解答例＋引用題PDF

2002 大阪大学（理系）前期日程
１
問題
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実数を係数とする 3 次方程式 x 3 + ax 2 + bx + c = 0 が異なる 3 つの実数解をもつと
する。このとき, a＞0, b＞0 ならば, 少なくとも 2 つの実数解は負であることを示せ。
−1−
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２
問題
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平面上に双曲線 C : y = 1 を考える。a, b, c, d を d＜c＜0＜b＜a を満たす数とし,
x
曲線 C 上の 4 点 P, Q, R, S をそれぞれ x 座標が a, b, c, d であるような点としたとき,
四角形 PQSR が長方形になっているとする。
(1) b, c, d を a を用いて表せ。
(2) 線分 PR と x 軸との交点を T, 線分 QS と y 軸との交点を U とするとき, 線分
TU と曲線 C が共通点をもたないような a の値の範囲を求めよ。
(3) a が(2)の範囲にあるとき, 3 線分 PT, TU, UQ と曲線 C で囲まれた部分の面積
S ( a ) を求めよ。
(4) a が(2)の範囲を動くとき, S ( a ) の増減を調べ, その最大値を求めよ。
−2−
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３
a を a = 1 であるような複素数とし, 複素数の列 { z n } を
問題
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2
4
zn
z n -2
z1 = 1 , z 2 = a ,
=a
( n = 3, 4, 5, LL )
z n -1
2
4 z n -1
で定める。ただし, z n は複素数 z n の共役な複素数とする。
(1) 各 n に対し, z n を求めよ。
(2) z n の実部と虚部をそれぞれ x n , y n とし, a = - 1 + 3 i とおくとき, 無限級数の
2
2
¥
和
¥
åx , å y
k
k =1
k
をそれぞれ求めよ。
k =1
−3−
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４
問題
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n を n≧7 を満たす整数とし, 1 つのさいころを投げる試行を n 回くり返す。このと
き, 2≦k≦n を満たす整数 k に対し, 「n 回の試行のうち, 同じ目が出るどの 2 つの試
行も k 以上離れている」という事象が起こる確率を pk と表す。ただし, i 番目の試行
と j 番目の試行について, この試行は i - j だけ離れているということにする。
(1)
p2 の値を求めよ。
(2) k≧3 のとき, pk の値を求めよ。
(3) 「n 回の試行において, 同じ目が続くことはなく, しかも同じ目が出る試行の組
でちょうど 2 だけ離れたものが少なくとも 1 組存在する」という事象が起こる確
率を求めよ。
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５
問題
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平面上に原点 O を中心とする半径 1 の円 C1 と点 P ( 0, sin a ) を中心とする半径 1
の円 C 2 がある。ただし 0＜a ＜ p とする。円 C 2 と x 軸との交点を A, B とし, A, B を
2
通り y 軸と平行な直線をそれぞれ l A , lB とする。2 直線 l A , lB ではさまれた領域の
部分で, 円 C1 の外部で円 C 2 の内部であるものを D1 , 円 C 2 の外部で円 C1 の内部であ
るものを D2 とする。いま, D1 , D2 をそれぞれ x 軸のまわりに 1 回転させてできる
回転体の体積を V1 ( a ) , V 2 ( a ) とする。
(1) V1 ( a ) , V1 ( a ) - V 2 ( a ) をそれぞれ a を用いて表せ。
(2) a が 0＜a ＜ p の範囲を動くとき, V1 ( a ) - V 2 ( a ) の最大値を求めよ。
2
−5−
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１
解答解説
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3
2
x + ax + bx + c = 0 の異なる 3 つの実数解を x = a , b , g ( a ＜ b ＜g ) とおくと,
a + b + g = -a , ab + bg + ga = b , abg = -c
条件より, a＞0, b＞0 なので, a + b + g ＜0 ……①, ab + bg + ga ＞0 ……②
①より, 0＞a + b + g ＞a + a + a = 3a なので, a ＜0 となる。
ここで, b ≧ 0 と仮定すると g ＞0 となり, ①より a + b ＜ - g ＜0 なので,
ab + bg + ga = ab + g ( a + b )＜0
