二次式の計算

目次
第１章
式の計算
１
２
３
４
５
６
７
８
第２章
連立方程式
１
２
３
４
５
６
７
第３章
合 同 な 図 形 …………………………………………………………………… 130
三 角 形 の 合 同 条 件 …………………………………………………………… 134
合 同 な 三 角 形 と 合 同 条 件 ………………………………………………… 138
合 同 な 三 角 形 の 証 明 (１ ) ………………………………………………… 144
合 同 な 三 角 形 の 証 明 (２ ) ………………………………………………… 148
合 同 な 三 角 形 の 証 明 (３ ) ………………………………………………… 152
三 角 形 の 合 同 の 利 用 ………………………………………………………… 156
二 等 辺 三 角 形 ………………………………………………………………… 160
二 等 辺 三 角 形 と 三 角 形 の 合 同 …………………………………………… 164
正 三 角 形 ……………………………………………………………………… 168
二 等 辺 三 角 形 に な る 条 件 ……………………………………………… 172
直 角 三 角 形 …………………………………………………………………… 176
平 行 四 辺 形 …………………………………………………………………… 180
平 行 四 辺 形 に な る 条 件 …………………………………………………… 184
特 別 な 平 行 四 辺 形 …………………………………………………………… 188
面 積 の 等 し い 三 角 形 ………………………………………………………… 192
確率
１
第７章
角 と 平 行 線 …………………………………………………………………… 114
平 行 線 と 同 位 角 ・ 錯 角 …………………………………………………… 118
三 角 形 の 角 …………………………………………………………………… 122
多 角 形 の 角 …………………………………………………………………… 126
図形と証明
１
２
３
４
５
６
７
８
９
１０
１１
１２
１３
１４
１５
１６
第６章
１ 次 関 数 ………………………………………………………………………… 72
１ 次 関 数 の 変 化 の 割 合 ……………………………………………………… 76
１ 次 関 数 の グ ラ フ (１ ) …………………………………………………… 80
１ 次 関 数 の グ ラ フ (２ ) …………………………………………………… 84
１ 次 関 数 の グ ラ フ (３ ) …………………………………………………… 88
１ 次 関 数 の 求 め 方 (１ ) …………………………………………………… 94
１ 次 関 数 の 求 め 方 (２ ) …………………………………………………… 98
１ 次 方 程 式 の グ ラ フ ……………………………………………………… 102
グ ラ フ の 交 点 ……………………………………………………………… 106
１ 次 関 数 の 利 用 ……………………………………………………………… 110
図形の性質
１
２
３
４
第５章
連 立 方 程 式 の 解 き 方 (１ ) …………………………………………………… 36
連 立 方 程 式 の 解 き 方 (２ ) …………………………………………………… 40
連 立 方 程 式 の 解 き 方 (３ ) …………………………………………………… 46
連 立 方 程 式 の 解 き 方 (４ ) …………………………………………………… 52
連 立 方 程 式 の 利 用 (１ ) ……………………………………………………… 56
連 立 方 程 式 の 利 用 (２ ) ……………………………………………………… 60
連 立 方 程 式 の 利 用 (３ ) ……………………………………………………… 64
１次関数
１
２
３
４
５
６
７
８
９
１０
第４章
単 項 式 と 多 項 式 ………………………………………………………………… 2
多 項 式 の 加 法 と 減 法 …………………………………………………………… 6
多 項 式 の い ろ い ろ な 計 算 …………………………………………………… 10
単 項 式 の 乗 法 ・ 除 法 ………………………………………………………… 14
単 項 式 の 乗 除 混 合 …………………………………………………………… 18
式 の 値 …………………………………………………………………………… 22
文 字 を 使 っ た 説 明 …………………………………………………………… 26
等 式 の 変 形 ……………………………………………………………………… 32
確 率 ……………………………………………………………………………… 196
図形のまとめ
図 形 の ま と め ………………………………………………………………… 200
2
第１章
式の計算
１
単 項 式 と 多 項 式
例１
単項式と多項式
次の文字式は単項式と多項式のどちらですか。
① 3xy
② 2x－ 5y
数や文字の乗法
だけで表される
単項式の和(差)
で表される
単項式
3a ＋ 1
4
2
④
単項式
⑥ x 2 ＋ 4x－ 12
単項式の和(差)
で表される
多項式
数や文字の乗法
だけで表される
多項式
⑤ 6－ a
単項式の和(差)
で表される
③ － 12x 2 y
多項式
単項式の和(差)
で表される
多項式
ポイント
単 項 式 … 数 と 文 字 を か け 合 わ せ た 形 の 式
多 項 式 … ２ つ 以 上 の 単 項 式 の 和 の 形 で 表 さ れ た 式
4x y 2 ， － 2ab な ど
－ x＋ 2y， x 2 － 3x＋ 6な ど
例２
項と係数
次の多項式の項をすべて書きなさい。また、文字の項の係数を答えなさい。
y
3x 2 ＋ 4x－ 2xy＋ y 2 －
－ 10
2
項
項
項
項
項
3x ＋ 4x － 2xy ＋ y －
2
2
3
係数
4
係数
－2
係数
1
係数
ポイント
y
2
項
1
2
係数
4x y 2 の 係 数 は 4，
係 数 … 文 字 を ふ く む 項 の 数 の 部 分
例３
y
， － 10
2
答
1
係数…3 ， 4 ， －2 ， 1 ， －
2
項 … 3x 2 ， 4x， － 2xy， y 2 ， －
－ 10
－ abの 係 数 は － 1な ど
単項式の次数
次の単項式の次数を答えなさい。また何次式ですか。
① － 3x
② 2ab
③ － x 2y 3
－ 3× x
文字が1つ
2× a× b
次数は1
答 次 数 … 1， 1次 式
文字が2つ
－ x× x× y× y× y
次数は2
答 次 数 … 2， 2次 式
文字が5つ
次数は5
答 次 数 … 5， 5次 式
ポイント
次 数 … か け 合 わ さ れ た 文 字 の 数
例４
多項式の次数
次の多項式の次数を答えなさい。また何次式ですか。
① 3x＋ 2
② a 2 － 4ab
③ x 3 ＋ xy－ 4y 2
3x ＋ 2
次数 1
答 次 数 … 1， 1次 式
a 2 － 4ab
次数 2
2
答 次 数 … 2， 2次 式
ポイント
多 項 式 の 次 数 … 各 項 の 次 数 の う ち で 最 も 大 き い も の
x 3 ＋ xy － 4y 2
次数 3
2
2
答 次 数 … 3， 3次 式
第１章
練習１
② － 3a 2 b
③ 2x－ 6y
④ 1－ a
⑤ 2x 2 － 3x＋ 5
⑥
② a 2 － 6a－ 3
③ － 2x 2 ＋ 5xy－ y 2
次の単項式の次数を答えなさい。また何次式ですか。
② － 5xy 2
① 3x
練習４
① 4x－ 3
1
ab 2
2
次の多項式の項をすべて書きなさい。また、文字の項の係数を答えなさい。
① － x＋ 3y－ 6
練習３
3
次の文字式は単項式と多項式のどちらですか。
① 4xy
練習２
式の計算
③ － a 3b 2c
次の多項式の次数を答えなさい。また何次式ですか。
② a＋ 3ab－ b
③ 2x 2 － 9y 2
④ a 2 ＋ 4a－ 5
⑤ x 3 － 3xy 3
⑥ a 4 － a 3 b＋ a 2 b－ 9ab
4
第１章
式の計算
確 認 問 題 1-1-Ａ
p2
1 次の文字式は単項式と多項式のどちらですか。
点
① 3x－ 5y
② 2－ a
例１
(6点 × 6＝ 36点 )
③ － 2xy
④ 5a 2 b
⑤ x 2＋ x
⑥ － a＋ 5ab
2 次の多項式の項をすべて書きなさい。また、文字の項の係数を答えなさい。
p 2 例２
(4点 × 3＝ 12点 )
① 4x－ y＋ 2
② 2x 2 ＋ xy＋ 4y 2
③ － ab 2 ＋ 3a－ 6
3 次の単項式の次数を答えなさい。また何次式ですか。
p2
① 2xy
② 4ab
2
③ －x y
2
3
4 次の多項式の次数を答えなさい。また何次式ですか。
p2
例３
(4点 × 4＝ 16点 )
④ 3a 3 b 2 c
① x 2 － 2x
② ab＋ 6a－ 5
例４
(6点 × 6＝ 36点 )
③ xy－ 4y 2 ＋ x 3
④ a 2 ＋ 6ab＋ 9b 2
⑤ xy 3 － 2x 2 y
⑥ a 5 － 3a 2 b 2 ＋ 2ab－ 8
第１章
式の計算
確 認 問 題 1-1-Ｂ
p2
1 次の文字式は単項式と多項式のどちらですか。
点
① － 4y
② y－ 4
例１
(6点 × 6＝ 36点 )
③ － 2x＋ 5y
④ a 2＋ b 2
⑤ 2x 3 y
⑥ － ab
2 次の多項式の項をすべて書きなさい。また、文字の項の係数を答えなさい。
p 2 例２
(4点 × 3＝ 12点 )
① a－ b＋ 1
③ － a 2 b＋ 2ab 2 ＋ ab
② 3x 2 － 4x＋ 2
3 次の単項式の次数を答えなさい。また何次式ですか。
p2
① －x
3
② 3abc
③ － 5x y
4
4 次の多項式の次数を答えなさい。また何次式ですか。
p2
例３
(4点 × 4＝ 16点 )
④ abc 2
① 5x－ 3
② a 2 ＋ 6ab－ 5b 2
例４
(6点 × 6＝ 36点 )
③ x 2 － 4x＋ 8
④ ab 2 ＋ 2a 2 － b 3
⑤ x 2y 3－ x 3y
⑥ 2a 4 － a 2 b－ ab 2 － b 3
5
6
第１章
式の計算
２
例１
多 項 式 の 加 法 と 減 法
同類項をまとめる
次の式の同類項をまとめなさい。
① 3x＋ 4y－ 2x＋ 5y
② x 2 － 3x＋ 5x－ 2x 2
x 2 － 3x ＋ 5x － 2x 2
3x ＋ 4y － 2x ＋ 5y
＝ x＋ 9y
③ 2a 2 ＋ 5ab＋ a 2 － 5ab
同類項をまとめる
＝ － x 2 ＋ 2x
同類項をまとめる
2a 2 ＋ 5ab ＋ a 2 － 5ab
＝ 3a 2
同類項をまとめる
0
ポイント
同 類 項 … 文 字 の 部 分 が 同 じ 項
同 類 項 は ま と め る こ と が で き る
4a と － a， x 2と 3x 2 な ど
例２
多項式の加法
次の計算をしなさい。
① (－ 5x＋ 2y)＋ (6x－ 7y)
② (x 2 ＋ 3x－ 6)＋ (－ 3x 2 － 4x＋ 6)
(x 2 ＋ 3x－ 6)＋ (－ 3x 2 － 4x＋ 6)
(－ 5x＋ 2y)＋ (6x－ 7y)
( )の前が＋なので( )の中の符号は変わらない
( )の前が＋なので( )の中の符号は変わらない
＝ x ＋ 3x－ 6－ 3x 2 － 4x＋ 6
2
＝ － 5x＋ 2y＋ 6x－ 7y
同類項をまとめる
同類項をまとめる
＝ － 2x 2 － x
＝ x－ 5y
例３
x 2と xは 同 類 項 で な い
多項式の減法
次の計算をしなさい。
① (－ 5x＋ 2y)－ (6x－ 7y)
② (x 2 ＋ 3x－ 6)－ (3x 2 － 4x＋ 6)
(x 2 ＋ 3x－ 6)－ (3x 2 － 4x＋ 6)
(－ 5x＋ 2y)－ (6x－ 7y)
＝ － 5x＋ 2y－ 6x＋ 7y
( )の前が－
なので( )の中の
符号が変わる
＝ x ＋ 3x－ 6－ 3x ＋ 4x－ 6
2
同類項をまとめる
2
( )の前が－
なので( )の中の
符号が変わる
同類項をまとめる
＝ － 2x 2 ＋ 7x－ 12
＝ － 11x＋ 9y
ポイント
(
)の 前 が － の と き 、 (
例４
)を と る と 符 号 が 変 わ る
たて書きの加法と減法
次の計算をしなさい。
①
－ 2x 2 ＋ 3x＋ 5
＋ ) x 2 － 2x－ 8
②
－ 3x 2 ＋ 4x＋ 1
－ ) x 2 － 4x＋ 5
下の段の±を反対にする
－ 2x 2 ＋ 3x ＋ 5
＋)
x 2 － 2x － 8
－ x2 ＋ x － 3
－ 3x 2 ＋ 4x＋ 1
－)
x 2 － 4x＋ 5
－ 3x 2 ＋ 4x ＋ 1
＋ ) － x 2 ＋ 4x － 5
－ 4x 2 ＋ 8x － 4
ポイント
た て 書 き の 減 法 で は ひ く 方 (下 の 段 )の 符 号 を 反 対 に し て 加 法 で 計 算 す る
第１章
練習１
式の計算
次の式の同類項をまとめなさい。
① 4x＋ 3y－ x－ 5y
② － 3a－ 2b＋ 2a－ b
③ 2x 2 ＋ 5x－ 8x－ x 2
④ 5ab－ 5ab＋ 4a＋ 2a
⑤ x 2 － xy－ x 2 － xy
⑥ － a 2 ＋ 3b＋ 2a 2 － 6b
練習２
次の計算をしなさい。
① (6x－ 3y)＋ (4x＋ 2y)
② (3a 2 － 2ab)＋ (－ 2a 2 ＋ 5ab)
③ (2x 2 － x＋ 4)＋ (3x 2 ＋ 2x－ 3)
④ (－ 2y 2 ＋ y＋ 1)＋ (5y 2 － y－ 3)
練習３
次の計算をしなさい。
① (5x－ 2y)－ (4x＋ 3y)
② (2a 2 ＋ 5ab)－ (－ 2a 2 ＋ 5ab)
③ (4x 2 － 2x＋ 1)－ (3x 2 ＋ x－ 7)
④ (－ y 2 ＋ y＋ 4)－ (2y 2 ＋ 2y－ 6)
⑤ (－ 3a 2 ＋ ab＋ 8)－ (a 2 － 5ab＋ 9)
⑥ (3xy－ 4x－ 1)－ (－ 3xy－ 4x＋ 3)
練習４ 次 の 計 算 を し な さ い 。
①
－ 3x 2 ＋ 2x－ 4
＋ ) x 2 － 3x＋ 6
③
－ 3x 2 ＋ 4x－ 4
－ ) 3x 2 ＋ 2x－ 1
②
－ 2x 2 ＋ 7x＋ 6
＋ ) x 2 － 7x－ 1
④
－ 2x 2 － 3x＋ 4
－ ) － x 2 － 2x＋ 4
7
8
第１章
式の計算
確 認 問 題 1-2-Ａ
① 5x－ 4y＋ 3x＋ 5y
p 6 例１
(5点 × 6＝ 30点 )
② － 3a＋ 5b－ a－ 6b
③ － x＋ 4y－ 8x＋ 5y
④ 4xy－ x＋ 5xy＋ 2x
⑤ 2x 2 － 5x＋ 3x 2 － 4x
1 次の式の同類項をまとめなさい。
2 次の計算をしなさい。
p6
例２
① (x－ 6y)＋ (5x＋ 2y)
③ (4x 2 － 2x－ 1)＋ (－ 4x 2 － 5x＋ 2)
p6
3 次の計算をしなさい。
例３
① (－ 3x＋ 5y)－ (8x－ 2y)
⑥ 2a 2 ＋ 3b－ 4b－ a 2
(5点 × 4＝ 20点 )
② (－ a 2 ＋ 4ab)＋ (3a 2 － 5ab)
④ (ab－ a－ 7)＋ (2ab－ a＋ 7)
(5点 × 6＝ 30点 )
② (7a－ ab)－ (－ a＋ 6ab)
③ (2x 2 ＋ x－ 6)－ (4x 2 ＋ 3x－ 1)
④ (－ 3a 2 ＋ 2a－ 1)－ (a 2 ＋ 4a－ 1)
⑤ (4a 2 － 3a＋ 2)－ (－ 3a 2 － 3a＋ 1)
⑥ (6x－ 5xy－ 2)－ (6x－ 6xy＋ 2)
4 次の計算をしなさい。
2
①
－ 2x ＋ 5x－ 1
＋ ) x 2 － 5x－ 3
③
2x 2 － x－ 6
－ ) 3x 2 ＋ 5x－ 5
p6
例４
(5点 × 4＝ 20点 )
②
4x 2 － 3x＋ 2
＋ ) － x 2 ＋ 4x－ 3
④
－ x 2 ＋ 4x＋ 3
－ ) － x 2 － 4x＋ 3
点
第１章
式の計算
確 認 問 題 1-2-Ｂ
点
① 3x＋ y－ 4x－ 7y
p 6 例１
(5点 × 6＝ 30点 )
② 6a＋ 8b－ 6a－ 5b
③ － 5x 2 ＋ 2x－ 6x＋ x 2
④ － x－ xy－ x－ xy
⑤ 3x＋ 2xy－ 2x－ 3xy
1 次の式の同類項をまとめなさい。
2 次の計算をしなさい。
p6
例２
① (－ x＋ 4y)＋ (2x－ 6y)
③ (－ a 2 ＋ 6a＋ 2)＋ (2a 2 － 5a－ 2)
p6
3 次の計算をしなさい。
例３
① (3x－ 2y)－ (－ 5x＋ 3y)
⑥ － a 2 ＋ 3a 2 － 2a＋ 4a
(5点 × 4＝ 20点 )
② (5a 2 － a)＋ (－ 4a 2 ＋ a)
④ (7x 2 ＋ 5x－ 3)＋ (－ 2x 2 ＋ 4x－ 3)
(5点 × 6＝ 30点 )
② (a 2 ＋ b 2 )－ (－ 3a 2 － b 2 )
③ (－ 2a 2 ＋ 4a－ 9)－ (a 2 － a－ 8)
④ (5x 2 － 2x＋ 1)－ (－ x 2 ＋ 2x＋ 1)
⑤ (－ ab－ 6a－ 2)－ (2ab＋ 5a－ 1)
⑥ (x－ 2xy＋ 8)－ (x＋ 2xy－ 8)
4 次の計算をしなさい。
①
2x ＋ x－ 3
＋ ) x 2 ＋ 2x＋ 4
③
－ x 2 ＋ 5x－ 5
－ ) 2x 2 － 6x＋ 8
2
p6
例４
(5点 × 4＝ 20点 )
②
－ 3x 2 ＋ 4x－ 1
＋ ) x 2 － 5x＋ 1
④
x 2 － 3x＋ 2
－ ) － x 2 ＋ 4x－ 4
9
10
第１章
式の計算
３
多 項 式 の い ろ い ろ な 計 算
例１
多項式×数
次の計算をしなさい。
① 2(5x－ 3y)
1 (6x＋ 5y)
2
②
分配法則
分配法則
分配法則
1 (6x＋ 5y)
2
5 y
＝ 3x＋
2
2(5x－ 3y)
＝ 10x－ 6y
例２
③ (x 2 － 3x＋ 2)× (－ 4)
(x 2 － 3x＋ 2)× (－ 4)
＝ － 4x 2 ＋ 12x－ 8
多項式÷数
次の計算をしなさい。
① (12a－ 8b)÷ (－ 4)
÷
÷
③ (2x 2 ＋ 3x)÷
② (6x＋ 10y)÷ 5
割り切れるので割る
(12a－ 8b)÷ (－ 4)
(6x＋ 10y)÷ 5
＝ － 3a＋ 2b
＝ (6x＋ 10y)×
2
6
10
x＋
y
5
51
6 x＋ 2y
＝
5
＝
例３
多項式の計算(１)
次の計算をしなさい。
① 2(x－ 4y)＋ 3(2x＋ 4y)
逆数をかける
1
5
分配法則
6
5
6
5 逆数をかける
5
2
＝ (2x ＋ 3x)×
5
5 6
分配法則
10 2 15
x
＝
x＋
63
62
5
5
2
x
＝ x＋
3
2
(2x 2 ＋ 3x)÷
② 3(2x＋ y)－ 2(3x－ 4y)
分配法則
分配法則
3(2x＋ y)－ 2(3x－ 4y)
符号に注意
＝ 6x＋ 3y－ 6x＋ 8y
＝ 11y 同類項をまとめる
2(x－ 4y)＋ 3(2x＋ 4y)
＝ 2x－ 8y＋ 6x＋ 12y
＝ 8x＋ 4y 同類項をまとめる
例４
多項式の計算(２)
次の計算をしなさい。
①
1
1
(2x－ y)－
(x＋ 3y)
3
2
②
2x－y
x＋3 y
－
3
2
分配法則
＝
＝
＝
＝
1
3
2
3
4
6
4
6
1
6
(2x－ y)－
1
2
1
2
3
6
2
6
(x＋ 3y)
3 y
1 y－
x－
3
2
通分
2
9
x－
y－
x－
y
6
6
3 x－
9 y
y－
x－
6
6
11 y 同類項をまとめる
x－
6
x－
＝
＝
＝
＝
2x－y
x＋3 y
－
通分
3
2
2(2x－y )
3(x＋3 y )
－
6
6
2(2x－y )－3(x＋3 y ) 分配法則
6
符号に注意
4x－2 y－3x－9 y
同類項をまとめる
6
x－11y
6
第１章
式の計算
11
練習１
次の計算をしなさい。
① 4(2x－ 5y)
② － 5(a－ 2b)
③
1 (8x＋ 6y)
3
④ (－ 3a＋ b)× (－ 4)
練習２
次の計算をしなさい。
① (12x－ 8y)÷ 4
② (9a 2 － 4a)÷ (－ 6)
練習３
③ (2x 2 ＋ 6y 2 )÷
4
5
次の計算をしなさい。
① 3(2x－ y)＋ 4(3x＋ 4y)
② 2(a 2 ＋ 3ab)－ 5(2a 2 ＋ ab)
③ 2(3x 2 － 4x)－ 3(2x 2 ＋ 3x)
④ 5(－ 2y 2 ＋ y)＋ 4(y 2 ＋ 4y)
⑤ 4(－ a＋ 2b＋ 2)－ 2(3a－ 5b＋ 1)
⑥ 3(2x－ 4y－ 3)－ 2(－ x－ 2y＋ 5)
練習４
①
③
次の計算をしなさい。
1
1
(x－ 4y)＋ (3x＋ 2y)
3
5
2x－3 y
3x＋y
＋
3
4
②
1
1
(2x＋ y)－
(x－ 3y)
4
6
④
2x－y
x＋3 y
－
2
6
12
第１章
式の計算
確 認 問 題 1-3-Ａ
p 10 例１
1 次の計算をしなさい。
① 3(5x－ 6y)
(3点 × 4＝ 12点 )
3 (4x－ 3y)
② － 4(2a＋ 3b)
③
4
2 次の計算をしなさい。
点
p 10 例２
(6点 × 3＝ 18点 )
② (4x 2 ＋ 6x)÷ (－ 8)
① (15a－ 5b)÷ 5
p 10 例３
3 次の計算をしなさい。
① 2(5x－ 3y)＋ 5(x＋ 2y)
④ (－ a－ 2b)× (－ 5)
③ (3x 2 － 4y 2 )÷
6
5
(7点 × 6＝ 42点 )
② 3(2a 2 － a)－ 2(4a 2 － 3a)
③ 3(2x 2 － 7x)＋ 4(x 2 ＋ 5x)
④ 2(－ xy＋ 4y)－ 6(xy－ 2y)
⑤ 5(a－ 5b＋ 2)－ 3(－ a＋ 2b＋ 2)
⑥ 4(x 2 － 2x－ 1)＋ 3(－ 2x 2 － 3x＋ 2)
4 次の計算をしなさい。
p 10 例４
①
1 (2x－ 3y)＋ 1 (x＋ 4y)
4
3
③
3x－y
4x＋3 y
＋
2
5
(7点 × 4＝ 28点 )
3 (x－ 3y)－ 2 (3x－ 2y)
②
4
5
④
5x－2 y
x－2 y
－
4
6
第１章
式の計算
確 認 問 題 1-3-Ｂ
1 次の計算をしなさい。
① － 2(4x＋ 5y)
p 10 例１
② 5(－ a－ 6b)
2 次の計算をしなさい。
① (24x－ 16y)÷ 8
3 次の計算をしなさい。
p 10 例２
(3点 × 4＝ 12点 )
5 (3x－ 6y)
③
6
p 10 例３
④ (a＋ 4b)× (－ 2)
(6点 × 3＝ 18点 )
② (6x 2 － 10x)÷ (－ 4)
① 3(2x－ y)－ 2(3x＋ 4y)
点
③ (8x－ 2xy)÷
4
3
(7点 × 6＝ 42点 )
② 4(3a－ b)－ 3(－ 4a＋ b)
③ 4(x－ 5xy)＋ 2(－ 3x＋ xy)
④ 5(x 2 ＋ 4x)－ 2(2x 2 ＋ 10x)
⑤ 2(3a－ 2b＋ 1)＋ 5(a＋ b－ 2)
⑥ 3(a 2 － 2a＋ 1)－ 6(－ a 2 － a＋ 3)
4 次の計算をしなさい。
p 10 例４
①
1 (3x－ y)＋ 2 (2x＋ 3y)
2
5
③
2x－3 y
x＋2 y
＋
4
3
(7点 × 4＝ 28点 )
1 (x－ 5y)－ 2 (x－ 4y)
②
6
3
④
2x－y
x－4 y
－
6
8
13
14
第１章
式の計算
４
単 項 式 の 乗 法 ・ 除 法
例１
単項式の乗法(１)
次の計算をしなさい。
① 2x× 3y
② － 3a× (－ 4b)
2x× 3y
2
1
1
3 ×(－ 4 )=－ 6
2 x× (－ 1 y)
3
4
－ 3a× (－ 4b)
a×b=ab
x×y=xy
＝ 6xy
x×y=xy
1 xy
＝－
6
＝ 12ab
例２
単項式の乗法(２)
次の計算をしなさい。
① － 3xy× 2x
例３
単項式の除法(１)
次の計算をしなさい。
① 6xy÷ (－ 2y)
1
4x× (－ x) 2
＝ 4x× (－ x)× (－ x)
＝ 4x 3 累乗の形にする
(2a) 3 注 6a3にしないこと！
＝ 2a× 2a× 2a
＝ 8a 3 累乗の形にする
② 2x 2 y÷ 8xy 2
③ － 4a 2 b 3 ÷ (－ 4a 2 b 3 )
2x 2 y÷ 8xy 2
6xy÷ (－ 2y)
1
③ 4x× (－ x) 2
② (2a) 3
－ 3xy× 2x
＝ － 6x 2 y 累乗の形にする
6xy
＝
－2 y
2 x× (－ 1 y)
3
4
(－3)×(－4)=12
2×3=6
3
③
x 1
1
約分する
2 x2 y
＝
8 x y2
4 1 y
x
＝
4y
1
＝ － 3x
ポイント
－ 4a 2 b 3 ÷ (－ 4a 2 b 3 )
1
約分する
1 1
4
1
2xxy
8xyy
1
1 1
－ 4 a2 b3
＝
－ 4 a2 b3
1
約分する
1 1
＝1
1
割 る ほ う を 分 母 に す る △ ÷ ○ ＝ △
○
例４
単項式の除法(２)
次の計算をしなさい。
6
① － 4xy÷
y
5
－ 4xy÷
2
1
6 y
5
－4xy
5
×
＝
1
6y
＝－
10 x
3
②
逆数のかけ算
にする
約分する
2
y÷ 4x 2 y
3
③
3 2
1
a b÷
ab 3
4
2
2 y÷ 4x 2 y
3
逆数のかけ算
3 a 2 b÷ 1 ab 3
4
2
a
1 1
2y
1 にする
×
＝
4 x 2 y 約分する
3
2
3 1
＝
2
1
1
6 x2
＝
ポイント
分 数 の わ り 算 で は 割 る ほ う の 逆 数 を か け る
÷
△
○
1 逆数のかけ算
にする
1
2
3 a2 b
×
＝
4
a b3
×
○
△
3a
2 b2
1
b2
約分する
第１章
式の計算
練習１
次の計算をしなさい。
① 5x× 4y
② － 5a× b
③ － 3a× (－ 7b)
④
3 x× 1 y
4
6
練習２ 次 の 計 算 を し な さ い 。
① － 5xy× (－ 3x)
② 4ab× (－ 5b)
③ (－ 4x) 2
④ (xy) 3
⑥ － 2x 4 × 3x 2
練習３
⑤ 5a 3 × 2a 2
次の計算をしなさい。
① 12xy÷ 6x
② － 10a 2 b÷ 5a
③ 4x÷ (－ 8xy)
④ － 6ab 2 ÷ (－ 9a 3 b)
⑤ 8xy 2 ÷ 8xy 2
⑥ － 14xy÷ (－ 7xy)
練習４
次の計算をしなさい。
2
6 2
① － 2xy÷
x
② 3ab÷
a
3
5
④ －
3 2
a b÷ (－ 6ab)
2
⑤
4 2
2
x y÷
xy 2
3
3
③
5
xy÷ (－ 10x)
3
⑥ －
1 2
3
a ÷ (－
ab)
6
4
15
16
第１章
式の計算
確 認 問 題 1-4-Ａ
1 次の計算をしなさい。
① 3a× (－ 6b)
p 14 例１
② － 6x× 2y
2 次の計算をしなさい。
(4点 × 4＝ 16点 )
③ － 8a× (－ 5b)
点
④
5
3
x×
y
6
2
p 14 例２
① － 6xy× 4y
(4点 × 6＝ 24点 )
② － 3a× (－ 2ab)
③ (5a) 3
④ (xy) 2
⑤ 3x 2 × (－ 5x 4 )
⑥ － 4x 3 × 8x 3
3 次の計算をしなさい。
p 14 例３
① 9xy÷ (－ 3y)
(5点 × 6＝ 30点 )
② 12ab 2 ÷ 6ab
③ － 9y÷ (－ 12xy)
④ － 4a 2 b÷ 6a 3 b 2
⑤ 7xy 2 ÷ (－ 7xy 2 )
⑥ 24x 3 y÷ 6x 3 y
4 次の計算をしなさい。
① － 3xy÷
④
3 y
5
6 ab÷ (－ 4a 2 b)
5
p 14 例４
(5点 × 6＝ 30点 )
4 a2
② 2ab 2 ÷
3
⑤
3 xy 2 ÷ 3 x 2 y
8
2
③ －
5 xy÷ (－ 15y)
2
⑥ －
10 ab÷ 5 a 2 b 2
3
6
第１章
式の計算
確 認 問 題 1-4-Ｂ
1 次の計算をしなさい。
点
p 14 例１
(4点 × 4＝ 16点 )
② － 4a× (－ 6b)
③ 3a× (－ 10b)
① 5x× 8y
2 次の計算をしなさい。
④
9
8
x×
y
10
3
p 14 例２
① － 5y× 9xy
(4点 × 6＝ 24点 )
② － 2ab× (－ 7a)
③ (3x) 2
④ (－ ab) 2
⑤ － 4x 3 × (－ 3x 2 )
⑥ － 6x 2 × 2x 4
3 次の計算をしなさい。
p 14 例３
① － 16ab÷ 8b
(5点 × 6＝ 30点 )
② 24x 2 y÷ 4y
③ － 12b÷ (－ 8ab)
④ － 3ab 2 ÷ 15ab 3
⑤ 9x 3 y 2 ÷ 9x 3 y 2
⑥ 15xy 5 ÷ (－ 5xy 5 )
4 次の計算をしなさい。
① － 6y÷
④ －
3 xy
2
5 ab÷ (－ 10ab 2 )
6
p 14 例４
(5点 × 6＝ 30点 )
4 ab
② 8a 2 b÷
3
⑤
10 xy÷ 5 x 2 y 2
3
6
③
8 xy÷ (－ 6x)
9
⑥ －
7 ab 3 ÷ 7 a 2 b 2
12
4
17
18
第１章
式の計算
５
単 項 式 の 乗 除 混 合
例１
単項式の乗除混合(１)
次の計算をしなさい。
① 12xy÷ (－ 9xy)× 3y
② － 18a 4 b 2 ÷ 4ab 2 ÷ (－ 6a 2 b)
－ 18a 4 b 2 ÷ 4ab 2 ÷ (－ 6a 2 b)
12xy÷ (－ 9xy)× 3y
4
＝
1 1
1
12xy ×3y
－9 x y
＝
÷( －9xy)は分 母 に
3 1 1
＝ － 4y
＝
別の方法
＝
4 a b 2×(－ 6 a 2 b)
÷4ab2÷(－6a2b)は分母に
1 1
3a
4b
－ 18a 4 b 2 ÷ 4ab 2 ÷ (－ 6a 2 b)
12xy ×3y
－9 x y
1 y
＝
÷( －9xy)は分 母 に
－9 x y
4 a b 2×(－ 6 a 2 b)
a
3
先にかけ算して
から約分する
36 x y2
－ 1 8 a4 b2
＝
＝
÷4ab2÷(－6a2b)は分母に
先にかけ算して
から約分する
－ 2 4 a3 b3
4
＝ － 4y
1
－ 1 8 a4 b2
1 1 1
例２
約分する
別の方法
12xy÷ (－ 9xy)× 3y
4
－ 1 8 a4 b2
1 1
1
＝
a a3 1
3
約分する
1 b
3a
4b
単項式の乗除混合(２)
次の計算をしなさい。
1
6
① 8x 2 y×
xy÷
xy 2
2
5
1 xy÷ 6 xy 2
2
5
8x 2 y×
2
4
1
＝
8 x2 y
1
×
2
10x
3
分数のわり算は
逆数のかけ算に
×
5
6xy
約分する
2
－
＝
3
＝－
8x 2 y×
1 xy÷ 6 xy 2
2
5
8 x2 y
5
xy
×
2
6 x y2
×
4 0 x3 y2
12xy
10x 2
3
1
1
4ab
3
2
×
6
a
約分する
2
b
2
分数のわり算は
逆数のかけ算に
1
1
ab
別の方法
3 1 1
＝
×
1
－
分数のわり算は
逆数のかけ算に
＝
10 x 2 1
＝
1
1
－2 a 2 b 2
2
1
2 a 2 b 2 ÷ 4ab 3 ÷ 1 a 2
3
6
31 1
別の方法
＝
2 2 2
1 2
a b ÷ 4ab 3 ÷
a
3
6
1 1
1 1
xy
1
＝
② －
2
2 a 2 b 2 ÷ 4ab 3 ÷ 1 a 2
3
6
－2 a 2 b 2
3
1
先にかけ算して
から約分する
＝
×
1
12a b
1 a b
＝－
1
ab
4ab
3
×
6
a
2
1
－1 2 a 2 b 2
3
1
3
先にかけ算して
から約分する
分数のわり算は
逆数のかけ算に
第１章
練習１ 次 の 計 算 を し な さ い 。
① 3xy× (－ 6x 2 y)÷ 9y 2
② － 4a 2 b÷ 24a 3 b 3 × 2ab
③ 8xy 2 ÷ 3x÷ 6xy
④ － 18a 4 b 2 ÷ (－ 3ab 2 )÷ 5ab
練習２
次の計算をしなさい。
3 ab÷ (－ 6a 2 b)× 2 a 2 b
① －
2
3
③ －
9 a 2 ÷ (－ 3ab 2 )÷ (－ 1 b)
4
4
②
4 x 2 y× 3xy÷ 2 xy 2
3
3
④
1 x 2 y 2 ÷ (－ 1 xy)÷ 5 y 2
3
4
3
式の計算
19
20
第１章
式の計算
確 認 問 題 1-5-Ａ
1 次の計算をしなさい。
p 18 例１
① － 20x 2 y÷ 5xy 2 × 2y
③ － 16x 2 y 2 ÷ (－ 8x 2 )÷ 4xy
2 次の計算をしなさい。
①
p 18 例２
2 ab× (－ 3a 2 )÷ 1 a 2 b
3
6
③ －
10 2 2
2
a b ÷ (－
a)÷ 5ab
3
3
(12点 × 4＝ 48点 )
② 2a 2 b× 3ab÷ (－ 12a 4 b 3 )
④ 6a 5 b÷ 4ab 2 ÷ 2a 2 b
(13点 × 4＝ 52点 )
2 x 2 y 2 ÷ 2xy× 1 xy
②
5
2
④ －
1 2
2 2
5
x y÷
x y÷
y
2
3
2
点
第１章
確 認 問 題 1-5-Ｂ
1 次の計算をしなさい。
p 18 例１
① 4a 2 b× 3ab÷ (－ 2a 2 b)
③ － 15x 2 y 2 ÷ 5x 2 ÷ 3xy 2
2 次の計算をしなさい。
①
④ － 12a 3 b÷ 9ab÷ (－ 2b 2 )
p 18 例２
1 ab 2 ÷ (－ 2a 2 )× 1 ab
2
3
③ －
(12点 × 4＝ 48点 )
② 3xy÷ 12x 2 y 3 × 2y
4 2 2
1
a b ÷ 6a÷ (－
ab 2 )
5
10
(13点 × 4＝ 52点 )
2 xy× 3x 2 y÷ 1 xy 2
② －
3
4
④
12 2
6 2 2
3
x y÷
xy÷ x
5
5
5
式の計算
点
21
22
第１章
式の計算
６
式
例１
の
値
式の値(１)
x＝ ３ ， y＝ － ５ の と き 、 次 の 式 の 値 を 求 め な さ い 。
① 2x－ 4y
② － 4x 2 ＋ y 2
2x－ 4y
x＝3，y＝－5
を代入
－ 4x 2 ＋ y 2
③ 2x 2 y
x＝3，y＝－5
を代入
2x 2 y
x＝3，y＝－5
を代入
＝ 2× 3－ 4× (－ 5)
＝ － 4× 3 2 ＋ (－ 5) 2
＝ 2× 3 2 × (－ 5)
＝ 6＋ 20
＝ － 4× 9＋ 25
＝ 2× 9× (－ 5)
＝ 26
＝ － 36＋ 25
＝ － 90
＝ － 11
ポイント
負 の 数 を 代 入 す る と き は (
例２
)を つ け て 代 入 す る
式の値(２)
x＝ － ４ ， y＝ ３ の と き 、 次 の 式 の 値 を 求 め な さ い 。
① 2(3x＋ y)－ 3(x＋ 2y)
② 3y× (－ 6x 2 y)÷ 9xy
2(3x＋ y)－ 3(x＋ 2y)
3y× (－ 6x 2 y)÷ 9xy
文字式を簡単にする
＝ 6x＋ 2y－ 3x－ 6y
＝ 3x－ 4y
＝
x＝－4，y＝3
を代入
3 y (－6x 2 y )
9xy
文字式を簡単にする
＝ － 2xy
＝ 3× (－ 4)－ 4× 3
＝ － 2× (－ 4)× 3
＝ － 12－ 12
＝ 24
x＝－4，y＝3
を代入
＝ － 24
文字式を簡単にする前に代入すると
3y× (－ 6x 2 y)÷ 9xy
＝ 3× 3× (－ 6)× (－ 4) 2 × 3÷ {9× (－ 4)× 3}
＝ 3× 3× (－ 6)× 16× 3÷ (－ 108)
＝ － 2592÷ (－ 108)
＝ 24
ポイント
文 字 式 を 簡 単 に し て か ら 代 入 す る
第１章
練習１ x＝ ２ ， y＝ － ３ の と き 、 次 の 式 の 値 を 求 め な さ い 。
③ 4xy－ y 2
① 5x－ 6y
② － 3x＋ 2y 2
④ 4xy
⑤ － x 2y
⑥ － 5xy 2
練習２ x＝ － ５ ， y＝ ４ の と き 、 次 の 式 の 値 を 求 め な さ い 。
① 3(x－ 4y)＋ 2(2x＋ 5y)
② 2(3x 2 ＋ y)－ (x 2 － 4y)
③ 4xy× (－ 3xy)÷ 2xy 2
④ － 15x 3 y 3 ÷ 3x÷ 5xy
式の計算
23
24
第１章
式の計算
確 認 問 題 1-6-Ａ
1 x＝ － ２ ， y＝ ６ の と き 、 次 の 式 の 値 を 求 め な さ い 。
点
p 22 例１
① － 3x－ 4y
② － x 2 ＋ 4y
(10点 × 6＝ 60点 )
③ 2x 2 － 3xy
④ － 5xy
⑤ 2xy 2
⑥ － 3x 2 y
① 2(3x＋ 5y)－ 4(2x＋ 3y)
p 22 例２
(10点 × 4＝ 40点 )
② 3(－ x 2 ＋ 4y)－ (3x 2 ＋ 10y)
③ 6x 2 y× (－ 2xy 2 )÷ 4xy 2
④ － 21x 2 y 3 ÷ 3x÷ (－ 7y)
2 x＝ ４ ， y＝ － ５ の と き 、 次 の 式 の 値 を 求 め な さ い 。
第１章
確 認 問 題 1-6-Ｂ
1 x＝ ３ ， y＝ － ４ の と き 、 次 の 式 の 値 を 求 め な さ い 。
式の計算
25
点
p 22 例１
① － 3x＋ 2y
② 4x－ 3y 2
(10点 × 6＝ 60点 )
③ － 5x＋ 3y 2
④ 6xy
⑤ － x 2y 2
⑥ － 5x 2 y
① 4(2x－ y)－ 2(3x－ 6y)
p 22 例２
(10点 × 4＝ 40点 )
② 4(－ x 2 ＋ xy)＋ 3(x 2 － 2xy)
③ 3x 2 y÷ 2xy 2 × (－ 4xy)
④ 12x 4 y 3 ÷ 2x 2 ÷ 3xy 2
2 x＝ － ５ ， y＝ ２ の と き 、 次 の 式 の 値 を 求 め な さ い 。
26
第１章
７
式の計算
文 字 を 使 っ た 説 明
例１
文字を使って整数を表す
nを 整 数 と す る と き 、 次 の 数 を nを 用 い て 表 し な さ い 。
① 偶数
② 奇数
偶 数 は 2× 整 数
だ か ら 2n
③ 9の 倍 数
奇数は偶数＋1
だ か ら 2n＋ 1
ま た は (2n－ 1)
9の 倍 数 は 9× 整 数
だ か ら 9n
ポイント
整 数 の 表 し 方 (m， nを 整 数 と す る )
偶 数 (2× 整 数 )
2m， 2n， 2(m＋ n)な ど
奇 数 (2× 整 数 ＋ 1) 2m＋ 1， 2n－ 1， 2(m＋ n)＋ 1な ど
3の 倍 数 (3× 整 数 ) 3m， 3n， 3(m＋ n)な ど
例２
文字を使った説明(１)
偶 数 を ２ m， 奇 数 を ２ n＋ １ ( m， nは 整 数 ) と す る と 、 偶 数 と 奇 数 の 和 は 奇 数 に な る こ
とを説明しなさい。
…とすると、偶数と奇数の和は奇数になることを説明しなさい。
この部分を文字式で表す
2m＋ 2n＋ 1
＝ 2(m＋ n)＋ 1
m＋ nは 整 数 だ か ら 2(m＋ n)＋ 1は 奇 数
したがって偶数と奇数の和は奇数になる
問題文をそのまま書く
ポイント
文 字 を 使 っ た 説 明
～ は～ となることを説明しなさい
この部分を文字式で表す
例３
文字を使った説明(２)
カ レ ン ダ ー の 中 の あ る 数 を nと す る 。 あ る 数 の 上 の 数 と
下の数の和はある数の２倍となることを説明しなさい。
日 月 火 水 木 金
1
3 4 5 6 7 8
上の数と下の数の和はある数の２倍となることを説明しなさい。
10 11 12 13 14 15
この部分を文字式で表す
17 18 19 20 21 22
n－ 7＋ n＋ 7
24 25 26 27 28 29
上の数
下の数
＝ 2n
したがってある数の上の数と下の数の和はある数の２倍となる
ポイント
カ レ ン ダ ー の 数 の 関 係
n－7
n－1
n
n＋7
n＋1
問題文をそのまま書く
土
2
9
16
23
30
第１章
練習１
① 2n＋ 1
式の計算
27
nを 整 数 と す る と き 、 次 の 数 は ど ん な 数 を 表 し て い ま す か 。
② 11n
③ 2n
練習２ ２ つ の 偶 数 を ２ m， ２ n(m， nは 整 数 )と す る と 、 ２ つ の 偶 数 の 和 は 偶 数 に な
ることを説明しなさい。
練習３ カ レ ン ダ ー の 中 の あ る 数 を nと す る 。 あ る 数 の
前の数と後の数の和はある数の２倍となることを説明しなさい。
日 月 火 水 木 金
1
3 4 5 6 7 8
10 11 12 13 14 15
17 18 19 20 21 22
24 25 26 27 28 29
土
2
9
16
23
30
28
第１章
例４
式の計算
文字を使った説明(３)
連 続 す る ３ つ の 整 数 を n－ １ ， n， n＋ １ と す る 。 こ の ３ つ の 整 数 の 和 は ３ で 割 り 切 れ
ることを説明しなさい。
この３つの整数の和は３で割り切れることを説明しなさい。
この部分を文字式で表す
n－ 1＋ n＋ n＋ 1
＝ 3n
nは 整 数 だ か ら 3nは 3の 倍 数
し た が っ て 連 続 す る 3つ の 整 数 の 和 は 3で 割 り 切 れ る
問題文をそのまま書く
ポイント
連 続 す る 数 の 表 し 方 (nを 整 数 と す る )
連 続 す る 2つ の 整 数
n， n＋ 1な ど
連 続 す る 3つ の 整 数
n－ 1， n， n＋ 1 n， n＋ 1， n＋ 2な ど
連 続 す る 2つ の 偶 数
2n， 2n＋ 2な ど
連 続 す る 2つ の 奇 数
2n＋ 1， 2n＋ 3な ど
例５
文字を使った説明(４)
十 の 位 の 数 が x、 一 の 位 の 数 が yで あ る ２ け た の 整 数 が あ る 。 こ の 整 数 の 十 の 位 と
一の位を入れかえた整数ともとの整数との差は９で割りきれることを説明しなさい。
10y ＋x
10x ＋y
十の位と一の位を入れかえた整数ともとの整数との差は９で割りきれることを
この部分を文字式で表す
説明しなさい。
10y＋ x－ (10x＋ y)
＝ 10y＋ x－ 10x－ y
＝ 9y－ 9x
＝ 9(y－ x)
y－ xは 整 数 だ か ら 9(y－ x)は 9の 倍 数
したがって
問題文をそのまま書く
十の位と一の位を入れかえた整数ともとの整数との差は９で割りきれる
ポイント
２ け た (３ け た )の 整 数 の 表 し 方
十 の 位 が x， 一 の 位 が y
百 の 位 が x， 十 の 位 が y， 一 の 位 が z
10x＋ y
100x＋ 10y＋ z
第１章
式の計算
29
練習４ 連 続 す る ３ つ の 整 数 を n， n＋ １ ， n＋ 2 と す る 。 こ の ３ つ の 整 数 の 和 は ３ で
割り切れることを説明しなさい。
練習５ 百 の 位 の 数 が a、 十 の 位 の 数 が b、 一 の 位 の 数 が cで あ る ３ け た の 整 数 が
ある。この整数の百の位と一の位を入れかえた整数ともとの整数との差は９９で割り
きれることを説明しなさい。
30
第１章
式の計算
確 認 問 題 1-7-Ａ
点
1 ２ つ の 奇 数 を ２ m＋ １ ， ２ n＋ １ ( m， nは 整 数 ) と す る と 、 ２ つ の 奇 数 の 和 は 偶 数 に な
p 26 例２ (25点 × 1＝ 25点 )
ることを説明しなさい。
2 カレンダーの中で、たてに３つ並ぶ数の和は真ん中の数の
３ 倍 に な る 。 こ の こ と を 真 ん 中 の 数 を nと し て 説明しなさい。
p 26 例３ (25点 × 1＝ 25点 )
日 月 火 水 木 金
1
3 4 5 6 7 8
10 11 12 13 14 15
17 18 19 20 21 22
24 25 26 27 28 29
土
2
9
16
23
30
3 連 続 す る ３ つ の 偶 数 を ２ n－ ２ ， ２ n， ２ n＋ ２ と す る 。 こ の ３ つ の 偶 数 の 和 は ６ で 割 り
p 28 例４ (25点 × 1＝ 25点 )
切れることを説明しなさい。
4
十 の 位 の 数 が x、 一 の 位 の 数 が yで あ る ２ け た の 整 数 が あ る 。 こ の 整 数 の 十 の 位 と
一 の 位 を 入 れ か え た 整 数 と もとの整数との和は１１で割りきれることを説明しなさい。
p 28 例５
(25点 × 1＝ 25点 )
第１章
確 認 問 題 1-7-Ｂ
31
式の計算
点
1 奇 数 を ２ m＋ １ ， 偶 数 を ２ n( m， nは 整 数 ) と す る と 、 奇 数 と 偶 数 の 和 は 奇 数 に な る こ
p 26 例２ (25点 × 1＝ 25点 )
とを説明しなさい。
2 カレンダーの中で、右の図のような５つの数の和は真ん中
の 数 の ５ 倍 に な る 。 こ の こ と を 真 ん 中 の 数 を nと し て 説明しな
p 26 例３ (25点 × 1＝ 25点 )
さい。
日 月 火 水 木 金
1
3 4 5 6 7 8
10 11 12 13 14 15
17 18 19 20 21 22
24 25 26 27 28 29
土
2
9
16
23
30
3 連 続 す る ２ つ の 奇 数 を ２ n＋ １ ， ２ n＋ ３ と す る 。 こ の ２ つ の 奇 数 の 和 は ４ で 割 り 切 れ
p 28 例４ (25点 × 1＝ 25点 )
ることを説明しなさい。
4 十 の 位 の 数 が x、 一 の 位 の 数 が yで あ る ２ け た の 整 数 が あ る 。 こ の 整 数 と 一 の 位 の 数 の
９ 倍 の 和 は １ ０ で割りきれることを説明しなさい。 p 28 例５
(25点 × 1＝ 25点 )
32
第１章
式の計算
８
例１
等 式 の 変 形
等式の変形(１)
次 の 式 を [ ]内 の 文 字 に つ い て 解 き な さ い 。
① x－ 3y＝ 5 [ x ]
② 4x＝ 6－ y [ y ]
解きたい文字を
含む項を左辺に
x－ 3y＝ 5
x＝ 5＋ 3y
③ 2y＝ x＋ 5 [ x ]
解きたい文字を
含む項を左辺に
4x＝ 6－ y
2y＝ x＋ 5
y＝ 6－ 4x
解きたい文字を
含む項を左辺に
－ x＝ － 2y＋5
x＝ 2y－ 5
例２
等式の変形(２)
次 の 式 を [ ]内 の 文 字 に つ い て 解 き な さ い 。
① 3x＝ 2y [ x ]
② － 4x＝ 12y [ x ]
3x＝ 2y
解きたい文字以外の
数や文字で両辺を割る
2y
x＝ 3
－ 4x＝ 12y
③ 2ax＝ 5 [ a ]
2a x＝ 5
解きたい文字以外の
数や文字で両辺を割る
12y
x＝ －4
注 3で割る
解きたい文字を
含む項がマイナ
スの とき 両辺に
－１をかける
解きたい文字以外の
数や文字で両辺を割る
5
a＝ 2x
注 －4で割る
注 2xで割る
x＝－3y
例３
等式の変形(３)
次 の 式 を [ ]内 の 文 字 に つ い て 解 き な さ い 。
① 6x＋ 2y＝ 4 [ y ]
② 2x＝ 4y＋ 8 [ y ]
6x＋ 2y ＝ 4
2y＝ 4－ 6x
y＝
2x＝ 4y ＋ 8
解きたい文字を
含む項を左辺に
4
6x
－
2
2
解きたい文字以外の
数や文字で両辺を割る
－ 4y＝ － 2x＋ 8
注 2で割る
y＝2－3x
例４
解きたい文字を
含む項を左辺に
y＝
－2x
8
＋
－4
－4
y＝
x
－2
2
解きたい文字以外の
数や文字で両辺を割る
注 －4で割る
等式の変形(４)
次の式を[
]内 の 文 字 に つ い て 解 き な さ い 。
② Ｓ ＝ h( a＋b)
2
① x＝ 2(a＋ b) [ a ]
x＝ 2(a＋ b)
x＝ 2a＋ 2b
かっこをはずす
解きたい文字を
含む項を左辺に
－ 2a＝ － x＋ 2b
－x
2b
＋
－2
－2
x
a＝ －b
2
a＝
解きたい文字以外の
数や文字で両辺を割る
注 －2で割る
[ a ]
Ｓ ＝ h( a＋b)
2
2Ｓ ＝ h(a＋ b)
2Ｓ ＝ ah ＋ bh
両辺に2をかける
かっこをはずす
解きたい文字を
含む項を左辺に
－ ah＝ － 2Ｓ ＋ bh
－2Ｓ
bh
＋
a＝
－h
－h
2Ｓ
－b
a＝
h
解きたい文字以外の
数や文字で両辺を割る
注 －hで割る
第１章
式の計算
練習１ 次 の 式 を [
① 4x＋ y＝ 1 [ y ]
]内 の 文 字 に つ い て 解 き な さ い 。
② 5＝ 2y－ x [ x ]
③ 3y＝ x－ 8 [ x ]
練習２ 次 の 式 を [
① 8x＝ 12y [ x ]
]内 の 文 字 に つ い て 解 き な さ い 。
② Ｓ h＝ Ｖ [ Ｓ ]
③ － 2xy＝ 5 [ x ]
練習３ 次 の 式 を [ ]内 の 文 字 に つ い て 解 き な さ い 。
① － 6x＋ 3y＝ 12 [ y ]
② 4x＋ 2y＝ － 8 [ x ]
③ 4x＝ 20－ 6y [ y ]
練習４ 次 の 式 を [
① 2(a＋ b)＝ 4 [ a ]
③ y＝
1 (x－ 2) [ x ]
4
④ － 8x＝ 4y＋ 10 [ y ]
]内 の 文 字 に つ い て 解 き な さ い 。
② 6＝ 3(x＋ y) [ y ]
④ x－
3 y＝ 1 [ y ]
4
33
34
第１章
式の計算
確 認 問 題 1-8-Ａ
点
p 32 例１ (6点 × 3＝ 18点 )
]内 の 文 字 に つ い て 解 き な さ い 。
① x－ 6y＝ 3 [ x ]
② － 2＝ 3x－ y [ y ]
③ － 4y＝ x－ 6 [ x ]
1 次の式を[
]内 の 文 字 に つ い て 解 き な さ い 。 p 32 例２
(6点 × 3＝ 18点 )
① 6x＝ － 4y [ x ]
② ax＝ － 10 [ a ]
③ 6ab＝ 4 [ a ]
2 次の式を[
p 32 例３ (8点 × 4＝ 32点 )
]内 の 文 字 に つ い て 解 き な さ い 。
① 3x＋ 6y＝ 15 [ x ]
② 3x＋ 4y＝ － 8 [ y ]
3 次の式を[
③ 2x－ 6y＝ 10 [ y ]
④ － 4x＝ － 2y＋ 1 [ y ]
p 32 例４ (8点 × 4＝ 32点 )
]内 の 文 字 に つ い て 解 き な さ い 。
① 6(a－ b)＝ 18 [ a ]
② 8＝ 12(x－ y) [ y ]
4 次の式を[
③ 2x＋
y
＝5 [ y ]
3
④ 3＝
2a＋3b
2
[ b ]
第１章
式の計算
確 認 問 題 1-8-Ｂ
点
p 32 例１ (6点 × 3＝ 18点 )
]内 の 文 字 に つ い て 解 き な さ い 。
① － 2x＋ y＝ 3 [ y ]
② 1＝ － 4y－ x [ x ]
③ 4x＝ y＋ 28 [ y ]
1 次の式を[
]内 の 文 字 に つ い て 解 き な さ い 。 p 32 例２
(6点 × 3＝ 18点 )
① － 9y＝ 15x [ y ]
② ab＝ Ｓ [ a ]
③ 4ab＝ 6 [ a ]
2 次の式を[
p 32 例３ (8点 × 4＝ 32点 )
]内 の 文 字 に つ い て 解 き な さ い 。
① 10x＋ 5y＝ 25 [ y ]
② － 2x－ 3y＝ 6 [ x ]
3 次の式を[
③ － 3x＝ 6－ 2y [ y ]
④ 12x＝ 8y－ 4 [ y ]
p 32 例４ (8点 × 4＝ 32点 )
]内 の 文 字 に つ い て 解 き な さ い 。
① 3(x＋ y)＝ 15 [ y ]
② 12＝ 4(a＋ b) [ a ]
4 次の式を[
③
x
＋ 3y＝ － 1 [ y ]
4
④
5x－2 y
＝ 10 [ y ]
4
35
36
第２章
連立方程式
１
連 立 方 程 式 の 解 き 方( １)
例１
加減法(１)
次の連立方程式を解きなさい。
2x－3 y＝2 …!
① 
4x＋3 y＝22 …"
…!
2x＋3 y＝6
② 
－2x－5 y＝－14 …"
係数の絶対値が同じで
異符号のときたす
係数の絶対値が同じで
異符号のときたす
2x－3y＝ 2
＋ 4x＋3y＝22
6x
＝24
x＝4 x＝4は!または
2x＋3y＝
6
＋ －2x－5y＝－14
－2y＝－8
y＝4 y＝4は!または
"のxに代入
x＝4を!のxに代入すると
2×4－3y＝2
8－3y＝2
－3y＝2－8
－3y＝－6
x＝4
y＝2
y＝2
"のyに代入
y＝4を!のyに代入すると
2x＋3×4＝6
2x＋12＝6
2x＝6－12
2x＝－6
x＝－3
x＝－3
y＝4
ポイント
係数の絶対値が同じで、符号が異なるとき2つの式をたす
2x－3y＝ 2
＋ 4x＋3y＝22
2x＋3y＝
6
－2x－5y＝－14
＋
例２
加減法(２)
次の連立方程式を解きなさい。
6x＋2 y＝－4 …!
① 
6x－y＝11 …"
係数の絶対値が同じで
同符号のときひく
6x＋2y＝－4
－ 6x－ y＝ 11
y＝－5は!または
"のyに代入
下の段の符号を
反対にする
6x＋2y＝ －4
－6x＋
y＝－11
＋
3y＝－15
y＝－5
y＝－5を!のyに代入すると
6x＋2×(－5)＝－4
6x－10＝－4
6x＝－4＋10
6x＝6
x＝1
x＝1
y＝－5
x－3 y＝9 …!
② 
4x－3 y＝18 …"
係数の絶対値が同じで
同符号のときひく
x－3y＝ 9
4x－3y＝18
－
x＝3は!または
"のxに代入
下の段の符号を
反対にする
9
x－3y＝
－4x＋3y＝－18
＋
－3x
＝ －9
x＝3
x＝3を!のxに代入すると
3－3y＝9
－3y＝9－3
－3y＝6
x＝3
y＝－2
y＝－2
ポイント
係数の絶対値が同じで、符号が同じとき2つの式をひく下の段の符号を反対にしてたす
9
6x＋2y＝－4
6x＋2y＝ －4
x－3y＝
x－3y＝ 9
－ 6x－ y＝ 11
＋ －6x＋ y＝－11
－ 4x－3y＝18
＋ －4x＋3y＝－18
第２章
練習１
次の連立方程式を解きなさい。
4 x－y＝3
① 
－2x＋y＝1
練習２
連立方程式
3x＋2 y＝－5
② 
－6x－2 y＝14
3x－y＝1
③ 
－3x＋4 y＝－13
次の連立方程式を解きなさい。
2x＋4 y＝－4
① 
5x＋4 y＝14
－2x＋5 y＝－1
② 
－2x－3 y＝－9
37
38
第２章
連立方程式
確 認 問 題 2-1-Ａ
1 次の連立方程式を解きなさい。
x－3 y＝－10
① 
－x＋5 y＝14
－6x＋2 y＝10
② 
3x－2 y＝－13
2 次の連立方程式を解きなさい。
4x＋3 y＝－6
① 
2x＋3 y＝－12
p 36 例１
p 36 例２
(20点 × 3＝ 60点 )
2x－3 y＝1
③ 
3x＋3 y＝－36
(20点 × 2＝ 40点 )
－x－2 y＝－5
② 
－x＋4 y＝25
点
第２章
連立方程式
確 認 問 題 2-1-Ｂ
1 次の連立方程式を解きなさい。
－5x－y＝－11
① 
－2x＋y＝－10
－2x－3 y＝－9
② 
2x＋4 y＝16
2 次の連立方程式を解きなさい。
－4x＋6 y＝10
① 
－4x＋y＝－5
p 36 例１
p 36 例２
(20点 × 3＝ 60点 )
3x＋5 y＝－8
③ 
－3x－y＝－8
(20点 × 2＝ 40点 )
－2x＋2 y＝8
② 
－5x＋2 y＝23
点
39
40
第２章
連立方程式
２
例１
連 立 方 程 式 の 解 き 方( ２)
加減法(３)
次の連立方程式を解きなさい。
×２
6x＋2y＝18 …#
3x＋y＝9 …!
① 
yの係数の絶対値を
5x－2 y＝4 …"
同じにする
#＋"
6x＋2y＝18
＋ 5x－2y＝ 4
11x
＝22
x＝2
係数の絶対値が同じで
異符号のときたす
x＝2は!または
"のxに代入
x＝2を!のxに代入すると
3×2＋y＝9
6＋y＝9
y＝9－6
y＝3
x＝2
y＝3
例２
xの係数の絶対値を
2x＋3 y＝5 …!
同じにする
② 
×２
2x－4y＝12 …#
x－2 y＝6 …"
!－#
2x＋3y＝5
－ 2x－4y＝12
係数の絶対値が同じで
同符号のときひく
2x＋3y＝5
＋ －2x＋4y＝－12
7y＝－7
y＝－1
下の段の符号を
反対にする
y＝－1は!または
"のyに代入
y＝－1を"のyに代入すると
x－2×(－1)＝6
x＋2＝6
x＝6－2 x＝4
y＝－1
x＝4
加減法(４)
次の連立方程式を解きなさい。
2x－5 y＝9

