第2章 ：スケッチを立体化する 前回は目で見るものはすべて「構成」の

第２章 ：スケッチを立体化する
前回は目で見るものはすべて「構成」の
結果であることを学んだ。
今回は構成のもっとも簡単な例として
「立体に見える線画」について考えよう。
一番簡単な例：これは何に見えるか ?
答：立方体
「この線画が立方体に見える」という事実には
いろいろ変なことがあるはずである。
どんな変なことがあるだろうか ?
考えてみよう。 → 解答例は次ページ
おかしな点 1 ：
2 次元の線画なのに平面には見えない。
おかしな点 2 ：
本当はこんな風には見えない。
遠い辺が短いはず。
おかしい点 3 ：
A 、 B はどっちが手前 ?
A
B
おかしな点 2 ：について
机の上のティッシュの
箱の写真。手前と
奥の辺の長さは ?
どう見ても同じ長さ
には見えないだろうが、
これは同じ長さ。
目で見たときも箱の上面は台形でなく平行四辺形
として再構成されている。鉛筆で実際に肉眼で長さ
を比べてみるとかなり違うので驚く。
だからこそ、線画も平行四辺形でいい。
目には「台形」が見えているのに VI は
「平行四辺形」を再構成してしまう。
→ 遠近法の発見が遅れた理由。
下のアニメの一シーンでおかしいところは ?
良く見ると左の
アニメの一シーン
の本は形がおかしい。
台形ではなく平行
四辺形に近い。大体、
床の線と平行に
なってない。
こんな風に現実と
違っていても VI が
「構成」しているので
気付かない。
同じアングルの実写はちゃんと台形になっている
つまるところ「現実そのまま」の CG が
現実のように見えるかどうかはわからない。
本は「台形」ではなく「平行四辺形」で
描いた方が本らしく見えるのかもしれない。
要するに VI の「構築」に対して現実に
近い３次元が構築できるような２次元刺激を
与えればいい。
おかしな点 3 ： 2 通りの見え方
ネッカーキューブ：
A が前になったり
B が前になったりする。
→ なぜ ?
A
B
実際はこれ以外にも
無限の可能性あり。
辺が一本だけ前後に動いていて
離れているかも知れない。
直線は、奥行方向に波打っているかも
知れない。その中からむりやりたった 2 つの
可能性を選ぶのだから「不定」なのも
無理は無い。
じゃあ、こういう線画はいつも
３次元に見えるのか ? → 問
答： NO 。
下の図の両端は
２次元の絵にしか
見えないだろう。
なぜ、 3 次元に見えたり、
2 次元に見えたりするのか ?
→ 答は次ページ
答：網膜像はいずれにせよ２次元である。
つまり、２次元から 3 次元を構成するのは
本質的な作業である。
このために視覚法則がある。視覚は視覚法則を
満たすように構成される。以下に、ひとつ、重要な
視覚法則を説明しよう。
安定性の法則：図が安定的な見え方をする
視覚世界のみを構築する。
( 英語では generic viewpoint assumption と
いうらしい )
例：
問：これは３次元の
物体を描いた線画である。
どの様な 3 次元物体が
想像されるか ?
→ 答は次ページ
答： V 字形の物体
問：他には ?
答：箸。先端が交わらない、
お互いに離れた２本の線分
なぜ、そうは見えないのか ?
答：箸だったら V 字に見えるのはまれだから。
安定性の法則の例：
3 次元だとしたら
何に見える ?
答：棒
他のどんな物体もこういう風にみえることは
滅多に無いので安定性の法則から視覚としては
構築されない。
安定性の法則の例：
3 次元だとしたら
何に見える ?
答：点
線分を真横からみたものだとは思えない。
安定性の法則からの派生法則
法則１：図中の直線は常に、三次元空間内に
おいても直線であると解釈される。
法則２：図中で 2 直線の先端が接している
場合には常に三次元空間においても
接していると解釈される。
法則 1 、 2 を使うと、両端の線画が
「立方体」に見えない理由を
どう説明できるだろうか ?
