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「二次方程式」指導案
第３学年数学科学習指導案 １ 付けたい力 数学的な思考力・表現力 ２ 単元名 二次方程式 ３ 単元の目標 二次方程式について理解し、それを用いて考察することができるようにする。 ア 二次方程式の必要性と意味およびその解の意味を理解すること。 イ 因数分解したり平方の形に変形したりして二次方程式を解くこと。 ウ 解の公式を知り、それを用いて二次方程式を解くこと。 エ 二次方程式を具体的な場面で活用すること。 ４ 単元の評価規準 数学への 関心・意欲・態度 さまざまな事象を二次方 程式でとらえたり、それらの 性質や関係を見いだしたり するなど、数学的に考え表現 することに関心を持ち、意欲 的に数学を問題の解決に活 用して考えたり判断したり しようとしている。 ５ 数量や図形などに ついての知識・理解 数学的な見方や考え方 数学的な技能 二次方程式についての基 礎的・基本的な知識および技 能を活用しながら、事象に潜 む関係や法則を見いだした り、数学的な推論の方法を用 いて論理的に考察し表現し たり、その過程を振り返って 考えを深めたりするなど、数 学的な見方や考え方を身に 付けている。 二次方程式を解く技能を 身に付けている。 二次方程式の必要性と意 味およびその解の意味を理 解し、知識を身に付けてい る。 指導計画（全 11 時間） １節 二次方程式（８時間） 観 点 別 評 価 規 準 項 項の目標 数学への 関心・意欲・態度 １ 活 用 を 促 す ○ 単 元 末 に 取 り組 む 活 ◎活用を促す課題 課題の提示 用を促す課題につい を解決するた て知り、二次方程式の めに必要な事 学習への目的意識と 柄を考え、解決 見通しを持つ。 の方法を見い だそうとして いる。(学習活 動の観察、発表 の様子) ２ 二 次 方 程 式 ◎ 二 次 方 程 式 の必 要 性 ○二次の項を含む とその解 やその意味を理解す 方程式がある る。 ことに関心を ○二次方程式の解、二次 持ち、それを成 方程式を解くことの り立たせる文 意味を理解する。 字の値につい て調べようと している。(学 習活動の観察、 発表の様子、ノ ートの分析) - 1 - 数学的な 見方や考え方 数学的な技能 数量や図形などに ついての知識・理解 ◎二次方程式の 必要性と意味 および二次方 程式の解、二次 方程式を解く ことの意味を 理解している。 (発表の様子、 ノートの分析) 観 点 別 評 価 規 準 項 項の目標 数学への 関心・意欲・態度 数学的な 見方や考え方 数学的な技能 ３ 因 数 分 解 に ○二次方 程式を 解く方 ○二次方程式を解 よる解き方 法として、因数分解が くのに因数分解 （1） 利用でき ること を知 が利用できるこ り、それを使って二次 とに関心を持 方程式を 解くこ とが ち、解き方を考 できる。また、因数分 えようとしてい 解した結 果から 解の る。(問題解決の 個数につ いて理 解す 状況、発表の様 る。 子、ノートの分 析) ４ 因 数 分 解 に ○ax2＋bx＋c＝０で b や ◎いろいろな二次 よる解き方 c が 0 の場合の二次方 方程式に関心を （2） 程式の解 き方を 理解 持ち、その解き するとともに、いろい 方を考えようと ろな二次 方程式 を解 している。(学習 くことができる。 活動の観察、発 表の様子) ○因数分解を利 用して、いろい ろな二次方程 式を解くこと ができる。(問 題解決の状況、 ノートの分析) ５ 平 方 根 の 考 ○ax2＋c＝０、 ○二次方程式を解 えを使った （x の一次式）2＝k の くのに平方根の 解き方 形の二次方程式は、平 考えが利用でき 方根の考えを使って ることに関心を 解くことができるこ 持ち、解き方を とを理解する。 考えようとして ○x2 ＋bx＋c＝０の形の いる。(学習活動 二次方程式は、 の観察、発表の （x の一次式）2＝k の 様子) 形に直して解くこと ができることを理解 する。 ◎平方根の考え を使って、二次 方程式を解く ことができる。 (問題解決の状 況、ノートの分 析) ６ 解の公式 ７ ◎因数分解を利用 して二次方程 式を解く方法、 および解の個 数について理 解している。 (学習活動の観 察、ノートの分 析) ○平方根 の考え を使っ ○二次方程式の解 ◎ 平 方 根 の 考 え て、二次方程式の解の の公式に関心を を使って二次 公式を導 く過程 を知 持ち、それを導 方程式 の解の る。 こうとしてい 公式を導くこ る。(学習活動の とを考えるこ 観察、問題解決 とができる。 の状況、発表の (学習活動の観 様子) 察、問題解決の 状況、発表の様 子) 二 次 方 程 式 ○解の公式を使って、二 のいろいろ 次方程式 を解く こと な解き方 ができる。 ◎式の形に合わせ、適当 な方法で 二次方 程式 を解くことができる。 ○解の公式を使 って、二次方程 式を解くこと ができる。(問 題解決の状況、 発表の様子、ノ ートの分析) ◎二次方程式を 適当な方法で 解くことがで きる。(発表の 様子、ノートの 分析) ８ 練習 - 2 - 数量や図形などに ついての知識・理解 ２節 二次方程式の利用（３時間） 観 点 別 評 価 規 準 項 項の目標 数学への 関心・意欲・態度 数学的な 見方や考え方 １ 二次方程式 を使った問 題の解き方 ○二次方程式を使って、 数に関する問題を解 決するための考え方 とその手順を理解 し、それらの問題を 解くことができる。 ◎方程式をつく るために、数 量を関連付け て考察するこ とができる。 (問題解決の 状況、発表の 様子、ノート の分析) ２ 二次方程式 といろいろ な問題 ○方程式をつく るために、数 量を関連付け て考察するこ とができる。 (問題解決の 状況、発表の 様子、ノート の分析) ３ 二次方程式 と問題づく り ○二次方程式を使って、 ◎身のまわりのい 日常生活で見られる ろいろな問題に いろいろな問題を解 関心を持ち、そ 決するための考え方 れを二次方程式 とその手順を理解 を活用して解決 し、それらの問題を しようとしてい 解くことができる。 る。(学習活動の 観察、問題解決 の状況、発表の 様子) ○活用を促す課題を基 ◎活用を促す課題 にして、新しい花壇 を基にして、新 のデザインを考える しい花壇のデザ ことができる。また、 インを考えるこ 二次方程式を使って とに関心を持 解決するための考え ち、いろいろな 方やその手順を説明 デザインを考え し伝え合うことがで たり、説明した きる。 りしようとして いる。(学習活動 の観察、問題解 決の状況、発表 の様子、ノート の分析) - 3 - ○方程式をつく るために、数 量を関連付け て考察するこ とができる。 (学習活動の 観察、問題解 決の状況、発 表の様子、ノ ートの分析) 数学的な技能 ○問題解決の ために、 数量 を関連付け て方程式で 表して解き、 解の吟味を することが できる。(学 習活動の観 察、問題解決 の状況、 発表 の様子) 数量や図形などに ついての知識・理 解 ◎二次方程式ポイントチェックリスト → この単元を学習していく中で、大事なポイントを書き込んでいき、自分が「分かった！」 