構造要素クラッシュ挙動のモデル化とシミュレーション

生 産 研 究
3
8巻 8号 (
1
9
86.
8)
特
集
3
4
7
UDC 53166.539.
42
2
研 究解 説
構造要素 クラッシュ挙動のモデル化 とシ ミュレー ション
Si
mul
a
t
i
o
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de
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s
都
井
裕*
Yut
akaTot
構造要素のクラッシュ挙動 (
超大変形を伴 う圧壊挙動)の解析は, 自動車,船舶,航空機などの
衝突事故を起 こしうる構造体および海洋構造物,橋脚,原子力プラン トなど衝突される恐れのあ
る構造物の極限強度設計の基礎 となる重要な課題であるが,極めて非線形性の強い現象であるた
め,解析には大きな困難が伴 う.本稿では,この問題に対する 3種類のアプローチ.すなわち,
(1)
剛塑性理論解析,(2)剛体 ･ばねモデルによるシ ミュレーシ ョン,(3)
非線形有限要素解析
に関 して,円筒穀の非軸対称圧壊間蓮に対する著者 らの計算例 を参照 しなが ら,解説を加えたい.
1. 序
｢クラ ッシュ｣と発音 され る英語 には "
c
r
a
s
h"と…
c
r
us
h'
'
変 形 ･大 ひずみ ･接触 (
摩擦)･動的効 果, ときには亀裂
な どをも含む極 めて非線形性の強い現象で あるため,先
が あ る｡前者 は ｢(
自動車が)衝 突す る｣ あ るいは ｢(
飛
に例 を上 げた よ うな実際の複雑 な構造物 に対 し,現 実の
行機 が)墜落す る｣ とい う意味 で あ り,後者 は ｢押 しつ
衝 突条件 に即 して これ らの量 を精度 よ く算定す るこ とに
ぶす,つぶれ る｣ といった意味 であ る｡ したが って,耐
は, 大変 な困難 が伴 うこ とは容易 に想像 され よ う.
衝 突強度 は "
c
r
as
hwor
t
hi
ne
s
s
"で あ り,圧 壊 強 度 は
この種 の問題 に対す る研 究現況 を比較的最近 に刊行 さ
"
c
r
us
hi
ngs
t
r
e
ngt
h"で あ る｡ また, "
c
r
as
h"と言 えば
れた数編の書籍 灘 誌 2ト 6)か ら概観 してみ る と,大 き く分
一般 に動的 な現 象 を指 す が, …
c
r
us
h"は静的 あ るいは準
けて, (1)剛塑性仮定 に よる理論解析 , (2)差分 法,有
静 的 な現象 を含 む｡英語 の字義 には この よ うに明確 な区
限要素 法 あ るいは その他 の離 散系 モデル に よる数 値 シ
衝 突｣の結果,構 造物 は しば しば ｢
つぶれ
別が あるが,｢
ミュ レー シ ョン, (3)モデルあ るいは実物実 験,の 3種
る｣ので,物理 的 には両 者 は深 い関係 にある｡ したが っ
類 のアプ ロー チが とられてい るこ とが わか る.
て,構 造強度関係 のエ ン ジニアや研 究者 が｢クラ ッシュ｣
と言 う場合 に も,無意識 の うちに両者の意味 を含 めてい
剛 塑 性 解 析 は お そ ら くは りの 横 衝 撃 問題 に対 す る
conr
oy,symondsの研 究7'
辺 りに端 を発 す る古典 的 ア
る場合 が 多い (
英語 で説 明す る場合 には発 音 も綴 りも異
プ ロー チで あ り,比較的単純 な構造要素 を対象 として,
なるので, 当然の こ となが ら両者 を区別 す る必要 が ある
実験 的 に あ る程 度 まで知 られ た圧 壊 メカニ ズム を仮定
が, 日ごろの習慣 か ら ミス を犯 す こ ともあ る.著 者 は大
し,吸収 エネル ギー量 と変形量の関係 を評価 す るこ とに
学院時代 に "
Cr
us
h Anal
ys
i
s ofEngi
nee
r
i
ng St
r
uc-
よ り,設計 に有用 な精度 の よい算定式 を作 り出す努 力が
'
を書 いたが,この論文 は横荷 重 を受
t
ur
e
s"と題 す る論文 1
営 々 として続 けられて い る｡ この方法の成否の鍵 は,仮
け るは りと板 の微小変 形下 での弾塑性衝撃応答 を扱 って
定 され た崩壊機構 お よび内部塑性仕事 の計算 に用 い る応
い るので, どう考 えて も表題 C
7
)"
c
r
us
hanal
ys
i
s
"は不適
力分布 の妥 当性 にあるが,クラ ッシュの問題 においては,
当であ り, `
c̀
r
as
hanal
ys
i
s
" とす るべ きで あった).
移動 関節線 (
movi
ng,or t
r
ave
l
i
ng,or pr
opagat
i
ng
クラ ッシュの問題 は主 として 自動車, 原子力船 ,航 空
hi
ngel
i
ne)を含む こ とに よ り崩壊 機構 が複雑化 した り,
機 な どの衝 突構 造体 , あ るいは海洋構造物,橋脚,原子
同時 に膜力成分 の評価 が困難 で あった りして,所要 の精
力プ ラン トな どの被箇 突構造物 の極限強度 に関連 して発
度 を得 るこ とは一般 に容易 で な く,半実験式的 な吸収エ
生 して くるが,構 造物 が支持 しうる最大荷重 (
崩壊荷重)
ネル ギー算定式が用 い られ るこ とも多い.
