x x x x

信号理論
(金田）
1演-1
三角関数演習問題
（答は別紙の解答用紙に記入する）
［ 三角関数 ］
１．角度の単位を２つあげよ。
２．次の(1)(2) の三角関数のグラフを描け。ただし、(1) は、可能な限りていねいに書くこと。
(2) は、(1)との違いがわかれば、それほどていねいに書かなくてもでなくても良い。
(1) sin( ｘ )
(2) cos( ｘ)
1
1
0
2π
x
-1
0
2π
x
-1
３．次の(1)(2) のグラフを描け。ただし、sin(ｘ) との違いがわかれば、それほどていねいに書かなくてもでなくても良い。
(1) sin( ｘ－π/2 )
(2) sin( ｘ＋π/2)
1
1
0
2π
-1
x
0
2π
x
-1
4．微分・積分
(1) サインの微分
(3) サインの微分
d
sin  x 
dx
d
sin ax 
dx
(5) サインの不定積分  sin(ax)dx
(2) コサインの微分
(4) コサインの微分
d
cosx 
dx
d
cosax 
dx
b
(6) サインの定積分  sin x dx
a
ａ，ｂ は定数
学年
学科
学 籍 番 号
氏 名
信号理論
(金田）
1演-1別
三角関数演習 解答用紙
１．
２． (1) sin( ｘ )
(2) cos( ｘ)
1
1
0
2π
x
-1
0
2π
x
-1
３． (1) sin( ｘ－π/2 )
(2) sin( ｘ＋π/2)
1
1
0
2π
x
-1
0
2π
-1
４．
(1)
(2)
(4)
(5)
(6)
(3)
x
学年
学科
学 籍 番 号
氏 名
信号理論
(金田）
1演-1解1
三角関数演習 解答用紙
１．
度、°、
deg. など
ラジアン、
rad. など
πは3.14･･･という量であって、
単位ではない
２． (1) sin( ｘ )
(2) cos( ｘ)
波形は次ページ
1
1
0
x
2π
-1
0
2π
x
-1
３． (1) sin( ｘ－π/2 )
(2) sin( ｘ＋π/2)
1
1
0
x
2π
-1
0
2π
-1
４．
(1)
(2)
(3)
cos(x)
-sin(x)
a･cos(ax)
(4)
(5)
-a･sin(ax)
-(1/a)･cos(ax) + C
(6)
cos(a) - cos(b)
x
学年
学科
学 籍 番 号
氏 名
信号理論
(金田）
1演-1解2
三角関数演習 解答用紙
２．
(1) sin( ｘ )
(2) cos( ｘ)
２πで１周期
１
１
x
2π
π
2π
π
x
-１
×
１
π
2π
半円の繰り返し
ではダメ
x
-１
３．(1) sin( ｘ-π/2 )
参考： sin( ｘ )
１
１
x
0
x
2π
π
0
-１
π
2π
-１
π/2
sin(ｘ) が右に π/2 移動
＝ -cos( ｘ)
関数 ｆ(ｘ-τ) は、
→ 元の波形が、( ) 内がゼロとなるｘに移動する
→ 左の式では、sin波形の開始点が
ｘ＝π/2 の点に移動する
(2) sin( ｘ＋π/2 )
１
0
π
2π
x
今後は、解答例を
下記で公開します。
http://www.asp.c.dendai.ac.jp/
π/2
sin(ｘ) が左に π/2 移動
＝ cos( ｘ)
［授業］→［信号理論］
信号理論
(金田）
1演-2
複素数演習
答えだけでなく途中式も書くこと
１．以下の計算をして、答を 実数＋虚数 （ａ＋ｊｂ）の形で表せ。
３．次の複素数を、複素指数関数（極座標表示） ｒ eｊ θ の形
で表せ。 （ただし、θは「度」で表せ。また√2＝1.4 とせよ）
(1) （2＋ｊ 3）＋（1＋ｊ 2）
(1) （ 1 ）
(2) （ ｊ ）×（ ｊ ）
(2) （ ｊ ）
(3) （ 4＋ｊ ）×（ 3－ｊ 3 ）
(3) （ 1－ｊ ）
(4) （ ｊ ）6
(4) （ -1＋ｊ ）
(5) （ 1 ）÷（ ｊ ）
(6) ( ｊ ) -3
４．次の複素数の計算をせよ （答えは複素指数関数）
(7) 複素数 3－ｊ 3 と その複素共役との積は？
２．以下の複素数を、実数＋虚数 （ａ＋ｊｂ）の形で表せ。
ただし、sin45°＝cos45°＝0.7 として計算せよ。
(1) 2eｊ 25°× 4e－ｊ 315°
(2) 2eｊ 25°÷ 4e－ｊ 315°
(1) eｊ 90°
５．次の複素数 ｚ の絶対値（大きさ） | ｚ | を計算せよ
(2)
2eｊ 45°
(3) 4e－ｊ 315°
ｚ＝3＋ｊ4
信号理論
(金田）
1演-2解
第１回演習解答
複素数演習
１．以下の計算をして、答を 実数＋虚数 （ａ＋ｊｂ）の形で表せ。
(1) （2＋ｊ 3）＋（1＋ｊ 2）＝ 3 ＋ ｊ 5
(2) （ ｊ ）×（ ｊ ） ＝ -1
(3) （ 4＋ｊ ）×（ 3－ｊ 3 ） ＝ 12 - ｊ12 ＋ ｊ3 ＋ 3 ＝ 15 - ｊ 9
(4) （ ｊ ）6 ＝ (( ｊ2 )3 ) ＝ (( -1 )3 ) ＝ -1
(5) （ 1 ）÷（ ｊ ） ＝ 1 / ｊ （分母分子に ｊ をかけると）
＝ ｊ / ( ｊ × ｊ ) ＝ ｊ / (-1) ＝ -ｊ
(6) ( ｊ ) -3 ＝ 1 / ( ｊ ) 3 ＝ 1 / ( -ｊ ) ＝ （ ｊ ） / ( -ｊ × ｊ ) ＝ ｊ
(7) 3－ｊ 3 の複素共役は 3＋ｊ 3。 よってその積は、
（ 3－ｊ 3 ）（ 3＋ｊ 3 ）＝ 18
【参考】 （ ａ＋ｊ ｂ ） と、その複素共役 （ ａ - ｊ ｂ ） との積は
（ ａ＋ｊ ｂ ）×（ ａ - ｊ ｂ ）
＝（ａ）2 －（ｊｂ）2 ＝ ａ2＋ｂ2
と、簡単に計算できる。 （答は実数となるので、
複素数の分母の実数化に利用される）
２．以下の複素数を、実数＋虚数 （ａ＋ｊｂ）の形で表せ。
ただし、sin45°＝cos45°＝0.7 として計算せよ。
【重要】 な オイラーの公式 （ 必ず覚えておくこと！）
e ｊθ ＝ ｃｏｓθ＋ ｊ ｓｉｎθ
を利用する。
(1) eｊ 90°＝ ｃｏｓ90°＋ｊ ｓｉｎ90°＝ ｊ
(2)
2eｊ 45°＝
2 ( ｃｏｓ45°＋ｊ ｓｉｎ45°)
＝ 2 ( √2/2 ＋ ｊ √2/2 ) ＝ √2 ＋ ｊ √2 ＝ 1.4 ＋ ｊ 1.4
３．次の複素数を、複素指数関数（極座標表示） ｒ eｊ θ の形
で表せ。 （ただし、θは「度」で表せ。また√2＝1.4 とせよ）
◇ 複素数 ａ＋ ｊ ｂ から 複素指数関数 Ａ ｅ ｊθ への変換
Ａ ＝ √（ａ２＋ｂ２ ） θ＝ｔａｎ-1(ｂ／ａ)
☆ただし、電卓などの計算結果では、
θは -90°＜θ< 90°の範囲で得られる
ので 、ａ ＜0 のときは、θに ±180° する
θの値が複素平面上で妥当なことを確認する
(1) （ 1 ） ＝ １＋ｊ 0 なので、ａ＝1、ｂ＝0 に相当
よって、Ａ＝1、 θ＝ｔａｎ-1(0)＝0° よって ｅ ｊ0°
(2) （ ｊ ）＝ 0＋ｊ 1 なので、ａ＝0、ｂ＝1 に相当
よって、Ａ＝1、 θ＝ｔａｎ-1(1/0)＝90° よって ｅ ｊ90°
(3) （ 1－ｊ ） ＝ 1＋ｊ (-1) なので、ａ＝1、ｂ＝-1 に相当
よって、Ａ＝√2＝1.4、 θ＝ｔａｎ-1(-1)＝-45°
よって 1.4 ｅ - ｊ45°
(4) （ -1＋ｊ ）＝ (-1)＋ｊ (1) なので、ａ＝-1、ｂ＝1 に相当
よって、Ａ＝√2＝1.4、 θ＝ｔａｎ-1(-1)＝-45°
ただし、ａ ＜0 であるので、θに ＋180° する
よって 1.4ｅ ｊ135°
４．次の複素数の計算をせよ （答えは複素指数関数）
指数関数の積と商
(積) Ａ１ ｅ ｊ θ1・Ａ２ ｅ ｊ θ2
＝ Ａ１・Ａ２･ｅ ｊ （θ1＋ θ2）
(商) Ａ１ ｅ ｊ θ1／Ａ２ ｅ ｊ θ2
＝( Ａ１ ／Ａ２ ) ･ｅ ｊ （θ1－θ2）
注： 実数の場合と同じ結果です
(3) 4e－ｊ 315°
＝ 4 ( ｃｏｓ(-315°)＋ｊ ｓｉｎ(-315°))
＝ 4 ( √2/2 ＋ ｊ √2/2 ) ＝ 2√2 ＋ ｊ 2√2 ＝ 2.8 ＋ ｊ 2.8
注： - 315＋360 ＝45 なので、-315°と45°は同じ角を表す。
☆ 複素数の知識が不十分な人は、
「複素数のまとめ」 が、ホームページ
http://www.asp.c.dendai.ac.jp/ の
［授業］→［信号理論］ にあるので、
再度勉強しておいてください
☆ 演習・宿題などの解説も掲載します
(1) 2eｊ 25°× 4e－ｊ 315°
＝ (2×4) eｊ (25-315)°＝ 8 e- ｊ 290° （＝ 8 e ｊ 70° ）
(2) 2eｊ 25°÷ 4e－ｊ 315°
＝ (2/4) eｊ (25-(-315) )°＝ 0.5 e ｊ 340°（＝ 0.5 e- ｊ 20°）
５．次の複素数 ｚ の絶対値（大きさ） | ｚ | を計算せよ
ｚ＝3＋ｊ4
複素数の絶対値（大きさ）とは、極座標表示の ｒ なので
（実数部の２乗）＋（虚数部の２乗）の平方根
| ｚ | ＝√3２＋4２＝√9＋16＝5
学年
学科
学 籍 番 号
氏 名
信号理論
(金田）
1宿-1
［ sin 関数の形の理解 ］
下記の表の空欄に，適切な数字を記入せよ。その結果を使って下記のグラフ ｙ＝sin(ｘ) を完成させよ。
変数
ｘ
sin(ｘ)
変数
ｘ
sin(ｘ)
度
0°
30°
60°
90°
120°
150°
180°
ラジアン
0
π/6
π/3
π/2
2π/3
5π/6
π
分数
0
1/2
√3/2
1
√3/2
小数
0
0.5
0.87
1
0.87
度
210°
240°
270°
300°
330°
360°
ラジアン
7π/6
4π/3
3π/2
5π/3
11π/6
2π
分数
小数
◇ 関数の傾きは微分によって与えられる。 sin（ｘ） の微分は，
d
sin( x)  cos( x)
dx
であるので， 例えば、x=0 での sin(x) の傾きは，cos(0)＝1 である。
ｙ
2
ｙ = ｘ の直線
ｘ＝π/2 で，ｙ ＝π/2＝1.6
1.5
ｘ =π/2 では，傾きは0。 ｘ＝3π/2 でも同じ
1
0.5
0
ｘ
-0.5
ｘ = 0 では，傾きは 1
ｘ＝πでは、傾きは -1
ｘ＝2πでは ，傾きは 1
-1
-1.5
sin(x) = 0 となる点をはさんで，
sin(x) = ±0.5 までの範囲で，
ほぼ ｙ＝ｘ の直線と一致する
-2
0
1

