進行波状吹出し・吸込みによる摩擦抵抗低減のメカニズム

日本流体力学会年会 2010
進行波状吹出し・吸込みによる摩擦抵抗低減のメカニズム
Mechanism of friction drag reduction by traveling wave-like blowing/suction
○守 裕也，慶大院，横浜市港北区日吉 3-14-1，E-mail: [email protected]
オプフナー ジェローム，パリ第六大，E-mail: [email protected]
深潟 康二，慶大，横浜市港北区日吉 3-14-1，E-mail: [email protected]
Hiroya MAMORI, Department of Mechanical Engineering, Keio University, Yokohama, 223-8522, Japan
Jérôme HŒPFFNER, Institut D’Alembert, UPMC, 75252 Paris Cedex 05, France
Koji FUKAGATA, Department of Mechanical Engineering, Keio University, Yokohama, 223-8522, Japan
The skin-friction drag reduction mechanism of the traveling wave-like blowing/suction control in a laminar channel
flow is investigated by using an identity equation between the skin-friction drag and the Reynolds shear stress coupled
with a linear analysis. The traveling wave creates non-quadrature betweeen the velocity fluctuations and induces
the phase shift of the streamwise velocity fluctuations. The present phase analysis reveals that this non-quadrature
consists on an inviscid base phase relationship and a near-wall phase shift induced by the viscosity. The thickness
of the Reynolds shear stress induced by this control is found to be scaled by the same manner with Stokes’ second
problem.
vw± = ±a cos (k(x − ct)) ,
1. 背景・目的
近年，エネルギ効率利用への関心の高まりから，摩擦抵抗低
減に関する研究 (1, 2, 3) が数多くなされている．Fukagata et al.(4)
および Bewley et al.(5) によれば，平行平板間における完全発達
乱流下での摩擦抵抗値 D が恒等的に
3
D = |{z}
2 + Re
2
Dlam
|
Z
と定義する．ここに，a は振幅，k は波数，c は位相速度である．
支配方程式は線形化された連続の式と Navier-Stokes 方程式を
用いた．境界条件は，壁面において流れ方向速度に滑りなし条
件，壁垂直方向速度には式 (2) もしくは式 (3) を課した．流れ方
向は周期境界条件とした．
速度および圧力の撹乱成分 (u0 , v 0 , p0 ) に関する線形支配方程
式は，流れ方向にフーリエ変換，壁垂直方向にはチェビシェフ
選点法を用いた離散化を行うことで，
1
¡
¢
(−y) −u0 v 0 dy
−1
{z
}
(3)
(1)
∆D
となり，層流寄与項 (Dlam ) とレイノルズせん断応力の座標の重
み付き積分で表わされる層流値からのずれ分 (∆D) に分解でき
る．すなわち，これは壁面付近でのレイノルズせん断応力低減
により摩擦抵抗低減が可能であることを示している．この知見
を基に Min et al.(6) は，壁面からの進行波状吹出し・吸込み制御
が層流および乱流下で式 (1) の右辺第二項を負，すなわち層流
値以下の摩擦抵抗が得られることを示した．さらに，Hœpffner
and Fukagata(7) は Min et al.(6) の制御を拡張し，進行波状制御の
持つポンピング効果を明らかにした．
この進行波状吹出し吸込み制御は，センサを必要せずに大き
な摩擦抵抗低減効果を得られる利点がある．本研究では進行波
状吹出し吸込み制御による摩擦抵抗低減メカニズムを明らかに
するため，Min et al.(6) および Hœpffner and Fukagata(7) の調査