を主 た る対 象 とす る一 般 の最 終 強度 問題 と異 な り, ク
近年,有 限要素法,差分 法 な どの数値解析手法の クラ ッ
ラ ッシュの問題 においては構 造物 が塑性変形 によ り吸収
シュ問題へ の応用 も盛 んで ある.汎用性 お よび期待 可能
可能 な衝 突エネル ギ-量 お よびそれ に伴 う変形量 に関心
な定量的精度面 か ら, これ らの数値 シ ミュレー シ ョン手
が寄せ られ る. ところが構 造物 の クラ ッシュ過程 は超大
法が将来,貴 も強力 な解析 手段 とな りうるこ とには疑 い
*
東京大学生産技術研究所 第 2部
の余地 はないが,現在 の計算アル ゴ リズムお よび-- ド
ウェアの能力では, クラッシュ解析 は高価過 ぎるこ とも
ごI
l
348
38巻
8号 (19868)
生 産 研 究
また事実である。
実験 的 な研 究 は,剛 塑性理論解析 お よび数値 シ ミュ
レー シ ョンに対 し,次 の ような意義 を有 して い る.す な
わち,剛 塑性解析 にお いては仮定すべ き圧壊 メカニ ズム
衝突 エ ネ ル ギー吸収特性 を評価す るための代表 的 なパ ラ
メー タである平均圧壊荷重 (mean Crushing load)ろ
は,Fig lの荷重 ・
縮み量曲線 に対 し次式 によ り定義 され
る.
の把握 のために不可欠である し, また,数 値 シ ミュレー
ション手法あるいは ソフ トウェアの妥当性の確認は実験
P″δs=Iδ
SP(δ
)が
(1)
結果 との対比による しかないのが,現 状である.
ここに,δ sは荷重 ・縮み量曲線 にお いて十分 多 くの波数
著者 は 10年 ほ ど以前 よ り,構造工学 における解析 困難
な課題 の一つ として クラッシュの問題 には関心 を抱 いて
lL°1の
いたが,初 期 の成果
はぁ ま り変形の大 き くな い範
囲での薄肉構造要素の主 として横衝撃崩壊 に関す るもの
を含む ように設定す ることは言 うまで もない.ま た,平
であ り,構 造物 が 「くしゃ くしゃJに つぶ れた状態での
変形 モー ドあるいはエ ネル ギー吸収 を対象 とした クラッ
シュらしい研究 を始めたのは比較的,最近 の ことで ある.
その直接の契機 となったのは,軸 圧縮荷重 を受 ける円筒
1°
殻の非軸対称座屈 (または圧壊)モー ドに関す る研究 で
あらた。 この概要 は,文 献 14)でも簡単 に紹介 されて い
る。その後,著 者 らは,円 筒殻の平均圧壊荷重に関す る
1つ
剛塑性理論式の再検討 ,一 般の薄肉構造要素 を対 象 と
した, 岡」
体 ・ばねモデル による低 自由度圧壊 シ ミュレー
1°
ション および次数低減積分 法に基づ く低次有 限要 素 モ
1"な
デルに よる超大変形圧壊解析
ど, クラッシュ問題 に
関す る一 連 の 基礎研 究 を実施 しなが ら現在 に至 ってお
均圧壊荷 重 を断面積 で除 した値 を平均圧壊応 力 (mean
crushing stress)と
称す ることにす る.す なわち,
ση=P〃/И
さて,非 軸対称圧壊の場合 の平均圧壊荷重 に対す る剛
1",JohnsOnの 20な
解
どが知 られて い るが,い ずれにお いて も Fig 2に示す よ
塑性理論解 としては,Pugsleyの解
うな,三 角形平板 が塑性 関節線 によって結合 された,理
想化 され た圧壊 モー ドが仮定 されて い る。著 者 は文 献
15)にお いて,これ らの解 をその特殊 な場合 として含む次
式 の よ うな一般的 な平均圧壊応力の算定式 を誘導 した。
=÷ 号
ttc∝
α
α音チ〈
)+÷
争
÷(COsec
←
音 号π
り, クラッシュの研究は今後 も当分,著 者 の研究室の中
心テー マの一 つ として君臨 しそ うな気配である。本稿で
―
十 ″
cOsec2α (3)
青 ÷( 今 券) 発←考争
は,円 筒殻 の非軸対称圧壊 問題 に対象 を絞 って,上 述の
諸研究 の 内容 を時間 を追 って ま とめて記述す るこ とによ
り,構 造要素の クラ ッシュ挙動 (ここでは静的圧壊 挙動
のみ扱 うため英文 タイ トルでは “
the crushing behav
ior"と して い る)に 対す る種 々の シ ミュ レー シ ョンモデ
ル とその効果 につ いて解説 した い。
2 円 筒殻 の平均圧壊荷重に対 す る剛塑性理論解
軸圧縮荷重 を受 けて非軸対称 モー ドで圧壊 した円筒鋼
管の写真 と典型的 な荷重 ・縮み量曲線 を Fig lに示す.
