平成 22 年度重点研究チーム年次報告書

平成 23 年 4 月 27 日
平成 22 年度重点研究チーム年次報告書
１．研究チーム概要
研 究 チ ー ム の 名 称
計算による数理科学の展開
研究代表者
理学研究科・数学・高山 信毅
部局・専攻・氏名
当
指導学生数
博士
該
外 部 資 金
科学研究費補助金
年
獲 得 実 績
奨学寄附金
度
特許出願件数
2 人，修士
11 人，その他（助教
14,400 千円，受託研究経費
0 千円
0
２．構成員
氏
名
）
部局・専攻
高山 信毅
理学研究科・数学
渕野 昌
システム情報学研究科・情報科学
Brendle Joerg
システム情報学研究科・情報科学
福山 克司
理学研究科・数学
垣内 逸郎
システム情報学研究科・情報科学
野呂 正行
理学研究科・数学
野海 正俊
自然科学系先端融合研究環・重点研究部
Rossman Wayne
理学研究科・数学
１
人
8,827 千円，
３．研究成果の概要等について
''計算''という言葉は広い意味においては数学とほぼ同義語といってよい. 我々のプロジェクト
名が意味する ``計算'' はもっと狭い意味の計算, つまり計算機で実行可能な計算のことを
主に意味する. しかしながら, 限定を自らに課してしまうのは, 新しい展開を否定してしまうこ
とにもつながる. よって, 我々は ``計算'' という語を時と場合に応じて広い意味にも使用して
いる. このプロジェクトでは次のような問題を考察することを柱としている.
1. 計算の限界を知る. これは二つの方向から考えるべき問題であり, 我々が計算で知り得ない
ことは何かを追求するとともに, 何が計算できるかを考えないといけない.
2. 計算の高速化をはかる.
3. 計算の応用を開く. 応用と言ったときは数学研究自体への応用も含む.
このような問題を考察するにあたり, (1) 特定分野で深い研究をするとともに, (2) 新しい分野間の
計算によるつながりを見つけていくことも追求している.
本年度は (2) に関して次のような成果を得た [2].
1. 昨年度の成果である ホロノミック系の数値計算手法の研究を基礎として, ホロノミック関
数の最小値を求める数式数値融合計算アルゴリズム(ホロノミック勾配降下法)を得た.
2. 方向統計学に現れる Fisher-Bingham 分布のパラメータ推定問題にこのアルゴリズムを適用
した (図 1).
これは(統計とは全く無関係と思われていた)
加群の種々のアルゴリズムが, 統計における指数
型分布族の基準化定数の計算や最尤推定量の計算のための全く新しい汎用的な方法に至る見通しが
得られたものである. 定理の形でまとめると, ``
の上の指数型分布族の基準化定数はホロノミッ
ク関数であり, その勾配とヘッシアンは付随するグレブナ基底の有限個の標準単項式をそのホロノ
ミック関数に作用させたもので書ける. またその表現を具体的に計算するアルゴリズムがある.'' と
なる. 個別の問題についてはそれぞれに応じた工夫をすることが必要であり, これらは今後の課題
である.
計算と数学に関する総合的研究集会 ``第三回国際数学ソフトウエア会議'' (icms2010, 2010
年 9 月) を主催し, この分野の進展をはかった. 特にこの研究集会に付随して編集出版した
プロシーディングス [1]は数学ソフトウエア開発の現状と将来の課題に関する総合的報告で
ありこの分野の里程標となることが期待される. また数学ソフトウエアと関連する文書の整理
集積事業をおこない, 成果は KNOPPIX/Math 2011 DVD で公開されている.
毎年 1 月に開催している国内研究集会 ``計算による数理科学の展開'' を開催し, 分野横
断的な議論をおこなった.
毎年 1 月に開催している国内研究集会 ``計算による数理科学の展開'' を開催し, 分野横
断的な議論をおこなった.
図 1: Fisher-Bigham 分布による星の分布の推定 [2]
次に (1) の特定分野における研究の進展の各論を述べる.
[数理論理学, 集合論] 連続体とその部分集合を組合せ論的集合論や記述集合論の観点か
ら調べた。特に、自然数全体の集合
ル
のベキ集合
で割った商集合であるブール代数
を自然数上の定義可能なイデア
などの、集合論における商構造の組合せ
論的性質に焦点を絞って研究を行った。
Fodor-type Reflection Principle (FRP) とその拡張の下で成立する位相空間論での定理に
ついての研究をさらに進めた [3],[4], [5].
