10 テイラー（マクローリン）の定理

第 10 回数学演習 I
10
テイラー（マクローリン）の定理
今回は，関数 f (x) が与えられたとき，f (x) を多項式で近似することを考える。これまでに，
sin x
= 1,
x→0 x
lim
1
ex − 1 − x
=
x→0
x2
2
lim
などの極限を扱った。この式から，x = 0 の近くでは，
sin x ∼ x
1
ex ∼ 1 + x + x 2
2
であることが読み取れる。これらの式の右辺はどちらも多項式であり，これらが今回扱おうとして
いる “多項式による近似” の例である。一つ目は x の１次多項式による近似で，二つ目は x の２次
多項式による近似である。ここでは，さらに進んでより高次の多項式による近似も考えたい（一
般に，高次多項式による近似のほうが近似の精度が高くなる）。この近似を考える上では，次が疑
問点である。
• 近似多項式の定め方（つまり，多項式の係数をどう選んだらよいのか）
• 近似多項式が元の関数をどれくらいよく近似しているのか（誤差の評価）
これらに関して答えてくれるものとして，テイラーの定理が知られている。
定理 1 (テイラーの定理).
f (x) = f (a) + f ′ (a)(x − a) +
f ′′ (a)
f (n) (a)
(x − a)2 + · · · +
(x − a)n + Rn+1 (x)
2!
n!
(10.1)
この定理は，関数 f (x) を x = a のまわりにおいて1 多項式で近似していることを表している。
Rn+1 (x) は f (x) と多項式との間の誤差を表している項で，剰余項と呼ばれている。誤差項の表し
方は何通りか知られており，標準的なのはラグランジュの剰余項で，
Rn+1 (x) =
f (n+1) (a + θ(x − a))
(x − a)n+1
(n + 1)!
(0 < θ < 1)
と書かれる。次の点を強調しておく。
重要な点 :
• θ は 0 < θ < 1 の範囲にある
• どんな関数に対しても成立する普遍的な表現方法である
注意する点 :
• θ は x の関数になっていて，その具体値までは分からない
• 個々の関数に対してはもっと良い表現方法があることもある
これらは誤差の大きさを計算する際に重要になる。その他の誤差項の表し方としては，コーシー
の剰余項などがある。
x = a のまわりというのは，|x − a| が小さいことを意味している。|x − a| < 1 なら，右辺に出てくる (x − a)n は
n が大きくなったとき等比級数的に小さくなる。
1
1
a = 0 のときには，定理 1 はマクローリンの定理と呼ばれる。
定理 2 (マクローリンの定理).
f (x) = f (0) + f ′ (0)x +
f ′′ (0) 2
f (n) (0) n
x + ··· +
x + Rn+1 (x)
2!
n!
(10.2)
このとき，ラグランジュの剰余項は
Rn+1 (x) =
f (n+1) (θx) n+1
x
(n + 1)!
(0 < θ < 1)
と書かれる。繰り返しになるが，θ は x の関数で，具体的な値は分からないが，少なくとも 0 < θ < 1
をみたすことは分かっているという点に注意せよ。
10.1
テイラー（マクローリン）展開
定理 1 において，x を，a の周りの適当な区間（たとえば |x−a| < R，すなわち −R+a < x < a+R
）に制限すると，n → ∞ のとき，Rn+1 (x) → 0 を示すことが出来る。
−R + a
•
a
R+a
図：x = a の周りへの制限
このとき，f (x) は次のように実数 a を中心とする整級数で表わされる。これを a を中心とするテ
イラー展開という。
定理 3 (テイラー展開). −R + a < x < a + R において
f (x) = f (a) + f ′ (a)(x − a) +
f (n) (a)
f ′′ (a)
(x − a)2 + · · · +
(x − a)n + · · ·
2!
n!
(10.3)
直感的にいうと，関数 f は無限次の多項式によって表すことができるということである。これ
は非常に驚くべきことである。右辺の級数が収束する区間（つまり (10.3) 式が成立する区間）を
収束域といい，R を収束半径という 2 。収束域の外側 |x − a| > R では，(10.3) 式は成立しないの
で，収束域をしっかりと把握する必要がある。収束半径 R を求める計算法があるが，ここでは省
略する。
a = 0 のときのテイラー展開を，マクローリン展開という 3 。改めて書くと，次のようになる。
定理 4 (マクローリン展開). −R < x < R において
f (x) = f (0) + f ′ (0)x +
f ′′ (0) 2
f (n) (0) n
x + ··· +
x + ···
2!
n!
