三η ，。三:
"
15
:
.n ，
k十 l三η の範囲を動くものとする.
う
0
]，[
1
]に大体書きました . Wが左端に YOの「べき」を含まないと仮定し
証明は [
たのは，
ν
o=
(
i
という関係があるため，YOと(
1が可換になるからです.
目標の共役公式は， (
1に共役な 1
¥
1(
0，
n+2
)の元が 2つ，U1と U2があったとして，
それぞれ標準形で表されているとします.このとき，
U
;
;
l
U
1U
2
1に共役ですから，また上の定理によって標準形で一意的に
を考えると，これも (
表されるはずですが，U1と U
;
;
l
U
2の標準形を計算する公式を
1U
2の標準形から U
-102-
点抜き球面の写像類群と「量子逆元」
求めよというのが，共役公式の問題です.量子逆元は，最も「簡単な」場合，す
なわち
二
U1
W-1
(
1W
U2 ニ (
1
の場合に現れます.
この場合，(
1
1
W
1
(
1W(lは，また W，
l
(
lW'の形に書けることが分かりますが，
この W~ こ W' を対応させるのが，本質的に量子逆元
1:Fn→ Fn， I
(
W
)=
W'
です.ただし，W や W'の左から ν
。〈二 X) のべきを掛ける不定性は残ってしまう
ので，人工的に「エネルギー保存則 J(性質的〉を仮定することによってこの不
定性を消します.これで一意的に決まった対応 1:Fn→ Fnが量子逆元です.従っ
て，量子逆元の性質 5) は，1の性質というよりむしろ，その定義の一部と考えら
れます.
3
31の計算法.
初めの頃，筆者のやっていた計算法は「図形的計算法」で，平面上(本当は球面
上)に，自由群の元 W を表す曲線を描き，その自己交差のデータから W の量子
(
W
)を計算するもので，結構面白くて，沢山計算しました.ただし，自己
逆元 I
交差のデータを使って回帰的に計算するもので，大変面倒でした.自己交差の数
が 22個の例を計算したときなどは，一日数時間ずつ数日を要しました.この手計
算の部分をコンビュータのプログラムに組んでくれたのが，池田 徹氏と中川義
行氏です.
今年の 1月ごろ，葉広和夫氏と鎌田聖一氏は独立に Iの代数的な計算法を発見し
まし T
こ.
彼らの方法の急所は次の公式です.以下，簡単のため， (
1を〈と書くことにします.
I(W
W2)= I(W
I
(W
J
))(W)
c
.
1
2)(
2
C
この式の右辺にヒントを得て，Fnの Fnへの右側作用 Bを Bw(V):=V(W) とお
いて定義します. W
が Vへ作用しています.
Bw(V
j九)= BW(V
Bw(九)ヲおよび BW1W2(V) BW2(Bw1(
V
)
)
1)
二
=f こ
り
がなりたつので，Bw(V)を W
，V
の Bw(V)は計算可能です.実際に計算して，
Byi(υk
)=
1の場合の計算しておけばぅ一般
約:
c
y
t
1
?
k=O
υk，
l<k<i
Zニ k
1/iZ1jtzIYJ1ヲ
y
;
1
) k>i
(
日x
y
;
lX-1
)
Y
k
(X
Y
iX-1
ヲ
103-
松本幸夫
および
Bx(νk)=z-IYKZ
が得られます.
こうして， 1:Fn→ Fnは B:Fn→ Auto(Fn)という右作用により振じられた
c
r
o
s
s
e
da
n
t
ihomomorphismということになります:
I
(
l
i
V
Bw2(
I(W
1W2) = I(W
2)
1))
今年 5月に古川克之氏が葉広・鎌田両氏とは別の幾何学的アイデアに基づいて，次
のような右作用 C:Fn→ Auto(Fn)を定義しました:
C
y
J
Y
k
)
二
νkヲ
i=Oまf
こは k=O
υiIYkifh
O<k<i
i=kヂ0
1
1
X
(
X
Y
i
- -)
Y
k
(勾 i
X
1
)， 0<i<k
.
LE1jiLE1?