3x＋2 y＝4
xの係数の絶対値を
同じにする
yの係数の絶対値を
同じにする
2x－5 y＝9…!

3x＋2 y＝4…"
×２
×５
#＋$
4x－10y＝18
15x＋10y＝20
＋
19x
＝38
x＝2
4x－10y＝18 …#
15x＋10y＝20…$
係数の絶対値が同じで
異符号のときたす
x＝2は!または
"のxに代入
x＝2を"のxに代入すると
3×2＋2y＝4
6＋2y＝4
2y＝4－6
2y＝－2
x＝2
y＝－1
y＝－1
2x－5 y＝9 …!

3x＋2 y＝4 …"
×３
×２
#－$
6x－15y＝27
－ 6x＋4y＝8
6x－15y＝27…#
6x＋4y＝8
…$
係数の絶対値が同じで
同符号のときひく
6x－15y＝ 27
＋ －6x－ 4y＝－8
－19y ＝19
y＝－1
下の段の符号を
反対にする
y＝－1は!または
"のyに代入
y＝－1を"のyに代入すると
3x＋2×(－1)＝4
3x－2＝4
3x＝4＋2
3x＝6
x＝2
x＝2
y＝－1
第２章
練習１
次の連立方程式を解きなさい。
2x＋5 y＝1
① 
－x＋4 y＝－7
練習２
連立方程式
2x＋5 y＝4
② 
3x＋y＝－7
4x＋y＝7
③ 
－2x＋5 y＝－9
次の連立方程式を解きなさい。
5x－2 y＝7
① 
2x－3 y＝－6
3x＋5 y＝－11
② 
2x－3 y＝－1
2x＋3 y＝－9
③ 
－3x－4 y＝11
41
42
第２章
例３
連立方程式
複雑な連立方程式
次の連立方程式を解きなさい。
x－y＝3 y＋12

－2x＋5 y＋12＝－6
…!
x－y＝3 y＋12

－2x＋5 y＋12＝－6…"
#×2＋$
2x－8y＝24
－2x＋5y＝－18
＋
－3y ＝6
y＝－2
x－y－3y＝12
x－4y＝12
－2x＋5y＝－6－12
－2x＋5y＝－18 …$
…#
係数の絶対値が同じで
異符号のときたす
y＝－2は#または
$のyに代入
y＝－2を#のyに代入すると
x－4×(－2)＝12
x＋8＝12
x＝4
x＝12－8
y＝－2
x＝4
例４
Ａ＝Ｂ＝Ｃの連立方程式
次の連立方程式を解きなさい。
5x－ 3y＝ － 9x＋ 4y＝ x－ 4
5x－ 3y＝ － 9x＋ 4y＝ x－ 4
A
B
C
A ＝ B … 5x－ 3y＝ － 9x＋ 4y
このうちの2つを使う
B ＝ C … － 9x＋ 4y＝ x－ 4
A ＝ C … 5x－ 3y＝ x－ 4
A＝CとB＝Cを使うと
5x－3 y＝x－4 …!

－9x＋4 y＝x－4 …"
…#
5x－3y－x＝－4
4x－3y＝－4
－9x＋4y－x＝－4
－10x＋4y＝－4 …$
#×4＋$×3
16x－12y＝－16 係数の絶対値が同じで
異符号のときたす
－30x＋12y＝－12
＋
－14x＝－28
x＝2
x＝2は#または
$のxに代入
x＝2を#のxに代入すると
4×2－3y＝－4
8－3y＝－4
－3y＝－4－8
x＝2
－3y＝－12
y＝4
y＝4
第２章
練習３
次の連立方程式を解きなさい。
3(x－2)＋y＝－5
②
8x＋2( y＋5)＝10
4 x－8 y＝2 y－8
①
－x＋7 y＝4 x－1
練習４
連立方程式
次の連立方程式を解きなさい。
① 3x＋ 7y＝ x＋ 2y＝ 1
② 4x－ 8y＝ 3x－ 12y＋ 14＝ x＋ 2
43
44
第２章
連立方程式
確 認 問 題 2-2-Ａ
1 次の連立方程式を解きなさい。
x＋2 y＝4
① 
2x＋3 y＝5
2 次の連立方程式を解きなさい。
 x－2 y＝－2 x－2
① 
6 x－2 y＝1＋3 y
p 40 例１
例２
(25点 × 2＝ 50点 )
3x－4 y＝18
② 
2x＋3 y＝－5
p 42 例３
例４
(25点 × 2＝ 50点 )
② x－ 6y＝ － 2x＋ 9y＝ － 1
点
第２章
連立方程式
確 認 問 題 2-2-Ｂ
1 次の連立方程式を解きなさい。
4x＋5 y＝7
① 
－x－2 y＝－4
2 次の連立方程式を解きなさい。
2(x－3 y )＝20
① 
－3( y－2x )＝0
p 40 例１
例２
(25点 × 2＝ 50点 )
3x－4 y＝10
② 
2x＋3 y＝18
p 42 例３
例４
(25点 × 2＝ 50点 )
② 3x－ 7y＋ 14＝ x－ y＝ － 2x＋ 3
点
45
46
第２章
連立方程式
３
連 立 方 程 式 の 解 き 方( ３)
例１
加減法(５)
次の連立方程式を解きなさい。
x＋y＝10 …!