6
2 1 4


6 2 6

2
信号理論
(金田）
1宿-2
［ 正弦波 ］
時間を変数としたサイン（またはコサイン）関数は，正弦波と呼ばれる。
sin (2 f t )
T
時間
ｔ
0
1
f
2
f
１．以下の文の （ ） をうめよ。
・ 時間 ｔ を変数とした関数の図は，「波形」と呼ぶ。
・ 上記の sin( 2πf ｔ ) の波形は，時間 Ｔ，または，ｆ を使って表すと ①（
この ｆ を ②（
・ 1秒間に同じ波形が ④（
） と呼び， Ｔ を ③（
） ごとに同じ波形をくり返す。
） と呼ぶ。
）回繰り返される。
・ ω＝ 2πf を使って， sin( ωｔ ) とも表される。 このωを ⑤（
） と呼ぶ。
・ sin( 2πf ｔ ＋θ) と表されるとき，θは ｔ＝0 の時の（ ）の中の値であるが，このθを ⑥（
） と呼ぶ。
２．以下の式で表される波形を描け。
① sin(2πf t －π/2)
② 2･sin(4πf t)
1
0
1
t
1
f
0
1
f
t
信号理論
(金田）
1宿-2解
［ 正弦波 ］
時間を変数としたサイン（またはコサイン）関数は，正弦波と呼ばれる。
sin (2 f t )
T
時間
ｔ
0
1
f
2
f
振動数ではない
１．以下の文の （ ） をうめよ。
・ 時間 ｔ を変数とした関数の図は，波形と呼ぶ。
Ｔ
・ 上記の sin( 2πf ｔ ) の波形は，時間 Ｔ，または，ｆ を使って表すと ①（ 1／ｆ ） ごと
に同じ波形をくり返す。 この ｆ を ②（ 周波数 ） と呼び， Ｔ を ③（ 周期 ） と呼ぶ。
・ 1秒間に同じ波形が ④（ ｆ ）回繰り返される。
・ ω＝ 2πf を使って， sin( ωｔ ) とも表される。 このωを ⑤（ 角周波数 ） と呼ぶ。
・ sin( 2πf ｔ ＋θ) と表されるとき，θは ｔ＝0 の時の（ ）の中の値であるが，このθを
⑥（ 位相 （初期位相でも良い） ） と呼ぶ。
２．以下の式で表される波形を描け。
① sin(2πf t －π/2)
1
f
0
② 2・sin(4πf t)
＝ 2・sin(2π(2f) t)
１
ｔ
0
1
f
ｔ
1/f
1/(4f)
2πf t -π/2＝0
→ ｔ＝1/(4ｆ) で sin のカッコ内が ０
→ sin の始点が ｔ＝1/(4ｆ)
周期
周波数2倍
⇒ 周期は1/2
振幅は2倍
信号理論
(金田）
2説-1
［ パラメータ ］
ｙ
y  ax b
例１） 直線のパラメータ
直線の式：
y  axb
パラメータは２つ。 ａ と ｂ
ａ
ｂ
ｘ
ｂ： 切片 （ｘ＝0 における ｙ の値 ）
ａ： 直線の傾き。 ｘ が 0 から 1 に増えたときの
ｙ の増加量
0
1
２つのパラメータ ａ と ｂ の値がわかれば，直線が描ける。
※ 直線は，２点を定めれば描ける，ということと等価
（ｘ，ｙ） が （0，ｂ）， （1，ａ＋ｂ） の２点
ｙ
例２） ２次曲線のパラメータ
２次曲線の式：
y  a  x2  b  x  c
パラメータは３つ。 ａ と ｂ と ｃ
２つのパラメータ ａ と ｂ の値がわかれば， ２次曲線が描ける。
◇ 別の３つのパラメータもある
y  a  (x  )  (x   )
ａ と α と β の３つ
ただし，α と β は，
の解
a  x2  b  x  c  0
ｂ
0
信号理論
(金田）
2説-2
［ 関数の平行移動 （1/2) ］
図１
ｆ（ｔ）
図２
ｆ（ｔ－τ）
τ
ｆ（ｔ－τ） は、ｆ（ｔ） を
右側に「τ」移動したもの
ｆ（0）
ｆ（0）
ｔ
τ
0
ｔ
τ
0
（タウ）
・ 信号
ｆ（ｔ） は、ｔ ＝0 の時 、 値 ｆ（0） となる。（図１）
・ 信号 ｆ（ｔ－τ） は、ｔ ＝τ の時 （ｔ ＝τを代入すると）、
（ ）の中は 0 となり，値 ｆ（0） となる。（図２）
・ したがって、ｆ（ｔ－τ） は、ｆ（ｔ） を 「右側にτ」 移動したものである。
ｆ（ｔ ＋τ） は、ｆ（ｔ） を
左側に「τ」移動したもの
図３
ｆ（ｔ）
図４
ｆ（ｔ ＋τ）
τ
ｆ（0）
ｆ（0）
ｔ
0
ｔ
-τ
0
・ 同様に，ｆ（ｔ ＋τ） は、ｔ ＝－τ で、 ｆ（ｔ） が ｔ＝0 の時の値をとるので，
ｆ（ｔ） を 「左側にτ」
移動したものとなる。
信号理論
(金田）
2説-3
［ 関数の平行移動 （2/2) ］
① sin(ｘ) と sin(ｘ - π/2)
sin(ｘ - π/2)
sin(ｘ)
・ 右に π/2 移動
・ ｘ＝π/2 で，( ) の中が0になり、
ｓｉｎ(0) の値を取るから
x
π
2π
2π
π
π/2
② sin( ωｔ ) と sin( ωｔ - π/2)
sin( ωｔ - π/2)
・ 右に π/(2ω) 移動
・ ｔ ＝ π/(2ω) で，( ) の中が0になり、
ｓｉｎ(0) の値を取るから
sin(ωｔ )
ｔ
ｔ
π/ω
x
π/ω
2π/ω
＝1/ f
π/(2ω)
2π/ω
＝1/ f
・ 横軸の値に注意
・ ｔ が，2π/ω （＝ 1/ｆ ＝ Ｔ ） になったとき
sin の ( ) の中は 2π になる。
→ 2π/ω （＝ 1/ｆ ＝ Ｔ ） が１周期
③ sin( ωｔ ) と sin( ω( ｔ - τ) )
sin(ω( ｔ - τ) )
sin( ωｔ )
・ 右に τ 移動
・ ｔ ＝τ で，( ) の中が0になり、
ｓｉｎ(0) の値を取るから
ｔ
x
τ
信号理論
(金田）
2練-1
説明と指示があった後に始めてください
(1) sin(2π50t)
横軸は時間軸で、
１目盛が 2ms（ミリ秒）
1
0
10
時間
ｔ
20ms
10
時間
ｔ
20ms
10
時間
ｔ
20ms
-1
(2) sin(200πt)
1
0
-1
(3) 2･sin(314t)
1
0
-1
信号理論
(金田）
2練-1（解）
説明と指示があった後に始めてください
(1) sin(2π50t)
正弦波の式 A･sin( 2πｆ ｔ ＋θ) と比べると，ｆ＝50 [Hz]，A=1，θ＝0 である。
周期は周波数の逆数なので、1/50 ＝ 0.02 秒 ＝ 20ms （ミリ秒）
よって、下図が得られる
横軸は時間軸で、
１目盛が 2ms（ミリ秒）
1
0
10
時間
ｔ
20ms
-1
(2) sin(200πt)
（ ） の中を、 2πｆ ｔ の形に表すと、 200π ｔ＝ 2π100 ｔ 。 よって、周波数 ｆ＝100 [Hz]。周期は周
波数の逆数なので、1/100 ＝ 0.01 秒 ＝ 10ms （ミリ秒）。 Aとθは(1)と同様に、 A=1，θ＝0 であ
る。よって、下図が得られる
1
0
10
時間
ｔ
20ms
-1
(3) 2･sin(314t)
（ ） の中を、 2πｆ ｔ の形に表すと、 314 ｔ ＝ 100π ｔ ＝ 2π50 ｔ 。 よって、周波数 ｆ＝50 [Hz]。周
期は周波数の逆数なので、1/50 ＝ 0.02 秒 ＝ 20ms （ミリ秒）。 Aとθは A=2，θ＝0 である。よっ
て、下図が得られる
1
0
-1
10
時間
ｔ
20ms
学年
学科
学 籍 番 号
氏 名
信号理論
(金田）
2演-1
［ 正弦波の表現１と表現２ ］
１． 正弦波の表現を２種類示せ
２．以下の２つの正弦波形について，
波形 (a)(b) を， A･sin( 2πｆ ｔ ＋θ) として表すとき，ｆ，A，θ を求めよ。
波形(a)： ｆ ＝
， A＝
， θ＝
波形(b)： ｆ ＝
， A＝
， θ＝
波形
(a)
波形
(b)
１
１
ｔ
-1
ｔ
-1
1（秒）
1/6
0.5
1（秒）
演習と宿題の解答例は、下記URLに掲載
（ 続きは 裏面 ）
http://www.asp.c.dendai.ac.jp/
［授業］→［信号理論］
３．次の正弦波の表現１： A･sin( 2πｆ ｔ ＋θ) を、表現２： a･cos(2πｆ ｔ )＋b･sin(2πｆ ｔ ) に変更せよ
(1) sin( 2πｆ ｔ ＋π/2) →
(2) sin( 2πｆ ｔ ＋π/6) →
(3) 2･sin( 2πｆ ｔ －π/3) →
※ 質問事項や授業でわかりにくかったこと、および、感想・意見・要望などあれば、記入してください。
信号理論
(金田）
2演-2
学年
学科
学 籍 番 号
氏 名
信号理論
(金田）
2宿-1
解答例は、http://www.asp.c.dendai.ac.jp/
の ［授業］→［信号理論］
問１．次の周波数の正弦波の式を示して、グラフを描け。ただし、すべて、振幅は１、位相は 0 とせよ。
［ この問題は基本的な問題なので、必ず、理解して解けるようにしておくこと］
(1) 周波数が 100Hz の正弦波
（式）
1
0
時間
ｔ
10ms
5
横軸は時間軸で、
１目盛が 1ms（ミリ秒）
-1
(2) 周波数が 500Hz の正弦波
（式）
1
0
5
-1
問２．正弦波は、
表現１： 振幅Ａと位相θを使った表現
表現２： ｃｏｓ と ｓｉｎ の和を使った表現
で表すことができる。次の表現２から表現１を求めよ。
(1) ｃｏｓ（2πｆ ｔ） ＋ ｓｉｎ（2πｆ ｔ）
(2) √3･ｃｏｓ（2πｆ ｔ） ＋ ｓｉｎ（2πｆ ｔ）
時間
ｔ
10ms
問３．
同じ周波数の、２つの正弦波の和は、１つの正弦波になる
信号理論
(金田）
2宿-2
このことを作図により確かめる。
下のグラフは ｃｏｓ( 2πｆ ｔ) と ｓｉｎ(2πｆ ｔ ) を表している（ｆ＝1 の場合） 。
これより、 ｃｏｓ( 2πｆ ｔ) ＋ ｓｉｎ(2πｆ ｔ ) のグラフを作図せよ。
（あまり、ていねい・厳密にやる必要は無い。おおまかな形がわかればよい）
※ 各時間において、縦方向に２つのグラフの値を加算した値の点を記入して、それをつなげばよい。
※ 描いたグラフと、問２(1) の計算結果を比較せよ。同じ結果になっているか？
2
1.9
1.8
1.7
1.6
1.5
1.4
1.3
1.2
1.1
1
0.9
sin( 2πｆ ｔ)
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
時間
ｔ
0.1
0
0
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
-0.5
-0.6
-0.7
ｃｏｓ( 2πｆ ｔ)
-0.8
-0.9
-1
-1.1
-1.2
-1.3
-1.4
-1.5
-1.6
-1.7
-1.8
-1.9
-2
0 0.020.040.060.08 0.1 0.120.140.160.18 0.2 0.220.240.260.28 0.3 0.320.340.360.38 0.4 0.420.440.460.48 0.5 0.520.540.560.58 0.6 0.620.640.660.68 0.7 0.720.740.760.78 0.8 0.820.840.860.88 0.9 0.920.940.960.98 1
問４． 複素数 ｚ ＝ａ＋ ｊ ｂ （ただし、ａ、ｂ は実数） と、その共役複素数 ｚ* （＝ａ - ｊｂ）の和と差、
ｚ＋ｚ* と ｚ－ｚ* を、ａ、ｂ を使って表せ。
問５． 複素数 ｚ ＝2＋ ｊ 2 とするとき、絶対値 | z| および、| ｚ4| を計算せよ。
第２回演習解答
１． 正弦波の表現を２種類示せ
表現１： A･sin( 2πft + θ ) または
表現２： a cos( ωt ) + b sin( ωt )
信号理論
(金田）
2演-1解
［ 正弦波の表現１と表現２ ］
A･sin( ωt + θ )
２．以下の２つの正弦波形について，
波形 (a)(b) を， A･sin( 2πｆ ｔ ＋θ) として表すとき，ｆ，A，θ を求めよ。
波形
(b)
波形
(a)
１
１
ｔ
ｔ
-1
-1
1（秒）
1/6
0.5
1（秒）
波形(a) ： ｆ （周波数）＝ 2 [Hz] → 周波数とは１秒間の繰り返しの回数で、図は1秒間に ２ 回同じ波形なので。
A （振幅） ＝ １ → 振幅 A は正弦波の振れ幅で、図は±１に振れているので。
θ (位相） ＝ 0 → 位相は、信号の時間方向のズレで、図は時間方向にズレのない sin 信号なので。
波形(ｂ) ： ｆ （周波数）＝ 1 [Hz] → 1秒間に １ 回同じ波形、 A （振幅） ＝ 0.5
θ (位相） ＝ -π/3
○ 位相の求め方：
解法１： 波形（ｂ）は、0.5･sin（2π ｔ ）を、右に時間 τ＝ 1/6 移動したものになっている。
関数 ｆ(t) を 右にτ移動したものは 関数 ｆ(t-τ) であるので （先週の資料「関数の平行移動」参照）、
ｔ に ｔ -τ を代入して、 0.5･sin（2π （ｔ-τ） ）＝ 0.5･sin（2π （ｔ-1/6） ）＝ 0.5･sin（2π ｔ -π/3） ）
別解１： 波形は ｔ＝ 1/6 ずれている。すなわち、sin の ( ) 内は、 ｔ＝ 1/6 とした時に ゼロになる。
( 2πｆ ･1/6 ＋θ) = 0 → θ ＝ -π/3
別解２： 波形の１周期は2π。その 1/6 右にずれているので、 θ ＝ -2π/6 ＝ -π/3
３．次の正弦波の表現１： A･sin( 2πｆ ｔ ＋θ) を，表現２： a･cos(2πｆ ｔ )＋b･sin(2πｆ ｔ ) に変更せよ
与えられた問題式において、Ａの値とθの値がわかれば、
先週のノートに示したように、 ａ ＝ Ａ･sinθ， ｂ ＝Ａ･cosθ
と計算すれば、よい。
(1) sin( 2πｆ ｔ ＋π/2) → Ａ＝1， θ ＝ π/2 であるので， ａ ＝ Ａ･sin(π/2）， ｂ ＝Ａ･cos(π/2） となり、
＝ sin(π/2）･cos ( 2πｆ ｔ) ＋ cos(π/2）･sin ( 2πｆ ｔ) ＝ cos ( 2πｆ ｔ)
(2) sin( 2πｆ ｔ ＋π/6) → Ａ＝1， θ ＝ π/6 であるので，
＝ sin(π/6）･cos ( 2πｆ ｔ) ＋ cos(π/6）･sin ( 2πｆ ｔ) ＝ 1/2･cos ( 2πｆ ｔ) ＋ √3/2･sin ( 2πｆ ｔ)
(3) 2･sin( 2πｆ ｔ －π/3) → Ａ＝2， θ ＝ -π/3 であるので （注：θの値を間違えないこと），
＝ 2･sin(-π/3）･cos ( 2πｆ ｔ) ＋ 2・cos(-π/3）･sin ( 2πｆ ｔ) ＝ -√3･cos ( 2πｆ ｔ) ＋ sin ( 2πｆ ｔ)
学年
学科
学 籍 番 号
氏 名
信号理論
(金田）
2宿-1解
問１．次の周波数の正弦波の式を示して、グラフを描け。ただし、すべて、振幅は１、位相は 0 とせよ。
［ この問題は基本的な問題なので、必ず、理解して解けるようにしておくこと］
解答： 周波数が ｆ の正弦波の式は、ｓｉｎ（2πｆ ｔ ） である (表現１の場合)。
また、周波数が ｆ の正弦波の周期 Ｔ は、周波数の逆数 Ｔ ＝ 1/ ｆ である。
T
ｔ
1
f
2
f
以上のことより、以下の答を得る
ｆ ＝ 100Hz を代入して
(1) 周波数が 100Hz の正弦波
（式） ｓｉｎ（2π100 ｔ ） （ ＝ｓｉｎ（200πｔ ） ）
周期は 1/100 ＝ 10ms
1
0
時間
ｔ
10ms
5
横軸は時間軸で、
１目盛が 1ms（ミリ秒）
-1
ｆ ＝ 500Hz を代入して
(2) 周波数が 500Hz の正弦波
（式） ｓｉｎ（2π500 ｔ ） （ ＝ｓｉｎ（1000πｔ ） ）
周期は 1/500 ＝ 2ms
1
0
時間
ｔ
10ms
5
-1
Ａ、θ と ａ、ｂ の関係は、
下図のようになる
問２．解答
(1) 表現２のパラメータ ａ，ｂ の値は、ａ＝1，ｂ＝1 である。表現２→表現１の公式より、
A  a2  b2  2
a
b
  tan 1    tan 1 1 