(2)
と定義す る。 なお,軸 圧縮荷重 を受 ける円筒殻 には,他
に軸対称の 「ち ょうちん型J圧 壊 モー ドも生ず るが,こ
の場合 の平均圧壊荷 重 を与 える Alexanderの 剛塑性理
1°
論解 は,実験結果 を十分,良好 に説明す るこ とが知 られ
て い るので,軸 対称圧壊 は本解説の対象外 とした。
ここに,右 辺第 1項 は塑性 関節線 (Fig 2の線分 12,24,
43な ど)に おける曲げ塑性仕事の寄与分 ,右 辺第 2項 は
円筒面 を平面化す るため に要 す る曲げ塑性仕事 の寄 与
分,右 辺第 3項 は面内せ ん断塑性仕事 の寄与分 を表 して
い る.ま た,記 号 の意味 は,ら :単 軸降伏応力,銑 :垂 直
降伏応力,τo iせん断降伏応力,″ :[崚 モー ドの周方向
波数,Pi円 筒 の半径,ノ :円 筒 の 肉厚,δ :軸 方向半波
長圧壊 に対応す るス トロー ク,力。:軸 方向半波長 (Fig 2
I露
￨1lLI,1111
ヽ
ォ ￨ ‐_ = ″
￨■1鳥
ー
下
―
δ―――
δ――ヨ
・
, :｀:―
( a ) 圧壊 モ ー ド ( 写真 )
(b)荷
F i g l 軸 圧 縮荷 重 を受 け る円筒殻 の 非軸対 称圧壊
重 ・縮 み量 曲線
生
38巻 8号 (19868)
の辺 1 4 ま たは 2 3 の 長 さ) , α : 塑 性 関節線 の なす 角度
( F i g 2 を参照) で ある.
Fig 2の 変 形 パ ター ン は Yoshimura buckle
して も知 られ,円 筒殻 の非軸対称座屈 に関す
pattern21)と
いて
しば しば登場す るモデルであるが,そ も
にお
る研究
ー
座屈J時 の変形 モ ドを表
そも 「
薄 肉J円 筒 の,か つ 「
やや厚肉」の円筒鋼
現 す るモデルで あ り,Fig l(a)の 「
完全圧壊J時 の変形形状 とはかな り相違す る部分
管の 「
もある。た とえば,Fig 2に おける点 2,点 4な どは決 し
点」 ではな く,軸 方向 または周方向 にある長 さを有
て 「
面Jで あることが Fig l(a)を 見れ ば,
線」または 「
する「
産
研
究
各理論解 の内容 につ いては,文 献 15)に記述 が あるので
一
省略す るが,(4a)式 の 般化 Pugsley解 は,面 内せ ん断
力による塑性仕事 が考慮 されて い るこ とが特徴である.
また,面 内不伸張 モー ドを仮定 した (5a)式 の JohnsOn
の修正 JohnsOn解 では,α に関す る仮定が
ってお り,前 者 (α=ガ 2″)は 完全圧壊後 の状態,
解,(6a)式
異な
後者 (α=〃 4)は 座屈時の状態 に焦点 を当てたモデ ル化
とい えよう。
これ らの 3種 類 の理論解 をアル ミニ ウム/ス テ ンレス
1°
'30に
19,お
ー
対す る実験デ タ と比較
よび炭素鋼鋼管
鋼
の理論解
も実
か
ずれ
した結果 を Fig 3に 示す。図 ら,い
明 らかで ある。したが つて,角 αなども本来は圧壊過程
ー
で変化すべ き性質 のパ ラメ タであ り,そ れ を(3)式 の
よ うに定数値 として仮定 しようとすれば,複 数 の選択 の
余 地がでて くるこ とは容易 に理解 され よう。 また,垂 直
降伏応力 あるいはせ ん断降伏応力の仮定 に して も多軸 の
降伏条件 を厳密 には適用で きない以上,近 似的 な ものに
な らざるをえない.
ー
ここでは,(3)式 中の諸 パ ラ メ タの仮定の仕方 を変
えた,以 下 の 3種 類 の剛塑性理論解 につ いて検討す る。
(1)一 般化 Puttley夕澤
=嘉 十
パみ朝 ま÷り r4al
音 十但
ー
(3)式 における各パ ラ メ タ値 :
Fig 2 理
想化 され た非軸刈称 圧壊 モ
ー ド
編/ら
l
T聖 き
副震d Pugdり
e腱
二
I[鮨よ
i:よ
ョJohnson
∫
ExTrimmimlllum.stainless Stod
(4b)
″= 4
(2)JOhnSOn解
=素 π ∝ +d,】
考 十[十い 務
6
7
8
ヽ _ト
(5a)
ー
( 3 ) 式 にお ける各パ ラ メ タ値 :
6 - (trRln)tan ct
lao: (vRl n)tan a
5
(a)アル ミニウム/ス テンレス鋼鋼管
ｑ Ｌ
(5b)
o- vl Zn
Theory
oo=ZonlrB
r o: 0
ll]二
i‰Johnson
鶯:』
ム
｀l i l d
Steel
(3)修 正 JOhnsOn解
=余 十″+劇
音 十れズ
ー
パ
( 3 ) 式 における各
ラメ
(6a)
タ値 :
o
(6b)
50
100 RIr
( b ) 炭素鋼鋼 管
F i g 3 円 筒殻 の平均圧 壊荷 重
( 剛塑性 理 論 解 と実 験結 果 の比 較 )
350
38巻 8号 (19868)
生 産 研 究
験結果 と十分 に符 合 して い る とは言 い難 い こ とが わか
わか るように,炭 素鋼材料 の応 力 ・ひずみ関係,特 に降
る。なお,こ の図 を描 くためには Fル と″の関係 に関す
伏後のひずみ硬化係数 を適 当に加減 した結果,本 計算結
1°
'3の
果 は実験結果
とかな り良好 に一致 した。したが って,
る情報が必要 となるが,本 計算では著者 によって解析的
13ヽ
1●
お よび数値 シ ミュ レー シ ョンに よ り導かれた関係
を
仮定 したことを述べ てお く.
