線形代数学B （担当: 木上）演習問題 2 解答と講評

線形代数学 B （担当: 木上） 演習問題 2 解答と講評
以下、c1 , c2 , . . . は考えている行列式の第 1,2,. . . 列を、r1 , r2 , . . . は第 1,2,. . . 行を表すも
のとする。また例えば tci と書けば第 i 行の t 倍を表すものとする。
演習¯ 2.1 次の等式を証明せよ。
¯
¯
¯
¯a b c ¯
¯a + b b + c c + a¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
(1) ¯ b + c c + a a + b¯ = 2 ¯ b c a¯.
¯
¯
¯
¯
¯c a b¯
¯c + a a + b b + c ¯
¯
¯
¯ 1
1
1 ¯¯
¯
¯
¯
(2) ¯b + c c + a a + b¯ = −(a − b)(b − c)(c − a).
¯
¯
¯ bc
ca
ab ¯
¯
¯
¯(a + b)2
ca
bc ¯¯
¯
¯
¯
(3) ¯ ca
(b + c)2
ab ¯ = 2abc(a + b + c)3 .
¯
¯
¯ bc
ab
(c + a)2 ¯
¯
¯
¯ b + c a − c a − b¯
¯
¯
¯
¯
(4) ¯b − c c + a b − a¯ = 8abc.
¯
¯
¯ c − b c − a a + b¯
¯
¯a
¯
¯
¯b
¯
¯c
¯
¯b
¯
¯
¯c
¯
¯a
¯
¯
¯
¯
¯
¯a b + c c ¯
¯a b c ¯
b + c c + a¯¯
¯
¯
¯
¯
¯ c3 −c1 ¯
¯ c2 −c3 ¯
¯
解答例. (1)
c + a a + b¯ = ¯ b c + a a¯ = ¯ b c a¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯c a + b b¯
¯c a b¯
a + b b + c¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ b c c + a¯
¯ b c a¯
¯
¯
b + c c + a¯¯
¯
¯
¯
¯ c ←→c ¯a b c ¯
¯ c2 −c1 ¯
¯ c3 −c2 ¯
¯ 1= 2¯
¯
であり、また
c + a a + b¯ = ¯ c a a + b¯ = ¯ c a b ¯ c ←→c ¯ b c a¯.
3 ¯
¯
¯
¯
¯
¯ 1
¯
¯a b b + c ¯
¯a b c ¯
¯c a b¯
a + b b + c¯
¯
¯ ¯
¯ ¯
¯
¯
¯
¯a + b b + c c + a¯ ¯a b + c c + a¯ ¯ b b + c c + a¯
¯a b c ¯
¯
¯ ¯
¯ ¯
¯
¯
¯
¯
¯ c1 ¯
¯ ¯
¯
¯
¯
従って
¯ b + c c + a a + b¯ = ¯ b c + a a + b¯ + ¯ c c + a a + b¯ = 2 ¯ b c a¯.
¯
¯ ¯
¯ ¯
¯
¯
¯
¯c + a a + b b + c ¯ ¯ c a + b b + c ¯ ¯ a a + b b + c ¯
¯c a b¯
¯
¯
¯
¯
¯ 1
¯ 1
¯
¯
0
0 ¯¯
1
1 ¯¯
¯
¯
¯ a−b
¯
r
1
c
−c
a
−
c
2
1
¯
¯
¯ = ¯
¯
¯
(2) ¯b + c c + a a + b¯ = ¯b + c
a
−
b
a
−
c
¯
¯
¯
¯
¯ 余因子 ¯c(a − b) b(a − c)¯
¯ c3 −c1 ¯
¯ bc
¯
¯
¯
ca
ab
bc
c(a − b) b(a − c)
=
(a
−
b)(a
− c)(b
¯
¯
¯ − c) = −(a − b)(b − c)(c − a).
