局所指数定理 - 早稲田大学

局所指数定理
本間 泰史
∗
概要
J. Roe の本「Elliptic operators, topology and asymptotic method」の詳
しく説明したお勉強ノートである．
0
はじめに
このノートは, J. Roe の本「Elliptic operators, topology and asymptotic method」
での Atiyah-Singer 指数定理を説明（翻訳？）したものである．予備知識としてディ
ラック作用素，クリフォード代数，スピン構造，測地線座標などに関する基本的
な事実をしっていること（これは，J. Roe の本の最初の数章にのってる．または
[1], [2], [3] を参照）．目的は局所指数定理の証明である．テキストでは，たまに間
違いなどがあるので修正した．またテキストでわかりずらいところは，かなり詳
しい説明を加えた．テキストの流れとは違うが，各 section, subsection のタイトル
はほぼ同じなので，適当に照らし合わせるとよい．
以下に，このノートの流れを述べる．
section 1：ディラック作用素，クリフォード束，twisting curvature などを定義す
る．また，ディラック作用素に対するボホナーワイゼンベック公式を与える．
section 2：ディラック作用素の解析的な性質を考察する．ディラック作用素が楕
円型形式的自己共役であるという事実から，L2 (S) 上の非有界作用素として本質
的自己共役作用素であることを証明する．さらに，スペクトル分解及び functional
calculus を行う．
section 3：熱方程式，波動方程式を考える．熱方程式に対して，熱作用素の熱核
を考えその漸近展開を与える．一方，波動方程式に対する有限伝搬性性質につい
ても述べる．
section 4：トレースクラス作用素，ヒルベルト-シュミット作用素の定義，性質を
見ていく．特に，積分作用素のトレースなどを考察する．次に，ラプラス作用素
の固有値に関する Weyl の漸近公式を与える．そこでは熱作用素のトレースを考え
ることになる．
∗
早稲田大学理工
E-mail address: [email protected] ,version 2006.1.24
1
section 5：次数付き束や次数付き作用素を定義して，超トレースを定義する．ク
リフォード代数に対しての超トレースが指数定理の証明の際に非常に重要となる．
また，次数付きディラック作用素の指数を定義し，McKean-Singer の公式を述べ
る．最後に，指数定理の証明のアウトラインを書いた．
section 6：指数定理の証明に必要な Getzler 表象についての章である．表象とは
熱方程式や熱核を測地線座標で point wise に眺めることである．表象レベルでみ
ると調和振動子熱方程式が現れることがわかる．
section 7：まず，ユークリッド空間上の調和振動子熱方程式の完全解をもとめる．
さらに，行列に付随した微分形式に値をもつ調和振動子熱方程式の完全解ももと
める．これが局所指数定理の被積分関数となる．最後に指数定理の証明をする．
section 8：ここでは指数定理を計算する際に必要な特性類を計算する．すべて曲
率を用いた計算である．
section 9：スケール変換による指数定理の証明を与える．section 7, 8 での証明と
本質的には変わらないが，Getzler 表象がきれいに導入され，証明が簡略化される
（この章はテキストにはない）．
section 10：指数定理の公式を使って，具体的に指数を計算する．スピノール束
上のディラック作用素の指数定理，符号数定理，ガウス-ボンネ-チャーン定理，ヒ
ルツェブルフ-リーマン-ロッホ定理を計算する．
section 11：指数定理とは直接関係ないが，Lefschetz 不動点公式の Atiyah-Bott
による解析的証明を行う．
section 12：この章も指数定理とは直接関係ない．Witten による摂動ドラーム複
体を使ったモース不等式の証明をおこなう．臨界点近傍の表示で再び調和振動子
が現れることがわかる．最後に，Witten の原論文の概略を述べた．
section 13：非コンパクト完備多様体上の指数定理の一つである，Atiyah の Γ 指
数定理についてのべた（解析がかなりハードである．応用もいまいちよくわから
ない）．
記号に関する注意：J. Roe の本では，内部積 ey を eyω = (−1)nk+n+1 ∗ (e∧ ∗ ω)
（deg ω = k ）として定義している．そして (ω1 , eyω2 ) = −(e∧ ω1 , ω2 ) をみたす．
このノートでは，内部積は通常の内部積をもちいて i(e) と書くことにする．こ
こで i(e) = −ey である．
目次
0
はじめに
1
1
クリフォード束とディラック作用素
4
2
ディラック作用素の解析的な性質
2.1 基本的な事実 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
8
2
2.2
2.3
2.4
2.5
elliptic estimate . . . .
本質的自己共役性 . . .
スペクトル分解 . . . .
the functional calculus
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. 8
. 10
. 18
. 21
3
熱方程式と波動方程式
22
3.1 存在と一意性定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2 熱核の漸近展開 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3 波動方程式に対する有限伝播速度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4
トレースと固有値の漸近挙動
4.1 固有値の増大度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 トレースクラス作用素 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 ワイルの漸近公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
指数
47
5.1 次数付けとクリフォード束 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.2 次数付きディラック作用素 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.3 熱方程式と指数定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6
Getzler の計算法
57
6.1 フィルター付き代数と表象 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.2 Getzler symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.3 熱核の Getzler 表象 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
7
調和振動子
7.1 調和振動子とメーラーの公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 行列に付随した一般化された調和振動子 . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 熱表象の解と指数定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
69
73
75
8
特性類の説明
8.1 不変多項式 . . . . .
8.2 チャーン類 . . . . .
8.3 ポントリャーギン類
8.4 オイラー類 . . . . .
8.5 Chern g-genus . . . .
8.6 Pontrjagin g-genus .
8.7 相対チャーン指標 . .
77
77
77
78
78
79
80
84
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3
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36
36
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44
9
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93
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94
96
11 Lefschetz 不動点公式
11.1 Lefschetz 数の熱核のトレース . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2 不動点の寄与 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
98
102
104
スケール変換による指数定理の証明
9.1 スケール変換 . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 ディラック作用素の２乗のスケール変換
9.3 熱核のスケール変換 . . . . . . . . . . .
9.4 指数定理の証明 . . . . . . . . . . . . . .
10 指数の計算
10.1 スピノール束上のディラック作用素
10.2 ガウス-ボンネ-チャーン定理 . . . .
10.3 符号数定理 . . . . . . . . . . . . .
10.4 Hirzebruch-Riemann-Roch の定理 .
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12 Wittesn’s approach to Morse theory
12.1 Witten によるドラーム複体の摂動 . . . . . . . .
12.2 モース不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.3 モース関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4 臨界点からの寄与 . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.5 超対称性とモース理論（もうすこし物理的に） .
12.5.1 超対称性理論 . . . . . . . . . . . . . . .
12.5.2 Witten 複体 . . . . . . . . . . . . . . . .
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106
. 106
. 109
. 111
. 116
. 118
. 118
. 120
13 Atiyah’s Γ 指数定理
122
13.1 開多様体上の functional calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
13.2 smoohing 作用素の代数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
13.3 正規化次元と指数定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
1
クリフォード束とディラック作用素
M をリーマン多様体，Cl(T M ) をクリフォード代数束，S を M 上のクリフォー
ド加群の束とする（既約とは限らない）．つまり各点 m ∈ M 上のファイバー Sm
が Cl(Tm M ) ⊗ C 加群．
Definition 1.1. S がクリフォード束（ディラック束ともいう）とは S がクリフォー
ド加群の束で次のエルミート計量と接続をもつもの：
4
1. エルミート計量が任意の v ∈ Tm M に対して (v · s1 , s2 )m + (s2 , v · s1 )m = 0 を
満たす．
2. S 上の接続 ∇ が次を満たす: ∇X (Y · s) = (∇X Y ) · s + Y · ∇X s.
このようなクリフォード束は簡単につくることができる．
Example 1.1. リーマン多様体上で微分形式の束 Λ∗ (T ∗ M ) ⊗ C を考え，クリフォー
ド積を v· = v∧ − i(v) とする．このときクリフォード束の構造を入れることが出
来る．
Example 1.2. M がスピン多様体とした場合のスピノール束にもクリフォード束の
構造が入る．
Example 1.3. M がスピン多様体とした場合に，Spin(M ) ×l Cln という同伴束を考
えることができる．このとき左からのクリフォード積を考えば，上のような構造
を入れることができる．実はこの束はスピノール束のいくつかの直和である．
Definition 1.2. クリフォード束 S のディラック作用素 D とは C ∞ (S) 上の一階微
分作用素であり次の合成写像として定義される：
∇
c
C ∞ (S) −
→ C ∞ (T ∗ M ⊗ S) = C ∞ (T M ⊗ S) −
→ C ∞ (S).
ここで c はクリフォード作用である．局所正規直交フレーム {ei } をとった場合に
は次のようになる：
X
Ds =
ei ∇ei s.
Remark 1.1. クリフォード作用 c は，c(ei ) とか ei · などと書く．c を省略すること
もあるので注意．
Definition 1.3. S をクリフォード束とし, K を End(S) 値の２次微分形式とする．
つまり K ∈ Ω2 (End(S)). ei を局所正規直交フレームとする．このとき
X
K=
ei ej K(ei , ej ) ∈ C ∞ (End(S))
i<j
を K のクリフォード縮約という（これはフレームのとり方によらず well-defined
である）．
さて ∇2X,Y = ∇X ∇Y −∇∇X Y とすれば，K(X, Y ) := ∇2X,Y −∇2Y,X により End(S)
値の２次微分形式を定める．このとき次の Weitzenböck 公式が成立（証明は演習
問題）
：
D 2 = ∇∗ ∇ + K
P
が成立．ここで ∇∗ ∇ = i ∇2ei ,ei である．
この K をもう少し詳しく調べていく．K を S の曲率，R を T M の曲率，c をク
リフォード作用とする．
5
Lemma 1.1. X, Y, Z をベクトル場とする．
[K(X, Y ), c(Z)] = c(R(X, Y )Z) ∈ C ∞ (End(S))
Proof. 各点 p でしめせばよいので X = ei , Y = ej , Z = ek とする（正規直交フ
レームで (∇ei )p = 0 となるもの）．このとき
∇i ∇j (ek · s) = (∇i ∇j ek ) · s + ek · ∇i ∇j s,
∇j ∇i (ek · s) = (∇j ∇i ek ) · s + ek · ∇j ∇i s.
よって，
K(ei , ej )(c(ek )s) = c(R(ei , ej )ek )s + c(ek )K(ei , ej )s
¥
となる．
さて次に
RS (X, Y ) :=
1X
c(ek )c(el )g(R(X, Y )ek , el )
4 k,l
として End(S) 値２次微分形式を定義する．これをリーマン準同型とよぶ．この
リーマン準同型もまた
[RS (X, Y ), c(Z)] = c(R(X, Y )Z)
を満たす．
Proof. 前と同様に X = ei , Y = ej , Z = ea とする．このとき
RS (ei , ej )c(ea ) − c(ea )Rs (ei , ej ) =
1X
(R(ei , ej )ek , el )c([ek el , ea ])
4
ここで [ek el , ea ] は k = l の場合および k, l, a がすべて異なる場合は消える．残るの
は a = k 6= l か a = l 6= k の場合である．そこで
1X
1X
(R(ei , ej )ek , el )c([ek el , ea ]) =
(R(ei , ej )ea , el )c([ea el , ea ])
4 k,l
2 l6=a
1X
=
(R(ei , ej )ea , el )c(2el ) = c(R(ei , ej )ea ).
2 l6=a
¥
そこで K − RS を考えた場合に，[K − RS , c(Z)] = 0 であるので F S := K − RS
はクリフォード積と可換である．よって
6
Proposition 1.2. クリフォード束 S の曲率形式 K は次の形でかける
K = RS + F S
ここで RS は S のリーマン準同型．F S はクリフォード積と可換な End(S) 値２次
微分形式であり，S の twisting curvature と呼ばれる．
Remark 1.2. クリフォード束は局所的には S = ∆ ⊗ V と書ける．そこで曲率はそ
れぞれの和になる．それが RS と F S である．
この公式を使ってディラック作用素に対するワイゼンベック公式を書き直して
みる．クリフォード関係式とリーマン曲率に関するビアンキ恒等式から
X
X
(R(ei , ej )ek , el )c(ei ej ek ) = −2
Ricla c(ea )
となるので，RS のクリフオード縮約を考えると
X
i<j
1
c(ei )c(ej )RS (ei , ej ) = κ
4
を得る．ここで κ はスカラー曲率．以上から
P
Proposition 1.3. twisting curvature F S のクリフォード縮約を FS = i<j ei ej F S (ei , ej )
とすると
1
D2 = ∇∗ ∇ + FS + κ.
4
P
S
S
Remark 1.3. FS =
i<j ei ej F (ei , ej ) は F がクリフォード作用と可換なので，
P
FS = i<j F S (ei , ej )ei ej と書いても構わない．
Remark 1.4. この定理の意味を考えよう．クリフォード束 S は（スピン構造がな
くても，少なくとも局所的には）スピノール束 ∆ とあるベクトル束 V のテンソ
ル積として書ける．このとき V の接続に関する曲率を F S とすれば S ⊗ V 上では
id ⊗ F S (X, Y ) として作用することになる．一方，クリフォード積は c(ei ) ⊗ id で
あるのでこれらは可換である．
2
ディラック作用素の解析的な性質
ここではディラック作用素の解析的な性質について述べる．多様体はコンパク
トを仮定しておく．
7
2.1
基本的な事実
その前にいくつか基本的なことを述べよう．
1. 埋め込み C k (M ) → W k (M ) という写像は連続．
2. Sobolev embedding theorem: 任意の整数 p > n/2 に対して W k+p は C k
に埋め込め，その埋め込み写像は連続．
3. Rellich’s theorem: k1 > k2 のとき，埋め込み W k1 → W k2 はコンパクト線
形作用素となる．
4. A を l 階線形作用素とする．このとき A : W l → W k−l は有界線形作用素で
ある（C ∞ ⊂ W s は dense であるので，A : W l → W k−l は A の拡張である．
言い換えると A は弱微分を使って定義している）．
2.2
elliptic estimate
D をクリフォード束 S 上のディラック作用素とすると D2 = ∇∗ ∇ + K が成立し
た．この section の話は一般化ディラック作用素に対しても成立するので，その場
合に見ていく．ここで一般化ディラック作用素 D とは D2 = ∇∗ ∇ + B （B は一階
微分作用素）となるものである．言い換えれば一般化ディラック作用素とは主表
象の２乗がラプラス型となる一階微分作用素である．
まず D は一階微分作用素であるので，
kDsk0 ≤ Cksk1
(kDskk ≤ Ck kskk+1 )
となる C が存在する．ここで k · kk がソボレフ k ノルムである．
（D : W 1 → W 0 が
有界線形作用素ということ）．一般化ディラック作用素に対しては，ある意味でこ
の逆の不等式を作れる．つまり
Proposition 2.1 (Garding’s inequality). D をコンパクト多様体上の一般化ディ
ラック作用素とする．このとき次をみたす定数 C が存在
ksk1 ≤ C(ksko + kDsk0 ) ∀s ∈ C ∞ (S).
さらに，これを一般化することができ次の elliptic estimate を得る．任意の k > 0
に対して，次を満たすある定数 C = C(k) が存在
kskk+1 ≤ C(kskk + kDskk ) ∀s ∈ C ∞ (S).
Remark 2.1. kskk+1 ≤ C(kskk + kDskk ) 及び kskk + kDskk ≤ Bkskk+1 となるの
で，上の命題で述べてるのはソボレフノルム kskk+1 と kskk + kDskk は同値なノル
ムである．
8
Proof. まず，議論は一の分割をして各座標近傍でみればよいことに注意する．
D2 = ∇∗ ∇ + B より
kDsk20 = k∇sk20 + hBs, si0 .
よって Cauchy-Schwartz の不等式及び B が一階微分作用素であるので
k∇sk20 = |kDsk20 − hBs, si0 | ≤ kDsk20 + |hBs, si0 | ≤ C1 (ksk0 ksk1 + kDsk20 )
となる定数 C1 が存在する．さて ∇i s = ∂s/∂xi + Γi s であるので
¾
Z
Z
X ½Z
∂s
∂s
2
ij ∂s
ij
ij
g (
,
) + 2 g Re(
, Γj s) + g (Γi s, Γj s)
k∇sk0 =
∂xi ∂xj
∂xi
i,j
≥ C2 ksk21 − C3 ksk0 ksk1
となような定数が存在する．先ほどのとあわせて
kDsk20 ≥ C4 ksk21 − C5 ksk0 ksk1
となる定数が存在．さて任意の ² > 0 に対して，ある定数 K で ab ≤ ²a2 + Kb2 が
すべての a, b > 0 に対して成立するものが存在する．よって
1
C5 ksk0 ksk1 ≤ C4 ksk21 + C6 ksk20
2
となるような C6 が存在する．よって次の Garding inequality を得る：
1
kDsk20 ≥ C4 ksk21 − C6 ksk20 .
2
次に一般 k ノルムの場合に証明しよう．帰納法で証明する．k = 0 の時はすでに
証明した．
kskk ≤ Ck−1 (kskk−1 + kDskk−1 ) ∀s ∈ C ∞ (S).
となる定数 Ck−1 の存在を仮定する．
まず
X
kskk+1 ≤ A1
k∂i skk + A01 kskk
i
となる定数 A1 が存在．また，仮定より
k∂i skk ≤ Ck−1 (k∂i skk−1 + kD∂i skk−1 )
を得る．k∂i skk−1 ≤ A2 kskk であり，[D, ∂i ] も一階微分作用素である．よって
kD∂i skk−1 ≤ k∂i Dskk−1 + k[D, ∂i ]skk−1 ≤ A2 kDskk + A3 kskk
9
よって
kskk+1 ≤ A1
X
k∂i skk + A01 kskk ≤ A1 Ck−1
i
≤ A1 Ck−1
X
(k∂i skk−1 + kD∂i skk−1 ) + A01 kskk
X
(A2 kskk + A2 kDskk + A3 kskk ) + A01 kskk
≤ nA1 Ck−1 (A2 kDskk + (A2 + A3 )kskk ) + A01 kskk .
¥
となる．よって証明できた．
2.3
本質的自己共役性
さて，ディラック作用素 D を解析的な性質を調べたい．ディラック作用素をヒ
ルベルト空間 H = L2 (S) 上の非有界作用素とみなす．非有界作用素とは H の稠密
部分空間（つまり domain) から H への線形作用素である．この作用素はもちろん
連続とは限らない．
Definition 2.1. 非有界作用素 T のグラフ GT とは
G(T ) = {(x, T x) | x ∈ dom(T )} ⊂ H ⊕ H
(2.1)
この subsection で必要となる事柄の準備をする．
（証明は [5]「関数解析」をみ
よ）．以下では一般のバナッハ空間 X, Y で考えているが，われわれが必要とする
のは X = Y = H の場合である．
1. 線形作用素 T : X → Y が閉作用素とは T の定義域 dom(T ) にノルム
kxk := kxkX + kT xkY
を導入して，このノルムに関して dom(T ) が完備なことである．また，dom(T )
と T のグラフ G ⊂ X × Y の対応を考えると，T が閉作用素であることと
X × Y のノルムに対して T のグラフが閉部分空間であることと同値である．
また，T が閉作用素であることと，
「un ∈ dom(T ), un → u，T un → v なら，
u ∈ dom(T ) かつ T u = v である」ことは同値である．
Proof. un ∈ dom(T ), un → u，T un → v とする，un , T un はコーシー列であ
る．よって
kun − um k = kun − um kX + kT un − T um kY
からグラフノルムで un はコーシー列．完備なので収束する．つまり
kum − uk = kun − uk + kT un − T ukY → 0
10
である．よって，T u = v であり，u ∈ dom(T ) となる．逆に，
「un ∈ dom(T ),
un → u，T un → v なら，u ∈ dom(T ) かつ T u = v である」と仮定して，グ
ラフノルムでのコーシー列を考えると，
kun − um k = kun − um kX + kT un − T um kY < ²
これより un , T un はコーシー列であるので X, Y が完備なので収束する．T un →
v, un → v である．仮定から，u ∈ dom(T ) かつ T u = v であるので，上の式
で um → u とすれば，
kun − uk = kun − ukX + kT un − T ukY = kun − ukX + kT (un − u)k → 0
¥
を得る．よって，収束する．
有界作用素は閉作用素．しかし閉作用素は必ずしも有界とは限らない（例：
X = C[0, 1], dom(T ) = C 1 [0, 1], (T x)(t) = x0 (t) と定めるとこれは閉作用素
であるが有界作用素ではない）．これに関しては，閉グラフ定理が重要であ
る：閉グラフ定理（T を閉作用素とする．dom(T ) = X なら T は有界作用素
である）．
2. Z ⊂ X × Y がある線形作用素のグラフであることは [0, v] ∈ Z なら v = 0 が
成立することと同値である．
Proof. [0, v] ∈ Z なら v = 0 とする．[x, y] ∈ Z に対して，線形作用素を
Ax = y と定義する（部分空間であることから線形作用素であることがわか
る）．さらに well-defined である．実際，[x, y 0 ] ∈ Z に対して，Ax = y 0 とな
るが，[x, y 0 ] − [x, y] = [0, y − y 0 ] ∈ Z であるので，y = y 0 となる．逆に，Z
がある線形作用素のグラフとすれば，[x, Ax] = [0, v] ∈ Z なら，v = 0 とな
る．
¥
3. （非）線形作用素 T : X → Y を考えて，T のグラフを G とする．さらに，
G ⊂ X × Y がある作用素のグラフであるとする．その作用素を T̄ とかく．グ
ラフが閉部分空間であるので T̄ は閉作用素である．また，G がある作用素の
グラフであることは「un ∈ dom(T )，un → 0, Aun → v ならば v = 0 である
こと」と同値である．
Proof. G がある作用素のグラフであるためには，[0, v] ∈ G なら v = 0 を言
えばよい．[un , Aun ] ∈ G で [0, v] ∈ G へ収束するものをとる．仮定から v = 0
となる．逆も明らかである．
¥
このような作用素 T̄ を T の閉包という．上で述べたことから「un ∈ dom(T )，
un → 0, Aun → v ならば v = 0 である」なら，T の閉包 T̄ が存在する．また
閉包が存在する作用素を前閉作用素とよぶ．
11
4. 作用素 S, T があって，
dom(S) ⊂ dom(T ),
Sx = T x ∀x ∈ dom(S).
が成立するとき T は S の拡張といい S ⊂ T とかく．そこで，作用素の閉
包については T ⊂ T̄ が成立する．
（ただし，T̄ のグラフは G(T ) であるが，
これは X × Y でのノルムの閉包であるので dom(T ) ⊂ dom(T ) ではあるが
dom(T ) ⊂ dom(T ) を意味するわけではない）．また S ⊂ T で T が閉作用素
なら，グラフを考えればわかるが，S̄ ⊂ T となる．
（よって，S が前閉作用素
とは S ⊂ T なる閉作用素が存在するとして定義してもよい．つまり閉拡張
をもつ作用素が前閉作用素）．
次に，共役作用素について考える．Hilbert 空間 H を考える．また T : H → H
を非有界作用素であり，定義域は稠密とする dom(T ) = H ．T の共役作用素（ま
たは随伴作用素）T ∗ を考える．T ∗ の定義は，
dom(T ∗ ) = {x ∈ H | ∃y ∈ H such that (T z, x) = (z, y)∀z ∈ dom(T )}
として，x ∈ dom(T ∗ ) のとき T ∗ x := y と定義する（dom(T ) ⊂ H が稠密より y は
存在すれば唯一つ）．よって
(T z, x) = (z, T ∗ (x))
がすべての z ∈ dom(T ), x ∈ dom(T ∗ ) について成立（このように定義域が稠密な
ら共役作用素が定義できる）．また， 共役作用素は閉作用素になる．
Proof. vn ∈ dom(T ∗ ), vn → v, T ∗ vn → w とする．このとき，vn ∈ dom(T ∗ ) より，
(T z, v) = (z, T ∗ vn ) z ∈ dom(T )
が成立する．n → ∞ とすれば，
(T z, v) = (z, w) z ∈ dom(T )
が成立するので，v ∈ dom(T ∗ ) かつ T ∗ v = w となる．よって T ∗ は閉作用素であ
る．
¥
さて，共役作用素と閉包の関係について考えたい．dom(T ) が稠密な作用素 T に対
して，T のグラフを G(T ) とする．さらに，V [x, y] = [y, −x] として，V : H × H →
H × H という（ユニタリ）作用素を考える（V 2 = 1）．このとき
V (G(T )⊥ ) = G(T ∗ )
となる．
12
Proof. [y, z] ∈ G(T ∗ ) なら (T x, y) = (x, z)（∀x ∈ dom(T )）．よって，
([x, T x], [−z, y]) = 0 ∀x ∈ dom(T )
となる．つまり [−z, y] ∈ G(T )⊥ であるので，[y, z] ∈ V (G(T )⊥ ) となる．これは逆
にたどることもできるので，V (G(T )⊥ ) = G(T ∗ ) を得る．
¥
そこで，G(T ) は閉部分空間とは限らないが，G(T )⊥ は閉部分空間である．そ
して，
(V G(T ∗ ))⊥ = G(T )
が成立する．
Proof. まず，ヒルベルト空間の一般論を述べる．W ⊂ H を部分空間とすれば W ⊥
は閉である．実際，xn ∈ W ⊥ として xn → x とする．このとき，
(xn , y) = 0,
∀y ∈ W
である．内積はノルム収束に関して連続なので（シュワルツの不等式から），(x, y) =
0 となる．よって W ⊥ は閉である．また W を閉部分空間とすれば，W 0 := (W ⊥ )⊥
は W に一致する．x ∈ W とすれば，(x, y) = 0（∀y ∈ W ⊥ ）であるので，x ∈ W 0
である．逆を証明する．一般に W が閉なら，直和分解 H = W ⊕ W ⊥ が成立する．
そこで，x ∈ W 0 として，x = y + z と分解すれば，
0 = (x, z) = (y, z) + (z, z) = kzk2
であるので，z = 0 である．よって x = y ∈ W となる．
さて，先ほどの G(T ∗ ) = V (G(T )⊥ ) を使って，
V (G(T ∗ )⊥ ) = (V G(T ∗ ))⊥ = (V 2 (G(T )⊥ ))⊥ = G(T )⊥⊥ = G(T )
¥
以上のことから次のことがわかる
1. T ∗ は閉作用素（これはすでに証明した）．上のことを使って証明したいな
ら，G(T ∗ ) は閉部分空間であることからわかる．また T ∗ が閉作用素なので
T ∗ = T ∗ が成立．
2. T が閉作用素なら，dom(T ∗ ) = H であり．T = T ∗∗ が成立する．
13
Proof. v ∈ (dom(T ∗ ))⊥ とすれば，
([0, v], V [y, T ∗ y]) = ([0, v], [T ∗ y, −y]) = −(v, y) = 0 ∀y ∈ dom(T ∗ )
となる．よって，
[0, v] ∈ (V (G(T ∗ ))⊥ = G(T ) = G(T )
となる．よって，v = T 0 = 0 となるので，(dom(T ∗ ))⊥ = {0} であるので
dom(T ∗ ) は稠密．そこで，T ∗∗ を考えることができるので，
G(T ∗∗ ) = V (G(T ∗ )⊥ ) = G(T ) = G(T )
となり．T = T ∗∗ を得る．
¥
3. T が前閉作用素なら，(T̄ )∗ = T ∗ = T ∗ ．
Proof. T ⊂ T に対して，G(T ) = G(T̄ ) である．そこで，
G(T ∗ ) = V (G(T )⊥ ) = V (G(T̄ )⊥ ) = G((T̄ )∗ )
となる．よって．T ∗ = (T̄ )∗ ．
¥
4. T が前閉作用であることと dom(T ∗ ) = H は同値．さらに，このとき T̄ = T ∗∗
が成立する．
Proof. 前閉作用素とすれば，T ⊂ S なる閉作用 S が存在する．さて，S ∗ ⊂ T ∗
であり，S が閉作用素であるので，上で述べたことから，dom(S ∗ ) = H とな
る．よって dom(T ∗ ) も稠密である．逆に dom(T ∗ ) が稠密とする．このとき
T ∗∗ が考えられるので，
G(T ∗∗ ) = G(T ) ⊃ G(T )
となる．よって，T ⊂ T ∗∗ であるので T ∗∗ が閉であるので，T は前閉作用素
である．さらに，G(T ∗∗ ) = G(T ) = G(T̄ ) となり，T̄ = T ∗∗ となる．
¥
Remark 2.2. 共役作用素は，有限次元の線形代数とはすこし異なる．実際，A, B
が線形作用素で A + B の定義域が稠密のとき (A + B)∗ ⊃ A∗ + B ∗ となる．また
A, B, BA の定義域がすべて稠密のとき (BA)∗ ⊃ A∗ B ∗ となる．
（ただし A, B が有
∗
∗
∗
∗
∗ ∗
界作用素なら (A + B) = A + B ，(AB) = B A となる）．
さて，対称作用素と自己共役作用素を定義しよう．もちろん T の定義域は稠密
と仮定しておく．
14
Definition 2.2. T ⊂ T ∗ のとき，つまり dom(T ) ⊂ dom(T ∗ ) であり，T x = T ∗ x
（∀x ∈ dom(T )）のとき T を対称作用素とよぶ．言い換えれば
(T x, y) = (x, T y),
∀x, y ∈ dom(T )
Proof. (T x, y) = (x, T y)（∀x, y ∈ dom(T )）が成立しているとする．このとき，
y ∈ dom(T ∗ ) であり，T ∗ y = T y が成立する．よって，T ⊂ T ∗ である．逆に，
T ⊂ T ∗ であるとすれば，x, y ∈ dom(T ) に対して，(T x, y) = (x, T ∗ y) = (x, T y)
となる．
¥
T ⊂ T̄ であり，T ∗ が閉作用素であるので，対称作用素 T は前閉作用であり
T ⊂ T̄ = T ∗∗ ⊂ T ∗ が成立する．また対称かつ閉なら，T = T ∗∗ ⊂ T ∗ が成立する．
Definition 2.3. T = T ∗ のときに，T を自己共役作用素とよぶ．つまり，T ⊂ T ∗
（対称）かつ dom(T ) = dom(T ∗ )．
T ∗ が閉作用素であるので自己共役作用素は閉作用素である．また自己共役作用
素に対して，T = T ∗∗ = T ∗ となる．
Definition 2.4. T の閉包が（存在して），T̄ が自己共役作用素のとき（つまり
T̄ = T ∗ のとき）T は本質的自己共役作用素とよぶ．
また自己共役作用素のスペクトルは実である．さらに，スペクトルは固有値か
連続スペクトルである．つまり σ(T ) = σ(T̄ ) = σp (T̄ ) ∪ σc (T̄ )．
さて，ディラック作用素の場合に話を限定しよう．まず，
Lemma 2.2. D のグラフ G の閉包 Ḡ は，ある非有界作用素のグラフである．言
い換えれば，D の閉包 D̄（もちろんこれも H 上の非有界作用素）が存在する．
Proof. xn ∈ dom(D) = C ∞ (S), xn → 0, Dxn → y とする．このとき任意の s ∈
C ∞ (S) に対して
hDxn , si → hy, si, hxn , D† si → 0
（ここでディラック作用素に対して形式的随伴作用素が存在することを用いた. 一般
ディラック作用素なので形式的自己共役とは限らないことに注意）．よって hy, si = 0
となり C ∞ (S) が L2 (S) で稠密であるので y = 0 を得る．
¥
さて D の閉包 D̄ の定義域は，定義から
dom(D̄) := {x ∈ L2 (S) | xj ∈ C ∞ (S), xj → x ∈ L2 (S), Dxj → y ∈ L2 (S)}
となるが，Garding’s inequality を用いれば，W 1 ノルムでの収束先であるので，こ
れは W 1 (S) である．
（逆に W 1 (S) 上なら弱い意味で一階微分可能である）．このよ
うに，D のもともとの定義域 C ∞ (S) から D の閉包を考えることにより，関数解析
的に扱いやすい W 1 (S) という空間になったのである．
15
さて，形式的自己共役なディラック作用素が本質的自己共役作用素であること
をみたい．そのための準備をする．A を L2 (S) 上の有界線形作用素とする．A が
smoothing operator とは
Z
As(p) =
k(p, q)s(q)vol(q)
M
となる smooth kernel k(p, q) が存在することである．この smooth kernel は M × M
上の S £ S ∗ = π1∗ (S) ⊗ π2∗ (S ∗ ) の section である．ここで M × M のそれぞれへの射
影を π1 , π2 と書いている．また A の値域は smooth sections からなることに注意．
Definition 2.5. ベクトル束 S に対する Friedrichs’ mollifier とは, L2 (S) 上の
自己共役な smoothing operators の族 F² （² ∈ (0, 1)）で次をみたすもの
1. F² は L2 (S) 上の（作用素ノルムに関して）有界な作用素の族である．
2. 任意の一階微分作用素 B にたいして，[B, F² ] は L2 (S) 上の（作用素ノルム
に関して）有界な族である．
3. L2 (S) 上作用素の弱位相の意味で F² → 1（² → 0）． （つまり ∀x, y ∈ L2 (S)
に対して hF² x, yi → hx, yi．別の言い方をすれば F² x → x）．
この Friedrichs’ mollifier（mollify とは和らげるという意味）はコンパクト多様体
上で必ず存在する（text の exercise 5.34 で具体的に作っている．滑らかな非負値で
コンパクトサポートをもち，Rn 上で積分すれば 1 となる関数 η を考える．η² (x) =
²−n η(x/²) として，合成積
Z
1
x−y
F² s(x) = φ² ∗ s(x) = n η(
)s(y)dy
²
²
を考えればよい．多様体上なら一の分割を使って，これを張り合わせる．上の性
質をみたすことは，例えば [5] をみよ（easy）．例えば，C0∞ ∈ L2 の稠密性の証明
とか，そのほか色々なところで使う作用素である）
Remark 2.3. ディラック作用素がある場合には exp(−²D2 ) は Friedrichs’ mollifier で
ある（Getzler の本はこれを使って，ディラック作用素の解析的性質を見ている）．ま
た，この方法を使わずに楕円型作用素の性質を見る方法の一つとして，parametrix
を使う方法がある．D の parametrix Q とは DQ − 1, QD − 1 が smoothing operator
となるものである
Proposition 2.3. x, y ∈ L2 (S) として weakly に Dx = y と仮定する（hx, D† si =
hy, si, ∀s ∈ C ∞ (S)）．このとき x ∈ W 1 (S) = dom(D̄) かつ D̄x = y である．
16
Proof. F² を Friedrichs’ mollifier として，x² = F² x とすると，x² は smooth で，次
を満たす
(Dx² , s) = (x² , D† s) = (x, F² D† s)
= (x, D† F² s) + (x, [F² , D† ]s)
= (y, F² s) + (x, [F² , D† ]s).
よって F² , [F² , D† ] が有界なので，
|(Dx² , s)| ≤ Akykksk + Bkxkksk ≤ Cksk
となる ² によらない定数 C が存在する．よって s = Dx² とすれば，kDx² k ≤ C を
得る．また x² → x（∈ L2 ）であるので，Garding’s inequality とあわせて，{x² }²
は W 1 で有界である．よって W 1 で弱収束する部分列を含む．それを x²j とする.
また弱収束した先を x0 ∈ W 1 とする． Rellich の定理から（W 1 で有界なので）x²j
は W 0 = L2 で強収束する部分列をとれる，同じ記号で書いて x²j → x00 となる．こ
のとき x0 = x00 である．実際，W 1 ⊂ L2 は連続であるので，W 1 で弱収束するなら
L2 でも同じ点に弱収束するからである．一方，x²j = F²j x は x に L2 内で強収束す
る．よって x0 = x であり，x ∈ W 1 となる．また (D̄x, s) = (y, s)（∀s ∈ C ∞ (S)）
であるので D̄x = y となる．
¥
Remark 2.4. 弱収束部分列について：無限次元のバナッハ空間（完備ノルム空間）
の場合には，有界点列が収束する部分列をもつとは限らない．しかし，特別な場
合には，弱収束する部分列が存在する．たとえばバナッハ空間 X が X ∗∗ = X とな
るなら，有界点列は弱収束する部分列をもつ．つまり X ∗∗ = X をみたすバナッハ
空間の閉単位球は弱点列コンパクト集合（任意の点列が弱収束する部分列をもつ）
である．
（特別な場合といっても，ヒルベルト空間とか我々が扱う空間では，有界
なら弱収束する部分列をもつ．逆に，弱収束列は有界になる）
上の命題は一般化ディラック作用素に対して成立する命題であるが，普通のディ
ラック作用素の場合を考えると（一般化ディラック作用素でかつ形式的自己共役
作用素となるものでよい），ディラック作用素が本質的自己共役作用素であること
を述べている．また，コンパクトでなくても完備リーマン多様体上でも本質的自
己共役であることに注意する.
Proof. D† という微分作用素（D の形式的随伴作用素）を考える．このとき上の命題
では，(D† )∗ x = y（(D† )∗ は D† の作用素としての共役作用素で，定義は hx, D† si =
hy, si for s ∈ C ∞ ということ）ならば x ∈ dom((D† )∗ ) = dom(D̄), (D† )∗ x = D̄x
ということがわかる．
（一般化ディラックでなく普通の）ディラック作用素は形式
的自己共役であるので，D† = D である．よって D∗ = D̄ となり，D は本質的自己
共役作用素となる．
¥
17
このように本質的自己共役性にはディラック作用素が形式的自己共役作用素で
あることおよび Garding’s inequality（つまりディラック作用素の楕円性）の両
方の性質を用いる必要がある．
そして，ディラック作用素に対しては，以下でみるようにスペクトル分解がな
りたつ．
（気持ちは，D̄ の逆作用素を考えると，それがコンパクト自己共役作用素
になるので，固有値分解定理を適用するのである）．
2.4
スペクトル分解
さて，話をもとに戻そう．
Proposition 2.4. D̄ の kernel（s ∈ W 1 で D̄s = 0 となるもの）は smooth sections
からなる．
Proof. s ∈ W k−1 と仮定して s ∈ W k を証明する．F² を Friedrichs’ mollifier とす
る．F² の定義とソボレフ空間の定義から F² , [D, F² ] が W k−1 上の作用素として有
界である．さて s ∈ ker D̄ なので，
kF² skk ≤ Ck (kF² skk−1 + kDF² skk−1 ) = Ck (kF² skk−1 + k[D, F² ]skk−1 )
が elliptic estimate からしたがう．よって kF² skk は有界である（s は固定して ²
を動かす）．よって W k で弱収束する部分列をとれる．その収束先を s0 ∈ W k と
する．これは L2 では強収束となる．一方 F² s は s に L2 で弱収束するのであった．
よって s0 = s となる．よって s ∈ W k となる．あとはソボレフ埋め込みから s は滑
らか．
¥
この命題も一般化ディラック作用素に対して成立する．しかし，次の定理は通
常のディラック作用素に対するものである（一般化ディラック作用素かつ形式的
自己共役作用素でも成立）
Theorem 2.5 (ディラック作用素に対するスペクトル分解定理). D をディラック
作用素とし，H = L2 (S) とする．このとき H の固有分解 H = ⊕Hλ が成立する．
Hλ は有限次元で smooth sections からなり，固有値が λ の空間．また λ 6= λ0 なら
Hλ と Hλ0 は直交する．さらに固有値 λ の集合は R の離散部分集合となる．
この定理を示すのにまず次の補題が必要
Lemma 2.6. G を D のグラフとする．J : H ⊕ H → H ⊕ H を (x, y) → (y, −x)
により定義する．このとき次の直交直和分解が成立する：
H ⊕ H = Ḡ ⊕ J(Ḡ).
18
Proof. （この補題も D の自己共役性を使っていることに注意）．(x, y) ∈ G⊥ とす
る．つまり
h(x, y), (s, Ds)i = 0 ∀s ∈ C ∞ (S).
つまり
hx, si + hy, Dsi = 0 ∀s ∈ C ∞ (S).
つまり weakly に Dy + x = 0 である，先ほどの命題から y ∈ W 1 かつ D̄y = −x と
なる．よって (y, −x) ∈ Ḡ であり，(x, y) ∈ J(Ḡ) となる．
¥
Proof of theorem. 作用素 Q : H → H を次で定義する．x ∈ H に対して (x, 0) を
H ⊕ H 内で Ḡ へ直交射影（像は (Qx, D̄Qx)）し，その第一成分を Qx とする．
H
Ḡ
(Qx, D̄Qx)
x
H
J Ḡ
このとき Qx ∈ W 1 である．もっと正確に言えば，
(x, 0) = (Qx, D̄Qx) + (D̄z, −z)
となるので，z = −D̄Qx であり，
(x, 0) = (Qx, D̄Qx) + (D̄2 Qx, −D̄Qx)
となる（よって，実は Qx ∈ W 2 である）．また，G⊥ = J(Ḡ) であるので，
h(Qx, D̄Qx), (D̄2 Qx, −D̄Qx)i = hQx, D̄2 Qxi − kD̄Qxk2 = 0
を得る．さて，kxk2 ≥ kQxk2 + kD̄Qxk2 なので，Garding inequality より kQxk1 ≤
C(kQxk0 + kD̄Qxk0 ) ≤ Ckxk0 となるので Q : L2 → W 1 の有界作用素である．よっ
て Rellich theorem から Q は L2 → L2 と見なせばコンパクト作用素である．また，
自己共役，正値，単射，kQk ≤ 1 となることもわかる．
単射をみてみる．Qx = 0 とすれば，上で述べたことから，
(x, 0) = (Qx, D̄Qx) + (D̄2 Qx, −D̄Qx) = (0, 0)
となるので x = 0 である．また kxk ≥ kQxk であるので，kQk ≤ 1 がわかる．正値
を見るには，x 6= 0 に対して hQx, xi > 0 をみればよい．x = Qx + D̄2 Qx なので，
hQx, xi = hQx, Qxi + hQx, D̄2 Qxi = kQxk2 + kD̄Qxk2 ≥ 0
19
となることからわかる（hQx, xi = 0 なら x = 0）．自己共役であることは，
hQx, yi = hQx, Qyi + hQx, D̄2 Qyi = hQx, Qyi + hD̄Qx, D̄Qyi = hx, Qyi
からわかる．
さて，このコンパクト自己共役作用素 Q に対してスペクトル分解が可能である
[5]．よって H を有限次元な固有空間の直交直和に分解できる．また 0 は固有値の
集積点であり，0 以外には集積点はない．一般には 0 も固有値となることも起こり
えるが，今の場合には，単射なので，0 は固有値でない．また正値であることをあ
わせれば，固有値は，すべて正である．x ∈ W 1 を Q の固有ベクトルとし固有値
を ρ > 0 とする．先ほどの補題から次を満たす y ∈ W 1 が存在する：
(x, 0) = (Qx, D̄Qx) + (−D̄y, y) = ρ(x, D̄x) + (−D̄y, y) ∈ Ḡ ⊕ J Ḡ.
つまり (ρ − 1)x = D̄y かつ y = −ρD̄x となる y 存在する．そこで λ2 = (1 − ρ)/ρ,
z = −(1/ρλ)y とすれば
D̄x = λz, D̄z = λx
よって，x + z および x − z は D̄ の固有値 λ, −λ の固有ベクトルである．
（ここで注
意すべきは，固有値 λ が存在するからといって −λ も固有値になるとは限らない．
x = z となった場合を考えよ）．以上から固有分解ができた．
（ρj → 0 であるので
2
λj → ∞ に注意．また ρ は零以外に集積点がないので λj も離散集合である）．
さて，固有ベクトルが smooth となることを証明しよう．D の固有値 λ の固有
ベクトルは一般化ディラック作用素 D − λ の kernel である．よって prop 2.4 より
smooth となる．
¥
Remark 2.5. ここで使った作用素 Q は Q = (1 + D2 )−1 である．1 + D2 は正の作用
素なので逆（parametrix）が存在し，それは L2 → W 1 である．
Remark 2.6. この点スペクトル（固有値）で固有分解が成り立つのは多様体がコン
パクトのときである．完備リーマン多様体上のディラック作用素は本質的自己共
役作用素であるが，その場合には連続スペクトルをもつことに注意．その場合に
も次の意味でスペクトル分解定理が成立する：ヒルベルト空間 H 上の作用素 A が
自己共役であるとする．このとき σ(A) ⊂ R である．そして単位の分解 {E(·)} が
唯一つ定まり
Z
∞
A=
λdE(λ).
−∞
となる．
Remark 2.7. λ ∈ R を D の固有値でないとする．このとき (D − λ)−1 : L2 → L2 は
コンパクト作用素であることがわかる．この作用素を使ってスペクトル分解を行
える．つまり (D − λ)−1 の固有値を µ とするとき，λ + 1/µ が D の固有値になる．
上で証明もほぼ同じである．
20
2.5
the functional calculus
s ∈ L2 (S) として，先ほどの固有分解から
X
s=
sλ
λ
と固有展開（フーリエ展開）．次の定理の意味は，固有展開したときに固有値に関
して急減少なら smooth ということである．
Proposition 2.7. s ∈ L2 (S) が smooth であるための必要十分条件は ksλ k =
O(|λ|−k ) for any k.
Proof. sλ を固有ベクトルとする. elliptic estimate から ksλ kk ≤ Ck λk ksλ k0 が成立
する．そこで，
X
X
X
0
kskk =
ksλ kk ≤ Ck
λk ksλ k0 = Ck
O(|λ|−k )λk ≤ Ck0
λ
となるので s ∈ W k for any k となる．あとはソボレフ埋め込み．
¥
さて，f を σ(D) ⊂ R 上で有界な関数とする．このとき L2 上の有界作用素 f (D)
を
f (D)s =
X
f (λ)sλ
により定義する（D は有界作用素ではない）．このとき以下の命題は明らか．
Proposition 2.8. f 7→ f (D) は σ(D) 上の有界関数の環から有界線形作用素の環
B(H) への準同型となる．また f (D) の作用素ノルムを考えると
kf (D)k ≤ sup f (λ).
λ∈σ(D)
また D が作用素 A と可換なら f (D) も A と可換．さらに f (D) は C ∞ (S) を C ∞ (S)
へ map する．そして f (x) = xg(x) で f (x), g(x) を有界関数としたとき, 有界作用
素として f (D) = Dg(D) である．
さて，先ほどの命題を考えたとき f が急減少関数の場合には f (D) は smoothing
operator となる．Pλ を固有値 λ の固有空間への直交射影とするとこれは smoothing
作用素である．そして Pλ の smoothig kernel の M × M 上のソボレフ k ノルムは
Ck λl(k) で有界であることがわかる（for any k ）．よって f が急減少なので，
X
f (D) =
f (λ)Pλ
λ
の smoothig kernel も収束する．以上から
21
Proposition 2.9. R 上の急減少関数の空間 R(R) から M × M の smoothing kernel
の空間への写像 f → (f (D) の核) は連続である．ここで R(R) には Frechet 位相を
入れている）．
Remark 2.8. フレッシェ空間とは可算個のセミノルムによって位相が入った完備な
ベクトル空間のことである（局所凸性も仮定する）．
Remark 2.9. f として急減少関数ではなく，単に ±∞ で 0 となる関数を考える．こ
のとき f (D) を rank が有限の有界線形作用素 An の極限として表すことができる．
rank が有限の有界線形作用素で近似できるということは，コンパクト作用素とい
うことである（コンパクト作用素の定義はいろいろあるけど，可分ヒルベルト空
間上なら，有限ランクの作用素で近似できる作用素をコンパクト作用素と定義し
てもよい）．さらに，±∞ での 0 への減少が速ければ速いほど，f (D)s の微分可能
性が高くなることになる．
Remark 2.10. 上と同様な議論により，N が十分大とたとき (ソボレフ埋め込みに
よるので N は M の次元にのみ依存），f (λ) = O(λ−N ) なら f (D) が C 0 な積分核を
P
もつ．
（ λ f (λ)sλ ⊗ s∗λ を積分核として，これが C 0 関数であることをみればよい）．
3
熱方程式と波動方程式
この章では M をコンパクトリーマン多様体としてクリフォード束 S 上のディ
ラック作用素 D を考えて，その熱方程式，波動方程式について議論する．また，
この章の結果は D + A（A は S の self-adjoint endomorphism）の形の一般化ディ
