確率・確率変数

1
第1章
確率・確率変数
1.1
条件付確率
確率の定義
B が起こる確率 (P (B) 6= 0) のうち，A が起こる確
Laplace(ラプラス) の定義
率 (条件付確率) は
平等に確からしい結果 N 通りに対し，A の起こり
方が n 通りのとき，A の起こる確率 P (A) は
P (A) =
n
N
P (A ∩ B)
P (B)
で与えられる．
和の法則・積の法則
で与えられる．
例１
P (A|B) =
サイコロを２つ投げて出た目の合計が 10 以上で
Kolmogorov の確率の公理・条件付確率から以下の性質
が成り立つ．
ある確率を求めよ．
♦ A ∩ B = φ ⇒ P (A ∪ B) = P (A) + P (B)
解
一般には
1
6
=
36
6
♦ P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
例２ トランプのポーカーで，１回のカード配りでロイ
♦ P (A ∩ B) = P (B)P (A|B)
ヤルストレートフラッシュが出る確率を求めよ．
B が A の起こり方に影響せず P (A|B) = P (A)
解
ならば A と B は独立であるといい，
4
4
=
C
2598960
52 5
1.2
♦ P (A ∩ B) = P (A)P (B)
事象と確率
Kolmogorov(コルモゴロフ) の確率の公理
(a) すべての事象 A に対し 0 ≤ P (A) ≤ 1
(b) P (Ω) = 1 (Ω : すべて可能な結果の集合)
例３ サイコロを２つ投げて出た目の合計が 10 以上で
あるという条件下で，偶数である確率を求めよ．
解
P (B) = {10 以上である確率 } =
1
,
6
P (A ∩ B) = { 偶数かつ 10 以上である確率 } =
(c) 互いに排反な事象 A1 , A2 , A3 , · · · に対して
P
̰
[
i=1
!
Ai
=
∞
X
i=1
よって求める確率は
P (Ai )
P (A|B) =
P (A ∩ B)
2
=
P (B)
3
1
9
2
第 1 章 確率・確率変数
1.3
1.4.3 分散・標準偏差
確率変数
分散とは，確率の各値のばらつきを表すもので，
変数 X の各値にその確率が合わさっている場合，X を
V (X) = E[(X − µ)2 ]
確率変数といい，確率の集まりを確率分布という．確率
分布には大きく分けて離散型確率分布と連続型確率分布
で与えられる．各値と平均 (期待値) との差を平方する
がある．離散型確率分布とは，コインをトスした時の裏
ことで，ばらつき度を強調している．また，分散の平方
か表かや，サイコロを投げたときの１∼６というバラバ
根を標準偏差といい，
ラの値のもので，連続型確率分布とは，利回りなど，値
D(X) =
p
V (X)
がなんらかの関数に従い連続的に存在するものである．
各分布について詳しくは第２章で扱う．
と表す．分散と違い，ばらつきの尺度をそのまま表して
P (·) を · が起こる確率という意味で扱い，確率変数の値
いる．
を小文字の x などで表す．例えば P (X = x) は，X = x
である確率，P (X ≥ 0) は，X ≥ 0 である確率を表す．
注意 確率変数は大文字 X, Y, · · · で記す．
1.4
◦ 離散型
V (X) =
◦ 連続型
x
Z
∞
V (X) =
期待値・分散・標準偏差
1.4.1
X
(x − µ)2 f (x)
(x − µ)2 f (x)dx
−∞
1.4.4 分散の性質
期待値
分散について次の性質が成り立つ．(c ∈ R)
期待値とは，
(確率変数の値 x) × (その確率 f (x)) の和
(a) V (X + c) = V (X)
(b) V (cX) = c2 V (X) である．この和を E(X) と記し，X の確率論的期待値
(c) V (c) = 0
という．離散型確率変数では一つ一つの値が決まってい
(d) V (X) = E(X 2 ) − {E(X)}2
るため全部足せばいいが，連続型確率変数ではどんな値
もとり得るので，確率関数 (確率密度関数)f (x) を積分
することで，範囲の確率を求める．
◦ 離散型
E(X) =
◦ 連続型
X
◦ 離散型
V (X) =
xf (x)
◦ 連続型
x
Z
X
x2 f (x) − µ2
x
Z
∞
V (X) =
∞
x2 f (x)dx − µ2
−∞
xf (x)dx
E(X) =
−∞
1.4.2
また，性質 (d) より
期待値の性質
期待値について次の性質が成り立つ．(c ∈ R)
を計算すればいいことがわかる．
注意 これ以降，分散 V (X) を σ 2 ，標準偏差 D(X) を
σ で書くことがある．
(a) E(X + c) = E(X) + c
(b) E(cX) = cE(X)
補足
(c) E(c) = c
期待値・分散について，確率変数 X と Y が独立である
(d) E(X + Y ) = E(X) + E(Y )
とき以下が成り立つ．
注意１
これ以降，期待値 E(X) を µ で書くことが
ある．
注意２ 確率密度関数を pdf(probability density func-
tion) と書くことがある．
(a) E(XY ) = E(X)E(Y )
(b) V (X + Y ) = V (X) + V (Y ) 3
第 1 章 確率・確率変数
1.5
よって
Chebyshev の不等式
P (| X − µ |≥ kσ) ≤
Chebyshev(チェビチェフ) の不等式
確率変数 X の平均を µ，分散を σ 2 ，標準偏差を
またこれより
σ としたとき，すべての k > 0 に対して次が成り
P (| X − µ |< kσ) ≥ 1 −
立つ．
° P (| X − µ |≥ kσ) ≤
1
k2
1
k2
例４ ある確率変数に対して，期待値 µ = 0.5，標準偏
もしくは
差 σ = 0.15 であるとする．X が 0.5 ± 0.3 に入
° P (| X − µ |< kσ) ≥ 1 −
る確率はどのくらいか．
1
k2
解

