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橡 第2章物理量の定義と基礎方程式.

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橡 第2章物理量の定義と基礎方程式.
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第 2章 物 理 量 の 定 義 と 基 礎 方 程 式 か ら の 近 似 な し の 結 論
§1∼§2
2003.03.09 byKENZOU
==============================
§ 1.はじめに
・電 磁 場 と 力 学 系 の 相 互 作 用 ・・・Maxwellの方程式 と Lorentsの力で記述できる。
すると直ちに起こる疑問①∼④
①
②
③
④
電磁場と力学系の間にエネルギーやその他の物理量の交換があり得るか?
荷電粒子が電磁場と相互作用してエネルギーを失った場合、そのエネルギーはどこへいく?
電 磁 場 の 運 動 量 や 他 の 物 理 量 は ど の よ うに定義したらよいのか?
電 磁 波 の 散 乱 や 発 射 ・吸 収 の 計 算 し た い 場 合 、何 を 計 算 す れ ば い い の か ?
・これらの疑問は虚心になって考えればすぐ思いつく。しかし、大抵、耳年増になってしまって、その答
えをぼんやりとはいえある程度知ってしまっているから、なかなか素直な疑問として浮かんでこない、、
もっとも小生だけの場合かも知れないが。。。
・しかし、ここでは、初心に立ちかえって、これらの疑問を味わいつつ第2章に取り組んでいくことにする。
§ 2.荷 電 粒 子 の 物 理 量
・Lorentzの力だけが働いている 1個の荷電粒子のNewton の運動方程式は、粒子の位置座標を
ξ ( tで表すと、
)
mξx ( t=e
)
E ξ ( t,
) t+ξw ( t×B
)
( t,
) t
)
(2.1)
・電荷 e をもった点粒子の非相対論的な理論での電荷および電流の密度は、それぞれ
ρ( x,t=e
)
δ x - ξ ( t)
w ( tδ
J ( x, t=eξ
)
)
x - ξ ( t)
そこで、式 (2.1) の両辺に左から δ x - ξ ( t)
(1.8a)
(1.8b)
を掛けると
mξx ( tδ
)
x - ξ ( t) =e E ξ ( t,
) t+ξw ( t×B
)
( t,
) t
) δ x - ξ ( t)
=ρ( x,tE
) ( x, t+J
)
( x, t×B
)
( t,
) t
) = f(x , t)
《留意事項》
ここで電荷密度の定義と電流密度の定義を見比べると、電流密度(電荷密度の流れ)
は電荷密度に荷電粒の位置ベクトルξ (
t
)
の時間微分すなわち速度を掛けた形をしてい
ることに留意。この形はすぐ後ででてくる「荷電粒子の質量密度とその流れ」や「エネル
ギー密度とその流れ」の定義式に顔をだす。
電荷密度の定義
ρ ( x,t=e
)
δ x - ξ ( t)
w ( tδ
電流密度の定義 J ( x, t=eξ
)
)
x - ξ ( t) = ρ( x,tξ
) w ( t)
-1-
(2.2)
・ところで(1.8a)、(1.8b)が連続の方程式を満たしていることをチェックしておきましょう。
連続の方程式 ・・・・ ∇ ・J ( x, t+
)
∂ρ( x,t)
=0
∂t
①
∂ρ( x,t)
∂
∂
=e δ x - ξ ( t) =e δ x1 - ξ 1 ( t) δ x2 - ξ 2 ( t) δ x3 - ξ 3 ( t)
∂t
∂t
∂t
∂
=eξw 1
δ x1 - ξ 1 ( t) δ x2 - ξ 2 ( t) δ x3 - ξ 3 ( t)
∂ξ 1
+eξw 2
∂
δ x1 - ξ 1 ( t) δ x2 - ξ 2 ( t) δ x3 - ξ 3 ( t)
∂ξ 2
+eξw 3
∂
δ x1 - ξ 1 ( t) δ x2 - ξ 2 ( t) δ x3 - ξ 3 ( t)
∂ξ 3
3
=e Σ ξw
i=1
i
∂
δ x - ξ ( t) =- eξw (t
)・∇ δ x - ξ ( t)
∂ξ i
∇ ・J ( x, t=e∇
)
・ξw ( tδ
)
x - ξ ( t) =eξw ( t∇
) ・δ x - ξ ( t)
②
③
∴ ∂ tρ( x,t+∇
)
・J ( x, t=
)
0
[注]
合成関数の微分を考えます。z=x−yの関数 f
(z)について
∂f(x - y) ∂z df df ∂f(x - y) ∂z df
∂f(x - y)
df ∂f(x - y)
=
=
,
=
=,
=∂x
∂x dz dz
∂y
∂ydz
dz
∂x
∂y
