2017 年大東文化大学 春休み経済数学復習 camp 用レジュメ

2017 年大東文化大学 春休み経済数学復習 camp 用 レジュメ
∼wxMaxima・GeoGebra・Math 42・Excel とともに学ぶ∼
(c) 角田 保 (大東文化大学経済学部)
[email protected]
2016 年 12 月 19 日 ver.
1
0 前書きと目次
• 予定日 2017 年 3 月 13 日 (月)∼3 月 17 日 (金)，10:30∼12:00，12:45∼14:15
• 場所 東松山キャンパス
(i). 午前と午後で場所が変わる場合あり．
時間など \ 人数
60 人以下
60 人超
10:30∼12:00
7224 教室．
場所変更 (未定)
12:45∼14:15
7241 教室 (PC 教室)
普通教室 (場所未定)
午後の利用ソフト
wxMaxima・Excel GeoGebra・Math 42・Excel
(ii). 場所その他については，3 月に入ってからは，http://www.ic.daito.ac.jp/~tkadoda/2017/
spring/2017math.htm をよくチェックしておいてください (更新ボタンを忘れずに)．
• 日常利用しているスマートフォンやタブレットなどに，GeoGebra,Math 42, Microsoft Excel の 3 つ
をインストールしてください．全て無料です．例えば GeoGebra のダウンロードページは以下です．
https://www.geogebra.org/download
• 必ずこのレジュメを印刷などして持参して下さい．
• 1∼5 節を 1 日 (90 分× 2) ずつ説明します．高密度なので予習 (最低限 2 度は目を通して何をやるのか
を把握しておくこと) が前提です．1 年次後期配当科目経済数学のテキスト ( 浦田健二・神谷諭一・古
屋核 「経済学を学ぶためのはじめての微分法 」，同文舘出版，2012 ) も参考に．
• このレジュメには図があまりありませんが，講義の板書で図をかなり書きます．
• 用語その他もっと詳しく知りたい場合は，
http://www.ic.daito.ac.jp/~tkadoda/math/index.htm
のページの [2] 微分積分 2 年生前半用 (1 変数 ver.2) プリント PDF ファイルを見て，検索機能で調べ
るとよいでしょう．PC からアクセスすると，Ctrl+F や，Ctrl+Shift+F というショートカットキー
が便利です．ただし微分積分 2 年生前半用 (1 変数 ver.2)PDF ファイルは印刷せずに，Web 上で見る
ことをお勧めします．長いですしよく更新するためです．
• 文章・例題・練習は「ですます調」で，地の文・定義・定理は「である調」で書いています．
• PDF 上の文章ではハイパーリンクが埋め込まれています．目次の文字や，定義や練習問題への参照の
数字を左クリックすれば，該当ページにジャンプします．
• 数学でよく使用されるギリシャ文字の小文字の読み方は以下です．
α
: アルファ
β
: ベータ
γ
: ガンマ
θ
: シータ (セータ)
λ
: ラムダ
: イプシロン
δ
: デルタ
2
目次
0
前書きと目次
2
1
(1 日目) 高校 2 年生 + αあたりまでの数学を 3 時間で復習
5
1.1
等号の世界 (1):実数の公理の最初の 10 個 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.2
等号の世界 (2):式の変形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.3
等号の世界 (3):1 次方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.4
等号の世界 (4):2 元 1 次連立方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.5
等号の世界 (5): 式の展開と因数分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.6
不等号の世界 (1):実数の公理の次の 6 個と，絶対値 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.7
不等号の世界 (2):1 次不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.8
関数とグラフ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.9
x の方程式・不等式とグラフ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.10 1 日目の PC 実習 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.11 コラム: 講義中に眠くなる？ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
(2 日目) 1 変数関数の最大・最小への準備: 微分法の利用
17
2.1
関数と極限の世界 (1): 実数の公理最後の 1 個・・・本節は軽く読み飛ばすとよい . . . . . . .
17
2.2
関数と極限の世界 (2): 関数の極限値と関数の連続 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.3
簡単な連続関数 (3): x のべき関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.4
関数と極限の世界 (4): 微分と導関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2
2.5
0
f (x) の符号と関数の増減 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
00
23
2.6
f (x) の符号と関数の凹凸
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2.7
2 日目の PC 実習 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
2.8
コラム: 文字の意味 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
(3 日目) 1 変数関数の最大・最小
27
3.1
関数の最大化・最小化と凹凸と 1 回微分・2 回微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
3.2
経済学への応用: 利潤最大化 (1)・・・売れ残り商品の値下げ . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
3.3
経済学への応用: 利潤最大化 (2) 生産を含めたもの (ミクロ経済学の生産者理論・完全競争市場
3
を参考に)
3.4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
経済学への応用: 収入最大化・・・ミクロ経済学の生産者理論の 1 生産要素・2 財モデルを参考に 32
3.5
指数関数と対数関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
3.6
3 日目の PC 実習 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
3.7
コラム: 準備の勧め . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
(4 日目) 2 変数関数のグラフと最大化・最小化
40
4.1
2 変数関数の凹凸 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
4.2
2 変数関数の偏微分と最大化・最小化問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
4
3
4.3
制約なしの場合の最小化・・・講義では軽く流します . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
∗
∗
43
4.4
制約付き最大化・最小化の準備: グラフ u(x, y) = ū 上の点 (x , y ) での接線の法線ベクトル .
44
4.5
制約付き最大化 (1): 効用最大化・・・ミクロ経済学の消費者理論への応用 . . . . . . . . . . .
