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太陽系外惑星と宇宙生物学のためのノート
(version: March 26, 2017)
河原 創
March 26, 2017
Abstract
Have no fear of perfection - you’ll never reach it. - Salvador Dali
もともと本稿は、忘れっぽい私が、系外惑星探査の知識をメモしていく類のものから始まり、その時々で
いろいろな方向に枝分かれしていく興味をつれづれに書いていたものを、なんとか体系的になるようにまと
めたものである。本稿は、系外惑星における宇宙生物学なるものを標榜しているが、それは本当のところ何
を意味するのだろうか?というのも宇宙に地球生物以外は見つかっておらず、生物が地球外から来た証拠も
なく、「宇宙生物学」は実態がないペーパーカンパニーなのだ。
これまで宇宙生物学 (アストロバイオロジー) という名称は、火星や木星・土星の衛星など太陽系内惑星
の生命探査、また地球生命がどのよう宇宙の現象と関係しているのか、地球の生命の起源を探究する学問、
宇宙空間での生命活動を調べるもの、知的宇宙生命との交信を試みる分野などのごった煮であり、相互に関
係したり、まあ大概無関係であり、単にお金の問題やアウトリーチのお題目だったりと都合良く使われてき
た。系外惑星の生命探査は、このごった煮に最近追加された一品であるだけである。従来の天文分野からス
タートしている系外惑星に、なぜペーパーカンパニーが必要なのか考えてみると有益かもしれない。手法的
に研究分野から逸脱しているとはいえない。より逸脱しているのは価値基準である。宇宙生物学的な観点か
らの系外惑星研究は、普遍的な物理法則の探求にまず寄与しない。生命の神秘の解明にもまず当面は寄与し
ないだろう。通常考えられる科学的目標にマッチしないのではないだろうか。崇高な目的を達成したいとい
うよりは、どちらかというと、世界が他にもあるか知りたい、というような普通の人が考えるナイーブ(荒
削り)な動機に駆動されているのかもしれない。
系外惑星研究の現在の進展を鑑みると、宇宙生物学よりの研究が増えてくるかもしれない。しかし、我々
の世代が生きている間に、胸を張って「生物学」を冠する学問が系外惑星に適用できると考えるのは甘いか
もしれない。それでも、近いうちの実現可能性が低い事と、実現可能性が原理上無い事は別である。本稿で
いう「宇宙生物」とは、生命が存在する系外惑星を目標地点とするという程度の意味で、地球外生命のみを
扱うという意味ではない。むしろ、そのような目標にむけて惑星環境をいかに調べていくかということに力
点が置かれている。目標がどれくらい遠いのかあるいは近いのかを判断できる情報を具体的に整理したつも
りである。また、系外惑星の基礎は様々な領域に散らばっているため、ともすれば、表面的な知識にとどま
りがちである。そこで本稿を書くにあたって、知識を蓄えるというよりは、計算過程を追ったり、数値計算
コードを書けたりするといったような、自分で手を動かせるような解説になるよう工夫したつもりである。
数式がひとつ増えるたびに読者が半分になるという噂を聞いたことがあるが、きっとすぐに飽和してどこか
一定の最低値に到達すると予想しているので安心である。しかし弊害として、歴史や経緯、将来計画などの
説明は最小限になっている。また、本稿で意識的に触れられていない側面は惑星形成論である。これは系外
惑星研究の「何のため?」に答えられるもうひとつの側面であり、私が中途半端に解説してもきっと面白く
ない。これらの部分については他書に譲りたい。
間違い等があれば是非河原までメールを頂けると幸いである。
Figure 1:
1
Contents
1 はじめに
1.1 系外惑星の発見と地球型系外惑星 . . . .
1.1.1 系外惑星は遠くて小さい . . . .
1.2 系外惑星探査の現在 . . . . . . . . . . .
1.2.1 現在発見されている系外惑星の例
1.2.2 ケプラー衛星の発見した惑星 . .
1.2.3 太陽系惑星の姉妹系外惑星 . . . .
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2 天体としての系外惑星系
2.1 恒星 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 天体までの距離と離角 . . . .
2.1.2 恒星の温度と光度 . . . . . . .
2.1.3 恒星の質量と寿命 . . . . . .
2.1.4 恒星の半径 . . . . . . . . . .
2.1.5 等級・ジャンスキー . . . . .
2.1.6 速度 . . . . . . . . . . . . . .
2.2 惑星 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 惑星と恒星を分かつもの? . .
2.2.2 岩石惑星・ガス惑星・氷惑星
2.3 近傍の恒星と系外惑星 . . . . . . . .
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3 生命探査対象としての系外惑星
3.1 惑星の表面温度とハビタビリティ . . . .
3.1.1 おおざっぱな「地球」の位置 . .
3.1.2 放射平衡温度 . . . . . . . . . . .
3.1.3 ハビタブルゾーン . . . . . . . . .
3.1.4 Drake equation と eta Earth . . .
3.2 温暖状態とスノーボール状態 . . . . . . .
3.2.1 0次元エネルギーバランスモデル
3.2.2 炭素循環 . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 1 次元エネルギーバランスモデル
3.3 代謝と光合成 . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 ATP . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 光合成 . . . . . . . . . . . . . . .
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3.3.3 光合成に利用可能な恒星光フラックスと晩期型性周りの光合成
バイオマーカー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 酸素・オゾン . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 メタン . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3 亜酸化窒素・アンモニア . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.4 レッドエッジ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.5 円偏光 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
地球型系外惑星の模擬観測 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 地球照 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 月食 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 惑星系の力学と幾何学
4.1 二体問題 . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 三次元空間上の二体運動 . .
4.1.2 二体問題を時間について解く
4.2 円制限三体問題 . . . . . . . . . . . .
4.2.1 ラグランジュ点と Hill Radius
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5 系外惑星の観測手法
5.1 視線速度法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 光のドップラー効果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 円運動の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.3 視線速度カーブ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.4 視線速度法の制限要因 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 アストロメトリ法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 トランジット系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 トランジットライトカーブ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2 Kepler 衛星の高精度光度曲線による惑星探査とキャラクタリゼーション
5.3.3 透過光分光 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.4 昼側放射分光 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.5 ライトカーブ解析におけるノイズ源・False positive . . . . . . . . . . .
5.4 マイクロレンズ現象 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1 恒星の前を天体が通る時のマイクロレンジング . . . . . . . . . . . . . .
5.4.2 Self-lensing binary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.3 バイナリーレンズと系外惑星検出 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 直接撮像 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.1 惑星反射光の直接観測 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.2 熱輻射光の直接観測 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.3 直接撮像の制限要因 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6 高分散分光による惑星シグナルの検出 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.1 昼側放射の高分散分光 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.2 反射光の高分散分光 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.3 直接撮像天体の高分散分光 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6 系外惑星の観測装置
6.1 光学の準備 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1 回折、瞳面・焦点面 . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.2 レンズ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.3 回折限界 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 コロナグラフ型の直接撮像装置 . . . . . . . . . . . . .
6.2.1 波面計測と補正 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.2 コロナグラフ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.3 Post-processings . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.4 Speckle Nulling . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.5 コントラスト・IWA . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 赤外干渉計 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.1 van Cittert - Zernike 定理 . . . . . . . . . . . .
6.3.2 一様ディスクの複素コヒーレンス . . . . . . . .
6.4 高分散分光装置 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.1 回折格子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.2 高精度視線速度測定と波長キャリブレーション .
6.4.3 ポストコロナグラフ高分散分光 . . . . . . . . .
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7 系外惑星観測とデータ解析
7.1 最尤推定と χ2 フィット . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 ベイズ推定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.1 ベイズの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.2 Markov Chain Monte Carlo (MCMC) . . . . .
7.3 逆問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.1 系外惑星の空間分解と Spin-Orbit Tomography
7.3.2 線形逆問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 周期・周波数解析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.1 定常な周期解析 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.2 時間周波数解析 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5 Visual Inspection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5.1 アサリ剥き身の誤謬 . . . . . . . . . . . . . . .
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8 惑星放射
8.1 Radiance, Irradiance . . . . . . . . . . . . .
8.2 反射光 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.1 Bi-directional Reflection Distribution
8.2.2 black-sky, white-sky albedo . . . . .
8.2.3 Ross-Li model . . . . . . . . . . . .
8.2.4 地球上の表面の反射率 . . . . . . . .
8.2.5 惑星の反射光フラックス . . . . . .
8.3 放射伝達 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.1 吸収と散乱 . . . . . . . . . . . . . .
8.3.2 Schwarzschild Equation の積分形 . .
8.4 分子・原子吸収 . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.1 回転・振動モード . . . . . . . . . . .
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Function
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吸収断面積 . . .
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Collision-Induced
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散乱位相関数 . .
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9 惑星の大気構造
9.1 等温理想気体モデル . . . . . . . . . . .
9.1.1 理想気体の状態方程式 . . . . . .
9.1.2 等温・静水圧平衡モデル . . . .
9.1.3 等温・定常流モデル . . . . . . .
9.1.4 惑星大気の流体力学的散逸モデル
9.2 放射平衡大気モデル . . . . . . . . . . .
9.2.1 二流近似 . . . . . . . . . . . . . .
9.2.2 散乱のある場合の二流近似 . . . .
9.2.3 灰色近似・波長チャンネル . . . .
9.2.4 Komabayashi-Ingersoll Limit . .
9.3 放射対流平衡大気モデル . . . . . . . . .
9.3.1 Schwarzschild Criterion . . . . .
9.3.2 Dry Adiabat の一般論 . . . . . .
9.3.3 理想気体の dry adiabat . . . . .
9.3.4 Pseudoadiabat . . . . . . . . . .
9.3.5 放射対流層と放射層の接続 . . . .
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184
185
188
189
189
8.5
8.6
8.4.2
8.4.3
8.4.4
輻射光
散乱光
8.6.1
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Absorption
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A モーメント形式を用いた放射平衡大気モデル
190
B Watson による流体力学的散逸モデル
196
B.1 EUV 吸収による大気散逸 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
B.2 最大流出フラックスの場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
C 生化学
C.1 核酸塩基 . . . . . . . . . . . . . . . .
C.2 タンパク質合成 . . . . . . . . . . . .
C.3 酵素と酵素反応速度論 . . . . . . . .
C.3.1 阻害剤のある場合 (競争阻害)
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D 隕石と生体物質
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202
202
202
203
205
207
5
Chapter 1
はじめに
1.1
系外惑星の発見と地球型系外惑星
最初の太陽系外惑星は 1995 年にマイヨールとケロズによって発見された [51] が、これは太陽系の惑星に存
在しないような惑星、ホットジュピターであった。ホットジュピターは太陽の極近傍に回っている木星サイ
ズの惑星のことである。彼らが惑星検出に用いた方法は視線速度法 (ドップラー法) と呼ばれる。惑星が主星
の周りを回ることにより、主星が少し揺らされる。この揺れにより、主星のスペクトル線の波長が周期的に
変化することを利用して惑星を検出する方法が視線速度法である。重い惑星が主星の近くを回るほうが主星
は大きく揺らされるので、ホットジュピターが最初に見つかったわけである。またその後、惑星が主星の前
を通過することで、主星の光量がわずかに減光する効果を用いた惑星検出法であるトランジット法が成功し
た。ドップラー法、トランジット法共に大きい惑星、すなわち巨大ガス惑星の方が検出がやさしく、地球の
ような岩石惑星を見つけることは難しいのだが、2012 年頃までには、岩石惑星や岩石惑星と思われるサイズ
の惑星が、次々と見つかりだした。さらに、その後の視線速度観測、2009 年に打ち上げられたケプラー衛星
等により液体の水が存在できる温度領域にいると思われる惑星も発見され始め、このような惑星に生命が存
在しているのかどうかを問うことができる時代にまでなったといえる。
1.1.1
系外惑星は遠くて小さい
太陽系内の惑星や衛星の生命探査では、火星・エウロパ・エンセラドスなどに直接、人工衛星 1 を送り込む
計画が考えられてきた。系外惑星の生命探査はこれが可能だろうか?太陽を除く最も近い恒星であるケンタ
ウルス座アルファ三連星は、距離4光年程度のところに存在し、2011 年現在、太陽系外惑星を持つことが確
認されている最も近い恒星、エリダヌス座イプシロン星は10光年程度のところに存在する。ところで 1977
年に打ち上げられたボイジャー衛星は 30 年以上たった現在、太陽圏の境界であるヘリオポーズ付近にいる
が、これは太陽から 120 AU2 程度、すなわち 0.002 光年まで到達したことに対応する。もし、このペースで
ケンタウルス座アルファ星に向かうとすると、到着までに 7-8 万年かかる。つまり太陽系外惑星では、光速
に近い宇宙航行が実現しないかぎり、探査衛星を直接送り込んでの生命調査は人生のタイムスケール程度以
上であり、すくなくとも筆者が生きているうちの実現は難しいかもしれない 3 。そうすると一つの有効な方
1 惑星の持つ自然衛星と人工衛星は今後、ともに衛星と書かれるので、どちらのことか文意で判断をお願いします。
2 Astronomical
Unit(AU; 1 AU ∼ 1.5 × 1013 cm)
3 探査衛星が惑星に到着するまでは生きていなさそうである、という意味である。生きている間に探査衛星が打ち上げられるという
ことはあり得るかもしれない。現に光速の数割程度の速度を想定し、ケンタウリ座アルファ星に向かう計画が検討されている。さらに
2016 年には、ケンタウルス座アルファ星の連星の一つ、proxima Centauri のハビタブルゾーン内に地球質量程度の惑星が報告された。
6
Figure 1.1: 左:Pale Blue Dot (小さな青い染み)。wikipedia より。右:近傍の恒星の周りに地球と同じ惑星
が回っていたとしたら、地球からみたその惑星の見かけのサイズは、月に置いたビー玉とほぼ同じである。
法は、地球近傍から望遠鏡で惑星を覗きみて生命の兆候を探すことである。
それでは望遠鏡で系外惑星を見ることにして、火星や木星の写真を撮るように、系外惑星の表面を空間
分解して撮影することはできるだろうか?例えば、地球からの距離 10 pc4 にある仮想的な惑星 X を考えよ
う。これは系外惑星としては最も近い部類にはいるものである。さらにこの惑星 X は地球と全く同じクロー
ンであると仮定する。この距離の地球直径は約 10 マイクロ秒に対応するが、これは月に置いたビー玉を地
球から見たのと同程度のサイズに見える。次に、木星の衛星であるエウロバと比較してみよう。エウロパは
地球の 1/4 程度の大きさだが、見かけ上、惑星 X はエウロパの 10 万分の一以下のサイズとなる。太陽系内
の惑星は AU で表すと都合がよい距離にいるのに対し、最も近傍のいる系外惑星は pc で表すと都合がよい
距離にいることでもわかる。つまり AU にたいし pc は約 10 万倍遠いので、約 10 万倍小さく見えるのであ
る。ところで地球をこのような小さな点として観測した写真がある (図 1.1)。Pale Blue Dot として有名な
この写真は、ボイジャー一号が、1990 年、約 40 AU 離れた場所から振り返って地球を撮影したものである。
我々は、さらにその 1 万倍以上離れたところから、系外惑星を観測しなくてはならない。つまり当面は、系
外惑星をこのような光る点 5 として観測することになるであろう。
1.2
系外惑星探査の現在
ところで現時点ではどのような系外惑星が発見されているだろうか?図 1.2 に、2017 年 2 月時点で発見され
ている系外惑星の最小質量 (後に述べるように質量に軌道傾斜角の不定性がある惑星があるのだが、だいた
4 pc
(パーセク)。 1 pc ∼ 3 × 1018 cm
5 このような空間分解できない天体を、点源
(point source) と呼ぶ
7
100
planet mass [MJ ]
10
1
J
S
0.1
U N
0.01
VE
0.001
0.0001
0.01
Me
Ma
0.1
1
10
semimajor axis [au]
RV
transit
microlensing
imaging
100
Figure 1.2: 代表的な系外惑星と 2017 年 2 月時点で発見されている系外惑星の軌道長半径と惑星質量プロッ
ト。惑星質量は木星質量 MJ で規格化されている。検出方法 (視線速度法、トランジット、マイクロレンジ
ング、直接撮像) により分けて書いてある。視線速度法のものは厳密には質量最小値である。詳しくは 5 章
を参照のこと。図中の Me,V,E,Ma,J,S,U,N はそれぞれ水星、金星、地球、木星、土星、天王星、海王星を
示している。
い惑星質量だと思って良い) と軌道長半径プロットを示す。このように現時点でも地球と同程度の質量の惑
星が発見されている。
1.2.1
現在発見されている系外惑星の例
幾つかの具体的な惑星の例を挙げながら、現在どのような系外惑星が発見されているか説明しよう。系外惑
星の命名法は、恒星に対し、発見された順番に b,c,d... と小文字アルファベットをつけていくというもので
ある。もし恒星 Sun に、まず木星、つぎに土星、次に地球がみつかったなら、
• 恒星: Sun
• 木星: Sun b
• 土星: Sun c
• 地球: Sun d
ということになる。もしくは「Sun」の部分が探査ミッションがつけた恒星名になっているものが普及している
場合もある。代表的なものは Kepler、K2(ケプラー衛星)、CoRoT(コロー衛星)、WASP、HAT-P、HAT-S、
Qatar、TrES,XO, KELT (それぞれ地上トランジット探査計画の名前)、OGLE、MOA (それぞれマイクロ
レンズ探査計画の名前) などである。筆者はたまに隣席の名前も忘れてしまうくらいなので、無味乾燥な系
8
外惑星の名前を覚えるのが本当に辛い。系外惑星の一部を適宜、挙げてみたのが以下のリストである。ここ
のリストの系外惑星の発見方法やその後のキャラクタリゼーションについての各詳細は 5 章に書かれている。
• 51 Peg b 記念すべき最初に発見された系外惑星。ホットジュピターと呼ばれる木星サイズで恒星の
すぐ近くを回る惑星である。視線速度法とよばれる惑星が恒星を揺らす際の光のドップラー効果を用
いて発見された。視線速度法については 5.1 章を参照のこと。
• HD 209458 b 初めてトランジット法で観測された惑星。トランジット法とは、恒星の光度曲線を測
定して、惑星が前面を通過した時におこる減光を発見する。トランジット法については 5.3 章を参照の
こと。ちなみに系外惑星を宿す恒星の名前には HD(数字)というものが良く出てくる。これは Henry
Draper Catalogue と呼ばれる 1920 年頃に発表された 225,000 個の恒星カタログにある恒星の番号で
ある。HD カタログは全天の 9 等星まで記載されている
• HD 189733 b, WASP-12 b, WASP-33 b など HD209458b に続き、いくつもの近傍のトランジッ
トホットジュピターが見つかった。これらは透過光分光 (5.3.3 章) や昼側放射 (5.3.4 章) などでその大
気組成や構造を解明できる格好のターゲットである。ホット・ジュピターは軌道長半径 0.05AU 程度
で、典型的には放射平衡温度 (3.1.2 章参照) が 1000K を超えている。もう少し遠く 0.1AU 程度で放射
平衡温度が 1000K を下回るようなものはウォームジュピターと呼んだりするが、我々の感覚ではそん
なに warm ではないので、変な天文用語の典型である。
• CoRoT 7b, GJ1214 b, 55 Cnc e, GJ 436 b 2009 年頃より、木星半径の半分くらい地球半径の二
倍程度のトランジット惑星が発見され始めた。前者をホットネプチューン、後者をホットスーパーアー
スなどと呼ぶ。視線速度法と合わせて密度が推定され、これらは水素ヘリウムガス主体の組成ではな
く、岩石コア+水や水素で説明できる密度であったり、岩石惑星の密度であったりする。「スーパー」
は「すごい」という意味ではないので要注意。
• OGLE-2003-BLG-235/MOA-2003-BLG-53 初めてマイクロレンズ (5.4 章参照) により発見され
た系外惑星 [8]。マイクロレンズによる惑星は手法の特徴から、一般的に他の惑星より遠い場所に位置
する。この惑星は地球から 6 kpc の距離にある。
• Kepler 11 b-g ケプラー衛星は、宇宙から系統的にトランジット惑星探査を行った画期的なミッション
である。ケプラー衛星により、例えば、恒星の周りを六個のトランジット惑星が回っている系、Kepler
11 b-g が報告された。その後、同様の系が多数見つかっている。図 1.3 は太陽系とケプラー衛星が発見
した複数惑星系候補を、公転周期の軸でかいたものである。この図から分かるようにケプラー衛星の
発見した系は、4 年弱という観測期間やトランジット回数が多いほど検出限界が上がるという観測精度
の問題から、太陽系に比べ内側に存在する惑星系を発見していると言え、これらを compact multis と
呼んだりもする。多重惑星系はトランジット惑星だけでなく視線速度法や直接撮像法でもみつかって
いる。
• Kepler 16 b 連星の周りを回る惑星。このような周連星惑星は Kepler 34 b, 35 b, 47 bc と続々と見
つかりつつある。連星系にそんざいする惑星は、2つの連星の周りをまわる P-type とそのうちの一つ
のまわりをまわる S-type に大まかに分類される。
• Kepler 22 b, Kepler 62 e, Gliese 832c, GJ 667C c 系外惑星における生命探査のターゲットと
してハビタブルゾーンとよばれる液体の水が存在できる領域という概念がある (3 章参照)。ハビタブ
ルという語は、生命居住可能と訳されるが、
「可能」という言葉の曖昧さからわかるように、一般的に
はわりと広義である。しかしハビタブルゾーンといった時には「惑星表面の液体の水の存在可能条件」
という極めて限定的な意味となる。これらの惑星は、そのハビタブルゾーン内にあるとされているスー
9
パーアースである。ハビタブルゾーン内にあるといって液体の水があるとは限らないことに注意が必
要である。これまでのところハビタブルゾーン内の惑星は Kepler 衛星によるトランジット惑星による
ものと視線速度法により検出されたものがあるが、観測バイアスから、前者は太陽型星、後者は晩期
型星 (2.1.3 参照) まわりのものが発見されやすい。
• HR 8799 bcde, beta Pic b HR8799 は、代表的な直接撮像惑星であり、4つの惑星が撮影されてい
る (図 1.4)。beta Pic b も若い惑星で、ほぼ edge on のデブリ円盤に付随する。スピンの測定が行われ
た。現在のところ直接撮像で見つかっている惑星は若く強い熱放射を出しているものに限られる (5.5.2
参照)。しかし、直接撮像法 (5 章) は地球型惑星の生命探査法としては本命であると思う。
• Proxima Centauri b, Trappist 1 惑星系
2016 年は、系外惑星生命探査において2つの重要な発見があった。 ケンタウリ座アルファ星 (alpha
Centauri) は太陽系から最も近い恒星系で、約 1.3pc の場所にある。この恒星系は三重星であり、太陽
に近い G 型星の alpha Centauri A、それより少し小さい K 型星の alpha Centauri B、そしてもっと小
さい M 型星の Proxima Centauri からなる。視線速度法により、Proxima Centauri に地球質量程度の
惑星が、恒星から 0.05 au の位置に発見された [4]。この位置はハビタブルゾーン内にあるとされ、生
命探査の重要なターゲットとなりうる。
Trappist-1 系は、地球からの距離 12pc の近さにある晩期型 M 型星のまわりを回る地球半径程度の 7
つの惑星からなるのトランジット惑星系 [19]。幾つかははハビタブルゾーン内にあるとされる。主星は
温度 2600K 程度で半径も木星半径程度と非常に小さい。
このような低温星周りの惑星は、トランジット法でも視線速度法でも小さく軽いものまで検出しやす
いという利点を持つため、近年、盛んに探査されている。また地上望遠鏡による直接撮像にも向いて
いる。ハビタブルゾーンの研究はこのような低温の恒星周りの環境では、まだわかっていないことも
多い。特にハビタブルゾーンが、恒星に近い場所にあるため、惑星の自転角速度が公転角速度と一致
し、常に同じ惑星面を恒星側にむける潮汐ロックという現象がおきることが予想されるため、惑星表
層がどうなるかは理論的にもあまり良くわかっていないことに注意が必要である。また、惑星大気が
相対的に恒星の X 線に晒されやすく大気が保持できるかという問題もある。しかし、現実的に生命探
査のできる可能性があるこれら2つの惑星が発見されたことは、今後の系外惑星研究のひとつの重要
な方向性を指し示していると思う。
以上、筆者の偏見で重要だと思われる惑星を紹介した。ところで、例えば、かつてハビタブル惑星候補
だった GJ 581d は、いまではその存在自体が疑われている。そもそも惑星各論はすぐに議論が変わっていく
恐れがあるので、Wikipedia などを読もう。正直、この章は半年に一度ぐらい見直すと、内容や図を改訂し
なくてはならなくて面倒である。ゴシップ性の強い内容に興味がある方は wikipedia (特に英語版) をお勧め
する。内容の質・量・即時性すべてにおいて他のどんな記事より素晴らしいこと請け合いである。各惑星に
ついての情報は有名な http://exoplanet.eu/や http://exoplanets.org/でアップデートされているので利用さ
れたし。
1.2.2
ケプラー衛星の発見した惑星
2009 年打ち上げのケプラー衛星はトランジット法 (5.3 参照) と呼ばれる方法で、20 万個程度の恒星を探索
し、大量の惑星候補を発見した。その数は 3000 個以上にのぼり、ハビタブルゾーンにいる地球サイズの惑
星もある。ケプラー衛星は白鳥座のある特定の領域のみを集中的、継続的に観測し、惑星を発見しているた
め、見つかる惑星は割と遠いところに存在する。そのため視線速度法 (5.1) の追観測よる質量推定が追いつ
かない。惑星は従来、褐色矮星との区別のため(最小)質量が決定されて初めて惑星と認定するという了解
があったため、ケプラー衛星の発見した惑星候補を、惑星発見数に含むか含まないか微妙な問題になってい
10
Figure 1.3: ケプラー衛星の発見した複数惑星系候補のうち惑星候補数が 5 個以上のものをプロットしてい
る。最上段は太陽系。
Figure 1.4: HR 8799 b,c,d,e. wikipedia より
11
る。しかしケプラー衛星で発見された「惑星候補」の多くは実際、惑星であろう。これを含むと 2016 年時
点では 4000 個近くの系外惑星が発見されていることになる。
アマチュア科学者・天文学者と呼ばれる人たちは、しばしば素晴らしい結果を残すことで知られる。ア
インシュタインに重力レンズの論文を書くよう説得した Rudi W. Mandl なども系外惑星の発展の基礎に貢
献したといえよう。ケプラー衛星による光度曲線データは公開されており、誰にでも解析が可能である。ケ
プラー衛星のデータも世界中の人々が解析をしていて、インターネット上に発見を公開したり議論したりし
ているのだ。私達も仕事としてケプラーデータを大量に解析し、おもしろいシグナルを発見したと思って、
その天体名をインターネットで検索すると、すでにアマチュア天文研究者の誰かがブログで発表していたり
する。この分野に限るとプロとアマチュアの垣根は殆ど無いと思われる。なんと楽しい時代だろうか。
ケプラー衛星は、2009 年の打ち上げ以来、2012 年のホイール故障が起きるまで約4年の観測を行った。
ホイール故障後、2014 年から K2 として一年に順に四カ所を観測する運用を行い、新たな惑星を発見し続け
ている (2016 年現在)。ケプラー衛星が見つけた惑星は、ほとんどが比較的遠くにあるため、地球型惑星の探
査には不向きなものがほとんどである。その意味では近傍の地球型惑星の集中的な探査、直接撮像による探
査が望まれるところである。
1.2.3
太陽系惑星の姉妹系外惑星
ではこれまでみつかった系外惑星と太陽系の惑星と比較するとどうだろうか。系外惑星探査は太陽系惑星の
普遍性および特殊性をどれくらい明らかにしてきただろうか?実は系外惑星の探査は方法論の制約故にかな
り偏っている。特にキャラクタリゼーションの可能なトランジット系および直接撮像惑星を考えると、太陽
系惑星の領域をほぼ観測できていないといってもよい。図 1.5 は、2016 年現在、半径の推定ができている系
外惑星の軌道と半径プロットである。これに太陽系の惑星を重ねてある。これを見ると一目瞭然であるが、
太陽系惑星の軌道・半径に対応する領域の系外惑星はほぼ探査されていない。木星半径かつ 10au 以上の場
所に位置する系外惑星は直接撮像によるものであるが、これらの直接撮像系外惑星は非常に若くて温度の高
い自ら光っている惑星であり、現在の冷えた海王星や冥王星とは異なる。つまり、太陽系惑星に対応するよ
うな系外惑星、いわば太陽系惑星の姉妹惑星の探査はほとんどできていないのが現状である。生命探査につ
ながる惑星の前に、まずはこの領域の探査が進んでいくだろう 6 。
6 つまり、安易に「宇宙には太陽系がいっぱい」などと主張する段階に無いということだ。しかしいつか筆者の好きな”Here, There,
and Everyware”にかけたタイトルの発表ができる日がくるといいなあと思う。
12
planet radius [RJ ]
1
J
S
U N
0.1
VE
Ma
Me
0.01
0.1
1
10
semimajor axis [au]
transit
imaging
100
Figure 1.5: 2017 年 2 月現在、半径の推定ができている系外惑星(トランジット法と直接撮像法)と太陽系
惑星の軌道-半径平面での位置。褐色矮星周りの特殊な companion は除いてある。
13
Chapter 2
天体としての系外惑星系
本章では、恒星とその周りを回る惑星としてのシステム、すなわち系外惑星系の天文学的な特徴を挙げる。
天文分野では、さまざまな物理量が何桁にもわたるため、おなじ次元量に異なる単位が使われることがある。
これはひとたびなれれば便利である一方、敷居を無駄に高くしている側面もある。よく用いられる各単位の
意味を記しながら、恒星と惑星の基礎知識、というよりは、方言を説明する。
恒星
2.1
2.1.1
天体までの距離と離角
地球半径 R⊕ 、木星半径 RJ 、太陽半径 R⊙ 1 は惑星や主星の大きさを表すのによく用いられる。また、太陽
から地球までの距離を 1 とした単位は Astronomical Unit (AU) と呼ばれる。地球は太陽の周りの半径 a = 1
AU の円を一年かけて回るが、地球から距離 d ≫ a にある星は、見かけ上一年間に半径
(a) a
θplx = tan−1
≈
(2.1)
d
d
の角度の円を天空上で移動する。この角度のことを年周視差という。逆に年周視差が 1 秒になるときの星ま
での距離を 1 パーセク (pc) と呼ぶ:
(
)
1 AU
1 AU
′
−1
1 = tan
(2.2)
≈
1 pc
1 pc
1 pc は約 3 光年であるが、もっとも近い恒星ケンタウルス座アルファ三連星は 4 光年のところにあるので、
1 pc 以内に太陽以外の恒星は存在しない。宇宙生命探査を行うことができるような近傍の惑星を考えるには
だいたい 10 pc を基準にしておくと都合が良い。10 pc 以内に恒星は約 300 個程度存在する。恒星はおおま
かには温度で分けられるスペクトル型という分類があり、10 pc 以内にはそれぞれ表 2.1 に示した数が見つ
かっている。つまり近傍の星の年周視差は 0.1 秒=100 ミリ秒のオーダーであることがわかる。それゆえミリ
秒 (mas) という単位もよく使われる。月の視直径はだいたい 30 分=1800 秒ぐらいであるから、年周視差は
見た目にはほとんどわからない程度のずれである。さて系外惑星の生命探査では主星から 0.1-数 AU 程度の
惑星を考えることがほとんどである。すると式 2.2 は非常に便利なものとなる。つまり例えば距離 10 pc の
ところの公転距離 1 AU の惑星は天球上では長半径 100 mas の楕円上を動く、といったことがすぐ見積もる
1⊕
は地球を、⊙ は太陽を表す。
14
ことができる。また、主星と惑星の距離を天球面上の角度に直した量を離角という。この例では円軌道だと
すると、最大の離角は 100 mas ということになる。離角は、惑星を主星から分離して観測する際に重要な量
となる。
2.1.2
恒星の温度と光度
恒星が放つ時間あたりのエネルギーを光度という。恒星からの光はほとんどが熱輻射光であるため、おおま
かには恒星フラックス f⋆ (λ)d λ [erg/s/cm2 /µm] は、黒体輻射
f⋆ (λ)d λ
R⋆2
dλ
d2
[
(
)
]−1
2πhc2 R⋆2
hc
exp
−1
d λ,
λ5 d2
λkT⋆
= πBλ (λ, T )
(2.3)
=
(2.4)
で近似される。T⋆ は恒星の有効温度、d は恒星までの距離、h, c, k はそれぞれプランク定数、光速度、ボル
ツマン定数である。Bλ (λ, T ) はプランク関数である。プランク関数は波長 λ [cm] で積分するか、周波数 ν
[1/s] で積分するかで異なるので注意が必要である。
[
(
)
]−1
2hc2
hc
exp
−
1
d λ,
λ5
λkT⋆
[
(
)
]−1
2hν 3
hν
exp
−
1
d ν,
c2
kT⋆
Bλ (λ, T )dλ ≡
Bν (ν, T )dν
≡
(2.5)
(2.6)
単に c/λ = ν と Bν |dν| = Bλ |dλ| で変換すれば良い。
ここで、波長について積分し、全立体角方向の和をとると、恒星光度
∫ ∞
L⋆ = 4πd2
f⋆ (λ)d λ = 4πσSB R⋆2 T⋆4
(2.7)
0
と表される。ここに
σSB
≡
2k 4 π 5
15c2 h3
(2.8)
はシュテファンボルツマン定数で、値は σSB = 5.67 × 10−8 [W/m2 /K4 ] = 5.67 × 10−5 [erg/cm2 /K4 ] である。
太陽の有効温度 T⊙ = 5778[K] と半径 R⊙ = 6.96 × 1010 cm で書き直すと
(
L⋆ = 3.8 × 10
33
R⋆
6.96 × 1010 [cm]
)2 (
T⋆
5778[K]
)4
[erg/s]
(2.9)
となる。つまり太陽光度は L⊙ = 3.8 × 1033 [erg/s] である。ところで覚えておくと便利なのが、f⋆ (λ) が最
大値をとる波長 λmax と温度の関係 (ウィーン変位則) であり、
λmax [µm] =
2897[µm · K]
T [K]
15
(2.10)
である。太陽温度 5778 K では 0.5µm くらいの可視域に、室温 300 K で 10µm くらいの中間赤外域にピーク
がくることがわかる。
ついでに黒体輻射球のスペクトルも記しておく。これは単に式 (2.7) の積分をしなかったものを書き直し
たもので、波長で積分すると光度になる。波長 λµm はマイクロメートルにおける波長で、温度はケルビンを
単位として使用している。2
[
(
)
]−1 (
)2
1.44 × 104
R⋆
l⋆ = 2.3 × 1034 λ−5
exp
−
1
[erg/s/micron]
µm
λµm T
6.96 × 1010 [cm]
(2.11)
恒星には様々な質量・温度・半径のものがあるが、スペクトルに基づいて分類されたものがスペクトル
型である。表 2.1 には、様々なスペクトル型の恒星の典型的な物理量を示してある。ただし恒星が進化して
膨らんだ巨星は載せていない。M 型から O 型まで温度レンジは一桁強である。半径も一桁強のレンジを持
つ。しかし、式 (2.7) より、光度は何桁にもわたることがわかる。これは地球から観測可能な恒星の距離が
タイプによってかなり異なることを意味する。
2.1.3
恒星の質量と寿命
恒星の寿命は大雑把には質量に比例し、光度に反比例すると考えられる。
τ⋆
M⋆ /L⋆
=
τ⊙
M⊙ /L⊙
(2.12)
τ⊙ は太陽の寿命である。表 2.1 に各スペクトル型の典型的寿命を記してある。生命発生の観点からみると、
F 型星くらいまでは数十億年以上の寿命がある。地球の歴史では、シアノバクテリアによる最初の大規模な
増加 (Great Oxidation Event; 3.4.1 章) までに約 20 億年かかっているので、進化のタイムスケールが同程度
だと仮定すると、A 型星より高温星における生命探査はすこし難しいかもしれない。
質量の大きい星を早期型 (early-type)、質量の小さい星を晩期型 (late-type) と呼ぶが、これは歴史的経
緯でつけられた用語なので、なにが早期なのか深く考えてはいけない。太陽に近い G 型星付近の恒星を太陽
型星とも呼ぶ。天文学には、early-type galaxy とか planetary nebula など名が体を表さないケースが散見さ
れる。こういう名前を全然正す気の無い天文学者は、マイナスイオン云々、プラズマ云々をどれだけ批判で
きるだろうか?
また、恒星を特徴づける観測量に、一風変わった名前の logg(ログジー) というものがある。これは恒星
表面の重力加速度を cgs 系で表記したものの常用対数をとった量で
(
)
GM⋆
logg = log10
= 4.44 + µ⋆ − 2q⋆
(2.13)
R⋆2
となる。ここに µ⋆ ≡ log10 (M⋆ /M⊙ )、q⋆ ≡ log10 (R⋆ /R⊙ ) と定義した。logg は分光観測から分かるため恒
星の基本観測量となっている。恒星は寿命に近づくと膨らんでいくため logg が小さくなる。このように logg
は恒星の年齢をおおざっぱに知るための指標ともなる。
表 2.1 をみると M 型星だけは光度が二桁もの広いレンジにわたっている事に注意が必要である。図 2.1
は分光データから見積もった M0 から M6 型星の温度ー光度関係である。より晩期の M7-9 はさらに暗い。
光度や質量という意味では、カテゴリーとして F,G,K 型と同程度の分類ではなく、早期 (early-M)・中期
(mid-M)・晩期 (late-M) 程度に区別したほうが良いかもしれない。
2 ただしこのような便利そうな式を用いるときは、ご自分で確かめてから使用することを強くおすすめしたい。有名なレビューや教
科書でも桁の間違いなどが結構存在しているので、信用して計算をすすめると大変なことになることもある。
16
Table 2.1: 恒星のスペクトル型と恒星温度、寿命、近傍の存在数
スペクトル型
M型
K型
G型
F型
A型
B型
O型
L型
T型
Y型
宇宙 (参考)
地球 (参考)
温度
2500-3900
3900-5300
5300-6000
6000-7500
光度 (L⊙ )
寿命
K
0.001-0.1
3000 億年
K
0.1-0.5
700 億年
K
0.5-2
200 億年
K
2- 10
40 億年
高温・短寿命な恒星
7500-10000 K
10-100
10 億年
10000-29000 K 100-100000
8 千万年
29000-60000 K
500000
100 万年
褐色矮星
1300-2500 K
600-1300 K
-600 K
3 K(CMB)
約 140 億年 (現在)
300 K
約 50 億年 (現在)
2.1.4
恒星の半径
2.1.5
等級・ジャンスキー
10pc 内個数
210
42
26
2
特徴的な吸収線
TiO
中性金属
中性金属, Ca
電離金属, Ca, 水素線
水素
中性ヘリウム
電離ヘリウム
CO
CH4
-
水
私が初めて等級という概念に接した時に感じた気持ちはどう表現したらいいだろうか?等級は(光赤外)天
文学の通過儀礼である。まず等級というのは、天体の明るさを示す量であり、フラックス [erg/s/cm2 ] もし
くは [erg/s/cm2 /µm] でいいではないか、というのが最初の正直な感想である。まず覚えるべき事は、100
倍明るくなると等級が5下がるということだ。そして、次に認識すべきはフラックスとの変換係数が波長に
よって異なるという事である。これは等級が基準天体 (ベガ等級の場合、ベカ) のフラックスに対する比の対
数で定義されるためであり、極めてストレスフルである。つまり、ある波長における、測りたいものの等級
とフラックスを m(λ), F (λ) で表し、基準天体のそれを mref (λ), Fref (λ) とすると
m(λ) − mref = −2.5log10 [F (λ)/Fref (λ)]
(2.14)
で表さる。mref は通常 0 とおくが、基準天体のフラックス Fref (λ) を知らないと、F (λ) から m(λ) をだせな
いのだ。慣れれば文句を言わなくなるが、慣れとは恐ろしい物だ。実際の恒星情報は、等級で与えられる事
が多いので、計算上等級を扱えるようにする必要がある。幸い Gemini など等級とフラックスの変換ができ
るサイトがあるので利用されたし。
上で示したのは、地球で観測される天体の明るさに対応する apparent magnitude(みかけの等級) である。
10 pc のところに天体をおいた場合の等級を絶対等級という。今後、等級と言った時は、絶対等級ではなく
見かけの等級を示す事にする。また、Fref を一定値にし、フラックスとの換算を基準天体によらない量にし
た AB 等級などがある。しかし恒星を扱う時は普通の等級を用いる事が多い。
さて、同じフラックスをジャンスキーという単位で表す事がある。こちらは、よりましで
1Jy = 10−23 [erg/s/cm2 /Hz] = 10−26 [J/s/m2 /Hz]
17
(2.15)
Figure 2.1: M 型星の温度・光度関係。分光カタログ [43] のデータに基づき作成。四角は logg=5、丸は logg=4.5
程度のもの。下線は、[43] による分類の恒星が、このサンプル中に存在する温度範囲。
で定義される。特徴は波長方向を表す次元が周波数 Hz で表記されている事である。そのため電波領域でよ
く利用される。変換は式 (2.6) のときと同じで、スペクトル方向を波長・周波数で表したフラックスをそれ
ぞれ fλ , fν とすると
fλ |dλ| = fν |dν| = fν |d(c/λ)| = fν | − cλ−2 dλ|
(2.16)
であるので、
fλ =
c
fν
λ2
(2.17)
となる。
2.1.6
速度
ここでは幾つかの典型的な速度をまとめておく。太陽に対する地球の公転速度は vp = 2π(1AU/1yr) ∼
29.8km/s である。一般の惑星系では、M⋆ ≫ Mp の時のケプラーの法則 (4.1 参照)
a3 =
GM⋆ 2
P
4π
(2.18)
から
(
vp = 29.8km/s
M⋆
M⊙
)1/2 (
となる。表 2.2 に様々な力学的速度を示した。
18
a )−1/2
1AU
(2.19)
Table 2.2: 力学的速度の典型値
量
銀河内の恒星の回転速度
太陽系の位置の平均銀河回転にたいする太陽系の特異速度
太陽に対する地球の公転速度
太陽に対する木星の公転速度
木星の赤道面での自転速度
地球の赤道面での自転速度
金星のスーパーローテーション
2.2
速度
∼ 200 km/s
20 km/s
30 km/s
13 km/s
12 km/s
0.5 km/s
0.1 km/s
惑星
惑星もよくわからない用語がたくさんある。ここでは、必要最小限の分類の紹介にとどめておく。
2.2.1
惑星と恒星を分かつもの?