ベン・グリオン大学 (イスラエル)の Assaf Rinot 氏との共同研究で，渕野による 1994 年の
研究結果における openly generated なブール代数に関する consistency result での命題
が，Fodor-type reflection principle(FRP) と (ZFC 上で) 同値になることが示せた [5]．この
証明では，FRP が，Singular Cardinal Hypothesis (SCH) の拡張となっている Shelah's
Strong Hypothesis (SSH) を導く，という新しい結果を，本質的に使うものとなっている．後者
の結果により，本年度研究での目標の一つであったFRP の
での combinatorics の
検証をはるかに越えて，FRP の singular cardinals での無限組合わせ論への影響に関する
理解を大きく深めることができた，と言える．
また，FRP と同値な組合せ原理の探求の過程で得られた，無限グラフの coloring number
であることを決
の特徴付けを用いて，unit distance plane graph の coloring number が
定できた．証明自身は trivial ではあるが，文献を調べたかぎりでは，新しい結果であるよう
に思える [6].
[確率論] 有界間隙級数の中心極限定理について研究した。
中心極限定理は確率論の中心たる極限定理という意味で Pólya の命名による。典型的な
場合を述べると、平均 0 で分散
が有限な独立同分布確率変数列
に対して
であるが、必ずしも独立でなくてもこのことが成立することは良く知られている。
例えば自然数の単調増大列
の発散が速い時に以下が
に対して示される。
(1)
有界な間隙
をもつ列で中心極限定理が成り立つものがあるか、ということが
問題になる。最近 Bobkov-Götze (2007) は (1) が成り立つとすると、
でなければならないことを示した。もし、
立つならば、
様に (1) が
となり、
が成り
となってしまい、これまでの定理と同
に対して成り立つことはないというのである。有界な間隙列はその分
散を必ず一部失ってしまうという驚くべき事実が判明した。
しかしながら、たとえ分散を一部失うとしても (1) が成り立つ場合があるかという問は依然未
解決で残っている。
本年はこの問題を研究し、有界間隙列で中心極限定理に従うものが存在することを示した
[11], [12], [14].
[統計] 3 つのパラメータをもつ特殊容量により定義される分布近傍を導入し，その下でのノン
パラメトリックロバスト推測理論の研究，およびグラフィカルモデリング理論における併合可能
性につての研究を行った．
冒頭に述べたように球面上の Fisher-Bigham 分布の新しい最尤推定法を与えた[2].
[計算代数] 主としてイデアルの凖素分解アルゴリズムの研究を行った. まず, separating
ideal という概念を導入し, これを用いた, 冗長成分を発生しにくい凖素分解アルゴリズムを
考案した. 実際にこのアルゴリズムにより既存の方法では分解困難なイデアルをいくつか分
解することに成功した[19]. その後, このアルゴリズムが効率よくイデアルを分解できる理由
を探るうち, saturated separating ideal という概念に到達した. これにより, 冗長成分がまった
く発生しないアルゴリズムを発見した. さらに, 中間的な分解を経由することにより, 格段に効
率がよいアルゴリズム (SYCI アルゴリズム) を発見した. このアルゴリズムを Risa/Asir,
Macauulay2, Singular 上で実装し, 既存の方法では分解困難な数多くのイデアルを, 効率よ
く分解できることを実証した.
また 2011 年度 10 月に出版予定の ``グレブナ道場'' の原稿執筆および関連ソフトウエアの
作成に多くの労力を費やした.
[特殊関数, 可積分系] 楕円函数を係数とする差分作用素の可換族とその固有函数の理解
に向けての研究を行った．とくに
型の場合に，Selberg 型楕円超幾何積分の拡張を与
えるような，積分変換から生じる固有函数のクラスがあることを見いだした．
New bateman project による特殊関数の 5 巻本の中の
-超幾何関数の章の原稿執筆に
多くの時間を費やした.
[微分幾何] 曲面理論の微分幾何学的性質をもつような離散化をより深く理解することを試
みた [23], 図 2. 滑らかな曲面理論の場合に様々な数学的な構造があり（特に、isothermic
の概念や、Christoffel 変換やCalapso変換、Darboux変換、Baecklund変換）、その滑らかな
場合の構造を離散的な場合にも持つような離散化のしかたを調べた.
図 2: 対称性をもっている isothermic な曲面, 左は滑かな場合, 右はその離散版
４．論文・著書・特許出願リスト
[論文]
1
M.Joswig, K.Fukuda, J.Van der Hoeven, N.Takayama 編集, Mathematical Software -ICMS 2010 Third International Congress on Mathematica Software, Kobe, Japan,
September 13-17, 2010. Preceedings, Springer Lecture Notes in Computer Science
6327(論文集).