→ 次週までの宿題。
レポートとして提出せよ。
左端の線画はちょっとすらせば立体に見える。
反論：
対称性が
くずれたからじゃないの ?
対称な図形は２次元に
見えるのでは ?
確認１：
対称なままで法則 1 が当て
はまらないように変型。
対称だが
立体に見えるだろう。
よって、対称が
くずれたから
3 次元に見えた
わけではない。
確認２：
対称性は壊れているが法則１が成り立つ。
左は立体、右は平面に見える。よって
やはり、対称性ではなく安定性の法則が決めている。
悪魔の三角形再び。
なぜ、一部を隠すと矛盾が解消するのか ?
→ 問
答： 法則２をあてはめなくてよくなるから。
この図形が「立体」に見える理由を安定性の
法則から説明できるかどうか考えよ。
→ これもレポート。
次回提出。
レポート問題
1番
２番
３番 安定性の法則を使って面白いことを
考えて線画にしろ
この講義科目は「４年次の選択必修科目」では
ありません。間違えないように。
「数値計算特論」「量子情報通信 1 ・ 2 」も
選択必修科目ではありません。
このことにいままで気付かずに、履修の仕方を
誤ってしまった人は、以下の対応をしてください。
１．後期科目を履修したい場合 → 事務に申しでる
２．前期科目を履修したい場合
→ 担当教員に許可を得ると同時に、
事務に申しでる。
以上。
◯VI が用いる他の法則
安定性の法則から派生した法則１が壊れる例
何に見える ?
4 本の細長いビル
問：法則 1 をどう
破っているか ?
問：他にどう見える ?
答え：
4 本の太いビル
VI は法則を破ることを嫌う。
で、破らないで済む、他の解を
捜そうとする。 ( 破らないで済む例は
結局見つからないが ) この図が
細長いビルに見えたり、太いビルに
見えたりして不安定なのは
そのせいだろう。
安定性の法則を破る他の例：
問：何に見える ?
問：安定性の法則を
どう破っているか ?
安定性の法則は以下の様な法則を含んでいる。
法則 3 ：
図中に、一直線上に並んでいる複数の直線が
ある場合には常に、三次元空間内においても
一直線上に並んでいる直線であると解釈される。
問：安定性の法則はなぜこれを要請するか ?
なぜなら、そうでなければ、複数の直線が
一直線上に並ぶことはまれなはずであり、
安定性の法則に反するから。
問：安定性の法則が壊れる理由を考えよ。
重力が理由では ?
→ 法則 1 を優先させると、小さい箱は宙に浮く。
問：これが本当かどうかを確かめるには ?
やっぱりくっついている。
重力は関係無し。
近接の法則が働いているのでは ?
4 つの◯はどの奥行に
あるように見えるか ?
「立方体」の見え方
とどう関係するか ?
法則 4 ：図中の近接した要素は、三次元空間
内においても近接していると解釈される。
ここに注目すると
小さい箱は大きい箱の
内部に。
ここに注目すると
小さい箱は大きい箱の
上に。
注目する場所で位置関係は変わる。
近接の法則同士にも競合がある。
近接の法則は安定性の法則を拒否する。
→ 解釈に際して各法則の間に矛盾点が生じる
場合の判断の仮定＝手がかりの統合 / 感覚融合
絵画の構図のよしあし、とは結局、
手がかりの統合に頼らずとも
3 次元が構築できるような配置に
過ぎないのでは ?
← いい構図
悪い構図 →
◯ 曲線を含む図形
これは何に見えるか ?
また、なぜ、そう見えるかを安定性の
法則で考えてみよ。
法則５：
図中の滑らかな曲線は常に、三次元空間内に
おいても滑らかな曲線であると解釈される。
問：安定性の法則からこうなる理由を考えよ。
赤丸の部分の線分の交わりに前後関係が
あるのはなぜか ?
問：前後関係がみえることは今までの法則の
どれとどのように矛盾しているか ?
問：新たなるどのような法則が必要なのか ?
