シリーズ・4年上・第19回 基本問題・練習問題のくわしい解説 すぐる学習会

シリーズ・４年上・第１９回
基本問題・練習問題のくわしい解説
※
※
三角形の面積＝底辺×高さ
底辺を地面としたとき，
三角形のてっぺんから，地面の
直角マークまでの長さが，三角
形の高さになる。
※ ア＝イのとき，ア☆＝イ☆になる。
目
基本 1
基本 2
基本 3
基本 4
基本 5
練習 1
練習 1
練習 2
練習 2
練習 3
練習 3
練習 4
練習 4
練習 5
練習 5
練習 5
チャレンジ
てっぺん
高さ
底辺
地面
次
…p.1
…p.2
…p.3
…p.4
…p.5
(1)…p.6
(2)…p.6
(1)…p.7
(2)…p.8
(1)…p.9
(2)…p.11
(1)…p.12
(2)…p.12
(1)…p.13
(2)…p.13
(3)…p.14
…p.15
すぐる学習会
シリーズ４上第１９回
くわしい解説
基本 1
(1)
三角形の面積は，「底辺×高さ÷ 2 」で求められます。
底辺は 15 ㎝で，高さは 8 ㎝ですから，面積は，15 × 8 ÷ 2 ＝ 60（㎝2）になります。
(2)
三角形の面積は，「底辺×高さ÷ 2 」で求められます。
底辺は 12 ㎝で，高さは右の図のアの部分です。
ア
12cm
ところで，直角二等辺三角形を，右の図のように 2 つに
分けると，2 つとも直角二等辺三角形になりますから，
★
ア
★
12cm
右の図のように，12 ㎝の部分はアが 2 つぶんになります。
アの長さは，12 ÷ 2 ＝ 6（㎝）になります。
三角形の底辺が 12 ㎝，高さが 6 ㎝であることがわかりまし
たから，三角形の面積は，12 × 6 ÷ 2 ＝ 36（㎝2）になります。
-1 -
ア
ア
ア
12cm
シリーズ４上第１９回
くわしい解説
基本 2
(1)
三角形の面積は，「底辺×高さ÷ 2 」で求められます。
底辺は 9 ㎝で，高さは 6 ㎝ですから，面積は，9 × 6 ÷ 2 ＝ 27（㎝2）になります。
(2)
三角形の面積は，「底辺×高さ ÷ 2 」で求められます。
しかし，底辺を 17 ㎝にすると，高さがわからないので
面積は求められません。
14cm
15cm
？
17cm
そこで，底辺を 14 ㎝にします。
すると，高さは 15 ㎝になるので，底辺も高さも
わかったことになり，三角形の面積が求められま
す。
底辺
14cm
高さ
15cm
17cm
2
底辺×高さ÷ 2 ＝14 × 15 ÷ 2 ＝ 105（㎝ ）になります。
-2 -
シリーズ４上第１９回
くわしい解説
基本 3
三角形の底辺を 10 ㎝にします。
12cm
10cm
底辺
3cm
10 ㎝の辺があるところを，地面であると考えると，
12cm
10cm
底辺
3cm
三角形のてっぺん（右の図の●印）から，
12cm
10cm
底辺
3cm
地面の直角マークまでの長さが，高さになりま
す。
12cm
10cm
底辺
三角形の底辺が 10 ㎝，高さが 12 ㎝ですから，
三角形の面積は，底辺×高さ÷ 2 ＝ 10 × 12 ÷ 2 ＝ 60（㎝2）になります。
-3 -
3cm
シリーズ４上第１９回
くわしい解説
基本 4
三角形の底辺を 6 ㎝にすると，高さはχになります。
χ
三角形の面積は，「底辺×高さ÷ 2 」で求められます。
三角形の面積は 15 ㎝2 ですから，
6 × χ ÷ 2 ＝ 15
6 cm
となります。
あとは逆算をしていけば，χを求めることができます
15 × 2 ＝ 30
30 ÷ 6 ＝ 5