(10.4)
以下に，代表的なマクローリン展開を挙げる。式の後ろの（ ）は，級数の収束域である。
特に，ex ，sin x，cos x のマクローリン展開は工学における応用上も重要なものであるので，展
開の形は覚えておくとよい。
2
3
より正確には，(10.3) 式が成立するような R の最大値を収束半径という。
(10.4) 式をテイラー展開と呼んでも間違いではない。
2
(マクローリン展開の例)
x2
xn
+ ··· +
+ ···
(−∞ < x < ∞)
2!
n!
x3
x2n+1
sin x = x −
+ · · · + (−1)n
+ ···
(−∞ < x < ∞)
3!
(2n + 1)!
x2
x2n
cos x = 1 −
+ · · · + (−1)n
+ ···
(−∞ < x < ∞)
2!
(2n)!
1
= 1 + x + · · · + xn + · · ·
(−1 < x < 1)
1−x
x2 x3
xn
log(1 + x) = x −
+
+ · · · + (−1)n−1
+ ···
(−1 < x < 1)
2
3
n
ex = 1 + x +
(10.5)
(10.6)
(10.7)
(10.8)
(10.9)
公式 (10.5), (10.6), (10.7) は定理 2 でラグランジュの剰余項を直接計算すればよい（確かめてみよ）。
公式 (10.8)(10.9) の導出のコメント：
1
(10.8) について：f (x) =
をマクローリンの定理を使って導出することを試みる。
1−x
n!
（解）f (n) (x) =
，f (n) (0) = n! であるから，マクローリンの定理に代入すると，
(1 − x)n+1
1
= 1 + x + x2 + · · · + xn + Rn+1 (x)
1−x
ラグランジュの剰余項を取ると
Rn+1 (x) =
1
xn+1
(1 − θx)n+2
(0 < θ < 1)
1
xn+1 → 0 (n → ∞) を示すのは難しい。
(1 − θx)n+2
そこで，高校時代に習った等比級数を利用する。
である。ここで −1 < x < 1 のとき，
等比級数を利用すると，
1 − xn+1
1−x
1
1
= 1 + x + x2 + · · · + xn +
xn+1
1−x
1−x
1
1
と表わされる。Rn+1 (x) =
xn+1 であるから，−1 < x < 1 のとき
xn+1 → 0 (n → ∞)
1−x
1−x
したがって
1
= 1 + x + x2 + · · · + xn + · · ·
(−1 < x < 1)
(10.10)
1−x
1 + x + x2 + · · · + xn =
∴
(10.9) について：(10.10) において，x の代わりに −x を代入すると
1
= 1 − x + x2 + · · · + (−1)n xn + · · ·
1+x
(−1 < x < 1)
これを両辺 0 から x まで積分すると
∫ x
log(1 + x) =
{1 − t + t2 + · · · + (−1)n tn + · · · } dt
0
ここで，項別の積分が可能であると仮定すると（実際，項別積分可能である）
1
1
1
xn+1 + · · ·
log(1 + x) = x − x2 + x3 + · · · + (−1)n
2
3
n+1
3
(−1 < x < 1)
10.2
テイラー（マクローリン）展開の応用
テイラー（マクローリン）展開の応用は曲線の形状の決定，接触のオーダーなど多々あるが，こ
こでは，不定形の極限問題に焦点を絞って話すことにする。
f (x)
= 0 であるとき，f (x) = o(xn ) と書く。xn
x→0 xn
で割っても f (x) は x → 0 のとき 0 に収束するのだから，f (x) = o(xn ) は，関数 f (x) の値が xn
と比べて非常に小さいことを意味する記号である。また，f (x) = o(1) で lim f (x) = 0 のことを
• ランダウのスモールオー (o)：0 の近傍で， lim
x→0
表す。
例 1. n > 1 なる整数とする。x → 0 のとき，
(1)
(2)
(3)
(4)
x = o(1)
x3 = o(x2 ) であり x3 = o(x) でもある。かし x3 ̸= o(x3 )
xn+1 = o(xn ). しかし xn+1 ̸= o(xn+1 )
2x3 + x4 + 3x5 = o(x2 ) であり，= o(x) でもある。
以降，特に記述しなくても，o(xn ) を考察するときは，0 の近傍（x → 0）を考慮に入れているの
で，x → 0 を省くこともある。
極限問題で x → 0 を考える際，マクローリン展開の最初の n 項を表記し，残りを · · · で表す代
わりにランダウの o を使用して
f (x) = f (0) + f ′ (0)x +
f (n) (0) n
f ′′ (0) 2
x + ··· +
x + o(xn )
2!
n!