右作用 C，こより Iを計算する古川公式は
I(W
I(W
)I(W
1W2) = Cw
1)
2)
2(
です.従って，1:Fn→ Fnは
， Cという右作用により摂じられた c
r
o
s
s
e
dhomomorphismとも考えられるわけです.
なお， C と B は次の様に関係しています.
Cw(V) I(W)Bw(V)I(W)-l
二
また，吉川氏の Cは Iと可換です:
Cw(I(V))ニ I(Cw(V)).
さらに ，W のなかの
Z
を x=lとおいて W を簡約して符られる語を W'とすると，
Cw'
(V)= Cw(V)
がなりたちます.従って，吉川氏の Cは，実際には Fn/N(x)の Fnへの右作用を
与えています.
3
4Rackによる定式化の試み.
Rackという代数系は Fennと Rourkeの論文 [
3
]で、初めて知ったのですが，過去に
多くの人達によって考えられていたようです.彼らの論文と?そこに引用されてい
r
y
s
t
a
lと呼び， B
r
i
e
s
k
o
r
n
(
1
9
8
8
)
る Joyceの論文によると， Kauffman(1991)は C
は Automorphics
e
t と呼び， Joyce (1982)は Quandleと呼び，高崎光久 (
1
9
4
3
)
は「圭J と呼んでいたそうです.定義は Rackがもっとも一般的で，あとはその特
殊な場合と考えられそうです.しかし，本質的には皆，同じもので，どうやら Rack
(の特殊な場合〉を初めて定義したのは日本人，高崎光久氏(TohokuJ
.1
9
4
3
)ら
しいのですが，東北数学雑誌の同氏の論文は日本語で書かれているので，ほとん
ど無視されてしまったようです. Racktheoryは「圭論」と訳すのがよいのでは
ないでしょうか.
-104-
点抜き球面の写像類群と「量子逆元」
定 義 (Rack，圭).空でない集合 X が Rack (圭)であるとは，任意の αヲ bE X
について α本 bという X の元が定まり，次の 2条件を満たすことである.
。
(
i
) bε Xを止めたとき，対応 αト→ α牢 bは全単射 X → X である.
i
)任意の α，
b
，
cε Xについて
α
( ヰ，b
)牢 C ニ α
(キc
)ヰ (
bキ c
)
がなりたつ.
さて，次のような RackXnを構成しましょう . η 十 2点抜き球面 S2_{n十 2points}
のなかの相異なる puncturesを「両端」とする smoothlyembedded curves の
isotopyclasses の全体を X n とします • X n の任意の元 b をとります • bの円板近傍
D(b)のなかで bの両端を入れ替える r1
8
0 回転 J(境界θD(め で は identityであ
(
b
)とすると ，r
(
b
)EM(O，
n十 2
)となります.Xnの 2元 α，
bに
るようなもの)を 7
b
)で写したもの (
α)
7
(
b
)を α牢 bと書くと α牢 bE Xnとなります:
ついて， αをァ (
0
αヰ，
b:=(
α)
7
(
b)
.
なお，ここで同相写像r
(
b
)を αの右に書いてあるのは，M(O，
η
像は左から右に合成する，という約束によります.
十
2
)のなかの写
こうして定義した演算 αゆが， Rack の条件 (i) ヲ (ii) をみたすことは直ぐに r<<l~ かめ
られて，新しい RackX n が得られました • (今年の 4月に Fenn と Rourkeに会っ
たとき，この Xnのことを話したら，確かに新しい Rackだと言っていました.)
α
)
ε M(Oη 十 2
Xnの元 αについて，ァ (
)は(
1と共役な元になります.逆に， (
1に
共役な M(Oぅn+2
)の元は r
(α
) (αEXn) の形に書けます.
ヲ
容易に
α
(ヰ b
) r
(
b
)
l
r
(α)
r
(
b
)
ァ
二
が確かめられるので，M(札口+2)の共役公式は RackXnの(自由群をつかった〉
表現と考えられる， ι
思います.
この辺りのことについては， もう少し考えてみます.