① x y
 2 ＋ 3 ＝4 …"
×２
2x＋2y＝20 …#
×６
3x＋2y＝24 …$
#－$
2x＋2y＝20
－ 3x＋2y＝24
yの係数の絶対値を
同じにする
係数の絶対値が同じで
同符号のときひく
2x＋2y＝20
下の段の符号を
反対にする
－3x－2y＝－24
＋
－x
＝－4
x＝4 x＝4は!"#$
どれかのxに代入
x＝4を!のxに代入すると
4＋y＝10
y＝10－4
x＝4
y＝6
y＝6
練習１
次の連立方程式を解きなさい。
x＋y＝14

① x y
 3 ＋ 6 ＝3
 x y 3 …!×１２ 4x＋3y＝36 …#
 3＋4＝
② 
 x － y ＝1 …" ×２ x－y＝2 …$
2 2
×３
3x－3y＝6 …%
#＋%
4x＋3y＝36
＋ 3x－3y＝ 6
7x
＝42
x＝6
yの係数の絶対値を
同じにする
係数の絶対値が同じで
異符号のときたす
x＝6は!"#$%の
どれかのxに代入
x＝6を$のxに代入すると
6－y＝2
－y＝2－6
－y＝－4
x＝6
y＝4
y＝4
第２章
x＋y＝9

② x y
 4 ＋ 6 ＝2
x y 3
 3＋4＝
③ 
 x － y ＝1
2 2
連立方程式
47
48
第２章
例２
連立方程式
加減法(６)
次の連立方程式を解きなさい。
×３
×５
x＋y＝60
x＋y＝150
5x＋5y＝750 …#
3x＋3y＝180…#
…!
…!
①
②
×１０
×100
0.2
x
－
0.3
y
2
0.1
x
－
0.05
y
3
…
…
…
2x－3y＝20
10x－5y＝300…$
＝ "
＝ "
$


#＋$
3x＋3y＝180
＋ 2x－3y＝ 20
5x
＝200
x＝40
練習２
yの係数の絶対値を
同じにする
係数の絶対値が同じで
異符号のときたす
x＝40は!"#$の
どれかのxに代入
#＋$
yの係数の絶対値を
同じにする
5x＋5y＝750 係数の絶対値が同じで
＋ 10x－5y＝300 異符号のときたす
15x
＝1050
x＝70 x＝70は!"#$の
どれかのxに代入
x＝40を!のxに代入すると
40＋y＝60
y＝60－40
y＝20
x＝40
x＝70を!のxに代入すると
70＋y＝150
y＝150－70
y＝80
x＝70
y＝20
y＝80
次の連立方程式を解きなさい。
x＋y＝80
① 
0.3x－0.2 y＝－6
第２章
x＋y＝100
② 
0.2x＋0.15y＝16
1.2x－0.3 y＝0.3
③ 
－0.5x＋0.2 y＝0.1
連立方程式
49
50
第２章
連立方程式
確 認 問 題 2-3-Ａ
1 次の連立方程式を解きなさい。
x＋y＝10

① x y
 4 － 3 ＝－1
2 次の連立方程式を解きなさい。
x＋y＝4
① 
0.3x＋0.5 y＝－1
p 46 例１
(25点 × 2＝ 50点 )
 x － y ＝5
2 3
② 
 x － y ＝5
3 2
p 48 例２
(25点 × 2＝ 50点 )
0.5x－0.4 y＝－2
② 
2x＋1.2 y＝20
点
第２章
確 認 問 題 2-3-Ｂ
1 次の連立方程式を解きなさい。
x－y＝4

① x y
 2 ＋ 6 ＝6
2 次の連立方程式を解きなさい。
x＋y＝30
① 
0.7x－0.3y＝1
p 46 例１
(25点 × 2＝ 50点 )
 x ＋ y ＝2
4 3
② 
 x － y ＝－7
2 4
p 48 例２
(25点 × 2＝ 50点 )
0.6x－0.4 y＝－1
② 
0.4x＋y＝－3.2
連立方程式
点
51
52
第２章
連立方程式
４
例１
連 立 方 程 式 の 解 き 方( ４)
代入法(１)
次の連立方程式を解きなさい。
 y＝2x－3 …!
① 
4x－y＝－1…"
2x－3 y＝4…!
② 
x＝4 y－3 …"
4x－ y ＝－1に y＝2x－3を代入
y＝ 2x－3
例２
2 x －3y＝4に x＝4y－3を代入
x＝ 4y－3
注 かっこをつける
注 かっこをつける
4x－(2x－3)＝－1
4x－2x＋3＝－1
4x－2x＝－1－3
2x＝－4
x＝－2
x＝－2を!のxに代入
2(4y－3)－3y＝4
8y－6－3y＝4
8y－3y＝4＋6
5y＝10
y＝2
y＝2を"のyに代入
y＝2×(－2)－3
y＝－4－3
x＝－2
y＝－7
y＝－7
x＝4×2－3
x＝8－3
x＝5
x＝5
y＝2
代入法(２)
次の連立方程式を解きなさい。
 y＝5x－2 …!
① 
 y＝2x＋4 …"
y ＝2x＋4に y＝5x－2を代入
y＝ 5x－2
 y＝ 1 x＋3 …!

2
② 
 y＝ 3 x＋4 …"
4

3
1
y ＝ x＋4に y＝ x＋3を代入
4
2
!の右辺＝"の右辺とする
5x－2＝2x＋4
5x－2x＝4＋2
3x＝6
x＝2
x＝2を!(または")のxに代入
y＝5×2－2
y＝10－2
x＝2
y＝8
y＝8
y＝
1
!の右辺＝"の右辺とする
x＋3
2
1 x＋3＝ 3 x＋4
4
2
両辺に4をかける
2x＋12＝3x＋16
2x－3x＝16－12
－x＝4
x＝－4
x＝－4を!(または")のxに代入
1
y＝ ×(－4)＋3
2
y＝－2＋3
x＝－4
y＝1
y＝1
第２章
練習１
次の連立方程式を解きなさい。
 y＝4 x－3
① 
－2x＋y＝1
練習２
連立方程式
－x＋3 y＝18
② 
x＝－2 y＋7
2x－3 y＝－3
③ 
 y＝3x－13
次の連立方程式を解きなさい。
 y＝－x＋15
① 
 y＝2x－9
 y＝ 2 x－1

3
② 
 y＝－ 1 x＋4
6

53
54
第２章
連立方程式
確 認 問 題 2-4-Ａ
1 次の連立方程式を解きなさい。
x＝2 y＋2
① 
x－5 y＝11
3x－y＝16
② 
 y＝4x－22
2 次の連立方程式を解きなさい。
 y＝－x＋4
① 
 y＝－3x＋22
p 52 例１
p 52 例２
(25点 × 2＝ 50点 )
2x＋5 y＝4
③ 
x＝－3 y＋4
(25点 × 2＝ 50点 )
 y＝ 4 x＋2

3
② 
 y＝－ 1 x－7
6

点
第２章
連立方程式
確 認 問 題 2-4-Ｂ
1 次の連立方程式を解きなさい。
 y＝4 x－3
① 
－5x＋y＝－6
(25点 × 2＝ 50点 )
－x＋2 y＝－7
5x－2 y＝2
② 
③ 
x＝－6 y－1
 y＝4 x＋2
2 次の連立方程式を解きなさい。
 y＝2x－10
① 
 y＝－x＋11
p 52 例１
p 52 例２
(25点 × 2＝ 50点 )
 y＝ 3 x－17

4
② 
 y＝－ 5 x＋22
2

点
55
56
第２章
連立方程式
５
例１
連 立 方 程 式 の 利 用( １)
解を代入して係数を求める
次 の 連 立 方 程 式 の 解 が x＝ － 3， y＝ 5の と き a， bの 値 を 求 め な さ い 。
2ax ＋by ＝9

ax －by ＝－18
解がx＝－3，y＝5だから、上の連立方程式にx＝－3，y＝5を代入
解は代入してよい
－6a＋5b＝9
…!
－3a－5b＝－18…"
!＋"
a＝1を!のaに代入して
－6×1＋5b＝9
－6＋5b＝9
－6a＋5b＝9
－3a－5b＝－18
＋
－9a
＝－9
a＝1
5b＝9＋6
5b＝15
a＝1
答 b＝3
b＝3
例２
同じ解を持つ連立方程式
次 の ２ つ の 連 立 方 程 式 が 同 じ 解 を 持 つ と き a， bの 値 を 求 め な さ い 。
2bx－ay ＝22 …!
A 
2x＋6 y＝－6 …"
3x＋4 y＝1 …#
B 
2ax －by＝18…$
a，bの入っていない"と#を連立方程式で解く
2x＋6y＝－6 …"
3x＋4y＝1 …#
" ×3－ # ×2
6x＋18y＝－18
－ 6x＋ 8y＝2
10y＝－20
x＝3，y＝－2を!と$に代入して
6b＋2a＝22
6a＋2b＝18
y＝－2
y＝－2を"または#のyに代入して
2x＋6×(－2)＝－6
2x－12＝－6
2x＝－6＋12
2x＝6
x＝3
x＝3
y＝－2
解は代入してよい
2a＋6b＝22…! '
6a＋2b＝18…$ '
! '×3－ $ '
6a＋18b＝66
－ 6a＋ 2b＝18
16b＝48
b＝3
b＝3を ! 'または $ ' のbに代入して
2a＋6×3＝22
2a＋18＝22
2a＝22－18
2a＝4
a＝2
a＝2
答 b＝3
第２章
練習１
連立方程式
次 の 連 立 方 程 式 の 解 が x＝ 5， y＝ 6の と き a， bの 値 を 求 め な さ い 。
ax －3by＝2

2ax ＋by＝46
練習２
次 の ２ つ の 連 立 方 程 式 が 同 じ 解 を 持 つ と き a， bの 値 を 求 め な さ い 。
2ax ＋3by ＝4
A 
4x＋3 y＝4
－2x＋5 y＝24
B 
ax －2by＝－26
57
58
第２章
連立方程式
確 認 問 題 2-5-Ａ
点
1 次 の 連 立 方 程 式 の 解 が x＝ 5 ， y＝ 6 の と き a， bの 値 を 求 め な さ い 。
p 56 例１ (50 点 × 1＝ 50 点 )
2ax ＋by ＝－2

bx －ay ＝－16
2 次 の ２ つ の 連 立 方 程 式 が 同 じ 解 を 持 つ と き a， bの 値 を 求 め な さ い 。
p 56 例２ (50点 × 1＝ 50点 )
bx ＋ay ＝－14
A 
2x＋3 y＝－6
5x＋4 y＝20
B 
3ax ＋2by ＝4
第２章
確 認 問 題 2-5-Ｂ
連立方程式
59
点
1 次 の 連 立 方 程 式 の 解 が x＝ 2 ， y＝ － 3 の と き a， bの 値 を 求 め な さ い 。
p 56 例１ (50点 × 1 ＝ 50点 )
ax －by＝－4