3 剛 体 。ばね モデル によ る圧壊 シ ミュレー シ ョン
前章 の結果 は,こ の 問題 に対 す る理論解析 的 なアプ
ロー チの限界 を伺 わせ る もので あった。 そこで必然的に
数値解析手法 の導 入 とい うこ とにな り,まず,クラ ッシュ
問題 に好適 な離散化 モデル と思 われた 「
岡」
体 ・ばねモデ
ルJに よるシ ミュレー シ ョンを試み るこ とに した。 この
ばね系 によって結合 され
離散化 モデルは名前 の とお り,「
少 な くとも定性的には,前 章で述べ た剛塑性理論解 と比
較 して大幅 に改 善 され た解 を与 えて い る と判 断で きる
し,総 自由度数が少 ないため計算 に要 す る時間 も極めて
短 い.しか しなが ら,圧壊変形過程 にお ける角 αの変化,
言 いか えれば塑性関節線の移動 につ いては考 慮 されて い
ない し,実 験結果 との定量的な比較 を厳密 に行 うために
は,実 際の現 象 を単純化 しす ぎて い る嫌 い もある。要素
分割 を細か くす る手は残 されて い るが,要 素細分化 に伴
ミl
♂
た剛体要素 よ り成 る離散化 モデル」であ り,10年 ほ ど前
2の
に川井 によ りその物理的概 念が与え られた .著 者 は梁
柱 ・骨組 ・板殻 な ど薄 肉構造 を中心 とす る各種 の鋼構造
]
― ①Rル=21(η=2)
3)
②R I : = 3 5 (=η
4)
③R I : = 4 9 1=η
べ℃ 8
ヽ
｀06
の静的 ・動的極限強度問題 にこのモデル を応用す るため
° 1°
'2),2つ
の基礎研究に携わ り
,ク ラッシュ問題 へ の応用
″ [111:〉:i:
:条
___::::
に取 り組む下準備 がで きて いたこともこの方向の研 究 に
向かわせ た理由の一つ である。
Fig 2の圧 壊 パ ター ンの 基本 周期領域 1234を Fig 4
に示す ような 4本 の剛体棒要素お よび 2枚 の三角形平板
、
し
剛体要素 にモデル化 した。各剛体要素 はその重 ′
点に 3
(a)荷 重 ・縮 み量 曲線
次元剛体運動の 6自 由度 を有 してお り,隣 接剛体要素 間
は垂直相対変位お よびせ ん断相対変位 に抵抗す るばね系
に よ り結合 されて い る。計算の基本アル ゴ リズムにつ い
ては文 献 24)に詳細 な記述がある。また,Fig 2に お ける
角 αは 〃 2πと仮 定 した。
Fig 5は炭素鋼鋼管に対す る計算結果であ り,荷 重 ・
縮
み量 曲線,平 均圧壊荷重 (実験値 との比較)お よび圧壊
縮み量曲線
変形過程 が示 されてい る。Fig 5(a)の 荷重 ・
10
i Experiment
o Present
ミ0 8
ミ
ヽ
06
\
04
か ら F i g 5 ( b ) の 平 均 圧 壊 荷 重 を見積 も る際 の ス ト
ロー ク・
長 さ比は 7 3 % と 仮定 した。すなわち, F i g 5 ( a )
0
における 0 0 ≦ δ/ た。≦0 7 3 ( ″0 は軸方向半波長) の 範囲 の
IQ
R ll
4イt16｀
20
30
40
R
ｏさ等
●覇零
荷重平均値 が F i g 5 ( b ) にプ ロ ッ トされて い る。図か ら
s;.}._-____-*
*
nz
nJ
+-
(b)平 均圧壊 荷 重 (実験値 との比較 )
①田 目
XttL
◇
―
有
ぷ
篭
( c ) 圧壊 変 形過程
Fig 5
ー
Fig 4 岡 」
体 ・ばね モ デ ル に よる圧壊 シ ミュ レ タ
剛体 ・ば ね モデ ル に よる円筒殻 の
圧壊 シ ミュ レー シ ョン結 果
静
生 産 研 究
38巻 8号 (19868)
′
′
％ ′
﹂ 牲
Ｎ
４Σ ［
〓
視す る基礎研究的 な立場か らは,有 限要素法 の応用が望
ましい方向 と判断 し,次 章 で述べ る解析 へ と研究 を進め
双一 次形状関数 による要素 内変位場 を次式 に示す。
′
′
′
％ υ η
体 ・ば
う確実 な精度向上 が必ず しも期待 で きないのが岡」
一
ね モデルの特徴の つで ある。 そこで,定 量的精度 を重
′̀
θッ
′
十二′
Ⅳ,(ξ
) ― θχ′j
,η
0
(7)
た。
ここに
4.有 限要素法 による圧壊解析
有限要素法 を本問題 に適用す るにあた り,一 般的な薄
肉構造 の準静的圧壊解析 のための計算 プ ログラム を作成
した.こ のプ ログラムの計算 アル ゴ リズムにおける主要
一次四
な仮定は以下 の とお りである。すなわち,(1)双
-2つ
2●
ー
を一 点積分 法 に よ り定 モ メン ト
辺 形 シェル要素
要素 として使用,(2)updated Lagrangian approachに
2●
よ る増分 理 論 を仮 定,(3)各 ス テ ップ で の updated
Kirchhoff応力 を Euler応 力 の Jaumann変 化 率 に 変
20,(4)こ
の変換 の際,平面 応力場 を保持す るように肉
換
20,(5)層
分 割 法 (layered
厚方 向 の垂 直 ひずみ を決定
approach)によ り塑性変形 を考慮,(6)節 点 における面
ー
ー
内回転 自由度お よびア ワ グラスモ ドを拘束す るため
20,2つ
の仮想同J性を付与
,な どが上 げ られ る。定式化 の概略
を以下 に示す.
