レポート問題

「２０１４年度前期幾何学３・幾何学概論３」レポート問題（訂正版）
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２０１４年度前期前期幾何学３・幾何学概論３レポート問題
★ 解答方法
Problem 1, 2, 3 の３問および, Problem 4 から Problem 8 から１問を選択し, 合
計４問を解答しなさい.
また, この講義に関する意見・感想・文句・批判・その他を電子メールに記入し
て送付しなさい. （この部分は, レポート採点および成績には一切関係しない）.
★ 提出方法と締切
２０１４年８月１日（金）１７時までに到着するように
[email protected]
宛に電子メールで提出すること. 電子メールでの注意事項は以下の通り.
1. レポートの解答は PDF ファイルとして添付すること. （他のファイル形式
では受理しない.）
2. PDF ファイルの様式は, 用紙サイズはＡ４, 閲覧および印刷可能であること.
（普通に PDF ファイルを作成すればよい）
3. PDF ファイルは問題ごとに別のファイルとし, 各 PDF ファイルの先頭ペー
ジには, 学年・学生番号・氏名・問題番号を明記すること.
4. レポートを提出する電子メールには, レポート提出であることが容易にわか
る Subject をつけること
★ 採点と評価の方法
Problem 1, 2, 3 を 5 点満点, 選択問題は 10 点満点で採点する（25 点満点）. 合
計 15 点以上を可, 合計 17.5 点以上を良, 合計 20 点以上を優とする.
1. Problem 1, 2, 4 は, 一般次元で解答するのが難しければ, n = 2 の場合だけ
でも構わない. ただし, 満点は 3/4 倍とする.
2. 選択問題が難しければ, Problem 9 を解答しても構わない. ただし, 満点は,
問題に応じて 1 点以上 10 点以下とする.
[email protected]
2014/07/22
「２０１４年度前期幾何学３・幾何学概論３」レポート問題（訂正版）
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★ 問題
以下では S n は Rn+1 の単位球面, H n は n 次元双曲空間とする. また, 必要に応
じて, 他の問題の結果を証明なしに利用してよい.
Problem 1. S n の測地線を求めなさい.
Problem 2. H n の上半空間モデルで, クリストッフェルシンボル・断面曲率・Ricci
テンソル・スカラー曲率を求めなさい. また, H n の上半空間モデルの測地線を求
めなさい.
Problem 3. u ∈ C0∞ ([0, π]) に対する汎関数
Rπ ′
|u (x)|2 dx
E(u) = R0π
, u 6≡ 0, u ∈ C0∞ ([0, π])
2 dx
|u(x)|
0
の Euler-Lagrange 方程式を求め, その解を求めなさい.
Problem 4. H n , および, そのポアンカレディスクモデル, 上半平面モデルは, 互
いに等長であることを示しなさい. さらに, ポアンカレディスクモデルでの測地線
を求めなさい.
Problem 5. リーマン多様体 (M, g) 上の Levi-Civita 接続が一意的に存在するこ
とを示しなさい.
Problem 6. S n , H n の直径を求めなさい.
Problem 7. リーマン多様体の計量を定数倍したとき, 断面曲率, リッチ曲率, スカ
ラー曲率, ラプラシアンの固有関数および固有値は, もとの多様体のそれらとどのよ
うな関係にあるかを示しなさい. なお, リーマン多様体 (M, g) の計量を k 倍した計
量 h とは, M 上の計量であって, 任意の X ∈ X (M) に対して, h(X, X) = kg(X, X)
をみたす計量のことである.
Problem 8. Rn+1 上の座標関数 xi (i = 1, . . . , n + 1) を S n に制限した関数を φi
とおく. このとき, φi は S n の固有関数であることを示しなさい. また, それらの
固有値を求め, hφi , φj ig = 0 (i 6= j) が成り立つことを示しなさい.
Problem 9. 講義内容に関連した問題を, 各自で設定して, それに解答しなさい.
（以上）
[email protected]
2014/07/22