ほかの惑星に比べ小さい冥王星が、惑星からはずされ準惑星と分類されたことは、ことのほか大きなニュー
スとなったが、逆に重いほう、つまり恒星と惑星の境はどこにあるのだろうか?恒星は分子雲内のクランプ
が自己重力で収縮した形成され、惑星は恒星のまわりの原始惑星系円盤から形成されたと考えられているの
で、どのように形成されたかで分類するのは論理的には筋が良い。しかし、個々の天体についてその出自を
問うこと自体がなかなか困難なことである。そこで測定が比較的容易な質量でわけるという便宜的な方法が
主流である。すなわち
M < 13MJ
(2.20)
を満たすものを惑星とするというものである。MJ は木星質量である。物理的には 13MJ を超えると重水素
の核融合がはじまる。つまりこの定義では、惑星とは内部で自らエネルギーを(大規模に)発生させない天
体ということになる。
13MJ < M < 75MJ
(2.21)
の間のものは、通常の水素の核融合は行わないが、より重くて核融合しやすい重水素のみが核融合する褐色
矮星とよばれる天体である。
2.2.2
岩石惑星・ガス惑星・氷惑星
太陽系内の惑星はおおまかに、岩石を主体としている水星・金星・地球・火星を岩石惑星、木星・土星は水
素・ヘリウムを主体としているのでガス惑星、天王星・海王星は氷を主成分としているので氷惑星と呼ぶ。
岩石惑星、ガス惑星、氷惑星をそれぞれ地球型惑星、木星型惑星、天王星型惑星と呼ぶこともある。後者二
つは巨大ガス惑星 (gas giant), 巨大氷惑星 (icy giant) という呼び方もある。
これら太陽系内の惑星と発見されている系外惑星を質量・半径の平面、もしくはもっと直接に質量と密
度の平面にプロットしたのが図 2.2 である。この図から J,S(木星・土星) に近いところの惑星はガス惑星、
N,U(海王星、天王星) に近いところが氷惑星、E,V(地球、金星) に近い領域が岩石惑星であるとおおざっぱ
には理解できる。
19
Figure 2.2: 2012 年時点で半径・質量の分かっている惑星の質量・半径プロットと質量・密度プロット。図
中の Me,V,E,Ma,J,S,U,N はそれぞれ水星、金星、地球、木星、土星、天王星、海王星を示している。
Hot Jupiter/Warm Jupiter
系外惑星発見の初期の頃、主に見つかったのが軌道長半径 0.05AU 付近をまわる木星質量の惑星、ホットジュ
ピター (Hot Jupiter) である。図 2.2 の 0.05AU、100-1000 地球質量あたりの集まりがホットジュピターに
対応している。ホットジュピターの典型的な温度は 1000 K を超える。
最初に発見された系外惑星 51 Peg b や最初のトランジット惑星 HD 209458 b、昼側輻射の惑星視線速
度が最初に報告された tau Boo b など、近傍ホットジュピターで観測手法の最初の成果をもたらすことが多
い。ホットジュピターより、もう少し軌道長半径が大きくて (例えば 0.1 AU)、典型的な温度が低い (例えば
1000 K 以下) ものを Warm Jupiter ということもあるが、適当なのであまり厳密に考えてもしかたない。
Hot Neptune, Super Earth
0.05AU 付近に存在するが、木星ほど大きくなく海王星程度の質量のものをホットネプチューンと呼ぶ。GJ
436 b や HAT-P-11 b などが有名。スーパーアースの定義は若干曖昧であるが、地球の十倍程度以下の質量、
または半径が地球の二倍程度以下のものを示すことが多い。これには主に水でできた惑星や岩石惑星などが
含まれると考えられている。GJ 1214b や 55 Cnc e などが有名。
Self-Luminous Planet
形成されたての惑星はまだ高温であり、自ら熱放射で光り輝いている。このような惑星を self luminous planet
といい、直接撮像で最も見つかりやすい条件を備えており、2013 年現在、直接撮像された惑星は全てこのタ
20
Figure 2.3: 直接撮像で見つかった惑星の恒星惑星間角距離と距離。
イプの惑星である。2014 年 2 月現在、直接撮像されている惑星 (ただし M⋆ > 0.2M⊙ のものを) の恒星惑星
間角距離 (Star-Planet Angular Separation) と距離を図 2.3 に示す。恒星と惑星が 0.1 秒以上離れているも
ののみが現在のところ検出されているのがわかる。これは軌道長半径にすると ≳ 10 AU である。HR 8799
b,c,d,e (図 1.4) が特に有名である。
2.3
近傍の恒星と系外惑星
天文学業界では「近傍」= nearby という言葉の使い方は扱う天体や観測方法に非常に依存するので注意が
必要である。近傍の系外惑星と言った場合、地球から 10 pc ないし 30 pc 程度以内を指す事が多いようであ
る。図 2.4 は、10 pc 以内の恒星の距離と推定温度である。2013 年現在、系外惑星がみつかっている恒星に
印をしてある。これらほとんどが視線速度法での発見である。
21
Figure 2.4: 「近傍」の恒星(小さい点)と 2013 年現在、見つかっている系外惑星 (印、exoplanet.eu に基
づく)。縦軸は恒星の有効温度の推定値。恒星サンプル(と温度の推定値は)は一様サンプルではなく、幾つ
かのサンプル、幾つかの温度推定法のつぎはぎであるので、少し注意が必要である。
22
Chapter 3
生命探査対象としての系外惑星
本章では、系外惑星における生命探査の基本的な概念を紹介したい。探索領域の一つの指標である液体の水
が存在できる条件、探査対象であるバイオマーカーとその背後にある機構であるエネルギー代謝について説
明する。
3.1
3.1.1
惑星の表面温度とハビタビリティ
おおざっぱな「地球」の位置
系外惑星の生命探査では、液体の水が存在できる表面温度を持つ惑星、ハビタブル惑星の概念が非常に重要
になる。このような惑星が存在できる領域をハビタブルゾーンという [31]。ハビタブルゾーンは、惑星が恒
星から受け取るエネルギーと惑星表面に存在する温室効果ガスによって大まかに決まる。恒星からどの位の
位置までがハビタブルゾーンなのかはいろいろな条件によって難しいが、ひとつすぐ分かること、それは太
陽の場合、地球のいる 1 AU はハビタブルゾーンの中であるべきということである。
主星フラックスが太陽と異なる場合、地球と同じようなエネルギー条件になる場所を考えてみよう。主
星の温度の違いによるスペクトルの違いがあるが、大ざっぱには太陽光度の時の 1 AU の場所と同じフラッ
クスを受ける場所に移動すれば良いことが分かる。受けるフラックスは距離の自乗に反比例するから、だい
たい
√
L⋆
a=
× 1 [AU]
(3.1)
L⊙
ぐらいの距離付近がハビタブルゾーンであるといえる。これにはスペクトルの変化による補正が何割かつく
が、まあ大ざっぱにはこれでハビタブルな軌道長半径をみつもってもよいだろう。例えば M 型星は典型的に
は 1/100 太陽光度程度なので、ハビタブルゾーンは 0.1 AU 程度となる。
23
3.1.2
放射平衡温度
惑星が受け取るエネルギーは主星光を黒体輻射と考えると、主星フラックス密度 (stellar flux density) S を
用いて
Lab = (1 − A)πR2 S[J/s]
(3.2)
4πR⋆2 σS T⋆4
[J/s/m2 ]
4πa2
(3.3)
S=
と書くことができる。ここに R は惑星半径、a は公転半径、R⋆ は主星半径、T⋆ は主星温度、A はアルベド
である。地球における S は太陽定数とよばれ、
S=
(6.96 × 108 [m])2 (5.67 × 10−8 [J/s/m2 /K4 ])
× (5778[K])4 = 1370[J/s/m2 ]
(1.50 × 1011 [m])2
(3.4)
となる。一方、惑星からの放射を温度 Teq の黒体輻射とすると放射エネルギーは
4
Lem = β(4πR2 σS Teq
) [J/s]
(3.5)
とかける。β は熱分配の度合いを表す係数で、瞬時に全球に一様に分布する極限 β = 1 と、星光のあたって
いる半球だけに分配される場合 β = 0.5 の間の値をとる。
Lem = Lab
(3.6)
とした時 (放射平衡) の Teq を放射平衡温度 (radiative equilibrium temperature) と呼び、
4 2
Teq
a
1−A
=
2
4
T⋆ R⋆
4β
(3.7)
つまり
)1 √
1−A 4
R⋆
=
T⋆
4β
a
(
) 14 (
)(
)1
1−A
T⋆
R⋆ 2 ( a )− 12
= 396K
4β
5800K
R⊙
1AU
(
) 14 (
) 14 (
1
)
1−A
L⋆
a −2
= 396K
4β
L⊙
1AU
(
Teq
(3.8)
(3.9)
(3.10)
もしくは
[
Teq
(1 − A)S
=
f σS
] 14
(3.11)
の関係がある。ここに f ≡ 4β である。平衡温度は、温室効果ガスや、内部からの熱供給がある場合、実際
の表面温度とはかなり異なってくるので注意が必要である。図 3.1 には系外惑星の平衡温度をプロットして
24
Figure 3.1: 系外惑星の平衡温度。幅は β = 0.5 − 1 の幅に対応している。
Table 3.1: 系内惑星の表面温度と β = 1 を仮定した場合の平衡温度
惑星
金星
地球
火星
平衡温度
231 K
255 K
213 K
A
0.75
0.29
0.22
平均表面温度
737 K
288 K
218 K
いる。半径が木星半径(∼ 10 地球半径)程度で 1000K 以上の集まりが Hot Jupiter に対応し、地球半径程
度で 2000K 付近の集まりが Hot Super Earth に対応している。
エネルギー収支 Lab = Lem を平均の放射フラックス密度で書き換えると、式 (3.2), (3.5) より
Fem ≡
Lem
(1 − A)
=
S
2
4πR
4
(3.12)
とかける。上の係数 1/4 は図 3.2 に示すように断面円で入ってきた入射フラックスと球面からでていく輻射
の幾何の違いに起因するものであることがわかる。
Figure 3.2: 惑星への入射光と惑星表面からの輻射光
25
式 (3.11) から惑星温度が主星の光度や主星からの距離にどの程度敏感なのか見積もることができる。
Teq ∝ S 1/4 ∝ L1/4
s
(3.13)
Teq ∝ S 1/4 ∝ a−1/2
(3.14)
もしくは
となる。
3.1.3
ハビタブルゾーン
具体的なハビタブルゾーンの幅は、温室効果ガスである水や二酸化炭素が惑星気象に及ぼす効果を考慮して
決まるが、その計算は簡単ではない。ここでは、何がハビタブルゾーンの内側・外側境界を決めているか簡
単に述べる。詳しくは、「地球惑星科学入門」(岩波) などの教科書を参考にしてほしい。
海洋を持つような惑星は、惑星外にすてることのできる赤外光放射に上限がある (radiaion limit)。これ
を超えるエネルギーの恒星光入射がある時には、安定状態を維持できなくなり、水が暴走的に散逸する (暴
走温室効果)。すなわち radiation limit に対応する入射のある軌道長半径が、内側のハビタブルゾーンを規
定しうる。これを暴走温室限界という (9.2.4 章を参照)。暴走温室限界とまでいかなくとも、大気中の水蒸気
が上空までひろがるようになると入射してくる極紫外線による散逸で、長期的に水が保持できなくなる。こ
の現象で決まる内側限界を湿潤温室限界という。
放射平衡温度では、地球の位置であっても氷点下になってしまうことがわかる。しかし地球では、地表
面が室温に保たれているが、これは水や二酸化炭素による温室効果があるせいである。水や二酸化炭素はハ
ビタブル惑星の輻射域に強い吸収をもつ (8.4 章)。そのため地表面からの輻射は、一部、途中で吸収され下
向きに戻される。一方、恒星からの可視光入射フラックスは、(地球大気の場合) 透明であるから下層まで届
きまで届く。このため、大気下層では、恒星の入射フラックス+水や二酸化炭素による輻射の戻りが正味入
射となるため、惑星全体の放射平衡温度より温度が上がる。海洋がある時は、大気中の水の存在量はきまる
ので、実質、二酸化炭素がもてる温室効果の最大値がハビタブルゾーンの外側境界を決める。
図 3.3 は 2013 年時点で見つかっている系外惑星の軌道長半径と恒星質量平面に、Kopparapu+ [40] によ
るハビタブルゾーンを重ねたものである。既に幾つかの系外惑星がハビタブルゾーン内に入っていることが
分かる。ハビタブルゾーンに入っていても巨大ガス惑星の場合はハビタブル惑星とはみなさない。
ハビタブルゾーンに入っている地球型惑星ならハビタブルな惑星という訳ではないし (現に火星もハビタ
ブルゾーンに入っている)、また、古典的なハビタブルゾーンの定義からはみ出す場合でも、惑星表面に液体
の水を長期間保持できる惑星も複数提案されている ([2] など) ことには注意が必要である。また、そもそも
ハビタブルゾーンの研究が、そもそも地球のハビタビリティを理解するために始まったものであり、かなり
地球の物理条件に引っ張られていることは否めない。系外惑星探査でのハビタブルゾーンは実用上のひとつ
の目安として用い、あまり細かい違いには気にしなくて良いようにもおもう。
3.1.4
Drake equation と eta Earth
ハビタブルゾーンの概念を用いると、ハビタブルな惑星がどれだけ存在するのかを、ある程度定量化できる。
ある恒星の周りにハビタブルな領域に惑星が存在する確率を ηe (eta Earth) であらわすのが慣例となってい
る。これは元々は Frank Drake が 1961 年に定式化した Drake equation という、SETI(地球外知的生命探査)
におけるターゲット数の推定のために提案された式の中の一つの項である。Drake equation は、銀河系内に
存在する人類と交信可能な文明の数を推定する方程式であり、以下のように表される。
N = R∗ fp ηe fl fi fc L
26
(3.15)
Figure 3.3: 2014 年時点で発見されている惑星の軌道長半径と恒星質量にハビタブルゾーン (緑:
Kasting+1993[31]、青:Kopparapu+13[40]) を重ねたもの。
ここに、
• R∗ : 銀河系での恒星生成率
• fp : 恒星のまわりに惑星系が形成される確率
• ηe : 惑星系をもつ恒星のハビタブルな領域に存在する惑星の個数期待値
• fl : ハビタブルな惑星で生命が発生する確率
• fi : 生命が知的生命に進化する確率
• fc : 知的生命がその惑星外に通信を行う確率
• L: そのような知的生命文明の存続タイムスケール
である。R∗ は 1-10/yr である。系外惑星観測から fp は 1 のオーダーである。Kepler 衛星や視線速度探査は
ηe の決定を一つの目的としていて、現状では ηe ∼0.1、晩期型ではもう少し高いという暫定的な結論を得て
いる。本書では SETI は範囲外としているので、残りの係数についての推定は読者にお任せする。
知的生命ではなくバイオマーカー探査においては、L′ を惑星上生命の持続時間、pb を生命がバイオマー
カーとなるような大規模な活動を行う確率として
N ′ = R∗ fp ηe fl pb L′
(3.16)
が銀河系内ターゲット数となるが、N ′ ≫ N となるのは明らかだろう。しかし SETI の方が、確実な生命の
証拠を提示しうる可能性については否定し得ない。
27
3.2
温暖状態とスノーボール状態
ハビタビルゾーンに入っていて海洋を形成できるほど水を保持していたとしても、我々の地球のような液体
の海に覆われた惑星になるとは限らない。地球の場合でも過去にはスノーボール・アースと呼ばれる海洋が
全球的に凍結した状態が実現していたと言われる。惑星のエネルギーバランスを考えると、アルベドが低く
表面温度が温暖に保たれる液体海洋の状態と全球が凍結しているためにアルベドが高くなり表面温度が低く
なっている状態の2つの安定状態がありうるからである。
3.2.1
0次元エネルギーバランスモデル
1960 年代後半に、地球表面のエネルギーバランスの 0 次元モデルを用いて地球表層の環境が論じられた
[10, 72]。惑星の空間分布を無視し、惑星表面のエネルギーのやり取りを記述するのが 0 次元モデルである。
表面が受け取るエネルギーから射出するエネルギーを引いたものが惑星の表面温度変化をもたらすと考
えると、
4πR2 C
dTs
= Lab − Lem
dt
(3.17)
のようにかける。ここに Ts は惑星表面の (代表) 温度で、C は単位面積辺りの比熱 [W/m2 /K] である。
反射分を除いた恒星からの入射エネルギーは、式 (3.2) より、Lab = (1 − A)πR2 S である。アルベド A
というのは、本来、表層環境に依存する。たとえば、温度が下がっていき氷床が表面に発達した場合、アル
ベドは高くなるだろう。逆に温度が上がり氷床が融ければ、海の反射率は低いのでアルベドは下がるだろう。
そこでアルベドを温度依存性のある関数 A(Ts ) とおき、
Lab = πR2 [1 − A(Ts )]S
(3.18)
とする。A(Ts ) のモデルとしては、273 K 前後を境として、海のアルベドから氷のアルベドへと変化するモ
デルが考えられる。図 3.4(左) に、そのようなモデルの一つを示した [62]。また簡単な線形モデル A(Ts ) =
−0.01(T − 273) + 0.45 も示した。
次に惑星の熱放射 Lem を考える。第 3 章の平衡温度の考え方では、Lem を、平衡温度 Teq の黒体輻射と
考えた (式 3.5)。しかし温室効果ガスを考える場合、表面からは 4πR2 σS Ts4 の黒体輻射が出ているとしても、
温室効果ガスの吸収の効く波長では吸収を受けより低い温度の黒体輻射として宇宙空間に射出されるため、
Teq = Ts として Lem を計算してはならない。Lem の Ts 依存性を決めるためには、大気組成や大気構造を
仮定しないとならない。現在の地球の場合、温室効果ガスとして重要なのは水蒸気と二酸化炭素だが、水蒸
気の効果は表面温度 Ts によって決まるとして、Ts と二酸化炭素分圧 pCO2 の関数とした outgoing longwave
radiation (OLR) を、Λ(Ts , pCO2 ) ≡ Lem /4πR2 を用いる。地球の場合、OLR のフィット式は [85, 62] などに
与えられている。図 3.4 右には [85] で与えられた OLR を示している。黒体輻射 σs Ts4 に比べ、二酸化炭素分
圧が高圧で OLR が低くなっている、つまり温室効果が効いている事がわかる。
以上を用いると、式 (3.17) は
C
dTs
S
= [1 − A(Ts )] − Λ(Ts , pCO2 )
dt
4
(3.19)
とかける。
式 (3.19) の左辺を 0 とおくことで、他の変数を固定した時の Ts に対する平衡解を求める事ができる。図
3.5 には、平衡解と dTs /dt をグレーマップ (単位 [K/yr]) で表示したものである。平衡解の内、安定解(実
線)は、温度の低い領域と高い領域に二分され、CO2 濃度によっては二つの安定解が共存している事が分か
る。温度の高い側は温暖状態、温度の低い側の解は全球が凍結してる状態 (スノーボール状態) に対応してい
28
0.8
500
Pierrehumbert (aw=0.3, ai=0.6)
Linear model (aw=0.3, ai=0.6)
0.7
OLR [W/m2 ]
albedo
0.6
0.5
0.4
400
pCO2 = 5 bar
pCO2 = 1 bar
pCO2 = 10−2 bar
pCO2 = 10−5 bar
300
σS T 4
200
100
0.3
0.2 200
0 200
250
300
350
surface temperature [K]
250
300
350
surface temperature [K]
Figure 3.4: 左:表面温度の関数としての地球アルベドのモデル。[62] の関数に基づく。破線は線形モデル。
右:背景大気 1 bar の地球大気の場合の OLR。二酸化炭素分圧を 5, 1, 10−2 , 10−5 bar の場合についてかいてあ
る。H2 O 雲による減少分 (-14.06 [W/m2 ]) を考慮してある。[85] に基づく。破線は σS Ts4 で計算した場合。
る。一度スノーボール状態に陥ると、脱出するには高い二酸化炭素濃度を要する。平衡状態を保ったまま、
準静的に二酸化炭素分圧を上下していくとスノーボール状態から温暖状態、もしくはその逆へとジャンプが
起こる。このようなジャンプを気候ジャンプと呼ぶ。
地球では新原生代 (Neoproterozoic; 約 7 億年前) と古原生代 (約 24 億年前) にスノーボール状態に陥った
とされる。図 3.5 は、S を太陽定数 (式 3.4 を参照のこと) の 94.5 %の 1291 W/m2 としているが、これは新
原生代のころの太陽光に対応させている。
3.2.2
炭素循環
地球の場合、二酸化炭素は火山ガスとともに常に供給されるが、逆に大気中の二酸化炭素を除去する主要な
過程が化学風化 (chemical weathering) である。二酸化炭素が雨水や河川に溶けて、岩石と以下の反応を通
じて固体に固定される過程を Ca-Mg silicate weathering という。
→ CaCO3 + SiO2
→ MgCO3 + SiO2
CaSiO3 + CO2
MgSiO3 + CO2
(3.20)
(3.21)
化学風化率 [bar/s] の温度・二酸化炭素分圧依存性は、単純なモデルとしてはアレニウスタイプのものが
ある。
(
W (Ts , pCO2 ) = A
pCO2
pCO2,0
)β
(
)
∆E
exp −
RTs
(3.22)
ここに ∆E は活性化エネルギー、R は気体定数である。他には Ts = T0 の周りの温度で
(
W (Ts , pCO2 ) = W0
pCO2
pCO2,0
29
)β
ek(Ts −T0 )
(3.23)
10
8
6
4
2
0
2
4
6
8
10
dTs /dt [K/yr]
surface temperature [K]
340
320
300
280
260
240
220
200 5
0.945 Solar Constant
4
3
2
log 10 CO 2 [bar]
1
0
Figure 3.5: 地球表層温度の安定平衡解 (実線) と不安定平衡解 (破線)。グレーマップは地表温度の時間微分
を示している。
30
Weathering Rate [bar/Gyr]
10 5
Arrenius
10 4
Linear Approximation
10 3
10 2
10 1
10 0
10 -1
10 -2
10 -3
10 -4200 220 240 260 280 300 320 340
Surface Temperature [K]
Figure 3.6: アレニウスタイプの地球の風化率と線形近似。pCO2 = 300ppm を仮定。
の形式で与えられている事があるが、これはアレニウスタイプの形
u(Ts ) ≡ log W (Ts ) = −
∆E
+ const.
RTs
(3.24)
を T0 のまわりでテイラー展開して、
(
u(Ts )
=
u(T0 + ∆Ts ) ≈ u(T0 ) +
(
= u(T0 ) +
∆E
RT02
)
∂u
∂Ts
)
∆Ts
Ts =T0
(Ts − T0 )
(3.25)
を再度 exponential をとると
[
W (Ts ) ≈ W (T0 ) exp
∆E
(Ts − T0 )
RT02
]
(3.26)
とかけることからアレニウスタイプの T0 まわりでの風化率の対数をとったものの線形近似となっていて
k = ∆E/RT02 という対応関係であることが分かる。線形近似は T0 から外れるていくと、アレニウスタイプ
に対し風化率を過大評価する事に注意。アレニウスタイプとの差は図 3.6 参照のこと。
図 3.6 のように、高温では風化率が上がるため、二酸化炭素が除去され温室効果が軽減される方向に、低
温の場合、逆に働くので、風化は温度に対し負のフィードバックとして働く (Walker Feedback)。
二酸化炭素分圧を減らす項として風化を考えたが、二酸化炭素分圧を供給する項も考えなくてはならな
い。二酸化炭素の供給は、地球の場合、火山から供給される。サイクルとしては風化で固定された二酸化炭
素がプレート運動で地下に運ばれ、火山ガスとして地表に再度戻ってくるという過程を考えている。この供
31
給率を V で表すと、二酸化炭素分圧のバランスは
dpCO2
= V − W (Ts , pCO2 )
dt
(3.27)
と書ける。これを炭素循環の式とよぼう。
実際は、全球での風化率はアレニウスタイプの意味での温度と二酸化炭素だけでなく、表層状態にも影
響を受けるであろう。特にスノーボール・アース仮説の重要な仮定として、全球が凍結すると水の流れが止
まり全球的に風化が止まるという予想がある。このため全球凍結以下では式 3.27 の平衡解はなくなり、二酸
化炭素濃度が上昇し続け、そのためある時点で温室効果により全休凍結から脱することができるというシナ
リオがある。
定常解とリミットサイクル解
さて、式 (3.27) と式 (3.19) の二式は、T と pCO2 についての二次元微分方程式を構成し、時間の関数として
解が求まることがわかる。この場合、安定解が存在する場合と不安定解のみが存在する場合がある。後者の
場合、T -pCO2 平面でリミットサイクル運動を行う ([29, 1, 24] などを参照)。
図 3.7 は、エネルギー収支の式 3.19 の平衡解(エネルギーバランス)
S
[1 − A(Ts )] − Λ(Ts , pCO2 ) = 0
4
(3.28)
V − W (Ts , pCO2 ) = 0
(3.29)
と炭素循環の式 3.27 の平衡解
を V を変えてかいたものである。ただし、全球凍結後の風化率の低下の効果として、Ts < 273K では風化に
使える面積を Ts ≥ 273K の時の 5%に減少させるという仮定をおいてみた。この仮定がどれくらい良いかは
不明だが、定性的には何がおきるか理解できると思う。
まず、エネルギー収支の微分方程式 (3.19) のタイムスケールは、
τEB =
CTs
= 1yr
S
(
C
8
2 × 10 J/m2 /K
)(
Ts
273K
)(
S
1370J/s/m2
)−1
(3.30)
程度であるから年オーダーである。一方、炭素循環の式 (3.27) は簡単ではないが、単純な場合として weathering
がない場合、二酸化炭素分圧 P と脱ガス V だけでタイムスケールが決まるので、例えば
(
)(
)−1
P
P
V
τCC =
= 0.1Myr
(3.31)
V
10−3 bar
10bar/Gyr
となる。これは分圧や V が変わると多少変わるが、年オーダーの微分方程式に比べれば圧倒的に遅い。すな
わち任意の点から出発した方程式の解は、まずは温度軸にそって速く移動し、エネルギー収支の平衡解 (3.28)
に漸近し、その後、平衡解 (3.28) 上を炭素循環の式 (3.27) にしたがって分圧方向に移動することになる。し
かし、あるとき平衡解 (3.28) がなくなって、ジャンプが起きる。
図 3.7 左の場合は、脱ガス率 V が大きい場合である。この場合、炭素循環の平衡解がエネルギーバラン
スの安定平衡解の線と交わっているため、この点が安定であり、まず平衡解 (3.28) に移動した後、平衡解
(3.28) 上で動き、最終的にこの点に収束する。左図は脱ガス率を下げた場合に対応し、炭素循環の平衡解が
エネルギーバランスの不安定平衡解としか交わっていない。この場合は、どこかに安定することなく矢印で
示した経路のリミットサイクルに近づき永久に振動し続けることになる。
32
0.945 Solar Constant
EB (stable)
EB (unstable)
Carbon cycle (V=100 bar/Gyr)
4
3
2
log 10 CO 2 [bar]
1
surface temperature [K]
surface temperature [K]
340
320
300
280
260
240
220
200 5
0
340
320
300
280
260
240
220
200 5
0.945 Solar Constant
EB (stable)
EB (unstable)
Carbon cycle (V=7 bar/Gyr)
4
3
2
log 10 CO 2 [bar]
1
0
Figure 3.7: 安定平衡解が存在する場合とリミットサイクル運動になる場合。
この運動が厳密にリミットサイクル運動であることを示すには、リミットサイクルの中にある解が不安
定解であることを示して、ポアンカレ・ベンディクソンの定理を用いればよいだろう。しかしエネルギーバ
ランスの式と炭素循環の式の形が簡単でないため、直接、示すのはちょっと大変かもしれない。しかし、こ
のモデルに非常に近い形のよく研究されている方程式系で、ニューロンの発火を扱う Fitzhugh-Nagumo 方
程式がある。よりこの手の運動について考えたい場合は参照されたし。ちなみにこの例のように関係する複
数のタイムスケールが何桁にもわたる場合、微分方程式が硬い (stiff) といい、数値的に解く際には工夫が必
要となる。
3.2.3
1 次元エネルギーバランスモデル
0 次元モデルは惑星全体のエネルギー収支を考えたが、氷床がどのように移動するかなど、空間的な事も考
えたい場合があるだろう。そこでエネルギーバランスを、緯度方向への拡散、緯度による入射エネルギーの
違いも考えて一次元化したエネルギーバランスモデルも有用である [57]。
まず pole-on (赤道傾斜角ゼロ) の場合を考える。緯度を ϕ として q = sin ϕ を変数とした時のある q にお
ける ∆q の幅の帯でのエネルギーバランスは
2π cos ϕ(∆ϕ)R2 C
∂
Tq
∂t
= 2 cos ϕ(∆q)R2 S[1 − A(Tq )] − 2π cos ϕ(∆ϕ)R2 Λ(Tq ) + 2π cos ϕ(∆ϕ)D∇2 Tq
(3.32)
となる。ここに Tq = Tq (t) は帯平均の表面温度 (zonally averaged surface temperature) である。最後の項
は拡散項であり、D は南北方向の拡散係数 (meridional heat diffusion coefficient) である。
今考えているのは緯度方向のみなのでラプラシアンは
∇2 =
1 ∂
∂
∂2
∂
cos ϕ
= (1 − q 2 ) 2 + 2q
cos ϕ ∂ϕ
∂ϕ
∂q
∂q
33
(3.33)
normalized solar energy incident
0.5
Pole-on
North and Coakley (1979)
0.4
0.3
0.2
0.1
0.00.0
0.2
0.4
0.6
Sin latitude
0.8
1.0
Figure 3.8: 太陽入射の緯度 ϕ 依存性。横軸は (sin ϕ) でかかれている。
となることを用い、まとめると
C
∂
Tq
∂t
=
=
[
]
S ∂q
∂2
∂
[1 − A(Tq )] − Λ(Tq ) + D (1 − q 2 ) 2 + 2q
Tq
π ∂ϕ
∂q
∂q
√
[
]
2
S 1 − q2
∂
2 ∂
[1 − A(Tq )] − Λ(Tq ) + D (1 − q ) 2 + 2q
Tq
π
∂q
∂q
(3.34)
(3.35)
となる。右辺第一項は赤道傾斜角があるとこれとは異なる関数となるので、一般に
C
∂Tq
∂ 2 Tq
∂Tq
= f (q)S[1 − A(Tq )] − Λ(Tq ) + D(1 − q 2 ) 2 + 2Dq
∂t
∂q
∂q
(3.36)
としておく。図 3.8 は、North and Coakley [58] による地球の場合の太陽入射を示しておく。
このような南北一次元モデルを解くことで、氷床の張り出す緯度を直接求めることができるようになり、地
球のように部分的に氷床を持つ解(部分凍結解)などが扱えるようになる。その反面、物理的見通しは悪くな
るといえよう。さらに三次元で大気もしくは海洋も含めてシミュレーションを行う GCM(General Circulation
Model/Global Climate Model) というものも存在する。しかし GCM では 1 万年をこえるような長いタイム
スケールは通常扱えない。
3.3
代謝と光合成
生命の本質は何なのか、という難しい議論は置いておくにしても、少なくとも生物は何らかの方法でエネル
ギーを得て、自らの体を作ったり、仕事をしたりしなければならないのは確かである。つまり代謝は生物の
本質的な機構の一つであるといえる。エネルギー代謝は、生物が環境との物質のやり取りを行い、生物の痕
34
跡を環境中に残したり、さらには酸素の生成のように惑星の環境を大幅に変えてしまうことさえある。系外
惑星の生命探査において、このような代謝と関係しているシグナルが観測できる可能性がある。そこで、こ
の章では、地球の生物のエネルギー代謝を考えよう。
図 3.9 は、地球生物のエネルギー代謝を簡略化して描いたものである。生物は化学物質の酸化還元や光
エネルギーを電子を介して伝達するが、その伝達の始まりと終わりもしくは方向に幾つかの種類がある。図
3.9 のように、呼吸(ここでは化学合成も呼吸に含めている)、発酵、光合成と分類して考える。
最初に電子を供給する物質を電子供与体 (electron donor) という。例えば、呼吸では、A が電子供与体
である。好気呼吸においては A は有機物であり、電子を供与した有機物は酸化されて二酸化炭素と水 (B) と
なって排出される。一方、電子を受け取る物質は電子受容体 (electron receptor) という。好気呼吸において
は電子受容体 (C) は、酸素であり、電子を受け取った酸素は還元されて水となる。A→B と C→D の酸化還
元電位の差が利用可能なエネルギーとなる。地球生物はこのエネルギーを ATP とよばれる物質を使って利
用可能な形で蓄えたり伝達したりする。発酵においては、電子受容体 (G) は、電子供与体 (E) から生じ、外
部から取り込まれない。また光合成においては、呼吸の場合と逆に、電子供与体の酸化還元電位が電子受容
体 (H) より高い(電子のエネルギーは低い)ので自発的には反応が進まない。光エネルギーを使って、電子
を電子受容体 (J) より高エネルギー側に一旦引き上げ、低エネルギー側に落ちて行く際にエネルギーを ATP
にわたす。
Figure 3.9: 生物のエネルギー代謝の模式図。[91] などを参考に作成。
このような電子のエネルギーを定量的に表すことができるのが酸化還元電位である。たとえば物質 X と
Y + のあいだの電子の受け渡しを考えてみよう。
X + Y+ −→ X+ + Y
(3.37)
この反応では何がしかのエネルギー EX→Y が放出または授受されるが、反応ごとにこれを考えていたので
は面倒である。そこで上の反応を以下の二つの半反応に分ける。
X+ + e−
Y + + e−
−→ X
−→ Y
(3.38)
(3.39)
ただし (3.39) の方は逆反応を書いて、方向を揃えている。この各々の反応を適当な基準の半反応、通常は水
素分子
1
H2 ←→ H+ + e−
2
35
との反応
1
H2 + X+
2
1
H2 + Y+
2
−→ H+ + X
−→ H+ + Y
を考えて、これらの電位で EH2 →X 、EH2 →Y であらわしておけば、
EX→Y = EH2 →Y − EH2 →X
(3.40)
と計算できるので都合が良い。しかしこれらの量も物質の圧力・濃度に依存する。そこで H2 ガスを 1 気圧、
H + 濃度を pH 7.0、すなわち 10−7 mol/L と置き 1 、反応物を分圧 1 気圧、濃度 1 mol/L としたときの電位
で H2 → X の電位を定量化する。このような電位を標準酸化還元電位という。標準酸化還元電位を用いる
と、反応物の濃度が [X]、[X + ] のときの、酸化還元電位は、標準酸化還元電位 E0 を用いて、
E = E0 +
RT [X + ]
ln
nF
[X]
(3.41)
となる。R は気体定数、F はファラデー定数、n は酸化還元反応にあずかる電子の数である。戻って、ふたつ
の半反応式 (3.38, 3.39) では、式 (3.39) のほうが式 (3.38) より高い酸化還元電位を持てば、反応 (8.8) は、エ
ネルギーを放出して自発的に進む。たとえば図 3.9 の呼吸の例でいうと X = A, Y = D, X + = B, Y + = C,
の対応関係となる。逆に式 (3.38) のほうが式 (3.39) より高い酸化還元電位を持てば、何らかのエネルギー注
入が必要である。光合成では光エネルギーがこの役割を担っている。これらのことを考えれば、図 3.9 の酸
化還元電位の軸の向きが下向きになっていることが理解できる。
3.3.1
ATP
ATP(アデノシン三リン酸) は生体内でエネルギーを蓄える通貨である。
ATP → ADP + Pi + 7.3kcal/mol
(3.42)
のようにリン酸 Pi = PO2−
3 − OH を一つ切ると、ADP(アデノシン二リン酸)と 7.3 kcal/mol のエネルギー
が取り出される。さらにもう一つ切ると、AMP(アデノシン一リン酸)となる。生物は ATP のリン酸結合
の形でエネルギーを蓄えたり、用いたりする。呼吸や光合成により、ADP+Pi が ATP に変換され、エネル
ギーを蓄える。
[91] にしたがって、生体内で ATP 通貨をどのように用いるかを簡単に見ておく。例えば、二つの物質
X-OH と Y-H を縮合して、X-Y という物質を作ることを考えよう。このとき ATP を用いて、
ATP + X − OH → ADP + XOP
XOP + Y − H → XY + Pi
(3.43)
(3.44)
という反応が行われ、リン酸結合のエネルギーが X − Y の生成に用いられている。これを連続的基転移と
いう。
1 この pH=7 という基準は生化学の分野で用いられるもので、他の分野では pH=1、すなわち H + 濃度を 1 mol/L とすることも
しばしばあるので、定義を確認したほうが良い。pH 7 の定義を採用した場合、H + + e− → 1/2H2 の T = 25◦ C の時の標準酸化還
元電位は式 3.41 を用いて-0.42 V となる
36
Figure 3.10: ATP の模式図。A に当たるところにアデノシンがついている。
3.3.2
光合成
地球上の生物は、他の生物を食して生きる従属栄養生物 (heterotroph) と無機化合物や光を栄養とする独
立栄養生物 (autotroph) に分けることができる。独立栄養生物には硫化水素などの無機化合物を酸化を利用
する化学合成細菌などの化学合成独立栄養生物 (chemoautotroph) と光を利用してエネルギーを得る光合成
独立栄養生物 (photoautotroph) がある 2 。エウロパなど主星から強い光が望めない環境では、化学合成独立
栄養生物が生命の第一候補であり、この場合、直接探査ができる系内の衛星が宇宙生命探査の主なターゲッ
トになるだろう。しかし、通常の意味でのハビタブルゾーンでは、第一義的には光合成に依存する生態系が
考えられる。系外惑星の宇宙生命探査では、直接探索しに行くことができないので、光の強い惑星表面に繁
栄するであろう光合成生物をターゲットにするのが好都合であろう。太陽系外惑星の生命探査に用いられる
バイオマーカーとして有力な植物のレッドエッジや酸素・オゾンの吸収線は酸素発生型光合成、すなわち、
水をもちいて二酸化炭素を固定する
6CO2 + 12H2 O → C6 H12 O6 + 6H2 O + 6O2
(3.45)
の反応をおこす生物に関係している。他の物質、たとえば硫化水素を用いて
6CO2 + 12H2 S → C6 H12 O6 + 6H2 O + 12S
(3.46)
のように二酸化炭素を固定する光合成は酸素非発生型光合成という。表 3.2 に示したように、酸素発生型の
光合成生物としては、植物やシアノバクテリア、酸素非発生型としては、緑色硫黄細菌??や紅色細菌などが
代表である。この章では、地球上での光合成の概略をみていこう。
Table 3.2: 地球上の独立栄養光合成生物
植物・葉緑体 (plants)
シアノバクテリア (cyanobacteria)
緑色硫黄細菌 (green sulfur bacteria)
紅色細菌 (purple bacteria)
ドメイン
真核生物
真正細菌
真正細菌
真正細菌
酸素発生型
酸素発生型
酸素非発生型
酸素非発生型
集光アンテナ
LHC1/LHC2
フィコビリソーム
クロロソーム
LH1/LH2
光化学系
PS I + PS II
PS I + PS II
PS I
PS II
地球上の生物の光合成は、光合成膜という膜で囲われた領域を用いる。図 3.11 は葉緑体の模式図であ
る。葉緑体の光合成膜はチラコイド膜と呼ばれ、チラコイド膜の内側領域をルーメン、外側領域をストロマ
という。光合成の反応は大きく光化学反応と炭酸固定を行うカルビン回路に分けられる。図 3.12 は酸素発
2 光合成生物の中には、有機物を利用する光合成従属栄養生物 (photoheterotroph) も存在する。これには緑色非硫黄細菌や紅色非
硫黄細菌が対応する
37
Figure 3.11: 葉緑体の光合成膜(チラコイド膜)とその拡大図の模式図。袋状の構造グラナの内部。
生型の光化学反応とカルビン回路の概略をしめしている。光化学反応は、光合成膜に埋め込まれた光化学系
(photosystem) を中心として、膜上で反応が進行する。おもな反応は、光のエネルギーを用いて水を酸素に分
解し、ADP をリン酸化して ATP にし、NADP+ (ニコチンアミドアデニンヌクレオチドリン酸) を NADPH
に還元する。
NADP+ + 2H+ + 2e− → NADPH + H+
(3.47)
光化学反応で作られた ATP と NADPH を用いて、カルビン回路で二酸化炭素を固定する。この炭酸固定は
ストロマ側で行われる。
光化学反応
光化学反応の中心となる反応は反応中心クロロフィルの光励起
P + hν → P∗
(3.48)
である。反応中心クロロフィルは生物や光化学系によって異なる。酸素発生型の反応中心クロロフィルは主
にクロロフィル a であり 3 、非酸素発生型ではバクテリオクロロフィル a,b,g などが用いられる。吸収する光
の波長は反応中心クロロフィルの種類や配位 4 によって異なる。植物の場合、二つ光化学系を持ち、それぞ
れ 700nm (光化学系 I; PS I) の 680nm (光化学系 II; PS II) の光を利用する。
3 クロロフィル
d を用いるアカリオクロリスも存在する。
(dimer) と呼ばれるペアをつくって配位していて、単量体の時より若干低いエネルギーの光を吸
4 反応中心のクロロフィルは二量体
収する。
38
Figure 3.12: 光化学反応とカルビン回路。ニコチンアミドアデニンヌクレオチドリン酸の化学式は wikipedia
の図を改変した。赤で書かれた H がついたものが NADPH である。
39
集光アンテナ
反応中心で利用する光のエネルギーより低いエネルギーの光は光合成に用いることができないが、高いエネ
ルギーの光は集光アンテナとよばれる器官に存在する色素で吸収され、エネルギーを反応中心まで伝達する。
集光アンテナには複数の集光色素があり、これらを用いれば可視光の幅広い領域がカバー可能である。
もし光合成に使えない方の低いエネルギーの光を外部に捨てる、つまり反射するのであれば、反応中心
クロロフィルの吸収エネルギーに対応する波長より長い波長では反射率が大きくなり、短い方では効率良く
吸収するため反射率が小さくなる。植物の場合これがレッドエッジであり、第ゼロ近似では反射率はレッド
エッジを境に階段関数的になると考えられる。図 8.3 の緑線は実際の植物の反射率であり、たしかに 700 nm
付近から上の近赤外領域での急激な反射率の上昇を見て取ることができる。しかし、近赤外領域での不要な
光を反射させることが生存にとってどうして有利であるのか、また、そもそも有利であるのか、すなわち偶
然なのかどうかはあまり良くわかっていない。これは、生命探査にレッドエッジを用いることの正当性が依
然問題であることを示している。
電子伝達
反応中心クロロフィルで起こった電子の放出はつぎつぎに隣接する異なる物質へと伝達されるていく。この
電子伝達は、物質同士の電子の放出しやすさ・受け取りやすさの違いにより伝達されていく。図 3.9 の光合
成のところで表した模式図では、電子が放出されるところと受け取るところのみがつながれているが、実際
はその間に様々な物質を伝達していくのだ。図 3.13 は酸素発生型光合成における電子伝達経路を酸化還元電
位を用いて表したもの、つまり図 3.9 の詳細版である。二つの光化学系のところでは、集光アンテナから伝
達されたエネルギーが反応中心クロロフィルを励起し (式 (3.48))、つづいて脱励起に伴う電荷分離
P∗ → P+ + e−
(3.49)
が起こる。ここに P = P680 (PS I) または P = P700 (PS II) に対応する。このように脱励起に伴う電荷分離
が出発点となって放出された電子が、酸化還元電位に従い伝達される。
電子は酸化還元電位の高い方 (図では下側) へ移動していき、最終的に NADP+を還元する(図では右
端)。逆に左端では、何かから電子が奪われなければならないが、この出発点の物質を電子供与体 (electron
donor) という。酸素発生型光合成の場合、電子供与体は水であり
2H2 O → O2 + 4H+ + 4e−
(3.50)
というよう反応で、電子を放出し、酸素が生成される。また、H+ 、すなわちプロトンはルーメン側にたま
る。ところで、上の反応は酸素発生複合体 (oxygen evolving complex; OEC) と呼ばれるところで起きるが、
1 電子伝達ごとにみると次の4反応
H2 O → ·OH + H+ + e−
H2 O + ·OH → H2 O2 + H+ + e−
+
−
H2 O2 → O−
2 + 2H + e
O−
2
→
O2 + e −
(3.51)
(3.52)
(3.53)
(3.54)
が起こっていると考えることができる。ところで酸素/水への酸化還元電位は非常に高く (+0.82V)、水から
電子を奪うためには、これよりも高い酸化還元電位を持つ物質を OEC に使う必要があるが、実際 OEC で
40
PS II
-1.5
PS I
P700*/P700+
A0
A1
Fe-Sx
Fe-SA/B
-1.0
酸化還元電位 (V)
P680*/P680+
Ph
光
-0.5
QA
QB
0.0
光
cyt b6f Fe-SR
pc
P700/P700+
0.5
H2O
1.0
Fd
FNR
NADP
OEC
z
P680/P680+
Figure 3.13: 酸素発生型の電子伝達経路。Blankenship 1992 [7] の図を元に作成した。
はマンガンを用いて、酸素/水よりも高い酸化還元電位を実現している。また式 (3.50) からは、一つの酸素
を発生させるのに4つの電子、さらに PS I/II の二倍分の8つの光子が必要であることがわかる。
ATP 生成
酸素の分解などの結果、ルーメン側にプロトンがたまっていき、ルーメンとストロマの間にプロトン勾配が
できる。すなわち平たく言うと膜の内側が酸性になる。光合成膜には ATP 合成酵素というものがくっつい
ていて、そこを通ってプロトンがストロマ側に通り抜けられるようになっている。このときにエネルギーを
得て ADP とリン酸から ATP が生成される。
ADP + H3 PO4 → ATP
(3.55)
これが生体内でのエネルギー通貨として生命活動維持に用いられる。
3.3.3
光合成に利用可能な恒星光フラックスと晩期型性周りの光合成
さて、地球上の酸素/水への酸化還元電位が非常に高いため酸素発生型光合成は PS I と PS II の結合をして
いる。酸素非発生型光合成をする緑色硫黄細菌は PS I を紅色細菌は PS II をそれぞれ個別に持つ。これら
が進化の過程で結合して、酸素発生型が作られたと考えられているが、このときに、PS II のルーメン側に
マンガンカタラーゼという過酸化水素を分解する酵素がくっついて、酸素型光合成が完成したという説があ
る。すなわち高い水の酸化還元電位をクリアするために、地球上の生物は二つの光化学系の結合と酸素発生
複合体の獲得というアクロバティックな解決法をとったと言える。
ところでこのことは、M 型周りの系外惑星のような可視光程度の高エネルギー光子がすくない系での酸
素発生型光合成を考える上で重要である。この場合、たとえば光化学系を3つつなげて必要なエネルギーを
41
獲得するという可能性を考えている人もいるが、これが進化で獲得するのにどの程度、難しいかということ
は自明ではない。そこで、反応中心のエネルギーとして、クロロフィル a と同じ 0.7 µm を仮定して、様々
な恒星の周りで光合成に利用可能な光子フラックスがどの程度なのかを知っておく事は、酸素をバイオマー
カーに用いる正当性を評価する一つの目安となるだろう。
ここで、エネルギーフラックスではなく光子フラックスとするのは、反応中心のエネルギー以上のエネル
ギーの光子は、結局、反応中心エネルギーまで落した上で利用する事を想定しているからである。紫外域を
カットして例えば 0.4-0.7 µm の間の光子フラックスを the photosynthetic photon flux density (PPFD) と
して定義する。T⋆ = 3000K での HZ 内側での PPFD は、太陽型星の場合の 10%弱程度となる。ちなみに地
上で曇りの日は快晴の日の 10%程度のフラックスであるそうである。この場合、絶望的なほど PPFD が低
いわけではないとも言えよう。
3.4
バイオマーカー
§1.1.1 で述べたように、系外惑星の生命探査は地上の望遠鏡か地球近傍の人工衛星で惑星を見て探すことが
第一である。それでは、惑星についてどのようなことが分かれば、生命の存在を議論できるだろうか?一つ
は、生命が存在すると見えるかもしれない特有のシグナルを探すことである。これには後に述べるように光
合成活動に起因する酸素やオゾンなどの分子、植物が光合成を効率良く行うために現れる反射特性などがあ
げられる。このようなシグナルはバイオマーカーと呼ばれ、系外惑星での生命探査の拠り所の一つとなって
いる。ところでこれから挙げるバイオマーカーは、すべて地球の生物が作り出すシグナルである。しかし、
どのような生物が進化するかということは、その惑星の環境 (ハビタット) やまたは偶然に左右されるもので
あるので、地球で考えられるバイオマーカーがそのまま系外惑星に応用できるとは限らない。むしろそのま
ま解釈できる可能性は低いだろう。そのため、地球に見られるバイオマーカーを考察する際に以下の二点を
特に明らかにするべきである。
• A. バイオマーカーの元になるプロセスはどのような生物学的役割を持っているのか
• B. バイオマーカーの元になるプロセスは、非生物学的なプロセスに比べ、物理的に何が異なるのか
この二点が明確に答えられるバイオマーカーは、そのシグナル自体が生物に特有なシグナルとしての評
価が可能となる。一般にはこのプロセスは、惑星のハビタットによって変更を受けるはずであるが、プロセ
ス自体を理解していれば、どのように変更を受け、実際、どのようなシグナルが出るのか理論的に予測可能
であるはずだ。このように現地球で見えているバイオマーカーのプロセスを生物学的・物理学的に理解すれ
ば、地球で生物が関与しているからという根拠を超えて、系外惑星からのシグナルであっても解釈可能とな
るだろう。
3.4.1
酸素・オゾン
地球上のバイオマーカーとして圧倒的なのは酸素と酸素から生成されるオゾンである。酸素は、§3.3 で詳し
く見るように、酸素型光合成生物が光合成の電子供与体 (図 3.9 の H) として水を用いることに起因している。
すなわち酸素は水の酸化で生成される。
2H2 O → O2 + 4H+ + 4e−
(3.56)
光合成のような代謝は、生物の基本的性質の一つであり、かつ、その電子供与体に水というハビタブル惑
星には豊富にあるべきものを利用すると必然的に生成されてしまう酸素は、生物的活動の必然性が高いバイ
オマーカーである。酸素型光合成全体の収支では
6CO2 + 12H2 O → C6 H12 O6 + 6H2 O + 6O2
42
(3.57)
となる。
酸素生成の非生物過程としては、水の紫外光による光解離があげられる。
H2 O → H2 + 1/2O2
(3.58)
しかし紫外光による光解離のタイムスケールが短いため、電子は結合軌道ポテンシャル (A) から、無限遠の
ポテンシャル (B) ではなく、それより大きい反結合軌道 (C) へ入らなくては効率的に解離しない。そのため、
A-B 間のエネルギーに対応する 400-500 nm ではなく、A-C 間のエネルギーに対応する 180 nm 以下の光で
のみ大きい断面積を持つため、なかなか効率よく酸素生成が起きない。そのため地球での比生物的な酸素生
成は 3 × 1011 g/yr 以下である。
またオゾンは酸素と酸素の UV 乖離による O、何らかの物質 M を介して
O + O2 + M → O3 + M
(3.59)
と生成される。
このように酸素 (オゾン) は、A. 代謝+水の結果という生物的必然性、B. 高効率の触媒反応という非生
物的プロセスとの差異というバイオマーカーとしての二つの要件を最も満たしている物質と言えよう。酸素
は可視光・近赤外域に、オゾンは紫外と赤外領域に強い吸収をもつ。これらの吸収を探すことでバイオマー
カー探索が可能となる。とはいえ、もちろん酸素が検出されたからといって生命発見と言えるとは私は思わ
ない。たとえば非生物的にでも少量ずつなら生成されるので、もしも酸素が消費される物質がなかったなら
ば、惑星表面にある程度の酸素が溜まってもおかしくない。実際、土星の氷衛星レアでは探査機カッシーニ
により、微量ながら酸素大気が検出されている [79]。また、酸素が生成されることとそれが大気として蓄積
されることは同じ問題ではなく、惑星の地学的、生物学的要件によりさまざまな可能性があり得る。地球に
どうして酸素が蓄積されたかという問題は解決されていないが、突然、酸素濃度が上昇した大酸化イベント
という事象がおきた事が知られている。
大酸化イベントと酸素蓄積
水があり酸素型光合成生物が惑星に発生したとしても、それがすなわち好気環境 (酸素に富む環境) を意味す
るとは限らない。地球上では作られた有機物は好気呼吸を通じて分解される。さまざま化学過程が大気中の
酸素濃度を決めるはずである。地球史では、24 億年前ほどに大酸化イベント (Great Oxidation Event; GOE)
と呼ばれる酸素濃度の急激な上昇があったと考えられている。
Farquhar らは、硫黄の同位体同士の関係が 24 億年前を境に急激に変化することを発見した。硫黄同位
体比は
[
]
( 33 S/ 32 S)
δ 33 S ≡
(3.60)
−
1
( 33 S/ 32 S)VCDT
[
]
( 34 S/ 32 S)
δ 34 S ≡
(3.61)
−
1
( 34 S/ 32 S)VCDT
のようにして定義される。ここで VCDT とは標準値で Vienna Canyon Diablo Troilite という FeS 隕石の名
前である。VCDT では 32 S,33 S,34 S はそれぞれ 0.9503957、0.0074865、0.0419719 である。通常の化学反応
(生物によるものも含む) では、δ 33 S と δ 34 S の比は質量による分別効果 (質量依存分別) により一定の
δ 33 S = 0.515 δ 34 S
(3.62)
∆33 S ≡ δ 33 S − 0.515 δ 34 S
(3.63)
に保たれる。そこで、
43
という量を定義する。質量依存分別では ∆33 S = 0 ± 0.2 ‰の範囲に収まる. ‰はパーミルと呼び、1/1000 の
単位を表す (1000 ‰=100%)。Farquhar らは過去の ∆33 S を調べ、24 億年前以降は質量依存効果 ∆33 S = 0
に従うことを見いだした。しかしそれ以前は ∆33 S が様々な値を取ることを発見した (図 3.14)。このよう
な分別効果を質量非依存分別効果 (Mass Independent Fractionation; MIF) という。MIF を作る過程として
考えられるのは SO2 などに対して紫外光が関わる光化学反応である。つまり 24 億年前に急激に紫外光が遮
蔽された、つまりオゾン層が形成されたと推測できる。オゾン層は酸素が 10−5 PAL(Present Atmospheric
Level) 以上で形成されるので、この仮定の下で MIF は 24 億年前以前の酸素濃度に強い制限を与える。
Figure 3.14: 各年代における ∆33 S の測定値。[18] より引用。
3.4.2
メタン
生物由来のメタンはメタン生成古細菌 (Methanoarchaea) によって作られる。メタン生成古細菌は、嫌気性
すなわち酸素の非存在下で暮らしている。具体的には湖沼底の泥、大腸や胃、虫歯の奥、水田、深海熱水孔
などである。
炭酸呼吸によるメタン発生
メタン生成反応のひとつは二酸化炭素と水素からメタンと水のできる
CO2 + 4H2 → CH4 + 2H2 O
(3.64)
の反応である。これは二酸化炭素で水素を酸化する。つまり、水素 (電子供給体) は電子を供給し、水となる。
逆に二酸化炭素(電子受容体)は最終的に電子を受け取りメタンとなる。つまりメタン生成は嫌気呼吸の一
つである炭酸呼吸である 5 。
5 炭 酸 呼 吸 を す る バ ク テ リ ア は こ の メ タ ン 生 成 古 細 菌 の 他 に 、ホ モ 酢 酸 発 酵 細 菌 が い る 。ホ モ 酢 酸 発 酵 細 菌 は
+
−
2CO2−
3 + 4H2 + H → CH3 COO + 4H2 O という反応で、炭酸呼吸により酢酸を生成する
44
メタン発酵
有機物のある嫌気環境化では、他のバクテリアが高分子化合物を有機酸にまで分解する。このような有機酸
の分解から、メタンが生成される。例えば、酢酸から
CH3 COOH → CH4 + CO2
(3.65)
のようにメタンが生成される。二酸化炭素 (炭酸) や酢酸の代わりに蟻酸 (HCOOH)、一酸化炭素、メタノー
ル、ジメチルアミン、メチルアミンなどが使われることもある。
非生物的なメタン生成は、熱水系での生成、メタンハイドレートの侵食などがある。また、内側惑星で
は、炭素は二酸化炭素の形で残るのに対し、10AU より外側の惑星では、炭素がメタンの形で残るので、例
えば冥王星や海王星の衛星トリトン、カイパーベルト天体などにメタンの氷が存在する。
3.4.3
亜酸化窒素・アンモニア
亜酸化窒素 N2 O6 は硝化細菌による硝化からと脱窒菌による脱窒からの2つの生物起源が存在する。
硝化
硝化とはアンモニアから始まり、これを好気的に酸化していって硝酸にまで導くプロセスであり、これらを
行うが土中や海洋中などに存在する硝化細菌である。
硝化細菌の中でアンモニアから亜硝酸塩 (NO−
2 ) への酸化反応
NH3 + O2 + 2H+ + 2e− → NH2 OH + H2 O (A)
+
−
NH2 OH + H2 O → NO−
(B)
2 + 4H + 4e
を行うものをアンモニア酸化細菌という。(A) の反応に必要な 2e− は (B) の反応での 4e− 生成のうち 2e− が
使われる。また反応は細胞膜を通して行われ、(B) の反応で作られた 4e− のうち (A) に使われなかった 2e−
に対応する 2H + 分が細胞膜のと細胞壁の間の空間 7 に入り、プロトン勾配の形で ATP 合成酵素からエネル
ギーが取り出される。
亜硝酸塩を硝酸塩 (NO−
3 ) に酸化する反応
−
+
−
NO−
2 + H2 O → NO3 + 2H + 2e
(3.66)
を行うものを亜硝酸酸化細菌という。これもプロトン勾配により ATP を生成する。
硝化細菌は、アンモニアまたは亜硝酸塩を電子供与体として、酸化反応ででるエネルギーを用い、カル
ビン回路で CO2 固定を行なう。つまり硝化細菌は化学合成独立栄養生物である 8 。
さて亜酸化窒素は硝化作用から直接生成されるのではなく、上の (A)、(B) の反応の中間生成物であるヒ
ドロキシルアミン (NH2 OH) と生成物である亜硝酸塩 (NO−
2 ) までの反応の途中で副次的に生成される。つ
まり硝化反応そのものによって生成されるのではない。
6 またの名を笑気ガス (Laughing gas) という。吸入すると顔がひきつって笑ったように見えるからである。麻酔にも使われる。沸
点は摂氏-88.5 度。
7 ヘリプラズムという。
8 従属栄養のものも存在はする。
45
脱窒
−
硝酸塩 (NO−
3 ) を最終的に窒素にまで還元するプロセスを脱窒とよぶ。脱窒には、NO3 を電子受容体とする
−
硝酸呼吸をする異化型と NO3 を窒素源として固定する同化型が存在する。亜酸化窒素は NO−
3 から N2 へま
での還元の途中に副次的に生産される。
Leaky pipe
以上のように亜酸化窒素は硝化、脱窒においてもその反応途中で副次的に待機中に漏れ出すものである。こ
れを表現したのが Zafiriou による leaky pipe(図 3.15) である。アンモニアが硝化・脱窒を得て窒素に戻るま
でに、亜酸化窒素や一酸化窒素が漏れ出すさまを表している。
Figure 3.15: leaky pipe。 [88] を改訂。
アンモニア
硝化の一番最初はアンモニアであったが、大気窒素からアンモニアを生成して供給するプロセスが窒素固定
である。この窒素の同化を行う細菌が窒素固定細菌であり、無機もしくは有機栄養を利用する細菌、シアノ
バクテリアのような光合成細菌、根粒菌のようなマメ科の植物の根で生活する共生菌など多種多様な細菌が
窒素固定を行う。
窒素固定は同化であるので、エネルギーを使う反応であるが、N2 間の三重結合が強力である (解離エネ
ルギー 940 kJ) ため、多くの ATP を必要とする。
N2 + 8H+ + 8e− (+16ATP + 16H2 O)
→ 2NH3 + H2 (+16ADP + 16Pi)
3.4.4
(3.67)
レッドエッジ
レッドエッジ (red edge) とは、陸上植物にみられる反射スペクトルの特徴で、可視光側では非常に低い反射
率なのが 700 nm 付近を境に急激に反射率が上がることを指す (図 8.3、図 3.16)。まず、可視光側では緑色
(500 nm) 付近では少し反射率が上がっているが、この小さな山はクロロフィルの吸収スペクトルの谷に対応
し、植物が緑色に見える原因である。しかし、もし人の目が近赤外まで感度を持っていたならば、植物は真っ
46
Table 3.3: 分光バイオマーカー
気体
(分子式)
酸素
(O2 )
オゾン
(O3 )
メタン
(CH4 )
亜酸化窒素
(N2 O)
一酸化窒素
(NO)
二酸化窒素
(NO2 )
アンモニア
(NH3 )
存在量 (平均滞留時間)
(平均滞留時間)
21 %
( 2 × 107 yr)
1.65 ppm
(5-10 yr)
310 ppb
(100-120 yr)
1-10 ppb
生物過程
生成量
主なライン
酸素型光合成
2.9 × 1017 g/yr
0.76,1.27,0.69 μ m
酸素由来
チャップマン機構
メタン生成古細菌
9.6 μ m
2 × 1014 g/yr
7.5 μ m
硝化菌、脱窒菌
1013 g/yr
17, 8.5, 7.8 μ m
5.4 μ m
6.2 μ m
0.1-1 ppb
0.01 ppb
(0.01 yr)
窒素固定菌
7.5 × 1013 g/yr
11-9, 6 μ m
(近)赤に見えるはずである。レッドエッジより長波長での反射は、緑の反射に比べ、はるかに大きく、近似
的にはレッドエッジを挟んだ階段関数と考えることができる。この境の波長はクロロフィル a の反応中心のエ
ネルギーに対応している。光合成で用いる光エネルギーはこの反応中心エネルギーまで落とされて、クロロ
フィルを光励起する。そのためレッドエッジより高エネルギー(短波長)側の光は、光合成に用いることがで
きるため非常によく多く吸収されるので反射率が低くなるが、レッドエッジより低エネルギー(長波長)側の
光は用いることができない。このような光合成に用いることのできる帯域の放射を PAR(Photosynthetically
Available Radiation) とよぶ。この PAR 帯域の光を効率よく吸収するために、光合成生物は集光アンテナと
呼ばれる様々な色素の集合からなる複雑な組織を進化せてきた。
レッドエッジが生物学的役割については議論の余地が残る。PAR を出来る限り使えるように、植物や光
合成生物は集光アンテナを進化させてきた。しかし、レッドエッジより低エネルギー(長波長)側の光を必
ず反射する必然性はあるのであろうか?