「できるようになった！」と感じたらチェック「✔」しましょう。 ＜二次方程式に関連する既習事項＞ □ □ 等式の性質 方程式の解 □ □ 移項 展開の公式 □ 代入する □ 因数分解の公式 □ □ (一元)一次方程式 平方根 ポイントチェック ✔ １ 二次方程式とは？ ２ 二次方程式の解とは？ ３ 二次方程式を、因数分解を使って解ける。 ＜公式１＞ x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b) ＜公式２＞ x2＋２ax＋a2＝(x＋a)2 ＜公式３＞ x2－２ax＋a2＝(x－a)2 ＜公式４＞ x2－a2＝(x＋a)(x－a) ４ 二次方程式を、［ の形にしてから、［ ］ ］して解ける。 ５ 二次方程式を、平方の形に変形して解ける。 平方の形→ ６ 二次方程式を、解の公式を用いて解ける。 解の公式→ ７ 二次方程式を、式の形に合わせて適当な方法で解ける。 ８ 二次方程式を利用して、問題を解く手順が分かる。 ① ② ③ ④ - 4 - ３年 活用を促す課題の提示 大日本図書 Ｐ80、81 (１時間目／全 11 時間) １ 本時の目標 ・単元末に取り組む活用を促す課題について知り、二次方程式の学習への目的意識と見通しを持つ。 ２ 準備物 「活用を促す課題」の黒板掲示、ワークシート、ポイントチェックリスト、ポイントチェックリスト掲示用 ３ 本時の学習 予定時間 10 分 ※ 関 考 技 知 は評価の観点、（ ○指導者の働きかけと☆予想される生徒の反応 ）は評価の方法を示す。 □評価・○留意点 １．活用を促す課題を知る。 活用を促す課題 あなたは美化委員です。校庭の花壇について生徒会長 から２つお願いがありました。 ①図のような長方形の土地に同じ幅の道を縦、横に１本 ずつ作り、 花壇の面積が 50ｍ２となるようにしたとき、 道の幅は何ｍになるか説明してほしい。 ②同じ幅の道を縦や横に何本か作り、花壇の面積が 50 ｍ２となるようにデザインしてほしい。また、そのと きの道幅を教えてほしい。 評価をするときに基とするもの ・花壇のデザイン図がかけている。 ・道の幅を xｍとして方程式が立てられて いる。 ・方程式の解き方を説明できている。 ・x の変域に注意して道の幅を求めること ができている。 活用を促す課題 の提示 10 分 ２．課題から分かること、解決するために必要なことを挙 げる。 お願いの①について、グループでこの課題から分かる こと、解決するために必要なことを挙げてみましょう。 グ ル ー プ 学 習 関活用を促す課題を解決するために必要な事 柄を考え、解決の方法を見いだそうとしてい る。(学習活動、発表) ☆長方形の縦、横の長さが分かる。 ☆花壇の面積が 50ｍ2 である。 ☆方程式を立てれば道の幅を求めることができそうだ。 20 分 ３．方程式を立てて考える。 グループで道の幅を xｍとして方程式を立てて考えて みましょう。 ５分 ４．学習のまとめをする。 方程式は立てられましたが、解けそうで解けない状況 でしたね。二次方程式の学習を終えて、この課題が解決 できるように、この単元の学習に意欲的に取り組んでい きましょう。 ５分 ５．学習の振り返りをかく。 今日の学習を通して、分かったこと、まだ分からない ことをノートにかきましょう。 - 5 - ○今まで学習したことを使って、解決の方法を 考えさせる。 ○花壇の面積、全体の面積にそれぞれ着目して 方程式を立てることが考えられる。 ○方程式を立てられたグループには、その方程 式を簡単にして、解が求められるか考えさせ る。 ○解の公式を使わないと解が求められないの で、今の段階では解決できなくてもよいこと を伝える。 ４ 本時のポイント 活用を促す課題の提示 ・この課題から分かること、解決するために必要なことを挙げさせる。 ①について ○長方形の土地の縦、横の長さ。 ○花壇の面積が 50ｍ２。 ○道の幅を xｍとして方程式を立てれば道の幅が求められそうだ。 ②について ○デザインをかく。 ・二次方程式の学習を終えたときに、この課題が解決できるように、この単元の学習を進めていくこと を投げかける。 ５ 本時の振り返り例 ・方程式は立てられたが、解くことはできなかった。解けるように勉強したい。 ・今までに習った方程式とは違うけれども、代入して解を求められるのだろうか。 ６ 板書例 ←チェックリストを掲示 - 6 - ポイントチェック１／８「二次方程式とは？」、２／８「二次方程式の解とは？」 ３年 二次方程式とその解 大日本図書 Ｐ80、81 (２時間目／全 11 時間) １ 本時の目標 ・二次方程式の必要性やその意味を理解する。 ・二次方程式の解、二次方程式を解くことの意味を理解する。 ２ 準備物 「活用を促す課題」とチェックリスト掲示用 ３ 本時の学習 予定時間 ５分 ※ 関 考 技 知 は評価の観点、（ ○指導者の働きかけと☆予想される生徒の反応 ）は評価の方法を示す。 □評価・○留意点 １．問題場面について話し合う。 花壇の問題を解決するために、面積について方程式を 作っているグループがありました。 どのようにして作り、 どのようにして解けばいいのか考えていきましょう。 横の長さが縦の長さより３ｍ長い長方形の土地があ る。次の(１)、(２)の場合について、縦の長さを求めた い。縦の長さを xｍとして、方程式をそれぞれ作ってみ よう。 (１) 周の長さが 22ｍ (２) 面積が 28ｍ2 ☆(１) ４x＋６＝22 (２) ▼つまずきポイント▼ ・横の長さを、x を使って表せない生徒 →x のかわりに具体的な数で考えさせる。 ・周の長さがとらえられない生徒 →縦、横、同じ長さがそれぞれいくつずつあ るか考えさせる。 x2＋３x＝28 ○指名して発表させる。 ５分 ２．学習課題を設定する。 方程式 x2＋３x＝28 について、今までに学習した方程 式と違うところを挙げてみましょう。 ☆x2 の項がある。 ☆解き方が分からない。 【学習課題】 x2＋３x＝28 はどのような方程式だろうか。 10 分 ３．一次方程式、連立方程式との違いから、二次方程式を 知る。 一次方程式と連立方程式はどのような方程式だった か、 「式の特徴」と「解の特徴」について、付箋に分かる ことをかき、表にしてペアで考えてみましょう。 ペア学習① ○ペアを指定して発表させる。 一次方程式はどのような式の形で表すことができまし たか。 ☆ax＋b＝０の形です。 すべての項を左辺に移項して簡単にしたとき、左辺 が x の一次式になる方程式が一次方程式でした。では、 x2＋３x＝28 はすべての項を左辺に移項するとどのよ うな式になりますか。 ☆x2＋３x－28＝０です。 このようにすべての項を左辺に移項して簡単にした とき、左辺が x の二次式になる方程式、つまり、ax2 ＋bx＋c＝０の形になる方程式を、x についての二次方 程式といいます。 x2＋３x－28＝０は二次方程式です。この式は、 ax2＋bx＋c＝０で、a、b、c がそれぞれどんな数のと きですか。 ☆a＝１、b＝３、c＝－28 です。 - 7 - 関二次の項をふくむ方程式があることに関心 を持ち、それを成り立たせる文字の値について 調べようとしている。(学習活動、発表、ノー ト) 知二次方程式の必要性と意味および二次方程 式の解、二次方程式を解くことの意味を理解し ている。 (発表、ノート) 10 分 ４．二次方程式を選ぶ。 Ｐ81Ｑ２で、二次方程式がどれかを選び、なぜそう 考えたのか、ペアで説明し合いましょう。 ペア学習② ▼つまずきポイント▼ ・二次方程式を選べない生徒 →移項して簡単にしたとき、ax2＋bx＋c＝０ の形になっているか判断させる。 ・b や c が０のとき、二次方程式だと判断でき ていない生徒 →一次方程式で b＝０であったときのこと を想起させ、左辺が x の二次式になってい ることを確認させる。 ○ペアを指定して発表させる。 ５分 ５．二次方程式の解について知る。 一次方程式のとき、ある値がその方程式を成り立た せるかどうかはどのようにして調べましたか。 ☆代入して方程式が成り立つかどうか調べました。 x2－８x＋15＝０の x に、１から順に自然数を代入し て、方程式が成り立つ x の値を求めましょう。 この方程式を成り立たせる x の値は何ですか。 ☆３と５です。 このように、二次方程式の解はふつう２つあります。 ５分 ６．学習のまとめをする。 x2＋３x＝28 は二次方程式です。二次方程式はどの ような方程式かまとめましょう。 【学習のまとめ】 ・ax2＋bx＋c＝０の形になる方程式を、x についての 二次方程式という。(a≠０) ・二次方程式を成り立たせる文字の値を、その方程式 の解という。 ・すべての解を求めることを、その二次方程式を解く という。 ・ふつう解は２つある。 ５分 ７．適用問題Ｐ81Ｑ４に取り組む。 ５分 ８．学習の振り返りをかく。 今日の学習を通して、分かったこと、まだ分からな いことをノートにかきましょう。 - 8 - ○チェックリストの１、２を確認させる。 ４ 本時のポイント ペア学習① ・一次方程式や連立方程式がどのような方程式だったか、式の特徴や解の特徴などについてペアで話し合 う。 ＜一次方程式＞ ＜連立方程式＞ x＋４y＝12 ２x＋３＝７ x－y＝２ 【式の特徴】 【式の特徴】 ・x(文字)が１つだけある ・文字が２つある ・イコールでつながれている(等式) ・２つの式を組にしたもの ・すべての項を左辺へ移項すると、 ・二元一次方程式が２つ ax＋b＝０の形になる 【解の特徴】 【解の特徴】 ・解は１つだけ ・x と y の値を組にしたもの ・移項したり、等式の性質を使ったりして ・１組に決まる 左辺を x だけにして解くことができる ペア学習② ・二次方程式を選び、それを選んだ理由を説明する。 ○すべての項を左辺に移項して簡単にしたとき、左辺が x の二次式になる。 →ax2 ＋bx＋c＝０の形になる方程式 ・左辺が x の二次式なので、b や c が０になってもよいが a＝０では x の一次式になってしまうことにも気 付かせる。 ５ 本時の振り返り例 ・整理したら ax2＋bx＋c＝０の形になる方程式が二次方程式だと分かった。 ・ふつう解が２つあることが分かった。１つになるときもあるのだろうか。 ・代入しなくても解を求める方法があるのかな。 ６ 板書例 - 9 - ポイントチェック３／８「二次方程式を、因数分解を使って解ける」 ３年 因数分解による解き方(１) 大日本図書 Ｐ82、83 (３時間目／全 11 時間) １ 本時の目標 ・二次方程式を解く方法として、因数分解が利用できることを知り、それを使って二次方程式を解くことができる。また、 因数分解した結果から解の個数について理解する。 ２ 準備物 「活用を促す課題」とチェックリスト掲示用 ３ 本時の学習 予定時間 ５分 ※ 関 考 技 知 は評価の観点、（ ○指導者の働きかけと☆予想される生徒の反応 ）は評価の方法を示す。 □評価・○留意点 １．なぜ二次方程式の解がすぐに求められるか考える。 ①x2－５x＋６＝０ x＝２、x＝３ ②x2－x－20＝０ x＝－４、x＝５ ○式を見ただけで、指導者がすぐに解を答え、 なぜすぐに解が求められるのか考えさせる。 ☆なぜ、すぐに解を求められるのだろうか。 ２分 ２．学習課題を設定する 【学習課題】 どうすれば、すぐに二次方程式の解を求められるだ ろうか。 10 分 ３．因数分解を使った二次方程式の解き方を知る。 １×□＝０ －３×□＝０ □×２＝０ □×(－５)＝０ □に入る数は何でしょうか。 ☆０です。 ＡＢ＝０ならばＡ＝０またはＢ＝０ このことを利用して、二次方程式を解いてみましょ う。 x2－５x＋６＝０の左辺を因数分解すると、どうなり ますか。 ☆(x－２)(x－３)＝０になります。 ＡＢ＝０ならばＡ＝０またはＢ＝０であることを利 用します。 (x－２)(x－３)＝０のＡ、Ｂにあたる式はそれぞれ 何ですか。 ▼つまずきポイント▼ ・因数分解できない生徒 →ax2＋bx＋c＝０で、かけて c、たして b に なる２数を見つけさせる。因数分解の公式 を思い出させる。 ・解の求め方が分からない生徒 →ＡＢ＝０ならばＡ＝０または、Ｂ＝０の 考え方を振り返らせる。 ☆Ａ＝x－２、Ｂ＝x－３です。 x－２＝０または、x－３＝０であれば、左辺は０に なります。 よって、x＝２、x＝３が解です。 x の値が２でも３でもないとき、左辺の値は０にな りますか。 ☆なりません。 ２つの数や式Ａ、Ｂについて、ＡＢ＝０ならばＡ＝０ または、Ｂ＝０である。このことを利用して、因数 分解して二次方程式を解くことができます。 ５分 ４．適用問題Ｐ83Ｑ２に取り組む。 (１) (x－１)(x＋２)＝０ (２)(x＋６)(x＋４)＝０ x＝１、x＝－２ x＝－６、x＝－４ - 10 - 関二次方程式を解くのに因数分解が利用でき ることに関心を持ち、解き方を考えようとして いる。(問題解決、発表、ノート) 10 分 ５．二次方程式 x2－３x－４＝０と x2－14x＋49＝０の解 き方について、間違っているところをペアで説明し合い、 正しい解決の方法について考える。 ① x2－３x－４＝０ (x＋１)(x－４)＝０ x＝１、x＝－４ ② x2－14x＋49＝０ (x＋７)(x－７)＝０ x＝－７、x＝７ これらの方程式の解き方には誤りがあります。どこ が誤っているか見つけて、正しい解き方をペアで考え ましょう。 ペア学習 ○部分点の考え方(式の関連が分かっているか どうか)についても触れ、途中計算をかいてお くことの重要性を伝える。 知因数分解を利用して二次方程式を解く方法、 および解の個数について理解している。(学習 活動、ノート) ▼つまずきポイント▼ ・因数分解ができていない生徒 →因数分解の公式を確認する。 ・因数分解したところから解の求め方を理解し ていない生徒 →ＡＢ＝０ならばＡ＝０または、Ｂ＝０であ ることを確認し、x＋１＝０と x－４＝０ の一次方程式を解いて解を求められるこ とを思い出させる。 ○全体で発表させる。 10 分 ６．適用問題Ｐ83Ｑ３、４に取り組む。 Ｑ３(５)y2－２y－８＝０ Ｑ４(１)x2－10x＋25＝０、x2＋６x＋９＝０ ３分 ７．学習のまとめをする。 ▼つまずきポイント▼ ・Ｑ３(５)、文字が y であることに注意させる。 ・Ｑ４、二次方程式は、ふつう解が２つあるが、 １つだけのものもあることに注意させる。 左辺を因数分解したときに(x－５)2 ＝０の 形になる。(因数分解の公式２、３) どうすれば、すぐに二次方程式の解を求めることが できますか。 