¯
¯(a + b)2
¯
¯(a + b)(a + b + c)
¯
ca
bc
ca
bc
¯
¯ c +(c +c ) ¯
¯
1
2
3
¯
¯
¯
¯
(3) ¯ ca
=
(b + c)2
ab ¯
ab ¯
¯ (b + c)(a + b + c) (b + c)2
¯
¯
¯
¯
¯ bc
¯(c + a)(a + b + c)
ab
(c + a)2 ¯
ab
(c + a)2 ¯
¯
¯
¯ 2(a + b + c)2
¯
(b
+
c)(a
+
b
+
c)
(c
+
a)(a
+
b
+
c)
¯
¯
r1 +(r2 +r3 ) ¯
¯
=
(b + c)2
ab
¯ (b + c)(a + b + c)
¯
¯
¯
2
¯(c + a)(a + b + c)
¯
ab
(c + a)
¯
¯
¯ 2
b+c
c + a ¯¯
¯
c1
¯
¯
= (a + b + c)2 ¯ b + c (b + c)2
ab ¯.
r1
¯
¯
¯c + a
ab
(c + a)2 ¯
1
¯
¯
¯
¯
¯ 2
¯2
¯
b+c
c + a ¯¯
b+c
c+a
b+c
¯
¯
¯
r2 − 2 r1 ¯
¯
¯
¯
2
=
また ¯ b + c (b + c)2
ab ¯
(b + c) /2
ab − (b + c)(c + a)/2¯
¯0
c+a
¯
¯
¯
¯
r3 − 2 r1
¯
¯c + a
¯0 ab − (b + c)(c + a)/2
ab
(c + a)2 ¯
(c + a)2 /2
¯
¯
¯
¯
c1
(b + c)2 /2
ab − (b + c)(c + a)/2¯
= 2 ¯¯
¯
余因子 ¯ab − (b + c)(c + a)/2
¯
(c + a)2 /2
¡
¢
¡
¢
= 2 (b + c)2 (c + a)2 − (2ab − (b + c)(c + a))2 = 2 · 2ab 2(b + c)(c + a) − 2ab
= 8abc(a + b + c).
3
ゆえに
¯
¯
¯
¯
¯
¯ + b¯+ c) .
¯ (与式) = 8abc(a
¯ 1 −1 a − b ¯
¯ 1 −c a − b ¯
¯
¯1
¯ b a − c a − b¯
a
−
c
a
−
b
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ c2 ¯
¯ c2 −ac1 ¯
¯c ¯
¯
(4) ¯ b c + a b − a¯ =1 b ¯ 1
1 −a + b¯
c −a + b¯ = bc ¯ 1
a + c −a + b¯ = b ¯ 1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯−1 1
¯−1 c
¯−1 −a + c a + b ¯
¯−b c − a a + b¯
a+b ¯
a+b ¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ 0 0 2¯
¯ 1 −1 1 ¯
¯ 1 −1 a ¯
¯
¯
¯
¯ r +r
¯
¯
c3 −bc2 ¯
¯
¯ 1= 3
¯
¯
¯ c3
= ¯1
1 −1¯ r +r abc ¯ 0 2 0¯ = 4abc.
1 −a¯ = abc ¯ 1
¯
¯
¯
¯ 2 3
¯
¯
¯−1 1 1¯
¯−1 1
¯−1 1
1¯
a¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯1
¯1
¯ c a − c a − b¯
a − c −b¯¯
a−c
a − b ¯¯
¯
¯
¯
¯
¯ c −ac ¯
¯
¯
¯c ¯
同様に ¯−c c + a b − a¯ =1 c ¯−1 a + c −a + b¯ 3 = 1 c ¯−1 a + c
b¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ 1 −a + c b ¯
¯ 1 −a + c a + b ¯
¯ c c − a a + b¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯1
¯1
¯0 0 −1¯
a − c −1¯¯
1 −1¯¯
¯
¯
¯
¯
c
¯
¯ c2 −c·c3
¯
¯ c1 +c3
¯
¯
=3 bc ¯−1 a + c
abc ¯0 2 1 ¯ = 4abc.