ラック作用素に対しても成立する（つまり形式的自己共役な一般化ディラック作
用素）．
3.1
存在と一意性定理
Definition 3.1. D に対する熱方程式（発展方程式）とは
(
∂
+ D2 )s = 0.
∂t
波動方程式とは
∂
− iD)s = 0.
∂t
ここで st (x) = s(t, x) は t, x に対して smooth なクリフォード束 S の切断．
(
（注意：上の波動方程式は，ふつうの波動方程式のルートである）．
Proposition 3.1.
1. 熱方程式の場合：与えらた smooth な初期データ s0 に対し
て，t ≥ 0 で smooth な解が唯一つ存在．また L2 ノルムに対しては kst k ≤ ks0 k．
22
2. 波動方程式の場合：与えらた smooth な初期データ s0 に対して，t ∈ R で
smooth な解を唯一つもつ．また L2 ノルムに対しては kst k = ks0 k.
Proof. まず smooth solution st があると仮定する．このとき
∂
∂
kst k2 = hst , st i = −hD2 st , st i − hst , D2 st i = −2kDst k2 ≤ 0
∂t
∂t
これより kst k2 ≤ ks0 k2（t ≥ 0）を得る．また別の解 s0t があった場合には，st − s0t
は初期条件を 0 とした熱方程式の解であり，これは kst − s0t k2 ≤ 0 となり st = s0t
で一意性がわかる．そこで，存在を証明する．
2
st := e−tD s0
2
とする．ここで e−tD は functional calculus で定義されるもの．つまり
X
2
st :=
e−tλ (s0 )λ
λ
2
また st ∈ C ∞ (S) は明らか（ここで注意すべきは e−tλ が急減少関数なので初期
2
data が smooth でなくても，e−tD s0 は smooth（t > 0）になる．波動方程式の場
合はこのようなことは言えない s0 が smooth でないと st は smooth にならない）.
また，st は t に関しても smooth で熱方程式の解である（ただし t > 0 で，t = 0 で
は微分できない）．
次に波動方程式についてみる．波動方程式に smooth solution st が存在したと
する．
∂
∂
kst k2 = hst , st i = hiDst , st i + hst , iDst i = 0
∂t
∂t
よって kst k = ks0 k となる．一意性も同様．存在は
st := eitD s0
とすればよい．s0 が smooth なので x に関して smooth である．また t についても
smooth である．そして波動方程式の解である．
注意しておくと，一意性の証明は x について C 2 で t について C 1 となる解に対
してもいえる．
¥
2
さて，熱方程式の解作用素 e−tD は，smoothing operator であるので熱核とよ
ばれる kernel 関数が存在する．つまり M × M 上の束 S £ S ∗ の時間に依存した
section kt で，
Z
2
(e−tD s)(p) =
kt (p, q)s(q)vol(q).
M
Proposition 3.2. 熱核 kt (p, q) は次をみたす
23
1.
∂
+ Dp2 ]kt (p, q) = 0
∂t
ここで Dp とは p 変数についてのディラック作用素の作用を表す．つまり，各
q に対して，p → kt (p, q) ∈ S ⊗ Sq∗ が熱方程式を満たす．
[
2. 各 smooth section s に対して，
Z
kt (p, q)s(q)vol(q) → s(p) (t → 0)
M
と p に関して一様収束する．
さらに，熱核は上の二つの性質をみたし p, q について C 2 かつ t について C 1 とな
る S £ S ∗ の時間依存な 唯一つの section である．
Proof. 我々が構成した熱核が上のふたつをみたすのは問題ない．そこで，上の二
つを満たす kt を考える．さらにそれを核としてもつ smoothing operator を Kt と
する．s を任意の切断として，Kt s は t > 0 に対して熱方程式を満たす．よって熱
方程式の C 2 級解に対する一意性から，
2
Kt s = e−(t−²)D K² s
2
が ∀² > 0 に対していえる（つまり K² s を初期値としてみれば，e−(t−²)D K² s が t − ²
後の熱方程式の解である．一方，Kt s = Kt−² K² s も解であるので，一意性から等
2
2
しい）．そこで ² → 0 とすると，K² s → s（一様に）なり，e−(t−²)D → e−tD （L2
2
2
での作用素ノルムに関して）となる．よって e−(t−²)D K² s → e−tD s となる．これ
2
2
より Kt s = e−tD s となるので，Kt は我々がすでに得ている e−tD である．以上か
ら熱核の一意性がいえた．
¥
Remark 3.1. 熱核の２番目の性質は，kt (p, q) が t → 0 としたときに δ 関数 δ(d(p, q))
となることである．いいかえれば p = q のとき 1 で p 6= q のとき 0 となる関数であ
るので，kt (p, q) は t → 0 としたとき M × M で diagonal M の近傍が support と
なる関数に近づくことになる．
指数定理の証明には熱核の近似をもちいるのであるが，それをちゃんと定義し
ておこう．
Definition 3.2. m を正整数とする．S £ S ∗ の切断 kt0 (p, q) が order m の近似的
熱核とは t について C 1 級，p, q について C 2 級で，熱核の性質２をみたし，さらに
近似的に熱方程式をみたすもの：
[
∂
+ Dp2 ]kt0 (p, q) = tm rt (p, q)
∂t
ここで rt (p, q) は S £ S ∗ の C m 級切断で t ≥ 0 で t について連続．
（大事なことは
m
t = 0 でも連続であること．t → 0 で発散しては t rt (p, q) が 0 に近づかない）．
24
この近似的熱核はある意味で t → 0 にしたとき真の熱核に漸近的である（以下
で大事なのは proposition 3.5）
Proposition 3.3. st を S の C 2 級切断で t について連続とする．このとき S の
smooth 切断 s̃t で次をみたすもが唯一つ存在：t に微分可能，s̃0 = 0,
[
∂
+ D2 ]s̃t = st .
∂t
具体的には
Z
t
s̃t =
0
2
e−(t−t )D st0 dt0
0
とすればよい
Rt
0
2
Proof. まず，存在をしめす．上の定義の s̃t = 0 e−(t−t )D st0 dt0 を t について微分
すると
Z t
∂s̃t
0
2
(−D2 e−(t−t )D st0 )dt0 = st − D2 s̃t
= st +
∂t
0
2
となるので存在．さらに e−tD は smoothing operator なので s̃t は smooth である．
一意性は熱方程式の解の一意性から．
¥
Corollary 3.4. 各 k ≥ 0 に対して，上の inhomogeneous な熱方程式の解 s̃t に対し
て次の評価ができる．
ks̃t kk ≤ tCk sup{kst0 kk | 0 ≤ t0 ≤ t}
2
Proof. まず ke−tD k0 は L2 の作用素ノルムで一様有界である．
2
ke−tD skk
2
2
2
2
≤Ck (ke−tD skk−1 + ke−tD Dskk−1 )
2
2
≤Ck (ke−tD skk−2 + ke−tD Dskk−2 + ke−tD Dskk−2 + ke−tD D2 skk−2 )
···
≤Bk (ksk0 + kDsk0 + kD2 sk0 + · · · + kDk sk0 )
により
2
ke−tD skk ≤ Ckskk
2
とできる（このような証明をしなくても e−tD が smoothing 作用素なのでこの不
等式は当然）．よって
Z t
ks̃t kk ≤
Ckst0 kk dt0 ≤ tC sup{kst0 kk | 0 ≤ t0 ≤ t}
0
¥
25
Proposition 3.5. kt を M の真の熱核とする．各 m に対して, 次をみたすような
m0 ≥ m が存在：kt0 を order m0 の近似的熱核とすると，
0
kt (p, q) − kt0 (p, q) = tm et (p, q).
ここで et (p, q) は S £ S ∗ の C m 級の切断であり，t ≥ 0 について連続．
（ここでも，
大事なことは t = 0 でも連続であること t → 0 で発散はしない．よって t → 0 に近
づけると kt と kt0 はかなり近づくことになる）．また，別の書き方をすれば
0
kkt (p, q) − kt0 (p, q)kC m = O(tm ).
このように近似熱核は真の熱核を t → 0 のとき近似していることになる．
Proof. m0 > m + dim M/2 とする．定義より近似熱核 kt0 は性質２をみたし，かつ
0
0
∂/∂t + Dp2 )kt0 (p, q) = tm rt (p, q) である．ここで rt は C m 級である．さて st (p, q) を
inhomogeneous 熱方程式
(
∂
0
+ Dp2 )st (p, q) = −tm rt (p, q)
∂t
かつ s0 = 0 の unique な解とする．このとき熱核の一意性から
kt0 (p, q) + st (p, q) = kt (p, q)
となる．さらに先ほどの系から
0
0
kst km0 ≤ tC sup{ktm rt (p, q)km0 | 0 ≤ t0 ≤ t} ≤ C 0 tm +1
0
となる．そこで，et := t−m st とすれば，
0
0
0
ket kC m ≤ ket km0 ≤ kt−m st km0 ≤ t−m C 0 tm +1 = C 0 t
ここで，ソボレフ埋め込み定理を使ってることに注意．t に対して連続であること
は st が t について連続であるので．t = 0 のところでは上の不等式から．
¥
これまでの議論で近似熱核を使っているが，今のところその存在ついて言及し
ていない．近似熱核の存在については次の subsection で議論する．
3.2
熱核の漸近展開
さて，局所データから近似熱核を構成していこう．熱核の漸近展開を行って途
中で切ることで近似熱核を得ることができるのである．
ユークリッド空間 Rn 上の熱核は
(x, y, t) 7→
|x − y|2
1
exp{−
}
(4πt)n/2
4t
26
である．そこでリーマン多様体 M 上で熱核の第一次近似として，次のような M ×M
上の関数を考える．
ht (p, q) =
1
d(p, q)2
exp{−
}.
(4πt)n/2
4t
以下では，リーマン多様体の測地線座標（正規座標）に関しての様々な結果を
用いる．それらについては，お勉強用ノート「リーマン多様体の正規座標と計量
のテーラー展開」[1] を参考．q を固定して q が原点になるような測地線座標 {xi }
P 2
をえらぶ．r2 =
xi とした場合に r は原点 q からの測地線距離である（いわゆる
リーマン極座標の動径方向）．そして
h := ht (r) =
2
1
− r4t
e
(4πt)n/2
（これは q を固定したときに，q の近傍でのみ定義された局所的な関数である）．
Lemma 3.6. この関数 h は次を満たす．
1.
∇h = −
2.
h ∂
r
2t ∂r
∂h
rh ∂g
+ ∆h =
∂t
4gt ∂r
ここで g = det(gij ).
Proof. まず ∇h = dh = (−h/2t)rdr である．これを計量によりベクトル場と同一
視するのであるが，測地線座標の場合に極座標 (r, φ1 , · · · , φn−1 )（リーマン極座標）
をとれば g(∂r , ∂r ) = 1, g(∂r , ∂φi ) = 0 であるので，dr と ∂r はリーマン計量により
同一視される．よって最初の式がいえた．
さて ∆h = ∇∗ ∇h であるが，∆ = −div ◦ grad である．ここで ∇∗ = −divX =
P
− ∇i X i である．よって
∇∗ (f X) = f ∇∗ X − (∇f, X)
となるので，
h ∗ ∂
h ∂
h ∗ ∂
r ∂h
h ∗ ∂
r2 h
∆h = − ∇ (r ) + (∇ , r ) = − ∇ (r ) +
= − ∇ (r ) − 2
2t
∂r
2t ∂r
2t
∂r
2t ∂r
2t
∂r
4t
P
さて 1-form α =
Ai dxi に対して
1 X ∂
ij √
(A
g
g)
d∗ α = − √
i
g ij ∂xj
27
であり rdr =
P
xi dxi であるので，
1 X ∂
1 X ∂
r ∂g
√
√
∇∗ (r∂/∂r) = − √
.
(xi g ij g) = − √
(xj g) = −n −
g
∂xj
g
∂xj
2g ∂r
P i
この式に対してのいくつかの注意を述べる：測地線座標において R = r∂r =
x ∂i
とする．リーマン極座標でかけば grr = g(∂r , ∂r ) = 1, grφi = g(∂r , ∂φi ) = 0 である．
よって
X
xi
f i ∂φi
∂i = ∂r +
r
P
となる f i が存在．そこで， g ij xj = g(R, ∂i ) = rg(∂r , ∂i ) = xi grr = xi . また
P ij i j
P
g x x = g(R, R) = r2 g(∂r, ∂r) = r2 = (xi )2 などもいえる（ただし，一般に
gij 6= δij であることに注意する）．
以上から
r2
n
r ∂g
∆h = (− 2 + +
)h
4t
2t 4gt ∂r
となる．一方
∂h
n
r2
= (− + 2 )h
∂t
2t 4t
となる．以上をあわせればいえる．
¥
さて，次にディラック作用素と smooth な関数との commutator についてみる．
Lemma 3.7. D をクリフォード束 S 上のディラック作用素．s を smooth section
とし，f を smooth function とする．
D(f s) − f (Ds) = c(∇f )s,
D2 (f s) − f D2 s = (∆f )s − 2∇∇f s.
P
Proof. 最初の式は D =
ei ∇i からわかる．２番目を証明しよう．
X
X
X
D2 (f s) = f
ei ej ∇i ∇j s +
(∇i ∇j f )ei ej s +
ei ej [∇i f ∇j s + ∇j f ∇i s]
となる．第一項は f D2 s である．第二項は
X
X
X
(∇i ∇j f )ei ej s =
(∇i ∇i f )ei ei s +
((∇i ∇j f )ei ej + (∇j ∇i f )ej ei )s
ij
i
=−
X
i
i<j
(∇i ∇i f )s +
X
(∇i ∇j − ∇j ∇i )f ei ej s
i<j
となり (∇i ∇j − ∇j ∇i )f = [ei , ej ]f = (∇ei ej − ∇ej ei )f となるが，(∇ei )x = 0 と
なる正規直交フレームをとれる（放射線状の平行移動）ので点 x 上で 0 とできる．
28
よって第２項は (∆f )s となる．第３項は
X
ei ej [∇i f ∇j s + ∇j f ∇i s]
X
X
=−2
∇i f ∇i s +
ei ej ([∇i f ∇j s + ∇j f ∇i s] − [∇j f ∇i s + ∇i f ∇j s])
i
i<j
= − 2∇P ei ∇i f s = −2∇∇f s
¥
さて以上の準備のもとに熱核の漸近展開を行う．まず漸近展開の定義をする．
Definition 3.3. f を R+ 上のバナッハ空間 E に値をもつ関数とする．また形式的
P∞
級数 k=0 ak (t) を考える．ここで ak : R+ → E ．この形式的級数が f に対しての
t = 0 の近くでの漸近展開とは，各正整数 n に対してつぎを満たす ln が存在：任意
の l ≥ ln に対してある定数 Cl,n で
kf (t) −
l
X
ak (t)kE ≤ Cl,n |t|n
(t は十分小)
k=0
またこのとき
f∼
∞
X
ak (t)
k=0
P
とかく．言い換えると，任意の n に対して， ak (t) でそれなりの部分和をとれば
f に order tn の補正項ぐらいで E において近似できるということ．
Remark 3.2. もちろん形式的級数は収束するかどうかはわからない．基本的な例
は C ∞ 関数のマクローリン展開である
f (t) ∼
∞
X
f (k) (0)
k=0
k!
tk
は，漸近展開である．ここで展開した級数は f が原点の近傍で解析的なときにの
み収束する．
（解析的とは関数がその点の近傍で収束するべき級数でかけること）．
Theorem 3.8 (熱核の漸近展開). M をコンパクトリーマン多様体とし S をクリ
フォード束, D をディラック作用素とする．また kt を（真の）熱核とする．この
とき
1. kt に対して次のような漸近展開が存在する．
kt (p, q) ∼ ht (p, q)(Θ0 (p, q) + tΘ1 (p, q) + t2 Θ2 (p, q) + · · · )
ここで Θj は S £ S ∗ の smooth section．
29
2. この漸近展開は任意の整数 r ≥ 0 に対するバナッハ空間 C r (S £ S ∗ ) で成り
立つ．また熱核の（x 変数，t 変数）微分に対する漸近展開を得るには，右辺
を形式的に微分すればよい．
3. Θj (p, p) は計量と接続係数およびそれらの微分で代数的に記述できる．また
Θ0 (p, p) = id（S の endomorphism として）となる．
（漸近展開の各項 Θj (p, q)
は unique ではないが Θj (p, p) は unique）．
Proof. S £ S ∗ の smooth section Θj で次をみたすものを構成すればよい：各 m に
対して十分大きな J を選んだとき部分和
ht (p, q)
J
X
ti Θi (p, q)
i=0
が order m の近似的熱核になる．
このような Θj が構成てきれば，命題 3.5 より，各 m, r に対して m0 ≥ r, m とな
る十分大きな m0 に対して，
kt (p, q) − ht (p, q)
J
X
0
ti Θi (p, q) = tm et (p, q)
i=0
で，et が C r 級のものがとれる．よって
kkt (p, q) − ht (p, q)
J
X
0
ti Θi (p, q)kC r ≤ tm C ≤ tm C
t 十分小
i=0
とできるので，熱核の漸近展開となる．
さて，上のような smooth section Θj を構成するのであるが，M × M の diagonal
の近傍の外側では ht (p, q) の order が t∞ であるので，Θj (p, q) を p と q が十分近い
ときに構成すればよい（あとは適当に M × M へ拡張）．
そこで，原点を q とする測地線座標を考え，p の座標を x1 , · · · , xn とする．また h
を ht (·, q) を局所座標で表したものとする．まず s を S の（t にも依存した）section
（正確には S ⊗ Sq∗ の section）とすると，先ほどの二つの補題から
1 ∂
1 ∂s ∂h
[ + D2 ](hs) = [h +
s + hD2 s + (∆h)s − 2∇∇h s]
h ∂t
h ∂t
∂t
rh ∂g
h
1 ∂s
s + hD2 s + ∇r∂r s]
= [h +
h ∂t 4gt ∂r
t
∂s
r ∂g
1
=
+
s + D2 s + ∇r∂r s
∂t 4gt ∂r
t
さて s ∼ u0 + tu1 + t2 u2 + · · · （uj は t に依存しない section）として，上の式に代
∂
入する．つまり h1 [ ∂t
+ D2 ](hs) = 0 として，tk の係数について見ていく．すると
∇r∂r uj + (j +
r ∂g
)uj = −D2 uj−1 ,
4g ∂r
30
for j = 0, 1, 2, · · · .
これを帰納的に解くことにする．そこで少し書き換えると
(
0
(j = 0)
∇∂r (rj g 1/4 uj ) =
−rj−1 g 1/4 D2 uj−1 (j ≥ 1)
まず j = 0 のときを考える．つまり ∇∂r (rj g 1/4 u0 ) = 0 であるが，これは r 方向に
そって定数となるので u0 (0) の値を定めればあとは原点からの放射線状への平行移
動で定まる．そこで u0 (0) = id（Sq ⊗Sq∗ での id）として u0 が決まる．次に，j ≥ 1 の
とき，uj−1 から uj を決定できる．つまり常微分方程式 ∇∂r f (r, φ) = g(r, φ)（r, φ は
R
極座標）を解けばよい．ここで f = rj g 1/4 uj であるので uj = r−j g −1/4 ( g(r)dr +c)
となるので，order r−j の定数項（正確には φ の関数）を除いて決定できる．原点
での smoothness が必要なので，その定数項は零でなくてはならない．よって初期
条件 u0 (0) = id からすべての uj が unique に決定できる．これまでの議論におい
て ht (r) = ht (d(p, q)) = ht (p, q) としていた．よって uj (r, φ) = uj (d(p, q), arg(p)) =
uj (p, q) とみて uj は M × M の diagonal 近傍で定義されてるとしてよい．
さて，Θj (p, q) を M × M 上の束 S £ S ∗ の section で q を原点とする（M の）局
所座標で uj となるものする（そのようなものなら何でもよい．つまり diagonal 近
傍だけ uj であとは適当に延長）．そして任意の J の部分和
ktJ (p, q)
= ht (p, q)
J
X
tj Θj (p, q)
j=0
を考える．t → 0 のときに，tj Θj (p, q) → 0（j > 1）であり ht Θ0 が残るが Θ0 (p, p) =
1 なので，diagonalM で δ 関数のようになる（近似熱核の条件）．さらに，構成の
P j
仕方（s ∼
t uj の作り方）から
[
∂
+ Dp2 ]ktJ (p, q) = tJ ht (p, q)eJt (p, q) = tm (tJ−m ht (p, q)eJt (p, q))
∂t
となる．ここで eJt (p, q) は smooth error term である．また J > m + n/2 に対し
て，関数 tJ−m ht (p, q) は C m 位相で t → 0 のとき零に近づく（特に，tJ−m ht (p, p) =
tJ−m /(4πt)n/2 も J > m+n/2 なら，ちゃんと零に近づく）. よって tJ−m ht (p, q)eJt (p, q)
は C m 級で t ≥ 0 で連続である．そこで十分大きな J に対して ktJ (p, q) は order m
の近似的熱核である．よって，証明の最初に述べたことより
X
ht (p, q)
tj Θj (p, q)
は熱核の漸近展開となる．
最後に Θj (p, p) が計量，接続係数，およびそれらの微分により代数的にかける
ことをみよう．局所表示では uj (0) に対応する．uj の漸化的微分方程式は計量と接
続による．そこで，その微分方程式を原点の近くでテーラー級数に展開して係数
を比べればよい．また j に関する帰納法を使う．
¥
31
上の漸近展開の第一項 Θ1 を計算しよう．もちろん，正確に計算できるのは diagonal 上である．そこで，前と同様に測地線座標を用いる．まず u0 (p) = g −1/4 は
すぐにわかる．測地線座標では原点で gij (0) = δij であるので u0 (0) = 1 となるこ
とに注意．次に u1 を求める（S ⊗ Sp∗ の section）．微分方程式に代入し，我々がほ
しいのは原点での値なので
X ∂ 2 g −1/4
X ∂ 2 g −1/4
−1/4
( 2 i )(0) − K
( 2 i )(0) − Kg
(0) =
u1 (0) = −(D u0 )(0) =
∂ x
∂ x
i
i
2
この式を説明しよう：まずワイゼンベック公式 D2 = ∇∗ ∇ + K を使っている．ま
た, 原点から放射状の平行移動により束を自明化したときの接続のテーラー展開は
ωi = −
1X
F (∂i , ∂j )0 xj + O(|x|2 )
2
となる．よって
∇∗ ∇s = −
X
X
(∂i + ωi )(∂i + ωi )s = −
∂i ∂i s + (∂i ωi )s + ωi ∂i s + ωi ωi s
となり p = 0 とおけば，F (∂i , ∂i ) = 0 などを使って，(∇∇s)0 =
がわかるので，上のような式になる．
さらに，計量のテーラー展開を思い出す
gij (x) = δij −
P
i (∂
2
s/∂ 2 xi )(0)
1X
Rikjl xk xl + O(|x|3 )
3
であった. そこで det の定義に代入すれば（すこし面倒だけど）
g(x) = det(gij (x)) = 1 +
1X
Rikli xk xl + O(|x|3 )
3
がわかる．よって
g −1/4 (x) = 1 −
である．そこで
1 X p q
x x Ripqi + O(|x|3 )
12
X ∂ 2 g −1/4
1X
1
( 2 i )(0) = −
Rippi = κ
∂ x
6 i,p
6
i
以上から
Proposition 3.9. 熱核の漸近展開の最初の項は次をみたす
Θ0 (p, p) = 1,
1
Θ1 (p, p) = κ(p)id − K(p)
6
ここで κ はスカラー曲率，K ∈ Γ(End(S)) は D に対するワイゼンベック公式の曲
率項．
32
Remark 3.3. この公式での注意すべきことは，どんなディラック作用素であろうと，
Θ1 にスカラー曲率が現れることである．このように漸近展開は，当たり前だけど，
M の情報も含んでいる．K の方はスピノール束の接続から定まる情報である（た
だし，K = F S + κ/4 であるので，これも計量によっている．これは考えてる束が
クリフォード束なので）．たとえば，普通のディラック作用素なら D2 = ∇∗ ∇ + κ/4
となるので Θ1 = −κ/12 となる．
3.3
波動方程式に対する有限伝播速度
漸近展開により t → 0 としたときに，熱核は M × M の diagonal の近くに局在
化することがわかった．この事実を波動方程式を使って証明する．特に，重要な
ことは，波動方程式による証明は非コンパクト多様体（完備は仮定）に対しても
成立することである．波動方程式による解の波が有限の速度で広がることである
（正規化して 1 とできる）．
（熱の場合には時間が少しでもたてば，熱が全体に広が
るのであった．つまり速度が∞といえる）．
この事実を，正確にのべると
Proposition 3.10. s ∈ Cc∞ (S) に対して eitD s の support は s の support から距離
|t| 内にある．
B(m; R)
|t|
|t|
B(m; R)
m
B(m; R − t)
m
supp s
supp s
R
supp eitD s
Proof. 証明はいわゆるエネルギー評価による：m ∈ M とし B(m; r) を半径 r の球
とする．十分小さい R をとって B(m; R) が m のまわりの測地線座標に入るとする．
st を波動方程式の解としたとき
Z
|st |2 dv
B(m;R−t)
は t についての減少関数である．
この事実が証明できたとき命題が言えることを確かめよう．命題は任意の t 対す
0
0
ることであるが，eitD eit D = ei(t+t )D 及び (eitD )∗ = e−itD により，十分小さく正で
33
ある任意の t についてみればよい．supp(s) から距離が R 以上の点 m をとる．こ
のとき
Z
|s|2 dv = 0
B(m;R)
である．0 < t < R に対してエネルギー評価から
Z
2
|eitD s|2 dv ≥ 0
B(m;R−t)
は減少関数であり，t = 0 のとき 0 であったので
Z
2
|eitD s|2 dv = 0
B(m;R−t)
なる．よって (eitD s)(m) = 0 を得る．m は supp(s) から距離が R 以上の点ならな
んでもよかった．よって eiRD s の support は s の support から距離 R 以下にある．
また R は十分小さい正の数で任意でよい．以上からエネルギー評価がわかれば命
題がいえることになる．
R
R
さてエネルギー評価を証明しよう． B(m;R−t) |st |2 dv = B(m;R−t) |eitD s|2 dv を t に
ついて微分すると
Z
Z
{(iDst , st ) + (st , iDst )}dv −
(st , st )dσ.
B(m;R−t)
S(m;R−t)
また，ディラック作用素に対して
(iDst , st ) + (st , iDst ) = id∗ ω
が成立した．ここで一次微分形式 ω は ω(X) = −(Xst , st ) で定義される．よって
発散定理より第一項は
Z
−i
(N · st , st )dσ
S(m;R−t)
ここで N は S への単位法ベクトル．そこで単位法ベクトルのクリフォード作用が
isometry であることから
Z
Z
|
(N · st , st )dσ| ≤
|st |2 dσ
S(m;R−t)
以上から
R
B(m;R−t)
S(m;R−t)
|st |2 は t に対する減少関数である．
¥
シュワルツ空間 S(R) は急減少かつそのすべての微分も急減少な C ∞ 関数であ
る．さて f のフーリエ変換 fˆ とは
Z
ˆ
f (λ) = f (x)e−ixλ dx.
34
またフーリエ逆変換とは
1
f (x) =
2π
Z
fˆ(λ)eixλ dλ
である．これらは S(R) から S(R) への線形な同相写像を与える．
さて f ∈ S(R) として，functional calculus により定義される作用素 f (D) を考
える．また，次のような作用素を考える．
Z
1
fˆ(λ)eiλD dλ.
g(D) :=
2π
ここで，作用素の積分（または eiλD x の L2 空間内での積分）の意味は
Z
1
(g(D)x, y) =
fˆ(λ)(eiλD x, y)dλ
2π
がすべての x, y ∈ L2 (S) について成立するということ（この式の右辺は普通の積
分である）．このとき f (D) = g(D) つまり，
Z
1
f (D) =
fˆ(λ)eiλD dλ.
2π
が成立する（D の任意の固有ベクトル x, y に対して，確かめればよい）．
さて，この公式と波動方程式の有限伝搬速度から次の命題をえる．
Proposition 3.11. f ∈ S(R) とし fˆが [−c, c] で support されてるとする．また x, y
を S の section で d(supp(x), supp(y)) > c をみたすとする．このとき (f (D)x, y) = 0
となる．結局，f (D) の smoothing kernel は M × M の diagonal の c 近傍内で
support される．
Proof.
1
(f (D)x, y) =
2π
Z
1
fˆ(λ)(eiλD x, y)dλ =
2π
Z
c
fˆ(λ)(eiλD x, y)dλ
−c
となる．波動作用素の有限伝搬性から |λ| ≤ c なので eiλD x の support は |c| ぐらい
ひろがるが，d(supp(x), supp(y)) > c なので，(f (D)x, y) = 0 である．また，f が
R
シュワルツ関数であるので smoothing operator であり，f (D)s = k(p, q)s(q)dq
と書ける. 上で述べたことから f (D)s の support は s の support が |c| 広がっただけ
である．これは k(p, q) の support が M × M の diagonal の c 近傍であることであ
る．
¥
Proposition 3.12. f ∈ S(R) とする．作用素 f (uD) は u → 0 としたとき，その
smoothing kernel は M × M の diagonal の近傍の外側では零に近づく．
35
Proof. diagonal のある近傍 U を考える．δ > 0 を diagonal から距離 2δ 以内のすべ
ての点がその近傍 U にはいるものとする．
M
diag M
2δ
2δ
M
R 上の C ∞ の bump function φ をとる
(
1 (|λ| < δ)
φ(λ) =
0 (|λ| > 2δ)
f1 , f2 をシュワルツ関数で，そのフーリエ変換が
1 λ
1 λ
fˆ1 = fˆ( )φ(λ) fˆ2 = fˆ( )(1 − φ(λ))
u u
u u
となるものとする．このとき f1 (x)+f2 (x) = f (ux) である．作用素 f1 (D), f2 (D) は
smoothing であり，前命題から f1 (D) の kernel は diagonal の 2δ 内に support され
る．よって与えた diagonal の近傍 U の外側では零であり，そこでは f (uD) = f2 (D)
である．また u → 0 のとき S(R) 内で fˆ2 → 0 であるので，フーリエ変換の性質か
ら f2 → 0 である，よって f2 (D) の smoothing kernel は C ∞ 位相で零に収束する
（see proposition 2.9）．
¥
これを熱核の場合で考えると
2
2
Corollary 3.13 (熱核の局在化性質). f として e−x ∈ S(R) を考え，f (tD) = e−tD
を考えると t → 0 としたとき，kernel は M × M の diagonal の近傍の外側では零
に近づく．
4
4.1
トレースと固有値の漸近挙動
固有値の増大度
M をコンパクト向き付けられた n 次元多様体とする．ラプラス作用素 ∆ は L2 (M )
上で離散スペクトルを持っていた（0 ≤ λ0 ≤ λ1 ≤ λ2 · · · → ∞）．この章でみるの
36
は，与えられた λ に対して
N (λ) = max{j | λj ≤ λ}
の評価である．つまり λ 以下の固有値がいくつあるかを数える．
まず，雑な評価をしてみる．s1 , · · · , sj （j = N (λ)）を固有値が λ 以下の正規直
P
交固有関数とする．s =
αi si に対して，ソボレフ埋め込み定理と楕円評価から，
µ ¶
µ ¶
µ ¶
µ ¶
k
k
k
k
2
|s(x)| ≤ kskC 0 ≤ Ckskk ≤ C(
ksk0 +
kDsk0 +
kD sk0 + · · ·
kDk sk0 )
0
1
2
k
µ ¶X
µ ¶X
X
k
k
2 1/2
≤ C(
(
|αi | ) +
(
λi |αi |2 )1/2 + · · · ≤ C(1 + λ1/2 )k (
|αi |2 )1/2
0
1
となる定数 C が存在する．ここで k は n/2 より大きい整数で最小のもの．また，
ここでの固有値は D の固有値でなく，その D2 の固有値を λi としていることに注
意（テキストは少しまちがっていて |s(x)| ≤ C(1 + λ)k/2 となっている．こちら
の方に合わせたいなら，楕円評価をラプラス作用素に対するものにする．つまり
kskk ≤ C(kskk−2 + k∆skk−2 ) を使うべきである）．
さて x ∈ M を固定して αi = s̄i (x) とすれば，左辺は，その点 x において s(x) =
P
P
s̄i (x)si (x) =
|si (x)|2 となるので，
X
|si (x)|2 ≤ C 2 (1 + λ)k
となる．これは任意の点で成り立つので，積分すれば，
j = N (λ) ≤ C 2 (1 + λ)k vol(M )
を得る．
4.2
トレースクラス作用素
固有値の漸近挙動をより詳しくみるには，熱作用素のトレースを必要とする．そ
こで作用素のトレースについて基礎的なことを見ていこう．
H, H 0 を（可分な無限次元）ヒルベルト空間とする．{ei } と {e0i } を H と H 0 の
正規直交基底とする．有界線形作用素 A : H → H 0 を
cij (A) = (Aei , e0j )
を係数とする無限次元行列で表しておく．
Proposition 4.1.
kAk2HS :=
X
|cij (A)|2 ∈ [0, ∞]
ij
は正規直交基底の取り方によらない．さらに kAkHS < ∞ となる有界線形作用素を
ヒルベルトシュミット作用素といい kAkHS をヒルベルトシュミットノルムという．
37
Proof. Aei =
P
0
0
j (Aei , ej )ej
である．よってパーセバルの定理から
X
X
X
kAei k2 =
k(Aei , e0j )k2 =
|cij (A)|2 = kAk2HS .
i
ij
ij
よって H 0 の正規直交基底の取り方にはよらない．さらに cij (A) = (Aei , ej ) =
(ei , A∗ ej ) = c̄ji (A∗ ) なので, kAkHS = kA∗ kHS となる．よって A∗ の方でみれば H
の正規直交基底のとりかたによらない．
（A がヒルベルト空間上の有界線形作用素
∗
なら A も有界線形作用素である）．
¥
Proposition 4.2.
1. A, B をヒルベルトシュミット作用素として，ヒルベルト
シュミット内積を
X
(A, B)HS =
c̄ij (A)cij (B)
とすると，これは well-defined である．
2. この内積に関して，ヒルベルトシュミット作用素の全体はヒルベルト空間と
なる．
3. kAk ≤ kAkHS ．つまりヒルベルトシュミットノルムは作用素ノルムより強い．
4. ヒルベルトシュミット作用素はコンパクト作用素である．
5. A, B をヒルベルトシュミット作用素，C を有界線形作用素とする．このとき
A + B, AC, CA, A∗ はヒルベルトシュミット作用素である．
（つまり，ヒル
ベルトシュミット作用素の全体は有界線形作用素内のイデアルである）．
Remark 4.1.
1. 後でトレースクラス作用素を定義するが A, B がヒルベルトシュ
ミットなら A∗ B はトレースクラス作用素である．このとき
X
X
(A, B)HS =
c̄ij (A)cij (B) =
(ej , Aei )(Bei , ej )
ij
X
X
X
=
((Bei , ej )ej , Aei ) =
(Bei , Aei ) =
(A∗ Bei , ei )
ij
i
∗
= Tr(A B)
2. (A, B)HS の定義において，A の方が複素歪線形になっていることに注意．こ
れはテキストがそう定義してるからである．普通は逆．
Proof. kxk = 1 となる任意の x ∈ H に対して x = e1 となる正規直交基底をとると
P
kAxk2 ≤
kAei k2 = kAkHS をえる．x 任意なので kAk ≤ kAkHS ．
ヒルベルトシュミット作用素がコンパクト作用素であることを見よう．正規直
交基底 {ei } をとる，また作用素 An を
An x =
n
X
(x, ei )Aei
i=1
38
で定義．これは有界作用素で kAn k ≤ kAk となる．この値域は高々n 次元であるの
でコンパクト作用素．一方で
(
Aej j ≤ n
An ej =
0
j>n
であり，
kAn − Ak2 ≤ kAn − Ak2HS =
X
k(An − A)ej k2 =
X
kAej k2
j>n
P
となる．ここで A がヒルベルトシュミットという仮定から j kAej k2 < ∞ なので
P
2
j>n kAej k → 0 となる．よって limn→∞ kAn − Ak = 0 となる．つまり有限ラン
クの作用素で近似できることになり，A はコンパクト作用素
¥
これらヒルベルトシュミット作用素をつかってトレースクラス作用素を調べる．
Definition 4.1. H 上の有界作用素 T がトレースクラスとはヒルベルトシュミッ
ト作用素 A, B が存在して，T = AB となるときである．またこのとき
Tr(T ) := (A∗ , B)HS
Remark 4.2. トレースの定義は A, B の取り方に依存しているが，実は T のみに依
存する．
X
X
X
Tr(T ) =
c̄ij (A∗ )cij (B) =
cji (A)cij (B) =
cjj (T )
ij
ij
となるので，T にのみ依存．また A がヒルベルトシュミット作用素なら A∗ A はト
レースクラスとなるがこのとき Tr(A∗ A) = kAk2HS になる（有限次元行列 A を考
えたとき A の行列ノルムは tr(A∗ A) であった）．
また，次の関係がある
(trace class) ⊂ (Hilbert-Schmidt) ⊂ (compact) ⊂ (bounded)
Proposition 4.3. T を自己共役かつトレースクラスとする．このとき Tr(T ) は T
の固有値の和になる．
（実は，T が自己共役でない場合にも，この事実が成立する．
Lidskii’s theorem という．証明は難）．
Proof. T はコンパクト自己共役作用素なので，固有分解ができる．そこで正規直
交基底として固有ベクトルをとって，定義にあてはめればよい．
¥
次のトレースの性質（トレースの可換性）は重要である．
39
Proposition 4.4. T と B を有界作用素とする．さらに T がトレースクラスまた
は T, B がヒルベルトシュミットとする．このとき T B, BT はトレースクラスで
Tr(T B) = Tr(BT ) が成立．
Proof. T をトレースクラス，B を有界作用素とする．T = CD（C, D はヒルベル
トシュミット）とかけるので，T B = C(DB) となる，よって DB はヒルベルト
シュミットとなり，T B はトレースクラスになる．よって命題の仮定のもとで T B,
BT はトレースクラスである．さて
X
X
(Bei , T ∗ ei )
Tr(T B) =
(T Bei , ei ) =
=
XX
i
i
(Bei , ej )(T ∗ ei , ej ) =
j
XX
(Bei , ej )(T ej , ei )
i
j
この和は次のように絶対収束である
X
X
X
|(Bei , ej )(T ej , ei )| ≤
kBei kkej k|(T ej , ei )| ≤ kBk
|(T ej , ei )| ≤ kBkkT kHS
よって，和の順序を交換してもかまわないので，Tr(BT ) となる．
¥
さて，ヒルベルトシュミット作用素やトレースクラス作用素の例を挙げよう．
Proposition 4.5. M をコンパクトで smooth volume form vol をもつとする．k を
M × M 上の連続関数とし，L2 (M ) 上の有界作用素
Z
(Au)(x) =
k(x, y)u(y)vol(y)
M
で定める．このとき A はヒルベルトシュミット作用素であり
Z Z
2
kAkHS =
|k(x, y)|2 vol(x)vol(y).
Proof. まず，M がコンパクトであることなどから
X
XZ Z
2
2
kAkHS =
kAei k =
|
k(x, y)ei (y)vol(y)|2 vol(x)
M
i
Zi X Z
=
|
k(x, y)ei (y)vol(y)|2 vol(x)
M
i
となる．x を固定して k(x, y) を y のみの関数とみればパーセバル定理（
kf kL2 ）から
Z
X Z
2
|
k(x, y)ei (y)vol(y)| = |k(x, y)|2 vol(y)
i
M
40
P
i (f, ei )L2
=
(4.1)
となる．よって
Z Z
kAk2HS
=
|k(x, y)|2 vol(x)vol(y) < ∞
となり A はヒルベルトシュミット作用素．
¥
Remark 4.3. k ∈ L2 (M × M ) でも A はヒルベルトシュミット型作用素である．実
は，A がヒルベルシュミット型作用素なら，積分核 k ∈ L2 (M × M ) が存在する．
（see [5]）
Theorem 4.6. M , A を上の命題のようにとる．また k は smooth と仮定，つまり
A は smoothing 作用素．このとき A はトレースクラスであり
Z
Tr(A) = k(x, x)vol(x).
Proof. A = BC（B, C はヒルベルトシュミット）となることを見ていく．functional
calculus のときに見たように f (x) = (1 + x)−N として f (∆) = (1 + ∆)−N を考え
ると，N 十分大なら，この f (D) は C 0 な核をもつ，よってヒルベルトシュミット
作用素になる．そこで B = (1 + ∆)−N として C = (1 + ∆)N A とすれば，C は
smoothing 作用素であり，ヒルベルトシュミットである．よって A はトレースク
ラスである．また A = BC として B, C は C 0 な核をもつとしてよい．
そこで A = BC で B, C の核を kB , kC とすると，
Z
k(x, y) = kB (x, z)kC (z, y)vol(z)
となる．また
Z Z
Z Z
u(x)kB (y, x)v(y)dydx = (u, B ∗ v)
(Bu, v) =
kB (x, y)u(y)v(x)dxdy =
なので，
kB ∗ (x, y) = kB (y, x)
となる（ベクトル束の場合なら kB ∗ (x, y) = kB (y, x)∗ となる）．さて，一般にヒル
ベルト空間でのノルムから内積を次の式で作れる：
1
(B, A) = (kA + Bk2 − kA − Bk2 + ikA + iBk2 − ikA − iBk2 ).
4
（ここで，テキストは内積の第一項目が複素歪線形なので，普通の公式と異なるこ
41
とに注意）．そこで，
Tr(A) = (B ∗ , C)HS
1
= (kC + B ∗ k2HS − kC − B ∗ k2HS + ikC + iB ∗ k2HS − ikC − iB ∗ k2HS )
4Z Z
1
=
(|kC + kB ∗ |2 − |kC − kB ∗ |2 + i|kC + ikB ∗ |2 − i|kC − ikB ∗ |2 )vol(x)vol(y)
4
Z Z
Z Z
kB (y, x)kC (x, y)vol(x)vol(y)
kB ∗ (x, y)kC (x, y)vol(x)vol(y) =
=
Z
= k(y, y)vol(y)
¥
となる．
この定理のベクトル束バージョンは次のよう
Theorem 4.7. A を核 k をもつ L2 (S) 上のヒルベルトシュミット作用素とすると，
Z Z
Z Z
2
2
kAkHS =
kk(x, y)kSx ⊗Sy∗ vol(x)vol(y) =
trSy (k(x, y)∗ k(x, y))vol(y)vol(x).
となる．ここで k(x, y) ∈ Γ(M × M, S £ S ∗ ) であるが，kk(x, y)k2 は S £ S ∗ の S,
S ∗ 上のそれぞれのファイバー内積のテンソル内積．trSy (k(x, y)∗ k(x, y)) の説明は
あとで．
また A を L2 (S) 上の smoothing 作用素で核を k とする．このとき A はトレー
スクラスで
Z
Tr(A) =
tr k(x, x)vol(x).
ここで tr : Sx ⊗ Sx∗ = End(Sx ) → C はふつうのトレースである．
Proof. φi を L2 (S) の正規直交基底とする．
X
XZ Z
2
2
kAkHS =
kAφi k =
k k(x, y)φi (y)vol(y)k2Sx vol(x)
i
Zi X Z
=
k k(x, y)φi (y)vol(y)k2Sx vol(x)
Z Zi
=
Z Z
=
kk(x, y)k2Sx ⊗Sy∗ vol(y))vol(x) by (4.1)
trSy (k(x, y)∗ k(x, y))vol(y)vol(x)
最後の等号の意味を説明しよう．S£S ∗ は M ×M 上のベクトル束で，π1∗ (S)⊗π2∗ (S ∗ )
であることに注意．k(x, y) は S £S ∗ の section であり，(x, y) ∈ M ×M では Sx ⊗Sy∗
42
の元である．さて k(x, y)∗ のいる場所は (Sx ⊗ Sy∗ )∗ = Sx∗ ⊗ Sy である．また k(x, y)∗
の意味は，transposed conjugate みたいなものであるが，正確にいえば次のように
なる：S 上にはエルミート内積が入っているので，それを用いて複素歪線形写像
S 3 u 7→ (·, u) ∈ S ∗ = S̄
が作れる．この写像を u∗ と書く（ただし (au)∗ = āu∗ に注意）．同様に S ∗ → S と
いう複素歪線形写像がつくれる．よって
Sx ⊗ Sy∗ 3 k(x, y) → k(x, y)∗ ∈ Sx∗ ⊗ Sy
という複素歪線形写像をえる．特に，x = y の場合を考えると k(x, x) ∈ End(Sx )
P
であるが，これを行列として aij ei ⊗ e∗j とかける（ここで ei は Sx の正規直交基
P
P
P
āji ei ⊗ e∗j となる．よっ
底）．そこで k(x, x)∗ =
āij e∗i ⊗ ej =
āij ej ⊗ e∗i =
て (aij ) → (āji ) であるので，これはまさに transposed conjugate である．
上のことから k(x, y)∗ は π1 (S ∗ ) ⊗ π2 (S) の section である．また k(x, y) は π1 (S) ⊗
π2 (S ∗ ) の section である．そこで π1 (S) と π1 (S ∗ ) をつぶすことにより，k(x, y)∗ k(x, y)
は π2 (S) ⊗ π2 (S ∗ ) = π2 (End(S)) の section であり，これに対してトレースを取る
ことが出来る．よって trSy (k(x, y)∗ k(x, y)) は M × M 上の関数である．
P
つぎに，この関数が kk(x, y)k2Sx ⊗Sy∗ に一致することをみるために k(x, y) =
aij (x, y)(ei )x ⊗
∗
(ej )y とする（ただし (ei )x なども x に依存）．このとき
X
X
kk(x, y)k2Sx ⊗Sy∗ = (
aij (ei )x ⊗ (ej )∗y ,
akl (ek )x ⊗ (el )∗y )
X
X
=
aij ākl δik δjl =
akl ākl
一方で
X
X
trSy (k(x, y)∗ k(x, y)) = tr((
ākl (ek )∗x ⊗ (el )y )(
aij (ei )x ⊗ (ej )∗y ))
X
X
ākl akj (el )y ⊗ (ej )∗y ))
=tr((
ākl aij δik (el )y ⊗ (ej )∗y )) = tr((
=
X
klj
ākl akl
kl
（さいごのところは ei が正規直交基底としてるので，トレースの定義）．以上から
Z Z
2
trSy (k(x, y)∗ k(x, y))vol(y)vol(x)
kAkHS =
となる．ここで注意すべきは kAk2HS = Tr(A∗ A) であり，k(y, x)∗ が A∗ の核である
43
ことである．そのことを確かめよう．
Z Z
Z Z
(Au, v) = ( k(x, y)u(y)vol(y), v(x))vol(x) =
(k(x, y)u(y), v(x))vol(y)vol(x)
Z Z
=
(u(y), k(x, y)∗ v(x))vol(y)vol(x)
Z
Z
= (u(y), k(x, y)∗ v(x)vol(x))vol(y)
となるので kA∗ (x, y) = k(y, x)∗ となる．
さて，前定理と同様にして A = BC としてよい．そして Tr(A) = (B ∗ , C) にな
るので
Z Z
∗
Tr(A) = (B , C) =
tr(kB ∗ (x, y)∗ kC (x, y))vol(x)vol(y)
Z Z
=
tr((kB (y, x)∗ )∗ kC (x, y))vol(x)vol(y)
Z Z
=
tr(kB (y, x)kC (x, y))vol(x)vol(y)
Z
= tr(kA (y, y))vol(y)
¥
4.3
ワイルの漸近公式
M をコンパクト向き付けられたリーマン多様体とし，∆ のスペクトルを
λ0 ≤ λ1 ≤ λ2 · · ·
とする．この M の幾何的情報を固有値（音の振動数とみる）から引き出せるかを
考える（太鼓の形を聞けるか？ということ）．
熱作用素は smoothing 作用素であり，トレースクラスであるので Tr(e−t∆ ) を考
R
えることができる．これは先ほどの定理から tr(kt (x, x))vol である．さらに，熱
核の漸近展開
kt (p, q) ∼
1
exp(−d(p, q)2 /4t)(Θ0 (p, q) + tΘ1 (p, q) + t2 Θ2 (p, q) + · · · )
n/2
(4πt)
と合わせれば
Tr(e−t∆ ) ∼
1
(a0 + ta1 + t2 a2 + · · · )
(4πt)n/2
を得る．ここで
Z
ai =
tr(Θj (p, p))vol(p).
M
44
さて一方で Tr(e−t∆ ) =
P
e−tλi であるので，
X
(4πt)n/2
e−tλi ∼ a0 + ta1 + t2 a2 + · · ·
(4.2)
となる．各 ai は M の幾何学量であった．実際，命題 3.9 から a0 = vol(M ), a1 =
R
1
κ(x)vol(x) となるので（このことおよび下の定理は通常の関数に作用素する
6 M
ラプラス作用素の場合を述べてる．ディラック作用素の場合などはこれにさらに S
R
の rank の情報も必要．たとえば，a0 = trΘ0 (x, x)vol なので a0 = vol(M ) dim S
となる）
Proposition 4.8. M 上のラプラス作用素のスペクトルがわかれば，M の次元，体
積，全スカラー曲率（スカラー曲率を積分したもの）がわかる．特に，dim M = 2
ならガウスボンネから M のトポロジーがわかる．
さきほどの式 (4.2) から，次のこともわかる．
Theorem 4.9 (Weyl の漸近公式). N (λ) を λ より小さい固有値の数とする．この
とき λ → ∞ で次の漸近公式をえる，
N (λ) ∼
1
(4π)n/2 Γ(n/2
+ 1)
vol(M )λn/2 .
言い換えれば j 番目の固有値に対する漸近公式（j → ∞）
µ
λj ∼ 4π
¶2/n
1
vol(M )
j 2/n
Γ(n/2 + 1)
を得る．
Proof. ２番目の式は，一番目の式で N (λ) = j ，λ = λj とすればよい．さて，
X
(4πt)n/2
e−tλi ∼ a0 + ta1 + t2 a2 + · · ·
により，
tα
X
e−tλj → A
となる．ここで α = n/2，A = (4π)−n/2 a0 = (4π)−n/2 vol(M ) である．このとき
Karamata の Tauberian 定理から
N (λ) ∼ Aλα /Γ(α + 1),
λ → ∞.
となるので Weyl’s formula が証明できる．そこで Tauberian 定理を証明しよう．
P
仮定は tα e−tλj → A である．まず，f を [0.1] 上の連続関数とし
X
φf (t) :=
f (e−tλj )e−tλj
j
45
としたとき，
Z
A
t φf (t) →
Γ(α)
∞
α
f (e−s )sα−1 e−s ds (t → 0)
(4.3)
0
であることを証明する．Weierstrass-Stone の定理とは「C([0, 1]) の任意の連続関
数は多項式により一様ノルムで近似できること．つまり多項式は C([0, 1]) で稠密」
（証明は伊藤清三「ルベーグ積分」などを参考．そこで，f を多項式として証明す
れば，すべての連続関数に関して証明したことになる．そこで f = xn とする．ま
ず左辺は
tα φf (t) = tα
X
e−t(n+1)λj ∼ (
j
t α X −tλj
)
e
∼ A(n + 1)−α ,
n+1
j
(t → 0).
一方右辺を計算すれば A(n + 1)−α である．
さて，上の式は f ∈ C([0, 1]) に対して成立することがわかったので，うまい f
をとることにより Tauberian 定理を証明しよう．r < 1 に対して fr : [0, 1] → R を
連続関数で