をさら拡張し，制御効果について統一的な説明を得ることを目
的とする．そのために，線形解析と式 (1) を用いて Min et al.(6)
の結果を再現し，∆D が生じる原因について速度撹乱間の位相
を詳細に調べることで明らかにする．同時に，Stokes 問題との
アナロジーについても調査する．さらにより幅広いパラメータ
の範囲での制御効果を調べる為にパラメトリックスタディも行
う (8) ．
Aq̂ = b
(4)
0
0 T
で表わされる．ここに A はシステム行列，q̂ = (u , v , p ) ，b
は境界条件を含むベクトルである．解 q̂ は，
q̂ = A−1 b
(5)
より得る．逆フーリエ変換から撹乱成分，さらにレイノルズせ
ん断応力 −u0 v 0 が得られ，式 (1) から ∆D を求めることができ
る (8) ．本報ではレイノルズ数は Re = Uνc δ = 2000 として，Min
et al.(6) と同条件とした．
3. 結果・考察
3.1 Varicous mode
Figure 2 に varicose モードでの進行波の振幅 a で規格化さ
れた ∆D と c の関係を示す．本研究で用いた線形解析は Min
et al.(6) の結果と一致し，彼らの結果を再現できたことが分かる．
上流方向進行波 (c < 0) で ∆D < 0 (Fig. 2(a))，下流方向 (c > 0)
では ∆D > 0 (Fig. 2(b)) となった．また，c ≈ 0.5 で ∆D は著
しく増大し，これは進行波の速度と基礎流れの速度が一致する
critical layer(7) が原因である．
Figure 3 に c = −1.5 と固定し，波数を変化させた時のレイノ
ルズせん断応力分布を示す．レイノルズせん断応力は下／上壁
2. 線形解析
Figure 1 に本研究で対象とする平行平板間流れと制御入力を
Varicose mode
Sinuous mode
示す．基礎流れとして層流ポアズイユ分布を用いる．ここに代
表長さはチャネル半幅 δ ，代表速度はチャネル中心速度 Uc とし
た．制御入力として壁面からの進行波状吹出し・吸込みを与え
る．上下の壁面における吹出し・吸込み (vw± ) の位相によって，
varicose モードを
vw± = ∓a cos (k(x − ct)) ,
0
Wave propagation
(2)
Fig. 1 Flow geometry and control input.
および sinuous モードを
1
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50
(Present)
1
6
25
0.5
0
−25
−0.85
0
−50
−0.9
−0.5
−75
−0.95
−1
−2 −1.5 −1 −0.5 0
−100
−4
−3
−2
−1
0
−1
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
0.5
1.5
8000
(Present)
Fig. 3 Profile of the Reynolds shear stress induced by the
varicose mode and upsteream traveling wave for different
k.
6000
6
10
2.5
4000
8
6
4
2
2000
2
0 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
−5
1.5
0
0
0.5
1
1.5
Fig. 2 Normalized drag increament, ∆D/a2 , as a function of the wavespeed under different k (Re = 2000, varicose mode): (a) c < 0; (b) c > 0.
1
0.5
−5 −4 −3 −2 −1
面付近で負／正の値をとっており，式 (1) から ∆D < 0 となる．
ここに，下壁面からレイノルズせん断応力が最大値をとる高さ
を影響厚さ δb/s と定義する．この δb/s は k の増加とともに減少
している．この影響厚さが，Stokes 問題からの類推から
δb/s
p
|c|kRe ' const.
π
2
3
4
5
(2) Critical layer effect
(or quasi-resonance effect)
(3) Double peak
of RSS
Constant
(1) Effect of bounded domain
-1.0
-0.34
0
0.4
1.0
Wavespeed
Fig. 5 Schematic of the scaled influence layer thickness:
thick gray line, effect of bounded domain only; thin black
line, atcual behavior.
