本科 ／ 直前演習期 ／ Z Study 添削問題編 ／ 添削問題 東北大コース

 本科 ／ 直前演習期 ／ Z Study 添削問題編 ／ 添削問題
東北大コース 物理
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ZQPKA1-Z1A6-01
3　冷蔵庫やクーラーは，動力を使って庫内や室内（低温熱源）から熱を奪い，庫外や室外（高
温熱源）に熱を捨てることよって，庫内や室内の温度を下げる熱機関である。このように使わ
れる場合の熱機関を，ヒートポンプという。図 1 は，ヒートポンプが，1 サイクルの間に外部
からされる正味の仕事を w，低温熱源から吸収する熱量を q L ，高温熱源に放出する熱量を q H
としたときの概念図である。ただし，w，q L ，q H はいずれも正である。また，このような熱
機関をヒートポンプとして利用する際の冷却効率を示す量に，成績係数とよばれるものがある。
図 1 の熱機関における成績係数 h は，次のように定義される。
h=
qL
w
以下では，ヒートポンプとして利用する熱機関の例として，絶対温度 T と体積 V の状態変
化の様子が図 2 の T-V グラフで表されるような，物質量 n モルの理想気体を作業物質とする
循環過程について考える。理想気体の状態は，図 2 の矢印で示される向きに，状態 A → B →
C → D → A の順に変化する。すなわち，過程 A → B は体積 V 1 の定積過程，過程 B → C は
絶対温度 T L の等温過程，過程 C → D は体積 V 2 (>V 1 ) の定積過程，過程 D → A は絶対温
度 T H (>T L ) の等温過程である。この理想気体は，過程 A → B および過程 B → C では，低温
熱源とだけ熱のやりとりをし，この 2 つの過程で理想気体が低温熱源から吸収する熱量の和を
Q L とする。また，この理想気体は，過程 C → D および過程 D → A では，高温熱源とだけ熱
のやりとりをし，この 2 つの過程で理想気体が高温熱源に放出する熱量の和を Q H とする。た
だし，Q L ，Q H はいずれも正である。
低温熱源の絶対温度を T L ，高温熱源の絶対温度を T H ，この理想気体の定積モル比熱を C V ，
状態 A での理想気体の圧力を p 0 として，以下の問いに答えよ。解答は解答用紙の所定の場所
に記入せよ。また，結果だけでなく，考え方や計算の過程も記せ。
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ZQPKA1-Z1A6-02
問⑴　状態 B，D での理想気体の圧力をそれぞれ p B ，p D とする。p B ，p D を，それぞれ n，p 0 ，
T L ，T H ，V 1 ，V 2 のうちから必要なものを用いて表せ。
問⑵　この循環過程での理想気体の圧力 p と体積 V の状態変化の様子を表す p-V グラフを，
横軸に体積 V，縦軸に圧力 p をとった座標平面上に実線で描け。ただし，グラフには，
図 2 のように，状態 A，B，C，D を表す記号，状態変化の向きを表す矢印，および主要
値を示すこと。また，状態 B，D における理想気体の圧力の主要値としては，問⑴で与
えた記号 p B ，p D を用い，状態 C における圧力は記号 p C を用いよ。さらに，ここでは，
T L V1
>
の場合について描くこと。
TH V2
問⑶　理想気体が，過程 A → B で低温熱源から吸収する熱量を Q AB ，過程 B → C で外部から
される仕事を W BC とする。
⒜　Q AB を，n，T L ，T H ，C V を用いて表せ。
⒝　W BC を，Q L ，Q AB を用いて表せ。
問⑷　過程 B → C および過程 D → A の各等温過程において理想気体が外部からされる仕事
について考える。以下では，過程 D → A で外部からされる仕事を W DA とし，気体定数
を R とする。
⒜　過程 B → C において，体積が V（V 1 <V<V 2 ）のときの理想気体の圧力 p を，n，
T L ，V，R を用いて表せ。
⒝　過程 B → C において，体積が V から DV だけ増加する間に理想気体が外部からさ
れる仕事 DW BC を，n，T L ，V，R，DV を用いて表せ。ただし，
DV
は 1 と比べて
V
十分に小さいものとし，この間，理想気体の圧力は p のまま一定とみなしてよい。
⒞　問⑶で与えた W BC と，W DA ，T H ，T L の間に成り立つ関係式を求めよ。必要であれ
ば， x が 1 と比べて十分に小さい場合に成り立つ近似式 (1+x) a ]1+ax を用い，
DV
の 2 次以上の微小量を無視する近似を適用してよい。
V
問⑸　ここで考えている熱機関については，成績係数が大きいほど，冷却効率がよいといえる。
高温熱源の絶対温度 T H と過程 D → A で外部からされる仕事 W DA があらかじめ与えら
れた状況のもとで，熱機関の冷却効率が最もよいと考えられる場合を，次のア～ウの中か
ら一つ選び，記号で答えよ。また，その記号を選んだ理由を記述せよ。
ア　T L が T H に近い場合
イ　T L =
1
T H の場合
2
ウ　T L が T H と比べて十分に小さい場合
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第２回
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