x ∈ [0, r/e]

0,
fr (x) =
0 ∼ e, x ∈ [r/e, 1/e]


1/x,
x ∈ [1/e.1].
この関数 fr を使って t = 1/λ とすれば，
φfr (
となる．実際 φfr ( λ1 ) =
f (e−λj /λ )e−λj /λ =
P
j
1
1
) ≤ N (λ) ≤ φfr ( )
rλ
λ
f (e−λj /λ )e−λj /λ であるので

−λj /λ −1 −λj /λ

) e
= 1, λj ≤ λ (1/e ≤ e−λj /λ ≤ 1)

(e
λ ≤ λj ≤ λ(1 + log r) (r/e ≤ e−λj /λ ≤ 1/e)
r ∼ 1,


0,
f (e−λj /rλ )e−λj /rλ =
λj ≥ λ(1 + log r) (0 ≤ e−λj /λ ≤ r/e),

−λj /rλ −1 −λj /rλ

) e
= 1, λj ≤ rλ (1/e ≤ e−λj /rλ ≤ 1)

(e
rλ ≤ λj ≤ rλ(1 + log r) (r/e ≤ e−λj /rλ ≤ 1/e)
r ∼ 1,


0,
λj ≥ rλ(1 + log r) (0 ≤ e−λj /rλ ≤ r/e),
であることからわかる．さて λ → ∞ とすれば，(4.3) で t → 0 であり，
lim sup λ−α N (λ) ≤
となる．ここで
Z ∞
Z
−s α−1 −s
fr (e )s e ds =
0
A
,
αΓ(α)
1
lim inf λ−α N (λ) ≥
Z
α−1
s
∞
ds +
0
1
46
Arα
αΓ(α)
fr (e−s )sα−1 e−s ds = 1/α + C
であることに注意．
r < 1 は任意なので 1 に近づければ（C はゼロに近づく）lim λ−α N (λ) は存在し
て A/αΓ(α). さらに αΓ(α) = Γ(α + 1) より，Karamata の定理が証明された． ¥
Remark 4.4. ラプラス作用素 ∆ に対して，ゼータ関数
X
ζ(s) =
λ−s
j
を考える．Weyl’s 漸近公式から <(s) À 0 ならばこの級数は収束する．実は ζ(s)
は C 上の有理型関数全体に解析接続でき，
Z
1
ζ(0) =
Tr(Θn/2 (x, x))vol(x)
(4π)n/2
R∞
となる．
（Γ(s)λ−s = 0 e−tλ ts−1 dt が成立するので，
Z ∞
Z ∞
1
1
s−1
−t∆
ζ(s) =
t Tr(e )dt =
ts−1−n/2 (a0 +ta1 +· · · tn/2 an/2 +· · · )dt
Γ(s) 0
(4π)n/2 Γ(s) 0
そして Ress=0 Γ(s) = 1 であるので．上の公式がいえる）．また，上の公式で super
trace をとった場合にはディラック作用素の指数がでるが，それは後で見ていく．
5
指数
5.1
次数付けとクリフォード束
超トレースを定義するまえに超代数などを定義していこう．
A が超代数とは，代数 A = A0 ⊕ A1 で
A0 A0 ⊂ A0 ,
A1 A1 ⊂ A0 ,
A0 A1 ⊂ A1 ,
A1 A 0 ⊂ A 1
となるもの．このとき ²(a0 + a1 ) = a0 − a1 として自己同型が定義される．そこで，
超代数とは代数 A が ²2 = 1 を満たす automorphism ² を持つものとしてもよい．
また a ∈ A0 or a ∈ A1 となる元を homogeneous な元とよぶ．A0 , A1 上の線形作用
素があれば A = A0 ⊕ A1 であるので，A 上線形作用素になることに注意する．例
えば，超交換子を homogeneous な元に対して
[x, y]s = xy − (−1)deg(x) deg(y) yx
と定義すれば A 上の超交換子へ拡張できる．このとき A 上の一般的な元に対しては
[a0 + a1 , b0 + b1 ]s = [a0 , b0 ]s + [a0 , b1 ]s + [a1 , b0 ]s + [a1 , b1 ]s
= (a0 b0 − b0 a0 ) + (a0 b1 − b1 a0 ) + (a1 b0 − b0 a1 ) + (a1 b1 + b1 a1 )
= (a0 b0 − b0 a0 + a1 b1 + b1 a1 ) + (a0 b1 − b1 a0 + a1 b0 − b0 a1 ) ∈ A0 ⊕ A1
47
となる．この超交換子は超リー代数の公理をみたす：
[a, b]s +(−1)deg(a) deg(b) [b, a]s = 0,
[a, [b, c]s ]s = [[a, b]s , c]s +(−1)deg(a) deg(b) [b, [a, c]s ]s .
また超中心（super-center）とは
Zs (A) := {x ∈ A | [x, y]s = 0, ∀y ∈ A}.
Example 5.1. クリフォード代数は超代数である．そしてその超中心はスカラー
C · 1 ⊂ Cln である．
Proof. まず，x ∈ Zs (Cln ) を homogeneous な元としてよい. さらに，e1 を含む項と
含まない項にわけて，x = a+e1 b と書ける（ここで deg(x) = deg(a) = deg(b)+1）．
このとき
xe1 = ae1 + e1 be1 = (−1)deg(x) (e1 a − e21 b) = (−1)deg(x) (e1 a + b)
一方 e1 x = e1 a − b である．そこで
[x, e1 ]s = (−1)deg(x) (e1 a + b) − (−1)deg(x) (e1 a − b) = 0
となるには，b = 0 となる．よって x は e1 を含まない．あとは他に ei についても
同様にすれば x はスカラーであることがわかる．
¥
また，普通の意味での Cln の中心は n が偶数ならスカラーで n が奇数ならスカ
ラーおよび top-degree である．つまり，それぞれ Z = spanC {1}, Z = spanC {1, ω}
となる．
さて，クリフォード束 S が graded とは S = S+ ⊕ S− と計量，接続を込めて分解
され，Sx = (S+ )x ⊕(S− )x がクリフォード加群の意味で graded．つまり，v ∈ Tx (M )
としたとき v(S± )x ⊂ (S∓ )x となる．べつの言い方をすれば，S 上に involution ²
（²2 = 1）で，自己共役，平行，²c(v) = −c(v)² となるものが存在．そして S± は
この ² に関する ±1 固有空間．
（自己共役が計量，平行が接続に関係してることに
注意）．
この graded クリフォード束 S = S+ ⊕ S− を考え，L2 (S) を考える．このヒルベ
ルト空間上の有界線形作用素の代数 B(L2 (S)) は超代数（super algebra）となる．
Proof. H = L2 (S) = L2 (S+ ) ⊕ L2 (S− ) = H+ ⊕ H− であるので，A ∈ B(H) に対
して
!
Ã
!
Ã
!
Ã
A++
0
0
A+−
A++ A+−
,
, A0 =
, A1 =
A=
A−+
0
0
A−−
A−+ A−−
48
とかける．つまり H± → H± となる作用素を even とし，H± → H∓ となる作用素
を odd として grading をいれれば，super algebra になる．gradeing operator は
ÃÃ
!! Ã
!
A++ A+−
A++ −A+−
²
=
,
A−+ A−−
−A−+ A−−
¥
Remark 5.1. この ² は S = S+ ⊕ S− 上に定義されてる束準同型である grading
operator ² とは異なる．詳しく言えば，束準同型の ² は
Ã
!
1 0
²=
0 −1
であり，² ∈ B(H) となる．一方，B(H) 上の grading operator である ² は
Ã
! Ã
!
1 0
1 0
²(A) =
A
=²·A·²
0 −1
0 −1
である.
さて，超トレースを定義しよう．
Definition 5.1. A を L2 (S) 上のトレースクラス作用素とする．また S は graded
とする．このとき A の超トレースを次で定義する．
Trs (A) = Tr(² · A) = Tr(A++ ) − Tr(A−− ).
ここで ² は S 上の gradeing 作用素（明らかに有界線形作用素）で
Ã
!
1 0
²=
.
0 −1
また有界線形作用素とトレースクラス作用素の積が，トレースクラスであるので
²A はトレースクラス作用素である．また A の次数が odd なら超トレースは零であ
ることにも注意．
超トレースの性質として A, B をトレースクラスとして，
Trs ([A, B]s ) = 0
がわかる（これは通常の Tr([A, B]) = 0 の super 版）．
49
Proof.
!
Ã
A++ A+−
A=
,
A−+ A−−
Ã
!
B++ B+−
B=
B−+ B−−
としたとき，[A, B]s を計算して，even のみを取り出すと
! Ã
!
Ã
A+− B−+ + B+− A−+
0
A++ B++ − B++ A++
0
+
0
A−− B−− − B−− A−−
0
A−+ B+− + B−+ A+−
¥
となる，この超トレースを計算すれば，明らかに零．
Proposition 5.1. A を L2 (S) 上の smoothing 作用素で k ∈ C ∞ (S £ S ∗ ) を核とす
る．このとき
Z
Trs (A) =
trs (k(x, x))vol(x).
M
ここで trs は局所超トレースで，a ∈ End(Sx ) としたとき，tr(²a) で定義される（²
は束同型の grading 作用素）.
Proof. graded なとき，核も graded である．つまり
Ã
!
k++ k+−
k(x, y) =
k−+ k−−
そこで ²A の核は
Ã
!
k++ k+−
²k(x, y) =
k−+ −k−−
であるので，ここでトレースは，
Z
Z
Tr(A++ )−Tr(A−− ) =
{tr(k++ (x, x))−tr(k−− (x, x))}vol(x) =
trs (k(x, x))vol(x).
M
M
¥
さて，以下では 2m 次元向き付けられた多様体上のクリフォード束を考える．クリ
フォード代数の top-term である体積要素 ω を考えると，2m 次元なので ω 2 = (−1)m
で ei ω = −ωei である．よって ²0 = im ω はクリフォード束上の grading 作用素とな
る．また，別の grading 作用素 ² があるとすると ²²0 は自己共役な involution である
ので ±1 固有空間にクリフォード束を分解すれば，分解したものも再びクリフォー
ド束であり，それぞれの grading 作用素は ²0 及び −²0 としてよい（下を参照）．
偶数次元の場合に Cln = C(2m ) であり，この実現での自然表現をとればスピ
ノール表現 ∆ である．また，代数 C(2m ) の既約表現はこの自然表現しかないので
S = ∆ ⊗ V となる．よって S = ∆ ⊗ V としたときに
End(Sx ) = Cl(Tx M ) ⊗ End(V ) = Cl(Tx M ) ⊗ EndCl (Sx )
50
となる．また grading が ∆ にのみ依存するとき，つまり (∆+ ⊗ V ) ⊕ (∆− ⊗ V ) と
なるとき S は標準的次数付け（canonically graded）をもつという．言い換える
と，クリフォード束上の grading 作用素は ²0 = im ω である．
（−²0 の grading をも
つときは anticanonically graded とよぶ）．
このノートでは特に断らない限り標準的次数付きクリフォード束を扱うことに
する．標準的次数付きクリフォード束でない場合には，S = ∆ ⊗ V としたときに
V = V + ⊗ V − となり
S + = ∆+ ⊗ V + ⊕ ∆− ⊗ V − ,
S − = ∆+ ⊗ V − ⊕ ∆− ⊗ V + ,
となる．∆ ⊗ V + は canonically graded であり，∆ ⊗ V − は anti-canonically graded
である．
さて a ∈ End(Sx ) としたときの trs a を考えよう．
Proposition 5.2. a = c ⊗ F ∈ Cl(Tx M ) ⊗ End(V ) としたとき，
trs (a) = trs (c)tr(F ).
となる．つまり（S が canonically graded のとき）超トレースの grading はクリ
フォード作用のところにのみ依存し，あとは通常のトレース．
一般には（S が canonically graded とは限らないとき）は
trs (a) = trs (c)trs (F )
となる．
Proof. S が canonically graded のときを考える．つまり ² = ²0 ．S = S + ⊕ S − =
∆+ ⊗ V ⊕ ∆− ⊗ V ．a = c ⊗ F としたとき F は V にのみ作用し，grading を変え
ない．つまり ²0 (1 ⊗ F ) = (1 ⊗ F )²0 である．よって
trs (a) = tr(²(c ⊗ F )) = tr((²(c)) ⊗ F ) = tr(²(c))trF = trs (a)trF.
次に一般の S について考える．trs (A ⊗ B) = trs (A)trs (B) が成立することをみれ
ばよい．∆ = ∆+ ⊕ ∆− , V = V + ⊕ V − と次数付けされていて，その次数付きテン
ソル積は
S + = ∆+ ⊗ V + ⊕ ∆− ⊗ V − ,
S − = ∆+ ⊗ V − ⊕ ∆− ⊗ V + ,
さて A ∈ End(∆), B ∈ End(V ) として，それぞれの次数付けに対して
!
Ã
!
Ã
B++ B+−
A++ A+−
, B=
A=
B−+ B−−
A−+ A−−
51
とすると，
Ã
!