1 ¯ = abc ¯−1 1
1 ¯c=
¯
¯
¯
¯ 2 +c3
¯
¯
¯ 1 −a + c 1 ¯
¯ 1 −1 1 ¯
¯2 0 1 ¯
¯
¯ ¯
¯ ¯
¯
¯ b + c a − c a − b¯ ¯ b a − c a − b ¯ ¯ c a − c a − b ¯
¯
¯ ¯
¯ ¯
¯
¯
¯ c1 ¯
¯ ¯
¯
従って
¯b − c c + a b − a¯ = ¯ b c + a b − a¯ + ¯−c c + a b − a¯ = 8abc. ¥
¯
¯ ¯
¯ ¯
¯
¯c − b c − a a + b¯ ¯−b c − a a + b¯ ¯ c c − a a + b¯
演習 2.2 3 角形 ABC の 3 つの角 A, B, C に対して次の式を示せ。
¯
¯
¯ −1 cos C cos B ¯
¯
¯
¯
¯
−1 cos A¯ = 0.
¯cos C
¯
¯
¯cos B cos A −1 ¯
¯
¯
¯
¯
¯ −1 cos C cos B ¯
¯−1
¯
cos
C
cos
B
¯
¯ r2 +(cos C)r1 ¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
解答例. ¯cos C
−1 cos A¯
cos2 C − 1
cos A + cos B cos C ¯
¯0
r
+(cos
B)r
¯
¯ 3
¯
1 ¯
¯cos B cos A −1 ¯
¯ 0 cos A + cos B cos C
¯
cos2 B − 1
¯
¯
¯
c1
− sin2 C
cos A + cos B cos C ¯¯
= − ¯¯
¯ = (cos A + cos B cos C)2 − sin2 B sin2 C
余因子
¯cos A + cos B cos C
¯
− sin2 B
= (cos A + cos B cos C + sin B sin C)(cos A + cos B cos C − sin B sin C)
= (cos A + cos(B − C))(cos A + cos(B + C)).
今 B + C = π − A なので、cos A + cos(B + C) = cos A + cos(π − A) = 0, よって (与式) = 0.
¥
演習¯ 2.3 次の行列式を計算せよ。
¯
¯
¯ 1 15 14 4 ¯
¯1
¯
¯
¯
¯12 6 7 9 ¯
¯x
¯
¯
¯
(1) ¯
(2) ¯
¯
¯ 8 10 11 5 ¯
¯1
¯
¯
¯
¯13 3 2 16¯
¯y
x
1
y
1
1
y
1
x
¯
y ¯¯
1 ¯¯
¯
x¯
¯
1¯
2
¯
¯a
b
c
¯
¯−a b
c
¯
(3) ¯
¯−a −b c
¯
¯−a −b −c
¯
d¯¯
d¯¯
¯
d¯
¯
d¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ 1 15 14 4 ¯
¯ 1 15 −1 3 ¯
¯ 1 15 −1 0¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯12 6 7 9 ¯ c −c ¯12 6
1 −3¯¯ c4 +3c3 ¯¯12 6
1 0¯¯
¯
¯ 3= 2 ¯
解答例. (1) ¯
¯
¯
¯ = ¯
¯ = 0.
¯ 8 10 11 5 ¯ c4 −c1 ¯ 8 10 1 −3¯
¯ 8 10 1 0¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯13 3 2 16¯
¯13 3 −1 3 ¯
¯13 3 −1 0¯
¯
¯
¯
¯
¯1 x 1 y ¯
¯1
¯
¯
x
1
y ¯¯
¯
¯
¯
¯
¯
2
¯x 1 y 1 ¯ r2 −xr1 ¯0 1 − x2 y − x 1 − xy ¯ c1 ¯ 1 − x y − x 1 − xy ¯
¯
¯ r3 −r1 ¯
¯ = ¯
¯
(2) ¯
0
x−y¯
¯ = ¯
¯ 余因子 ¯ y − x
¯ 1 y 1 x¯ r4 −yr
¯
¯
¯
¯
0
y
−
x
0
x
−
y
1
¯
¯
¯
¯
¯1 − xy x − y 1 − y 2 ¯
¯y 1 x 1 ¯
¯0 1 − xy x − y 1 − y 2 ¯
¯
¯
¯
¯
¯ 0 −1 2 − x2 − xy ¯
¯ 1 − x2 −1 1 − xy ¯
¯
¯
¯ r +(1−x2 )r
¯
c2
2
¯
¯ 1
2¯
= (x − y)2 ¯¯ −1
=
(x
−
y)
−1
0
1
0
1
¯
¯
¯
r2
¯
¯
¯ r +(1−xy)r2
¯
2
¯0
¯1 − xy 1 1 − y 2 ¯ 3
1 2 − y − xy ¯
¯
¯
¯
¯
2
c1
= − (−1)(x − y)2 ¯¯−1 2 − x − xy ¯¯ = (x − y)2 (−(2 − y 2 − xy) − (2 − x2 − xy))
余因子
¯ 1 2 − y 2 − xy ¯
2
=¯ (x − y)2 ((x + y)¯2 − 4) =
¯ (x − y) (x +
¯ y + 2)(x + y − 2).