1
k2
期待値µから標準偏差σ の k 倍以上の確率は
Chebyshev の不等式に µ, σ の値を代入してみ
ると

1


以下である．



k2





期待値µから標準偏差σ の k 倍より内の確率は


1
1 − 2 以上である．
k
P (| 0.2 ≤ X ≤ 0.8 |) = P (| X − 0.5 |< 2 × 0.15)
より k=2 であることがわかる．よって
P (| X − 0.5 |< 2 × 0.15) ≥ 1 −
証明
1
= 0.75
22
となるため，75 ％以上であることがわかる．
| X − µ |< kσ が成り立つ範囲と，| X − µ |≥ kσ が成
り立つ範囲に分けて考える．
I1 =(−∞, µ − kσ]
I2 =(µ − kσ, µ + kσ)
補足
Chebyshev の不等式は kσ = ε とおいた
° P (| X − µ |≥ ε) ≤
I3 =[µ + kσ, ∞)
ε2
k2
° P (| X − µ |< ε) ≥ 1 −
とし，X の確率密度関数を f (x) とすると
Z
2
の形の方がよく使われる．
∞
σ =
−∞
µZ
=
2
(x − µ) f (x)dx
Z
Z ¶
+
+
(x − µ)2 f (x)dx
I1
I2
I3
と表せる．I1 , I3 で | X − µ |≥ kσ であり，各積分が負
になることはないので，
µZ
2
Z
Z ¶
+
(x − µ)2 f (x)dx
I3
µZ
Z ¶
≥
+
(x − µ)2 f (x)dx
I1
I3
µZ
Z ¶
≥k 2 σ 2
+
f (x)dx
σ =
+
I1
I2
I1
I3
=k 2 σ 2 P (| X − µ |≥ kσ)
ε2
k2
4
第 1 章 確率・確率変数
第１章 演習問題
1. トランプのカード 52 枚の中から，ランダムに 5 枚のカードを取るとき，以下の確率を求めよ．
（i）♥ も ♠ も含まれない確率
（ii）♥ か ♠ が含まれる確率
（iii）♥ も ♠ も含まれる確率
2. A, B, C を任意の事象とするとき
P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C) − P (A ∩ B) − P (B ∩ C) − P (C ∩ A) + P (A ∩ B ∩ C)
を示せ．
3. 確率変数 X のとり得る値を x1 , x2 , · · · , xn とし、それぞれの確率を p(x1 ), p(x2 ), · · · , p(xn ) とすると，
Y = (X − 1)2 の期待値 E(Y ) を求めよ．ただし E(X) = µ, V (X) = σ 2 とする．
4. 次の離散型確率変数 X についての期待値と分散の性質を示せ．
（i）V (X) = E(X 2 ) − E(X)2
（ii）V (aX + b) = a2 V (X) (∀a, b ∈ R)
5. 次の連続型確率変数 X についての期待値と分散の性質を示せ．
（i）V (X) = E(X 2 ) − E(X)2
（ii）V (aX + b) = a2 V (X) (∀a, b ∈ R)
6. X を連続型の確率変数とし、その確率密度関数を f (x) とする。次の確率変数たちも連続型になるが、その確
率密度関数 g(x) を f (x) を用いて表せ．
(i) 2X − 5 (ii) X 2 (iii) X 3
√
(v) e2X (v) log X (vi) X
7. X の確率密度関数を f (x) = 6x(1 − x) , 0 < x < 1 とするとき，P (µ − 2σ < X < µ + 2σ) を求めよ．
8. X を平均が µ，標準偏差が σ の確率変数とし，Z =
P (|Z| ≥ z) ≤ 0.5 が成立する Z の最大値を求めよ．
X −µ
とおく．
σ
5
第2章
確率分布
2.1
2.2
いろいろな確率分布
分布関数
Brown(ブラウン) 運動 (Wiener(ウィーナー) 過程) はラ
確率変数 X が離散型確率変数または連続型確率変数の
ンダム性を含む様々な変化の過程を表すが，その確率分
とき
布は連続型で正規分布といわれる．Poisson(ポアソン)
過程と呼ばれる事象の生起回数をカウントしていく過
程の確率分布は離散型で，Poisson 分布といわれる．そ
F (x) = P (X ≤ x) =
の Poisson 分布は同じ離散型の Bernoulli(ベルヌーイ)
分布・二項分布から導かれる．事象の生起時間を表すこ
 X