これは②に反するので, b ＜0 である。
以上より, a , b , g の少なくとも 2 つは負である。
［解 説］
グラフを利用しようか, 解と係数の関係を利用しようかと迷いましたが, 結局, 後
者で解をつくりました。
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２
(
)
(
)
(
)
(
解答解説
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)
(1) P a, 1 , Q b, 1 , R c, 1 , S d, 1 とおく
a
b
c
d
y
と , 四 角 形 PQSR が 長 方 形 な の で , PQ = RS か つ
Q
U
PQ × PR = 0 である。
P
b - a = d - c ……①, 1 - 1 = 1 - 1 ……②
b a d c
1
1
1 - 1 = 0 ………③
( b - a )( c - a ) +
b a c a
②より a - b = c - d となり, ①を代入して,
ab
cd
(
)(
O
S
)
I
TH
x
R
ab = cd ………④
③より ( b - a )( c - a ) + a - b × a - c = 0
ab
ac
( a - b )( a - c )＞0 より, 1 + 21 = 0 , a 2 bc + 1 = 0 ………⑤
a bc
①より d = b - a + c として, ④に代入すると ab = c ( b - a + c )
b ( a - c ) + c ( a - c ) = 0 , ( b + c )( a - c ) = 0
a - c＞0 より, b + c = 0 , c = -b ………⑥
①⑥より b - a = d + b , d = -a
⑤⑥より a 2 b 2 = 1 で 0＜b＜a より ab = 1 , b = 1
a
1
さらに, これを⑥に代入して, c = a
(2) (1)より, Q 1 , a , R - 1 , - a , S - a, - 1 となるので, P と Q, R と S は
a
a
a
1
直線 y = x に関して対称になっており, b = ＜a から 1＜a である。
a
1
ここで, 直線 PR : y - = x - a と x 軸との交点は, y = 0 として x = a - 1 から
a
a
1
T a - , 0 となる。また, 点 U は点 T と直線 y = x に関して対称なので,
a
U 0, a - 1 である。
a
さて, 線分 TU と曲線 C : y = 1 が共通点をもたないのは, 線分 TU の中点
x
a - 1 , a - 1 が, 領域 xy＜1 に存在することである。
2 2a 2 2a
a - 1 2＜1 , - 1＜ a - 1 ＜1 , - 2a ＜a 2 - 1＜2a
2 2a
2 2a
2
a + 2a - 1＞0 よ り a ＜ - 1 - 2 , - 1 + 2 ＜a と な り , a 2 - 2a - 1＜0 よ り
(
(
(
)
(
)
(
)
)
)
(
)
(
)
1 - 2 ＜a ＜1 + 2 となる。
1＜a と合わせて共通範囲を求めると, 1＜a ＜1 + 2
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解答解説
(3) 点 P, Q から x 軸に下ろした垂線の足を, それぞれ H, I とする。
すると, (1)より △OHP と△OIQ の面積は等しいので, 線分 OP, OQ と曲線 C に
よって囲まれた部分の面積は,
a
△OIQ + 1 1 dx - △OHP =
x
a
ò
ò
a
1
a
1 dx = [ log x
x
] a1
a
= log a - log 1 = 2 log a
a
よって, S ( a ) = 2 log a + △OUQ + △OTP - △OTU
2
= 2 log a + 1 a - 1 1 + 1 a - 1 1 - 1 a - 1
a a 2
a a 2
a
2
3
2
1
= 2 log a - a +2
2
2a 2
( a 2 - 3 )( a 2 + 1 )
(4) S ¢( a ) = 2 - a + 33 = 3
a
a
1 …
a
a3
右表より, a = 3 のとき S ( a ) は最大値 S¢( a )
＋ 0
S(a)
をとる。
(
)
(
)
(
)
… 1+ 2
−
S ( 3 ) = 2 log 3 - 1 × 3 - 3 + 2 = log 3
2
2×3
［解 説］
双曲線を原点のまわりに 45° 回転すれば, 長方形が直線 y = x に関して対称である
ことは明らかです。なお, (3)の解は, 線分 OP, OQ と曲線 C によって囲まれた部分の
面積が簡単に求められることを利用しています。
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３
(1)
解答解説
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2
2
zn
z n -2
より, z n z n -1 = a z n -1 z n -2 ………①
=a
z n -1
4
4 z n -1
2
①の両辺の共役複素数を考えて, z n z n -1 = a z n -1 z n -2
4
2
1
a = 1 より, a = a a = 1 , a = となり, z n z n -1 = 1 2 z n -1 z n -2 ………②