【学習のまとめ】 左辺を因数分解すれば、すぐに二次方程式の解を求 めることができる。 ５分 ８．学習の振り返りをかく。 今日の学習を通して、分かったこと、まだ分からな いことをノートにかきましょう。 ４ ○チェックリストの３を確認させる。 本時のポイント ペア学習 ・二次方程式①x2 －３x－４＝０と②x2－14x＋49＝０の解き方について、間違っているところをペアで説 明し合い、正しい解決の方法について考える。 ○①は解が間違っている。x＋１＝０または x－４＝０なので、x＝－１または x＝４。 だから、解は x＝－１、x＝４が正しい。 ○②は因数分解するところで間違っている。だから、解も間違っている。 因数分解すると、(x－７)2＝０となるので、解は x＝７が正しい。 ５ 本時の振り返り例 ・二次方程式を解くのに因数分解が使えることが分かった。 ・因数分解は苦手なので復習しようと思う。 ・解が１つになるときがあることが分かった。因数分解の公式２と３を使うときだ。 - 11 - ６ 板書例 - 12 - ポイントチェック４／８「二次方程式を ax2 ＋bx＋c＝０の形にしてから、因数分解して解ける」 ３年 因数分解による解き方(２) 大日本図書 Ｐ84、85 (４時間目／全 11 時間) １ 本時の目標 ・ax2＋bx＋c＝0 で b や c が０の場合の二次方程式の解き方を理解するとともに、いろいろな二次方程式を解くことができ る。 ２ 準備物 「活用を促す課題」とチェックリスト掲示用 ３ 本時の学習 ※ 関 考 技 知 は評価の観点、（ 予定時間 ５分 ○指導者の働きかけと☆予想される生徒の反応 ）は評価の方法を示す。 □評価・○留意点 １．学習課題を設定する。 ○次のア、イの方程式は、どのような方程式ですか。 ア x2－３x＝０ イ x2－９＝０ ☆二次方程式です。 では、二次方程式 ax2＋bx＋c＝０で a、b、c がそれ ぞれどんな数のときでしょうか。 ☆ア イ a＝１、b＝－３、c＝０ a＝１、b＝０、c＝－９ 前の時間に学習した二次方程式とは、少し形が違いま す。これらの二次方程式の解き方について考えましょ う。 【学習課題】 いろいろな二次方程式の解は、どうすれば求められ るだろうか。 ５分 ２．左辺を因数分解して解く方法を理解する。 前の時間はどうやって二次方程式を解きましたか。 ☆因数分解して解きました。 x2－３x＝０と x2－９＝０について、左辺を因数分解 して解くことができるでしょうか。 x2－３x＝０ x(x－３)＝０ x＝０または x－３＝０ よって、x＝０、x＝３ 10 分 x2－９＝０ (x＋３)(x－３)＝０ x＋３＝０または x－３＝０ よって、x＝－３、x＝３ ３．間違った解き方についてペアで考える。 この方程式の解き方は正しいですか。ペアで考え、そ の理由も考えましょう。 x2＝２x 両辺を x でわると、x＝２ よって、解は x＝２である。 正しくはどのように計算すればよいですか。 ☆すべての項を左辺に移項して、左辺を因数分解すればい い。 10 分 ４．適用問題としてＰ84Ｑ１、２、３に取り組む。 - 13 - ○x＝０が解であることに注意させる。 ○２つの解 x＝３、x＝－３をまとめて x＝±３ と表すことがある。 ○等式の性質を復習する。 ペア学習 関いろいろな二次方程式に関心を持ち、その解 き方を考えようとしている。(学習活動、発 表) ▼つまずきポイント▼ ・間違いに気付かない生徒 →すべての項を左辺に移項したらどうなる か考えさせる。 ・x でわることがなぜできないか気付かない生 徒→具体的な数を用いて０でわることがで きなかったことを想起させる。 ○ペアを指定して発表させる。 ○指名して発表させる。 ５分 ５．二次方程式 30x－５x2＝40 の解き方を考える。 30x－５x2＝40 を解くときに、どのように考えて式を 変形しているか見てみましょう。また、この方程式を解 いてみましょう。 ○移項や両辺を－５でわることができるのは、 等式の性質を使っていることに気付かせる。 ※本時のポイント参照。 ５分 ６．学習のまとめをする。 ○いろいろな二次方程式の解は、どうすれば求められるで しょうか。 【学習のまとめ】 ax2＋bx＋c＝０の形にしてから、左辺を因数分解すれ ば解ける。 ５分 ７．適用問題としてＰ85Ｑ４、５に取り組む。 ５分 ８．学習の振り返りをする。 技因数分解を利用して、 いろいろな二次方程式 を解くことができる。(問題解決、ノート) 今日の学習を通して、分かったこと、まだ分からない ことをノートにかきましょう。 ４ ○チェックリストの４を確認させる。 本時のポイント ペア学習 ・等式の性質について復習した後、下の解き方についてペアで考え、正しいか正しくないか、話し合う。 x2＝２x 両辺を x でわると、x＝２ よって、解は x＝２である。 ・解が０になる場合を考えていない。 ・x が０になる場合、両辺を０でわることになるので、この考え方は正しくない。 ○適用問題Ｑ１～３について ・Ｑ１は、ax2＋bx＋c＝０で c＝０のときである。分配法則を利用して「x でくくる」ことができる。 ・Ｑ２では、x＝０が解の１つになるという特徴がある。 ・Ｑ３は、ax2＋bx＋c＝０で b＝０のときである。因数分解の公式４ x2－a2＝(x＋a)(x－a)が利用できる。 また、絶対値が同じで符号が異なる２数が解になっている。 ○移項するときや両辺を同じ数で割るときなどに、等式の性質が使われていることを意識させる。 30x－５x2＝40 ア 2 イ、ax2＋bx＋c＝０の形にする 30x－５x －40＝０ イ －５x2＋30x－40＝０ x2－６x＋８＝０ ア、すべての項を左辺に移項する ウ、両辺を－５でわる ウ (x－２)(x－４)＝０ よって、x＝２、x＝４ ○適用問題Ｑ４、５について ・Ｑ４、５ともに、整理して ax2＋bx＋c＝０の形にして、因数分解を利用して解くことができる。 - 14 - ５ 本時の振り返り例 ・ax2＋bx＋c＝０の形にしていくことが大切だと分かった。 ・x(x－３)＝０のような形に因数分解したときに、x＝０が解であることを忘れない。 ６ 板書例 - 15 - ポイントチェック５／８「二次方程式を、平方の形に変形して解ける」 ３年 平方根の考え方を使った解き方 大日本図書 Ｐ86、87 (５時間目／全 11 時間) １ 本時の目標 ・ax2＋c＝0、（x の一次式）2＝k の形の二次方程式は、平方根の考えを使って解くことができることを理解する。 ・x2＋bx＋c＝0 の形の二次方程式は、（x の一次式）2＝k の形になおして解くことができることを理解する。 ２ 準備物 電子黒板、「活用を促す課題」とチェックリスト掲示用 ３ 本時の学習 予定時間 ５分 ※ 関 考 技 知 は評価の観点、（ ○指導者の働きかけと☆予想される生徒の反応 ）は評価の方法を示す。 □評価・○留意点 １．平方根の考え方について復習する。 ○√５しか出てこない場合、平方根は正の方と 負の方の２つあることを思い出させる。 「２乗して５になる数」は何ですか。 ☆√５と－√５です。 では、x2＝５を成り立たせる x の値はいくらですか。 x は２乗すると５になる数だから、√５と－√５です。 この考え方を使って方程式を解いてみましょう。 ５分 ２．