f (xi )



 xi ≤x
Z





X が離散型
x
f (t)dt X が連続型
−∞
で定義される関数 F (x) を X の分布関数という．
とに役立つ連続型の確率分布は指数分布といわれる．こ
のように，離散型と連続型，また使い道によって多種多
様な確率分布がある．この章では離散型と連続型に分け
分布関数の性質
分布関数について次の性質が成り立つ．(∀a, b ∈ R)
て，一つずつ簡単に説明していく．扱う分布は以下
離散型確率分布 連続型確率分布 . Bernoulli 分布 . 一様分布
. 二項分布 . 正規分布
. 三項分布 . 指数分布
. 多項分布 . Cauchy 分布
. 幾何分布 . ガンマ分布
(a) P (a < X ≤ b) = F (b) − F (a)
(b) P (a ≤ X ≤ b) = F (b) − F (a) + f (a)
(c) P (a ≤ X < b) = F (b) − F (a) + f (a) − f (b)
(d) P (a < X < b) = F (b) − F (a) − f (b)
ただし，f (x) は X の確率関数とする．
例１ 連続型確率変数 X の確率密度関数を

 3x2
2
. 超幾何分布 .χ 分布
. 負の二項分布 . ベータ分布
f (x) =
. Poisson 分布 ここで注意したいのが，連続型確率分布ではある一点で