REFERENCES
o 松本幸夫 ，写像類群の共役公式と「量子逆元 J
目理論と様々な数学との絡み J
研究集会報告集「結び
(
1997，
Feb.).
l
.Y
.Matsumoto，Onquαn
tuminvcrsei
nαf
r
c巴 group，
P
r
o
c
e
e
d
i
n
g
so
ft
h
c5
t
hKorea-Japan
S
c
h
o
o
lo
fKnotsandL
i
n
k
s(1997，
t
oa
p
p
e
a
r
)
2
.K
.Habiro，
S.Kamada，
andY.Matsumoto，
t
oαpp巴αr
.
3
.R
.FennandC.Rourkc，Racks αnd l
i
n
k
si
n codimension two，J.
K
n
o
tandi
t
sRami
f
.1
(1992)，
343-406.
-105
松本幸夫
4
. J.Birman，Braids，l
i
n
k
s，αnd mapping c
l
a
s
s groups，Ann. Math. Studies 82，Princeton
1
9
7
4
.
Univ.Press，
5
.R
.
G
i
l
l
e
tandJ.VanBuskirk，
Thewordproblemαndconsequeπc
e
sforthebraidgroupsαnd
mαppingc
lαs
sgro叩 soft
h
e2-sphere131(
1968)，277-296.
6
. K.Yoshikawa，
Privatecommunication(1997，
May)
ー
郵便番号 153 目黒区駒場 3-8-1.東京大学数理科学研究科
-106
Genusones
u
r
f
a
c
e
so
fs
e
c
t
i
o
no
fAnosov
自o
ws
皆川宏之(北大理)
平成 9年 8月 1
9日
簡単のために、全ては、 o
r
i
e
n
t
a
b
l
ec
a
t
e
g
r
yで考えることにする。
3次元閉多様体 M 上の:日ow仇 :M→ M に対して、 compacts
u
b
s
e
t
SCM が 似 の s
uヴαc
e0
1
s
e
c
t
i
o
nであるとは、 compacts
u
r
f
a
c
e:
E
と
immersionj::E→ M が存在して、次の 3条件を満たすときをいう口
(
δ:E)の各連結成分は、仇の c
l
o
s
e
do
r
b
i
to
1
)j
(:
E
)=Sで θS=j
2
)j
J:
E- oSは M-oSへの imbeddingで f
l
o
wに横断的。
3
)各 o
r
b
i
tは、一様有界時間内に S と交わる。
られている。
次の自owsは
、 s
u
r
f
a
c
eo
fs
e
c
t
i
o
nを持つことがが先l
1
)T
r
a
n
s
i
t
i
v
eA∞
2
)T
r
a
r
これらについては、 θS に沿って適当に手術を施すことにより suspen
s
i
o
np
s
e
u
d
o
-Anosov宜owが得られることが知られている (
[
3
]、[
2
]
)。そこ
で、次の聞を考えてみる
O
問.全ての t
r
a
n
s
i
t
i
v
eAnosovf
i
o
wは s
u
s
p
e
n
s
i
o
nAnosovf
i
o
w に手術
を施すことにで位相的に再構成できるか?
これは、次の問題を考えることと同じである。
問.全ての t
r
a
n
s
i
t
i
v
eAnosovf
i
o
wは
、 g
e
n
u
sones
u
r
f
a
c
eo
fs
e
c
t
i
o
nを
もつか?