5bx－ay ＝5
2 次 の ２ つ の 連 立 方 程 式 が 同 じ 解 を 持 つ と き a， bの 値 を 求 め な さ い 。
p 56 例２ (50点 × 1＝ 50点 )
bx －ay ＝－10
A 
5x－3 y＝2
4x－5 y＝－14
B 
3ax －4by＝－12
60
６
例１
第２章
連立方程式
連 立 方 程 式 の 利 用( ２)
代金や個数に関する連立方程式(１)
み か ん 5個 と り ん ご 4個 を 買 う と 630円 で 、 み か ん 3個 と り ん ご を 6個 買 う と 810円 に な り
ま す 。 み か ん 1個 と り ん ご 1個 の 値 段 を 求 め な さ い 。
みかん1個x円，りんご1個y円とする 求めるものをx，yにする
5x＋4y＝630 …!
3x＋6y＝810…"
＋
! ×3－ " ×2
15x＋12y＝1890
－ 6x＋12y＝1620
9x＝270
x＝30
x＝30を!または"のxに代入
5×30＋4y＝630
150＋4y＝630
4y＝630－150
4y＝480
y＝120
例２
＝630円
＋
＝810円
みかん…30円
答 りんご…120円
代金や個数に関する連立方程式(２)
1本 20円 の 鉛 筆 と 1本 30円 の ボ ー ル ペ ン を 合 わ せ て 20本 買 っ た ら 、 そ の 代 金 が 480
円でした。鉛筆とボールペンをそれぞれ何本ずつ買いましたか。
鉛筆をx本，ボールペンをy本買ったとする 求めるものをx，yにする
…!
x＋y＝20
20x＋30y＝480…"
本数は20本
代金は840円
! ×30－ "
30x＋30y＝600
－ 20x＋30y＝480
10x＝120
x＝12
x＝12を!または"のxに代入
12＋y＝20
y＝20－12
y＝8
鉛筆…12本
答 ボールペン…8本
第２章
練習１
連立方程式
61
次の各問いに答えなさい。
① ノ ー ト を 4 冊 と 消 し ゴ ム を 3 個 買 う と 290円 で 、 同 じ ノ ー ト を 2冊 と 消 し ゴ ム を 5個 買 う と
250円 に な り ま す 。 ノ ー ト 1冊 と 消 し ゴ ム 1個 の 値 段 を 求 め な さ い 。
② 大 型 ト ラ ッ ク 3台 と 小 型 ト ラ ッ ク 5台 で 22ト ン の 荷 物 が 運 べ 、 大 型 ト ラ ッ ク 4台 と 小 型 ト
ラ ッ ク 3台 で も 2 2ト ン の 荷 物 が 運 べ ま す 。 大 型 ト ラ ッ ク 1台 と 小 型 ト ラ ッ ク 1台 で は 何 ト ン
の荷物が運べますか。
練習２
次の連立方程式を解きなさい。
① 1 本 5 0 円 の 鉛 筆 と 1 本 9 0 円 の ボ ー ル ペ ン を 合 わ せ て 12本 買 っ た ら 、 そ の 代 金 が 7 6 0 円
でした。鉛筆とボールペンをそれぞれ何本ずつ買いましたか。
② バ ス ケ ッ ト ボ ー ル で 2点 シ ュ ー ト と 3点 シ ュ ー ト が 合 わ せ て 30本 入 り 、 得 点 は 70点 で し
た 。 2点 シ ュ ー ト と 3点 シ ュ ー ト は そ れ ぞ れ 何 本 ず つ 入 り ま し た か 。
62
第２章
連立方程式
確 認 問 題 2-6-Ａ
点
p 60 例１ (25点 × 2＝ 50点 )
① サ ン マ を 3匹 と イ ワ シ を 6匹 買 う と 360円 で 、 同 じ サ ン マ を 4匹 と イ ワ シ を 2匹 買 う と 360
円 に な り ま す 。 サ ン マ 1匹 と イ ワ シ 1匹 の 値 段 を 求 め な さ い 。
1 次の連立方程式を解きなさい。
② 大 き い ペ ッ ト ボ ト ル 5本 と 小 さ い ペ ッ ト ボ ト ル 2本 に 17Ｌ の 水 が 入 り 、 大 き い ペ ッ ト ボ
ト ル 6本 と 小 さ い ペ ッ ト ボ ト ル 3本 に 21Ｌ の 水 が 入 り ま す 。 大 き い ペ ッ ト ボ ト ル 1本 と 小
さ い ペ ッ ト ボ ト ル 1本 に は そ れ ぞ れ 何 Ｌ の 水 が 入 り ま す か 。
2 次の連立方程式を解きなさい。
p 60 例２
(25点 × 2＝ 50点 )
① 10円 玉 と 50円 玉 が 合 わ せ て 1 4枚 あ り 、 金 額 の 合 計 は 540円 で す 。 10 円 玉 と 5 0円 玉
はそれぞれ何枚ずつありますか。
② 男 子 と 女 子 合 わ せ て 15 人 で 、 男 子 が 1 人 6ｋ ｇ 、 女 子 が 1人 4ｋ ｇ の 荷 物 を 運 ん だ ら 、
全 部 で 76ｋ ｇ の 荷 物 が 運 べ ま し た 。 男 子 と 女 子 は 何 人 ず つ い ま し た か 。
第２章
確 認 問 題 2-6-Ｂ
連立方程式
63
点
p 60 例１ (25点 × 2＝ 50点 )
① み か ん を 3個 と な し を 5 個 買 う と 8 4 0 円 で 、 同 じ み か ん を 9 個 と な し を 2 個 買 う と 5 7 0 円
に な り ま す 。 み か ん 1個 と な し 1個 の 値 段 を 求 め な さ い 。
1 次の連立方程式を解きなさい。
② 大 き い テ ー ブ ル 4台 と 小 さ い テ ー ブ ル 2台 で 20人 が 座 れ 、 大 き い テ ー ブ ル 3台 と 小
さ い テ ー ブ ル 7台 で 26人 が 座 れ ま す 。 大 き い テ ー ブ ル 1台 と 小 さ い テ ー ブ ル 1台 に は
それぞれ何人座れますか。
2 次の連立方程式を解きなさい。
p 60 例２
(25点 × 2＝ 50点 )
① 1 本 2 0円 の き ゅ う り と 1 本 3 0 円 の に ん じ ん を 合 わ せ て 9本 買 っ た ら 、 そ の 代 金 が 2 0 0 円
でした。きゅうりとにんじんをそれぞれ何本ずつ買いましたか。
② あ る 旅 館 に は 5 人 が 泊 ま れ る 部 屋 と 8人 が 泊 ま れ る 部 屋 が 合 わ せ て 20 室 あ り 、 全 部
で 118人 が 泊 ま れ ま す 。 5人 部 屋 と 8人 部 屋 は そ れ ぞ れ 何 室 ず つ あ り ま す か 。
64
第２章
７
連立方程式
連 立 方 程 式 の 利 用( ３)
例１
2けたの整数に関する連立方程式
2け た の 整 数 が あ る 。 十 の 位 の 数 と 一 の 位 の 数 の 和 は 9で 、 十 の 位 の 数 と 一 の 位 の
数 を 入 れ か え て で き る 整 数 は も と の 整 数 よ り 45小 さ い と い う 。 も と の 2け た の 整 数 を
求めなさい。
2けたの整数の十の位の数をx，一の位の数をy とする 求めるものをx，yにする
x＋y＝9 …!
10y＋x＝10x＋y－45…"
"より
10y＋x－10x－y＝－45
－9x＋9y＝－45 …"'
! ×9＋ " '
9x＋9y＝81
＋ －9x＋9y＝－45
18y＝36
y＝2
十の位の数と一の位の数の和が9
正しい
x＋y＝9
正しくない
10x＋y＝9
y＝2を!のyに代入
x＋2＝9
x＝9－2
x＝7
答 72
ポイント
十 の 位 の 数 が x、 一 の 位 の 数 が yで あ る 2け た の 整 数
 十の位の数…x
 一の位の数…y
 も と の 2け た の 整 数 … 10x＋ y
 十 の 位 と 一 の 位 を 入 れ か え た 整 数 … 10y＋ x
練習１
次の各問いに答えなさい。
① 2け た の 整 数 が あ る 。 十 の 位 の 数 と 一 の 位 の 数 の 和 は 12で 、 十 の 位 の 数 と 一 の 位 の
数 を 入 れ か え て で き る 整 数 は も と の 整 数 よ り 18大 き い と い う 。 も と の 2け た の 整 数 を 求
めなさい。
第２章
連立方程式
65
② 2け た の 整 数 が あ る 。 十 の 位 の 数 と 一 の 位 の 数 の 和 は 10で 、 十 の 位 の 数 と 一 の 位 の
数 を 入 れ か え て で き る 整 数 は も と の 整 数 よ り 5 4小 さ い と い う 。 も と の 2 け た の 整 数 を 求
めなさい。
③ 2け た の 整 数 が あ る 。 十 の 位 の 数 は 一 の 位 の 数 の 2倍 よ り 1大 き く 、 十 の 位 の 数 と
一 の 位 の 数 を 入 れ か え て で き る 整 数 は も と の 整 数 よ り 27小 さ い と い う 。 も と の 2け た の
整数を求めなさい。
66
第２章
例２
連立方程式
割合に関する連立方程式（１）
あ る ク ラ ス の 生 徒 数 は 男 女 合 わ せ て 40人 で 、 男 子 の 80％ と 女 子 の 40％ が メ ガ ネ を
か け て い る 。 メ ガ ネ を か け て い る 生 徒 の 人 数 が 24 人 の と き 、 男 子 の 生 徒 数 と 女 子 の
生徒数を求めなさい。
男子の生徒数をx人，女子の生徒数をy 人 とする
x＋y＝40…!
0.8x＋0.4y＝24…"
! ×8－ " ×10
8x＋8y＝320
－ 8x＋4y＝240
4y＝80
y＝20
y＝20を!のyに代入
x＋20＝40
x＝40－20
x＝20
例３
男子…20人
答 女子…20人
割合に関する連立方程式（２）
あ る ク ラ ブ の 去 年 の 人 数 は 25人 で 、 今 年 は 男 子 が 20％ 減 少 し 、 女 子 が 10％ 増 加 し
た の で 全 体 で 2人 減 少 し た 。 今 年 の 男 子 の 人 数 と 女 子 の 人 数 を 求 め な さ い 。
去年の男子をx人，女子をy 人 とする
x＋y＝25…!
0.8x＋1.1y＝23…"
! ×8－ " ×10
8x＋ 8y＝200
－ 8x＋11y＝230
－3y＝－30
y＝10
y＝10を!のyに代入
x＋10＝25
x＝25－10
x＝15
普通は求めるものをx，yにするが
この種の問題では去年をx，yにする
男子
女子
全体
去年
x
y
25
今年
0.8x
1.1y
23
去年の0.8倍 去年の1.1倍
去年の80％
去年の110％
20％減少
10％増加
今年の男子は 15×0.8＝12
今年の女子は 10×1.1＝11
ポイント
割合の考え方
 10％ 増 加 ＝ も と の (100＋ 10)％ ＝ も と の 110％ ＝ × 1.1
 20％ 減 少 ＝ も と の (100－ 20)％ ＝ も と の 80％ ＝ × 0.8
男子…12人
答 女子…11人
第２章
練習２
連立方程式
67
次の各問いに答えなさい。
① Ａ 中 学 校 の 生 徒 の 人 数 は 男 女 合 わ せ て 300人 で あ る 。 そ の う ち 、 男 子 の 30％ と 女 子
の 20％ は 自 転 車 通 学 で あ り 、 そ の 人 数 の 合 計 は 78人 で あ る 。 Ａ 中 学 校 の 男 子 の 人
数と女子の人数を求めなさい。
② ス ー パ ー で り ん ご 4個 と み か ん 10個 を 買 っ た 。 代 金 は 定 価 で 買 う と 900円 に な る と
こ ろ 、 り ん ご が 定 価 の 60％ 、 み か ん が 定 価 の 70％ に な っ て い た た め 、 支 払 っ た 代 金
は 570円 に な っ た 。 り ん ご 1個 の 定 価 と み か ん 1個 の 定 価 を 求 め な さ い 。
練習３
次の各問いに答えなさい。
① あ る ク ラ ブ の 去 年 の 人 数 は 3 0 人 で 、 今 年 は 男 子 が 3 0 ％ 増 加 し 、 女 子 が 2 0％ 減 少 し
た の で 全 体 で 1人 減 少 し た 。 今 年 の 男 子 の 人 数 と 女 子 の 人 数 を 求 め な さ い 。
② あ る 工 場 で 先 月 生 産 し た 車 と バ イ ク の 合 計 は 100台 で あ っ た 。 今 月 は 車 が 10％ 増 加
し 、 バ イ ク が 20％ 増 加 し た の で 全 体 で 14台 増 加 し た 。 今 月 生 産 し た 車 と バ イ ク の 台
数を求めなさい。
68
第２章
例４
連立方程式
速さに関する連立方程式
Ａ 町 か ら 120ｋ ｍ 離 れ た Ｂ 町 ま で 行 く の に 、 初 め は 時 速 20ｋ ｍ の バ ス に 乗 り 、 後 は 時
速 50ｋ ｍ の 電 車 に 乗 っ た ら 3時 間 か か っ た 。 バ ス に 乗 っ た 道 の り と 電 車 に 乗 っ た 道
のりを求めなさい。
バスに乗った道のりをx ｋｍ，電車に乗った道のりをy ｋｍとする 求めるものをx，yにする
x＋y＝120…!
y
x
＋ ＝3…"
20 50
" ×100
5x＋2y＝300…"'
! ×5－ " '
5x＋5y＝600
－ 5x＋2y＝300
3y＝300
y＝100
バス
電車
全体
道のり（ｋｍ）
x
y
120
速さ（ｋｍ/ｈ）
20
50
時間（時間）
x
20
y
50
3
ミ
道のり
ハ ジ 時間＝ 速さ
y＝100を!のyに代入
x＋100＝120
x＝120－100
x＝20
バスに乗った道のり…20ｋｍ
答 電車に乗った道のり…100ｋｍ
ポイント
道のり・速さ・時間の関係
 道のり＝速 さ×時
間
 速
さ＝道のり÷時
道のり
間＝
時間
 時
間＝道のり÷速
さ＝
練習４
道のり
速さ
ミ
ハ ジ
次の各問いに答えなさい。
① Ａ 町 か ら 105ｋ ｍ 離 れ た Ｂ 町 ま で 行 く の に 、 初 め は 時 速 30ｋ ｍ の バ ス に 乗 り 、 後 は 時
速 60ｋ ｍ の 電 車 に 乗 っ た ら 2時 間 か か っ た 。 バ ス に 乗 っ た 道 の り と 電 車 に 乗 っ た 道 の
りを求めなさい。
第２章
連立方程式
69
② 家 か ら 800ｍ 離 れ た 駅 へ 行 く の に 、 初 め は 分 速 150ｍ の 速 さ の 自 転 車 で 行 き 、 自 転
車 を お り た 後 は 分 速 5 0ｍ の 速 さ で 歩 い た ら 6分 か か っ た 。 自 転 車 に 乗 っ た 道 の り と 歩
いた道のりを求めなさい。
③ Ａ 村 か ら Ｂ 山 を 通 っ て Ｃ 村 ま で 5 ｋ ｍ あ る 。 Ａ 村 か ら Ｂ 山 ま で は 時 速 2ｋ ｍ の 速 さ で 歩 き 、
Ｂ 山 か ら Ｃ 村 ま で は 時 速 6ｋ ｍ の 速 さ で 歩 い た ら 1時 間 30分 か か っ た 。 Ａ 村 か ら Ｂ 山 ま
で と Ｂ山 か ら Ｃ村 ま で の 道 の り を 求 め な さ い 。
70
第２章
連立方程式
確 認 問 題 2-7-Ａ
点
p 64 例１ (25点 × 1＝ 25点 )
① 2け た の 整 数 が あ る 。 十 の 位 の 数 と 一 の 位 の 数 の 和 は 11で 、 十 の 位 の 数 と 一 の 位
の 数 を 入 れ か え て で き る 整 数 は も と の 整 数 よ り 9小 さ い と い う 。 も と の 2け た の 整 数 を
求めなさい。
1 次の連立方程式を解きなさい。
2 次の連立方程式を解きなさい。
p 66 例２
3 次の連立方程式を解きなさい。
p 66 例３
4 次の連立方程式を解きなさい。
p 68 例４
(25点 × 1＝ 25点 )
① ノ ー ト 2 冊 と 鉛 筆 5 本 を 買 っ た 。 代 金 は 定 価 で 買 う と 50 0円 に な る と こ ろ 、 ノ ー ト が 定
価 の 70％ 、 鉛 筆 が 定 価 の 90％ に な っ て い た た め 、 支 払 っ た 代 金 は 390円 に な っ た 。
ノ ー ト 1冊 の 定 価 と 鉛 筆 1本 の 定 価 を 求 め な さ い 。
(25点 × 1＝ 25点 )
① あ る ク ラ ブ の 去 年 の 人 数 は 40人 で 、 今 年 は 男 子 が 10％ 減 少 し 、 女 子 が 30％ 増 加
し た の で 全 体 で 4人 増 加 し た 。 今 年 の 男 子 と 女 子 の 人 数 を 求 め な さ い 。
(25点 × 1＝ 25点 )
① Ａ 町 か ら 30ｋ ｍ 離 れ た Ｂ 町 ま で 行 く の に 、 初 め は 時 速 20ｋ ｍ の バ ス に 乗 り 、 後 は 時
速 40ｋ ｍ の 電 車 に 乗 っ た ら 1時 間 か か っ た 。 バ ス に 乗 っ た 道 の り と 電 車 に 乗 っ た 道
のりを求めなさい。
第２章
確 認 問 題 2-7-Ｂ
連立方程式
71
点
p 64 例１ (25点 × 1＝ 25点 )
① 2け た の 整 数 が あ る 。 十 の 位 の 数 と 一 の 位 の 数 の 和 は 12で 、 十 の 位 の 数 と 一 の 位
の 数 を 入 れ か え て で き る 整 数 は も と の 整 数 よ り 54大 き い と い う 。 も と の 2け た の 整 数
を求めなさい。
1 次の連立方程式を解きなさい。
2 次の連立方程式を解きなさい。
p 66 例２
3 次の連立方程式を解きなさい。
p 66 例３
4 次の連立方程式を解きなさい。
p 68 例４
(25点 × 1＝ 25点 )
① あ る ク ラ ス の 生 徒 数 は 男 女 合 わ せ て 3 6 人 で あ る 。 そ の う ち 、 男 子 の 60％ と 女 子 の
75％ は 自 転 車 通 学 で 、 そ の 合 計 人 数 は 24人 で あ る 。 こ の ク ラ ス の 男 子 生 徒 と 女 子
生徒はそれぞれ何人か。
(25点 × 1＝ 25点 )
① あ る 中 学 校 の 去 年 の 生 徒 数 は 300 人 で 、 今 年 は 男 子 が 5 ％ 増 加 し 、 女 子 が 1 0 ％ 減
少 し た の で 全 体 で 9人 減 少 し た 。 今 年 の 男 子 と 女 子 の 生 徒 数 を 求 め な さ い 。
(25点 × 1＝ 25点 )
① 家 か ら 600ｍ 離 れ た 駅 へ 行 く の に 、 初 め は 分 速 120ｍ の 速 さ の 自 転 車 で 行 き 、 自 転
車 を お り た 後 は 分 速 40ｍ の 速 さ で 歩 い た ら 7分 か か っ た 。 自 転 車 に 乗 っ た 道 の り と
歩いた道のりを求めなさい。
72
第３章
１次関数
１
１ 次 関 数
例１
関数と１次関数
次 の 関 係 式 で y が x の 1次 関 数 で あ る も の に は ○ 、 そ う で な い も の に は × を つ け な さ い 。
12
② y＝ － x＋ 5
③ y＝ 2x－ 3
④ y＝
① y＝ 3x 2
x
⑤ y＝ － 4x
⑥ x＋ y＝ 3
y＝－4x＋0
と考える
⑦ xy＝ 6
y＝－x＋3
⑧ 3x＋ y＝ － 6
6
y＝ x
y＝－3x－6
ポイント
関数と１次関数
 ともなって変わる２つの量x，y があり、x の値がきまると y の値が１つだけきまるとき、
yはxの関数であるという。
 y がx の関数で、y＝ax＋b (a，b は定数・a≠０)で表されるとき、y はx の１次関数であると
いう。
例２
１次関数の値
次の各問いに答えなさい。
① y＝ 3x－ 5で x＝ 4の と き の
yの 値 を 求 め な さ い 。
y＝ 3× 4－ 5＝ 7
② y＝ － 2x＋ 6で x＝ － 3の と き の
yの 値 を 求 め な さ い 。
y＝ － 2× (－ 3)＋ 6＝ 12
x＝4を代入
1 x＋ 4で x＝ － 6の と き の
2
yの 値 を 求 め な さ い 。
③ y＝
y＝
1 × (－ 6)＋ 4＝ 1
2
x＝－3を代入
2 x－ 2で x＝ 12の と き の
3
yの 値 を 求 め な さ い 。
④ y＝ －
y＝ －
2 × 12－ 2＝ － 10
3
x＝－6を代入
⑤ y＝ 2x＋ 3で y＝ 11の と き の
xの 値 を 求 め な さ い 。
y＝11を代入
11＝ 2x＋ 3
－ 2x＝ － 11＋ 3
－ 2x＝ － 8
x＝ 4
x＝12を代入
1 x＋ 3で y＝ － 2の と き の
4
xの 値 を 求 め な さ い 。
⑥ y＝ －
y＝－2を代入
1
x＋ 3
4
両辺に4をかける
－ 8＝ － x＋ 12
x＝ 8＋ 12
x＝ 20
－ 2＝ －
第３章
練習１
１次関数
次 の 関 係 式 で y が x の 1次 関 数 で あ る も の に は ○ 、 そ う で な い も の に は × を つ
けなさい。
9
x
① y＝ x
② y＝ －
⑤ xy＝ 15
⑥ － x＋ y＝ 7
練習２
73
③ y＝ 2x 2
⑦ y＝
2
x
3
④ y＝ － 5x＋ 1
⑧ 2x＋ y＝ 16
次の各問いに答えなさい。
① y＝ 2x－ 6で x＝ 3の と き の
yの 値 を 求 め な さ い 。
1 x＋ 1で x＝ － 8の と き の
4
yの 値 を 求 め な さ い 。
② y＝ － 3x－ 2で x＝ － 4の と き の
yの 値 を 求 め な さ い 。
5 x－ 6で x＝ 6の と き の
2
yの 値 を 求 め な さ い 。
③ y＝
④ y＝ －
⑤ y＝ － 2x＋ 4で y＝ 6の と き の
⑥ y＝
xの 値 を 求 め な さ い 。
1 x－ 5で y＝ － 2の と き の
2
xの 値 を 求 め な さ い 。
74
第３章
１次関数
確 認 問 題 3-1-Ａ
点
1 次 の 関 係 式 で y が x の 1次 関 数 で あ る も の に は ○ 、 そ う で な い も の に は × を つ け な さ い 。
p 72 例１ (5点 × 8＝ 40点 )
① y＝ －
18
x
⑤ y＝ 3x－ 5
② y＝
2
x－ 1
3
⑥ y＝ － x 2
2 次の各問いに答えなさい。
① y＝ x＋ 10で x＝ － 6の と き の
yの 値 を 求 め な さ い 。
p 72 例２
③ y＝ － x
④ x＋ y＝ 6
⑦ xy＝ 20
⑧ 3x＋ y＝ 20
(10点 × 6＝ 60点 )
② y＝ － 4x＋ 1で x＝ 8の と き の
yの 値 を 求 め な さ い 。
③ y＝
5
x－ 3で x＝ 6の と き の
2
yの 値 を 求 め な さ い 。
④ y＝ －
⑤ y＝ 4x＋ 2で y＝ 10の と き の
⑥ y＝ －
xの 値 を 求 め な さ い 。
3
x－ 2で x＝ － 4の と き の
4
yの 値 を 求 め な さ い 。
1 x＋ 7で y＝ 3の と き の
3
xの 値 を 求 め な さ い 。
第３章
１次関数
確 認 問 題 3-1-Ｂ
75
点
1 次 の 関 係 式 で y が x の 1次 関 数 で あ る も の に は ○ 、 そ う で な い も の に は × を つ け な さ い 。
p 72 例１ (5点 × 8＝ 40点 )
1
x＋ 6
3
① y＝ 5x
② y＝ －
⑤ － 3x＋ y＝ 5
⑥ xy＝ － 4
2 次の各問いに答えなさい。
p 72 例２
① y＝ － 5x－ 1で x＝ 2の と き の
yの 値 を 求 め な さ い 。
1
x＋ 1で x＝ － 10の と き の
2
yの 値 を 求 め な さ い 。
③ y＝
1 2
x
2
⑦ x＋ y＝ － 4
15
x
⑧ y＝ － 4x 2
(10点 × 6＝ 60点 )
② y＝ 4x＋ 8で x＝ － 2の と き の
yの 値 を 求 め な さ い 。
5
x＋ 3で x＝ 12の と き の
4
yの 値 を 求 め な さ い 。
③ y＝
④ y＝ －
⑤ y＝ 6x－ 9で y＝ 3の と き の
⑥ y＝ －
xの 値 を 求 め な さ い 。
④ y＝ －
4 x＋ 1で y＝ － 3の と き の
3
xの 値 を 求 め な さ い 。
76
第３章
１次関数
２
１ 次 関 数 の 変 化 の 割 合
例１
１次関数の変化の割合（１）
1次 関 数 y ＝ 3x － 6 に つ い て 次 の 各 問 い に 答 え な さ い 。
① 次の対応表を完成させなさい。
x
…
y
…
－1
0
1
2
3
4
…
…
3×(－1)－6
3×1－6
3×3－6
3×0－6
3×2－6
3×4－6
② x の 増 加 量 が 1の と き の y の 増 加 量 を 求 め な さ い 。
xの増加量 ＋1
＋1
＋1
＋1
変化の割合
＋1
yの増加量
x
…
－1
0
1
2
3
4
…
y
…
－9
－6
－3
0
3
6
…
yの増加量
＋3
＋3
＋3
＋3
＋3
xの増加量
を変化の割合という
今の場合 変化の割合＝
3
＝3
1
y ＝ 3x － 6
y ＝ 3x － 6 の 3 に な る
答 3
③ x の 増 加 量 が 4の と き の y の 増 加 量 を 求 め な さ い 。
x の 増 加 量 が 1の と き の y の 増 加 量 が 3だ か ら
x の 増 加 量 が 4の と き の y の 増 加 量 は 3× 4＝ 12
答 12
違いに注意！
今の場合 変化の割合＝
xの増加量が4のときのyの増加量
xの増加量が1のときの
yの増加量が3だから 3×4＝12
x＝4のときのyの値
12
＝3
4
y＝3x－6にx＝4を代入して
y＝3×4－6＝6
ポイント
 y＝ ax＋ bで は xの 増 加 量 が 1の と き yの 増 加 量 は a… 1次 関 数 の 変 化 の 割 合
 xの 増 加 量 が 5な ら ば yの 増 加 量 は 5a
例２
１次関数の変化の割合（２）
次の各問いに答えなさい。
① y＝ 2x－ 4で x が 1か ら 5ま で 増 加 す る と き の x の 増 加 量 と y の 増 加 量 を 求 め な さ い 。
x の 増 加 量 ＝ 5－ 1＝ 4
y の 増 加 量 ＝ 2× 4＝ 8
答 x の 増 加 量 … 4， y の 増 加 量 … 8
y ＝ 2x － 4 の 2
② y＝ 3x＋ 1で x が － 2か ら 4ま で 増 加 す る と き の x の 増 加 量 と y の 増 加 量 を 求 め な さ い 。
かっこをつける
x の 増 加 量 ＝ 4－ (－ 2)＝ 6
y の 増 加 量 ＝ 3× 6＝ 18
答 x の 増 加 量 … 6， y の 増 加 量 … 18
y ＝ 3x ＋ 1 の 3
③ y＝ － 4x＋ 3で x が－5から－2まで増加するときの x の増加量と y の増加量を求めなさい。
かっこをつける
x の 増 加 量 ＝ － 2－ (－ 5)＝ 3
y の 増 加 量 ＝ － 4× 3＝ － 12
y ＝ － 4x ＋ 3 の － 4
答 x の 増 加 量 … 3， y の 増 加 量 … － 12
第３章
練習１
１次関数
次 の 1次 関 数 で yの 増 加 量 を 求 め な さ い 。
① y＝ 2x－ 7
xの増加量が1
② y＝ － 5x＋ 2
xの増加量が1
③ y＝ － x＋ 5
xの増加量が1
④ y＝ 4x＋ 1
xの増加量が2
⑤ y＝ x－ 6
xの増加量が5
⑥ y＝ － 3x－ 4
xの増加量が6
1
x＋ 3
2
xの増加量が2
⑧ y＝ －
3 x＋ 3
2
xの増加量が8
⑪ y＝
⑦ y＝
⑩ y＝ －
練習２
77
1
x＋ 2
3
xの増加量が3
⑨ y＝ －
3
x－ 1
4
xの増加量が4
2 x＋ 2
3
xの増加量が6
⑫ y＝
1 x－ 1
5
x の 増 加 量 が 10
次の各問いに答えなさい。
① y＝ x＋ 6で x が 2か ら 8ま で 増 加 す る と き の x の 増 加 量 と y の 増 加 量 を 求 め な さ い 。
② y＝ 2x－ 3で x が － 3か ら 2ま で 増 加 す る と き の x の 増 加 量 と y の 増 加 量 を 求 め な さ い 。
③ y＝ － 3x＋ 1で x が－6から－1まで増加するときの x の増加量と y の増加量を求めなさい。
④ y＝ － x＋ 1で x が－4から－2まで増加するときの x の増加量と y の増加量を求めなさい。
78
第３章
１次関数
確 認 問 題 3-2-Ａ
点
① y＝ － 4x＋ 2
xの増加量が1
p 76 例１
② y＝ x－ 6
xの増加量が1
(5点 × 12＝ 60点 )
③ y＝ － 5x＋ 2
xの増加量が1
④ y＝ 8x－ 3
xの増加量が4
⑤ y＝ 4x－ 2
xの増加量が2
⑥ y＝ － 3x＋ 9
xの増加量が5
1 次 の 1次 関 数 で yの 増 加 量 を 求 め な さ い 。
1 x＋ 4
5
xの増加量が5
⑧ y＝ －
5 x＋ 3
3
xの増加量が6
⑪ y＝
⑦ y＝
⑩ y＝
1 x＋ 1
2
xの増加量が2
⑨ y＝ －
1 x－ 1
6
xの増加量が6
5 x＋ 7
2
xの増加量が4
⑫ y＝ －
3 x－ 3
4
x の 増 加 量 が 12
p 76 例２ (5点 × 8＝ 40点 )
① y＝ 2x－ 3で x が 3か ら 7ま で 増 加 す る と き の x の 増 加 量 と y の 増 加 量 を 求 め な さ い 。
2 次の各問いに答えなさい。
② y＝ x－ 6で x が － 5か ら － 2まで増加するときの x の 増 加 量 と y の 増 加 量 を 求 め な さ い 。
③ y＝ － 2x－ 5で x が－4から1まで増加するときの x の増加量と y の増加量を求めなさい。
④ y＝ － 4x＋ 1で x が－2から5まで増加するときの x の増加量と y の増加量を求めなさい。
第３章
１次関数
確 認 問 題 3-2-Ｂ
点
① y＝ 6x－ 5
xの増加量が1
p 76 例１
② y＝ － 4x＋ 3
xの増加量が1
(5点 × 12＝ 60点 )
③ y＝ x＋ 1
xの増加量が1
④ y＝ 3x＋ 4
xの増加量が4
⑤ y＝ － 2x－ 3
xの増加量が2
⑥ y＝ － 5x－ 6
xの増加量が3
1 次 の 1次 関 数 で yの 増 加 量 を 求 め な さ い 。
1 x－ 5
3
xの増加量が3
⑧ y＝ －
3 x＋ 3
4
x の 増 加 量 が 12
⑪ y＝
⑦ y＝
⑩ y＝ －
79
7 x＋ 9
3
xの増加量が3
1 x＋ 6
2
xの増加量が2
⑨ y＝ －
2 x－ 8
7
x の 増 加 量 が 14
⑫ y＝
8 x－ 6
3
x の 増 加 量 が 15
p 76 例２ (5点 × 8＝ 40点 )
① y＝ － 2x＋ 6で x が 3か ら 6ま で 増 加 す る と き の x の 増 加 量 と y の 増 加 量 を 求 め な さ い 。
2 次の各問いに答えなさい。
② y＝ 4x－ 3で x が － 3か ら － 1まで増加するときの x の 増 加 量 と y の 増 加 量 を 求 め な さ い 。
③ y＝ － x－ 3で x が－4から2まで増加するときの x の増加量と y の増加量を求めなさい。
④ y＝ 3x＋ 1で x が－3から8まで増加するときの x の増加量と y の増加量を求めなさい。
80
第３章
１次関数
３
１ 次 関 数 の グ ラ フ（ １ ）
例１
１次関数のグラフの書き方
次 の 1次 関 数 の グ ラ フ を 書 き な さ い 。
傾き
切片
y
① y＝ 2x－ 4
y
5
2
1
5
…上へ2
…右へ1
傾きを決める
-5
0
5
x
-5
0
5
x
2
2
y軸上に切片をとる
1
-5
傾き
切片
② y＝ － x＋ 4
－は上に
つける
1
-5
y
-1 …下へ1
1 …右へ1
y
5
傾きを決める
5
y軸上に切片をとる
1
－1
1
－1
-5
0
5
x
-5
-5
傾き
③ y＝
5
x
-5
切片
1 x－ 4
2
1
2
0
y
5
…上へ1
…右へ2
1
y
-5
0
5
5
x
-5
0
5
x
2
1
y軸上に切片をとる
-5
傾き
④ y＝ －
－は上に
つける
傾きを決める
2
-5
切片
2 x＋ 2
3
y
y
5
-2 …下へ2
3 …右へ3
5
3
y軸上に切片をとる
3
－2
傾きを決める
-5
0
-5
5
x
－2
-5
0
-5
5
x
第３章
練習１
81
１次関数
次 の 1次 関 数 の グ ラ フ を 書 き な さ い 。
y
① y＝ x－ 1
5
② y＝ － 3x＋ 2
③ y＝ 2x－ 3
④ y＝
1 x－ 2
4
⑤ y＝ －
-5
0
5
x
2 x＋ 3
3
-5
練習２
次 の 1次 関 数 の グ ラ フ を 書 き な さ い 。
y
① y＝ － x＋ 5
5
② y＝ － 2x＋ 1
③ y＝ 3x－ 6
④ y＝ －
⑤ y＝
1 x＋ 4
2
-5
0
4
x－ 5
3
-5
5
x
82
第３章
１次関数
確 認 問 題 3-3-Ａ
1 次 の 1次 関 数 の グ ラ フ を 書 き な さ い 。
p 80 例１
y
点
(10点 × 5＝ 50点 )
① y＝ － x＋ 2
5
② y＝ 2x－ 5
③ y＝ － 4x＋ 6
-5
0
5
x
④ y＝
2
x－ 1
3
⑤ y＝ －
1 x＋ 3
2
-5
2 次 の 1次 関 数 の グ ラ フ を 書 き な さ い 。
p 80 例１
y
(10点 × 5＝ 50点 )
① y＝ x－ 3
5
② y＝ － 3x＋ 5
③ y＝ 2x－ 2
-5
0
5
x
④ y＝ －
⑤ y＝
-5
1 x＋ 1
3
3 x＋ 3
2
第３章
確 認 問 題 3-3-Ｂ
p 80 例１
1 次 の 1次 関 数 の グ ラ フ を 書 き な さ い 。
① y＝ x－ 5
１次関数
83
点
(10点 × 5＝ 50点 )
y
5
② y＝ － 2x＋ 4
③ y＝ 3x－ 2
④ y＝ －
⑤ y＝
3
x＋ 3
2
0
-5
5
x
1 x＋ 1
3
-5
p 80 例１
2 次 の 1次 関 数 の グ ラ フ を 書 き な さ い 。
① y＝ － x＋ 5
(10点 × 5＝ 50点 )
y
5
② y＝ 3x－ 1
③ y＝ － 4x＋ 2
④ y＝
1 x－ 1
2
⑤ y＝ －
-5
0
3 x＋ 1
4
-5
5
x
84
第３章
１次関数
４
１ 次 関 数 の グ ラ フ（ ２ ）
例１
変域のある１次関数のグラフの書き方
変 域 に 注 意 し て 1次 関 数 の グ ラ フ を 書 き な さ い 。
① y＝ 2x＋ 1 (－ 3≦ x≦ 2)
y
y
5
変域
5
－3≦ x ≦2
変域を気にせず
点線でグラフを書く
-5
－3
x
5
0
x＝-3の点を
●にする
-5
-5
0
2
5
x＝2の点を
●にする
x
-5
② y＝ － x－ 2 (－ 5≦ x＜ 2)
y
y
5
変域
5
－5≦ x ＜2
変域を気にせず
点線でグラフを書く
-5
5
0
2
x
－5
-5
例２
x＝-5の点を
●にする
5
0
x＝2の点を
○にする
x
-5
１次関数のグラフの特徴
グラフを見て、次の各問いに答えなさい。
y
! y＝
1
x＋4
2
① 平行なグラフの記号を答えなさい。
5
傾きが等しい
" y＝x－3
1
x－2
# y＝
2
-5
0
5
② 右上がりになっているグラフの記号
を答えなさい。
x
$ y＝－
傾きが正
2
x＋2
3
答 !と#
答 !，"，#
③ 右下がりになっているグラフの記号
を答えなさい。
-5
傾きが負
% y＝－3x＋3
答 $，%
ポイント
１次関数のグラフ
 傾きが等しいと平行になる。
 傾きが正のとき右上がりになる。
 傾きが負のとき右下がりになる。
傾きが等しい
平行
傾きが正
傾きが負
右上がり
右下がり
第３章
85
１次関数
練習１
変 域 に 注 意 し て 1次 関 数 の グ ラ フ を 書 き な さ い 。
y
① y＝ 2x－ 1 (－ 1≦ x＜ 3)
5
② y＝ －
2 x＋ 3 (－ 3≦ x≦ 3)
3
0
-5
5
x
-5
練習２
次 の 各問いに答えなさい。
① 平行になっているグラフをすべて選び、記号で答えなさい。
② 右上がりになっているグラフをすべて選び、記号で答えなさい。
③ 右下がりになっているグラフをすべて選び、記号で答えなさい。
ア y＝ － 2x＋ 4
オ y＝
3 x－ 4
2
イ y＝
1 x＋ 3
2
カ y＝ － 3x＋ 8
ウ y＝ － 4x－ 2
キ y＝
1 x－ 1
2
エ y＝
1 x＋ 1
3
ク y＝ － 4x－ 5
86
第３章
１次関数
確 認 問 題 3-4-Ａ
1 変 域 に 注 意 し て 1次 関 数 の グ ラ フ を 書 き な さ い 。
点
p 84 例１
(20点 × 2＝ 40点 )
1 x＋ 4 (－ 4≦ x≦ 2)
① y＝
2
y
5
② y＝ x－ 3 (1＜ x≦ 5)
0
-5
5
x
-5
p 84 例２ (20点 × 3＝ 60点 )
① 平行になっているグラフをすべて選び、記号で答えなさい。
2 次 の 各問いに答えなさい。
② 右上がりになっているグラフをすべて選び、記号で答えなさい。
③ 右下がりになっているグラフをすべて選び、記号で答えなさい。
ア y＝ 3x＋ 5
オ y＝ － 3x－ 4
3 x＋ 1
2
1
カ y＝
x＋ 8
2
イ y＝
ウ y＝ － x＋ 4
キ y＝ －
1 x＋ 5
2
エ y＝
1 x＋ 6
4
ク y＝ － x－ 8
第３章
確 認 問 題 3-4-Ｂ
点
p 84 例１
(20点 × 2＝ 40点 )
1 変 域 に 注 意 し て 1次 関 数 の グ ラ フ を 書 き な さ い 。
① y＝ － x＋ 2 (2＜ x＜ 5)
87
１次関数
y
5
1
② y＝ x－ 4 (－ 3≦ x＜ 3)
3
0
-5
5
-5
p 84 例２ (20点 × 3＝ 60点 )
① 平行になっているグラフをすべて選び、記号で答えなさい。
2 次 の 各問いに答えなさい。
② 右上がりになっているグラフをすべて選び、記号で答えなさい。
③ 右下がりになっているグラフをすべて選び、記号で答えなさい。
ア y＝ － 2x＋ 4
オ y＝ －
3 x－ 2
4
イ y＝ －
2 x＋ 5
3
カ y＝ 2x＋ 6
ウ y＝ 4x－ 7
キ y＝ －
1 x－ 4
3
エ y＝
2 x＋ 3
3
ク y＝ 4x－ 1
x
88
第３章
１次関数
５
１ 次 関 数 の グ ラ フ（ ３ ）
例１
１次関数のグラフの式の求め方(１)
次 の 1次 関 数 の グ ラ フ の 式 を 求 め な さ い 。
①
y
②
y
5
5
4
1
-5
x
5
0
-5
-5
x，yともに整数
となるいちばん
左の点を探す
上へ2
練習１
2
＝2
1
x，yともに整数
となるいちばん
左の点を探す
切片…1
3
2
傾き…
切片…4
3
答 y＝ 2 x＋4
次 の 1次 関 数 の グ ラ フ の 式 を 求 め な さ い 。
y
②
5
-5
x，yともに整数
となるもう一つ
の点を探す
右へ2
y
①
上へ3
答 y＝2x＋1
右へ1
x
-5
x，yともに整数
となるもう一つ
の点を探す
傾き…
5
0
0
-5
5
5
x
-5
0
-5
5
x
第３章
③
④
y
y
5
-5
0
5
5
x
-5
-5
⑤
0
⑥
5
5
x
-5
-5
⑦
⑧
-5
5
x
y
5
0
0
-5
y
-5
x
y
5
0
5
-5
y
-5
１次関数
5
5
x
-5
0
-5
5
x
89
90
第３章
例２
１次関数
１次関数のグラフの式の求め方(２)
次 の 1次 関 数 の グ ラ フ の 式 を 求 め な さ い 。
①
y
②
y
5
5
1
-5
x
5
0
-5
5
0
x
－3
-5
x，yともに整数
となるいちばん
左の点を探す
-5
x，yともに整数
となるもう一つ
の点を探す
x，yともに整数
となるいちばん
左の点を探す
x，yともに整数
となるもう一つ
の点を探す
右へ1
右へ3
下へ3
－3
傾き…
＝－3
1
下へ2
切片…－3
傾き…
－2
2
＝－
3
3
2
答 y＝－3x－3
練習１
答 y＝－ 3 x＋1
次 の 1次 関 数 の グ ラ フ の 式 を 求 め な さ い 。
y
①
y
②
5
-5
切片…1
0
-5
5
5
x
-5
0
-5
5
x
第３章
③
④
y
y
5
-5
0
5
5
x
-5
-5
⑤
0
⑥
5
5
x
-5
-5
⑦
⑧
-5
5
x
y
5
0
0
-5
y
-5
x
y
5
0
5
-5
y
-5
１次関数
5
5
x
-5
0
-5
5
x
91
92
第３章
１次関数
確 認 問 題 3-5-Ａ
1 次 の 1次 関 数 の グ ラ フ の 式 を 求 め な さ い 。
p 88 例１
y
①
y
②
5
-5
p 90 例２
5
0
x
y
-5
-5
!
0
!
④
x
5
x
y
"
5
-5
-5
0
5
x
-5
" y
⑤
5
0
-5
5
"
(10点 × 10＝ 100点 )
5
-5
③
点
y
⑥
5
"
5
!
-5
0
-5
5
x
-5
0
-5
5
x
!
第３章
１次関数
確 認 問 題 3-5-Ｂ
1 次 の 1次 関 数 の グ ラ フ の 式 を 求 め な さ い 。
p 88 例１
y
①
p 90 例２
5
-5
(10点 × 10＝ 100点 )
5
5
0
x
-5
0
-5
5
x
-5
y
③
点
y
②
"
④
5
y
5
!
-5
5
0
x
-5
"
0
5
x
!
-5
y
⑤
-5
!
!
⑥
5
y
5
"
-5
0
5
x
-5
-5
0
-5
"
93
5
x
94
第３章
１次関数
６
１次関数の式の求め方（１）
例１
１次関数の式の求め方(１)
次 の 1次 関 数 の 式 を 求 め な さ い 。
① 変 化 の 割 合 が 3で
x＝ 0の と き y＝ 4と な る 。
変化の割合が 3
y＝3x＋bとする
4＝3×0＋b x＝0，y＝4を代入
4＝b
y＝ax＋bのbは
答 y＝3x＋4
x＝0のときのyの値だから
b＝4とするともっと簡単！
ポイント
② 変 化 の 割 合 が － 2で
x＝ 3の と き y＝ 4と な る 。
変化の割合が － 2
y＝－2x＋bとする
4＝－2×3＋b x＝3，y＝4を代入
4＝－6＋b
－b＝－6－4
－b＝－10
答 y＝－2x＋10
b＝10
 1次 関 数 y＝ ax＋ bの aは 変 化 の 割 合 ， グ ラ フ で は 傾 き を 表 す
例２
１次関数の式の求め方(２)
次 の 1次 関 数 の グ ラ フ の 式 を 求 め な さ い 。
① 傾 き が 2で 点 (0， 3)を 通 る
② 傾 き が － 4で 点 (2， － 3)を 通 る
傾きが 2
傾きが － 4
y＝2x＋bとする
3＝2×0＋b x＝0，y＝3を代入
3＝b
y＝ax＋bのbは
答 y＝2x＋3
y＝－4x＋bとする
－3＝－4×2＋b x＝2，y＝－3を代入
－3＝－8＋b
－b＝－8＋3
－b＝－5
答 y＝－4x＋5
b＝5
x＝0のときのyの値だから
b＝3とするともっと簡単！
ポイント
 1次 関 数 y＝ ax＋ bの aは 変 化 の 割 合 ， グ ラ フ で は 傾 き を 表 す
例３
１次関数の式の求め方(３)
次 の 1次 関 数 の グ ラ フ の 式 を 求 め な さ い 。
① y＝ 3x－ 6に 平 行 で 点 (4， － 1)を 通 る
平行なグラフは傾きが等しい
傾きが 3
y＝3x＋bとする
x＝4，y＝－1を代入
－1＝3×4＋b
－1＝12＋b
－b＝12＋1
－b＝13
答 y＝3x－13
b＝－13
② 切 片 が 3で 点 (－ 5， 13)を 通 る
切片が 3
y＝ax＋3とする
13＝－5a＋3
5a＝－13＋3
5a＝－10
a＝－2
x＝－5，y＝13を代入
答 y＝－2x＋3
ポイント
 1次 関 数 の グ ラ フ で は y＝ ax＋ bの aは 傾 き ， bは 切 片 を 表 す
 平行なグラフでは傾きが等しい
第３章
練習１
１次関数
95
次 の 1次 関 数 の 式 を 求 め な さ い 。
1 で
① 変 化 の 割 合 が 2で
② 変 化 の 割 合 が 3で
③ 変化の割合が
2
x＝ 0の と き y＝ － 5と な る 。
x＝ － 2の と き y＝ 4と な る 。
x＝ 6の と き y＝ － 2と な る 。
練習２
次 の 1次 関 数 の グ ラ フ の 式 を 求 め な さ い 。
① 傾 き が － 1で
点 (0， 8)を 通 る
練習３
② 傾 き が － 3で
点 (4， 6)を 通 る
1 で
3
点 (－ 9， 5)を 通 る
③ 傾きが－
次 の 1次 関 数 の グ ラ フ の 式 を 求 め な さ い 。
① y＝ 4x－ 1に 平 行 で
点 (－ 3， － 5)を 通 る
② 切 片 が 5で 点 (4， － 7)を 通 る
96
第３章
１次関数
確 認 問 題 3-6-Ａ
1 次 の 1次 関 数 の 式 を 求 め な さ い 。
① 変 化 の 割 合 が － 6で
x＝ 0の と き y＝ 4と な る 。
p 94 例１
① 傾 き が － 3で
点 (0， － 9)を 通 る
p 94 例２
② 傾 き が 1で
点 (－ 8， 9)を 通 る
3 次 の 1次 関 数 の グ ラ フ の 式 を 求 め な さ い 。
① y＝ － 3x－ 5に 平 行 で
点 (6， － 3)を 通 る
(12点 × 3＝ 36点 )
② 変 化 の 割 合 が － 2で
x＝ 5の と き y＝ 1と な る 。
2 次 の 1次 関 数 の グ ラ フ の 式 を 求 め な さ い 。
点
p 94 例３
3 で
2
x＝ 4の と き y＝ 8と な る 。
③ 変化の割合が
(12点 × 3＝ 36点 )
2 で
③ 傾きが－
3
点 (12， － 6)を 通 る
(14点 × 2＝ 28点 )
② 切 片 が － 4で 点 (8， 0)を 通 る
第３章
１次関数
確 認 問 題 3-6-Ｂ
1 次 の 1次 関 数 の 式 を 求 め な さ い 。
① 変 化 の 割 合 が 2で
x＝ 0の と き y＝ 7と な る 。
p 94 例１
① 傾 き が 8で
点 (0， － 3)を 通 る
1 x＋ 5に 平 行 で
① y＝
2
点 (－ 4， － 6)を 通 る
p 94 例２
② 傾 き が － 5で
点 (－ 2， 5)を 通 る
3 次 の 1次 関 数 の グ ラ フ の 式 を 求 め な さ い 。
点
(12点 × 3＝ 36点 )
② 変 化 の 割 合 が 6で
x＝ 2の と き y＝ 9と な る 。
2 次 の 1次 関 数 の グ ラ フ の 式 を 求 め な さ い 。
97
p 94 例３
2 で
5
x＝ 5の と き y＝ － 1と な る 。
③ 変化の割合が
(12点 × 3＝ 36点 )
5 で
③ 傾きが－
2
点 (10， － 20)を 通 る
(14点 × 2＝ 28点 )
② 切 片 が 3で 点 (6， 5)を 通 る
98
第３章
７
例１
１次関数
１次関数の式の求め方（２）
１次関数の式の求め方(４)
次 の 1次 関 数 の グ ラ フ の 式 を 求 め な さ い 。
① 2点 (－ 2， 9)と (3， － 1)を 通 る
(x＝ － 2で y＝ 9， x＝ 3で y＝ － 1)
② 2点 (－ 2， 9)と (3， － 1)を 通 る
(x＝ － 2で y＝ 9， x＝ 3で y＝ － 1)
正しい
連立方程式の利用
傾き(変化の割合)を求める
y＝ax＋bに
x＝－2，y＝9 とx＝3，y＝－1を代入
9＝－2a＋b … !
－ －1＝ 3a＋b … "
10＝－5a
a＝－2を"のaに代入
5a＝－10
－1＝3×(－2)＋b
a＝－2
－1＝－6＋b
－b＝－6＋1
－b＝－5
b＝5
答 y＝－2x＋5
練習１
傾き(変化の割合)
9－(－1)
10
＝
＝－2
－2－3
－5
9－(－1)
正しくない
9－1
傾きが － 2
y＝－2x＋bとする
－1＝－2×3＋b x＝3，y＝－1を代入
x＝－2，y＝9でも可
－1＝－6＋b
－b＝－6＋1
－b＝－5
答 y＝－2x＋5
b＝5
次 の 1次 関 数 の グ ラ フ の 式 を 求 め な さ い 。
① 2点 (4， － 2)と (8， 2)を 通 る
② 2点 (7， － 3)と (1， 3)を 通 る
(x＝ 4で y＝ － 2， x＝ 8で y＝ 2)
(x＝ 7で y＝ － 3， x＝ 1で y＝ 3)
第３章
１次関数
③ 2点 (－ 2， 8)と (3， － 7)を 通 る
(x＝ － 2で y＝ 8， x＝ 3で y＝ － 7)
④ 2点 (1， － 3)と (－ 2， － 9)を 通 る
(x＝ 1で y＝ － 3， x＝ － 2で y＝ － 9)
⑤ 2点 (－ 6， － 7)と (10， 1)を 通 る
(x＝ － 6で y＝ － 7， x＝ 10で y＝ 1)
⑥ 2点 (6， － 3)と (3， － 1)を 通 る
(x＝ 6で y＝ － 3， x＝ 3で y＝ － 1)
99
100
第３章
１次関数
確 認 問 題 3-7-Ａ
① 2点 (－ 2， 7)と (3， 2)を 通 る
(x＝ － 2で y＝ 7， x＝ 3で y＝ 2)
p 98 例１
(25点 × 4＝ 100点 )
② 2点 (4， 8)と (－ 1， － 7)を 通 る
(x＝ 4で y＝ 8， x＝ － 1で y＝ － 7)
③ 2点 (3， － 2)と (5， － 6)を 通 る
(x＝ 3で y＝ － 2， x＝ 5で y＝ － 6)
④ 2点 (－ 2， 2)と (4， 11)を 通 る
(x＝ － 2で y＝ 2， x＝ 4で y＝ 11)
1 次 の 1次 関 数 の グ ラ フ の 式 を 求 め な さ い 。
点
第３章
１次関数
確 認 問 題 3-7-Ｂ
① 2点 (2， － 5)と (－ 1， 7)を 通 る
(x＝ 2で y＝ － 5， x＝ － 1で y＝ 7)
p 98 例１
(25点 × 4＝ 100点 )
② 2点 (－ 4， － 10)と (7， 1)を 通 る
(x＝ － 4で y＝ － 10， x＝ 7で y＝ 1)
③ 2点 (－ 3， 2)と (2， 12)を 通 る
(x＝ － 3で y＝ 2， x＝ 2で y＝ 12)
④ 2点 (－ 4， 1)と (8， － 8)を 通 る
(x＝ － 4で y＝ 1， x＝ 8で y＝ － 8)
1 次 の 1次 関 数 の グ ラ フ の 式 を 求 め な さ い 。
点
101
102
第３章
１次関数
８
例１
１ 次 方 程 式 の グ ラ フ
２元１次方程式のグラフ
① y
次 の 2元 1次 方 程 式 の グ ラ フ を 書 き な さ い 。
① 6x＋ 3y＝ 12 y＝ax＋bの形にする
②
5
3y＝－6x＋12
－6x
12
＋
3
3
y＝－2x＋4
② 3x－ 2y＝ 6
y＝ax＋bの形にする
y＝
-5
x
5
0
－2y＝－3x＋6
－3x
6
＋
－2
－2
3
y＝ x－3
2
y＝
-5
ポイント
 2元 1次 方 程 式 の グ ラ フ は y＝ ax＋ bの 形 に 変 形 し て か ら 書 く
例２
１次方程式のグラフ(１)
次 の 1次 方 程 式 の グ ラ フ を 書 き な さ い 。
① y＝ 3
③
y
x 軸に平行
④
5
② y＋ 4＝ 0
①
3
y＝－4
x 軸に平行
③ x＝ － 2
-5
－2
3
0
x
5
y 軸に平行
④ x－ 3＝ 0
②
－4
x＝3
-5
y 軸に平行
ポイント
 y＝ a  x 軸 に 平 行 な 直 線
例３
x＝ a  y 軸 に 平 行 な 直 線
１次方程式のグラフ(２)
①
次 の グラフの式を求めなさい。
y軸に平行
①
x＝a
②
5
答 x＝－4
x軸に平行
y＝a
y
②
-5
0
答 y＝2
-5
5
x
第３章
練習１
次 の 2元 1次 方 程 式 の グ ラ フ を 書 き な さ い 。
① 4x＋ 2y＝ 2
② 2x－ 2y＝ 6
103
y
5
-5
③ 3x＋ 4y＝ － 8
１次関数
5
0
x
④ － 3x＋ 2y＝ 6
-5
練習２
① y＝ 4
次 の 1次 方 程 式 の グ ラ フ を 書 き な さ い 。
y
② x＝ 3
5
-5
③ y＋ 2＝ 0
5
0
x
-5
練習３
次 の グラフの式を求めなさい。
y
①
②
5
①
②
-5
③
0
③
-5
5
x
104
第３章
１次関数
確 認 問 題 3-8-Ａ
1 次 の 2元 1次 方 程 式 の グ ラ フ を 書 き な さ い 。
y
p 102 例１
点
(10点 × 4＝ 40点 )
② 4x－ 4y＝ 8
① 2x＋ y＝ 4
5
-5
0
5
x
③ 3x＋ 4y＝ － 12
④ 3x＋ 6y＝ 12
-5
p 102 例２
2 次 の 1次 方 程 式 の グ ラ フ を 書 き な さ い 。
y
① y＝ － 3
(10点 × 3＝ 30点 )
② x＝ 1
5
-5
0
5
x
③ y－ 5＝ 0
-5
p 102 例３
3 次 の グラフの式を求めなさい。
y
①
①
5
②
②
③
-5
0
5
x
③
-5
(10点 × 3＝ 30点 )
第３章
確 認 問 題 3-8-Ｂ
1 次 の 2元 1次 方 程 式 の グ ラ フ を 書 き な さ い 。
① － 3x＋ y＝ － 3
p 102 例１
105
１次関数
点
(10点 × 4＝ 40点 )
y
② 8x－ 4y＝ － 4
5
-5
③ 2x＋ 4y＝ 12
0
5
x
④ 2x－ 3y＝ 15
-5
2 次 の 1次 方 程 式 の グ ラ フ を 書 き な さ い 。
① y＝ 1
p 102 例２
② x＝ 5
(10点 × 3＝ 30点 )
y
5
③ y＋ 4＝ 0
-5
0
5
x
-5
3 次 の グラフの式を求めなさい。
①
p 102 例３
(10点 × 3＝ 30点 )
②
y ③
5
②
①
-5
0
③
-5
5
x
106
第３章
１次関数
９
例１
グ ラ フ の 交 点
１次関数のグラフの交点
次 の グラフの交点Ｐの座標を求めなさい。
1 x－ 3と y＝ － 1 x＋ 7
① y＝ － x＋ 4と y＝ 3x－ 8
② y＝
2
3
y＝－x＋4
y
y
y＝3x－8
1
y＝－ x＋7
3
Ｐ
Ｐ
x
Ｏ
y＝
グラ フの交点の座標は
連立方程式で求める
1
x－3
2
グラフの交点の座標は
連立方程式で求める
 y＝－x＋4 …!

 y＝3x－8 …"
y ＝3x－8に y＝－x＋4を代入
y＝ －x＋4
x
Ｏ
!の右辺＝"の右辺とする
 y＝ 1 x－3 …!