2
Hiromasa Nakayama, Kenta Nishiyama, Masayuki Noro, Katsuyoshi Ohara, Tomonari
Sei, Nobuki Takayama, Akimichi Takemura, Holonomic Gradient Descent and its
Application to the Fisher-Bingham Integral, Advances in Applied Mathematics (2011),
to appear. doi:10.1016/j.aam.2011.03.001
3
S.Fuchino, Fodor-type Reflection Principle and Balogh's reflection theorems,
Combinatorial set theory and forcing theory, Teruyuki Yorioka (ed.), 京都大学数理解
析研究所講究録 (RIMS Kokyuroku) No.1686, (April, 2010), 41-58.
4
S.Fuchino, I.Juhász, L.Soukup, Fodor-type Reflection Principle and reflection of
metrizability and meta-Lindelöfness, Zoltán Szentmiklóssy and Toshimichi Usuba,
Topology and its Applications Vol.157, 8 (June 2010), Special Issue dedicated to the
Proceedings of the Conference ``Advances in Set-Theoretic Topology'' (in Honour
of Tsugunori Nogura on his 60th Birthday), 1415-1429.
5
S.Fuchino, A.Rinot, Openly generated Boolean algebras and the Fodor-type
Reflection Principle, to appear in Fundamenta Mathematicae.
6
Sakaé Fuchino, Remarks on the coloring number of graphs, to appear in RIMS
Kokyuroku.
7
J. Brendle and B. Löwe, Eventually different functions and inaccessible cardinals,
Journal of the Mathematical Society of Japan, 63 (2011) 137-151.
8
J. Brendle and V. Fischer, Mad families, splitting families, and large continuum, The
Journal of Symbolic Logic, 76 (2011) 198-208.
9
K. Fukuyama & K. Nakata, A metric discrepancy result for the Hardy-LittlewoodPólya sequences, Monatshefte für Mathematik, 160 (2010) 41-49.
10
K. Fukuyama, A law of the iterated logarithm for discrepancies: non-constant limsup,
Monatshefte für Mathematik, 160 (2010) 143-149.
11
K. Fukuyama, A central limit theorem and a metric discrepancy result for sequence
with bounded gaps, Dependence in Probability, Analysis and Number Theory, Walter
Philipp Memorial Volume, Kendrick Press (2010) 233-246
12
K. Fukuyama, Pure gaussian limit distributions of trigonometric series with bounded
gaps, Acta Mathematica Hungarica, 129 (2010) 303-313.
13
K. Fukuyama & D. Neupane, Recurrence for cosine series with bounded gaps,
Colloquium Mathematicum, 121 (2010) 281-284.
14
K. Fukuyama, A central limit theorem for trigonometric series with bounded gaps,
Probability Theory and related Fields, 149 (2011) 139-148.
15
K. Fukuyama, A metric discrepancy result for a lacunary sequence with small gaps,
Monatshefte für Mathematik, 162 (2011) 277-288.
16
K. Fukuyama & N. Hiroshima, Metric discrepancy results for subsequences of
, Monatshefte für Mathematik, to appear, DOI 10.1007/s00605-010-0235-7
17
K. Fukuyama & T. Watada, A metric discrepancy result for lacunary sequences,
Proceedings of American Mathematical Society, to appear
18
K. Fukuyama & S. Miyamoto, Metric discrepancy results for Erdos-Fortet sequence,
Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica, to appear
19
M.Noro, New algorithms for computing primary decomposition of polynomial ideals,
Proc. ICMS 2010, LNCS 6327, (2010) 233-244.
20
Josef F. Dorfmeister, Wayne Rossman, Triviality of the dressing isotropy for a
Smyth-type potential and nonclosing of the resulting CMC surfaces, to appear in Iasi
2009 conference proceedings
21
Wayne Rossman, Magdalena Toda, Corresponding constant mean curvature surfaces
in hyperbolic and Euclidean 3-spaces, to appear in Pacific J. Applied Math.
22
Josef Dorfmeister, Martin Guest, Wayne Rossman, The tt* structure of the quantum
cohomology of
from the viewpoint of differential geometry, Asian J. Math.
14(3), 2010, 417-437.
23
Wayne Rossman, Discrete constant mean curvature surfaces via conserved
quantities, MI Lecture Note Series 25, 2010.
24
Francis E. Burstall, Udo Hertrich-Jeromin, Wayne Rossman, Lie geometry of flat
fronts in hyperbolic space, Comptes Rendus, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 348 (2010),
661-664.