1Ei
i
円
n
U
次の Anosov自owは
、 g
enusones
u
r
f
a
c
eo
fs
e
c
t
i
o
nをもっ (
[
1
，][
3
]
)。
1
)任意の o
r
i
e
n
t
e
dc
l
o
s
e
dH
y
p
e
r
b
o
l
i
cs
u
r
f
a
c
e上の g
e
o
d
e
s
i
c自owo
2
)conea
時 l
e
s2
π/
pぅ 2
π/
qぅ 2
π/
rなる 3つの cones
i
n
g
u
l
a
r
i
t
i
e
sをもっ hy
q
，
r
)上の geodesic自owのうち (p，
q
ヲr
)ヂ(
2ぅ3，
r
)
(
rど
p
e
r
b
o
l
i
co
r
b
i
f
o
l
dS(p，
7
)フ(
2，
4，
r
)
(
r三 5
)なるもの (
[
6
]
)。
この講演では、 F
r
i
e
d
[
3
]および橋口 [
6
]による g
e
n
u
sones
u
r
f
a
c
eo
fs
e
c
q，
r)
(
1
/p十 1
/q+l
/
rく
り
t
i
o
nの構成を一般化することにより、任意の S(p，
を含むさらに多くの compacth
y
p
e
r
b
o
l
i
co
r
b
i
f
o
l
d上の g
e
o
d
e
s
i
c宜owが
genusones
u
r
f
a
c
eo
fs
e
c
t
i
o
nをもつことを示す。これまでに、幾何学的に
構成される s
u
r
f
a
c
eo
fs
e
c
t
i
o
nはすべて imbeddeds
u
r
f
a
c
eで境界が偶数個
の連結成分からなるものであったが、新たに境界が連結なもの、 あるい
u
r
f
a
c
eではないものなども幾何学的に構成できることがわ
は imbeddeds
かった。また、 s
u
r
、
f
a
c
eo
fs
e
c
t
i
o
nと weaks
t
a
b
l
e(
u
n
s
t
a
b
l
e
)f
o
l
i
a
t
i
o
nの横
t
a
b
l
ef
o
l
i
a
t
i
o
n
断的 PL構造の関係についても述べてみたい。実際、 weaks
の横断的 PL構造から g
e
n
u
sones
r
u
f
a
c
eo
fs
e
c
t
i
o
nの存在が、先に確認
できていた例も少なくない口これらの副産物として、 [
7
]で述べられてい
るS
3の 匂uree
i
g
h
tl
m
o
tに沿う手術で得られる n
o
n
-HakenS
e
i
f
e
r
t多様
体のトポロジーを決定することができる。
参考文献
[
1
] M.Brunella，On t
h
ed
i
s
c
r
e
七e G
o
d
b
i
l
l
o
n
-Vey i
n
v
a
r
i
a
n
t and Dehn
a
c
.S
c
i
.d
eT
o
u
l
o
u
s
e，
3，
(
1
9
9
4
)，
335s
u
r
g
e
r
yong
e
o
d
e
s
i
c自owsぅ Ann.F
3
4
4
.
S
u
r
f
a
c
e
so
fsecbonf
o
re
x
p
a
n
s
i
v
ef
l
o
w
sont
h
r
e
e
m
a
n
i
f
o
l
dヲ
[
2
] M.Brunella，
J
.Math.s
o
c
.J
apanvol
.47ヲ n
o
.3，
(
1
9
9
5
)ヲ 491-501
.
[
3
]D
.
F
r
i
e
dヲ T
r
a
n
s
i
t
i
v
eAnosov丑owsandp
e
u
d
o
-Anosovmapsヲ Topology
.22，
n
o
.3フ (
1
9
8
3
)，
299-303
vol
u
r
g
e
r
yonAnosov丑ows，
S
p
r
i
n
g
e
rL
e
c
t
u
r
eNotes
[
4
] S.Goodmanヲ Dehns
S
p
r
i時 e
rNewYork，
(
1
9
8
3
)ヲ 3
0
0
3
0
7
.
1007，
-108
[
5
] M.HandelandW.Thursto
叫 A
nosov丑owsonnew3
-ma
凶f
o
l
d
sう I r 肌
Math.，
5
9，
(
1
9
8
0
)，
9
5
1
0
3
.
[
6
] N.Hashig吋
p
r
e
p
r
i
n
tヲヲ・
1
1ヲ
On t
h
eg
e
o
d
e
s
i
c お ws on S
i
e
f
e
r
t 五b
e
r
e
ds
p
a
c
e
sヲ
[
7
] W.Thursto
叫 T
hegeometryandt
o
p
o
l
o
g
yo
f3
m
a
n
i
f
o
l
d
s，
P
r
i
n
c
e
t
o
n
LedureN
o
t
e
s
"
.
-109
写像類群の構造をめぐるいくつかの予想と夢
森田茂之
(東京大学数理科学研究科)
この講演では，写像類群の構造および R
i
e
m
a
l
l
l
l面の moduli空間のトポ
ロジーについて，下に記す三つの観点からこれまでの諸結果を総括 L，それ
らをもとにいくつかの予想と夢を述べる.これにより，写像類群が数学の多
くの分野と関わる驚くほど豊富な構造を持っていることを示したい.しかし，
ここに述べることを完全に明らかにするだけでも，今後多くの年月を要する
だろうし，またその時にはさらなる未知の世界が待っているに遣いない.