ひとつは無駄な光を反射することで葉の加熱を防いでいるという説がある。この場合、二酸化炭素固定
酵素の最適温度より気温が高い場合は有利に働くが、寒冷地ではむしろ温めたほうが良いということになり
かねない。もう少し説得力のある考え方は、葉の中の構造が、光をより散乱させるように発達したというも
のである。葉の中で光が何度も散乱すると、その分 PAR の吸収効率が高まる。しかし、レッドエッジより
低エネルギー側の光は散乱されるだけされて、最終的には外に出てしまうので反射率が上がる。これを端的
に見ることができるのが図 3.17 のような斑入りの葉である 9 。斑入りの葉とは、普通の葉から葉緑体が抜け
たものであり、すなわち、葉の構造のもともとの色である。つまり、葉は葉緑体がほとんどの吸収を行って
いて、他は真っ白であり、反射率が非常に高いのである。このような理由で、光合成植物のレッドエッジを
説明することができる。
9 この斑入りの葉の話は、早稲田大学の園池公毅先生に教えてもらったことである。
47
Figure 3.16: 可視のイメージと 760nm 以上のイメージ。この写真はデジカメを分解して、CCD の前にある
近赤外線カットフィルターを除去したのち、撮影した。左はその除去したフィルターをレンズ前に再度つけ
て撮影したもの。フィルターを抜いたせいかオートフォーカスが効かなくなったので、ぼけた写真になって
しまっている。右はレンズ前に逆に近赤外 760nm 以上のみを透過するフィルター (Sharp Cut Filter, SC76
Fujifilm) を設置して写したもの。葉の部分が明るく光っているのがわかる。このようにデジカメは本来は近
赤外光を感光する能力を持っているので、ちょっとした改造でレッドエッジの存在が確認できる。近赤外透
過フィルターは 1500 円程度で購入できる。ヨドバシカメラやビックカメラで富士フィルムのフィルターは
ありますか、と聞いてみよう。店頭に無くても裏に置いてある事がよくある。
光合成を行う生物は陸上植物だけではなく、植物プランクトンや光合成細菌など多数存在するが、これ
らにもレッドエッジはあるであろうか?Kiang ら [36] によると他の光合成生物には明確なレッドエッジはな
さそうである。また、観測の問題からいうと植物プランクトンのように水中にいるものに関しては、水が近
赤外線を強く吸収するため、レッドエッジがあろうがなかろうが検出は困難である [38]。
さて、レッドエッジ(を行う反射能) は、非生物的な反射とは何が異なるのであろうか?まず、あるエネ
ルギー以下の光を使う仕組み自体は先に述べた光合成の仕組み、すなわち非常に効率の良い触媒化学反応と
結果、現れている。さらに PAR 以下のエネルギーの反射率増加自体は、多分に葉の構造によっており、こ
れも光合成の効率上昇のためとすると、これは結局、地球の光環境における適応進化の帰結であるというこ
とができる。非生物的な物質の反射率は適応進化を受けないので、急激な反射率の変化のあるような特異な
反射はなかなか考えられない。
48
Figure 3.17: 斑入りの葉。JR 清里駅前の花壇ににて撮影。
地球のレッドエッジ観測
ガリレオ衛星は地球から飛び立つときにラテンアメリカ付近のスペクトルを何箇所か撮り、アマゾン近辺で
レッドエッジ的な反射特性を検出した [68]。しかし場所によっては、もう少しフラットなスペクトルであっ
た。それでは地球を点源だとした時、レッドエッジは検出できるであろうか?この問に答える観測の一つと
して地球照の観測がある。地球照とは、地球の反射光が月に当たって光る現象であり、太陽光が地球と月の
二回の反射を得て、再び地球で観測されたものといえる。これは月の反射がある分、系外惑星の観測と直接、
対応するわけではないが、地球の反射によるシグナルも含まれているはずである。
3.4.5
円偏光
生物のホモキラリティーを利用して、円偏光を検出すればバイオマーカーとなるかもしれない。世の中で、
一番手軽にホモキラリティーを確認する方法は、映画館で 3D 上映用の使い捨て円偏光メガネを買って、そ
の辺の黄金虫を見ることかもしれない。図 3.18 は、黄金虫の仲間を円偏光メガネの左右を通してみたもので
ある。このように、黄金虫の表面がどちらかの偏光でのみ 10 反射していることがわかる。
ところで、黄金虫が惑星表面に多量に張り付いているという状況は考えたくないので、もっと表面に大
量にありそうなもの、例えば植物の円偏光を考えることになる。Sparks ら [] はクロロフィルや光合成色素が
弱く円偏光することを用いることを提案している。しかし、その円偏光度は 10−3 以下であり、少なくとも
地球植物の円偏光を外から見出すのは難しいかもしれない。しかし高いホモキラリティーは他の物理プロセ
スではなかなか実現できないので、万が一強い円偏光反射を検出したならば、生命の存在をうかがわせる証
拠となることだろう。
10 右もしくは左偏光のどちらが反射しているかはどのように調べればよいであろうか?
49
Figure 3.18: 円偏光メガネでみた黄金虫の仲間。メガネは 3D 映画ハリーポッター最終話の上映時に 100 円
で買ったもの。
3.5
地球型系外惑星の模擬観測
現状では地球型系外惑星の観測はまだまだ限られている。そこで地球を系外惑星だと思って観測を行い、地
球のような惑星がどのように見えるかという研究がされている。まず最も実際の観測に近いのが、系内の探
査衛星が地球を振り返って観測したデータだ。しかしこれは衛星に搭載される観測機器の制約が大きい。次
に月の暗い部分を観測する地球照がある。これは地球の反射光が月によってもう一度反射されるものであり、
地上望遠鏡の既存の様々な装置で観測が行える。また月食中の月には地球大気を透過した太陽スペクトル(透
過光)が月により反射されて観測できる。最後に地球上を周回する衛星によるリモートセンシングデータの
利用が挙げられる。リモートセンシングではさまざまな量の地球表面における詳細なデータが手に入るが、
これを系外惑星応用するには、それらを結合したり、場合によっては放射伝達を解いてシミュレーションを
行ったりしなければならない。
3.5.1
地球照
地球照は図 3.19 のように、太陽光の当たらない月の暗い部分を観測することによって、月に当たって帰って
きた地球の反射光の観測を行う。地球照は、月から見た地球の昼側の部分が積分された反射光である。例え
ば月が三日月だった場合、地球照が含むのは、月から見て地球の (満地球-半地球) の部分からの反射光であ
る (図 3.20)。つまり地球から見て月の暗いところの形に対応する、月から見た地球の領域からの反射光が地
球照には含まれる。
地球照観測は、系外惑星の反射光による直接撮像の摸擬観測と考えられる。地球照自体は、地球による
反射光に月の反射率がかかったものが得られ、月の明るい面の観測では太陽光に月の反射率がかかったもの
が得られるので、これで地球照を割ることで反射アルベドが求まる。直接撮像との違いは、原理的には月の
反射率の分のみであるが、実際には地球照に月の明るい面から漏れ込み光が入ってくるため、これの評価を
しなくてはならない。また、地上観測の場合、地球大気による補正を行わないとならないが、地球照と大気
吸収の吸収線の位置が同じため注意を要する。
図 3.21 に地球照観測による地球の反射スペクトルを示す。水・酸素の吸収線がくっきりと見えることが
分かる。また短波長側で光度増加はレイリー散乱のためと考えられる。
50
Figure 3.19: 地球照観測の概念図(上)と系外惑星反射光の直接撮像の概念図 (下)
Figure 3.20: 月から見た地球と地球から見た月。Earth and Moon Viewer http://www.fourmilab.ch にて生
成した図を改変。
51
Figure 3.21: 地球照スペクトル。Enric Pallé によるデータの提供を受けて作成した。
3.5.2
月食
図 3.22 に示されているように、月食を用いて系外惑星の透過分光の摸擬観測を行うことができる。この観測
は実際に Enric Pallé らの画期的な論文 [60] で行われた。酸素など、多くの重要な吸収線は、地球照(すな
わち反射光)よりかなり深くなることが明らかになった。
52
Figure 3.22: 月食観測の概念図(上)とトランジット透過光の概念図 (下)
53
Chapter 4
惑星系の力学と幾何学
古典力学は太陽系惑星のケプラーの法則を説明する形でニュートンにより作られた。つまり惑星の運動は、
物理学の最も古典的な問題であり、それ故味わい深い。本章では、惑星の力学と幾何学、二体問題と円制限
三体問題を説明する。系外惑星は、大概の場合、惑星と恒星の二体問題で近似できるので、二体問題から得
られる軌道要素で特徴づけることができる。また、制限三体問題は、恒星ー惑星系において、惑星大気粒子
やダストなど惑星に付随する物質を無質量粒子とみなすことでこの問題系に帰着できるため、恒星に近い惑
星の大気散逸やトロヤ群と関係が深い。
4.1
二体問題
惑星と恒星の運動と軌道を考える。Murray and Correia (2010)[55] による導出が簡単である。 まず惑星と
恒星をそれぞれ質点と考え、惑星と恒星の間に働く力を重力だけと考えることで、物理学で最も古い問題の
一つ、二体問題となり、解析的に解くことができる。図 4.1 のように座標をとると、
m1 m2 r
F1 = m1 r¨1 = G 2
(4.1)
r
r
m1 m2 r
F2 = m2 r¨2 = −G 2
(4.2)
r
r
r ≡ r2 − r1
(4.3)
である。これから
r̈ = −G
m1 + m2 r
r2
r
(4.4)
となる。軌道角運動ベクトル
h ≡ r × ṙ
(4.5)
ḣ = ṙ × ṙ + r × r̈ = r × r̈
(4.6)
r × r̈ = 0
(4.7)
を考えると、
であり、式 (4.4) より
54
A
B
m2
r
m1
m1
m2
r2
r1
O
Figure 4.1: 二体問題座標系。
であるから、
ḣ = 0
(4.8)
となる。すなわち軌道角運動量ベクトル h は、二体問題上は保存量である。これは質点が h に直交する平面
(軌道面) 上の運動に制約されていることを意味する。
軌道面上の円座標系 er = (cos θ, sin θ)T と eθ = (− sin θ, cos θ)T で考える。r = rer であり、また ėr =
θ̇(− sin θ, cos θ)T = θ̇ eθ と ėθ = θ̇(− cos θ, − sin θ)T = −θ̇ ėr を用いると、
d
rer = ṙer + rėr = ṙer + rθ̇ eθ
dt
[
]
1 d 2
r̈ = (r̈ − rθ̇2 )er +
(r θ̇) eθ
r dt
ṙ =
(4.9)
(4.10)
となる。
式 (4.9) より、軌道角運動量ベクトルは
h ≡ r × ṙ = (rer ) × (ṙer + rθ̇eθ ) = r2 θ̇eϕ
(4.11)
となることがわかる。軌道角運動量はこのノルムなので
h = |h| = r2 θ̇
(4.12)
となる。惑星と恒星を結ぶ直線が単位時間に掃く面積は
∆A =
1 2
r ∆θ
2
(4.13)
であるから
Ȧ =
h
2
55
(4.14)
で一定となる (ケプラーの第二法則)。同様に速度の自乗は
v 2 = ṙ · ṙ = ṙ2 + r2 θ̇2
(4.15)
と求まる。
また式 (4.10) を用いて運動方程式 (4.4) の動径成分は
r̈ − rθ̇2 = −
G(m1 + m2 )
r2
(4.16)
となる。
一応、ラグランジアンを用いた解法も併記しておく。重心を原点にとった時のラグランジアンは、換算質
−1 −1
量 µ = (m−1
を用いて、
1 + m2 )
L=T −U =
m1
m2
m1 m2
µ
m1 m2
|r˙1 |2 +
|r˙2 |2 + G
= [ṙ2 + (rθ̇)2 ] + G
2
2
r
2
r
(4.17)
となる。ラグランジュ方程式
(
)
d ∂L
−
dt ∂ ṙ
(
)
d ∂L
−
dt ∂ θ̇
∂L
∂r
∂L
∂θ
= 0
(4.18)
= 0
(4.19)
より、式 (4.16) と角運動量保存がそれぞれ導出される。
さて式 (4.16) を変数変換 u ≡ 1/r する。hu2 = θ̇、 dr
dt =
dr
2
dθ hu
= −h du
dθ を用いて、
G(m1 + m2 )
d2 u
+u=
dθ2
h2
(4.20)
となる。これは非斉次二階微分方程式であり、斉次解は
uh = c1 cos θ + c2 sin θ = C1 cos (θ − C2 )
(4.21)
のように書くことができる。非斉次解は明らかに
ui =
G(m1 + m2 )
h2
(4.22)
であり、これらを足しあわせたものが一般解である。G(m1 + m2 )/h2 をくくり出し、積分定数項を e, ω と
した一般解は
u=
G(m1 + m2 )
[1 + e cos (θ − ω)]
h2
(4.23)
r=
1
h2
G(m1 + m2 ) 1 + e cos (θ − ω)
(4.24)
とかける。r = 1/u に戻すと、
(4.25)
56
Figure 4.2: 楕円。
ところで、図 4.2 のような楕円を考えてみよう。楕円なので
r + r′ = 2a
(4.26)
(r′ )2 = (xp + 2ea)2 + yp2 = (r cos θ + 2ea)2 + (r sin θ)2
(4.27)
が成り立つ。また座標から
となる。式 (4.27,4.27) から r′ を消去すると、楕円の conic 方程式
r=
a(1 − e2 )
1 + e cos θ
(4.28)
が得られる。
長半径 a、短半径 b、また true anomary f を
h2
G(m1 + m2 )
b2
f
= a(1 − e2 )
(4.29)
= a2 (1 − e2 )
≡ θ−ω
(4.30)
(4.31)
と定義すれば、式 (4.24) は conic 方程式の形
r=
a(1 − e2 )
1 + e cos f
(4.32)
になることから、2体問題の解が楕円になることが確認される (ただし 0 ≤ e < 1 とする)。また true anomaly
f は、periastron(近日点の太陽を恒星に変えたもの)から測った恒星惑星の角度に対応することが分かる。
57
ω は the argument of periastron と呼ばれる量で conic 方程式 (4.28) で表される楕円を半時計回りに ω 回転
したということを表している。
ところで Ȧ は一定であるから楕円面積
A = πab =
h
P
2
(4.33)
とかける。ここに P は公転周期である。これを変形すると
P2 =
4π 2
a3
G(m1 + m2 )
(4.34)
となる。公転周期の自乗は質量に反比例、軌道長半径の3乗に比例することが分かる
(ケプラーの第三法則)。
√
円軌道の場合、公転角速度は 1/ G(m1 + m2 )a であることも分かる。
後々の表記のために mean motion n を
n≡
2π
P
(4.35)
とおく。h との関係は、式 (4.29) と式 (4.34) より
h = na2
√
1 − e2
(4.36)
となっている。
4.1.1
三次元空間上の二体運動
これまで軌道平面の二次元空間上に座標をとって話しを進めてきたが、軌道を確定するには、惑星系の軌道
角運動量ベクトルの方向が取りうる自由度がさらに二次元分ある。これを図 4.3 に表示されるように、観測
者からみた傾き i を orbital inclination、azimuth 方向の定義を longitude of ascending node Ω で指定する。
これら a, e, ω, f, i, Ω の六つのパラメタを指定すれば、二体問題の軌道が一意に決定される。
これらの回転を回転行列で表してみよう。まず、元となる楕円は conic 方程式 (4.28) であらわされる図
4.2 のものとしよう。z 軸を紙面に垂直にとるとする。
• conic 方程式 (4.28) を z 軸周りに反時計回りに ω 回したものが二体問題の楕円の方程式 (4.32) であっ
た。
• 次に x 軸周りに反時計方向に i 回すと軌道面が天球に対して i 傾く事になる。
• 最後に z 軸周りに Ω、つまり天球の azimuth 方向の回転の自由度が残る。
これらの回転行列を順に楕円を表す (r cos f, r sin f, 0) に対してかけると、三次元空間上での軌道は
X
Y
= r(cos (f + ω) cos Ω − cos i sin (f + ω) sin Ω)
= r(cos i cos Ω sin (f + ω) + cos (f + ω) sin Ω)
(4.37)
(4.38)
Z
= r sin i sin (f + ω)
(4.39)
となる。
58
Figure 4.3: 軌道と角度の定義。
59
4.1.2
二体問題を時間について解く
前前節では二体運動の軌道が楕円になる事やケプラーの第三法則を導いたが、軌道や視線速度の時間変化を
知るためには、二体問題を時間について解かないととならない。もう一度二次元に戻って、まず r について
の二体問題の時間微分方程式を導こう。速度の自乗、つまり式 (4.15) を r だけの関数と r と ṙ の関数の二通
りに表現する事でこれを導く。true anomaly f = θ − ω の微分は、f˙ = θ̇ なので式 (4.15) は
v 2 = ṙ2 + r2 f˙2
(4.40)
となる右辺を r と ṙ だけの式にするには、角運動量 h = r2 θ̇ = r2 f˙ を用いれば
v 2 = ṙ2 +
h2
r2
(4.41)
となる。
次に r だけの式で表現するには、まず二体問題の conic 方程式 (4.32) を用いる。時間に依存する項を明
示して再掲すると
r(t) =
a(1 − e2 )
1 + e cos f (t)
(4.42)
である。式 (4.40) の右辺を f の関数だけで書き、最後に conic 方程式で r だけの関数に書き直す方針である。
r(t) の時間微分は
[
]
d
a(1 − e2 )
ṙ(t) = f˙
df 1 + e cos f (t)
a(1 − e2 )e sin f (t)
= f˙
[1 + e cos f (t)]2
rf˙e sin f (t)
=
1 + e cos f (t)
(4.43)
これから h = r2 f˙ と再度 conic 方程式を用いて f˙ と r を消去すると
ṙ
=
=
h e sin f
r 1 + e cos f
h
e sin f
a(1 − e2 )
(4.44)
となることが分かる。これで式 (4.40) 右辺の第一項を f のみで書けた
式 (4.40) 右辺の第二項は、式 (4.43) に式 (4.44) で ṙ を消す事で
1 + e cos f
rf˙ = ṙ
e sin f
h
=
(1 + e cos f )
a(1 − e2 )
(4.45)
となる。さてこれでめでたく式 (4.40) は
v2
=
=
h2
(1 + 2e cos f + e2 )
− e2 ) 2
(
)
h2
2 1
−
a(1 − e2 ) r
a
a2 (1
60
(4.46)
となる事が分かった。
式 (4.41) と合わせて時間微分方程式は
h2
h2
−
r2
a(1 − e2 )
ṙ2 +
(
2 1
−
r
a
)
=0
(4.47)
となる。さてここまできて何だが、この微分方程式はまともには解けそうにない。ここで魔法の変数変換
eccentric anomaly E を
r = a(1 − e cos E)
(4.48)
のように定義する。
Ė =
ṙ
ae sin E
(4.49)
であることに注意して、微分方程式 (4.47) を書き換えると
Ė
=
=
h2
1
√
a2 1 − e2 1 − e cos E
n
1 − e cos E
(4.50)
が得られる。この微分方程式の解は
E − e sin E = n(t − t0 ) ≡ M
(4.51)
であることが容易に確かめられる。ここに M は mean anomaly と呼ばれる量である。mean anomaly は周
期が分かっている時に時間の代わりに扱うと便利である。さてこれで間接的に式 (4.51) と式 (4.48) を通じ
て、二体問題の時間微分方程式が解けた事になる。
与えられた M に対し式 (4.51) から E を解くためには数値解法を用いるしか無い。Newton-Raphson 法
や Markley の手法 [47] などを用いよう。後者は PyAstronomy などでコードが配布されているので効率的に
解く事ができる。
4.2
円制限三体問題
主星と惑星が重心の周りを円運動している場合を考える。ここに質量ゼロのテスト粒子を置いた時にどのよう
な運動をするか、という問題が円制限三体問題問題である。テスト粒子 P の慣性系での座標を r = (x, y, z)T
とおき、点 P からの主星、惑星からの距離ををそれぞれ r1 , r2 と置く 1 (図 4.4)。この慣性系における点 P は
運動方程式
r̈ =
Gm1 r1 − r Gm2 r2 − r
+ 2
r12
r1
r2
r2
(4.52)
に従う。
さて、座標系を重心を回転中心とし、主星と惑星の公転速度に同期させ、回転軸を Z 軸方向、主星と惑星を
X 軸上においた回転座標系 R = (X, Y, Z)T をとる。この回転座標系における主星の座標は R1 = (−µ2 a, 0, 0)、
1 前節と同じ記号で定義を変えているが、見やすさのためなのでご勘弁願いたい。
61
Figure 4.4: 円制限三体問題の座標系
惑星の座標は R2 = (µ1 a, 0, 0) となる。ここに µ1 = m1 /(m1 + m2 )、µ2 = m2 /(m1 + m2 ) である。このと
き角速度 n は
n≡
とおく。回転行列を
2π
P
(4.53)


cos nt − sin nt 0
0 
Q ≡  sin nt cos nt
0
0
1
(4.54)
で定義すれば、もとの座標系 r = (x, y, z)T と R = (X, Y, Z)T の関係は
となる。ここに
r = QR
ṙ = Q(Ẋ − nY, Ẏ + nX, Ż)
(4.55)
(4.56)
r̈ = Q(Ẍ − 2nẎ − n2 X, Ÿ + 2nẊ − n2 Y, Z̈)
= Q(R̈ − 2nS− Ṙ − n2 S+ R)
(4.57)
(4.58)


1 0
0
S± ≡  0 ±1 0 
0 0
0
(4.59)
である。これを用いて式 (4.52) を回転座標系で書き直すと、
R̈ − 2nS− Ṙ
= −
∂U
∂R
(4.60)
となる (R = |R|)。ここに U は回転系に置ける擬ポテンシャルと呼ばれるもので
n2 =
4π 2
G(m1 + m2 )
=
2
P
a3
62
(4.61)
を用いると、
U
n
Gm1
Gm2
− R2 −
−
2
r1
r2
2
G(m1 + m2 )R
Gm1
Gm2
= −
−
−
2a3
r1
r2
≡
(4.62)
(4.63)
となる。ここに第一項は遠心力ポテンシャルである 2
さて、m1 を恒星、m2 を惑星だと思って、U を
U0 ≡ −
Gm1
a
(4.64)
の絶対値で規格化し、恒星惑星の質量比 Q ≡ m1 /m2 の関数としてこの擬ポテンシャル
U/|U0 | =
−
(1 + Q)(R/a)2
1
Q
−
−
2
r1 /a r2 /a
(4.65)
を見てみよう。図 4.5 は、恒星惑星質量比 Q = 1/10 の時の擬ポテンシャル U/|U0 | を示している。赤点、緑
点がそれぞれ恒星、惑星に対応している。
Figure 4.5: 恒星惑星比 Q = 1/10 の時の擬ポテンシャル U/|U0 |。左は等高線で赤点、緑点がそれぞれ恒星、
惑星に対応している。白円はヒル半径。平衡点(ラグランジュ点)は青点で示されている。右は同じものを
3D プロットしたもの。
2 本書での
U は、Solar System Dynamic では U ∗ と表記されている。
63
4.2.1
ラグランジュ点と Hill Radius
図 4.5 より、擬ポテンシャルには、軌道面(X-Y )面上に
∂U
=0
∂R
(4.66)
となる点が幾つか存在する事が分かる。式 (4.60) より、回転座標系において R̈ = 0 かつ Ṙ = 0 である点は、
式 (4.66) を満たす点と一致する。すなわちこれらの点は回転座標系における平衡点であり、ラグランジュ点
と呼ばれる。鞍点である L1 , L2 , L3 と極大点である L4 , L5 が存在する。
次にこれらラグランジュ点の位置を考えてみよう。式 (4.62) から R を消去する。余弦定理から
r22
r12
= R2 + (µ1 a)2 − 2Rµ1 a cos α
= R2 + (µ2 a)2 − 2Rµ2 a cos (π − α)
= R2 + (µ2 a)2 + 2Rµ2 a cos α
(4.67)
(4.68)
である。ここに α は、考えている位置と重心と惑星のなす角度である。µ1 + µ2 = 1 に注意し、式 (4.67)×µ2 +
式 (4.68)×µ1 を計算すると、
µ1 r12 + µ2 r22
=
=
(µ1 + µ2 )R2 + µ1 µ2 (µ1 + µ2 )a2
R2 + µ1 µ2 a2
(4.69)
となる。この関係をもちいて式 (4.62) から R を消去すると、
U =−
Gm1 2 Gm1
Gm2 2 Gm2
Gµ
r −
−
r −
+
2a3 1
r1
2a3 2
r2
2a
(4.70)
となる (µ は換算質量)。
ラグランジュ点を求めるために式 (4.66) の X,Y についての偏微分を r1 、r2 についての偏微分に書き直
す。すなわち、
∂U
∂X
∂U
∂Y
=
=
∂U ∂r1
∂U ∂r2
+
=0
∂r1 ∂X
∂r2 ∂X
∂U ∂r1
∂U ∂r2
+
=0
∂r1 ∂Y
∂r2 ∂Y
(4.71)
(4.72)
を計算する。U の偏微分は式 (4.70) から簡単に計算できる。その他の項は、
r12
= (µ2 a + X)2 + Y 2
(4.73)
r22
= (X − µ1 a) + Y
(4.74)
2
2
を利用して、これらを X や Y で微分する事で求める事ができる。
(
)(
) (
)(
)
∂U
Gm1
Gm1
Gm2
Gm2
X + µ2 a
X − µ1 a
=
− 3 r1 + 2
+ − 3 r2 + 2
=0
∂X
a
r1
r1
a
r
r2
(
)( ) (
) (2 )
Gm1
Gm1
Gm2
Gm2
∂U
Y
Y
=
− 3 r1 + 2
+ − 3 r2 + 2
=0
∂Y
a
r1
r1
a
r2
r2
を満たす X, Y がラグランジュ点となる。
64
(4.75)
(4.76)
まず Y ̸= 0 の場合、r1 = r2 = a ならば両式を満たすことがわかる。これを式 (4.73) と式 (4.74) にいれ
て整理すると、
1 m1 − m2
a
X=
(4.77)
2 m1 + m2
となる。また、同じ式に X を戻して、
√
3
Y =±
a
(4.78)
2
となる。すなわちこの二解は L4 と L5 を示している。主星と惑星の間の距離が a であることを思い出すと、
主星・惑星・L4(L5) は正三角形の形を構成する事が分かる。太陽-木星の制限三体問題における L4 と L5 の
近辺にはトロヤ群と呼ばれる小惑星の集団が存在しているのがしられている。系外惑星でもケプラー衛星の
光度曲線解析からトロヤ群探査が行われているが私の知る限り確実な発見例はいまだない。
次に Y = 0 の場合を考えよう。この場合、式 (4.76) は満たされるので式 (4.75) のみを考えれば良い。い
ま Y = 0 なので式 (4.73) および式 (4.74) から
• L1: r1 = X + µ2 a、r2 = µ1 a − X
• L2: r1 = X + µ2 a、r2 = X − µ1 a
• L3: r1 = −X − µ2 a、r2 = µ1 a − X
の3通りが考えられる。ここに r1 = −X − µ2 a、r2 = X − µ1 a の場合がないのはと r1 > 0、r2 > 0 という
条件のためである。
例えば L1 の場合、式 (4.75) と r1 + r2 = a より
)
(
) (
Gm1
Gm1
Gm2
Gm2
=0
− 3 (a − r2 ) +
−
−
r
+
(4.79)
2
a
(a − r2 )2
a3
r22
を r2 について解く事になるが、これは大変である。代わりに r2 ≪ a の場合を考えてみよう。式 (4.79) は次
のように変形できる。
( r )3
1 − r2 /a + (r2 /a)2 /3
m2
2
=
(4.80)
3m1
a
(1 + r2 /a + r22 /a2 )(1 − r23 /a3 )
L2 の場合も同様に r1 − r2 = a に気をつけて
( r )3 1 + r /a + (r /a)2 /3
m2
2
2
2
=
3m1
a
(1 + r22 /a2 )(1 − r23 /a3 )
となる。すなわち、r2 ≪ a では L1、L2 共に
(
)1/3
m2
r2 ≈
a ≡ RH
3m1
(4.81)
(4.82)
となる事を意味している。この長さを Hill Radius(ヒル半径) という。
もう一度、図 4.5 の右をみてみると、Hill Radius は惑星まわりの擬ポテンシャル障壁の最小値 (L1,L2)
までの距離をあたえることがわかる。この意味で擬ポテンシャルを有効ポテンシャルとも言う。すなわち、
たとえば惑星の大気がヒル半径を超えると、大気の大規模な流出がおこることがわかる。
また、この擬ポテンシャルの概念は連星系の進化でも重要である。連星系の場合、片方の連星が進化し
半径が大きくなると、L1 の障壁を乗り越えてもうひとつの連星のポテンシャルの側に流れだす。L1 と L2 に
囲まれるポテンシャル全体を満たすガスの塊を Roche lobe といい、Roche lobe からガスが流れだす現象を
Roche-lobe overflow という。この意味で Hill Radius は Roche Radius とも呼ばれる。
65
Chapter 5
系外惑星の観測手法
太陽系外惑星の研究は、1995 年の視線速度法 (図 5.1 左) による最初の発見 [51] 以来、主星に刻み込まれた
惑星のシグナルを観測する間接観測によって牽引されてきたと言っても良い。また、21世紀に入ってから
は、主星の前面を惑星が通過することによっておこる主星の減光を検出するトランジット法 (図 5.1 中) を用
いることで、COROT や Kepler といった衛星計画で夥しい数の系外惑星が発見された。
系外惑星の発見・観測手法については、どのように惑星のシグナルが刻まれるかで大まかに三つに分け
ることができる。
• 主星の運動 (視線速度変動、アストロメトリ)
• 主星フラックスの変動 (トランジット法、マイクロレンジング)
• 惑星光・運動の検出 (直接撮像、Phase curve、惑星視線速度)
視線速度法は惑星による主星のふらつきを視線方向の運動として検出する。具体的には主星光に刻まれ
た分子吸収線のドップラー偏移を観測する。視線速度法は 1995 年にマイヨールとケロズが初めて系外惑星
を発見した時に用いられた方法であり、その後も惑星探査における中心を占めている。
視線速度法では主星の視線方向の揺れを検出するが、天球面上で恒星の位置が精密に測定できれば、天球
面上方向の揺れを検出することで惑星を検出できる。この方法をアストロメトリ法という。系外惑星探査は
もともとアストロメトリ法での探査が盛んであったがこの方法は現在であっても非常に難しい。しかし 2013
年に打ち上げられた Gaia 衛星により、アストロメトリが再び系外惑星探査の表舞台に戻ってくる可能性が
高い。
視線速度法による最初の発見の約五年後、シャルボノーらによって、惑星が恒星の前面を通過する際に
できる減光が観測された。この減光による惑星探査法をトランジット法という。現在では、トランジット法
の専用衛星ケプラーにより目覚ましい数の惑星が発見されている。
これら二つの方法は、軌道長半径 0.05 AU という恒星のすぐ近くを回る Close-in Planets でまず成功し
た。Close-in Planet のような太陽系にはない極端な惑星があるとわかっていれば、系外惑星はいつ見つかっ
てもおかしくなかった。ここでひとつ引用しておきたいのは、すでに 1952 年に Otto Struve によって、この
ような惑星が存在したならば視線速度やトランジットでみつかるだろう、という予言がなされていたことで
ある [77]。この論文には”But there seems to be no compelling reason why the hypothetical stellar planets
should not, in some instances, be much closer to their parent stars than is the case in the solar system.”
とあり、視線速度法とトランジット法の二つについて言及されている。素晴らしい洞察力であると言えよう。
66
Figure 5.1: 視線速度法(左)、トランジット法(中)、直接撮像(右)の概念図
また観測者と星の間に惑星を持った星が通過する際に起こる増光曲線から惑星を探すことも行われてい
る。この増光は通過する主星と惑星の重力により光が曲げられる重力レンズ現象で引き起こされ、一般にマ
イクロレンジングと呼ばれる。マイクロレンジング現象は、ボーダンパチンスキーによって暗黒物質の候補
であった Massive Compact Halo Object (MACHO) の探査法として提案されたものが、系外惑星探査にも
応用され、2003 年に初の検出がなされた。マイクロレンジングによって発見された惑星は追観測が極めて困
難であることから、個々の系外惑星探査よりは惑星の統計的な議論に向く。
上で述べた方法は、恒星光に刻まれた惑星のシグナルを間接的に検出していると言う意味で、のように
まとめて呼ばれることがある。恒星の光を遮蔽し、惑星光を直接観測する「直接撮像」(図 5.1 右) は惑星そ
のものの性質を調べるキャラクタリゼーションの本命であるが、まだ開発途上である。また恒星と惑星の光
を空間的に分離できなくても、惑星光が強い場合、惑星光の情報を引き出すことが可能である。このような
場合も直接観測に含むことがある。
図 1.2 には、それぞれの検出方法により検出された系外惑星を軌道長半径・質量で示してある。この図か
ら分かるようにトランジット法は恒星に近い場所、直接撮像法では現状では恒星から遠い場所、視線速度法
でトランジットより広い範囲で惑星検出が出来る。またマイクロレンジング法ではより小さな質量の惑星の
検出に向いている。
以下では、視線速度法、トランジット系、マイクロレンズ現象、直接撮像、高分散分光による方法を解
説する。パルサープラネットの検出法であるパルサータイミング法の解説は省略したので、これらについて
は他書を参照していただきたい。
5.1
視線速度法
系外惑星の発見とその後の 10 年の惑星発見ラッシュは、視線速度法が牽引したといっても良い。惑星の公
転がもたらす主星の揺れを、恒星スペクトル中に多数存在する原子・分子の吸収線の中心波長のずれ、すな
わちドップラー偏移を検出するのでドップラー法とも呼ばれる。図 5.2 は、初めて発見された系外惑星であ
るホットジュピター 51 Peg b の視線速度データである。約 50 m/s 程度の amplitude で 4.2 日毎に視線速度
67
Figure 5.2: 51 Peg b の視線速度データ。Wikipedia より転載。
がサインカーブ的に変動している。
5.1.1
光のドップラー効果
特殊相対論を用いて光のドップラー効果を考えよう [54]。図 5.3 のように2つの慣性系を用意し、観測者 S
系に対し、恒星系 S ′ が速度ベクトル v で x 軸方向に動いているとする。S ′ 系で周波数 f ′ で発せられた平面
波が S 系で見た時、法線ベクトル n 方向に周波数 f でやってくるとする。このとき x 軸との角度を α とす
る。この時、平面波 sin ϕ の位相を両方の系で記述すると
(
)
(
)
x cos α + y sin α
x′ cos α′ + y ′ sin α′
′
′
ϕ = 2πf t −
(5.1)
= 2πf t −
c
c
が成り立つ。この式に対しローレンツ逆変換
t = γ(t′ + vx′ /c2 )
x = γ(x′ + vt′ )
y = y′
= z′
z
(5.2)
(5.3)
(5.4)
(5.5)
をもちいて t, x, y を消去する (v = |v|)。ここに
γ
β
≡
√
1
1 − β2
≡ v/c
68
(5.6)
(5.7)
Figure 5.3: 光のドップラー効果のための座標系。
である。すると
[f γ(1 − β cos α) − f ′ ]ct′ + [f ′ cos α′ − f γ(cos α − β))]x′ + (f ′ sin α′ − f sin α)y ′ = 0
(5.8)
となる。これが任意の t′ , x′ , y ′ で成り立つためには各項の係数がゼロになるべきなので、t′ の項から、観測
者の周波数 f と恒星系での固有周波数 f ′ の関係式
f
1
f′
γ(1 − β cos α)
√
1 − (v/c)2 ′
f
1 + vr /c
=
=
(5.9)
(5.10)
が得られる 1 。二個目の変形は、視線速度は vr = −v · n = v cos α であることを用いた。vr = 0 であっても
β 2 のオーダーで周波数が短くなるが、これは特殊相対論の時間遅延効果を示している。
これを観測波長 λ と固有波長 λ0 の関係に直すと、
λ
=
のようになることがわかる。
系外惑星の場合、通常 v ≪ c より
λ
≈
1 + vr /c
√
λ0
1 − (v/c)2
(
1+
vr )
λ0
c
(5.11)
(5.12)
となる。このように観測者と恒星の相対視線速度 vr と元の波長・観測波長の間に関係がついたことがわか
る。つまり観測波長の変化を観測すれば、視線速度の変動がわかることになる。
1 式 (5.9) と x′ の係数から f ′ cos α′ − f γ(cos α − β) = 0 を用いると、y ′ の係数の f ′ sin α′ − f sin α = 0 が導出されるが、これ
は式 (5.1) で光速不変性を暗に仮定したからである。
69
5.1.2
円運動の場合
次に恒星の視線速度の変動がどの程度なのか見積もってみよう。まず、簡単に主星と惑星一個の連星系で円
軌道を回っているとしよう。主星、惑星質量をそれぞれ M⋆ 、Mp とし、主星と惑星の位置を r⋆ , rp とする。
この系の重心 ro は
ro =
M⋆ r⋆ + Mp rp
M⋆ + Mp
(5.13)
である。重心から測った主星と惑星の位置 r̂⋆ = r⋆ − ro , r̂p = rp − ro 、また主星-惑星間距離を r̂ = r̂⋆ + r̂p
とすると
r̂⋆ =
Mp
r̂
M⋆ + Mp
(5.14)
となる。いま円軌道であるので r̂ は軌道長半径 a と同一 (r̂ = a) である。重心系から見た主星の速度 v⋆ は公
転角速度 Ω を用い、
√
√
√
2π
G(M⋆ + Mp )
G
G
v⋆ = r̂⋆ Ω = r̂⋆
= r̂⋆
=
M
∼
M
(5.15)
p
p
P
a3
(M⋆ + Mp )a
M⋆ a
√
となる。上記では式 (4.34) より、Ω = 2π/P = G(M⋆ + Mp )/a3 を用いている。
惑星の公転軌道が観測者に対して軌道傾斜角 i 傾いているとすると、視線速度は、恒星系と観測者の相対
視線速度に加え、v⋆,r (t) = v⋆ sin i sin (Ωt) のような正弦カーブの変動成分が加わることになる。これがドッ
プラー偏移となって観測される。そこで視線速度は semiamplitude
√
G
K⋆ = v⋆ sin i = Mp sin i
= (2π)1/3 Mp sin i G1/3 (M⋆ + Mp )−2/3 P −1/3
(5.16)
(M⋆ + Mp )a
√
を観測量としてを定義すると便利である. 最後の変形は周期 P = 4π 2 a3 /G(M⋆ + Mp ) を用いた。これか
らドップラー法のみだと惑星質量には軌道傾斜角 i の不定性が残り、Mp sin i の形でしか質量推定がされな
いことがわかる。
さて視線速度測定の現在の精度は 1 m/s 程度であるが、系外惑星系の典型的な視線速度をみておく。ま
ずホットジュピターの場合、典型的には 0.05AU 程度のところを回っているので
(
K⋆ = 130
Mp sin i
MJ
)(
M⋆
M⊙
)−1/2 (
)−1/2
a
[m/s]
0.05AU
(5.17)
と ∼100 m/s 程度の視線速度になる。これは波長のずれに変換すると式 (5.12) より、
∆λ
vr
=
∼ 3 × 10−7
λ
c
(5.18)
ということになる。高分散分光器でも R ∼ 105 程度であるが、吸収線の中心値の決定精度はこれより良いこ
√
と、多数の吸収線 (N 本とする) を用いることで、 N に比例して精度が改善することを利用し、測定が可
能になる。ただし観測時間中に波長キャリブレーションが変動しないよう気体のライン吸収を利用したヨー
ドセルや周波数コムを使って参照の線を入れることが視線速度測定の重要なテクニックとなっている。
70
1 AU の周りを回る地球質量だと
(
K⋆ = 0.1
Mp sin i
M⊕
)(
M⋆
M⊙
)−1/2 (
a )−1/2
[m/s]
1AU
(5.19)
と、0.1 m/s と小さく、さらに検出は難しくなってくる。晩期星回りのハビタブルゾーン内の惑星検出とい
うことになると、a、M⋆ 共にこれよりひと桁程度小さくなるので、視線速度もひと桁程度大きくなり緩和さ
れる。
5.1.3
視線速度カーブ
上記では円軌道を仮定していたが、ここでは二体問題の場合に視線速度カーブがどうなるかちゃんと見てみ
よう。まず、観測者から恒星への位置ベクトルは重心までの位置ベクトル ro を用いて
r⋆ = ro + r̂⋆
(5.20)
である。恒星の視線速度はこの時間微分の Z 方向への単位ベクトル eZ と内積をとったものだから、
vr = Vsys + r̂˙ ⋆ · eZ
(5.21)
ここに Vsys は系の特異速度である。
M⋆ r̂⋆ + Mp r̂p
=
M⋆ r̂⋆ + Mp (r̂⋆ + r̂) = 0
(5.22)
であるから
r̂⋆ =
Mp
r̂
M⋆ + Mp
(5.23)
であり、式 (5.21) は
vr = Vsys +
Mp
r̂˙ · eZ
M⋆ + Mp
(5.24)
ここに二体運動の結果をそのまま用いるために r̂ = r⋆ − rp と定義したが、この r̂ は、§4.1 の r に対応させ
れば、そのまま §§4.1 の二体問題の定式化を用いる事ができる。すると r̂˙ ⋆ · eZ は、§4.1 の三次元座標系の Z
成分の時間微分 Ż に対応する事になる。
すなわち式 (4.39) を用いて
vr
= Vsys +
Mp
Ż
M⋆ + Mp
(5.25)
となる。
Ż
d
[r sin i sin (f + ω)]
dt
= ṙ sin i sin (f + ω) + rf˙ sin i cos (f + ω)
=
71
(5.26)
であり、式 (4.44) と式 (4.45) から、これは式 (4.29) を用いて、
vr
Mp
h sin i
[cos (f + ω) + e cos ω]
M⋆ + Mp a(1 − e2 )
√
Mp sin i
G
= Vsys + √
[cos (f + ω) + e cos ω]
2
(M
+
M⋆ )a
1−e
p
= Vsys +
(5.27)
(5.28)
となる。まとめると
vr
K⋆
= Vsys + K⋆ [cos (f + ω) + e cos ω]
√
Mp sin i
G
≡ √
2
(M
+
M⋆ )a
1−e
p
(5.29)
(5.30)
が二体問題の視線速度カーブとなる。つまり eccentricity がある場合の semi amplitude は係数に (1 − e2 )−1/2
がかかる修正が加わるだけである。
さて、この解を時間の関数で書きたい。§4.1.2 のときのように、時間 t から周期が分かると mean anomaly
M かわかる。M から eccentric anomaly E は微分方程式の解である式 (4.51) を数値的に解く。E と f の関
係は式 (4.48) と二体問題の conic 方程式 (4.32) から
cos f =
cos E − e
1 − e cos E
(5.31)
となる。これらにより、式 (5.29) を数値的に時間で書きなおす事ができる。
図 5.4 は幾つかの視線速度カーブと対応する楕円軌道を書いたものである。ケプラー第二法則より天体が
近点付近に来た時に急速に視線速度カーブが変化するのをイメージできるだろう。
5.1.4
視線速度法の制限要因
視線速度法では、典型的には波長分解能 R ≡ λ/∆λ が数万の高分散分光を行い、恒星スペクトル中の吸収
線の中心波長を測定する。このため十分な光量が得られない遠くの星や温度が低く暗い星では難しい。ケプ
ラー衛星のトランジット天体に対して視線速度法を用いる事ができるのがごく一部であるのはこれが原因で
√
ある。吸収線の数を N とすると視線速度決定の精度は N に比例するので、吸収線数が少ない高温星も視
線速度測定は難しくなってくる。さらに恒星が高速回転していると吸収線の中心波長決定精度が悪くなるた
め、若い恒星でも視線速度測定は難しくなる。以上は統計誤差の問題であるが、系統誤差が問題になってく
る場合もある。典型例が、恒星活動による黒点による視線速度の乱れ (jitter) である。
5.2
アストロメトリ法
視線速度法では、軌道運動による恒星の視線方向速度を検出したのに対し、アストロメトリ法では恒星の天
球面上での軌道運動による移動を高精度に測定することで惑星を検出する。まず恒星系の重心が天球面上で
どのように移動するか考えよう。地球から見た天球面上での恒星系重心の動きは、地球が太陽のまわりを回
ることによる見かけの運動 (2.1.1 章参照) と恒星系重心の直線運動(固有運動)の和となる。すなわち、視差
による楕円運動+固有運動が天球面上での恒星系重心の動きとなる。すなわち、恒星系重心を恒星の重心と
みなせるとき、アストロメトリの基本パラメタは、ある観測時における恒星の天球面上での位置ベクトル、
72
normalized RV
normalized RV
3
2
1
0
1
2
3
0
3
2
1
0
1
2
3
0
e=0
e = 0. 5
2
2
4
6
e = 0. 8
8 10 12
4 6 8 10 12
Mean anomaly
Figure 5.4: 視線速度カーブ (左) と対応する軌道(右)。上段は ω = π/6, 下段は ω = π/2 である。線種は黒
実線が e = 0、黒点線が e = 0.5、灰色実線が e = 0.8 に対応している。右の楕円は i = π/2 の時に軌道を上
から見たものに対応し、下から上むきに視線方向をとると、視線速度カーブの恒星軌道、上から下向きにと
ると惑星の軌道に対応する。
73
固有運動ベクトル、年周視差 (楕円の長径) の5パラメタである。軌道運動はこの重心運動からのずれとして
検出される。
恒星と惑星の二体系の場合、重心からの恒星と惑星の距離の関係は、式 (5.23) より、重心からみた恒星
運動の楕円の軌道長半径 a⋆ は
a⋆ =
Mp
a
M⋆ + Mp
(5.32)
となる。
これを天球上での角度 α⋆ に直すと
α⋆
= a⋆ /d
(
= 1′′
(
)−1
d
a )
Mp
M⋆ + Mp
1au
1pc
(
)(
)−1 (
(
)−1
Mp
M⋆
a )
d
≈ 30 µ arcsec
MJ
M⊙
3au
100pc
)(
(5.33)
(5.34)
(5.35)
となる。最後の変形には Mp ≪ M⋆ を仮定した。このようにアストロメトリは軌道長半径に比例しシグナル
が大きくなるため、長周期惑星の検出に向いている。ただし、軌道周期と同程度の観測期間が必要なため、
おおよそ観測期間の周期に最大検出効率がくることがわかる。Gaia 衛星の精度は 30 µ arcsec 程度といわれ
ているため、周期数年のガス惑星が発見されるだろうと予測できる。
二体系の場合、天球上での軌道は、視線速度カーブの時と同様に、式 (5.23) と式 (4.37,4.38) より
θX,⋆
=
Mp
a (1 − e2 )
(cos (f + ω) cos Ω − cos i sin (f + ω) sin Ω)
M⋆ + Mp d 1 + e cos f
(5.36)
θY,⋆
=
Mp
a (1 − e2 )
(cos i cos Ω sin (f + ω) + cos (f + ω) sin Ω)
M⋆ + Mp d 1 + e cos f
(5.37)
となる。アストロメトリのみでケプラー軌道要素の決定が原理的に可能である。しかし、上の式で cos i sin (f + ω)、
cos f 、cos (f + ω) の項を変えないようにする変換、すなわち i′ = π − i, f ′ = 2π − f, ω ′ = 2π − ω という軌
道パラメタを採用しても天球上の軌道は不変である。この対称性、言い換えると、惑星が向かってきている
のか遠ざかっているのか、はアストロメトリのみでは知ることができない。
5.3
トランジット系
主星フラックスの変動にも惑星によるシグナルが含まれる。最も分かりやすいのは主星の前面を惑星が通過
する時にできる陰によるフラックス減少であるトランジット減光である (図 5.5)。トランジット系は逆に惑
星が主星の後ろに隠れることによる減光も観測されている。後者は secondary eclipse とか単に occlutation
と呼ばれている。
惑星がトランジットする確率は、円軌道かつ Rp ≪ R⋆ を仮定すると、図で示された領域であるから
(
)
R⋆
R⋆ ( a )−1
ptra = sin R⋆ /a ∼
= 0.005
(5.38)
a
R⊙
1 AU
となり、G 型星まわりのハビタブル惑星だと 0.5 %である。これは、すべての恒星系がハビタブル惑星を一
個ずつ持っているとしても、地球から 20 pc 以内のトランジットハビタブル惑星数の期待値が約一個に対応
する。M 型星では 1%強程度であり、同様に 7-8pc 以内に約一個の換算となる。
74
Figure 5.5: ホットジュピター Kepler 17b によるトランジット減光曲線の例。
Figure 5.6: トランジットして見える立体角方向(オレンジ)。外側球の半径は、惑星までの距離 d であるの
で、a ≪ d と見なせる。するとランダムな視線方向でオレンジの領域をとる確率は 4π sin θ/(4π) ≈ R⋆ /a と
なる。
5.3.1
トランジットライトカーブ
さてトランジットのライトカーブから、系外惑星系のどういった物理量が分かるのだろうか?まず複数回の
トランジットが観測されれば、
• 公転周期 P
75
を知ることができる。また、トランジット深さは、
• 惑星半径と恒星半径の比 k ≡ Rp /R⋆
の二乗となるので、この k を知ることができる。トランジットの継続時間から
• 惑星の通過時間(duration) Ttot
を知ることができる。さらに細かく見ると、もし恒星が一様に光っているという近似の元では、図 5.7a に示
されるように、ingress・egress 時もわかる。つまり惑星が恒星に入るとき出る時に、惑星が恒星に入り始め
てから、完全に出るまでの時間 tT と、惑星が完全に恒星の全面に入っている期間、tF が測定できるという
ように言い換えることもできよう。恒星は、実際は周辺減光 (Limb darkening) をしており、実際のライト
カーブは図 5.7b のようになる。そこで通常、周辺減光のモデル化を行うことで tT と tF も求めることがで
き、k がわかっているので、tT , tF から幾何学的に
• Impact parameter b = (R∗ /a) cos i
も知ることができる。もし視線速度の測定されているトランジット系が存在すれば、軌道傾斜角 i がわかっ
ているので惑星質量 Mp が求まり、恒星のスペクトル解析から R⋆ が推定されれば、惑星半径 Rp もわかる
ので、惑星の平均密度
ρp ≡
3Mp
4πRp3
(5.39)
が推定できるということである。これにより図
√ 2.2 のように系外惑星の大まかな分類が可能になった。
さて円軌道の場合、通過時間は Ttot = 2 1 − b2 R∗ /v である。ここに v は惑星の通過速度である。惑星
の質量を無視したケプラー第三法則
P2 =
4π 2 3
a
GM⋆
(5.40)
を v = 2πa/P であることに注意して変形すると
v 3 = 2πGM∗ /P
(5.41)
3
となるので、Ttot
∝ P/ρ∗ となり、周期・impact parameter がわかっていると、duration からは恒星密度 ρ∗
がわかることになる。逆にだいたいの duration を知っておくため b = 0 のときを書いてみよう。この場合、
(
Ttot
=
=
=
)1/3
3P
π 2 Gρ∗
(
)1/3 ( )−1/3
P
ρ∗
2.6h
3day
ρ⊙
(
)1/3 ( )−1/3
ρ∗
P
30h
12yr
ρ⊙
(5.42)
(5.43)
(5.44)
となる。二行目はホット・ジュピターの典型値で三番目は木星の場合を仮定している。このように周期が数
年以上になっていくと、duration が一日を超えるようになってくる。また、巨星の場合は、恒星密度が桁で
小さくなるので duration がやはり長くなる。
76
もう少しちゃんと解いてみよう。円軌道を仮定すると幾何的考察からから、
√
)
(
R∗ (1 + k)2 − b2
πtT
sin
=
,
P
a
sin i
√
(
)
πtF
R∗ (1 − k)2 − b2
sin
=
,
P
a
sin i
が得られる。ここで、sin (πtT /P ) ∼ πtT /P 、sin (πtF /P ) ∼ πtF /P と近似すれば、
√
t2T − t2F
R⋆
π
= √
sin3 i.
a
P
2 k
(5.45)
(5.46)
(5.47)
が得られる。さらに惑星の質量を無視したケプラー第三法則
P2 =
4π 2 3
a
GM⋆
(5.48)
を用い sin i ∼ 1 とすると、
P
=
πG M⋆
32 R⋆3
=
π2 G
ρ⋆
24
(
(
t2T − t2F
k
t2T − t2F
k
) 32
(5.49)
) 32
(5.50)
が得られる。最後の式で未知の量は、恒星の平均密度 ρ⋆ だけであり、トランジットライトカーブ解析から恒
星の平均密度という物理量が分かることが示される。
5.3.2
Kepler 衛星の高精度光度曲線による惑星探査とキャラクタリゼーション
ケプラー衛星は、10 万個以上の恒星の光度曲線を約 4 年にわたり取得し、トランジット法により数千個の惑
星または惑星候補を発見した画期的なミッションである。その測光精度は 0.01 パーセントのトランジット深
さの惑星、すなわち地球程度の半径の惑星を発見できるレベルまで到達している。このような高精度な光度
曲線が得られると、基本的なトランジットカーブを超えてさまざまな効果を用いて惑星の情報が得られる。
ある惑星のトランジットする周期やトランジットの長さが、他の惑星の重力的な摂動により変動する事が
ある。これらの現象は Transit Timing Variation (TTV), Transit Duration Variation (TDV) と呼ばれ、ケ
プラー宇宙望遠鏡の高精度トランジット観測で検出可能である。この方法で、光度曲線から質量が推定でき
る。また系外衛星の発見法としても有望視されているが、2016 年 4 月現在、系外衛星の確実な検出報告例
はない。また惑星リングもトランジットカーブに anomaly を刻むため、リング探査も行われている (Aizawa
et al. など)
恒星の光球面の非一様性は、周辺減光以外の効果でも生じうる。恒星表面の黒点が自転により準周期的な
光度曲線の変動をもたらす。黒点は生成消滅することと、恒星の緯度により自転速度が異なる (Differential
Rotation) ため、常に一定の周期で変動するわけではない。またトランジット中に黒点の前方を惑星が通過
する (Spot Crossing) と見かけのトランジット深さが局所的に浅くなる。さらに恒星の自転速度が速いと光
球面の場所による重力の違いから温度の違いが生じ、赤道付近では重力が弱くなるため局より暗くなる。こ
の Gravity Darkening とよばれる効果により標準のトランジットライトカーブからのずれが現れ、自転軸傾
斜などの情報が得られる [5, 50]。その他には、惑星による恒星の潮汐変形による光度変動である Ellipsoidal
Variation や相対論的ビーミングによる効果なども存在する。
77
Figure 5.7: トランジットライトカーブの幾何。a は恒星が一様に光っている場合のライトカーブ。実際は恒
星は淵側が暗いため (Limb darkening)、b のようなライトカーブとなる。
トランジットのタイミングは重力的な摂動以外にも、恒星+トランジット天体の系自体が、第三体目の天
体によって動かされるとき、光の移動時間の差が生じることによっても引き起こされる。この効果を Light
travel time effect (LTTE) もしくは Rømer delay2 といい、第三体目の質量が推定できる。また非トランジッ
ト天体でも、delta scuti 星のように周期的なパルスを出していると、同様の効果で、パルスの周波数が変調
される。この効果でも視線速度が測定可能である [73]。しかしこれらの方法では、木星質量よりは重い伴星
が検出されるため、通常は惑星というよりは低質量伴星の検出に用いられる。
ケプラー衛星のデータ中には通常の惑星トランジットや食連星によるトランジットでは説明できない変
わったものも発見されている。その一つが Rappaport ら [64] により発見された KIC 12557548 b である。こ
のトランジット現象は、深さがほぼ 0%から 1%の間を不規則に変動する。また平均の光度曲線は図 5.8 のよ
うに非対称である。これは現在のところ小さい惑星が破局的に蒸発し、その際吹き出したダストで影が作ら
れているという説が最も説得力があるようである。このシナリオに基づくと、光度曲線にみられる Bump 構
造はダストに寄る前方散乱を、tail 構造は吹き出したダストが放射圧を感じ、彗星のように尾を引くことで
生じると解釈される。KIC 12557548 b が蒸発惑星であるという確実な証拠はまだないが、透過分光観測に
2 Ole
Christensen Rømer は木星の衛星イオの食のタイミングにより、光の到達時間差からはじめて光速を算出した。
78
より波長依存性が報告されており (Bochinski et al. 2015)、食連星ではなさそうである。またもしこのよう
な大規模蒸発が起こっているとすると、そのエネルギー源がなにかが問題である。恒星の輻射光によるもの
説明 [61] や、黒点とトランジット深さの相関から、極紫外光による蒸発の主張 [33] などがある。さらに最近
ではより小さい似たようなトランジット形状の KOI 2700 b や K2 mission によるトランジット変動のある惑
星候補 K2-22b が発見された [63, 69]。このように Kepler 衛星のような宇宙での高精度測光からは、ライト
カーブそのものから惑星の性質ついてさまざまな情報が得られることがある。
Figure 5.8: ケプラー衛星による KIC 12557548 b の光度曲線
Single Transit Events
ケプラー衛星のような長期モニター観測では、通常、Box Least Square [41] と呼ばれる手法で惑星の検出を
行う。これは通常、観測期間に3回以上トランジットしたものが周期の決まる惑星候補として認識される。
このため例えば、観測期間が 4 年ほどのケプラー衛星ではだいたい周期 2 年未満くらいの惑星が探査対象に
なる。それより周期が長い惑星、太陽系でいう木星、観測期間中にせいぜい一回しかトランジットをおこさ
ない (Single Transit Event;STE; 単一減光現象) ことになる。式 (5.49) より、このような単一減光現象で
も、恒星の平均密度が分かれば(円軌道を仮定するものの)公転周期が分かる事がわかる。恒星の平均密度
は恒星の観測により推定できるが、より確実なのは内側に他の惑星を持っている場合である。この場合、内
側の惑星は公転周期が分かっているので恒星密度を導出できる。これをもちいて単一減光現象をおこした惑
星の周期をもう一度、式 (5.49) から推定できる。
図 5.9 は KOI 天体中の単一減光現象により発見された長周期トランジット惑星候補である。このような
複数惑星系に減光現象が見つかった場合、それが False positive である確率は極めて低いので、この単一減
光現象は、おそらく惑星によるトランジットである。
5.3.3
透過光分光
トランジット系では惑星由来のシグナルを検出する方法がいくつか存在し、実用化されている。ここでは単
色・多バンド測光もしくは低分散分光による方法を主として示す。トランジット系に高分散分光を適用する
手法は §5.6 にまとめてしめしたい。
トランジット半径を異なる波長で測定すること透過光分光という。この手法では、惑星大気の視線方向の
光学的厚さの波長依存性を測定できる。これは惑星大気に存在する分子種に依存するので、惑星大気の組成
を制約することが可能である。例えば、惑星大気中の分子や原子による強い吸収のある波長では、吸収の弱
い波長にくらべ、より大気の上層まで光が透過することを妨げられるので、トランジット半径はより大きく
なる (図 5.10)。
79
Figure 5.9: 内側に惑星候補のある KOI 天体中に単一減光現象により発見されたトランジット惑星 (最も右
のもの)。KOI-847 のみ二回トランジットがある。Uehara et al. (2016)[82] より改変。
ところで、トランジット半径は、惑星上のある基準面から高さ rc で光が水平に通過する方向(弦)の光
学的厚さ (τt (rc )) が 1 程度になる場所での半径である。これと大気モデルで有用な地面に垂直方向の光学的
厚さ τ (rc ) は積分方向が異なるため、厳密には一致しない。しかし両者の関係は、考えている大気層が惑星
半径に比べ薄い、等温などの仮定をおくと
√
2π(α + 1)rc
τt (rc ) ≈
τ (rc ),
(5.51)
H
のように表すことができる [11, 23, 67] 。導出は以下のように行う。まず等温の薄い大気モデル (詳しくは
§9.1.2 を参照) では、圧力分布は
)
(
r − R0
P (r) = P0 exp −
(5.52)
H
となる。H = kT /µmH g はスケールハイトと呼ばれる。基準面 R0 での圧力を P0 として境界条件とした。
80
Figure 5.10: opacity の異なる波長でのトランジット半径の違いの概念図。強い吸収を受ける波長 (左) では、
吸収の弱い波長 (右) に比べ、影となる領域つまりトランジット半径が大きくなる。
opacity が
κ = CP α
(5.53)
の形におけると仮定し、ρ(r) = µmH P (r)/kT に注意して、
∫ ∞
∫
τt (rc ) = 2
κ(r)ρ(r)dz = 2
=
∞
κ(r)ρ(r)
√
r dr
r2 − rc2
0
r
∫ ∞
(α+1)(r−R0 )
r
α+1 µmH
H
√
2CP0
e−
dr
2
kT rc
r − rc2
(5.54)
となる。r は惑星中心からの動径距離、 z は水平方向の弦の座標, rc は弦と惑星中心のまでの距離, r2 = rc2 +z 2
を用いている (図 5.11 参照).