新たなる法則：投影の法則
「三次元の物体がどのように平面上に投影
されるかの法則」
→ この法則を使うと、ドーナツの内側
の接触部分に「前後関係」が
発生することを理解することが出来る。
投影の法則は『大法則』。
安定性の法則から、いくつもの小法則が派生
したように、投影の法則からはいくつかの小法則が
派生する。
投影の法則から派生する小法則の例：
線遠近法：ルネッサンス期に発見。
ダビィンチが多用。
自然遠近法：ギリシャで発見。
自然遠近法：
月食が起きる理由 ( 月は小さいのに大きな
太陽をなぜ隠せるか ?)
線遠近法：
自然遠近法を平面で表現する方法。
線遠近法が無い場合に ( プロの ) 画家が
描く ( いた ) 絵
問：この絵は何がおかしい ?
答えの例：
・床の格子縞が平行。
・柱の右の男がキリストでは
なくて柱をむち打っている
様にみえる。
なぜ、こうなるのか ?
線遠近法を知らないので、真中の床を描けない。
そこで、ごまかすために柱をおいたが、
今度は、キリストとむち打つ男の前後関係が
狂った。
投影の法則から派生する小法則の例：
表面がなめらかな物体のシルエットの解釈
シルエットとは ?
3 次元の物体を平面に投影したときの縁
縁とは何か ?
視線と法線が直交するような物体表面上の
点の集合。
法線の集合
法線
縁
目
法則６：
可能な部分では図中の曲線を三次元の
縁だと解釈する。
実線：目に見える縁
破線：目に見えない縁
法線を明示的に描いてみると交わった部分が
「くっついている」とは思い難いことがわかる。
一般に 3 次元を 2 次元に埋めこむとＴ字ができる
( ホイットニーの定理：数学、僕は解りません )
法則７： 可能な部分ではすべて、図中の
T 字型を、そこに全縁中の隠された
部分があると解釈する。
つまり、Ｔ字型の横棒が縦棒を
隠していると解釈する。
極端な例：
左図の内側に
「曲面」を
感じるのは
僕だけ ?
法則 5 、 6 、 7 を使うとなぜ「ドーナツ型」
が見えるかを理解できる。
問：法則 5 、 6 、 7 を使ってなぜ、これが
ドーナツ型に見えるかを説明しろ。
平面から３次元を構成する他のルール
問：この絵から３次元を構成できるのはなぜか ?
この答えを理解するためには「曲率」というものを
理解しなくてはいけない。
問：曲率を知っているか ?
曲線上の一点を考える。
この点での接線に
接する円を描く。
円の半径を r とする。
曲線のこの点での
曲率は 1/r である。
r
問：平面の曲率とは ?
例：円柱の側面の曲率とは何か ?
答え：曲率は 2 つある。
底面に平行な成分と
側面に平行な成分
r
r=∞
問：球面の場合は ?
答え：
2 つの大円の半径の逆数
r
r
曲面の曲率の一般論
1. 任意の接線を描く
2. 曲率を計算
3. 全ての接線について
曲率を計算
4. 曲率が最大と最小の
接線をもとめる。
5. それぞれの接線を
「主方向」、対応する
曲率を「主曲率」という。
注：主方向は必ず直交
している。
曲率による曲面の分類
( 赤が表、中心での曲率 )
凸形
主曲率が
ともに正
凹形
主曲率が
ともに負
鞍形
主曲率が
正と負
いままでの法則で
「曲線は曲面の縁だと思う ( 法則６ ) 」
ことになっている。
すると凹型の縁は見えないので
凹型の曲線があればそれは
鞍型の縁だと思うしか無い。
法則８：凸型の境界上の各点は、
三次元においても凸型の縁上の点だと解釈される
法則 9 ：凹型の境界上の各点は、
三次元においても鞍型の縁上の点だと解釈される
ドーナツ型の場合：
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+ は凸面、−は鞍型と思うと殆ど選択の余地無し
更に
法則 10 ：できるだけなめらかな
三次元の曲面を形成する
というのもあった方がいい。
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点線は鞍型と凸型が接続するところ。
ここを「滑らかに繋ぐ」という要請から
「膨らみ」が見えることになる。
この線画が膨らんで見えにくいのは
法則 8 、 9 、 10 の対象外だから。