よって，χは 5 ㎝になります。
-4 -
シリーズ４上第１９回
くわしい解説
基本 5
右の図のように，アとイの 2 つの三角形に分けます。
ア
イ
アは，底辺が 6 ㎝で，高さが 3 ㎝ですから，
面積は，6 × 3 ÷ 2 ＝ 9（㎝2）です。
イ
イも，底辺が 6 ㎝で，高さが 3 ㎝ですから，
面積は，6 × 3 ÷ 2 ＝ 9（㎝2）です。
6cm
ア
3cm
イ
よって，かげの部分の面積は，9 × 2 ＝ 18（㎝2）
になります。
6cm
ア
イ
-5 -
3cm
ア
シリーズ４上第１９回
練習 1
くわしい解説
(1)
三角形の面積は，「底辺×高さ÷ 2 」で求められます。
しかし，底辺を 15 ㎝にすると，高さがわからないので
面積は求められません。
12cm
？
9cm
？
高さ
9cm
15cm
底辺を 12 ㎝にすると，高さは 9 ㎝になるので
面積が求められます。
底辺
12cm
12 × 9 ÷ 2 ＝ 54（㎝2）になります。
15cm
練習 1
(2)
Ａ
(1)で，三角形の面積は 54 ㎝2であることが
わかりました。
高さ
？
底辺を 15 ㎝にしたときの高さはＡＤに
なりますから，面積を求める式は，
底辺×高さ ÷ 2 ＝ 15 ×ＡＤ ÷ 2 となります。
この式の場合も，三角形の面積は 54 ㎝2に
なりますから，
15 × ＡＤ ÷ 2 ＝ 54
あとは逆算です。
54 × 2 ＝ 108
108 ÷ 15 ＝ 7 . 2
よってＡＤの長さは，7 . 2 ㎝になります。
-6 -
15cm
底辺
Ｄ
シリーズ４上第１９回
練習 2
くわしい解説
(1)
20cm
右の図の三角形ア，イ，ウ，エのうち，
面積を求めることができるのは，イの三角
形だけです。
★の部分の長さは，20 － 8 ＝ 12（㎝）です
から，イの三角形は，底辺が 12 ㎝，高さが
6 ㎝になり，面積は，12 × 6 ÷ 2 ＝ 36（㎝2）
になります。
ア
6cm
エ
イ
ウ
8cm
★
20cm
ア
イとウの面積は等しいと問題に書いて
あったので，ウの面積も 36 ㎝2です。
エ
6cm
ＣＤの長さをχとすると，ウの底辺を 8 ㎝，
高さをχにすることができ，面積は 36 ㎝2 です
から，
8 ×χ÷ 2 ＝ 36
となります。
あとは逆算をして，36 × 2 ＝ 72
Ｄ
72 ÷ 8 ＝ 9
-7 -
イ
2
36cm
12cm
ウ
χ
2
36cm
8cm
Ｃ
ですから，ＣＤの長さは 9 ㎝です。
シリーズ４上第１９回
練習 2
くわしい解説
(2)
(1)によって，右の図のように長さや面積が
求められました。
20cm
☆
Ｄ
ア
エ
☆の長さは，9 － 6 ＝3（㎝）です。
6cm
イ
ウ
36cm
2
36cm
Ｃ
8cm
12cm
20cm
アの面積は，20 × 3 ÷ 2 ＝ 30（㎝2）に
なります。
3cm
6cm
Ｄ
2
ア30cm
エ
イ
ウ
36cm
36cm
Ｃ
8cm
20cm
3cm
6cm
エの面積は，長方形全体からア・イ・ウの
面積を引いた残りですから，
180 － ( 30 ＋ 36 ＋ 36 ) ＝ 78（㎝2）になります。
-8 -
9cm
2
2
12cm
長方形全体は，たてが 9 ㎝で横が 20 ㎝です
から，面積は 9 × 20 ＝ 180（㎝2）です。
9cm
2
Ｄ
2
ア30cm
エ
イ
2
36cm
12cm
ウ
9cm
2
36cm
8cm
長方形全体は 180cm
2
Ｃ
シリーズ４上第１９回
練習 3
くわしい解説