a
4a
1
①×②より, z n z n z n -1 z n -1 =
z n -1 z n -1 z n -2 z n -2 , z n z n = 1 z n -2 z n -2
16
16
2
2
1
1
zn =
z n -2 , z n =
z n -2 ………③
16
4
(i) n = 2k - 1 ( k ≧ 1 ) のとき
k -1
k -1
z1 = 1 で, ③より, z 2k -1 = 1 z 2 ( k -1 ) -1 = z1 1
= 1
4
4
4
( )
( )
n +1
( )
( )n +1 = ( 12 )n -1
-1
zn = 1 2
=4 1
4
2
(ii) n = 2k ( k ≧ 1 ) のとき
4
a
k -1
k -1
= 1 で, ③より, z 2k = 1 z 2 ( k -1 ) = z 2 ( 1 )
=1(1 )
2
2
4
4
2 4
n -1
n
n -1
z n = 1 ( 1 )2 = 1 × 4 ( 1 ) = ( 1 )
2 4
2
2
2
n -1
n -1
n -1 1
2
………④
(i)(ii)より, z n = ( 1 ) , z n = z n z n = ( 1 ) から, z n = ( 1 )
zn
2
4
4
2
n -2 1
n -3
1 , z n = a 2 z n -1
①④より, z n ( 1 )
= a z n -1 ( 1 )
z n -2
z n -1
z n -2 z n -1
4
4
4
4
2n
zn
z
よって,
= 2 ( a 2 ) n - 2 = a a 2n - 4 = a
z n -1
z1
2
2
4
z2 = a
2
=
4
6
8
2n
4 + 6 + 8 +L+ 2n
z n = z1 × a × a × a × L × a
=a
= n1-1 a ( n + 2 )( n -1 ) ( n ≧ 2 )
n -1
2 2 2
2
2
2
この式に n = 1 をあてはめると z1 = 1 となり, n = 1 のときも成り立つ。
(2) a = - 1 + 3 i = cos 2 p + i sin 2 p なので,
2
2
3
3
1 a ( n + 2 )( n -1 ) = 1 cos 2 ( n + 2 )( n - 1 ) p + i 1 sin 2( n + 2 )( n - 1 ) p
n -1
3
3
2
2 n -1
2 n -1
2 ( n + 2 )( n - 1 )
2 ( n + 2 )( n - 1 )
(1)より, x n = n1-1 cos
p , yn = n1-1 sin
p
3
3
2
2
(i) n = 3l + 1 ( l ≧ 0 ) のとき
2 ( n + 2 )( n - 1 )
2 ( 3l + 3 ) × 3l
p =
p = ( 6l 2 + 6l ) p より,
3
3
( x n , yn ) = n1-1 ( cos 0, sin 0 ) = n1-1 ( 1, 0 )
2
2
(ii) n = 3l + 2 ( l ≧ 0 ) のとき
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解答解説
2 ( n + 2 )( n - 1 )
2 ( 3l + 4 )( 3l + 1 )
p =
p = 6l 2 + 10l + 2 + 2 p より,
3
3
3
( x n , yn ) = n1-1 cos 2 p , sin 2 p = n1-1 - 1 , 3
3
2
3
2
2
2
(
(
)
)
(
)
(iii) n = 3l + 3 ( l ≧ 0 ) のとき
2 ( n + 2 )( n - 1 )
2 ( 3l + 5 )( 3l + 2 )
p =
p = 6l 2 + 14l + 6 + 2 p より,
3
3
3
3
( x n , yn ) = n1-1 cos 2 p , sin 2 p = n1-1 - 1 ,
2
3
3
2
2
2
(
(
n
ここで,
åx
(
)
= S n , x 3n -2 + x 3n -1 + x 3n = sn とおくと,
k
k =1
)
)
(
)
(
)
s1 = 1 + 1 - 1 + 1 - 1 = 5
2
2
4
2
8
S 3n =
n
å
k =1
( )
( )
sk = 5 + 5 1 + L + 5 1
8 8 8
8 8
n -1
, lim S 3n =
n ®¥
5
8
1- 1
8
=5
7
x n ≦ n1-1 より, n→∞のとき x n ® 0 なので,
2
lim S 3n +1 = lim ( S 3n + x 3n +1 ) = 5 , lim S 3n +2 = lim ( S 3n +1 + x 3n + 2 ) = 5
n ®¥
n ®¥
n ®¥
7 n ®¥
7
また,
n
åy
同様にして,
k
= Tn , y3n -2 + y3n -1 + y3n = t n とおくと,
k =1
t1 = 0 + 1 × 3 + 1 × 3 = 3 3
2 2
4 2
8
T3n =
n
å
k =1
( )
( )
tk = 3 3 + 3 3 1 + L + 3 3 1
8
8 8
8 8
n -1
, lim T3n
n ®¥
3 3
= 8 =3 3
7
1- 1
8
y n ≦ n1-1 より, n→∞のとき yn ® 0 なので,
2
lim T3n +1 = lim ( T3n + y3n +1 ) = 3 3 , lim T3n +2 = lim ( T3n +1 + y3n +2 ) = 3 3