0
0<x<1
それ以外 とする．
(i)
分布関数
F (x) を求めよ．
µ
¶
(ii)
P
長さ (２次元では面積，３次元では体積，· · · ) を考える
1
1
<X≤
を求めよ．
3
2
1
(iii) P (X ≤ a) =
となる a の値を求めよ．
4
(iv) E(X), V (X) を求めよ．
が，その長さを持つ集合とは何か．また，その区間での
解
積分はどうやって定義されるのか．ということについて
(i)
の確率を考えると，確率 0 となってしまうため，ある区
間での確率を求めることになる．ある区間として集合の
論じるものが Lebesgue(ルべーグ) 積分論である．今日
の確率論のほとんどすべては Lebesgue 積分論に基づい
ていることから，第３章で簡単にふれておく．
Z
x
F (x) =
3t2 dt = x3
µ ¶
µ ¶0
1
19
1
(ii) F
−F
=
2
3
216
√
3
1
2
.
. .a =
(iii) P (X ≤ a) = F (a) = a =
4
2
3
6
第 2 章 確率分布
Z
(iv) E(X) =
1
0
Z
3x3 dx =
1
3
4
2.3.3 三項分布
3
3x dx =
E(X ) =
よって
5
0
µ ¶2
3
3
3
V (X) =
−
=
5
4
80
4
2
ある集団で特性 A1 を持つ割合を p1 ，特性 A2 を持つ割
合を p2 ，特性 A3 を持つ割合を p3 とし，p1 + p2 + p3 =
1 とする．この集団から n 個とり出しだとき，特性
A1 , A2 , A3 を持つ標本の確率変数を X1 , X2 , X3 とする
と，確率関数は
2.3
離散型確率変数
P (X1 = k1 , X2 = k2 , X3 = k3 ) =
n!
pk1 pk2 pk3
k1 !k2 !k3 ! 1 2 3
離散型確率変数は加算個の値をとる確率変数であり，確
率変数から分布関数を求めることができる．平均・分散
で表される．
については紹介程度にしておき，計算は章末の演習問題
平均・分散
で扱う．
E(Xi ) = npi (i = 1, 2, 3)
V (Xi ) = npi (1 − pi ) (i = 1, 2, 3)
2.3.1 Bernoulli 分布
ある集団で特性 A を持つか持たないかだけを考える．
2.3.4 多項分布
特性 A を持つ割合を p，持たない割合を 1 − p とすると
ある集団で特性 A1 を持つ割合を p1 ，特性 A2 を持
確率変数 X は
つ割合を p2 ，· · · ，特性 AN を持つ割合を pN とし，
½
X=
よって
½
P (X = k) =
0 A が起きないとき
1 A が起きるとき p1 + p2 + · · · , pN = 1 とする．この集団から n 個とり
出しだとき，特性 A1 , A2 , · · · , AN を持つ標本の確率変
数を X1 , X2 , · · · , XN とすると，確率関数は
1 − p (k = 0)
p
(k = 1)
となる．このような試行を Bernoulli 試行といい，この
分布関数を Bernoulli 分布という．
P (X1 = k1 , X2 = k2 , · · · , XN = kN ) n!
=
pk1 pk2 · · · pkNN
k1 !k2 ! · · · kN ! 1 2
で表される．
2.3.2
平均・分散
二項分布
Bernoulli 試行を n 回独立して繰り返す試行を考える．
E(Xi ) = npi (i = 1, 2, · · · , N )
ある集団で特性 A を持つ割合を p，持たない割合を 1−p
V (Xi ) = npi (1 − pi ) (i = 1, 2, · · · , N )
とし，この集団から n 個とり出しだとき，特性 A を持
つ標本の確率変数を X とすると，確率関数は
µ
P (X = k) =
n
k
2.3.5 幾何分布
Bernoulli 試行において，特性 A が初めて起きるまでの
¶
k
p (1 − p)
n−k
試行回数の確率変数を X とする．特性 A を持つ割合を
p，持たない割合を 1 − p とすると確率関数は，
で表され，分布関数は
F (X = x) =
x
X
k=0
¶
x µ
X
n
P (X = k) =
pk (1 − p)n−k
k
k=0
で表される．
平均・分散
E(X) = np, V (X) = np(1 − p)
P (X = x) = (1 − p)x−1 p x ∈ N
で表される．
平均・分散
E(X) =
1−p
1−p
, V (X) =
p
p2
7
第 2 章 確率分布
2.3.6
超幾何分布
グラフ
N 個の母集団で，そのうち M 個が特性 A を持つとす