A++ ⊗ B++ , A+− ⊗ B+−
∗


 A−+ ⊗ B−+ , A−− ⊗ B−−



Ã
!
A⊗B =

A
⊗
B
,
A
⊗
B
++
−−
+−
−+ 

∗
A−+ ⊗ B+− , A−− ⊗ B++
となるので
trs (A ⊗ B) =tr(A++ ⊗ B++ ) + tr(A−− ⊗ B−− ) − tr(A++ ⊗ B−− ) − tr(A−− ⊗ B++ )
=tr(A++ )tr(B++ ) + tr(A−− )tr(B−− ) − tr(A++ )tr(B−− ) − tr(A−− )tr(B++ )
=(tr(A++ ) − tr(A−− ))(tr(B++ ) − tr(B−− ))
=trs (A)trs (B)
¥
そこでクリフォード作用の超トレースを議論しよう．{e1 , · · · , e2m } を正規直交
基底とする．
Proposition 5.3.
c=
X
X
ci1 i2 ···ik ei1 ei2 · · · eik ∈ Cl2m
0≤k≤2m i1 <i2 ,···<ik
としたとき，
trs (c) = (−2i)m c12···(2m−1)2m
となる．すなわち，c の超トレースはスカラー倍を除けば top-term の係数に等
しい．
Proof. ²0 = im ω であるので trs (c) = tr(im ωc) = im tr(ωc) である．そこで普通のト
レース tr に対して tr(c) = 2m cφ を証明すればよい（ω 2 = (−1)m ）．ここで cφ はク
リフォード代数のスカラー部分．よって
tr(ei1 ei2 · · · eik ) = 0,
tr(1) = 2m
を証明すればよい．tr(1) = 2m は dim(∆) = 2m からわかる．さて E をベクトル空
P
間として E ⊗ E ∗ = End(E) を考える．この元を A =
aij ei ⊗ e∗j とすると行列と
しての掛け算は
X
X
X
AB =
aij bkl e∗j (ek )ei ⊗ e∗l =
δjk aij bkl ei ⊗ e∗l =
aik bkl ei ⊗ e∗l
である．つまり行列の掛け算は次のよう：
(E ⊗ E ∗ ) ⊗ (E ⊗ E ∗ ) → E ⊗ (E ∗ ⊗ E) ⊗ E ∗ → E ⊗ C ⊗ E ∗ → E ⊗ E ∗ .
52
そこで Cln = C(2m ) = ∆ ⊗ ∆∗ とみたとき，クリフォード代数のクリフォード
代数自身への作用は手前の ∆ への作用だけみればよい．つまり
TrCl (ei1 ei2 · · · eik ) = dim ∆∗ tr∆ (ei1 ei2 · · · eik )) = 2m tr∆ (ei1 ei2 · · · eik )
となる（左辺は eI の Cln への左作用．右辺は eI の ∆ への作用）．左辺をみると作
用 ei1 ei2 · · · eik は Cl2m の基底 ej1 ej2 · · · ejl を別の基底に必ず移す．よってトレース
をとれば零である．よって右辺も零．
¥
5.2
次数付きディラック作用素
P
ディラック作用素の定義は
ei ∇ei であったので grading 作用素 im ω とは反可
換である．特に D : Γ(S± ) → Γ(S∓ ) であり，自己共役．言い換えれば
Ã
!
0 D−
D=
, (D± )∗ = D∓ .
D+ 0
よって長さ２のディラック複体
D+
Γ(S+ ) −−→ Γ(S− )
を得るが，このオイラー数を考えるとそれは D+ の指数となる．つまり
Ind(D) = ind(D+ ) = dim ker D+ − dim ker D− = dim ker D+ − dim cokerD+ .
（本来なら ind(D+ ) と書くべきだが，このテキストでは次数付きディラック作用素
の指数を D+ の指数として定義して，Ind(D) と書いている）．
Proposition 5.4. f を R+ 上の急減少な滑らかな関数とし，f (0) = 1 とする．こ
のとき
Ind(D) = Trs (f (D2 )).
とくに，f として 0 の近傍だけで 1 で他では（0 固有値以外で）零となる関数をと
る．つまり 0 固有空間への射影作用素 P を考えると
Ind(D) = Trs (P ).
さらに，f として e−tx を考えると McKean-Singer の公式を得る．
2
Ind(D) = Trs (e−tD ).
53
Proof. まず，D2 は
Ã
!
D
D
0
−
+
D2 =
,
0
D+ D−
Ã
!
D
D
0
−
+
²D2 =
0
−D+ D−
である．そこで D の核への射影作用素を考えて超トレースをとると
Trs P = Tr(²P ) = dim ker D− D+ − dim ker D+ D− = dim ker D+ − dim ker D− .
さて，次に一般の場合に証明しよう．f を命題の仮定をみたす関数とする．ディ
ラック作用素の固有値は離散的なので f0 として f0 (D2 ) = P となる関数がとれる．
そこで一般の場合には f = f0 + g （g は g(0) = 0 でかつ急減少な関数）と分解で
きるので，g に対して Trs (g(D2 )) = 0 を証明すればよい．まず g = xh(x) とでき
h(x) = h1 (x)h2 (x) としてよい．ここで h1 , h2 は急減少関数．このとき
g(D2 ) = D2 h1 (D2 )h2 (D2 ) = 1/2(Dh1 (D2 )Dh2 (D2 ) + Dh1 (D2 )Dh2 (D2 ))
= 1/2[Dh1 (D2 ), Dh2 (D2 )]s
である．ここで h1 (D2 ), h2 (D2 ) は D2 の関数であり D2 は次数は零なので h1 (D2 ), h2 (D2 ), g(D2 )
は次数零である．一方 D は次数が１であることに注意．さて，一般に Trs ([A, B]s ) =
0 であったので，Trs (g(D2 )) = 0 を得る．
¥
Remark 5.2. Trs g(D2 ) = 0 であることは g = xh(x) と x が前に出せるということ
が効いている．このような公式が成立する理由は D+ D− , D− D+ の固有値零以外
の固有空間を D+ or D− により移りあうことが出来るためである．そして超トレー
スを考えるとそれらがキャンセルされるのである．
Remark 5.3. 上の命題で関数 f として急減少関数ではなく f (x) = O(x−N ) となる
（N は多様体の次元に依存．これは固有値の漸近公式から）ような関数としてもよ
い．そのとき証明での Dh1 (D), Dh2 (D) は smooth kernel でなく continuous kernel
をもつことになり，ヒルベルトシュミット作用素でその積なのでトレースがとれる．
次にディラック作用素の指数が位相不変量であることみよう．つまり M, S を固
定して，計量や接続を動かしたときのディラック作用素の族を考えたとき，指数
は不変である．よって M と S から決まるものとなる（よって，正確には微分位相
不変量であるが，基本的な例に対しては位相不変量である．スピン同境理論での
α-genus は微分位相不変量）．
M 上のクリフォード束 S を固定する．そしてディラック作用素の連続な族 Dt を
考える（t ∈ [0, 1]）．この族はリーマン計量，クリフォード作用，S 上の計量，接
続が連続に変化することによりできるものである（よって M, S の位相的なデータ
のみが変わってない）．
Proposition 5.5. Dt を次数付きディラック作用素の連続な族としたとき Ind(D0 ) =
Ind(D1 ).
54
Proof. Dt はフレドホルム作用素であり指数とはフレドホルム作用素全体上の Z に
値をもつ locally constant 関数であるので，連続のディラック作用素を動かしても，
フレドホルム作用素全体のある連結成分の中で動く．よって指数は変化しない． ¥
Remark 5.4. テキストの証明は難しくないがリゾルベントなどをつかうので上の
ように証明した．テキストの証明の概略：t → Dt は [0, 1] → B(W k+1 , W k )（any
k ）は連続である．そして楕円評価 ksk2k+1 ≤ Ck (ksk2k + kDt sk2 ) を得る．ここで
Ck は t について一様にとれる．さて，楕円評価などから (1 + Dt2 )−N という作用
素が [0, 1] → B(W k , W k+2N ) が連続（作用素 (1 + D2 )N : W k+2N → W k に対する
parametrix である）．l > dim M/2 なら埋め込み W k+l → W k がヒルベルトシュ
ミット作用素である．よって N が十分大きければ (1 + Dt2 )−N はトレースクラス
である．そしてそのトレースも t に連続に依存する．さて前の命題の remark から
Ind(D) = Trs ((1 + Dt2 )−2N ) となる．一方 Ind は整数値なので，t によらない定数
となる．
さて，Getzler の指数定理の証明の基本的なアイデアを述べる：簡単のため，こ
こではスピノール束 S = ∆ を考える．
R
2
1. まず Ind(D) = Trs (e−tD ) = trs kt である．熱核の漸近展開を考えれば
Z
1
−tD2
Trs (e
)∼
( trs Θ0 (x, x) + ttrs Θ1 (x, x) + · · · )vol(x). (t → 0)
(4πt)n/2
R
左辺は指数なので t によらないので，右辺で t によらに部分をとれば (4π)1n/2 trs Θn/2 vol
となる．(proposition 5.6)
2. ．漸近展開の各項 Θj (p, p) は Γ(End(∆)) = Γ(Cl(T M )) に入る．trs で効いて
くるのはクリフォード作用素の top-term ω である．その top-term を拾えるよ
うに核関数の空間に，うまい表象写像 σ を考え，次数付けをする．表象を考え
るとは，各点での話しを考えることである．この場合の表象は核関数 Θj (p, q)
を diagonal M 近傍の測定線座標でテーラー展開し，クリフォード作用を外積
代数に変えた σ(Θj ) である．さらに，次数は xα の次数を −|α| とし，外積代
数の次数はそのまま入れる．その（テーラー展開に関する）定数項 σ 0 (Θj ) は
Θj (p, p)（測地線座標で x = 0 とすることなので定数項）でクリフォード作用を
外積代数に置き換えたものに等しい．そして trs でひろえるのは次数が n の部
分で σn0 (Θj ) である．そこで trs (Θn/2 (p, p))vol = (−2i)n/2 σn0 (Θn/2 ) となる．例
えば Θn/2 (p, p) = ω のときは trs (ω)vol = (−2i)n/2 (e1∧ · · ·∧ en ) = (−2i)n/2 vol
となる．以上から我々がもとめるべきは σ(Θj ) である．
3. 熱方程式 (∂t + Dp2 )k(p, q) = 0 を考えたとき，微分作用素 D2 の方にもよい
grading をいれ，その表象を考える（それは外積代数値な微分作用素となる．
簡単にいえば作用素を測地線座標で表示したもの）．そのとき各点（の接空
間上）で (∂t + σ(D2 ))W = 0 をえる．この各点モデルが外積代数値の調和振
55
動子熱方程式となる．つまり，熱方程式を各点で測地線座標を使ってよーく
眺めると，それは曲率行列に付随した調和振動子熱方程式なのである．
4. 熱方程式では熱核の漸近展開ぐらいしかできないが，その表象である外積代
数に値をもつ調和振動子熱方程式は explicit に解くことが可能で（外積代数
P
なので n 次までしかないので），曲率で書けている熱表象 W = ht tj σ2j (Θj )
P 0
を得る．その定数項 tj
σ2j (Θj ) は Γ(Λ∗ T ∗ M ) の元で曲率を使って表示され
る．実はこれが Â を曲率で書いたものである．積分で拾えるは top-term のみ
であるから，top-term（n-form）を考えると σn0 (Θn/2 ) であり，先ほどのべた
ように（定数倍を除いて）trs (Θn/2 (x, x))vol となる．よって Ind(D) = Â(M )
となる．
5.3
熱方程式と指数定理
熱核の漸近展開を思い出す
kt (x, y) ∼
1
d(x, y)2
exp(−
)(Θ0 (x, y) + tΘ1 (x, y) + t2 Θ2 (x, y) + · · · ).
(4πt)n/2
4t
ここで超トレースをとれば
Z
1
−tD2
( trs Θ0 (x, x)+ttrs Θ1 (x, x)+t2 trs Θ2 (x, x)+· · · )vol(x).
Trs (e
)∼
(4πt)n/2
(t → 0)
これは t に関係なく定数であったので McKean-Singer の公式から
Proposition 5.6. 奇数次元多様体上の次数付きディラック作用素の指数は零，ま
た dim M = n が偶数のとき
Z
1
Ind(D) =
trs Θn/2 (x, x)vol(x).
(4π)n/2
ここで Θn/2 (x, x) は計量，接続およびそれらの微分から代数的に書ける．
この局所公式から次がすぐにわかる．
Corollary 5.7. M̃ を M の k 重被覆とする．S̃, D̃ を自然な持ち上げとする．この
とき Ind(D̃) = kIndD を得る．
Example 5.2. ２次元リーマン多様体上の D = d + d∗ を考える．S = Λ0 ⊕ Λ1 ⊕ Λ2 =
(Λ0 ⊕ Λ2 ) ⊕ (Λ1 ) であるので，超トレースを考えると，
Z
1
(trΘ01 − trΘ11 + trΘ21 )vol
4π
56
また
1
Θi1 = κid − Ki
6
2
∗
i
であった．ここで D = ∇ ∇ + K on Λi ．ワイゼンベック公式から K0 = K2 = 0
となり K1 = Ric となる．よって
trΘ01 = trΘ21 = κ/6 trΘ01 = trΘ21 = 2κ/6 − κ = −2κ/3
となるので，有名なガウスボンネの定理が成立する．
Z
1
Ind(D) =
κ vol
4π
（右辺はオイラー数であることに注意）．
6
Getzler の計算法
この章では，クリフォード束上の作用素に対する表象計算を行う．普通の表象
の order とは違い，指数定理を行うためのうまい order を入れる．
6.1
フィルター付き代数と表象
0
0
Definition 6.1.
1. A を次数付き代数とは，A = ⊕Am で Am Am ⊂ Am+m と
なる代数．
（例は，外積代数や対称代数）．
2. A がフィルター付き代数とは部分空間 Am（m ∈ Z）の族で Am ⊂ Am+1 かつ
Am Am0 ⊂ Am+m0 となるもの．
Example 6.1. M 上の関数に作用する微分作用素の代数 D(M ) はフィルター付き代
数である．ここで Dm (M ) は order m 以下の微分作用素の空間．
Example 6.2. クリフォード代数 Cl(V ) はフィルター付き代数である．Clm (V ) は
order m 以下の空間．
Example 6.3. 次数付き代数にフィルター付き代数の構造をいれることができる．
Am = A0 ⊕ · · · ⊕ Am とすればよい．
Example 6.4. フィルター付き代数の代数準同型の像はフィルター付き代数の構造
がはいる．例えば，A をある代数として部分代数 B およびベクトル空間 V から生
成されるとする．このとき
B ⊕ (B ⊗ V ⊗ B) ⊕ (B ⊗ V ⊗ B ⊗ V ⊗ B) ⊕ · · · → A
という全射準同型を得る．そこで B の元の次数を零．V の元の次数を 1 にすれば，
左側には次数付き代数よってフィルター付き代数である．
（V の方はテンソル代数
57
みたいなもの）．このとき A はフィルター付き代数になる．たとえば C と V を考
えれば，左辺はテンソル代数であり A としてクリフォード代数 Cl(V ) をとれば，
この方法でいれたフィルターは，Cl(V ) にもともとあるフィルターと一致する．
Definition 6.2. A をフィルター付き代数として，G を次数付き代数とする．この
とき線形写像
σ∗ : A → G
が表象写像とは，σm : Am → Gm が以下をみたす．
1. a ∈ Am−1 なら，σm (a) = 0 である．
2. a ∈ Am , a0 ∈ Am0 なら，σm (a)σm0 (a0 ) = σm+m0 (aa0 ). この性質を準同型的性
質（homomorphism-like property）とよぶ
Definition 6.3. A をフィルター付き代数とする．この A に付随した次数付き代
数 G(A) を次で定義する
G(A) = ⊕m Am /Am−1 .
（ここで積は A から自然に決まる積をいれる）．
商写像 Am → G(A)m = Am /Am−1 は表象写像 σ∗ : A → G(A) をみちびくことに
注意（またこの写像が，universal な A 上の表象写像になる）．
Example 6.5 (クリフォード代数の表象写像). A = Cl(V ) とする．これはフィル
ター付き代数であった．これに付随した次数付き代数は外積代数 Λ∗ V であり，表
象写像 σ∗ : Cl(V ) → Λ∗ V はクリフォード代数と外積代数のベクトル空間としての
同型写像である次数の部分をとったものである．たとえば
σ2 : Cl(V ) 3 a0 + a1 e1 + a2 e1 e2 + be1 e2 e1 7→ a2 e1 e2 ∈ Λ∗ V
σ1 : Cl(V ) 3 a0 + a1 e1 + a2 e1 e2 + be1 e2 e1 7→ a1 e1 + be2 ∈ Λ∗ V
さらに T M 上のクリフォード代数束 Cl(T M ) を考えれば，Γ(Cl(T M )) にフィル
ター付き代数の構造が入り，表象写像 σ∗ : Γ(Cl(T M )) → Γ(Λ∗ T ∗ M ) を得る．
Example 6.6 (微分作用素の表象写像). V を有限次元ベクトル空間として C(V ) を
V 上の関数に作用する定数係数微分作用素の代数とする．
（定数係数なので，これ
は可換代数である）．このとき C(V ) は次数付き代数であり，次数 m の部分を斉次
m 階の微分作用素とする（x∂x などは場所によって次数が変わってしまうが，今は
定数係数微分作用素を考えている）．
さて，p ∈ M に対して Tp M 上の定数係数微分作用素の次数付き代数 C(Tp M ) を
考えて，さらに C(T M ) = ∪p∈M C(Tp M ) という M 上のベクトル束を考える（rank
は ∞ である）．このとき C ∞ (C(T M )) は次数付き代数である．また，M 上の関数
に作用素する微分作用素のフィルター付き代数を D(M ) として，次のように D(M )
58
から C ∞ (C(T M )) への表象写像を定義する：p ∈ M を固定して T ∈ D(M )m とし
て，p を原点とする局所座標 xi でこの T を表示すると
T =
X
cα (x)
|α|≤m
∂α
∂xα
となるが，このとき σm,p (T ) を Tp M 上の定数係数の微分作用素として
σm,p (T ) =
X
|α|=m
cα (0)
∂α
∂xα
とする．そこで p を動かせば，C ∞ (C(T M )) の元が well-defined にさだまる．ここ
で注意すべきは Tp M の座標は p を固定しているので再び x1 , · · · , xn としている．
普通なら ξ 1 , · · · , ξ p と書くべきである．またベクトル空間 V 上の定数係数微分作
用素の代数は明らかに対称代数と同型である．つまり ∂ξα = ∂xα は ξ α としてかま
わない．よって上で定義した表象は，通常の表象と同じものである．よって
σ : D(M )m → C ∞ (S m (T M )) ' C ∞ (C(T M ))
である．このことからもわかるように上で定義した表象は order< m の微分作用
素に対しては消える．そして T ∈ Am , T 0 ∈ Am0 なら σm+m0 (T T 0 ) = σm (T )σm0 (T 0 )
を満たす．以上から表象写像である．
6.2
Getzler symbols
ここでは，例であげた微分作用素の表象とクリフォード代数の表象を合わせた
表象写像を考えよう．
M を偶数次元リーマン多様体とし S をクリフォード束とする．このとき End(S) =
Cl(T M ) ⊗ EndCl (S) であった．そこで，EndCl (S) の元を degree zero で Cl(T M )
にはクリフォード代数のフィルターをいれることにより，End(S) はフィルター付
き代数となる．これをクリフォードフィルター付けという．
さて D(S) を S の section の空間に作用する微分作用素の代数とする．この代数
は Γ(End(S)) と微分からなるので，クリフォード作用，共変微分，Γ(EndCl (S)) か
ら生成される．
Definition 6.4. D(S) の Getzler フィルター付けを次で定義する（生成元に対し
て定義して，それを拡張）
1. Γ(EndCl (S)) の作用は次数 0.
2. ベクトル場 X のクリフォード作用 c(X) の次数を 1.
3. 共変微分 ∇X を次数 1.
59
Remark 6.1. なぜこのように次数付けするかは，後で定義する熱核の次数付けと
compatible にするためである．またフィルター付き代数としての次数であることに
注意．例えば D ∈ D(S)2 であり，D2 ∈ D(S)4 となるが，実は D2 ∈ D(S)2 ⊂ D(S)4
である.
この代数に対して，表象写像を定義したい．
Definition 6.5. V をベクトル空間とする．B(V ) を V 上の関数に作用する多項
式係数の微分作用素の代数とする．これは次数付き代数であり，xα ∂ β /∂xβ の次
数を |β| − |α| と定義．さらに V = Tp M を考えて M 上のベクトル束 B(T M ) =
∪p B(Tp M ) の section の空間 C ∞ (B(T M )) は次数付き代数になる．
Remark 6.2. まえの C(V ) は対称代数と同一視できたが，今回のは V のワイル代数
である．
Example 6.7. リーマン曲率 R は End(T M ) に値をもつ 2-form である．X ∈ X(M )
として，Tp M : v → (Rp Xp , v) ∈ Λ2 (Tp∗ M ) ' Λ2 Tp M を考えると，これは線形写像
なので Tp M 上の次数が 1 の Λ2 Tp M 値な多項式となる．よって p を動かすと (RX, ·)
は Γ(B(T M )⊗Λ∗ T M ) の元である．この次数付き代数の元として，B(T M ) での次
数は −1 であり，Λ∗ T M での次数は 2 であるので，(RX, ·) の Γ(B(T M ) ⊗ Λ∗ T M )
での次数は 1 となる．
Proposition 6.1. 表象写像
σ∗ : D(S) → C ∞ (B(T M ) ⊗ Λ∗ T M ⊗ EndCl (S))
で次を満たすものが唯一つ存在する．
1. F ∈ C ∞ (EndCl (S)) ⊂ D(S) に対して σ0 (F ) = F .
2. X ∈ C ∞ (Cl(T M )) ⊂ D(S) に対して σ1 (c(X)) = X ∈ C ∞ (Λ∗ T M ).
3. ∇X ∈ D(S) に対して σ1 (∇X ) = ∂X − 41 (RX, ·) ∈ C ∞ (B(T M ) ⊗ Λ∗ T M ).
一意性は生成元に対しての条件があるのであきらかである．問題は存在（とい
うより well-defined）である．その証明はあとにまわして，このような表象写像が
存在すると仮定して，性質を少し見ていく．
Remark 6.3. 最後の σ1 (∇X ) = ∂X − 14 (RX, ·) の定義を説明する．測地線座標およ
びそれに伴うクリフォード束の標準的自明化を考えたとき，接続 ∇ = d + ω のこ
の自明化によるテーラー展開を考えよう．K をこの接続に対する曲率とする，こ
の標準的自明化に対しては Lr∂r ω = i(r∂r )K が成立する（これについては [1] を参
照）．そこで ω, K をテーラー展開して
X
xα
xα X α
=
∂ K(∂k , ∂i )(0)xk
(|α| + 1)∂ α ωi (0)
α!
α!
60
が成立する．よって
1
∂j ωi (0) = − K(∂i , ∂j )(0),
2
1
∂l ∂j ωi (0) = ∂l K(∂j , ∂i )(0)
3
などが成立．そこでクリフォード束の曲率を考えると K = RS +F S であり RS (X, Y ) =
P
1/4 ek el (R(X, Y )ek , el ) 及び F S は EndCl (S) 値２次微分形式であった．よって
X
1X S
1X S
ωi (x) ∼ −
R (∂i , ∂j )xj −
F (∂i , ∂j )xj +
fikl (x)ek el + gi0 (x)
2 j
2 j
(6.1)
X
X
1X
=−
xj ∂j )ek el +
fikl (x)ek el + gi (x)
(R(∂k , ∂l )∂i ,
8
j
kl
となる．ここで fikl (x) = O(|x|2 ) であり gi (x) = O(|x|) である．これをクリフォー
ド積を外積になおすと，
X
X
1X
(R(∂k , ∂l )∂i ,
xj ∂j )ek el +
fikl (x)ek el + gi (x)
∇i = ∂ i −
8 kl
j
X
X
1
= ∂i − (R∂i ,
xj ∂ j ) +
fikl (x)ek∧ el + gi (x)
4
j
となる．xj は ∂j の dual とみれば，曲率の項は x = (x1 , · · · , xn ) に対して一次式と
なる．このように，σ1 (∇X ) は測地線座標をとって，クリフォード積を外積代数に
して，次数１の部分を取り出したものである．つまり，表象写像とは各点 p の測
地線座標で眺めて Tp M 上の話に置き換えるのである．そして p を動かすことによ
り M 上の適当な束（B(T M ) ⊗ Λ∗ T M ⊗ EndCl (S)）の section を得ることになる．
いってみれば微分作用素の局所化．
Example 6.8 (曲率の表象). D(S) 内の関係式として
∇X ∇Y − ∇Y ∇X − ∇[X,Y ] = K(X, Y ) = RS (X, Y ) + F S (X, Y )
が成立する．ここで R をリーマン曲率とした場合に
1X
ek el (R(X, Y )ek , el )
RS (X, Y ) =
4
kl
であり，D(S) の元として次数は２である．F S は次数ゼロ．また左辺は次数２と
次数１の和になってる．つまり左辺，右辺ともフィルター付き代数としては次数
２となる．この両辺の表象写像をとってそれが一致することを確かめる．
表象の性質から σ2 (∇X ∇Y ) = σ1 (∇X )σ1 (∇Y ) および σ2 (∇[X,Y ] ) = 0 となること
に注意．Tp M の正規直交基底を e1 , · · · , en として，その Tp M の座標を x1 , · · · , xn
とする（つまり ei の dual である）．さて (RX, ·) の定義を思い出すと
1X
1X
v = xj ej 7→ (Rp ei , xj ej ) =
(Rp (ek , el )ei , ej )xj ek∧ el =
(Rp (ei , ej )ek , el )xj ek∧ el
2
2
61
となるので，
σ1 (∇i ) =
∂
1X
∂
1X
j
−
(R(e
,
e
)e
,
e
)x
e
e
=
−
Rij xj .
i
j
k
l
k∧
l
∂xi 8 jkl
∂xi 4
ここで Rij = (Rei , ej ) としている．さらに，
σ2 (∇i ∇j − ∇j ∇i ) = σ1 (∇i )σ1 (∇j ) − σ1 (∇j )σ1 (∇i )
∂
∂
1X
1X
(R(ei , es )ek , el )xs ek∧ el )( j −
(R(ej , es )ek , el )xs ek∧ el ) − {i ↔ j}
=( i −
∂x
8 skl
∂x
8 skl
∂ ∂
1X
1X
∂
∂
= i j −
(R(ei , es )ek , el )xs j ek∧ el −
(R(ej , es )ek , el )xs i ek∧ el
∂x ∂x
8 skl
∂x
8 skl
∂x
1 X
1X
−
(R(ej , ei )ek , el )ek∧ el +
(R(ei , es )ek , el )R(ej , et )ep , eq )xs xt ek∧ el∧ ep∧ eq − {i ↔ j}
8 kl
64 skl
1X
(R(ei , ej )ek , el )ek∧ el .
=
4 kl
一方
σ2 (RS (ei , ej ) + F S (ei , ej )) = σ2 (RS (ei , ej )) =
1X
(R(ei , ej )ek , el )ek∧ el
4 kl
となるので，左辺と右辺の表象は一致する．
P
Example 6.9 (ディラック作用素の表象). D =
ei ∇ei であるので D(S) での Getzler
P
次数は２である．この表象を考えよう．σ2 (D) =
σ1 (ei )σ(∇i ) であるので
σ2 (D) =
X
i
ei
X ∂
X ∂ 1X
∂ 1X
j
j
(R(e
,
e
)e
,
e
)x
e
e
e
=
ei i .
−
e
R
x
=
e
−
i j k l
i∧ k∧ l
i ij
i
∂xi 4 ij
∂xi 8 jkl
∂x
最後の等号はビアンキ恒等式からきている．表象の性質から σ4 (D2 ) = σ2 (D)σ2 (D) =
P
2
ej ∧ ei ∂x∂i xj = 0 となるので D2 の Getzler 次数が４の項は消える．実際 D2 の Getler
order は２である．
Example 6.10 (ディラック作用素の２乗の表象). D2 はワイゼンベック公式から
1
D2 = ∇∗ ∇ + κ + FS .
4
P
S
ここで FS =
i<j ei ej F (ei , ej ) であった．点 p が原点となる測地線座標をとり，
さらにクリフォード束の局所化も接続が ω(0) = 0 となるものをとおく．prop 3.9 の
P
前に書いた議論と同様にして，p において ∇∗ ∇ = − ∇i ∇i の形をしているので
¶2
Xµ ∂
1X
∗
j
σ2 (∇ ∇) = −
−
Rij x
.
∂xi 4
62
また
σ2 (FS ) =
X
ei∧ ej F S (ei , ej ) = F S .
i<j
よって
¶2
Xµ ∂
1X
j
σ2 (D ) = −
−
Rij x
+ F S.
i
∂x
4
2
6.3
熱核の Getzler 表象
ここでは熱核の Getzler 表象を定義する．また先ほどの微分作用素の Getzler 表
象が well-defined な表象写像であることをみる．熱核の漸近展開を思い出す
kt (p, q) ∼
d(p, q)2 X j
1
exp(−
t Θj (p, q)
)
(4πt)n/2
4t
i
熱核から smoothing 作用素である熱作用素が定まるが，そのような作用素に対
してまで Getzler 表象を拡張しよう．
Definition 6.6. V をベクトル空間として C[[V ]] を V 上の形式的冪級数環とす
る．多項式係数微分作用素の代数 B(V ) は自然にこの C[[V ]] に作用素する．さら
に xα の次数を −|α| とすることにより C[[V ]] は次数付き B(V ) 加群になる．これ
を T M に拡張して C[[T M ]] = ∪p C[[Tp M ]] を考えると C ∞ (C[[T M ]]) は次数付き
C ∞ (B(T M )) 加群になる．
さて s(p, q) を M × M 上の S £ S ∗ の section とする．この s(p, q) を diag(M ) ⊂
M × M でテーラー展開することにより表象を定義する．そこで q を固定して q が
原点となるように測地線座標をとり，p の局所座標 xi をとる（このとり方から，考
えてるのは diagonal の近傍だけである．よって s(p, q) の diagonal 近傍の情報のみ
を拾うことになる）．p → s(p, q) ∈ S ⊗ Sq∗ を sq (x) と書く．また，原点から測地線
にそって放射状に平行移動することにより，S の q の近傍での局所自明化をとる．
そしてゼロでテーラー展開すると
X
sq (x) ∼
sα xα
α
となる．ここで sq (0) = s(q, q) および ∇P xi ∂i sα = 0 に注意（これは後でつかう）．
また sα (0) ∈ End(Sq ) であり，これを平行移動して sα が定まるのであった．よっ
P
て α sα xα は C[[Tq M ]] ⊗ End(Sq ) の元と考える．さらに固定していた q を動かす
ことにより s から C ∞ (C[[T M ]] ⊗ End(S)) の元が定まり，それを Σ(s) と書き，s
の（diagonal 近傍における）テイラー級数とよぶ．
さて C[[Tq M ]]⊗End(Sq ) はフィルター付き代数であるので C ∞ (C[[T M ]]⊗End(S)) =
C ∞ (C[[T M ]] ⊗ Λ∗ T M ⊗ EndCl (S)) もフィルター付き代数である．そこで
C ∞ (S £ S ∗ ) 3 s → Σ(s) ∈ C ∞ (C[[T M ]] ⊗ Λ∗ T M ⊗ EndCl (S))
63
という写像を考えることにより，C ∞ (S £ S ∗ ) にフィルター付きベクトル空間の構
造が入る．つまり s が次数 ≤ m とは，Σ(s) の次数が各点で ≤ m となることと定
P i
義する．例えば Σ(s) =
ei x なら，この次数は 1 − 1 = 0 である．
Definition 6.7. 上で定義した s の次数を Getzler 次数とよび C ∞ (S £ S ∗ ) はフィ
ルター付きベクトル空間になる．
（英語でいうと微分作用素の Getzler 次数は Getzler
order で，今回のは Getzler degree とよぶ）．さらに次を Getzler 表象とよぶ．
σ∗ : C ∞ (M × M, S £ S ∗ ) 3 s → Σ(s) ∈ C ∞ (M, C[[T M ]] ⊗ Λ∗ T M ⊗ EndCl (S))
0
右辺の次数は n 以下（負もありえる）であることに注意. また σm
(s) をテーラー展
開 σm (s) の定数項として，これを Getzler 表象の定数部分とよぶ．
Remark 6.4. 重要なことはテーラー展開は測地線座標で行ってること（勝手な座標
系では駄目）．各点 q に対して測地線座標は唯一つきまる．そこでその座標でテー
ラー展開して，さらに q を動かすことにより M 上の適当な束の section を得るの
である．
Remark 6.5. C ∞ (S £ S ∗ ) は合成により積構造をもつが，先ほどの次数とは相性が
悪く，次数つき代数にはならない．特に，上の表象写像は表象写像の２番目の条
件をみたさない．しかし，次の命題でわかるように次数付き D(S) 加群の構造を
もつ．
P
0
Remark 6.6. σm
(s) の意味を考える．テーラー展開の
sα xα での定数項 s0 ∈
C ∞ (End(S)) である．この s0 が C ∞ (End(S)) の元として次数 m のときクリフォー
0
ド表象によって σm
(s) が C ∞ (Λ∗ T M ⊗ EndCl (S)) の元を与える．つまり σm (s) は
0
C ∞ (C[[T M ]] ⊗ Λ∗ T M ⊗ EndCl (S)) であるが σm
(s) の元は C ∞ (Λ∗ T M ⊗ EndCl (S))
0
である．さらに s0 = s(q, q) であったので σm
(s) は s(p, p) ∈ C ∞ (End(S)) であり，
0
これをクリフォード表象でうつしたものである．以上から σm
(s) は s(p, p) のクリ
フォード表象そのもの．そして trs s(p, p) をとるとき，残るのはクリフォード作用
の top-term であった．これは表象の top の次数である n 次の項に対応してる．つ
まり trs s(p, p)vol = (−2i)n/2 trσn0 (s) が成立．
Proposition 6.2. T ∈ D(S) を D(S) の生成元のいずれかとする．つまり T = F ∈
C ∞ (EndCl (S)), T = c(X), or T = ∇X ．また m = 0, 1 を T の Getzler 次数とする．
さらに Q を C ∞ (S) 上の smoothing 作用素として，その核を s とし，Getzler 次数
を ≤ k とする．このとき smoothing 作用素 T Q の Getzler 次数は ≤ m + k であり，
σm+k (T Q) = σm (T )σk (Q)
が成立する．ここで右辺の積は C ∞ (C[[T M ]]⊗Λ∗ T M ⊗EndCl (S)) を C ∞ (B(T M )⊗
Λ∗ T M ⊗ EndCl (S)) 加群としてみている（B(T M ) は C[[T M ]] に作用するのであっ
た．外積は普通に外積で作用させる．EndCl (S) のところは普通に合成）．
64
Remark 6.7. 上のことは生成元ではなく，一般の場合に証明されるが，我々はまだ
D(S) 上の表象写像が well-defined であること証明していない．この命題を用いて
well-defined であることを次の系で証明する．その証明が終われば，上の命題は一
般の場合に適応できることになる．
P
Proof. 核 s のテーラー展開を sq (x) ∼
sα xα とする，局所座標のとり方は以前と
同様にとる．
まず T = F の場合を考える．(F s)(p, q) = F (p)s(p, q) である. まず F が点 q か
ら放射線状の平行移動から作られる section のとき，F のテーラー展開したとき定
P
数行列であるので，F s のテーラー展開は F sα xα となる．つまり係数は F sα と
なる．よってこの場合に σk (F s) = σ0 (F )σk (s) は明らかである．そこで F を一般の
section として F0 を上のような section とし q で一致するものとする．よって F − F0
P
のテーラー展開での定数項は消える．つまり F − F0 = |α|≥1 Gα xα となる．そこ
P
で (F − F0 )s =
Gβ sα xβ+α ．ここで deg(sα ) ≤ |α| + k であることに注意する．ま
た deg(Gβ ) = 0 である．deg(Gβ sα xβ+α ) ≤ k − |β| となる．そして |β| ≥ 1 なので
σk ((F − F0 )s) = 0 となる. また点 q では定義から σ0 (F ) = σ0 (F0 ) である．以上を
合わせると
σk (F s) = σk (F0 s) = σ0 (F0 )σk (s) = σ0 (F )σk (s).
次に T = c(X) の場合を考える．各点の近傍だけをみればよいので，上と同様
に点 q の近傍で考える．まず放射線状の平行移動から決まるようなベクトル場 X
の場合には σk+1 (c(X)s) = σ1 (c(X))σk (s) は明らかである．次に同様にして X お
P
よびえ X0 で q で一致するものを考える．c(X − X0 )s =
Gβ sα xβ+α ．ここで
deg(Gβ ) = 1 である．deg(Gβ sα xβ+α ) ≤ k − |β| + 1 となる．そして |β| ≥ 1 なの
で σk+1 (c(X − X0 )s) = 0 となる. また点 q では定義から σ1 (c(X)) = σ1 (c(X0 )) であ
る．以上を合わせると
σk+1 (c(X)s) = σk+1 (c(X0 )s) = σ1 (c(X0 ))σk (s) = σ1 (c(X))σk (s).
さて最後に T = ∇X の場合を考える．同様に測地線座標をとっておいて X = ∂i
P i
の場合に証明すれば十分である．また Y =
x ∂i とする．s を ∇Y s = 0 となる
section とする（s ∼ s0 と定数項しかない．また deg(s) = k とする．つまりクリ
フォード積の部分が次数 k である）．そして
X
∇X s ∼
t α xα
とする（よって tα は k 次である）．このとき
∇X ∇Y s − ∇Y ∇X s − ∇[X,Y ] s = K(X, Y )s
を考える．[X, Y ] = X, ∇Y s = 0, Y (xα ) = |α|xα となるので
X
0 − ∇Y (
tα xα ) − ∇X s = K(X, Y )s
X
X
−
tα |α|xα −
tα xα = K(X, Y )s
65
よって
K(X, Y )s = K(∂i ,
X
xj ∂j )s =
X
Kij xj s ∼ −
X
(|α| + 1)tα xα
α
この左辺を眺めると s = s0 は定数項のみなので Kij の方をテーラー展開し，Kij =
P
β
S
S
β (rij;β + fij;β )x とする．ここで K = R + F なので rij;β の次数は２で fij;β の
次数はゼロ．よって deg(fij;β sxβ xj ) = k − |β| − 1, deg(rij;β sxβ xj ) = k − |β| − 1 + 2
となる．以上から k + 1 のところを拾うなら
X
X
X
σk+1 (K(X, Y )s) = σk+1 (
Kij xj s) = σk+1 ( (rij;β + fij;β )xβ xj s) =
rij,0 xj s
で，rij,0 = RS ((∂i )q , (∂j )q )q である．また
X
X
X
Kij xj s ∼
(rij;β + fij;β )xβ xj s = −
(|α| + 1)tα xα
α
であるのが，k + 1 次の部分は x の多項式として一次の部分である．つまり右辺で
P
は −(1 + 1) tj xj である．以上から
∇X s = −
1X j S
1X j
x ek el (R(∂i , ∂j )ek , el )s+lower
x R (∂i , ∂j )s+(Getzler 次数が)lower = −
2
8 klij
を得る．ここで Rij = (R∂i , ∂j ) =
σk+1 (∇X s) = −
1
2
P
k,l
R(∂k , ∂l )∂i , ∂j )ek∧ el . 両辺の表象をとれば，
1X j
1X
x (R(∂i , ∂j )∂k , ∂l )ek∧ el∧ σk (s) = −
Rij xj ∧ σk (s).
8
4
さて一方で σ1 (∇X )σk (s) を考えると，s は定数項とみなすので ∂i s = 0 であり，残
るのは
1X
−
Rij xj ∧ σk (s)
4
となる．次に一般の s の場合であるが，s ∼ sα xα の場合にみれば十分である. ここ
で deg(sα ) = k + |α| および ∇Y sα = 0．証明はほとんど同じなので省略する． ¥
Corollary 6.3. D(S) 上の Getzler 表象は well-defined である．つまり T ∈
D(S)m , Q ∈ D(S)k として，
σm+k (T Q) = σm (T )σk (Q).
Proof. B = C ∞ (EndCl (S)) とし，V = X(M ) ⊕ X(M ) とすれば，これらから作ら
れるフィルター付き代数
B ⊕ (B ⊗ V ⊗ B) ⊕ (B ⊗ V ⊗ B ⊗ V ⊗ B) ⊕ · · ·
を考えれば，この代数上で定義される Getzler 表象は表象写像である．問題はこの
表象写像が D(S) を factor through するかどうかである．つまり D(S) の生成元の
66
間の関係式に対して well-defined かどうかを確かめる必要がある．例えば example
6.8 においての関係式に対しては well-defined であることをたしかめたのであった．
さて，T ∈ D(S)m として，T̃ を T のある表示とする（これは生成元で書いたと
き，例えば T = ∇X ◦ F ◦ ∇Y とかけたとき (∇X F )∇Y + F ∇X ∇Y という表示など
P
もできる．この意味である表示と言っている）．その表示を T̃ =
ab · · · d と書い
ておく a, b, · · · , d は生成元．このとき σm (T̃ ) が T にのみ依存することを証明すれ
ばよいのである（そうすれば関係式に関して well-defined であることを証明したこ
とになる）．さて Q を smoothing 作用素として，前命題を繰り返し使えば
X
σm+k (T Q) = σm+k (T̃ Q) =
σdeg a (a)σm+k−deg a (b · · · dQ)
X
= ··· = (
σdeg a (a)σdeg b (b) · · · σdeg d (d))σk (Q) = σm (T̃ )σk (Q)
となる．σk (Q) は任意の形式的冪級数であり，σm (T̃ ) は多項式係数の微分作用素
であるので，この方程式 σm+k (T Q) = σm (T̃ )σk (Q) から σm (T̃ ) は唯一つに決まる．
つまり T にのみ依存している．
¥
さて，熱核 kt (p, q) は熱方程式
¶
µ
∂
2
+ Dp kt (p, q) = 0.
∂t
を満たしたが，その表象版を考えよう．
Proposition 6.4. 熱核の漸近展開における Θj (p, q) ∈ C ∞ (S £ S ∗ ) の Getzler 次
数は ≤ 2j である．さらに熱表象（heat symbol）
n/2
1
kxk2 X j
Wt : =
exp(−
)
t σ2j (Θj )
(4πt)n/2
4t i=0
= ht
n/2
X
tj σ2j (Θj ) ∈ C ∞ (C[[T M ]] ⊗ Λ∗ T M ⊗ EndCl (S))
i=0
は，
（C ∞ (C[[T M ]] ⊗ Λ∗ T M ⊗ EndCl (S)) 内での）微分方程式
∂Wt
+ σ2 (D2 )Wt = 0
∂t
2
を満たす．ここで exp(− kxk
) ∈ C ∞ (C[[T M ]]) と見ていることに注意．つまり Tp M
4t
2
) である．さらに Wt はこの微分方程式を満た
の座標を xj としたときの exp(− kxk
4t
n/2
し ht (v0 + tv1 + · · · + t vn/2 )（vj の Getzler 次数が 2j かつ v0 = 1）という形をし
た唯一つの解である．
Proof. Theorem 3.8 の証明を思い出す．表象写像は M ×M に diagonal M の近傍で
定義されればよかったので, 点 q を固定して，それを原点とするような測地線座標
67
を選んでおく．Theorem 3.8 において形式的に (x, t) → ht (x)(u0 (x) + tu1 (x) + · · · )
を考え，微分方程式系
∇∂r (rj g 1/4 uj ) = −rj−1 g 1/4 D2 uj−1
を得た．ただし u−1 = 0 としてる．また u0 (0) = id とすれば uj は unique に決ま
るのであった．u0 は u0 (0) = id と ∇∂r (g 1/4 u0 ) = 0 から定まる．また g 1/4 (x) =
P p q
1
1 − 12
x x Ripqi + O(|x|3 ) であった（g の次数は 0 以下である）．以上のことか
ら u0 の次数は ≤ 0 となる．次に u1 を考えると D2 の次数が２であるので D2 u0 の
次数は ≤ 2 である．あとは多項式部分（次数は負）なので，u1 の次数は ≤ 2 とな
る．あとは帰納法により uj の次数は ≤ 2j である．さて上の微分方程式で表象を
とれば Tq M 上で
(
∂ j
1X
∂
Rij xj xi )(rj σ2j (uj )) =
−
(r σ2j (uj )) = −rj−1 σ2 (D2 )σ2j−2 (uj−1 )
∂r 4
∂r
これは ∂Wt /∂t + σ2 (D2 )Wt = 0 の解を t に対して漸近展開したときの漸化式であ
る．特に次数 > n の項は存在しないので σ2j (uj ) = 0（j > n/2）．この漸化式は原
点での u0 の値により完全に決定されるので一意性もわかるので，命題が証明でき
た．
¥
さて，前にみたように
1
Ind(D) =
(4π)n/2
Z
trs Θn/2 (p, p)vol
M
である．ここで Θn/2 は熱核の漸近展開のある項である．Θn/2 (p, p) は C ∞ (Cl(T M )⊗
EndCl (S)) の元であるがその超トレースをとるにはクリフォード作用が top-degree
の部分とればよいのであった．また，それは σn0 (Θn/2 ) ∈ C ∞ (Cl(T M ) ⊗ EndCl (S))
に一致する．命題 5.2 を使えば
trs Θn/2 vol = (−2i)n/2 tr(σn0 (Θn/2 ))
つまり trs (·)vol を計算するにはクリフォードの top-degree ω を外積代数 ω =
vol = e1∧ · · · ∧ en に直して，ふつうのトレース（外積代数部分は関係ない．つまり
tr = trS/∆ と思える）をとればよいのである．そこで我々は σn0 (Θn/2 ) を計算でき
れば，指数定理がわかる．つまり
∂Wt
+ σ2 (D2 )Wt = 0
∂t
の解を厳密にかくことができればよい．この方程式は Tp M 上でとけばよく，実は
調和振動子に対する熱方程式になっている．そこで調和振動子を議論しよう．
68
7
7.1
調和振動子
調和振動子とメーラーの公式
Definition 7.1. 調和振動子とは，次の L2 (R) 上の非有界線形作用素 H またはそ
の解のことである：
d2
H = − 2 + a2 x2
dx
ただし a > 0 とする．さらに消滅演算子を A := ax + d/dx とし，生成演算子を
A∗ := ax − d/dx と定義する．
以下では，H のスペクトル理論を考える．まず，これらの作用素はシュワルツ
空間 S(R) を定義域とすれば S(R) を S(R) へ写像する．さらに (Au, v) = (u, A∗ v)
（u, v ∈ S(R)）が成立する．そして関係式を書けば
AA∗ = H + a A∗ A = H − a
[A, A∗ ] = 2a
[H, A∗ ] = 2aA∗
[H, A] = −2aA,