であれば ∆D < 0 となる．
Figure 6(a)-(b) に，それぞれ上流/下流方向進行波での，−1 <
y < 0 における速度撹乱の位相 (流れ方向, arg û(viscous); 壁
垂直方向, arg v̂(viscous)) とその位相差 φ の分布を示す．上
流方向進行波 (c < 0) では壁面付近で φ 6= 0，それ以外では
φ = 0 であり，壁面近傍のみで非直交性が生じている．ここで
arg v̂(viscous) = 0 であるのに対し，arg û(viscoud) 6= −π/2 で
あることから，非直交性は流れ方向速度撹乱の位相によるもの
である．
ここに合わせて非粘性流での速度撹乱の位相 (arg û(inviscid),
arg v̂(inviscid)) を示した．全領域で直交性を保っており，大域
(7)
(8)
と定義した．速度撹乱同士が非直交，すなわち φ 6= 0 の場合，
レイノルズせん断応力が生じ，特に
0 < φ < π (−1 < y < 0)
−π < φ < 0 (0 < y < 1)
2
(6)
となる．ここに φ は速度撹乱同士の位相差で
φ = arg û − arg v̂ +
1
Fig. 4 The scaled influence layer thickness as a function
of c (varicose mode).
とスケーリングできると考え，Fig. 4 にこのスケーリングされ
た影響厚さを示した．位相速度が |c| > 1 では一定値を保ってお
り，Stokes 問題とのアナロジーが成立している．
一方で位相速度 c = 0 近傍においてはスケーリングされた影
響厚さは減少 (−1 < c < 0) および著しく増加 (0 < c < 1) し，
Stokes 問題とのアナロジーが保たれていない．この挙動の模式
図および原因は以下のように説明できる（Fig. 5）(1) |c| = 0 へ
近づいても，壁垂直の領域は −1 < y < 1 に制限されているた
め，δb/s は無限に大きくなることができない．(2) 0 < c < 1 に
おいて critical layer の影響を受ける．(3) c ≈ −0.34 においては
レイノルズせん断応力が正負両方にピークを持つ．
式 (1) より ∆D はレイノルズせん断応力の重み付き積分で表
わされるが，このレイノルズせん断応力はフーリエ係数を用いて
1
−u0 v 0 = − |û||v̂| sin φ
2
0
(9)
2
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(a)
200
0
150
0.2
100
−0.4
50
−0.6
0
−0.8
−1.0
−1.5
(b)
−50
−1
−0.5
0
phase/ π
0.5
1
−100
−4
1.5
0
4
x 10
−3
−2
−1
0
4
0.2
3
−0.4
2
−0.6
−0.8
−1.0
−1.5
1
−1
−0.5
0
0.5
phase/ π
1
1.5
0
0
Fig. 6 Profile of phases of the Fourier coefficients for
viscous and inviscid distribution: (a) drag reducing case;
(b) drag increase case.
1
1.5
Fig. 7 Normalized drag increment, ∆/a2 , as a function
of c under different k (Re = 2000, sinious mode): (a)
upstream and (b) downstream traveling wave.
的には粘性流の速度撹乱の位相と一致し，壁面近傍では粘性
流の流れ方向速度の位相は非粘性流のそれから正のずれが生
じている．これは壁面付近の粘性により生じたと考えられる．
Figure 6(b) に示した下流方向進行波では．arg û (viscous) の負
のずれが生じている．したがって上流方向進行波の場合とは反
対に，摩擦抵抗の増加となった．
10
2.5
8
6
2
4
2
0
−5 −4 −3 −2 −1 0
1
2
3
4
5
1.5
3.2 Sinuous mode
Figure 7 に sinous モードでの ∆D/a2 を示す．上流方向進行
波 (Fig. 7(a)) により k = 1.0, 1.5, 2.0 において摩擦抵抗低減が
得られたか，k = 0.5 では増加した．下流方向進行波 (Fig. 7(b))
1
0.5
−5 −4 −3 −2 −1
ではいずれの波数の場合も摩擦抵抗は増加した．
前節と同様にレイノルズせん断応力の影響厚さ δb/s を定義し，
0
1
2
3
4
5
Fig. 8 The dimensionless influence layer thickness as a function of c.