る．この母集団から n 個を取り出したとき，特性 A を
持つ標本の個数の確率変数を X とすると，確率関数は
µ
P (X = k) =
M
k
¶µ
N −M
n−k
µ
¶
N
n
¶
２項分布
で表され，分布関数は
F (X = x) =
x
X
P (X = k)
k=0
で表される．
平均・分散
M
N µ
¶µ
¶
M
M
N −n
V (X) = n
1−
N
N
N −1
E(X) = n
多項分布
補足
M
を特性 A がある割合 p とすると，
N
µ
¶
N −n
E(X) = np, V (X) = np(1 − p)
N −1
上で，
で表される．
2.3.7
幾何分布
負の二項分布
Bernoulli 試行において，特性 A が m 回あるまでに A
が起きなかった試行回数の確率変数を X とすると確率
関数は，
Ã
P (X = x) =
k+m−1
k
!
pm (1 − p)k
(k = 0, 1, 2, · · · )
超幾何分布
で表される．
平均・分散
E(X) = k
p
p
, V (X) = k
1−p
(1 − p)2
2.3.8 Poisson 分布
パラメータ λ のポアソン分布に従う確率変数を X とし
たとき，確率関数は
P (X = k) =
負の二項分布
λk −λ
e
k!
で表される．
平均・分散
E(X) = λ, V (X) = λ
Poisson 分布
8
第 2 章 確率分布
2.4
平均・分散
連続型確率変数
1
1
, V (X) = 2
λ
λ
E(X) =
ある区間の任意の値を取ることができる確率変数．連続
型確率変数は各点で確率密度が定義されている．分布関
2.4.4 Cauchy 分布
数が表されれば確率密度関数を求めることができる．平
パラメータ m, c (m ∈ R , c > 0) に従う Cauchy(コー
均・分散については紹介程度にしておき，計算は章末の
シー) 分布の確率密度関数は
演習問題で扱う．
f (X = x) =
2.4.1
1
c
2
π c + (x − m)2
一様分布
区間 [a, b] 上である一点 c(a ≤ c ≤ b) の確率を考える
で表される．
と，[a, b] 上には無限個の点があるので，一点での確率
は 0 になる．よって区間での確率を考えなければならな
積率が存在しないため，期待値・分散は存在しない．
い．まず各点での確率変数 X は
½
2.4.5 ガンマ分布
A が起きないとき パラメータ p に従うガンマ分布の確率密度関数は
A が起きるとき 1 p p−1 −αx
であり，Aが区間 [a, b] 上の点 c で起きるとすると，
f (X = x) =
α x e
(x > 0)
Γ(p)
確率密度関数は
Z
∞
½
(b − a)−1 a ≤ x ≤ b
Γ(a)
=
xa−1 e−x dx (a > 0)
f (x) =
0
0
その他 で表される．
p
=
1
の場合は指数分布である．
で与えられる．
X=
0
1
平均・分散
平均・分散
2.4.2
λ
λ
, V (X) = 2
α
α
E(X) =
1
1
E(X) =
, V (X) =
2
12
2.4.6 χ2 分布
正規分布
自由度 φ = n に従う χ2 （カイ２乗）分布の確率密度関
正規分布に従う確率変数 X の確率密度関数は
·
f (X = x) = √
2
1
(x − µ)
exp −
2σ 2
2πσ
¸
数は
f (X = x) =
n
x
1
2 −1 e− 2 (x > 0)
n x
2 Γ( 2 )
n
2
で表される．また，Gauss(ガウス) 分布と呼ばれること
で表される．
もある．
平均・分散
平均・分散
E(X) = φ, V (X) = 2φ
E(X) = µ, V (X) = σ 2
2.4.7 ベータ分布
2.4.3
パラメータ λ1 , λ2 に従うベータ分布の確率密度関数は
指数分布
パラメータ λ の指数分布に従う確率変数 X の分布関
数は
F (X = x) = 1 − e−λx
で表され，確率密度関数は
d
f (X = x) =
F (X = x) = λe−λx
dx
で表される．
1
xλ1 −1 (1 − x)λ2 −1 (0 < x < 1)
B(λ1 , λ2 )
Z 1
B(p, q) =
xp−1 (1 − x)q−1 dx
f (X = x) =
0
で表される．
平均・分散
E(X) =
V (X) =
λ1
λ1 + λ2
λ1 λ2
(λ1 + λ2 )2 (λ1 + λ2 + 1)
9
第 2 章 確率分布
グラフ
ガンマ分布
一様分布
χ2 分布
正規分布
ベータ分布
指数分布
参考−二項係数
二項分布，超幾何分布，負の二項分布などででてきた
µ
二項係数
n
k
¶
は
µ
Cauchy 分布