2

 y＝－ 1 x＋7 …"
3

1
1
y ＝－ x＋7に y＝ x－3を代入
3
2
y＝
－x＋4＝3x－8
－x－3x＝－4－8
－4x＝－12
x＝3
1
x－3
2
!の右辺＝"の右辺とする
1 x－3＝－ 1 x＋7
3
両辺に6をかける 2
3x－18＝－2x＋42
3x＋2x＝18＋42
5x＝60
x＝12
x＝3を!(または")のxに代入
y＝－3＋4
y＝1
答 (3，1)
x＝12を!(または")のxに代入
1
y＝ ×12－3
2
y＝6－3＝3 答 (12，3)
例２
１次関数のグラフとx軸，y軸との交点
次 の グラフとx軸，y軸との交点Ａ，Ｂの座標を求めなさい。
1
y
① y＝ － 2x＋ 10
② y＝ x－ 2
3
Ａの座標
Ａの座標
x軸との交点y＝0
0＝－2x＋10
2x＝10
x＝5
答 (5，0)
y＝
x軸との交点y＝0
Ｂ
Ａ
Ｏ
y
x
y＝－2x＋10
注 ×3
1
3 x－2
0＝x－6
0＝
x＝6
Ｏ
答 (6，0)
Ｂの座標
Ｂの座標
y軸との交点切片
y＝10
y軸との交点切片
y＝－2
答 (0，10)
答 (0，－2)
Ａ
Ｂ
1
x－2
3
x
第３章
練習１
１次関数
107
次 の グラフの交点Ｐの座標を求めなさい。
① y＝ x＋ 6と y＝ － 2x＋ 12
② y＝ － 3x－ 1と y＝ 2x＋ 14
y
y＝x＋6
Ｐ
Ｐ
x
Ｏ
2 x＋ 11
3
y＝－3x－1
④ y＝ －
y
1 x＋ 5と y＝ － 3 x＋ 6
2
4
3
y＝－ x＋6 y
4
1
y＝－ x＋5
2
y＝－x－4
Ｐ
y＝
x
Ｏ
y＝－2x＋12
③ y＝ － x－ 4と y＝
y y＝2x＋14
Ｐ
Ｏ
2
x＋11
3
x
x
Ｏ
次 の グラフとx軸，y軸との交点Ａ，Ｂの座標を求めなさい。
2 x－ 2
y
① y＝ 3x＋ 12
② y＝
y
3
y＝3x＋12
練習２
Ａ
Ｂ
Ａ
Ｏ
Ｏ
x
Ｂ
y＝
x
2
x－2
3
108
第３章
１次関数
確 認 問 題 3-9-Ａ
1 次 の グラフの交点Ｐの座標を求めなさい。
① y＝ － x＋ 6と y＝ 2x－ 3
y
点
p 106 例１
(20点 × 4＝ 80点 )
② y＝ 3x＋ 5と y＝ － 2x－ 10
y y＝3x＋5
y＝2x－3
Ｐ
Ｐ
x
Ｏ
y＝－x＋6
③ y＝ x＋ 8と y＝ －
1 x＋ 5
2
y＝－2x－10
④ y＝ －
y
5 x＋ 9と y＝ 3 x－ 4
2
4
y
1
y＝－ x＋5
2
Ｐ
y＝
x
Ｏ
Ｏ
Ｐ
y＝x＋8
2 次 の グラフとx軸，y軸との交点Ａ，Ｂの座標を求めなさい。
p 106 例２
y
① y＝ － 2x－ 8
x
Ｏ
Ｏ
x
Ａ
② y＝
3
x－4
4
x
y＝－
(5点 × 4＝ 20点 )
3
x＋ 3
2
y
y＝
Ｂ
Ｂ
Ａ
y＝－2x－8
5
x＋9
2
Ｏ
x
3
x＋3
2
第３章
確 認 問 題 3-9-Ｂ
1 次 の グラフの交点Ｐの座標を求めなさい。
① y＝ x＋ 7と y＝ － 2x－ 8
y
y＝－2x－8
109
１次関数
点
p 106 例１
(20点 × 4＝ 80点 )
② y＝ － 2x＋ 11と y＝ 2x－ 5
y
y＝x＋7
y＝2x－5
Ｐ
③ y＝ － 2x－ 8と y＝
1 x－ 3
2
Ｐ
x
Ｏ
Ｏ
④ y＝
y
y＝－2x－8
y＝
Ｏ
x
y＝－2x＋11
2 x－ 8と y＝ － 5 x＋ 11
3
2
y
1
x－3
2
x
y＝
Ｐ
2
x－8
3
x
Ｏ
Ｐ
y＝－
2 次 の グラフとx軸，y軸との交点Ａ，Ｂの座標を求めなさい。
p 106 例２
① y＝ 3x－ 9
y
y＝3x－9
② y＝ －
3
x＋ 6
4
5
x＋11
2
(5点 × 4＝ 20点 )
y
Ｂ
Ｏ
Ｂ
Ａ
x
Ａ
Ｏ
y＝－
x
3
x＋6
4
110
第３章
１次関数
10
1 次 関 数 の 利 用
例１
１次関数の利用
y(Ｌ)
30
右 の 図 は 30Ｌ 入 る 容 器 に 、 最 初 は Ａ と Ｂ の 2つ
の管を使って、途中からはＡの管だけを使って
水を入れたとき、水を入れた時間と容器にた
まった水の量の関係をグラフで表したものであ
る。次の各問いに答えなさい。
20
10
① Ａの管だけを使ったときのグラフの式を求
めなさい。
0
10x(分)
5
y(Ｌ)
30
(4，20)と(9，30)を通る直線の式を求める
ｐ98参照
(9，30)
Ａだ
答 y＝2x＋12
(4，20)
Ｂ
20
② 水 が 25Ｌ た ま る の は 、 水 を 入 れ 始 め て か ら
何分後ですか。
け
Ａ
と
10
25ＬたまるのはＡだけを使ったときだから
y＝2x＋12にy＝25を代入する
25＝2x＋12
－2x＝－25＋12
－2x＝－13
13
x＝
2
0
例２
動点と三角形の面積
右の図で 、点Ｐは点ＡからＢ，Ｃ を通って点Ｄま
で秒速2ｃｍの速さで動く。点Ｐが動き始めてか
ら x 秒 後 の △ Ａ Ｐ Ｄ の 面 積 を yｃ ｍ 2 と す る と
き次の問いに答えなさい。
Ｃ
Ｂ
13
答 2 分後
Ｐ
Ｂ
Ｃ
Ｐ
4cm
Ｐ
Ａ
① ＰがＡＢ上にあるとき
② ＰがＢＣ上にあるとき
yを xの 式 で 表 し な さ い 。
yを xの 式 で 表 し な さ い 。
Ｂ
10x(分)
5
Ｐ
Ｄ
8cm
③ ＰがＣＤ上にあるとき
yを xの 式 で 表 し な さ い 。
Ｃ
Ｂ
Ｃ
2x cm
Ｐ
4cm
4cm
4cm
Ｐ AB+BC+CD
4cm
2x cm
16－2x cm
Ａ
Ｄ
8cm
Ａを出て2秒後にＢに着く
0≦x≦2
Ａ
Ｄ
8cm
Ａを出て6秒後にＣに着く
1
y＝8×2x× 2
答 y＝8x
＝8x
2≦x≦6
6≦x≦8
1
y＝8×(16－2x)× 2
＝－8x＋64
y
答 y＝－8x＋64
15
x＝0のときy＝0
①②より x＝2のときy＝16
②③より x＝6のときy＝16
③より
Ｄ
8cm
Ａを出て8秒後にＤに着く
1
y＝8×4× 2
答 y＝16
＝16
④ xと yの関係をグラフに表しなさい。
①より
Ａ
x＝8のときy＝0
10
5
0
2
4
6
8
x
第３章
練習１ 右 の 図 は 5 0 0 Ｌ 入 る 容 器 に 、
最初はＡの管を使って、途中からはＢ
の管を使って水を入れたとき、水を入
れた時間と容器にたまった水の量の関
係をグラフで表したものである。次の各
問いに答えなさい。
① Ｂの管を使ったときのグラフの式 を
１次関数
111
y （Ｌ）
500
400
300
200
100
0
求めなさい。
10
20
30
40
50
60
x（分）
② 水 が 400Ｌ た ま る の は 、 水 を 入 れ 始 め て か ら 何 分 後 で す か 。
右の図で 、点Ｐは点ＡからＢ，Ｃ を通って
Ｂ
点Ｄまで秒速2ｃｍの速さで動く。点Ｐが動き始めてか
Ｐ
練習２
Ｐ
Ｃ
6cm
Ｐ
ら x 秒 後 の △ Ａ Ｐ Ｄ の 面 積 を yｃ ｍ 2 と す る と き 次
Ａ
の問いに答えなさい。
① ＰがＡＢ上にあるとき
② ＰがＢＣ上にあるとき
yを xの 式 で 表 し な さ い 。
yを xの 式 で 表 し な さ い 。
Ｂ
Ｃ
Ｐ
Ｐ
Ｂ
Ｄ
10cm
（
≦x≦
）
Ｂ
6cm
Ａ
（
④ xと yの関係をグラフに表しなさい。
≦x≦
Ｃ
Ｐ
6cm
Ｄ
10cm
Ｄ
③ ＰがＣＤ上にあるとき
yを xの 式 で 表 し な さ い 。
Ｃ
6cm
Ａ
10cm
Ａ
）
Ｄ
10cm
（
≦x≦
）
y
30
20
10
0
2
4
6
8
10
x
112
第３章
１次関数
確 認 問 題 3-10-Ａ
y （ｍ）
1 家 か ら 12 0 0 ｍ 離 れ た 駅 ま で 行 く の に 、 最
初は自転車に乗り、自転車をおりてから
1200
は歩いた。右のグラフはその様子を表し
1000
た も の で あ る 。 次 の 各問いに答えなさい。
800
p 110 例１
点
(20点 × 2＝ 40点 )
600
400
① 歩いたときのグラフの式 を 求 め な さ い 。
200
0
x （分）
10
5
② 家 か ら 1050ｍ の と こ ろ に い る の は 家 を 出 て か ら 何 分 後 で す か 。
2 右の図で 、点Ｐは点ＡからＢ，Ｃ を通って点Ｄまで秒速
3ｃｍの速さで動く。点Ｐが動き始めてから x 秒 後 の △ Ａ Ｐ
Ｐ
Ｂ
Ｃ
Ｐ
6cm
Ｐ
Ｄ の 面 積 を yｃ ｍ 2 と す る と き 次 の 問 い に 答 え な さ い 。
p 110 例２
(15点 × 4＝ 60点 )
① ＰがＡＢ上にあるとき
② ＰがＢＣ上にあるとき
yを xの 式 で 表 し な さ い 。
yを xの 式 で 表 し な さ い 。
Ｂ
Ｃ
Ｐ
Ｐ
Ｂ
6cm
Ａ
≦x≦
6cm
Ｄ
12cm
（
Ａ
）
（
y
30
20
10
2
4
6
8
x
Ｄ
12cm
④ xと yの関係をグラフに表しなさい。
0
Ｃ
≦x≦
）
Ａ
Ｄ
12cm
③ ＰがＣＤ上にあるとき
yを xの 式 で 表 し な さ い 。
Ｂ
Ｃ
Ｐ
6cm
Ａ
Ｄ
12cm
（
≦x≦
）
第３章
確 認 問 題 3-10-Ｂ
1 右 の 図 は 60Ｌ 入 る 容 器 に 、 最 初 は Ａ の 管
を使って、途中からはＢの管を使って水を
入れたとき、水を入れた時間と容器にた
点
y（Ｌ）
80
60
まった水の量の関係をグラフで表したも
40
のである。次の各問いに答えなさい。
20
p 110 例１
113
１次関数
(20点 × 2＝ 40点 )
0
2
4
6
10
8
12
x（分）
① Ｂの管を使ったときのグラフの式 を 求 め な さ い 。
② 水 が 35Ｌ た ま る の は 、 水 を 入 れ 始 め て か ら 何 分 後 で す か 。
Ｃ
2 右の図で 、点Ｐは点ＡからＢを通って点Ｃまで秒速4ｃｍ
の速さで動く。点Ｐが動き始めてから x 秒 後 の △ Ｃ Ａ Ｐ の
Ｐ 8cm
面 積 を yｃ ｍ と す る と き 次 の 問 い に 答 え な さ い 。
2
p 110 例２
① ＰがＡＢ上にあるとき
(20点 × 3＝ 60点 )
Ａ
Ｂ
Ｐ
12cm
② ＰがＢＣ上にあるとき
Ｃ
yを xの 式 で 表 し な さ い 。
Ｃ
yを xの 式 で 表 し な さ い 。
Ｐ 8cm
8cm
Ａ
Ｂ
Ｐ
12cm
(
≦x≦
Ａ
Ｂ
12cm
)
③ xと yの関係をグラフに表しなさい。
(
≦x≦
)
y
40
30
20
10
0
2
4
6
x
114
第４章
図形の性質
１
角 と 平 行 線
例１
角
次の各問いに答えなさい。
① 90°
の大きさの角を
② 90°
より小さい角を
何といいますか。
何といいますか。
③ 90°
よ り 大 き く 180°
より
小 さ い 角 を 何 と い い ます か 。
えい
答 直角
どん
答 鋭角
答 鈍角
ポイント
えいかく
 直角
90°
の角
例２
どんかく
 鋭角
90°よ り 小 さ い 角
 鈍角
90°よ り 大 き く 180°よ り 小 さ い 角
対頂角
次の図で∠xの大きさを求めなさい。
130°
①
②
60°
③
x 対頂角
x
40°
答 130°
対頂角
80°
対頂角
x
80°
60°対頂角
60°
110°
x
110°40°
80°
x＝180－(110＋40)
＝30
答 30°
ポイント
 対頂角の大きさは等しい
∠ a＝ ∠ c， ∠ b＝ ∠ d
x
60°
対頂角
答 60°
④
110°
x
a
d
b
x＝180－(80＋60)
＝40
答 40°
対頂角
2直線が交わってできる4つの角のうち
向かい合っている2組の角
c
例３
同位角と錯角
次の角を答えなさい。
① ∠アの同位角
答 ∠オ
③ ∠ウの同位角
ウ
答 ∠イ
④ ∠クの同位角
答 ∠キ
⑤ ∠エの錯角
イ
② ∠カの同位角
カ
答 ∠エ
キ
⑥ ∠オの錯角
答 ∠カ
答 ∠ウ
ポイント
どう い
 同位角
さっ
 錯角
オ
ク
ア
エ
第４章
練習１
次 の 角は直角・鋭角・鈍角のどれになりますか。
① 60°
② 100°
③ 90°
④ 160°
⑤ 85°
⑥ 12°
練習２
次の図で∠xの大きさを求めなさい。
①
②
④
x
⑥
80°
⑦
70°
60°
⑧
40°
120°
x
イ
② ∠オの同位角
ウ
③ ∠エの同位角
カ
④ ∠キの同位角
キ
⑤ ∠カの錯角
⑥ ∠ウの錯角
75°
50°
x
次の角を答えなさい。
① ∠イの同位角
55°
105°
x
練習３
x
③
x
x
65°
124°
x
75°
⑤
図形の性質
オ
ク
ア
エ
115
116
第４章
図形の性質
確 認 問 題 4-1-Ａ
点
p 114 例１
1 次 の 角は直角・鋭角・鈍角のどれになりますか。
① 135°
② 68°
(5点 × 6＝ 30点 )
③ 91°
④ 90°
⑤ 150°
⑥ 75°
2 次の図で∠xの大きさを求めなさい。
①
130°
②
(5点 × 8＝ 40点 )
④
③
85°
x
p 114 例２
x
x
x
50°
110°
⑤
⑥
35°
⑦
70°
52°
x
110°
3 次の角を答えなさい。
① ∠アの同位角
x
⑧
80°
70°
64°
p 114 例３
(5点 × 6＝ 30点 )
② ∠クの同位角
ア
エ
③ ∠カの同位角
イ
ウ
④ ∠ウの同位角
カ
オ
ク
⑤ ∠オの錯角
x
66°
x
⑥ ∠エの錯角
キ
第４章
図形の性質
確 認 問 題 4-1-Ｂ
点
p 114 例１
1 次 の 角は直角・鋭角・鈍角のどれになりますか。
① 45°
② 160°
(5点 × 6＝ 30点 )
③ 60°
④ 108°
⑤ 90°
⑥ 99°
2 次の図で∠xの大きさを求めなさい。
①
②
x
(5点 × 8＝ 40点 )
④
③
115°
x
x
88°
⑤
125°
p 114 例２
x
⑥
66°
63°
x
3 次の角を答えなさい。
① ∠クの同位角
75°
48°
⑦
35°
x
⑧
58°
x
x
110°
25°
61°
p 114 例３
(5点 × 6＝ 30点 )
② ∠オの同位角
ア
エ
③ ∠ウの同位角
イ
ウ
④ ∠カの同位角
カ
オ
ク
⑤ ∠エの錯角
⑥ ∠オの錯角
キ
117
118
第４章
図形の性質
２
平 行 線 と 同 位 角 ・ 錯 角
例１
平行線と同位角・錯角(１)
a//bの と き ∠ xの 大 き さ を 求 め な さ い 。
①
②
x
a
③
a
125°
a
180°
－125°
＝55°
50°
130°
b
x
b
平行線では
同位角は等しい
x
b
平行線では
錯角は等しい
答 130°
平行線では
錯角は等しい
答 50°
答 55°
ポイント
 平行線では同位角は等しい
例２
 平行線では錯角は等しい
平行線と同位角・錯角(２)
a//bの と き ∠ xの 大 き さ を 求 め な さ い 。
①
②
a
③
a
40°
a
20°
155°
x
x
x
45°
b
80°
140°
b
a
40°
平行線をひく
a
平行線をひく
155°
180°
－155°
＝25°
25°
40°
x
a
x
x
40°
45°
b
45°
35°
b
140°
b
180°
－140°
＝40°
平行線では
錯角は等しい
平行線では
錯角は等しい
＋45°
＝85°
x＝40°
＋40°
＝65°
x＝25°
答 85°
答 65°
b
20°
20°
45°
80°
－35°
＝45°
80°
35°
35°
平行線では
錯角は等しい
＋45°
＝65°
x＝20°
答 65°
ポイント
 平行線では錯角は等しい
平行線を引く
平行線を引く
第４章
a//bの と き ∠ xの 大 き さ を 求 め な さ い 。
練習１
①
38°
a
②
x
b
④
図形の性質
③
a
x
x
⑤
a
x
47°
b
80°
a
b
⑥
a
a
35°
120°
56°
b
x
b
b
x
a//bの と き ∠ xの 大 き さ を 求 め な さ い 。
練習２
①
a
②a
30°
③
x
a
140°
x
55°
52°
b
④
b
⑤a
a
x
30°
b
⑥
25°
27°
a
30°
155°
x
x
x
b
⑦
74°
95°
120°
b
60°
⑧
a
b
a
20°
150°
x
x
95°
65°
b
50°
b
40°
20°
119
120
第４章
図形の性質
確 認 問 題 4-2-Ａ
1 a//bの と き ∠ xの 大 き さ を 求 め な さ い 。
①
②
a
(6点 × 6＝ 36点 )
③
x
a
a
63°
x
x
b
p 118 例１
点
152°
b
b
115°
④
116°
a
⑤
⑥
a
50°
a
x
x
b
b
x
b
138°
p 118 例２
2 a//bの と き ∠ xの 大 き さ を 求 め な さ い 。
①
②
a
a
47°
(8点 × 8＝ 64点 )
③ a
33°
160°
x
64°
x
b
④
40°
b
⑤
a
a
120°
x
⑥
20°
b
b
⑧
45°
x
b
a
40°
140°
x
35°
95°
72°
55°
b
a
x
132°
a
35°
53°
x
⑦
b
x
163°
b
31°
56°
第４章
図形の性質
確 認 問 題 4-2-Ｂ
p 118 例１
1 a//bの と き ∠ xの 大 き さ を 求 め な さ い 。
①
②
a
a
点
(6点 × 6＝ 36点 )
③
a
30°
119°
x
b
x
b
b
x
128°
④
x
a
⑤
⑥
a
85°
a
x
b
47°
b
40°
x
2 a//bの と き ∠ xの 大 き さ を 求 め な さ い 。
①
b
②
a
34°
a
p 118 例２
x
(8点 × 8＝ 64点 )
③ a
50°
x
x
69°
42°
b
④
b
⑤
a
a
28°
105°
b
⑥
a
34°
25°
150°
45°
x
x
x
80°
120°
b
⑦
b
28°
⑧
a
160°
b
a
x
x
145°
134°
b
64°
70°
b
30°
27°
121
122
第４章
図形の性質
３
三 角 形 の 角
例１
角の大きさと三角形
次の三角形は鋭角三角形・直角三角形・鈍角三角形のどれになりますか。
Ａ
① Ａ
②
③
Ａ
60°
40°
110°
70°
30°
Ｂ
Ｃ
Ｂ
∠Ｂが鈍角
答 鈍角三角形
90°
50°
50°
40°
Ｃ
∠Ａ・∠Ｂ・∠Ｃとも鋭角
答 鋭角三角形
Ｂ
Ｃ
∠Ａが直角
答 直角三角形
ポイント
 鋭角三角形
どの角も鋭角
例２
 鈍角三角形
1つの角が鈍角
 直角三角形
1つの角が直角
三角形の内角と外角(１)
∠xの大きさを求めなさい。
①
②
③
65°
115°
62°
75°
x
x
70°
外角はとなりあわない
2つの内角の和
内角の和＝180°
－(65°
＋75°)
x＝180°
＝40°
答 40°
x
45°
外角はとなりあわない
2つの内角の和
＋70°
x＝62°
＝132° 答 132°
＝115°
x＋45°
－45°
x＝115°
答 70°
＝70°
ポイント
である
 三角形の内角の和は180°
 三角形の外角は、それととなりあわない2つの内角の和に等しい
外角
b＋c
a
b
内角
c
外角
a＋b
外角
a＋c
例３
三角形の内角と外角(２)
∠xの大きさを求めなさい。
①
25°
30°
x
45°
25°
x
25°
外角
30°
＋45°
＝75°
30°
45°
x
75°
30°
45°
外角
＝75°
x＋25°
－25°
x＝75°
x＝50°
答 50°
②
60°
30°
125°
60°
x
30°
125°
外角
30°
＋60°
＝90°
x
60°
30°
125°
外角
＝125°
x＋90°
－90°
x＝125°
90°
x＝35°
x
答 35°
第４章
練習１
①
次の三角形は鋭角三角形・直角三角形・鈍角三角形のどれになりますか。
Ａ
②
③
Ａ
Ａ
75°
90°
60°
45°
30°
Ｂ
40°
120°
60°
Ｂ
Ｃ
Ｃ
20°
Ｂ
Ｃ
次の図で∠xの大きさを求めなさい。
練習２
①
②
③
x
x
48°
110°
50°
x
④
45°
60°
⑤
x
72°
⑥
92°
130°
80°
x
x
156°
41°
124°
次の図で∠xの大きさを求めなさい。
練習３
①
123
図形の性質
25°
②
③
x
43°
60°
a
28°
50°
140°
50°
④
x
⑤
45°
b
60°
60°
35°
x
x
⑥
38°30°
50°
ab
40°
45°
x
30°
x
45°
124
第４章
図形の性質
確 認 問 題 4-3-Ａ
点
1 次の三角形は鋭角三角形・直角三角形・鈍角三角形のどれになりますか。
p 122 例１ (5点 × 2＝ 10点 )
Ａ
①
Ａ
②
85°
120°
65°
20°
30°
Ｂ
Ｃ
p 122 例２
2 次 の 図 で ∠ xの 大 き さ を 求 め な さ い 。
①
②
63°
④
116°
⑥
x
44°
p 122 例３
3 次 の 図 で ∠ xの 大 き さ を 求 め な さ い 。
①
②
x
37°
a
x
x
50°
115°
ab
x
30°
45°
b
④
⑤
⑥
35°
62°
30°50°
45°
34°
(8点 × 6＝ 48点 )
③
60°
38°
x
120°
95°
70°
35°
x
x
62°
x
42°
(7点 × 6＝ 42点 )
③
36°
⑤
120°
Ｃ
45°
x
50°
40°
Ｂ
40°
x
43°
40°
x
30°
第４章
図形の性質
確 認 問 題 4-3-Ｂ
125
点
1 次の三角形は鋭角三角形・直角三角形・鈍角三角形のどれになりますか。
p 122 例１ (5点 × 2＝ 10点 )
Ａ
①
Ａ
②
65°
30°
45°
85°
Ｂ
Ｂ
Ｃ
p 122 例２
2 次 の 図 で ∠ xの 大 き さ を 求 め な さ い 。
①
②
x
50°
Ｃ
(7点 × 6＝ 42点 )
③
x
82°
51°
52°
④
⑤
117°
⑥
46°
118°
x
45°
110°
p 122 例３
3 次 の 図 で ∠ xの 大 き さ を 求 め な さ い 。
①
②
(8点 × 6＝ 48点 )
③
42°
65°
a
35°
140°
34°
④
b
⑥
60°
65°
46°
100°
x
ab
85°
x
⑤
30°
x
x
33°
x
40°
x
74°
43°
x
149°
12°
123°
25°
x
43°
40°
128°
x
126
第４章
図形の性質
４
多 角 形 の 角
例１
多角形の内角と外角(１)
次の各問いに答えなさい。
① 五角形の内角の和は何度ですか。
② 五角形の外角の和は何度ですか。
正しくない
左 の 図 の よ う に3 つ
の 三 角 形 に 分 け る 180×5
ことができるので
180°
×3＝540° 答 540°
多 角 形の 外角の 和
は一定で360°
答 360°
ポイント
×(n－2)
 n角形の内角の和…180°
 n角形の外角の和…360°
例２
多角形の内角と外角(２)
次の各問いに答えなさい。
① 内 角 の 和 が 720°に な る 多 角 形 は
何角形ですか。
② 正 五 角 形 の 1つ の 内 角 の 大 き さ を
求めなさい。
n角形の内角の和
180(n－2)＝720
180(n－2)
180n－360＝720
180n＝720＋360
180n＝1080
答 六角形
n＝6
1つの内角は
540°
÷5＝108°
別の方法
720÷180＋2＝6でもよい
例３
n角形の内角の和
180(n－2)
内角の和は
180°
×(5－2)
＝180°
×3
＝540°
答 108°
多角形の内角と外角(３)
次の各問いに答えなさい。
① 正 五 角 形 の 1つ の 外 角 ② 1つ の 外 角 が 45°に な る
の大きさを求めなさい。
のは正何角形ですか。
外角の和は360°
外角の和は360°
360°
÷5＝72°
360°
÷45°
＝8
答 72°
③ 1つ の 内 角 が 120°に な る
のは正何角形ですか。
内角＋外角＝180°
だから
外角＝180°
－120°
＝60°
外角の和は360°
答 正八角形
360°
÷60°
＝6
答 正六角形
例４
多角形の内角と外角(４)
次の図で● 印のついた角の和は何度ですか。
①
②
2つの和
③
b
五角形の内角の和
等しい
2つの和
180°
×(5－2)
＝540° n角形の内角の和
180(n－2)
答 180°
答 540°
a
外角はとなり
あわない2つ
の内角の和
a＋c
d
e
b＋d
a＋b＋c＋d＋e＝180°
c
答 180°
第４章
練習１
② 七角形の内角の和は
何度ですか。
①
② 正 六 角 形 の 1つ の 内 角 の 大 き さ を
求めなさい。
次の各問いに答えなさい。
① 正 八 角 形 の 1つ の 外 角
の大きさを求めなさい。
練習４
③ 十角形の内角の和は
何度ですか。
次の各問いに答えなさい。
① 内 角 の 和 が 1080°に な る 多 角 形 は
何角形ですか。
練習３
127
次の各問いに答えなさい。
① 多角形の外角の和は
何度ですか。
練習２
図形の性質
② 1つ の 外 角 が 36°に な る
のは正何角形ですか。
③ 1つ の 内 角 が 108°に な る
のは正何角形ですか。
次の図で● 印のついた角の和は何度ですか。
②
③
128
第４章
図形の性質
確 認 問 題 4-4-Ａ
1 次の各問いに答えなさい。
① 多角形の外角の和は
何度ですか。
点
p 126 例１
(8点 × 3＝ 24点 )
② 八角形の内角の和は
③ 十二角形の内角の和は
何度ですか。
何度ですか。
2 次の各問いに答えなさい。
p 126 例２
① 内 角 の 和 が 900°に な る 多 角 形 は
何角形ですか。
3 次の各問いに答えなさい。
(8点 × 2＝ 16点 )
② 正 十 角 形 の 1つ の 内 角 の 大 き さ を
求めなさい。
p 126 例３
(10点 × 3＝ 30点 )
① 正 六 角 形 の 1つ の 外 角 ② 1つ の 外 角 が 72°に な る ③ 1つ の 内 角 が 150°に な る
の大きさを求めなさい。
のは正何角形ですか。
のは正何角形ですか。
4 次の図で● 印のついた角の和は何度ですか。
①
②
p 126 例４
③
(10点 × 3＝ 30点 )
第４章
確 認 問 題 4-4-Ｂ
1 次の各問いに答えなさい。
① 多角形の外角の和は
何度ですか。
図形の性質
129
点
p 126 例１
(8点 × 3＝ 24点 )
② 六角形の内角の和は
③ 九角形の内角の和は
何度ですか。
何度ですか。
2 次の各問いに答えなさい。
p 126 例２
① 内 角 の 和 が 1800°に な る 多 角 形 は
何角形ですか。
3 次の各問いに答えなさい。
(8点 × 2＝ 16点 )
② 正 八 角 形 の 1つ の 内 角 の 大 き さ を
求めなさい。
p 126 例３
(10点 × 3＝ 30点 )
① 正 十 角 形 の 1つ の 外 角 ② 1つ の 外 角 が 60°に な る ③ 1つ の 内 角 が 140°に な る
の大きさを求めなさい。
のは正何角形ですか。
のは正何角形ですか。
4 次の図で● 印のついた角の和は何度ですか。
①
②
p 126 例４
③
(10点 × 3＝ 30点 )
130
第５章
図形と証明
１
合 同 な 図 形
例１
合同な図形
右の△ＡＢＣと△ＤＥＦは合同である。これについて次の各問いに答えなさい。
Ａ Ｄ
① △ＡＢＣと△ＤＥＦが合同であることを
合同の記号を使って表しなさい。
合同の記号
答 △ＡＢＣ≡△ＤＥＦ
≡
② 対応する辺の長さはどうなっていますか。
Ｂ
Ｆ
Ｃ
Ｅ
答 等しい
対応する辺の長さは等しい
③ 対応する角の大きさはどうなっていますか。
対応する角の大きさは等しい
答 等しい
ポイント
 きちんと重ね合わせることができる図形を合同な図形という。合同の記号は≡
 重なり合う頂点を対応する頂点という。
 重なり合う辺を対応する辺という。
 重なり合う角を対応する角という。
 対応する辺の長さや角の大きさは等しい。
例２
合同な図形の性質
次の各問いに答えなさい。
① △ＡＢＣと△ＤＥＦが合同であることを
合同の記号を使って表しなさい。
合同の記号
答 △ＡＢＣ≡△ＤＥＦ
≡
Ｆ
32°
8cm
46°
Ｂ
② ＡＢの長さを求めなさい。
対応する辺の長さは等しい
Ｅ
Ａ
Ｄ
Ｃ
注 ＡとＤ，ＢとＥ，ＣとＦが対応
答 8ｃｍ
③ ∠Ｆの大きさを求めなさい。
対応する角の大きさは等しい
例３
答 46°
合同な図形の表し方
右の図で!の三角形と"の三角形が合同であるとする。これを≡の記号を用いて
表すとき
にあてはまる文字を書き入れなさい。
Ａ
① △ＡＢＣ≡△
対応する順にかく
② △ＢＣＡ≡△
答 ＦＤＥ
対応する順にかく
!
答 ＤＥＦ
"
Ｂ
③ △ＥＦＤ≡△
対応する順にかく
④ △ＤＦＥ≡△
答 ＣＡＢ
対応する順にかく
Ｃ
答 ＢＡＣ
Ｅ
Ｆ
Ｄ
第５章
練習１
131
図形と証明
右の△ＡＢＣと△ＯＰＱは合同である。これについて次の各問いに答えなさい。
① △ＡＢＣと△ＯＰＱが合同であることを
合同の記号を使って表しなさい。
Ａ
Ｃ
Ｐ
Ｑ
Ｂ
Ｏ
② 対応する辺の長さはどうなっていますか。
③ 対応する角の大きさはどうなっていますか。
練習２
次の各問いに答えなさい。
① △ＡＢＣと△ＤＥＦが合同であることを
合同の記号を使って表しなさい。
Ａ
Ｄ
65°
110°
② ＥＦの長さを求めなさい。
Ｂ
11cm
Ｃ
Ｆ
Ｅ
③ ∠Ａの大きさを求めなさい。
練習３
右の図で!の三角形と"の三角形が合同であるとする。これを≡の記号
を用いて表すとき
① △ＡＢＣ≡△
にあてはまる文字を書き入れなさい。
② △ＣＡＢ≡△
Ａ
Ｃ
!
Ｅ
③ △ＤＥＦ≡△
Ｂ
④ △ＦＤＥ≡△
"
Ｆ
Ｄ
132
第５章
図形と証明
確 認 問 題 5-1-Ａ
点
1 右の△ＣＡＢと△ＦＤＥは合同である。これについて次の各問いに答えなさい。
p 130 例１ (10点 × 3＝ 30点 )
① △ＣＡＢと△ＦＤＥが合同であることを
合同の記号を使って表しなさい。
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ｆ
② 対応する辺の長さはどうなっていますか。
Ｅ
③ 対応する角の大きさはどうなっていますか。
2 次の各問いに答えなさい。
p 130 例２
(10点 × 3＝ 30点 )
① 四角形ＡＢＣＤと四角形ＥＦＧＨが合同であることを
合同の記号を使って表しなさい。
Ｈ
Ｄ
8cm
Ａ
Ｅ
64°
20cm
15cm
② ＢＣの長さを求めなさい。
73°
Ｂ
Ｃ
Ｇ
62°
18cm
Ｆ
③ ∠Ｃの大きさを求めなさい。
3 右の図で!の三角形と"の三角形が合同であるとする。 こ れ を ≡ の 記 号 を 用 い て 表
p 130 例３ (10点 × 4＝ 40点 )
すとき
にあてはまる文字を書き入れなさい。
① △ＢＣＡ≡△
② △ＣＡＢ≡△
Ａ
!
③ △ＦＤＥ≡△
④ △ＤＥＦ≡△
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ｆ
"
Ｅ
第５章
133
図形と証明
確 認 問 題 5-1-Ｂ
点
1 右の△ＢＣＤと△ＥＦＧは合同である。これについて次の各問いに答えなさい。
p 130 例１ (10点 × 3＝ 30点 )
① △ＢＣＤと△ＥＦＧが合同であることを
合同の記号を使って表しなさい。
Ｃ
Ｂ
Ｆ
Ｅ
Ｄ
② 対応する辺の長さはどうなっていますか。
Ｇ
③ 対応する角の大きさはどうなっていますか。
2 次の各問いに答えなさい。
p 130 例２
(10点 × 3＝ 30点 )
① △ＡＢＣと△ＤＥＦが合同であることを
合同の記号を使って表しなさい。
Ｄ
Ａ
12cm
57°
Ｆ
Ｃ
② ＤＦの長さを求めなさい。
30cm
31°
Ｅ
Ｂ
③ ∠Ｂの大きさを求めなさい。
3 右の図で!の三角形と"の三角形が合同であるとする。 こ れ を ≡ の 記 号 を 用 い て 表
p 130 例３ (10点 × 4＝ 40点 )
すとき
にあてはまる文字を書き入れなさい。
① △ＤＥＦ≡△
② △ＣＢＡ≡△
Ａ
Ｃ
!
Ｄ
Ｂ
③ △ＦＤＥ≡△
"
④ △ＢＡＣ≡△
Ｅ
Ｆ
134
第５章
図形と証明
２
三 角 形 の 合 同 条 件
例１
三角形の合同条件
２つの三角形は次の場合に合同である。
 ３組の辺がそれぞれ等しい
ＡＢ＝ＤＥ ＢＣ＝ＥＦ ＡＣ＝ＤＦ
Ａ
Ｄ
Ｂ
Ｅ
Ｃ
Ｆ
Ａ
 ２組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
ＡＢ＝ＤＥ ＡＣ＝ＤＦ ∠Ａ＝∠Ｄ
Ｄ
Ｂ
Ｅ
Ｃ
Ｆ
Ａ
 １組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい
ＡＢ＝ＤＥ ∠Ａ＝∠Ｄ ∠Ｂ＝∠Ｅ
Ｄ
Ｂ
Ｅ
Ｃ
Ｆ
ポイント
三角形の合同条件
教科書によって多少表現が違うので
学校で習った通りに覚えましょう
 ３組の辺がそれぞれ等しい
 ２組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
 １組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい
 ３組の辺がそれぞれ等しい
 ２組の辺とそのはさむ角がそれぞれ等しい
 １組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい
例２
 ３辺がそれぞれ等しい
 ２辺とその間の角がそれぞれ等しい
 １辺とその両端の角がそれぞれ等しい
合同な三角形を見つける(１)
次の各問いに答えなさい。
① △ＡＢＣと合同な三角形を答え、合同条件も書きなさい。
Ａ
13cm
Ｂ
14cm
Ｅ
15cm
14cm
ＡＢ＝ＤＥ
ＢＣ＝ＥＦ
ＣＡ＝ＦＤ
Ｆ
Ｊ
Ｉ
14cm
13cm
13cm
Ｃ
13cm
15cm Ｇ
60°
Ｋ
12cm
Ｄ
答 △ＤＥＦ，３組の辺がそれぞれ等しい
② △ＡＢＣと合同な三角形を答え、合同条件も書きなさい。
Ｄ
Ａ
60°
10cm
12cm
Ｂ
Ｉ
60°
ＡＢ＝ＩＨ
ＡＣ＝ＩＧ
∠Ａ＝∠Ｉ
13cm
10cm
12cm
60° Ｌ
60°
Ｅ
Ｃ
Ｌ
Ｊ
12cm
Ｇ
14cm
Ｈ
Ｆ
14cm
Ｈ
10cm
Ｋ
答 △ＩＨＧ，２組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
③ △ＡＢＣと合同な三角形を答え、合同条件も書きなさい。
Ａ
6cm
Ｄ
40°
Ｂ
Ｃ
6cm
40°
Ｅ
4cm
Ｊ
80°
6cm
ＡＢ＝ＫＬ
∠Ａ＝∠Ｋ
∠Ｂ＝∠Ｌ
60°
Ｉ
Ｇ
45°
Ｆ
答 △ＫＬＪ，１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい
Ｈ
40°
Ｋ
6cm
60°
Ｌ
第５章
練習１
135
図形と証明
三角形の合同条件を2回書きなさい。
①