(
1
) 写像類群のコホモロジー
1.写像類群の連続コホモロジーと安定特性類(河澄ー森田)
2
. 写像類群の非安定コホモロジーと Faber予想(河澄一森田)
3
.R
i
e
m
a
l
l
l
l面の moduli空間の Witten-K
O
l
l
t
s
e
v
i
c
hサイクルと連続コホモ
ロジー
4
.R
i
e
m
a
l
l
l
l面の moduli空間のホモトピー型
5
.T
o
r
e
l
l
i群の
Sp-不変安定コホモロジーに関する予想
6
. 写像類群の部分群 Kgの S
p 不変安定コホモロジーに￨却する予想
(
I
I
) 写像類群の L
i
e代数の構造
alcev-Lie代数に働く微分(d
e
r
i
v
a
t
i
o
l
l
) 全体からなる
1.曲面の基本群の M
L
i
e代 数 冗 の " 重 層 構 造 " に つ い て ("内側"から順に)閉曲面と閉山
面の gap (朝団一中村)，曲面の基本群の元による内部微分， J
o
h
n
s
o
l
l
準同型の像，絶対 G
a
l
o
i
s群の像(中村)，いくつかの新しい障害， Trace
元 (一番"外側"まで)とこれらの聞の関係
2
. 冗の連続コホモロジー(K
O
l
l
t
s
e
v
i
c
h
)
3
. 自由群の外部自己同型群の非安定特性類の定義
4
. To町 l
l
i群の Malcev-Lic代数の有限表示 (
H
a
i
l
l
)
市hi
11よ
tEム
5
.T
o
r
e
l
l
i群のべき零構造と 3次元多様体の位相不変量 (Casson，Witten，
大槻， Le
一村上ー大槻， R似 乱n
s
k
y
-Witten) との関連， これらは [
C
a
s
s
o
n
不変量 +Massey積l
を超えるか?
6 写像類群の CFT (共形場理論)または TQFT表現や Le村上ー大槻不
変量に付随した表現(村上}
I
買)と Johnson準同型
7
.T
o
r
e
l
l
i群の Magnus表現と Johnson準同型;Magnus表現は忠実では
ない?
(
I
I
I
) 写像類群の 2次特性類と moduli空間の"高次の幾何学"
4
i3
1.写像類群の 2次特性類 c
l
K
g
;Q
)の定義と予想
2
i-1モH - (
2
. d1と Casson不変量に関連する円高次の幾何学"
3
.T
e
i
c
h
m
u
l
l
e
r空間あるいは moduli空間上の種々の s
y
m
p
l
e
c
t
i
c (または
K
a
h
l
e
r
) 幾何学や保型関数とそれらの聞の関係
4
.百 i
c
h
m
u
l
l
e
I空間の S
u
l
l
i
v
a
nの意味での"有界幾何学"と写像類群の
Gromov有界コホモロジー，とくに H
{
;
(
l
l
A
g) の大きさや安定特性類を
あらわす有界コサイクルの存在
-112
種 数 2の写{象類群と s
i
g
n
a
t
u
r
ec
o
c
y
c
l
e，
ηー不変呈
森藤孝之
東京大学数理科学研究科
9を考
向きづけられた悶曲面のことをたんに山面とよぶことにし、その写像類群ル1
えることにします。
WernerMeyerは論文 [
M
e
y
]の中で、曲面上の曲而束の符号数 (
s
i
g
n
a
t
u
r
e
)を表す 2
コサイクル 7の 1つの具体的な形を S
i
e
g
e
lモジュラ一群 S
p
(
2
g
;Z
)のレベルで与えてい
2のときには、曲面束の符号数は常に 0になること
ます。特にファイパーの種数が 1，
→Sp(2g;Z)に
も併せて示しています。このことは、写像類群の古典的な表現p:Mg
より [
T
]を引き戻して λ合のコホモロジ一類と見倣したとき、その位数が g
二
12のと
ヲ
5
)ということから従います。また種数が 1の場
きには有限になる(具体的には各々 3，
合には、 Meyerは更にー歩進んで s
i
g
n
a
t
u
r
ec
o
c
y
c
l
eを S
L
(
2
;Z)の r
a
t
i
o
n
a
l1
c
o
c
h
a
i
n
の境界として表示する明白な公式も与えています(この周辺の歴史については [
A
，]
[
K