と定義される．
n
k
¶
:=n Ck =
n!
k!(n − k)!
10
第 2 章 確率分布
2.5
積率母関数・特性関数
2.5.1
2.5.2 積率母関数の性質
積率母関数について次の性質 (定理) が成り立つ．
積率母関数
分布の特徴を数値化する工夫として，積率 (モーメント)
(a) MX (0) = 1
と呼ばれるものがある．分布の平均値やバラツキ，ひず
(b) MaX+b (t) = ebt MX (at)
みや尖り度を数値化するものである．たとえば，１次の
(c) MX (t) は非負の定置関数である．
積率は分布の中心がどこにあるか (期待値・平均) を示
し，２次のそれは分布の中心付近において分布がどれほ
また次の重要な定理が成り立つ．
ど集中しているか (分散) を示している．一般には３次
実数値確率変数 X, Y に対してそれぞれの積率母関
以上の積率も必要で，すべての次数の積率を指定するこ
数 MX (t) と MY (t) が一致するならば，X と Y の
とで１つの確率分布が決定されるはずである．すべての
確率分布は一致する．
次数の積率を生成する関数を積率母関数といい，
tX
MX (t) = E(e
)
2.5.3 特性関数
MX (t) が微分可能であるためには少なくとも t = 0 の
近傍で MX (t) が存在しなければならない．しかし積率
と定義する．
母関数 MX (t) がすべての t 6= 0 に対して存在しない場
◦ 離散型
MX (t) =
X
合があるため，積率母関数と似た性質を持ち，かつ存在
tx
e f (x)
x
◦ 連続型
Z
か確かな別の関数を用意する．その関数を特性関数と
いい，
∞
MX (t) =
etx f (x)dx
−∞
ϕX (t) = E(eitX )
MX (t) を繰り返し微分して t = 0 とおいた導関数は，一
と定義する．この関数は解析的で、積率母関数より厳密
般に積率母関数の l 階導関数から
に確率分布を決定することができる．
(l)
MX (t) = µl
2.5.4 特性関数の性質
となり，各次数の積率が求められる．
0
00
MX
(0) = E(X) , MX
(0) = E(X 2 ) , · · ·
特性関数について次の性質 (定理) が成り立つ．
(a) ϕX は R 上の一様連続関数である．
(b) ϕX (0) = 1 , |ϕX (t)| ≤ 1 , ϕX (−t) = ϕX (t)
(c) ϕaX+b (t) = eibt ϕX (at)
例
Poisson 分布の積率母関数 MX (t) を求め，それ
(d) ϕX (t) は非負の定置関数である．
を利用して期待値と分散を求めよ．
解
MX (t) =
= e
∞
X
etk · e−λ
k=0
∞
X
−λ
λk
k!
t k
(λe )
k!
k=0
λet
= e
−λ
= e
λ(et −1)
積率母関数と同じく，次の定理が成り立つ．
実数値確率変数 X, Y に対してそれぞれの特性関数
ϕX (t) と ϕY (t) が一致するならば，X と Y の確率
分布は一致する．
·e
0
MX
(t) = MX (t) · λet
00
0
0
MX
(t) = MX
(t) · λet + MX
(t)
0
E(X) = MX
(0) = λ
00
0
V (X) = MX
(0) − MX
(0)2
= λ2 + λ − λ2 = λ
Fourier(フーリエ) 変換の逆変換に対応して，特性関数
から確率測度を求める公式を Lev́y(レヴィー) の反転公
式という．測度空間を定義した後に扱う．
11
第 2 章 確率分布
第２章 演習問題
1. サイコロを 30 回振ったとき，１の目が８回でる確率を求めよ．
2. 白玉４個，黒玉６個入った箱から４個の玉を取り出すとき，x 個の白玉がでる確率を求めよ．
3. 次の確率分布に従う確率変数の期待値・分散を求めよ．
（i）二項分布 f (x) = n Ck pk (1 − p)n−k
λk −λ
e
k!
（iii）幾何分布 f (x) = (1 − p)x−1½
p
¾
1
(x − µ)2
（iv）正規分布 f (x) = √
exp −
2σ 2
2πσ
−λx
（v）指数分布 f (x) = λe
（ii）Poisson 分布 f (x) =
4. 次の確率分布の積率母関数を求め，各次数の積率を求めることにより期待値・分散を求めよ．
（i）二項分布 f (x) = n Ck pk (1 − p)n−k
（ii）幾何分布 f (x) = (1 − p)x−1½
p
1
(x − µ)2
exp −
2σ 2
2πσ
−λx
（iv）指数分布 f (x) = λe
¾
（iii）正規分布 f (x) = √
5. 確率変数 X の確率密度関数を