②


練習２
次の各問いに答えなさい。
① △ＡＢＣと合同な三角形を答え、合同条件も書きなさい。
Ｄ
Ａ
Ｇ
14cm
Ｊ
Ｌ
47°
14cm
9cm
14cm
14cm
15cm
68°
47°
Ｂ
Ｃ
15cm
Ｅ
Ｈ
Ｆ
15cm
Ｉ
15cm
Ｋ
② △ＡＢＣと合同な三角形を答え、合同条件も書きなさい。
Ａ
8cm
Ｊ
Ｃ
Ｌ
77°
15cm
43°
77°
Ｂ
Ｇ
Ｈ
60°
Ｅ
8cm 60°
Ｄ
60° 8cm
Ｉ
Ｆ
8cm
58°
Ｋ
③ △ＡＢＣと合同な三角形を答え、合同条件も書きなさい。
Ｄ
Ａ
9cm
18cm
9cm
59°
9cm
81°
Ｂ
15cm
Ｃ
Ｅ
Ｊ
Ｇ
Ｆ
Ｈ
9cm
40°
Ｉ
15cm
Ｋ
18cm
15cm
Ｌ
136
第５章
図形と証明
確 認 問 題 5-2-Ａ
p 134 例１
1 三角形の合同条件を2回書きなさい。
点
(20点 × 2＝ 40点 )
①


②


2 次の各問いに答えなさい。
p 134 例２
(20点 × 3＝ 60点 )
① △ＡＢＣと合同な三角形を答え、合同条件も書きなさい。
Ｄ
Ａ
Ｇ
12cm
60° 12cm
12cm
60°
45°
Ｌ
40°
60°
12cm
80°
40°
Ｃ
Ｂ
Ｈ
9cm
Ｊ
Ｅ
Ｆ
Ｋ
Ｉ
② △ＡＢＣと合同な三角形を答え、合同条件も書きなさい。
Ａ
Ｂ
6cm
11cm
6cm
8cm
Ｆ
8cm
11cm
11cm
6cm
12cm
Ｅ
Ｃ
Ｊ
Ｇ
Ｄ
Ｈ
8cm
40°
8cm
Ｋ
Ｉ
Ｌ
③ △ＡＢＣと合同な三角形を答え、合同条件も書きなさい。
Ａ
14cm
Ｄ
64° 9cm
Ｇ
14cm
9cm
Ｊ
9cm
64°
Ｂ
Ｃ
Ｅ
15cm
Ｆ
Ｈ
15cm
Ｉ
9cm
Ｌ
64° 14cm
Ｋ
第５章
確 認 問 題 5-2-Ｂ
p 134 例１
1 三角形の合同条件を2回書きなさい。
137
図形と証明
点
(20点 × 2＝ 40点 )
①