M
]，[
S
]等を御覧下さい)。
そこで種数が 2の場合にも同様の問が考えられますが、ここではそれに向けての
いくつかの準備を試みてみます。
i
)周期的、 (
i
i
)可約、 (
i
i
i
)擬アノゾフのいずれかに分類さ
一方、曲面の写像類は (
ベ
i
) i
i
)には共通部分があります口
れることが知られていますが、容易にわかるように (
実際、周期的写像類の可約性の特徴づけに関する結果がこれまでにいくつか得られて
G
，]
います(例えば [
[
K
，] [Mo1
，] [W]等を参照して下さい)。特に、曲而の種数が 2の
場合には写像トーラスを経由することにより、可約性がη不変量にも反映されること
がわかります。もう少し正確に述べると、「種数 2の周期的写像類が可約である必要
十分条件は対応して定まる写像トーラスのη
-不変量が消えることである j となります
(
[
M
o
2
]
)。この主張は、 Broughton(
[
B
]
)による種数 2の曲面上の有限群作用の分類、
[
G
]
)の結果を用いて具体的な計算から従います。
及び Gilman(
1Ei
tEよ
qJ
REFERENCES
[
A
]
[
B
]
[
G
]
[
K
]
[KM]
[
M
e
y
]
[
M
o
1
]
[
M
o
2
]
[
S
]
[
W
]
M.F
.Atiyah，
Thel
o
g
αr
i
t
h
mo
ft
h
eDedeki
叫 ηf
u
n
c
t
i
o
π，
Math.Ann.278(
1
9
8
7
)，
3
3
5
3
8
0
.
S
.A.Broughton，C
l
αs
s
i
f
y
i
n
gf
i
n
i
t
eg
r
o叩 αc
t
i
o
n
s0η 5包 r
f
l
αc
e
so
fl
oωgenus
，J
.PureApp
l
.
Algebra69(
1
9
9
0
)，
2
3
3
2
7
0
.
J
.Gilman，Struc如 r
e
so
fe
l
l
i
p
t
i
ci
付 '
e
d
u
c
i
b
l
es
u
b
g
r
o叩 so
ft
h
emod1
山 rg
r
o叩， P
r
o
c
.London
Math.S
o
c
.(
3
)47(
1
9
8
3
)，
2
7
4
2
.
Y.Kasahara，
R
e
d
u
c
i
b
i
l
i
t
yαndo
r
d
e
r
so
fp
e
r
i
o
d
i
cautomorphismso
fs
u
r
f
l
αc
e
s
，
OsakaJ
.M叫 h
.
28(
1
9
9
1
)，
9
8
5
9
9
7
.
Dedekindsums
，
μi
n
v
a
r
i
a
n
t
sandt
h
es
i
g
n
a
t
u
r
ec
o
c
y
c
l
e，
Math.Ann.
R
.KirbyandP
.Melvin，
299(
1
9
9
4
)，
2
3
1
2
6
7
.
W.Meyer，
DieS
i
g
n
α
t
町 v
onF
l
a
c
h
e叫 叩d
e
l
n
，
Math.Ann.201(
1
9
7
3
，
)2
3
9
2
6
4
.
T
.M
o
r
i
f
u
j
i，
An
o
t
eont
h
er
e
d
u
c
i
b
i
l
i
t
yo
f仰 tomorphismso
fK
l
e
i
n仰 向E
αndt
h
eηi
n
v
a
r
i
a
n
t
o
r
i
，Proc.Amer.Math.Soc.(
t
oappe
町)
ofm叩 pingt
T
.M
o
r
i
f
u
j
i，Ont
h
er
e
d
u
c
i
b
i
l
i
t
yαndt
h
eηz
n
v
a
r
zα
πto
fp
e
r
i
o
d
i
cautomo中 hismso
fgenus2
s
u
r
f
l
α同 J
.KnotTheoryandi
t
sRar
凶五c
a
t
i
o
n
s
.(
t
oa
p
p
e
a
r
)
R
.Sczech，Dedekind四 msands
句m 如 何 so
fi
n
t
e
r
s
e
c
t
i
o
nforms
，Math.Ann. 299 (1994)，
2
6
9
2
7
4
.