次に、積分の中では r ∼ rc のところが寄与するという仮定をおこなう。y ≡ (r − rc )/H を用いて変数変
換を行うことを考えると、
√
r
rc
rc −1/2
r
√
≈√
=
(5.55)
= √
y
2H
r2 − rc2
(r − rc )(r + rc )
(r − rc )(2rc )
と近似できるので
√
τt (rc ) ≈
2rc HCP0α+1 µmH
kT
∫
∞
y
−1/2
0
[
(
)]
rc − R0
exp −(α + 1) y +
dy
H
(5.56)
となる。ここで、
∫
∞
τ (r) ≡
r
CHP0α+1 µmH
κ(r)ρ(r)dr =
kT
∫
0
81
∞
[
(
r − R0
exp −(α + 1) y +
H
)]
dy
(5.57)
Figure 5.11: transmission の弦の座標。
と、
∫
∞
0
√
y −1/2 e−Ay+B dy
∫ ∞
e−Ay+B dy
0
=
=
π B
e
A
1 B
e
A
(5.58)
(5.59)
に注意すると
√
τt (rc ) ≈
2π(α + 1)rc
τ (rc ),
H
(5.60)
が得られる。
透過光分光では、高精度なトランジット・ライトカーブの測定が求められる。特にハッブル衛星 (HST) に
よる観測が非常に成功していて、例えば HD189733b のようなホット・ジュピターではナトリウム (Sodium)
やカリウム (Potassium) の線の位置で数百∼千 km ほど半径が大きくなっていることが観測されている。ま
た Haze(もや) による散乱によっても半径の波長依存性が現れる。
5.3.4
昼側放射分光
惑星の昼側面からの放射の測定は、二次食 (secondary eclipse) を通じて行われる。二次食とは、トランジッ
ト系の惑星が恒星の背後に隠れる際におこる減光のことである。二次食前後の光度差は惑星の昼側面から放
射由来であり、直接撮像と同様熱輻射と反射の両方がありうるが、熱輻射の方がコントラストが高いため、
現在、検出されているもののほとんどはホットジュピター昼側面からの熱輻射である。
昼側放射がほぼ熱輻射の場合、第ゼロ近似的には、惑星表面の平均温度 Tp の黒体輻射スペクトルになる。
しかし、もう少し詳しく見ると、波長によって opacity が異なるので、黒体輻射に寄与する「表面」の位置
は波長によって異なる。この違いにより、輻射光のスペクトルが形成される。図 5.12 を例にとると、原子や
分子吸収のある opacity の高い波長では、代表的にはより高い大気層の温度 T = T1 の黒体輻射スペクトル
82
Figure 5.12: ある波長での輻射光は、光学的厚さが 1 程度になる高さの場所の温度の黒体輻射スペクトルが
発せられる。
が、より吸収の少ない波長ではより低い大気層の温度 T = T2 の黒体輻射スペクトルが見えることになる。
このため、T1 < T2 の場合、吸収のある波長ではスペクトルがへこんで見える。逆に高度が上がるにつれ温
度が上がる T1 > T2 である、いわゆる温度逆転層 (Temperature Inversion) のある場合、吸収のある波長で
はスペクトルに山ができる。輻射光スペクトルの理論的に記述は第 8.5 章を参照の事。
二次食輻射光観測においては通常は光子ノイズより系統誤差のほうが大きいが、取り除くことのできな
い根源的ノイズは光子ノイズのほうである。参考までに Figure 5.13 に 10m 望遠鏡、スループット 50%, 積
分時間 1 hour、R = 10 における M 型 (10pc) と G 型 (30pc) での典型的な光子ノイズと地球サイズの惑星
(273K) の二次食の深さ、すなわち輻射コントラストを示した。これをみるとハビタブル惑星では、上記のよ
うな割と甘い条件 3 でも M 型星まわりで 20-30 ミクロンでぎりぎり二次食の深さが光子ノイズをうわまる程
度であり、この帯域がスペース観測でないとならないことを考えると (図 5.24)、ハビタブル惑星の二次食輻
射光分光はかなり厳しいことが分かる。一方、1500K 以上の惑星にたいしては二次食の深さの立ち上がりが
近赤外域まで移動し、かつ深さもより深くなることから観測はより容易になる。図上の点線は G 型周りでの
1500K の惑星温度の木星サイズの惑星による二次食深さであるが 2-4 ミクロンで 100-1000 ppm となってい
るのがわかる。Spitzer や HST による昼側輻射分光観測、また後にのべる地上高分散分光による輻射光観測
は、現在の所ほぼすべて近赤外域の観測である。
5.3.5
ライトカーブ解析におけるノイズ源・False positive
ライトカーブ解析におけるノイズの理論的限界は光子ノイズである。すなわち、ある時間幅
√ ∆t に対して期
待値 N 個の光子が得られるとき、この確率過程はポアソン過程で記述され、標準偏差で N のノイズがの
るという物である。このノイズはホワイトノイズとも呼ばれ、時間をフーリエ変換した周波数空間において
一定のパワーを持つノイズである。
現実には、ポアソン過程によるホワイトノイズの他にさまざまなノイズがのる。これらは周波数空間で
パワーがべきで、具体的にはだいたい 1/f の依存性で表されることが多く、総称してレッドノイズと呼ばれ
る。宇宙での観測の場合、例えば、衛星の地球周回に同期したノイズなどがある。これらは元々、検出器の
3 トランジットハビタブル惑星の期待値は早期
M 型星まわりの場合 20pc 以内に 1 個程度だと考えられている。
83
Figure 5.13: 恒星の光子ノイズ (実線)。10m 望遠鏡、スループット 50%, 積分時間 1 hour、R = 10 で M 型
(10pc) と G 型 (30pc) での光子ノイズ [ppm] をかいてある。破線は惑星温度 Tp = 273K における輻射コント
ラスト(二次食の深さに対応する)を M, G のぞれぞれのケースについてプロットしてある。また点線は G
型周りでの惑星温度 1500K、木星サイズの惑星による二次食深さ。
温度変化などに起因し、原理的には較正可能である。地上観測の場合、大気による強度揺らぎが存在する。
このため、参照星などを同時に測光し較正を行う。しかし上層大気の乱流層に起因するシンチレーションは、
参照星までの角距離分の光路の違いが誤差を生む。また、tip-tilt により、光があたる検出器のピクセルが随
時移動してしまうことによる、ピクセルの感度むらによる系統誤差も存在する。さらに恒星に存在する黒点
の変動や黒点の上を惑星が通過する spot crossing という現象は、系自体に内在する系統誤差であり、多色で
同時に観測するなどの工夫が必要である。
また、惑星の通過以外にもトランジット現象が起こることがある。最もメジャーなものが食連星 (Eclipsing
Binary) によるもので、特に小さい方の星が大きい方の星の端をかするようにトランジットしている場合
(Grazing という) や、食連星とさらに背景星が混ざっている場合などに、小さな惑星トランジットのように
見える場合がある。Kepler の見つけた惑星候補の中にもそのようなものが含まれているとされている。
5.4
マイクロレンズ現象
一般相対論によると重力により時空が歪むため、一般に天体周囲の時空の歪み起因して光の進み方が変わる。
この現象を重力レンズという。重力レンズは、背景のクエーサーや銀河が途中の銀河や銀河団の重力により
分裂したり歪む現象などで確認できる。このような大質量天体は直接、像の歪みを観測することができるが、
恒星や惑星の質量スケールになってくると像の直接の変化を観測することは難しい。しかし、重力レンズに
は像の拡大によって、光度が増大するという特徴があるため、これを用いて恒星惑星スケールの重力レンズ
現象を観測することができる。
マイクロレンズ探査は、ボーダンパチンスキーにより、暗黒物質候補探索の一つとして提案された。これ
は多数の恒星の光度をモニターし、たまたま前面をコンパクトな重い天体 (Massive Compact Halo Object;
MACHO) が通過した際におこる増光を観測し、頻度を計算することで、銀河内の MACHO の全質量を推定
できるという画期的方法である。実際にマイクロレンジングサーベイで、MACHO の全質量が推定された
が、これは暗黒物質の全質量からみると微々たるものであった。
惑星の検出方法としては、恒星 (ソース天体) の前を、惑星を持った恒星(レンズ天体)が通過時におこ
84
Figure 5.14: 本稿で考える重力レンズの3パターン。黒がレンズ天体 (恒星、惑星、コンパクト星) で、灰色
がソース天体(恒星)である。
るソース天体が変形し、これに伴いソース天体が見かけ上増光することを利用する。この光度曲線を解析す
る事で系外惑星を発見する方法がマイクロレンズ法を用いた系外惑星検出法である [46]。
以下では、図 5.14 に示す3つのケースを考える。まずソース天体とレンズ天体がそれぞれ一個の点質量
である場合、つまり、もともとの暗黒物質探査の時のような状況を考える。次に、やはりソース天体とレン
ズ天体はそれぞれ一個だが、ソース天体が広がった天体である場合、すなわち、恒星とレンズ天体(惑星や
白色矮星) の連星の場合に、レンズ天体が恒星前面に来た時(トランジット時)のマイクロレンズ現象を考
える (self-lensing)。最後に、レンズ天体が複数の点質量である時、すなわちレンズ天体が惑星系を持つ恒星
や連星の時を考える。
いまソース天体のもともとの天球上での角度ベクトルを β 、レンズで変形をうけた後の角度ベクトルを
θ とするとレンズ方程式は
θ = β + α(θ)
(5.61)
と表現できる。ここに α(θ) は屈折角である。
屈折角は一般相対論から導くが、レンズ天体の質量を m、位置を Θ とすると
α(θ) =
4G
θ−Θ
m
2
c Dr |θ − Θ|2
(5.62)
となることが知られている。ここに Dr は、観測者からレンズまでの距離を Dl 、観測者からソースまでの距
離を Ds としたとき
1
1
1
=
−
Dr
Dl
Ds
で定義される量である。
85
(5.63)
Figure 5.15: 単一点レンズ, 点ソースの場合の角度の定義。
これは N 個の質点 (i 番目の質点の質量 mi 、角度ベクトル Θi とする) の場合、
N
θ − Θi
4G ∑
mi
α(θ) = 2
c Dr i=1
|θ − Θi |2
となる。ここで全レンズ質量 M ≡
∑N
i=1
mi とし、アインシュタイン半径
√
4GM
θE ≡
c2 Dr
(5.64)
(5.65)
で、式 (5.61)、式 (5.64) を規格化しよう。すると
N
∑
β
mi (θ − Θi ) 2
=θ−
θ
θE
M |θ − Θi |2 E
i=1
(5.66)
となることがわかる。
5.4.1
恒星の前を天体が通る時のマイクロレンジング
恒星の前を単一天体が通った場合、ただし、2つの天体が無関係、すなわち、観測者-レンズ間距離がレンズソース間距離と同程度の場合の増光は、点レンズと点ソースで近似することができる。
単一の点レンズと点ソースでは、レンズの位置 Θ を原点に置き、レンズ・ソース方向の一次元方向のみ
を考えることで、レンズ方程式 (5.66) を
β =θ−
のように単純化することができる。2 解は
θ = θ± =
1
2
(
β±
2
θE
θ
)
√
2
β 2 + 4θE
86
(5.67)
(5.68)
となり、レンズ・ソースを結ぶ直線上の θ = θ± の二箇所に無限小サイズの像が現れる。
アインシュタイン半径は、他重像の典型的離角のスケールを与えることがわかる。銀河による重力レン
ズの場合、他重像が分解されて観測されているが、これは典型的な銀河質量と距離を代入すると
θE = 3′′
(
M
1012 M⊙
)1/2 (
Dr
1Gpc
)−1/2
(5.69)
となり秒角程度なので、地上望遠鏡でも空間分解できるためである。しかし、マイクロレンズの場合、同様
に典型的な恒星質量、距離を代入すると
(
θE = 3 mas
M
M⊙
)1/2 (
Dr
1kpc
)−1/2
(5.70)
となり、マイクロレンズの他重像の空間分解は相当厳しいことがわかる。そこで通常、空間分解は諦め、増
光に着目することになる。
重力レンズは、面輝度を変えないので、各像の増光率は像の変形による拡大率に一致する。いま点ソー
スを考えているが、このソースは無限小の面積を持つとする。この場合、増光率は、レンズを受ける前後で
の微小面積の比をとればよい。よって、
dθx dθy θ± dθ± µA,± = =
(5.71)
dβx dβy β dβ となる。式 (5.68) を代入すると
µA,± =
√
2 )2
β 2 + 4θE
√
2
4β β 2 + 4θE
(β ±
(5.72)
となる。全増光率は2つの増光の和であるので
µA = µA,+ + µA,−
=
2
β 2 + 2θE
√
2
β β 2 + 4θE
(5.73)
=
u2 + 2
√
u u2 + 4
(5.74)
となる (ここに u ≡ β/θE )。
これをライトカーブにするためには、β(t) を式 (5.73) に代入すれば良い。レンズ中心に対するソース天
体の impact parameter (レンズ・ソース間距離) を β0 とすると
√
(
)2
t − t0
β(t) = β02 +
(5.75)
θE
tE
となる。ここに tE はアインシュタイン半径を通過する時間 (crossing time) であり、t0 は再接近時間である。
図 5.16 は、式 (5.73)、(5.75) を用いて計算した増光率曲線である。
式 (5.74)、(5.75) をよく見ると、最大の増光率 (t = t0 ) は β0 /θE のみに依存していることがわかる。つ
まり最大増光率の質量依存性は、アインシュタイン半径に対する impact paramter で決まるということなの
で、惑星質量であっても恒星質量と同程度の増光になりうるということである。一方、継続時間は crossing
time のみに比例する。crossing time はアインシュタイン半径に比例するので、結局、増光の継続時間はアイ
87
12
β0 = 0. 1θE
β0 = 0. 3θE
β0 = 0. 7θE
magnification µA
10
8
6
4
2
02.0 1.5 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
normalized time (t − t0 )/tE
Figure 5.16: 点レンズ、点ソースの場合のマイクロレンズ増光率。β0 = 0.1θE , 0.3θE , 0.7θE の場合を示した。
ンシュタイン半径に比例することになるので、質量の 1/2 乗に比例する。すなわち惑星質量の増光継続時間
は数十分の一以下となる。具体的には、銀河内での恒星の典型的な速度として V = 200km/s を用いると
(
)1/2 (
)1/2 (
)−1
M
Dr
V
θE Dr
= 25 day
tE =
(5.76)
V
M⊙
kpc
200km/s
となり、恒星がレンズの場合、増光期間は約一ヶ月である。
(
)1/2 (
)1/2 (
)−1
θE Dr
M
Dr
V
tE =
= 18 hr
V
MJ
kpc
200km/s
(5.77)
となり、木星質量の天体がレンズの場合、増光期間は約1日となる。実際、惑星質量の単一レンズの増光が
複数、発見されている [78]。これらは主星を持たず、惑星単体で存在していることから free-floating planet
と呼ばれる。
有限ソース効果
上では、ソースを点ソース、つまり無限小に小さいサイズのものとして考えてきた。無限小に小さいが面積
を持つので拡大縮小はされ、増光率として微小面積の変形を式 (5.71) で考えた。次にソースが有限サイズと
してみよう。図 5.17 左はソースが有限な場合の像であるが、ソース分布がどのよう変形されるか視覚的にわ
かる。
マイクロレンジングの場合、ソース天体の視半径は、例えば、太陽半径を仮定すると、
(
)−1
R⊙
Ds
= 5 × 10−3 mas
(5.78)
Ds
1kpc
とアインシュタイン半径に比べ小さい。しかし、レンズ・ソース間の最小距離がソース視半径と同程度になっ
てくると、増光率にもソースの有限性が効いてくる。
88
Figure 5.17: 有限ソース、点レンズの場合のソース(黒)と像 (白)。左パネルの円はアインシュタイン半径
を示している。
例えば、ソース・レンズ・観測者が同軸上にある場合 (β0 → 0)、点ソースの場合は式 (5.74) から増光率
が発散してしまう。点ソースの代わりに、ソース半径が βs = ρθE の一様ディスクの場合を考えてみよう。こ
の場合、ディスク境界のある点がつくる像の位置は式 (5.68) で与える位置に2つの点 (R1 ,R2 ) が中心からの
角度
θ+,s
=
θ−,s
=
)
√
1(
ρ + ρ2 + 4 θE
2
)
√
1(
ρ − ρ2 + 4 θE
2
(5.79)
(5.80)
の位置にあらわれる。ディスク境界より少し内側の点がつくる2像は、(R1 ,R2 ) の二点の少し内側にあらわ
れる。点対称性と面輝度不変から、結局、像は θ−,s ≥ θ ≥ θ+,s 内のリング状になる。これをアインシュタ
インリングという。この時、増光率はこのリング面積を評価すればよく
√
( )2
2
2
πθ+,s
− πθ−,s
θE
µ=
= 1+4
(5.81)
2
πβs
βs
となり有限となる (図 5.17 右)。
5.4.2
Self-lensing binary
ソース天体とレンズ天体が重力的に拘束されている場合でも、レンズ天体が前面を通過するときにマイクロ
レンジングによる増光が起こりうる [45]。この self-lensing と呼ばれる周期的な増光成分は、光度全体とし
てはトランジット減光との競合になる。これは、恒星の前面を惑星・恒星・白色矮星などが通過した時の状
89
Source plane
Lensed Image
Combined
Figure 5.18: 点レンズによる self-lensing。左がソース平面、中がレンズを受けた像、右は左2つを重ねて書
いたもの。Uniform disk の場合、右パネルの白い円環状の部分が増光部分である。
況に対応している。これまで惑星によるトランジット現象を考える際に、self-lensing の効果を無視してきた
が、その正当性を確認してみよう。
レンズ天体の半径がソース天体より小さく、簡単のためソース天体は uniform disk で、かつ、レンズ天
体がソース天体の中心にいる時を考える [3]。この場合、面輝度は一定であるので、増光率は、レンズにより
ソース天体全体が拡大された効果による。すなわち、βs ,θs をそれぞれソース平面、像平面での disk 縁まで
の角度として µA = (θs /βs )2 がマイクロレンズによる像拡大率となる。
レンズ方程式 (5.67) から、
2
2
2
2
βs2 /θE
= θs2 /θE
− 2 + θE
/θs2 ≈ θs2 /θE
−2
(5.82)
となる。最後の近似はアインシュタイン半径がソース天体の視半径より十分小さい (θE ≪ θs ) という仮定を
用いている。これを用いて拡大率は
µA
θs2
β 2 + 2θ2
≈ s 2 E
2
βs
βs
(
)2
RE
= 1+2
R⋆
=
(5.83)
となる。ただし、本当はレンズ像は太ったアインシュタインリングになるはずなので内側に穴が開いている
はずである。いまはこの寄与を無視している。図 5.18 は、点レンズによる self-lensing のシミュレーション
である。点レンズを受けて背景の恒星が膨らんでる見えることがみてとれよう。
ところで、今考えている状況では Ds ≈ Dl ≡ D である。ここに RE = θE D、は実距離でのアインシュ
タイン半径、R⋆ = βs D はソース天体の半径を表している。この式の導出からわかるように disk 内にとっ
た円で θ ≫ θE の部分の増光率は θ2 に反比例している。すなわち θ ≫ θE におけるソースの増光量は 0 で
ある。つまり増光は主にアインシュタイン半径近傍の部分で起こっていることがわかる (図 5.18 も参照のこ
と)。Uniform disk でない場合、増光量はアインシュタイン半径内付近の輝度分布で決まることから、端の
部分を除いて、ライトカーブは、トランジットライトカーブを逆さまにした形状で非常によく近似される。
90
さて、レンズ天体は光らず、内側の穴 4 を隠す程度大きいとするとトランジット深さは depth=k 2 =
(Rl /R⋆ )2 であったから、この減光分と self-lensing の増光分を合わせて、全増光率は
(
µ=1+2
RE
R⋆
)2
(
−
Rl
R⋆
)2
となる。もしくは減光方向を正として定義した self-lensing 補正入の transit depth は
[
(
)2 ]
RE
2
depth = k 1 − 2
Rl
(5.84)
(5.85)
とも表現できる。
つまり、増光になるか減光になるかはアインシュタイン半径とレンズ天体半径の比率
RE /Rl で決まり、
√
レンズ天体の半径がアインシュタイン半径の 2 倍以下になると増光が卓越する。この比をさらに評価して
みよう。
√
√
√
√
√
4GMl
4GMl
4GMl a
−1
−1
−1
−1
θE =
Dl − Ds =
Dl − (Dl + a) ≈
(5.86)
c
c
cD
である (Ml はレンズ天体の質量)。すなわち
√
(
)1/2 (
4GMl a
Ml
a )1/2
RE =
= 0.04R⊙
c
M⊙
1au
(5.87)
であり、恒星と惑星や通常の恒星同士の場合、self-lensing による増光は無視できることがわかる。長々と説
明した割には惑星にはあまり関係なくて申し訳ないが、計算が簡単で、現象として面白いので紹介したかっ
たのだ。そして self-lensing は、半径が太陽の約 1/100 にもなる白色矮星やさらに小さい中性子星、ブラック
ホールがレンズ天体の場合は、増光が顕著となる。この式からわかるように、軌道長半径がある程度大きく
なると、レンズ天体が白色矮星であっても増光には転じることになる。実際にケプラー衛星で白色矮星によ
る周期的な増光が発見されている [42]。
5.4.3
バイナリーレンズと系外惑星検出
一般に N この point lens では、Witt (1990)[87] による複素表式が便利である。式 (5.66) に対し、規格化し
た各ベクトル β = (βx , βy ), θ = (θx , θy ), Θi = (Θi,x , Θi,y ) に対し、ζ = (βx + iβy )/θE 、z = (θx + iθy )/θE 、
wi = (Θi,x + iΘi,y )/θE のように複素数を割り当てる [86]. また質量比 qi ≡ mi /M と定義し、1/(z − wi )∗ =
(z − wi )/|z − wi |2 に注意すると式 (5.66) は
ζ =z−
N
∑
i=1
qi
z ∗ − wi∗
(5.88)
となる (z ∗ は z の複素共役)。
複素表式におけるおのおのの像の増光率は、
Aj = | det J|−1
4 この穴の半径比は
Rin /R⋆ ≈ (RE /R⋆ )2 ≈ O(µ − 1) 程度である。
91
(5.89)
Figure 5.19: 恒星+惑星系による増光曲線の一例。OGLE-2003-BLG-235/MOA-2003-BLG-53 の配置を模
して brute force 的に計算した。β0 = 0.133θE 、主星惑星の離角 θa = 1.12θE 、質量比 0.996:0.04、position
angle=223.8 degree を仮定した。
ここに
det J = 1 −
∂ζ
∂z ∗
(
∂ζ
∂z ∗
)∗
(5.90)
となる。系外惑星の探査で重要なのは N = 2 の場合のバイナリーレンズであるが、この場合でも式 (5.88)
は五次方程式となるので z について解析的に解くことはできない。つまりまず数値的に解いてレンズ像を決
定し、その後、式 (5.90) を用いて、各像の増光率を計算することになる。
しかし、逆に像面の座標グリッド z を設定して、対応するソース平面の座標 ζ とその輝度を計算するこ
とは容易である。よって、ソースの輝度分布を仮定して、brute force 的にシミュレーションすることは簡単
にできるので試されたし。図 5.19 は、そのようにして計算された増光曲線の一例である。最初のマイクロ
レンズ系外惑星 OGLE-2003-BLG-235/MOA-2003-BLG-53[8] の配置を模して計算を行った。この増光曲線
では、恒星による長い時間スケールの増光成分と惑星による短い時間スケールの成分がはっきりわかる例と
なっている。
式 (5.88) から、マイクロレンジングの地球からの増光曲線のフィットからは、恒星と惑星の質量比 q が
推定されることがわかる。比ではなく実際の質量を知るためには他の情報を用いなければならない。また、
ソースの恒星はそれなりに明るくなくてはならないが、レンズとなる恒星は明るい必要はないため、マイク
ロレンジングのレンズ天体は最も存在数の多い M 型星側に偏ることになることにも注意が必要である。
5.5
直接撮像
主星の強い光を遮蔽して、惑星自身からの光を分離し観測する手法を直接観測とか直接撮像という。惑星か
らの自然光 fp (λ) は大きく二つに分けられる。一つは主星光の惑星による反射光 (fpref (λ)) であり、もう一つ
92
が惑星自身の熱輻射光 (fpth (λ)) である。つまり惑星光度 fp (λ) は反射光 fpref (λ) と熱輻射光 fpth (λ) の和
fp (λ) = fpref (λ) + fpth (λ)
(5.91)
で表される。
Figure 5.20: 10pc の距離から観測した場合の地球惑星光と主星(太陽光)スペクトルのシミュレーション
(SAO solar system model; 下パネル)。上パネルは主星惑星コントラストを示している。[14] を元に作成
した。
図 5.20 は、10pc 離れたところから見た地球光のスペクトルをしめしており、第ゼロ近似では、反射光は
恒星温度の、輻射光は惑星温度の黒体輻射スペクトル (式 [2.4]) の形をしている。このように主星と惑星の温
度の差がある場合、反射光と輻射光は波長方向に良く分離される。生物が存在する惑星としては普通、液体
の水が存在できる温度域の惑星を考える。液体の水が存在できるような惑星をハビタブル惑星と呼ぶ。ハビ
タブル惑星の条件については §3 で詳しく考えるが、おおまかには表面温度が摂氏 0 度から 100 度くらい、つ
まり典型的には 300 K 程度の惑星を考えれば良い。これは主星の温度(2500 - 7000 K)より十分低い。つ
まり生命探査を行うような系外惑星に対しては、図 5.20 のように、紫外から赤外までのほとんどの波長で反
射光か輻射光のどちらかのみが卓越していると考えられる。しかし、例えば、主星により近いところを回る
ホットジュピター (2000 K を超えることもある) や、一般に惑星温度が分からない状況では、両者が混ざっ
た光だとして扱わなければならない。
直接撮像においては、§2.1.1 で説明した主星惑星間の離角と共に主星と惑星のフラックス比、主星惑星コ
ントラスト
csp (λ) ≡
fp (λ)
f⋆ (λ)
(5.92)
が重要な量である。主星惑星コントラストがない、
(つまり csp が大きい)ほうが、また主星惑星間離角が大
きいほうが一般に直接撮像を行いやすい。
93
5.5.1
惑星反射光の直接観測
距離 d の位置から観測した惑星の反射光フラックス fpref (λ) は、主星-惑星間距離 a, 惑星アルベド A(λ)、惑
星半径 Rp 、距離 d から観測した主星フラックス f⋆ (λ)、また観測者から見た惑星位置による関数 ϕ(β) を用
いて
( )2
2ϕ(β)
Rp
A(λ)
f⋆ (λ),
fpref (λ) =
(5.93)
3
a
ϕ(β) ≡ [sin β + (π − β) cos β]/π,
(5.94)
と表される。ここで ϕ(β) は Lambert phase function とよばれ、phase angle β = ∠(主星ー惑星ー観測者)
の関数である。ただしこの関係は、等方散乱を仮定していることに注意が必要である。海洋による鏡面反射
(ocean glint) などの非等方性の強い反射では必ずしも成り立たない。
8.2.5 章でもこれらの式の導出を行うが、ここでは、式 (5.93) は以下のように導こう。まず等方散乱近似にお
いては惑星球面上の素片からの反射は、(eO ·eR )(eR ·eS ) に比例する。ここに eO = (1, 0, 0)T : 惑星から観測者
方向への単位ベクトル、eR = (cos ϕ sin θ, sin ϕ sin θ, cos θ)T:惑星表面の法線ベクトル、eS = (cos β, sin β, 0)T :
惑星から恒星方向への単位ベクトルである。この係数は単に入射光、もしくは観測者の素片に対する傾きに
よる光量差の補正のことである。惑星全体からの反射フラックスは適当な比例係数 C を置いて
∫ π/2
∫ π
2
f ref (β) = C
dϕ
dθ sin θ(eO · eR )(eR · eS ) = πCϕ(β)
(5.95)
3
−π/2+β
0
となる。さて惑星反射光度は恒星光度と軌道長半径、惑星が受ける断面積 πRp2 、Bond アルベドを用いて
Lp =
L⋆
πRp2 A
4πa2
(5.96)
と書ける。惑星周りのある観測者までの距離 d の球殻の平均フラックスは式 (5.95) を立体角積分して
∫π
2π 0 dβ sin βf (β)ref
C
p
⟨fpref ⟩ =
(5.97)
= π
4π
4
であり、これが
⟨fpref ⟩ =
Lp
4πd2
(5.98)
と一致すべきであるから、
C=
L⋆ ARp2
Lp
=
π 2 d2
4π 2 d2 a2
(5.99)
であり式 5.93 は確認された 5 。恒星光は等方であると仮定して、
f⋆ =
5 確認のため、距離
L⋆
4πd2
d の球面上で fpref (β) を積分すると
∫ 2π
∫ π
L⋆
πRp2 A
dϕ
dβ sin βfpref (β)d2 =
2
4πa
0
0
となっていて、正しく、全球で入射エネルギーの A 倍が反射されていることが確認できる。
94
(5.101)
(5.100)
であることから、
csp
fpref
2ϕ(β)
≡
=
A
f⋆
3
(
Rp
a
)2
(5.102)
となる。反射光の主星惑星コントラストは、恒星半径やアルベド A 以外に波長によらない。
Figure 5.21: Lambert phase function
半月ならぬ半惑星 (β = 90◦ ) の場合、式 (5.93) を用いて、主星惑星コントラストを見積もると、
(
)(
)2
A
Rp /R⊕
−10
csp ≈ 10
(5.103)
0.3
a/1 AU
となり、半地球の場合、反射光の主星惑星コントラストは 10−10 程度になることがわかる (図 5.20 上パネル
を参照)。つまり地球からの反射光を検出しようとすると、その100億倍明るい主星が隣にいるということ
になる。このような状況では、通常は分解して観測できるぐらいの離角であっても、惑星光の位置に大量の
光が漏れ込んでくることになり、惑星光の検出が困難になる。
惑星放射計算のの一次元モデルと観測量を結びつけるために、惑星の反射フラックスの平均 F p (λ) と距
離 d にて観測される惑星フラックス fpref (λ) との関係を記しておく。惑星が受け取る主星フラックスは
F⋆ (λ) =
L⋆ (λ)
= f⋆ (λ)
4πa2
( )2
d
a
(5.104)
であり、
F p (λ) =
F⋆ (λ)A(λ)
4
(5.105)
であるから、式 (5.93) より
fpref (λ; β) =
8ϕ(β)
3
(
となる。
95
Rp
d
)2
F p (λ),
(5.106)
5.5.2
熱輻射光の直接観測
惑星熱輻射光のスペクトルは第ゼロ近似では惑星温度 Tp の黒体輻射であり、式 (2.4) と同じ、
fpth (λ)d λ
)
]−1
[
(
2πhc2 Rp2
hc
−1
d λ,
exp
=
λ5 d2
λkTp
(5.107)
である。ということはコントラストは
hc
csp (λ) =
Rp2 e λkT⋆ − 1
hc
R⋆2 e λkT
p − 1
(5.108)
となる。この式を、図 5.20 の上パネル赤破線で示してある。地球の場合、10−8 から 10−6 程度である。ま
たこの図からわかるように、生命探査対象となる惑星を熱輻射光で直接撮像するならば、10µm 程度の中間
赤外もしくはそれより長波長側で探査する必要がある。このような計画として宇宙赤外干渉計による探査が
ある。
また主星も惑星も長波長極限の場合は
(
)2 (
)−2 (
)(
)−1
Rp2 Tp
Rp
R⋆
Tp
T⋆
csp = 2 = 4 × 10−6
(5.109)
R⋆ T⋆
R⊕
R⊙
293K
5778K
となる。
直接撮像惑星として有名な HR 8799 b,c,d,e は H バンド (1.6µm) で 10−5 程度ものコントラストがある。
式 (5.103) を用いると、反射光では
csp ≈ 10−8
(
A
0.3
)(
Rp /RJ
a/1 AU
)2
(5.110)
と木星サイズ・1 AU であっても 10−8 という厳しいコントラストである事が分かる。つまり、HR8799 系で
観測されている光は熱輻射であるということだが、放射平衡温度 (3.6) を Tp として採用し、式 (5.108) から
コントラストを λ = 1.6µm で見積もると到底このような高いコントラストにはならない。これはどういうこ
とだろうか?実は、2016 年現在の所、直接撮像が成功している惑星はすべて self-luminous planet という、
長くても年齢一億年以下の若い惑星系で、形成時に熱かった惑星が冷えていく途中のものである。
この場合、惑星の平衡温度は、式 (3.6) の代わりに
Lem = Lab + Lint
(5.111)
のように、惑星内部からのエネルギーフラックス (Lint ) を考えなければならない。self-luminous planet は
Lab ≪ Lint のような系であり、惑星の温度も 1000 K 程度といった高温である。そのため近赤外域であって
も熱輻射光を観測している事になる。
近赤外領域の直接撮像は、現在の self-luminous planet の熱輻射光から self-luminous でない惑星の反射
光の検出へと移行することが、次の一つのブレークスルーといえるだろう。図 5.22 は、その壁を示している。
いまここでは d = 10pc を仮定した反射光のコントラストと現在、検出されている self-luminous planet のコ
ントラストを、angular separation の軸でかいてみたものである。self-luminous planet のコントラストは恒
星からの距離に直には依存しないため、0.5 秒程度の場所であっても緩いコントラストをもっている。しか
し反射光は式 (5.102) からわかるように a の自乗に反比例するため、緩いコントラストを得るためには、よ
り恒星に近い場所を観測しなくてはならない。恒星に近ければ近いほど恒星光を除去する事が難しくなるた
め、反射光にはこのような、コントラストと angular separation のトレードオフ関係があると言えよう。
96
Figure 5.22: 緑の点は観測されている self-luminous planet のコントラスト、赤(木星サイズ)と青線(地球
サイズ)は、反射光のコントラスト理論値である。反射光の曲線の angular separation は 10 pc を仮定して
いる。self-lumious planet の angular separation は実際の値。
5.5.3
直接撮像の制限要因
ハビタブル惑星のコントラストと離角
ハビタブルプラネットの場合、惑星温度は液体の水が存在できる狭い温度域で、温度はほぼ一定と見なせる
ので、惑星熱輻射フラックスは主星のタイプによらない。また主星から受け取るべきエネルギーも狭い範囲
でほぼ一定になる (3 参照)。反射光はこれにアルベドをかけたものなので、反射フラックスもほぼ主星のス
ペクトルタイプによらないことになる。つまり反射光でも熱輻射光でも主星の光度が低ければ低いほどコン
トラストがなくなる方向に働き、そのかわりハビタブルゾーンが内側に移動するので離角は小さくなる。主
星のタイプで見た場合、このようなトレードオフの関係が存在する。
図 5.23 は反射光で探る場合、近傍の恒星の内側ハビタブルゾーンに地球を置いた時の主星惑星コントラ
ストと主星惑星間離を示している。G 型星周りではコントラスト 10 の-10 程度、離角 100 mas 程度となり、
M 型周りでは 10 の-8 乗程度で離角は 10 mas 程度となる。
スペックル・Tip-tilt
コントラストと IWA が直接撮像の成否にとって、重要な意味をもつのは、惑星の位置に置ける恒星光のも
れこみが惑星検出を邪魔するからである。コロナグラフの場合、このもれこみは恒星のコピーのようなぼつ
ぼつが至る所に現れるスペックルノイズとしてあらわれる。スペックルの詳細については、6.2.1 章を参照し
てほしいが、大きく分けると装置的な問題と大気の乱流によるものがある。前者は地上観測のみならず、人
工衛星搭載コロナグラフでも避けられない問題である。具体的には望遠鏡面の乱れにより波面の乱れが出る
ことで生じる。また副鏡のスパイダーも原因となる。後者は、地上観測で問題となり、大気の乱流により波
面の乱れが生じる。これを修正する装置が補償光学装置である。
また、コロナグラフは理想的な点源が光学軸の中心に来た時に最大の性能が発揮されるようになっている
ので、光学軸の中心からずれてしまう効果 (Tip-tilt) によっても、恒星光が惑星の位置に漏れ込む。Tip-tilt
の原因は、大気による位相誤差、望遠鏡・光学系のアライメント、恒星の直径が有限であることによる効果
などがあげられる。
97
Figure 5.23: 近傍の恒星の内側ハビタブルゾーンに地球を置いた時の主星惑星コントラストと主星惑星間離
角。計算方法については [34] 参照。
大気光
地上観測の場合、大気は波面誤差を生成し装置内でスペックルや Tip-tilt を作り大きなノイズ源となるが、
それ以外に、そもそも大気自体が光り foreground noise となるので、この大気光 (大気光ともいう) の見積も
りがかかせない。図 5.24 左には、Maunakea における大気放射のスペクトルモデルを示してある。この図か
ら分かるように大気光は近赤外域と中間赤外域でドミナントな成分が異なる。近赤外域では主に OH による
輝線が、中間赤外域では大気の熱放射が大気光の主な原因となる。
大気光が恒星観測にたいしてどの程度、ノイズとなるか見積もったのが図 5.24 右である。大気光は空全体
が光っているので、切り出す視野 (アパーチャー)∆Ω を指定しないとフラックスが出せない。恒星の明るさと
比較するには、検出器上での恒星の広がりと同程度のアパーチャーを用いるべきであろう。ここでは ∆Ω =1
arcsec 2 の場合と、望遠鏡直径 D = 30m 仮定して、極限補償光学が最大限発揮された場合に得られる星像の
2
広がりである回折限界 θdl = λ/D (6.1.3 章参照) の半径の円,∆Ω = πθdl
の二通りの場合の開口を用いて計算
している。
近赤外領域における大気光:OH, O2 放射
近赤外領域においては、OH や O2 による細い輝線が最も強い sky background である。図 5.24 の 1-2 µm 帯
に見える輝線のほとんどは OH によるものである。また酸素分子 O2 による輝線も存在し、これは地上から
のバイオマーカー探査において考慮しなければならないものである。すばる IRCS による酸素 1.27µm 付近
の夜空 (天体の無い場所) のスペクトルを図 5.25 に示す [34].
これらの大気光は、夜では日が暮れた間際が最も強く光り、その後減光していく。図 5.25 には 19:12 の
観測と赤は夜明け前 5:34 の観測であるが、後者の方が強度が下がっているのが見て取れる。図 5.26 には図
5.25 の輝線強度の時間変化を示している。OH は夜半になっても、日没直後の半分くらいの強度が残ってい
98
Figure 5.24: 左:マウナケアにおける大気光スペクトルモデル。Gemini Observatory が提供しているデー
タ (Gemini Observatory) を用いて図を作成した。airmass=1.0, water vapor=1mm のものを使用。点線は
T=273 K のプランク関数。右:大気光の「等級」。∆Ω =1 arcsec 2 の場合、望遠鏡直径 D = 30m の回折限
2
界 θdl = λ/D 半径の円,∆Ω = πθdl
の場合を仮定し、等級に変換した。等級の定義は [12] に基づき、Gemini
の flux magnitude conversion tool を利用した。
Figure 5.25: すばる望遠鏡 IRCS による 1.27µm 付近の夜空 (天体の無い場所) のスペクトル [34]。縦線 (青)
でラベルされた物は O2 によるもの、縦線 (赤) でラベルされた物は OH によるもの。スペクトルは青はハワ
イ時間日没後 19:12 の観測で、赤は夜明け前 5:34 の観測である (11 月の観測)。
99
Normalized Flux HAirmass correctedL
1.2
OH
O2
OH+O2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
20
22
24
26
28
hour
Figure 5.26: OH, O2 大気光輝線強度の時間変化 [34].