n ®¥
n ®¥
n ®¥
n ®¥
7
7
また,
¥
以上より,
xk = 5 ,
7
k =1
å
¥
åy
k =1
k
=3 3
7
［解 説］
大変な計算量で, やっと B5 版 2 枚の量でまとまりました。なお, (1)では①×②で
漸化式をつくりましたが, n が 1 つとびのタイプになってしまい, この後ややこしい
計算が待ち構えているという気がしましたが, これは杞憂に過ぎませんでした。
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４
解答解説
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( )n-1 となるの
(1) さいころを n 回投げたとき, 同じ目が続けて出ない確率は, 1 ´ 5
6
n -1
5
で, p2 =
である。
6
( )
(2) さいころを n 回投げたとき, 同じ目の出るのが 3 以上離れているのは, 3 回目以
降に直前の 2 回の目と異なる目が出ればよいので,
n -2
n -2
p3 = 1 ´ 5 ´ 4
=5 2
6
6
6 3
n -3
n -3
同様に考えて, p4 = 1 ´ 5 ´ 4 ´ 3
=5 1
6 6
6
9 2
n -4
n -4
5
3
5
4
2
1
p5 = 1 ´ ´ ´ ´
=
6 6 6
6
18 3
n -5
n -5
5
3
4
2
1
p6 = 1 ´ ´ ´ ´ ´
= 5 1
6 6 6 6
6
54 6
また, 同じ目の出るのが 7 以上離れている場合はないので, pk = 0 ( k ≧ 7 )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
(3) n 回の試行において, 同じ目が続くことはなく, しかも同じ目が出る試行の組で
ちょうど 2 だけ離れたものが少なくとも 1 組存在する場合は, 同じ目が出るどの 2
つの試行も 2 以上離れている場合から, 同じ目が出るどの 2 つの試行も 3 以上離れ
ている場合を除いたものなので, その確率は,
n -1
n -2
p 2 - p3 = 5
-5 2
6
6 3
( )
( )
［解 説］
問題文の読解力をみるものです。具体的に考えていけば, 内容は平易であることが
わかりますが, イライラするとミスをしてしまいそうです。
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５
解答解説
問題のページへ
2
2
2
2
(1) C1 : x + y = 1 … … ① , C 2 : x + ( y - sin a ) = 1 ……②
y
に対して,
②と x 軸との交点は, y = 0 として,
2
2
1
2
x = 1 - sin a = cos a , x = ± cos a
B
-1
よって, l A : x = cos a , l B ; x = - cos a
また, ①より y = ± 1 - x 2 , ②より y = sin a ±
1 - x2 と
A
O
1 x
-1
なるので,
V1 ( a ) =
ò
cos a
- cos a
= 2p
ò
p ( sin a +
cos a
0
1 - x 2 ) 2 dx -
ò
cos a
- cos a
p ( 1 - x 2 ) dx
( sin 2a + 2 sin a 1 - x 2 ) dx
y
1
ここで, 右図の網点部の面積から,
cos a
1 - x 2 dx = 1 cos a sin a + 1 × 1 2 p - a
0
2
2
2
p
a
1
= cos a sin a + 2
4 2
V1 ( a ) = 2p sin 2a cos a + 4p sin a 1 cos a sin a + p - a
2
4 2
= 4p sin 2a cos a + p 2 sin a - 2pa sin a
(
ò
)
(
V2 ( a ) =
ò
cos a
- cos a
= 2p
ò
cos a
0
ò
p ( 1 - x 2 ) dx -
cos a
- cos a
a
O
cos a
1x
)
p ( sin a - 1 - x 2 ) 2 dx
( - sin 2a + 2 sin a 1 - x 2 ) dx
したがって, V1 ( a ) - V 2 ( a ) = 2p
ò
cos a
0
2 sin 2a dx = 4p sin 2a cos a
(2) (1)より, V1 ( a ) - V 2 ( a ) = 4p ( 1 - cos 2a ) cos a = 4p ( cos a - cos 3a )
こ こ で ,
cos a = t と し ,
0＜t ＜1 に お い て f ( t ) = t - t 3 と お く と ,
V1 ( a ) - V 2 ( a ) = 4p f ( t ) となり,
2
f ¢( t ) = 1 - 3t = ( 1 - 3t )( 1 + 3t )
右表より, t = 1 のとき f ( t ) は最大値 2 3
9
3
を と る 。 よ っ て , V1 ( a ) - V 2 ( a ) の最大値は,
4p × 2 3 = 8 3p である。
9
9
t
f ¢( t )
f (t )
0
…
1
3
…
＋
0
−
1
2 3
9
［解 説］
積分の標準題です。計算も難しくなくホッとします。
−7−
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