(10.11)
と書くと，より精密な議論ができる。ここで，o(x) は何かの関数を表しているわけではないこと
に注意。(10.11) のように o(x) を含む式が現れたら，それは正確には
(
)
f ′′ (0) 2
f (n) (0) n
′
f (x) − f (0) + f (0)x +
x + ··· +
x
= o(xn )
2!
n!
のように o(x) だけが右辺に (または左辺に) 残るように変形された式のことを表している。o(xn )
の定義も思い出すと，つまり，(10.11) 式は,
(
)
′′
(n)
f (x) − f (0) + f ′ (0)x + f 2!(0) x2 + · · · + f n!(0) xn
lim
=0
x→0
xn
を表している。実際，n + 1 項以降は
f (n+1) (0) n+1 f (n+2) (0) n+2
x
+
x
+ ···
(n + 1)!
(n + 2)!
であるから，
1 f (n+1) (0) n+1 f (n+2) (0) n+2
f (n+1) (0)
f (n+2) (0) 2
{
x
+
x
+
·
·
·
}
=
{
x
+
x + ···} → 0
xn (n + 1)!
(n + 2)!
(n + 1)!
(n + 2)!
(x → 0)
となるので，o(xn ) である。f (x) によっては，(10.11) の剰余項 o(xn ) はもっと速いオーダー，例
えば o(xn+1 )，と取ることができる 4 。この記号で，マクローリン展開は以下のように書ける。
4
例えば (8.13) 式を参照。(10.6) 式から分かるように，sin x のマクローリン展開には偶数次の項は現れない。した
がって，x2n+1 の項の次の項は x2n+2 の項ではなく x2n+3 の項である。したがって，ここでは o(x2n+1 ) を o(x2n+2 )
に強めることができるのである。
4
ランダウの記号 o を使った主な関数のマクローリン展開表示：x → 0 のとき
x2
xn
+ ··· +
+ o(xn )
2!
n!
x2n+1
x3
sin x = x −
+ · · · + (−1)n
+ o(x2n+2 )
3!
(2n + 1)!
x2n
x2
cos x = 1 −
+ · · · + (−1)n
+ o(x2n+1 )
2!
(2n)!
1
= 1 + x + · · · + xn + o(xn )
1−x
x2 x3
xn
log(1 + x) = x −
+
+ · · · + (−1)n−1
+ o(xn )
2
3
n
ex = 1 + x +
(10.12)
(10.13)
(10.14)
(10.15)
(10.16)
先ほども述べたように，o(xn ) は何かの関数を表しているのではないが，あたかも関数であるかの
ように掛け算や足し算などを考えることができる。このように，展開の精度の情報を保持したま
まいろいろな計算ができるのが，ランダウの記号の良い点である。以下に基本的な性質をまとめ
る。いずれも o(xn ) の定義より容易に確かめられる。
定理 5. x → 0 のとき，次の (1)，(2)，(3) が成り立つ。
(1) xm o(xn ) = o(xm+n )
(2) o(xm )o(xn ) = o(xm+n )
(3) o(xm )±o(xn ) = o(xm ) (m ≦ n)
( 注意： o(xn )−o(xn ) = o(xn ) であって o(xn )−o(xn ) ̸= 0 )
例 2. n, k を正の整数とする。x → 0 のとき，x = o(1) と上の定理を使うと次が分かる。
(1) xn+1 = xn × x = xn o(1) = o(xn )
(2) an xn + an+1 xn+1 + · · · + an+k xn+k = o(xn−1 ) + o(xn ) + · · · + o(xn+k−1 ) = o(xn−1 )
注意:(2) の式の中辺のような o(xn ) の足し算は定義から考えると本来ありえないものなので，必ず
最終的には右辺のように定理 5(3) を用いてひとつにする。計算途中で現れることは気にしなくて
良い。
例題 1. 次の関数のマクローリン展開が，剰余項が少なくとも o(x3 ) となるようにせよ。
2
(1) ex − cos x
(2) x sin x
1
1
2
（解）(1) ex = 1 + x + x2 + o(x2 ) より ex = 1 + x2 + x4 + o(x4 ) = 1 + x2 + o(x3 ) である。し
2
2
たがって，cosx の展開を用いると
(
)
1 2
3
2
2
3
3
x
e − cos x = (1 + x + o(x )) − 1 − x + o(x ) = x2 + o(x3 )
2
2
(2) x sin x = x(x + o(x2 )) = x2 + xo(x2 ) = x2 + o(x3 )
注意：例題 1 の問題文が「次の関数をマクローリン展開する際，x2 まで正確に求めよ。」のようで
2
あれば，剰余項の大きさについては気にしなくて良いので，(1) の解は 「ex − cos x = 1 + x2 +