るがが、O2 は 1/10 程度までに減衰するので、地上から系外惑星の酸素を観測するときは後半夜に行うとよ
いだろう。またこの輝線強度は、場所にも依存し、季節変動もする。
図 5.24 右において、近赤外域では大気光の実質的な等級は 10 等程度以下であるので、近傍の恒星の等
級と比べた場合、必ずしも大気光は明るくない。しかし、直接撮像で惑星を検出する場合には、惑星反射光
はさらに恒星の 10−8 から 10−10 倍暗いので、惑星は恒星の 20 以上大きい等級になる。この場合、大気光は
主要なノイズ源となり、回折限界に近い星像を得て、大気光をなるべく含まないようにする事が重要となる。
例えば、30m 望遠鏡で回折限界像が得られても、近傍の M 型周りの地球サイズの惑星反射光は、大気光と
同程度から 1/10 程度になる (1.27µm 付近かつ後半夜) ことが予想される。光子のノイズとしては大きい値
である [34]。また、OH 光は狭い輝線であるので、その部分だけ選択的に除去する OH suppressor [28] を用
いた大気光ノイズ低減も可能である。
中間赤外領域の大気熱放射
図 5.24 において 2.5µm 程度以上の波長では、大気熱放射が大気光として卓越してくる。波長によって大気
のどの部分が見えているかで放射輝度は変わるが、包絡線は地上付近の温度を反映したプランク分布とよく
合っている事が見て取れる。南極大陸などさらに低温の場所では、この熱輻射は最大一桁程度下がる。
図 5.24 右から分かるのは、中間赤外域の放射は極めて明るく、∆Ω =1 arcsec 2 のアパーチャーでは 10µ
m 近傍で− 5 から 0 等、例え 30m 望遠鏡で回折限界程度のアパーチャーが達成されたとしても、0 から 5 等
もあることだ。たとえばアルファセンタウリ A でさえ、N バンド (中心 10.5µm) で-1.6 等であり、惑星の報
告がある最も近い恒星アルファセンタウリ B で-0.6 等 (N) である [15]6 。つまり中間赤外域で主系列星を観
測すると、大抵の場合、大気光のほうが明るいという事である。これは中間赤外の地上観測における原理的
な障害となっており、赤外干渉計による惑星検出ミッションが地上ではなく宇宙望遠鏡で検討される最大の
理由であろう。また望遠鏡や光学系からの熱放射も中間赤外帯における大きなノイズとなっていることを付
記しておく。
6 http://vizier.cfa.harvard.edu/viz-bin/VizieR-3?-source=II/237
100
Figure 5.27: 惑星の系重心に対する軌道速度。
5.6
高分散分光による惑星シグナルの検出
惑星大気に存在する分子線を R ∼ 100, 000 の高分散分光することで検出する手法が実用化されつつあり、一
部のホットジュピターで CO, H2 O などの検出が報告されている。この方法では惑星の公転に伴い、吸収線
の位置がずれていき、惑星の視線速度を測定できる。透過光分光によるもの [75] と昼側放射を用いるもの
[9, 66, 6, 13] の両方で検出がされている。また、最近では、直接撮像されている self-luminous planet、 beta
pic b の位置にスリットをあてることで、CO 線を検出し、その広がりを見る事で、惑星の自転情報を得てい
る [74]。このような手法で惑星を発見する事を分光的直接検出 (Spectroscopic Direct Detection) ということ
もある。この方法では惑星の公転に伴い、吸収線の位置がずれていき、惑星の視線速度を測定できる。
この手法では、惑星の視線速度の位置にシフトした吸収線を検出する。現状では直接吸収線を検出する
というよりは、分子吸収線のテンプレートとスペクトルの相関をとることで検出を行っている。惑星視線速
度の amplitude を再掲すると
√
(
)1/2 (
GM⋆
M⋆
a )−1/2
Kp ≡ vp sin i ∼
sin i = 29.8 km/s
sin i
(5.112)
a
M⊙
1AU
である。図 5.27 に典型的な恒星質量の周りの惑星の軌道速度 vp を示してある。ここからわかるように Hot
Jupiter の場合、惑星視線速度は数百 km/s のオーダーになる。この場合、R ∼ 100, 000 もの高分散分光が必
要な理由は、惑星と恒星の速度差の分別ではなく、分子一本一本の線を分解し、分子線検出のための感度を
得たいからということになる。
5.6.1
昼側放射の高分散分光
ホットジュピターでは、近赤外まで輻射光が伸び、コントラストも 10−4 程度もあることから、惑星光を含
む恒星光を同時に分光したものを用いて、例えば K バンドの CO の検出に成功している [9, 66, 6, 13]。この
101
Figure 5.28: 木星の赤道面東・中央・西のすばる HDS による高分散反射光スペクトル。上:太陽由来 (H ア
ルファ線) の吸収線波長差。下:木星由来のメタン吸収線波長差。右パネルは観測の場所を示している。イ
メージは NASA カッシーニによるもの (Wikipedia の図を改変)。
場合、惑星の恒星への近さが重要となる。例えば、太陽型周りの木星サイズの惑星の K バンドに置けるコン
トラストは、a = 0.05AU では 10−4 程度だが、a = 0.1AU となると 10−5 まで下がる。そのため惑星の平衡
温度の高さが重要となる。
5.6.2
反射光の高分散分光
恒星光の吸収線の惑星による反射シグナルを、高分散分光によって検出したとする報告もすでにある [49]。
反射光のドップラー偏移は、吸収線が反射体由来ではない場合、反射体の視線速度だけでなく、もともとの
光を出しているものと反射体の間の相対速度差分の偏移も考える必要がある事に注意が必要である。図 5.28
は、木星の赤道面東西の反射光スペクトルを、すばる高分散分光器で撮ったものである。木星の自転速度は
赤道面では Vrot = 12 km/s である。まず木星大気に由来する吸収線の東西差 (左) は、∆V ≈ 2Vrot であり、
これは東西の速度差と一致する。しかし、元々の太陽光に含まれる吸収線の東西差 (右) は、∆V ≈ 4Vrot と
なっている。これは木星に太陽光が入射する時の回転による速度差が加算されるためである。
5.6.3
直接撮像天体の高分散分光
直接撮像天体の位置に分光スリットや分光用ファイバをあてて高分散スペクトルをとることで同様に惑星の
視線速度を測定できる。Snellen ら [74] では、AO を効かせた状態で self-luminous planet の beta pic b の位
102
置に CRIRES のスリットをあて、CO のシグナルを検出している。
また、コロナグラフ後に高分散分光を行うポストコロナグラフ高分散分光も模索されている。例えば極
限補償光学+コロナグラフを 30m 級望遠鏡に用いる事と、self-luminous planet ではなくとも warm Jupiter
でのような天体で、このような手法を λ/D 以下の場所で行える事が示されている [35]. また 2016 年現在、す
ばる望遠鏡の ExAO (SCExAO) と高分散分光装置 (IRD) の接続装置(post-coronagraphic injection)を開
発中であり、8m クラスの望遠鏡でコロナグラフが効いた状態で直接撮像天体の高分散分光観測を目指した
開発が行われている。
103
Chapter 6
系外惑星の観測装置
太陽系外惑星の観測装置は、天文観測汎用のものから系外惑星に特化しているものまである。本章では、コ
ロナグラフ直接撮像装置、干渉計や分光器などの原理を説明する。これらの観測装置を理解するための基礎
となる物理は光学である。そのため光学の準備から解説をはじめたい。
6.1
6.1.1
光学の準備
回折、瞳面・焦点面
開口 (x, y) 平面 1 上での点 P1 での場を A(P1 ) とし、開口に平行な (ξ, η) 平面 0 上の点 P0 での場 A(P0 ) を
求める回折の公式がホイヘンス・フレネル公式であり
∫
1
e(2πr/λ)i
A(P0 ) =
d S A(P1 )
cos θ
(6.1)
iλ Σ
r
と表される 1 。ここに r、θ はそれぞれ直線 P1 − P0 の距離と、この直線が開口法線となす角度である。
平面 1 と平面 0 の距離を L とし、
r
√
L2 + (x − ξ)2 + (y − η)2
[
(
)2
(
)2 ]
1 x−ξ
1 y−η
≈ L 1+
+
2
L
2
L
=
(6.2)
(6.3)
とすることで、
A(ξ, η) =
[
(
)] ∫
[
(
)]
xξ+yη
1
2π
ξ2 + η2
2π x2 + y 2
(6.4)
exp i
L+
dxdy A(x, y) exp i
e−2πi λL
iλL
λ
2L
λL
2
と A(ξ, η) は A(x, y) の重み付きフーリエ変換の形となる。この式 (6.4) を Fresnel 公式という。ところで、本
1 この公式自体はレイリー・ゾンマーフェルトの回折理論から求まる
104
Figure 6.1:
稿では二次元フーリエ変換の定義として
∫
FTx [A(θ)]
FT−1
θ [A(x)]
≡ Ã(x) =
dθA(θ)e−2πix·θ
(6.5)
dxÃ(x)e2πix·θ
(6.6)
∫
≡ A(θ) =
を用いることにする。
さらに平面 1 の開口の空間スケールより 2 平面間の距離 L が十分長いとき、すなわち
L≫
π 2
(x + y 2 )
λ
(6.7)
のとき、式 (6.4) は、
A(ξ, η) =
[
(
)] ∫
xξ+yη
1
2π
ξ2 + η2
exp i
L+
dxdy A(x, y)e−2πi λL
iλL
λ
2L
(6.8)
とフーリエ変換の関係となる。式 (6.8) を Fraunhofer 公式という。これはピンホールカメラが、以下に説明
するレンズと同じ効果があり結像できる事の説明となっている。
6.1.2
レンズ
レンズは入射してきた場に位相をつけて、平面波を球面波にするような装置のことを言う。レンズ前の場を
A(x, y) とするとレンズ直後の場は
A′ (x, y)
Tlens
=
Tlens A(x, y)
[
]
π
≡ exp −i (x2 + y 2 )
fλ
105
(6.9)
(6.10)
のようにすれば、入射平面波が球面波に変換される。ここに、Tlens はレンズ伝達関数、f は焦点距離と呼ば
れる。実際にはレンズのサイズは有限なので瞳のマスク形状である瞳関数 M (x, y) を用いて
A′ (x, y) = Tlens M (x, y)A(x, y)
(6.11)
のようにかける。
焦点面での場は L = f とした Fresnel 公式に式 (6.11) を代入すると
[
(
)] ∫
xξ+yη
1
2π ξ 2 + η 2
A(ξ, η) =
exp i
dxdy M (x, y)A(x, y)e−2πi λf
iλf
λ
2f
(6.12)
となり、瞳関数の重み付きフーリエ変換の関係にあることが分かる
例
瞳から焦点はフーリエ変換、焦点から瞳はフーリエ変換の逆変換、すなわち逆フーリエ変換となる。Traub
& Oppenheimer (2011)[81] に従い、図 (6.2) のような瞳二つ、焦点二つの系での変換を考える。以下では係
数は省略し、それぞれにマスク M1 , M2 , M3 , M4 を通過するとする。すると瞳、焦点の前 (in) 後 (out) の場は
Ain
1
out
A1
Ain
2
= A1
= A 1 · M1
= FT[A1 · M1 ] = Ã1 ∗ M̃1
(6.13)
(6.14)
(6.15)
Aout
2
Ain
3
= M2 · (Ã1 ∗ M̃1 )
= FT−1 [M2 · (Ã1 ∗ M̃1 )] = FT−1 (M2 ) ∗ (A1 · M1 )
(6.16)
(6.17)
Aout
3
A4
= M3 · [FT−1 (M2 ) ∗ (A1 · M1 )]
= M̃3 ∗ {M2 · FT[(A1 · M1 )]}
(6.18)
(6.19)
となる。
6.1.3
回折限界
直径が D の理想的な望遠鏡で、点光源をみたときを回折限界像という。式 (6.12) から焦点面での像は直径
D のマスクをした瞳面のフーリエ変換であるから、
A(ξ ′ , η ′ )
∫
∝
′ ′
′ ′
dx′ dy ′ M (x′ , y ′ )A(x′ , y ′ )e2πi(x ξ +y η )
(6.20)
ここに x′ ≡ x/λ, y ′ ≡ y/λ であり波長で規格化した瞳面の座標である。また ξ ′ ≡ ξ/f, η ′ ≡ η/f であり、焦
点面上の座標を天球面上の角度であらわした座標系となっている。直交座標 (x′ , y ′ ) ↔ (ξ ′ , η ′ ) を、極座標系
(r, Θ) ↔ (θ, Φ) に変換する。
x′
y′
= r cos Θ
= r sin Θ
(6.21)
(6.22)
ξ′
η′
= θ cos Φ
= θ sin Φ
(6.23)
(6.24)
106
Figure 6.2:
ここに θ は焦点面に写った像の天球面上での離角である。M (x′ , y ′ )A(x′ , y ′ ) = M (r)A(r) とかける場合、
∫
∫
Ã(θ) =
dr dΘM (r)A(r)e−2πiθr cos (Θ−Φ)
(6.25)
∫
= 2π dr r M (r)A(r)J0 (2πrθ)
(6.26)
となる。この変換を Fourier-Bessel 変換という。
望遠鏡、すなわち直径 D の瞳面マスクを M に入れた場合、つまり M (r) がステップ関数 (R ≥ r で 1,
R < r で 0) の時、
∫
D/2λ
Ã(θ) = 2π
dr r M (r)A(r)J0 (2πrθ)
(6.27)
0
Ã(θ)
∝
χ ≡
J1 (πχ)
χ
θ
λ/D
(6.28)
(6.29)
となり、強度分布 IAiry (θ) = |Ã(θ)|2 は
IAiry (θ)
J1 (πχ) 2
∝ χ となる。この強度分布をエアリーディスクと言い、図 6.3 のような分布となる。
107
(6.30)
Figure 6.3: エアリーディスク。点線は FWHM の等しいガウス分布で近似した場合をしめしている (σ =
0.437λ/D)。
このように理想的な場合であっても、点光源は焦点面で、半値全幅 (FWHM) にして約
λ
= 20.6
D
(
λ
1µm
)(
D
10m
)−1
[mas]
(6.31)
の広がりを持つことになる。さらに図 6.3 右のように、同じ FWHM の Gaussian より、外側ではるかに高い
強度を持つ(ハローという)ため、たとえ理想的な場合であっても、この回折光ハローが恒星の周りの惑星
の検出の邪魔となる。このハローは焦点面での低周波成分であることから、瞳面での高周波な構造、具体的
にはマスクのエッジの部分がフーリエ変換されてハローとなっている。
6.2
コロナグラフ型の直接撮像装置
主星からの光を様々な方法で遮蔽し、惑星光の検出を行うための装置をコロナグラフという。コロナグラフ
は、元々は太陽の周りを覆う高温ガス、コロナを観測するために、太陽光球をマスクする装置のことを指し
た。系外惑星観測では、コロナではなく惑星を検出するために主星をマスクしようとする。コロナグラフを
用いた方法は、主に可視・近赤外域での直接撮像法として考えられている。コロナグラフを用いても、大気
揺らぎ(地上望遠鏡の場合)や望遠鏡の鏡面精度などによっては、漏れ込み光が残る。このような漏れ込み
はその形状からスペックルとも呼ばれ、コロナグラフによる惑星検出の最大のノイズ源となっている。宇宙
望遠鏡では大気揺らぎがないため、スペックルの寄与は地上観測よりは小さいが、鏡面精度によるスッペク
ルは問題になりうる。地上観測では大気ゆらぎによるスペックルが特に問題である。スペックルを押さえる
ためには、補償光学 (AO; Adaptive Optics) により波面の計測と補償を行わなくてはならない。検出器で計
測した光から、さらに後処理をしてコントラストを向上させる操作を一般的に post-processings という。
まとめてコロナグラフ型の直接撮像装置の構成を、一般的に分類すると以下のように書けるかもしれない。
• Adaptive Optics → Coronagraph → Post-processings
これは、それぞれ
• 波面の計測と測定 → 恒星光の抑制 → PSF の測定と除去
108
の役割に対応している。
また、スペックルが押さえられても、惑星系空間に存在するダストによる反射光、系外黄道光もノイズ
源となる。数十メートルクラスの大型望遠鏡の場合、惑星周りの空間分解能が高いため系外黄道光の寄与は
少ないが、宇宙望遠鏡のように大口径が難しい場合、大きなノイズ源となる。地上では口径の大型化が可能
だが、スッペクルが大きいので、コントラストが厳しくないが離角の小さい晩期型周りを、宇宙衛星計画で
は小口径になってしまうが、スペックルは小さいので、コントラストがより厳しいが離角は大きい G 型星ま
わりが適していると言える。
6.2.1
波面計測と補正
スペックル
コロナグラフは中心点源 (恒星) の回折光を押さえる装置であり、理想的な最初の瞳から入ってくる光は平
面波であることを仮定して設計されている。しかし、実際には望遠鏡の鏡面精度やその他装置内の問題、地
上観測の場合は大気により光が擾乱をうける。具体的には主に光の位相が乱され、波面が歪む。このような
波面誤差の影響で焦点面に現れてくる像をスペックルといい、惑星の直接検出における最大の障害となって
いる。
第一瞳面での波面誤差の空間分布を以下のように表そう。
A1 (x1 ) = e−iϕ1 (x1 )
ここで、ある空間成分 X の ϕ1 (x1 ) を考える。
(
)
(
)
2πx1
2πx1
ϕ1 (x1 ) = a cos
+ α + ib cos
+β
X
X
(6.32)
(6.33)
ここで、第一項は位相エラー、第二項は式 (6.35) に代入すると振幅となるので、振幅エラーを表す。
位相エラーだけを考えると波面が空間スケール X の周期で
h0 =
λ
a
2π
(6.34)
の (peak to valley の) 幅で進行方向に揺らいでいることに対応する。このような波面のゆらぎを ripple と
いう。
さて、ϕ1 が小さいとして、式 (6.33) のエラーをもった光を焦点面で結像させると、
A2 (θ) = FT[M1 (x1 )e−iϕ1 (x1 ) ]
∼ FT[M1 (x1 )(1 − iϕ1 (x1 ))]
[
(
)
(
)]
2πx1
2πx1
= FT M1 (x1 ) − iM1 (x1 )a cos
+ α + bM1 (x1 ) cos
+β
X
X
(6.35)
(6.36)
(6.37)
2πx1
1
となる。cos (2πx1 /X + α) = {exp [i( 2πx
X + α)] + exp [−i( X + α)]}/2 を利用して
A2 (θ)
H(θ)
S± (θ)
=
H(θ) + S+ (θ) + S− (θ)
sin (πθD/λ)
D
= FT[M1 (x1 )] =
πθD/λ
1
≡
(iae±iα − be±iβ )H(θ ± λ/X)
2
109
(6.38)
Figure 6.4: シャクハルトマン波面センサー
となる。このとき、強度は
I2
= |A2 (θ)|2 = |H(θ) + S+ (θ) + S− (θ)|2
= |H|2 + |S+ |2 + |S− |2 + Re(HS+ ) + Re(HS− ) + Re(S+ S− )
(6.39)
(6.40)
となる。ここで |S+ |2 + |S− |2 は Speckle、Re(HS+ ) + Re(HS− ) を Pinned Speckle という。式 (6.38) より
これらスペックルは θ = ±λ/X の位置にできることが分かる。すなわち大きい空間スケールの ripple は焦点
面では内側のスペックルに、小さい空間スケールの ripple は焦点面の外側のスペックルとなる。また Pinned
Speckle は回折光ハローのパターン上に形成されることが分かる。
波面の計測
シャクハルトマンセンサーは波面を計測する古典的で分かりやすいセンサーである。これはレンズレットと
呼ばれる小さいレンズをたくさん二次元にならべたアレイと検出器で構成される。図 6.4 に模式図を示した
ように、平面波が入射すると各レンズの焦点は格子状に均等にならぶが、波面が歪んでいると、個々のレン
ズに入射する波面の入射角が変わるため、焦点がこの格子からずれて検出される。このずれを測定すること
で入射波面の形状を測定することが出来る。他にも Pyramid センサーや Curvature センサーなど複数の波
面計測センサーが提案され、開発されている。
110
Figure 6.5: Lyot mask coronagraph の概念図。
波面の補正
波面の補正は、小さい鏡を多数アレイ状に並べた Deformable Mirror (DM) を用いて補正する。これも仕組
みは簡単で、計測した波面のずれに応じて個々の鏡を動かすことで波面を反射波面を平面波に近づける。波
面は瞳面で補正するため、DM 素子数が多いと広い視野での補正が可能になる。また、大きな位相エラーを
補正するには、大きな DM のストロークが、早い時間スケールの変動を補正する場合には、計測から補正ま
でのループを高い時間周波数で行う必要がある。さらに通常の AO では波面計測 (計測光) の波長バンドと取
得画像 (サイエンス光) の波長バンドが異なるが、この波長差に起因したエラー、色収差が問題になることも
ある。
6.2.2
コロナグラフ
コロナグラフは、光軸中心においた恒星光を抑制し、光軸から離れた位置にある惑星光は透過するデバイス
である。コロナグラフの性能の評価基準には、入射してくる光の波面誤差をどの程度補正したものを想定す
るか、さらに製作の難しさや安定性なども勘案しないとならないが、ここでは以下の理論的な性能の評価基
準に注意しながら評価を進める。
波面誤差ゼロの光を入手したとき、理論的に
• どれだけ光軸中心の光を抑制できるか。
• 抑制しない領域 (惑星を置く領域) をどれだけ近くに置けるか。
前者を特徴づける量として、入射光の焦点面での分布 I⋆ (θ) に対し、ある position で抑制の度合い I⋆ (θ)/I⋆ (0)
をコントラスト c(θ) を用いて表現する。ここで用いている c は極めて限定的な条件 (波面誤差ゼロの入射に
対し、ある波長でどの程度抑制できるか、かつ、理論的な値) で用いているため、厳密に c(θ = 0) = 0 のコ
ロナグラフもある。
後者を特徴付ける量として Inner Working Angle (IWA) がある。これは恒星にどれだけ近くても惑星を
検出できるか、という量なので、本来は恒星惑星コントラスト csp によるのだが、コロナグラフでの使い方
は、どのくらい光軸中心に近づけても抑制されないかという意味で用いられる。典型的には、ある (θ) から
の光の透過率 T (θ) = 0.5 となるところを便宜的にコロナグラフの IWA とすることが多いようだ。
焦点面コロナグラフ:Lyot Mask Coronagraph、Band-Limited Mask Coronagraph
図 6.5 のように、焦点面に角半径 θr のマスクを置くことを考える。
M2 = 1 − rect2
(6.41)
−1
Ain
(M2 ) ∗ (A1 · M1 )
3 = FT
(6.42)
式 (6.18) より焦点面後の第二瞳では、
111
Figure 6.6: 左上は矩形の瞳窓、rect1 。右上は、式 (6.46)、左下は式 (6.45) の右辺第二項。第二瞳面での強度分
布。すなわち左上ー左下の自乗である。この二つの引き残りのピークをリオストップで除去する。θr = 10λ/D
としている。
であり A1 = 1、M1 = rect1 とすると
Aout
3
=
=
FT−1 (1 − rect2 ) ∗ (A1 · rect1 )
[δD − FT−1 (rect2 )] ∗ rect1
(6.43)
(6.44)
=
rect1 − FT−1 (rect2 ) ∗ rect1
(6.45)
となる。これは第一瞳から「第一瞳と焦点面マスク FT の畳み込み (右辺第二項)」を引いたものとなる。こ
こで焦点面マスク FT の畳み込みの項は
FT−1 (rect2 ) =
sin (πθr x3 /λ)
πx3 /λ
(6.46)
の形になる(図 6.6 右上)。
θr を λ/D の数倍以上大きくとれば、後者は矩形関数に細かい波が入った物となり(図 6.6 左下)第一項
の rect1 の大部分は除去され、細い edge が第二瞳面の D 付近に残る(図 6.6 右下)。。これを円環状の遮蔽
物で除去してからもう一度最終焦点に結像することで光軸上の光はかなり抑制される。しかしゼロにはなら
112
Figure 6.7: Pupil Masking Apodization の例。左が瞳面でのマスク。右が焦点面。([30])
ない。この遮蔽物のことをリオストップという。焦点面マスクの半径 θr を外れた光については、ほぼそのま
ま最終焦点に結像するので、コロナグラフの IWA としては θr となる。
焦点面マスクとして、周期関数をおいたものが Band-Limited Mask Coronagraph である。この場
合は、第3平面瞳の中心領域にわたって値がゼロとなり、エッジ付近では有限の振幅が残るので、高いコン
トラストが達成できる。
瞳面コロナグラフ:Pupil edge, masking, and mapping apodizations
焦点面におけるハローは瞳面での高周波成分、すなわち、瞳の edge の部分からくるので、瞳の edge を
apodization すればよい (apodization=removing the foot; 関数の形状を変形すること)。これが Pupil-Edge
Apodization である。たとえば Gaussian で apodization すれば、そのフーリエ変換は Gaussian なので、
イメージ面でも Gaussian となる。Gaussian は無限遠まで定義されているので、代わりに例えば有限範囲で
定義されている Prolate spheroid function などが使われる。
瞳面で Gaussian のような滑らかに透過率が変わるような Apodization をつくるのは難しいので、透過率
0, 1 のマスクで同じようなことをやろうとするのが Pupil-Masking Apodization である。図 6.7 が例で
ある。この例では、左右方向にいくに従い透過率が下がっていて、その結果、焦点面での左右方向に Dark
Hole ができている。しかし瞳マスクの上下方向には edge がいっぱいあるため、焦点面での上下方向には回
折光がいっぱいでている。
入射光そのものを Gaussian 強度分布にしようとするのが Pupil Mapping Apodization である [22]。
もしくは Phase Induced Amplitude Apodization: PIAA ともよばれる。二枚の非球面鏡を用いて
Gaussian 分布を実現する。この場合、光の損失がないのが利点である。
113
Nulling Interferometer, Visible Nuller
光の干渉を用いて恒星光を打ち消すタイプの装置を Nulling Interferometer もしくは Nuller という。赤
外光領域での Nulling Interferometer は複数の望遠鏡の光を干渉させて中心の恒星を打ち消す (nulling)。単
一の可視望遠鏡でも、入射光束を二つ以上にわけ、望遠鏡瞳をずらして干渉させることで同様の nulling が可
能である (Visible Nuller)。Nuller の原理は単純である。基線長が B 離れた二光束の干渉を考えよう。ま
ず天球上の θ から来る光の瞳での二光束の複素振幅は
|A0 | 2πi(x±B/2)θ
e
2
となる。ここで二つの光束の位相を π ずらし、干渉させると
A±,1 (x, θ) =
A1 (θ) = A+,1 (x, θ) − A−,1 (x, θ)
(6.47)
(6.48)
となる (eiπ = −1 だから A± の符号が逆になって足される)。この干渉光の強度は瞳の位置 x によらず
I1 (θ) = |A1 (θ)|2 = |A20 | sin2 (πθB)
(6.49)
となる。すなわち恒星を on-axis の θ = 0 に置けば、恒星光は完全に打ち消される。惑星は打ち消されては
困るので、惑星の天球面上での位置を θp として、θp B/2 ∼ 0.5 になるように基線長 B(visible nuller ではシ
アー量) を適宜選ぶ必要がある。実際には、波面揺らぎの他に、恒星実サイズも nuller のコントラスト性能
に影響することに注意が必要である。
参考文献:[81] 等
6.2.3
Post-processings
AO+Coronagraph で得られた焦点面での恒星光の強度分布を考えよう。このとき、検出したい惑星の位置
での恒星光強度と on-axis での恒星光強度の比を raw contrast Craw という。惑星の検出という意味では、惑
星主星コントラスト csp が少なくとも raw contrast 程度あれば検出できる。これを式にすると検出 S/N を
S/N = csp N⋆ /σ = csp /Craw
σ ≈ Craw N⋆
(6.50)
(6.51)
と見積もっている事に対応する。ここに N⋆ は Point Spread Function (PSF) サイズ、つまり焦点面での恒
星像内の平均恒星光子数であり、σ は惑星検出に対するノイズである。しかし、よく考えると、式 (6.51) は
過大評価である。なぜなら惑星をスペックルと見分ければ十分なので、ノイズ σ は、例えば、σ は、PSF 内
の平均スペックル光子数 Craw N⋆ の Root-Mean Square(RMS) 程度と考える事もできる。つまりスペックル
画像の平均化ができれば、検出限界コントラストは raw contrast より1ー2桁は良くするが可能である。こ
のような処理を post-processing と称する事が多い。
代表的な post-processing に Angular Differential Imaging (ADI)[48] がある。これは静的なスペックル
(スパイダーや装置由来のスペックル)を平均化するために、検出面上での惑星の位置を回転させて、観測
後にその回転分を補正し、スペックルの RMS を小さくする。
6.2.4
Speckle Nulling
もっと能動的に raw contrast を下げる技術として Speckle Nulling という技術がある。AO では、Defomable
mirror (DM) を用いて波面をフラットにするが、speckle nulling では、焦点面の片側のスペックルを打ち消す
ように位相を制御する。片側しかできない理由は、揺らぎは位相揺らぎと強度揺らぎがあるが、DM では位
相揺らぎしか制御できないからである。このようにして能動的にスペックルを抑えた検出面上の領域を dark
hole という。
114
6.2.5
コントラスト・IWA
コントラストと一言で表した時には何の量をそう呼んでいるかよく確認したほうがよい。コロナグラフの評
価で用いたコントラスト c は波面誤差ゼロの理論的な値であるため、多くのコロナグラフは c = 0 であった。
(例え理論的には c = 0 でも)製作してみて、ある波面誤差の光(もしくは波面誤差ゼロのレーザー)を入射
したとき達成されたコントラストと言う意味で用いる事もある。さらにややこしい事に、コロナグラフ後に
ポストプロセスやスペックルナリングをかけて達成されたコントラストをコントラストと言う事もある。
装置計画や装置全体のコントラストと言う意味では、望遠鏡+AO を通過してきた光がコロナグラフを
通ってきた後に、惑星の位置でどれくらい抑制されているかという意味のコントラストがあり、これには raw
contrast という場合がある。さらにこれにスペックルナリングやポストプロセスをかけて、のこった残差の
揺らぎがどれくらいかまで考慮して、実際の式 (5.92) で表される主星惑星コントラストを検出できると言う
基準で達成コントラストという場合がある。
また、惑星を検出できる最小の主星ー惑星角度を Inner Working Angle (IWA) と呼ぶが、これも必ずし
も well-defined な量ではない。コロナグラフの IWA と言った時には、スループットが最大スループットの
半分になるような場所を IWA といったりする。装置計画全体の IWA といった時には、IWA は惑星主星コ
ントラストの関数になるはずである。
6.3
赤外干渉計
可視・近赤外に対し中間赤外は 10 倍以上波長が長いため、同じ口径を仮定すると分解能も 10 倍以上悪くなっ
てしまう。単一望遠鏡で大きな口径をつくる代わりに複数の望遠鏡を配置して干渉させる事で実効的に大き
な口径を実現する方式が赤外干渉計である。複数の望遠鏡からやってきた光を位相を揃えて干渉させる必要
があるため波長が短いとより難しくなるが、中間赤外領域では現在の技術でも可能である。6.2.2 章で述べ
た Nulling Interferometer もこの赤外干渉計の応用である。本章では、干渉と天体の空間情報を結びつける
基本原理を述べる。
干渉計による撮像の基本原理は、遠方にある天体と光の干渉の間を結ぶ基本定理である van Cittert-Zernike
定理に基づいている。ここで考えている光は本来、準単色光とよばれるある波長の周りに少し波長幅のある
光であるべきである。しかし基本的には単色光のように複素数で表される場 V を考えればよい。
6.3.1
van Cittert - Zernike 定理
相互コヒーレンス関数 (mutual coherence function)
Γ(P1 , P2 , τ ) ≡ ⟨V ∗ (P1 , t)V (P2 , t + τ )⟩
(6.52)
とこれを規格化した複素コヒーレンス度 (complex degree of coherence)
γ(P1 , P2 , τ ) ≡
⟨V ∗ (P1 , t)V (P2 , t + τ )⟩
√
I(P1 )I(P2 )
(6.53)
を定義する。この複素コヒーレンス度が後に説明するように観測量である。
図 6.8 のような有限の光源中の素片 Sm から出た光 Am を用いて、点 P1 、P2 への場は
Vm1 (t)
=
Vm2 (t)
=
e−iω(t−Rm1 /c)
Rm1
−iω(t−Rm2 /c)
e
Am (t − Rm2 /c)
Rm2
Am (t − Rm1 /c)
115
(6.54)
(6.55)
Sm
Rm2
P2
Rm1
P1
Figure 6.8: 有限な光源上の素片 Sm から2つの点 P1 , P2 への光線。
となる。すると全有限領域から P1 、P2 への場の同時刻相互コヒーレンスは
Γ(P1 , P2 , 0)
⟨V ∗ (P1 )V (P2 )⟩
∑
e−iω(Rm2 −Rm1 )/c
⟨A∗m (t − Rm1 /c)Am (t − Rm2 /c)⟩
=
Rm1 Rm2
m
≡
(6.56)
(6.57)
である。ここで光路差 Rm1 − Rm2 がコヒーレンス長 ∆ ∼ 2πc/∆ω より小さい領域では Am は変化しない
から、
∑
e−iω(Rm2 −Rm1 )/c
⟨A∗m (t)Am (t)⟩
Rm1 Rm2
m
∫
−iω(R2 −R1 )/c
e
≈
I(S)
dS
R1 R2
Γ(P1 , P2 , 0) =
最後の近似は Rm1 ≈ R1 、Rm2 ≈ R2 を用いている。複素相互コヒーレンス度を用いて書くと
∫
1
e−iω(R2 −R1 )/c
√
γ(P1 , P2 , 0) =
I(S)
dS
R1 R2
I(P1 )I(P2 )
∫
I(S)
I(Pj ) ≡ Γ(Pj , Pj , 0) =
dS
Rj2
(6.58)
(6.59)
(6.60)
(6.61)
となる。これが複素コヒーレンス (6.53) と天体の輝度分布 I(α, β) の関係を表すものである van Cittert-Zernike
定理である。
遠方領域においては、有限な光源に角度座標系 (α, β) をはり、点 P1 ,P2 のところにも物理座標 (X1 , Y1 ),
(X2 , Y2 ) を貼ることで
γ(P1 , P2 , 0) =
ψ
≡
eiψ
∫
dαdβI(α, β)e−ik(αx+βy)
∫
dαdβI(α, β)
k[(X22 + Y22 ) − (X12 + Y12 )]
2R
(6.62)
(6.63)
の形の二次元フーリエ変換となる。ここで x ≡ X2 − X1 , y ≡ Y2 − Y1 である。
van-Cittert Zernike 定理からわかるのは、二点 P1 , P2 をむすぶ線 (この線を基線という) を二次元上でさ
まざまな長さでとって、何らかの方法で複素コヒーレンス度 (6.53) をはかれれば、フーリエ変換で天体の像
116
が得られるということである。電波干渉計では P1 、P2 での波情報を記録し、あとで相関器にかけて相関を
取ることができるので、原理的には二次元フーリエ変換により像再生をすることができる。
しかし、光赤外干渉計では、現在のところ波の位相情報を直接取得することができないため、二点からの
光を干渉させ、情報を取り出す必要がある。具体的には干渉縞の山と谷の高さの比、visibility が複素コヒー
レンスと
|γ(P1 , P2 , τ )| =
Imax − Imin
Imax + Imin
(6.64)
の関係にあり、これと干渉縞の位相のずれから、複素コヒーレンス度を知る事ができる。複素コヒーレンス
度から一般の輝度分布の復元は、一般には逆問題となる。
6.3.2
一様ディスクの複素コヒーレンス
複素コヒーレンス度が天体のイメージ情報を持っている例として、一般の逆問題を扱うのは少々骨が折れる
ので、代わりに恒星の視直径測定を考えてみよう。星の視直径測定では一般の像再生は必要なく、一様の円
盤を仮定すればよい。この場合、複素コヒーレンス度の絶対値と半径の関係を導出することができる。
式 6.62 において、強度分布が見込み角 ρ、基線長 b の時、
2J1 (ν) iψ
e
ν
≡ kρb
γ(P1 , P2 , 0) =
ν
(6.65)
(6.66)
となるので、
2J1 (ν)
(6.67)
ν
となり、複素コヒーレンス度の絶対値を知ることが出来れば、見込み角を知ることができる。最初のインコ
ヒーレント、すなわち干渉縞がなくなる基線長は
|γ(P1 , P2 , 0)| =
b = 0.61
λ
ρ
(6.68)
の時である。ここでシリウスの視直径を 6.3 mas (ミリ秒) として、波長 0.5 µ m の場合にこの基線長を見積
もってみよう。
0.61
0.5 × 10−6
∼ 10m
0.0063π/(3600 × 180)
(6.69)
である。つまり 10 m 程度はなした二点での観測があればよい。
例えば P1 と P2 にきた光を点 Q で干渉させることを考えると、場は
V (Q, t) = k1 V (P1 , t − t1 ) + k2 V (P2 , t − t2 )
(6.70)
であるから、たとえば強度そのものは
I(Q) =
⟨V ∗ (Q, t)V (Q, t)⟩
(6.71)
∗
∗
= |k1 | ⟨V (P1 , t − t1 )V (P1 , t − t1 )⟩ + |k2 | ⟨V (P2 , t − t2 )V (P2 , t − t2 )⟩
+ 2Re[|k1 ||k2 |⟨V ∗ (P1 , t − t1 )V (P2 , t − t2 )⟩]
2
=
=
2
|k1 | I(P1 ) + |k2 | I(P2 ) + 2|k1 ||k2 |Re[Γ(P1 , P2 , t1 − t2 )]
√
(1)
(2)
I (Q) + I (Q) + 2 I (1) (Q)I (2) (Q)Re[γ(P1 , P2 , t1 − t2 )]
2
2
117
(6.72)
(6.73)
(6.74)
となる (I (j) (Q) は片方の経路のみの場合の強度)。γ(P1 , P2 , t1 − t2 ) は A(t) と Φ(t) にくらべ δ = ντ =
2π(R2 − R1 )/λ で早く振動するため、スクリーン上ではコヒーレント長の中では
2I (1) (Q)(1 ± |γ(P1 , P2 , t1 − t2 )|)
(6.75)
間を振動するので (I (1) = I (2) を仮定), フリンジの高さを平均で割ったものが複素コヒーレンス度の絶対値
の観測量 visibility となる
|γ(P1 , P2 , τ )| =
Imax (P ) − Imin (P )
Imax (P ) + Imin (P )
(6.76)
マイケルソン干渉計では光路長を同じにして τ = 0 にしておくので、visibility から |γ(P1 , P2 , 0)| がわかる。
P2
Q
P1
Figure 6.9: ヤング干渉
6.4
高分散分光装置
高分散分光器 (ここではだいたい R ≡ λ/δλ > 10, 000 の波長分解能を有する分光器) は、視線速度の測定の
みならず惑星大気のキャラクタリゼーションなどにも用いられ、系外惑星の観測には無くてはならない装置
である。
6.4.1
回折格子
高分散分光器には様々なタイプのものがあるが、最も普及しているのが回折格子 (Diffraction grating) を用
いたものである。回折格子には、大きくわけて透過型 (Transmission grating) と反射型 (Reflective grating)
があるが、ここでは天文分野でよく用いられる反射型の Blazed grating を解説する。Blazed grating は、図
6.10 のようにノコギリ形の回折格子に平行光を入射することで、段ごとに位相差をつけて干渉させる。隣の
段との光路差は、回折格子法線 (Grating normal) からの入射角度 α と出射角度 β 、段の幅 d を用いて
d sin α + d sin β
(6.77)
と表される。つまり m を整数(order と呼ぶ)として、m ̸= 0 の場合、出射方向 β の関数として
λ(β) =
d
(sin α + sin β)
m
(6.78)
の波長の光が強めあう。
Grating normal と反射面の法線の角度を Blaze angle と呼び、θB で表す。Blazed grating では、光線が
鏡面反射のとき、すなわち、
θB =
α+β
2
118
(6.79)
Figure 6.10:
の時、最もスループットが良い。この時の波長は Blaze wavelength と呼ばれる。ここで出入射間の角度
γ ≡ |β − α| を定義すると Blazed wavelength は
[ (
)
(
)]
d
2d
α+β
β−α
2d
γ
λB =
(6.80)
(sin α + sin β) =
sin
cos
=
sin θB cos
m
m
2
2
m
2
となることがわかる。blaze angle は、上式からもわかるように γ によって異なり、一意に表せないので、通
常 γ = 0 (Littrow 条件とも言う) の時の値で表す場合が多い。
6.4.2
高精度視線速度測定と波長キャリブレーション
6.4.3
ポストコロナグラフ高分散分光
119
Chapter 7
系外惑星観測とデータ解析
ケプラー衛星のような大規模高精度データの存在もあって、系外惑星分野では情報科学や信号処理といった
分野の手法が取り入れられてきた。本章では、これまでと少し視点を変えて系外惑星観測で用いられている、
もしくは、考えられている方法のデータ科学的な側面を解説したい。光度曲線や視線速度データにおける軌
道の推定などで用いられるベイズ統計によるパラメタ推定、スペクトルを用いた大気構造の復元、惑星表
面マップの再構成などで用いられる逆問題の手法、さらに周波数解析についても少し紹介したい。最後に古
典的手法である visual inspection についても言及する。この章の参考文献としては、「情報量基準」(小西・
北川、朝倉書店) や Bayesian Logical Data Analysis for the Physical Sciences Gregory (2005)[20]、Inverse
Problem Theory and Methods for Model Parameter Estimation Tarantola (2005) などをおすすめしたい。
プログラミング言語や計算資源については割愛するが、少しだけ言及しておくと、現在のところ天文業界
では python が主流となりつつある。さまざまなデータ形式、例えば天文業界標準の fits 形式を読む module
(pyfits) や可視化のための module (matplotlib) を始めとした便利でインストールの簡単な module を利用で
きる。さらに jupyter (ipython notebook) といったインターフェースも充実しており、研究者間でのコード
のやり取りも容易になった。本章の内容を実践する場合、特に理由がなければ python の使用をおすすめす
る。 計算機資源については、このところ CPU クロックの増加は頭打ちになり、並列化が進んでいる。なか
でも GPU とよばれるもともとは描画専用のユニットを用いた超並列プログラミングも容易になって、デー
タ解析などで気軽な使用ができるようになったことも嬉しい。GPU 用の言語としては NVIDIA の開発した
CUDA が容易であり、また python 上で使うことのできる pycuda などもある。
本章は、他の章にもまして雑然としていると感じるかもしれない。しかし系外惑星分野で進んでいる情
報科学化の一端でも紹介できればと思い、偏っているとわかっていながらいくつかの手法を紹介する。この
傾向と同時に進んでいることとして、オープン科学化が挙げられる。つまり研究で開発したコードやデータ
を積極的に公開していくことで、追試を容易にしたり、資源を公開することでより効率的に分野の開拓がで
きるといったメリットがある。有名なコードレポジトリとして github があるので、検索してみるとよいかも
しれない。
7.1
最尤推定と χ2 フィット
例えばトランジット・ライトカーブからのパラメタ推定を考える。トランジット・ライトカーブは 5.3 章で
みたように恒星密度や惑星主星半径比、impact parameter などが推定すべきパラメタである。トランジット
ライトカーブのパラメタをまとめて p と置こう。次に手持ちのノイズを含んだライトカーブデータを d とお
く。ノイズの原因となる確率分布がわかっていれば、p を与えた時に d が実現される確率を計算できだろう。
120
この確率を p の関数として考えたものを尤度関数という。
L(p) = p(d|p)
(7.1)
ここに p(A|B) は B という条件下での A の確率(条件付き確率)を意味している。最尤推定とは、尤度関数
を最大にする p を尤もらしい推定値として選ぶ方法である。
以下では、最尤推定の考え方を導くひとつのロジックとして、カルバック・ライブラー情報量の近似と
しての尤度関数を説明する。その前に、まず確率分布の記述法を少し説明したい。x が確率変数の時、確率
分布関数 F (x) とは、x ≤ x′ である事象を A とおいた時の確率
F (x′ )
A:x
≡ P (A)
≤ x′
(7.2)
(7.3)
で定義される。よって、ある範囲 B : x1 < x ≤ x2 が実現する確率は、確率分布関数を用いて
P (B) = F (x2 ) − F (x1 )
(7.4)
と計算できる。x が連続分布 (連続モデル) なら、確率密度関数
f (x) =
d
F (x)
dx
(7.5)
が定義できる。これは頻度分布と直接比較できるものであり、より直感的に理解できよう。確率分布が離散
的なときは、確率密度関数の代わりに確率質量関数
f (xi ) = P (x = xi )
(7.6)
ここに確率変数 x の取りうる値が {x1 , x2 , ...} だとする。
さて、d = d1 , d2 , ...dN を真の確率分布 G からサンプルされた実現値だと考える。この確率分布 G と比
較するための確率分布 F を持ってくる。この「比較」のために2つの確率分布関数の間の近さ(距離のよ
うなもの)を測定できる関数があると便利である。幾つかの有用な条件を満たすそのような関数としてカル
バック・ライブラー (KL) 情報量
⟨
⟩
g(x)
I = log
(7.7)
f (x)
が知られている。⟨⟩ は期待値をとることを示し、
∫
g(x)
I =
g(x) log
dx
f (x)
∑
g(xi )
I =
g(xi ) log
f (xi )
– 連続モデル
(7.8)
– 離散モデル
(7.9)
i
である。ここに f (x), g(x) は確率密度関数または確率質量関数である。KL 情報量は一般に I ≥ 0 であり、
f = g の時、I = 0 となるので、KL 情報量が小さいほうが f と g が近いとみなすことができる。KL 情報
量は
I = ⟨log g(x)⟩ − ⟨log f (x)⟩
121
(7.10)
のように分解でき、第一項は、f によらないので、f と g の近さを知るには第二項のみで良い。つまり
la ≡ ⟨log f (x)⟩
(7.11)
を最大化すれば、g(x) に最も近い f (x) が見つかることとなる。この la を平均対数尤度という。
式 (7.1) との関係をみるために、パラメタ p を採用した時の確率密度 (質量) 関数 fp としてみよう。平均
対数尤度は、⟨⟩ の部分に真の分布 g(x) が入っているため、通常、直接計算することはできない。そこで、平
均対数尤度をデータ d = d1 , d2 , ...dN から近似することを考える。di はそれぞれ確率分布 G からサンプリン
グされた x の実現値である。ということは
la = ⟨log fp (x)⟩ ≈
N
∑ 1 ∑
log fp (di ) ≡ l
N i=1
(7.12)
と近似するのは、妥当に思われる。すなわち真の分布 G の推定に実現値の列を用いるのである。この計算可
能な右辺は、
[N
]
N
∏
1 ∑
1
l=
log
(7.13)
log fp (di ) =
fp (di )
N
N
i=1
i=1
である。この fp (di ) というのは、パラメタ p を採用した時に di が実現する確率 (密度)p(di |p) であるから、
その積は
N
∏
fp (di ) = p(d|p)
(7.14)
i=1
と p を採用した時の d が実現する確率、すなわち尤度関数そのものである。
l=
1
log L(p)
N
(7.15)
となる。この log L(p) は対数尤度とよぶ。KL 情報量をデータで近似評価して最小化する手続きは、対数尤
度の最大化、すなわち尤度の最大化と同値であることが示された。
例として、ライトカーブの観測値列 d1 (t1 ), d2 (t2 ), ... があり、ノイズとして標準偏差 σ(t) のガウシアンで
あり、データ間のノイズは独立であるということがわかっている場合、ライトカーブのモデル m(t, p) をも
ちいて、最尤法でパラメタ p を決める場合はどうなるだろうか?データ点一個に対しての条件付き確率は、
ガウシアンの仮定から
}
{
1
[di − m(ti , p)]2
p(di |p) = √
exp −
(7.16)
2σi2
2πσi2
となることがわかる。ここに di = d(ti ), σi = σ(ti ) と略記した。尤度関数は、
{ N
}
N
∏
∑ [di − m(ti , p)]2
L(p) =
p(di |p) ∝ exp −
2σi2
i=1
(7.17)
i=1
となるから対数尤度は
log L(p) ∝ −
N
∑
[di − m(ti , p)]2
i=1
2σi2
122
= −2χ2 (p)
(7.18)
となる。最後の
χ2 (p) ≡
]2
N [
∑
di − m(ti , p)
σi
i=1
(7.19)
はカイスクエア (chi-squared) と呼ばれる。ここでわかるのは尤度最大は χ2 最小と同値である。この χ2 を
最小化する p を求めることを χ2 フィットと言ったりする。また σi が同じ値の時 (もしくは規格化すると)、
χ2 最小は L2 ノルム
L2 =
N
∑
[di − m(ti , p)]2
(7.20)
i=1
最小となり、最小自乗法となる。このように最尤推定は、独立なガウシアンノイズの時に最終的には最小二
乗法と一致する。
7.2
7.2.1
ベイズ推定
ベイズの定理
ベイズ統計は系外惑星分野ではパラメタ推定の手法として広く使われている。ベイズの定理
p(B|A) =
p(A|B)p(B)
p(A)
(7.21)
が指導原理である。ベイズの定理をどのようにパラメタ推定に用いるのだろうか?また、トランジット・ラ
イトカーブからのパラメタ推定を考えよう。トランジットライトカーブのパラメタをまとめて p と置く。次
に手持ちのノイズを含んだライトカーブデータを d とおく。トランジットのモデルとそのパラメタ p と統計
誤差の原因が与えられれば 1 、つまり、理想的なライトカーブと統計誤差の原因が与えられれば、p(d|p) は
尤度関数 L(p) であるから計算できる。もし p(p) を仮定すれば、ベイズの定理より
p(p|d) ∝ L(p)p(p)
(7.22)
が計算できる。この確率を事後確率(posterior)という。つまり、ある d が与えられた時のパラメタ p の
確率が直接計算できるというわけであり、この事後確率を求めることがベイズ推定である。考えている領域
で内の p に対し、事後確率 p(p|d) を計算できると、例えば p(p|d) を最大にするような p、最大事後確率
(Maximum A Posterior; MAP) を計算できる。これをパラメタ p の推定値として採用しても良いし、67%の
確率が入る p の領域をパラメタ推定値の信頼区間として使っても良い。これがベイズ統計を用いたパラメタ
推定の考え方である。
ベイズ推定においては、p(p) を勝手に与えなければいけない。これを prior とよぶ。ベイズ推定における
確率とは、個々人がもつ確からしさの信念を評価しているとされる。すなわち prior は、あなたの好きなよ
うに与えて良い。d の質が十分良ければ、prior の違いは結果に影響しなくなってくる。実際上は、例えば、
一様な prior などを用いる。この prior に対する違和感、具体的には恣意性が、ベイズ推定にたいする忌避感
の原因のひとつになっているのは確かだろう。慣れとは怖いもので、使っているうちにこのような大事な問
題、すなわち推定とはそもそも何であるかなど、とうに忘れてしまい、日常の作業に埋没してしまうのが常
である。たまには最初に抱いた違和感を思い出そう。
まとめると、データ d から、ベイズの定理を用いて、ベイズ推定を行う、すなわち事後確率を求めるには、
1 これらをセットでモデルということもある。
123
• 尤度関数
• prior
を与ればよい。式 (7.21) の分母は、規格化定数として働くのでここでは考える必要はない。
7.2.2
Markov Chain Monte Carlo (MCMC)
尤度関数と prior が与えられても、解析的にベイズの定理を適用して事後確率を求めることは困難である。
ここで登場するのが、推定という深遠な問題をルーチンワークに変えてしまう薬(毒)が MCMC である。
MCMC は、尤度関数・prior が与えられた時に、そこから計算される事後確率分布から抽出したサンプリン
グをモンテカルロ法的に得るアルゴリズムである。
代表的な MCMC のアルゴリズムである Metropolis-Hasting (MH) algorithm では、まず初期値として
p0 をセットした後に、以下の手続きを繰り返すことで、事後確率 p(p|d) の定常過程に収束させる。そして
事後確率の実現値として、この定常過程から {pN , pN +1 , ..., pM } がサンプリングされる。
• (1) i-番目の値を pi とする。pi から、次のサンプリングの候補 p̂i+1 (まだ候補なのでハットをつけて
いる) をある確率分布 q(p̂i+1 |pi ) (提案分布) に従うようにランダムに生成する。ここに q はどんな分
布でも良い。
• (2) 確率 r で p̂i+1 を accept する。その場合、pi+1 = p̂i+1 となる。
ここに
[
p(p̂i+1 |d)q(pi |p̂i+1 )
r(pi , p̂i+1 )) = min 1,
p(pi |d)q(p̂i+1 |pi )
]
(7.23)
である。このように次の確率が一つ前の結果だけに依存する離散的な確率過程を Markov chain とよぶため、
これらの手法は Markov Chain Monte Carlo (MCMC) と呼ばれる。
さて上の手続きで定常分布が成り立っていることを示そう。i 番目で p(pi |d) に従っている確率分布が、
手続きにより確率 p(pi+1 |pi ) で pi+1 を生成するとき、i + 1 番目で pi+1 は
∫
P (pi+1 ) = p(pi+1 |pi )p(pi |d)dpi
(7.24)
の確率に従うであろう。定常分布であるためにはこの P (pi+1 ) が再び p(pi+1 |d) と一致すれば良い。このた
めに必要な条件が詳細釣り合い条件
p(pi+1 |pi )p(pi |d) = p(pi |pi+1 )p(pi+1 |d)
である。詳細釣り合いが成り立てば、
∫
P (pi+1 ) =
∫
=
(7.25)
p(pi+1 |pi )p(pi |d)dpi
p(pi |pi+1 )p(pi+1 |d)dpi = p(pi+1 |d)
(7.26)
となる。
さて、MH algorithm では pi から pi+1 が生成される確率は
p(pi+1 |pi ) = r(pi , pi+1 ) q(pi+1 |pi )
124
(7.27)
であるため、
p(pi+1 |pi )p(pi |d)
=
=
=
=
=
r q(pi+1 |pi )
[
]
p(pi+1 |d)q(pi |pi+1 )
min 1,
q(pi+1 |pi )p(pi |d)
p(pi |d)q(pi+1 |pi )
min [q(pi+1 |pi )p(pi |d), p(pi+1 |d)q(pi |pi+1 )]
[
]
p(pi |d)q(pi+1 |pi )
min
, 1 q(pi |pi+1 )p(pi+1 |d)
p(pi+1 |d)q(pi |pi+1 )
r(pi+1 , pi )q(pi |pi+1 )p(pi+1 |d)
= p(pi |pi+1 )p(pi+1 |d)
(7.28)
となり、たしかに詳細釣り合いが成り立っていることが確かめられる。
7.3
逆問題
軌道要素のようにパラメタの数が決まっていて有限個なものについては MCMC などのベイズ推定が強力で
あった。では、たとえば惑星の表面マップのように、そもそもパラメタが連続的で、たとえ離散化しても、
その数が多く縮退も多そうな推定にはどのように対処すれば良いであろうか?このような縮退の強い推定の
問題系は逆問題と言われる。以下では、逆問題の例として、惑星の光度曲線から惑星の表面分布を推定する
問題を考える。
7.3.1
系外惑星の空間分解と Spin-Orbit Tomography
まず、惑星や恒星の表面というのはどの程度の角度 [ミリ秒; mas] に相当するのか確認しておきたい。表 7.1
に代表的な天体の角度、回折限界を示してある。まず距離 10 pc に位置する地球表面を直接空間分解しよう
と思うと、マイクロ秒の角度分解能が必要だという事である。参考までにこれは月面上の 1cm のものを地球
から見るのと同程度である。回折限界像を仮定しても、口径は 50-500 km 以上必要となる。これは単一鏡で
作るのはほぼ不可能であるから、直接空間分解(直接マッピング)しようとすると超長基線の光・赤外干渉
計が唯一の解となる。
一方、近傍恒星の半径であれば、太陽半径でも 0.5 mas 程度であり現実に赤外干渉計で半径の測定がな
されている。1969 年には、強度干渉計という優れた方法で近傍恒星半径を数 mas から ζP up の 0.41 ± 0.03
mas の精度で測定できている 2 。また近年ではマイケルソン型干渉計でもこの精度まで達し、また高速自転星
の、自転による星のゆがみなども検出されている。系外惑星の半径の直接測定はこの延長線上にあるだろう。
さらに近傍巨星になると半径にして数十 mas の大きさになるので、赤外干渉計で実際に表面輝度分布が
測定されている。特に F 型星と円盤をもつ B 型星の食連星 epsilon Aurigae では、2009 年の食時に赤外干渉
計 CHARA で F 型星前面に円盤上の影が通過するところが観測された [37]。これらは現実に空間分解できた
天体のうちのもっとも解像度のよい写真といえよう。これに比べ系外惑星の直接マッピングは、角度だけで
見ても、現在より三桁以上、解像度をあげないとならない事が分かる。
直接惑星表面を分解するのは非常に難しいが、もし直接撮像により、惑星反射光の観測を安定に長期に
わたり行う事ができれば、反射光の光度曲線をもちいて惑星表面の分布を再現することができる。
反射光光度曲線というのは、惑星に恒星光が当たっていて (On the sunny side) かつ観測者側に向いてい
る面 (合わせて Illuminated and Visible Surface; IV 面) から反射光の総和の時間変化に対応する。惑星の自
2 ただし強度干渉計は高温の天体にのみ適用できる。
125
Table 7.1: 天体の角度
長さ
R⊕
RJ
R⊙
冥王星半径 1150 km
ベテルギウス 103 R⊙
月面の 1 cm
λ
1 µm
1 µm
10 µm
10 µm
距離
10 pc
10 pc
10 pc
40 AU
200 pc
384400 km
D
30 m
50 km
100 m
500 km
角度 4 × 10−3 mas = 4 micro arcsec
0.05 mas = 50 micro arcsec
0.46 mas
40 mas
23 mas
5 × 10−3 mas = 5 micro arcsec
回折限界 λ/D 7 mas
4 × 10−3 mas = 4 micro arcsec
20 mas
4 × 10−3 mas = 4 micro arcsec
転に応じて、この IV 面が変化するので、惑星経度方向の変化が得られる。さらに公転に伴い自転とは異な
る軸(公転軸)で IV 面が変化する。このようにして、光度変動がみられるはずである。宇宙直接撮像観測
の長期モニタリング観測で、このような光度曲線を得る事ができれば、二つの軸による IV 面の変化を逆に
解くことで表面の二次元分布が得られる。この手法を Spin-Orbit Tomography と呼ぶ。
反射光強度は数式では以下のようにあらわされる。
∫
I(t) ∝
W (ϕ, θ, t; ζ, ΘS )m(ϕ, θ) sin θdθdϕ
(7.29)
VI
ここに ϕ, θ は惑星表面の経度、緯度、W はある時点 t での IV 面の重みであり、m(ϕ, θ) は惑星表面のアル
ベド分布である。ζ と ΘS は、自転軸傾斜を表す幾何学的パラメタであり、特に ζ は赤道傾斜角 (obliquity,
axial tilt とも) とよばれる。この形式は第一種フレドホルム積分としてしられている形である。今考えてい
る問題は I(t) をサンプリングした列から、m(ϕ, θ) を求める問題である。アルベド分布も球面を適当に離散
化すると
∑
I(ti ) =
(7.30)
W (θj , ϕj , ti )m(θj , ϕj )∆Ω
j
のようにかける。これは以下で解法を示す離散線形逆問題となっている。
7.3.2
線形逆問題
もう一度、Spin-Orbit Tomography を例にして、逆問題の解法を説明しよう。観測データから空間座標に対
して値を割り当てる作業をマッピングと呼ぶ。惑星の場合、通常は惑星表面を球面と見なし、球面上の座標
(θ, ϕ) に対して、輝度やアルベドなどの値を割り当てる。ここではその値を m(θ, ϕ) としておく。観測データ
が時間方向に m について異なる情報を持っているときに、マッピング問題は、
d(t) = F(m(θ, ϕ))
126
(7.31)
とかける。ここに、d(t) は時間 t における観測量 d で、F は m の汎関数である。m が惑星表面からの輝度で
あるとき、惑星全体からの光度 d を適当な重み付け G(t; θ, ϕ) で
∫
d(t) = dΩ G(t; θ, ϕ) m(θ, ϕ)
(7.32)
と一般的に書けるだろう。この定式化は Spin-Orbit Tomography や食を利用したマッピングである Eclipse
mapping などにそのまま応用可能である。上の定式化のままだと、観測量、推定量が共に連続関数となって
いるので扱いずらい。そこで t、(θ, ϕ) を共に離散化する。後者は球面上の離散化である。いまはピクセル立
体角が同じ ∆Ω であるとする。3
∑
d(ti ) =
G(ti , ; θj , ϕj )m(θj , ϕj )∆Ω
(7.33)
j
。式 7.30 は、この離散線形形式と同じ形である。これを行列形式で書くと
d = Gm
(7.34)
となる。ここに di = d(ti ), mj = m(θj , ϕj ), Gij = G(ti , ; θj , ϕj ) である。
実際の観測値 dobs は誤差を含んでいるので、例えば、このように誤差ベクトル ϵ を用いて
dobs = G m + ϵ
(7.35)
のように書ける。問題系としては dobs から、m の推定値 mest を与える問題系となる。このような問題系を
線形逆問題と言う。ここに幾つか言葉を定義しておこう。まず mest の予測誤差 e とは、
e = dobs − dpre
(7.36)
≡ G mobs
(7.37)
dpre
である。
自然解と不安定性
mest を選ぶ基準として、予測誤差を最小にするというものがまず考えられる。ϵ が同じ標準偏差 σ をもつ
平均 0 の標準分布のとき、この戦略は χ2 最小と等価である。4 すなわち、これは最尤法と同じである。し
かし、一般に混合問題を含む逆問題では、この戦略はうまくいかないことが多い。そのために逆問題では
regularization を行いモデル分散と予測誤差のバランスをとって推定値を得る。Regularization には、例え
ば、Maximum Entropy 法や後述する Tikhonov Regularization, LASSO などがある。まずなぜ予測誤差最
小がうまくいかない場合があるのかを考えよう。
さて、予測誤差最小の推定値 mest を構成する前に、離散線形逆問題で m と d がどのように関係してい
るかを調べよう。このためには、Design matrix G を特異値分解して考えると都合が良い。特異値分解とは
N × N 直交行列 U 、M × M 直交行列 V 、N × M の対角固有値行列
(
)
Λp 0
Λ =
(7.38)
0 0
Λp
3 球面上でのそのような離散化の例として、Healpix
≡
diag(κ1 , .., κp )
という素晴らしい方法が存在する。
4 同じ標準偏差でなくとも適当にスケーリングして同じ問題系に規格化できる。
127
(7.39)
をもちいて、Design matrix を
G = U ΛV T
(7.40)
と分解することである (特異値 κi は普通大きい順から並べる)。
さてここで直交行列の各列ベクトル
U
V
= (u1 , ...uN )
= (v 1 , ...v M )
(7.41)
(7.42)
G
Up
= U ΛV T = Up Λp VpT
= (u1 , ...up )
(7.43)
(7.44)
Vp
= (v 1 , ...v p )
(7.45)
d = Up Λp VpT m
(7.46)
とかく。特異値分解は固有値の数 p を用いて
と変形できる。すなわち、d = Gm は
とも書き直せる 5 。
ここで推定したモデル mest を v の線形結合に分解しよう。
∑
mest =
cj v j
(7.47)
j=1
で書いて、式 7.46 に入れてみると、

VpT mest

 
v T0
c1
v T1  ∑
c2 


=
cj v j = 
 ... 