平方根の考えを使った解き方について知る。 x2－３＝０ x2 ＝３ x は３の平方根だから、x＝±√３ ○x2＝k の形にすれば、解を求められることに 気付かせる。 ax2＋c＝０の形の二次方程式を解くには、x2＝k の形 にしてから、k の平方根を求めればよい。 ５分 ３．（x の一次式）2＝k の形の二次方程式の解き方につい て知る。 （x－２）2＝５を平方根の考え方を使って解けないで しょうか。 関二次方程式を解くのに平方根の考えが利用 できることに関心を持ち、解き方を考えよう としている。(学習活動、発表) ☆（x－２）をひとかたまりとして考える。 ☆（x－２）を文字で置き換える。 x－２をＭと置くと Ｍ２＝５ Ｍ ＝±√５ Ｍをもとに戻すと x－２＝±√５ x＝２±√５ ○解が２つあることをおさえておく。 ２＋√５、２－√５は正の数か負の数か考え させる。 10 分 ４．適用問題としてＰ86Ｑ１、Ｐ87Ｑ２をする。 ５分 ５．学習課題を設定する。 x2 ＋６x＝１ か。 x2 ＋６x－１＝０は因数分解できます ☆できません。 - 16 - 技平方根の考えを使って、二次方程式を解くこ とができる。(問題解決、ノート) ○指名して発表させる。 【学習課題】 左辺が因数分解できないとき、どのようにして解いた らよいだろうか。 因数分解できないとき、他にどのような方法で解けば よいでしょうか。 ☆平方根の考え方。 10 分 ７．平方完成の考え方について知る。 ○電子黒板を利用して、平方完成の考え方につ いて説明する。 ○「x の係数の半分の２乗」を両辺に加えるこ とで、平方完成できることを伝える。 平方根の考え方が使える形に変形してみましょう。 ５分 ８．学習のまとめとして、Ｐ87Ｑ３を解く。 ○(２)は因数分解でも解けることに気付かせ る。 【学習のまとめ】 因数分解できないときは、（x の一次式）2＝k の形 にして、平方根の考え方を使って解けばよい。(平方完 成すればよい。) ５分 ９．学習の振り返りをする。 今日の学習を通して、分かったこと、まだ分からない ことをノートにかきましょう。 ４ ○チェックリストの５を確認させる。 本時のポイント ○電子黒板を利用して、平方完成の考え方を説明する。 ・Ｑ１は、x2＝k の形にしてから、k の平方根を求めればよい。 ・Ｑ２は、カッコの中の式をＭなどに置き換えて、Ｍ2＝k の形にしてから、k の平方根を求める。 Ｍなどを元の式に戻して、解を求めればよい。 ・平方完成の考え方を利用して、二次方程式を解く。 x2＋８x (１) x ＋８x＋16 2 ＝－９ ＝－９＋16 x2－２x (２) x －２x＋１＝８＋１ 2 (x－１)2＝９ (x＋４) ＝７ x－１＝±３ x＝１±３ x＝４、－２ x＋４＝±√７ x＝－４±√７ ・ x の係数 ２ ＝８ 2 ２ を両辺に加えることで平方完成できることを実感させる。 ・(２)は因数分解でも解くことができる。 x2－２x ＝８ x2－２x－８＝０ (x－４)(x＋２)＝０ x＝４、－２ - 17 - ５ 本時の振り返り例 ・（x の一次式）2＝k の形の二次方程式は平方根の考え方を使えばいいと分かった。 ・因数分解できない二次方程式も、平方完成すれば解くことができると分かった。 ・「x の係数の半分の２乗」を両辺に加えることが大切だと分かった。 ６ 板書例 - 18 - ポイントチェック６／８「二次方程式を解の公式を用いて解ける」 ３年 解の公式 大日本図書 Ｐ88、89 (６時間目／全 11 時間) １ 本時の目標 ・平方根の考えを使って、二次方程式の解の公式を導く過程を知る。 ２ 準備物 電子黒板、「活用を促す課題」とチェックリスト掲示用 ３ 本時の学習 予定時間 ５分 ※ 関 考 技 知 は評価の観点、（ ○指導者の働きかけと☆予想される生徒の反応 □評価・○留意点 １．b が奇数のとき平方完成することについて考える。 □にどんな数が入るか考えてみましょう。 x2＋８x＋□＝（x＋□）2 x2＋５x＋□＝（x＋□）2 x2－３x＋□＝（x－□）2 ５分 ）は評価の方法を示す。 ○b が奇数の場合、□の中が分数になるので、 戸惑う生徒がいることが予想される。 ○「x の係数の半分の２乗」を両辺に加えるこ とで、平方完成できたことを思い出させる。 ○電子黒板に面積図を提示する。 ２．学習課題を設定する。 b が奇数のとき平方完成するのが難しそうですね。 【学習課題】 左辺が複雑で因数分解できない二次方程式は、どう すれば解けるだろうか。 グ ル ー プ 学 習 15 分 ３．グループで二次方程式 x2＋５x－３＝０を式と面積図を 使って平方完成して解く。 ○実際に長方形を切り貼りして、正方形をつく らせる。 前の時間に使った正方形をつくる考え方で、 x2＋５x－３＝０を解いてみましょう。 15 分 ４．３x2 ＋５x＋１＝０の解き方にならって、二次方程式 ax2＋bx＋c＝０の解の公式を導く。 ３x2＋５x＋１＝０の解き方を考えましょう。その解 き方を使って、ax2＋bx＋c＝０の解を求めてみましょ う。 ５分 ５．学習のまとめをする。 どんな二次方程式でも、平方完成することで解ける でしょうか。 関二次方程式の解の公式に関心を持ち、それを 導こうとしている。(学習活動、問題解決、 発表) 考平方根の考えを使って二次方程式の解の公 式を導くことを考えることができる。(学習 活動、問題解決、発表) ○b2－４ac＝０のとき、解は 1 つ、b2－４ac＜ ０のとき、解はないことについて触れてお く。 【学習のまとめ】 二次方程式 ax2＋bx＋c＝０の解は、平方完成して得 られる解の公式を使って解ける。 ５分 ６．学習の振り返りをする。 今日の学習を通して、分かったこと、まだ分からな いことをノートにかきましょう。 - 19 - ○チェックリストの６を確認させる。 ４ 本時のポイント グループ学習 ・紙を実際に切り貼りして、正方形を作らせ、平方完成の考え方で、方程式を解かせる。 ○３x2＋５x＋１＝０を平方完成して解き、その解き方にならって、ax2＋bx＋c＝０の解の公式を導く。 ５ 本時の振り返り例 ・解の公式は ax2＋bx＋c＝０の a、b、c を代入するだけで、解を求められることが分かった。 ・二次方程式 ax2＋bx＋c＝０を平方完成することで、解の公式を導くことができた。 ・x の係数 b が奇数のときは半分にすると分数になるから気を付けようと思った。 ６ 板書例 - 20 - ポイントチェック７／８「二次方程式を式の形に合わせて適当な方法で解ける」 ３年 二次方程式のいろいろな解き方 大日本図書 Ｐ90、91 (７時間目／全 11 時間) １ 本時の目標 ・解の公式を使って、二次方程式を解くことができる。 ・式の形に合わせ、適当な方法で二次方程式を解くことができる。 ２ 準備物 「活用を促す課題」とチェックリスト掲示用、解の公式掲示用 ３ 本時の学習 予定時間 ５分 ※ 関 考 技 知 は評価の観点、（ ○指導者の働きかけと☆予想される生徒の反応 ）は評価の方法を示す。 □評価・○留意点 １．解の公式を使って二次方程式を解く。 前の時間に導き出した解の公式を何も見ないで言っ てみましょう。 解の公式を使って、二次方程式を解いてみましょう。 ３x2－８x＋２＝０で ax2＋bx＋c＝０の a、b、c にあた る数はそれぞれ何ですか。 ☆a＝３、b＝－８、c＝２です。 片方だけ約分することがないように注意しましょ う。 10 分 ○約分する場合注意が必要であることに気付 かせるため、約分をするところでわざと間違 え、生徒に気付かせる。 ○b が偶数のとき、約分ができることについて 触れておく。 ２．解の公式を使いこなす。 解の公式を使って、Ｐ90Ｑ１の二次方程式を解いて みましょう。 ５分 ○解の公式を掲示する。 ○(３)、(５)を指名して板書させる。 技解の公式を使って、二次方程式を解くことが できる。(問題解決、発表、ノート) ○(３)は約分すること、(５)は√の部分が整数 になることに注意が必要であることを確認 する。 ３．学習課題を設定する。 今まで使った二次方程式の解き方にはどのようなも のがありましたか。 ☆因数分解、平方根、平方完成、解の公式です。 (x＋２)2－49＝０を解くにはどの解き方を使えばい いと思いますか。 【学習課題】 二次方程式をすばやく解くにはどうすればよいだろ うか。 グ ル ー プ 学 習 10 分 ４．どの解き方が適当な方法か考える。 (x＋２)2－49＝０について、それぞれどの方法がす ばやく解けるか考えて解きましょう。その後、なぜ、 その方法を選ぶとよいか、見分けるポイントをグルー プで話し合ってみましょう。 ５分 ○どの方法がすばやく解けるか、グループごと に挙手させ、見分けるときのポイントを発表 させる。 ５．学習のまとめをする。 二次方程式をすばやく解くにはどうすればいいでし ょうか。 【学習のまとめ】 式の形を見て、因数分解、平方根、解の公式のどれ で解くか考えるとよい。 - 21 - ○ax2＋bx＋c＝０の形になっているかどうか からスタートし、流れ図でまとめていく。 10 分 ６．適用問題として、Ｐ91Ｑ２を解く。 技二次方程式を適当な方法で解くことができ る。(発表、ノート) 因数分解、平方根、解の公式のどの方法がすばやく 解けるか考えて、解を求めてみましょう。 ５分 ７．学習の振り返りをする。 今日の学習を通して、分かったこと、まだ分からない ことをノートにかきましょう。 ４ ○チェックリストの７を確認させる。 本時のポイント グループ学習 ・ (x＋２)2－49＝０をすばやく解く方法を考える。 ①展開して解の公式を使う。 ②展開して因数分解する。 ③平方根の考え方を使う。 ④x＋２＝Ｍとおいて、因数分解する。 など、多様な考え方が想定される。その中から、すばやく解けると思う方法について、グループで話し 合う。また、どのような時に、どの方法を使えばよいか考えを出し合う。 ・すばやく解ける方法を判断するときに、どのように考えたか発表させる。 二次方程式の解き方について、流れ図でまとめる ax2＋bx＋c＝０の形 なっていない なっている ax2＋bx＋c＝０の形にする 因数分解 できる (x の一次式)2＝k の形にする 平方根 できない 解の公式 解を求める ５ 本時の振り返り例 ・二次方程式の式の形を見て、因数分解、平方根、解の公式のどれを使うか考えて解を求 めればいいと思った。 ・解の公式に数を代入するときに計算間違いをしないように気を付ける。 - 22 - ６ 板書例 - 23 - ポイントチェック８／８「二次方程式を利用して、問題を解く手順が分かる」 ３年 二次方程式を使った問題の解き方 大日本図書 Ｐ94、95 (９時間目／全 11 時間) １ 本時の目標 ・二次方程式を使って、数に関する問題を解決するための考え方とその手順を理解し、それらの問題を解くことができる。 ２ 準備物 カレンダー黒板掲示用、「活用を促す課題」とチェックリスト掲示用 ３ 本時の学習 予定時間 ５分 ※ 関 考 技 知 は評価の観点、（ ○指導者の働きかけと☆予想される生徒の反応 １．学習課題を設定する。 ）は評価の方法を示す。 □評価・○留意点 ○日常生活と関わりのある課題を用いる。 友達が下のようなある月のカレンダーを見て、クイズ を出しました。 「図のように２つの数を長方形で囲んだとき、上下の ２つの数の積が 144 になっているところはどこでし ょうか」 このクイズに答えるために、グループで２つの数を見 つけましょう。 日 ７ 14 月 １ ８ 15 火 ２ ９ 16 水 ３ 10 17 木 ４ 11 18 金 ５ 12 19 土 ６ 13 20 21 28 22 29 23 30 24 31 25 26 27 【学習課題】 条件にあった２つの数は、どのようにして求めること ができるだろうか。 15 分 ２．方程式を使って問題を解決する方法を確認する。 ２つの数は、どうすれば求めることができるでしょう か。グループで考えてみましょう。 グループでどのように考えたか発表しましょう。 ☆数を適当に２つ選んで計算してみる。 ☆一の位が４になる２数の組み合わせを考える。 ☆144 を素因数分解して考える。 ☆方程式を作って考える。 【方程式を使って問題を解く手順】 ① 分かっている数量と求める数量を明らかにし、何を x にするかを決める。 ② 等しい関係にある数量を見つけて方程式をつくる。 ③ 方程式を解く。 ④ その解を問題の答えとしてよいかどうかを確かめ、 答えを決める。 グ ル ー プ 学 習 20 分 ○９日と 16 日であることを確認して、それぞ れのグループの考え方を発表させる。 ○方程式を用いた考え方を取り上げ、方程式を 使って解く手順を確認する。 ○一次方程式、連立方程式のときを思い出し、 手順を確認させる。 技問題解決のために、数量を関連付けて方程式 で表して解き、解の吟味をすることができ る。(学習活動、問題解決、発表) ○解を吟味することに気付かせる。 ３．問題作りに取り組む。 ２数を囲む形を横長の長方形や平行四辺形に変えて、 問題を作り、グループ内で出し合ってみましょう。 - 24 - 考方程式をつくるために、数量を関連付けて考 察することができる。(問題解決、発表、ノ ート) ○解き方については、方程式を用いて考えるよ うに伝える。 ○グループ内で問題を出し合わせる。 日 ７ 14 21 28 ５分 月 １ ８ 15 22 29 火 ２ ９ 16 23 30 水 ３ 10 17 24 31 木 ４ 11 18 25 金 ５ 12 19 26 土 ６ 13 20 27 ４．学習のまとめをする 条件にあった２つの数は、どのようにして求められる でしょうか。 【学習のまとめ】 等しい関係にある数量を見つけて方程式を作って解 けばよい。 ５分 ５．学習の振り返りをする。 今日の学習を通して、分かったこと、まだ分からない ことをノートにかきましょう。 ４ ○チェックリストの８を確認させる。 本時のポイント グループ学習 ・２数を囲む形を横長の長方形や平行四辺形に変えて、問題を作り、グループ内で出し合う。 ・２数の関係をとらえ、方程式で表す。 【問題例】 図のように平行四辺形で囲んだ上下の２つの数の積が 352 になっているところはどこで しょうか。２数を求めましょう。 右上の数を n とすると、左下の数は n＋６と表せる。 ２数の積が 352 であるので、 n(n＋６)＝352 2 n ＋６n－352＝０ (n＋22)(n－16)＝０ n＝－22、16 n はカレンダー上の数なので、－22 はこの問題の答えとすることはできない。 