1


x (0 ≤ x ≤ 2) 2
f (x) =


0 (その他)
とする．このとき X の分布関数 FX (x) を求めよ．また，この X に対して確率変数 Y = 2X 2 + 1 の分布関数
FY (x) を求めよ．
6. X は実数値をとる確率変数とする．次の問いに答えよ．
（i）X が平均値 0，分散 σ 2 の正規分布に従うとき，E(|X|n ) (n ∈ N) を求めよ．
（ii）X (正規分布に従うとは限らない) が E(|X|n ) < ∞ を満たすとき，任意の正数 a について
P (|X| > a) ≤
が成り立つことを示せ．
E(|X|)
a
12
第3章
Lebesgue 積分論の導入
ここで簡単に Lebesgue 積分論に触れ，確率測度から確
A : R の点集合とする．
率空間を定義していく．
3.1
3.2.3 外測度の性質
(C1) 0 ≤ m∗ (A) ≤ +∞ , 特に m∗ (φ) = 0
Lebesgue 積分とは
Riemann(リーマン) 積分では x 軸での分点分割を考え，
微小長方形の和の形で積分を定義したが，Lebesgue(ル
(C2) A ⊂ B ⇒ m∗ (A) ≤ m∗ (B)
µ[
¶ X
∞
∞
∗
(C3) m
An ≤
m∗ (An )
ベーグ) 積分においては y 軸での分点分割を考える．こ
n=1
¡ n=1 ¢
(C4) m∗ [a, b) = b − a
のことにより，被積分関数は連続である必要はなく，至
(C5) 点集合 B が A と合同 ⇒ m∗ (A) = m∗ (B)
るところ不連続でもよいし，無限大をとることがあっ
てもよい．このとき，対応するいろいろな集合の長さを
(Lebesgue) 測度という．
3.2
A ⊂ R が次の条件を満たすとき、A は可測 (Lebesgue
すべての点集合に対して定義できる長さを外測度という
ことにする．以下，Lebesgue 積分を定義するまで，い
ろいろな定義と性質を証明なしに挙げていく．
A ⊂ R に対して，半開区間の列 {In } で A を覆う
∞
X
ときの
|In | の下限を A の外測度といい，
n=1
m (A) で表す:
m∗ (A) := inf
(
∞
X
n=1
|In | | A ⊂
∞
[
)
In
n=1
{In } で A を覆うとは，{In } が A の被覆であることを
いう．
3.2.2
被覆の定義
A⊂
[
可測) であるという:
∀
Aλ であるとき、{Aλ |λ ∈ Λ} を A の被覆
λ∈Λ
という。特に Aλ がすべて開集合のときは開被覆と
B⊂A,
∀
B 0 ⊂ Ac ; m∗ (B ∪ B 0 ) = m∗ (B) + m∗ (B 0 )
または
∀
外測度の定義
∗
可測集合
3.3.1 可測集合の定義
外測度
3.2.1
3.3
X ∈ R ; m∗ (X) = m∗ (X ∩ A) + m∗ (X ∩ Ac )
3.3.2 可測集合の性質
(1) A が可測 ⇔ Ac が可測
(2) A1 , · · · , An が可測 ⇒
(3) A1 , · · · , An が可測 ⇒
n
[
k=1
n
\
Ak も可測
Ak も可測
k=1
(4) A, B が可測 ⇒ A\B も可測
∞
[
(5) A1 , · · · , An , · · · が可測 ⇒
An も可測
(6) A1 , · · · , An , · · · が可測 ⇒
n=1
∞
\
An も可測
n=1
(7) B が可測集合 A に合同 ⇒ B も可測
いい、{Aλ |λ ∈ Λ} が有限集合のときは有限被覆と
可測集合の例
いう。
半開区間 I ，開集合 G，閉集合 F は可測である．
第3章
3.3.3
13
Lebesgue 積分論の導入
3.3.9 Borel 集合の定義
可測集合族の定義
可測集合全体を L で表し可測集合族という。
すべての σ -集合体の交わり (最小の σ -集合体) を
B で表し．Borel 集合族 (体)(Borel eld) という．
3.3.4