Fig 6に双一次 四辺形 シェル要素 を使 用座標系 ととも
・
に示す。 クラッシュ問題 の ように大変 形 大 ひずみ を伴
・
う強非線 形問題 の解析 には,計 算効率 計算精度 の観点
か ら上記要素 の よ うな次数低 減積分 法 (reduCed inte
基づ く低 次有限要素 モデルの使用
gration technique)に
,y,z)
が効果的 と考 えられ る。図中には,全 体座標系 (χ
・
る
の
を定義す
ひずみ
方向
のほかに,要 素 内変位 と応力
',y',2'),節
る節点
点 自由度 の方 向 を定義す
要素座標 系 (χ
",y",z"),および要素 内曲線座標 系 (ξ
)が
,η
座標系 (χ
一
示 されてい る力ヽ 通常,節 点座標系 は全体座標 系 と同
方向に採 られ る。 また,要 素座標系 は各増分 ステ ップ に
お いて その時の節点座標値 に基づ き再計算 され る.以後,
変位成分 の記述 に際 してはプ ライム符号 によ り参照座標
,η,θ
χ,
系 を区別す る。各節点 は Fig 6に示す ように,(%,υ
z)の 6自 由度 を有す る。
ら,θ
)/4
Ⅳl ( ξ
) = ( 1 - ξ) ( 1 - η
,η
)/4
(
1
η
Ⅳ2 ( ξ
)
=
(
1
+
ξ)
'η
)/4
(
1
+
η
Ⅳ3 ( ξ
) = ( 1 + ξ)
'η
)/4
Ⅳ4 ( ξ
) = ( 1 - ξ) ( 1 + η
'η
ず
とu p d a t e d G r e e n ひ
U p d a t e d K i r c h h o f f力増分
応
み増分の 3 次元関係は次式のよ うに表される.
*ε
*σ
{∠ }=[D]{∠ }
(8)
ここに,塑 性領域 における[D]マ トリックスの各成分は
Mヽesの 降伏条件 お よび塑性流れ理論 に基づ いて決定
し,相 当応力 ・相当ひずみ関係 は材料試験 における真応
力 (あるいは Euler応力)・対数 ひずみ関係 を入力するも
力増分は次式により,
の とする。Updated Kirchhoff応
Euler応力の 」aumann変 化率 に変換す る.
*ε
*σ
′
(9)
(∠σ}={∠ }+[S]{∠ }
ステッ
マ
ス
成分は前
ここに,初 期応カ トリック [S]の
プの Euler応 力より計算 される。
要素中心点のひずみ増分 は,肉 厚方向の垂直ひずみを
。
除き,(7)式 の変位場 に次式の非線形ひずみ 変位関係
(Karmanの 有限変形平板理論 における仮定 と等 しい)
を適用す ることにより計算す る.
′ ′
′ ′
ε″=∂ク/針 +(1/2)(枷 /敵 )2
′ ′
′
ε,=∂υ/a/十 (1/2)(物 /″ )2
′ ′ ′
′ ′ ′
ω /″ )(10)
/み +∂υ/説 十(とが/敵 )(∂
γ″=∂%′
′
′ 十
=∂υ
&〆/″
/a_/′
γ
′
′
圭
/&′
γ
zχ とが/教 十∂%′
の垂
直 ひずみ増分 ∠εzは (8)式 お よび
また,肉 厚方向
(9)式 を用 いて計算される肉厚方向の垂直応力が零 とな
るように定め られる。
本要素 は節点における面内回転変位 自由度 に対 して無
一
剛性であるため,あ る節点 を囲む要素群が同 平面上あ
るいはそれに近 い配置を とる場合に剛性マ トリックスに
特異性が生ずる。これに起因す る数値的困難を避けるた
めに,剛 体変位 に対 しては抵抗 しない ような仮想的弾性
り
岡」ば を付カロしてい る.