25
Shoichi Fujimori, Wayne Rossman, Higher genus mean curvature 1 catenoids in
hyperbolic and de Sitter 3-spaces, Kyushu J. Math. 64 (2010), 169-180.
26
David Brander, Wayne Rossman, Nick Schmitt, Holomorphic Representation of
Constant Mean Curvature Surfaces in Minkowski Space: Consequences of NonCompactness in Loop Group Methods, Adv. Math. 223 (2010) 949-986.
[著書]
なし
５．関 連 活 動 及 び 特 記 事 項
（１）学位
[博 士 ]
2名
[修 士 ]
１１名
（２）受賞
なし
（３）その他
[シンポジウム等の開催]
超幾何方程式研究会 2011, 神戸大学(主催), 2010.1.5-7
計算による数理科学の展開 2011, 神戸大学(主催), 2010.1.7-8
頂点代数・共形場理論入門, GEOSPCKセミナー, 大阪市立大学文化交流センター(共催), 2011.3.4
Risa/ Asir Conference 2011, 神戸大学(主催), 2010.3.21-23
数論における諸関数とその確率論的側面, 京都大学数理解析研究所プロジェクト研究(共催),
2010.4.1--2011.3.31
第 3 回国際数学ソフトウェア会議, 神戸大学(主催), 2010.9.13-17
Functions in Number Theory and Their Probabilistic Aspects, 京都大学数理解析研究所(共催),
2010.12.13-17
Spanish-Japanese workshop on differential geometry, Granada University(共催), 2011.2.14-18
[招待講演]
S.Fuchino, ``On metrization theorems beyond Bin-Nagata-Smirnov'', 神戸大学 数学科 談
話会, Jul.7,2010.
S.Fuchino, ``Topological characterization of Shelah's Strong Hypothesis (SSH) and Fodortype Reflection Principle (FRP)'', Logic-Seminar, Tohoku University. Jul.23, 2010.
S.Fuchino, ``Kronecker, Dedekind, Hilbert on the foundation of arithmetic'', RIMS 研究集会
「数学史の研究」(京都大学数理解析研究所). Aug.24, 2010.
S.Fuchino, ``Set theoretic reflection principles and topological reflection'', V. International
Conference Japan-Mexico on Topology and its Applications, Colima, Mexico. Sep.27, 2010.
S.Fuchino, ``Openly generated Boolean algebras under FRP'', RIMS workshop, `interplay
between large cardinals and small cardinals' (京都大学数理解析研究所). Oct.27, 2010.
S.Fuchino, ``Mystery Train'', 数学基礎論若手の会，愛知青年の家 (岡崎)．Nov.22, 2010.
S.Fuchino, ``Set theoretic aspects of topological reflection theorems'', General topology シ
ンポジウム，筑波大学． Dec.20, 2010.
S.Fuchino, ``Fodor-type reflection principle and very weak square principle'', Set theory
workshop, Oberwolfach, Germany. Jan.13, 2011.
S.Fuchino, ``A characterization of coloring number of infinite graphs in terms of elementary
submodels'', 集合論セミナー，神奈川大学． Mar.9, 2011.
J.Brendle, An
-Rothberger gap, Amsterdam workshop in set theory, Amsterdam,
Holland. 1 June 2010.
J.Brendle, Cardinal invariants of
quotients, International Conference Japan-Mexico on
Topology and its Applications, Colima, Mexico. 28 September 2010.
J.Brendle, Combinatorics of
quotients, 11th International Workshop in Set Theory,
Luminy, France. 8 October 2010.
J.Brendle,
-perfect mad families, Oberwolfach Workshop on Set Theory, Oberwolfach,
Germany 1 June 2010 : An
-Rothberger gap, Amsterdam workshop in set theory,
Amsterdam, Holland. 10 January 2011.
J.Brendle, Cardinal invariants of
quotients, International Conference Japan-Mexico on
Topology and its Applications, Colima, Mexico. 28 September 2010.
J.Brendle, Combinatorics of
quotients, 11th International Workshop in Set Theory,
Luminy, France. 8 October 2010.
J.Brendle,
-perfect mad families, Oberwolfach Workshop on Set Theory, Oberwolfach,
Germany. 10 January 2011.
垣内逸郎，木村美善(南山大学情報理工学部), 発表題目「3 つのパラメータをもつ分布近傍と
ロバスト推測」科研費によるシンポジウム「計算機支援による統計手法，理論・応用およびそ
の周辺」 (高知大学). 2010.11.25.