Ａ
ａ
4
θ
これより表現１は、　2 sin( 2 f t   4)
0
(2) ａ＝√3，ｂ＝1 である。表現２→表現１の公式より、
a
b
これより表現１は、　2 sin( 2 f t   3)
A  a 2  b2  4  2
 
  tan 1    tan 1 3 

3
ｂ
信号理論
(金田）
2宿-2解
問３．
同じ周波数の、２つの正弦波の和は、１つの正弦波になる
このことを作図により確かめる。
下のグラフは ｃｏｓ( 2πｆ ｔ) と ｓｉｎ(2πｆ ｔ ) を表している（ｆ＝1 の場合） 。
これより、 ｃｏｓ( 2πｆ ｔ) ＋ ｓｉｎ(2πｆ ｔ ) のグラフを作図せよ。
（あまり、ていねい・厳密にやる必要は無い。おおまかな形がわかればよい）
※ 各時間において、縦方向に２つのグラフの値を加算した値の点を記入して、それをつなげばよい。
※ 描いたグラフと、問２(1) の計算結果を比較せよ。同じ結果になっているか？
2
1.9
1.8
1.7
1.6
ｃｏｓ( 2πｆ ｔ) ＋sin( 2πｆ ｔ)
1.5
1.4
1.3
1.2
1.1
1
0.9
sin( 2πｆ ｔ)
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
時間
ｔ
0.1
0
0
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
-0.5
-0.6
-0.7
ｃｏｓ( 2πｆ ｔ)
-0.8
-0.9
-1
-1.1
-1.2
-1.3
-1.4
-1.5
-1.6
-1.7
-1.8
-1.9
-2
0 0.020.040.060.08 0.1 0.120.140.160.18 0.2 0.220.240.260.28 0.3 0.320.340.360.38 0.4 0.420.440.460.48 0.5 0.520.540.560.58 0.6 0.620.640.660.68 0.7 0.720.740.760.78 0.8 0.820.840.860.88 0.9 0.920.940.960.98 1
問４． 複素数 ｚ ＝ａ＋ ｊ ｂ （ただし、ａ、ｂ は実数） と、その共役複素数 ｚ* の和と差、 ｚ＋ｚ* と ｚ－ｚ*
を、ａ、ｂ を使って表せ。
共役複素数は、 ｚ* ＝ａ－ ｊ ｂ であるので、
ｚ＋ｚ* ＝ 2ａ
ｚ－ｚ* ＝ ｊ2ｂ
問５． 複素数 ｚ ＝2＋ ｊ 2 とするとき、絶対値 | ｚ| および、| ｚ4| を計算せよ。
問４と問５の性質は
重要ですので、
必ず覚えておくこと！
複素数の絶対値は、実数部の２乗＋虚数部の２乗 の平方根なので、 | ｚ| ＝√(4+4)＝√8
複素数 z1 と z2 の 「積の絶対値」＝「絶対値の積」、すなわち、|z１･z2|＝|z1|･|z2| であるので、
| ｚ4| ＝|z･z･z･z| ＝ |z|･|z|･|z|･|z| ＝64
信号理論
(金田）
3説-0a
［ 複素数 の復習 ］
１．複素数とは、
[問２] 次の複素数 Ｚ を、図２の複素平面上に示し、
その「大きさ」 を計算せよ
ａ，ｂ が実数を表すとして、
複素数 ＝ ａ ＋ ｊ ｂ
「 実数 」： 普通の数 （例： 1, 0.33, -282.9 など）
「 ｊ 」： 虚数単位と呼び、 ｊ × ｊ ＝ -１ である。
上式の、 ａ を実数部 と呼び、
ｂ （または ｊ ｂ ） を虚数部と呼ぶ
◇複素数とは、実数部（通常の数）に加えて、
虚数部を持つ数である。
◇ 複素数の例
1＋ ｊ 0.33, -2.2＋ ｊ 2.2
-ｊ 88.333， ｊ
（実数部が 0 のものを純虚数ともいう）
(注) 数学と違って、工学では、
・ 虚数単位は、ｉ ではなく、 ｊ を用いる
・ ｊ は数字の前に書くことが多い
(1) Ｚ1＝1
| Ｚ1 |＝
(3) Ｚ3＝ 1＋ｊ
(2) Ｚ2＝ ｊ
| Ｚ2 |＝
| Ｚ3 |＝
(4) Ｚ4＝ －√3－ｊ
| Ｚ4 |＝
虚数 ｊ
ｊ
図２
０
-1
実数
1
-ｊ
[問１] 分母をはらえ（分母をなくす） （ ｊ × ｊ ＝ -1 を利用）
このイメージは、現在表示できません。
３．共役複素数
２．複素平面 （または ガウス平面）
横軸に実数、縦軸に虚数をとった平面。
◇ 虚数部の＋－が反転したものを 「共役複素数」と呼ぶ。
例えば、ａ＋ ｊ ｂ の共役複素数は、ａ－ ｊ ｂ．
また、ａ－ ｊ ｂ の共役複素数は、ａ＋ ｊ ｂ
・ 複素数 Ｚ は、複素平面上の１点として表される。
◇ 複素数 Ｚ の共役複素数は、Ｚ＊ （ または Ｚ ） と表される。
・ 複素数 Ｚ の「絶対値（大きさ）」は、原点とその1点とを
◇ 複素数 Ｚ と、その共役複素数の積は正の実数である。
結んだ長さであり、 | Ｚ | と表される。
・ 図より、 | Ｚ |
例えば、Ｚ＝ａ＋ ｊ ｂ と、その共役の積は、
＝√（実数部2＋虚数部2）
＝√（ａ2＋ｂ2）
Ｚ･Ｚ*＝（ａ＋ ｊ ｂ ）×（ａ－ ｊ ｂ ）＝ ａ２－（ ｊ ｂ）２
＝ａ２＋ｂ２
◇ よって、複素数 Ｚ と、その共役複素数 Ｚ＊の積の平方根
例） Ｚ＝ａ＋ ｊ ｂ
は、複素数の 絶対値 | Ｚ | となる。
虚数 ｊ
| Ｚ | ＝ √（Ｚ･Ｚ＊） ＝ √（ａ２＋ｂ２ ）
Ｚ＝ａ＋ ｊ ｂ
図１
ｂ
|Ｚ|
０
[問３] 問２の４つの複素数の共役複素数を示せ。
ｂ
ａ
実数
(1) Ｚ1＝1
Ｚ1*＝
(3) Ｚ3＝ 1＋ｊ
(2) Ｚ2＝ ｊ
Ｚ3 *＝
(4) Ｚ4＝ －√3－ｊ
Ｚ4*＝
Ｚ2 *＝
信号理論
(金田）
3説-0b
複素指数関数
［ 指数関数の性質 ］
[問１] 以下を計算し，１つの簡単な指数関数で表せ
 
(1) e a  e b 
( 2) e a
b

(3)
d ax
e 
dx
［ 複素指数関数 ｅｊｘ ］
e jx  cos x  j sin x
・ ｊ の後ろにある数を ｘ とすると、
実数部が ｃｏｓ(ｘ)、虚数部が ｓｉｎ(ｘ) である複素数
・ オイラーの公式と呼ばれる
[問２] 以下を ａ＋ｊｂ （実数 + 虚数）の形で表せ
(1) e j 0  cos 0  j sin 0  1  j 0  1
( 2) e
j

2
 cos

2
 j sin

2
 0  j1  j
(3) e j 
(4) e
j
3
2

(5) e j 2 
( 6) e
j

4

注） π は180°、π/2 は90°、 1/√2＝√2/2＝0.7
［ 複素平面上における複素指数関数 ］
[問３] 複素指数関数 ｅ ｊｘ は，実数部が cos(ｘ)
虚数部が sin(ｘ) の複素数である。
また、複素平面とは，右図 に示すように、
横軸が実数部，縦軸が虚数部を表し
複素数を２次元平面上で表すものである。
(1) 問２の (1)～(6) の複素数の位置を右の
図において示せ。
(2) 以上の結果より、複素数 ｅ ｊｘ の複素
平面上の位置を言葉で説明せよ。
Ｉmag
（虚数）
複素平面
1.5
1
0.5
Real
（実数）
ｘ
0
-0.5
-1
-1.5
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
信号理論
(金田）
3説-0b
複素指数関数
［ 指数関数の性質 ］
[問１] 以下を計算し，１つの簡単な指数関数で表せ
(1) e a  e b  e ( a b )
 
( 2) e a
b
 e ab
(3)
d ax
e  a  e ax
dx
［ 複素指数関数 ｅｊｘ ］
e jx  cos x  j sin x
・ ｊ の後ろにある数を ｘ とすると、
実数部が ｃｏｓ(ｘ)、虚数部が ｓｉｎ(ｘ) である複素数
・ オイラーの公式と呼ばれる
[問２] 以下を ａ＋ｊｂ （実数 + 虚数）の形で表せ
(1) e j 0  cos 0  j sin 0  1  j 0  1
( 2) e
j

2
(3) e j
 cos

 j sin

 0  j1  j
2
2
 cos   j sin   1  j 0  1
( 4) e
j
3
2
(5) e j 2
( 6) e
j

4
3
3
 j sin
 0  j (1)   j
2
2
 cos 2  j sin 2  1  j 0  1
 cos
 
 
 cos    j sin     0.7  j 0.7
 4
 4
注） π は180°、π/2 は90°、 1/√2＝√2/2＝0.7
［ 複素平面上における複素指数関数 ］
[問３] 複素指数関数 ｅ ｊｘ は，実数部が cos(ｘ)
虚数部が sin(ｘ) の複素数である。
また、複素平面とは，右図 に示すように、
横軸が実数部，縦軸が虚数部を表し
複素数を２次元平面上で表すものである。
(1) 問２の (1)～(6) の複素数の位置を右の
図において示せ。
(2) 以上の結果より、複素数 ｅ ｊｘ の複素
平面上の位置を言葉で説明せよ。
Ｉmag
（虚数）
複素平面
1.5
1
0.5
ｘ
0
「半径１の円周上、
実数軸に対して角度 ｘ の位置」
Real
（実数）
-0.5
-1
-1.5
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
複素正弦波
ｅｊωｔ
信号理論
(金田）
3説-1
（ 指数部が時間の変数 ωｔ ）
虚数
オイラーの公式
ｅｊωｔ ＝ｃｏｓωｔ＋ｊ ｓｉｎωｔ
ｊ
ω：角周波数、 t ：時間
ｅｊωｔ
・ ｅｊωｔ は、
実数部が ｃｏｓωｔ、
虚数部が ｓｉｎωｔ
を持つ複素数として定義される。
ｓｉｎωｔ
ωｔ
・ ｅｊωｔ は、複素数の値をとる時間 ｔ の関数。
－１
［ 性質 ］
0
１
ｃｏｓωｔ
・ ｅｊωｔ は、
・ 絶対値 | ｅｊωｔ｜（原点からの距離）が常に１，
・ 実数軸 との成す角（偏角）が ωｔ 。
・ 時間が経過 （ ｔ が増加）すると ，ωｔ は増加する
ので，ｅｊωｔ は単位円（半径１の円）上を
グルグル回る。
－ｊ
・ １秒間に ｆ 回、回転する。 （ｆ は周波数で、ω＝2πｆ）
[問１] 絶対値 | ｅｊωｔ｜がωｔ の値によらず，常に１となることを証明せよ
ヒント： 複素数の絶対値 
実数
実数部2  
複素正弦波 ｅｊωｔ は、絶対値が１で、偏角が ωｔ の複素数で、
ｔ の増加に伴い、1秒間に ｆ(周波数) 回、単位円上を回転する。
信号理論
(金田）
3説-2
複素数の実数部・虚数部の取り出し
［ 実数部・虚数部の取り出し ］
[問２] 複素数 ｚ ＝ａ＋ ｊ ｂ の実数部 ａ の取り出しは，以下の計算でできることを示せ
z  z*

2
ただし、ｚ* は ｚ の複素共役
[問３] 虚数部 ｂ の取り出す式を示せ
［ 複素正弦波 ｅｊωｔ の共役 ］
ｅｊωｔ の共役は ｅ-ｊωｔ
（証明）
ｅｊωｔ ＝ｃｏｓωｔ＋ｊ ｓｉｎωｔ
なので
ｅ-ｊωｔ ＝ ｅｊ(-ω)ｔ ＝ｃｏｓ(-ωｔ )＋ｊ ｓｉｎ(-ωｔ ) ＝ｃｏｓ(ωｔ ) - ｊ ｓｉｎ(ωｔ )
学年
学科
学 籍 番 号
氏 名
信号理論
(金田）
3演-1
１．以下の正弦波を描け
(1) sin(2π200t)
横軸は時間軸で、
１目盛が 1ms（ミリ秒）
1
0
5
時間
ｔ
10ms
5
時間
ｔ
10ms
5
時間
ｔ
10ms
-1
(2) sin(200πt)
1
0
-1
(3) 2･sin(628t)
1
0
-1
裏もあります
学年
学科
学 籍 番 号
氏 名
信号理論
(金田）
3演-1解
１．以下の正弦波を描け
(1) sin(2π200t)
正弦波の式 A･sin( 2πｆ ｔ ＋θ) と比べると，ｆ＝200[Hz]，A=1，θ＝0 である。
周期は周波数の逆数なので、1/200 ＝ 0.005 秒 ＝ 5ms （ミリ秒）
よって、下図が得られる
横軸は時間軸で、
１目盛が 1ms（ミリ秒）
1
0
5
時間
ｔ
10ms
-1
(2) sin(200πt)
（ ） の中を、 2πｆ ｔ の形に表すと、 200π ｔ＝ 2π100 ｔ 。 よって、周波数 ｆ＝100 [Hz]。周期は周
波数の逆数なので、1/100 ＝ 0.01 秒 ＝ 10ms （ミリ秒）。 Aとθは(1)と同様に、 A=1，θ＝0 であ
る。よって、下図が得られる
1
0
5
時間
ｔ
10ms
-1
(3) 2･sin(628t)
（ ） の中を、 2πｆ ｔ の形に表すと、 628 ｔ ＝ 200π ｔ ＝ 2π100 ｔ 。 よって、周波数 ｆ＝100 [Hz]。
周期は周波数の逆数なので、1/10 ＝ 0.01 秒 ＝ 10ms （ミリ秒）。 Aとθは A=2，θ＝0 である。
よって、下図が得られる
1
0
-1
裏もあります
5
時間
ｔ
10ms
信号理論
(金田）
3演-2
２．複素正弦波 ｅ ｊ ωｔ と、その複素共役 ｅ －ｊ ωｔ を用いて、cos（ωｔ ） および ｓｉｎ（ωｔ ）を表せ。
ヒント：ｅ ｊ ωｔ と
ｅ －ｊ ωｔ
は、それぞれ、以下のように表される
e j t  cos( t )  j sin( t )
e  j t  cos( t )  j sin( t )
cos( t ) 
sin( t ) 
３．問２で得られた結果を、表現２に代入して、ｅ ｊ ωｔ と、 ｅ －ｊ ωｔ について整理せよ。
その結果から、表現２ → 表現３の関係を示せ。
表現２： ａ･ｃｏｓ(ωｔ )＋ｂ･ｓｉｎ(ωｔ ) ＝
４．信号の「周波数分析」 とは、どのようなことをするものか、想像で良いので、考えを記せ
※ 質問事項や授業でわかりにくかったこと、および、感想・意見・要望などあれば、記入してください。
信号理論
(金田）
3演-2解
２．複素正弦波 ｅ ｊ ωｔ と、その複素共役 ｅ －ｊ ωｔ を用いて、cos（ωｔ ） および ｓｉｎ（ωｔ ）を表せ。
ヒント：ｅ ｊ ωｔ と
ｅ －ｊ ωｔ
は、それぞれ、以下のように表される
e j t  cos( t )  j sin( t )
e  j t  cos( t )  j sin( t )
解答： 上式より
e j t  e  j t  2 cos( t )
e j t  e  j t  2  j sin( t )
がわかる。これより、
cos( t ) 

1 j t
e  e  j t
2

sin( t ) 

1 j t
e  e  j t
j2

３．問２で得られた結果を、表現２に代入して、ｅ ｊ ωｔ と、 ｅ －ｊ ωｔ について整理せよ。
その結果から、表現２ → 表現３の関係を示せ。
表現２： ａ･ｃｏｓ(ωｔ )＋ｂ･ｓｉｎ(ωｔ ) ＝
a



1 j t
1 j t
e  e  j t  b 
e  e  j t
j2
2

a b 
a b 
    e j t     e  j t
 2 j2 
 2 j2 
1
1
 a  jb  e j t  a  jb  e  j t
2
2
F
1
j
j
F*
ａ/2
-ｊｂ/2
Ｆ
４．信号の「周波数分析」 とは、どのようなことをするものか、想像で良いので、考えを記せ
信号にはいろいろな周波数成分が含まれている。周波数分析とは、それぞれの周波数成分の大きさ（振幅）や
位相を求める操作を指す。 詳細は今後の授業で説明する。
学年
学科
学 籍 番 号
氏 名
信号理論
(金田）
3宿-1
［ 正弦波の積の積分 ］
１．次の積分を，
周波数 ｆ が、 (1) ｆ ＝ ｆ1 ＝1/Ｒ (2) ｆ ＝ 2･f1 ＝ 2/R (3) ｆ ＝ 3･f1 ＝ 3/R の場合について計算せよ。