¯a
¯
¯
¯
¯
¯
b
c d¯
¯
¯a b c d ¯
¯2b 2c 2d¯
¯
¯
¯−a b
¯
¯
¯
¯ c1
¯2c 2d¯
¯
r
+r
4
1 0
c
1
c
d
2b
2c
2d
¯
¯ r3 +r1 ¯
¯ =
¯
¯ =
¯
¯
(3) ¯
2ab ¯
¯
¯
¯ 余因子 a ¯ 0 2c 2d¯ 余因子
¯
¯−a −b c d¯ r2=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
0
2d
0
0
2c
2d
+r1
¯
¯
¯
¯
¯ 0 0 2d¯
¯−a −b −c d¯
¯0 0 0 2d¯
= 2ab · 4cd = 8abcd. ¥
演習 2.4 次の方程式をみたす実数 x の値をすべて求めよ。
¯
¯
¯ 1 x3 x2 x ¯
¯
¯
¯ x 1 x3 x2 ¯
¯
¯
¯ 2
¯ = 0.
3
¯x
x 1 x ¯
¯
¯
¯x3 x2 x 1 ¯
解答例
3 , r¯3 − ¯xr2 , r2 − xr1 とこの順に変形することにより
¯ . r34 − xr
¯
¯ 1 x x2 x ¯ ¯1
¯
¯
x3
x2
x ¯¯
¯
¯ ¯
¯1 − x4
0
0 ¯¯
¯ x 1 x3 x2 ¯ ¯0 1 − x4
¯
¯
c1 ¯
0
0 ¯ =
¯
¯ ¯
¯
1 − x4
0 ¯
¯ 2
¯=¯
¯ 余因子 ¯ 0
3
4
¯x
¯
¯
x 1 x ¯ ¯0
0
1−x
0 ¯
¯
¯ ¯
¯
¯ 0
0
1 − x4 ¯
4
¯x3 x2 x 1 ¯ ¯0
¯
0
0
1−x
= (1 − x4 )3 = (1 + x2 )3 (1 + x)3 (1 − x)3 .
従って実数 x に対し、 (与式) = 0 ⇔ (1 + x2 )3 (1 + x)3 (1 − x)3 = 0 ⇔ x = ±1. ¥
講評. 最後に、提出してくれたレポートを見て幾つか気になった点を挙げておく。
まず、余因子展開を利用できている者が少なかった。基本変形を最後まで行い、残った
成分のほとんどを 0 にして最後に展開する、という手順をとっているものが多かった。も
ちろん、多くの場合は余因子展開を用いようと用いまいと大差ない。しかし複雑な行列式
を計算する際には早めに余因子展開を行ってしまう方が楽な場合もあるし、計算過程で出
てくる式が簡単になるという利点もあるので、余因子展開は重要な計算手法である。早め
に慣れて使いこなせるよう、練習して欲しい。
それと、単純な計算ミスがやはり多いのが気になった。特に（一番計算ミスがあっては
いけない問題だと思うが）演習 2.3 (1) での、単純な足し忘れのようなミスが原因で 0 でな
い値を出してしまった者が何人かいたのが残念である。日頃から丁寧に計算する癖をつけ
て欲しいと思う。
3