②


p 134 例２
2 次の各問いに答えなさい。
(20点 × 3＝ 60点 )
① △ＡＢＣと合同な三角形を答え、合同条件も書きなさい。
Ｇ
Ａ
Ｄ
60°
Ｊ
Ｆ
45°
70°
12cm
12cm
15cm
60°
12cm
45°
45°
Ｃ
Ｂ
60°
Ｋ
60°
Ｅ
Ｈ
Ｌ
Ｉ
② △ＡＢＣと合同な三角形を答え、合同条件も書きなさい。
Ａ
9cm
Ｄ
12cm
10cm
10cm
42°
12cm
42°
Ｂ
Ｊ
Ｇ
Ｆ
Ｈ
Ｃ
42° 12cm
42°
12cm
Ｅ
Ｋ
Ｉ
10cm
Ｌ
③ △ＡＢＣと合同な三角形を答え、合同条件も書きなさい。
Ｃ
12cm
Ａ
8cm
Ｇ
Ｄ
12cm
10cm
11cm
Ｂ
11cm
Ｆ Ｈ
8cm
Ｅ
Ｊ
12cm
7cm 8cm
11cm
Ｌ
12cm
Ｉ
Ｋ
138
第５章
図形と証明
３
合 同 な 三 角 形 と 合 同 条 件
例１
合同な三角形と合同条件(１)
次の各問いに答えなさい。
① 右の図で、ＡＢ＝ＣＢ，ＡＤ＝ＣＤのとき△ＡＢＤと
合同な三角形を答え、合同条件も書きなさい。
Ａ
Ａ
ＡＢ＝ＣＢ
ＡＤ＝ＣＤ
ＢＤ＝ＢＤ
Ｄ
Ｄ
Ｂ
Ｂ
共通な辺
等しい
Ｂ
答 △ＣＢＤ，3組の辺がそれぞれ等しい
Ｃ
② 右の図で、ＡＢ＝ＣＢ，∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＤのとき
△ＡＢＤと合同な三角形を答え、合同条件も書きな
さい。
Ａ
共通な辺
等しい
Ｂ
答 △ＣＢＤ，2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
③ 右 の 図 で 、∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＤ，∠ＡＤＢ＝∠ＣＤ Ｂ
のとき△ＡＢＤと合同な三角形を答え、合同条件も
書きなさい。
Ａ
Ａ
Ｂ
∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＤ
∠ＡＤＢ＝∠ＣＤＢ
ＢＤ＝ＢＤ
Ｄ
Ｄ
共通な辺
等しい
Ｄ
Ｃ
Ｃ
Ｂ
Ｂ
Ｃ
Ａ
ＡＢ＝ＣＢ
∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＤ
ＢＤ＝ＢＤ
Ｄ
Ｄ
Ｂ
Ｂ
Ｄ
Ｄ
Ｃ
答 △ＣＢＤ，1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい
Ｃ
ポイント
 共通な辺
Ｂ
Ｄ
Ａ
Ａ
Ａ
Ｄ
Ｄ
Ｂ
Ｂ
Ｃ
Ｃ
Ａ
Ｃ
Ａ
Ｄ
Ａ
Ｂ
Ｄ
Ｂ
Ｄ
等しい
Ｃ
等しい
Ｂ
Ｃ
Ｂ
Ｃ
Ｂ
Ｄ
Ｂ
Ｄ
Ｃ
等しい
第５章
練習１
139
図形と証明
次の各問いに答えなさい。
① 右の図で、ＡＤ＝ＣＤ，∠ＡＤＢ＝∠ＣＤＢのとき△ＡＢＤ
と合同な三角形を答え、合同条件も書きなさい。
Ａ
Ｂ
Ｄ
Ｃ
② 右の図で、ＡＢ＝ＣＤ，ＡＤ＝ＣＢのとき△ＡＢＤと合同な
三角形を答え、合同条件も書きなさい。
Ａ
Ｄ
Ｂ
Ｃ
③ 右の図で、∠ＡＢＣ＝∠ＤＣＢ，∠ＡＣＢ＝∠ＤＢＣのとき
△ＡＢＣと合同な三角形を答え、合同条件も書きなさい。
Ｄ
Ａ
Ｂ
Ｃ
④ 右の図で、ＤＢ＝ＡＢ，ＤＣ＝ＡＣのとき△ＢＣＤと合同な
三角形を答え、合同条件も書きなさい。
Ａ
Ｃ
Ｂ
Ｄ
⑤ 右の図で、∠ＤＡＣ＝∠ＢＡＣ，∠ＡＣＤ＝∠ＡＣＢのと
き△ＡＣＤと合同な三角形を答え、合同条件も書きなさ
い。
Ａ
Ｄ
Ｂ
Ｃ
⑥ 右の図で、ＢＣ＝ＤＡ，∠ＣＢＤ＝∠ＡＤＢのとき△ＢＣＤ
と合同な三角形を答え、合同条件も書きなさい。
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
140
第５章
例２
図形と証明
合同な三角形と合同条件(２)
次の各問いに答えなさい。
① 右の図で、ＡＢ＝ＡＣ，ＡＥ＝ＡＤのとき△ＡＢＥと合同
な三角形を答え、合同条件も書きなさい。
共通な角
等しい
Ａ
Ｄ
Ｅ
Ａ
Ａ
Ｄ
Ｄ
Ｅ
ＡＢ＝ＡＣ
ＡＥ＝ＡＤ
∠ＢＡＥ＝∠ＣＡＤ
Ｅ
Ｂ
Ｂ
Ｃ
Ｂ
Ｃ
Ｃ
答 △ＡＣＤ，2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
Ａ
② 右 の 図 で 、 Ａ Ｂ ＝ Ａ Ｃ ， ∠ＡＢＥ＝∠ＡＣＤのとき△ＡＢＥ
と合同な三角形を答え、合同条件も書きなさい。
共通な角
等しい
Ａ
Ｄ
Ａ
Ｄ
Ｄ
Ｅ
Ｅ
ＡＢ＝ＡＣ
∠ＡＢＥ＝∠ＡＣＤ
∠ＢＡＥ＝∠ＣＡＤ
Ｅ
Ｂ
Ｂ
Ｃ
Ｂ
Ｃ
Ｃ
答 △ＡＣＤ，１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい
ポイント
等しい
 共通な角
例３
合同な三角形と合同条件(３)
次の各問いに答えなさい。
① 右の図で、ＡＥ＝ＢＥ，ＣＥ＝ＤＥのとき△ＡＥＣと合同
な三角形を答え、合同条件も書きなさい。
Ａ
Ｃ
対頂角
等しい
Ｅ
Ｄ
Ａ
Ｅ
ＡＥ＝ＢＥ
ＣＥ＝ＤＥ
∠ＡＥＣ＝∠ＢＥＤ
Ｄ
② 右 の 図 で 、 Ａ Ｃ // Ｂ Ｄ ， Ａ Ｃ ＝ Ｂ Ｄ の と き △ Ａ Ｅ Ｃ と 合 同
な三角形を答え、合同条件も書きなさい。
Ａ
Ｃ
Ｄ
Ｂ
ＡＣ＝ＢＤ
∠ＣＡＥ＝∠ＤＢＥ
∠ＡＣＥ＝∠ＢＤＥ
Ｄ
平行線の錯角
等しい
Ｂ
答 △ＢＥＤ，1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい
ポイント
 対頂角は等しい
Ｃ
Ｅ
平行線の錯角
等しい
Ｅ
Ｂ
答 △ＢＥＤ，2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
Ｂ
Ａ
Ｃ
 平行線の錯角は等しい
第５章
練習２
141
図形と証明
次の各問いに答えなさい。
Ａ
① 右の図で、ＡＤ＝ＡＥ，∠ＡＤＣ＝∠ＡＥＢのとき△ＡＣＤ
と合同な三角形を答え、合同条件も書きなさい。
Ｄ
Ｅ
Ｂ
Ｃ
② 右の図で、ＢＡ＝ＢＣ，ＢＥ＝ＢＤのとき△ＡＢＥと合同な
三角形を答え、合同条件も書きなさい。
Ａ
Ｄ
Ｂ
Ｅ
Ｃ
練習３
次の各問いに答えなさい。
① 右の図で、ＡＥ＝ＢＥ，∠ＣＡＥ＝∠ＤＢＥのとき△ＡＣＥ
と合同な三角形を答え、合同条件も書きなさい。
Ｃ
Ａ
Ｅ
Ｂ
② 右 の 図 で 、 Ａ Ｄ // Ｂ Ｃ ， Ａ Ｅ ＝ Ｂ Ｅ の と き △ Ａ Ｄ Ｅ と 合 同 な
三角形を答え、合同条件も書きなさい。
Ｄ
Ａ
Ｃ
Ｅ
Ｄ
Ｂ
142
第５章
図形と証明
確 認 問 題 5-3-Ａ
点
p 138 例１ (16点 × 2＝ 32点 )
① 右の図で、∠ＡＢＣ＝∠ＤＢＣ，∠ＡＣＢ＝∠ＤＣＢのとき
△ＡＢＣ と 合 同 な 三 角 形 を 答 え 、 合 同 条 件 も 書 き な さ い 。
1 次の各問いに答えなさい。
Ａ
Ｃ
Ｂ
Ｄ
Ｄ
Ａ
② 右の図で、ＡＢ＝ＤＣ，∠ＡＢＣ＝∠ＤＣＢのとき△ＡＢＣ と
合同な三角形を答え、合同条件も書きなさい。
Ｂ
2 次の各問いに答えなさい。
Ｃ
p 140 例２
(16点 × 2＝ 32点 )
① 右の図で、ＡＥ＝ＡＤ，ＡＢ＝ＡＣのとき△ＡＢＥ と 合 同 な
三角形を答え、合同条件も書きなさい。
Ｂ
Ｄ
Ａ
Ｅ
Ｃ
Ａ
② 右の図で、ＡＢ＝ＡＤ，∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＥのとき△ＡＢＣ と
合同な三角形を答え、合同条件も書きなさい。
Ｅ
Ｃ
Ｂ
p 140 例３ (18点 × 2＝ 36点 )
① 右 の 図 で 、 Ａ Ｂ // Ｃ Ｄ ， Ａ Ｂ ＝ Ｄ Ｃ の と き △ Ａ Ｂ Ｅ と 合 同 な
三角形を答え、合同条件も書きなさい。
Ｄ
3 次の各問いに答えなさい。
Ａ
Ｃ
Ｅ
Ｂ
Ｄ
② 右の図で、ＣＥ＝ＤＥ，ＡＥ＝ＢＥのとき△ＡＥＣと合同
な三角形を答え、合同条件も書きなさい。
Ａ
Ｃ
Ｅ
Ｄ
Ｂ
第５章
143
図形と証明
確 認 問 題 5-3-Ｂ
点
p 138 例１ (16点 × 2＝ 32点 )
① 右の図で、ＡＤ＝ＣＢ，ＡＢ＝ＣＤのとき△ＡＢＤ と 合 同 な
三角形を答え、合同条件も書きなさい。
1 次の各問いに答えなさい。
Ａ
Ｂ
Ｄ
Ｃ
Ａ
② 右の図で、ＡＤ＝ＣＤ，∠ＡＤＢ＝∠ＣＤＢのとき△ＡＢＤ
と合同な三角形を答え、合同条件も書きなさい。
Ｂ
Ｄ
Ｃ
2 次の各問いに答えなさい。
p 140 例２
(16点 × 2＝ 32点 )
① 右の図で、ＡＤ＝ＡＥ，ＡＢ＝ＡＣのとき△ＡＢＤと 合 同 な
三角形を答え、合同条件も書きなさい。
Ａ
Ｄ
Ｅ
Ｂ
Ｃ
② 右の図で、ＢＡ＝ＢＣ，∠ＢＡＤ＝∠ＢＣＥのとき△ＤＢＡ と
合同な三角形を答え、合同条件も書きなさい。
Ｃ
Ｄ
Ｂ
Ｅ
Ａ
p 140 例３ (18点 × 2＝ 36点 )
① 右の図で、ＣＥ＝ＤＥ，∠ＡＣＥ＝∠ＢＤＥのとき△ＡＣＥ と
合同な三角形を答え、合同条件も書きなさい。
3 次の各問いに答えなさい。
Ｃ
Ａ
Ｅ
Ｂ
② 右 の 図 で 、 Ａ Ｂ // Ｄ Ｃ ， Ａ Ｂ ＝ Ｃ Ｄ の と き △ Ａ Ｂ Ｅ と 合 同
な三角形を答え、合同条件も書きなさい。
Ｄ
Ｄ
Ａ
Ｅ
Ｃ
Ｂ
144
第５章
図形と証明
４
例１
合 同 な 三 角 形 の 証 明（１）
仮定と結論
次のことがらの仮定と結論を答えなさい。
① ＡＢ＝ＣＢ，∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＤならばＡＤ＝ＣＤである。
答 仮定…ＡＢ＝ＣＢ，∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＤ 結論…ＡＤ＝ＣＤ
ポイント
仮定と結論
 ○○○○ならば△△△△である。
仮定
結論
例２
三角形の合同の証明(１)
次の各問いに答えなさい。
① 右の図で、ＡＢ＝ＤＢ，ＡＣ＝ＤＣならば△ＡＢＣ≡△ＤＢＣであることを証明しなさい。
Ａ
(仮 定 ) ＡＢ＝ＤＢ，ＡＣ＝ＤＣ
(結 論 ) △ＡＢＣ≡△ＤＢＣ
Ｂ
Ｃ
△ＡＢＣと△ＤＢＣにおいて
正しくない
△ＤＢＣの辺
△ＡＢＣの辺 ＡＢ＝ＤＢ(仮定)
△ＡＢＣ≡△ＤＢＣにおいて
ＡＣ＝ＤＣ(仮定) 理由を書く
ＢＣ＝ＢＣ(共通)
3組の辺がそれぞれ等しい 合同条件を書く
よって△ＡＢＣ≡△ＤＢＣである 最後に結論を書く
Ｄ
② 右の図で、ＡＣ＝ＤＣ，∠ＡＣＢ＝∠ＤＣＢならば△ＡＢＣ≡△ＤＢＣであることを証明
Ａ
しなさい。
(仮 定 ) ＡＣ＝ＤＣ，∠ＡＣＢ＝∠ＤＣＢ
(結 論 ) △ＡＢＣ≡△ＤＢＣ
△ＡＢＣの
辺や角
Ｂ
△ＡＢＣと△ＤＢＣにおいて △ＤＢＣの辺や角
ＡＣ＝ＤＣ
(仮定)
∠ＡＣＢ＝∠ＤＣＢ(仮定) 理由を書く
ＢＣ＝ＢＣ
(共通)
2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい 合同条件を書く
よって△ＡＢＣ≡△ＤＢＣである 最後に結論を書く
Ｃ
Ｄ
③ 右の図で、∠ＡＢＣ＝∠ＤＢＣ，∠ＡＣＢ＝∠ＤＣＢならば△ＡＢＣ≡△ＤＢＣであるこ
Ａ
とを証明しなさい。
(仮 定 ) ∠ＡＢＣ＝∠ＤＢＣ，∠ＡＣＢ＝∠ＤＣＢ
Ｃ
Ｂ
(結 論 ) △ＡＢＣ≡△ＤＢＣ
△ＡＢＣの
辺や角
△ＡＢＣと△ＤＢＣにおいて △ＤＢＣの辺や角
∠ＡＢＣ＝∠ＤＢＣ(仮定)
∠ＡＣＢ＝∠ＤＣＢ(仮定) 理由を書く
ＢＣ＝ＢＣ
(共通)
1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい 合同条件を書く
よって△ＡＢＣ≡△ＤＢＣである 最後に結論を書く
Ｄ
第５章
練習１
図形と証明
145
次のことがらの仮定と結論を答えなさい。
① x＋ y＝ 0な ら ば x＝ 5， y＝ － 5で あ る 。
練習２ 次 の 各 問 い に 答 え な さ い 。
① 右の図で、∠ＣＡＢ＝∠ＤＡＢ，∠ＣＢＡ＝∠ＤＢＡならば△ＣＡＢ≡△ＤＡＢであること
Ｃ
を証明しなさい。
(仮 定 )
Ａ
Ｂ
(結 論 )
Ｄ
(証 明 )
② 右の図で、ＡＢ＝ＣＢ，∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＤならば△ＡＢＤ≡△ＣＢＤであることを証明し
なさい。
Ａ
(仮 定 )
(結 論 )
Ｄ
Ｂ
(証 明 )
Ｃ
③ 右の図で、ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ＝ＣＤならば△ＡＢＤ≡△ＡＣＤであることを証明しなさい。
(仮 定 )
Ａ
(結 論 )
(証 明 )
Ｂ
Ｃ
Ｄ
146
第５章
図形と証明
確 認 問 題 5-4-Ａ
1 次のことがらの仮定と結論を答えなさい。
p 144 例１
点
(10点 × 1＝ 10点 )
① x＞ 0， y＞ 0な ら ば x y＞ 0で あ る 。
2 次の各問いに答えなさい。
p 144 例２
(30点 × 3＝ 90点 )
① 右の図で、ＡＣ＝ＡＤ，∠ＣＡＢ＝∠ＤＡＢならば△ＡＣＢ≡△ＡＤＢであることを証明
Ａ
しなさい。
(仮 定 )
Ｃ
Ｄ
(結 論 )
(証 明 )
Ｂ
② 右の図で、ＡＢ＝ＤＢ，ＡＣ＝ＤＣならば△ＡＢＣ≡△ＤＢＣであることを証明しなさい。
Ａ
(仮 定 )
(結 論 )
Ｃ
Ｂ
(証 明 )
Ｄ
③ 右の図で、∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＤ，∠ＡＤＢ＝∠ＣＤＢならば△ＡＢＤ≡△ＣＢＤであること
を証明しなさい。
Ａ
(仮 定 )
Ｂ
(結 論 )
(証 明 )
Ｃ
Ｄ
第５章
図形と証明
確 認 問 題 5-4-Ｂ
1 次のことがらの仮定と結論を答えなさい。
p 144 例１
147
点
(10点 × 1＝ 10点 )
① x＜ 0， y＜ 0な ら ば x ＋ y＜ 0で あ る 。
2 次の各問いに答えなさい。
p 144 例２
(30点 × 3＝ 90点 )
① 右の図で、ＣＡ＝ＢＡ，ＣＤ＝ＢＤならば△ＣＡＤ≡△ＢＡＤであることを証明しなさい。
Ｃ
(仮 定 )
(結 論 )
Ｄ
Ａ
(証 明 )
Ｂ
② 右の図で、∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ，∠ＡＤＢ＝∠ＡＤＣならば△ＡＢＤ≡△ＡＣＤであるこ
Ａ
とを証明しなさい。
(仮 定 )
(結 論 )
Ｄ
(証 明 )
Ｃ
Ｂ
③ 右の図で、∠ＣＡＢ＝∠ＤＡＢ，ＣＡ＝ＤＡならば△ＡＣＢ≡△ＡＤＢであることを証明し
なさい。
Ｃ
Ｄ
Ａ
(仮 定 )
(結 論 )
(証 明 )
Ｂ
148
第５章
図形と証明
５
例１
合 同 な 三 角 形 の 証 明（２）
三角形の合同の証明(２)
次の各問いに答えなさい。
① 右の図で、ＡＣ＝ＤＢ，∠ＡＣＢ＝∠ＤＢＣならば△ＡＢＣ≡△ＤＣＢであることを証明
しなさい。
Ａ
Ｄ
(仮 定 ) ＡＣ＝ＤＢ，∠ＡＣＢ＝∠ＤＢＣ
(結 論 ) △ＡＢＣ≡△ＤＣＢ
△ＡＢＣと△ＤＣＢにおいて △ＤＣＢの辺や角
ＡＣ＝ＤＢ
(仮定)
∠ＡＣＢ＝∠ＤＢＣ(仮定) 理由を書く
ＢＣ＝ＣＢ
(共通)
合同条件を書く 2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
最後に結論を書く よって△ＡＢＣ≡△ＤＣＢである
△ＡＢＣの
辺や角
Ｂ
Ｃ
Ａ
Ｄ
Ｂ
Ｃ
Ｂ
Ｃ
共通 ＢＣ＝ＣＢ
(ＣＢ＝ＢＣ)
対応する順に書く
② 右の図で、ＡＢ＝ＡＣ，∠ＡＢＤ＝∠ＡＣＥならば△ＡＢＤ≡△ＡＣＥであることを証明
しなさい。
Ａ
(仮 定 ) ＡＢ＝ＡＣ，∠ＡＢＤ＝∠ＡＣＥ
(結 論 ) △ＡＢＤ≡△ＡＣＥ
△ＡＢＤと△ＡＣＥにおいて △ＡＣＥの辺や角
ＡＢ＝ＡＣ
(仮定)
∠ＡＢＤ＝∠ＡＣＥ(仮定) 理由を書く
∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥ(共通)
合同条件を書く 1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい
最後に結論を書く よって△ＡＢＤ≡△ＡＣＥである
Ｅ
Ｄ
△ＡＢＤの
辺や角
Ｂ
共通 ∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥ
(∠ＤＡＢ＝∠ＥＡＣ)
対応する順に書く
Ａ
Ｅ
Ｂ
Ｃ
Ａ
Ｅ
Ｄ
Ｃ
Ｂ
Ｄ
Ｃ
ポイント
 共通な辺や角
共通な辺
共通な角
第５章
練習１
図形と証明
149
次の各問いに答えなさい。
① 右の図で、ＡＢ＝ＣＤ，ＡＤ＝ＣＢならば△ＡＢＤ≡△ＣＤＢであることを証明しなさい。
Ａ
(仮 定 )
(結 論 )
Ｂ
Ｄ
(証 明 )
Ｃ
② 右の図で、ＢＣ＝ＢＡ，∠ＢＣＥ＝∠ＢＡＤならば△ＣＢＥ≡△ＡＢＤであることを証明し
なさい。
Ｃ
(仮 定 )
Ｄ
(結 論 )
(証 明 )
Ｂ
Ｅ
Ａ
150
第５章
図形と証明
確 認 問 題 5-5-Ａ
1 次の各問いに答えなさい。
点
p 148 例１
(50点 × 2＝ 100点 )
① 右の図で、∠ＢＡＤ＝∠ＣＤＡ，∠ＡＤＢ＝∠ＤＡＣならば△ＤＡＢ≡△ＡＤＣであるこ
とを証明しなさい。
Ａ
Ｄ
(仮 定 )
(結 論 )
Ｂ
(証 明 )
Ｃ
② 右の図で、ＡＢ＝ＣＢ，ＢＥ＝ＢＤならば△ＡＢＥ≡△ＣＢＤであることを証明しなさい。
(仮 定 )
Ａ
Ｃ
(結 論 )
(証 明 )
Ｄ
Ｅ
Ｂ
第５章
図形と証明
確 認 問 題 5-5-Ｂ
1 次の各問いに答えなさい。
151
点
p 148 例１
(50点 × 2＝ 100点 )
① 右の図で、ＣＥ＝ＣＤ，∠ＡＥＣ＝∠ＢＤＣならば△ＡＥＣ≡△ＢＤＣであることを証明し
なさい。
Ａ
(仮 定 )
Ｄ
Ｃ
(結 論 )
Ｅ
(証 明 )
Ｂ
② 右の図で、ＡＢ＝ＣＤ，ＡＤ＝ＣＢならば△ＡＢＤ≡△ＣＤＢであることを証明しなさい。
(仮 定 )
Ｄ
Ａ
(結 論 )
(証 明 )
Ｃ
Ｂ
152
第５章
図形と証明
６
例１
合 同 な 三 角 形 の 証 明（３）
三角形の合同の証明(３)
次の各問いに答えなさい。
① 右の図で、ＡＥ＝ＣＥ，ＢＥ＝ＤＥならば△ＡＢＥ≡△ＣＤＥであることを証明しなさい。
Ｃ
(仮 定 ) ＡＥ＝ＣＥ，ＢＥ＝ＤＥ
Ａ
Ｅ
(結 論 ) △ＡＢＥ≡△ＣＤＥ
△ＡＢＥと△ＣＤＥにおいて △ＣＤＥの辺や角
ＡＥ＝ＣＥ
(仮定)
理由を書く
ＢＥ＝ＤＥ
(仮定)
∠ＡＥＢ＝∠ＣＥＤ(対頂角)
合同条件を書く 2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
最後に結論を書く よって△ＡＢＥ≡△ＣＤＥである
△ＡＢＥの
辺や角
Ｂ
Ｄ
Ｃ
Ａ
Ｅ
Ｂ
Ｄ
対頂角
等しい
ポイント
Ｃ
Ａ
 対頂角は等しい
∠ＡＯＤ＝∠ＢＯＣ，∠ＡＯＣ＝∠ＢＯＤ
Ｏ
Ｂ
Ｄ
② 右 の 図 で 、 Ａ Ｃ //Ｂ Ｄ ， Ａ Ｅ ＝ Ｂ Ｅ な ら ば △ Ｃ Ａ Ｅ ≡ △ Ｄ Ｂ Ｅ で あ る こ と を 証 明 し な さ い 。
(仮 定 ) ＡＣ// ＢＤ，ＡＥ＝ＢＥ
Ａ
Ｃ
(結 論 ) △ＣＡＥ≡△ＤＢＥ
Ｅ
△ＤＢＥの辺や角
△ＣＡＥと△ＤＢＥにおいて
ＡＥ＝ＢＥ
(仮定)
Ｄ
理由を書く
∠ＡＥＣ＝∠ＢＥＤ(対頂角)
∠ＣＡＥ＝∠ＤＢＥ(平行線の錯角)
合同条件を書く 1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい
最後に結論を書く よって△ＣＡＥ≡△ＤＢＥである
Ａ
△ＣＡＥの
△ＡＢＤの
辺や角
Ｂ
Ｃ
Ｅ
平行線の錯角
等しい
Ｄ
Ｂ
注 ∠Ｃと∠Ｄも等しいが
合同条件に必要ないので使わない
ポイント
 平行線では錯角は等しい
第５章
練習１
図形と証明
153
次の各問いに答えなさい。
① 右の図で、ＤＥ＝ＣＥ，∠ＡＤＥ＝∠ＢＣＥならば△ＡＤＥ≡△ＢＣＥであることを証明し
Ｃ
なさい。
Ａ
(仮 定 )
Ｅ
(結 論 )
(証 明 )
Ｂ
Ｄ
② 右 の 図 で 、 Ｂ Ｃ //Ｄ Ｅ ， Ｂ Ｃ ＝ Ｄ Ｅ な ら ば △ Ａ Ｂ Ｃ ≡ △ Ａ Ｄ Ｅ で あ る こ と を 証 明 し な さ い 。
Ｅ
(仮 定 )
(結 論 )
Ｂ
Ａ
(証 明 )
Ｄ
Ｃ
154
第５章
図形と証明
確 認 問 題 5-6-Ａ
1 次の各問いに答えなさい。
点
p 152 例１
(50点 × 2＝ 100点 )
① 右の図で、ＢＥ＝ＣＥ，ＡＥ＝ＤＥならば△ＡＢＥ≡△ＤＣＥであることを証明しなさい。
Ａ
(仮 定 )
(結 論 )
Ｂ
(証 明 )
Ｅ
Ｃ
Ｄ
② 右 の 図 で 、 Ａ Ｂ //Ｃ Ｄ ， Ａ Ｂ ＝ Ｃ Ｄ な ら ば △ Ｂ Ａ Ｄ ≡ △ Ｄ Ｃ Ｂ で あ る こ と を 証 明 し な さ い 。
(仮 定 )
Ｂ
Ａ
(結 論 )
(証 明 )
Ｃ
Ｄ
第５章
図形と証明
確 認 問 題 5-6-Ｂ
1 次の各問いに答えなさい。
155
点
p 152 例１
(50点 × 2＝ 100点 )
① 右の図で、ＡＢ＝ＣＢ，∠ＢＡＥ＝∠ＢＣＤならば△ＢＡＥ≡△ＢＣＤであることを証明し
なさい。
Ｄ
(仮 定 )
Ａ
(結 論 )
Ｂ
(証 明 )
Ｃ
Ｅ
② 右 の 図 で 、 Ａ Ｂ //Ｅ Ｄ ， Ａ Ｃ ＝ Ｅ Ｃ な ら ば △ Ａ Ｂ Ｃ ≡ △ Ｅ Ｄ Ｃ で あ る こ と を 証 明 し な さ い 。
(仮 定 )
Ａ
Ｄ
(結 論 )
(証 明 )
Ｃ
Ｂ
Ｅ
156
第５章
図形と証明
７
三 角 形 の 合 同 の 利 用
例１
三角形の合同の利用
次の各問いに答えなさい。
① 右の図で、ＡＥ＝ＤＥ，ＢＥ＝ＣＥならばＡＢ＝ＤＣであることを証明しなさい。
Ａ
Ｄ
(仮 定 ) ＡＥ＝ＤＥ，ＢＥ＝ＣＥ
(結 論 ) ＡＢ＝ＤＣ
Ｅ
△ＡＢＥと△ＤＣＥにおいて
ＡＥ＝ＤＥ
(仮定)
ＢＥ＝ＣＥ
(仮定)
∠ＡＥＢ＝∠ＤＥＣ(対頂角)
2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
よって△ＡＢＥ≡△ＤＣＥ
よってＡＢ＝ＤＣである
結論
仮定と結論からどの三角形の
合同を証明するか決める
証明できない
Ｄ
Ａ
Ｄ
Ｅ
Ｃ
証明できない
仮定
Ａ
Ｂ
結論
共通
結論
Ａ
結論
Ｃ
Ｂ
Ｃ Ｂ
Ｃ
Ａ
Ｄ
結論
結論
対頂角
Ｂ
Ｄ
共通
Ｂ
Ｃ
仮定
② 右 の 図 で 、ＡＣ＝ＤＢ，∠ＡＣＢ＝∠ＤＢＣ な ら ば Ａ Ｂ ＝ Ｄ Ｃ で あ る こ と を 証 明 し な さ い 。
Ａ
Ｄ
(仮 定 ) ＡＣ＝ＤＢ，∠ＡＣＢ＝∠ＤＢＣ
(結 論 ) ＡＢ＝ＤＣ
Ｅ
△ＡＢＣと△ＤＣＢにおいて
ＡＣ＝ＤＢ
(仮定)
∠ＡＣＢ＝∠ＤＢＣ(仮定)
ＢＣ＝ＣＢ
(共通)
2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
よって△ＡＢＣ≡△ＤＣＢ
よってＡＢ＝ＤＣである
結論
Ｄ
仮定
仮定と結論からどの三角形の
合同を証明するか決める
Ａ
結論
結論
証明できない
Ａ
Ｄ
Ｅ
結論
Ｃ Ｂ
共通
Ｃ
Ｂ
Ｃ
仮定
ポイント
 仮定と結論からどの三角形の合同を証明するか決める
Ｄ
Ａ
結論
対頂角
Ｂ
Ｃ
証明できない
仮定
Ａ
Ｂ
Ｂ
Ｄ
結論
共通
Ｃ
第５章
練習１
157
図形と証明
次の各問いに答えなさい。
① 右の図で、ＡＥ＝ＣＥ，ＢＥ＝ＤＥならばＡＢ＝ＣＤであることを証明しなさい。
Ｃ
Ａ
(仮 定 )
Ｅ
(結 論 )
(証 明 )
Ｂ
Ｄ
② 右の図で、ＢＤ＝ＣＥ，∠ＤＢＣ＝∠ＥＣＢならば∠ＢＤＣ＝∠ＣＥＢであることを証明し
なさい。
Ａ
(仮 定 )
(結 論 )
Ｄ
Ｆ
Ｅ
(証 明 )
Ｂ
Ｃ
158
第５章
図形と証明
確 認 問 題 5-7-Ａ
1 次の各問いに答えなさい。
点
p 156 例１
(50点 × 2＝ 100点 )
① 右 の 図 で 、 Ａ Ｂ ＝ Ｃ Ｄ ， Ａ Ｄ ＝ Ｃ Ｂ な ら ば Ａ Ｄ //Ｃ Ｂ で あ る こ と を 証 明 し な さ い 。
Ａ
(仮 定 )
(結 論 )
Ｂ
Ｄ
(証 明 )
Ｃ
② 右 の 図 で 、ＡＢ＝ＤＣ，∠ＢＡＤ＝∠ＣＤＡな ら ば Ｄ Ｂ ＝ Ａ Ｃ で あ る こ と を 証 明 し な さ い 。
Ａ
(仮 定 )
(結 論 )
Ｄ
Ｅ
(証 明 )
Ｂ
Ｃ
第５章
確 認 問 題 5-7-Ｂ
1 次の各問いに答えなさい。
159
図形と証明
点
p 156 例１
(50点 × 2＝ 100点 )
① 右の図で、ＡＥ＝ＢＥ，∠ＣＡＥ＝∠ＤＢＥならばＡＣ＝ＢＤであることを証明しなさい。
Ａ
(仮 定 )
Ｃ
(結 論 )
(証 明 )
Ｅ
Ｂ
Ｄ
② 右の図で、ＡＢ＝ＡＣ，ＡＥ＝ＡＤならば∠ＡＢＥ＝∠ＡＣＤであることを証明しなさい。
Ａ
(仮 定 )
(結 論 )
Ｄ
(証 明 )
Ｂ
Ｆ
Ｅ
Ｃ
160
第５章
図形と証明
８
二 等 辺 三 角 形
例１
二等辺三角形の定義と定理
次の各問いに答えなさい。
① 二等辺三角形の定義を書きなさい。
答 2辺が等しい三角形
Ａ
頂角
底角
ＡＢ＝ＡＣ
Ｂ
Ｃ
底辺
② 二 等 辺 三 角 形 の 定 理 (性 質 )を 2つ 書 き な さ い 。
Ａ
二等辺三角形の2つの底角は等しい
答 二等辺三角形の頂角の2等分線は底辺を垂直に2等分する
Ｂ
Ｃ
Ａ
∠Ｂ＝∠Ｃ
ＡＨ⊥ＢＣ，ＢＨ＝ＣＨ
Ｂ
Ｃ
Ｈ
ポイント
二等辺三角形の定義
 ２辺が等しい三角形
定義とは用語や記号などの意味をはっきりと述べたもののこと
※p200～p204参照
二等辺三角形の定理（性質）
定理とは証明されたことがらのうちで、よく使われるもののこと
 二等辺三角形の２つの底角は等しい。
 二等辺三角形の頂角の２等分線は底辺を垂直に２等分する。
例２
二等辺三角形の定理を使って角度を求める
∠ xの 大 き さ を 求 め な さ い 。
① ＡＢ＝ＡＣ Ａ
② ＡＢ＝ＡＣ
二等辺三角形の
2つの底角は等しい
20°
x
Ｂ
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｂ
Ａ
二等辺三角形の
2つの底角は等しい
15°
x
Ｃ
∠Ｂ＝∠ＣＤＢ＝15°
∠ＤＣＥ＝15°
＋15°
＝30°
∠ＤＣＥ＝∠ＤＥＣ＝30°
∠ＥＤＡ＝∠Ｂ＋∠ＤＥＣ
＝15°
＋30°
＝45°
x
Ｃ
∠Ｂ＝∠ＤＣＢ＝35°
∠ＡＤＣ＝35°
＋35°
＝70°
∠ＡＤＣ＝∠Ａより
－70°
×2
x＝180°
＝40°
答 40°
∠Ｂ＝∠Ｃ＝40°
x＝∠Ｂ＋∠Ｃより
＋40°
x＝40°
＝80°
答 80°
Ｄ
Ａ
Ｄ
35°
Ｃ
ＢＣ＝ＣＤ＝ＤＥ＝ＥＡ
Ｂ
二等辺三角形の
2つの底角は等しい
x
40°
∠Ｂ＝∠Ｃより
－20°
）÷2
x＝（180°
＝80°
答 80°
④
③ ＢＤ＝ＤＣ＝ＡＣ
Ｅ
∠ＥＤＡ＝∠ＥＡＤ＝45°
x＝∠Ｂ＋∠ＥＡＤ
＝15°
＋45°
＝60°
答 60°
第５章
練習１
161
図形と証明
二等辺三角形の定義と定理を3回書きなさい。
① 定 義
定 理
② 定 義
定 理
③ 定 義
定 理
練習２
① ＡＢ＝ＡＣ
∠ xの 大 き さ を 求 め な さ い 。
②
Ａ
x
Ａ
④
Ｃ
Ａ
Ｄ
10°
x
Ｃ
Ｅ
Ａ
Ｄ
76°
Ｂ
Ｃ
ＢＣ＝ＣＤ＝ＤＥ ＝Ｅ Ａ
Ｂ
ＢＤ＝ＤＣ＝ＡＣ
x
75°
Ｂ
③
ＡＢ＝ＡＣ
x
Ｂ
40°
Ｃ
162
第５章
図形と証明
確 認 問 題 5-8-Ａ
1 二等辺三角形の定義と定理を3回書きなさい。
p 160 例１
点
(12点 × 3＝ 36点 )
① 定 義
定 理
② 定 義
定 理
③ 定 義
定 理
p 160 例２
2 ∠ xの 大 き さ を 求 め な さ い 。
① ＡＢ＝ＡＣ
②
Ａ
ＡＢ＝ＡＣ
x
Ａ
68°
Ｂ
④
Ｂ
Ｃ
Ｃ
Ａ
Ｄ
x
14°
Ｃ
Ｅ
Ａ
Ｄ
x
x
42°
ＢＣ＝ＣＤ＝ＤＥ＝ＥＡ
Ｂ
(16点 × 4＝ 64点 )
③ ＢＤ＝ＤＣ＝ＡＣ
Ｂ
36°
Ｃ
第５章
確 認 問 題 5-8-Ｂ
1 二等辺三角形の定義と定理を3回書きなさい。
p 160 例１
163
図形と証明
点
(12点 × 3＝ 36点 )
① 定 義
定 理
② 定 義
定 理
③ 定 義
定 理
p 160 例２
2 ∠ xの 大 き さ を 求 め な さ い 。
① ＡＢ＝ＡＣ
②
Ａ
ＡＢ＝ＡＣ
44°
Ａ
x
Ｂ
④
x
Ｂ
Ｃ
Ｃ
Ａ
Ｄ
16°
x
Ｃ
Ｅ
Ａ
Ｄ
82°
ＢＣ＝ＣＤ＝ＤＥ＝ＥＡ
Ｂ
(16点 × 4＝ 64点 )
③ ＢＤ＝ＤＣ＝ＡＣ
34°
Ｂ
x
Ｃ
164
９
例１
第５章
図形と証明
二等辺三角形と三角形の合同
二等辺三角形の性質を使う証明
次の各問いに答えなさい。
① 右の図で、△ＡＢＣはＢＣを底辺とする二等辺三角形である。∠ＡＢＥ＝∠ＡＣＤなら
仮定となる
ば Ａ Ｅ ＝ Ａ Ｄ で あ る こ と を 証 明 し な さ い 。 定義
Ａ
(仮 定 ) ∠ＡＢＥ＝∠ＡＣＤ，ＡＢ＝ＡＣ
(結 論 ) ＡＥ＝ＡＤ
△ＡＢＥと△ＡＣＤにおいて
ＡＢ＝ＡＣ
(仮定)
∠ＡＢＥ＝∠ＡＣＤ(仮定)
∠ＢＡＥ＝∠ＣＡＤ(共通)
1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい
よって△ＡＢＥ≡△ＡＣＤ
Ａ
よってＡＥ＝ＡＤである
Ｅ
Ｄ
Ｂ
共通
結論
Ｅ
Ｃ
Ａ
結論
Ｄ
仮定
Ｂ
Ｃ
仮定
ポイント
 定義は仮定になる
 定理は仮定にならない
② 右 の 図 で 、△ＡＢＣはＢＣ を底辺とする二 等 辺 三 角 形 で あ る 。 Ｄ Ｂ ＝ Ｅ Ｃ な ら ば
Ａ
∠ＢＤＣ＝∠ＣＥＢであることを証明しなさい。
(仮 定 ) ＤＢ＝ＥＣ，ＡＢ＝ＡＣ 証明で使わない仮定もある
(結 論 ) ∠ＢＤＣ＝∠ＣＥＢ
△ＤＢＣと△ＥＣＢにおいて
ＤＢ＝ＥＣ
(仮定)
∠ＤＢＣ＝∠ＥＣＢ(二等辺三角形の定理)
定理
ＢＣ＝ＣＢ
(共通)
2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
よって△ＤＢＣ≡△ＥＣＢ
よって∠ＢＤＣ＝∠ＣＥＢである
Ｄ
Ｅ
Ｄ
仮定とならない
Ｂ
Ｃ
仮定
Ｅ
二等辺三角形の定理
Ｂ
Ｃ
Ｂ
共通
ポイント
 定義は仮定になる
 定理は仮定にならない
 証明で使わない仮定もある
Ｃ
第５章
練習１
165
図形と証明
次の各問いに答えなさい。
① 右 の 図 で 、 △ＡＢＣはＢＣを底辺とする二等辺三角形である。 Ｂ Ｄ ＝ Ｃ Ｅ な ら ば Ａ Ｄ ＝ Ａ Ｅ
Ａ
であることを証明しなさい。
(仮 定 )
(結 論 )
(証 明 )
Ｂ
Ｄ
Ｃ
Ｅ
② 右の図で、△ＡＢＣはＢＣを底辺とする二等辺三角形である。ＡＥ＝ＡＤならば∠ＡＢＥ
Ａ
＝∠ＡＣＤであることを証明しなさい。
(仮 定 )
(結 論 )
Ｄ
Ｅ
(証 明 )
Ｂ
Ｃ
166
第５章
図形と証明
確 認 問 題 5-9-Ａ
1 次の各問いに答えなさい。
点
p 164 例１
(50点 × 2＝ 100点 )
① 右 の 図 で 、 △ＡＢＣはＢＣを底辺とする二等辺三角形である。 ∠ Ｂ Ａ Ｄ ＝ ∠ Ｃ Ａ Ｅ な ら ば
Ａ
ＢＤ＝ＣＥであることを証明しなさい。
(仮 定 )
(結 論 )
(証 明 )
Ｂ
Ｄ
Ｃ
Ｅ
② 右の図で、△ＡＢＣはＢＣを底辺とする二等辺三角形である。∠ＤＣＢ＝∠ＥＢＣなら
Ａ
ばＢＤ＝ＣＥであることを証明しなさい。
(仮 定 )
(結 論 )
Ｄ
Ｅ
(証 明 )
Ｂ
Ｃ
第５章
確 認 問 題 5-9-Ｂ
1 次の各問いに答えなさい。
167
図形と証明
点
p 164 例１
(50点 × 2＝ 100点 )
① 右 の 図 で 、 △ＡＢＣはＢＣを底辺とする二等辺三角形である。 Ｂ Ｄ ＝ Ｃ Ｅ な ら ば ∠ Ａ Ｄ Ｂ ＝
Ａ
∠ＡＥＣであることを証明しなさい。
(仮 定 )
(結 論 )
(証 明 )
Ｂ
Ｄ
Ｃ
Ｅ
② 右の図で、△ＡＢＣはＢＣを 底辺とする二等辺三角形 で あ る 。 Ｂ Ｄ ＝ Ｃ Ｅ な ら ば Ｄ Ｃ ＝ Ｅ Ｂ
Ａ
であることを証明しなさい。
(仮 定 )
(結 論 )
Ｄ
Ｅ
(証 明 )
Ｂ
Ｃ
168
第５章
図形と証明
１
０
例１
正 三 角 形
正三角形の定義と定理
次の各問いに答えなさい。
① 正三角形の定義を書きなさい。
答 3辺が等しい三角形
Ａ
ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＡ
Ｂ
② 正 三 角 形 の 定 理 (性 質 )を 書 き な さ い 。
答 正三角形の3つの内角は等しい
Ｃ
Ａ
∠Ａ＝∠Ｂ＝∠Ｃ＝60°
注 二等辺三角形の性質もすべて持っている
Ｂ
Ｃ
ポイント
正三角形の定義
定義とは用語や記号などの意味をはっきりと述べたもののこと
 ３辺が等しい三角形 ※p200～p204参照
正三角形の定理（性質）
定理とは証明されたことがらのうちで、よく使われるもののこと
 正三角形の３つの内角は等しい。
注 二等辺三角形の性質もすべて持っている
例２
正三角形の性質を使った証明
次の各問いに答えなさい。
① 右 の 図 で 、 △ＡＤＢ，△ＡＣＥはどちらも正三角形である。このときＤＣ＝ Ｂ Ｅ で あ る こ と を
証明しなさい。
Ｄ
(仮 定 ) ＡＢ＝ＢＤ＝ＤＡ，ＡＣ＝ＣＥ＝ＥＡ
Ｅ
Ａ
(結 論 ) ＤＣ＝ＢＥ
△ＡＤＣと△ＡＢＥにおいて
ＡＤ＝ＡＢ(仮定)…①
Ｂ
ＡＣ＝ＡＥ(仮定)…②
∠ＤＡＢ＝∠ＥＡＣ＝60°(正三角形の定理)…③
∠ＤＡＣ＝∠ＢＡＣ＋∠ＤＡＢ…④
∠ＤＡＣ，∠ＢＡＥともに
∠ＢＡＣ＋60°
となる
∠ＢＡＥ＝∠ＢＡＣ＋∠ＥＡＣ…⑤
③④⑤より∠ＤＡＣ＝∠ＢＡＥ…⑥
60°
①②⑥より2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
よって△ＡＤＣ≡△ＡＢＥ
Ｄ
Ｄ
よってＤＣ＝ＢＥである
Ｅ
Ａ
Ｂ
ポイント
 Ｂ＝ＣならばＡ＋Ｂ＝Ａ＋Ｃ
 Ｂ＝ＣならばＡ－Ｂ＝Ａ－Ｃ
 Ａ＝Ｂ，Ｂ＝ＣならばＡ＝Ｃ
証明の中で使う
Ｃ
Ｃ
Ｅ
Ａ
Ｂ
Ｃ
第５章
練習１
169
図形と証明
次の各問いに答えなさい。
① 正 三 角 形 の 定 義 と 定 理 を 2回 書 き な さ い 。
定 義
定 理
定 義
定 理
② ∠xの大きさを求めなさい。
△ＡＢＣは正三角形
Ａ
m
25°
m//n
Ｂ
n
練習２
x
Ｃ
次の問いに答えなさい。
① 正 三 角 形 Ａ Ｂ Ｃ の 辺 Ｂ Ｃ 上 に 点 Ｄ を と り 、 Ａ Ｄ を 1辺 と す る 正 三 角 形 Ａ Ｄ Ｅ を つ く る 。 Ｃ Ｅ
を結ぶとＢＤ＝ＣＥであることを証明しなさい。
Ａ
(仮 定 )
(結 論 )
Ｅ
(証 明 )
Ｂ
Ｄ
Ｃ
170
第５章
図形と証明
確 認 問 題 5-10-Ａ
1 次の各問いに答えなさい。
点
p 168 例１
(25点 × 2＝ 50点 )
① 正 三 角 形 の 定 義 と 定 理 を 2回 書 き な さ い 。
定 義
定 理
定 義
定 理
② ∠xの大きさを求めなさい。
△ＡＢＣは正三角形
m
Ａ
x
Ｃ
m//n
n
2 次の問いに答えなさい。
80°
Ｂ
p 168 例２
(50点 × 1＝ 50点 )
① 正 三 角 形 Ａ Ｂ Ｃ の 辺 Ｃ Ｂ の 延 長 上 に 点 Ｄ を と り 、 Ａ Ｄ を 1辺 と す る 正 三 角 形 Ａ Ｄ Ｅ を つ く
る。ＥＢを結ぶとＥＢ＝ＤＣであることを証明しなさい。
Ｅ
(仮 定 )
Ａ
(結 論 )
(証 明 )
Ｄ
Ｂ
Ｃ
第５章
確 認 問 題 5-10-Ｂ
1 次の各問いに答えなさい。
171
図形と証明
点
p 168 例１
(25点 × 2＝ 50点 )
① 正 三 角 形 の 定 義 と 定 理 を 2回 書 き な さ い 。
定 義
定 理
定 義
定 理
② ∠xの大きさを求めなさい。
△ＡＢＣは正三角形
Ａ
m
105°
m//n
Ｃ
x
n
2 次の問いに答えなさい。
Ｂ
p 168 例２
(50点 × 1＝ 50点 )
① 線 分 Ａ Ｂ 上 に 点 Ｃ を と る 。 Ａ Ｃ ， Ｂ Ｃ を そ れ ぞ れ 1辺 と す る 正 三 角 形 Ａ Ｃ Ｄ と Ｂ Ｃ Ｅ を つ く
る。ＡＥ，ＤＢを結ぶとＡＥ＝ＤＢであることを証明しなさい。
Ｄ
(仮 定 )
(結 論 )
Ｅ
(証 明 )
Ａ
Ｃ
Ｂ
172
第５章
１
１
例１
図形と証明
二等辺三角形になる条件
逆
次のことがらの逆を書きなさい。また、それは正しいといえますか。
① △ＡＢＣ≡△ＤＥＦならば∠Ａ＝∠Ｄである。
答 ∠Ａ＝∠Ｄならば△ＡＢＣ≡△ＤＥＦである
Ａ
Ｄ
正しくない
逆は正しいとは限らない
Ｂ
② m//nな ら ば ∠ a＝ ∠ bで あ る 。
答 ∠a＝∠bならばm//nである
m
正しい
n
Ｃ
Ｅ
Ｆ
a
b
ポイント
 あることがらの仮定と結論を入れかえたものを逆という
 逆は正しいとは限らない
例２
二等辺三角形になる条件
次の各問いに答えなさい。
① 二 等 辺 三 角 形 に な る 条 件 を 2つ 書 き な さ い 。
答 2つの辺が等しい，2つの角が等しい
正しくない
底角が等しい
② 右の図で、△ＡＢＣはＢＣを 底辺とする二等辺三角形 で あ る 。 Ｂ Ｄ ＝ Ｃ Ｅ な ら ば △ Ａ Ｄ Ｅ
は二等辺三角形であることを証明しなさい。
Ａ
(仮 定 ) ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ＝ＣＥ
(結 論 ) △ＡＤＥは二等辺三角形
△ＡＢＤと△ＡＣＥにおいて
ＡＢ＝ＡＣ（仮定）
Ｂ
Ｃ
ＢＤ＝ＣＥ（仮定）
Ｅ
Ｄ
∠ＡＢＤ＝∠ＡＣＥ（二等辺三角形の定理）
△ＡＤＥが二等辺三角形である
2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
ＡＤ＝ＡＥか∠ＡＤＥ＝∠ＡＥＤ
よって△ＡＢＤ≡△ＡＣＥ
のどちらかを証明する
よってＡＤ＝ＡＥ
2つの辺が等しいので△ＡＤＥは二等辺三角形である
ポイント
二等辺三角形になる条件
 2つの辺が等しい
 2つの角が等しい
※p200～p204参照
この2つのうちどちらかにあてはまれば二等辺三角形である
第５章
練習１
173
図形と証明
次のことがらの逆を書きなさい。また、それは正しいといえますか。
① △ＡＢＣで、ＡＢ＝ＡＣならば∠Ｂ＝∠Ｃである。
② x＝ 2， y＝ 6な ら ば x＋ y＝ 8で あ る 。
練習２
次の各問いに答えなさい。
① 二 等 辺 三 角 形 に な る 条 件 を 2つ 書 き な さ い 。


② 右の図で、△ＡＢＣはＢＣを 底辺とする二等辺三角形 で あ る 。 Ｂ Ｄ ＝ Ｃ Ｅ な ら ば △ Ｆ Ｂ Ｃ は
二等辺三角形であることを証明しなさい。
Ａ
(仮 定 )
(結 論 )
Ｅ
Ｄ
Ｆ
(証 明 )
Ｂ
Ｃ
174
第５章
図形と証明
確 認 問 題 5-11-Ａ
点
1 次のことがらの逆を書きなさい。また、それは正しいといえますか。
p 172 例１ (20点 × 2＝ 40点 )
① △ＡＢＣ≡△ＤＥＦならばＢＣ＝ＥＦである。
② ∠ a＝ ∠ bな ら ば m//nで あ る 。
n
2 次の各問いに答えなさい。
a
m
b
p 172 例２
(30点 × 2＝ 60点 )
① 二 等 辺 三 角 形 に な る 条 件 を 2つ 書 き な さ い 。


② 右の図で、△ＡＢＣはＢＣを 底辺とする二等辺三角形 で あ る 。 ∠ Ｂ Ａ Ｄ ＝ ∠ Ｃ Ａ Ｅ な ら ば
△ＡＤＥは二等辺三角形であることを証明しなさい。
Ａ
(仮 定 )
(結 論 )
(証 明 )
Ｂ
Ｄ
Ｅ
Ｃ
第５章
図形と証明
確 認 問 題 5-11-Ｂ
175
点
1 次のことがらの逆を書きなさい。また、それは正しいといえますか。
p 172 例１ (20点 × 2＝ 40点 )
① △ＡＢＣで、∠Ｂ＝∠ＣならばＡＢ＝ＡＣである。
② x＝ － 5， y＝ － 6な ら ば x＋ y＝ － 11で あ る 。
2 次の各問いに答えなさい。
p 172 例２
(30点 × 2＝ 60点 )
① 二 等 辺 三 角 形 に な る 条 件 を 2つ 書 き な さ い 。


② 右の図で、ＡＥ＝ＤＥ，∠ＢＡＥ＝∠ＣＤＥな ら ば △ Ｅ Ｂ Ｃ は 二 等 辺 三 角 形 で あ る こ と
を証明しなさい。
Ｄ
Ａ
Ｅ
(仮 定 )
(結 論 )
(証 明 )
Ｂ
Ｃ
176
第５章
図形と証明
１
２
例１
直 角 三 角 形
直角三角形の合同条件
次の各問いに答えなさい。
① 直角三角形の合同条件を書きなさい。
 斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい
Ａ
Ｂ
Ｄ
Ｃ Ｅ
Ｆ
Ａ
Ｄ
 斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい
Ｂ
Ｃ
Ｅ
Ｆ
② 右 の 図 で 、 ∠ Ａ Ｏ Ｐ ＝ ∠ Ｂ Ｏ Ｐ ， ∠ Ｐ Ａ Ｏ ＝ ∠ Ｐ Ｂ Ｏ ＝ 90°な ら ば Ｐ Ａ ＝ Ｐ Ｂ で あ る こ と
Ａ
を証明しなさい。
(仮 定 ) ∠ＡＯＰ＝∠ＢＯＰ，∠ＰＡＯ＝∠ＰＢＯ＝90°
Ｐ
(結 論 ) ＰＡ＝ＰＢ
△ＡＯＰと△ＢＯＰにおいて
1つの鋭角
∠ＡＯＰ＝∠ＢＯＰ（仮定）
直角
∠ＰＡＯ＝∠ＰＢＯ＝90°
（仮定）
斜辺
ＰＯ＝ＰＯ（共通）
直角三角形で斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい
よって△ＡＯＰ≡△ＢＯＰ
よってＰＡ＝ＰＢである
Ｏ
Ｂ
直角三角形の合同の証明
※ 直角三角形の合同条件を使う
※ 普通の三角形の合同条件を使う
ポイント
※p208～p211参照
直角三角形の合同条件
 斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい
三角形の内角の和は180°で
Ａ
Ｄ
∠Ａ＝∠Ｄ＝90°、∠Ｃ＝∠Ｆより∠Ｂ＝∠Ｅとなる。
よって１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しくなる。
ゆえに△ＡＢＣ≡△ＤＥＦとなる。
Ｂ
Ｃ Ｅ
Ｆ
 斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい
Ａ
Ｂ
Ｄ
Ｃ Ｅ
Ｆ
△ＡＢＣの辺ＡＢと△ＤＥＦの辺ＤＥ
をくっつけると右図のように二等辺
三角形となる。
二等辺三角形では底角が等しい
ので∠Ｃ＝∠Ｆとなる。
よって 斜 辺 と 1 つ の 鋭 角 が そ
れぞれ等しい。
Ｃ
ゆえに△ＡＢＣ≡△ＤＥＦとなる。
Ｂ Ｅ
Ａ Ｄ
Ｆ
第５章
練習１
図形と証明
177
次の各問いに答えなさい。
① 直 角 三 角 形 の 合 同 条 件 を 3回 書 き な さ い 。






② 右 の 図 で 、 Ｐ Ａ ＝ Ｐ Ｂ ， ∠ Ｐ Ａ Ｏ ＝ ∠ Ｐ Ｂ Ｏ ＝ 90°な ら ば ∠ Ａ Ｏ Ｐ ＝ ∠ Ｂ Ｏ Ｐ で あ る こ と を
Ａ
証明しなさい。
(仮 定 )
Ｐ
(結 論 )
(証 明 )
Ｏ
Ｂ
178
第５章
図形と証明
確 認 問 題 5-12-Ａ
点
p 176 例１
(50点 × 2＝ 100点 )
① 直 角 三 角 形 の 合 同 条 件 を 3回 書 き な さ い 。
1 次の各問いに答えなさい。






② 右 の 図 で 、 Ａ Ｍ ＝ Ｂ Ｍ ， ∠ Ａ Ｃ Ｍ ＝ ∠ Ｂ Ｄ Ｍ ＝ 90°な ら ば Ａ Ｃ ＝ Ｂ Ｄ で あ る こ と を 証 明
しなさい。
Ｄ
(仮 定 )
Ａ
Ｍ
(結 論 )
Ｃ
(証 明 )
Ｂ
第５章
確 認 問 題 5-12-Ｂ
179
図形と証明
点
p 176 例１
(50点 × 2＝ 100点 )
① 直 角 三 角 形 の 合 同 条 件 を 3回 書 き な さ い 。
1 次の各問いに答えなさい。