一
また,こ の要素 に生ず るもう つの数値的困難 はア
ワー グラスモー ドに起因す る数値的不安定である。 これ
を抑市1するために,Flanaganお よび Belytschkoに より
ー
ー
考案された,一 様 ひずみおよび岡J体変位 モ ドとアワ
ー
ー
グラスモー ドの直交性 を利用 したアワ グラスモ ド抑
2"を
ー
ー
使用 した。アワ グラスモ ドを抑制するた
制手法
の値
めの仮想的剛性 の大 きさを決 め る無次元係数 γ,2つ
Fig 6 双
一 次 四辺 形 シェ ル要 素
として,弾 性領域では 003を 用い,塑 性領域では肉厚方
352
38巻
8号 (19868)
生
向の数値積分点 (10′
貞)に おける接線係数値 の平均値 に
比例す るよ うに ″̀ の値 を低減 させ た。
増分型 の仮想仕事の原理 に従 うと,最 終的 に次式の増
分型剛性方程式が得 られ る.
([力
]+[力ε
]十[力
}(11)
。
T]十[力
〃]){∠%}={∠ /}十 {/マ
ここに,[力。
]は 増分剛性 マ トリックス,[力ε]は 増分幾
何剛性 マ トリックス (あるいは初期応カマ トリックス),
[力
r]と [ち]は それぞれ面 内回転 自由度お よびアワー
グラスモー ドに抵抗す る付加剛性 マ トリックス,И %)は
変位増分,{Z/}は 外力増分,(4}は 前段階の不平衡 力で
ある。実際の計算では,Newton‐ Raphson法 による反復
産
研
究
α=〃 4を 仮定す るこ ととした (実は,Fig 4の 圧 壊 シ
ミュレー タを用 いて α=〃 4と 仮定 した計算 を行 って も
うま くつぶ れな い.完 全圧壊 の状態 を Fig 4のモデルで
近似す るためには α=〃 2%の 必要がある).
周方向波数 3の 圧壊 モー ドに対 して十分 多 くの要素数
を用 いた試計算結果 を Fig 7に示す。この計算例では,
Fig 2の基本周期領域 1234が (12×12)の メ ッシュに分
割 されてお り,こ の領域 に対す る計算結果 を対称条件 を
利用 して反転連結す るこ とによ り,Fig 7(a)の圧壊変形
図が描 かれて い る。 同 じ周方向波数 を有す る Fig 7(b)
し,計 算効率の向上 を計 る とともに区分 的線形化 に伴 う
の実験写真 と比較す ると,本 解析 が極めて もっ ともらし
い結果 を与 えて い るこ とが納得 で きる。
Fig 8は,後 のパ ラメー タスタデ ィのため に必要最小
誤差 を極力減 らす ように して い る.
限 の要素数 を見 いだす 目的で行 った, 3種 類 の要素分割
以上の計算アル ゴ リズムに従 い,第 2章 で同」
体 ・ばね
ー
モデル を用 いて行 ったシ ミュ レ シ ョン と同様の解析 を
な相違 は見 られ ない力ヽ Fig 8(a)の荷重 ・
縮み量曲線 よ
計算 を併用す るこ とによ り荷重増分 をやや大 きめに設定
試みた.解 析範囲は Fig 2の 基本周期領域 1234で ある.
剛体 ・ばねモデルによる圧 壊 シ ミュ レー ションでは α=
〃 2%と 仮定 したが,こ こでの計算で は最小座 屈荷重 を
与 え,か つ実験事実 と対比 して もよ り妥当 と推測 される
による解析結果 である.Fig 8(b)の圧壊変形図には顕著
り (7× 7)の メ ッシュでほぼ十分 と判断され るため,
以後の計算 はこの要素分割 によ り実施 した。
F i g 9 は実 験 デー タが利 用 可 能 な次 の 4 体 の 試 験
1°
β°
=
に対 す る解 析 結 果 で あ る i C l ( 〃 ′= 1 1 0 , ″
体
( a ) 有限要素解析 による圧壊変形モー ド
験による圧壊変形モー ド
(b)実
ー
F i g 7 円 筒殻 の圧壊変形 モ ドに関する有限要素解析結果 と実験結果の比較
二％ 鵬
mesh subdi宙 sion
―‐
― (A)5×
5
-― ―(B' 7× 7
- ―● C ' 1 0 ×1 0
'l:-...--....---.
02 04
06 δ l■
(A,
( a ) 荷重 ・縮 み量 曲線
IBI
( b ) 圧壊 変 形 図
Fig 8
円筒 殻 の 有 限要素圧壊 解析 にお け る要 素分 割数 の影 響
38巻 8号
研
生 産
(19868)
究
号
４
︲
２ Ｈ 田 “ 口 慨
二％ 聾 ︲
″
０
︲
C-1
C-2
C-3
C-4
幅
い
鱚蝙颯黎
い
δL=0
け
れ
Eι=0 01E
E.=002E
坐輌 ＝ 田
・
( a ) 荷重 縮 み量 曲線
鱚瘍憚饉
.L=0
δ
a experrment
o p r e s e n t rE r = 0 . 0 1 E )
o present ( E, = 0.02El
C-2
鱚 躙鰊 鰊
δlι=0
0 1o
合臥
0 30
C-4
0 49
( c ) 圧壊 変 形過程
0
20
40
60
80 RI′
( b ) 平均 圧壊 荷 重 ( 実験値 との比較 )
Fig 9 有 限要素法 による円筒殻 の圧壊解析結果
二3), C
2), C-2(R/ノ =248,″ =3), C-3(R/7=445,″
-4ば ル=500,″=4).材 料特性 として 2直 線近似 に よる
相 当応力 ・相 当ひず み関係 を仮定 し,降 伏後 の接線係数
E`と してヤ ング率 の 1%お よび 2%の 2種 類 の値 を用
縮み量曲線,Fig 9(b)
いて解析 した.Fig 9(a)は 荷重 ・
は Fig 9(a)の結果 か ら算 定 した平均 圧壊荷重,Fig 9
3体 の円筒に対す る圧壊変形過
(c)はC-1,C2,C4の
程 であ る.実 験 に よる平均 圧壊荷重値 は Fig 9(b)に示
したように,本 解析 による 2種 類 の計算値 のほぼ 中間的
な ところに位 置 してお り,定 量的 にほぼ妥当な解 が得 ら
れて い ると推測 され る。また,Fig 9(c)の計算結果 は実
い
際 の圧壊変形過程 を極 めて忠実 に再現 して ると判断 さ
れ る.