46
4.6
ラグランジュ乗数法・・・講義ではやらない．紹介のみ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
4.7
4 日目の PC 実習 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
4.8
コラム: 習うより慣れよ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
(5 日目午前) 経済学への応用例: 4 日目の続き
51
5.1
制約付き最大化 (2) 1 生産要素 2 変数モデルと比較優位 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
5.2
じゃんけんの最適戦略: ミクロ経済学・ゲーム理論への応用 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
(5 日目午後) 経済学への応用例: 数列の応用を Excel を使いながら
53
6.1
数列の極限値の四則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
6.2
和記号と級数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
6.3
ローンの返済
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
6.4
割引現在価値 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
6.5
不動産投資や配当と数列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
6.6
年利・半年複利・3 か月複利・1 か月複利などと，e の関係 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
6.7
コラム: 教えることの勧めと，幸せについて . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
5
6
4
2016 年 12 月 19 日 version
1 (1 日目) 高校 2 年生 + αあたりまでの数学を 3 時間で復習
この節は主に復習ですが，いくつかはじめて習うことや，新しい考え方も入っています．そのあたりは何回
も読むとよいでしょう．
1.1 等号の世界 (1):実数の公理の最初の 10 個
今まで等式の計算をやってきたでしょうから，それを振り返ってみましょう．
実数の公理 1 実数の集合を R とし，a, b, c は R の元とする．このとき和 a + b と ab の両方とも R に含ま
れて，さらに以下の 10 の公理を認めるものとする．
(i). a + b = b + a
(ii). (a + b) + c = a + (b + c)
(iii). 任意の a に対して a + 0 = a を満たす，R の元 0 が，唯一存在する．
(iv). 任意の a に対して a + (−a) = 0 を満たす，R の元 −a が，唯一存在する．
(v). ab = ba
(vi). (ab)c = a(bc)
(vii). 任意の a に対して，a1 = a を満たす R の元 1 が，唯一存在する．
(viii). 任意の a 6= 0 に対して，a(a−1 ) = 1 を満たす R の元 a−1 が，唯一存在する．
(ix). 0 6= 1
(x). (a + b)c = ac + bc
y
注意: (i) は 2 個の元で成り立っているので，a + (b + c) = (b + c) + a のようにして，有限個の元につい
て成り立ちます．これは正式には数学的帰納法を使います．(v) も同様に有限個の元について成り立ちます．
(viii) は逆数の存在を示しています．(x) は分配法則と呼ばれるものです．
(注意終)
「中学・高校で学んだ等号に関する計算のいろいろが，ここからきているんだな∼」と思えばいいので，こ
の公理を特に覚える必要はありません．
式を見やすくするため以下のように (中学や高校で) 累乗を定義したことでしょう．つまり実数 a について
2
a を
a2 = a · a
と定義しました．同じように自然数 m, n について，
am+n = am · an
と定義します．その結果，実数の公理 (viii) と合わせることにより，上の式は自然数のみでなく，整数 m, n に
ついても成り立つことがいえます．これらを使えば，実数 a と整数 m, n について，
amn = (am )n = (an )m
が成り立つことがいえます．累乗は計算ミスする人が多いので，計算時には気を付けてください．特に
(−3)2 = 9 と −32 = −9 に注意しましょう．
5
2016 年 12 月 19 日 version
練習 1.1 次の値を求めなさい．
(1)42 · 4, (2)(22 )3 , (3) − 32 , (4)
46
45
y
1.2 等号の世界 (2):式の変形
式の計算の優先順位は，べき乗 (累乗)・乗除・加減 の順です．例えば
4 + 32 ÷ 9 − 7 + 6 = 4 + 9 ÷ 9 − 7 + 6 = 4 + 1 − 7 + 6 = 4
と 4 が得られますが，この書き方は小学生的です．等号が複数ある場合の式の変形は中学以降
4 + 32 ÷ 9 − 7 + 6
= 4+9÷9−7+6
= 4+1−7+6
= 4
と書いたことでしょう．さらに大学ではこのように書かずに，
4 + 32 ÷ 9 − 7 + 6 = 4 + 9 ÷ 9 − 7 + 6
=4+1−7+6
=4
とするのが一般的です．こう書くと，最左辺のものが最右辺と同じになることが分かりやすいのです．
練習 1.2 次の値を求めなさい．
(1)1 + 2 − (−3)2 , (2)4 + 5/6 − 7, (3)8 + 9(−10)
y
練習 1.3 次の文字式をできるだけ簡単にしなさい．
(1)3a + b + c − 4a + 5b + 6c, (2)ab + bc + ca + abc + 3ba
y
1.3 等号の世界 (3):1 次方程式
方程式と式の変形を間違える人が多いですね．方程式を解くことは，実数の公理の (i) から (x) より，
命題 1.4 a, b, c を実数とする．
(i). a = b ⇐⇒ a + c = b + c
(ii). c 6= 0 とする．a = b ⇐⇒ ac = bc
y
6
2016 年 12 月 19 日 version
がいえるので，これを駆使して同値関係 ⇐⇒ で結んでいくことが主な作業です．中学では，同値関係を学
んでいないので，それを省略しているのです．
例えば，x についての方程式 3x − 7 = 5 を解けと言われたときに，
3x − 7 = 5 ⇐⇒ 3x = 5 + 7 ⇐⇒ 3x = 12 ⇐⇒ x = 4
と 4 つの式が同値関係で結ばれています．3x − 7 = 5 は x = 4 と同値なので，3x − 7 = 5 の解は x = 4 とい
うのです．横に書くと見にくいので，前節同様に縦に書いていくと
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
3x − 7
3x
3x
x
=5
=5+7
= 12
=4
となります．中学ではこの ⇐⇒ を省略したわけなのです．a =6= 0 のときに，特に簡単な形
ax + b = c や ax − b = c
などは，それぞれ
x = (c − b)/a や x = (c + b)/a
と解けますから，さっと解けるようになっておくといいですね．
練習 1.5 次の 1 次方程式を解きなさい．
1
