橡 第2章物理量の定義と基礎方程式.

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
第 ２章 物 理 量 の 定 義 と 基 礎 方 程 式 か ら の 近 似 な し の 結 論
§１∼§２
2003．03．09 ｂｙKENZOU
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
§ １．はじめに
・電 磁 場 と 力 学 系 の 相 互 作 用 ・・・Maxwellの方程式 と Lorentsの力で記述できる。
すると直ちに起こる疑問①∼④
①
②
③
④
電磁場と力学系の間にエネルギーやその他の物理量の交換があり得るか？
荷電粒子が電磁場と相互作用してエネルギーを失った場合、そのエネルギーはどこへいく？
電 磁 場 の 運 動 量 や 他 の 物 理 量 は ど の よ うに定義したらよいのか？
電 磁 波 の 散 乱 や 発 射 ・吸 収 の 計 算 し た い 場 合 、何 を 計 算 す れ ば い い の か ？
・これらの疑問は虚心になって考えればすぐ思いつく。しかし、大抵、耳年増になってしまって、その答
えをぼんやりとはいえある程度知ってしまっているから、なかなか素直な疑問として浮かんでこない、、
もっとも小生だけの場合かも知れないが。。。
・しかし、ここでは、初心に立ちかえって、これらの疑問を味わいつつ第２章に取り組んでいくことにする。
§ ２．荷 電 粒 子 の 物 理 量
・Lorentｚの力だけが働いている 1個の荷電粒子のNewton の運動方程式は、粒子の位置座標を
ξ ( ｔで表すと、
)
ｍξx ( ｔ＝e
)
E ξ ( ｔ,
) ｔ＋ξw ( ｔ×B
)
( ｔ,
) ｔ
)
(2.1)
・電荷 e をもった点粒子の非相対論的な理論での電荷および電流の密度は、それぞれ
ρ( ｘ，ｔ＝e
)
δ ｘ - ξ ( ｔ)
w ( ｔδ
J ( ｘ, ｔ＝eξ
)
)
ｘ - ξ ( ｔ)
そこで、式 (2.1) の両辺に左から δ ｘ - ξ ( ｔ)
(1.8a）
(1.8b）
を掛けると
ｍξx ( ｔδ
)
ｘ - ξ ( ｔ) ＝e E ξ ( ｔ,
) ｔ＋ξw ( ｔ×B
)
( ｔ,
) ｔ
) δ ｘ - ξ ( ｔ)
＝ρ( ｘ，ｔE
) ( ｘ, ｔ＋J
)
( ｘ, ｔ×B
)
( ｔ,
) ｔ
) ＝ ｆ(x , t)
《留意事項》
ここで電荷密度の定義と電流密度の定義を見比べると、電流密度（電荷密度の流れ）
は電荷密度に荷電粒の位置ベクトルξ （
ｔ
）
の時間微分すなわち速度を掛けた形をしてい
ることに留意。この形はすぐ後ででてくる「荷電粒子の質量密度とその流れ」や「エネル
ギー密度とその流れ」の定義式に顔をだす。
電荷密度の定義
ρ ( ｘ，ｔ＝e
)
δ ｘ - ξ ( ｔ)
w ( ｔδ
電流密度の定義 J ( ｘ, ｔ＝eξ
)
)
ｘ - ξ ( ｔ) ＝ ρ( ｘ，ｔξ
) w ( ｔ)
-1-
(2.2)