 ... 
j=1
v Tp
cp
(7.48)
となることから (ここで直交行列の性質から v Ti v j = δij ; クロネッカーデルタ、となることを用いている)、
dpre = Gmest =
p
∑
κj cj uj
(7.49)
j=0
となる。
つまり、dpre は j = p + 1 から j = M の項には全く依存しないことが分かる。そこでこの空間を
V◦ = (v p+1 , ...v M )
(7.50)
5 V 、U は直交行列のため U U T = U T U = V V T = V T V = I であるが、U (N × p 行列)、V (M × p 行列) は、p ≤ N 、p ≤ M
p
p
であるため、VpT Vp = UpT Up = I (p × p 行列) であるが、Vp VpT 、Up UpT は単位行列とは限らない(p = N 、もしくは p = M のと
きのみ成立) ことに注意。
128
と定義する。すなわち mest は
(p 空間、ヌル空間) 内の (直交
∑Vpp 、V◦ によって張られる直交する二つの空間
∑
する) 二つのベクトル mp = j=1 cj v j 、m◦ = j=p+1 cj v j の和
mest = mp + m◦
(7.51)
に分けることができ、m◦ は全く dpre に影響を与えないことから、モデルからの予測 dpre と観測データ dobs
の比較から m◦ を推定する事はできない。V◦ が空集合、すなわち p = M である時はデータからモデルを完
全に決定できるので優問題 (well-posed problem) とよぶ。p ≤ N でないとならないので、N ≥ M 、すなわ
ちデータ数がモデルパラメタ数より大きい事は優問題である事の必要条件である。しかし、たとえ N ≥ M
であっても、p < M で有る場合、もしくは N ≤ M であり必然的に p < M である場合は V◦ が存在するの
で、推定できない m◦ が存在する。この場合、を劣問題 (ill-posed problem) もしくは混合問題とよぶ。
問題が ill-posed でも絶望する必要は無い。この場合、逆問題の解法は陽に暗に m◦ を仮定する事 (prior
を与えること) によりモデルを推定する事ができる。ベイズ主義者の場合、prior を与えて問題を解く形式に
違和感は無いだろう。ベイズ主義者でない場合も以下のように考えてもらいたい。例えば、m◦ の要素にあ
まり変動の無いベクトルだった場合、つまり対応する離散化前の関数 m(x) がのっぺりした関数だった場合、
そういう成分はどうでも必要でないという事もあるだろう。しかし、どういった成分が dobs からは表現でき
ないのかは知っておく必要がある。
次に、観測データのほうを ui の線形結合
dobs
=
N
∑
ki u i
(7.52)
i=1
で表してみよう。この場合、
e = dobs − Gmest
(7.53)
を mest を調整する事でゼロベクトルにすることはできるのだろうか?この場合、dobs の up+1 から uN の
成分は、どのように mest を動かしても引き去る事ができない。なぜなら q > p に対して、uq と Gmest の
内積をとると、
uTq Gmest = uTq Up Λp VpT mest = 0
(7.54)
となり、Gmest の uq の要素は 0 であるからである。すなわちヌル空間を
U◦ = (up+1 , ...uN )
(7.55)
として、dobs は Up 、U◦ によって張られる直交する二つの空間 (p 空間、ヌル空間) 内の (直交する) 二つの
∑p
∑N
ベクトル dp = i=1 ki ui 、d◦ = i=p+1 ki ui の和
dobs = dp + d◦
(7.56)
に分けることができ、どんなモデルパラメタ mest を持ってきても Gmest は d◦ の成分をもつことはできな
い。
もし観測誤差が存在しない場合、明らかに dobs の U◦ は空集合となるはずである。しかし、実際には観
測誤差のため d◦ の成分が dobs に存在する。ということは予測誤差のノルム、式 (??) を最小にするためには
129
dobs の dp の成分を Gmest で表現できれば良い。このような事を実現する一つの例が自然一般化逆行列であ
る
いま特異値分解により d = Gm は
d = Up Λp VpT m
(7.57)
のように書けている訳だが、これを逆行列のようにして
mest
G−g
= G−g dobs
T
≡ Vp Λ−1
p Up
(7.58)
のようにした G−g を自然一般化逆行列 (natural generalized inverse matrix; NGIM) という。NGIM により
得られた解は次の性質を持つ
• A. 予測誤差最小である。
どんな m を持ってきても d◦ を変えることはできないことから、予測誤差最小とは、予測誤差が dp の成分
を持たないことである。
UpT (dobs − Gmest ) = UpT (dobs − GG−g dobs ) = UpT (dobs − Up UpT dobs ) = 0
(7.59)
であるので、やはり自然一般化逆行列による解 mest は予測誤差最小の解である。
• B. mest は m◦ の成分を持たない。
これは
V◦T mest = 0
(7.60)
であることから、m◦ = 0 であることが分かる。このような解を自然解という。
ヌルベクトルは dobs に影響を与えることがないから、NGIM を用いて一般解
mest
= G−g dobs + V◦ α
(7.61)
の形式が得られる。ここに α はヌルベクトルの各成分である。
先験情報として平均ベクトル m̂ を与えた場合
mest = G−g dobs + (I − G−g G)m̂
(7.62)
を用いて、解の推定を行うと平均が反映される。ここに
VpT (I − G−g G)m̂ = (VpT − VpT Vp VpT )m̂ = 0
(7.63)
となっているので、(I − G−g G)m̂ の Vp 成分は 0 であり、確かに一般解の一つになっている。また
V◦T (I − G−g G)m̂ = V◦T m̂ = V◦T m̂0
130
(7.64)
なので、(I − G−g G)m̂ の V◦ 成分は m̂ の V◦ 成分 m̂◦ になっているので、たしかに先験情報 m̂ にもっとも
距離が近い一般解を選んでいることになる。
線形逆問題では u や v による展開が頻繁に出てくるため、通常の行列表記のみだと、今後の計算が表現
しづらい。ここでは Hansen 2010 に従って特異値分解をベクトルで表現し直そう。まず、行列 A、B を
A =
(a1 , ...an )
(7.65)
B
(b1 , ...bn )
(7.66)
=
のように表現する時、
AB T =
n
∑
ai bTi
(7.67)
i=1
となる。abT はダイアド (a ⊗ b) である。また、
AB T c =
n
n
∑
∑
(ai bTi )c =
(bTi c)ai
i=1
(7.68)
i=1
である 6 。bT c = b · c は内積である。
上記のような表記を用いると特異値分解は
∑
min(N,M )
U ΛV T =
κi (ui v Ti )
(7.69)
i=1
と表現できる。また一般化逆行列は
G−g =
p
∑
(v i uT )
i
κi
i=1
(7.70)
もしくは特異値に 0 が無いとすると
∑
min(N,M )
G−g =
i=1
(v i uTi )
κi
(7.71)
となる。自然解は
∑
min(N,M )
mest = G−g d =
i=1
(uTi d)
vi
κi
(7.72)
のように、v i の線形結合で表すことができ、要素は (uTi d)/κi となる。
上記では、モデルとデータをそれぞれ
mest
dobs
6 (a
= mp + m◦
= dp + d◦
⊗ b)c = a(b · c)
131
(7.73)
(7.74)
と分けて、お互いに影響を及ぼせない成分を抽出した。しかし、i ≤ p の成分についても、特異値が小さい
場合はどうなるだろうか?
e = dobs − dpre = dobs − Gmest =
p
∑
(kj − κj cj )uj ,
(7.75)
j=1
の ui 成分 (i ≤ p) を mest を調節してゼロにすることを考えよう。この場合、調節するのは ci ということに
なる。ここで、もし κi が小さいと ci を大きく変更して dobs の ui 成分である ki に合わせないとならない。
つまり、特異値が小さい成分に対して、予測誤差最小化をしてしまうと、dobs のちょっとした変化にたいし
て大幅にモデルが変化してしまう事になる。これを予測誤差最小である自然解の mest の面からも見てみよ
う。いま自然解は式 (7.72) で表されるように
∑
min(N,M )
mest
νi
=
≡
νi v i
i=1
uTi dobs
(7.76)
(7.77)
κi
のように、v i の線形結合で表した時、要素は νi となる。ここで、κi が小さいと ui dobs が少し変化しただけ
で、mest の v i 成分は大きく変更受けることとなる。これが逆問題の不安定性であり、overfit などと呼ばれ
ている問題である。一般に小さい κi に対応する v i は高周波成分である事が多く、不安定性が起きると、振
幅の大きい高周波の不安定成分が mest に現われる
Tikhonov Regularization
一般に不安定性を抑えるための処方を Regularization(正則化) とよび、様々な種類がある。最も簡単なやり方
は p を決定する際に、特異値が厳密な 0 で切るのではなく、特異値をある値以上のものだけ採用して p を選ぶ
というやり方であり、Trancated SVD などと呼ばれている (そもそも数値的な誤差をかんがえると、実用上
は NGIM も Trancated SVD に含まれる)。他に有用な regularization として、Tikhonov regularization
がある。これは、特異値を
1/κi → κi /(κ2i + λ2 )
(7.78)
ように dump し、小さい特異値のものを大きいものに入れ替えてから一般化逆行列を構成する。この操作に
より、推定モデルの不安定性を安定化させる事ができる。すなわち、推定値は
∑
min(N,M )
mest
T
= V Σλ U dobs =
i=1
(Σλ )ij
≡
κi
(uT d)v i
κ2i + λ2 i
κi
δij
κ2i + λ2
(7.79)
(7.80)
(7.81)
から求められる。ここに λ は特異値を安定化させるパラメタであり、regularization parameter と呼ばれる。
Tikhonov regularization は、以下の関数を最小化することと同値である。
Qλ = |Gm − dobs |2 + λ2 |m|2
132
(7.82)
これは以下のように示される。式 (7.82) は
Qλ
=
G′
≡
d′
≡
|G′ m − d′ |2
( )
G
λI
(
)
dobs
0
(7.83)
(7.84)
(7.85)
のように変形できる。この関数の最小化は、単純に最小二乗解であるから、解を mest とおくと、正規方程式
(G′ )T [G′ mest − d′ ] = 0
(7.86)
(GT G + λ2 I)mest − GT dobs = 0
(7.87)
が成り立つ。すなわち
であり、これを mest について解くと
mest
= (GT G + λ2 I)−1 GT dobs
T
T
T −1
2
(7.88)
T
T
= (V Λ ΛV + λ IV V ) V Λ U dobs
= V (ΛT Λ + λ2 I)−1 V T V ΛT U T dobs
(7.89)
(7.90)
= V (ΛT Λ + λ2 I)−1 ΛT U T dobs
(7.91)
となる。V V T = I を利用している。(ΛT Λ + λ2 I) は対角行列であり λ > 0 である限り逆行列が存在してい
ることに注意。ベクトル形式で書き直すと
mest
= V Σλ U T dobs
∑
min(N,M )
=
i=1
κ2i
κi
(v i uTi )dobs
+ λ2
(7.93)
κ2i
κi
(uT dobs )v i
+ λ2 i
(7.94)
∑
min(N,M )
=
i=1
(7.92)
となり、確かに Tikhonov regularization となっている。
正則化パラメタの選択
正則化パラメタ λ は、どのように決めるべきであろうか?ベイズ主義的な解釈では λ は prior distribution
の幅を決めるものであり、hyper parameter とよばれるパラメタである。すなわち、ある意味、どのように
決めてもいいともいえる。ではここで例にもどって正則化パラメタを変化させた時、どのようにモデル推定
値がかわるだろうか?
L-curve とは、モデルのノルム ξ ≡ |mest − m̂|2 と予測誤差 ρ ≡ |G mest − d|2 を、λ をパラメタとして
プロットしたものである。図 7.1(左) は、L curve の一例である。この例では λ を 0.01 から 10.0 まで動かし
プロットしている。小さい λ では、モデルの分散が大きく、すなわちモデルのノルムも大きい値である。λ
133
Curvature
Norm of Model
10 3
10 2
10 1
10 2
Norm of Prediction Error
10 3
12
10
8
6
4
2
0
2
10 2
Norm of Prediction Error
10 3
Figure 7.1: L-curve と curvature
を大きくしていくとモデルのノルムは下がっていくが、あるところで下がりが鈍り予測誤差の急激な増大が
始まる (右下方向)。この中間点(図で丸のあるあたり)が選ぶべき λ であろう。
これは言い換えると、対数空間で log ρ-log ξ での曲率
c(λ) ≡ −2
(log ρ)′ (log ξ)′′ − (log ρ)′′ (log ξ)′
,
[(log ρ)′ 2 + (log ξ)′ 2 ]3/2
(7.95)
が最大になるところが最適値であるといえる。ここに ′ は λ による微分を表す。ここで
4∑
uT (d − Gm̂)
[1 − wi (λ)]wi (λ)2
λ i=1
κ2i
M
ξ′
= −
ρ′
= −λ2 ξ ′
κ2i
≡
.
2
κi + λ2
wi (λ)
(7.96)
(7.97)
(7.98)
を利用すると、
c(λ) = −2
ξρ (λ2 ξ ′ ρ + 2λξρ + λ4 ξξ ′ )
,
ξ′
(λ4 ξ 2 + ρ2 )3/2
(7.99)
となる。c(λ) が最大になる λ を探せばよい。
図 7.2 は、地球の大陸配置を簡単に模擬したインプットマップから光度曲線を生成し小さなノイズを付加
した後に、いくつかの正則化パラメタを用いてマップを復元した例である。L-curve criterion により選ばれ
た正則化パラメタがもっとも分解能とモデル分散のバランスの取れたマップになっているのがわかる。これ
よりも小さいものを用いるとモデル分散が大きく overfit になってしまい、大きいものをもちいると空間分解
能を劣化させてしまうこともわかる。
また、別の基準としてモデルの予測能力に着目した方法、Cross-Validation (CV) がある。CV では、デー
タのうちの一部を取り除きモデル推定をする。そして推定したモデルから取り除いたデータの予測を行い、
両者を比較することで最も良い予測を行った正則化パラメタを採用するというものである。筆者の経験上、
CV は L-curve criterion よりモデル分散の大きい正則化パラメタを選択する傾向があり、マッピングにおい
ては CV だと少し見た目が悪くなってしまうことが多い。
134
Figure 7.2: 上:Input map(左), L-curve criterion による maximum curvature の λ (7.1 の丸に対応) による
推定マップ (右), 下:小さめの λ を用いた場合 (7.1 の四角に対応) の推定マップ (左)、大きめの λ を用いた
場合 (7.1 の三角に対応) の推定マップ (右)。
LASSO
Tikonov regularization では、式 (7.82) のように、モデルの L2 ノルムで正則化を行った。これを L1 ノルム
にかえ
Qλ = |Gm − dobs |2 + λ2 |m|
(7.100)
の最小化をおこなうのが LASSO である。LASSO は不要なモデルパラメタを 0 にして、モデルベクトルが
疎(スパース)な推定を行う傾向があるという特徴がある。
135
7.4
7.4.1
周期・周波数解析
定常な周期解析
系外惑星観測の解析では、データの周期性を調べる解析をよく用いる。ある周期のシグナルの強度を測定す
る最も基本的な量として、フーリエ変換係数の自乗ノルムであるパワースペクトルがある。
P (f ) =
Ã(f ) ≡
|Ã(f )|2
∫
dtA(t)e−2πif t
(7.101)
(7.102)
(7.103)
しかし、フーリエ変換は連続量に対して定義されるので、実際上はなんらかの離散化に対応した変換をしな
ければならない。単純で高速なのは、高速フーリエ変換 (Fast Fourier Transform; FFT) を用いて離散フー
リエ変換することであるが、これはグリッドデータ、つまり時間等間隔にデータが存在しないと通常は適用
できないという欠点がある 7 。
そこで、視線速度法の周期解析でよく用いられるのが以下の Lomb-Scargle Periodogram である。
( ∑
)
∑
2
{ j cos [2πf (tj − τ )]}2
1 { j sin [2πf (tj − τ )]}
P (f ) =
+ ∑
(7.104)
∑
2
2
2
j cos [2πf (tj − τ )]
j sin [2πf (tj − τ )]
[もうちょっとかく] 多数の周期が混ざっているような系、例えば複数惑星系の視線速度解析では、まず Lomb
Scargle Periodogram で最も強いシグナルを同定し、その周波数成分を除いて、また周期解析をする、といっ
たことも行われる。
周期的なトランジットシグナルを探すトランジット探査では、トランジットライトカーブがサイン関数と
はかけ離れているため、よく Box Least Square (BLS)[41] が使われる。この方法は、時系列データに対
し、周期を仮定してデータを折り重ねたものを用意し、箱型の関数 (step function) で最小二乗法を行い、予
測誤差を評価する。これを周期方向に繰り返し、各周期で予測誤差の符号を変えルートをとったものを BLS
スペクトルと定義し、BLS スペクトルが最大になる周期で S/N を評価し、シグナルを検出するというもの
である。
BLS はトランジットが3回以上あるときに効果的に働く。そのため BLS を用いている Kepler の KOI カ
タログでは主に3回以上トランジットがあるものが記載されている。長周期惑星探査などで 2 回もしくは 1
回しかトランジットが無いものを BLS 法で探すと、大量の False positive 検出の中に真のシグナルが埋もれ
てしまい非効率である。
7.4.2
時間周波数解析
上記ではシグナルの周期が常に一定であることを仮定した解析法となっている。しかし場合によっては、周
期そのものが時間によって変動する場合もある。このような周波数自体の時間変化を周波数変調という。例
えば、5.3.2 章で解説した Rømer delay は、変光星の光度変動の周波数変調や、食のタイミングの周期の変
調などから検出できる。
ここでは、地球型惑星の探査に関係する直接撮像惑星の反射光の周波数変調を詳しく説明しよう。7.3.1
章でみたように、直接撮像惑星の反射光の光度変動では、まず惑星の自転による周期性があらわれる。しか
7 実はあまり知られていないが nonuniform fast Fourier Transform というアルゴリズムがあり、これを使えば非等間隔データで
も高速にフーリエ変換が計算できる。
136
し、実は幾何学的な効果によって、この周波数が変調する [32]。ではなぜ光度変動の周波数が変調するのだ
ろうか?
まず自転軸が公転軸と同じ向きの場合を考えよう (prograde rotation; 図 7.3 a 左)。地球は prograde
rotation に近い (赤道傾斜角 23 度)。この場合、外から惑星を見た時に惑星が一回転する間に、公転運動に
より日の当たる面も外から見て同じ方向に回転する。そのため惑星表面のある一点の日の出から日の出まで
は、一回転より長くなる。この現象は、太陽が一回転する一日 (solar day) より星が一回転する一日 (siderial
day) のほうが短いことに対応し、地球ではバビロニアの天文学者の時代より事実として知られていた。我々
が普段使う「一日」や直接撮像による光度変動の周期は、物理的な周期である siderial day ではなく、見か
けの周期 (solar day) に対応する。周波数でかくと
fobs = fspin − forb
(7.105)
となる。ここに fobs はみかけの周波数、fspin 、forb はそれぞれ自転周波数、公転周波数である。極端な例は
潮汐ロックしている惑星の場合で、fspin = forb であるから、fobs = 0 となり、日のあたっている場所は惑星
表面を動かない。また、自転軸が公転軸の真逆の場合 (prograde rotation; 図 7.3 a 右)、
fobs = fspin + forb
(7.106)
となる。では一般の赤道傾斜角 ζ の場合はどうだろうか。図 7.3 a 下には、pole-on(ζ = 90◦ ) の場合を書い
てある。これを拡大した図 7.3 b をみると、日のあたる面の代表点の経度が場合によっては順行、逆行と変
化することがわかる。これは fobs が場所によって変化することを意味する。このように周波数が時間変化す
ることを周波数変調するという。
一般に光度変動の周波数は、
fobs = fspin + ϵζ (Θ)forb
(7.107)
とかけることがわかる。ここに Θ は公転フェーズである。ϵζ (Θ) の具体的表現については [32] にある。この
ように反射光の光度変動周期という単純な問題に対しても周波数変調の概念がでてくることが分かった。
本章で説明したいのは、具体的にどのように周波数の時間変化を検出できるか、という技術的問題である。
変動する周期成分の解析の有用な一つの方法はウェーブレット変換を用いることである。しかし、ウェーブ
レット変換は厳密にはスケールを変化させているのであって、周波数と対応させるにはマザーウェーブレット
に依存するなどの理論上の難点がある。時間方向の周波数の変化をみるには時間周波数解析と呼ばれる手法
で、シグナルを時間と周波数の二軸方向に展開した Time-Frequency Distribution(TFD) を用いるのがよい。
解析信号
信号処理分野では、周波数を持つ実数のシグナルを複素数で表しておくと、便利である。実信号 s(t) に対し、
そのフーリエ共役を正の領域だけでフーリエ (逆) 変換したもの、すなわち、
∫ ∞
2
z(t) =
dωs̃(ω)eiωt
(7.108)
2π 0
を s(t) の解析信号 (analytic signal)
8
という。s̃(ω) は s(t) のフーリエ共役である。つまり
∫ ∞
s̃(ω) =
dts(t)e−iωt
−∞
8 analytic
equivalent, analytic associate とも。
137
(7.109)
Figure 7.3:
である。式 (7.109) を式 (7.108) に代入すると
∫
∫ ∞
′
1 ∞ ′ ′
z(t) =
dt s(t )
dωeiω(t−t )
π −∞
0
[
]
∫
1 ∞ ′ ′
i
′
=
dt s(t ) πδ(t − t ) +
π −∞
t − t′
∫ ∞
′
i
s(t )
= s(t) +
dt′
π −∞ t − t′
= s(t) + iH[s(t)]
(7.110)
(7.111)
(7.112)
(7.113)
となる。ここに H[s(t)] は Hilbert 変換
H[s(t)] =
1
π
∫
∞
−∞
138
dt′
s(t′ )
t − t′
(7.114)
である 9 。これから分かるように式 (7.108) で 2 をかけてあるのは、解析信号の実部を s(t) に一致させるた
めである。さてこの解析信号を作る操作を汎関数として定義しておこう。
A[s(t)] ≡ s(t) + iH[s(t)]
(7.115)
式からわかるようにこの変換は線形である。
例 1: s(t) = eiωt
まず s(t) = eiωt は、フーリエ変換が ω の位置のデルタ関数になるため、式 (7.108) より、明らかに
{
0
for ω < 0
iωt
z(t) = A[e ] =
(7.116)
2eiωt for ω ≥ 0
となることが分かる。
例 2: s(t) = cos (ωt), (ω ≥ 0)
s(t) = cos (ωt) (ω ≥ 0) は、前問の結果より exponential の肩の係数が負のものを消して、
z(t)
=
)
1(
A[eiωt ] + A[e−iωt ]
2
= cos (ωt) + i sin (ωt)
A[cos (ωt)] =
= eiωt
(7.117)
(7.118)
となる。
解析信号は複素数なので、実数 A(t), ψ(t) を用いた極座標形式
z(t) = A(t)eiψ(t)
(7.119)
のように表すことができる。A(t) は瞬時強度であり、ψ(t) は瞬時位相である。
そもそも信号を式 (7.119) のように表すやり方は quadrature model とよばれる。しかし、一般には信号
を A(t) と ψ(t) にどのように分けるかは任意である。その点、解析信号では、一意に強度と位相が決まるわ
けだが、その意味はなんだろうか?
例えば、二つの正弦波の積の場合、s(t) = cos (ω1 t) cos (ω2 t), (ω2 ≥ ω1 ≥ 0) の解析信号はどうなるだろ
うか。この場合、
z(t)
=
=
=
=
=
A[cos (ω1 t) cos (ω2 t)]
)
1(
A[ei(ω1 +ω2 ) ] + A[e−i(ω1 +ω2 ) ] + A[ei(ω1 −ω2 ) ] + A[e−i(ω1 −ω2 ) ]
4
)
1(
A[ei(ω1 +ω2 ) ] + A[e−i(ω1 −ω2 ) ]
4
)
1 iω2 t ( iω1 t
e
e
+ e−iω1 t
2
cos (ω1 t)eiω2 t
(7.120)
(7.121)
(7.122)
(7.123)
(7.124)
9 多くの Singnal processing のコードでは、Hilbert 変換のこの定義に-1 をかけたものを使用しているようだ。scipy.fftpack.hilbert
ではこの定義、julia DSP.hilbert、MATLAB の hilbert、scipy.signal.hilbert では-1 をかけたものを使用しているのを確認した。
139
となる。これは複数の周波数成分の積からなる解析信号においては、周波数の低いほうの成分が強度として、
高いほうの成分が位相として表現されることを示唆する。これを一般的にいったものが Bedrosian’s theorem
である (Bedrosian 1962,Rand Corporation Memorandum,RM-3439-PR)。
いま、一般に quadrature model、z(t) = A(t)eiψ(t) において強度、位相のフーリエ変換をそれぞれ
∫ ∞
z̃A (ω) ≡
dωA(t)e−iωt
(7.125)
∫
z̃ψ (ω)
−∞
∞
dωeiψ(t) e−iωt
(7.126)
z̃A (ω) ∗ z̃ψ (ω)
∫ ∞
=
dω ′ z̃A (ω − ω ′ ) ∗ z̃ψ (ω ′ )
(7.127)
≡
−∞
とおこう。フーリエ変換の積の分割公式より
∫ ∞
dtz(t)eiωt =
−∞
(7.128)
−∞
である。もし z(t) が解析信号ならば、負の成分をもたないので、強度が −ω1 から ω1 の間にゼロでない成分
をもつならば、位相は ω ≤ ω1 の成分はゼロでないとならない。
周波数の時間依存に対応するために、瞬時周波数 (Instanteous Frequency) という概念を考える。瞬時周
波数の直感的な定義は位相の時間微分である。ここに位相をどう定義するかという問題があるものの、ここ
では瞬時位相 ψ(t) を時間微分したものを瞬時周波数と定義する。
fi (t) =
1 dψ(t)
2π dt
(7.129)
となる。後にみるようにこの瞬時周波数がどういう関数か、何成分かによって最適な TFD の選択が変わっ
てくる。
Time-Frequency Distribution (TFD) とは、信号を時間周波数成分の二次元に展開し表示したものを言
う。本 Section では、典型的な TFD として、Short-Time Fourier Transform (STFT)、Winger Distribution,
Pseudo Wigner distribution を導入し比較する。
Short Time Fourier Transform と Spectrogram
TFD のもっとも古くからあるものとしてフーリエ変換に窓をつけて時間方向に動かした Short-Time Fourier
Transform (STFT) があげられる。
∫ ∞
S(f , t) =
y(τ )w(t − τ )e−2πif τ dτ
(7.130)
−∞
STFT を時間、周波数方向に表示し自乗ノルムをとったもの
ρ(f , t) = |S(f , t)|2
(7.131)
を Spectrogram と呼ぶ。STFT は、周波数方向の情報の集中度が高くない。また時間周波数の不確定性関係
があるため時間分解能をあげると周波数分解能が下がる。これは式 (7.130) が window とシグナルの積のフー
リエ変換である事から、
|S(f , t)|2
ŵ(τ )
˜ )|2
= |ỹ(f ) ∗ ŵ(f
≡ w(t − τ )
140
(7.132)
(7.133)
のようになる。時間空間で window 幅が小さいと、周波数空間で畳み込まれる window 幅が大きくなりなま
る。逆もまたしかり。このように時間分解能と周波数分解能のトレードオフが生じる (図 7.4)。
Spectrogram は、意味が明快で解釈も容易である、また後にみるように他成分系であっても artifact は出
ないこと (ただし分離にはあまりむいていない) から、TFD としてはまず行ってみるべき基本の解析である。
しかし、Spectrogram と瞬時周波数を結びつける理論的関係はなく、瞬時周波数推定には向かないかもしれ
ない。次にみるように Wigner Distribution は瞬時周波数から直接導かれ、よく瞬時周波数推定に用いられ
ている。
Figure 7.4: STFT の window size 依存性。線形に増加する周波数シグナルを変換している。
Wigner Distribution と Pseudo Wigner Distribution
Wigner Distribution は、瞬時周波数と直接関係している量であり、瞬時周波数推定の際に特に役立つ。いま
解析信号を z(t) = eiψ(t) とおく。
理想的な TFD は、デルタ関数 δD (x) を用いて
ρ(f , t) ∝ δD (f − fi (t)),
のように表されるであろう。
上記のような場合、ρ(f , t) の f から τ の逆フーリエ変換は
(
)
∂ψ(t)
ρ̂(τ, t) = e2πifi (t)τ = exp iτ
.
∂t
141
(7.134)
(7.135)
となる。
ここで、瞬時位相を小さな時間ステップ τ に対し、
∂ψ(t)
ψ(t + τ /2) − ψ(t + τ /2)
≈
,
∂t
τ
のように近似することを考える。 さてこの近似を式 7.135 に代入して、フーリエ変換すると
∫ ∞
ρ(f , t) =
ρ̂(f , τ )e−2πif τ dτ
−∞
∞
∫
≈
−∞
∫ ∞
=
−∞
(7.136)
(7.137)
exp [iψ(t + τ /2) − iψ(t + τ /2)]e−2πif τ dτ
(7.138)
z(t + τ /2)z ∗ (t − τ /2)e−2πif τ dτ
(7.139)
となる。これが Winger Distribution である。
Pseudo Wigner distribution は、Wigner distribution に window をつけたものである。window をつける
ことにより、興味のある t 付近での情報を強調する効果と、cross-term を抑制する効果がある。[? ],
∫ ∞
ρ(t, f ) =
h(τ )z(t + τ /2)z ∗ (t − τ /2)e−2πif τ dτ.
(7.140)
−∞
Pseudo-Wigner distribution は、Wigner distribution と window の複素共役の convolution の形で書ける。
ρ(t, f ) = h̃ ∗ ρ(f , t),
(7.141)
このことより Pseudo-Wigner distribution は、Wigner distribution を frequency domain にスムージングし
たものであることが分かる。
Window としては rectangular や Hamming window
( τ)
h(τ ) = 0.54 + 0.46 cos 2π
ω
= 0 otherwise
for |τ | ≤ ω/2
(7.142)
(7.143)
など各種が用いられる。
Wigner Distribution の marginal property
Wigner Distribution には、時間または周波数による境界化でシグナルのパワーが回復するという顕著な性
質がある。まず、式 (7.139) より逆フーリエ変換より
∫ ∞
∗
ρ(f , t)e2πif τ df
z(t + τ /2)z (t − τ /2) =
(7.144)
−∞
となる。ここで τ = 0 を取れば、
∫
|z(t)|2 =
∞
ρ(f , t)df
−∞
142
(7.145)
となり、確かに Wigner Distribution を周波数方向に積分すると、実空間のノルムが現われる。
また、
∫
∫
∞
∫
∞
∞
ρ(f , t)dt =
−∞
∫ ∞
−∞
−∞
∫ ∞
=
z(t + τ /2)z ∗ (t − τ /2)e−2πif τ dτ dt
z(t1 )z ∗ (t2 )e−2πif (t1 −t2 ) dt1 dt2
) (∫ ∞
)
z(t1 )e−2πif t1 dt1
z ∗ (t2 )e+2πif t1 dt2
(7.146)
(7.147)
−∞ −∞
(∫ ∞
=
−∞
2
|z̃(f )|
=
(7.148)
−∞
(7.149)
ここで t1 ≡ t + τ /2,t2 ≡ t − τ /2 としている。Jacobian の絶対値は 1 である。このように、時間方向の積分
でもシグナル(の周波数空間での)のノルムが現われる。
TFD を用いた瞬時周波数推定
各時間での TFD の周波数重心が瞬時周波数になる。これは以下のように理解できる。まず式 (7.144) を τ で
微分すると
∫ ∞
d
∗
(7.150)
[z(t + τ /2)z (t − τ /2)] =
2πif ρ(f , t)e2πif τ df
dτ
−∞
z(t) = A(t)eiψ(t) を代入し τ = 0 での微分を計算すると
∫ ∞
1 ′
2πi
f ρ(f , t)df =
[z (t)z ∗ (t) − z(t)z ∗′ (t)]
2
−∞
= iA2 (t)ψ ′ (t)
(7.151)
(7.152)
となる。式 (7.145) より、
∫
∞
ρ(f , t)df = A2 (t)
(7.153)
−∞
なので、式 (7.152) を式 (7.154) でわると、
∫∞
f ρ(f , t)df
ψ ′ (t)
= ∫−∞
fi (t) =
∞
2π
ρ(f , t)df
−∞
(7.154)
となり、重心が瞬時周波数に一致する。
実際上はノイズの影響を減らす目的や多成分瞬時周波数系の影響を排除するために、各時刻における TFD
の最大値を瞬時周波数の推定値として利用することが多い。すなわち
fi,est (t) = argmax[fi ,fj ] ρ(t, f ),
を瞬時周波数の推定値として利用する。ここに [fi , fj ] は興味のある周波数レンジである。
143
(7.155)
STFT、Wigner Distribution, Pseudo Wigner Distribution の比較
a. 単成分線形周波数変調
まず、単一成分の線形周波数変調、すなわち瞬時周波数が時間の線形関数の場合の各 TFD を図 7.5 左にし
めす。Wigner Distribution は、導出時の式 (7.136) から分かるように線形の場合、正しく瞬時周波数が導出
される。また Wigner Distribution が最も信号が集中しているのがわかる。
Figure 7.5:
単一成分線形瞬時周波数データの TFD(STFT 左上, Wigner 右上, Pseudo Wigner
左下, input data)、左 4 パネル:ノイズ無し、右 4 パネルノイズあり。時間周波数解析ツール juwvid
(https://github.com/HajimeKawahara/juwvid) を用いて作成した。
図 7.5 右は、これに std で 150%のノイズを付加したものである。Wigner, Pseudo Wigner ともに STFT
よりはノイズの影響を受けにくい。
b. 単成分・非線形周波数変調
図 7.6 左は、非線形な瞬時周波数の例である。ここでは正弦関数の形の瞬時周波数を持つシグナルの TFD を
表示している。Wigner Distribution では非線形な瞬時周波数の場合、artificial が出やすい。しかし window
をつけて領域をせばめて解析している pseudo Wigner Distribution ではこの artificial を抑えることができ
る。window のサイズを非線形性が隠される程度に小さく取ると正確な推定ができるが、そのかわり TFD が
なまって精度がおちる。また、STFT ではピークの値が input 瞬時周波数からよりバイアスされてしまって
いることに注意。
c. 多成分非線形周波数変調
最後に二つの非線形瞬時周波数の和で書かれる信号の場合が図 7.6 右である。STFT は、瞬時周波数と一致す
るかはともかく、きれいに二成分が分かれている。しかし、Wigner 分布はもとより、Pseudo Wigner でも、
二つの成分の間に cross talk 項がみられる。これは Winger distribution 系列は、シグナル同士のかけ算を用
144
Figure 7.6: 左 4 パネル:単一成分非線形瞬時周波数データの TFD、右 4 パネル: 二成分非線形瞬時周波数
データの TFD。
いるために生じる cross talk 項である。この cross talk 項を取り除くための異なる TFD として S-method、
L-Wigner distribution、polynomial Wigner distribution などもあるが、ここでは割愛する。
7.5
Visual Inspection
ケプラー衛星のデータに代表されるように、近年では多量のデータから情報を抽出するデータマイニングの
重要度が増している。例えばケプラー衛星のデータでは恒星数約 20 万天体、一天体につきデータ点数が約7
万点といった感じである。これに伴い異常検出の自動化や深層学習といった機械学習の賢そうな手法が駆使
されつつある。しかし、筆者の感覚では、データを目で見ながら探していく手法、visual inspection (VI)
もいまだとても有効である。本章ではこの古典的手法について解説しよう。
7.5.1
アサリ剥き身の誤謬
VI を行ったことのないあなたが、まず大量のデータから VI で何かを探す場合を考える。見なければならな
いデータ(例えば天体数)の総数を N としよう。最初の 100 枚程度を VI し、かかった時間を用いて1デー
タあたりの平均 VI 時間 τ を算出、VI を終えるまでの総時間数を
T ∼ Nτ
(7.156)
と予想し、VI にかかるコストを算出する、という手順が考えられる。しかしこれは多くの場合、誤りである。
クラムチャウダーを作るために、筆者はたまにアサリのむき身をする。といっても一回に10個程度だ。
筆者はわりと器用な方だが、一個あたりのむき身にかかる時間は 5–10 秒くらいかかる。ところで、東京湾
でかつてアサリが大量に採れた頃、アサリの殻をむく職業があって、職人は一日に万単位の殻をむけたとい
う。これはもちろん職人が寝食忘れてむき身に没頭していたわけではなく、単純作業は慣れるとどんどん早
くなるためだ。こんなことは言われれば当たり前なのだが、機械学習やビックデータなどというなんとなく
145
高級そうな(実際はそうでもない)手法でデータを扱うことに慣れてしまうと意外と気づかないものである。
ちなみに筆者も VI を続けること何ヶ月かで、以前の十倍以上もの速度で画像データをこなすことができる
ようになった。
ここで幾つか VI に関係する技術を幾つか紹介しよう。適切な道具、条件を満たすと VI 速度は向上する。
VI はパソコン上の予め作成しておいた N 枚の画像等で行うことを仮定する。
• 1. ボタンを押す回数を減らす
データを更新するごとにページめくりや移動でキーを押していると指紋がなくなり、指が痛くなってくる。
これを防ぐためにはキーボードの反応速度を遅くして、キーを押し続けることでページが適切なタイミング
で自動的にめくられつつけるように設定することで回避できる。
• 2. 良い描画環境を用意する
描画環境が悪いと、VI 能力が向上してくる頃には描画速度が追いつかなくなってくる。デスクトップの場合
は GPU を良い物につけかえる、ラップトップの場合は良い GPU を積んでいるゲーミングパソコンを使用
することなどでこれを回避できる。
• 3. 一度にやりすぎず、安全に気をつけ、良い周辺環境で VI を行う
ゲームと同じでやり過ぎると精神衛生上良くない。できれば気持ち良い秋晴れの空の下などで行いたいもの
である。以上の条件を満たせば、筆者の経験では、単純な判定作業(例えば幾つかの面白いシグナルを知っ
ていてそれを探す)の場合 N = 105 程度までなら、適当な時間を用いて無理せず 1,2ヶ月で終えられるよう
だ。熟達した状態で、通勤電車などで VI をやっていると隣席の人に声を掛けられたりして、系外惑星につ
いて説明したりしなければならなくなるので気をつけよう。
146
Chapter 8
惑星放射
本章では、惑星や惑星大気に関係する放射を扱う。本章の基礎となるのは、反射や散乱、放射伝達など放射
理論と光と物質の相互作用による放射過程、すなわち量子力学である。
8.1
Radiance, Irradiance
惑星や恒星は遠方から見れば点であり、近づいてみれば通常、連続的に密度が変わる三次元構造を持ってい
る。しかし表面上のある基準球面、たとえば地球なら惑星表面や大気上端の高度一定面、恒星なら光球面な
どを考えると、ある面からの放射や、ある面への放射を考える事で、計算が易しくなる。そこで、まず、あ
る有限面積の表面からの放射や、表面への放射を定量化するための量を定義しよう。微小面積 dA からある
Ω 方向に dΩ のコーン内 (図 8.1 左) を通過する単位時間・単位波長あたりのエネルギー dE を考える。n は
単位法線ベクトルである。dE 自体は、見かけの投影面積 cos θdA に比例するので、
dE = L↑ (θ, ϕ) cos θdAdΩdν
(8.1)
のように比例定数を、Radiance (もしくは放射輝度) L↑ として定義すれば、投影の効果を除いて放射を定義
できる。単位は例えば [W/m2 /sr/µm] となる。
dA から n 方向に流れるネットのエネルギーを Irradiance (もしくは放射照度) E↑ といい
∫
∫
E↑ =
dE = dΩL↑ (θ, ϕ) cos θ
(8.2)
uppersphere
∫
=
∫
2π
dϕ
0
π/2
dθL↑ (θ, ϕ) cos θ sin θ
(8.3)
0
となる。
上記では、素片 dA から放射される radiance、irradiance を考えたので、添字 ↑ をつけてある。逆に、dA
へのエネルギーの流入も考えられる。この場合は、L↓ 、E↓ のように ↓ の添字を用いておこう。また radiance
一定 (L↑ (θ, ϕ) = L) の場合、式 (8.3) から
E↑ = πL↑
となる。
147
(8.4)
Figure 8.1: (左) 素片 dA からの放射または、素片への放射。(右)(ϑ0 , φ0 ) 方向からの平行光の入射と立体角
dΩ あたりの (ϑ0 , φ0 ) 方向への反射。
8.2
8.2.1
反射光
Bi-directional Reflection Distribution Function
物体の表面反射を特徴付ける事を考えてみよう。太陽光が芝生にあたるときの反射を特徴付ける事をイメー
ジしてもらいたい (図 8.1 右)。入射光線 (平行光) をある (ϑ0 , φ0 ) 方向から照射すると、表面で反射され、素
片 dA から様々な方向へ光が放射されるが、ある観測方向 (ϑ1 , φ1 ) の dΩ の幅へ放射されたエネルギーを測
る事ができる。このエネルギーの比をあらゆる (ϑ1 , φ1 ) について測ることで、角度依存性が分かる。さらに
入射光線の (ϑ0 , φ0 ) も変えて調べる事で、あらゆる状況での反射が記述できるだろう。これを関数の形式で
あらわしたものが Bi-directional reflection distribution function (BRDF) である。さて以上の状況から、入
射光は入射エネルギーすなわち Iraddiance で定義し、反射エネルギーは radiance で定義すべきとなるだろ
う。すなわち BRDF は
R(ϑ0 , φ0 , ϑ1 , φ1 ) ≡ π
L↑ (ϑ1 , φ1 )
E↓ (ϑ0 , φ0 )
(8.5)
のように定義される。係数 π は規格化係数であり、つけない定義もよく用いられる 1 。この場合、E↓ (ϑ0 , φ0 )
は、(ϑ0 , φ0 ) 方向から平行光がきたときの irradiance ということになる。
多くの場合 azimath 方向は入射と反射の差 φ ≡ φ1 − φ0 だけによるので、BRDF は、solar zenith angle
ϑ0 , View zenith angle ϑ1 , View-sun relative azimuth angle φ の三つの角度を変数にとることになる。
R(ϑ0 , φ0 , ϑ1 , φ1 ) = R(ϑ0 , ϑ1 , φ)
(8.6)
1 ここでは [44] に合わせた定義をしている。[44] には、”Reflectance and BRDF are here taken to be of comparable magnitude,
which implies neglecting a factor of π in the BRDF as defined by Nicodemus et al. (1977)”とあり、すなわち、この定義では反
射率が BRDF と同じ強度になるようになっていて分かりやすい。よく用いられる f ≡ L↑ /E↓ で BRDF を定義した場合、albedo や
反射率を π で割った値が BRDF と同じ強度となるので、どちらを用いているか注意が必要である。
148
8.2.2
black-sky, white-sky albedo
ラテン語で白さを意味する albedo とは一般に、ある放射の状況下において、入射総エネルギーに対しての反
射総エネルギーの比をいう。空の一点のみから入射した光にたいするアルベドは black-sky albedo、もしく
は、directional-hemispherical reflectance と呼ばれる。式 (8.5) より、black-sky albedo は
∫
∫
dφ1 dϑ1 sin ϑ1 L↑ cos ϑ1
aB (ϑ0 ) =
(8.7)
E↓ (ϑ0 )
∫
∫ π/2
1 2π
=
dφ1
dϑ1 sin ϑ1 cos ϑ1 R(ϑ0 , φ0 , ϑ1 , φ1 )
(8.8)
π 0
0
のように BRDF を用いて計算できる。
BRDF がすべての角度によらず一定の時を等方反射 (ランバート反射) という (R(ϑ0 , φ0 , ϑ1 , φ1 ) = R)。
この場合、上の式より
aB (ϑ0 ) = R
(8.9)
となる。完全反射(エネルギーの吸収無し)の場合は、aB = R = 1 となる。
一方、空全体から一様に光が入射する場合のアルベド white-sky albedo または bi-directional-hemispherical
reflectance は、black-sky albedo に入射の際の見かけの角度による重み cos ϑ0 を掛けて平均した
∫ 2π
aW = ⟨aB ⟩
∫ π/2
dφ0 0 dϑ0 sin ϑ0 aB (ϑ0 ) cos ϑ0
∫ 2π
∫ π/2
dφ0 0 dϑ0 sin ϑ0 cos ϑ0
0
0
=
∫
(8.10)
π/2
= 2
dϑ0 aB (ϑ0 ) sin ϑ0 cos ϑ0
(8.11)
0
となる。等方散乱のとき、やはり
aW = aB = R
(8.12)
となることに注意。
8.2.3
Ross-Li model
Ross-Li model (厳密には RossThick-LiSparse-Reciprocal model) は、BRDF を isotropic term (等方散乱
項)、volume term (体積散乱項)、 geometric term (幾何学的表面散乱項) に分けて、その和で表す ([44])。
R(ϑ0 , ϑ1 , φ) = fiso + fvol Kvol (ϑ0 , ϑ1 , φ) + fgeo Kgeo (ϑ0 , ϑ1 , φ)
(8.13)
たとえば NASA のリモートセンシング衛星 Terra, Aqua による MODIS(Moderate Resolution Imaging
Spectroradiometer) Level 3 データでは、この三つの項 fiso , fvol , fgeo をデータとして提供しているので、こ
の式を用いて、地表面の反射特性を再現できる。図は MODIS による fiso , fvol , fgeo の例である。
ここにカーネル Kvol (ϑ0 , ϑ1 , φ) は以下のように与えられる。
Kvol (ϑ0 , ϑ1 , φ)
=
π
(π/2 − ξ) cos ξ + sin ξ
−
cos ϑ0 + cos ϑ1
4
149
(8.14)
ここに ξ は phase angle で cos ξ = cos ϑ0 cos ϑ1 + sin ϑ0 sin ϑ1 cos φ の関係がある。Kgeo (ϑ0 , ϑ1 , φ) のほうは
1
Kgeo (ϑ0 , ϑ1 , φ) = O(ϑ0 , ϑ1 , φ) − sec ϑ0 − sec ϑ1 + (1 + cos ξ) sec ϑ0 sec ϑ1 .
2
とあらわされる。ここに太陽光と視線の影のオーバーラップ領域は
O(ϑ0 , ϑ1 , φ) =
1
(t − sin t cos t)(sec ϑ0 + sec ϑ1 )
π
(8.15)
(8.16)
と定義される。ここに
cos t =
D2
=
D2 + (tan ϑ0 tan ϑ1 sin φ)2
sec ϑ0 + sec ϑ1
tan2 ϑ0 + tan2 ϑ1 − 2 tan ϑ0 tan ϑ1 cos φ.