(1)3x − 6 = 10, (2)4x − 8 = 20, (3) x + 2 = 5, (4)x + 5 − (−2x + 3) = 7
3
y
1.4 等号の世界 (4):2 元 1 次連立方程式
中学 2 年あたりで，例えば「x, y についての連立方程式
{
3x + 2y
x − 5y
=7
= −9
を解け」という問題を解いたことでしょう．解き方は加減法や代入法といって，結局命題 1.4 を駆使して，上
の問題の場合は x = 1, y = 2 となったはずです．
しかし大学では，⇐⇒ を使ってあらかじめ解いておいた，公式に突っ込むだけの，簡単なものになります．
上の連立方程式で，一般的に考えると，実数 a, b, c, d, e, f があって，
{
ax + by
cx + dy
=e
=f
(1.1)
ですね．この連立方程式は加減法を用いて以下のように解けます．
定理 1.6 ad − bc 6= 0 とする．x, y の連立方程式 (1.1) 式の解は，以下で一意に定まる．
x=
ed − bf
,
ad − bc
y=
af − ec
ad − bc
(1.2)
y
7
2016 年 12 月 19 日 version
覚え方を紹介しましょう．(1.1) の 2 つの式の左辺を x, y を省略して，係数 a, b, c, d を，以下のように 4 つ
にまとめたもの
(
)
a b
c d
を，2 行 2 列の行列といいます．同様に，右辺をひとまとめに見てみて，
( )
e
f
としたものを，2 行 1 列の行列といいます．縦が行で，横が列といいます．
次に定理 1.6 にある ad − bc に注目して，2 行 2 列の行列について，行列式というものを定義しておきます．
(
定義 1.7 a, b, c, d は実数とする．2 × 2 の行列
a
b
c
d
det
)
について，その行列式を ad − bc と定義し，
(
)
a b
c d
y
で表す．
形としては「左上×右下 − 右上×左下」となっています．後は定理 1.6 の分子の式を行列式で表すと，先の
定理が以下のようにあらわされます．
定理 1.8 (2 行 2 列の場合のクラメールの公式) ad − bc 6= 0 とする．x, y の連立方程式である (1.1) 式の解
は，以下で一意に定まる．
(
)
e b
f d
(
),
x=
a b
det
c d
(
)
a e
c f
(
)
y=
a b
det
c d
det
(
つまり，x の分子と y の分子は，
a
b
c
d
det
)
の 1 列目と 2 列目をそれぞれ，
(1.3)
( )
e
y
に入れ替えたものの行列式
f
です．そこで，(1.1) 式の解については，行列式を覚えておけば，定理 1.8 の形の方が，定理 1.6 よりも覚えや
すいのです．
練習 1.9 クラメールの公式を利用して，x, y についての連立方程式を解きなさい．ただし a, b, c, d は定数で，
a2 + b2 = 1 を満たすものとします．
{
ax + by
−bx + ay
=c
=d
y
1.5 等号の世界 (5): 式の展開と因数分解
中学 2 年∼高校 2 年あたりで出てきた以下の式も，実数の公理より言えます．
命題 1.10
x, y, a, b, c, d が実数のとき，
8
2016 年 12 月 19 日 version
(i). (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
(ii). (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
(iii). (x ± y)2 = x2 ± 2xy + y 2 (複合同順)
(iv). (x + y)(x − y) = x2 − y 2
(v). (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca
(vi). (x + y)3 = x3 + 3x2 y + 3xy 2 + y 3
(vii). (x − y)3 = x3 − 3x2 y + 3xy 2 − y 3
(viii). (x − y)(x2 + xy + y 2 ) = x3 − y 3
(ix). (a + b + c)(a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca) = a3 + b3 + c3 − 3abc
y
証明については，左辺を計算していけば右辺になるので，省略します．左辺から右辺への変形は，式の展開
と言い，右辺から左辺の形にするのは因数分解といいます．2 以上の正整数について素因数分解というのを聞
いたことがあるでしょう．それは正整数を素数の積の形にするものでした．文字式において因数分解とは，積
の形に分解するという意味があるのです．
練習 1.11
次の式を因数分解しなさい．
(1)ab + bc + b2 , (2)x2 + 6x + 8, (3)x2 + 5x − 6, (4)ab − ac + b − c
y
1.6 不等号の世界 (1):実数の公理の次の 6 個と，絶対値
等号に関する計算は 10 個の公理から得られたので，つぎは大小比較です．大小比較については，以下の 7
つの内，上の 6 つを用います．最後の 1 つは実数の連続性といいます．一応書いておいただけで，この節での
計算では用いません．
実数の公理 2 a, b, c は実数とする．
(xi). a ≤ a
(xii). a ≤ b かつ b ≤ a =⇒ a = b
(xiii). a ≤ b かつ b ≤ c =⇒ a ≤ c
(xiv). a ≤ b または b ≤ a の，少なくとも一方が成り立つ．
(xv). a ≤ b =⇒ a + c ≤ b + c
(xvi). a ≥ 0, b ≥ 0 =⇒ ab ≥ 0
y
注意: 高校まででは不等号は 5, = を使っていました．大学では ≤, ≥ を使う本も多くなってきますので，
よってこれ以降では ≤, ≥ を使います．
(注意終)
この実数の公理 (i)∼(xvi) からいえることを，以下この 1.6 節で説明しましょう．まず以下がいえます．
9
2016 年 12 月 19 日 version
命題 1.12
n は正整数とする．0 以上の実数 x, y について，
x ≤ y ⇐⇒ xn ≤ y n
y
証明 n = 1 のときは明らかです．n = 2 のときを証明します．
(i)=⇒ の証明:
x2 ≤ xy
≤ yy
より，x2 ≤ y 2 がいえます．
(ii)⇐= の証明: 対偶を証明します．x > y のとき，
x2 > xy
> yy
従って対偶が真なので，命題 x ≤ y ⇐= x2 ≤ y 2 も真です．
n ≥ 3 の場合も同様に証明できます．
さて，高校で以下のように絶対値を定義しました．
定義 1.13
実数 x について，|x| を
{
|x| =
(if x ≥ 0)
(if x < 0)
x
−x
y
で定義し，x の絶対値と呼ぶ．
明らかに，|x| ≥ x や | − x| = |x| や |x|2 = x2 がいえます．それ以外にも
定理 1.14
実数 x, y について，以下が成り立つ．
(i). |x| ≥ 0
(ii). |x + y| = |y + x|
(iii). |x − y| = 0 ⇐⇒ x = y
(iv). |x + y| ≤ |x| + |y|
y
証明 (iv) のみ証明します．
|x + y|2 = x2 + 2xy + y 2
≤ |x|2 + 2|x||y| + |y|2
≤ (|x| + |y|)2
左辺・右辺とも 0 以上なので，命題 1.12 より，
|x + y| ≤ |x| + |y|
10
2016 年 12 月 19 日 version
特に (iii) を三角不等式といいます．三角形の辺の関係が由来です．その意味で (iii) に付け加えてもう少し