のにす
著者 らは,上 述 の成果 を裏付 け,よ り完全 な も
お
るため に,多 数 の 円筒鋼管 に対す る圧壊試験 よび有限
要素解析 をす で に実施 して い る。 これについては稿 を改
薄 肉Jの 仮定 の限界が
めて解説 した い力ヽ その過程 で 「
一 つの 問題点 として浮 かび上が って きたこ とのみ をここ
で指摘 してお きた い.す なわち,上 記 の Cl試 験体 など
厚 肉Jで あるし,
は半径 ・肉厚比 か ら判断 してか な り 「
また, よ り薄 い円筒で も局所的 にかな り大 きな変形 をす
薄 肉Jの 仮定 に無理 が生ず る可能性 が ある。
る場合 は 「
へ
この′
点を改善 しよう とす ると必然的 に 3次 元解析 と歩
ハー ド
ゴ
ズムおよび
を進 め るこ とになるが,計 算 アル リ
ウェアの今後の進展 を考 える と,著 者 はこの方面 に も積
い
極的 に取 り組む時機 にあるのではないか と考 えて る.
5 結
言
本解説 では,構 造要素 の クラ ッシュ挙動 (超大変形 を
モデ
伴 う静的圧壊挙動 に話 を限定 した)に 対す る可能 な
ル化 とその特徴 について,軸 圧縮荷重 を受 ける円筒殻 の
ー
ン
非軸対称圧壊挙動 に対す る著者 らの シ ミュ レ シ ョ 結
べ
のア
た
3種
類
中で述
した。本文
果 を引用 しなが ら慨説
プ ロー チ を全体 として眺め ると,計 算 コス トの増大 は計
塑
算精度 の向上 をもた らして い る と言 えそ うであ る.同 」
性理論解析 の適用範囲お よび定量的精度 の限界 とま とも
な非線形有限要素 解析 に要す る膨大 な計算 コス トを考 え
・
る と,実用性 の観点か らは剛体 ばね モデルによるシ ミュ
ー
と考
えるこ ともで きる。し か
レ シ ョンがかな り効果的
ー
しなが ら,非線形有限要素法の計算 コス トはソフ ト,ハ
が
つて
,
ド両面 の進展か ら確実 に低減 の傾 向にあ る。した
ー
その ような将来 を見越 した研究の タ ゲ ッ トとしては有
354
38巻
8号 (19868)
生 産 研
限要素 法, 特 に低 次要素 に よる非線形解析 手法 の 応用 も
魅 力的 と思 われ , 著 者 の研 究室 で も積 極 的 な推進 を考 え
て い る。
以上, 著 者 の 狭 い範 囲 の 解析 経験 か ら表題 の よ うな拙
文 をま とめ たが , 諸 兄 の御 批 判 を賜 れれば幸 い で あ る.
最 後 に, 著 者 を計 算 力学 の 分 野 の研 究 に導 い て くだ さっ
た東京 大 学名誉 教 授 の 川井 忠彦先生 ( 現東京理科 大学 )
に深甚 な る謝 意 を表 した い と思 い ます。 また, 本 文 第 3
章 お よび第 4 章 の 数値 計算例 はそれ ぞれ著 者 の研 究 室 の
鈴木規之 君 ( 博± 2 年 ) お よび弓削康 平 君 ( 博± 3 年 )
￨ 1 井: 不連続体 力学 のすすめ ( その 7 ) ― 薄肉鋼
14)都 井 ・
り
構造の極限強度 シ ミュレー ションー, 生 産研究, 3 6 巻 ,
1号,1984, 9∼ 16
1 5 ) 都 井 : 円筒殻の平均圧壊荷重に関する一考察, 日本造船
学会論文集, 1 5 7 号 , 1 9 8 5 , 4 3 5 ∼ 4 4 3
16)川 井 ・
都井 ・
鈴木 : 構造要素の衝突圧壊挙動に関するシ
ミュレー ション, 日本造船学会論文集, 1 5 8 号 , 1 9 8 5 ,
5 5 9 ∼5 6 7
￨ 1 井: 構 造要素の衝突圧壊強度に関す る基
1 7 ) 都 井 ・弓削 ・り
礎的研究 ( その 1 ) 一 有限要素法による超大変形圧壊解
析 ―, 日本造船学会論文集, 1 5 9 号 , 1 9 8 6 , 2 4 5 ∼ 2 5 4
18)J M Alexander:An Approximate Analysis Of the
の尽 力 に よ る もの で あ り, こ こに記 して謝 意 を表 す る.