R
0
sin( 2 f t )dt
(4) また，これらの積分は，実際に計算をしなくても，定性的に答を得ることができる。その理由を説明せよ
ヒント： Ｒは、周波数が ｆ1 ＝1/R の正弦波の1周期であり、 周波数が 2･f1 の正弦波の２周期である。
２．以下の(1)～(5)の、２つの正弦波の「積」を，２つの正弦波の「和」として表せ。
（公式の復習です。 公式は，教科書 p.225 にも載っています）
ただし、(1)は [ sin と cos の積 ]、
(2)と(3)は、[ sin と sin の積 ]で、(2)は ω1 ≠ ω2 、(3)は ω1 ＝ ω2 として計算せよ。
(4)と(5)は、[ cos と cos の積 ]で、(4)は ω1 ≠ ω2 、 (5)は ω1 ＝ ω2 として計算せよ。
(1) sin（ω1ｔ ）×cos（ω2 ｔ ）＝
(2) sin（ω1ｔ ）×sin（ω2 ｔ ）＝
(3) sin（ω1ｔ ）×sin（ω2 ｔ ）＝
(4) cos（ω1ｔ ）×cos（ω2 ｔ ）＝
(5) cos（ω1ｔ ）×cos（ω2 ｔ ）＝
裏もあります
信号理論
(金田）
3宿-2
3．次の積分を，計算せよ （ 問１、問２の結果を利用してもよい ）
(1)
(3)

T
0

T
0
sin( 2 (4 f1 )t )  cos( 2 (2 f1 )t )dt
sin( 2 (2 f1 )t )  sin( 2 (2 f1 )t )dt
( 2)

T
0
sin( 2 (4 f1 )t )  sin( 2 ( 2 f1 )t )dt
ただし，　T  1 f1
ヒント： T は、周波数が ｆ1 ＝1/T の正弦波の1周期、 周波数が 2･f1 の正弦波の２周期、
学年
学科
学 籍 番 号
氏 名
信号理論
(金田）
3宿-1解
解答、説明資料などは、 http://www.asp.c.dendai.ac.jp/ の ［授業］→［信号理論］ にあります。
１．次の積分を，
周波数 ｆ が、 (1) ｆ ＝ ｆ1 ＝1/Ｒ (2) ｆ ＝ 2･f1 ＝ 2/R (3) ｆ ＝ 3･f1 ＝ 3/R の場合について計算せよ。

R
0
sin( 2 f t )dt
(4) また，これらの積分は，実際に計算をしなくても，定性的に答を得ることができる。その理由を説明せよ
(1)
1
1
cos(2 f R)  cos(0)
[ cos(2 f t )]0R 
0
2f
2f
1
cos(2 )  cos(0)   1 1  1  0

2f
2f

R
sin( 2 f t )dt 
(2)(3)は，それぞれ ｆ･R が 2 と 3 になるので，
ここが，4π,6π となるだけで他は同じ
(4) 積分区間長 Ｒ は、(1) Ｒ＝1/ｆ、(2) Ｒ＝2/ｆ、(3) Ｒ＝3/ｆ、となる。
周波数 ｆ の逆数 1/ｆ は周期であるので、 積分区間長 Ｒ は、
それぞれ(1) １周期、(2) ２周期，(3) ３周期，と周期の整数倍
（ｎ周期， ｎ：整数） となる。
正弦波を ｎ周期積分したものはゼロとなるので，
(1)(2)(3) の積分はすべてゼロとなる。
+
+
-
+
-
-
n周期での積分値（面積）は0になる。
２．以下の(1)～(5)の、２つの正弦波の「積」を，２つの正弦波の「和」として表せ。
（公式の復習です。 公式は，教科書 p.225 にも載っています）
ただし、(1)は、 [ sin と cos の積 ]、
(2)と(3)は、[ sin と sin の積 ]で、 (2)は ω1 ≠ ω2 の場合、(3)は ω1 ＝ ω2 の場合、
(4)と(5)は、[ cos と cos の積 ]で、(4)は ω1 ≠ ω2 の場合、 (5)は ω1 ＝ ω2 の場合、である。
(1) sin(1t )  cos(2t )  sin(1t  2t )  sin(1t  2t ) / 2
(2) sin(1t )  sin(2t )  cos(1t  2t )  cos(1t  2t ) / 2
(3) sin(1t )  sin(1t )  1  cos(21t ) / 2  1 2  1 2 cos(21t )
(4) cos(1t )  cos(2t )  cos(1t  2t )  cos(1t  2t ) / 2
1  2
(5) cos(1t )  cos(1t )  1  cos(21t ) / 2  1 2  1 2 cos(21t )
◇ sin と cos の積 →
(2)で1  2とする
1  2
(４)で1  2とする
２つの正弦波の和 （差の周波数と和の周波数）
◇ sin 同士 の積， cos 同士の積 （ ω1 ≠ ω2 の場合）
→
２つの正弦波の和 （差の周波数と和の周波数）
◇ sin 同士 の積， cos 同士の積 （ ω1 ＝ ω2 の場合）
（すなわち、同じ正弦波を掛け算した場合） → 一定値と正弦波の和
信号理論
(金田）
3宿-2解
3．次の積分を，計算せよ （ 問１、問２の結果を利用してもよい ）
T
(1)

(3)

sin( 2 (4 f1 )t )  cos( 2 (2 f1 )t )dt
0
T
0
( 2)
sin( 2 (2 f1 )t )  sin( 2 (2 f1 )t )dt

T
0
sin( 2 (4 f1 )t )  sin( 2 ( 2 f1 )t )dt
ただし，　T  1 f1
Ｔ＝1/ｆ1 の関係を用いると、周波数が ｎ･ｆ1 （ｎ：整数） の正弦波の周期は，
周波数の逆数をとって、1/(ｎ･ｆ1)＝(1/ｎ)(1/ｆ1)＝ Ｔ / ｎ 。
よって，周波数 ｎ･ｆ1 の正弦波は，積分区間長 Ｔ で ｎ周期 となり，積分をするとゼロになる。
これより，任意の整数 ｎ に関して，以下が成立する。

T
0
sin( 2 (n f1 )t )dt  0

T
0
cos( 2 (n f1 )t ) dt  0
これを使って，
1
sin( 2 (2 f1 )t )  sin( 2 (6 f1 )t )dt  0
0
0 2
T
T 1
(2)  sin( 2 ( 4 f1 )t )  sin( 2 ( 2 f1 )t )dt   cos( 2 ( 2 f1 )t )  cos(2 (6 f1 )t )dt  0
0
0 2
T
T 1
T
1 T
(3)  sin( 2 (2 f1 )t )  sin( 2 (2 f1 )t ) dt   cos(0)  cos( 2 (4 f1 )t )dt   1dt 
0
0 2
0
2
2
(1)

T
sin( 2 (4 f1 ))  cos( 2 ( 2 f1 ))dt  
T
性質：
・ sin と cos の積，および，異なる周波数の sin同士，cos同士の積の
ｎ周期の積分はゼロ
・ 同じ周波数の同じ正弦波の積は、一定値を含むので積分は０でない値を持つ
信号理論
(金田）
4説-1
［ 正弦波の３つの表現： まとめ ］
時間
ｔ
0
-θ/ω
1/ｆ
表現１： A･sin(ωt + θ )
ω＝2πｆ t
振幅と位相
表現１ → 表現２
ａ ＝ Ａ･sinθ， ｂ ＝Ａ･cosθ
表現２ → 表現１
A  a 2  b2
a
b
  tan 1  
表現２： a cos( ωt ) + b sin( ωt )
sin と cos
表現２ → 表現３
F
1
a  jb 
2
表現３ → 表現２
表現３： Ｆ･ｅ ｊ ωt ＋ Ｆ*･ｅ - ｊ ωt
a  F  F*
F* 
1
a  jb 
2
Ｆ*： Ｆ の複素共役
b  j F  F * 
複素正弦波
大切な関係
・ 表現１ ⇔ 表現２ などの公式は、暗記する必要はない！
大切なことは、
☆任意の正弦波A･sin( ωt + θ ) が、
sin と cos の和 や、 ｅ ｊωt から作られる、ということ。




1 j t
e  e  j t
2
1 j t
sin( t ) 
e  e  j t
j2
cos( t ) 
e j t  cos( t )  j sin( t )
学年
学科
学 籍 番 号
氏 名
［ 信号理論 演習 ］
(1) フーリエ級数とは、周期信号がどのように表されることを示すものか？
1.1 文章で説明せよ
1.2 その文章を表す式を示せ。 （ただし、係数を表す積分は不要）
(2) 1.2 の表現において、 sin nω0 ｔ の係数 ｂn はどのようにして求められるか？
最初に文章で説明し、つぎに、式で表せ
(3) 「信号のパワースペクトルの図」 とは、どのような図か述べよ （横軸と縦軸が何を表す図か？）
(4)次の ア)、イ）の信号のパワースペクトルを、それぞれ図に描け
ア) ｆ(t) ＝2･sin(2π100 ｔ )
イ） ｆ(t) ＝ sin(2π100 ｔ ) ＋ 2･cos(2π200 ｔ )
ヒント： 問1.2 の結果と比較して、各周波数の sin, cos の振幅を表すａ1, ａ2, ａ3, ･･･ や ｂ1, ｂ2, ｂ3, ･･･ が
いくつになるか考える。
※ 質問事項や、感想・要望などあれば、記入してください。
信号理論
(金田）
4演-1
学年
学科
学 籍 番 号
氏 名
信号理論
(金田）
4演-1
［ 信号理論 演習 ］
配布せず
(1) フーリエ級数とは、周期信号がどのように表されることを示すものか？
1.1 文章で説明せよ
周期信号 f (t) は、基本 (角) 周波数 ω0 = 2πf0 および、
その2倍、3倍･･･（2 ω0 、3 ω0 ･･･ ）の周波数の
正弦波の和として表すことができる。
1.2 その文章を表す式を示せ。 （ただし、係数を表す積分は不要）
f (t )  a0  ( a1 cos  0 t  a 2 cos 2 0 t  a3 cos 3 0 t  )
 (b1 sin  0 t  b2 sin 2 0 t  b3 sin 3 0 t  )
(2) 1.2 の表現において、 sin nω0 ｔ の係数 ｂn はどのようにして求められるか？
最初に文章で説明し、つぎに、式で表せ
同じ周波数の正弦波 sin nω0 ｔ をかけて積分すれば得られる。
bn 
2 T
f t sin n 0t dt
T 0
(3) 「信号のパワースペクトルの図」 とは、どのような図か述べよ （縦軸と横軸が何を表す図か？）
横軸は、信号に含まれる正弦波の周波数
縦軸は、その正弦波の大きさ（パワー）を表す図
(4)次の ア)、イ）の信号のパワースペクトルを、それぞれ図に描け
ア) ｆ(t) ＝2･sin(2π100 ｔ )
イ） ｆ(t) ＝ sin(2π100 ｔ ) ＋ 2･cos(2π200 ｔ )
ヒント： 問1.2 の結果と比較して、各周波数の sin, cos の振幅を表すａ1, ａ2, ａ3, ･･･ や ｂ1, ｂ2, ｂ3, ･･･ が
いくつになるか考える。
問３ の答えのように、横軸は「周波数」、縦軸は「パワー」である。
パワー
ｆ＝100、
振幅 ｂ＝2 なので、パワーは
ｂ2/2＝2
2
パワー
ｆ＝100、振幅 ｂ＝1 なので、パワーは
ｂ2/2＝0.5
ｆ＝200、振幅 ａ＝2 なので、パワーは
ａ2/2＝2
2
0.5
0
100
周波数 ｆ (Hz)
0
100
200
周波数 ｆ (Hz)
学年
学科
学 籍 番 号
氏 名
信号理論
(金田）
4宿-1
［ 正弦波の３つの表現 ］
１．次のグラフの正弦波を、３種類の表現で表せ。
√2
時間
0
-√2
（ヒント １）
5
15
10
20
25
30
35
40
ｔ
単位は [ms]
2.5
表現１：
A  sin  t   
表現２：
a  cos( t )  b  sin( t )
表現３：
F  e j  t  F *  e  j t
（ヒント ２） 周期がわかれば周波数がわかる。
（ヒント ３） 表現１の θ＝-π/ 4 である。 表現２を求めるときに、この結果を利用してよい。
ただし、できれば、なぜ θ＝-π/ 4 となるかを示せ。
j t
 j t
２．表現３
が実数になることを示せ。 （＊：複素共役）
F e  F e
（ヒント） 上式が、複素数と、その複素共役の和であることを示せばよい。
裏もあります
*
［ フーリエ級数 ］
信号理論
(金田）
4宿-2
３．すべての周期関数 ｆ(t) は、式(1) のように正弦波の和として表される。これをフーリエ級数と呼ぶ。
f (t )  a0  a1  cos(0t )  a2  cos( 20t )  a3  cos(30t ) 
 b1  sin(0t )  b2  sin( 20t )  b3  sin(30t ) 
（１）
ただし、信号 ｆ (t) の周期を Ｔ としたとき、ω0は、ω0＝2π(1/T) である。
このとき、ａ0，ａ1，･･･，ｂ1，ｂ2，･･･ は、ｆ (t) に含まれる各正弦波の大きさを表すものであり、
フーリエ係数と呼ばれ、下式によって求められる。
1 T
2 T
2 T
f (t )dt
an   f (t )  cos( n0 t )dt
bn   f (t )  sin( n0 t )dt

T 0
T 0
T 0
n  1, 2, 3, 4, 
（問題）
a0 
（2 ）
次の式(3)の ｆ (t) に式（１）の関係を代入して、積分を計算せよ。 その結果を用いて、ｂ1 を与える式を求めよ。
（ヒント） 前回の宿題の結果が利用できる。

T
0
f (t )  sin(0 t )dt
（3 ）
学年
学科
学 籍 番 号
氏 名
信号理論
(金田）
4宿-1解
［ 正弦波の３つの表現 ］
１．次のグラフの正弦波を、３種類の表現で表せ。
√2
時間
0
-√2
（ヒント １）
5
10
15
20
25
30
35
40
ｔ
単位は [ms]
2.5
表現１：
A  sin  t   
表現２：
a  cos( t )  b  sin( t )
表現３：
F  e j  t  F *  e  j t
（ヒント ２） 周期がわかれば周波数がわかる。
（ヒント ３）θ＝-π/ 4 であるが、その理由を説明せよ。
表現１
解答：
・表現１では、周波数 ｆ、振幅 Ａ、位相 θ の３つの値を求める必要がある。 （ωの値は、２πｆ で計算する）
・ まず周期 T は、（例えば、山と山の間隔なので） Ｔ＝ 20ms ＝ 0.02s であることがわかる。
→ よって、周波数 ｆ ＝ 1/Ｔ ＝ 1/0.02 ＝ 50Ｈｚ、 よって、ω＝2πｆ ＝2π50 ＝100π＝314
・ 上の波形は、ｓｉｎ(ωｔ) が 2.5ms 右にずれたもの。 よって、（）の中、すなわち、
ωｔ＋θ の ｔ に 0.0025[s] を代入して 0 とおけば、θが求められる。
ω･0.0025 ＋θ＝ 0 より、θ＝ - 0.0025ω ＝ - 0.0025･100π＝ -π/4（＝ -0.785 ）
・ （別解）上の波形は、ｓｉｎ(ωｔ) が 1/8 周期右にずれたもの。
そして、ｓｉｎ の ( ) 内において、１周期は 2πなので、 1/8 周期のずれは π/4 のずれになる。
また、右にずれたものは、θは負。
よって、θ＝-π/ 4
・ 振幅 Ａ は、図より、√2
・ よって、表現１は、
2  sin 314t   / 4

表現２

・表現１のパラメータ → 表現２のパラメータ の関係は、
ａ ＝ Ａ･sinθ， ｂ ＝Ａ･cosθ であるので、
ａ ＝√2 ｓｉｎ(-π/4） ＝√2 /- √2 ＝-1
ｂ ＝√2 ｃｏｓ(-π/4） ＝√2 / √2 ＝1
よって、表現２は、
 cos314t   sin 314t 
表現３
・表現２のパラメータ → 表現３のパラメータ
の関係は、Ｆ＝（ａ- ｊ ｂ）/2 であるので、
よって、表現３は、
 0.5  j 0.5  e j 314 t   0.5  j 0.5  e  j 314 t
２．
F  e j t
の複素共役は、
F  e 
j t *
 