2
(8.17)
(8.18)
ただし | cos t| が 1 を超えるものについてはオーバーラップ無しであり O(ϑ0 , ϑ1 , φ) = 0 とする。詳しくは、
[44] を参照してほしい。
Figure 8.2: ある日の MODIS による Ross-Li model の BRDF パラメタ fiso , fvol , fgeo の例。波長は 620-670
nm。
Ross-Li model を式 8.8 にいれると、
aB (ϑ0 ) = fiso + fvol hvol (ϑ0 ) + fgeo hgeo (ϑ0 )
(8.19)
のように表現できる。文献 [44] では hvol , hgeo を以下の経験式で近似している。
hvol (ϑ0 ) =
hgeo (ϑ0 ) =
g0,vol + g1,vol ϑ20 + g2,vol ϑ30
g0,geo + g1,geo ϑ20 + g2,geo ϑ30
150
(8.20)
(8.21)
これを用いて Ross-Li Model の係数 (fiso , fvol , fgeo ) から、white-sky albedo を計算できる。
∫
aW = 2 dϑ0 sin ϑ0 cos ϑ0 aB
= fiso + Gvol fvol + Ggeo fgeo
(8.22)
(8.23)
となる。各係数は表 8.1 に示してある。
Table 8.1: Ross-Li モデルの albedo factor
係数
g0,vol
g1,vol
g2,vol
g0,geo
g1,geo
g2,geo
Gvol
Ggeo
8.2.4
値
-0.007574
-0.070987
0.307588
-1.284909
-0.166314
0.041840
0.1741
-1.375
地球上の表面の反射率
図 8.3 は、地球表面上の代表的な組成の Black-sky albedo について図示したものである。まず soil、すなわ
ち土は可視近赤外域では波長が長くなると、一般的に反射率が高くなる。すなわち赤い。植物は 0.7 µm くら
いまでは、反射率が低いが、それ以降、近赤外域で急激な反射率の上昇が見られる。この特徴はレッドエッ
ジと呼ばれ、高等光合成生物のバイオマーカーのひとつと認識されている。レッドエッジについて詳しくは
3.4.4 章を参照のこと。
8.2.5
惑星の反射光フラックス
次に惑星全体からの反射光を考える。惑星からの反射光と恒星光の比、恒星惑星コントラストは、第 5.5.1
章でみたように、コロナグラフによる直接撮像において特に重要である。
惑星球面上の素片からの反射は、式 (8.5) より
L↑ =
E↓ (ϑ0 )R
π
(8.24)
である。素片 dA から dΩ の放射コーンを考え、距離 d にある面積 dAtel の望遠鏡がコーンの先端と考える
(dΩ = dAtel /d2 ) と、dA から dAtel が受け取るエネルギー ∆EdAtel は、
δEdAtel
= L↑ cos ϑ1 dΩdA
L↑
cos ϑ1 dAdAtel
=
d2
151
(8.25)
(8.26)
Figure 8.3: 地球表面の土 (茶色)、植物 (緑)、雪 (青)、氷 (シアン) の反射率。データは ASTER spectral
library より取得した。
となる。すなわち、観測者から見た素片 dA による Irradiance もしくはフラックスは
δE =
L↑
cos ϑ1 dA
d2
(8.27)
となる。
ここで E↓ は照度、すなわち入射フラックスであるので
E↓ (ϑ0 ) =
L⋆
cos ϑ0
4πa2
であることに注意して、素片を惑星全体で積分した惑星全体からのフラックスは
∫
fp =
∆E
(8.28)
(8.29)
planet
∫
=
dA
planet
∫
L↑
cos ϑ1
d2
E↓ (ϑ0 )R
cos ϑ1
πd2
planet
∫
L⋆ R
=
dA 2 2 2 cos ϑ0 cos ϑ1
4π
a d
planet
∫
∫
L⋆ R
=
dφ1 dϑ1 Rp2 sin ϑ1 2 2 2 cos ϑ0 cos ϑ1
4π a d
∫
f⋆
dΩ1 RRp2 cos ϑ0 cos ϑ1
=
πa2
=
dA
(8.30)
(8.31)
(8.32)
(8.33)
(8.34)
∫
となる。ここに IV dΩ1 は恒星に照らされ、かつ観測者側に見えている惑星の表面上での立体角積分である。
さて図 8.4 のように惑星座標を取り、eO = (1, 0, 0)T : 惑星から観測者方向への単位ベクトル、eR =
(cos ϕ sin θ, sin ϕ sin θ, cos θ)T :惑星表面の法線ベクトル、eS = (cos β, sin β, 0)T : 惑星から恒星方向への単
152
Figure 8.4: 惑星が恒星に照射されている領域 (オレンジ) と IV(照射かつ可視:Illuminated and Visible 領域)。
Phase angle β は ∠ 観測者ー惑星ー恒星で定義されている。
位ベクトルとする。ここに Phase angle β を ∠ 観測者ー惑星ー恒星で定義する。すると、cos ϑ0 = eS · eR 、
cos ϑ1 = eO · eR であり、この積分は結局
f ref (β)
f⋆ Rp2
πa2
=
f⋆ Rp2
πa2
=
∫
∫
π/2
π
dθR sin θ(eO · eR )(eR · eS )
dϕ
−π/2+β
∫
0
∫
π/2
π
dθR sin2 θ cos ϕ(cos β cos ϕ sin θ + sin β sin ϕ sin θ)
dϕ
−π/2+β
f⋆ Rp2
H(β)
πa2
=
(8.35)
0
(8.36)
となる。
∫
H(β) ≡
∫
π/2
−π/2+β
π
dθR sin2 θ cos ϕ(cos β cos ϕ sin θ + sin β sin ϕ sin θ)
dϕ
(8.37)
0
Phase Function
まず等方散乱の場合を考えよう。等方散乱近似 (Lambert 近似) では、R 一定である事から、H(β) = 32 R[(π −
β) cos β + sin β] であり、式 (8.35) は
f ref,L (β) =
2R
ϕL (β)
3
153
(
Rp
a
)2
f⋆
(8.38)
となり、R を A に置き換えると式 (5.93) に一致する。ここに、
ϕL (β) ≡ [sin β + (π − β) cos β]/π,
(8.39)
は Lambert 近似の時の、恒星ー惑星ー観測者の角度 β による光度変動を表す Phase Function である。
一般の場合、Phase Function は、β = 0 のときに 1 になるように規格化されているので、
f ref (β) = f ref (0)ϕ(β)
(8.40)
とかける。
Spherical Albedo/Bond Albedo
全入射エネルギーに対する全反射エネルギーの比を Bond Albedo Ab という。ある波長における入射エネル
ギーに対する反射エネルギーの比のことは、区別して Spherical Albedo というが、ここではこれを単に A で
表しておこう (つまり、Ab = ⟨A⟩λ である)。
反射フラックス fpref (β) を惑星の周りの球面で積分すると全反射エネルギー (惑星フラックス) がもとま
L⋆
る。また入射エネルギーは Lp,in = πRp2 4πa
2 であるから、
A=
∫ π
= 2π
dβ sin βfpref (β)d2
0
∫
2
=
dβ sin βH(β)
π
Lp
Lp,in
(8.41)
(8.42)
Geometric Albedo
Geometric Albedo とは、同じ直径の 100%の等方反射する円盤 (Lambert Disk) に対する phase angle β = 0
の時の反射 irradiance の比のことを指す。Lambert Disk からの irradiance は式 (8.25, 8.29) と同様に考えて
(ただし、円盤なので cos ϑ1 の項はつかない)、
∫
fLD
L↑
=
dA 2 =
d
disk
( )2
Rp
=
f⋆
a
∫
E↓
dA 2 =
πd
disk
∫
dA
disk
L⋆ Rp2
L⋆
=
4π 2 a2 d2
4πa2 d2
(8.43)
(8.44)
となる。ここに円盤への入射 irradiance
E↓ (ϑ0 ) =
L⋆
4πa2
(8.45)
を用いた。つまり Geometric Albedo は
Ag
f ref (0)
fLD
∫ π/2
∫
=
dϕ
≡
−π/2
(8.46)
π
0
154
dθR sin3 θ cos2 ϕ
(8.47)
この定義はイメージしにくいので、Spherical Albedo/Bond Albedo とどう関係しているかを考えよう。
Geometric Albedo は、β = 0 で 1 に規格化されている phase curve を全球面で積分して Bond Albedo を求
める時の比例係数である。すなわち、
∫
∫ π
ϕ(β) sin βdβ
Ab = Ag dΩϕ(β) = 2Ag
(8.48)
0
となる。これより前方散乱が強い場合、Ag /Ab は大きくなることが分かる。Lambert 反射の時、式 (5.94)
より
3
Ag
2
Ab =
(8.49)
となる。
8.3
放射伝達
次に大気中での光の伝達を考えよう。ある角度 (n) 方向に、ある波数幅 dν の間の光が微小面積 (dS 、法線
方向を k とする)・微小時間、微小立体角 dω 内に伝達するエネルギーを dEν とすると、specific intensity Iν
は以下のように表現される
dEν = Iν (n · k)dSdωdνdt.
(8.50)
微小円柱に入射した光は Iν に比例して散乱・吸収する。その比例定数を extinction coefficient κν とい
う。ところで opacity という語は様々な定義で使われるが、本書ではこの [cm2 /g] の unit を持つ extinction
coefficient を opacity と呼ぶことにする。また、今の意味では opacity は単一周波数 ν に対して定義されてい
るので厳密には monochromatic opacity である。何らかの周波数平均をした代表的な extinction coefficient
も opacity と呼ぶ。この opacity を用いると、微小円柱内からの射出がない場合、単位時間内に吸収・散乱
されるエネルギーは、微小距離 ds、密度 ρ を用いて、
−κν Iν ρdsdωdνdt = dIν dωdνdt
(8.51)
dIν = −κν Iν ρds
(8.52)
となるので、
となる。微小円柱内からの射出放射輝度は emission coefficient ην を用いて
dIν = ην ρds
(8.53)
dIν = −κν Iν ρds + ην ρds
(8.54)
と定義するので、全体では
となる。ここで放射源関数 (source function)
Jν ≡
ην
κν
155
(8.55)
を定義すると、放射伝達の式は
dIν
= −Iν + Jν
κν ρ ds
(8.56)
dτ = −κν ρdz
(8.57)
とかける。さらに、光学的深さ
を定義することで、ある軸 z をとって ds = µdz と µ = cos θ を用いて
µ
dIν
= Iν − Jν
dτ
(8.58)
となる。これを Schwarzschild equation という。
8.3.1
吸収と散乱
光の extinction には、光が吸収され真に消失する効果と、異なる方向へと散乱されて消失する効果の二種類
がある。
extinction = absorption + scattering
(8.59)
光子が原子・分子を電離し、原子の電離エネルギーと電離した電子の運動エネルギーとなる場合や、光子に
より原子・分子の電子が励起され、これが原子や分子同士の衝突により脱励起されることにより熱化する場
合などは吸収に対応する。散乱は、光子が原子・分子の電子を励起した後、そのまま脱励起し同じ周波数の
光子を出す場合や、電子、原子・分子による散乱などが含まれる。opacity の吸収、散乱に夜成分を、それ
ぞれ、true absorption coefficient µa と scattering coefficient µs で表す。
κν = µa + µs
(8.60)
となる。このとき、emission coefficient は mean intensity
Jν
≡
⟨Iν ⟩ =
1
dΩIν
4π
(8.61)
を用いて
ην = µa Bν + µs Jν
(8.62)
と書ける。つまり放射源関数は
Jν
=
=
µa Bν + µs Jν
µa + µs
(1 − ω0 )Bν + ω0 Jν
(8.63)
(8.64)
と書ける。ここに
ω0 ≡
µs
µa + µs
(8.65)
は single scattering albedo と呼ばれる。つまり散乱のある場合の放射伝達式は、
Jν = ω0 J + (1 − ω0 )Bν
となる
156
(8.66)
8.3.2
Schwarzschild Equation の積分形
式 (8.58) の Schwarzschild Equation は微分系であるので、µ = 1 の場合で積分系に書き直しておこう。
dIν
= Iν − Jν
dτ
(8.67)
dIν e−τ
= −Jν e−τ
dτ
(8.68)
これに e−τ をかけると
となるから直接積分できる。ここでは、大気上端 τ = 0 から地表 τ = τs まで積分すると、
∫ τs
−τs
−Iν (0) = −Iν (τs )e
+
dτ Jν e−τ
(8.69)
0
となっている。ここで、τ の軸の方向が大気上端から地表方向になっている。すなわち、I は負ならば、宇
宙への射出方向となっていることに注意する。
8.4
分子・原子吸収
惑星光に入射してくる恒星光や惑星から射出される光は大気中を通過する際に、大気分子や原子と相互作用
し量子力学的遷移を通じた吸収がおきる。遷移の種類には、水素ライマンアルファや H アルファのような電
子遷移と分子の振動遷移、回転遷移によるものがある。地球の可視赤外域のでは、水の振動・回転遷移によ
る吸収がもっとも顕著な吸収である。
8.4.1
回転・振動モード
二原子分子の分子回転による遷移を考えよう。ここでは簡単のため二原子分子間の距離が一定であるという
仮定、すなわち rigid rotator を仮定する。分子が高速に回転している場合、遠心力により原子間距離は変化
してしまうが、回転レベルの低い分子では良い近似になる。シュレディンガー方程式とその固有値は
Ĥϕ
Ĥ
EJ
= EJ ϕ
[
(
)
]
ℏ2
1 ∂
∂
1
∂2
= −
sin θ
+
2µr2 sin θ ∂θ
∂θ
sin2 θ ∂Φ2
J(J + 1)ℏ2
=
2µr2
(8.70)
(8.71)
(8.72)
である。ここに µ は換算質量 µ = m1 m2 /(m1 + m2 ) (m1 , m2 は各原子質量) である。固有値を波数で書い
ておくと
νJ
=
h
J(J + 1) = 16.7J(J + 1)
8π 2 µr2 c
(
µ
mp
)−1 (
r
1Å
)−2
[cm−1 ]
(8.73)
となる。光子の吸収・放射による遷移則は ∆J = ±1 である。また電気双極子モーメントを持つためには、
非対称性が必要であり、H2 のような等核二原子分子では回転遷移を起こさない。
157
振動遷移の最も簡単なモデルは調和振動子
Ĥ
En
である。波数で書くと、
νn
√
=
1
2πc
≈ 2000
ℏ2 ∂ 2
1
= −
+ kx2
2µ ∂x2
2
√ (
)
1
k
= ℏ
n+
µ
2
(8.74)
(8.75)
(
)
1
n+
2
)1/2 (
)−1/2 (
)
k
µ
1
n+
[cm−1 ]
300N/m
mp
2
k
µ
(
(8.76)
(8.77)
となる。典型的な分子のバネ定数 k = 300 N/m を最後の式で入れてある。遷移則は ∆n = ±1 である。実際の分
子では、調和振動子よりモースポテンシャルのほうがよく近似でき、この場合、遷移則は ∆n = ±1, ±2, ±3, ...
となるが、大きい ∆n になると遷移確率が下がる。また H2 のような等核二原子分子では電気双極子遷移を
起こさないが、磁気双極子遷移は起こすことができる。図 8.5 に示したように実際には様々な振動モードが
ある。
symmetric stretching mode
bending mode
antisymmetric stretching mode
Figure 8.5: 非対称コマ(上; H2 O)と直線3原子分子(下; CO2 )の基準振動モード
振動遷移は νn = 1000 − 104 [cm−1 ] のオーダーの遷移であり、回転遷移は νJ ≈ 10[cm−1 ] のオーダーの
遷移であるから、Born-Oppenheimer 近似によりこれらの準位は couple していないと見なすことができ、
νn,J = νn + νJ
158
(8.78)
となる。これから分子の吸収線は、可視・赤外域 (振動遷移の波数) に多数の線 (回転遷移) が存在すること
が分かる。
Table 8.2: 分子の主な吸収線
帯域
波長 (µm)
波数 (cm−1 )
モード
H2 O
6.3µm 帯
2.7µm 帯
>4.2
2.3-3.6
15µm 帯
4.3µm 帯
2.7µm 帯
2.0µm 帯
8.4.2
0-2400
2800-4400
bending mode
symmetric/antisymmetric stretching mode
CO2
bending mode
antisymmetric stretching mode
結合吸収帯
結合吸収帯
CO
O2
吸収断面積
分子・原子は、状態間の遷移に対応するエネルギー E = hcν̂ の光を吸収する。吸収する光は ν = ν̂(line の
position と呼ぶ) にデルタ関数で吸収線が出る訳ではなく、さまざまな過程により線が広がる。まず量子力学
の不確定性によるひろがり (Natural Broadening) がある。また熱運動による広がり (Doppler Broadening)、
さらに圧力による広がり (Pressure Broadening) がある。これらのラインの広がり方を表現する関数を line
profile g(ν; ν̂) とよぶ。g(ν; ν̂) は
∫
dν g(ν; ν̂) = 1
(8.79)
となるように規格化されている。ある分子の i 番と j 番目の準位間遷移 l の吸収断面積 σl (ν) は、g(ν; ν̂) と
Line strength Si,j を用いて
σl (ν) = Si,j g(ν; ν̂)
(8.80)
に分離できる。
ラインの強度を表す Line strength は、量子力学計算から求まり、遷移確率、partition function、line
position、statistical weight に依存する。Si,j は
Si,j = gi fij
(
)
πe2 −hcνi /kT −1
−hcν̂/kT
e
Q
(T
)
1
−
e
me c2
(8.81)
とあらわされる。単位は [cm2 /s/species] である。fij は oscillator strength、gi は i 番目準位の statistical
weight、νi は低エネルギー側の i 番目準位の波数、ν̂ = νj − νi は遷移波数 (line position) であり、それぞれ
Ei = hcνi , Ej = hcνj (i 番と j 番目の準位の励起エネルギー) と結びつけられる。Q(T ) は partition function
である。遷移確率は oscillator strength fij と関係付けられる。fij や Q(T ) の具体的表記はここでは省かせて
159
いただくが、実際の惑星大気の計算では、分子データベースから以下のような情報を読み出して line strength
を計算するので、幾つかの実用上の注意をしておきたい。
まず、gi と fij は、gf = gi fij とひとまとまりにして gf -value としてデータが提供される事がよくあ
る。parition function は、電子遷移、振動遷移、回転遷移のそれぞれの partition function の積として書か
れ、原理的には計算できるが、通常はこれも計算されたもののフィッティング関数を用いる事が多い。例え
ば、二原子分子では、Sauval and Tatum [70]、例えば原子では Irwin [27]、また地球大気で有用な Norton
& Rinsland[59] などがある。また、有名なデータベース HITRAN では、温度 T0 = 296 K で規格化された
h
line strength Si,j
(T0 ) が直接与えられている。また HITRAN の line strength の定義は少し単位が異なり、
h
[cm/species] であり、Si,j
(T0 ) = Si,j (T0 )/c の関係がある.
8.4.3
Line profile
次に Line profile を考えよう。まず、熱運動による broadening は、原子が熱運動により視線方向に速度 vx
を持つことでおこるドップラーシフト ν = ν̂(1 + vx /c) に起因する。vx の分布関数は Maxwell 速度分布
√
√
mv 2
mc2 (ν−ν̂)2
m
m
− 2kTx
P (vx ) =
e
=
e− 2kT ν̂ 2
(8.82)
2πkT
2πkT
に比例して、ラインが広がることになる。HWHM (half width at half maximum)、
√
2(log 2)kT
γD = ν̂
mc2
を用いて、Doopler broadening の line profile は
√
gD (ν; ν̂; γD ) =
log 2 1 − log 2
e
π γD
(
ν−ν̂
γD
(8.83)
)2
(8.84)
となり、Doppler Broadening はガウス分布に従う。
一方、Pressure broadening と Natural broadening は共に Lorentz profile、
gL (ν; ν̂; γL ) =
γL /π
(ν − ν̂)2 + γL2
(8.85)
で表される。ここに HWHM を γL としている。
惑星大気では特に Pressure Broadening (van der Waals Broadening) が重要である。p0 =1 atmosphere、
air
T0 =296 K での γL,W を、air-broadening coefficient γL,W
といい、これを用いて、
air
γL,W (p, T ) = γL,W
p
p0
(
T0
T
)α
(8.86)
のように pressure broadening を計算することが多い。ここに α は温度依存項のべき (temperature exponent)
で 0.5 程度である。HITRAN データはこの α も与えている。
Natural broadening は、不確定性原理からくるラインの広がりで、
0.222 ( ν )2
γL,n =
[cm−1 ]
(8.87)
4πc cm−1
が便利な式である [83]。Pressure Broadening に対し、Natural Broadening は低圧下で寄与が大きくなる。
160
上記の Doppler profile と Lorentz profile の両方が効く場合、両者を convolution したものが line profile
となる。これを Voigt profile と呼ぶ。
(gL ∗ gD )(ν; ν̂)
∫ ∞
=
dν ′ gL (ν − ν ′ ; ν̂; γL )gD (ν ′ − ν̂; ν̂; γD )
gV (ν; ν̂) =
(8.88)
(8.89)
−∞
となる。
Pressure broadening と Natural broadening の両方が寄与する場合は、γL として
γL
=
γL,W + γL,n
を用いれば良い。これは Lorentian 同士の convolution が
∫ ∞
dν ′ gL (ν − ν ′ ; ν̂; γL,W )gL (ν ′ − ν̂; ν̂; γL,n )
gL (ν; ν̂, γL,W ) ∗ gL (ν; ν̂, γL,n ) =
(8.90)
(8.91)
∞
=
=
(γL,W + γL,n )/π
(ν − ν̂)2 + (γL,W + γL,n )2
gL (ν; ν̂, γL,W + γL,n )
(8.92)
(8.93)
となるからである。
Voigt Profile は計算上の負荷が大きいので、様々な近似法や計算法が開発されている。また、Voigt Profile
の HWHM の近似としては以下のものが有用である [71]。
√
1
2 + c γ 2 ),
γV =
(8.94)
(c1 γL + 4γD
2 L
2
c1 = 1.0692,
(8.95)
c2
= 0.86639.
(8.96)
この章の参考文献:[76, 90]
8.4.4
Collision-Induced Absorption
Collision-Induced Absorption (CIA) は分子同士が衝突する際に、双極子モーメントを瞬間的に持つ事によ
り生じる吸収である。H2 、O2 、N2 といった対称分子で電気双極子モーメントを持たない分子であっても衝
突の際に瞬間的に生じる電気双極子モーメントにより遷移が起こる。衝突により生じるために、遷移確率は
衝突する分子 A と分子 B の密度の積に比例する。
8.5
輻射光
温度 T [K] を持った物体は黒体輻射を行う。黒体輻射のスペクトルはプランク関数
Bλ (T )dλ =
1
2hc2
dλ
λ5 exp (hc/λkB T ) − 1
(8.97)
で表される。また、周波数で書き直すと dν = −c/λ2 dλ を用いて
Bλ (T )dλ = Bν (T )dν =
2hν 3
1
dν
c2 exp (hν/kB T ) − 1
161
(8.98)
となる。全周波数で積分すると
∫
Ftot
=
σ
≡
Bν (T )dν = σT 4
2π 5 kb4
15 c2 h3
(8.99)
(8.100)
σ はステファンボルツマン定数で 5.670 × 10−8 [JK−4 m−2 s−1 ] である。
惑星からの輻射光スペクトルを計算するには、Schwarzschild Equation の積分形 (8.69) の放射源関数を
プランク関数にしてもとめればよい。すなわち
∫ τs
−Iν (0) = −Iν (τs )e−τs +
(8.101)
dτ Bν (T )e−τ
0
である。右辺第一項は地表面からの輻射を表し、右辺第二項は地表より上の大気部分からの熱輻射を表して
いる。ただし、この式は、散乱を無視し、局所熱力学平衡を仮定していることに注意が必要である。分子の
吸収断面積 σm (ν) と分子数密度 nm を用いて、
∑∫ z
τν (z) =
dzσm (ν, T (z), P (z))nm (z)
(8.102)
m
0
となる。さて、大気の T-P profile と分子の volume mass ratio が分かっている場合は、各高さ z での nm が
決まり、また式 (8.101) 内の Bν (T ) = Bν (T (z)) も求まるので、分子断面積 σm (ν, T (z), P (z)) が求まれば、
輻射光スペクトルが求まることとなる。
さて、式 (8.101) の右辺第一項を無視できる状況、すなわち大気からの熱輻射が卓越している場合を考え
よう。この場合、惑星からの熱輻射は、ある地表面を z = 0 として
∫ τs
∫ ∞
−τ
Fν ∝
dτ Bν (T )e
=
dz Bν (T (z))Wν (z)
(8.103)
0
0
∂τν (z) Wν (z) = e−τν (z) (8.104)
∂z とかける。この式の形式からわかるように、Wν (z) は Fν の ν = ν におけるプランク関数の重みを決めてい
る関数、すなわち Weight function となっている。つまり、輻射項スペクトルは、だいたい Wν (z) が最大付
近 (τν ∼ 1) の温度のプランク関数で決まることになる。この仕組みを、具体的な例で説明しよう。図 8.6 は、
HD209458b のパラメタで計算した K バンド CO ライン帯の weight function を縦軸 log1 0P で示したもので
ある。線状に見えているのは CO の line profile であり、P = 10−1 − 100 bar 付近の直線部分は水素 CIA に
よる連続吸収によっている。このように、CO の吸収がある波数では感度のある高度が高い。
図 8.7 では、温度構造(左上)を仮定した場合の weight function 最大値に対応する圧力(右上)、温度
(左下)、輻射スペクトル (右下) を表している。weight function 最大になる圧力での大気温度に対応するプラ
ンク関数の輻射が射出される。この例では CO 吸収線の上部では、大気の上部、すなわち低温の領域に感度
があり、逆に CO 線の周辺もしくは線の影響のない箇所では大気下部の高温部に感度がある。そのため、輻
射スペクトルは CO 線の部分でフラックスが下がることになる。
逆に大気上部で温度が上昇している場合を Thermal Inversion といい、大気中になんらかの吸収体がある
ことを意味している。このような状況では、ラインのある部分ではフラックスが高くなる。つまり、吸収線
位置でスペクトルが上に凸になっている場合、Thermal Inversion が存在することをしめしている。地球大
162
Figure 8.6: HD209458b のパラメタで計算した K バンド CO ライン帯の weight function。ただし、opacity
は CO と H2 CIA のみを考えている。
気の成層圏は、オゾンが吸収体としておこった Thermal Inversion であり、輻射スペクトルの二酸化炭素や
オゾンラインの最も opacity の高い部分はたしかに凸になっている。このようなラインプロファイルの形状
から、逆に大気温度構造を推定する手法をサウンダと呼び、リモートセンシングの重要な方法の一つとなっ
ている。
8.6
8.6.1
散乱光
散乱位相関数
散乱は散乱方向の確率に角度依存性がある。散乱角 Θ を用いて、この確率分布をあらわしたものが散乱位相
関数 (scattering phase function)P (Θ) である。以下に典型的な散乱位相関数をあげる。
等方散乱
等方散乱では散乱位相関数は 0 である
P (Θ) = 1
(8.105)
レイリー散乱
P (Θ) =
3
(1 + cos2 Θ)
4
(8.106)
Henyey-Greenstein 位相関数
Henyey-Greenstein 位相関数は雲、エアロゾルなどの非等方性がある散乱の散乱位相関数を近似するときに
用いられる解析関数である。
P (Θ) =
1 − g2
(1 + g 2 − 2g cos Θ)3/2
163
(8.107)
g は非等方パラメタとよばれ
∫
g≡
P (Θ) cos Θ
で定義される。−1 ≤ g ≤ 1
164
dΩ
4π
(8.108)
Figure 8.7: 温度構造(左上)を仮定した場合の weight function 最大値に対応する圧力(右上)、温度 (左
下)、輻射スペクトル (右下)。
165
Chapter 9
惑星の大気構造
本章では惑星の大気構造を扱う。基礎となる物理は熱力学と大気のエネルギーを運ぶ放射過程や対流、散逸
を扱うための流体力学などである。まず最初に等温仮定をおいた場合を考える。平衡平板で大気の流出がな
く、重力と圧力が釣り合っている平衡平板近似では、大気の重要なスケールであるスケールハイトが導入さ
れる。次に球面の場合を考え、定常的に大気が流出している場合を考える。これはもともとは太陽風(パー
カー風)の理論から導かれた解である。つぎに等温仮定をやめて、大気中のエネルギー輸送を考え温度圧力
関係を導く。まずエネルギー輸送として放射のみを考える放射平衡大気モデルを導入する。最後に対流によ
る輸送も考えた放射対流平衡モデルを考える。
9.1
等温理想気体モデル
9.1.1
理想気体の状態方程式
単一成分の理想気体の状態方程式は、圧力 P 、温度 T 、気体数密度 n を用いて
P = nkT
(9.1)
となる。これを気体密度 ρ = µmH n であらわすと、
P
R∗
R∗
ρT
µ
≡ k/mH
=
(9.2)
(9.3)
となる。ここに R∗ は Universal Gas Constant、µ は分子量である。特定の気体種の Gas Constant R を用
いてかくと
P
R
= RρT
≡ R∗ /µ
となる。
166
(9.4)
(9.5)
Partial Pressure
多成分系の場合はどうだろうか?例として2成分 (A,B) 系を考える。それぞれの成分の分圧は
PA
PB
= knA T = RA ρA T = R∗ µ−1
A ρA T
∗ −1
= knB T = RB ρB T = R µB ρB T
(9.6)
(9.7)
である。ここに µA ,µB は A,B の分子量である。
今、密度と数密度の関係は
ρ =
=
ρA + ρB = mH (µA nA + µB nB )
(
)
µA nA + µB nB
mH
(nA + nB ) = mH µn
nA + nB
(9.8)
(9.9)
と表せる。ここに µ は平均分子量であり、molar concentration ηA = nA /n、ηB = nB /n と総数密度 n =
nA + nB を用いて
µ ≡ ηA µA + ηB µB
(9.10)
(9.11)
であるので、密度表記の状態方程式は平均分子量 µ を用いて
P
= PA + PB = knT =
R
≡
R∗
ρT = RρT
µ
R∗
k
=
µ
µmH
(9.12)
(9.13)
と一成分系のように扱える。今後、平均分子量を µ を単に µ と表記する。
等温音速
また等温音速 (isothermal speed of sound)
as ≡
√(
∂P
∂ρ
√
)
=
T
kT
µmH
(9.14)
を用いると状態方程式は
P = a2s ρ
(9.15)
とも書ける。この等温音速は、音の伝搬の際の圧縮膨張の際に常に冷却や加熱で等温が保たれるような極端
な条件での音速であり、通常の断熱音速
√
√(
)
∂P
γkT
cs ≡
=
(9.16)
∂ρ S
µmH
とは
c2s = γa2s
の関係にある (γ = cp /cv は比熱比) ことに注意。
167
(9.17)
9.1.2
等温・静水圧平衡モデル
薄い大気層の場合
惑星の地表においた薄い大気層においては重力加速度
dϕ
GMp
g=−
=
(9.18)
dr
r2
(ϕ = GMp /r は重力ポテンシャル) を r に寄らず一定と近似することができる。この条件下で静水圧平衡
dϕ
dP (r)
=ρ
= −ρg
dr
dr
に、状態方程式 (9.15) を用いると微分方程式
の形となり解は
(9.19)
dP
P
=−
dr
H
(9.20)
(
)
r − r0
P (r) = P0 exp −
≡ Pthin (r)
H
(9.21)
となる。r0 での圧力を P0 として境界条件とした。ここに
(
)( ) (
)−1
kT
as
T
µ −1
g
H≡
=
≈ 8.4 km
µmH g
g
300 K
30
980 cm/s2
(9.22)
は (圧力) スケールハイトとよばれる。つまり、熱エネルギーと重力エネルギーの比で大気の典型的な高さが
決まる単純な描像が得られる。式 (9.21) から、ある r > r0 の r0 からの高さは
)
(
P0
∆r = (r − r0 ) = H log
(9.23)
P (r)
となる。
大気層に厚みがある場合
重力の r−2 の効果を考慮した場合、静水圧平衡と状態方程式から
d log P
dr
H0
r02 1
H0 r2
kT
GMp
, g0 ≡
µmH g0
r02
= −
(9.24)
≡
(9.25)
この微分方程式をまた、r = r0 で P = P0 となるように解くと、
(
)
r − r0 r0
P (r) = P0 exp −
H0 r
(9.26)
となる。この式は r ∼ r0 の薄い大気領域では、Pthin (r) と一致することに注意。ある r > r0 の r0 からの高
さは
(
)]−1
)
[
(
P0
H0
P0
log
∆r = (r − r0 ) = 1 −
H log
(9.27)
r0
P (r)
P (r)
となる。
168
9.1.3
等温・定常流モデル
次に等温で定常な流れのある問題を考える。この問題系はもともとは恒星風の理論として整備された。まず
定常流であるので、質量保存の式が導入される。
Ṁ = 4πr2 ρv = 4πF
(9.28)
ここに F = r2 ρv は mass flux という。質量保存の式 (9.28) の対数をとって微分することで
d log ρ d log v 2
+
+ =0
dr
dr
r
(9.29)
という公式が導かれる。
静水圧平衡の代わりに、運動方程式
dv
dϕ dP
=ρ
−
dt
dr
dr
(9.30)
dv
∂v ∂r dv
dv
=
+
=v
dt
∂t
∂t dr
dr
(9.31)
ρ
を考える。定常の場合、
であり、また、状態方程式 (9.15) をもちいると
v
dv GM
kT d log ρ
+
+
=0
dt
r
µmH dr
となる。これに式 (9.29) を入れ、as で規格化した v 、
√
v
µmH
v̂ ≡
=
v
as
ρkT
(9.32)
(9.33)
と、臨界半径
GM
2a2s
(9.34)
r
2a2s
=
r
rc
GM
(9.35)
dv̂
r̂−1 − r̂−2
=2
dr̂
v̂ − v̂ −1
(9.36)
rc ≡
で規格した r、
r̂ ≡
で書き直すと、
が得られる。この微分方程式は変数分離で解け
∫
∫
−1
(v̂ − v̂ )dv̂ = 2 (r̂−1 − r̂−2 )dr̂ + C
169
(9.37)
3.0
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
2.5
1.5
-1.5
-2.0
.0
v/as
-2.5-2
2.0
0.5
0.00.0
-1.
5
1.0
0.5
1.0
-1-0..0
5 1.00.5 0.0
1.5 2.0 2.5
r/rc
3.0
Figure 9.1: 式 (9.38) の解。図中の等高線数字は C を書いたものである。
であるから、すなわち
v̂ 2
2
− log v̂ − 2 log r̂ − = C
2
r̂
(9.38)
となる。式 (9.38) の解を図 9.1 に示す。図 9.1 から C = −1.5 の時のみ、動径方向に速度が単調増加 (減少)
の解が現れることが分かる。
この解は、式 (9.36) の右辺、分子分母が共に 0 になるとき、すなわち (v̂ = 1, r̂ = 1) を通る解であり、式
(9.38) より C = −3/2 であることがわかる。つまり
( 2)
(
)
v̂
1
2 3
v̂ exp
= 2 exp
−
(9.39)
2
r̂
r̂
2
もしくは規格化を戻すと
(
v exp
v2
2a2s
)
r2
= as c2 exp
r
(
2rc
3
−
r
2
)
(9.40)
が等温定常流の解となる。
9.1.4
惑星大気の流体力学的散逸モデル
恒星からの EUV や X 線などが惑星大気に降り注ぐと、これらの波長の光に対して大気は opacity が高いた
め、惑星上層で吸収され、局所的な大気の加熱が起こる。この加熱により流体力学的散逸が起こる。流体力
学的散逸による大気散逸の質量フラックスは、EUV と X 線入射フラックス (FXUV ) の何割かが大気の重力
ポテンシャルからの脱出に使われると考えると、大雑把に、
Ṁp = ϵ
πr12 FXUV
GMp /r0
170
(9.41)
と見積もる事ができる。ここに r1 は XUV が吸収される惑星半径、r0 は引き抜くガスの半径である。Mp は
惑星質量である。これらはオーダーとしては大まかには r1 ∼ r0 = Rp であるが、これらについて見積もるに
は流体力学的散逸の詳しいモデルが必要である。Watson らによるモデルを Appendix に紹介したので参照さ
れたし。ϵ はエネルギー変換の効率であり、通常 0.1-0.5 程度が仮定される。ϵ を計算するには、EUV の吸収
層での他の形態でのエネルギー散逸のパスがどれくらいあるかを考えねばならない。また close-in planet の
ように、恒星による重力の影響を考える場合は、制限三体問題の有効ポテンシャルを考えればよい。Erkaev
らは [16] は、L1 における有効ポテンシャルと惑星半径の位置での有効ポテンシャルの差を計算し、適当な
近似を行うことで、修正項 Ktide を以下のように求めた。
πr12 FXUV 1
GMp /r0 Ktide
(
)
(
)3
3 Rp
1 Rp
= 1−
+
2 RH
2 RH
Ṁp
= ϵ
Ktide
(9.42)
(9.43)
ここに RH はヒル半径 (式 4.82) である。
9.2
放射平衡大気モデル
大気が成層構造をとっていて、大気中の鉛直方向のエネルギー輸送が平衡状態の放射のみによる大気を考え
る。このような大気を放射平衡大気と呼ぶ。まず、放射のエネルギー輸送、すなわち放射伝達を考えよう。
まずは放射伝達を解くための近似法の一つである二流近似について説明したい。二流近似は太陽系内の地球
型惑星の放射を考える際によく用いられている。ところで放射伝達といえば恒星の放射伝達理論が有名だが、
恒星では通常、モーメントの微分方程式の形で放射伝達が解かれている。太陽系外惑星の大気モデルの場合、
境界領域らしく両者が使われている。そこで、モーメント微分方程式の形式、及びこれと二流近似の比較を
Appendix A に記述したので参照されたし。
9.2.1
二流近似
平行平板の放射伝達の式
µ
dIν
= Iν − Jν
dτ
(9.44)
から始めよう。散乱がない場合、放射源関数 Jν が黒体輻射 Bν とすることができる。放射伝達の式は
µ
dIν (Ω)
= Iν (Ω) − Bν
dτ
(9.45)
となる。二流近似では、これを上流側のフラックスと下流側に分けることを考える (e.g. Meadow & Weaver
80 [53]、Toon et al. 1989 [80] などを参照)。
両辺に µ をかけ上半球 (US) と下半球 (LS) で積分する。今、モーメント方程式を意識して、任意の関数
F に対する積分平均演算子を
∫
∫
∫ 1
1
1
⟨F⟩US ≡
dΩF =
dϕ
dµF
(9.46)
4π US
4π
0
∫
∫
∫ −1
1
1
dΩF =
dϕ
dµF
⟨F⟩LS ≡ −
(9.47)
4π LS
4π
0
171
と表記する。すると放射伝達の式は
d 2
⟨µ Iν (Ω)⟩US
dτ
d 2
⟨µ Iν (Ω)⟩LS
dτ
= ⟨µIν (Ω)⟩US − ⟨µBν ⟩US
(9.48)
= ⟨µIν (Ω)⟩LS − ⟨µBν ⟩LS
(9.49)
となる。
このように放射伝達では、specfic intensity の µ によるモーメントを良く用いるので、定義しておこう。
全球面上での積分平均:
∫
∫
∫ 1
1
1
⟨F⟩ ≡
(9.50)
dΩF =
dϕ
dµF
4π
4π
−1
= ⟨F⟩US − ⟨F⟩LS
(9.51)
とする。
0次のモーメントは mean intensity
Jν
≡
⟨Iν ⟩
(9.52)
Jν +
Jν −
≡
≡
⟨Iν ⟩US
⟨Iν ⟩LS
(9.53)
(9.54)
Hν
≡
⟨µIν ⟩
(9.55)
であり、一次のモーメント、
Hν +
Hν −
≡ ⟨µIν ⟩US
≡ ⟨µIν ⟩LS
(9.56)
(9.57)
はフラックスに対応している。ここに Fnet (τ ) は上向きに伝達するネットフラックスを
Fnet ≡ 4πHν = F+ − F−
(9.58)
で定義できる。ここに上向きフラックス F+ 、下向きフラックス F− と
F+
F−
= 4πHν +
= 4πHν −
(9.59)
(9.60)
Kν
Kν +
≡ ⟨µ2 Iν ⟩
≡ ⟨µ2 Iν ⟩US
(9.61)
(9.62)
Kν −
≡ ⟨µ2 Iν ⟩LS
(9.63)
で定義した。二次のモーメントは
のように略記する。
ここで Iν (Ω) の Ω 依存性を仮定すると二流近似がえられる。まず Iν (Ω) が上半球、下半球のなかではそ
れぞれ Ω によらないと仮定した場合を調べてみよう。
⟨Iν ⟩US
⟨Iν ⟩LS
= 2⟨µIν ⟩US = 3⟨µ2 Iν ⟩US
= −2⟨µIν ⟩LS = 3⟨µ2 Iν ⟩LS
172
(9.64)
となる。これはモーメント間の関係 (closure relation)
Jν +
= 2Hν + = 3Kν +
Jν −
= −2Hν − = 3Kν −
(9.65)
を指定することと同義である。放射伝達の式 (9.48) は、Bν は Ω によらないと考えると
2 dF+
3 dτ
2 dF−
3 dτ
= F+ − πBν
(9.66)
= −F− + πBν
(9.67)
が得られる。
ところで以上の導出から式 (9.66) の 2/3 の係数は、これは Iν の拡散の仕方の仮定に関係する係数、すな
わち式 (9.64) のように Closure relation によることが分かる。一応、放射伝達式 (9.48) をモーメントで書い
ておくと
K̇ν +
= Hν + − πBν
(9.68)
K̇ν −
= Hν − − πBν
(9.69)
となる。
そこで
• (仮定 A) 式 (9.66) のように Hν + /Kν + = −Hν − /Kν − ≡ D で一定だと仮定
する。このような Diffusive factor D を置くと、
Ḟ+ (τ ) =
D[F+ (τ ) − πBν (τ )]
(9.70)
Ḟ− (τ ) =
D[−F− (τ ) + πBν (τ )]
(9.71)
のように、二流近似を一般的に表記することができる。D = 3/2 の他に、D = 1.66 や D = 2 などが近似の
違いにより用いられる。今後、f˙ ≡ df /dτ, f¨ ≡ d2 f /dτ 2 のような微分表記を併用する。
式 (9.70, 9.71) は一階微分方程式なので、それぞれ一般解がもとまるが、ここではこの二つの式の和と差
をとって方程式を解く。
d
[F+ (τ ) + F− (τ )] =
dτ
Ḟ+ (τ ) − Ḟ− (τ ) =
D(F+ − F− ) = DFs
(9.72)
D[F+ (τ ) + F− (τ )] − 2πDBν (τ )
(9.73)
となる。
Fnet (τ ) で微分方程式 (9.70,9.71) を書き直してみよう。Fnet (τ ) ≡ F+ (τ ) − F− 、Fsum (τ ) ≡ F+ (τ ) + F−
を用いると、式 (9.70)-式 (9.71) と式 (9.70)+式 (9.71) から
Ḟnet (τ ) =
Ḟsum (τ ) =
D[Fsum (τ ) − 2πBν (τ )]
DFnet (τ )
(9.74)
(9.75)
より
F̈net (τ ) − D2 Fnet (τ ) + 2πDḂν (τ ) = 0
となる。
今考えている波長の光が大気上端から入ってこない場合、
173
(9.76)
• (仮定 B) τ = 0 にて下向きの放射はゼロになる (F− (0) = 0)
となる仮定が導入できる。この場合 Fnet (0) = Fsum (0) となることから、式 (9.74) から
πBν (0) =
Fnet (0) Ḟnet (0)
−
2
2D
(9.77)
となることが分かる。ところで、ここまでは各波長 ν に対してフラックスや τ が定義されていることに注意
しよう。
9.2.2
散乱のある場合の二流近似
以上では大気散乱を無視していた。系外惑星では散乱が重要になる場合もあるので、大気中で散乱がある
場合の二流近似を導出しておこう。Meadow & Weaver (1980) [53]、Toon et al. (1989) [80]、Heng et al.