・ところで(1.8a)、(1.8b）が連続の方程式を満たしていることをチェックしておきましょう。
連続の方程式 ・・・・ ∇ ・J ( ｘ, ｔ＋
)
∂ρ( ｘ，ｔ)
＝０
∂ｔ
①
∂ρ( ｘ，ｔ)
∂
∂
＝e δ ｘ - ξ ( ｔ) =e δ ｘ1 - ξ 1 ( ｔ) δ ｘ2 - ξ 2 ( ｔ) δ ｘ3 - ξ 3 ( ｔ)
∂ｔ
∂ｔ
∂ｔ
∂
＝eξw 1
δ ｘ1 - ξ 1 ( ｔ) δ ｘ2 - ξ 2 ( ｔ) δ ｘ3 - ξ 3 ( ｔ)
∂ξ 1
＋eξw 2
∂
δ ｘ1 - ξ 1 ( ｔ) δ ｘ2 - ξ 2 ( ｔ) δ ｘ3 - ξ 3 ( ｔ)
∂ξ 2
＋eξw 3
∂
δ ｘ1 - ξ 1 ( ｔ) δ ｘ2 - ξ 2 ( ｔ) δ ｘ3 - ξ 3 ( ｔ)
∂ξ 3
3
＝e Σ ξw
i=1
i
∂
δ ｘ - ξ ( ｔ) ＝- eξw （ｔ
）・∇ δ ｘ - ξ ( ｔ)
∂ξ i
∇ ・J ( ｘ, ｔ＝e∇
)
・ξw ( ｔδ
)
ｘ - ξ ( ｔ) ＝eξw ( ｔ∇
) ・δ ｘ - ξ ( ｔ)
②
③
∴ ∂ tρ( ｘ，ｔ＋∇
)
・J ( ｘ, ｔ＝
)
0
[注]
合成関数の微分を考えます。ｚ＝ｘ−ｙの関数 ｆ
（ｚ）について
∂ｆ(x - y) ∂ｚ ｄｆ ｄｆ ∂ｆ（x - y） ∂ｚ ｄｆ
∂ｆ（x - y）
ｄｆ ∂ｆ(x - y)
＝
＝
，
＝
＝，
=∂ｘ
∂x ｄｚ ｄｚ
∂ｙ
∂ｙｄｚ
ｄｚ
∂ｘ
∂ｙ
・さて、この荷電粒子の質量密度と質量密度の流れは、e を m に置き換え、それぞれ
(p)
ρ ( ｘ，ｔ＝ｍδ
)
ｘ - ξ ( ｔ)
J
(p)
(2.4a）
w ( ｔδ
( ｘ, ｔ＝ｍξ
)
)
ｘ - ξ ( ｔ)
(2.4b）
これは上で計算したと同様に連続の方程式を満たしますね。
・次に、質量の流れ (2.4b）に対して、質量の流れの流れ（歪みテンソル）を次式で定義する。
t
(p)
x
ij （
, t）≡mξw i（
ｔ
）ξw ｊ
（
ｔ
）δ ｘ - ξ ( ｔ)
(2.5)
すると、点粒子の質量の流れの密度に対して次のバランス方程式（付録７）が成り立つ。
(p)
(p)
Jw ｉ (ｘ，ｔ
) ＋ ∂ｊ
t i j （x , t）＝ ｆ
ｘ，ｔ
）
ｉ（
(2.6)
・上のバランスの方程式を計算で確かめてみよう。
∂
(p)
Jw ｉ (ｘ，ｔ
)＝ｍ
ξw ( ｔδ
)
ｘ - ξ ( ｔ)
∂ｔ ｉ
＝ｍξx ｉ( ｔδ
)
ｘ - ξ ( ｔ) −ｍξw ｉ( ｔξ
) w ・∇ δ ｘ - ξ ( ｔ)
-2-
（ⅰ）
∂ ｊt
(p)
x
ij （
3
, t）＝Σ
ｊ
∂
t
∂x j
(p)
x
ij （
, t）＝
∂
t
∂x １
(p)
i１ ＋
∂
t
∂x 2
(p)
i 2＋
∂
t
∂x 3
(p)
i3
∂
∂
∂
＝mξw i（
ｔ
） ξw１（ｔ
）
＋ξw 2 （ｔ
）
＋ξw3 （ｔ
）
＋ δ ｘ - ξ ( ｔ)
∂x １
∂x 2
∂x 3
＝mξw i（
ｔ
）ξw ・∇ δ ｘ - ξ ( ｔ)
