2.2 ナッシュ均衡

先週の復習 ラーメン屋を A 市でオープン
需要は D(p) = 500 − p/2（人/1 日），賃料が 120（万円/1ヶ月），コスト 400 円/1 杯
このとき逆需要関数は P (q) = となる．
利潤は Π =（ − ）× となる．
Πp (p) =
Πq (q) =
2.2
ナッシュ均衡
例題 2.3 ラーメン屋をオープンさせた A 市で，賃料が 40（万円/1ヶ月）に下がったので，ライ
バル店の新規参入が起きた．各ラーメン屋はそれぞれ生産量 q1 , q2（人/1 日）をつくる．ラー
メンの値段は，逆需要関数 P (q) = 1000 − 2(q1 + q2 ) で与えられるとする．ラーメン 1 杯の費
用はどちらの店も 400 円．
(1) 店１の利潤 π1 を q1 , q2 の関数 Π1 (q1 , q2 ) として求めよ．
(2) このゲームのナッシュ均衡 (q1∗ , q2∗ ) を求めよ．
(3) 店１がラーメン 1 杯の費用を 400 円から 340 円に下げることに成功したとする．このと
きそれぞれの店の利潤はどのように変化するか．またこの状態で，賃料が 50 万円に上がった
場合何が起こるか．
(1) Π1 (q1 , q2 ) =（価格ーコスト) ×生産量
相手の生産量 q2 が与えられたとき，q1 = ＿＿＿＿＿のとき自分の利潤最大化（＿＿＿＿＿＿＿）
(2) 同様に考えれば（対称性より）q2 = ＿＿＿＿＿のときライバルも最大化
→この 2 つの式が同時に成り立つ→連立方程式の解を＿＿＿＿＿＿＿＿＿
価格＝＿＿＿＿円，利益 (店 1) ＝＿＿＿＿＿円，(店 2) ＝＿＿＿＿＿円
(3) 新たに店１の利潤を書き直す
Π1 (q1 , q2 ) =
最適反応は？
価格＝＿＿＿＿円，利益 (店 1) ＝＿＿＿＿＿円，(店 2) ＝＿＿＿＿＿円
まとめ
寡占市場において．
．
．
企業は相手の行動に応じて自らの行動を最適に選ぶ
相手の行動がわからないときは，行動を予測して最適に対応する
→＿＿＿＿理論の確立 (1944 年)
解決法に対する研究・
・
・＿＿＿＿＿＿ (1950 年)
¶
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ビューティフル・マインド (A Beautiful Mind)
2001 年 12 月 21 日全米初公開
第 54 回英国アカデミー賞主演男優賞（ラッセル・クロウ）受賞
助演女優賞（ジェニファー・コネリー）受賞
プリンストン大学の数学科に在籍している数学の天才ナッシュは、念願のマサチュー
セッツ大の研究所で働くことに。ところが彼のもとに諜報員バーチャーがやってき
て、雑誌に隠されたソ連の暗号解読を依頼する。彼は承諾するが、そのことがやが
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て、彼の精神を侵していくことに…。
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手順をまとめると
１．市場に参加する企業の生産量を用いて，利潤を定式化する
２．利潤最大化の条件から，各企業の最適反応（の条件式）を求める
３．連立方程式を解いて，生産量・均衡価格を求める
練習 2.1 ある市場で n 社の企業が競争を行っているとする．すべての企業の生産技術は等しく，
１単位当たりのコストは 20 とする．各企業の生産量を q1 , q2 , ..., qn とし，市場全体の生産量を
q = q1 + q2 + ... + qn とおいたとき，逆需要関数は P (q) = 100 − q となる．
(1) このゲームのナッシュ均衡を求めよ．
(2) 仮に固定費用が 0（参入コストがかからない）とすると，この市場では何が起こるか？
(3) いま固定費用が 300 かかるとする．このとき企業の数が何社以下であれば，それぞれの
企業が正の利潤をあげられるか？