Definition 7.2. H の基底状態とは ψ0 ∈ L2 (R) で Aψ0 = 0 および kψ0 k = 1 を満
たすもの．
基底状態は Hψ0 = aψ0 を満たす ψ0 は H の固有関数である．実際に基底状態を
もとめよう．
dψ0
+ axψ0 = 0
dx
なので
Z
Z
dψ0
= −a xdx
ψ0
2 /2
である．よってこの解として ψ = Ce−ax
となる．以上から基底状態は
を得るが kψ0 k = 1 により C = a1/2 π 1/4
ψ0 = a1/2 π 1/4 e−
ax2
2
となる．次に H の励起状態を帰納的に
ψk :=
1
A∗ ψk−1 ∈ S(R).
(2ka)1/2
で定義．このとき
Lemma 7.1. ψk はシュワルツ関数であり，その固有値は (2k + 1)a であり，kψk k =
1.
69
Proof. ψk がシュワルツ関数なのは明らか．帰納法で証明する
1
HA∗ ψk−1
(2ka)1/2
1
=
(A∗ H + 2aA∗ )ψk−1
1/2
(2ka)
1
A∗ ((2k − 1)a + 2a)ψk−1
=
(2ka)1/2
Hψk =
= (2k + 1)aψk .
次に
1
(A∗ ψk−1 , A∗ ψk−1 )
2ka
1
=
(AA∗ ψk−1 , ψk−1 )
2ka
1
((H + a)ψk−1 , A∗ ψk−1 )
=
2ka
1
=
(2kaψk−1 , A∗ ψk−1 ) = 1
2ka
kψk k2 =
¥
Lemma 7.2. ψk (x) = hk (x) exp(−ax2 /2) とかける．ここで hk (x) は次数 k で leading 係数が正の多項式．
Proof.
1
1
A∗ ψk−1 =
(ax − d/dx)(hk−1 (x) exp(−ax2 /2))
1/2
(2ka)
(2ka)1/2
1
=
(axhk−1 (x) − h0k−1 (x) + axhk−1 (x)) exp(−ax2 /2)
1/2
(2ka)
1
=
(2axhk−1 (x) − h0k−1 (x)) exp(−ax2 /2)
(2ka)1/2
hk (x) exp(−ax2 /2) =
¥
となるので帰納法からわかる．
正規化すれば hk はエルミート多項式であることがわかる．さらに上の命題から
{ψk }k の linear span は
P = {x 7→ p(x) exp(−ax2 /2) | p polynomial} ⊂ L2 (R).
Proposition 7.3. P は L2 (R) 内で稠密である．
70
2
Proof. a = 1 としてよい．fj (x) = xj e−x /2 とする．これを計算すると
Z ∞
2
2
kfj k =
x2j e−x dx
−∞
Z ∞
dy
=2
y j e−y √
(y = x2 )
2 y
−∞
= Γ(j + 1/2) ≤ j!
となるので，
e
iλx−x2 /2
=
∞
X
(iλ)j
j=0
j!
P
fj (x) ∈ L2 (R)
と書ける（≤
|λ|j (j!)−1/2 < ∞）．fj ∈ P なので eiλx−x
f ∈ L2 として P̄ に直交してるとする．このとき
Z ∞
2
f (x)eiλx−x /2 dx = 0 (∀λ ∈ R).
2 /2
∈ P̄ となる．さて
−∞
しかし Plancherel の定理から F(f (x)e−x
よって f = 0 in L2 (R)．
2 /2
2 /2
) = 0 (a.e.) なので f (x)e−x
= 0 (a.e.)．
¥
このように L2 (R) を H の固有空間により完全直交分解（スペクトル分解）でき
る．ここで固有値は離散で ∞ に発散する．このように H はコンパクト多様体上の
ディラック作用素（の２乗）のように振舞う．
Lemma 7.4. u ∈ L2 (R) とする．u ∈ S(R) となるための必要十分条件はフーリエ
係数 ak = (ψk , u) が k について急減少．
Proof. u ∈ S(R) とする，このときすべての l に対して H l u ∈ S(R) である．(ψk , H l u) =
(H l ψk , u) = ((2k + 1)a)l (ψk , u) = ((2k + 1)a)l ak < ∞. よって ak は k について急減
少関数である．
逆にフーリエ係数が急減少とする．このときすべての l に対して (A∗ )l u のフー
√
リエ係数は急減少である（(ψk , (A∗ )l u) = (Al ψk , u) = ( k)p ak−l となり ak−l は急
減少なので）．同様に (A)l u のフーリエ係数は急減少である. そこで D = id/dx,
M = x という演算に対しても Dl u, M l u のフーリエ係数は k について急減少であ
る．よって p(M, D)u ∈ L2 (R) であるので u ∈ S(R) となる．
¥
この補題を使えば次がわかる．
Proposition 7.5. f を H の固有値上の有界関数とする f (H) は L2 (R) 上の有界線
形作用素で f → f (H) は H の固有値上有界関数の環から B(L2 (R)) への準同型で
ある．さらに f (H) は S(R) を S(R) へ写す．
71
さて，以下の準備のもとで調和振動子熱方程式を考える．
∂u
+ Hu = 0.
∂t
この方程式の解作用素 e−tH は上の命題とヒルベルト空間の理論をつかって定義さ
れる（この章でこれまでのべたことは，このこと及び次のことが言いたかったか
らである）．そして熱核 ktH ∈ S(R × R) が存在する．つまり
Z
−tH
e u(x) = ktH (x, y)u(y)dy.
コンパクト多様体のときと同様に熱核は S(R × R) に属し，x 変数について熱方程
式をみたし，t → 0 のとき δ 関数のようにふるまうものとして特徴付けできる．
調和振動子熱核の場合は漸近展開でなく，完全に解を求めることが可能である．
まず y = 0 の時の解をもとめる．
1
ktH (x, 0) = u(x, t) = α(t)e− 2 β(t)x
2
として，代入すれば，
1
d2
2
+ ax2 )(α(t)e− 2 β(t)x )
2
dx
1
1
1
2
2
2
= α(t)β(t)e− 2 β(t)x − α(t)β(t)2 x2 e− 2 β(t)x + ax2 α(t)e− 2 β(t)x
Hu = (−
1
= α(t)(β(t) − β(t)2 x2 + ax2 )e− 2 β(t)x
2
1
1
∂u
1
2
2
= α0 (t)e− 2 β(t)x − α(t) β 0 (t)x2 e− 2 β(t)x
∂t
2
1
1
2
= (α0 (t) − α(t) β 0 (t)x2 )e− 2 β(t)x
2
となるので，
β 0 = 2(a2 − β 2 ),
α0 = βα
を得る．この微分方程式を解こう．
Z
Z
Z
1
1
1
1
1
dβ =
+
dβ = (− log |a−β|+log |a+β|)+c
2t = 2 dt =
2
2
a −β
a
a−β a+β
a
となり β がもとまる．さらに t → 0 のとき β(t) → ∞ という条件（S(R) 内で解
がほしいので）を課せば β(t) = a coth(2at) となる．またこれを代入して α がもと
まり
C
β(t) = a coth(2at), α(t) = p
sinh(2at)
α の定数項を (a/2π)1/2 （これは単なる正規化 t → 0 で δ にするため）とすれば，
¶
µ
√
a
1
2
u(x, t) = p
exp − a coth(2at)x
2
2π sinh(2at)
72
という解を得る．さらに t → 0 のときに
u(x, t) ∼ √
1 −x2 /4t
e
4πt
であることがわかり，
Z
1
2
√
e−x /4t s(x)dx → s(0)
4πt
となる（y = 0 としていた）ので t → 0 の時，u(x, t) は δ 関数のようなふるまいを
する．以上から u(x, t) は熱核である．
Proposition 7.6. 調和振動子熱核は次をみたす
µ
¶
r
a
ax2 coth(2at)
u(x, t) =
exp −
2π sinh(2at)
2
この公式を Mehler の公式とよぶ．
（cosh x = 1/2(ex + e−x ), sinh = 1/2(ex − e−x ),
tanh x = sinh x/ cosh x, coth x = cosh x/ sinh x）
Remark 7.1. ktH (x, y) = α(t) exp(− 12 β(t)(x2 + y 2 ) − γ(t)xy) と仮定して，微分方程
式をとけば次の一般的な Mehler の公式を得る：
µ
¶
r
a
a(x2 + y 2 ) coth(2at) + 2cosech(2at)xy
H
kt (x, y) =
exp −
.
2π sinh(2at)
2
上の仮定は H が微分と積に関して２次であるので x, y に対してガウス関数とな
る解をさがすためである．また x, y に対して対称であるべきなので，上のように
ktH (x, y) をおいた．
Remark 7.2. 上で行った調和振動子の解析において a は実数である必要がある．し
かし熱核 u(x, t) は a ∈ C, |a| ≤ π/2t のとき解析的関数である（t → 0 とすれば C
上の解析関数に近づくである）．そこで解析接続を行えば a が複素数の場合でも u
は熱方程式
∂u ∂ 2 u
− 2 + a 2 x2 u = 0
∂t
∂x
の解となる．ただし a が実でない場合には，u はシュワルツ関数ではないので，一
意性などは先ほどのようにははいえない．また我々が欲しいしきは a2 が負の場合
である．
7.2
行列に付随した一般化された調和振動子
Proposition 7.7. (Rij )ij を実歪対称行列とする．また F を実数とする．このと
き次の微分方程式を考える
Ã
!2
1X
∂w X ∂
−
+
Rij xj w + F w = 0
i
∂t
∂x
4
i
j
73
この方程式は十分小さい t に対して Rij , F に対して解析関数であり，t → 0 のとき
漸近的に (4πt)−n/2 exp(−|x|2 /4t) となる解が存在する．さらに，その解を書くと
µ
¶
µ
¶
1
tR/2
1 tR
tR
1/2
det
exp − h coth( )x, xi exp(−F ).
(4πt)−n/2
sinh tR/2
4t 2
2
Remark 7.3. h tR
coth( tR
)x, xi は x = (x1 , · · · , xn ) とベクトルと考え，行列をかけ
2
2
て内積をとったものである．特に³exp してるのは
x の２次式であり，ガウス関数的
´
R/2
−R/2
sinh R/2
なものである．また g(R) = det
) を考えると R = 0 の
= det( e −e
R/2
R
ときに 1 であるので g(tR)−1/2 は t が十分小さいときに解析関数である．R を正規
直交基底により
Ã
!
0 θi
−θi 0
の形に正規化する（奇数次元のときは最後に θ2k+1 という項も必要）．このとき
Ã
!
Ã
!
0
θi /2
0
sin θi /2
det sinh
= det
= sin2 (θi /2)
−θi /2 0
− sin θi /2
0
Ã
!
0
θi /2
det
= θi2 /4
−θi /2 0
となるので
µ
det
1/2
R/2
sinh R/2
¶
=
Y θi /2
.
sin θi /2
(7.1)
この式からみればわかるように θi が 0 に近ければ，定義できる．しかし
θi = 2π な
´
³
tR/2
1/2
は t が十分小さいな
どとなると，定義できなくなる．このように det
sinh tR/2
ら定義される．
Proof. F = 0 の場合にみれば十分である．また適当な基底をとって R が 2 × 2 行列
Ã
!
0 θi
−θi 0
の場合にみればよい．まず方程式は
µ
µ
¶2
¶2
∂
θy
∂
θx
∂w
−
−
w−
+
w = 0.
∂t
∂x
4
∂y
4
そこで
L0 = −(∂x2 + ∂y2 ) −
1 2 2
θ (x + y 2 ),
16
74
1
L1 = θ(x∂y − y∂x ).
2
と微分の項を分ける．もともの熱方程式が回転で不変であるのでもとめたい解 w
は L1 w = 0 をみたす．そこで解くべき式は ∂w/∂t + L0 w = 0 である．また L0 を
x と y に分離でき，方程式は変数分離法でとける．そこで
∂w ∂ 2 w
1 2 2
−
θ x w = 0.
−
∂t
∂x2
16
この微分方程式は調和振動子熱方程式を解析接続したものである（調和振動子で
a = iθ/4 としたもの）．よってその解は調和振動子熱方程式の解を解析接続した
µ
w(x, t) = (4πt)
−1/2
itθ/2
sinh itθ/2
¶1/2
1
exp(− iθx2 coth(itθ/2)).
8
よって 2 × 2 行列 R に対する，熱核は
¶
µ
1
tθ/2
−1
w(x, y, t) = (4πt)
exp(− iθ(x2 + y 2 ) coth(itθ/2))
sin tθ/2
8
となる．あとは (7.1) とあわせればよい．
7.3
¥
熱表象の解と指数定理
proposition 6.4 を思い出す．
n/2
1
kxk2 X j
Wt : =
exp(−
)
t σ2j (Θj )
(4πt)n/2
4t i=0
= ht
n/2
X
tj σ2j (Θj ) ∈ C ∞ (C[[T M ]] ⊗ Λ∗ T M ⊗ EndCl (S))
i=0
は，微分方程式
∂Wt
∂Wt X
+ σ2 (D2 )Wt =
−
∂t
∂t
µ
∂
1X
−
Rij xj
i
∂x
4
¶2
Wt + F S Wt = 0
を満たした．これは先ほどの式と同様である．ただし R は係数が２次微分形式と
なる歪対称行列，F は EndCl (S) 値の２次微分形式であることに注意する．微分形
式と EndCl (S) は可換であり，微分形式の次数は２次なので，R の各成分は可換で
あり，F とも可換である．さらに２次微分形式は n 次までしかないので, 熱方程式
の解
1
W =
det 1/2
(4πt)n/2
µ
tR/2
sinh tR/2
¶
¶
tR
1 tR
exp − h coth( )x, xi exp(−F )
4t 2
2
µ
∈ C ∞ (C[[T M ]] ⊗ Λ∗ T M ⊗ EndCl (S))
75
は t によらず収束する．
（前 subsection では t が十分小さい必要があったが，今回は
−1
R 6= 0 なら R なども形式的にとれば n 次までしかないので収束する）．さらに，
この W を展開すると
1
(v0 + tv1 + · · · + tn/2 vn/2 )
(4πt)n/2
となる. ここで vj の Getzler 次数は 2j 以下で，v0 (0) = id となる．prop 6.4 で述べ
た一意性から, うえの W は
n/2
X
ht
tj σ2j (Θj )
i=0
に一致する．そこで定数項をとりだすために，x = 0 とすればよい．
Proposition 7.8. ディラック作用素の熱核の漸近展開において現れる Getzler 表
象の定数部分は
n/2
X
µ
0
σ2j
(Θj )
= det
1/2
j=0
R/2
sinh R/2
¶
exp(−F ) ∈ C ∞ (Λ∗ T M ⊗ EndCl (S))
さて，prop 6.4 の後で見たように，
1
Ind(D) =
(4π)n/2
Z
trs Θn/2 (p, p)vol
M
であり，
trs Θn/2 vol = (−2i)n/2 tr(σn0 (Θn/2 ))
である（ここで vol = ω = e1∧ · · · ∧ en である．さらに右辺の核の表象では，クリ
フォード作用 ω を n-form vol にしたのであった．trs ω = (−2i)n/2 の定数部分を調
節してる）．
³
´
R/2
そこで σn0 (Θn/2 ) はまさに det 1/2 sinh
exp(−F ) の n 次の部分である．つま
R/2
り trs Θn/2 は
µ
n/2
(−2i)
det
1/2
R/2
sinh R/2
¶
trS/∆ (exp(−F ))
の n 次の部分である．これは Â(M ) と相対チャーン指標 ch(S/∆) の積 Â(M )ch(S/∆)
の n 次の部分に (−2i)n/2 (2πi)n/2 倍したものである（相対チャーン指標などについ
ては次の subsection をみよ）．以上から
Theorem 7.9 (指数定理). M をコンパクト偶数次元向き付けられた多様体とし S
を graded クリフォード束，D をそのディラック作用素とする．このとき
Z
Ind(D) =
Â(M )ch(S/∆).
M
76
Remark 7.4. このノートでは，S が canonically graded なクリフォード束のみを扱っ
てきた．つまり S = ∆ ⊗ V と局所的に分解したとき，grading は ∆ のみからくる．
S/∆
一般の場合には V の grading もあるので，trs をとったときには trs (exp(−F )) と
すればよい．つまり相対チャーン指標（の微分形式）を
ch(S/∆) = trS/∆
exp(
s
と定義すれば
−F
)
2πi
Z
Ind(D) =
Â(M )ch(S/∆).
M
8
特性類の説明
この section で特性類の概説をする．詳しいことはテキストを参照．
8.1
不変多項式
gl(m, C) 上の不変多項式とは gl(m, C) の各成分に関する多項式 P : gl(m, C) → C
であり，P (XY ) = P (Y X) となるもの（または P (gXg −1 ) = P (X)）．不変形式的
べき級数とは，各斉次成分が不変多項式である形式的べき級数のこと．このとき
Lemma 8.1. gl(m, C) の不変多項式環は ck (X) = (−2πi)−k tr(Λk X) から生成され
る多項式環である．
Proof. X を対角化すれば，diagonal の多項式になる．特に，ck は基本対称式であ
るので．
¥
8.2
チャーン類
V → M を M 上の複素ベクトル束とし，接続を適当にいれてその曲率を F と書
く．P (F ) は不変性から局所フレームのとり方によらず，大域的に定義できる．ま
た，F は 2-form であるので，多項式のように扱ってよく，n より大きい次数では
消えるので，形式的べき級数として扱ってよい．また P (F ) は closed であるので，
ドラームコホモロジー類を定めるが，その類は接続のとり方によらない．
Definition 8.1. ck (V ) = [ck (F )] をチャーン類とよぶ．先ほどの補題から，勝手
な複素ベクトル束に対する特性類はチャーン類の多項式として記述できる．
77
8.3
ポントリャーギン類
次に，実ベクトル束 V を考える．複素化 VC = V ⊗ C を考える．V に計量をい
れて o(m) 値の曲率をとれば，
trΛk F = (−1)k trΛk F
であるので，奇数次のチャーン類は消える．そこで偶数次のみ着目して
pk (V ) := (−1)k c2k (VC )
を k 次ポントリャーギン類とよぶ．
8.4
オイラー類
V を実 2m 次元の向きが入ったユークリッド空間とする．K ∈ o(V ) として，
P
o(V ) ' Λ2 (V ) とみなす．つまり α := i<j (Kei , ej )ei∧ ej ．このとき αm ∈ Λ2m (V )
を考えて，
αm = m!P f (K)e1∧ · · · ∧ e2m
として P f (K) を定める. このとき A ∈ gl(V ) に対して P f (t AKA) = det(A)P f (K)
が成立．とくに o(2m) 上の不変多項式である．さらに P f (K)2 = det(K) をみた
す．標準形の場合に見てみる．つまり対角成分が
Ã
!
0 −λi
λi 0
と block に分かれてるとする（つまり (F e2i−1 , e2i ) = λi ）．このとき
α = λ1 e1∧ e2 + λ2 e3∧ e4 + · · · λm e2m−1∧ e2m
となる．そこで
αm = m!λ1 λ2 · · · λm e1∧ · · · ∧ e2m
となるので P f (K) = λ1 · · · λm であり，det K 2 = P f (K) もわかる．
この不変多項式を使って向き付けられた偶数 rank の実ベクトル束 V に対して，
オイラー類を
F
e(W ) := [P f (− )]
2π
として定める．
V が複素直線束 L のときを考える．これは向きつきの実 rank2 のベクトル束で
ある（向きを変えた −V は L̄ に同型になることに注意）．適当に計量と接続を入
78
れて，so(2) 値の曲率 F を考えると P f (−F/2π) がオイラー類である．一方，複素
直線束と考えたときに対応する曲率を F 0 とする．この対応は
Ã
!
cos θ − sin θ
→ eiθ ∈ U (1)
SO(2) 3
sin θ cos θ
であるので
Ã
so(n) 3
0 −λi
λi 0
!
→ iλ ∈ u(1).
よって
1
1
e(V ) = P f (−F/2π) = λ = (iλ) = tr(−F 0 /2π) = c1 (L).
i
i
つまり複素直線束のオイラー類と第一チャーン類は一致する．オイラー類の性質
としては
1. V が複素直線束なら e(V ) = c1 (L).
2. e(V1 ⊕ V2 ) = e(V1 )e(V2 ).
3. e(V )2 = pm (V )（V は rank 2m のとき）．
8.5
Chern g-genus
分解原理：M 上の複素ベクトル束 V を考える．このときある多様体 X 及び写
像 g : X → M で g ∗ V が複素直線束の直和になり，g ∗ : H ∗ (M ) → H ∗ (X) が単射
になるものが存在．特に，特性類は直線束の直和に対してその値を決めればよい．
（g ∗ (c(V )) = c(g ∗ V ) であるので）．
そこで，f を z = 0 の近くで正則な関数として，
Πf (X) := det(f (−
1
X))
2πi
として定めた特性類を Chern f -genus とよぶ．これは次の性質をもつ
1. L を複素直線束とすると Πf (L) = f (c1 (L))
2. 任意の複素ベクトル束 V1 , V2 に対して Πf (V1 ⊕ V2 ) = Πf (V1 )Πf (V2 )．
分解原理から
−1
X
2πi
の固有値を x1 , · · · , xn として，
Y
Πf (X) =
f (xj )
を考えればよい．右辺は xj に対して対称多項式である．よって基本対称多項式
x1 + · · · + xm = c1 , x1 x2 + · · · + xm−1 xm = c2 など，つまりチャーン類の多項式と
して記述できる．
79
Example 8.1. V の全チャーン類とは f (z) = 1 + z として，
F
) = 1 + c1 (F ) + c2 (F ) + · · · .
2πi
Q
Example 8.2. f (z) = (1 + z)−1 に付随した genus は (1 + xj )−1 を展開したもので
c(F ) = det(I −
(1 − x1 + x21 − · · · )(1 − x2 + x22 − · · · ) · · · = 1 − c1 + (c21 − c2 ) + · · ·
Example 8.3. 上の Chern f -genus とはことなるが，チャーン指標について述べよ
−1
う．チャーン指標とは形式的べき級数 X → tr exp( 2πi
X) に随伴した特性類で，分
解原理を考えると，
X
F
ch(V ) =
exj = tr exp(−
)
2πi
で定義する．これは ch(V1 ⊕ V2 ) = ch(V1 ) ⊕ ch(V2 )，ch(V1 ⊗ V2 ) = ch(V1 )ch(V2 )
を満たす．また，チャーン類でかけば
1
ch(V ) = dim V + c1 + (c21 − 2c2 ) + · · · .
2
Example 8.4. Todd-genus は f (z) =
z
1−e−z
T d(V ) =
Y
に付随した geuns で，次のよう：
xj
1 − e−xj
よって
−F/2πi
−F/2πi
) = det(
) exp(tr(−F/4πi))
1 − exp(F/2πi)
exp(−F/4πi) − exp(F/4πi)
F/4πi
) exp(tr(−F/4πi)).
= det(
sinh(F/4πi)
T d(V ) = det(
（F に対する形式的冪級数としてみている）．
8.6
Pontrjagin g-genus
実ベクトル束について同様のことを考える．g を 0 に近くで正則かつ g(0) = 1 と
p
なる関数とする．そして f を g(z 2 ) の f (0) = 1 となる分岐とする．f は z につい
て偶関数なので，偶数次の Chern 類のみでてくる．そこで V を実ベクトル束とし
て VC の Chern f -genus を V のポントリャーギン g-genus と呼ぶ. この定義にお
いて２乗や２乗根が現れるのは次の補題からわかる：
80
Lemma 8.2. g を上にようにとる．V を実ベクトル束とする．このポントリャー
ギン g-genus は
Y
g(yj )
j
に等しい．ここで pk (V ) = sk (y1 , · · · , ym ) で，yi は分解定理による各成分の第一ポ
ントリャーギン類．特に，ポントリャーギン g-genus はポントリャーギン類の多
項式となる．
Proof. 上は o(n) 上の不変式としての等号である．そこで o(n) の元を標準化し，ど
ちらも直和に関して乗法的なので，次の X についてのみ示せばよい．
Ã
!
0 λ
X=
.
−λ 0
ここで固有値は ±iλ．さて
c1 (X) = 0,
c2 (X) =
λ2
1
(iλ)(−iλ)
=
−
(2πi)2
4π 2
よって y = p1 (X) = λ2 /4π ．さて一方で，X は C 上では次と相似
Ã
!
−iλ 0
.
0 iλ
そして
Πf (X) = f (−λ/2π)f (λ/2π) = f (λ/2π)2 = g(λ2 /4π 2 ) = g(y)
¥
となる．
実ベクトル束に対しても，分解原理がなりたつ：V を向き付き実 rank2r ベクト
ル束としたとき，引き戻しにより向きつき実 rank 2 の束の直和 L1 ⊕ · · · Lr になり，
g ∗ : H ∗ (M ) → H ∗ (X) が単射．そして上の補題における yi は直和の各成分の第一
ポントリャーギン類 p1 (Li ) = −c1 (L1 ⊗ C) である．向きがない場合も，実 rank 2
の束の直和に分解できる．実 rank が奇数の場合には，さらに自明束を付け加えれ
ばよい．
上記のことは次の例をみればよく理解できる．
Example 8.5. Â-genus Â(V ) は次の正則関数に付随したポントリャーギン genus で
ある．
√
z/2
√
z 7→ g(z) =
.
sinh z/2
このとき f (z) は
s
f (z) =
z/2
.
sinh z/2
81
分解原理より V = L1 ⊕· · · Lr として，p1 (Li ) = yi とする．複素化したとき V ⊗C =
L1 ⊕ L̄1 ⊕ · · · ⊕ Lr ⊕ L̄r なので c1 (L1 ) = xi , c1 (L̄i ) = −xi , p1 (Li ) = yi = x2i =
−c1 (Li ⊗ C) となる．
（ただし，このようになるのは L1 などに向きが入っている場合
で，そのとき L1 に複素構造がはいるので複素ベクトル束とみなせる．向きが入っ
ていない場合でも c1 (Li ⊗ C) = yi は成立する）．
そこで
s
s
Y
Y
−1
xi /2
−xi /2
Πf (X) = det(f (
X)) =
f (xi )f (−xi ) =
2πi
sinh xi /2 sinh −xi /2
s
s
Y
Y xi /2
Y √yi /2
xi /2
xi /2
=
=
=
√
sinh xi /2 sinh xi /2
sinh xi /2
sinh yi /2
以上から
µ
Â(V ) = [det
1/2
¶
F/4πi
].
sinh F/4πi
また，ポントリャーギン類との関係をみるには，
√
z/2
1
7 2
√
g(z) =
=1− z+
z + ···
24
5760
sinh z/2
Q
と g(yi ) を使えば，
Â4 = −
p1
,
24
 =
−4p2 + 7p21
,···
5760
となる（ポントリャーギン類で書けるのであるから，特に V に向きを必要としな
いことがわかる．向きをつけたのは便宜上）．
Example 8.6. 次の正則関数に付随したポントリャーギン genus を Hirzebruch の
L-genus とよぶ：
√
z
√
z→
tanh z
つまり上の例と同様の記号で V = L1 ⊕ · · · Lr とすれば
L(V ) = Πf (X) =
Y √yi
xi
=
√
tanh xi
tanh yi
Y
以上から
µ
L(V ) = [det
1/2
¶
F/2πi
].
tanh F/2πi
Q√
Example 8.7. オイラー類は e(V ) =
yi となる．正則関数として g(z) = z とす
べきだが g(0) = 1 を満たさない．この場合には向きが必要であり，向きを変える
（分岐のとり方）ことにより e(−V ) = −e(V ) となる．
82
V を向きつきの実 rank2r のベクトル束とすると，分解定理より V = L1 ⊕ · · · Lr
と分解できる．ここで Li は向きつき rank 2 のベクトル束．xi = c1 (Li ) = e(Li |R )
であり，
Y
Y√
e(V ) =
xi =
yi
Example 8.8. M を 2m 次元スピン多様体とする．スピノール束 ∆ のチャーン指標
ch(∆) を考える．一方で，次の正則関数に付随したポントリャーギン genus S を
考える
√
g(z) = cosh( z/2).
このとき
µ
m
m
ch(∆) = 2 S(T M ) = 2 [det
1/2
¶
F
cosh
]
4πi
Proof. 分解原理より T M を分解して，各成分で考えればよい．そこで E を実 rank2
の向きつきベクトル束とする．E ⊗ C = l ⊕ ¯
l（l は複素直線束）．ここで real bundle
として E ' l である．またスピン構造があると仮定してるので ξ(E) = c1 (l) が even
となり，l はルート l1/2 をもつ．このとき E に付随したスピノール束は
∆(E) = ∆+ ⊕ ∆− = ¯l1/2 ⊕ l1/2
となる（これに関しては [3] の指数定理のところを参照）．そこで c1 (l) = x として
c1 (l1/2 ) = x/2 となるので
ch(∆) = ch(∆+ ) + ch(∆− ) = e−x/2 + ex/2 = 2 cosh x/2
一方，
p1 (E) = x2
¥
であるので，証明された．
Example 8.9. M を 2m 次元スピン多様体とする．スピノール束 ∆ = ∆+ ⊕ ∆− に
−1
対して ch(∆+ ) − ch(∆− ) を考える．
（つまり次数付きのときに X → trs (exp 2πi
X)
を考えたもの）
上と同様にして，
ch(∆+ ) − ch(∆− ) = e−x/2 − ex/2 = −2 sinh x/2 = 2 sinh(−x/2) = −x
sinh x/2
x/2
であるので，
µ
+
−
m
−1
ch(∆ ) − ch(∆ ) = (−1) χ(T M )Â(T M )
m
1/2
¶
F
sinh
]
4πi
¶
= 2 [det
µ
F/4πi
m
−1/2
= (−1) P f (−F/2π) det
sinh F/4πi
83
我々が後で使うのは
ch(∆∗+ ) − ch(∆∗− ) = ex/2 − e−x/2 = 2 sinh x/2 = x
sinh x/2
x/2
であり，この場合には
µ
∗+
∗−
ch(∆ ) − ch(∆ ) = P f (−F/2π) det
8.7
−1/2
F/4πi
sinh F/4πi
¶
.
相対チャーン指標
クリフォード束 S を考えると局所的には S = ∆ ⊗ V である．V の接続に関する
曲率を twisting curvautre といって F S と書いた．このとき相対チャーン指標を
ch(S/∆) = trS/∆ exp(−F S /2πi)
と定義する．曲率などは局所的な話なので，これは閉微分形式であり，あるコホモロ
ジー類を表す．もし局所的でなく大域的に S = ∆⊗V となった場合には ch(S/∆) =
ch(V ) であるので相対チャーン指標とよばれる．
先ほどの例とあわせれば，次のこともわかる：
ch(S) = ch(∆)ch(S/∆) = 2m S(T M )ch(S/∆).
また V にも grading がある場合には指数定理で使うために少し定義を修正して
ch(S/∆) = trS/∆
exp(−F S /2πi)
s
として，これを相対チャーン類と呼ぶ．
9
スケール変換による指数定理の証明
Getzler による局所指数定理の証明には２種類あって，今まで述べたのが最初
の論文 CMP vol 92「Pseudodifferential operators on supermanifolds and Atiyah
Singer index theroem」
（1983）の方法である．さらにこれをもう少し改良した「A
short proof of the local Atiyah Singer index theorem」（Topology 25 1986) があ
る．後者の論文ではスケール変換（共形変換）の方法を用いて，熱核の超トレー
スから調和振動子を引き出す．証明の本質は同じなのであるが，Getzler 表象の概
念がスケール変換を用いた方が分かりやすい．簡単にいえばスケール変換は（微
分作用素及び熱核の）Getzler 表象の well-defined に対する別証明を与えているの
である．スケール変換とは (t, x) → (ut, u1/2 x) とすることで，u → 0 とすれば，点
(t, x) = (0, 0) での熱方程式が浮き出てくる．ここでクリフォード代数やスピノー
84
ル束 ∆ もリーマン計量に依存したものであったので，これらもスケール変換にい
れる必要があることに注意する（局所的に S = ∆ ⊗ V としたときの V はリーマン
計量などは関係なかった）．そして，それが調和振動子熱方程式であることがわか
り，explicit に limt→0 trs kt (p, p) がもとまるのである（スケール変換などを行える
のは，ディラック作用素が共形共変微分作用素であるから．また指数は位相不変
量なので，共形変形してもよいのである）．
この章では，その方法を説明する（詳しくは [4]）．
指数定理でもとめるべきものは
lim trs (kt (p, p))
t→0
であり，これは熱核の漸近展開
kt (p, q) ∼
1
d(p, q)2 X j
exp(−
)
t Θj (p, q)
(4πt)n/2
4t
j
において t が 0 次項 Θn/2 (p, p) のみが関係する．空間及び時間座標をスケール変換
によって漸近展開の各項が異なる大きさで変換されることがわかる．そこで一つ
の項のみを不変にするような変換を考え，必要な項のみを抽出する．
9.1
スケール変換
点 q を固定する．q を原点とする測地線座標系近傍 U を考えて, p = x（p は q に
十分近い）として，熱核 kt (p, q) を k(t, x) と書く．これは C ∞ (R+ × U, Cl(Tq M ) ⊗
EndCl (Sq )) ' C ∞ (R+ × U, Λ∗ Tq M ⊗ EndCl (Sq )) の元である（ここでクリフォード
束も放射状平行移動による標準的な自明化を行ってるので Λ∗ T M ⊗ EndCl (S) を
Λ∗ Tq M ⊗ EndCl (Sq ) と書いている）．外積代数の次数で次数付けして
k(t, x) =
n
X
k(t, x)[i] .
i=0
とする．このスケール変換 δu （0 < u ≤ 1) を
(δu k)(t, x) :=
n
X
u−i/2 k(ut, u1/2 x)[i]
i=0
と定義する（時間座標 t → ut および空間座標 x → u1/2 x とスケール変換するの
は熱方程式が t について一階微分, x について二階微分であるから）．C ∞ (R+ ×
U, Λ∗ Tq M ⊗ EndCl (Sq )) 上の作用素はこの変換に関して次のように変換されること
85
はすぐにわかる：
δu φ(x)δu−1 = φ(u1/2 x),
δu ∂t δu−1 = u−1 ∂t ,
δu ∂i δu−1 = u−1/2 ∂i ,
δu (α∧ )δu−1 = u−1/2 α∧ ,
δu i(α)δu−1 = u1/2 i(α).
たとえば
(δu φk)(t, x) = φ(u
1/2
x)
n
X
u−i/2 k(ut, u1/2 x)[i] = (δu φδu−1 )(δu k).
i=0
この変換則から作用素の次数を次で定義する
Definition 9.1. 作用素 A が次数 m をもつとは
lim um/2 δu Aδu−1
u→0
が存在することと定義する（この定義は前にみた Getzler 次数と同じ）．
以上から作用素の次数は
作用素
次数
p(x)
− degx p
p(t)
−2 degt p
∂/∂xi
1
∂/∂t
2
ei∧
1
i(ei )
−1
特に，D, D2 の次数はどちらも２である．
このようにスケール変換を行う理由は，次のよう：まず
r(u, t, x) := un/2 (δu k)(t, x)
とする．指数定理に必要なのは limt→0 trs (kt (p, p)) = limt→0 trs (k(t, 0)) であるが，
trs はクリフォード作用の top-term のみ拾うのであった．よって limt→0 k(t, 0)[n] の
情報のみ必要である．
trs (Θn/2 (p, p))vol = lim trs (kt (q, q))vol
t→0
n
X
= lim trs (k(t, 0)[n] )vol = lim trs (
t(n−i)/2 k(t, 0)[i] )vol
t→0
t→0
=trs (lim un/2
u→0
n
X
i=0
u−i/2 k(u, 0)[i] )vol = trs (lim r(u, t = 1, x = 0))vol
u→0
i=0
86
となる．このように Θn/2 (p, p) をもとめるのは困難（Gilkey の本をみよ）なので，
limu→0 r(u, t = 1, x = 0) をもとめることにするのである．もちろん limu→0 r(u, t =
1, x = 0) 6= Θn/2 (p, p) であり，trs にすればと等しくなる．
Remark 9.1. 微分形式（というよりクリフォード代数）のほうもスケール変換する
必要があることに注意する．
そこで limu→0 r(u, t, x) をもとめることにする．スケール変換するまえの熱核は
熱方程式をみたしたので r(u, t, x) は
(∂t + uδu D2 δu−1 )r(u, t, x) = un/2 (uδu ∂t δu−1 + uδu D2 δu−1 )(δu k)(t, x)
= un/2+1 (δu ∂t + δu D2 )k(t, x) = 0
をみたす．そこでもし limu→0 uδu D2 δu−1 および limu→0 r(u, t, x) の存在がわかれば，
我々は極限方程式がわかり，その解がもとまれば limu→0 r(u, t, x) がもとまる (こ
の極限方程式が熱表象方程式である proposition 6.4 ）．まず，limu→0 uδu D2 δu−1 を
調べる．
9.2
ディラック作用素の２乗のスケール変換
Proposition 9.1. C ∞ (U, Λ∗ Tq M ⊗ EndCl (Sq )) 上の作用する微分作用素 uδu D2 δu−1
はu → 0で
!2
Ã
X
1X
Rij xj + F S
K=−
∂i −
4
j
i
となる極限をもつ．つまり uδu D2 δu−1 = K + O(u1/2 ) であり，極限 u = 0 で歪対称
行列 Rij に付随した微分形式に値をもつ調和振動子になる．
Proof. まずクリフォード束上の接続のテーラー展開 (6.1) を思い出そう．
X
X
1X
∇i = ∂ i −
(R(∂k , ∂l )∂i ,
xj ∂j )ek el +
fikl (x)ek el + gi (x)
8 kl
j
ここで fikl (x) = O(|x|2 )，gi (x) = O(|x|) である．またクリフォード作用 ei は外積代
数上では ei∧ −i(ei ) であった. ∇i は次数が１の作用素であるので ∇ui := u1/2 δu ∇i δu−1
をもとめると
X
1X
∇ui =u1/2 u−1/2 ∂i − u1/2
(R(∂k , ∂l )∂i ,
u1/2 xj ∂j )(u−1/2 ek∧ − u1/2 i(ek ))(u−1/2 el∧ − u1/2 i(el ))
8 kl
j
X
+ u1/2
fikl (u1/2 x)(u−1/2 ek∧ − u1/2 i(ek ))(u−1/2 el∧ − u1/2 i(el )) + u1/2 gi (u1/2 x)
X
1X
xj ∂j )(ek∧ − ui(ek ))(el∧ − ui(el ))
(R(∂k , ∂l )∂i ,
=∂i −
8 kl
j
X
+ u−1/2
fikl (u1/2 x)(ek∧ − ui(ek ))(el∧ − ui(el )) + u1/2 gi (u1/2 x)
87
そこで，u → 0 とすると，その極限は
X
1X
1X
∂i −
(R(∂k , ∂l )∂i ,
xj ∂j )ek∧ el∧ = ∂i −
Rij xj
8
4 ij
j
kl
ここで
Rij :=
1X
1X
R((∂k , ∂l )∂i , ∂j )ek∧ el∧ =
R((∂i , ∂j )∂k , ∂l )ek∧ el∧ .
2 kl
2 kl
つぎに D2 を考える必要がある．prop 1.3 から D2 = ∇∗ ∇ + FS + 14 κ であった．
P
∇2X,Y = ∇X ∇Y − ∇∇X Y とすれば ∇∗ ∇ = − ∇2ei ,ei であった．つまり
X
∇∗ ∇ = −
(∇ei ∇ei − ∇∇ei ei )
である．よって
uδu D2 δu−1
X
=−
u1/2 δu ∇i δu−1 u1/2 δu ∇i δu−1
i
X
u
+u
F S (ei , ej )(u1/2 x)(u−1/2 ek∧ − u1/2 i(ek ))(u−1/2 el∧ − u1/2 i(el )) + κ(u1/2 x) + uδu ∇∇ei ei δu−1
4
X
X
u
1/2
u 2
S
1/2
=−
(∇i ) +
F (ei , ej )(u x)(ek∧ − ui(ek ))(el∧ − ui(el )) + κ(u x) + u1/2 ∇u∇ei ei
4
i
第３項，第４項は u → 0 とすると消える．第一項は
¶2
X
Xµ
1X
0 2
−
(∇i ) = −
∂−
Rij xj
4
i
となり第２項は
X
F S (ei , ej )(0)ek∧ el∧ = F S
¥
9.3
熱核のスケール変換
つぎに limu→0 r(u, t, x) の存在を証明しよう．まず次の補題を考える
Lemma 9.2. Tq M 上の End(S) 値の多項式 Ψi (x) が存在して，Ψ0 (0) = 1 かつ
un/2 k(ut, u1/2 x) ∼ ht (x)
∞
X
(ut)i Ψi (u1/2 x) (u → 0, u1/2 についての漸近展開)
i=0
となるものが存在．これは (t, x) に対して (0, 1) × U のコンパクト集合上一様収束
であり，r(u, t, x) の微分の漸近展開をえるには右辺を微分すればよい．ここで注
意すべき，まだクリフォード代数のスケール変換は行っていないことである．
88
Proof. まず，熱核の漸近展開を思い出そう．
1
kxk2 X j
k(t, x) ∼
exp(−
)
t Θj (x)
(4πt)n/2
4t
i
ここで Θ0 (0) = 1 であった．またこれは
kk(t, x) − ht (x)
N
X
tj Θj (x)k ≤ C(N )tN −n/2
j=0
2
を意味した．|xk e−x /4t | ≤ Ck tk/2 であるので，Θi (x) を次数 2(N − i) までのテー
ラー展開 Ψi (x) でおきかえる（特に Θi (x) = Ψi (x) + O(|x|2(N −i) )) よって
kk(t, x) − ht (x)
N
X
j
t Ψj (x) − ht (x)
j=0
N
X
tj O(|x|2(N −j) )k
j=0
となるが，最後の項は
kht (x)
N
X
tj O(|x|2(N −j) )k ≤ C
j=0
となるので
kk(t, x) − ht (x)
N
X
tN −j tj ≤ C 0 tN
j=0
N
X
tj Ψj (x)k ≤ C(N )tN −n/2
j=0
となる，これをスケール変換すると (0, 1) × U のコンパクト集合上の (t, x) と 0 <
u ≤ 1 に対して，
N
ku
PN
n/2
k(ut, u
1/2
un/2
kxk2 X
x) −
exp(−
)
(ut)i Ψi (u1/2 x)k ≤ C(N )uN .
(4πut)n/2
4t i=0
i
1/2
x) は
i=0 (ut) Ψi (u
u1/2 で展開すれば i = 0 から i = 2N まで．
¥
Remark 9.2. この補題も次の補題は間違ってると思う．テーラー展開で多項式を作
る際に，多項式が N によった形になっているので，漸近展開といえないであろう．
これを回避するなら，テーラー展開のすべての項を考えて形式的冪級数だと思う
べきであろう．
次にこの補題に対してクリフォード代数を外積代数にしたときの次数も込めて
考えよう．
Lemma 9.3. Λ∗ Tq M ⊗ EndCl (Sq ) に値をもつ R+ × Tq M 上の多項式 γi (t, x) でつ
ぎを満たすものが存在：
N
r (u, t, x) = ht (x)
2N
X
i=−n
89
ui/2 γi (t, x)
とすると，0 < u ≤ 1, (t, x) ∈ (0, 1) × U で
kr(u, t, x) − rN (u, t, x)k ≤ C(N )uN −n/2
さらに γ0 (0, 0) = 1 かつ i 6= 0 なら γi (0, 0) = 0 である．また微分の漸近展開も rN
を微分すればよい．
Proof. 先ほどの補題から
kk(t, x) − ht (x)
N
X
tj Ψj (x)k ≤ C(N )tN −n/2
j=0
となる End(S) 値な多項式が存在する．これを外積代数になおして，各次数で考え
ると
N
X
kk(t, x)[l] − ht (x)
tj Ψj (x)[l] k ≤ C(N )tN −n/2
j=0
これをスケール変換 (t, x) → (ut, u1/2 x) して両辺に u−l/2 un/2 を掛けて
ku
−l/2 n/2
u
k(ut, u
1/2
x)[l] −u
n/2 −l/2 −n/2
u
u
N
X
ht (x)
(ut)j Ψj (u1/2 x)[l] k ≤ C(N )uN −l/2 tN −n/2
j=0
となるので微分形式もこめたスケール変換として
kr(u, t, x)[l] − u
−l/2
N
X
ht (x)
(ut)j Ψj (u1/2 x)[l] k ≤ C(N )uN −l/2 tN −n/2
j=0
となる．そこで 0 ≤ l ≤ n に対して
u−l/2
N
X
(ut)i Ψi (u1/2 x)[l]
i=0
の uj/2 の係数を γj (t, x)[l] と定義する．uj/2 の項をとりだすということは γj (t, x)[l] =
P
c(a, b)ta xb （a + b/2 = j/2 + l/2）となり，(t, x) に対して j + l 次の斉次多項式
である（ただし t の次数は２）．つまり γj (ut, u1/2 x)[l] = uj/2+l/2 γj (t, x)[l] を満たす．
Pn
そこで γj (t, x) := l=0 γj (t, x)[l] とすると δu γj = uj/2 γj を満たす．つまり Getzler
次数が j 次の微分形式値な (t, x) に関する斉次多項式（ここで斉次とは t が 2 次，
x が 1 次，dx が −1 次として数えてる）．また γj (t, x)[l] は j + l 次斉次多項式なの
で j < −l なら γj (t, x)[l] = 0 である．特に j < −n に対して γj (t, x) = 0 となる．
さらに Ψi (u1/2 x) は 2(N − i) 次多項式なので u−l/2 (ut)i Ψi (u1/2 x)[l] は u1/2 に対して
2N − l 次である．よって
u
−l/2
2N
−l
2N
N
X
X
X
i
1/2
j/2
uj/2 γj (t, x)[l]
(ut) Ψi (u x)[l] =
u γj (t, x)[l] =
i=0
j=−l
90
j=−n
が成立する．以上から
kr(u, t, x) − ht (x)
2N
X
uj/2 γj (t, x)k ≤ C(N )uN −n/2
j=−n
がわかる．次に γi (0, 0) の値をもとめる
N
X
(ut)i (δu Ψi )(x) =
i=0
n
X
l=0
u−l/2
N
X
(ut)i Ψi (u1/2 x)[l] =
i=0
2N
−l
X
uj/2 γj (t, x)[l] =
2N
X
uj/2 γj (t, x)
j=−n
j=−l
両辺で (t, x) = (0, 0) とおくと
1=
X
u−l/2 Ψ0 (u1/2 x)[l] |x=0 = (δu Ψ0 )(0) =
2N
X
uj/2 γj (0, 0)
j=−n
¥
さて，問題は limu→0 r(u, t, x) の存在であった．そこで上の補題で漸近展開
∞
X
r(u, t, x) ∼ ht (x)
ui/2 γi (t, x)
i=−n
を得た（これは先ほどの remark で述べたが，ほんとうの意味での漸近展開でない
と思う．ただ，我々が欲しいのは limu→0 r(u, t, x) の存在であるので，十分大きな N
PN 0
に対して kr(u, t, x) − ht (x) i=−n ui/2 γi (t, x)k ≤ CuN となるような γi（これが N
の取り方によってしまっている）が存在すればよい）．右辺が極を持たないことを
