練習8 図のように正九角形ABCDEFGHIの各頂点から

練習8
図のように正九角形ABCDEFGHIの各頂点から最も長い対角線を
2本ずつ引きました。図の影をつけた部分の周囲の長さが
のとき、
正九角形と影をつけた部分との面積の差を求めなさい。
練習8
解き方） A～Iの各点は円周上にあるので、円周角の定理が使えます。
3
1辺が の正三角形の面積をSとおくと、S =
です。
4
この正九角形に外接する円を考え、その中心をOとする。
360°
弧EFに着目して、中心角∠EOF =
= 40°であることがわかるので
9
1
同一弧上の円周角である∠EAF = × 40° = 20°となる。
2
また、弧IHGF上の円周角∠IEFを考えると、円周角の大きさは弧の
長さに比例するので、∠IEF = 3 × ∠EAF = 60°となる。
図形の対称性から、∠BFE＝60°となるので、EIとFBの交点をQとすると
△ EQFは正三角形になる。
O
Q
『影をつけた部分の周囲の長さが36
』より
36
4
EQ + QF =
=4
となり、1個の正三角形の1辺 =
=2
9
2
正九角形と影をつけた部分の面積の差＝9個の正三角形の面積の和
3
＝9 ×
×2 =9 3
・・・（答
4
【埼玉県の数学 ☆解法のポイント：22～25】
22)2次関数と1次関数を組み合わせた図形問題では、放物線(2次関数)と直線(1次関数)との交点を求めて、
そこから 軸(あるいは 軸)に垂線を下ろして、囲まれる面積の比などを求めるものが多い。
1次関数と図形を絡めた問題では直線の傾きを利用する。
23)長方形などの四角形の辺上を点が動く問題では、動点が各辺の頂点を通り過ぎるところで場合を分ける。
(※関数が変わる地点)
24)三角形の等積変形(同じ面積を持つ別の三角形に図形を移すこと)
→底辺が共通の三角形同士では、高さが等しければ面積も等しい
→高さが等しいとき、おたがいの三角形の2頂点を通る直線と底辺は平行
→2頂点を通り底辺に平行な補助線を引く
25)三角形の合同条件
ア)3辺の長さが等しい。
イ)2辺と挟む角が等しい。
ウ)1辺と両端の角が等しい。
※ア), イ), ウ)のどれかが成り立てばよい。
また、直角三角形では
a)斜辺と1つの鋭角が等しい。
b)斜辺と他の1辺が等しい。
※a)またはb)が成り立てばよい。