E
s
s
e
n
t
i
a
li
n
v
a
r
i
a
n
tc
i
r
c
l
e
so
fs
u
ヴa
c
ea
包t
omorphismso
f戸1
it
eo
r
d
e
r
，
L
e
c
t
u
r
eNotes
S
.Wang，
i
nMath.，
1369(
1
9
8
9
)，
2
7
5
2
8
5
.
-114-
曲面束の指数と写像類群の中心拡大
オヲこごと J
一三と
一三口'1- 1じ、
北海道大学大学院理学研究科
本講演では写像類群の中心拡大に対する幾何学的考察、とくに写像類群の 2次元コ
ホモロジ一群の生成元に対応する中心拡大と山面束の指数との関連について述べる。
最初に閉リーマン面 2 をとり、その写像類群を G で表す。まず G と、基点本
εSl
上 の フ ァ イ パ -~*と 2 との同一視をもった Sl 上の 2 束の同型類全体の集合との
問には、 E に
、 S
lに沿う E の大域ホロノミー (εG)を対ー応させることで、全単射
写像が存在することに注意する。以下では大域ホロノミーが 9EG となる Sl上の
曲面束の同型類を単に E
(
g
) と表すことにする。いま
Cニ
{(W
，
g
):W はコンパクト有向 4次元多様体、 δW =E
(
g
)
}
とおいて、 C 上に次の同値関係をいれる:
(W
，
g
) (
W
'，
g
'
)り
rv
=gfかつ s
i
g
n(
W
U
E
(
g
)(
W
'
)
)= 0
ここで s
l
g
nは 4次元閉多様体の指数を表す口そして同値類の集合
r= Cj
rv
上に次
の積
(Wg
)
.(
W
'，
g
'
)=(W~ W
'，
g
g
'
)
ぅ
2ホ
(ただし W~W' はファイパ- ~*に沿う連結和を表す)を定めて E を群とみなす。
E
ホ
ミ
明らかに
π:r→ G π(
W
，g
)=9
は群の全射準同型を与える。さらにもう少し小さなクラスをも定義しておく。
Co = ((W
，
g
):lVモC は境界付曲面上の 2 束の構造をもち、 δW = E
(
g
)
}
115-
とおき、上と同じ同値関係を用いて
r=Co/
0
rv
とおく。再び同じ方法で F。上に積
が定まる。実際 F。は自然に Fの部分群になっている。
Theorem. 1
) このとき G の 2つの中心拡大に関する次の可換図式:
O 一一一→ Z 一一一→
r
o
O 一一一→ Z 一一一-+ r
7
r
→
G一一-+ 1
7
r
→
G
一一一-+
1
が存在する。
2
)閉リーマン面 2 の程数がト分大きいとき、中心拡大 F。は I
:
[
2
(G
;Z)~ Z の生成
元を与える。このとき内で中心拡大 γ のオイラー類を表すことにするならば、
e
r= 4
e
r
o
が成り立つ。
註)i
)写像類群の完全性から 2
)の主張における π の全射性が従う。
i
i
)曲面上の曲面束の指数は常に 4の倍数であることから、中心における Z 間の写
イ象が 4倍になる。
REFERENCES
1
. M.A
も
t
i
y
叶
a
拍
h，Onf
r
叩日仰
η
7
mz
肌n
伊
gsザ
0'
f
3引
，
2
.J
.BargeandE
.GhysCocyclesd'Eulere
td
eMaslov，
Math.Ann.294(
1
9
9
2
)，
2
3
5
2
6
5
.
3
.S
.Morita，C
αssonz
n
v
a
r
zα
n
t，
s
i
g
n
a
t
u
r
ed
e
ん
叫c
toffmmedmanザoldsandthesecondαrychamcters
e
so
fs
uザa
c
ebundl
e
s，
p
r
e
p
r
i
n
t
i
s
t
i
cc
l日s
116-