しめせば limu→0 r(u, t, x) の存在がわかる．まず L(u) := uδu D2 δu−1 = K + O(u1/2 )
であり，(∂t + L(u))r(u, t, x) = 0 を u1/2 についてローラン級数に展開する．この
とき L(u) = K + O(u1/2 ) より r(u, t, x) の初項 ht (x)u−n/2 γ−n (t, x) は調和振動子熱
方程式
(∂t + K)(ht (x)γ−n (t, x)) = 0
をみたすことになる．さて γ−n (0, 0) = 0 であったので解の一意性から γ−n (t, x) = 0
である．そこで初項は ht (x)u−n−1/2 γ−n+1 (t, x) となるが，同様のことを繰り返せば，
初項は ht (x)γ0 (t, x) となる．これは初期条件が γ0 (0, 0) = 1 である．以上のことか
ら u−l （l > 0）の項はないので
r(u, t, x) ∼ ht (x)
∞
X
ui/2 γi (t, x)
i=0
となる．特に limu→0 r(u, t, x) は存在し，ht (x)γ0 (t, x) である．
91
9.4
指数定理の証明
以上のふたつの subsection から limu→0 r(u, t, x) は調和振動子熱方程式の解であ
る．それは以前もとめた
1
det 1/2
W =
n/2
(4πt)
µ
tR/2
sinh tR/2
¶
¶
tR
1 tR
exp − h coth( )x, xi exp(−F )
4t 2
2
µ
∈ C ∞ (C[[T M ]] ⊗ Λ∗ T M ⊗ EndCl (S))
さて，指数定理を証明しよう．
n
X
lim trs (kt (q, q))vol = lim trs (k(t, 0)[n] )vol = lim trs (
t(n−i)/2 k(t, 0)[i] )vol
t→0
t→0
=trs (lim
u→0
n
X
t→0
i=0
u−i/2 k(u, 0)[i] un/2 )vol = trs (lim r(u, t = 1, x = 0))vol
u→0
i=0
となる，そして
1
lim r(u, t = 1, x = 0) =
det 1/2
u→0
(4π)n/2
µ
R/2
sinh R/2
¶
exp(−F ).
であった．ここでクリフォード作用は外積代数に置き換えている．そこで，この
超トレースをとれば，trs (ω) = (−2i)n/2 vol に注意して，
µ
¶
Z
1
R/2
n/2
1/2
Ind(D) = (−2i)
det
tr(exp(−F )).
(4π)n/2
sinh R/2
（積分は n-form の部分のみ拾う）．
10
指数の計算
指数定理の公式
Z
Ind(D) =
Â(M )ch(S/∆)
M
をもちいて，幾何学で現れるクリフォード束上のディラック作用素の指数を計算
しよう．次数付きクリフォード束 S とディラック作用素 D が与えられたとき，指
数公式に当てはめるには S = ∆ ⊗ V という局所的な分解と twisting curvature
による相対チャーン指標の計算をしなければならない．
92
10.1
スピノール束上のディラック作用素
もっとも基本的なスピノール束上のディラック作用素の指数を計算しよう．M
を偶数次元コンパクトスピン多様体とする．このとき ∆ = ∆+ ⊕ ∆− というスピ
ノール束とディラック作用素を得る．このとき，指数定理からディラック作用素
の指数は Â-genus になる．
Z
Ind(D) =
Â(M ) = hÂ(M ), [M ]i
M
10.2
ガウス-ボンネ-チャーン定理
2n 次元コンパクトリーマン多様体 M と微分形式の束 Λ∗ T ∗ M を考える．これは
even, odd により次数付きクリフォード束となる．またクリフォード作用は
c(α)β = α∧ β − i(α)β
である．そしてディラック作用素は d + d∗ ．この２乗を dd∗ + d∗ d をラプラスベル
トラミ作用素とよび，その ker を調和微分形式という．ドラームの定理とホッジ理
論を考えると
X
X
χ(M ) =
(−1)i dim H i (M ; R) =
(−1)i dim Hi = Ind(d + d∗ ).
となる．さらに指数公式を考えればオイラー数は，あるコホモロジーの M 上の積
分でかけるはずである．そのコホモロジー類を指数公式からもとめてみよう．
局所的な分解 S = Λ∗ = ∆ ⊗ V を行おう．まず
c(ek )el = ek∧ el − i(ek )el = ek∧ el − δkl ,
c(el )ek = el∧ ek − i(el )ek = el∧ ek − δkl
より
c(ek )el + c(el )ek = −2δkl
となるので，外積代数へのクリフォード作用は Λ∗ = Cln と見たときのクリフォー
ド代数へのクリフォード作用と同型である．そこで
Λ∗ = Cln = ∆ ⊗ ∆∗
で，このように見たときに手前の ∆ のクリフォード作用のみ考えればよい（proposition 5.3 の証明をみよ)．つまり S = ∆ ⊗ V としたとき V = ∆∗ である．しか
し，注意すべきことは，このクリフォード束 Λ∗ は canonically graded でないこ
とである．つまり V = ∆∗ にも grading が入る．それを見ていこう．Λ∗ から導か
れる grading は Cl = Cl0 ⊕ Cl1 という偶数次数と奇数次数への分解である．一方
∆ = ∆+ ⊕ ∆− , ∆∗ = ∆∗+ ⊕ ∆∗− であったが，これより
∆ ⊗ ∆∗ = [(∆+ ⊗ ∆∗+ ) ⊕ (∆− ⊗ ∆∗− )] ⊕ [(∆+ ⊗ ∆∗− ) ⊕ (∆− ⊗ ∆∗+ )]
93
これを ∆ = ∆+ ⊕ ∆− に作用させると，
([(∆+ ⊗ ∆∗+ ) ⊕ (∆− ⊗ ∆∗− )] × ∆± ) → ∆±
([(∆+ ⊗ ∆∗− ) ⊕ (∆− ⊗ ∆∗+ )] × ∆± ) → ∆∓
となり，Cl = Cl0 ⊕Cl1 という次数付けと一致する．以上から V = ∆∗ には ∆∗+ ⊕∆∗−
という次数付けが入っている．
特性類のときにみたようにこの場合の（次数付き束の）相対チャーン指標は
ch(∆∗+ ) − ch(∆∗− ) であり，ch(∆+ ) − ch(∆− ) の dual であるので，
µ
¶
F/4πi
−1/2
ch(S/∆) = P f (−F/2π) det
sinh F/4πi
となる．
µ
Â(T M )ch(S/∆) = det
1/2
F/4πi
sinh F/4πi
¶
µ
P f (−F/2π) det
−1/2
F/4πi
sinh F/4πi
¶
= P f (−F/2π)
以上から
Theorem 10.1 (ガウス-ボンネ-チャーンの定理). 向き付けられた偶数次元多様体
M のオイラー数は次で与えられる．
Z
χ(M ) =
P f (−F/2π).
M
10.3
符号数定理
M をコンパクト向きつき偶数次元リーマン多様体とし，D = d + d∗ とする．
Λ∗ T ∗ M ⊗ C がクリフォード束であるが，この束に canonical grading iω を入れる．
このときの次数付きディラック作用素は符号作用素になる．iω による次数付けは，
符号を除いてホッジ作用素に等しい：
² = im ω = im+p(p−1) ∗
on Λp .
さて，M の符号数を定義しよう．dim M = 4k として
R
2k
2k
4k
Q : H (M, R) × H (M, R) → H (M, R) −
→ R.
これはポアンカレ双対から非退化対称形式となる（2k が偶数なので対称）．この
符号数を M の符号数という．
94
Proposition 10.2. M をコンパクト向きつき 4k 次元多様体で．このとき符号作
用素の指数は M の符号数に等しい．
Proof. ∆ = D2 とすると ∆ = ∆− ⊕∆− となり，Ind(D) = dim ker ∆+ −dim ker ∆−
となる．つまり調和形式を考えればよい．∗ : Hl ' H4k−l である．また，真ん中の
次数のところをホッジ作用素で固有値分解して，
H2k = H+ ⊕ H−
とする．このとき Ind(D) = dim H+ − dim H− となる（他の次数は ∗ による同型
でキャンセルする）．
さて，φ = ∗φ，ψ = − ∗ ψ とすると
Z
Z
2
Q(φ, φ) = φ∧ φ = kφk , Q(ψ, ψ) = ψ ∧ ψ = −kψk2
となる．よって位相幾何学的符号数は dim H+ − dim H− に一致する．
¥
さて，この符号作用素に対する指数定理を考える．grading は体積要素を使って
入れたのであった．S = Λ∗ T ∗ M = Cl = ∆ ⊗ ∆∗ とすれば，体積要素は手前の ∆
の grading を与える．つまり
S = S + ⊕ S − = ∆+ ⊗ ∆∗ ⊕ ∆− ⊗ ∆∗ .
とくに，相対チャーン指標は
µ
∗
2k
2k
ch(S/∆) = ch(∆ ) = ch(∆) = 2 S(T M ) = 2 [det
1/2
¶
F
cosh
]
4πi
である．以上から
µ
¶
µ
¶
F/4πi
F
2k
1/2
Â(T M )ch(S/∆) = det
2 det
cosh
sinh F/4πi
4πi
¶
µ
F/4πi
= 22k det 1/2
tanh F/4πi
1/2
さらに 4p 次の部分を拾えば（ポントリャーギン類の多項式なので 4p 次のみ見れ
ばよい），
µ
µ
¶¯
¶¯
¯
¯
F/2πi
F/4πi
1/2
p
1/2
¯ = 4 det
¯
det
¯
tanh F/2πi 4p
tanh F/4πi ¯4p
であることがわかる．なぜなら
√
1
1
x
√ = 1 + x − x2 + · · ·
3
45
tanh x
95
なので（x はポントリャーギン類とみなす）
√
1x
1 x2
x/2
√
=1+
−
+ ···
3 4 45 42
tanh x/2
であることからわかる．特に，
µ
µ
¶¯
¶¯
¯
¯
F/4πi
F/2πi
k
1/2
1/2
¯ = 4 det
¯
det
tanh F/2πi ¯4k
tanh F/4πi ¯4k
となる．以上から
Theorem 10.3 (Hirzebruch 符号数定理). M を 4k 次元コンパクト向きつき多様
体とする．このとき
µ
¶
Z
F/2πi
1/2
sign(M ) = hL(T M ), [M ]i =
det
.
tanh F/2πi
M
10.4
Hirzebruch-Riemann-Roch の定理
M をコンパクト n 次元複素多様体とする．S = Λ0,∗ はクリフォード束となる．
なぜなら，複素多様体の構造群 GL(n, C) を U (n) につぶせる．つまり概エルミー
ト構造がはいる．さらに U (n) ⊂ Spinc (2n) によりスピンｃ構造がはいり，そのと
きのスピノール束が S = Λ0,∗ である．またディラック作用素 D を得るが，これは
ドルボー作用素 ∂¯ + ∂¯∗ に必ずしも一致しない．これは D がレビチビタ接続から定
まるもので，一方 ∂¯ + ∂¯∗ はエルミート接続から定まるものであるから．これらが
一致するための必要十分条件は M がケーラーとなること．
さて，スピン構造が存在する場合にはスピノール束 ∆ は Λ0,∗ ⊗ K 1/2 となる．こ
こで K は正則直線束 Λn,0 であり，K 1/2 はその正則ルート．このルートの取り方の
違いがスピン構造の違いとなっている．また K 1/2 の方は grading がないので，我々
が考える S は canonically graded であり，局所的な分解は
S = Λ∗,0 = ∆ ⊗ K −1/2 = ∆ ⊗ det 1/2 T 1,0 M
となる．さて，c1 (K −1/2 ) = −1/2c1 (K) = 1/2c1 (T 1,0 M ) となる．よって T 1,0 M の
曲率を F とすれば，twisting curvature F S は F S = tr(F )/2 となり，相対チャーン
指標は
ch(S/∆) = exp(−F S /2πi) = exp tr(−F/4πi).
T M ⊗ C = T 1,0 M ⊕ T 0,1 M なので Â(T M ) は T 1,0 M の曲率 F を使って書けば，
µ
¶
¶
µ
¶
µ
F/4πi
F/4πi
−F/4πi
1/2
1/2
Â(T M ) = det
det
= det
sinh F/4πi
sinh −F/4πi
sinh F/4πi
96
となるので
µ
Â(T M )ch(S/∆) = det
F/4πi
sinh F/4πi
¶
exp tr(−F/4πi) = T d(T 1,0 M )
以上から
Theorem 10.4 (Hirzebruch-Riemann-Roch の定理). M をコンパクト複素多様体
としてドルボー複体を考える．このとき
¶
µ
Z
X
F/4πi
k
0,k
∗
¯
¯
exp tr(−F/4πi) = hT d(T 1,0 M ), [M ]i.
(−1) dim H = Ind(∂+∂ ) =
det
sinh
F/4πi
M
より一般的に W を正則ベクトル束として，これを係数とするドルボー複体を考え
れば W のオイラー数は
µ
¶
Z
X
F/4πi
k
0,k
det
χ(W ) =
(−1) dim H (W ) =
exp tr(−F/4πi)ch(−F W /2πi)
sinh F/4πi
M
= hT d(T 1,0 M )ch(W ), [M ]i.
Proof. M がケーラーの場合には D = ∂¯ + ∂¯∗ であるので，指数定理からわかる．M
がケーラーでない場合には A = D − ∂¯ + ∂¯∗ は End(S) に入る．そこで D + tA を
考えば，これは次数付きディラック作用素の族である．よって指数のホモトピー
不変性（prop 5.5）を考えればよい．
¥
Example 10.1 (リーマン-ロッホ定理). M をリーマン面とし，正則直線束 L を考え
る, F を T 1,0 M の曲率，F W を L の曲率とする．
Z
i
0,0
0,1
ind(∂¯L ) = dim H (L) − dim H (L) =
(F + 2F W )
4π M
また L が自明束なら
dim H
0,0
− dim H
0,1
i
=1−g =
4π
Z
F
M
である（ここで g は genus で g = dim H 1.0 = dim H 0,1 = dim H 1 /2）．また L の次
R
i
数を deg(L) = 2π
F W とすればリーマン-ロッホ定理の古典的な形である
M
χ(L) = 1 − g + deg(L)
を得る．
97
11
Lefschetz 不動点公式
この章では，指数定理を直接使用するわけではないが，関係の深い Lefschetz 不
動点公式について説明する．それは楕円型微分作用素とトポロジーを関係づける
公式の一つである．
M を多様体とし連続写像 φ : M → M を考える．このとき φ∗ : H ∗ (M ) → H ∗ (M )
を得るが，φ の Lefschetz 数L(φ) とは
X
L(φ) :=
(−1)q tr(φ∗ |H q (M ) )
q
のことである．これは φ の（符号付き）不動点の数である（これについては後で
述べる）．特に，Lefschetz 数 L(φ) 6= 0 なら φ は不動点をもつことがわかる（こ
れは代数的位相幾何での古典的結果）．
この章ではこの不動点公式を解析的に議論する．また，より一般にディラック
複体に対して議論する．M をコンパクト向きつきリーマン多様体とし，(S, D) を
ディラック複体とする．ディラック複体とは，微分複体
d
d
d
C ∞ (S1 ) →
− C ∞ (S2 ) −
→ ··· −
→ C ∞ (Sk ),
dj dj+1 = 0
で，S = ⊕Sj がクリフォード束，D = d + d∗ がディラック作用素となるもの．例
D+
えば，次数付きディラック作用素は C ∞ (S+ ) −−→ C ∞ (S− ) はディラック複体．
11.1
Lefschetz 数の熱核のトレース
φ : M → M を smooth として，
φ∗ : C ∞ (S) 3 s 7→ (φ∗ s)(p) = s(φ(p)) ∈ C ∞ (φ∗ S)
を得る．さらに，ある束準同型 ζ : φ∗ S → S が存在すると仮定する．とくに，
ζ : C ∞ (φ∗ S) → C ∞ (S) が存在するので，
F = ζφ∗ : C ∞ (S) → C ∞ (φ∗ S) → C ∞ (S)
を得る（注意すべきは束準同型 S → φ∗ S は存在するとはかぎらない）．
Remark 11.1. S = Λ∗ T ∗ M の場合は自然な束準同型 ζ を得る．写像 φ : M → M か
ら，微分
(dφ)m : Tm M → Tφ(m) M
が存在するので，その双対線形写像
∗
M = (φ∗ T ∗ M )m → Tm∗ M
(dφ)∗m : Tφ(m)
98
∗
を得る．つまり，α ∈ (φ∗ T ∗ M )m = Tφ(m)
M として，h(dφ)∗m (α), Xm i = hα, (dφ)m Xm i
として定義する．これを各点で考えれば
ζ := (dφ)∗ : φ∗ T ∗ M → T ∗ M
という束準同型を得る．さて，上で定義した φ∗ : C ∞ (T ∗ M ) → C ∞ (φ∗ T ∗ M ) は，
微分形式の引き戻しとは異なる（引き戻しの像は C ∞ (T ∗ M ) であった）．実は
h(dφ)∗m (φ∗ α)(m), Xm i = h(φ∗ α)(m), dφm Xm i = hα(φ(m)), dφm Xm i
となり F = ζφ∗ が微分形式の引き戻しになる．
Definition 11.1. φ : M → M , F = ζφ : C ∞ (S) → C ∞ (S) とする．さらに，
F d = dF を満たすとする（F ∗ : H q (S) → H q (S) をえることに注意）．このとき
(ζ, φ) をディラック複体 (S, D) の幾何学的準同型とよぶ．さらにその Lefschetz 数
L(ζ, φ) を次で定義
X
L(ζ, φ) =
(−1)q tr(F |H q (S) ).
q
ドラーム複体の場合には引き戻しにより，幾何学的準同型を得るが，その Lefschetz 数は古典的なものと一致する．
さて，この Lefschetz 数を計算しよう．まず，ホッジ理論を思い出す．ディラッ
ク複体のコホモロジー H q (S) は調和部分 Hq と同型である．実際，H q (S) の代表
元として調和なものをとることができ，F の Hq への作用をえる（F d = dF なの
で Hq は F の作用に関して不変部分空間）．そこで Pq : L2 (Sq ) → Hq を直交射影
としたとき
tr(F |H q (S) ) = Tr(F Pq )
が成立する．ここで右辺のトレースは作用素のトレースである（F Pq がトレース
クラスであることに注意）．
Remark 11.2. F は L2 上有界線形作用素とはかぎらない．簡単のため関数で考え
る．φ が open set U を一点 x0（測度ゼロ）に移すとする．このとき，s ∈ L2 を x0
上で C ，それ以外で 0 となる L2 関数とすると，
Z
∗
2
kφ sk =
|s(φ(p))|2 vol(p) = Cvol(U )
M
であり，C を ∞ にしても一点は測度ゼロなので s は L2 関数であるが，φ∗ s のノル
ムはいくらでも大きくできる．よって L2 上有界線形作用素とは限らない．しかし，
F : C 0 (Sq ) → L2 (Sq ) は有界線形作用素である．これは連続関数を引き戻すとコン
パクト多様体上の連続関数であるので L2 関数である．また Pq が smoothig 作用素
であり F は C ∞ なので，F Pq も smoothig 作用素である．
99
Lemma 11.1. 作用素 Pq は smoothig 作用素であり，∆q を D2 の C ∞ (Sq ) への制限
とすると，e−t∆q の smooothig kernel は Pq の smoothig kernel へ C ∞ 位相で収束す
る（t → ∞）
Proof. ∆q のスペクトルは離散的なので，0 の十分小さな近傍のみで 1 他でゼロと
なる smooth 関数 f をとると，f (∆q ) = Pq となる．さて gt (x) = (1 − f (x))e−tx と
すると gt (∆q ) = e−t∆q − Pq でかつ gt → 0 in S(R) となる．よって gt (∆q ) → 0 であ
る．よって smoothig 作用素として limt→0 e−t∆q = Pq である．そして核は unique
なので，補題が言える（see prop 2.9).
¥
上の補題から Tr(F Pq ) = limt→∞ Tr(F e−t∆q ) であり，
X
L(ζ, φ) = lim
(−1)q Tr(F e−t∆q )
t→∞
を得る．そこで
P
q
−t∆q
)
q (−1) Tr(F e
q
を調べよう．
Proposition 11.2. 任意の t > 0 に対して
X
(−1)q Tr(F e−t∆q ) = L(ζ, φ).
q
Proof.
れば
P
q
−t∆q
)
q (−1) Tr(F e
が t によらないことを言えばよい．t について微分す
X
(−1)q Tr(F (dd∗ + d∗ d)e−t∆q )
q
を得る（微分をしてよい理由としては smoothig kernel を考えればよい．それは作用
素の微分になる）．仮定より F d = dF であったので，Tr(F dd∗ e−t∆q ) = tr(dF d∗ e−t∆q )
である．次に作用素のトレースの性質 4.4 を使う ( d は有界作用素ではないので少
し工夫をする），
Tr(dF d∗ e−t∆q ) = Tr(dF d∗ e−t∆q /2 e−t∆q /2 )
=Tr(e−t∆q /2 dF d∗ e−t∆q /2 ) = Tr((e−t∆q /2 d)F d∗ e−t∆q /2 )
=Tr(F d∗ e−t∆q /2 e−t∆q /2 d) = Tr(F d∗ e−t∆q d)
となる．以上から
Tr(F dd∗ e−t∆q ) = Tr(dF d∗ e−t∆q ) = Tr(F d∗ e−t∆q d) = Tr(F d∗ de−t∆q−1 )
100
を得る（最後の等号は ∆q d = d∆q−1 から）．そこで
X
(−1)q Tr(F (dd∗ + d∗ d)e−t∆q )
q
=Tr(F (dd∗ + d∗ d)e−t∆0 ) − Tr(F (dd∗ + d∗ d)e−t∆1 ) + · · · + (−1)k Tr(F (dd∗ + d∗ d)e−t∆k )
=Tr(F dd∗ e−t∆0 ) + Tr(F d∗ de−t∆0 ) − Tr(F dd∗ e−t∆1 ) − Tr(F d∗ de−t∆1 )
+ · · · (−1)k T r(F dd∗ e−t∆k ) + (−1)k Tr(F d∗ de−t∆k )
=Tr(F dd∗ e−t∆0 ) + (−1)k T r(F d∗ de−t∆k )
となりディラック複体において d∗ = 0 on S0 , d = 0 on Sk なのでゼロとなる．t に
関する微分がゼロなので定数．
¥
このように Lefschetz 数は，熱作用素を使って書けるのである．
Proposition 11.3. φ が不動点を持たないなら，L(ζ, φ) = 0．逆に言えば，L(ζ, φ) 6=
0 なら φ には不動点がある．
Proof. まず，任意の t に対して
X
(−1)q Tr(F e−t∆q ) = L(ζ, φ).
q
であった．t が小さいとき e−t∆q の kernel を ktq (x, y) とすれば，定義から F e−t∆q の
核は 1 ζktq (φ(x), y) となる（1 ζ = 1 ζ(x) は S ⊗ S ∗ の第一成分の S に作用するという
意味）．よって
Z
Tr(F e−t∆q ) =
M
tr(1 ζktq (φ(x), x))vol(x).
ここで仮定から不動点がないので {(φ(x), x)|x ∈ M } は diagonal 近傍から離れて
いる．よって t 十分小さいなら ktq (φ(x), x) = 0 である．以上から L(ζ, φ) = 0 とな
る．
¥
Example 11.1. 複素射影空間の正則変換を考える．これはケーラー多様体で，ドル
ボー複体を考えるとディラック複体である．また
(
C q=0
H∂q¯(CP n ) =
0 q 6= 0
である．CP n の正則変換はドルボー複体の幾何学的準同型をあたえる．しかし H 0
はコンパクト複素多様体上の正則関数の全体であるので，それは定数関数である．
よって正則変換しても定数関数は不変である，つまり H 0 上で id である．よって，
その Lefschetz 数は 1 であるので，CP n の正則変換には必ず不動点が存在する．
101
11.2
不動点の寄与
先ほどの命題から Lefschetz 数は不動点からのみ寄与を受けることがわかる．そ
こで Lefschetz 公式を得るには，その不動点からの寄与を詳しくみる必要がある．
我々は簡単のため単純不動点のみ考える．
Definition 11.2. m を φ の不動点とする．このとき dφm : Tm M → Tm M を得る
が，単純不動点とは det(1 − dφm ) 6= 0 となるもの．言い換えると dφm は固有値 1
をもたない（dφm に不動点はない）．
さらに別の言い方をしてみる：φ のグラフ G(φ) = {(x, φ(x))|x ∈ M } を考え，
diag(M ) との交点を考えると，それが不動点に対応する．その交点 p = (m, m) =
(m, φ(m)) において
Tp diag(M ) = span{∂i ⊕ ∂i },
Tp G(φ) = span{∂i ⊕ dφm ∂i }
である．よって dφm が固有値 1 を持たないということと Tp diag(M ) + Tp G(φ) =
Tp (M × M ) は同値である，つまり単純不動点とは φ のグラフと diagonal が横断的
に交わること同値である．特に，横断的に交わっているので，交点は孤立してい
る（これは det(1 − dφm ) 6= 0 から直接導いてもよい）．さらに M がコンパクトよ
り交点は有限個であるので，不動点が単純不動点のみからなるなら，それは有限
個である．
さて，この単純不動点からの寄与を計算するには次の補題を用いる．
Lemma 11.4. T を det(1 − T ) 6= 0 な n × n 行列とする．任意の t > 0 に対して，
Z
1
1
2
.
e−|x−T x| /4t dx =
n/2
(4πt)
| det(1 − T )|
Rn
（この等式で t に依存しないことが重要）
Proof. A = (1 − T )(1 − t T ) とすれば 0 ≤ |x − T x|2 = (Ax, x) である．A の固
有値を λ1 , · · · , λn > 0 とする．このとき det(1 − T )2 = det(1 − T ) det(1 − t T ) =
Q
det A = j λj である．さて，A は positive な対称行列であるので，Rn の直交座標
変換（よって dx は不変）を行って，
Z
Z
1
−λ1 x21 − · · · − λn x2n
1
−|x−T x|2 /4t
e
dx
=
exp(
)dx
(4πt)n/2 Rn
(4πt)n/2 Rn
4t
Z ∞
Z ∞
n
n
Y
Y
1
1
1
2
−λj x2j /4t
e
dxj =
e−yj /4t dyj
=
1/2
1/2
1/2
(4πt)
(4πt)
−∞
−∞
j=1 λj
j=1
=
n
Y
1
1/2
j=1 λj
=
1
| det(1 − T )|
¥
102
Theorem 11.5 (Atiyah-Bott). (ζ, φ) をディラック複体の幾何学的準同型とし，単
純不動点のみを持つとする．このとき Lefschetz 数は次の公式で与えられる：
¶
n µ
X X
(−1)q tr(ζq (m))
L(ζ, φ) =
φ(m)=m q=0
| det(1 − dφm )|
.
ここで ζq (m) : (φ∗ Sq )m = (Sq )φ(m) = (Sq )m → (Sq )m . dφm : Tm M → Tm M .
Proof. 任意の t > 0 に対して
X
(−1)q Tr(F e−t∆q ) = L(ζ, φ).
q
であり，
Z
Tr(F e
−t∆q
)=
M
tr(1 ζktq (φ(p), p)vol(p).
であることは証明した．この積分で効いてくるは不動点の近傍のみである．よって
不動点を原点する測地線座標でみていく．T := dφ0（0 が不動点）とし，g = det(gij )
とする．このとき
ζq (m) = ζq (0) + O(|x|),
φ(x) = 0 + T x + O(|x|2 ),
g(x) = 1 + O(|x|) (11.1)
となる（最後の式は測地線座標から）．さて熱核の漸近展開から
ktq (m0 , m) =
−d(m0 , m)2
1
exp(
)(Θ0 (m0 , m) + O(t)) + O(t)
(4πt)n/2
4t
（等号にしてるので，最後の項は O(t) としている）．ここで Θ0 (m, m) = 1．さて，
不動点が単純なので det(1 − T ) 6= 0 である．よってある定数 δ > 0 があって
|x − T x|2 ≥ δ|x|2 .
さらに (11.1) より d(φ(x), x)2 = |x − T x|2 + O(|x|3 )，Θ0 (φ(x), x) = 1 + O(|x|) で
ある．よって
ktq (φ(x), x) =
1
−|x − T x|2
exp(
)(1 + O(|x|) + O(t) + O(|x|3 /t)) + O(t).
(4πt)n/2
4t
よって
p
ζq (0) −|x−T x|2 /4t
|1 ζq (x)ktq (φ(x), x) g(x) −
e
|
(4πt)n/2
¡
¢
1
2
≤
e−δ|x| /4t O(|x|) + O(t) + O(|x|3 /t) + O(t)
n/2
(4πt)
103
この右辺の L1 ノルムは t → 0 のとき order t1/2 である．このことを説明する：
Z
Z
√
√ n
1
1
−δ|x|2 /4t
a b
−δ|y|2
a
a b
e
|x|
t
dx
=
e
|y|
(
4ty)
t
(
4t) dy
(4πt)n/2
(4πt)n/2
Z
1
2
n/2+1 a/2+n/2+b
=
2
t
e−δ|y| |y|a y a dy
n/2
(4πt)
となり L1 ノルムは order ta/2+b である．
そこで t → 0 のとき
Z
Z
p
q
1 ζq (x)kt (φ(x), x) g(x)dx →
Rn
ζq (0) −|x−T x|2 /4t
e
dx
(4πt)n/2
先ほどの補題から右辺は t によらずtrζq (0)/| det(1 − T )| に等しい（右辺で Rn 上の
積分できる理由は下の remark をみよ）. よって
X
Tr(F e−t∆q ) →
φ(m)=m
tr(ζq (0))
| det(1 − dφm )|
であるので，定理が証明される．
¥
√
Remark 11.3. kx = y, kt = s とスケール変換すると
Z
Z
Z
1
1
1
2
−(x−ax)2 /4t
−(y−ay)2 /4s 1
√ dy = √
e
dx = √
e
e−(y−ay) /4s dy
1/2
1/2
1/2
k
U (4πt)
kU (4πt)
kU (4πs)
となる．そこで t → 0 としたとき k を十分大きくとっても構わないので積分区間
を R としてよい．
11.3
Examples
さて，いくつかの例をみていこう．
Example 11.2. ドラーム複体の場合を考え，古典的 Lefschetz 公式を導く．
まず一般にベクトル空間 T 上の線形変換 A があったとき，Λq V 上の線形変換を
Λq A と書く．このとき
X
trs (Λ∗ A) =
(−1)q tr(Λq A) = det(1 − A)
である．これを確かめよう．A を標準形に直しても一般性を失わない．A の固有値
を λ1 , · · · , λn とすると，det(1 − A) = (1 − λ1 ) · · · (1 − λn ) である．一方で，tr(Λq A)
P
は 1≤i1 <···<iq ≤n λi1 · · · λiq であるので上の公式が成立する．
104
ζq = Λq (dφm )∗ : φ∗ Λq → Λq であった．つまり ζ1 は dφm の転置行列と思ってよ
い．そこで Atiyah-Bott 公式から，不動点での寄与は
n
X
(−q)q tr(ζq (0))
det(1 − (dφm )∗ )
det(1 − dφm )
=
=
= sgn det(1 − dφm )
| det(1 − dφm )|
| det(1 − dφm )|
| det(1 − dφm )|
q=0
となるので
X
L(φ) =
sgn det(1 − dφm ).
φ(m)=m
つまり古典的 Lefschetz 数は不動点の（符号も込めた）数である．
Example 11.3. M をコンパクトケーラー多様体としてドルボー複体
∂¯
∂¯
Ω0,0 (M ) →
− Ω1,0 (M ) −
→ Ω0,2 (M ) · · · .
φ を M の正則変換とすると φ はドルボー複体の幾何学的準同型を導く．そのとき
の Lefschetz 数を φ の正則 Lefschetz 数と呼ぶ．
∗
不動点を m として dφm , ζq (m) を調べていこう．V = Tm
M とする．これは偶数
次元の実ベクトル空間であり，複素構造 J をもつ．実ベクトル空間と考えた時は
TR := dφm とかく．正則変換なので TR : V → V は TR J = JTR を満たす．つまり
(V, J) 上の複素線形写像 T を得る．V ⊗ C = Λ1,0 ⊕ Λ0,1 として TR を複素線形で拡
張し TR ⊗ 1 と書けば，TR ⊗ 1 = T ⊕ T̄ である．ここで V ' Λ1,0 , V̄ ' Λ0,1 である
ことに注意．
Remark 11.4. 行列表示で考えてみよう．T を複素 n × n 行列で表すことができる
ので T = A + iB とすると，
Ã
!
Ã
!
A B
0 I
A + iB 7→ TR =
, J=
−B A
−I 0
この行列表示で t (x, ix) ∈ Λ1,0 , t (x, −ix) ∈ Λ0,1 である．そして
Ã
!Ã ! Ã
!
Ã
!Ã
! Ã
!
A B
x
Ax + iBx
A B
x
Ax − iBx
=
,
=
−B A
ix
i(Ax + iBx)
−B A
−ix
−i(Ax − iBx)
このように Λ0,1 上では T̄ である．
さて，不動点定理での公式に現れるのは V を 2n 次元実ベクトル空間と見たとき
の，detR (1 − TR ) である．複素化しても，上のように行列自体は変わらない．よっ
て detR (1 − TR ) = detC ((1 − TR ) ⊗ 1) である．右辺は複素 2n 次元ベクトル空間
V ⊗ C 上の行列式である．さらに上でみたことから detC (1 − T ) detC (1 − T̄ ) に等し
い（手前は複素 n 次元ベクトル空間 Λ1,0 上で，後の行列式は Λ0,1 上）．以上から，
det R (1 − TR ) = det C (1 − T ) det C (1 − T̄ ).
105
¡ a b¢
2
2
（たとえば det(a + ib) = a + ib で det −b
a = a + b である）．
一方，ζq (m) を考える．これはドラーム複体のときと同様にして Λ0,q (dφm )∗ で
あることがわかる．つまり Λq T̄ ∗（ここでの ∗ は双対を表す．つまり転置）となる．
よって
X
(−1)q trζq = det C (1 − T̄ )
以上から
L∂¯(φ) =
X
φ(m)=m
X
1
det C (1 − T̄ )
=
det C (1 − dφm )
det C (1 − T ) det C (1 − T̄ )
φ(m)=m
（最後項で dφm を Λ1,0 上の複素線形な変換とみて行列式をとる）．
我々は M をケーラー多様体と仮定した，それはドルボー複体がディラック複体
になるために必要である．しかし，一般化ディラック作用素（例えばスピンｃディ
ラックを考えれば）で同様のことを行えば，正則 Lefschetz 定理はすべてのコンパ
クト複素多様体で成立する．
12
Wittesn’s approach to Morse theory
M をコンパクト多様体として h : M → R をある意味でよい関数（モース関数）
とする．Mc := {p ∈ M : h(p) ≤ c} とすれば，M はコンパクトなので h に最大最
小が存在する．よって c 十分小さいなら Mc = φ で十分大きいなら Mc = M とな
る．モース理論のアイデアは c を変化させていったとき，Mc の topology は h の臨
界点を通らない限り変化しないということである．そこで臨界点の近くで h を調
べれば，M の topology がわかるのである．
Witten はこのモース理論に新しいアプローチを与えた．アイデアは，M のド
ラーム複体をモース関数 h を使って変形すると，付随したラプラス作用素の低エ
ネルギーの固有ベクトルである波動関数をみると h の臨界点の近くに集中すると
いうことである．
この章ではモースの定理を Witten による解析的な手法による証明を紹介する．
12.1
Witten によるドラーム複体の摂動
M を完備リーマン多様体とする．
（この subsection ではコンパクトは仮定しな
い）．h : M → R を smooth function とする．この h によって，ドラーム複体を摂
動しよう．特に，ユークリッド空間上の摂動ドラーム複体のラプラシアンが調和
振動子となることをみる．
Remark 12.1. 記号の注意：テキストで ey は，我々の記号では通常の内部積を使え
ば −i(e) となる．
106
Definition 12.1. s ∈ R≥0 をパラメーターとして，摂動外微分 ds およびその随
伴を
ds ω := e−sh d(esh ω) = dω + sdh∧ ω,
d∗s ω := esh d∗ (e−sh ω) = d∗ ω + si(dh)ω
と定義する．また
Ds = ds + d∗s = D + sR
とする．ここで R = dh∧ + i(dh)．摂動ドラーム複体もディラック複体となること
に注意．つまり ds ds = 0 などが成立する．
クリフォード作用を使って書いてみよう．
(
(
e1∧ ei i 6= 1
e1∧ ei
e1 · ei =
(−1)ei · e1 =
−1
i=1
1
i 6= 1
i=1
であるので
Le ω := e · ω = (e∧ − i(e))ω,
Re ω := (−1)deg ω ω · e = (e∧ + i(e))ω
である．ここで
Re Le0 = −Le0 Re ,
に注意．よって，
Ds ω =
Le Le = −(e, e),
Re Re = (e, e).
X
(Lei ∇i ω + s(ei h)Rei ω).
i
さて，この
Ds2
に対するボホナーワイゼンベック公式をもとめよう．
Definition 12.2. x ∈ M とする．点 x での h のヘッシアンとは Tx M 上の次で与
えられる対称双線形形式である：
Hh (X, Y ) = X(Y h)(x) − ((∇X Y )h)(x).
この公式はテンソル場を与えることがわかる．実際
Hh (X, f Y ) = X(f Y h)−((∇X f Y )h) = (Xf )(Y h)+f (XY h)−(Xf )(Y h)−f (∇X Y )h.
などからわかる．さらに，対称であることは
Hh (X, Y )−Hh (Y, X) = XY h−∇X Y h−Y Xh+∇Y Xh = ([X, Y ]−∇X Y −∇Y X)h = 0.
このヘッシアンからさだまる C ∞ (End(Λ∗ T ∗ M )) の元 Hh を次で定義：
X
Hh :=
Hh (ei , ej )Lei Rej .
i,j
このとき Ds2 のワイゼンベック公式を得る．
107
Lemma 12.1.
1. R2 = (
P
(ei h)Rei )2 = |dh|2 ．
2. DR + RD = Hh .
この二つをあわせれば
Ds2 = D2 + s2 |dh|2 + sHh .
Proof. まず，
R2 =
X
X
(ei h)(ej h)Rei Rej = −
(ei h)(ei h) = |dh|2
i,j
である．次に (∇ei )x = 0 となる正規直交フレームをとって点 x で考えれば
X
X
X
X
Lei ∇i
(ej h)Rej +
(ej h)Rej
Lei ∇i
X
=
(ei ej h)Lei Rej + (ej h)Lei Rej ∇i − (ej h)Lei Rej ∇i
X
=
(ei ej h)Lei Rej = Hh .
となる．これらの公式を Ds = D + sR，Ds2 に代入すればよい．
¥
P
特別な場合としてユークリッド空間 Rn で h = 1/2 λj x2j の場合を考えると，
Hh =
X
∂i ∂j hLei Rej =
X
i,j
λi Lei Rei =
X
λ j Zj
i
となる．ここで Zj とは dxi1 ∧ · · · dxik に作用するときに j ∈ {i1 , · · · , ik } なら 1 で作
用し，j ∈
/ {i1 , · · · , ik } なら −1 で作用するものである．よって先ほどの補題から
Ds2 =
X
j
−
∂2
+ s2 λj xj + sλj Zj .
∂x2j
実は，これがモース関数の臨界点の近くでのモデルとなる．そのため次の命題を
あとで使う．
P
Proposition 12.2. M = Rn で h = 1/2 λj x2j とする．s > 0 に対して，作用素
Ds2 に関する L2 (Rn , Λ∗ T ∗ Rn ) の固有値分解で，各固有関数が滑らかな急減少関数
となるものが存在．そして，その固有値は
n
X
s
(|λj |(1 + 2pj ) + λj qj ).
j=1
ここで p1 , · · · , pn ∈ Z≥0 , q1 , · · · , qn = ±1．また k-forms のスペクトルは，ちょう
ど k 個の qj が 1 という条件をおけばよい．
108
Proof. Yj = −∂j2 +s2 λ2j x2j とする．これは xj に対する調和振動子である．{Z1 , · · · , Zn , Y1 , · · · , Yn }
P
は互いにすべて可換であるので，同時対角化ができる．section 7 でみたように， Yj
P
は本質的自己共役で離散スペクトルをもつ．そして，その固有値は s |λj |(1+2pj )
である（lemma 7.1）．ここで pj = 0.1, 2, · · · ．またその固有空間の重複度は微分
形式の基底の分の次元（つまり fiber の rank）だけあるので 2n である．一方，作
用素 Zj は固有値として ±1 を持つ．よって固有値は
X
s
(|λj |(1 + 2pj ) + λj qj )
P
となる．さらに sλj Zj の k-forms への作用を考えば命題が言える．
¥
12.2
モース不等式
M をコンパクトリーマン多様体．(S, D) をディラック複体とする．
d
d
d
C ∞ (S1 ) −
→ C ∞ (S2 ) −
→ ··· −
→ C ∞ (Sk ),
dj dj+1 = 0.
この複体のベッチ数を
βj := dim H j (S, d) = dim ker dj /Imdj−1
P
とすると，Ind(D) = Ind(d + d∗ ) =
(−1)j βj である．φ を smooth function で
R+ 上急減少かつ正かつ φ(0) = 1 となる関数とする．このとき作用素 φ(D2 ) は
smoothing 作用素でトレースクラスである．そこで
µj := Tr(φ(D2 )|Sj )
とおく．
Proposition 12.3 (モース不等式). 上の仮定のもとので，次の不等式系を得る．
これをモース不等式とよぶ．
µ0 ≥ β0
µ1 − µ0 ≥ β1 − β0
µ2 − µ1 + µ0 ≥ β2 − β1 + β0
··· ≥ ···
となり．最後は等式
X
(−1)j µj =
X
(−1)j βj
が成立する．
Remark 12.2. この不等式を特別な場合に考えれば，トポロジーでの通常のモース
不等式を得ることができる．それについては次の subsection で議論する．
109
Proof. ホッジ定理からコホモロジー群は調和なものと同型であるので，βj = dim ker(D2 |Sj )
である．D2 のスペクトルは離散なので，R+ 上の滑らかな正の関数 φ̃ で φ̃(0) = 1
かつ，すべての零でない固有値 λ 上で φ̃(λ) = 0 となるもがとれる．さらに，φ̃ ≤ φ
と仮定しも構わない．βj = Tr(φ̃(D2 )|Sj ) = Tr(Pj ) であるので，
µj − βj = Tr((φ − φ̃)(D2 )|Sj ).
さて，
(φ − φ̃)(λ) = λψ(λ)2
となる ψ(λ) で正かつ急減少で，ψ(0) = 0 となるものが存在する．よって (φ −
φ̃)(D2 ) = D2 ψ(D2 )2 . さて D2 = dd∗ +d∗ d であったが，トレースを考えて（Lefschetz
不動点公式のときと同様に）
Tr(dd∗ ψ(D2 )2 |Sj ) = Tr(ψ(D2 )|Sj dd∗ ψ(D2 )|Sj ) = Tr((ψ(D2 )|Sj d)(d∗ ψ(D2 )|Sj ))
= Tr(d∗ ψ(D2 )2 |Sj d)
= Tr(d∗ dψ(D2 )2 |Sj−1 ) (by D2 |Sj d = dD2 |Sj−1 )
よって
(µj − βj ) − (µj−1 − βj−1 ) + (µj−2 − βj−2 ) + · · ·
={Tr(d∗ dψ(D2 )2 |Sj ) + T r(dd∗ ψ(D2 )2 |Sj )} − {T r(d∗ dψ(D2 )2 |Sj−1 ) + T r(dd∗ ψ(D2 )2 |Sj−1 )}
+ {Tr(d∗ dψ(D2 )2 |Sj−2 ) + T r(dd∗ ψ(D2 )2 |Sj−2 )} + · · ·
={Tr(d∗ dψ(D2 )2 |Sj ) + T r(dd∗ ψ(D2 )2 |Sj−1 )} − {T r(d∗ dψ(D2 )2 |Sj−1 ) + T r(dd∗ ψ(D2 )2 |Sj−2 )}
+ {Tr(d∗ dψ(D2 )2 |Sj−2 ) + T r(dd∗ ψ(D2 )2 |Sj−3 )} + · · · + {Tr(d∗ dψ(D2 )2 |S0 ) + 0)}
=Tr(d∗ dψ(D2 )2 |Sj )
特に，j = k （複体の次数の一番大きいところ）のときは
(µk − βk ) − (µk−1 − βk−1 ) + · · · + (−1)k (µ0 − β0 ) = Tr(d∗ dψ(D2 )2 |Sk ) = 0
P
P
である．よって (−1)j βj =
(−1)j µj となり，命題の一部が言えた．あとは
Tr(d∗ dψ(D2 )2 |Sj ) ≥ 0 を証明すればよい．
A = dψ(D2 )|Sj : C ∞ (Sj ) → C ∞ (Sj+1 )
とすれば，A∗ = ψ(D2 )|Sj d∗ であり
A∗ A = ψ(D2 )2 |Sj d∗ dψ(D2 )|Sj = d∗ ψ(D2 )2 |Sj+1 dψ(D2 )|Sj = d∗ dψ(D2 )2 |Sj ψ(D2 )|Sj .
そこで A はヒルベルトシュミット作用素であるので Tr(A∗ A) = kAk2HS ≥ 0 とな
る．
¥
110
12.3
モース関数
今からは，ドラーム複体の場合のみを考える．
Definition 12.3. smooth 関数 h : M → R がモース関数とは，すべての臨界点
（∇h = 0 となる点）において，ヘッシアン Hh が非退化となるもの．
ヘッシアンが非退化なのでモース関数の臨界点は孤立している．M コンパクト
より，臨界点は有限個である．各臨界点の指数をヘッシアンの負の固有値の数と
して定義する．
Remark 12.3. リーマン計量があるときには Hh (X, Y ) = XY h − ∇X Y h としてヘッ
シアンを定義した．そして (∇ei )x となるフレームをとればヘッシアンは (Hh ((ei )x , (ej )x ))i,j
として対称行列を定める．さて，他のリーマン計量を取って，同様のヘッシアン
Hh0 を定義した場合に，Hh と Hh0 は行列として相似になるとは限らない．これが相
似になるには x が h の臨界点である必要がある．そして，臨界点では，どのよう
な座標をとってもヘッシアンは互いに相似であるので，その指数は well-defined と
なる．簡単にいえば，臨界点では
∂2h
∂x ∂h ∂x ∂x ∂ 2 h
∂x ∂x ∂ 2 h
=
+
=
∂y∂y
∂y∂y ∂x ∂y ∂y ∂x∂x
∂y ∂y ∂x∂x
となるため．特に，臨界点での指数はリーマン計量のとり方によらない．この式
から用意にわかるが u, v ∈ Tp M としたとき
Hh : Tp M × Tp M ∈ (u, v) → Hh (u, v) ∈ R
が臨界点で well-defined である．
さて，摂動ディラック作用素 Ds = ds + d∗s を考える．この作用素は形式的自己
共役な一般化ディラック作用素であるので，有限伝搬性や楕円評価などが成立す
る．例えば楕円評価を確かめてみる．この作用素の２乗は
Ds2 = D2 + sHh + s2 |dh|2
であった．後ろの zero-order term を L として Ds2 = D2 + L とすれば，
kDs ωk2 = kDωk2 + (Lω, ω) ≥ kDωk2 − C1 kωk2
となる．よって
(1 + C1 )kDs ωk2 + kωk2 ≥ kDωk2 + kωk2 ≥ C2−1 kωk2W 1 .
となるので Garding 不等式が成立する．
（ここで C1 は s の多項式により bound さ
れる）．
111
さて，摂動ドラーム複体を s → ∞ にしたときの漸近的挙動を考えよう．ρ > 0 を
固定して，φ ∈ S(R) として，正の偶関数で φ(0) = 1 かつフーリエ変換 φ̂ が [−ρ, ρ]
となるものをとる．φ(Ds ) を考えると，φ は偶関数なので Ds2 の関数と考えること
が可能で，先ほどの命題を使える．よって M の摂動ドラーム複体のベッチ数 β s は
µsj = Tr(φ(Ds )|Sj )（Sj = Λj T ∗ M ）に対するモース不等式をみたす．さらに，摂動
ドラーム複体の作り方から
Λj