・さて、この荷電粒子の質量密度と質量密度の流れは、e を m に置き換え、それぞれ
(p)
ρ ( x,t=mδ
)
x - ξ ( t)
J
(p)
(2.4a)
w ( tδ
( x, t=mξ
)
)
x - ξ ( t)
(2.4b)
これは上で計算したと同様に連続の方程式を満たしますね。
・次に、質量の流れ (2.4b)に対して、質量の流れの流れ(歪みテンソル)を次式で定義する。
t
(p)
x
ij (
, t)≡mξw i(
t
)ξw j
(
t
)δ x - ξ ( t)
(2.5)
すると、点粒子の質量の流れの密度に対して次のバランス方程式(付録7)が成り立つ。
(p)
(p)
Jw i (x,t
) + ∂j
t i j (x , t)= f
x,t
)
i(
(2.6)
・上のバランスの方程式を計算で確かめてみよう。
∂
(p)
Jw i (x,t
)=m
ξw ( tδ
)
x - ξ ( t)
∂t i
=mξx i( tδ
)
x - ξ ( t) −mξw i( tξ
) w ・∇ δ x - ξ ( t)
-2-
(ⅰ)
∂ jt
(p)
x
ij (
3
, t)=Σ
j
∂
t
∂x j
(p)
x
ij (
, t)=
∂
t
∂x 1
(p)
i1 +
∂
t
∂x 2
(p)
i 2+
∂
t
∂x 3
(p)
i3
∂
∂
∂
=mξw i(
t
) ξw1(t
)
+ξw 2 (t
)
+ξw3 (t
)
+ δ x - ξ ( t)
∂x 1
∂x 2
∂x 3
=mξw i(
t
)ξw ・∇ δ x - ξ ( t)
∴
(p)
Jw i (x,t
)+∂jt
(p)
x
ij (
(ⅱ)
, t)=mξx i( tδ
)
x - ξ ( t) =fi(x,t
)
(ⅲ)
右辺に電磁的なLorents力が出てきたことに留意しておきましょう。
・次に、粒子のエネルギー密度とその流れを次式で定義する。
1
Ε (pe)(x,t
)≡ mξw 2 (t
)δ x - ξ ( t)
2
1
(pe)
J i (x,t
)≡ mξw 2 (t
)ξw i (t
)δ x - ξ ( t)
2
するとエネルギーに対するバランス方程式 (注 :テ キ ス ト (2 . . 8 ) の 左 辺
(pe)
Εw (pe)(x,t
)+∇ ・J (x,t
)=J (x,t
)・E (x,t
)
(2.7a)
(2.7.b)
第 1 項 は 時 間 微 分 が 抜 け て い る :誤 植 )
(2.8)
式(2.8)を計算で確かめてみる。
1
(x,t
)=mξw (t
)ξx (t
)δ x - ξ ( t) − mξw 2 (t
)ξw (t
)・∇ δ x - ξ ( t)
2
1
(pe)
∇ ・J (x,t
)= mξw 2 (t
)ξw (t
)∇ ・δ x - ξ ( t)
2
①+②より
(pe)
Εw (pe)+∇ ・J =mξw (t
)ξx (t
)δ x - ξ ( t)
Εw
(pe)
①
②
③
③式の右辺は
mξw (t
)ξx (t
)δ x - ξ ( t) =eξw ( t・
) [ E (ξ (t
),t
)+ξw (t
)×B (ξ (t
),t
) ] δ x - ξ ( t)
=eξw ( t・
) E (ξ ( t) ,t
)δ x - ξ ( t)
+eξw ( t・
) ξw (t
)×B (ξ (t
),t
)δ x - ξ ( t)
ベクトル算法によりゼロ
=eξw ( t・
) E (ξ ,t
)δ x - ξ ( t) =J (x,t
)・E (x,t
)
∴ Εw
(pe)
+∇ ・J
(pe)
=J (x,t
)・E (x,t
)
④
⑤
(p)
(pe)
ということで、式(2.6)、(2.8)は 「粒子の質量の流れJ ( x, tやエネルギーΕ
)
(x,t
)
は粒子系だけでは保存していない」ことを示している、とテキストには書かれていますね。(2.6)
や(2・8)の左辺は粒子系の記述ですが、右辺は電磁的力(エネルギー)が顔をだしている、すな
わち電磁的なエネルギー(湧き出し)が力学的エネルギーに変化する割合を示しているという こ
とになるわけですね。まぁ、この辺りは次の§3にいけばもっと鮮明に分かるんでしょうなぁ、、、
まぁゴタゴタと計算が続きましたね。§3も同様な事態が続きそうですが、頑張って参りましょうか。。。。
尚、連続の方程式の計算でμさんhttp://nisimiyu.netの助言をいただきました。ありがとうございました。
----------------------------------------------------- おつかれさま
-3-
Cof
f
e
eBreak♪ ∂
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