加えて書くと，
|x| − |y|
≤ |x + y| ≤ |x| + |y|
|y| − |x|
がいえます．
練習 1.15
任意の実数 x について
|x − 1| ≥ 1 − x
が成り立つのはなぜでしょうか．理由を書くか，証明して下さい．
y
1.7 不等号の世界 (2):1 次不等式
実数の公理の (xi) から (xvi) より以下がいえます．
命題 1.16
a, b, c を実数とする．
(i). a > b ⇐⇒ a + c > b + c
(ii). c > 0 とする．a > b ⇐⇒ ac > bc
(iii). c < 0 とする．a > b ⇐⇒ ac < bc
y
不等式を解くことは，命題 1.4 とこれらを利用して，⇐⇒ で結んだものです．例えば，x についての不等式
−3x − 7 < 5 を解けと言われたときには，
−3x − 7 < 5 ⇐⇒ −3x < 5 + 7 ⇐⇒ −3x < 12 ⇐⇒ x > −4
と 4 つの式が同値関係で結ばれます．よって，−3x − 7 < 5 は x > −4 と同値なので，−3x − 7 < 5 の解は
x > −4 というのです．横に書くと見にくいので，縦に書いていくと
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
−3x − 7 < 5
−3x < 5 + 7
−3x < 12
x > −4
となります．高校ではこの ⇐⇒ を省略したわけです．
練習 1.17
ア) 次の x の不等式を解きなさい．(3) は因数分解をうまく使ってください．
(1)4x − 8 < 7, (2) − 2x + 6 > 8, (3)x2 − 4x + 5 ≥ 3x − 7
イ)
(i). 0 < x < 1 のとき，x2 < x であることを証明しなさい．
(ii). 1 < x のとき，x2 > x であることを証明しなさい．
y
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1.8 関数とグラフ
実数の部分集合 X を決めて，X の各元 x について，実数の値を 1 つ決める決まりごとを，X の R への写
像といい，もっと簡単に 1 変数実数値関数と言います．高校まではそれしか扱わないので，単に関数と言いま
した．この 1 節でも同様に関数と言います．
さてこのときの X を，定義域と言います．関数はよく f や g という文字が使われますので，上のような 1
変数実数値関数 f のことを本来は f : X 7→ R と書きます．が，以下のように X が指定されていない場合も
多く書かれます．その場合は，定義域をできるだけ広いものとして考えます．例えば，2 つの関数 f, g が
f (x) = 3x + 5,
g(x) =
1
x
と書かれている場合は，f の定義域は実数全体ですし，g の定義域は，x = 0 以外の実数全体となります．
関数 f : X 7→ R があるときには，X の全ての元 x ∈ X について，必ず 1 つの実数 f (x) の値が 1 つ定まっ
てなければなりません．
上の (i) のように a, b を実数の定数 (ただし a 6= 0) として，
f (x) = ax + b
となる f を，1 次関数と呼びます．同様に a, b, c を実数の定数 (ただし a 6= 0)
f (x) = ax2 + bx + c
となる f を，2 次関数と呼びます．1 次関数は中学 2 年あたりで，2 次関数は高校 1 年あたりで出てきたこと
でしょう．どちらも，定義域が指定されていないときは，実数全体が定義域となります．
n ≥ 3 の整数について一般形で書くと，n + 1 個の実数 a0 , a1 , · · · , an (ただし a0 6= 0) を定数として，
f (x) = a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an−1 x + an
となる f を，n 次関数と呼びます．これも定義域は実数全体となります．
横軸 x で縦軸 y としたときの平面を xy 平面といいます．今まで，よく y = f (x) のグラフを描いたことで
しょう．このグラフは，x の値を実数全体で動かして点 (x, f (x)) をつないだものです．
n ≥ 3 の場合の n 次関数については面倒です．が，1 次関数は，直線となり，2 次関数の場合は放物線とな
るので，意外と簡単に書けます．1 次関数のグラフ
y = ax + b
のときは，a の値を傾き，b の値を y 切片と呼んだことでしょう．切片は「切り取ったかけら」という意味で
す．y 軸と y = ax + b の交点が (0, b) となるところから由来しています．
a 6= 0 として 2 次関数のグラフ
g(x) = ax2 + bx + c
を xy 平面上に書くことを考えよう．右辺を変形して
)2
(
b2 − 4ac
b
−
g(x) = a x +
2a
4a
12
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(
2
b
と書けるのでグラフは，頂点が − 2a
, −b
らば
∩
−4ac
4a
)
の放物線となる．a が正ならば
∪
のような形で，a が負な
のような形をイメージするとよいでしょう*1 ．
またグラフの平行移動については，以下のことが言えます．
関数 f (x) が与えられたときに，xy 平面上に y = f (x) を描いたとします．このグラフを x 軸の正の方向に
α，y 軸の正の方向に β 平行移動したグラフを描きたいことはよくあります．そのグラフは，
y − β = f (x − α)
です．y = f (x) について，x の代わりに x − α を，y の代わりに y − β を代入すればよいのです．上の式で β
を移項して，
y = f (x − α) + β
(1.4)
とも書けます．先の 2 次関数の場合，
f (x) = ax2
2
b
のグラフを，x の正の方向に − 2a
，y の正の方向に − b
−4ac
4a
移動したものは，(1.4) 式の α, β に，それぞれを
代入すればいいので，
(
(
))
b
D
x− −
−
2a
4a
(
)
b
D
=f x+
−
2a
4a
)2
(
D
b
−
=a x+
2a
4a
y=f
となるのです．
練習 1.18
次のグラフを xy 平面上に書きなさい．
(1)y = x2 + 4x − 5,
(2)y = 3x2 + 12x,
(3)y = −x2 + 4x + 7,
(4)y = −3x2 + 6x − 2,
y
1.9 x の方程式・不等式とグラフ
x の方程式の両辺を f (x), g(x) として，
f (x) = g(x)
と書いたとしましょう．この式を満たす x の解は，xy 平面上に
y = f (x), y = g(x)
を書いた時の，交点の x 座標と一致します．
同様に x の不等式の両辺を f (x), g(x) として，
f (x) > g(x)(resp.f (x) < g(x))
*1
形については凸関数・凹関数という名前が 2 章で出てくるので，そのときにまたよく読んでください．
13
2016 年 12 月 19 日 version
と書いたとしましょう．この式を満たす x の解は，xy 平面上に
y = f (x), y = g(x)
を書いた時の，y = f (x) のグラフが y = g(x) のグラフよりも上方 (resp. 下方) となるような，x 座標の範囲
になります．
詳しくは次節の実習を参考にしてください．
1.10 1 日目の PC 実習
1.10.1 wxMaxima の場合