 F *  e j t
*
 F *  e  j t
であるので、
F  e j t  F *  e  j  t
は、複素数 F  e j t と、その複素共
役との和を表している。 よって、実数と
なる。
信号理論
(金田）
5説-1
複素正弦波（複素指数関数）によるフーリエ級数
◇ 複素正弦波によるフーリエ級数 （ 正弦波の「表現３」を使ったフーリエ級数 ）
 F e
  F e
f (t )  F0 
周期信号
1
1

 
j 0 t
 F2  e j 20 t  F3  e j 30 t  
 j 0 t
 F 2  e  j 20 t  F3  e  j 30 t
（角周波数 ω0 の正弦波） ＋ （ 2ω0 の正弦波 ） ＋ （ 3ω0 の正弦波 ） ＋ ・・・
Fn ： 係数（複素数）


F
 e jn0 t
n
n  
F n
：
Fn
の複素共役
教科書 式(2.21)
【 係数 Fn の求め方 】
・ 複素正弦波 ｅ ｊ ｎω0ｔ の係数 Ｆn は、周期信号 ｆ(t) に
同じ正弦波の複素共役
Fn 
1
T

T
ｅ －ｊ ｎω0ｔ をかけて積分すれば得られる。
f (t )  e  jn0 t dt
0
教科書 式(2.26)
ただし、Ｔ は、 ｅ ｊ ｎω0ｔ の周期 （ ω0 Ｔ＝ 2π ）
【 証明 】
・ 同じ周波数の正弦波の（複素共役の）積の積分
（ 予備知識 ）

・ sin cos を基本周期の区間で積分すると 0 になるのと同様に、
ｅ ｊ ｎω0ｔ

T
0
0
0
(1)
よって、
・ 周波数が異なる正弦波の積の積分

0
e jm0 t  e  jn0 t dt
  e j m  n 0 t dt  0
T
0
m  n 
(2)
T
T
0
0
(3)
式（2.26） の右辺に、式（2.21) を代入する。
1
T
（ 証明 ）
e jn0 t  e  jn0 t dt
  e j 0 dt   1 dt  T
T
e  jn 0 t   cos( n 0 t ) dt   j sin( n 0 t ) dt  0
T
0
を基本周期の区間で積分すると 0 になる。
T
T
 
jm0 t 
F

e

  e  jn0 t dt

0  m m


F T
  m  e jm0 t  e  jn0 t dt
0
m   T
T

Fm
m   T
 Fn



T
0
e j m  n 0 t dt
積分は ｍ＝ｎ
以外は 0 となる
(4)
学年
学科
学 籍 番 号
氏 名
信号理論
(金田）
5演-1
１．【 信号の和と積 】
(1) 次の２つの信号 ｆ(t) と ｇ(t) との和の信号 ｆ(t)＋ｇ(t) を描け
ｆ(t)
ｆ(t)＋ｇ(t)
ｇ(t)
1
1
1
ｔ
０
ｔ
０
1
1
(2) 次の２つの信号 ｆ(t) と ｇ(t) との積の信号 ｆ(t)×ｇ(t) を描け
ｆ(t)
ｇ(t)
2
2
1
1
1
ｔ
1
ｔ
０
2
1
０
2
(3) 次の２つの信号 ｆ(t) と ｇ(t) との積の信号 ｆ(t)×ｇ(t) を描け
ｆ(t)
ｔ
1
2
ｆ(t)×ｇ(t)
ｇ(t)
1
1
1
ｔ
０
1
ｆ(t)×ｇ(t)
2
０
ｔ
０
ｔ
０
1
1
０
ｔ
1
２． 次の２つの信号 ｆ(t)＝ sin(2π10ｔ) と ｇ(t)＝0.3･sin(2π30ｔ) との和信号 ｆ(t)＋ｇ(t) の波形を図中に描き、そのパワー
スペクトルを右に描け（グラフの軸名は明示すること）。ただし、波形はていねいに書かなくても、大体の形がわかれば良い。
1
スペクトル
sin(2π10ｔ)
1.5
0.3･sin(2π30ｔ)
1
0.5
0
ｔ
0
-0.5
-1
-1
-1.5
0
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
0.1
※ 質問事項、感想・意見・要望などあれば、記入してください。
学年
学科
学 籍 番 号
氏 名
信号理論
(金田）
5演-1解
各時刻におけるｆ(t)とｇ(t)の値を足せばよい。
例えば、ｔ＝0.5 の時、ｆ(t)＝0.5、ｇ(t)＝0.5 な
ので、ｆ(t)＋ｇ(t)＝1となる。
１．【 信号の和と積 】
(1) 次の２つの信号 ｆ(t) と ｇ(t) との和の信号 ｆ(t)＋ｇ(t) を描け
ｆ(t)
ｇ(t)
ｆ(t)＋ｇ(t)
1
1
1
ｔ
０
ｔ
０
1
1
ｇ(t)
2
2
2
1
1
1
ｔ
０
1
ｔ
０
2
1
ｆ(t)
ｆ(t)×ｇ(t)
０
2
ｔ
1
2
ｔ＝0.5 で、ｆ(t)＝0.5、ｇ(t)＝0.5 なので、
ｆ(t)×ｇ(t)＝0.25となる。同様に、t=1では、
ｆ(t)×ｇ(t)＝1となる。
(3) 次の２つの信号 ｆ(t) と ｇ(t) との積の信号 ｆ(t)×ｇ(t) を描け
ｇ(t)
ｔ
ｔ
０
1
ｆ(t)×ｇ(t)
1
1
1
０
1
各時刻におけるｆ(t)とｇ(t)の値をかければよい。
例えば、ｔ＝0.～0.5では、ｆ(t)＝2、ｇ(t)＝1 なの
で、ｆ(t)×ｇ(t)＝2となる。
(2) 次の２つの信号 ｆ(t) と ｇ(t) との積の信号 ｆ(t)×ｇ(t) を描け
ｆ(t)
ｔ
０
０
1
ｔ
1
２． 次の２つの信号 ｆ(t)＝ sin(2π10ｔ) と ｇ(t)＝0.3･sin(2π30ｔ) との和信号 ｆ(t)＋ｇ(t) の波形を図中に描き、そのパワー
スペクトルを右に描け。ただし、波形はていねいに書かなくても、大体の形がわかれば良い。
スペクトル
1.5
1
和信号 ｆ(t)＋ｇ(t)
＝ sin(2π10ｔ) ＋0.3･sin(2π30ｔ) は、
周波数が10Hz で振幅が１の正弦波、と、
周波数が30Hz で振幅が0.3の正弦波、
から作られているので、
スペクトルは下図のようになる。
ただし、パワーは（振幅）2/2 である。
sin(2π10ｔ)
0.3･sin(2π30ｔ)
1
0.5
0
ｔ
0
パワー
-0.5
(1)2/2＝0.5
-1 -1
(0.3)2/2＝0.045
-1.5
0
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
(＊) 質問・要望などあれば記入してください。
0.09
振幅スペクトル
は、それぞれ1
と0.3である。
0.1
0.1
0
10
30
周波数
ｆ [Hz]
学年
学科
学 籍 番 号
氏 名
信号理論
(金田）
5宿-1
［ 正弦波のパワー ］
問１．信号の大きさは、パワーとして表されることが多い。信号 ｆ(t) のパワーＰf は、その２乗平均値
Pf 
1
T

T
0
注：積分して積分区間長 Ｔ で割れば、
その区間の平均値となる
f 2 (t ) dt
として計算される。


(1) 表現１で表された正弦波 f (t )  A  sin  t   のパワーを計算せよ。ただし、積分区間 Ｔ は、
１周期 とする（ ωＴ＝2π の関係を持つ）。
（教科書 p.225 の公式や先週配布のプリントの結果を利用して良い。以下の問題においても同様）
(2) 表現２で表された正弦波
（積分区間は同じ））
裏もあります
f (t )  a  cos( t )  b  sin( t )
のパワーを計算せよ。
信号理論
(金田）
5宿-2
f (t )  F  e j t  F *  e  j t
◇ 表現３で表された正弦波
のパワーは、以下のように計算される。
複素数の場合、パワーは、ｆ(t) とその共役の積の平均値となるので、
Pf 
Pf 
1
T
1

T
1

T

1
T

T
0
  f (t )  f (t )  dt
1
T
T
0
F  e

 F  e
T
j t
0
 F  F
T
0

T
0
*
*
j t

 F *  e  j t  F  e j t  F *  e  j t

 F *  e  j t  F *  e  j t  F  e j t
  dt
*
 dt

 F 2 e j 2 t  F *2  e  j 2 t  FF * dt
2 FF * dt
 2 FF *  2 F
e j 2 t
2
の平均値は0 を利用
正弦波
パワー
A  sin  t   
表現１
a  cos( t )  b  sin( t )
表現２
F  e j  t  F *  e  j t
表現３
a
A2 2
2

 b2 2
2F
2
問２ 複素正弦波によるフーリエ級数
f (t ) 

F
n  
n
 e jn0 t
が得られた場合、そのパワースペクトルの大きさは、どのように表されるか？
Ｆn （ｎ＝0,1,2,･･･） を用いて表せ。
（ ヒント ）
パワー
F n は Fn の複素共役
周波数
ｆ
0
ｆ0
2ｆ0
3ｆ0
学年
学科
学 籍 番 号
氏 名
信号理論
(金田）
5宿-1解
［ 正弦波のパワー ］
問１．信号の大きさは、パワーとして表されることが多い。信号 ｆ(t) のパワーＰf は、その２乗平均値
Pf 
1
T

T
0
注：積分して積分区間長 Ｔ で割れば、
その区間の平均値となる
f 2 (t ) dt
として計算される。
(1) 表現１で表された正弦波 f (t )  A  sin
１周期 とする（ ωＴ＝2π の関係を持つ）。
 t    のパワーを計算せよ。ただし、積分区間 Ｔ は、
1 T
A2 T 1
2
1  cos 2 t   dt
Pf   A  sin  t    dt 
T 0 2
T 0
T
T
A2
A2
A2
T  0 
1 dt   cos 2 t    dt 

0
2T  0
2T
2


ｓｉｎ 2乗のｎ周期の
平均値は 1/2
を利用すれば、
すぐに答えが出る
【 参考 】 電気回路で出てくる 「実効値」 は、パワーの √ をとったものである。
(2) 正弦波
f (t )  a  cos( t )  b  sin( t )
Pf 
1
T
のパワーを計算せよ。（積分区間は同じ））
  a  cos( t )  b  sin( t )
T
2
0
dt


1 T 2
a cos 2 ( t )  2 ab  cos(  t )  sin(  t )  b 2 sin 2 ( t ) dt

T 0
a2 b2
1 2
a  b2



2
2
2



ｓｉｎ 2乗、ｃｏｓ2乗
の平均値は 1/2
ｓｉｎ･ｃｏｓの積
の平均値は0 を利用
周期信号のパワースペクトルが、
対応する周波数のフーリエ係数 ａn，ｂn の 2乗和/2
と説明したのは、以上の理由である。
信号理論
(金田）
5宿-2解
f (t )  F  e j t  F *  e  j t
◇ 表現３で表された正弦波
のパワーは、以下のように計算される。
複素数の場合、パワーは、ｆ(t) とその共役の積の平均値となるので、
Pf 
Pf 
1
T
1

T
1

T

1
T

T
0
  f (t )  f (t )  dt
1
T
T
0
F  e

 F  e
T
j t
0
 F  F
T
0

T
0
*
*
j t

 F *  e  j t  F  e j t  F *  e  j t

 F *  e  j t  F *  e  j t  F  e j t
  dt
*
 dt

 F 2 e j 2 t  F *2  e  j 2 t  FF * dt
2 FF * dt
 2 FF *  2 F
e j 2 t
2
の平均値は0 を利用
正弦波
パワー
A  sin  t   
表現１
a  cos( t )  b  sin( t )
表現２
F  e j  t  F *  e  j t
表現３
a
A2 2
2

 b2 2
2F
2
周波数 ｎω0 の正弦波成分は、
Fn  e jn0 t  F n  e  jn0 t
問２ 複素正弦波によるフーリエ級数
f (t ) 

F
n  
n
 e jn0 t
と表されるので、
が得られた場合、そのパワースペクトルの大きさは、どのように表されるか？
Ｆn （ｎ＝0,1,2,･･･） を用いて表せ。
パワー
2 F1
（ ヒント ）
2
F n は Fn の複素共役
2 F2
F0
2
2
2 F3
2
周波数
ｆ
0
ｆ0
2ｆ0
3ｆ0
信号理論
(金田）
6説-1
フーリエ級数の２つの表し方の等価性
① ｃｏｓ，ｓｉｎ によるフーリエ級数 （ 正弦波の表現２を使ったフーリエ級数 ）
f (t )  a0  a1 cos 0t  a2 cos 20t  a3 cos 30t  
 b1 sin 0t  b2 sin 20t  b3 sin 30t  
周期信号
ただし、 ω0 は基本（角）周波数
（ ω0 ＝ 2π／Ｔ Ｔ：周期 ）

 a0   an cos n0t  bn sin n0t 
教科書 式(2.3)
n 1
② 複素正弦波によるフーリエ級数 （ 正弦波の表現３を使ったフーリエ級数 ）


f (t )  F0  F1  e j0 t  F2  e j 20 t  F3  e j 30 t  


 F1  e  j0 t  F 2  e  j 20 t  F3  e  j 30 t  


F
n
n  
 e jn0 t
Fn ： 係数（定数）
教科書 式(2.25)
◇ 「① ｃｏｓ、ｓｉｎ のフーリエ級数」 を、「② 複素正弦波のフーリエ級数」 に書き直す
式(2.3) に、下記の 表現３と表現２の関係
cos n 0 t  

1 jn 0 t
e
 e  jn 0 t
2

sin n 0 t  

1 jn 0 t
e
 e  jn 0 t
j2
を代入すると、

a0   an cosn0t   bn sin n0t 
n 1
 1
1 jn0 t
 a0    an e jn0 t  e  jn0 t  bn
e
 e  jn0 t
j2
2
n 1 

jb
a

 a0    n e jn0 t  e  jn0 t  n e jn0 t  e  jn0 t 
2

n 1  2












1
1
 jn0 t 
jn0 t
jn t
 a0    an  jbn e
 an  jbn e
   Fn  e 0
2
 n  
n 1  2
これより、フーリエ係数、ａn、ｂn と、Ｆn との関係は
Fn 
1
an  jbn 
2
F n 
1
an  jbn 
2
F0  a0
※ Ｆn は複素数であること、Ｆn と Ｆ-n とは、複素共役であることに注意。