K. Fukuyama, Metric discrepancy results for various lacunary sequences, 2010.6.11, 20 Jahre
Zahlentheoretisches Kolloquium, Technische Universität at Graz
K. Fukuyama,
Metric discrepancy results for geometric progressions and its variations I, II, III, 2010 年 8 月 23 日--25 日,
関西セミナーハウス(京都市左京区修学院)
M. Noumi, Affine Hecke algebra approach to Koornwinder polynomials and van Diejen's q-difference
operators, Alegebra, Geometry and Integrable Systems Colloquium, School of Mathematics, University of
Leeds, U.K. (July 16, 2010)
M. Noumi, Affine Weyl groups and Painlevé equations, Guest Lecture at Summer School on “Classical and
Quantum Integrable Models” (London Mathematical Society and EPSRC Short Instructional Course, July 19-23, 2010) SMSAS, University of Kent, U.K. (July 22, 2010)
M. Noumi, Discrete Painlevé equations and special functions, “Integrable Systems and Geometry”, ICM 2010
Satellite Conference, August 12--17, 2010, Pondicherry University, Puducherry, India (August 12, 2010)
M. Noumi, Some remarks on elliptic Schur functions, International workshop on Analysis, Geometry and
Group Representations for Homogeneous Spaces, November 22-26, 2010, Lorentz Center, Leiden, The
Netherlands(November 26, 2010)
M. Noumi, Birational Weyl group action on the space of matrices and a discrete integrable system,
International workshop on Algebraic and geometric aspects of discrete integrable systems: integrable systems
and cluster algebras, December 14--17, Graduate School of Mathematical Sciences, University of Tokyo,
Tokyo, Japan (December 14, 2010)
W. Rossman, “Discrete Surfaces and Lie Sphere Geometry”, The 6th Geometry Conference for Friendship of
China and Japan, Northwest University, 中国, 2010 年 9 月 7 日
W. Rossman, “Lie sphere geometry and Omega surfaces”, Bath University Geometry Seminar, 2010 年
11 月 16 日, 23 日 (2 回)
W. Rossman, “Surfaces with Weierstrass representations and Lie sphere geometry”, Geometry seminar, King's
College London, 2011 年 2 月 10 日
K. Nishiyama, N. Takayama, Incomplete A-Hypergeometric Systems,The Second CREST-SBM International
Conference “Harmony of Gröbner bases and the modern industrial society”, Hotel Hankyu Expopark,
2010.6.29
N. Takayama, Holonomic graidient descent and its application to Fisher-Bingham integral, The second
crest-sbm international conference “Harmony of Groebner bases and the modern industrial society”, 大阪,
2010 年 06 月 30 日
N. Takayama, Risa/Asir, Software tutorials, 第 3 回国際数学ソフトウエア会議, 神戸,
2010 年 09 月 13 日
野呂正行, “グレブナー基底計算の高速化とその応用”, 第 55 回代数学シンポジウム, 2010 年 8 月 9 日
野海正俊,「BCm 型 Ruijsenaars 差分作用素と積分変換から生じる固有函数」研究集会「BC 系と
AGT 予想の周辺」, 2010 年 9 月 11 日--14 日, 東京大学・数理科学研究科 (2011 年 9 月 11 日)
野海正俊,「楕円 Schur 函数」研究集会「BC系とAGT 予想の周辺」, 2010 年 9 月 11 日--14 日,
東京大学・数理科学研究科 (2011 年 9 月 12 日)
W. Rossman, “リー球面幾何学とOmega曲面および曲面の微分幾何学的な離散化”, 東北大学幾何学
セミナー, 2010 年 6 月 29 日
W.Rossman, “An application of Lie sphere geometry to surface theory in discrete differential geometry'',
Workshop on Hypersurfaces Geometry and Integrable Systems, 東北大学, 2010 年 8 月 25 日
高山信毅, ホロノミック系と統計, 計算による数理科学の展開, 神戸, 2011 年 01 月 07 日
高山信毅, Holonomic graidient descent and its application to the Fisher-Bingham integral,
Risa/Asir Conferece 2011 + 第三回六甲博多計算代数会議, 神戸, 2011 年 03 月 22 日
[その他の活動]
数学ソフトウエアの集積である KNOPPIX/Math 2011 DVD の編集に参加
計算代数システム Risa/Asir, kan/sml の開発
数学ソフトの通信システムである OpenXM の開発
数学ソフトウェア、計算と数学/数理科学に関連する講演ビデオアーカイブの提供と運用