wxMaxima(バージョン 16.04.2) で，今までの問題を復習します．以下の (1) から (10) までは，コードを打
ち込んだ後に，Shift キーを押しながら Enter です．以下それを Shift+Enter と書きます．
(1) p6 練習 1.1(1) 4^2*4;
(2) p6 練習 1.1(3) -3^2;
(3) p6 練習 1.2(1) 1+2-(-3)^2;
(4) p6 練習 1.2(3) 8+9*(-10);
(5) p6 練習 1.3(1) 3*a+b+c-4*a+5*b+6*c;
(6) p7 練習 1.5(1) solve(x/3+2=5,x);
(7) p7 練習 1.5(3) solve(3*x-6=0,x);
(8) p8 練習 1.9 solve([a*x+b*y=c,-b*x+a*y=d],[x,y]);
(9) p9 練習 1.11(1) factor(a*b+b*c+b^2);
(10) p9 練習 1.11(3) factor(x^2+5*x-6);
(11) p11 練習 1.15 について，y = |x − 1| と y = 1 − x のグラフを書いて，確かめる．
（a）メニューバーから，プロット＞ 2 次元プロットを選ぶ．
（b）関数の部分に，abs(x-1),1-x と入力し，OK ボタンを押す．
（c）x ≤ 1 の範囲では，y = |x − 1| のグラフと y = 1 − x のグラフは一致します．一方 x > 1 の範囲で
は，前者のグラフが後者のグラフよりも上方にあります．
（d）よって任意の実数 x について，|x − 1| ≥ 1 − x
(12) p11 練習 1.17 ア) (1) について，グラフを書いた後確かめます．
（a）メニューバーから，プロット＞ 2 次元プロットを選ぶ．
（b）関数の部分に，4*x-8,7 と入力し，OK ボタン．
（c）y = 4x − 8 と y = 7 の交点より左側で，前者のグラフが後者のグラフの下方に来ます．
（d）交点の x 座標を求めるには，メイン画面で，solve(4*x-8=7,x); と打ち込んで Shift+Enter
（e）従って答えは，x <
15
4
(13) p11 練習 1.17 ア) (3) について，グラフを書いた後確かめます．
（a）メニューバーから，プロット＞ 2 次元プロットを選ぶ．
（b）関数の部分に，x^2-4*x+5,3*x-7 と入力し，OK ボタン．
（c）2 交点の x 座標を α, β(α < β) とすると，x < α または x > β の範囲について，y = x2 − 4x + 5 の
グラフが y = 3x − 7 のグラフより上方にあります．
（d）交点の x 座標 α, β を求めるには，メイン画面で，solve(x^2-4*x+5=3*x-7,x); と打ち込んで
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Shift+Enter
（e）従って答えは，x < 3, x > 4
(14) p13 練習 1.18(1) のグラフは，
（a）メニューバーから，プロット＞ 2 次元プロットを選びます．
（b）関数の部分に，x^2+4*x-5 と入力し，OK ボタン．
(15) p13 練習 1.18(3) のグラフは，
（a）メニューバーから，プロット＞ 2 次元プロットを選びます．
（b）関数の部分に，-x^2+4*x+7 と入力し，OK ボタン．
1.10.2 GeoGebra の場合
GeoGebra で今までの問題を復習します．GeoGebra は PC でも動きますが，以下ではスマートフォンやタ
ブレットで利用することを前提としています．以下の説明では，入力バーへの，ボタンを利用したコードの打
ち込み方法です．最後に Enter ボタンを押してください．
(1) p6 練習 1.1(1) x2 ボタンと × ボタンと右下の > ボタン (右に 1 文字移動する) を使って，42 · 4 と入力
(2) p6 練習 1.1(3) (−3)2 と入力
(3) p6 練習 1.2(1) 1 + 2 − (−3)2 と入力
(4) p6 練習 1.2(3) 8 + 9(−10) と入力
上は a,b,c,d というオブジェクトに格納されているので，すべて削除しておくか，グラフ非表示にしてくだ
さい．
(x の式)=0 という多項式を解くのは，root(x の式) です．x の多項式の因数分解は factor(x の多項
式) です．
(5) p7 練習 1.5(1) ÷ ボタンを利用して， x3 + 2 − 5 と入力．
(6) p7 練習 1.5(3) root(3x-6) と入力
(7) p9 練習 1.11(3) factor(x2 + 5x − 6) と入力
ここで一旦，全てのオブジェクトを削除するか，グラフ非表示にしてください．
(9) p11 練習 1.15 について，y = |x − 1| と y = 1 − x のグラフを書いて，確かめます．
（a）|x| ボタンを押すと，||が表示され，そのまま 1-x と打ち込めば，|1-x|と表示されるので，その後
Enter ボタン
（b）1-x と入力．
（c）x ≤ 1 の範囲では，y = |x − 1| のグラフと y = 1 − x のグラフは一致します．一方 x > 1 の範囲で
は，前者のグラフが後者のグラフよりも上方にあります．
（d）よって任意の実数 x について，|x − 1| ≥ 1 − x
（e）2 つのグラフ非表示にしてください．
(10) p11 練習 1.17 ア) (1) について，グラフを書いた後確かめます．
（a）p(x)=4x-8 と入力して Enter ボタン．
（b）q(x)=7 と入力して Enter ボタン．
（c）y = 4x − 8 と y = 7 の交点より左側で，前者のグラフが後者のグラフの下方に来ます．
15
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（d）交点の x 座標を求めるには，メイン画面で，intersect(p(x),q(x)) と入力して Enter ボタン．
（e）y = p(x) と y = q(x) の 2 直線の交点の座標が (3.75,7) と出るので，答えは，x < 3.75．GeoGebra
の交点の座標の値は一般に近似値であらわされます．しかし今の場合は厳密に 3.75 です．
（f）p(x) も q(x) も 2 直線の交点も，グラフ非表示にしておいてください．
(11) p11 練習 1.17 ア) (3) について，グラフを書いた後確かめます．
（a）r(x) = x2 − 4x + 5 と入力して Enter ボタン．
（b）s(x) = 3x − 7 と入力して Enter ボタン．
（c）2 交点の x 座標を α, β(α < β) とすると，x < α または x > β の範囲について，y = x2 − 4x + 5 の
グラフが y = 3x − 7 のグラフより上方にあります．
（d）交点の x 座標 α, β を求めるには，メイン画面で，intersect(r(x),s(x)) と入力して Enter ボ
タン．
（e）2 つの交点の x 座標が α.β なので，x < 3, x > 4
（f）r(x) も s(x) も 2 直線の交点も，グラフ非表示にしておいてください．
(12) p13 練習 1.18(1) のグラフは，x2 + 4x − 5 と入力．
(13) p13 練習 1.18(3) のグラフは，−x2 + 4x + 7 と入力．
p(x),q(x),r(x),s(x) のように，定数・x の 1 次関数・x の 2 次関数の場合には，直線や放物線がかけま
す．そして交点の座標などは intersect 関数で得られます．それ以外の関数の場合だと intersect 関数の利用