−sh
e
y
d
−−−→
Λj+1

 −sh
ye
d =e−sh d◦esh
Λj −−s−−−−−−→ Λj+1
となり，この逆も作れる．つまり複体はホモトピーで結べるので，そのコホモロ
ジー群も同型である．とくに β s = β とベッチ数は摂動しても不変である．そこで
s → ∞ にすることにより，µsj → ∃νj となるが，この νj が実は指数 j の h の臨界
点の数に等しくなる．s → ∞ としてもモース不等式は不変なので，モースの定理
が証明できるのである．
そこで我々は φ(Ds ) の s → ∞ での漸近挙動を調べていこう．
Lemma 12.4. Crit(h) で h の臨界点の集合を表すことにする．Crit(h) の 2ρ 近
傍の補集合上で φ(Ds ) の smooth kernel は s → ∞ でゼロに一様収束する（ここで
ρ は φ̂ の support の ρ と同じものであることに注意．つまり，この補題の ρ は φ に
依存）．
Remark 12.4. 以下の証明で使う記号の説明：L∞ とは |s(x)| ≤ C （a.e. x) となる
関数の集合である．すなわち，本質的に有界な関数全体である．これはバナッハ
空間である．また (L1 )∗ = B(L1 , C) = L∞ である
対称作用素 T が上（または下）に半有界とは: ∀x ∈ D(T ) に対して (T x, x) ≤
αkxk2 )（(T x, x) ≥ αkxk2 ) となることである．
Friedrichs 拡張：上または下に半有界な作用素 T は同じ α で上（または下）に半
有界な自己共役拡張 T̄ をもつ．Friedrichs 拡張とよぶ．
A ∈ B(X, Y ) に対して共役作用素を定めれば A∗ ∈ B(Y ∗ , X ∗ ) であり kAk = kA∗ k
となる．
Proof. M がコンパクト多様体なので，Crit(h) の ρ 近傍の補集合の任意の点 x に
対して |∇h(x)| ≥ C > 0 となる定数 C （x によらない）が存在する．そこで
Ds2 = D2 + sHh + s2 |dh|2
により s を十分大きくとれば, Crit(h) の ρ 近傍の補集合で support される ω に対
して，
1
(Ds2 ω, ω) = (Dω, Dω)+s(Hh ω, ω)+s2 (|dh|2 ω, ω) ≥ −sC 0 kωk2 +s2 C 2 kωk2 ≥ C 2 s2 kωk2
2
112
となる．
さて，H を Crit(h) の ρ 近傍で消える M 上 L2 微分形式のヒルベルト空間とし，
そこへ制限した作用素を D̃s2 と書く．上の式から D̃s2 は形式的自己共役作用素で正
の作用素である．よって正の条件をみたす，自己共役拡張 A（Friedrichs 拡張）が
存在する．さて，Crit(h) の 2ρ 近傍の補集合で support された ω に対して
√
φ(Ds )ω = φ( A)ω
となることを証明しよう．
（ただし，左辺の Ds はもともとの Ds である．作用する
2
∗
空間は L (M, Λ ) である．一方 A の作用する空間は H である．よって，これらの
スペクトル分解や functional calculus も異なるはずであるが，上の式では，上の条
件の ω に対しては実は一致することを言っている）．上の式を証明するためには
有限伝搬性を用いる．まず，時間依存な微分形式
1
ωt = cos(tDs )ω = (eitDs + e−itDs )ω
2
を考える（これは ∀t ∈ R で定義されている）．これは，偏微分方程式
∂ 2 ωt
+ Ds2 ωt = 0,
∂t2
ω0 = ω,
ω00 = 0
の解である．この方程式の解の一意性を確かめる．まず，エネルギー
k
∂ωt 2
k + (Ds2 ωt , ωt )
∂t
は保存されることがわかる．なぜなら Ds が自己共役なので
∂ ∂ωt ∂ωt
∂
(
,
) + (Ds2 ωt , ωt )
∂t ∂t ∂t
∂t
∂
∂ 2 ωt ∂ωt
∂ωt
=2( 2 ,
) + (Ds2 ωt , ωt ) + (Ds2 ωt ,
)
∂ t ∂t
∂t
∂t
∂ωt
∂
=2(−Ds2 ωt ,
) + 2( ωt , Ds2 ωt ) = 0.
∂t
∂t
さらに，初期条件を考えれば
k
∂ωt 2
k + (Ds2 ωt , ωt ) = C = (Ds2 ω, ω)
∂t
となる．同じ初期条件をみたす別の解 ωt0 が存在したとして ζt = ωt − ωt0 とすると，
ζt は
∂ζt
k k2 + kDs ζt k2 = 0
∂t
をみたす．よって ∂t ζt = 0 で ζt = ζ0 = 0 となるので，解の一意性がわかった（存
在は上で与えた解 ωt ）．しかし，有限伝搬性から ωt は |t| < ρ に対して Crit(h) の
113
ρ 近傍の補集合内に support される（ω は 2ρ 近傍の補集合内に support されてい
た）．よって |t| < ρ に対して，ωt ∈ H なので，定義から Ds2 ωt = D̃s2 ωt = Aωt であ
る．よって ωt は |t| < ρ に対して
∂ 2 ωt
+ Aωt = 0, ω0 = ω, ω00 = 0
2
∂t
√
の unique な解であるので，ωt = cos(t A)ω と書ける．
さて，φ̂ の support が [−ρ, ρ] にあり，φ が偶関数なので φ̂ も偶関数である．よっ
√
て |t| < ρ なら ωt = cos(t A)ω だったので，
Z ρ
1
φ(Ds )ω =
(eitDs ω)φ̂(t)dt
2π −ρ
Z
1 ρ
=
cos(tDs )ω φ̂(t)dt
π 0
Z
1 ρ
ωt φ̂(t)dt
=
π 0
Z
√
1 ρ
=
cos(t A)ω φ̂(t)dt
π 0
√
= · · · = φ( A)ω
以上から Crit(h) の 2ρ 近傍の補集合で support された ω に対して
√
φ(Ds )ω = φ( A)ω
であることがわかった（ただし φ̂ の support が [−ρ, ρ] のとき）．
√
A は正の作用素であり，下から 12 Cs で抑えられる．そこでスペクトル理論か
√
ら，L2 作用素としての φ( A) の作用素ノルムは，次で上から有界である：
c(s) = sup{|φ(λ)| | λ ≥ 1/2Cs}
この c(s) は s → ∞ とすれば，φ はシュワルツ関数なので c(s) → 0（急減少）とな
る．以上から，Crit(h) の 2ρ 近傍の補集合で support された ω に対して
kφ(Ds )ωk ≤ c(s)kωk
(12.1)
（c(s) → 0 as s → 0 急減少）であるとがわかった．
この評価は我々が証明すべきものにかなり近い．我々が証明すべきは次のこと
である：ω を 2ρ 近傍の補集合上に support された微分形式として
kφ(Ds )ωkL∞ ≤ c1 (s)kωkL1
（c1 (s) → 0）となる c1 (s) の存在．
114
(12.2)
なぜ，これが証明すべきものであるかを述べる：φ(Ds ) の核を ks とする．つまり
R
R
φ(Ds )u = ks (p, q)u(q)vol(q)．p を固定して f (p) : L1 3 u → ks (p, q)u(q)vol(q) ∈
R（適当に束を自明化して，ある成分をとる）とすれば，これは線形汎関数である．
さて supp,q |k(p, q)| ≤ C と仮定すると，
Z
|f (p)u| ≤
Z
|k(p, q)||u(q)|vol(q) ≤ sup |ks (p, q)|
q
|u(q)|vol(q) ≤ CkukL1
を考えると supp |f (p)u| ≤ CkukL1 となるので，supp,q |ks (p, q)| ≤ C となるための
必要十分条件は L1 3 u(q) → f (p)u ∈ L∞（f (p)u で p ∈ M も動かしてる）が連続
であることである．そして核の sup は対応する積分作用素 L1 → L∞ の作用素ノル
ムにより評価できる（この議論は lemma 13.3 の証明を参考にした）
そこで (12.1) から (12.2) を証明しよう（すでに我々は H から離れて，もともとの
2
L (M, Λ∗ ) で考えている）．鍵となるアイデアは (1 + Ds2 )−1 が W k → W k+2 の有界
線形作用素であることである．そしてその作用素ノルムは s の多項式による bound
される（これは Ds に対する楕円評価による）．さて，ソボレフ埋め込み W p ⊂ L∞
（p > n/2）により，(1 + Ds2 )−k は L2 → L∞ （k > n/4）として有界線形作用素
であり s の多項式で bound される（L2 → W 2 → · · · W 2k ⊂ L∞ ）．双対性から
((1 + Ds2 )−k )∗ は L1 → L2 として s の多項式で bound される有界線形作用素である．
さらに Ds が自己共役作用素であることから，(1+Ds2 )−k = ((1+Ds2 )−k )∗ : L1 → L2
となる．以上から ω ∈ L1 として，
kφ(Ds )ωkL∞ = k(1 + Ds2 )−k (1 + Ds2 )2k φ(Ds )(1 + Ds2 )−k ωkL∞
≤ k(1 + Ds2 )−k kk((1 + Ds2 )2k φ(Ds ))(1 + DS2 )−k ωkL2
≤ p0 (s)k(1 + Ds2 )2k φ(Ds )kk(1 + DS2 )−k ωkL2
≤ p(s)kφ(Ds )(1 + Ds2 )2k kL2 →L2 kωkL1
となる．φ̃(λ) = (1 + λ2 )2k φ(λ) として φ̃(Ds ) を考えると, φ̃ は φ と同じ条件を満た
すので
kφ̃(Ds )ωkL2 ≤ c̃(s)kωkL2
（c(s) → 0 急減少）．そこで c1 (s) = p(s)c(s) としても c1 (s) → 0 であり，
kφ(Ds )ωkL∞ ≤ c1 (s)kωkL1
¥
が成立する．
この補題から Tr(φ(Ds )) は s → ∞ のとき，h の臨界点で局在化した section の
寄与しかないことがわかる（Lefschetz 定理では，不動点からの寄与しかなかった）．
そこで臨界点からの寄与を考察していこう．
115
12.4
臨界点からの寄与
M 上の特別な計量をいれる．それはモースの補題と compatible となるような計
量である．そこで，モースの補題を述べよう（証明は松島「多様体入門」など）．
Lemma 12.5 (モースの補題). h の各臨界点において，臨界点を原点とする局所
座標で
1X
h(x) =
λj x2j
2
となるものが存在．もちろん，ここで負の λ の数は臨界点の指数に等しいとする．
（注意：λi = ±1 として構わない）
M の計量として，臨界点の近の上のモース座標系がユークリッド計量となるよ
うにして後は一の分割で全体へ広げる．また ρ として，臨界点から 4ρ の距離のと
ころまではユークリッド計量となるように十分小さくとる．そこで，前 subsection
でみたように，この座標系（＋計量）では Ds2 は次に等しい：
Ls =
X
j
−
∂2
+ s2 λj2 x2j + sj λj Zj .
∂x2j
さらに．Ls は本質的自己共役で，離散スペクトルをもっていた．また固有値は具
体的にもとまっていた：
n
X
s
(|λj |(1 + 2pj ) + λj qj )
j=1
（ここで p1 , · · · , pn ∈ Z≥0 ，q1 , · · · , qn = ±1 であり k-form に作用するときは，ちょ
うど k 個の qj が +1 となる）．これがゼロになるためには，p1 , · · · , pn = 0 か
つ |λj | + λj qj = 0（∀j ）となるときである．つまり，λi1 , λi2 , · · · , λim < 0 なら，
qi1 = · · · = qim = 1 かつそれ以外は −1 となるときであり，そのときに限る．つ
まり，
p1 , · · · , pn = 0, sign(λj ) + sign(qj ) = 0,
のときである．
Lemma 12.6. 臨界点において λj が負となる数を m とする．つまり指数が m と
すると．
(
p
0 k 6= m
lim Tr(φ( Ls )|Λk ) =
s→0
1 k = m.
√
さらに，β ∈ Cc∞ (Rn ), β(0) = 1 による掛け算作用素を B と書くと Tr(Bφ( Ls )|Λk )
に対しても同じことが成立する．
116
√
Proof. φ( Ls )|Λk はトレースクラスであることに注意する．固有値がすでにもと
まっているので
v