p
|c|kRe を示した．位相速度 c = 0 近傍を除き一
定値を保っており，Stokes 問題とのアナロジーが確認できた．
Figure 9(a)-(b) に，k = 0.5 と k = 2.0 の上流方向進行波
(c = −1.5) が誘起する速度撹乱の位相分布をそれぞれ示す．ど
ちらの場合も arg û(viscous) の正のずれによって，壁面付近で
非直交が生じている．Varicose モードと同様，この非直交性に
より，k = 2.0 では摩擦抵抗を低減したが，k = 0.5 では摩擦
Fig. 8 に δb/s
0.5
0.01 < k < 5 と −5 < c < 5 の間で 0.01 ずつ変化させ，約
50, 000 ケースの計算を行った．
Figure 12(a)(b) に varicose モードと sinuous モードのスケー
リングされた影響厚さのマップをそれぞれ示す．位相速度 c ' 0
の範囲を除き一定値をとっているため，幅広いパラメータで
Stokes 問題とのアナロジーを保っている．
前節までで，摩擦抵抗の増減を決める速度撹乱の非直交性は，
非粘性流の位相関係と一致する大域的な位相関係と，粘性によっ
て生じる壁面付近の位相のずれによるものであることが分かっ
た．そこで速度撹乱の位相差 φ を
抵抗が増加した．これは大域的な位相関係の違いが原因である．
すなわち k = 2.0 では arg û = −π/2 であり，k = 0.5 では
arg û = π/2 である．Figures 10-11 に k = 0.5, 2.0 それぞれの
速度撹乱の分布を示した．波数が小さい場合 (k = 0.5) では片
側壁面からの吹き出した流体が，反対側の壁面へ吸い込まれる
突き抜けが生じる為 v 0 はチャネル中心付近で最大値をとった．
一方で，k = 2.0 ではこの突き抜けは生じていない．そのため
Fig. 9 で見られた大域的な位相関係に違いが発生した．
φ=Φ+α
と分解する．ここに Φ を大域的な位相関係，
Φ = arg û(inviscid) − arg v̂(inviscid) +
(10)
π
,
2
α を壁面付近の局所的な位相関係，
α = arg û(viscous) − arg û(inviscid),
3.3 Parametric study
(11)
(12)
u0 v 0 |
と定義した．Figure 13(a)-(c) に下壁面付近で | −
が最大
値をとった場所での Φ/π, α/π ，∆D/a2 をそれぞれ示す．Fig-
スケーリングされた影響厚さおよび速度同士の位相関係を
より広いパラメータの範囲で調査するため，位相速度と波数を
3
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(a)
0
1
1
0
0
−1
−1
0.2
−0.4
(b) 1
1
−0.6
0
0
−1
−1
−0.8
(c)
−1.0
−1.5
1
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
0
−1
−0.5
0
phase/ π
0.5
1
1.5
−1
0
0
1
2
3
4
Fig. 11 Diturbance fields at k = 2.0 (sinous mode, c =
−1.5, and Re = 2000): (a) v 0 /a; (b)v 0 /a; (c) −u0 v 0 /a2 .
0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1.0
−1.5
−1
−0.5
0
phase/ π
0.5
1
1.5
Fig. 9 Profile of the phae of the Fourier coefficients for
viscous and inviscid disturbance induced by the sinuous
mode traveling wave (c = −1.5, Re = 2000): (a) k =
0.5; (b)k = 2.0
(a)
1
1
0
0
−1
−1
(b)
1
1
0
0
−1
−1
(c)
1
1
0
0
−1
0
−1
1
2
3
4
Fig. 10 Diturbance fields at k = 0.5 (sinous mode, c =
−1.5, and Re = 2000): (a) v 0 /a; (b)v 0 /a; (c) −u0 v 0 /a2 .
Fig. 12 Map of the scaled influence layers thickness; (a)
varicose mode; (b) sinuous mode
ure 13(a) に示した Φ は，大部分で Φ = 0 となっており，Fig. 6
で示した非粘性流の結果と一致している．Figure 13(b) に示した
α は，c < 0 で α > 0，c > 0 で α < 0 となり，k には依存して
いない．位相差 φ は下壁面付近において粘性の影響により
0 < φ < π (c < 0),
(13)
−π < φ < 0 (c > 0),
2
となる．式 (9) と上式による ∆D/a は Fig. 13(c) に示したそれ
4.