② 右の図で、△ＡＢＣはＢＣを 底辺とする二等辺三角形 で あ る 。 ∠ Ａ Ｅ Ｂ ＝ ∠ Ａ Ｄ Ｃ ＝ 90°
ならばＡＥ＝ＡＤであることを証明しなさい。
Ａ
(仮 定 )
(結 論 )
Ｄ
Ｅ
(証 明 )
Ｂ
Ｃ
180
第５章
１
３
例１
図形と証明
平 行 四 辺 形
平行四辺形の定義と定理
次の各問いに答えなさい。
① 平行四辺形の定義を書きなさい。
Ａ
 2組の向かい合う辺がそれぞれ平行である四角形
Ｄ
Ｂ
Ｃ
Ａ
② 平 行 四 辺 形 の 定 理 (性 質 )を 書 き な さ い 。
 2組の向かい合う辺はそれぞれ等しい
Ｂ
Ｃ
Ａ
 2組の向かい合う角はそれぞれ等しい
 対角線はそれぞれの中点で交わる
Ｄ
Ｂ
Ｃ
Ａ
教科書によって多少表現が違うので
学校で習った通りに覚えましょう
平行四辺形の定理（性質）
 2組の向かい合う辺はそれぞれ等しい
 2組の向かい合う角はそれぞれ等しい
 対角線はそれぞれの中点で交わる Ｂ
例２
Ｄ
Ｂ
Ａ
Ｃ
Ａ
※p200～p204参照
平行四辺形の定義
 2組の向かい合う辺がそれぞれ平行である四角形
Ｄ
Ｄ
Ｏ
Ｂ
ポイント
Ｄ
Ｃ
Ａ
Ｄ
Ａ
Ｄ
Ｏ
Ｃ
Ｂ
Ｃ
Ｂ
Ｃ
平行四辺形の性質を使った証明
次の問いに答えなさい。
① 平行四辺形ＡＢＣＤの対角線の交点Ｏを通る直線が、ＡＤ，ＢＣと交わる点をそ
れぞれＭ，Ｎとするとき、ＡＭ＝ＣＮであることを証明しなさい。
Ｍ
Ａ
(仮 定 ) ＡＢ//ＣＤ，ＡＤ//ＢＣ
定義
Ｄ
仮定となる
Ｏ
(結 論 ) ＡＭ＝ＣＮ
△ＡＯＭと△ＣＯＮにおいて
∠ＭＡＯ＝∠ＮＣＯ（平行線の錯角）
∠ＡＯＭ＝∠ＣＯＮ（対頂角）
ＡＯ＝ＣＯ（平行四辺形の定理） 定理
1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい
よって△ＡＯＭ≡△ＣＯＮ
よってＡＭ＝ＣＮである
Ｂ
Ｃ
Ｎ
仮定とならない
平行四辺形の定理の中から
証明に必要なものを使う
ポイント
平行四辺形の定義（仮定になる） ※p200～p204参照
 2組の向かい合う辺がそれぞれ平行である四角形
平行四辺形の定理（仮定にならない）
 2組の向かい合う辺はそれぞれ等しい Ａ
 2組の向かい合う角はそれぞれ等しい
 対角線はそれぞれの中点で交わる
Ｂ
Ｃ
Ａ
Ｂ
Ｄ
Ｄ
Ｃ
Ａ
Ｄ
Ａ
Ｄ
Ｏ
Ｂ
Ｃ
Ｂ
Ｃ
第５章
練習１
181
図形と証明
次の問いに答えなさい。
① 平行四辺形の定義と定理を書きなさい。
定 義
定 理
定 理
定 理
練習２
次の各問いに答えなさい。
① 平行四辺形ＡＢＣＤの対角線ＡＣ上にＡＥ＝ＣＦとなるように点Ｅ，Ｆをとるとき、ＢＥ
＝ＤＦであることを証明しなさい。
Ａ
Ｄ
Ｅ
(仮 定 )
(結 論 )
(証 明 )
Ｆ
Ｃ
Ｂ
② 平行四辺形ＡＢＣＤの対角線の交点Ｏを通る直線に垂線ＡＥ，ＣＦをひくとき、ＡＥ
＝ＣＦであることを証明しなさい。
Ｅ
Ａ
(仮 定 )
Ｄ
Ｏ
(結 論 )
(証 明 )
Ｂ
Ｆ
Ｃ
182
第５章
図形と証明
確 認 問 題 5-13-Ａ
1 次の問いに答えなさい。
点
p 180 例１
(40点 × 1＝ 40点 )
① 平行四辺形の定義と定理を書きなさい。
定 義
定 理
定 理
定 理
2 次の各問いに答えなさい。
p 180 例２
(30点 × 2＝ 60点 )
① 平 行 四 辺 形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ の 辺 Ａ Ｄ ， Ｂ Ｃ 上 にＡＥ＝ＣＦとなるように点Ｅ，Ｆをとるとき、
ＢＥ＝ＤＦであることを証明しなさい。
Ｅ
Ａ
Ｄ
(仮 定 )
(結 論 )
(証 明 )
Ｆ
Ｂ
Ｃ
② 平行四辺形ＡＢＣＤの対角線ＢＤに垂線ＡＥ，ＣＦをひくとき、ＢＥ＝ＤＦであること
を証明しなさい。
Ａ
Ｄ
Ｆ
(仮 定 )
Ｅ
(結 論 )
Ｂ
(証 明 )
Ｃ
第５章
確 認 問 題 5-13-Ｂ
1 次の問いに答えなさい。
183
図形と証明
点
p 180 例１
(40点 × 1＝ 40点 )
① 平行四辺形の定義と定理を書きなさい。
定 義
定 理
定 理
定 理
2 次の各問いに答えなさい。
p 180 例２
(30点 × 2＝ 60点 )
① 平 行 四 辺 形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ の 対 角 線 Ｂ Ｄ 上 に Ｏ Ｅ ＝ Ｏ Ｆとなるように点Ｅ，Ｆをとるとき、
ＡＥ＝ＣＦであることを証明しなさい。
Ａ
Ｄ
Ｆ
(仮 定 )
Ｏ
(結 論 )
Ｅ
Ｃ
Ｂ
(証 明 )
② 平行四辺形ＡＢＣＤの頂点Ａ，Ｃから垂線ＡＭ，ＣＮをひくとき、ＢＭ＝ＤＮである
Ｎ
Ａ
Ｄ
ことを証明しなさい。
(仮 定 )
(結 論 )
(証 明 )
Ｂ
Ｍ
Ｃ
184
第５章
１
４
例１
図形と証明
平 行 四 辺 形 に な る 条 件
平行四辺形になる条件
次の各問いに答えなさい。
① 平行四辺形になる条件を書きなさい。
Ａ
Ｂ
 2組の向かい合う辺がそれぞれ平行である
Ｄ
Ｃ
Ａ
Ｄ
 2組の向かい合う辺がそれぞれ等しい
Ｂ
 対角線がそれぞれの中点で交わる
Ｃ
Ａ
 2組の向かい合う角がそれぞれ等しい
Ｂ
Ｄ
Ｃ
Ａ
 1組の向かい合う辺が平行で、その長さが等しい
Ｄ
Ｏ
Ｂ
Ｃ
Ａ
教科書によって多少表現が違うので
学校で習った通りに覚えましょう
Ｂ
Ｄ
Ｃ
② 平行四辺形ＡＢＣＤの対角線ＢＤ上にＢＥ＝ＤＦとなるように点Ｅ，Ｆをとると、四
Ａ
Ｄ
角形ＡＥＣＦは平行四辺形であることを証明しなさい。
Ｆ
(仮 定 ) ＡＢ//ＣＤ，ＡＤ//ＢＣ，ＢＥ＝ＤＦ
Ｅ
同様にして 同じような説明のとき使う
△ＤＡＦ≡△ＢＣＥ
よってＡＦ＝ＣＥ…②
①②より
2組の向かい合う辺がそれぞれ等しい
よって四角形ＡＥＣＦは平行四辺形である
△ＡＢＥと△ＣＤＦにおいて
∠ＡＢＥ＝∠ＣＤＦ（平行線の錯角）
Ｂ Ｅ ＝ Ｄ Ｆ（仮定）
Ａ Ｂ ＝ Ｃ Ｄ（平行四辺形の定理）
2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
よって△ＡＢＥ≡△ＣＤＦ
よってＡＥ＝ＣＦ…①
また∠ＡＥＢ＝∠ＣＦＤ
よって∠ＡＥＦ＝∠ＣＦＥ
錯角が等しいのでＡＥ//ＣＦ…②
①②より
1組の向かい合う辺が平行で
その長さが等しい
よって四角形ＡＥＣＦは平行四辺形である
別 の方 法
(結 論 ) 四角形ＡＥＣＦは平行四辺形
△ＡＢＥと△ＣＤＦにおいて
∠ＡＢＥ＝∠ＣＤＦ（平行線の錯角）
Ｂ Ｅ ＝ Ｄ Ｆ（仮定）
Ａ Ｂ ＝ Ｃ Ｄ（平行四辺形の定理）
2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
よって△ＡＢＥ≡△ＣＤＦ
よってＡＥ＝ＣＦ…①
Ｂ
Ｃ
ポイント
Ａ
平行四辺形になる条件 ※p200～p204参照
 2組の向かい合う辺がそれぞれ平行である
 2組の向かい合う辺がそれぞれ等しい Ｂ
 2組の向かい合う角がそれぞれ等しい
 対角線はそれぞれの中点で交わる
 2組の向かい合う辺が平行で、その長さが等しい
Ｄ Ａ
Ｄ Ａ
Ｃ Ｂ
Ａ
Ｄ
Ｄ
Ｃ Ｂ
Ａ
Ｃ
Ｄ
Ｏ
Ｂ
Ｃ
Ｂ
Ｃ
第５章
練習１
図形と証明
185
次の各問いに答えなさい。
① 平 行 四 辺 形 に な る 条 件 を 2回 書 き な さ い 。










② 右の図で四角形ＡＢＣＤ，ＢＥＦＣがともに平行四辺形ならば、四角形ＡＥＦＤは平
行四辺形であることを証明しなさい。
Ａ
Ｄ
(仮 定 )
Ｂ
Ｃ
(結 論 )
Ｅ
(証 明 ) Ａ Ｄ //
（仮定）…①
ＡＤ＝
（平行四辺形の定理）…②
//Ｅ Ｆ （ 仮 定 ） … ③
＝ＥＦ（平行四辺形の定理）…④
① ③ よ り Ａ Ｄ //
…⑤
②④よりＡＤ＝
…⑥
⑤⑥より
よって四角形ＡＥＦＤは平行四辺形である
Ｆ
186
第５章
図形と証明
確 認 問 題 5-14-Ａ
1 次の問いに答えなさい。
点
p 184 例１
(50点 × 2＝ 100点 )
① 平 行 四 辺 形 に な る 条 件 を 2回 書 き な さ い 。










② 平行四辺形ＡＢＣＤの対角線ＢＤ上にＢＥ＝ＤＦとなるように点Ｅ，Ｆをとると、四角
形ＡＥＣＦは平行四辺形であることを証明しなさい。
Ａ
Ｄ
Ｆ
(仮 定 )
Ｏ
Ｅ
(結 論 )
Ｂ
(証 明 ) Ａ Ｏ ＝
（平行四辺形の定理）…①
ＢＯ＝
（平行四辺形の定理）…②
Ｂ Ｅ＝
（仮定）…③
Ｏ Ｅ＝ＢＯ－
…④
ＯＦ＝ＤＯ－
…⑤
②③④⑤よりＯＥ＝ＯＦ…⑥
①⑥より
よって四角形ＡＥＣＦは平行四辺形である
Ｃ
第５章
図形と証明
確 認 問 題 5-14-Ｂ
1 次の問いに答えなさい。
187
点
p 184 例１
(50点 × 2＝ 100点 )
① 平 行 四 辺 形 に な る 条 件 を 2回 書 き な さ い 。










② 平 行 四 辺 形 ＡＢ Ｃ Ｄ の 辺 ＡＤ の中 点 をＭ ，辺 ＢＣの中点をＮとするとき、四角形
ＡＮＣＭは平行四辺形であることを証明しなさい。
Ｍ
Ａ
Ｄ
(仮 定 )
(結 論 )
Ｂ
(証 明 ) Ａ Ｍ //
（仮定）…①
ＡＤ＝
（平行四辺形の定理）…②
ＡＭ＝
1
2
（仮定）…③
Ｃ Ｎ＝
1
2
（仮定）…④
②③④よりＡＭ＝ＣＮ…⑤
①⑤より
よって四角形ＡＮＣＭは平行四辺形である
Ｎ
Ｃ
188
第５章
１
５
例１
図形と証明
特 別 な 平 行 四 辺 形
特別な平行四辺形
次の各問いに答えなさい。
① 長方形の定義と定理（性質）を書きなさい。
定 義 4つの角がすべて等しい四角形
Ａ
Ｄ
Ｂ
Ａ
Ｃ
Ｄ
定 理 2つの対角線は等しい
Ｂ
Ｃ
Ｄ
② ひし形の定義と定理（性質）を書きなさい。
Ａ
Ｃ
定 義 4つの辺がすべて等しい四角形
Ｂ
Ｄ
定 理 2つの対角線は垂直に交わる
Ａ
Ｃ
Ｂ
③ 正方形の定義と定理（性質）を書きなさい。
定 義 4つの角がすべて等しく、4つの辺もすべて等しい四角形
Ａ
Ｄ
Ｂ
Ａ
Ｃ
Ｄ
Ｂ
Ｃ
定 理 2つの対角線の長さが等しく、垂直に交わる
ポイント
特別な平行四辺形（平行四辺形の性質はすべて持っている） ※p200～p204参照
長方形
平行四辺形
 定義…4つの角がすべて等しい四角形
ひし形
長方形
 定理（性質）…2つの対角線は等しい
ひし形
正方形
 定義…4つの辺がすべて等しい四角形
 定理（性質）…2つの対角線は垂直に交わる
正方形
 定義…4つの角がすべて等しく、4つの辺もすべて等しい四角形
 定理（性質）…2つの対角線の長さが等しく、垂直に交わる
２組の向かい合う辺をそれぞれ平行にする
２組の向かい合う辺をそれぞれ等しくする
２組の向かい合う角をそれぞれ等しくする
対角線をそれぞれの中点で交わらせる
１組の向かい合う辺を平行で等しくする
四角形
ひし形
する
しく せる
等
を
ら
う辺 交わ
りあ 垂直に
な
平行四辺形 と 線を
対角
１つ
の
対角 角を直
線の
角
長さ にする
を等
しく
す
長方形
る
１つ
の
対角 角を直
線の
角
長さ にする
を等
しく
する
する
しく せる
等
ら
辺を 交わ
あう 直に
り
垂
とな 線を
対角
正方形
第５章
練習１
図形と証明
次の問いに答えなさい。
① 長 方 形 の 定 義 と 定 理 を 2回 書 き な さ い 。
定 義
定 理
定 義
定 理
② ひ し 形 の 定 義 と 定 理 を 2回 書 き な さ い 。
定 義
定 理
定 義
定 理
③ 正 方 形 の 定 義 と 定 理 を 2回 書 き な さ い 。
定 義
定 理
定 義
定 理
④ 平行四辺形でとなり合う辺が等しいとき、何という四角形ですか。
⑤ 平行四辺形でとなり合う角が等しいとき、何という四角形ですか。
⑥ 平行四辺形で対角線が等しいとき、何という四角形ですか。
⑦ 平行四辺形で対角線が垂直に交わるとき、何という四角形ですか。
⑧ 平行四辺形でとなり合う辺も角も等しいとき、何という四角形ですか。
⑨ 平行四辺形で対角線が等しく、垂直に交わるとき、何という四角形ですか。
189
190
第５章
図形と証明
確 認 問 題 5-15-Ａ
1 次の各問いに答えなさい。
p 188 例１
(10点 × 10＝ 100点 )
① 長方形の定義と定理を書きなさい。
定 義
定 理
② ひし形の定義と定理を書きなさい。
定 義
定 理
③ 正方形の定義と定理を書きなさい。
定 義
定 理
④ 長方形でとなり合う辺が等しいとき、何という四角形ですか。
⑤ 平行四辺形でとなり合う角が等しいとき、何という四角形ですか。
⑥ 平行四辺形で対角線が等しいとき、何という四角形ですか。
⑦ 長方形で対角線が垂直に交わるとき、何という四角形ですか。
⑧ 平行四辺形でとなり合う辺も角も等しいとき、何という四角形ですか。
⑨ 平行四辺形で対角線が垂直に交わるとき、何という四角形ですか。
⑩ ひし形でとなり合う角が等しいとき、何という四角形ですか。
点
第５章
図形と証明
確 認 問 題 5-15-Ｂ
1 次の各問いに答えなさい。
p 188 例１
(10点 × 10＝ 100点 )
① 長方形の定義と定理を書きなさい。
定 義
定 理
② ひし形の定義と定理を書きなさい。
定 義
定 理
③ 正方形の定義と定理を書きなさい。
定 義
定 理
④ 平行四辺形でとなり合う辺が等しいとき、何という四角形ですか。
⑤ ひし形でとなり合う角が等しいとき、何という四角形ですか。
⑥ 平行四辺形で対角線が等しいとき、何という四角形ですか。
⑦ 長方形で対角線が垂直に交わるとき、何という四角形ですか。
⑧ 平行四辺形でとなり合う辺も角も等しいとき、何という四角形ですか。
⑨ 平行四辺形で対角線が垂直に交わるとき、何という四角形ですか。
⑩ 長方形でとなり合う辺が等しいとき、何という四角形ですか。
点
191
192
第５章
図形と証明
１
６
例１
面 積 の 等 し い 三 角 形
面積の等しい三角形
△ＡＢＤと面積の等しい三角形を書きなさい。
① （ＡＣ//ＢＤ）
Ａ
② （ＡＥ//ＢＣ）
Ｃ
Ａ
Ａ
Ｃ
Ｅ
Ａ
Ｄ
Ｅ
Ｄ
Ｂ
Ｄ
Ｂ
Ｂ
ＢＤを底辺とすると
△ＡＢＤと△ＣＢＤの
高さが等しくなる
よって△ＡＢＤ＝△ＣＢＤ
Ｄ
Ｃ
Ｂ
△ＡＢＣ＝△ＥＢＣ
△ＡＢＤ＝△ＡＢＣ－△ＤＢＣ
△ＥＣＤ＝△Ｅ Ｂ Ｃ－△ＤＢＣ
答 △ＥＣＤ
よって△ＡＢＤ＝△ＥＣＤ
答 △ＣＢＤ
Ｃ
ポイント
Ｑ
Ｐ
※p200～p204参照
面積の等しい三角形
 底辺が共通で、頂点が底辺に平行な直線上
にある三角形の面積は等しい
△ＰＡＢ＝△ＱＡＢ＝△ＲＡＢ
Ａ
底辺
Ｒ
Ｂ
例２
等積変形
ＢＣの延長上に点Ｅをとり、△ＡＢＥの面積が四角形ＡＢＣＤの面積と等しくなるよう
にするには、点Ｅをどのようにとればよいか。作図で求めなさい。
Ａ
Ａ
Ａ
Ｄ
Ｂ
Ｄ
Ｃ
Ｂ
Ｄ
Ｃ
Ｂ
ＢＣを延長する
Ａ
注 平行の記号をつける
Ａ
Ｄ
Ｄ
Ｅ
Ｂ
Ｃ
ＡＣを結ぶ
Ｃ
点Ｄを通りＡＣに平行な直線をひき
ＢＣの延長との交点をＥとする
Ｅ
Ｂ
Ｃ
ＡＥを結ぶ
ＡＣを底辺とすると
△ＡＤＣと△ＡＥＣの
高さが等しくなる
よって△ＡＤＣ＝△ＡＥＣ
よって△ＡＢＥの面積が
四角形ＡＢＣＤの面積と
等しくなる
第５章
練習１
193
図形と証明
次の各問いに答えなさい。
① △ＡＢＣと面積の等しい三角形を書きなさい。
Ｄ
Ａ
（ＡＤ//ＢＣ）
Ｏ
② △ＡＣＤと面積の等しい三角形を書きなさい。
Ｃ
Ｂ
③ △ＡＢＯと面積の等しい三角形を書きなさい。
④ 平行四辺形ＡＢＣＤの辺ＢＣの延長線上に点Ｆをと
り、ＡとＦ，ＤとＦを結ぶ。ＡＦとＣＤの交点をＥ，ＡＣ
とＢＥの交点をＧとするとき、△ＥＢＣと面積の等し
い三角形をすべて書きなさい。
Ａ
Ｄ
Ｅ
Ｇ
Ｂ
練習２
Ｃ
Ｆ
次の各問いに答えなさい。
① ＣＤを左右に延長し、Ｃの左に点Ｆ，Ｄの右に点Ｇをとり、△ＡＦＧの面積が五角形
ＡＢＣＤＥの面積と等しくなるようにするには、点Ｆ，点Ｇをどのようにとればよいか。
作図で求めなさい。
Ａ
Ｂ
Ｅ
Ｃ
Ｄ
② あ る 土 地 が 折 れ 線 Ａ Ｂ Ｃ を 境 界 と し て 2つ に 分 け ら れ て い る 。 2 つ の 土 地 の 面 積 を 変
えないで境界線をＣを通る直線に変えたい。どのように境界線をひけばよいか。作
図で求めなさい。
194
第５章
図形と証明
確 認 問 題 5-16-Ａ
点
p 192 例１
1 次の各問いに答えなさい。
(20点 × 3＝ 60点 )
① △ＡＢＣと面積の等しい三角形を書きなさい。
Ａ
（ＡＤＢＣ）
Ｂ
Ｏ
② △ＡＢＯと面積の等しい三角形を書きなさい。
Ｄ
Ｃ
③ 平行四辺形ＡＢＣＤの辺ＢＣ，ＣＤ上に点Ｅ，Ｆをと
る 。 Ｂ Ｄ //Ｅ Ｆ で あ る と き △ Ａ Ｂ Ｅ と 面 積 の 等 し い 三
角形をすべて書きなさい。
Ａ
Ｄ
Ｆ
Ｂ
Ｅ
Ｃ
p 192 例２
2 次の各問いに答えなさい。
(20点 × 2＝ 40点 )
① ＢＣの延長上に点Ｅをとり、△ＡＢＥの面積が四角形ＡＢＣＤの面積と等しくなるよう
にするには、点Ｅをどのようにとればよいか。作図で求めなさい。
Ａ
Ｄ
Ｂ
Ｃ
② あ る 土 地 が 直 線 Ａ Ｂ を 境 界 と し て 2つ に 分 け ら れ て い る 。 2 つ の 土 地 の 面 積 を 変 え な
いでＰを通る線分ＰＳを新しい境界にするためにはどのように境界線をひけばよい
か。作図で求めなさい。
Ａ
Ｐ
Ｂ
第５章
確 認 問 題 5-16-Ｂ
1 次の各問いに答えなさい。
195
図形と証明
点
p 192 例１
(20点 × 3＝ 60点 )
① △ＣＢＤと面積の等しい三角形を書きなさい。
Ａ
Ｃ
Ｏ
② △ＡＯＣと面積の等しい三角形を書きなさい。
（ＡＢ//ＣＤ）
Ｂ
Ｄ
③ 平行四辺形ＡＢＣＤの辺ＡＤ，ＢＣ上に点Ｅ，Ｆをと
る 。 Ａ Ｂ //Ｅ Ｆ で あ る と き △ Ａ Ｂ Ｆ と 面 積 の 等 し い 三
角形をすべて書きなさい。
Ａ
Ｅ
Ｇ
Ｈ
Ｂ
2 次の各問いに答えなさい。
Ｄ
Ｉ
Ｃ
Ｆ
p 192 例２
(20点 × 2＝ 40点 )
① ＤＣの延長上に点Ｅをとり、△ＡＥＤの面積が四角形ＡＢＣＤの面積と等しくなるよう
にするには、点Ｅをどのようにとればよいか。作図で求めなさい。
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
② あ る 土 地 が 折 れ 線 Ａ Ｂ Ｃ を 境 界 と し て 2つ に 分 け ら れ て い る 。 2 つ の 土 地 の 面 積 を 変
えないで境界線をＡを通る直線に変えたい。どのように境界線をひけばよいか。作
図で求めなさい。
196
第６章
確率
１
確
例１
率
簡単な確率
次の各問いに答えなさい。
① 1つ の さ い こ ろ を 投 げ る と き 、 奇 数 が で る 確 率 を 求 め な さ い 。
出る目は 1 2 3 4 5 6
6通り
奇数は 1 3 5
3通り
この中で
確率は
1
3
1
＝
6
2
答 2
② ジ ョ ー カ ー の 入 っ て い な い 52枚 の ト ラ ン プ か ら 1枚 ひ く と き 、 そ の カ ー ド が ハ ー ト
で あ る 確 率 を 求 め な さ い 。 ♥の1～13 ♠の1～13
♥の1～13
♣の1～13
52通り
♦の1～13
確率は
例２
13通り
13
1
＝
52
4
1
答 4
確率（１）
次の各問いに答えなさい。
① 大小 2つ のさいころを同 時に 投げるとき、出 る目の 和が 10以 上になる確率を求 めなさい。
大
小
1－1
1－2
1－3
1－4
1－5
1－6
大
小
2－1
2－2
2－3
2－4
2－5
2－6
大
小
3－1
3－2
3－3
3－4
3－5
3－6
大
小
4－1
4－2
4－3
4－4
4－5
4－6
大
小
大
5－1
5－2
5－3
5－4
5－5
5－6
小
6－1
6－2
6－3
6－4
6－5
6－6
大
小
大
4－6
5－5
6－4
和が10
36通り
小
5－6
6－5
和が11
確率は
2つのさいころは36通り
大
小
6－6
和が12
6通り
6
1
＝
36
6
1
答 6
② コ イ ン を 3回 続 け て 投 げ る と き 、 表 が 2回 出 る 確 率 を 求 め な さ い 。
1回目
2回目
3回目
表
裏
表
裏
表
裏
表
裏
表
表
裏
表
裏
裏
例３
表
表
裏
表
裏
表
裏
表
表
8通り
3通り
確率は
3
8
3
答 8
確率（２）
次の問いに答えなさい。
① 赤 球 が 3個 、 白 球 が 2個 入 っ た 袋 か ら 同 時 に 2個 の 球 を 取 り 出 す と き 、 2個 と も 赤 球
である確率を求めなさい。
1
2
…赤
2
1
3
1
2
1
2
3
1
2
1
3
2
1
2
…白
1
1
2
3
2
1
2
2
3
順番が関係ない
1
3
10通り
2
3
1
確率は
3
10
3
答 10
3通り
第６章
練習１
確率
197
次の各問いに答えなさい。
① 1つ の さ い こ ろ を 投 げ る と き 、 2以 上 の 目 が で る 確 率 を 求 め な さ い 。
② 1か ら 15ま で の 数 字 が 1つ ず つ 書 か れ た 15枚 の カ ー ド か ら 1枚 ひ く と き 、 そ の カ ー ド
が 5の 倍 数 で あ る 確 率 を 求 め な さ い 。
練習２
次の各問いに答えなさい。
① 大小2つのさいころを同時に投げるとき、出る目の和が8以上になる確率を求めなさい。
② Ａ ， Ｂ ， Ｃ の 3人 で じ ゃ ん け ん を す る と き 、 Ａ だ け が 勝 つ 確 率 を 求 め な さ い 。
練習３
次の各問いに答えなさい。
① 赤 球 が 2個 、 白 球 が 3個 入 っ た 袋 か ら 同 時 に 2個 の 球 を 取 り 出 す と き 、 2つ の 球 の 色
が異なる確率を求めなさい。
② Ａ ， Ｂ ， Ｃ ， Ｄ の 4人 の う ち Ａ は 男 子 で Ｂ ， Ｃ ， Ｄ は 女 子 で あ る 。 こ の 中 か ら 代 表 を 2人
選ぶとき、代表が男子と女子になる確率を求めなさい。
198
第６章
確率
確 認 問 題 6-2-Ａ
1 次の各問いに答えなさい。
点
p 196 例１
(10点 × 2＝ 20点 )
① 1つ の さ い こ ろ を 投 げ る と き 、 偶 数 の 目 が で る 確 率 を 求 め な さ い 。
② ジ ョ ー カ ー の 入 っ て い な い 52枚 の ト ラ ン プ か ら 1枚 ひ く と き 、 そ の カ ー ド が キ ン グ （ 13）
である確率を求めなさい。
2 次の各問いに答えなさい。
p 196 例２
(20点 × 2＝ 40点 )
① 大小2つのさいころを同時に投げるとき、出る目が同じになる確率を求めなさい。
② １ ２ ３ ４ の 4枚 の カ ー ド の 中 か ら 2枚 の カ ー ド を 選 ん で 2け た の 整 数 を 作 る と
き 、 そ の 数 が 3の 倍 数 と な る 確 率 を 求 め な さ い 。
3 次の各問いに答えなさい。
p 196 例３
(20点 × 2＝ 40点 )
① 赤 球 が 1個 、 白 球 が 3個 入 っ た 袋 か ら 同 時 に 2個 の 球 を 取 り 出 す と き 、 2個 と も 白 球
である確率を求めなさい。
② ０ １ ２ ３ の 4枚 の カ ー ド の 中 か ら 同 時 に 2枚 の カ ー ド を 取 り 出 し た と き 、 2枚 の
カ ー ド の 数 の 和 が 2以 上 に な る 確 率 を 求 め な さ い 。
第６章
確率
確 認 問 題 6-2-Ｂ
1 次の各問いに答えなさい。
199
点
p 196 例１
(10点 × 2＝ 20点 )
① 1つ の さ い こ ろ を 投 げ る と き 、 4以 下 の 目 が で る 確 率 を 求 め な さ い 。
② 1か ら 20ま で の 数 字 が 1 つ ず つ 書 か れ た 20枚 の カ ー ド か ら 1枚 ひ く と き 、 そ の カ ー ド
が 2の 倍 数 ま た は 3の 倍 数 で あ る 確 率 を 求 め な さ い 。
2 次の各問いに答えなさい。
p 196 例２
(20点 × 2＝ 40点 )
① 大小2つのさいころを同時に投げるとき、出る目の差が2になる確率を求めなさい。
② コ イ ン を 3回 続 け て 投 げ る と き 、 裏 が 1回 出 る 確 率 を 求 め な さ い 。
3 次の各問いに答えなさい。
p 196 例３
(20点 × 2＝ 40点 )
① 赤 球 が 4個 、 白 球 が 2個 入 っ た 袋 か ら 同 時 に 2個 の 球 を 取 り 出 す と き 、 2つ の 球 の 色
が異なる確率を求めなさい。
② Ａ ， Ｂ ， Ｃ ， Ｄ ， Ｅ の 5人 の う ち Ａ ， Ｂ ， Ｃ は 男 子 で Ｄ ， Ｅ は 女 子 で あ る 。 こ の 中 か ら 代
表 を 2人 選 ぶ と き 、 代 表 が 男 子 と 女 子 に な る 確 率 を 求 め な さ い 。
200
第７章
図形のまとめ
図 形 の ま と め
１ 対頂角
a
対頂角の大きさは等しい
∠a＝∠c
∠b＝∠d
d
b
c
２ 平行線と錯角・同位角
平行線では同位角は等しい
平行線では錯角は等しい
３ 三角形の内角と外角
外角
b＋c
三角形の内角の和は180°である
a
三角形の外角は、それととなりあわない2つの内角の和に等しい
b
内角
c
外角
a＋b
外角
a＋c
４ 多角形の内角の和と外角の和
×（n－2）
n角形の内角の和は180°
n角形の外角の和は360°
５ 合同な図形の性質
合同な図形では対応する辺の長さは等しい
合同な図形では対応する角の大きさは等しい
６ 三角形の合同条件
次のいずれかの場合に2つの三角形は合同である
Ａ
Ｄ
3組の辺がそれぞれ等しい
Ｂ
Ｃ
Ｅ
Ａ
Ｆ
Ｄ
2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
Ｂ
Ｃ
Ｅ
Ａ
Ｆ
Ｄ
1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい
Ｂ
Ｃ
Ｅ
Ｆ
第７章
図形のまとめ
７ 二等辺三角形
Ａ
定義…2辺が等しい三角形
頂角
底角
Ｂ
Ｃ
底辺
Ａ
定理…2つの底角は等しい
Ｂ
Ａ
Ｃ
Ｂ
Ｈ
Ｃ
頂角の２等分線は底辺を垂直に２等分する
８ 二等辺三角形になる条件
次のいずれかの場合に二等辺三角形である
2つの辺が等しい
2つの角が等しい
９ 正三角形
定義…3辺が等しい三角形
定理…3つの内角は等しい
１０ 直角三角形の合同条件
次のいずれかの場合に直角三角形は合同である
Ａ
斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい
Ｂ
Ｄ
Ｃ Ｅ
Ｆ
Ａ
斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい
Ｂ
Ｄ
Ｃ
Ｅ
Ｆ
Ａ
Ｄ
１１ 平行四辺形
定義…2組の向かい合う辺がそれぞれ平行である四角形
Ｂ
Ｃ
Ａ
定理…2組の向かい合う辺はそれぞれ等しい
Ｂ
2組の向かい合う角はそれぞれ等しい
Ｂ
対角線はそれぞれの中点で交わる
Ｄ
Ｃ
Ａ
Ｃ
Ａ
Ｄ
Ｏ
Ｂ
Ｄ
Ｃ
201
202
第７章
図形のまとめ
１２ 平行四辺形になる条件
次のいずれかの場合に平行四辺形である
Ａ
Ｄ
2組の向かい合う辺がそれぞれ平行
Ｂ
Ｃ
Ａ
Ｄ
2組の向かい合う辺がそれぞれ等しい
Ｂ
Ｃ
Ａ
Ｄ
2組の向かい合う角がそれぞれ等しい
Ｂ
Ｃ
Ａ
対角線がそれぞれの中点で交わる
Ｏ
Ｂ
Ｃ
Ａ
1組の向かい合う辺が平行でその長さが等しい
Ｂ
Ｃ
１３ 長方形
定義…4つの角がすべて等しい四角形
Ａ
Ｄ
Ｂ
Ａ
Ｃ
Ｄ
Ｂ
Ｃ
定理…2つの対角線は等しい
１４ ひし形
Ｄ
定義…4つの辺がすべて等しい四角形
定理…2つの対角線は垂直に交わる
Ａ
Ｃ
Ｂ
Ｄ
Ａ
Ｃ
Ｂ
１５ 正方形
定義…4つの角がすべて等しく、4つの辺もすべて等しい四角形
定理…2つの対角線は等しい
Ｄ
Ａ
Ｄ
Ｂ
Ａ
Ｃ
Ｄ
Ｂ
Ｃ
2つの対角線は垂直に交わる
Ｄ
第７章
図形のまとめ
１６ 面積の等しい三角形
底辺が共通で、頂点が底辺に平行な直線上
にある三角形の面積は等しい
△ＰＡＢ＝△ＱＡＢ＝△ＲＡＢ
Ｑ
Ｐ
Ａ
平行線にはさまれた△ＣＡＰと△ＤＰＢの面積は等しい
Ｒ
Ｂ
底辺
Ｄ
Ｃ
△ＣＡＰ＝△ＤＰＢ
Ｐ
Ａ
Ｂ
203
204
第７章
図形のまとめ