u X
n
X
p
u
Tr(φ( Ls )|Λk ) =
φ t s
(|λj |(1 + 2pj ) + λj qj )
j=1
p1 ,···pn ∈Z,q1 ,··· ,qn =±1,#{qi =1}=k
ここで和は pj = 0, 1, 2, · · · , で qj はちょうど k 個のみ +1 となるもの．k 6= m のと
P
き，Ls の 0 固有値はない（ 1≤j≤n (|λj |(1 + 2pj ) + λj qj ) 6= 0）ので，すべての固
有値は order s である．よって φ が急減少関数なので s → ∞ のとき 0 となる．次
に k = m のとき，Ls の固有値がゼロとなるのは
p1 , · · · , pn = 0,
sign(λj ) + sign(qj ) = 0,
のとき，かつそのときに限る．つまり，ゼロ固有値の重複度は１である．よって
補題の前半がいえた．
√
次に，一般の場合 Tr(Bφ( Ls )|Λk ) をかんがえよう．Ls の固有ベクトルを e(pj , qj )
と書くと
¶
X µq X
p
φ
s
(|λj |(1 + 2pj ) + λj qj ) (Be(pj , qj ), e(pj , qj ))
Tr(Bφ( Ls )|Λk ) =
pj ,qj
前と同様の理由で s → ∞ でゼロ固有値のみ寄与する．その固有ベクトルを e0
（p1 = · · · = pn = 0）とすると，これは調和振動子の基底状態を定数微分形式
dx1 ∧ · · · ∧ dxm ∈ Λk = Λm（ここでも簡単のため λ1 , λ2 · · · , λm が負としてる）に掛
けたものである．よって具体的には
sn/2 Y 1/2 −s P λj x2j /2 1
e0 = ( n/4
λj )e
dx ∧ · · · ∧ dxm .
π
j
そこで s → ∞ としたとき (Be0 , e0 ) → 1（これは簡単な計算による）である．よっ
て補題が証明できた．
¥
さて，目的であったモース定理を述べよう．
Theorem 12.7 (モース定理). h をコンパクト多様体 M 上のモース関数とする．
βj をベッチ数として，h の指数 j の臨界点の個数を νj とすると，
ν0 ≥ β0
ν1 − ν0 ≥ β1 − β0
ν2 − ν1 + ν0 ≥ β2 − β1 + β0
··· ≥ ···
となり．最後は等式
X
(−1)j νj =
X
が成立する．
117
(−1)j βj
Proof. M 上の計量として上で述べたものを取る．また cut-off 関数 φ も上のように
とっておく．すでに見たように µsj := Tr(φ(Ds )|Λj ) とすれば，これはモース不等式
を満たす．そこで µsj → νj （s → ∞）を見ればよい．
smoothig 作用素 φ(Ds )|Λj の Tr はこの作用素の核の局所トレースをとって積分
すればよかった（theorem 4.7）．特に，diagonal 上の積分になる．補題 12.4 によ
り，この局所トレースは各臨界点の 2ρ 近傍以外では零に一様収束する．そこで
φ(Ds )|Λj は s → ∞ のとき，臨界点のみから寄与をうける．言い換えると
Z
XZ
Tr(φ(Ds )|Λj ) =
tr(ks (p, p))vol(p) =
tr(ks (p, p))vol(p).
M
ci
U (c)
そこで β を M 上の滑らかな関数で臨界点の 2ρ 近傍では 1 で，3ρ 近傍で support
されるものとして，B を β の掛け算作用素とする．このとき臨界点からの寄与は
lims→0 Tr(Bφ(Ds )|Λj ) と書ける．
臨界点のまわりでモース座標系をとれば，臨界点の 4ρ 近傍上に support された
微分形式は Rn の原点のの 4ρ 近傍上に support された微分形式と同一視できる．そ
して Ds は Ls とみなせる．
補題 12.4 の証明と同様に有限伝搬性から
p
φ(Ds )α = φ( Ls )α
がわかる．ここで α は臨界点の 3ρ 近傍で support された微分形式．よって
p
Tr(Bφ(Ds )|λj ) = Tr(Bφ( Ls )|Λj )
√
さらに先ほどの補題から s → ∞ のとき，Tr(Bφ( Ls )|Λj ) は臨界点が指数 j を
もてば 1 でそれ以外は零であった．よって指数 j の臨界点の個数を νj とすれば，
lims→∞ Tr(Bφ(Ds )|λj ) = νj となる．以上から定理が証明できた．
¥
12.5
超対称性とモース理論（もうすこし物理的に）
テキストのモース理論の話は前 subsection までだが，この subsection では，Witten の original の原論文に沿って説明してみる．アイデアは Floer ホモロジー群へ
とつながる．この subsection の議論はかなり，いい加減に書いている（よくわかっ
てない）．証明もほとんどつけてない．
12.5.1
超対称性理論
ヒルベルト空間 H = H+ ⊕ H− と分解されてるとする．H+ はボゾン状態の
空間．H− はフェルミオン状態の空間という．超対称性理論とは超対称作用素 Qi
（i = 1, · · · , N ）
Qi : H± → H∓
118
となるエルミート作用素があることである．
さらに，つぎのような単純な場合を考えよう．N = 2 超対称性理論で，
Q21 = H + P,
Q22 = H − P,
Q1 Q2 + Q2 Q1 = 0
とする．ここで H はハミルトニアン，P は運動量．この単純なモデルでは
[Qi , H] = 0,
1
H = (Q21 + Q22 )
2
が成立．つまり Qi が保存量，H が非負であることが分かる．(−1)F を H 上の次数
作用素とすれば，(−1)F Qi = −Qi (−1)F であり，Qi は odd となる．H ，P は even．
さて，この H の固有状態を調べよう．
1. エネルギー E = 0 のボゾン状態があったとすると．H|bi = 0 であるので
Q1 |bi = Q2 |bi = 0 となる．これより超対称作用素の１次元表現を得る．フェ
ルミオン状態でも同様．
2. まずエネルギー E > 0 となるボソン状態 |bi があるとき：H|bi = E|bi であ
り，Qi は odd なので |f i = (Q1 + Q2 )|bi はフェルミオンである．
hf |f i = hb|(Q1 + Q2 )∗ (Q1 + Q2 )|bi
= hb|(Q1 + Q2 )(Q1 + Q2 )|bi
= hb|2H|bi
= 2Ehb|bi
となる．よってボゾン状態があれば，必ずフェルミオン状態も存在して超対
称作用素の２次元表現を与える．
E = 0 の場合のように超対称代数（超対称作用素の代数）の表現の次元が落ちる場
合を BPS 状態とよぶ．それ以外は non-BPS 状態とよぶ．このように BPS 状態があ
れば超対称不変な基底状態が存在することになり，BPS 状態がなければ超対称不
変な基底状態が存在しないので超対称性が自発的に破れることになる（自発的破れ
とはハミルトニアンがある対称変換で不変でも，基底状態がその対称変換で不変に
ならないこと）．そこで BPS 状態があるかどうかをしらべることになる．tr(−1)F
を考えると E > 0 ではボゾンとフェルミオンが打ち消しあって，この tr(−1)F に
は効いてこない．E = 0 の BPS 状態だけを拾ってくることになり
tr(−1)F = (bosonic BPS 状態の数) − (fermionic BPS 状態の数)
これを SUSY 指数とよぶ．物理学では BPS 状態があるかないか重要であるので，
この SUSY 指数は重要となる（SUSY 指数が零でないと BPS 状態が存在する）．
119
12.5.2
Witten 複体
ドラーム複体が超対称性理論の一つのモデルになることを今から見ていく．ハ
ミルトニアンが ∆ であるので，ドラーム複体の SUSY 指数は Ind(d + d∗ ) でありオ
イラー数になる．
さてモース理論と超対称性を関係づけよう．
Q1 = d + d∗ ,
Q2 = i(d − d∗ ),
H B = ⊕Ω2p ,
H F = ⊕Ω2p+1 .
とすれば Q1 Q2 + Q2 Q1 = 0, Q21 = Q22 = H = ∆, P = 0 となり，N = 2 超対称性理
論のモデルになる．さらに，これを dt = e−f t def t , d∗t = ef t d∗ e−f t により摂動して，
Q1 (t) = dt + d∗t ,
Q2 (t) = i(dt − d∗t ),
Ht = ∆(t).
以前述べたように，
Ht = dd∗ + d∗ d + t2 |df |2 + tHf = ∆ + V
となり，potential V をもつ Schrödinger 型の作用素とみなせる．t を十分大きくす
ると，
V 7→ t2 |df |2
となる．|df | 6= 0 のところでは potential が非常に大きくなるので，固有関数は零
に近づく．つまり |df | = 0 となる f の臨界点のところに固有関数は局在化するの
である（ポテンシャルが臨界点を底とする深い井戸型になる）．そこで，臨界点の
近傍で Ht を展開する（t → ∞ として）．このときモースの補題などから，
X
f (x) = f (0) + 1/2
λi x2i λi = ±1.
とすれば，Ht の近似ハミルトニアンを H̃t とすると
X
H̃t =
−∂i2 + t2 x2i + tλi [a∗i , ai ]
となる．ここで ai = i(ei ), a∗i = ei∧ である．このスペクトルは
X
t
{(1 + 2pi ) + λi qi },
pi = 0, 1, 2, · · · , qi = ±1.
さてベッチ数との比較をしたいので，この 0 固有値（近似調和微分形式）の数を
考える．零固有値を得るためには λi = −1 のとき qi = +1 にすればよい．
そこで j をこの臨界点の指数とすると j-form に対して一つの零固有値を得る（唯
一つ）．よって零固有値をもつ j-form の全体の個数は指数 j の臨界点の個数に等
しい．
また，この近似が正確なら零固有値をもつ j-form の数はベッチ数に等しくなる．
しかし近似なので，近似的に零固有値をもつ j-form は正確な計算をした場合には消
120
えることがある（これは近似的零エネルギーのボゾンと近似的零エネルギーのフェ
ルミオンがトンネル効果によって，互いにエネルギー準位が上がってしまうことを
意味する．簡単にいえば３次関数 f (x) = x3 は，引き伸ばせば一次関数 f (x) = x
になる）．よって弱い形のモースの不等式
βj = dim H j ≤ νj
が成立する．さて，強い形のモース不等式をいうには，トンネル効果（インスタ
ントン効果）まで考慮する必要がある．
Remark 12.5. このように書くと少し語弊がある．別に古典的なモース理論でも，
強い形のモース不等式は証明できる．それは，モース関数からセル複体をつくれ
ば，強い形のモース不等式をつくることが可能である．しかし，M のホモロジー
をもとめることは必ずできるわけではない．つまり，下で挙げた t の多項式におい
て Qi = 0（もしくは完全モース関数）となるかはわからないのである．これはセ
ル複体を作っても，古典的モース理論では，各セルがホモロジー類を定めるか，バ
ウンドされるかがわからないからである．しかし，Witten 複体を考えた場合には，
バウンダリー作用素が完全にわかることである．それがトンネル効果である（各
セルがいつバウンドされるかがわかるのである）．そして，Witten 複体の（コ）ホ
モロジーが M の（コ）ホモロジーがと一致するのである．上で言ってることはバ
ウンダリー作用素を作れるということである．
そこで指数 p の臨界点を基底とす Z 加群 C p を考える．
C p = { 指数 p の臨界点たち } = { 近似的零エネルギーをもつ p-forms}
さらに coboundary 作用素 δ : C p → C p+1 （δ 2 = 0）で，M のコホモロジーと同型
となるようなものを構成する．このような複体があれば dim C p = νp なのでモー
ス不等式が成立することがわかる（簡単な計算）．さらに，コホモロジー群が一致
することから
X
X
X
νj tj −
βj tj = (1 + t)
Qj tj Qj ∈ Z≥0 .
を得る（t = −1 で左辺はオイラー数 − オイラー数 = 0 となる．さらに形式的に展
開すれば Qj ≥ 0 とモース不等式は同値）．
そこで coboundary 作用素を構成しよう．まず M 上のベクトル場 grad(f ) の積
分曲線
dγ(s)
= −grad(f (γ(s)))
ds
を考える．この gradient flow は臨界点でのみ零となるので，path の始点，終点は
臨界点である．つまり，そのような path は potential の最小値の間をすり抜けるイ
ンスタントンである（トンネル効果）．
121
特に，次数が１だけ違う臨界点を結ぶ path を考える（次数が１違うものは有限
個）．a, b を臨界点として i(a) = p, i(b) = p + 1 とする．このとき f (b) > f (a) で
あり，gradients flow となる path（急降下 path）を γa,b と書く（何個かある）．次
に，この path に符号 ²a,b を与えよう．Tb− M を b でのヘッシアンの p + 1 個の負の
固有値に対応する固有空間．Tb γa,b を点 b での γa,b の接線方向の空間とする．
Tb− M = Tb γa,b ⊕ Ob
と直交分解する．この Tb− M に臨界点 b に対応する近似零エネルギー状態である
p + 1-form からの向きを入れて Tb γa,b で縮約して，Ob にも向きを入れる．これを
path にそって移して Ta− M に向きを与える．そこで，臨界点 a に対する近似零エ
ネルギー状態からの向きと一致するときは ²a,b = 1，そうでないときは −1 と定め
P
る．これをすべての a, b を結ぶ gradient flow に対して考えて ²(a, b) = γa,b ²a,b と
する．そして
X
δ(a) =
²(a, b)b
b∈C p+1
p
により δ : C → C
が定まる．実は，このとき δ 2 = 0 となるのである．これは
物理的な解釈から t → ∞ で近似的には δ = dt であるためで，よって Witten 複体
のコホモロジー群が M のコホモロジー群に等しいこともわかる．詳細は原論文を
みよ．
13
p+1
Atiyah’s Γ 指数定理
この章では Atiyah による Γ 指数定理を述べる．それは非コンパクト多様体上の
指数定理の一つである．そこでまず完備リーマン多様体上でも functinal calculus
が行えることを述べよう．
13.1
開多様体上の functional calculus
M を完備リーマン多様体，D をディラック作用素（形式的自己共役一般化ディ
ラックでよい），S をクリフォード束とする．D は L2 (S) 上の非有界作用素で，定
義域は Cc∞ (S) である．このとき完備性から D が L2 (S) 上の非有界作用素の意味
での本質的自己共役作用素であることがわかる. よって自己共役非有界作用素に対
するスペクトル理論がつかえ，これから functional calculus が行える [5]．しかし，
ここでは functional calculus を波動作用素の有限伝搬性性質を使って考えてみよう
（実は，有限伝搬性をつかうと本質的自己共役性もしめせることが知られている）．
Proposition 13.1. 波動方程式
∂st
= iDst
∂t
122
は初期条件 s0 ∈ Cc∞ (S) に対して唯一つの smooth な解をもつ．そして，その解は
任意の t に対して compactly supported である．
Proof. 一意性はコンパクトな場合と同様．存在を証明する．任意の |t| ≤ t0 に対し
て解を作ろう supp(s0 ) = K ⊂ M として K の t0 近傍 U に isometric な開集合をも
つコンパクト多様体 M 0 を構成できる（たとえば double など）．クリフォード束
も同様．よってこの M 0 で解を構成すればよい．
¥
上の命題から波動作用素 eitD を得る．これは L2 (S) の稠密部分空間 Cc∞ (S) 上で
ユニタリ作用素であるが，それを L2 (S) 上のユニタリ作用素へ拡張できる．
さて，f ∈ S(R) として f (D) を
Z
1
f (D) =
fˆ(t)eitD dt
2π
として定義する．fˆ も急減少なので f (D) を積分で定義している意味は弱い意味で
ある．
Z
1
(f (D)x, y) =
fˆ(t)(eitD x, y)dt for all x, y in L2 (S).
2π
Proposition 13.2. 写像 f → f (D) は S(R) から B(L2 (S)) への環準同型である．
さらに
kf (D)k ≤ sup|f |
が成立．また f (x) = xg(x) なら f (D) = Dg(D) も成立．
Proof. この命題もコンパクトな場合にして考えればよいが，２番目だけしめし
てみる．まず f として supp(fˆ) ⊂ [−t0 , t0 ] なるものを考える．このとき前と同
様コンパクト多様体 M 0 およびディラック作用素 D0 をつくって考える．すると
s ∈ Cc∞ (S) として supp(s) の t0 近傍 U に f (D)s は入り，f (D0 )s に一致する．M 0
上で考えれば kf (D0 )sk ≤ aksk がわかる（keitD k = 1 を使え．a = sup|f |）．よっ
て kf (D)sk ≤ aksk が ∀s ∈ Cc∞ (S) に対して分かるので，Cc∞ (S) は L2 (S) 内で稠
密なので L2 (S) に対しても成立．さらに supp(fˆ) が compact supprted な関数全体
は，S(R) で稠密である．以上から命題がしめせた．
¥
Remark 13.1. 上のことは ∞ で 0 となる R 上の連続関数空間 C0 (R) に対しても成
立する．この関数空間内で S(R) は稠密なので（ノルムは sup-norm）．
13.2
smoohing 作用素の代数
M をコンパクト向きつきリーマン多様体．S をクリフォード束．D をディラック作
用素とする．M̃ を M のガロア群 Γ のガロア被覆とする．有限群の場合には G 同変
指数定理に帰着されるので，ここで考えるのは無限群の場合で，M̃ は non-compact
完備向きつきリーマン多様体である．
123
Remark 13.2. ガロア被覆を説明する．π : M̃ → M を被覆空間とする．π∗ (π1 (M̃ ))
は π1 (M ) の部分群である（実は M の被覆空間の同値類全体は部分群の共役類全体
と一対一対応する）．このとき π∗ (π1 (M̃ )) が正規部分群になるときガロア被覆ま
たは正規被覆という．このとき Γ = π1 (M )/π∗ (π1 (M̃ )) とすると M̃ は M 上の主 Γ
束となる．さらに，任意の x̃ ∈ M̃ に対して適当な近傍をとれば，どのよな a 6= id
をとっても V ∩ V a = φ となる．つまり Γ はデック変換として作用する（つまり，
M̃ に Γ が自由かつ properly discontinous に作用する）．
さて，S̃, D̃ を自然な lift とする．このとき前 subsection から D̃ は L2 (S̃) 上の本
質的自己共役作用素であり，f (D̃) はすべての f ∈ C0 (R) に対して定義される．コ
ンパクトの場合の指数定理において，smoothing operator を扱ってきた，M̃ の場
合には Γ 作用の構造を付加した smoothing 作用素を考える．
Definition 13.1. A を L2 (S̃) 上の次の条件をみたす有界線形作用素の集合とする：
1. A ∈ A は Γ-equivariant である．つまり，すべての s ∈ L2 (S̃) に対して A(γs) =
γ(As) が成立．ここで (γs)(p) = s(pγ) であり γs ∈ L2 (S̃) である.
2. A は smoothig kernel k(p, q) をもつ．つまり
Z
(As)(p) = k(p, q)s(q)vol(q).
3. さらに，上の k に対して，次のような定数 C が存在
Z
Z
2
|k(p, q)| vol(q) < C,
|k(p, q)|2 vol(p) < C.
4. p → k(p, ·) ∈ L2 (S̃), q → k(·, q) ∈ L2 (S̃)（sp (·) := k(p, ·) は L2 (S̃) の元）は
M̃ から L2 (S̃) 上の C ∞ な関数．
Remark 13.3. 最初の γ の作用について考える．主 γ 束とみるので，作用は右作用
とする．つまり x(γγ 0 ) = (xγ)γ 0 をみたす（Rab = Rb Ra ）．そこで
(γγ 0 s)(p) = s(p(γγ 0 )) = s((pγ)γ 0 ) = (γ 0 s)(pγ) = (γ(γ 0 s))(p)
となるので，γ の作用は左作用である．また A が γ-equivariant とは言いかえれば
k(pγ, qγ) = k(p, q) である．
最後の仮定について説明する．M が non-compact なので，smoothing kernel が
あったとしても，A が smoothig 作用素になるかはわからない．それは non-compact
性から積分と微分が可換でないからである．そこで最後の仮定から A は smoothig
作用素となる．
Lemma 13.3. 上の集合 A は代数となる．これを Γ 同変な smoothig 作用素の代数
とよぶ．
124
Proof. A が積で閉じてるかが問題である．A1 , A2 の核を k1 , k2 とする．まず A1 A2
は有界線形作用素，Γ 同変，smoothing kernel をもつことはあきらかである．ここ
で積の核は
Z
k1 (p, q)k2 (q, r)vol(q)
である．そこで３番目の条件を確かめよう．
A を L2 (S̃) 上の smooth kernel k をもつ有界作用素とする．線形汎関数 fA :
L2 (S̃) 3 s → As(p) ∈ R を考える（ここで p は固定．本当はベクトル値である
が関数で証明する）．
Z
|k(p, q)|2 vol(q) < C
と仮定する．このとき
Z
Z
Z
2
1/2
|As(p)| ≤ |k(p, q)||s(q)|vol(q) ≤ ( |k(p, q)| vol(q)) ( |s(q)|2 vol(q))1/2 ≤ Cksk
である．そこで s → As(p) の p を動かして S̃ の切断とみたとき，As は有界で
R
あることになる．また As(p) =
k(p, q)s(q)vol(q) なので p について連続であ
る（微分と積分が交換できないので，微分はできないが連続はいえる）．さらに
supp∈M̃ |As(p)| ≤ Cksk であるので，A は L2 (S̃) から CB(S̃) への連続な線形作用
素である．ここで CB(S̃) は S̃ 上の有界連続な section の空間でノルムは sup ノル
R
ム．よって，
「 |k(p, q)|2 vol(q) < C となる定数 C が存在するための必要十分条件は
R
A : L2 (S̃) → CB(S̃) が連続であること」がわかった．同様に， |k(p, q)|2 vol(p) < C
となる定数 C が存在するための必要十分条件は A∗ : L2 (S̃) → CB(S̃) が連続であ
ること．
さて，A1 , A2 および A∗1 , A∗2 は L2 (S̃) から CB(S̃) への連続な作用素である．よっ
てその積 A1 A2 ，(A1 A2 )∗ も L2 (S̃) から CB(S̃) への連続な作用素である．上で述
べたことから，A1 A2 が３番目の条件をみたすことがわかる．
¥
Definition 13.2. CB r (S̃) を S̃ の C r 級かつ（r 階までの）微分が有界となる section の空間とする．この空間はバナッハ空間であり，ノルムを r 階までの微分の
sup-norm として定義する．
Remark 13.4. 有界の意味をのべる．∇r (s) は ⊗r T ∗ M̃ ⊗ S̃ の section であるが，こ
の束には計量がはいるので，その計量に関して有界ということ．
次に non-compact ソボレフ埋め込み定理を証明しよう
Proposition 13.4. n = dim M = dim M̃ とする．p > n/2 となる任意の p および
任意の r に対して，つぎをみたす定数 C が存在
kskCB r ≤ C(ksk + kD̃sk + · · · + kD̃p+r sk),
125
∀s ∈ dom(D̃p+r ).
Proof. s ∈ CB r を言うには，局所的な C r ノルムに対して M̃ 上一様有界であるこ
とを示せば十分である．m ∈ M̃ として，φm を m の近傍で 1 で Γ の作用の基本領
域内に support された bump 関数とする．そのような φm として，p + r 階までの
微分が m ∈ M̃ について一様有界であるものがとれる．つまり supm∈M̃ |∇p+r (φm )|
が有界．さて
kφm sk + kD̃(φm s)k + · · · + kD̃p+r (φm s)k ≤ C(m)(ksk + kD̃sk + · · · + kD̃p+r sk)
であり，C(m) は φm の p + r 階までの微分に依存している．よって φm のとり方か
ら C(m) は m に対して一様有界で C としてよい．
φm s は π∗ (φm s) として M 上の S の section と思える．そこで M での楕円評価と
ソボレフ埋め込みにより
kπ∗ (φm s)kC r (S) ≤ C(kφm sk + kD̃(φm s)k + · · · + kD̃p+r (φm s)k)
≤ C(ksk + kD̃sk + · · · + kD̃p+r sk)
φm のとり方から m の近傍で φm ≡ 1 であるので，局所的な C r ノルムに対して一
様有界である．
¥
Lemma 13.5. A を有界自己共役 Γ 同変な L2 (S̃) 上の作用素とする．さらに A :
L2 → CB r が各 r に対して連続とする．このとき A2 ∈ A となる．
Proof. A2 が Γ 同変は明らか．簡単のため S を自明な束 M̃ × Rl としておく．p ∈ M̃
をとって汎関数 L2 (S̃) 3 s → (As)i (p) ∈ R（i = 1, · · · , l）を考える．A : L2 → CB
が連続なので，この汎関数は連続．
さてヒルベルト空間 H 上の有界線形汎関数に対するリースの表現定理とは, f を
有界線形汎関数としたときに，f (u) = (u, af ) となる af ∈ H が唯一つ存在するこ
とであり，kaf k = kf k が成立する．
そこで，vpi ∈ L2 (S̃) で Asi (p) = (s, vpi ) と表されるものがある．さらに kvpi k は p
に対して一様有界である（これも A : L2 → CB が連続から）．
さて，r ≥ 0 に対して M̃ 3 p → vp = (vp1 , · · · , vpl ) ∈ L2 (S̃) が C r 級であること
を示そう．我々は r = 0 の時のみをしめす（r 6= 0 も同様）．s ∈ L2 (S̃) とする．
As ∈ CB r であり L2 → CB r が連続なので
|As(p) − As(q)|
≤ CkskL2
d(p, q)
となる．よって
|(s, vp − vq )| ≤ CkskL2 d(p, q)
となり kvp − vq k ≤ Cd(p, q) であり，M̃ 3 p → vp ∈ L2 (S̃) は連続である．
さて（以下面倒なので S̃ を rank 1 の自明束とする）．
Z
(As)(p) = (s, vp ) = s(q)v̄p (q)vol(q)
126
となるが，A が自己共役なので (As1 , s2 ) = (s1 , As2 ) である．よって
Z
Z
s1 (q)s̄2 (p)v̄p (q)vol(p)vol(q) = s1 (p)s̄2 (q)vp (q)vol(p)vol(q)
であるので vp (q) = v̄q (p) となる. そこで
Z
(As)(p) = s(q)vq (p)vol(q)
となり
Z
2
(A s)(p) =
Z
s(q)Ar vq (r)vol(q) =
k(p, q)s(q)vol(q)
となる．ここで k(p, q) = Avq (p) である．とりあえず，ここまでで A2 が核 k(p, q) =
(Avq )(p) をもつこと及び M̃ 3 p 7→ vp ∈ L2 (S̃) が C r 級であることがわかった．ま
た A の仮定から L2 (S̃) 3 vp 7→ Avp ∈ CB r は連続であった．
よって，M̃ 3 q 7→ Avq ∈ CB r (S̃) は C r 級である．以上から k(p, q) = Avq (p) は
p について smooth であること及び A の条件３と４の一部が証明できた．また自己
共役性から p 7→ k(p, ·) に対しても同様のことが分かる．以上から証明された． ¥
Proposition 13.6. f を R 上の急減少関数とすると，作用素 f (D̃) は A に入る．
Proof. f を非負と仮定してよい．このとき f 1/2 も急減少である．f 1/2 (D̃) を考え
る．S(R) 3 g 7→ g(D̃) ∈ B(L2 (S̃)) が環準同型で kg(D̃)k ≤ sup |g| が成立した．そ
こで
kf 1/2 (D̃)sk + kDf 1/2 (D̃)sk + · · · + kDp+r f 1/2 (D̃)sk
を考えると xp+r f 1/2 (x) も急減少関数なので，これは上から押さえることができる．
そこで non-compact ソボレフ埋め込み定理から
kf 1/2 (D̃)kCB r ≤ kf 1/2 (D̃)sk + kDf 1/2 (D̃)sk + · · · + kDp+r f 1/2 (D̃)sk ≤ CkskL2
となるので f 1/2 (D̃) : L2 (S̃) → CB r (S̃) は連続である．また f 1/2 は有界自己共役 Γ
同変であるので，前補題から f (D) ∈ A となる．
¥
Definition 13.3. 汎関数 τ : A → C を次で定義する：A ∈ A として，k をその核
とする．Γ 作用に関して基本領域を勝手にとり
Z
τ (A) :=
trk(p, p)vol(p).
F
とする．これは A が同変であることから，k も同変なので，基本領域のとり方に
依存しない．
この τ はコンパクト多様体上の smoothing 作用素に対するトレースの役割を果
たす．例えば，次をみたす．
127
Proposition 13.7. A1 , A2 ∈ A として A1 A2 , A2 A1 は A の元であるので τ がとれ
るが，このとき τ (A1 A2 ) = τ (A2 A1 ) が成立する．
Proof. A1 , A2 の核を k1 , k2 とする．A1 A2 − A2 A1 の核は
Z
(p, r) 7→
(k1 (p, q)k2 (q, r) − k2 (p, q)k1 (q, r))vol(q).
M̃
F を基本領域とすると
Z Z
τ (A1 A2 − A2 A1 ) =
tr(k1 (p, q)k2 (q, p) − k2 (p, q)k1 (q, p))vol(q)vol(p).
F
M̃
となる．A の条件３からこの重積分は絶対収束である．そこで M̃ = ∪γ∈Γ F γ と
して
X
XZ
τ (A1 A2 −A2 A1 ) =
φ(γ) =
tr(k1 (p, qγ)k2 (qγ, p)−k2 (p, qγ)k1 (qγ, p))vol(q)vol(p).
γ
γ
F ×F
となる．しかし k1 , k2 の同変性から，
X
φ(γ)
γ
=
XZ
γ
=
XZ
γ
=
XZ
γ
=
X
tr(k1 (p, qγ)k2 (qγ, p) − k2 (p, qγ)k1 (qγ, p))vol(q)vol(p)
F ×F
F ×F
tr(k1 (pγ −1 , q)k2 (q, pγ −1 ) − k2 (pγ −1 , q)k1 (q, pγ −1 ))vol(q)vol(p) (13.1)
tr(k1 (qγ −1 , p)k2 (p, qγ −1 ) − k2 (qγ −1 , p)k1 (p, qγ −1 ))vol(q)vol(p)
F ×F
−φ(γ −1 ) = −
X
φ(γ)
γ
¥
となり，零である．
13.3
正規化次元と指数定理
Definition 13.4. H を L2 (S̃) 上の次のような部分空間とする：直交射影 P : L2 (S) →
H が A に入る．さらにこのとき dimΓ (H) := τ (P ) と定義する．
Lemma 13.8. 上の仮定のもとで，dimΓ (H) > 0 かつ Γ は無限群なら，H は無限
次元空間である．
128
Proof. H が有限次元と仮定し，その正規直交基底を s1 , · · · , sj とする．このとき
作用素 P ∈ A は smoothig kernel
X
k(p, q) =
si (p) ⊗ si (q)
i
をもつ．そして
trk(p, p) =
X
|si (p)|2
i
は p に関して可積分である．F を基本領域とすると，
Z
Z
XZ
|trk(p, p)|vol(p) =
|trk(p, p)|vol(p) = #(Γ) |trk(p, p)|vol(p) < ∞
M̃
γ∈Γ
F ·γ
F
であるが Γ が無限群なので dimΓ (H) = τ (P ) =
盾．
R
F
|trk(p, p)|vol(p) = 0 となり矛
¥
さて，D が次数付きディラック作用素とする．よって D̃ も次数付きディラック
作用素．H = ker D̃ として，その直交射影を P と書く．このとき
IndΓ (D̃) := dimΓ (ker D̃+ ) − dimΓ (ker D̃− )
と定義する．
Remark 13.5. ここで大事なことは，もし #Γ = ∞ かつ IndΓ (D̃) 6= 0 とすれば，
dimΓ (ker D̃) > 0 となるので，先ほどの補題から dim D̃ = ∞ となるのである．つ
まり，Ind(D̃) は普通に計算しようと思ってもできないのである．
² を次数作用素とする．A ∈ A に対して，
τs (A) = τ (²A)
とする．このとき次が成立．
Proposition 13.9. t > 0 に対して，
2
τs (e−tD̃ ) = IndΓ (D̃).
2
Proof. τ は τ (AB) = τ (BA) という性質をもつので，τs (e−tD̃ ) は t に依存しないこ
とは proposition 5.4（Trs (f (D2 )) は f (0) = 1 となる急減少関数 f のとり方に依存
2
しない）と同様である．次に，t → ∞ としたときに，e−tD̃ の smoothing kernel が
P （ker D̃ への直交射影作用素）の smoothing kernel へ M̃ × M̃ の勝手なコンパク
ト集合上（基本領域でよいが）で一様収束していることを証明しよう．
2
まず L2 (S̃) 上の作用素ノルムに対して limt→∞ e−tD̃ = P と強収束していること
をみる．つまり
2
e−tD̃ x → P x, ∀x ∈ L2
129
を証明する．D̃ は自己共役で ker D̃ の直交補空間はその値域の閉包である．よっ
て，x ∈ ker D̃ の場合と x ∈ range(D̃) の場合をみればよい．
2
まず x ∈ ker D̃ の場合：e−tD̃ x = x = P x（for all t）．
次に y ∈ range(D̃) の場合，つまり x = D̃y のとき：この場合には
2
2
ke−tD̃ xk = kD̃e−tD̃ yk → 0
2
である（supλ |λe−tλ | = O(t−1/2 ) より）．
2
さて，e−tD̃ の smoothing kernel kt をフレッシェ空間 C ∞ (S̃ £ S̃ ∗ ) で考える．こ
2
のとき t → ∞ としたとき e−tD̃ は L2 (S̃) → CB r (S̃) は t によらず作用素ノルムは
有界であることがわかる（prop 13.6 の証明をみよ）．このことから kt はフレッシェ
空間 C ∞ (S̃ £ S̃ ∗ ) の有界部分集合である．このフレッシェ空間において有界部分集
合は相対コンパクトであるので，任意 tj → ∞ となる列に対して，部分列をとれば
kt は収束する．つまり，任意のコンパクト部分集合上で kt は一様収束する．さら
2
に，強収束 e−tD̃ → P より，弱収束もするので，kt の極限は P の核に等しい．
（ま
じめに証明を完成させるには general topology の次の事実を使う：
「t → x(t) を距離
空間 X の曲線とし，各 tj → ∞ に対して，部分列 tjk → ∞ で limk→∞ x(tjk ) → x0
となる x0 ∈ X が存在する」と仮定すれば，limt→0 x(t) → x0 となる．
）
¥
Theorem 13.10 (Atiyah’s Γ-index theorem). この章での仮定のもとで，
IndΓ (D̃) = Ind(D).
2
Proof. 前命題から IndΓ (D̃) = τs (e−tD̃ )（t > 0）である．非コンパクトソボレフ
埋め込み定理から熱核の漸近展開（Theorem 3.8）は non-cmpact でも可能である．
よって
Z
1
trs Θ̃n/2
IndΓ (D̃) =
(4π)n/2 F
（右辺の積分は基本領域で）．この漸近展開の係数は計量，接続およびそれらの微
分で局所的に書けるのであった．つまり Θn/2 = π ∗ Θn/2 である．よって
Z
Z
1
1
IndΓ (D̃) =
trs Θ̃n/2 =
trs Θn/2 = Ind(D)
(4π)n/2 F
(4π)n/2 M
¥
Example 13.1. M を genus g の曲面とし，ポアンカレ計量（定曲率 −1）の計量を
入れておく．M̃ は２次元双曲空間，つまりポアンカレ計量をもった単位円盤であ
る．D = d + d∗ とする．
IndΓ (D̃) = Ind(D) = ξ(M ) = 2 − 2g < 0
である．よって dim ker D̃− = dim ker d + d∗ |Λ1 > 0．よって，ポアンカレ disk 上
で L2 な調和 1-form の次元は無限次元である．
（この事実自体はすでに，知られて
2
いたが L harmonic 1-form の空間と topology とのかかわりを示している）．
130
Example 13.2. Singer の結果：M を負の断面曲率をもつコンパクト 2m 次元リーマ
ン多様体とする．このとき普遍被覆 M̃ 上の L2 調和形式は，真ん中の次元を除い
てすべて消える．これは，Hopf の未解決予想への一つにアプローチである：予想
「M を負の断面曲率をもつコンパクト 2m 次元リーマン多様体のオイラー数の符号
は (−1)m 」．
Γ 指数定理の応用の一つは Atiyah-Schmid による離散系列表現の構成である．ベ
クトル束上の L2 正則切断の空間上への表現．このとき Γ 指数定理はこの空間が
non-zero であることを証明するために使われる．
Remark 13.6. L2 指数定理は Atiyah による．また，その技術（作用素代数，トレー
スなど）を使って non-compact 多様体上の指数定理の拡張がある：Connes の葉層指
数定理，Roe の coarse 幾何指数定理など．さらに，L2 ホモロジー代数などもある．
参考文献
[1] 本間 泰史, 「リーマン多様体の正規座標と計量のテーラー展開」自分用勉強
ノート（homepage から down-load 可）．
[2] 本間 泰史, 「スピンｃ群と U (m)」自分用勉強ノート（homepage から download 可）．
[3] 本間 泰史, 「平行スピノール，調和スピノール，ツイスタースピノール，キ
リングスピノール」 自分用勉強ノート（homepage から down-load 可）．
[4] 吉田朋好, 「ディラック作用素の指数定理」 共立出版.
[5] 藤田宏，黒田成俊，伊藤清三, 「関数解析」 岩波基礎数学選書．岩波書店．
[6] John Roe, Elliptic opetators, topology and asymptotoic methods, Pitman
Research Notes in Mathematical series 395.
[7] N. Berline, E. Getzler and M Vergene Heat kernels and Dirac operators,
Springer Verlag, New York, 1992.
[8] E. Witten, Supersymmetry and Morse theory, J. D. G. 17, 661-692,1982.
131