結論
平行平板間流れにおける進行波状吹出し・吸込み制御による
摩擦抵抗低減効果のメカニズムを調査した．撹乱場については
線形解析とチェビシェフ選点法およびフーリエ変換を用いて求
め，撹乱場からレイノルズせん断応力を求め，恒等式より摩擦
抵抗値を計算した．
壁面からレイノルズせん断応力が最大になる高さまでを影響
厚さと定義すれば，Stokes 問題からの類推によりこの影響厚
さはスケーリングができ，アナロジーが保たれていることが分
かった．
詳細な位相解析により，本制御による摩擦抵抗増減メカニズ
ムを明らかにした．摩擦抵抗の増減はレイノルズせん断応力の
座標の重み付き積分で決まるが，この分布は速度撹乱同士の非
直交性により生じる．速度撹乱同士の大域的な位相関係は非粘
性流れと一致し，壁面付近を除き直交関係にある．壁面付近で
は粘性が流れ方向速度撹乱に対し上流方向進行波の場合は正の
と一致する．
Figure 14(a)-(c) に sinuous モードでの位相関係と ∆D の分布
を示す．概ね φ/π と α/π は varicose モードの場合と一致して
いるが，k が小さく c < 0 となるところで，Φ/π = 1 となる領
域が確認できた．これは Fig. 10 に示した sinuous モードで見ら
れる吹出し・吸込みの突き抜けによるものである．したがって
位相差 φ は −1 < y < 0 において
0< φ <π
−π < φ < 0
(c < 0, small k),
(otherwise),
(14)
となり，Fig. 14(c) に示した ∆D の分布と一致した．
4
日本流体力学会年会 2010
Fig. 13 (a)The base phase difference, Φ/π; (b) the nearwall phase shift, α/π; (c) the drag increment, ∆D/a2 .
Varicose mode.
Fig. 14 (a)The base phase difference, Φ/π; (b) the nearwall phase shift, α/π; (c) the drag increment, ∆D/a2 .
Sinuous mode.
位相のずれ，下流方向進行波の場合には負の位相のずれを生じ
させるため，壁面付近で非直交関係となる．したがってレイノ
ルズせん断応力が生成，摩擦抵抗が増減する．
(5)
参考文献
(1) Gad-el-Hak, M., “Interactive Control of Turbulent Boundary
layers: A Futuristic Overview”, AIAA J., 32 (1994), pp 17531766.
(2) Karniadakis, G. E. and Choi, K. S., “ Mechanism on transverse motion in turbulent wall flow”, Annu. Rev. Fluid Mech.,
35 (2003), pp. 45-62.
(3) Kasagi, N., Suzuki, Y. and Fukagata, K., “Microelectromechanical system-based feedback control of turbulence for
skin friction drag”, Annu. Rev. Fluid Mech., 41 (2009), pp.
231-251.
(4) Fukagata, K., Iwamoto, K., and Kasagi, N., “Contribution
(6)
(7)
(8)
5
of Reynolds stress distribution to the skin friction in wallbounded flows”, Phys. Fluids, 14 (2002), pp. L73-L76.
Bewley, T., “A win-win mechanism for long-drag transients
in controled two-dimensinal channel flow and its implication
for sustained drag reduction”, J. Fluid Mech., 499 (2004), pp.
183-196.
Min, T., Kang, S. M., Speyer, J. L., and Kim, J., “Sustained
sub-laminar drag in a fully developed channel flow”, J. Fluid
Mech., 558, (2006) pp. 309-318.
Hœpffner, J. and Fukagata, K., “Pumping or drag reduction?”, J. Fluid Mech., 635 (2009) pp. 171-187.
Mamori, H., Fukagata, K., and Hœpffner, J., “The phase
relationship in laminar channel flow controlled by traveling
wave-like blowing or suction”, Phys. Rev. E., 81, (2010)
046304.