信号理論
(金田）
6説-2
［ 正弦波とスペクトルの解説と例題 ］
例題１．次のグラフの正弦波を、表現１ A  sin
 t    で表せ。
2
時間
0
10
20
30
40
50
60
70
80
ｔ
単位は [ms]
-2
解答：
・ 表現１では、周波数 ｆ、振幅 Ａ、位相 θ の３つの値を求める必要がある。 （ωの値は、２πｆ で計算する）
・ まず周期 T は、（例えば、山と山の間隔なので） Ｔ＝ 40ms ＝ 0.04s であることがわかる。
→ よって、周波数 ｆ ＝ 1/Ｔ ＝ 1/0.04 ＝ 25Ｈｚ、 よって、ω＝2πｆ ＝2π25 ＝50π≒157
・ 上の波形は、ｓｉｎ(ωｔ) が 1/2 周期右にずれたもの。
そして、ｓｉｎ の ( ) 内において、１周期は 2πなので、 1/2 周期のずれは π のずれになる。
また、右にずれたものは、θは負。
よって、θ＝-π
・ なお、別解は Web ページの宿題解説を参照。
・ 振幅 Ａ は、図より、2
・ よって、表現１は、
2  sin 157t   
例題２．正弦波信号 ｓｉｎ（6280 ｔ＋π/5） の周波数はいくつか？
解答： 正弦波信号は、ｓｉｎ(ωｔ＋θ) ＝ｓｉｎ(2πｆ ｔ＋θ) と表される。時間 ｔ の項に注目すれば、問題の 6280 ｔ
の部分は2πｆ ｔ に相当する、すなわち、 6280 ｔ ＝ 2πｆ ｔ であるので、ｆ ＝6280/(2π) ＝ 1000Hz ＝ 1kHz
パワースペクトル
ある信号のスペクトルとは、その信号に含まれている正弦波成分の大きさを図にしたものである。
特に、パワースペクトルとは、横軸に周波数、縦軸に正弦波成分のパワーを表した図である。
例題３．次の ア)、イ）の信号のパワースペクトルを描け
ア) 2･sin(628 ｔ )
解答： この信号は一つの正弦波からできている。
例題２と同様の手順で、周波数ｆ＝100Hz、
振幅 A＝2 なので、パワーは A2/2＝2
よって、パワースペクトルは下記のように描かれ
る。
パワー
2
イ）
sin(2π100 ｔ ) ＋2･cos(2π200 ｔ ) ＋ sin(2π200 ｔ )
解答： この信号は周波数が 100Hz、および200Hz の
二つの正弦波からできている。
（200Hz の正弦波は、ｃｏｓ＋ｓｉｎ の表現２で表されてお
り、200Hz の正弦波は一つであることに注意。）
100Hz の正弦波の振幅は1 なので、パワーは
12/2＝0.5。 200Hz の正弦波の振幅は、表現２で、
ａ＝2、ｂ＝1 で、
そのパワーは、
パワー
(ａ2＋ｂ2)/2＝2.5
よって、パワースペク
トルは左のように
2.5
描かれる。
0.5
0
100
周波数 ｆ [Hz]
0
100
200
周波数 ｆ [Hz]
学年
学科
学 籍 番 号
氏 名
信号理論
(金田）
6演-1
［ 信号理論 演習 ］
解答例：http://www.asp.c.dendai.ac.jp/ から、［授業］→［信号理論］
(1) 周期関数の周期 Ｔ を長くすると、周期関数のスペクトルの形はどのように変化するか？
(20文字程度の言葉で説明せよ）
(2) 非周期的な時間信号 ｆ(t) の周波数成分（スペクトル） Ｆ（ω） を求める式をフーリエ変換と言う。
フーリエ変換の式を示せ。
(3) 周波数スペクトル Ｆ（ω） から時間信号 ｆ(t)を求める式を、逆フーリエ変換と呼ぶ。
逆フーリエ変換の式を示せ。
(4) ｆ(t) と Ｆ（ω） がフーリエ変換の関係にあることを、記号で表せ。このとき、ｆ(t) とＦ（ω）は何と呼ばれるか？
(5) 【 フーリエ変換とフーリエ級数との対応関係 】
フーリエ変換 および 逆フーリエ変換 の式（上記の問(2)(3) の答）に対応する
複素正弦波を使ったフーリエ級数 （教科書 p.14 式(2.25)(2.26) または資料5説-1 ）の式を示せ。
◇ フーリエ変換 （周波数分析の式）に対応するフーリエ級数の式
◇ 逆フーリエ変換 （正弦波の和（＝積分）として信号を合成する式）に対応するフーリエ級数の式
※ 質問事項や感想・要望などあれば、記入してください。
学年
学科
学 籍 番 号
氏 名
信号理論
(金田）
6演-1解
解答例：http://www.asp.c.dendai.ac.jp/ から、［授業］→［信号理論］
(1) 周期関数の周期 Ｔ を長くすると、周期関数のスペクトルの形はどのように変化するか？
(20文字程度の言葉で説明せよ）
周期Tを大きくすれば、
成分を持つ周波数の間隔は小さくなる。
■T=1/ f であるから直感的にわかる。（？）
(2) 非周期的な時間信号 ｆ(t) の周波数成分（スペクトル） Ｆ（ω） を求める式をフーリエ変換と言う。
フーリエ変換の式を示せ。

 j t
F     f (t ) e

dt
(3) 周波数スペクトル Ｆ（ω） から時間信号 ｆ(t)を求める式を、逆フーリエ変換と呼ぶ。
逆フーリエ変換の式を示せ。
f (t ) 
1
2



F   e jt d
(4) ｆ(t) とＦ（ω） がフーリエ変換の関係にあることを、記号で示せ。このとき、ｆ(t) とＦ（ω）は何と呼ばれるか？
f (t )  F  
「フーリエ変換対」 とよぶ。
(5) 【 フーリエ変換とフーリエ級数との対応関係 】
上記の問(2)(3) の答えである フーリエ変換 および 逆フーリエ変換 の式に対応する
複素正弦波を使ったフーリエ級数 （教科書 p.14 式(2.25)(2.26) または資料5説-1 ）の式を示せ。
これらの違いは、信号 ｆ(t) が周期的であるか、ないか、の違いである。
◇ フーリエ変換 （信号に含まれる正弦波の成分の大きさを求める式）に対応するフーリエ級数の式
Fn 
1
T

T
0
f (t )  e  jn0 t dt
◇ 逆フーリエ変換 （正弦波の和（＝積分）として信号を合成する式）に対応するフーリエ級数の式
f (t ) 

 Fn  e jn0 t
n  
注） 積分は和の極限

T
0
y (t ) d t  lim
t 0
T / t
 y ( n  t ) t
n 0
学年
学科
学 籍 番 号
氏 名
信号理論
(金田）
6宿-1
解答が終わったら、：http://www.asp.c.dendai.ac.jp/ から、［授業］→［信号理論］ にある解答例を見て、自己採点をして提出
以下の信号のパワースペクトルを描け
(1) 3･sin(200π ｔ ＋π/4)
(4) 周期が Ｔ0 の、のこぎり波のフーリエ級数は、
1
1
1
sin  0 t  sin 2 0 t  sin 3 0 t  sin 4 0 t  
2
3
4
と表される。ただし、ω0＝2π/Ｔ0 である。
このことを利用して、周期が 20ms の、のこぎり波の
パワースペクトルを200Hz 以下の範囲で描け。
(2) ｃｏｓ (31.4 ｔ ) ＋3･ｓｉｎ(31.4 ｔ ) ＋ 2sin(94.2 ｔ )
(5) 次の波形で表される方形波信号のパワースペクトル
を描け。ただし、1100Hz 以上の成分は省略してよい。
ｆ (t)
0
ｔ
5ｍｓ
ただし方形波のフーリエ級数は次のように表される。
(3) 次の波形で表される正弦波信号のパワースペクトル
を描け
3
t
10ms
1
1
sin 2 f 0t   sin 2 3 f 0  t   sin 2 5 f 0  t   
3
5
学年
学科
学 籍 番 号
氏 名
以下の信号のパワースペクトルを描け
信号理論
(金田）
6宿-1解
(4) 周期が Ｔ0 の、のこぎり波のフーリエ級数は、
1
1
1
sin 2 0 t  sin 3 0 t  sin 4 0 t  
2
3
4
(1) 3･sin(200π ｔ ＋π/4)
sin  0 t 
解答： この信号は一つの正弦波からできている。
正弦波の第１の表現より、
200π ｔ ＝2π100 ｔ ＝2πｆ ｔ より、周波数 ｆ ＝100Hz、
振幅 A＝3 なので、パワーは A2/2＝4.5
よって、パワースペクトルは下記のように描かれる。
（注： 位相項 θ＝π/4 は、
パワー
パワーの値には関係
しない）
と表される。ただし、ω0＝2π/Ｔ0 である。
このことを利用して、周期が 20ms の、のこぎり波の
パワースペクトルを200Hz 以下の範囲で描け。
4.5
解答：周期が20msなので、こののこぎり波の基本周波数
ｆ0 ＝50Hz である。 ω0 ＝2π/T0 ＝2πｆ0であることと、
式より、周波数が ｆ0 の正弦波の振幅は1、周波数が
2･ｆ0 の正弦波の振幅は -1/2、 3･ｆ0 の正弦波の振幅は
1/3、･･･ である。パワーは（振幅）2/2 なので、200Hz 以
下の周波数のパワースペクトルは、下図となる。
パワー
0
100
1/2
周波数 ｆ [Hz]
(2) ｃｏｓ (31.4 ｔ ) ＋3･ｓｉｎ(31.4 ｔ ) ＋ 2sin(94.2 ｔ )
解答： 第1項の周波数は、31.4ｔ ＝ 2πｆ ｔ より、
ｆ ＝ 31.4/2π ＝ 5Hz。同様に、第2,3項の周波数は
それぞれ、5Hz、15Hz である。
5Hz の正弦波は表現２（ｃｏｓ＋ｓｉｎ）で表されており、
ａ＝1、ｂ＝3 であるので、パワーは、(ａ2＋ｂ2)/2＝5、
また、15Hz の正弦波は振幅が2であるので、そのパ
ワーは、 22/2＝2 。よって、パワースペクトルは下の
ように描かれる。
1/8
1/18 1/32
0
50
100
150
200周波数 ｆ [Hz]
(5) 次の波形で表される方形波信号のパワースペクトル
を描け。ただし、1100Hz 以上の成分は省略してよい。
ｆ (t)
ｔ
0
パワー
5ｍｓ
ただし方形波のフーリエ級数は次のように表される。
5
1
1
sin 2 f 0t   sin 2 3 f 0  t   sin 2 5 f 0  t   
3
5
2
0
5
15
周波数 ｆ [Hz]
(3) 次の波形で表される正弦波信号のパワースペクトル
を描け
解答： 周期が 5ms であるので、基本周波数は、その逆
数で、ｆ0 ＝1/0.005＝200Hz
以上のことより、問4と同様に、パワースペクトルは、下
図となる。
パワー
3
1/2
t
10ms
1/18
2
解答： この正弦波は、
周波数 ｆ ＝1/周期＝1/10ms＝1/0.01秒＝100Hz、
振幅 A＝3 なので、問題(1) と同じ答となる。
1/50
0 200
600
1000
周波数 ｆ [Hz]
信号理論
(金田）
7説-1
［ フーリエ変換の概要］
◇ 一般に、信号 ｆ ( ｔ ) はいろいろな周波数の正弦波信号 （音で言えば、低い音から高い音まで）を含んでいる。
◇ それぞれの周波数の正弦波（成分）を、どの位多く含んでいるかを分析するのがフーリエ変換である。
◇ 分析するためには、信号 ｆ ( ｔ ) に e
-ｊ ωt
を乗算して積分すればよい。式で表せば、

F ( )   f (t ) e  j t dt
(1)
（ フーリエ変換の式 ）

◇ Ｆ(ω) は複素数で、その絶対値 | Ｆ(ω) | が、信号 ｆ (ｔ ) に含まれている周波数ωの正弦波の大きさ（振幅）を表す。
◇ Ｆ(ω) を図で表す場合、特にことわらなければ横軸に（角）周波数、縦軸に周波数成分の大きさ を描く。
大きさは、通常，パワー | Ｆ(ω) |2 で表し，「（周波数）パワースペクトル」と呼び、ｄＢ値で表す。
また、単に 「（周波数）スペクトル」 と呼ぶことも多い。
非周期信号のスペクトル
(連続スペクトル）
周期信号のスペクトル
(離散スペクトル）
| F(ω) | 2
| F(ω) | 2
パ
ワ
｜
パ
ワ
｜
省略する
ことも多い
周波数
ω
ω0
2ω0
3ω0
ω
◇ ωが負の部分を描くこともあるが、＋ωと－ωは同じ周波数を表し、 | Ｆ(ω) | 2 の値は同じ。
→ よって、 | Ｆ(ω) | 2 は ω＝0 を中心に左右対称となる。
| F(ω) | 2
0
◇ 「信号 ｆ (ｔ ) のフーリエ変換が Ｆ(ω) 」 である時、
ｆ (ｔ )
（時間信号）
Ｆ(ω)
（周波数スペクトル）
と表し、 「 ｆ (ｔ ) と Ｆ(ω) はフーリエ変換対である 」 と言う。
正確には、 Ｆ(ω) と Ｆ(-ω) は、
複素共役の関係を持つ
ω
（ フーリエ級数とフーリエ変換 ）
◇ フーリエ級数
・ 周期信号
・ 線スペクトル
（基本周波数の倍周波数の
正弦波の和）
◇ フーリエ変換
・ 非周期信号
（注：周期でも良い）
・ 連続スペクトル
（すべての周波数成分を含む）
信号理論
(金田）
7説-2
［ フーリエ級数 と フーリエ変換］
フーリエ級数
（周期信号）
正弦波の表現２
時間波形 → 周波数スペクトル
周波数スペクトル → 時間波形
（ 分析）
( 合成 )
1 T
f (t ) dt
T 0
2 T
a n   f (t ) cos( n 0 t ) dt
T 0
2 T
bn   f (t ) sin( n 0 t ) dt
T 0
t0  0
a0 
(2.4)

(2.5)

n 1
 bn sin( n 0 t )}
(2.3)
(2.6)
・ 積分区間は周期 Ｔ
・ ω0＝2πｆ 0＝2π(1/T)： 基本(角)周波数
・ パワースペクトルは、
f (t )  a0   {a n cos( n 0 t )
・ （角）周波数 nω0 は離散値
（n＝0, ±1, ±2, ･･･）

P n 0   a n2  bn2 2
フーリエ級数：
複素正弦波表現
（周期信号）
正弦波の表現３
フーリエ変換
（非周期信号）
Fn 
1
T

T
0
f (t ) e  jn 0 t dt
(2.26)
f (t ) 