は，慎重にしなければなりません (マニュアルの intersect を参照)．
また root や intersect のコマンド類は root[] のように [] でくくるのが本来の姿です．しかし () でくくって
もよく，スマートフォンでは [] を打ち込みにくいので，() を利用しました．
1.11 コラム: 講義中に眠くなる？
人体に吸収した酸素の 20% は，脳が消費すると言われています．ですから，脳が活発に動いている場合は，
普段以上に呼吸に気を付けなければなりません．つまり，
何の対策も取らずに勉強した場合，眠くなるのは当たり前です．
私の対策は以下です．
(i). 目をやや見開く．2 割増しくらいの気持ちで．
(ii). 鼻もやや開く．1∼2 割増しくらいの気持ちで．
(iii). 鼻呼吸する．吐く方に気を付ける．
これをせずに専門書や専門論文を読んだりすると，
• 内容がつまらないと，退屈になるので眠くなります．
• 内容が面白いと，脳が活発に動くわりに酸素不足になり，眠くなります．
ということで，ある意味笑えるのですが，どっちにしても眠くなります．私にとって，上記の対策は非常に重
要なのです．
みなさんも，講義で眠くなった場合や，社会に出て会議で眠くなったときに，是非やってみてください．
16
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2 (2 日目) 1 変数関数の最大・最小への準備: 微分法の利用
2.1 関数と極限の世界 (1): 実数の公理最後の 1 個・・・本節は軽く読み飛ばすとよい
入門数理で極限値を示す lim という記号がありました．この極限についてきちんと基礎づけをしようという
のが，この節になります．今までの実数の公理の 16 個は，有理数の集合でも同様に成り立ちます．有理数と
実数の違いはこの節になります．
√
まずイメージでとらえるために，例として「極限値」を入門数理で定義したように考えます． 2 に下方向
から小数の桁数を 1 つづつ近づく有理数列
1, 1.4, 1.41, 1.4142, 1.414213, 1.4142135, 1.41421356, · · ·
を考えてみましょう．すべて有理数ですが，その「極限
√
2」は有理数ではないのです．ある意味で「有理数
は極限について閉じていない」のです．一方で実数については「極限が存在すれば，それは実数」なのです，
「実数は極限について閉じている」のです．これを示していきます．
さて上の有理数列の，(i) 下方向から近づいていることと，(ii) 全て
√
2 より小さいこと，のこの 2 点を拡張
します．
定義 2.1 実数列 {an }∞
n=1 について，
(i). 任意の自然数 n について，an

≤
≥
an+1 を満たすとき，{an } は単調
(ii). ある M があって，任意の自然数 n について an

≤
≥

増加
減少
数列という．
M を満たすとき，{an } は

上に
下に
有界と
いう．
y
よってこの (i)(ii) の 2 つを合わせると，上に有界な単調増加数列は
a0 ≤ a1 ≤ a2 ≤ · · · ≤ M
となります．今まで実数は数直線と同一視してきたことでしょうから，この数列を，数直線上を動く車で以下
のようにイメージしてみましょう．
• 数直線上を正の方向に走る車と，そして数直線上にある点 M に工事現場があるとします．
• 車のスタート地点は M より左とし，車は M より右側には行けないものとします．
• スタート n 秒後 (n = 0, 1, · · · ) の車の，数直線上の位置を an とします．
• さてこのとき，n を無限に増やしていくことを考えます．車が完全に立ち止まってしまうか，少しずつ
動いているか，動いたり止まったりするかもしれませんが，工事現場の手前のある点 α ≤ M があって，
an は α にどんどん近づくことになります．
それを，この an がある値に収束することとするのです*2
*2
an が α に収束することのの定義を正式に書くと，
17
2016 年 12 月 19 日 version
数学的に書くと，以下になります．
実数の公理 3 (xvii). 上に有界な単調増加数列 {an }∞
n=0 は，ある実数値に収束する．
y
このレジュメでは，数列 an が α に収束するということは，an が n を無限に大きくしたときに，ある値 α
にどんどん近づくこととします．記号では，
lim an = α
(2.1)
n→∞
または，
an → α
(n → ∞)
(2.2)
と書きます．lim は英語の limit の頭文字です．この場合を日本語で表すと，an の極限値は α であるともいい
ます．
例えば，3 つの数列 an , bn , cn を
n
1
an =
, b n = 1 − n , cn =
n+1
2
(
)n
1
1+
n
(2.3)
としましょう．
n+1
n
−
n+2 n+1
(n + 1)2 − n(n + 2)
=
(n + 2)(n + 1)
1
=
(n + 2)(n + 1)
>0
an+1 − an =
より an ≤ an+1 が成り立ちます．よって数列 an は単調増加関数です．bn , cn も同様です (bn についての証
明は簡単で cn についてはやや面倒)．また任意の n について an ≤ 1, bn ≤ 1, cn ≤ 3 が成り立ちます (an , bn
は明らかですが cn についてはやや面倒)．
練習 2.2 以下の問に答えなさい．limn→∞ の添字 n → ∞ は省略している．
(1) lim n1 = 0 と，数列 un , vn について lim un , lim vn が存在するならば lim(un + vn ) = lim un + lim vn が
成り立つことを所与とするとき，(2.3) 式の an , bn について，
(a) lim an = 1 を示しなさい．
(b) lim bn = 1 を示しなさい．
(2) (2.3) 式の cn について，lim cn = e と表されることを，wxMaxima で確認してください．
y
余談ですが，実数の連続性の公理は本によって異なりますこのレジュメでは一番理解しやすいように，上に
有界な単調増加数列の収束で表しました．
任意の > 0 について，ある自然数 n0 があって，任意の n ≥ n0 について，|an − α| < です．このレジュメではこれ以降でてこないので，数列の収束については，
「どんどん近づく」というイメージでとらえておいて構
いません．
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2.2 関数と極限の世界 (2): 関数の極限値と関数の連続
3 以上 5 以下の範囲などを，区間と言っていました．まず区間について定義しておきましょう．
定義 2.3 実数 a, b で a < b とする．
(i). 実数上の区間は R の部分集合であり，以下の 9 つの形のどれかである．これらを総称して I で表す．
（a） 集合 {x|a ≤ x ≤ b} を，[a, b] で表す．この区間を有界閉区間という．
（b） 集合 {x|a < x < b} を，(a, b) で表す．この区間を有界開区間という．
（c） 集合 {x|a ≤ x < b} を，[a, b) で表す．
（d） 集合 {x|a < x ≤ b} を，(a, b] で表す．
（e） 実数全体の集合 R を，(−∞, ∞) で表す．
（f） 集合 {x|x ≤ b} を，(−∞, b] で表す．
（g） 集合 {x|x < b} を，(−∞, b) で表す．
（h） 集合 {x|a ≤ x} を，[a, ∞) で表す．
（i） 集合 {x|a < x} を，(a, ∞) で表す．
(ii). 上の (b)(g)(e)(i) の形をした区間を，開区間という．