∴
(p)
Jw ｉ (ｘ，ｔ
)＋∂ｊt
(p)
x
ij （
（ⅱ）
, t）＝ｍξx ｉ( ｔδ
)
ｘ - ξ ( ｔ) ＝ｆｉ(ｘ，ｔ
)
（ⅲ）
右辺に電磁的なＬｏｒｅｎｔｓ力が出てきたことに留意しておきましょう。
・次に、粒子のエネルギー密度とその流れを次式で定義する。
1
Ε (pe)（ｘ，ｔ
）≡ ｍξw 2 （ｔ
）δ ｘ - ξ ( ｔ)
2
1
(pｅ)
J ｉ (ｘ，ｔ
)≡ ｍξw 2 （ｔ
）ξw i （ｔ
）δ ｘ - ξ ( ｔ)
2
するとエネルギーに対するバランス方程式 （注 ：ﾃ ｷ ｽ ﾄ （2 ． . 8 ） の 左 辺
(pe)
Εw (pe)（ｘ，ｔ
）＋∇ ・Ｊ （ｘ，ｔ
）＝Ｊ （ｘ，ｔ
）・E (ｘ，ｔ
)
(2.7a)
(2.7.b)
第 1 項 は 時 間 微 分 が 抜 け て い る ：誤 植 ）
(2.8)
式（2.8）を計算で確かめてみる。
1
（ｘ，ｔ
）＝ｍξw （ｔ
）ξx （ｔ
）δ ｘ - ξ ( ｔ) − ｍξw 2 （ｔ
）ξw （ｔ
）・∇ δ ｘ - ξ ( ｔ)
2
1
(pe)
∇ ・Ｊ （ｘ，ｔ
）＝ ｍξw 2 （ｔ
）ξw （ｔ
）∇ ・δ ｘ - ξ ( ｔ)
2
①＋②より
(pe)
Εw (pe)＋∇ ・Ｊ ＝ｍξw （ｔ
）ξx （ｔ
）δ ｘ - ξ ( ｔ)
Εw
(pe)
①
②
③
③式の右辺は
ｍξw （ｔ
）ξx （ｔ
）δ ｘ - ξ ( ｔ) ＝ｅξw ( ｔ・
) [ E (ξ (ｔ
)，ｔ
)＋ξw (ｔ
)×B (ξ (ｔ
)，ｔ
) ] δ ｘ - ξ ( ｔ)
＝ｅξw ( ｔ・
) E (ξ ( ｔ) ，ｔ
)δ ｘ - ξ ( ｔ)
＋ｅξw ( ｔ・
) ξw (ｔ
)×B (ξ (ｔ
)，ｔ
)δ ｘ - ξ ( ｔ)
ベクトル算法によりゼロ
＝ｅξw ( ｔ・
) E (ξ ，ｔ
)δ ｘ - ξ ( ｔ) ＝J (ｘ，ｔ
)・E (ｘ，ｔ
)
∴ Εw
(pe)
＋∇ ・Ｊ
(pe)
＝J (ｘ，ｔ
)・E (ｘ，ｔ
)
④
⑤
(p)
(pe)
ということで、式（２．６）、（２．８）は 「粒子の質量の流れJ ( ｘ, ｔやエネルギーΕ
)
（ｘ，ｔ
）
は粒子系だけでは保存していない」ことを示している、とテキストには書かれていますね。（２．６）
や（２・８）の左辺は粒子系の記述ですが、右辺は電磁的力(エネルギー）が顔をだしている、すな
わち電磁的なエネルギー（湧き出し）が力学的エネルギーに変化する割合を示しているという こ
とになるわけですね。まぁ、この辺りは次の§３にいけばもっと鮮明に分かるんでしょうなぁ、、、
まぁゴタゴタと計算が続きましたね。§３も同様な事態が続きそうですが、頑張って参りましょうか。。。。
尚、連続の方程式の計算でμさんhttp://nisimiyu.netの助言をいただきました。ありがとうございました。
----------------------------------------------------- おつかれさま
-3-
Ｃｏｆ
ｆ
ｅ
ｅＢｒｅａｋ♪ ∂