F
n  
n
e jn0 t
(2.25)
・ パワースペクトルは、
P n 0   2  Fn
2
ｎ：整数

F()   f (t) e jt dt

(2.31)
f (t ) 
1
2



F ( ) e j t d
(2.30)
・ 積分区間 ∞
・ パワースペクトルは、
P    2  F  
2
・ こちらは 「逆フーリエ変換」 と呼ぶ
・ (角)周波数 ω は連続値
注：2 を省略する場合も多い
※ パワースペクトルを図示する場合、横軸に数字を入れる場合には、「角周波数」ではなく、「周波数」で表示する。
理由は、簡単で、わかりやすいから。角周波数で書いても間違いではない。
学年
学科
学 籍 番 号
氏 名
信号理論
(金田）
7演-1
［ 信号理論 演習 ］
解答例：http://www.asp.c.dendai.ac.jp/ から、［授業］→［信号理論］
(1) 周期信号のスペクトルは離散スペクトルであり、非周期信号のスペクトルは連続スペクトルである。
周期信号のスペクトルと、非周期信号のスペクトルの違いを、簡単な模式図を書いて説明せよ。
(2) フーリエ変換の対称性とはどのような性質か、言葉で説明せよ。
(3) ゲート関数のフーリエ変換は標本化関数 （sinx/x） である。では、標本化関数のフーリエ変換はどのような
関数になるか？
(4) 信号 ｘ（ｔ） のフーリエ変換が X(ω)、y(t) のフーリエ変換が Y(ω)であるとき、
信号 2･ｘ（ｔ）－4･y(t) のフーリエ変換を示せ
来週の講義後に自習してください
(5) 時間幅が τで、高さが 1/τ のゲート関数において、時間幅 τ を 0 に近づけると、パルス高は∞になる。
このような信号 δ(t) を何と呼ぶか？
(6) 関数 δ(t) の最も重要な性質として、 δ(t) を信号 ｆ(t) にかけて積分したときの値に関する性質がある。
その性質を式で示せ。
(7) (6) の性質を使えば、δ(t) のフーリエ変換が簡単に求まる。フーリエ変換の式と、波形の図によって
フーリエ変換対を示せ。
※ 質問事項、および、感想・意見・要望などあれば、記入してください。
学年
学科
学 籍 番 号
氏 名
信号理論
(金田）
7演-1
［ 信号理論 演習 ］
解答例：http://www.asp.c.dendai.ac.jp/ から、［授業］→［信号理論］
(1) 周期信号のスペクトルは離散スペクトル（線スペクトル）であり、非周期信号のスペクトルは連続スペクトルである。
周期信号のスペクトルと、非周期信号のスペクトルの違いを、簡単な模式図を書いて説明せよ。
2 Fn
2
ω
「離散スペクトル」
ある特定の周波数
（基本周波数とその倍数）
しか値を持たない
F ( )
2
「連続スペクトル」
すべての周波数
で値を持つ
ω
注：横軸は ｆ でもよい
(2) フーリエ変換の対称性とはどのような性質か、言葉で説明せよ。
時間領域と周波数領域の関係を逆にしても、
フーリエ変換は成立する。
(3) ゲート関数のフーリエ変換は標本化関数 （sinx/x） である。では、標本化関数のフーリエ変換はどのような
関数になるか？
ゲート関数
■対称性の性質より
ゲート関数
標本化関数
標本化関数
ゲート関数
ならば
が成り立つ。
(4) 信号 ｘ（ｔ） のフーリエ変換が X(ω)、y(t) のフーリエ変換が Y(ω)であるとき、
信号 2･ｘ（ｔ）－4･y(t) のフーリエ変換を示せ
■線形性より、 2･X(ω)－4･Y(ω)
(5) 時間幅が τで、高さが 1/τ のゲート関数において、時間幅 τ を 0 に近づけると、パルス高は∞になる。
このような信号 δ(t) を何と呼ぶか？
(6) 関数 δ(t) の最も重要な性質として、 δ(t) を信号 ｆ(t) にかけて積分したときの値に関する性質がある。
その性質を式で示せ。
(7) (6) の性質を使えば、δ(t) のフーリエ変換が簡単に求まる。フーリエ変換の式と、波形の図によって
フーリエ変換対を示せ。
学年
学科
学 籍 番 号
氏 名
信号理論
(金田）
7演-1
［ 信号理論 演習 ］
解答例：http://www.asp.c.dendai.ac.jp/ から、［授業］→［信号理論］
(1) 周期信号のスペクトルは離散スペクトル（線スペクトル）であり、非周期信号のスペクトルは連続スペクトルである。
周期信号のスペクトルと、非周期信号のスペクトルの違いを、簡単な模式図を書いて説明せよ。
2 Fn
2
ω
「離散スペクトル」
ある特定の周波数
（基本周波数とその倍数）
しか値を持たない
F ( )
2
「連続スペクトル」
すべての周波数
で値を持つ
ω
注：横軸は ｆ でもよい
(2) フーリエ変換の対称性とはどのような性質か、言葉で説明せよ。
時間領域と周波数領域の関係を逆にしても、
フーリエ変換は成立する。
(3) ゲート関数のフーリエ変換は標本化関数 （sinx/x） である。では、標本化関数のフーリエ変換はどのような
関数になるか？
ゲート関数
■対称性の性質より
ゲート関数
標本化関数
標本化関数
ゲート関数
ならば
が成り立つ。
(4) 信号 ｘ（ｔ） のフーリエ変換が X(ω)、y(t) のフーリエ変換が Y(ω)であるとき、
信号 2･ｘ（ｔ）－4･y(t) のフーリエ変換を示せ
■線形性より、 2･X(ω)－4･Y(ω)
(5) 時間幅が τで、高さが 1/τ のゲート関数において、時間幅 τ を 0 に近づけると、パルス高は∞になる。
このような信号 δ(t) を何と呼ぶか？
デルタ関数（インパルス関数）
(6) 関数 δ(t) の最も重要な性質として、 δ(t) を信号 ｆ(t) にかけて積分したときの値に関する性質がある。
その性質を式で示せ。



f t  t dt  f 0 
■デルタ関数δがt = 0 以外では値 0 をとるので、f (0) の値が求まる。
(7) (6) の性質を使えば、δ(t) のフーリエ変換が簡単に求まる。フーリエ変換の式と、波形の図によって
フーリエ変換対を示せ。



 t   e  jt dt  e 0  1
1
δ(t)
0
t
ω
信号理論
(金田）
8説-1
デルタ関数 δ(t)
◇ δ（デルタ）関数 （インパルス関数）
［ 性質 ］

①　  (t )dt  1　：面積は１
(8説1.1)

・ 時間幅がτ、高さが 1/τ のゲート関数を考える。
（面積は１）

②　  (t ) f (t ) dt  f (0)
(8説1.2)

τ
t  0 以外では  (t )  0 なので
f (t ) の t  0 の値を取り出す働き
1/τ
ｔ
0
・ このゲート関数の面積を一定にしたまま、幅を0 に
近づける。 （τ → 0 ） すると、高さ 1/τ は、無限大
になる。 これをδ関数と呼び、δ(t) と表す。
③  (t )のフーリエ変換
（ ②において、f (t )  e  j tと考える）

 j t
 j 0
  (t ) e dt  e  1
(8説1.3)

よって
 (t )  1
(8説1.4)
δ(t)
τ
1
ω
ｔ
面積 １（一定）
0
0
δ関数は、全周波数成分を含む
ｔ
0
④  ( ) の逆フーリエ変換
1 
1
  ( ) e j t dt 
2 
2
よって
1
  ( )
2
［ 表記 ］
δ(t)： ｔ＝0 のインパルス
矢印で表す
ｔ
(8説1.5)
(8説1.6)
（一定値＝直流）
0
δ(ω)
1
2
δ( t－ｔ0 )： ｔ ＝ｔ0 のインパルス
0
ｔ0
ｔ
ω
ｔ
0
直流は、ω=0 でだけ値を持つ
0
信号理論
(金田）
9説-1
フーリエ変換・フーリエ級数
◇ すべての信号は複数の周波数の正弦波の和として表される。
◇ そのとき、フーリエ変換・フーリエ級数は、
信号の 「時間波形」 と 「周波数スペクトル （信号に含まれる各正弦波の大きさ（と位相））」
を関係づける操作（変換） である。
［ 時間波形 ］
周期信号
［ 周波数スペクトル ］
①
f (t )
Fn 
1
T
T

f (t ) e  jn0t dt
0
分析
時間
フーリエ級数 （表現３）
ｔ
2 F1
2
離散スペクトル
2 F2
パ
ワ
｜
2
2 F3
･･･
合成
Ｔ
②


f (t ) 
n  
2
ω0
F n e jn  0 t
2 ω0 3 ω0
2 Fn
2
周波数
ω
ｎω0
1
ω0 ＝2π Ｔ
2 T
f (t ) cos n0t dt
T 0
2 T
bn   f (t ) sin n0t dt
T 0
an 
分析：①③⑤
信号 ｆ(t) から、その周波数
スペクトルを求める操作
③
合成：②④⑥
周波数スペクトルに基づいて、
信号 ｆ(t) を合成する操作
ａn、ｂn はフーリエ係数と呼ばれ、
a
2
n

 bn2 2
は、角周波数 nω0 に対応する
パワースペクトルの値である。
分析
フーリエ級数 （表現２）
合成

 a3  cos(30t ) ④ f (t )  a0  a1  cos(0t )  a2  cos( 20t )  b1  sin(0t )  b2  sin( 20t )  b3  sin(30t ) 
非周期信号
連続スペクトル
f (t )
⑤
時間
F ( )  


分析
ｔ
F ( )
f (t ) e  j t dt
フーリエ変換
パ
ワ
｜
合成
2
周波数
ω
フーリエ逆変換
⑥
f (t ) 
1
2



F ( ) e j t d
◇ 積分とΣ は、基本的に同じなので、フーリエ級数とフーリエ変換(例えば、①②と⑤⑥）は、ほぼ等価なものとみなせる。
相違は、フーリエ級数が周期信号に対するもので、離散的な周波数成分を持つのに対して、
フーリエ変換は、非周期信号にも対応し、連続的（すべての）周波数成分を持つ。
◇ 周波数スペクトル Ｆn と Ｆ(ω) とが、それぞれ、各周波数の正弦波の大きさを表している。
周波数スペクトルの２乗値（2|Ｆn|2など）をパワースペクトルと呼ぶ。複素数の周波数スペクトルは図示できないので、
図示する場合には、パワースペクトル（または、振幅スペクトル）を図示する。
学年
学科
学 籍 番 号
氏 名
信号理論
(金田）
9演-1
［ 信号理論 演習 ］
解答例：http://www.asp.c.dendai.ac.jp/ から、［授業］→［信号理論］
(1) 信号 ｆ ( ｔ ) に e
j ω0 t
また、信号 ｆ ( ｔ ) に e
を乗算すると、ｆ ( ｔ ) の周波数スペクトル Ｆ(ω) はどのように変化するか？
-ｊ ω0 t
を乗算するとＦ(ω) はどのように変化するか？ （周波数推移の関係：先週の内容）
(2) cosω0ｔ の周波数スペクトルを、数式と図によって示せ。
(3) 信号 ｆ ( ｔ ) の周波数スペクトルが Ｆ(ω) のとき、ｆ ( ｔ ) の微分信号、積分信号の周波数スペクトルはどうなるか？
数式で示せ。
※ 質問事項や授業でわかりにくかったこと、および、感想・意見・要望などあれば、記入してください。
学年
学科
学 籍 番 号
氏 名
信号理論
(金田）
9演-1解
［ 信号理論 演習 解答 ］
(1) 信号 ｆ ( ｔ ) に e
j ω0 t
また、信号 ｆ ( ｔ ) に e
を乗算すると、ｆ ( ｔ ) の周波数スペクトル Ｆ(ω) はどのように変化するか？
-ｊ ω0 t
を乗算するとＦ(ω) はどのように変化するか？
右にω0 ずれる。 また、左にω0 ずれる。
（ 周波数推移の関係
f (t )e j 0t F (   0 ) , f (t )e  j 0t F (   0 )
より ）
(2) cosω0ｔ の周波数スペクトルを、数式と図によって示せ。
cos  0 t　     0       0 
１
2π/ω0
t
-ω0
0
ω0
ω
周波数±ω0でのみ値をもつ
(3) 信号 ｆ ( ｔ ) の周波数スペクトルが Ｆ(ω) のとき、ｆ ( ｔ ) の微分信号、積分信号の周波数スペクトルはどうなるか？
数式で示せ。
d
f t 　j F ( )
dt
t
1


f

d

F ( )
 
j
(4) 信号 ｆ1 ( ｔ )、ｆ2 ( ｔ ) の周波数スペクトルがそれぞれ Ｆ1(ω)、Ｆ2(ω) であるとする。 このとき、ｆ1 ( ｔ ) と ｆ2 ( ｔ )の
たたみこみ積分
∫ｆ1 (τ) ｆ2 ( ｔ－τ ) dτ
で表される信号の周波数スペクトルはどのように表されるか？ 数式で示し、フーリエ変換の関係を言葉で述べよ。