(iii). 上の (c)(d) を半開区間という．
(iv). 上の (g)(i) を無限開区間という．
(v). 上の (f)(h) を無限閉区間という．
(vi). 有界な区間を有界区間という．上の (a)(b)(c)(d) がそれにあたる．
y
また区間 I の内部の点を I o で表すこととします．上で言うと (a)(c)(d) が I のとき，I o は (b) となります．
さて次に極限についてです．数列の極限値は 2.1 節で説明しました．似たように関数の極限値を示します．
例として，関数 f (x) を


x + 2 (if x > 1)
f (x) = 0
(if x = 1)


x − 4 (if x < 1)
(2.4)
としましょう．x > 1 から x をどんどん 1 に近づけていくと，f (x) は 1 + 2 つまり 3 に近づいていきます．
x > 1 というのは 1 から右方向から近づけたことになります．
x < 1 から x をどんどん 1 に近づけていくと，f (x) は 1 − 4 つまり −3 に近づいていきます．x < 1 という
のは 1 から左方向から近づけたことになります．
このように x をある値 c に近づけてたときに，関数の f (x) の値がある値に近づくときを，関数 f (x) の
x → c での極限値といいます．
定義 2.4 開区間 (a, b) で定義された関数 f (x) について，
(i). c は a 以上 b 未満とする．正数 h を 0 に近づけたときに，f (c + h) がある値 α に近づいたとき，α を，
f (x) の c での右極限値といい，以下で表す．
lim f (x)
x→c+0
19
2016 年 12 月 19 日 version
(ii). c は a より大かつ b 以下とする．正数 h を 0 に近づけたときに，f (c − h) がある値 α に近づいたとき，
α を，f (x) の c での左極限値といい，以下で表す．
lim f (x)
x→c−0
(iii). c ∈ (a, b) で左極限値と右極限値が一致するとき，それらを c での極限値といい，以下で表す．
lim f (x)
x→c
(iv). 端点についての極限値は以下である．右辺が存在すればそれを極限値とするという意味である．
lim f (x) = lim f (x), lim f (x) = lim f (x)
x→a
x→a+0
x→b
x→b−0
y
この定義から，(2.4) 式の f (x) については，
lim f (x) = −3,
x→1−0
lim f (x) = 3
x→1+0
がいえます．
連続関数というのは，関数が「つながっていること」を意味します．正式には極限値を用いて，以下のよう
に定義されます．
定義 2.5 区間 I で定義された関数 f について，
(i). f (c) = limx→c f (x) が成り立つとき，f は c ∈ I で連続であるという．
(ii). 任意の c ∈ I で，f (c) = limx→c f (x) が成り立つとき，f は I で連続であるという．
y
経済数学で出てくる関数の多くは，連続関数です．もっというと，無限に微分可能な関数がほとんどです．
ではその微分とは何かを次の節で説明しましょう．
練習 2.6 次の値をそれぞれ求めなさい．limx→1+0 f (x) と limx→1−0 f (x) をそれぞれ求めよ．また (3) では
f (x) が x = 1 で不連続であることを確認せよ．
(1) f (x) = x2 で，limx→1 f (x)
(2) f (x) = |x
 − 1| で，limx→1 f (x)
x2 + 4 (if x < 1)
(3) f (x) =
で，limx→1+0 f (x) と limx→1−0 f (x) と
2x − 3 (if x ≥ 1)
y
2.3 簡単な連続関数 (3): x のべき関数
ここで紹介するグラフの代表的な形は，α > 1, α = 1, 0 < α < 1, α = 0, α < 0 の 5 種類あります．x ≥ 0
または x > 0 を定義域として，f (x) = xα で，α に 2, 1, 1/2, 0, −1 を入れたものを，講義で紹介します．
20
2016 年 12 月 19 日 version
2.4 関数と極限の世界 (4): 微分と導関数
グラフ y = f (x) を描いたときに，x = c での接線の傾きを知ることは重要です．グラフ上の異なる 2 点
(c, f (c)) と (c + h, f (c + h)) を結んだ直線の傾きは，
f (c + h) − f (c)
h
でした．グラフ y = f (x) の x = c での接線の傾きは，この h をどんどん 0 に近づけていくことによって，以
下のように定義します．
定義 2.7 区間 I で定義された関数 f (x) について，
(i). 点 c ∈ I で
lim
h→0
f (c + h) − f (c)
h
(2.5)
が存在するとき，f は c で微分可能であるといい，この値を，f の c における微分係数という．この微
分係数を，
df
df f (c), または, (c), または
, または (Df )(c)
dx
dx x=c
0
などで表す．
(ii). 任意の x ∈ I で微分可能の場合は，f は (a, b) で微分可能であるという．このとき，x ∈ (a, b) で
f (x + h) − f (x)
h→0
h
lim
(2.6)
が存在するので，この関数を f の導関数と呼び，f 0 で表す．さらに f 0 が I で連続関数ならば，f は C 1
級であるという．
(iii). 導関数 f 0 の導関数が存在するならば，それを f の 2 階導関数といい，f 00 であらわす．さらに f 00 が I
で連続関数ならば，f は C 2 級であるという．
注意: df dx x=c
y
と言う記号は，日本語の本ではあまり見ないですが，英語の微分積分の本でよく見かけま
す．後述の合成関数の微分を表現するときに便利です．
(注意終)
導関数を求めることを，微分するといいます．
高校 2 年生あたりでは f (x) = x2 のとき，f 0 (x) = 2x と習った人もいるでしょう．より一般的に書くと，
命題 2.8 n は正整数とする．f (x) = xn とするとき，f 0 (x) = nxn−1
y
この証明は，以下の 2 つの定理を示した後に，定理 2.10 の (ii) を用いて，n についての数学的帰納法から
いえます．
定理 2.9 ある開区間で定義された関数 f (x), g(x) と，その開区間内の点 c について，lim f (x) = α, lim g(x) = β
x→c
が存在するとき，
(i).
lim (f (x) + g(x)) = α + β,
x→c
lim pf (x) = pα (ただし p は定数)
x→c
21
x→c
2016 年 12 月 19 日 version
(ii).
(iii).
lim f (x)g(x) = αβ
x→c
lim
x→c
f (x)
α
= (ただし β 6= 0)
g(x)
β
y
直感的に明らかなので，証明は省略します．これを用いると以下がいえます．
定理 2.10
ある開区間で定義された関数 f (x), g(x) が，ともにその開区間で微分可能とするとき，
(i). {f (x) + g(x)}0 = f 0 (x) + g 0 (x)， {pf (x)}0 = pf 0 (x) (ただし p は定数)
(ii). {f (x)g(x)}0 = f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x)
{
}0
0
f (x)
(x)g 0 (x)
(iii).