よって、求める２数は 16 と 22 である。 ５ 本時の振り返り例 ・解を求めた後、その問題に合っているか確認することが大切だと分かった。 ・日頃の生活の中に数学が隠れているのが面白いと思った。他にもないか探してみようと 思う。 - 25 - ６ 板書例 - 26 - ポイントチェック８／８「二次方程式を利用して、問題を解く手順が分かる」 ３年 二次方程式といろいろな問題 大日本図書 Ｐ96、97 (10 時間目／全 11 時間) １ 本時の目標 ・二次方程式を使って、日常生活で見られるいろいろな問題を解決するための考え方とその手順を理解し、それらの問題を 解くことができる。 ２ 準備物 東京ドームの写真、ワークシート、「活用を促す課題」とチェックリスト掲示用 ３ 本時の学習 予定時間 ５分 ※ 関 考 技 知 は評価の観点、（ ○指導者の働きかけと☆予想される生徒の反応 １．学習課題を設定する。 ）は評価の方法を示す。 □評価・○留意点 ○ドーム球場の画像を提示する。 ドーム球場で野球観戦をしています。バッターが高 いフライを打ち上げました。あなたは、「天井にぶつ からないのかな」と考えました。 【学習課題】 ボールが天井にぶつかるかどうかは、どのようにし て求めることができるだろうか。 15 分 ２．打ち上げたボールの高さと時間を求める方法の説明を する。 地上から秒速 30ｍで真上に打ち上げたボールは、x 秒後にはおよそ (30x－５x2)ｍ の高さを通過しま す。 １秒後に、地上から何ｍの高さを通過するか求めま しょう。どうすれば求められますか。「用いるもの」 と、その「用い方」を考えて求めましょう。 関身のまわりのいろいろな問題に関心を持ち、 それを二次方程式を活用して解決しようと している。(学習活動、問題解決、発表) ○式の成り立ちを説明しておく。 30x は速さ×時間、－５x2 は重力によるもの であることを説明する。 ○秒速を時速になおして量感をとらえさせる。 用いるものは何ですか。 ☆x 秒後のボールの高さを表す式(30x－５x2)です。 どのようにして用いますか。地上から何ｍの高さで すか。 ☆x＝１を代入します。 ☆30×１－５×１2＝30－５＝25 となり、地上から 25ｍの 高さを通過することが分かります。 ボールが地上 40ｍの高さを通過するのは何秒後か 求めましょう。「用いるもの」と、その「用い方」を 考えて、求める方法を説明しましょう。 ☆今度は、高さが分かっている。 用いるものは、x 秒後のボールの高さを表す式 30x－５x2 です。用い方は高さが 40ｍになると考え、方 程式を立てます。その方程式 30x－５x2＝40 を解けば分 かります。 打ち上げたボールが再び地上に落ちてくるのは何 秒後ですか。「用いるもの」と、その「用い方」を考 えて、求める方法を説明しましょう。 ☆用いるものは、x 秒後のボールの高さを表す式 30x－５x2 です。用い方は、高さが０ｍになるとして方 程式を作り、その方程式を解けば分かります。 ※方程式の解き方については、本時のポイント参照。 - 27 - ○「再び地上に落ちてくる」とは「高さが０に なる」ことが同じ意味であることに、ボール を用いて想起させる。 10 分 ３．東京ドームで天井に届くか考える。 東京ドームの天井の高さは 60ｍです。秒速 30ｍで 真上に打ち上げたボールは、ドームの天井に届くでし ょうか。グループで考えましょう。 グ ル ー プ 学 習 ☆解の公式を使うと、√の中が負の数になる。 ☆平方完成すると、２乗して負の数になる。 ☆届かない。 ５分 ○解が求められない場合があることに触れて おく。 ○グループを指定して発表させる。 ４．秒速 40ｍで打ち上げた場合を考える。 秒速 40ｍで打ち上げたら天井に届くでしょうか。式 や図を使って考えてみましょう。 ○関係を表す方程式はどうなりますか。 ☆関係を表す方程式は 40x－５x2＝60 になります。 ☆この方程式を解くと、２秒後と６秒後に 60ｍを通過する ことが分かるので、天井に届きます。 ５分 考方程式をつくるために、数量を関連付けて考 察することができる。(問題解決、発表、ノ ート) ○秒速 30ｍのときと、式がどのように変わる のか意識させる。 ○指名して発表させる。 ５．学習のまとめをする。 天井に届くかどうか判断するにはどのような方法 を使えばいいですか。 【学習のまとめ】 高さを表す式を使って、方程式を作って求めること ができる。 ５分 ６．活用を促す課題を確認し、解決の方法について宿題と して考えてくる。 次の時間には、これまで学習してきたことを使っ て、活用を促す課題を解決しましょう。 活用を促す課題 あなたは美化委員です。校庭の花壇について生徒会 長から２つお願いがありました。その中の①です。 ①図のような長方形の土地に同じ幅の道を縦、横に１ 本ずつ作り、花壇の面積が 50ｍ２となるようにした とき、道の幅は何ｍになるか説明してほしい。 Ａさん、Ｂさんは道の幅を xｍとして、次のような 方程式を作りました。 Ａさん：(８－x)(10－x)＝50…① Ｂさん：50＋(８x＋10x－x2)＝80…② それぞれどのように考えて方程式を作りましたか。 家で図を使って考え、説明できるようにしておきま しょう。また道の幅を求めましょう。 そして、花壇のデザインを考えておきましょう。 ５分 ７．学習の振り返りをする。 今日の学習を通して、分かったこと、まだ分からな いことをノートにかきましょう。 - 28 - ○ポイントチェックリストやこれまでのノー トを参考にして考えるように投げかける。 ○式がどのように考えて式になっているのか 読み取らせる。 ○次の時間の最初に、グループで説明し合うこ とを伝えておく。 ○第１時の自分のワークシートの記述と比較 して、自分の考えの変化をかくように指示す る。 ４ 本時のポイント ・「用いるもの」と「用い方」を明確にして説明できるようにする。 ・地上から秒速 30ｍで真上に打ち上げたボールは、x 秒後にはおよそ (30x－５x2)ｍ の高さを通過する という。 ①１秒後には、地上から何ｍの高さを通過するか求めましょう。また、求める方法を説明しましょう。 「用いるもの」→x 秒後のボールの高さを表す式(30x－５x2)、「用い方」→x＝１を代入する 答え：30×１－５×１2＝30－５＝25 地上から 25ｍの高さ。 2 説明：式(30x－５x )に、x＝１を代入する。 ②ボールが地上 40ｍの高さを通過するのは何秒後か求めましょう。また、求める方法を説明しましょう。 「用いるもの」→x 秒後のボールの高さを表す式(30x－５x2)、 「用い方」→高さが 40ｍになるとして、方程式を作り、その方程式を解く。 30x－５x2＝40 答え： 説明：x 秒後のボールの高さを表す式 2 (30x－５x2)を用いて、方程式を作り、 －５x ＋30x－40＝０ x2－６x＋８＝０ その方程式を解く。 (x－２)(x－４)＝０ x＝２、４ ２、４はどちらも問題の答えとしてよい。 ２秒後、４秒後 ③打ち上げたボールが再び地上に落ちてくるのは何秒後ですか。また、求める方法を説明しましょう。 「用いるもの」→x 秒後のボールの高さを表す式(30x－５x2)、 「用い方」→高さが０ｍになるとして方程式を作り、その方程式を解く。 