f1   f 2 t   d　F1  F2  
時間信号のたたみこみ積分は、周波数スペクトルの積になる。
学年
学科
学 籍 番 号
氏 名
信号理論
(金田）
9宿-1
［ フーリエ変換の性質 ］
解答例：http://www.asp.c.dendai.ac.jp/ から、［授業］→［信号理論］
ｓｉｎ(ω0ｔ) のフーリエ変換を、下記の２つの方法で求めよ
(1) 授業で ｃｏｓ(ω0ｔ) のフーリエ変換を求めたのと同様の方法で求める
ｓｉｎ(ω0ｔ) ＝（ e
j ω0 t
－e
-ｊ ω0 t
）/ ｊ2
の関係を利用する
(2) フーリエ変換の微分の公式を利用して求める
ヒント１： 微分の公式で、ｆ(t) ＝ｃｏｓ(ω0ｔ) とする
ヒント２： ｃｏｓ(ω0ｔ) のフーリエ変換の結果を利用する
ヒント３： ω･δ（ω－ω0ｔ ）＝ ω0･δ（ω－ω0 ）
ω･δ（ω＋ω0ｔ ）＝ -ω0･δ（ω＋ω0 ）
∵ ωはω0 でしか値を持たないので
∵ ωは-ω0 でしか値を持たないので
学年
学科
学 籍 番 号
氏 名
信号理論
(金田）
9宿-1解
［ フーリエ変換の性質 ］
解答例：http://www.asp.c.dendai.ac.jp/ から、［授業］→［信号理論］
ｓｉｎ(ω0ｔ) のフーリエ変換を、下記の２つの方法で求めよ
(1) 授業で ｃｏｓ(ω0ｔ) のフーリエ変換を求めたのと同様の方法で求める
ｓｉｎ(ω0ｔ) ＝（ e
j ω0 t
－e
-ｊ ω0 t
）/ ｊ2
の関係を利用する
(2) フーリエ変換の微分の公式を利用して求める
ヒント１： 微分の公式で、ｆ(t) ＝ｃｏｓ(ω0ｔ) とする
ヒント２： ｃｏｓ(ω0ｔ) のフーリエ変換の結果を利用する
ヒント３： ω･δ（ω－ω0ｔ ）＝ ω0･δ（ω－ω0 ）
ω･δ（ω＋ω0ｔ ）＝ -ω0･δ（ω＋ω0 ）
∵ ωはω0 でしか値を持たないので
∵ ωは-ω0 でしか値を持たないので
解答
(1) ｓｉｎ(ω0ｔ) ＝（ e
j ω0 t
－e
-ｊ ω0 t
）/ ｊ2
の右辺のフーリエ変換は、
線形性と、ノートの式(2.A2)(2.A3) を用いれば、
←→ （2πδ(ω-ω0 ) - 2πδ(ω＋ω0 ) ）/ｊ2
＝ ｊπ（δ(ω＋ω0 ) - δ(ω- ω0 ) ）
（1/ｊ ）＝-ｊ の関係より
(2) ｆ(t) ＝ｃｏｓ(ω0ｔ) とすると、
ｃｏｓ(ω0ｔ) ←→ πδ(ω-ω0 ) ＋ πδ(ω＋ω0 )
であるので、
Ｆ(ω) ＝ πδ(ω-ω0 ) ＋ πδ(ω＋ω0 )
これを微分の公式に代入すると、
(1/dt) ｃｏｓ(ω0ｔ) ＝-ω0 ｓｉｎ(ω0ｔ) ←→ ｊωＦ(ω) ＝ｊωπδ(ω-ω0 ) ＋ ｊωπδ(ω＋ω0 ) ）
ヒント３を用いて、
-ω0 ｓｉｎ(ω0ｔ) ←→ ｊω0 πδ(ω-ω0 ) - ｊω0 πδ(ω＋ω0 )
線形性より、両辺を（-1/ω0 ）倍すれば、
ｓｉｎ(ω0ｔ) ←→ ｊπ（δ(ω＋ω0 ) - δ(ω- ω0 ) ）
この結果は(1) の結果と一致する。
信号理論
(金田）
10説-1
代表的なフィルタの伝達関数 H（ω）
最も代表的な
フィルタ とは、
必要な成分（信号）を通過させ、
不必要な成分（信号）を通さない、
機能を持つ装置・処理（プログラム）
フィルタ
入力
Ｘ(ω)
出力
Ｙ(ω)
伝達関数
Ｈ(ω)
・ 低域通過フィルタ （高域カット）
| H（ω） |
の
大
き
さ
・ 高域通過フィルタ （低域カット）
| H（ω） |
| H（ω） |
１
の
大
き
さ
0
ω
周波数
ωｃ
0
・ 帯域通過フィルタ
| H（ω） |
の
大
き
さ
| H（ω） |
ωｃ1
ω
周波数
ωｃ
・ 帯域除去フィルタ
| H（ω） |
１
0
| H（ω） |
１
ωｃ2
ω
周波数
| H（ω） |
の １
大
き
さ
0
ωｃ1
ω
周波数
ωｃ2
（ラジオやテレビなどの
選局に利用）
・ 高域強調フィルタ（微分特性）
| H（ω） |
【 注意 】 負の周波数も考える場合、
| H（ω） | の大きさは、0 を中心に対称となる。
| H（ω） | ＝ | ｊω | ＝ ω
例） 低域通過フィルタの伝達関数
の １
大
き
さ
| H（ω） |
0
ω
周波数
-ωｃ
0
ωｃ
ω
周波数
信号理論
(金田）
10補足-1
インパルス応答 と その性質
１） 「インパルス応答 ｈ(t) 」 とは
線形系にインパルス信号(デルタ関数) δ(t) を入力したときの出力である
入力 (＝インパルス信号)
δ(t)
出力 (＝インパルス応答)
ｈ(t)
線形
システム
２） インパルス応答の性質
インパルス応答 ｈ(t) のフーリエ変換（スペクトル）は、
伝達関数 H(ω)である
ｈ(t) ←→ H(ω)
３） 証明
入力(＝インパルス信号)
δ(t)
線形システム
出力 (＝インパルス応答)
ｈ(t)
伝達関数
Ｈ(ω)
⊿(ω)＝１
伝達関数の定義（式(2.85)）より、
H(ω) ＝
出力 h(t) のスペクトル
入力 δ(t)のスペクトル
＝
出力 h(t) のスペクトル
⊿(ω)＝１
よって、δ(t) を入力したときの出力（インパルス応答）のフーリエ変換（スペクトル）は、伝達関数H(ω)となる。
学年
学科
学 籍 番 号
氏 名
信号理論
(金田）
10演-1
［ 信号理論 演習 ］
解答例：http://www.asp.c.dendai.ac.jp/ から、［授業］→［信号理論］
(1) 右の図１は、ある線形システムと、それに対する入力信号 ｘ(t)、
出力信号 ｙ(t) と、それらの周波数スペクトル Ｘ(ω)、Ｙ(ω) を
表している。 このとき、線形システムの伝達関数 Ｈ(ω) とは何か？
を、言葉と式で説明せよ。
入力 ｘ(t)
線形
システム
Ｘ(ω)
Ｙ(ω)
伝達関数 Ｈ(ω)
図１
言葉：
式：
出力 ｙ(t)
H ( ) 
(2) 伝達関数を用いて、Ｙ(ω) はどのように表されるか？ 式で示せ。
Ｘ(ω)
0
Y ( ) 
ω
ωc
ω1
Ｈ(ω)
1
(3) 図２の上から、ある線形システムに対する入力信号のスペクトル Ｘ(ω)、
および、その線形システムの伝達関数 Ｈ(ω) を表している。
このとき、出力信号のスペクトル Ｙ(ω)はどのようになるか？
図にその形を記入せよ。また、右図 Ｈ(ω) のような特性を持つフィルタを
何と呼ぶか？
(4) インパルス応答とは何か？
0
ω
ωc
ω1
Ｙ(ω)
0
ω
ωc
ω1
図２
(5) 電気回路やスピーカなどの伝達関数を知る方法として、まずシステムにデルタ関数を入力して
インパルス応答 ｈ(t) を測定する方法がある。 この ｈ(t) からどのようにして伝達関数Ｈ(ω)が得られるか
を言葉で説明せよ。
※ 質問事項や授業でわかりにくかったこと、および、感想・意見・要望などあれば、記入してください。
学年
学科
学 籍 番 号
氏 名
信号理論
(金田）
10演-1解
［ 信号理論 演習 解答 ］
(1) 右の図１は、ある線形システムと、それに対する入力信号 ｘ(t)、
出力信号 ｙ(t) と、それらの周波数スペクトル Ｘ(ω)、Ｙ(ω) を
表している。 このとき、線形システムの伝達関数 Ｈ(ω) とは何か？
を、言葉と式で説明せよ。
入力 ｘ(t)
線形
システム
Ｘ(ω)
図１
Y ( )
X ( )
Ｘ(ω)
0
(2) 伝達関数を用いて、Ｙ(ω) はどのように表されるか？ 式で示せ。
Y ( )  H ( )  X ( )
(3) 図２の上から、ある線形システムに対する入力信号のスペクトル Ｘ(ω)、
および、その線形システムの伝達関数 Ｈ(ω) を表している。
このとき、出力信号のスペクトル Ｙ(ω)はどのようになるか？
図にその形を記入せよ。また、右図 Ｈ(ω) のような特性を持つフィルタを
何と呼ぶか？
低域通過フィルタ （LPF: ローパスフィルタ）
(4) インパルス応答とは何か？
デルタ関数δ(t)を入力した時の出力
Ｙ(ω)
伝達関数 Ｈ(ω)
伝達関数とは、出力スペクトルと入力スペクトルの比。
H ( ) 
出力 ｙ(t)
ω
ωc
ω1
Ｈ(ω)
1
0
ω
ωc
ω1
Ｙ(ω)＝Ｈ(ω) ・Ｘ(ω)
ω
0
ωc ω1
低域はそのまま、高域はカット
図２
(5) 電気回路やスピーカなどの伝達関数を知る方法として、まずシステムにデルタ関数を入力して
インパルス応答 ｈ(t) を測定する方法がある。 この ｈ(t) からどのようにして伝達関数Ｈ(ω)が得られるか
を言葉で説明せよ。
インパルス応答h(t)をフーリエ変換すれば伝達関数H(ω)が得られる。
h (t )  H  
学年
学科
学 籍 番 号
氏 名
信号理論
(金田）
10宿-1
［ 信号理論 宿題 ］
以下のことがらを調べよ
(1) 光の進む速さは、毎秒約 何kmか？ （有効数字2桁で答えよ）
(2)電波の進む速さは、毎秒約 何kmか？ （有効数字2桁で答えよ）
(3) ラジオのAM放送の周波数は、おおよそ 何HZ か？
（ 新聞に載っている。 放送局によって異なるが、それらの平均的で、もっとも簡単な数字でよい ）
(4) ラジオのFM放送の周波数は、おおよそ 何HZ か？
（ 新聞に載っている。 放送局によって異なるが、それらの付近の、もっとも簡単な数字でよい ）
(5) ラジオのAM放送の電波の波長は、おおよそ何 m か？
(6) ラジオのFM放送の電波の波長は、おおよそ何 m か？
(7) 人間の男性の声の高さは 約150Hz である。 この周波数の信号の電波の波長はおおよそ何 m か？
(8) 電波を効率よく送信するためには、その波長の約 1/10 以上の長さのアンテナが必要である。
AM放送、FM放送、および、男性の声の周波数の電波の送信には、はそれぞれ何 ｍ のアンテナが必要か？
(9) スマホの使用周波数は「大体」いくらで（有効数字１桁）、波長はどのくらいか？
学年
学科
学 籍 番 号
氏 名
信号理論
(金田）
10宿-1
［ 信号理論 宿題 ］
以下のことがらを調べよ
(1) 光の進む速さは、毎秒約 何kmか？ （有効数字2桁で答えよ）
光の速さ ＝ 約 30万km/秒 ＝ 電波の速さ
(2)電波の進む速さは、毎秒約 何kmか？ （有効数字2桁で答えよ）
(3) ラジオのAM放送の周波数は、おおよそ 何HZ か？
（ 新聞に載っている。 放送局によって異なるが、それらの平均的で、もっとも簡単な数字でよい ）
AM放送： 1000ｋHz＝1MHz
(4) ラジオのFM放送の周波数は、おおよそ 何HZ か？
（ 新聞に載っている。 放送局によって異なるが、それらの付近の、もっとも簡単な数字でよい ）
FM放送： 100MHz (80MHz)
(5) ラジオのAM放送の電波の波長は、おおよそ何 m か？
波長 ＝ 速さ/周波数 より、
AM： 30万k/1000ｋ ＝ 300 m
(6) ラジオのFM放送の電波の波長は、おおよそ何 m か？
FM： 30万k（300M)/100M ＝ 3 m
(7) 人間の男性の声の高さは 約150Hz である。 この周波数の信号の電波の波長はおおよそ何 m か？
30万k/150 ＝ 2000 km
(8) 電波を効率よく送信するためには、その波長の約 1/10 以上の長さのアンテナが必要である。
AM放送、FM放送、および、男性の声の周波数の電波の送信には、はそれぞれ何 ｍ のアンテナが必要か？
AM： 30 m、
FM： 0.3 ｍ
人の声： 200 kｍ
(9) スマホ（FOMAやLTE）の使用周波数は大体いくらで（有効数字１桁）、波長はどのくらいか？
現在、スマホの帯域は、 800M～3.5GHz 大体、数ギガ
例えば、1GHzだと、
波長 ＝ 30万k/１G ＝ 0.3 m ＝30 cm
2GHzだと、
波長 ＝ 30万k/２G ＝ 0.15 m ＝15 cm
波長は 15～30cm 程度
信号理論
(金田）
11説-1
振幅変調 （AM変調）
◇ 振幅変調（AM： Amplitude Modulation）
①
ｆ（ｔ）
時間
cos(ωcｔ)
×
②
時間
③
① 音声信号など、周波数の低い信号
（例えば、100Hz～4000Hz）
② 高い周波数の正弦波信号（搬送波、キャリア）
（例えば、TBSラジオなら 954kHz）
＝
g（ｔ）
時間
③ 上記２つの信号の掛け算
この信号が電波として送られる。
・ 正弦波信号の振幅を変化させていることから
「振幅（Amplitude） 変調（Modulation)： AM」
と呼ばれる。
g（ｔ）＝ｆ（ｔ）×cos(ωcｔ)
音声 ｆ（ｔ） の情報を、高周波正弦波信号（cos(ωcｔ) ）の
包絡線（振幅の変化）として電波で伝える
◇ 変調と復調
電波
cos(ωcｔ)
ｆ（ｔ）
音声
包絡線を取り出す
g（ｔ）
g（ｔ）
マイク
送信アンテナ
【 変調 】
？
ラジオ
【 復調 】
ｆ（ｔ）
音声
学年
学科
学 籍 番 号
氏 名
信号理論
(金田）
11演-1
［ 信号理論 演習 ］
解答例：http://www.asp.c.dendai.ac.jp/ から、［授業］→［信号理論］
(1) 音声信号などは周波数が低いので、そのままでは電波では送信できない。 そこで、電波が利用できる高い
周波数に音声信号の情報を移動させる。 この操作を変調と呼ぶ。 では、AM ラジオ放送で利用されている
変調方式は、何という変調方式か？ またその方式では、音声の情報はどのようにして伝えられるか？
(2) 振幅変調方式において、搬送波を ｃｏｓωcｔ と表す。 また、音声信号を ｆ（ｔ） と表すと、変調された信号 ｇ（ｔ）
はどのように表されるか式で示せ。
(3) ラジオなどは変調された信号を電波で受信し、元の
音声を復元する。この復元操作を何と呼ぶか？
(4) 振幅変調した信号 ｇ（ｔ） に ｃｏｓωcｔ を掛け算して
低域フィルタをかけると元の音声が復元できる。
音声信号 ｆ（ｔ） の周波数スペクトルが右図(a) のようで
あるとしたとき、図 (b)(c)(d) に示した信号の
スペクトルを示せ。
（スペクトルの存在する周波数範囲が明確であれば、
振幅はおおよそで良い）
(a) 音声 ｆ（ｔ）
-2ωc
-ωc
F  
0
(b) 変調信号
ｇ（ｔ）＝ ｆ（ｔ）ｃｏｓωcｔ
ω
ωc
2ωc
G  
ω
-2ωc
-ωc
0
※ 質問事項や授業でわかりにくかったこと、および、
感想・意見・要望などあれば、記入してください。
ωc
2ωc
F̂  
(c) ＾ｆ（ｔ）＝ｇ（ｔ）ｃｏｓωcｔ
ω
-2ωc
-ωc
0
(d) 低域通過フィルタ
をかけた信号
ωc
2ωc
Ｆ(ω)
ω
-2ωc
-ωc
0
ωc
2ωc
学年
学科
学 籍 番 号
氏 名
信号理論
(金田）
11演-１解
［ 信号理論 演習 解答
］
(1)音声信号などは周波数が低いので、そのままでは電波では送信できない。 そこで、電波が利用できる高い
周波数に音声信号の情報を移動させる。 この操作を変調と呼ぶ。 では、AM ラジオ放送で利用されている
変調方式は、何という変調方式か？ またその方式では、音声の情報はどのようにして伝えられるか？
振幅変調 ・ 高周波の電波の包絡線（振幅の変化）として伝送する。
(2) 振幅変調方式において、搬送波を ｃｏｓωcｔ と表す。 また、音声信号を ｆ（ｔ） と表すと、変調された信号 ｇ（ｔ）
はどのように表されるか式で示せ。
g (t )  f (t )  cos  C t
(3) ラジオなどは変調された信号を電波で受信し、元の
音声を復元する。この復元操作を何と呼ぶか？
復調（または検波ともよぶ）
(a) 音声 ｆ（ｔ）
(4) 振幅変調した信号 ｇ（ｔ） に ｃｏｓωcｔ を掛け算して
低域フィルタをかけると元の音声が復元できる。
音声信号 ｆ（ｔ） の周波数スペクトルが右図(a) のようで
あるとしたとき、図 (b)(c)(d) に示した信号の
スペクトルを示せ。
（スペクトルの存在する周波数範囲が明確であれば、
振幅はおおよそで良い）
-2ωc
-ωc
F  
0
(b) 変調信号
ｇ（ｔ）＝ ｆ（ｔ）ｃｏｓωcｔ
ω
ωc
2ωc
G  
ω
-2ωc
-ωc
0
ωc
2ωc
F̂  
(c) ＾ｆ（ｔ）＝ｇ（ｔ）ｃｏｓωcｔ
ω
-2ωc
-ωc
0
ωc
2ωc
F  
(d) 低域通過フィルタ
をかけた信号
ω
-2ωc
-ωc
0
ωc
2ωc
学年
学科
学 籍 番 号
氏 名
信号理論
(金田）
12演-1
［ 信号理論 演習 ］
解答例：http://www.asp.c.dendai.ac.jp/ から、［授業］→［信号理論］
提出不要です
(1) アナログ信号をディジタル信号にするためには、２つの手順が必要であるが、その２つは何か？
(2) 「標本化」という操作は、どのような操作かを説明せよ。
(3) 標本化を英語で言うと？ （カタカナでも可）
(4) 標本化周波数とはどのような量を表すか？
(5) 標本化定理を説明せよ。
演習と解答例集（pdf 形式）を下記で公開しています。
http://www.asp.c.dendai.ac.jp/ から、［授業］→［信号理論］
学年
学科
学 籍 番 号
氏 名
信号理論
(金田）
12演-1解
［ 信号理論 演習 解答 ］
(1) 「標本化」という操作は、どのような操作かを説明せよ。
連続信号 f (t) の値を一定時間間隔ごとに求める操作
(2) 標本化を英語で言うと？ （カタカナでも可）
Sampling （サンプリング）
(3) 標本化周波数とはどのような量を表すか？
1秒間に何回標本化するかを表す
(4) 標本化は、アナログ信号を 「 ○○信号」 に変換するための手順である、というとき、 「 ○○信号」とは何か？
ディジタル信号
(5) 標本化定理を説明せよ。
信号に含まれている上限周波数を fm とすると、
標本化周波数 ｆo は
ｆo ＞2ｆm
であることが必要。
振幅変調 と パルス符号変調
信号理論
(金田）
12説-1
◇ 振幅変調（AM： Amplitude Modulation）
①
時間
① 音声信号など、周波数の低い信号
（例えば、100Hz～4000Hz）
×
②
時間
② 高い周波数の正弦波信号（搬送波、キャリア）
（例えば、TBSラジオなら 954kHz）
＝
③
時間
③ 上記２つの信号の掛け算
この信号が電波として送られる。
・ 正弦波信号の振幅を変化させていることから
「振幅（Amplitude） 変調（Modulation)： AM」
と呼ばれる。
◇ パルス符号変調（PCM： Pulse Coded Modulation）
④
１ 0 １ １
0 １
0 0
１
１
時間
0
④ ディジタル信号： （１と０との２値を持つ）
・ 方形パルスの有り・無しで、１と０を表す
×
⑤
⑤ 高い周波数の正弦波信号（搬送波、キャリア）
時間
＝
１ 0 １ １
0 １
0 0
１
⑥
時間
⑥ 上記２つの信号の掛け算。 この信号が通信される。
・ 正弦波の有無で１と０を表す
・ 方形パルスで １と０のコード（符合）を表し、
正弦波信号の振幅を変化させていることから
「パルス符号（Pulse Coded） 変調（Modulation)： PCM」
と呼ばれる。
・ 初期のころ、PCM 信号は、AD変換されたディジタル信号を
そのまま送信していたので、「PCM」とは、
パソコン用語では、「AD変換されたままで、mp3 などの
オーディオ圧縮されていない信号」 という意味でも用い
られている。
※ ④で示したパルス波形そのものを伝送する場合もある。