(1)
かげをつけた四角形は，台形とか平行四辺形
などの特ちょうのある四角形ではありません。
そこで，この四角形を 2 つの三角形に分けて，
それぞれの面積を求めることになります。
もし，右の図のように分けたとすると，
4cm
イ
12cm
8cm
ア
9cm
4cm
アの部分の高さを求めることができないので，
かげをつけた四角形の面積も求めることができま
せん。
イ
12cm
高さ
ア
8cm
9cm
そこで，右の図のように 2 つの三角形に分けま
す。
4cm
イ
12cm
8cm
ア
9cm
アの底辺を 9 ㎝とすると， 9 ㎝のある辺が
地面となり，てっぺんの●印から地面の直角
マークまでが高さとなるので，高さは 8 ㎝で
す。
よって，アの面積は，9 × 8 ÷ 2 ＝ 36（㎝2）
です。
4cm
イ
12cm
8cm
ア
9cm
（次のページへ）
-9 -
イの場合は，底辺を 4 ㎝にします。
（この紙を回して，4㎝が下にくるようにした方が，
わかりやすくなります。）
てっぺんの●印から地面の直角マークまでが高さ
となるので，高さは 12 ㎝です。
4cm
8cm
ア
36cm2
よって，イの面積は，4 × 12 ÷ 2 ＝ 24（㎝2）
です。
てっぺん
したがって，かげをつけた部分の面積は，
36 ＋ 24 ＝ 60（㎝2） になります。
イ
12cm
9cm
4cm
イ
12cm
24cm2
8cm
ア
36cm2
9cm
- 10 -
シリーズ４上第１９回
練習 3
くわしい解説
(2)
かげをつけた四角形は，台形とか平行四辺形
などの特ちょうのある四角形ではありません。
そこで，この四角形を 2 つの三角形に分けて，
それぞれの面積を求めることになります。
2cm
イ
6cm
5cm
右図のようにアとイに分けると，どちらの三
角形の面積も，うまく求められます。
1cm
ア
5cm
2cm
アの底辺を 1 ㎝のところにすると，てっぺんは
●印のところで，●印から地面の直角マークまで
が高さになります。
高さは 6 ㎝になるので，アの面積は，
1 × 6 ÷ 2 ＝ 3（㎝2） になります。
イ
6cm
5cm
ア
1cm
地面
5cm
2cm
イの底辺を 2 ㎝のところにすると，てっぺんは
●印のところで，●印から地面の直角マークまで
が高さになります。
高さは 5 ㎝になるので，イの面積は，
2 × 5 ÷ 2 ＝ 5（㎝2） になります。
地面
イ
6cm
5cm
ア
5cm
よって，かげをつけた部分の面積は，
ア＋イ＝ 3 ＋ 5 ＝ 8（㎝2） になります。
- 11 -
1cm
シリーズ４上第１９回
練習 4
くわしい解説
(1)
6cm
アやイの面積は求められませんが，図形全体の
面積なら，右の図のように上下に分ければ，求め
ることができます。
3cm
5cm
上の長方形は，たてが 3 ㎝，横が 6 ㎝ですから，
面積は，3 × 6 ＝ 18（㎝2） です。
14cm
下の長方形は，たてが5㎝，横が14㎝ですから，面積は，5 × 14 ＝ 70（㎝2）です。
よって，図形全体の面積は，18 ＋ 70 ＝ 88（㎝2）です。
6cm
全体の面積が 88 ㎝2で，アとイの面積が等しいのです
から，イの面積は，88 ÷ 2 ＝ 44（㎝2）になります。
3cm
イ
ア
5cm
14cm
練習 4
(2)
(1)で，アとイの面積が，どちらも 44 ㎝2であることがわかりました。
イよりもアの方が，かんたんな図形なので，アをもとにして考えます。
アは直角三角形です。