· · · − (1 − 21 x2 + · · · ) = 32 x2 + · · · 」 と解答すれば十分である。
例題 2. 次の x → 0 における極限を漸近展開を用いて求めよ。
2
ex − cos x
(1)
x sin x
(2)
(1 + x) sin x − x cos x
x2
5
（解）(1) は例題 1 の (1)(2) を利用する。
lim
2
ex
− cos x
=
x sin x
x→0
3 2
x + o(x3 )
lim 2 2
x→0 x + o(x3 )
o(x3 )
x2 = 3
= lim
x→0
2
o(x3 )
1+
x2
3
2
+
(2)
(1 + x) sin x − x cos x
(1 + x)(x + o(x2 )) − x(1 + o(x2 ))
(x + x2 + o(x2 ) + xo(x2 ) − (x + xo(x2 ))
= lim
= lim
2
2
x→0
x→0
x→0
x
x
x2
2
2
2
2
2
2
(x + o(x ))
(x + o(x ) + xo(x ) + xo(x ))
= lim
=1
= lim
2
x→0
x→0
x
x2
lim
10.3
研究課題：オイラーの公式
テイラー展開の応用として，有名なオイラーの公式を導出する。このオイラーの公式はいろい
ろな所で使用されるが，身近な所では音響学に使用されるフーリエ変換である。
• eix の定義：ex のマクローリン展開は (10.5) 式で与えられる。この式は実数 x に対する式であ
る。しかし，複素数 z に対しても (10.5) 式が成り立つと思う，つまり (10.5) 式の右辺の級数の値
が複素数 z に対する ez の定義だと考えることで， 複素数の指数を持つ指数関数が定義できる。こ
の考え方に則って eix (x は実数) を考えてみよう。(10.5) 式の x を ix に置き換えると
eix = 1 + ix +
(ix)2 (ix)3
(ix)n
+
+ ··· +
+ ···
2!
3!
n!
(10.17)
となる。この (10.17) 式の右辺をもって eix の定義としよう。この右辺をさらに計算をすると，
eix = 1 + ix +
(ix)2 (ix)3 (ix)4 (ix)5
(ix)2n
(ix)2n+1
+
+
+
+ ··· +
+
+ ···
2!
3!
4!
5!
(2n)!
(2n + 1)!
x2 ix3 x4 ix5
x2n
ix2n+1
−
+
+
+ · · · + (−1)n
+ (−1)n
+ ···
2!
3!
4!
5!
(2n)!
(2n + 1)!
{
}
{
}
2n
2n+1
x2 x4
x3 x5
n (x)
n x
= 1−
+
+ · · · + (−1)
+ ··· + i x −
+
+ · · · + (−1)
+ ···
2!
4!
(2n)!
3!
5!
(2n + 1)!
= 1 + ix −
= cos x + i sin x
(∵ (10.6), (10.7) )
が得られる。ここで，最後の式は，sin x, cos x のマクローリン展開 (10.6)，(10.7) を使用した。つ
まり，次の式が得られた
定理 6 (オイラーの公式). 実数 x に対して
eix = cos x + i sin x
オイラーの公式に x = π と代入すると，重要な単位の数 0, 1, i, π, e の間に，次の等式が得ら
れる。
系 1 (オイラーの等式).
eiπ + 1 = 0
6
演習問題
問 1. 次の関数のマクローリン展開を x4 の項まで正確に求め，残りは · · · で表せ。
(1) (1 + x) sin x
(2) (1 + x2 ) cos x
問 2. f (x), g(x) のマクローリン展開が
f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · ·
g(x) = b0 + b1 x + b2 x2 + · · ·
であるとき，f (x)g(x) のマクローリン展開の x の係数 イ と x2 の係数 ロ を求めよ。
問 3. マクローリン展開を利用して次の極限値を求めよ。
log(1 + x) − sin x
(1) lim
x→0
x2
√
x
1+x−1−
2
(2) lim
x→0
x2
√
ただし， 1 + x のマクローリン展開は
√
1
1 2
1·3 3
1 · 3 · · · (2n − 3) n
1 + x = 1+ x−
x +
x − · · · + (−1)n−1
x +···
2
2·4
2·4·6
2 · 4 · · · 2n
(−1 < x < 1)
一般に，実数 α に対して (1 + x)α のマクローリン展開は
α(α − 1) 2
α(α − 1) · · · (α − n + 1) n
α
x+
x + ··· +
x + ···
1!
2!
n!
√
である。この式に α = 1/2 としたのが， 1 + x のマクローリン展開である。
(1 + x)α = 1 +
7
(−1 < x < 1)