Collapse of Thin Cylindrical Shells under Axial
Loading, Quart Journ lプlech and Applied Tプ
Iath,
Vol 13,Pt l,1960,10∼
15
( 1 9 8 6 年5 月 8 日 受理)
参 考
文 献
1)T Kawai and Y TOii Crush Analysis of Engineer
ing Structures, Proceeding Of HOPE International
148
JSA/1E Symposium,TOkyo,1977,141∼
2)N JOnes and T wierzbicki(EditOrs)i Structural
19)A Pugsley and M Macaulay:The Large Scale
Crumpling of Thin Cylindrical COlumns, Quart
Journ Mech and Applied Math,VO1 13 Pt l,
1 9 6 0 , 1 ∼9
20)W JohnsOn,P D SOden and S T AI Hassani:
「
Inextensional COllapse Of Thin‐ヽ
ヽ
aHed Tubes
CrashwOthiness,ButterwOrths&CO (Publishers)
Ltd,1983
3)N JOnes(Editor):International JOurnal of lmpact
E n g i n e e r i n g , V o l l , N o 3 ( S p e c i a l l s s uIem‐
pact
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Vol 12,No 4,1977,317∼
330
21)Y Yoshimura i On the Mechanism of Buckling Of
a Circular Cylindrical Shell under Axial Compres‐
CrashwOrthiness), 1983
4)W Johnson (EditOr):International 」
Ournal
Mechanical Sciences, V01 25, N0 9-10(Special
究
of
lssue Structural CrashwOrthiness COnference),1983
5)G A O Davies(EditOr)i Structural lmpact and
CrashwOrthiness, V01 1(KeynOte Lectures), El
sevier Applied Science Publishers, 1984
6)J Ⅳ Iorton(Editor)i Structural lmpact and Cra‐
shworthiness,VO1 2(Conference Papers),EIsevier
Applied Science Publishers, 1984
7)W Johnson i lmpact Strength of Ⅳ Iaterials,Edwar‐
d Arnold(Publishers)LTD,1972
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都井 :は りおよび平板の横衝撃応答問題 に対す る
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号,1979,73∼ 80
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143号 ,
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s on Dynamic
C o l l a p s e o f S t r u c t u r e s , ( F u r t h e r r e p o r t造船
)EI本
sion,NACA,TM1390,1955
22)川 井 :New Element MOdels in Discrete Structural
Analysls,日
本造船学会論文集, 1 4 1 号, 1 9 7 7 , 1 7 4 ∼1 8 0
23)Y TOiand T Kawai:Discrete Limit Analysis Of
Plate and Shell Structures, Computers and Struc―
tures, 「
ヽ
ol 19, No l-2, 1984, 251^-261
l l 井: シ ェル構造の離散化極限解析 ( その 4 ) ― 厚
サ
24)都 井・
肉シェルの有限変形解析―, 生 産研究, 3 4 巻 , 8 号 ,
1982, 19∼
22
25)llr KanOk― Nukulchai:A Simple and Efficient
Finite Element fOr General Shell Analysis,Int J
Num Meth Engng,VO1 14,1979,179∼
200
26)T J R Hughes and lV K Liu:NOnlinear Finite
Element Analysis Of Shells(Part l: Three
dimensiOnal shells), Comp Meth in Appl Mech
and Engng,VO1 26,1981,331∼
362
27)T Belytschko, J I Lin and C S Tsay:Explicit
Algorithilns fOr the Nonlinear Dynamics of Shells,
i b i d , V o 1 4 2 , 1 9 8 4 , 2 22 55 1∼
28)K
ヽハ
rashizu i VariatiOnal 1/1ethOds in Elasticity
学会論文集, 1 4 5 号 , 1 9 7 9 , 1 1 9 ∼ 1 2 6
1 1 ) 都 井 : 骨組 ・
回転対称 シェル構造の動的非線形解析, 日
本造1 合
学会論文集, 1 4 7 号 , 1 9 8 0 , 3 2 9 ∼ 3 3 6
l l 井: 薄 肉構造の離散化極限解析 ( その 4 ) 一 平
り
12)都 井・
板岡」
体要素モデ ルに よる衝撃崩壊解析―, 日本造船学会
29)D P Flanagan and T Belytschko:A Uniform
Strain HexahedrOn and Quadrilateral with Orth‐
論文集, 1 5 3 号 , 1 9 8 3 , 3 2 5 ∼ 3 3 3
￨ 1 井 : 薄 肉構造の離散化極限解析 ( その 5 ) 一 軸
13)都 井 ・
圧縮荷重 を受 ける円筒殻の非軸対称塑性座屈モー ドー,
3 0 ) 自 動車技術会構造強度部門委員会衝突解析 W G 編 集 :
薄内部材の崩壊特性 ( 1 9 8 1 年1 1 月 ) , 衝突解析法実例集
日本造船学会論文集, 1 5 4 号 , 1 9 8 3 , 3 5 3 ∼ 3 6 0
and Plasticity,3rd Ed,PergamOn Press,1982
ogonal Hourglass COntrol, Int 」
Num Meth
E n g n g , V o l 1 8 , 1 9 8 1 , 6 7 9 ∼7 0 6
8 月)
(1982年