30x－５x2＝０ 答え： 説明：x 秒後のボールの高さを表す式 2 (30x－５x2)を用いて、方程式を作り、 －５x ＋30x＝０ x2－６x＝０ その方程式を解く。 x (x－６)＝０ x＝０、６ ０は打ち上げたときなので、 再び地上に落ちてくるのは６秒後である。 グループ学習 ・x 秒後のボールの高さを表す式(30x－５x 2)を使って、何秒後に 60ｍを通過するか考える。 東京ドームでは、30x－５x2＝60 x2－６x＋12＝０ 平方完成して (x－３）2＝－３ ・２乗して負の数になる数はないので、この方程式の解はない。よって、届かない。 ５ 本時の振り返り例 ・用いるものと用い方を考えると、しっかり方法の説明ができると分かった。 ・方程式の解が求められないときがあることが分かった。 - 29 - ６ 板書例 真ん中を消す。 - 30 - ３年 二次方程式と問題づくり 大日本図書 Ｐ98、99 (11 時間目／全 11 時間) １ 本時の目標 ・活用を促す課題を基にして、新しい花壇のデザインを考えることができる。また、二次方程式を使って解決するための考え 方やその手順を説明し伝え合うことができる。 ２ 準備物 「活用を促す課題」とチェックリスト掲示用 ３ 本時の学習 ※ 関 考 技 知 は評価の観点、（ ）は評価の方法を示す。 予定時間 ○指導者の働きかけと☆予想される生徒の反応 □評価・○留意点 15 分 １．活用を促す課題の①についてグループで説明し伝え合 う。 考方程式をつくるために、数量を関連づけて考 察することができる。(学習活動、問題解決、 発表、ノート) Ａさん、Ｂさんは道の幅を xｍとして、次のような 方程式を作りました。 Ａさん：(８－x)(10－x)＝50…① Ｂさん：50＋(８x＋10x－x2)＝80…② それぞれどのように考えて方程式を作りましたか。 宿題で考えてきた説明をグループで、伝え合いまし ょう。また、道の幅を求めてみましょう。 ※説明の仕方は本時のポイント参照。 ▼つまずきポイント▼ ・図の中のそれぞれの長さを式で表せていない 生徒 →具体的な数を用いて、長さを考えさせる。 ・方程式の中にある式と図を関連させてとらえ られていない生徒 →図の中に同じ式がないか考えさせる。 ○グループを指定して発表させる。 ５分 グ ル ー プ 学 習 ２．道の幅のおおよその値を求める。 平方根表を利用して√51 のおおよその値を求め、道 の幅を小数第１位まで求めましょう。 ☆√51＝7.141、x＝９－√51 ９－7.141＝1.859 小数第２位を四捨五入して、1.9 約 1.9ｍになる。 10 分 ３．花壇のデザインを考え、問題を作る。 活用を促す課題 あなたは美化委員です。校庭の花壇について生徒会 長から２つお願いがありました。 ②同じ幅の道を縦や横に何本か作り、花壇の面積が 50 ｍ２となるようにデザインしてほしい。また、その ときの道幅を教えてほしい。 関活用を促す課題を基にして、新しい花壇のデ ザインを考えることに関心を持ち、いろいろな デザインを考えたり、説明したりしようとして いる。(学習活動、問題解決、発表、ノート) 考方程式をつくるために、数量を関連付けて考 察することができる。(学習活動、問題解決、 発表、ノート) 自分が考えてきたデザインの道の幅を求めてみま しょう。 15 分 ４．グループ内で問題を解き合う。 グループの中で、お互いにデザインを交換し、解き 合ってみましょう。 ５分 ５．単元の振り返りをする。 「二次方程式」の学習を通して、分かったことをワ ークシートにかきましょう。 - 31 - ○授業後、生徒が考えてきたデザインを教室掲 示する。 ４ 本時のポイント グループ学習① ・Ａさん、Ｂさんのそれぞれ立てた方程式を読み取り、どのように考えたか図を使ってグループで説明し 合う。 ○Ａさんの考え方 (８－x)(10－x)＝50 花壇の面積に注目して方程式を立てている。 道が、花壇の端になるようにして、花壇を長方形としてみると、縦の長さは、(８－x)ｍ、横の長さは (10－x)ｍだから、面積は(８－x)(10－x)として表され、それが 50ｍ２になる。 ○Ｂさんの考え方 50＋(８x＋10x－x2)＝80 全体の面積に注目して方程式を立てている。 50ｍ２は花壇の部分の面積、(８x＋10x－x2) ｍ２は道の面積、その和が土地全体の面積 80ｍ２に等しく なる。 グループ学習② ・花壇のデザインを考え、そのときの道の幅を求めるための方法を考える。 ＜問題例＞ 道を縦に２本、横に１本作り、花壇の面積が 50ｍ２になるとき、道の幅を求めましょう。 ＜解答例＞ 道が土地の端にあると考えて、方程式を立てる。 花壇の縦の長さは(８－x)ｍ、横の長さは(10－２x)ｍ、面積は 50ｍ２だから、 (８－x)(10－２x)＝50 80－16x－10x＋２x2＝50 ２x2－26x＋30＝０ x2－13x＋15＝０ 解の公式を利用して、 はこの問題の答えとして適さない。よって、 - 32 - ｍである。 ５ 単元の振り返り例 ・二次方程式の最初の時間に考えた花壇の問題を解決することができてよかった。 ・二次方程式を使って解決できる問題がたくさんあることが分かった。 ・三次方程式や四次方程式はあるのだろうか。 ６ 板書例 - 33 - 「二次方程式」第１時 ☆ 単元「二次方程式」活用を促す課題 ３年 組 番 名前 あなたは美化委員です。校庭の花壇について生徒会長から２つお願いがありました。 ① 図のような長方形の土地に同じ幅の道を縦、横に１本ずつ作り、花壇の面積が 50ｍ２となるようにしたとき、道の幅は何ｍになるか説明してほしい。 ② 同じ幅の道を縦や横に何本か作り、花壇の面積が 50ｍ２となるようにデザイン してほしい。また、そのときの道幅を教えてほしい。 ◎「この課題を解くためには…」 → この単元の学習を終えたときに、この課題が解決できるように、「二次方程式」の学習をがんばって いきましょう。この課題から分かることや何が分かればいいか考えてみよう！ □ □ □ □ □ □ □ ◎どこまでできるかな？ → 今まで習ったことを使って、どこまでこの課題ができるか、式や図などを使って考えてみよう！ 「二次方程式」第 10、11 時 ☆ 単元「二次方程式」活用を促す課題 ３年 組 番 名前 あなたは美化委員です。校庭の花壇について生徒会長から２つお願いがありました。 ① 図のような長方形の土地に同じ幅の道を縦、横に１本ずつ作り、花壇の面積が 50ｍ２となるようにしたとき、道の幅は何ｍになるか説明してほしい。 ② 同じ幅の道を縦や横に何本か作り、花壇の面積が 50ｍ２となるようにデザイン してほしい。また、そのときの道幅を教えてほしい。 ① Ａさん、Ｂさんは道の幅を xｍとして、次のような方程式を作りました。 それぞれどのように考えて方程式を作ったか考え、説明しましょう。 Ａさん：(８－x)(10－x)＝50 Ｂさん：50＋(８x＋10x－x2)＝80 ＜第１時のワークシートと比較して、自分の考えがどのように変わったか、 また、この単元を学習して新たに気付いたことをかきましょう＞ 「二次方程式」第 10、11 時 ② 花壇のデザインを考え、そのときの道幅の求め方を考えましょう。 ＜デザイン＞ ＜式、求め方＞ 答え ＜どのように考えたか＞ ＜「二次方程式」の学習を振り返って、分かったことをかきましょう＞ ｍ２