(2014)[25] などに従って考える。また、平行平板の放射伝達の式 (8.58)
µ
dIν
= Iν − Jν
dτ
(9.78)
から始めよう。
散乱がある場合、Single scattering albedo ω0 を用いて放射源関数は式 (8.66) より、
Jν = ω0 Jν + (1 − ω0 )Bν
(9.79)
となる。放射伝達式 (9.78) に µ をかけ上半球面もしくは下半球面で積分すると
d 2
⟨µ Iν (Ω)⟩US,LS
dτ
= ⟨µIν (Ω)⟩US,LS − ⟨µω0 Jν + µ(1 − ω0 )Bν ⟩US,LS
(9.80)
1
1
= ⟨µIν (Ω)⟩US,LS − ω0 Jν − (1 − ω0 )Bν
4
4
(9.81)
つまり、
K̇ν ±
1
1
= Hν ± − ω0 Jν − (1 − ω0 )Bν
4
4
(9.82)
となる。これを p± ≡ Kν ± /Hν ± と ϵ+ ≡ Hν + /Jν + , ϵ− ≡ Hν − /Jν − を用いて
Ḣν ±
=
=
1
Hν −
p± ±
1
Hν −
p± ±
1
1
ω0 (Jν + − Jν − ) −
(1 − ω0 )Bν
4p±
4p±
(
)
1
Hν +
Hν −
1
ω0
−
−
(1 − ω0 )Bν
4p±
ϵ+
ϵ−
4p±
(9.83)
(9.84)
となる。ここで p+ = −p− ≡ p、ϵ+ = −ϵ− ≡ ϵ とすると、
Ḟ+
Ḟ−
= γa F+ − γs F− − γB Bν
= γs F+ − γa F− + γB Bν
174
(9.85)
(9.86)
と置ける。ここに
γa
=
γs
=
γB
=
1 1ω0
−
p
4pϵ
1ω0
4pϵ
π
(1 − ω0 )
p
(9.87)
(9.88)
(9.89)
となっている。この式から分かるように散乱が入ったことで、γs の項がそれぞれ微分方程式に入ってくる。
9.2.3
灰色近似・波長チャンネル
放射伝達から大気構造を計算するには、まず放射フラックスと温度が対応づかないとならない。そこで、大
気とフラックスが
• (仮定 C) 光学的特性が考えている波長領域内で波長によらない
という近似を行う。考えている波長領域のことをチャンネルと呼ぶことにしよう。例えば、地球のような状
況では、地球大気・表面由来の赤外光をひとつのチャンネルとして考えることに対応している。ところで地
球のように恒星の温度と惑星の温度が大きく異なり、恒星光と惑星の輻射光が波長で明確にわけられる場合、
前者を短波、後者を長波と呼んだりする。この後、適宜この表現を用いる。放射によるエネルギーバランス
を考えるので、鉛直方向の変数としては、長波チャンネルの代表的な光学的深さ τ を使用するのが自然であ
る。τ を長波の代表値を用いることで解析的な取扱いが可能になる。長波のみのチャンネルを用いる時、灰
色近似という。
灰色近似の時、仮定 B は単に
• (仮定 B’) 大気上端 (上側境界) から長波フラックスはやってこない
という意味になる。
灰色近似のものとでは、例えば温度構造は τ の関数として T (τ ) のように計算される。しかし、大気構造
といった場合、温度圧力関係に直したい。dτ = −σndr と静水圧平衡 dP = −ρgdr から
dτ
∝ σ(P )
dP
(9.90)
となる。σ(P ) は支配的な Line broadening の種類によって変わってくる。圧力が低く Doppler broadening
が支配的な場合、σ は P によらないので
τ ∝P
(9.91)
である。圧力が高くなって pressure broadening がきいてくる場合
τ ∝ P2
(9.92)
τ ∝ PN
(9.93)
である。「説明追加する」一般に
としておくと都合が良い。以下では、灰色近似を仮定して恒星光が大気で吸収されない場合の放射平衡大気
と、長波・短波の2チャンネル近似を仮定して恒星光の大気吸収がある場合の放射平衡大気を考えていく。
以降、散乱を無視した場合についてのみ考える。
175
恒星光が大気中で吸収されない場合
恒星光が大気中で吸収されない場合、主星由来の光成分(短波)は考えている大気には影響を与えず惑星表
層まで届き、大気下端からのフラックス源としてのみ考慮される。つまり、大気上端からフラックスは本当は
やってくるのだが、大気中を素通りして、結局、地表面で吸収され上向きの長波のフラックスとしてのみ寄
与する、という意味である。また違う例では、恒星からの光が無視できるほど、惑星内部からのエネルギー
供給が大きい場合が考えられる。
このモデルでは、下方からやってくる光が大気を伝達していく際に波長に寄らない吸収を受け (灰色近
似;すなわち τ が波長によらない)、かつその位置における温度の熱放射を射出する。最終的に大気上端から
宇宙空間へと散逸する。エネルギー保存則から、伝達するネットフラックスは高度によらず一定であるので、
Fnet (τ ) ≡ F+ (τ ) − F− (τ ) = constant ≡ Fs
(9.94)
となる (放射平衡)。ここで Fs は地表面からのフラックスで、恒星フラックス F⋆ と惑星内部からのフラック
ス Fi の和となっている。
Fs = F⋆ + Fi
(9.95)
さて、式 (9.76) より
D
Fs
2π
(9.96)
D
Fs τ + σT 4 (0)
2
(9.97)
Ḃν (τ ) =
なので
σT 4 (τ ) =
となる。仮定 B 由来の式 (9.77) は灰色近似により πBν (0) を σT 4 (0) に置き換えることができる。すなわち
σT 4 (τ ) =
1
Fs (Dτ + 1)
2
(9.98)
となる。
式 (9.98) を二流近似の表式にもどすと、
F+ + F−
F+ − F−
= Fs (Dτ + 1)
= Fs
(9.99)
(9.100)
であるから、
F+ (τ ) =
F− (τ ) =
Fs
(Dτ + 2)
2
Fs
Dτ
2
(9.101)
(9.102)
となる。
ここまでの導出では、大気の下端についての情報は何も仮定しなかった。単にある一定のネットフラック
ス Fs が大気中を通り τ = 0 で上向きのみに射出されるという条件から、式 (9.98)、もしくは式 (9.101, 9.102)
が導かれている。
176
今、大気下端のすぐ下に、恒星光と惑星内部からのエネルギーで暖められた T = Ts で黒体輻射する面が
あるとしてみよう。すなわち
σTs4 = F+ (τs ) =
Fs
(Dτs + 2)
2
(9.103)
となる。しかし、大気下端では式 (9.98) より
σT 4 (τs ) =
Fs
(D τs + 1)
2
(9.104)
であるから、温度不連続面が生じ、大気下端より黒体輻射面 (地表面) のほうが高温となることが分かる。
大気中で恒星光の吸収加熱がある場合
次に大気中で恒星光の吸収がある場合を考えよう。この場合、その位置まで入り込んだ短波のフラックスを
F⋆ (τ ′ ) とすると、τ = τ ′ より下方の大気、つまり τ ≥ τ ′ の部分でいずれ吸収され、これが上向きの輻射(長
波)として戻ってくることを意味している。惑星内部由来、もしくは短波のうち吸収されない成分があると
して、それが表面で熱に変換された長波のフラックス Fi も考え合わせると、放射平衡は
Fnet (τ ) = Fnet,⋆ (τ ) + Fi
(9.105)
となるだろう。この表記における τ とは長波の光学的深さなので、これをそのまま恒星光の吸収に用いるこ
とはできず、恒星光の吸収される波長チャンネルと長波チャンネルの間の何らかの関係を仮定しないとなら
ない。
例えば、Mckay et al. (1999)[52] や Robinson and Catling (2012) [65] では大気による恒星光の減衰を
Fnet,⋆ (τ ) = F⋆ e−τVIS = F⋆ e−kτ
(9.106)
の形において放射平衡モデルを解いている。ここで k は恒星光の吸収波長チャンネルと長波チャンネルの光
学的深さの比である。これは (平均)opacity の比とみてもよい。すなわち
k≡
τVIS
κ⋆
=
τ
κ
(9.107)
k を一定とみなすことで解析的取扱が容易になる。ここに κ⋆ ,κ は短波と長波の (平均)opacity である。
微分方程式 (9.76) を τ = 0 から τ = τ まで積分することで
)
(
∫ τ
D
1
4
4
′
′
′
F̈net (τ )
σT (τ ) − σT (0) =
dτ
Fnet (τ ) −
(9.108)
2
2D
0
(
)
F⋆ D
k
D
=
−
(1 − e−kτ ) + Fi τ
(9.109)
2
k
D
2
となるが、式 (9.77) より
σT 4 (0) =
1
1
Fnet (0) Ḟnet (0)
−
= Fi +
2
2D
2
2
177
(
)
k
1+
F⋆
D
(9.110)
であるので、
[
(
)
]
F⋆
D
k
D
1
−kτ
σT (τ ) =
1+
+
−
e
+ Fi (1 + Dτ )
2
k
D
k
2
4
となる。
k が小さい極限では、
[
(
)
]
F⋆
k
k2
1
1
4
σT (τ ) ≈
1+
+ 1 − 2 Dτ + Fi (1 + Dτ ) → (Fi + F⋆ )(1 + Dτ )
2
D
D
2
2
(9.111)
(9.112)
となり、k → 0 で前節と結果は一致する。
図 9.2 に、k を変えた時の (F⋆ /σ)0.25 で規格化した温度と τ の構造を示す。τVIS = kτ = 1 付近で吸収加
熱がおき温度構造が変化するが、k > D のとき、高度が上がると温度があがる Thermal inversion(温度逆転)
がおきているのがわかる。
10 -5
D = 3/2, Fi =0
k = 0. 1D
k=D
k = 10D
10 -4
no att
τ
10 -3
10 -2
10 -1
10 0
10 1 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0
Normalized T
Figure 9.2: 吸収加熱がある場合の大気構造 (式 9.111)。fi = 0 とした。灰色は吸収加熱のない場合 (式 9.98)。
もう少し実際の大気と比較するために地球大気の場合を考えよう。地球大気ではオゾンが短波の一部を
吸収する。この効果を式 9.111 で表現して比較してみたのが図 9.3 である。まずオゾン層で吸収される光は
太陽入射の 3%であると仮定し fs = 7W/m2 とおいた。残りの 97%は、地表面まで届き長波に変換されると
考えると fi = 233W/m2 とおける。地球内部からのフラックスは無視できる。オゾン層における k は [65] に
従い k = 90 とおく。米国標準大気と比較するために τ からの P への変換を行わないとならないが、ここで
は理解を重視し、簡単に P = 0.1 bar 以上なら N = 2、P = 0.1 bar 以下なら N = 1 とおいて対応をとった。
結果を見ると、大気吸収の入っていないモデルでは温度は高度に従い下がるままであるが、大気吸収を入れ
他モデルは成層圏での温度逆転を定性的に説明できている。P ∼ 0.1bar より下の部分では、対流が存在する
のでをこれを考えたほうがよいが、放射平衡のみでも大雑把には説明できているともいえよう。ただし、τ
から P への変換の曖昧さがあることは指摘しておく。放射対流平衡では、熱力学的関係から T − P 関係が
導出される。これについては §9.3 で扱う。
178
10 -3
D = 3/2, Fi =233W/m 2 , Fs =7W/m 2
k = 90
no att
US Standard
P [bar]
10 -2
10 -1
0
10200
220
240
260
T [K]
280
300
320
Figure 9.3: 大気吸収を入れた放射平衡の解析モデル。破線は米国標準大気。灰色点線は吸収加熱のない場合
(式 9.98)。
9.2.4
Komabayashi-Ingersoll Limit
放射平衡モデルの応用例として、海洋を持つ惑星の成層圏における放射を考えたい [39, 26, 56]。海洋を持つ
ということは下端の境界条件として気液平衡を考えることが必要である。まず熱力学から温度・蒸気圧の関
係を導こう。
蒸気圧 (昇華圧) 曲線
熱力学第一法則
dU = δQ + δW
(9.113)
から始める。ここに U は内部エネルギー、dQ は周囲との交換された熱、dW は仕事である。可逆過程にお
いて、熱の変化はエントロピー S の全微分と温度 T で dS = δQ/T とかける。仕事は体積変化による仕事
−P dV と K 種類の粒子数 N ≡ (N1 , N2 , ..., NK )T の変化による仕事を考えよう。後者は化学ポテンシャル
∑K
µ̃ = (µ̃1 , µ̃2 , ..., µ̃K )T を用いて 1 、µ̃ · dN = i µ̃i dNi と表される。式 (9.162) は、
dU = T dS − P dV + µ̃ · dN
(9.114)
となる。さて今考えている系と全くおなじものを持ってきて結合することを考えよう。この場合、示量変数
である U, S, V, dN は全て二倍になるだろう。二倍ではなく (1 + ϵ) 倍した場合も同様に U, S, V, dN は全て
(1 + ϵ) 倍になる。すなわち
U (S(1 + ϵ), V (1 + ϵ), N (1 + ϵ)) = (1 + ϵ)U (S, V, N )
(9.115)
ϵ を微少量だと思うと
U (S(1 + ϵ), V (1 + ϵ), N (1 + ϵ)) ≈ U + ϵ
1 ここで化学ポテンシャルの表記を
∂U
∂U
∂U
S+ϵ
V +ϵ
· N = U + ϵU
∂S
∂V
∂N
µ̃ としているのは、分子量 µ と区別をつけるためである。
179
(9.116)
つまり、
∂U
∂U
∂U
S+
V +
·N =U
∂S
∂V
∂N
となる。ところで U (S, V, N ) のチェーンルール
)
)
)
(
(
(
∂U
∂U
∂U
dU (S, V, N ) =
dS +
dV +
· dN
∂S
∂V
∂N
(9.117)
(9.118)
と式 (9.114) を比較すると、
(
)
∂U
∂S
(
)
∂U
∂V
(
)
∂U
∂N
= T
(9.119)
= −P
(9.120)
= µ̃
(9.121)
であるが、これを式 (9.117) に入れると、
U = T S − P V + µ̃ · N
(9.122)
となる。これを Euler’s equation という。Euler’s equation の全微分
dU
= d(T S) − d(P V ) + d(µ̃ · N )
= T dS − P dV + µ̃ · dN + S dT − V dP + N · dµ̃
(9.123)
(9.124)
と式 (9.162) から得られる
S dT − V dP + N · dµ̃ = 0
(9.125)
を Gibbs-Duhem relation という。
いま一成分系で二つの系(たとえば、気相と液相など)が平衡状態にあるとしよう。この場合
T1
P1
µ̃1
= T2
= P2
= µ̃2
(9.126)
(9.127)
(9.128)
が成り立つ。
圧力と温度を変化させることを考えよう。この場合、化学ポテンシャルの変化は Gibbs-Duhem relation
から
dµ̃1
dµ̃2
P1
S1
dT1 +
dP1
N1
N1
S2
P2
= −
dT2 +
dP2
N2
N2
= −
180
(9.129)
(9.130)
であるが、µ̃1 = µ̃2 を保つためには dµ̃1 = dµ̃2 とならねばならない。すなわち、
dP
S2 /N2 − S1 /N1
=
dT
V2 /N2 − V1 /N1
(9.131)
となる。平衡状態のときの温度・圧力の関係を表すこの微分方程式を Clausius-Clapeyron equation という。
ここで S1 /N1 − S2 /N2 = L/T とおくと、L は一粒子を状態 2 から状態 1 (たとえば液体から気体へ) に
変化させるのに必要な熱量に対応する。この L を latent heat (潜熱) という。また数密度 n ≡ N/V を用い
て、式 (9.131) は
L
dP
=
−1
dT
T (n−1
2 − n1 )
(9.132)
と書き換えられる。ここでは状態間の分子種は同じなので、密度の表式にしておこう。latent heat を質量辺
りの量、l = L/µmH でおくと
dP
l
=
−1
dT
T (ρ−1
2 − ρ1 )
(9.133)
となる。
Clausius-Clapeyron equation に基づいて、蒸気圧 (液相と気相) もしくは昇華圧 (固相と気相) が共存し
ている状態での圧力、と温度の関係を考えよう。1 を液相もしくは固相 (c とおく)、2 を気相 (v) とおいて、
蒸気圧 (昇華圧)Psat と温度の関係は
dPsat
lc→v
=
−1
dT
T (ρv − ρ−1
c )
(9.134)
となる。ここに lc→v は気相への質量辺りの潜熱である。気相は通常、固相もしくは液相にくらべ密度がか
−1
なり低い。すなわち、ρ−1
v ≫ ρc である。つまり
dPsat
lc→v ρv
=
dT
T
(9.135)
となる。ここで理想気体の状態方程式を用いると
dPsat
lc→v Psat
=
dT
RT 2
となり、微分方程式が解けることになる。解は
(
lc→v
Psat (T ) = Psat,0 exp −
RT
(9.136)
)
(9.137)
となる。
成層圏下端温度
海洋直上の圧力は式 (9.137) の蒸気圧で与えられるとして、これと成層圏の下端=対流圏の上端(対流圏界
面;tropopause)の圧力を結び付けたい。ここでは簡単のため大気が水蒸気だけの場合を考える。dτ = −κρdz
と静水圧平衡 dP = −ρgdz より dτ = κg dP なので
τ=
κ
P
g
181
(9.138)
である。界面から tropopause の間が全部、水蒸気飽和しているとすると単に
)
(
κ
κPsat,0
lc→v
τtp = Psat (Ttp ) =
exp −
g
g
RTtp
(9.139)
となる。ここに τtp 、Ttp は対流圏界面における光学的深さと温度である。この場合は、相対湿度が 100%で
あることに対応している。現実には対流圏界面が 100%飽和することはあまりないだろう。そこで Nakajima,
Hayashi & Abe 1992 [56] に従い、相対湿度の Nuisance parameter h(Ttp ) を導入して
(
)
κh(Ttp )Psat,0
lc→v
κh(Ttp )
Psat (Ttp ) =
exp −
τtp =
(9.140)
g
g
RTtp
さてこれとは別に成層圏部分を吸収のない放射平衡大気だとすると、放射平衡大気下端での関係式 (9.98)
から
1
(9.141)
Fs (Dτtp + 1)
2
の式が同時に成り立たないとならない。具体的な値を両方の式に入れて Fs を変えてみるとある Fs = Fs,max
で解がなくなることがわかる。図 9.4)は [56] で採用されたパラメタをもちい h = 1(完全飽和)、D = 3/2 と
して計算した式 (9.140) と Fs を変えて計算した式 (9.141) である。 この場合、Fs,max ≈ 485W/m2 であるこ
とがわかる。
この放射の限界値(radiation limit; 射出限界)を Komabayashi-Ingersoll Limit と呼ぶ。KomabayashiIngersoll Limit では対流圏界面での radiation limit を考えているが、対流圏まで含めて計算した radiation
limit は Komabayashi-Ingersoll limit より、さらに若干低い値となる [56]。radiation limit は、これ以上の長
波を放射できないということなので、Fs,max を超える恒星入射があった場合は、大気が安定できず、海洋が
なくなるまで蒸発すると考えられる(暴走温室限界)。言い換えるとハビタブルゾーンの内側限界を決める
指針を与える 2 。
本書では、系外惑星を扱っているので、もう少し一般性を持たせて考えてみることにする。いま h(T ) = h
で定数だと思うと、解くべき式は
[
]
( )1/4
κh(Ttp )Psat,0
lc→v 2σ
τtp =
exp −
(1 + Dτtp )−1/4
(9.142)
g
R
Fs
4
(τtp ) =
σTtp
(9.143)
であった。ここで、対流圏界面の τtp ≪ 1 との近似を置く。前述の条件で radiation limit 時の τtp は 0.1 程
度なので、数%程度の誤差はでるが、この近似のもとでは、
τtp
A
α
≈ Ae−α(1−Dτtp /4)
κhPsat,0
=
g
( )1/4
lc→v 2σ
=
R
Fs
(9.144)
(9.145)
(9.146)
となる。これを以下のように変形する。
D
αAe−α
4
X
= Xe−X
≡ −
D
ατtp
4
(9.147)
(9.148)
2 暴走温室限界よりも厳しい条件として、湿潤温室限界とよばれる成層圏の水蒸気が恒星光により散逸してしまう効果もある。
182
10 -4
= 0. 01m 2 /kg, h = 1, lc→v = 43655J/mol, Psat, 0 = 1. 4 × 10 11 Pa
Fs = 300W/m 2
Fs = 485W/m 2
Fs = 500W/m 2
10 -3
Sat
τtp
10 -2
10 -1
10 0
1
10220
230 240 250 260 270 280 290 300
T [K]
Figure 9.4: Komabayashi-Ingersoll limit の存在。実線は飽和蒸気圧から決まる式 (9.140) である。残り3線
は、放射平衡モデルからきまる関係式 (9.141) を Fs を変えて表示したもの。Fs = 485W/m2 以上では、両
式を満たす解が存在しないことがわかる。
この式を X について解析的には解けないが、この解は Lambert W function
X = Wi (Y ) for Y = Xe−X
(9.149)
で書き直せる。
τtp = −
(
)
4
D
Wi −α Ae−α
Dα
4
(9.150)
ここに i = 0, −1 の分岐がある。
Radiation limit Fs,max は、W (Y ) の解の分岐点でおこるが、これは Y = −1/e, W (Y ) = −1 の点に対応
している。すなわち
−αe−α
= −
4
eDA
(9.151)
が満たされ、
τtp
=
4
4R
=
Dα
Dl
(
Fs,max
2σ
)1/4
(9.152)
(9.153)
の時が、Radiation limit 時の τtp である。式 (9.151) は再び Lambert W function を用いて、
(
)
4
α = −W−1 −
eDA
183
(9.154)
とかける。A,α をもとに戻すと
(
Fs,max
Q
G(Q)
)4
lc→v
= 2σ
G(Q)
R
4e−1 g
≡
DPsat,0 κh
−4
≡ [−W−1 (−Q)]
(9.155)
(9.156)
≈ [− log Q + log (− log Q)]−4
(9.157)
と求まる。Lambert W function は特殊関数であるが、python/scipy の lambertw や mathematica の ProductLog など様々なパッケージで容易に計算可能である。 [56] での採用値 (D = 1.5, κ = 0.01m2 /kg, h =
1, , Psat,0 = 1.4 × 1011 Pa, g = 9.8m/s2 ) に対しては、Q ≈ 7 × 10−9 となる。図 9.5 に G(Q) の挙動を示す。
この近似式から g 、h、κ などの Fs,max に対する依存性が評価できる。
G(Q) × 10 5
1.4
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0 -9
10
10 -8
Q
10 -7
10 -6
Figure 9.5: G(Q):式 (9.157)。式 (9.144) の近似について 0.1 < τtp < 0.2 程度の領域である。破線は本文中
の採用値。
9.3
放射対流平衡大気モデル
9.3.1
Schwarzschild Criterion
地球のような固体表面のある惑星の大気構造の場合、放射平衡大気では、下端 (9.104) より地表面 (9.103) の
ほうが高温となり不連続となってしまっていた。実際にはこの不連続を埋める形で対流層が存在する。対流
と放射の2つの形態でエネルギーの輸送を担うモデルを放射対流平衡モデルという。放射対流平衡は、通常
0.1bar 付近より圧力が高い下層でなりたつ。
まず対流が起きる状況とはどんな状況か考える。空気塊 A が何らかの力学的摂動を受けて z → z ′ = z +∆z
だけ持ち上がったとしよう。この時、空気塊の圧力 PA (z ′ ) は、音速のタイムスケールで、持ち上がった場所
の周囲の圧力 P (z ′ ) と一致するように膨張する。今考えている力学的な摂動は、音速より十分遅いとすると
DP ≡ PA (z ′ ) − P (z ′ ) = 0 とおける。次に密度を考えよう。空気塊の密度 ρA (z ′ ) が周囲の密度 ρ(z ′ ) より小
さくなっている時、すなわち
Dρ = ρA (z ′ ) − ρ(z ′ ) < 0
184
(9.158)
となっているときには、空気塊は上向きの浮力
F = −gDρ
(9.159)
を受け、さらに上に押し上げられる。このような不安定性を力学的不安定といい、対流が発生する条件と
なる。
次に空気塊が押し上げられるタイムスケールが、熱伝導のタイムスケールより十分速いという仮定をお
こう。この場合、式 (9.158) は
(
[(
)
)]
dρ(z ′ )
dρA (z ′ )
−
Dρ =
<0
(9.160)
dz
dz
A
と書き直せる。密度条件は使いにくいので、これを対数密度のチェーンルールを用いて温度と圧力に書き換
える。
(
)
(
)
∂ log ρ
dρ
∂ log ρ
= d(log ρ) =
d(log T ) +
d(log P )
(9.161)
ρ
∂ log T
∂ log P
対流が支配的になり、鉛直方向がほぼ等エントロピーとなると、Adiabat だけで温度・圧力関係がほぼ決
定する。次に様々な場合の adiabat がどのように決まるか見てみよう。
9.3.2
Dry Adiabat の一般論
熱力学第一法則、すなわちエネルギー保存
dU = δQ + δW
(9.162)
からはじめよう。ここに U は内部エネルギー、δQ は周囲との交換された熱、δW は仕事である。可逆過程
において、熱の変化はエントロピー S の全微分と温度 T で dS = δQ/T とかける。
熱力学量を単位質量辺りの量、u = U/M , q = Q/M , v = V /M に書き換えておこう。化学変化や潜熱
の解放などの状態変化がないとき、仕事は体積変化による仕事 δW = −P dV のみとなる。熱力学第一法則
(9.162) は、
δq
= du + P dv
(9.163)
と書ける。ここに v は specfic volume と呼ばれ、端的には密度 ρ = M/V の逆数である。地球大気ではこの
ような条件が適応できる大気を乾燥大気という。水蒸気を含む大気の場合は潜熱の解放によるエネルギー収
支を考えねばならない。断熱過程では δq = 0 とおくことで adiabat、この場合、乾燥大気の adiabat という
意味で dry adiabat を求めたい。しかし、このままでは δq = 0 から温度圧力関係は導出されない。このため
には δq を
δq
= f (T, P ) dT + g(T, P ) dP
の形に表せれば良い。
T と v を変数だと思うとチェーンルールより
(
)
( )
∂u
∂u
du =
dT +
dv
∂T v
∂v T
185
(9.164)
(9.165)
である。これを利用すると、式 (9.163) は
(
)
[( )
]
∂u
∂u
δq =
dT +
+ P dv
∂T v
∂v T
(9.166)
となる。これはまだ v, T を変数とした形である。v を P に変換するためには気体の状態方程式が必要であ
る。ここでは、一般の状態方程式
1
ρ = ρ(P, T ) =
(9.167)
v
を考えよう。一般の状態方程式を特徴づける量として、対数密度の温度もしくは圧力にたいするスロープを
定義しておく。
d(log ρ)
α
β
βdP − αdT
)
(
)
(
1 ∂v
∂ log ρ
≡
=−
∂T
v ∂T P
P
(
)
(
)
∂ log ρ
1 ∂v
≡ −
=
∂P
v ∂P T
T
=
ここに α は thermal expansion coefficient、β は isothermal compressivity と呼ばれる量である。
これらを利用すると、式 (9.166) は
(
)
[( )
]
∂u
1
∂u
dρ
δq =
dT +
+P
∂T v
ρ
∂v T
ρ
(
)
[( )
]
∂u
1
∂u
=
dT +
+ P (βdP − αdT )
∂T v
ρ
∂v T
と形式的に式 (9.164) の形で書けた。Adiabat を計算するには、
( )
∂u
A≡
∂v T
(
)
∂u
B≡
∂T v
を T, P の関数として表す必要がある。
まず比熱を導入しよう。比熱 (specific heat) の定義は
(
)
∂q
c≡
∂T
(9.168)
(9.169)
(9.170)
(9.171)
(9.172)
(9.173)
(9.174)
(9.175)
であり、定積の時は定積比熱 cv 、定圧の時は定圧比熱 cp で表記する。熱力学第一法則 (9.163) を用いると、
(
)
(
)
∂u
∂q
=
cv ≡
(9.176)
∂T v
∂T v
(
)
(
)
(
)
∂q
∂u
∂v
cp ≡
=
+P
(9.177)
∂T P
∂T P
∂T P
となる。B = cv であることは分かったが、T, P の関数とするため、cv と cp の関係をもちいて B を cp で表
したい。有用な以下の関係式を導いておこう。
(
)
(
) (
)−1
(
) (
)−1
∂P
∂v
∂v
∂ρ
∂ρ
α
=−
=−
=
(9.178)
∂T v
∂T P ∂P T
∂T P ∂P T
β
186
A を求める
エントロピー ds = dq/T を考えると、式 (9.166) より
(
)
[( )
]
1 ∂u
1
∂u
ds =
dT +
+ P dv
T ∂T v
T
∂v T
である。これとチェーンルール
(
ds =
を比較すると
∂s
∂T
)
∂s
∂T
( )v
∂s
∂v T
)
(
dT +
v
(
=
=
∂s
∂v
(9.179)
)
dv
(9.180)
T
(
)
1 ∂u
T ∂T v
]
[( )
1
∂u
+P
T
∂v T
となるが、エントロピー ds が完全微分であることから偏微分の交換則
(
)
( )
∂s
∂
∂s
∂
=
∂v ∂T v
∂T ∂v T
(9.181)
(9.182)
(9.183)
に (9.181) と (9.182) を代入して
[ (
) ]
[ ( )
]
∂ 1 ∂u
∂ 1 ∂u
P
=
+
∂v T ∂T v
∂T T ∂v T
T
が得られる。微分を実行して、式 (9.178) を用いて、整理すると
( )
(
)
∂u
∂P
= T
−P
∂v T
∂T v
α
=
T −P
β
(9.184)
(9.185)
(9.186)
となり、A が求まった。
比熱関係と B
定積比熱 cv と定圧比熱 cp の関係を考える。式 (9.165) から
(
)
( )
du
∂u
∂u
dv
=
+
dT
∂T v
∂v T dT
である。ここで圧力を固定して、式 (9.186) を代入すると
(
)
(
)
( ) (
)
∂u
∂u
∂u
∂v
=
+
∂T P
∂T v
∂v T ∂T P
(
)
[
](
)
∂u
α
∂v
=
+
T −P
∂T v
β
∂T P
187
(9.187)
(9.188)
(9.189)
となる。ここで定圧比熱 (9.177)、定積比熱 (9.176) と
( ∂v )
= δ/ρT を用いると
∂T P
T α2
ρ β
cp − cv =
(9.190)
と比熱関係が求まった。
adiabat を求める
式 (9.186) と式 (9.190) から
(
A≡
(
B≡
∂u
∂v
∂u
∂T
)
(
=T
)
T
∂P
∂T
)
= cv = cp −
v
−P
(9.191)
T α2
ρ β
(9.192)
v
となる。式 (9.172) に代入して
T
= cp dT + α dP
ρ
δq
が得られた。さて dry adiabat は、上の式で dq = 0 としたものを利用して
(
)
∂ log T
P α
=−
∂ log P s
ρ cp
(9.193)
(9.194)
となる。
9.3.3
理想気体の dry adiabat
理想気体の状態方程式 (9.12) と (9.169) より、理想気体の thermal expansion coefficient は、
1
T
α=−
(9.195)
となることがわかる。これより式 (9.193) は
δq
1
= cp dT − dP
ρ
(9.196)
となり、adiabat は
(
∂ log T
∂ log P
)
=
s
となることがわかる。
[つづく]
188
R
cp
(9.197)
9.3.4
Pseudoadiabat
式 (9.196) より
δq
9.3.5
= xn cp,n dT − xn vn dP + xv cp,v dT − xv vv dP + ldxv
放射対流層と放射層の接続
189
(9.198)
Appendix A
モーメント形式を用いた放射平衡大気モ
デル
9 章では、放射を F+ と F− に分けて、二流近似で放射平衡大気の議論を行った。この形式は特に惑星大気
の理論の際によく用いられる。ところで恒星大気理論での放射伝達は、放射のモーメント形式の導出が普通
であり、系外惑星の大気モデルの場合にもモーメント形式が使われることがある。そこでモーメント形式で
もう一度、放射平衡モデルを解いてみて、二流近似の結果と比較してみよう。
Eddington Coefficient と二流近似
放射伝達の式 (8.58) を ⟨⟩ 平均する、また式 (8.58) に µ をかけてから ⟨⟩ 平均することで
dHν
dτ
dKν
dτ
= Jν − ⟨Jν ⟩
(A.1)
= Hν − ⟨µJν ⟩
(A.2)
の二つの式が得られる。もし放射源関数は黒体輻射だとすると (Jν = Bν )、放射源関数は等方であるので
dHν
dτ
dKν
dτ
= Jν − Bν
(A.3)
= Hν
(A.4)
となる。ここで、closure relation として Jν と Kν の関係を一定値だと思ってみよう。二流近似の時は、両
半面でそれぞれ一様の場合は式 (9.64) の上下式の差から
Jν = 3Kν
(A.5)
であった。また Eddington 近似と呼ばれる Iν = A + Bµ の形を仮定した場合も同様に
Jν = 3Kν
となる。
190
(A.6)
そこでやや天下りに定数 ηE を
ηE ≡ Kν /Jν
(A.7)
で定義して、
• (仮定 D) ηE = Kν /Jν が τ によらず一定
という仮定を置こう。ηE を Eddington coefficient と呼ぶこともある。 これに式 (A.4) を用いると
−1
−1
Ḧν − ηE
Hν + ηE
⟨µJν ⟩ + ⟨J˙ν ⟩ = 0
(A.8)
が得られる。
一様放射源の場合
一様放射源の場合、二流近似からでる二階微分方程式 (9.76) を Hν で書き直した式
Ḧν − D2 Hν +
D
Ḃν = 0
2
(A.9)
と式 (A.8) に一様放射源仮定をおいた
−1
Ḧν − ηE
Hν + Ḃν = 0
(A.10)
で、Ḧ を消去すると
Ḃν =
−1
ηE
− D2
Hν
1 − D/2
(A.11)
1
2D
(A.12)
となる。
放射平衡 H が一定の場合、Ḧ = 0 のため
ηE =
となる。
大気中で恒星光が吸収されない場合のモーメント形式
式 9.58 を思い出すと、ネットフラックスは
Fnet = 4πHν
(A.13)
である。つまり、フラックスが変化しない場合の放射平衡の式 (9.94) は、単純に
Ḣν = 0
(A.14)
Jν = Bν
(A.15)
で表される。式 (A.1) より
191
となり、Bν が Jν と一致する。
式 (A.14) より Hν は定数であり、二流近似で用いた表記を用いると、
Hν = ⟨µIν ⟩ =
Fs
1
(F+ − F− ) =
4π
4π
(A.16)
となる。式 (9.73) に対応している。
式 (A.4) より
Hν
dJν
=
dτ
ηE
(A.17)
より
Jν =
Hν
τ +C
ηE
(A.18)
となる。ここで τ = 0 の時、すなわち大気上端での境界条件が必要となるが、大気上端では下向き輻射がな
いという (仮定 B) は、
Jν (0) = 2Hν (仮定 B”)
となる。これは ⟨⟩US のモーメント関係 (式 9.64 上) と同じになる。
(
)
1
Jν = Hν
τ +2
ηE
(
)
Fs
1
=
τ +2
4π ηE
(A.19)
(A.20)
(A.21)
が解である。温度分布に戻すには式 (A.15) より
σT 4
= πBν = πJν
(
)
Fs
1
=
τ +1
2 2ηE
(A.22)
(A.23)
となり、D = 1/(2ηE ) の対応で式 (9.98) と一致する。
ここで二流近似で用いた仮定との違いを振り返る。二流近似では仮定 A のように直接 Kν ± と Hν ± の
モーメント関係を仮定することで、Kν ± と Hν ± の放射伝達式を用い、Bν について直接求めている。一方、
Eddignton coefficient を用いた方法では、Kν と Jν のモーメント関係 (仮定 D) と境界条件 (仮定 B”=仮定
B) を用いて Kν と Hν の放射伝達式を Jν と Hν の関係に直してから、Jν と Hν の放射伝達の式から、Bν を
求めた。
大気中で恒星光の吸収加熱がある場合のモーメント形式
大気中での恒星光の吸収加熱がある場合についての、モーメント形式での定式化は、Hansen 2008[23] や Gillot
[21] で提示されている。ここに上付き ⋆ は恒星光領域の放射を示す。大気の輻射領域には下付き文字は付け
ない。
192
恒星光領域の放射伝達は放射源関数がないので、
dHν⋆
dτ ⋆
dKν⋆
dτ ⋆
=
=
1 dHν⋆
= Jν⋆
k dτ
1 dKν⋆
= Hν⋆
k dτ
(A.24)
(A.25)
となる。すなわち
d2 Kν⋆
= k 2 Jν⋆
dτ 2
(A.26)
√
Kν⋆ /Jν⋆
(A.27)
であり、式 (A.7) と同様に、
µ∗ ≡
で定義すると、
k2
d2 Jν⋆
− 2 Jν⋆
2
dτ
µ∗
2 ⋆
k2
d Hν
− 2 Hν⋆
2
dτ
µ∗
=
0
(A.28)
=
0
(A.29)
となるので、解のうち大きい τ で発散しないという条件を課すと
Jν⋆ (τ ) =
Hν⋆ (τ ) =
Jν⋆ (0)e− µ∗ τ
k
Hν⋆ (0)e
− µk∗
(A.30)
τ
(A.31)
となる。また、式 (A.25) より
Hν⋆ (0) = −µ∗ Jν⋆ (0)
(A.32)
となる。
恒星光も考えた二色の場合の放射平衡は
d
(Hν + Hν⋆ ) = 0
dτ
(A.33)
Jν − Bν + kJν⋆ = 0
(A.34)
となるので、式 (A.3,A.24) より
となる。
さて、式 (A.34) から πBν = σT 4 (τ ) を求めるため、Jν を求めよう。H がフラックスを表すことを考慮
して、境界条件を Hν (0),Hν⋆ (0) で代入できるように変形する。まず、式 (A.3) を τ = 0 から τ = τ まで積分
し、式 (A.34), (A.30) を用いると
∫ τ
dτ ′ [Jν (τ ′ ) − Bν (τ ′ )]
Hν (τ ) − Hν (0) =
0
∫ τ
= −k
dτ ′ Jν⋆ (τ ′ )
0
= −µ∗ Jν⋆ (0)(1 − e− µ∗ τ )
k
193
(A.35)
式 (A.4) を τ = 0 から τ = τ まで積分し、式 (A.35, A.32) をもちいると
∫ τ
Kν (τ ) − Kν (0) =
dτ ′ Hν (τ )
0
∫ τ
′
k
=
dτ ′ [Hν (0) − µ∗ Jν⋆ (0)(1 − e− µ∗ τ )]
∫0 τ
′
k
=
dτ ′ [Hν (0) + Hν⋆ (0)(1 − e− µ∗ τ )]
0
k
Fnet (0)
µ2
τ + Jν⋆ (0) ∗ (1 − e− µ∗ τ )
4π
k
=
ηE =
√
(A.36)
Kν /Jν を用いると Jν の方程式
Jν (τ ) − Jν (0) =
k
µ2
Hν (0) + Hν⋆ (0)
τ + Jν⋆ (0) ∗ (1 − e− µ∗ τ )
ηE
ηE k
(A.37)
が得られる。
式 (A.30, A.37) を放射平衡の式 (A.34) に代入し、式 (A.32) より Jν⋆ (0) = −Hν⋆ (0)/µ∗ を用いると、
Bν (τ )
Jν (τ ) + kJν⋆ (τ )
k
k
Hν (0) + Hν⋆ (0)
µ2
=
τ + Jν⋆ (0) ∗ (1 − e− µ∗ τ ) + Jν (0) + kJν⋆ (0)e− µ∗ τ
ηE
ηE k
k
k
µ∗
Hν (0) + Hν⋆ (0)
k ⋆
=
τ − Hν⋆ (0)
(1 − e− µ∗ τ ) + Jν (0) −
Hν (0)e− µ∗ τ
ηE
ηE k
µ
[
(
)
(∗
)
]
1
τ
µ
1
µ∗
k
∗
− µk∗ τ
⋆
⋆
= [Hν (0) + Hν (0)]
+ 2 − Hν (0) 2 +
+
−
e
ηE
ζ0
ζ0
kηE
kηE
µ∗
=
(A.38)
(A.39)
(A.40)
(A.41)
となる。上の変形では ηE と同様に
ζ0 ≡
√
Hν (0)/Jν (0)
(A.42)
を定義し、境界条件 τ = 0 での Jν と Hν の関係を仮定している。
さて, 4π[Hν (0) + Hν⋆ (0)] は恒星光と輻射光の全ネットフラックスを示しているので、τ = 0 では入って
きた恒星光フラックスは全て輻射に変換されて出てきているので、正味、惑星内部からのフラックスの寄与
のみとなる。つまり
Fi = 4π[Hν (0) + Hν⋆ (0)]
(A.43)
また、4πHν⋆ (0) は、τ = 0 での恒星光のネットフラックスであるが下向きが負で表されることを考慮し、
F⋆ = −4πHν⋆ (0)
となる。結局、πBν = σT 4 より
[
(
)
]
(
)
F⋆ 1
µ∗
µ∗
k
1
1
1
− µk∗ τ
σT 4 (τ ) =
+
+
−
e
+
F
+
τ
i
2 2ζ02
2kηE
2kηE
2µ∗
2
2ζ02
2ηE
194
(A.44)
(A.45)
となる。これを式 (9.111)
σT 4 (τ ) =
(
[
)
]
F⋆
D
D
k
1
+
−
1+
e−kτ + Fi (1 + Dτ )
2
k
k
D
2
(A.46)
と見比べると、ほとんど同じ形式になっているが、D → 1/2ηE , k → k/µ∗ , 1 → 1/2ζ02 の対応となっている
ことが分かる。
195
Appendix B
Watson による流体力学的散逸モデル
以下に、Watson et al.1981[84] による惑星からの EUV 光などによる流体力学的散逸についてのモデルを記
述する。まず、温度と密度の関係が
(
T = T0
ρ
ρ0
)Γ−1
(B.1)
で表されるような Polytropic type の wind モデルを考える。基本方程式は質量保存、運動量保存 (運動方程
式)、エネルギー保存の三つである。
まず質量保存は、mass flux を F ≡ r2 ρv として、
Ṁ = 4πr2 ρv = 4πF
(B.2)
dv
GM
1 dP
=− 2 −
dr
r
ρ dr
(B.3)
となる 1 。
運動方程式 2
v
を等温音速 a ≡
√
p/ρ で書き換える。
1 dP
d
=
ρ dr
dr
( )
( )
( ) ( )
( )
p
dρ−1
d p
p d log ρ
d p
p d log v
p 1
−p
=
+
=
−
−2
ρ
dr
dr ρ
ρ dr
dr ρ
ρ
dr
ρ r
(B.4)
を利用して、式 (B.3) は、
1 dv
(v − a )
=
v dr
2
1 [84]
2 [84]
2
( 2
)
a
da2
GM
2 −
− 2
r
dr
r
では ∇ · (nu) = 0 に対応。
では ρ(u · ∇)u + ∇P = ρg に対応。
196
(B.5)
となる。式 (B.4) の最後の変形には、質量保存の式 (B.2) の対数微分
d log ρ d log v 2
+
+ =0
dr
dr
r
(B.6)
を用いた。ここで無次元量
τ
≡
Ψ ≡
λ ≡
T
T0
(B.7)
µmH v 2
=
kT0
GM/r
kT0 /µmH
(
v
a0
)2
(B.8)
(B.9)
を導入して、3 式 (B.5) 書き換える。r0 での等温音速
√
a0
kT0
µmH
≡
(B.10)
を使って
v=
√
GM dλ
λ2 a20
a2
Ψa0 , r =
,
=−
, τ= 2
2
λa0 dr
GM
a0
(B.11)
などを用いて整理すると
(
1−
(
)
τ ) dΨ
τ
dτ
=2 1−2 −
Ψ dλ
λ dλ
(B.12)
となる。
次に単位質量あたりの気体のエネルギーを考えると運動エネルギー+エンタルピー+ポテンシャルであ
るから、
em =
v2
Γ
kT
GM
+
−
2
Γ − 1 µmH
r
(B.13)
である。単位時間あたりに球殻を流入する大気のエネルギーフラックスは −Ṁ em となる。
熱伝導によるエネルギーフラックスは
Lh = −4πr2 κ(T )
dT
dr
(B.14)
であるが、熱伝導率を温度のベキ関数、
(
κ(T ) = κ0
3λ
T
T0
は T = T0 以外ではエスケープパラメタではないことに注意。
197
)s
(B.15)
とおくと
(
Lh = −4πr κ0
2
T
T0
)s
dT
dr
(B.16)
である。これに、局所的な体積加熱率 q の注入を考えると、幅 ∆r の球殻の持つエネルギー ∆E の時間変化
は、f (r) = Lh − Ṁ em として、
d(∆E)
= [f (r + ∆r) − f (r)] + 4πr2 q∆r = 0
dt
(B.17)
となるから、エネルギー保存の式は
∂
(Lh − Ṁ em ) + 4πr2 q = 0
∂r
となる。これを r = r から r = ∞ まで積分し、
∫
∞
f (∞) − f (r) +
(B.18)
4πr2 qdr = 0
(B.19)
r
であり、すなわち
∫
∞
Lh − Ṁ em −
4πr2 qdr = f (∞)
(B.20)
r
である、これを書き換えると、
4πr2 κ0 dT s+1
− s
− 4πr2 ρv
T0 (s + 1) dr
(
v2
Γ
kT
GM
+
−
2
Γ − 1 µmH
r
)
∫
−
∞
dr4πr2 q = const
(B.21)
r
となる 4 。これを λ,Ψ で書き換えると
τ s dτ
ζ dλ
ϵ
ζ
Ψ
Γ
−
τ +λ+ϵ
2
Γ−1
∫ ∞
1
dr r2 q
≡ ϵ∞ −
Fa20 r
Fa40
≡
GM κ0 T0
= −
(B.22)
(B.23)
(B.24)
となる 5 。ここで熱伝導は Lh → 0(r → ∞) であるので、
ϵ∞
≡
−
f (∞)
em (∞)
µmH em (∞)
=
=
2
2
4πFa0
a0
kT0
となり、kT0 の単位ではかった無限遠での大気粒子のもつエネルギーとなる。
4 [84]
5 [84]
では ∇ · (κ∇T ) = ∇ · [ 52 nkT u + n(mu2 /2)u − nmg · u] − q に対応 (誤植あり)
の F とは F = µmH F の関係にあることに注意。
198
(B.25)
B.1
EUV 吸収による大気散逸
いま Flux S の EUV 吸収加熱が r = r1 (> r0 ) の無限に狭い領域でおこるとする。この場合、

Sr12
β

ϵ∞ −
= ϵ∞ − 2
for (r < r1 )
2
ϵ=
Fa0
ζλ1

ϵ = ϵ∞
for (r > r1 )
(B.26)
となる。ここに
β
≡ S
GM
κ0 T0 a20
(B.27)
を定義した。
まず Lower boundary r = r0 に近い領域を考える。定義上 τ (r0 ) = 1 である。ここで Lower boundary 付
近では大気が十分束縛されている、すなわち、エスケープパラメタが十分大きい、例えば、
GM/r0
= λ0 ≳ 10
kT0 /µmH
(B.28)
を要請する。つまり Lower boundary 付近で λ ≫ τ となる。エネルギー保存、式 (B.22) は、この領域で音
速 (∼ a0 ) より速度が十分小さいと考えられ (v ≫ a0 )、Ψ = (v/a0 )2 の項は無視できることを考え合わせて、
τ s dτ
β
≈ λ + ϵ∞ − 2
ζ dλ
ζλ1
(B.29)
と簡略化される。もし流出フラックスを表す ζ が十分小さければ、右辺は負となり、dτ /dλ が負、すなわち
半径方向に温度が増加する。つまり r = r1 で注入されたエネルギーが大気下部へと熱伝導していった温度分
布となっている。ζ を増加させると、
λ = λtmin ≈ β/(ζλ21 ) − ϵ∞
(B.30)
の地点で dτ /dλ = 0 となり、r = r0 と r = r1 の間で温度極小点が出現する。この点に向かい熱伝導がが大
気が上下両側から流入するが、膨張がこの点付近を冷却する。
式 (B.29) の微分方程式は、
)
(
dτ s+1
β
= ζ(s + 1) λ + ϵ∞ − 2
(B.31)
dλ
ζλ1
なので、解は
τ
s+1
(
)
ζ(s + 1) 2
β
=
λ + ζ(s + 1) ϵ∞ − 2 λ + c
2
ζλ1
(B.32)
であり、温度極小点では
s+1
τtmin
3ζ(s + 1)
≈
2
(
)2
β
ϵ∞ − 2
+c
ζλ1
199
(B.33)
これを ζ で微分して
[
(
)2 ]
s+1
dτtmin
3(s + 1) 2
β
ϵ∞ −
=
dζ
2
ζλ21
(B.34)
であるので
ζ<
β
λ21 ϵ∞
(B.35)
の場合は、最も流出フラックスを大きくするほど、温度極小点の温度が下がる。すなわち最大流出フラック
スの時は τtmin = 0 である。これより大きな流出フラックスを与えると負の温度が出現し物理的でなくなる
ので、流出フラックスには上限があることがわかる。
B.2
最大流出フラックスの場合
最大流出フラックスの際のフラックス量 ζ = ζm とエネルギー注入の位置 λ1 を求めたい。
一つ目の関係式は r0 と温度極小の位置 rtmin の間でのエネルギー保存から得られる。微分方程式の解
(B.32) に境界条件 λ0 、τ = 1 の元では
)
(
ζ(s + 1) 2
β
s+1
2
1−τ
=
(B.36)
(λ0 − λ ) + ζ(s + 1) ϵ∞ − 2 (λ0 − λ)
2
ζλ1
最大フラックスでは、λtmin で τ = 0 となることから、これを代入して整理すると、
√
β
2
+ ϵ∞
= λ0 − λtmin = λ0 −
(s + 1)ζm
ζm λ21
(B.37)
これが、ζm と λ1 の一つ目の関係式である。
もう一つの関係式は rtmin と r1 の間でのエネルギー保存から得られる。同様に微分方程式の解 (B.32) を
Γ
用いたいが、この場合無視してきた項 Γ−1
τ の項が効いてくるので、不等式関係
√
2
β
(s+1)/2
− ϵ∞
τ
> −λ0 +
(s + 1)ζm 1
ζm λ21
のみが得られる。これに式 (B.37) から
β
ζm λ21
(B.38)
− ϵ∞ の項を消し、
√
2
(s+1)/2
> λ0 −
τ
(s + 1)ζm 1
√
2ζm
− λ1
s+1
となる。
さらに τ1 をなんとか λ1 と関係つけたい。ここで運動量保存 (B.12)
(
)
(
τ ) dΨ
τ
dτ
1−
=2 1−2 −
Ψ dλ
λ dλ
200
(B.39)
(B.40)
を用いる。この式より、音速点 v = µmH /kT 、すなわち τ = Ψ となる点では
)
(
dτ
τ
=0
1−2 −
λ dλ
(B.41)
でないとならないが、r1 より外側、すなわち λ < λ1 では、通常のパーカー風と同じ解となり、dτ /dλ は正
となるので (つまり温度が r の減少関数)、音速点では
λs /τs > 2
(B.42)
λ1 /τ1 > 2
(B.43)
である。また λ/τ は半径の減少関数であり、
がなりたつ。
これと式 (B.39) から、
√
√
( )(s+1)/2 √
2
λ1
2
2
(s+1)/2
>
τ
> λ0 −
− λ1
(s + 1)ζm 2
(s + 1)ζm 1
(s + 1)ζm
となる。適当なパラメタ ϵ′ を導入することで、不等式を等式にすると
√
√
( )(s+1)/2
2
λ1
2
= λ0 −
− λ1 + ϵ′
(s + 1)ζm 2
(s + 1)ζm
となる。これが第二の関係式で、式 (B.37) を変形したものとあわせ、二つの関係式をかくと、
√
√
[
]−1/2
β
2
λ1 =
λ0 −
+ ϵ∞
ζm
(s + 1)ζm
[
]2
2
(λ1 /2)(s+1)/2 + 1
ζm =
s+1
λ0 − λ1 + ϵ′
(B.44)
(B.45)
(B.46)
(B.47)
となる。ϵ∞ 、ϵ′ は本当は分からないが、流出フラックスの上限とい意味では ϵ∞ = 0、ϵ′ = 0 を用いて見積
もれば良い。
以上の導出から、この見積もりで必要なのは
λ0
=
β
=
κ =
GM/r0
kT0 /µmH
GM µmH
S
κ0 kT 2
( )0s
T
κ0
T0
(B.48)
(B.49)
(B.50)
であり、これにより
λ1
=
ζm
=
GM/r1
kT0 /µmH
(
)2
kT0
F
GM κ0 T0 µmH
が得られる。そして Γ によらない。
201
(B.51)
(B.52)
Appendix C
生化学
この章では、地球生物の生化学的知識を大ざっぱに解説する。生物について高校か大学初頭レベルの教育を
受けた方には、ほとんど釈迦に説法であるが、筆者のように天文や物理分野経由で系外惑星分野へ来た人に
はほとんど馬の耳に念仏である。系外惑星上に探すべき生物が地球と同じタイプの遺伝形式を持っている可
能性は低いのかもしれないが、地球の生物が行うタンパク質合成や、生物特有の極めて効率の良い触媒であ
り、代謝活動にかかせない酵素反応などを理解しておくと、生物的活動とは何なのかについて、少し理解が
深まろう。
C.1
核酸塩基
DNA や RNA の情報は、核酸塩基 (nucleobase) の配列の形で蓄えられている。DNA ではアデニン (Adenine;
A)、チミン (Thymine; T)、グアニン (Guanine; G)、シトシン (Cytocine; C) が、RNA ではチミンの代わ
りにウラシル (Uracil;U) を用いたアデニン (A)、ウラシル (U)、グアニン (G)、シトシン (C) が用いられる
(図 C.1 左)。このうち、A と G はプリン (purine) を元にしたプリン塩基、TCU はピリミジン (pyrimidine)
を元にしたピリミジン塩基である。DNA 内では図 C.1 右のように、A・T もしくは G・C がペアになり、そ
れぞれ2本と3本の水素結合で結びつく 1 。
C.2
タンパク質合成
DNA に書かれた情報から、タンパク質合成までの流れを図式的に示したのが図 C.2 である。開いた DNA 鎖
に対し、RNA ポリメラーゼが転写を行いメッセンジャー RNA(mRNA) が合成される。この際、(DNA 側,
mRNA 側) の組に対し、それぞれ (A ,U), (T,A), (G,C), (G,C) のように転写が起こる。つまり RNA 側では
チミン (T) の代わりにウラシル (U) が用いられている点のみ、DNA の塩基対と異なる。次に mRNA はリボ
ソームに入り、翻訳が行われる。この際、塩基は3つ組ごとにアミノ酸一個に翻訳される。この三つ組をコ
ドンという。三つ組に対する塩基対の三つ組がトランスファー RNA(tRNA) についていて、各コドンに対応
するアミノ酸が tRNA の尾部についている。これが、リボソーム内に mRNA の配列順に入っていき、特定
の配列でアミノ酸が連なったもの (ポリペプチド) が合成される。このポリペプチドがうまくたたまれるとタ
ンパク質となる。コドンは 43 = 64 通り存在するが、そのうち特別のコドン、開始コドン (AUG) と終止コ
1 RNA
では T の代わりに U が用いられる。
202
Thymine
H3 C
Adenine
O
N
H2 N
O
NH
purine
N
O
pyrimidine
N
N
N
N
N
O
N
O
P
O
N
NH
(A) –O
Guanine
O
P
NH2
H2 N
O
O
cytosine
O
(A)
O
Cytosine
N
guanine
O–
O
N
N
O
N
NH
N
HN
N
N
N
O
O
O
H2 N
N
adenine
NH 2
NH
O
N
H
P
O
NH 2
O
CH3
N
N
N
O
NH
O
(A)
O
N
HN
N
O–
O
O
N
P
O
O
(A) –O
thymine
NH2
O
HN
N
N
O
O
N
H
H2 N
O
P
O–
(A)
O
uracil
O
O
(A) –O
P
O
CH 3
O
O
HN
N
NH 2
O
HN
O
N
H
O
N
N
N
N
O
Figure C.1: 左:DNA 塩基(アデニン、チミン、グアニン、シトシン)と RNA 塩基(アデニン、ウラシル、
グアニン、シトシン)。アデニン・グアニンはプリン系、チミン・シトシン・ウラシルはピリミジン系であ
る。右:DNA の化学構造。アデニンとチミンまたはグアニンとシトシンは点線で示された O-H または N-H
間で水素結合し安定化している。
ドン (UAA,UAG,UGA) が存在し、それぞれ転写開始点と終了点を指示している。残りのコドンにはアミノ
酸 20 種類のうちのいずれかが対応している。
C.3
酵素と酵素反応速度論
化学反応が自発的に起こる、ということと実際に起こる、ということは別問題である。というのも化学反応
の反応速度は多種多様であり、生体内で起こる反応の多くは、そのままでは反応速度が非常に遅いために放っ
ておいても反応が進まないということになるからである。化学反応において、ある物質を添加すると、その
物質自体の量は変化しないのに、反応速度が非常に早くなるような物質を触媒と呼ぶが、生体内での触媒機
能を果たすタンパク質は、酵素 (enzyme) と呼ばれる。例えば地球上で一番多い酵素は、二酸化炭素を固定
する酵素であるルビスコ (Rubisco) であり、ルビスコによる反応速度が炭素同化の速度を支配することもあ
る。ここでは酵素の反応速度と物質濃度について考える。
酵素 (E) は図 C.3 のように基質 (S) と酵素基質複合体 (ES) を形成し、反応を促進し、産物 (P) を離脱さ
203
Figure C.2: 原核生物におけるタンパク質合成機構 (転写と翻訳) の模式図。
せる。化学反応は速度定数 k+1 , k−1 , k+2 を用いて以下のようにかける。
k+1
k+2
E + S ⇌ ES ⇀ E + P
k−1
(C.1)
式 C.1 の反応速度 v は酵素濃度の定常状態
d[E]
= (k−1 + k+2 )[ES] − k+1 [E][S] = 0
dt
(C.2)
を仮定することで、酵素の濃度総和一定の式
[E] + [ES] = e0
(C.3)
を用いて、
[ES] =
k+1 e0 [S]
k−1 + k+2 + k+1 [S]
204
(C.4)
Figure C.3: 酵素が基質の反応を触媒する。
とかける。これを反応速度はミカエリス・メンテン式
v
≡
=
=
x
≡
d[P ]
= k+2 [ES]
dt
Vm [S]
Km + [S]
x
Vm
1+x
[S]
Km
(C.5)
(C.6)
で表すことができる。つまり x ≪ 1 で v = Vm x, x ≫ 1 で x → Vm となる。ここに Vm ≡ k+2 e0 は最大速度
である。また
Km ≡
k−1 + k+2
k+1
(C.7)
はミカエリス・メンテン定数という。
C.3.1
阻害剤のある場合 (競争阻害)
酵素の阻害剤 (I) のある場合
k+1
k+2
E + S ⇌ ES ⇀ E + P
k−1
k
E + I ↔i EI
(C.8)
のように阻害剤も酵素と結びつき、酵素基質複合体の形成を阻害する。このような場合を競争阻害という。
ES の定常状態は
d[ES]
= k+1 [E][S] − (k−1 + k+2 )[ES] = 0
dt
(C.9)
[E] + [ES] + [EI] = e0
(C.10)
であり
205
また
ki = [E][I]/[EI]
(C.11)
式 (C.8, C.9,C.10,C.11) を整理して、式 C.5 に代入すると
v
=
=
x ≡
y
≡
Vm [S]
Km (1 + [I]/ki ) + [S]
x
Vm
1+x+y
[S]
Km
[I]
ki
(C.12)
となる。
206
Appendix D
隕石と生体物質
地球の生命が地球上で誕生したのだろうか、それとも他の惑星や宇宙のどこかから地球に飛来したのだろう
か。宇宙空間を生命が伝搬するという考えはパンスペルミア説と呼ばれる。パンスペルミア説は、生命の起
源という意味では、問題を先送りにしたのにすぎないという批判もあるが、本当にこのようなことが起こり
うるのかということは興味深いし、地球の生命が外からやってきた可能性はいまのところ否定できない。火
星由来の隕石、ALH(アラン・ヒルズ)84001 に、図 D.1 のバクテリア化石に似た構造が発見されたのはあま
りに有名であるが、これが生命由来なのかどうかについてはいまだ論争中である。
Figure D.1: ALH84001 に見つかったバクテリアの化石に似た構造。wikipedia より
ところで、生命を運ぶのはともかく、生命を構成する物質は、多かれ少なかれ宇宙由来であるが、どの程
度の複雑な物質まで、地球に運ばれうるのであろうか?この問題は、隕石の中に含まれる物質を調べること
で、ある程度の解答が得られるだろう。
隕石は図 D.2 のように、鉄・ニッケル (もしくはコバルト) 合金とケイ酸塩の割合で大きく3つに分けら
れる。ケイ酸塩が主な成分である石質隕石は、図 D.3 に見られるようなコンドリュールと呼ばれる球形のシ
207
リケイトを含むコンドライトと含まないエンコンドライトにさらに分けられる。コンドライトの一部には炭
素を含む炭素質コンドライトがあり、様々な有機物が検出されている。分類しておきながら、宇宙生物学的
に重要そうな炭素質コンドライトまでのパスだけを取り上げていることはご容赦願いたい。炭素質コンドラ
イトの中でも、特に CI,CM 型では有機物と共に水が多く含まれる。
1969年にオーストラリアのマーチソン村に落ちた CM 型の隕石、マーチソン隕石 (図 D.4) は、多種
のアミノ酸が見つかったことで有名である。これらアミノ酸は、L 型と D 型がほぼ等量であり、地球生物由
来でないと思われている。また幾つかの CM 型隕石には核酸塩基のアデニン、グアニンがみつかっている
[17]。核酸塩基は achiral であるので L/D 比は使えないが、図 D.5 のような、核酸塩基に近い類似体が同時
に検出されている。これらのうちプリン、2,6-diaminopurine, 6,8-diaminopurine は地球上に非常に少なく、
これらの同時検出がアデニンやグアニンも地球生物の汚染ではなく隕石由来であることの一つの根拠となっ
ている。
Figure D.2: 隕石の分類。図中の%はフォール、すなわち落下を目撃された隕石中の割合をしめしている [89]。
208
Figure D.3: コンドリュール。wikipedia より
Figure D.4: マーチソン隕石 (CM)。wikipedia より
209
purine
N
N
N
NH
xanthine
hypoxantine
O
O
N
HN
N
H
O
N
HN
NH
N
2,6-diaminopurine
NH
6,8-diaminopurine
NH2
NH2
N
N
N
N
NH2
H2 N
N
NH
N
NH
Figure D.5: 炭素質コンドライト CM に見つかった核酸塩基の類似体。purine, 2,6-diaminopurine, 6,8diaminopurine は地球上では珍しい。
210
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