底辺はわからないので□にします。
高さ（右図の★）は，3 ＋ 5 ＝ 8（㎝）です。
6cm
3cm
★
アの面積は 44 ㎝ ですから，
□× 8 ÷ 2 ＝ 44
44 × 2 ＝ 88
イ
ア
2
□
5cm
χ
14cm
となり，あとは逆算になります。
6cm
88 ÷ 8 ＝ 11
3cm
求めたいのはχの長さです。
14 － 11 ＝ 3（㎝）になります。
8cm
イ
ア
11cm
14cm
- 12 -
5cm
χ
シリーズ４上第１９回
練習 5
くわしい解説
(1)
右の図の，太線部分の三角形の面積を求める
問題です。
底辺は 12 ㎝，高さは 9 ㎝ですから，面積は，
12 × 9 ÷ 2 ＝ 54（㎝2） になります。
12cm
9cm
12cm
練習 5
(2)
右の図は，太線部分の三角形の面積を求める
問題です。
底辺を 12 ㎝ところにしたとき，高さはどこに
なるでしょう。
12cm
9cm
12cm
底辺を 12 ㎝のところにすると，てっぺんは
●印のところで，●印から地面の直角マーク
までが高さになります。
右の図のように，高さは 12 ㎝になるので，
面積は，12 × 12 ÷ 2 ＝ 72（㎝2） になります。
12cm
9cm
地面
- 13 -
高さ
12cm
底辺
シリーズ４上第１９回
練習 5
くわしい解説
(3)
(1) と (2) で求めた面積を利用します。
(1) で，右図の太線部分の三角形の面積は，
54 ㎝2 であることがわかりました。
12cm
9cm
12cm
(2) で，右図の太線部分の三角形の面積は，
72 ㎝2 であることがわかりました。
12cm
9cm
12cm
よって，右図のかげをつけた三角形の面積
は，72 － 54 ＝ 18（㎝2）です。
12cm
9cm
12cm
かげをつけた三角形の底辺を 9 ㎝のところに
すると，てっぺんは●印のところで，●印から
地面の直角マークまでが高さになります。
高さを□とすると，9 × □ ÷ 2 ＝ 18
となり
ますから，□は，18 × 2 ÷ 9 ＝ 4（㎝）です。
(3)はＤＥの長さを求める問題ですから，答え
は 4 ㎝になります。
- 14 -
Ｄ
12cm
高さ
9cm
底辺
12cm
地面
Ｅ
シリーズ４上第１９回
くわしい解説
チャレンジ
このような問題で大切なことは，右の図のように
白い部分を☆にすると，
2cm
6cm ☆
8cm
ア
ア ＝ イ ならば，ア☆ ＝ イ☆
ということです。
イ
なぜ，ア ＝ イ のときに，ア☆ ＝ イ☆ になるかという
χ
と，たとえば アが 20 のとき，イも 20 です。
適当に☆を 17 にすると，ア☆は 37，イ☆も 37 になって，
等しくなります。
このように，もともと等しいもの（アとイ）があって，そこに同じもの（☆）を加え
ても，やはり等しくなる，ということです。
2cm
ア☆は，右図の太線の三角形です。
面積は，10 × 6 ÷ 2 ＝ 30（㎝2）です。
6cm ☆
8cm
ア
イ
χ
2cm
よって，イ☆（右図の太線の三角形）の面積も，
やはり 30㎝2 です。
イ☆は，台形の形をしています。
台形の面積は，「 (上底＋下底) ×高さ ÷ 2 」で
求められます。
上底は 2 ㎝，下底はχ㎝，高さは正方形の 1 辺と
同じですから 10 ㎝です。
よって，( 2 ＋χ) × 10 ÷ 2 ＝ 30
30 × 2 ＝ 60
60 ÷ 10 ＝ 6
となります。
6－2＝4
よって，χは 4 ㎝になります。
- 15 -
6cm ☆
イ
χ
8cm
ア