また B の元を Borel 集合という．
可測集合族の性質
(M1) φ ∈ L
Borel 集合は可測であり，開集合，閉集合は Borel 集合
(M2) A ∈ L ⇒ Ac ∈ L
∞
[
(M3) An ∈ L (n = 1, 2, · · · ) ⇒
An ∈ L
n=1
(M4) G が開集合 ⇒ G ∈ L
である．ただ，Borel 集合でない可測集合が存在するこ
とが知られている．後の Lebesgue-Stieltjes(ルベーグスティルチェス) 積分を定義するときに考える．
(M1)∼(M3) を満たす L を加法的集合族という．下に
3.4
まとめ直す．
3.4.1 Lebesgue 測度の定義
3.3.5
f -集合体の定義
測度
可測集合 A に対して
X の部分集合族 A が次の条件を満たすとき，
m(A) := m∗ (A)
X の f -集合体 (f -eld) または有限加法的集合族
を A の測度 (Lebesgue 測度) という。
という．
3.4.2 測度の性質
(A1) φ ∈ A
c
(A2) A ∈ A ⇒ A ∈ A
A : R の可測な点集合とする．
(A3) A1 , A2 ∈ A ⇒ A1 ∪ A2 ∈ A
(L1) 0 ≤ m(A) ≤ +∞ , 特に m(φ) = 0
(L2) A1 , A2 , · · · , An , · · · (i 6= j ⇒ Ai ∩ Aj = φ)
µ[
¶ X
∞
∞
An =
=⇒ m
m(An )
また，これより次の性質も導ける．
3.3.6
f -集合体の性質
(A4) X ∈ A
(A5) A1 , · · · , An ∈ A ⇒
(A6) A1 , · · · , An ∈ A ⇒
n
[
k=1
n
\
n=1
¡
¢
(L3) m [a, b) = b − a
Ak ∈ A
Ak ∈ A
k=1
件を満たすとき，X の σ -集合体 (σ -eld) または σ -加法
3.4.3 測度についての諸定理１
(2) A, B ：可測
=⇒ m(A ∪ B) + m(A ∩ B) = m(A) + m(B)
3.4.4 測度についての諸定理２
的集合族という．
(A8) A1 , · · · , An , · · · ∈ A ⇒
∞
[
An ∈ A
n=1
A が X の σ -eld とすると，次の性質も成り立つ．
σ -集合体の性質
(A9) A1 , · · · , An , · · · ∈ A ⇒
∞
\
An ∈ A
n=1
(A10) A1 , · · · , An , · · · ∈ A
∞ [
∞
∞ \
∞
\
[
Am ∈ A
Am かつ
=⇒
n=1 m=n
また，次に諸定理を挙げておく．
=⇒ m(A \ B) = m(A) − m(B)
σ -集合体の定義
またさらに，f -eld である X の部分集合族 A が次の条
3.3.8
(L4) 点集合 B が A と合同 ⇒ m(A) = m(B)
(1) A, B ：可測 , B ⊂ A , m(B) < +∞
(A7) A1 , A2 ∈ A ⇒ A1 \A2 ∈ A
3.3.7
n=1
n=1 m=n
An (n = 1, 2, · · · )：可測とすると次が成り立つ：
(1) An ⊂ An+1 (n = 1, 2, · · · )
̰
!
[
=⇒ m
An = lim m(An )
n=1
n→∞
(2) An+1 ⊂ An (n = 1, 2, · · · ), ∃k ∈ N, m(Ak ) < +∞
̰
!
\
=⇒ m
An = lim m(An )
n=1
n→∞
第3章
3.4.5
14
Lebesgue 積分論の導入
零集合の定義
m∗ (A) = 0 となる A を零集合という。
3.4.6
零集合についての定理
(1) 零集合の部分集合は零集合である。
(2) 零集合は可測集合である。
(3) An (n = 1, 2, · · · ) が零集合 ⇒
∞
[
n=1
∗
An も零集合
(4) N ：零集合 ⇒ m∗ (A ∪ N ) = m (A \ N ) = m∗ (A)