= f (x)g(x)−f
(ただし g(x) 6= 0)
2
[g(x)]
g(x)
y
練習 2.11
次の関数 f (x) について，その導関数をそれぞれ求めなさい．
(1).f (x) = x3 ,
(2).f (x) = x2 + x + 10,
(3).f (x) = x4 − 7x − 2
y
さて，最後に合成関数とその微分について紹介しましょう．h(x) = (3x + 4)100 は導関数を持つのですが，
(3x + 4)100 を展開してから微分するのは，非効率的です．そこで少し楽ができるように，合成関数の微分を
学びましょう．「ちょっと学べば楽できる」の典型的な例です．
定義 2.12
4 つの実数の部分集合 X, U, U 0 , Y と，2 つの実数値関数 f : X 7→ U, g : U 0 7→ Y について，f に
よる X の像 f (X) が U 0 に含まれる (つまり f (X) ⊂ U 0 ) ならば，任意の x ∈ X について，g(f (x)) が存在す
る．これを f と g の合成関数といい，関数 g◦f : X 7→ Y で表す．
y
合成関数の例を一つ上げましょう．ある電柱の 1 つの電灯を x 時間つけたときに消費する電力量が f (x)
ワット時とします．また 1 か月で u ワット時消費すると，1 か月 g(u) 円の電気料金がかかるものとします．
従って，この家で電灯以外すべて電気を使わない場合は，1 月に電灯 x 時間つけたときにかかる電気料金は
g(f (x)) という x の関数としてあらわされます．g(f (x)) とは書きにくいので，g◦f (x) と表します．
この例で，f (x) = 100x, g(u) = u/2 + 1000 とすると，g◦f (x) = (100x)/2 + 1000 つまり，50x + 1000 と
なります．
定理 2.13
実数の部分集合 X, U, U 0 , Y で，X, U 0 は開区間であり，2 つの関数 f : X 7→ U, g : U 0 7→ Y で
f (X) ⊂ U 0 とし，f, g はそれぞれの定義域で微分可能とする．このとき，合成関数 g◦f は X で微分可能であ
り，その導関数は，以下である．
dy du
g (f (x))f (x), または
·
du u=g(x) dx
0
0
(2.7)
y
dy
証明は省略します．右の式で覚えると楽です．というのも， dx
をあたかも 2 つの分数
dy du
du , dx
の積に分けた
ような形をしているからです．先の電灯の例をもう少し一般化して，f (x) = αx + β, g(u) = γu + θ として線
22
2016 年 12 月 19 日 version
形関数で考えてみましょう．g◦f (x) = γ(αx + β) + θ から，{g◦f }0 (x) = γα = g 0 (f (x))f 0 (x) となります．
直感的に明らかになることでしょう．
では先に示した h(x) = (3x + 4)100 について，その導関数を求めることにしましょう．y = (3x + 4)4 と考
えて，y = u4 , u = 3x + 4 と中間変数 u を導入します．
dy
dy dy
=
dx
du dx
= 100u99 · 3
(u を元に戻して) = 100(3x + 4)99 · 3
= 300(3x + 4)99
なので答えは 300(3x + 4)99 です．u は自分で定義した変数だから，もとに戻すことが重要です．これが (2.7)
式の右の
dy du u=g(x)
の u = g(x) の部分なのです．
合成関数の微分の計算は慣れが大事です．頭を使うというよりも，何回か書いて手が覚えるという感じにな
ります．
練習 2.14
次の関数 h(x) について，その導関数をそれぞれ求めなさい．
(1).h(x) = (5x − 8)4 ,
(2).h(x) = (x2 + x + 10)7
y
練習 2.15
x ≥ 0 で定義された関数 f (x) =
√
x の導関数は，x > 0 のとき，f 0 (x) =
1
√
2 x
であることが知ら
0
れています．これを利用して，以下の h(x) についてその導関数 h (x) をそれぞれ求めなさい．
(1).h(x) =
√
x4 + 7,
(2).h(x) =
√
x2 + x + 8
y
2.5 f 0 (x) の符号と関数の増減
f (x) が区間 I で微分可能の時，その符号は増減に関係します．まずは増減について定義しましょう．x が
増えたら f (x) が増えるという感じなのですが，等号について場合分けします．
定義 2.16
区間 I で定義された関数 f (x) を考える．任意の x1 , x2 ∈ I について，
(i). x1 < x2 =⇒ f (x1 )

≤
≥

<
(ii). x1 < x2 =⇒ f (x1 )
>
f (x2 ) を満たすとき，f (x) は I で単調

増加
関数という．
減少

増加
f (x2 ) を満たすとき，f (x) は I で狭義単調
減少
関数という．
y
もちろん，狭義単調増加関数ならば，単調増加関数となります．この節で重要な定理は以下です．
23
2016 年 12 月 19 日 version
 f (x) は有界閉区間 [a, b] で連続かつ，
 開区間 (a, b) で微分可能とする．このとき，任意の x ∈ (a, b)
>
増加
で f 0 (x)
0 ならば，f (x) は狭義単調
関数である．
y
<
減少
定理 2.17
ですから，f (x) の最大値や最小値を調べるときには f 0 (x) = 0 となる x の値を探すことが重要となります．
またこの定理では，端の点 a, b では微分可能でなくともよいのがポイントです．そして，この定理は，実は
以下の順に証明されます．
(a) (最大値・最小値の定理) 有界閉区間 [a, b] で定義された関数 f (x) が [a, b] で連続ならば，f (x) は [a, b]
で最大値と最小値をもつ．
(b) (ロルの定理) 有界閉区間 [a, b] で定義された関数 f (x) が，[a, b] で連続かつ (a, b) で微分可能で，
f (a) = f (b) = 0 ならば，，f 0 (c) = 0 を満たすある c ∈ (a, b) が存在する．
(c) (平均値の定理) 有界閉区間 [a, b] で定義された関数 f (x) が，[a, b] で連続かつ (a, b) で微分可能ならば，
f 0 (c) =
f (b) − f (a)
b−a
を満たすある c ∈ (a, b) が存在する．
まずはイメージが重要なので，これらの定理は図で説明するだけにします．
練習 2.18
−2 ≤ x ≤ 2 で定義された関数 f (x) = −x2 について，y = f (x) のグラフを書きなさい．その後
y
に，最大値・最小値の定理と，ロルの定理をイメージしてください．
2.6 f 00 (x) の符号と関数の凹凸
第 1 章では，y = px2 のグラフを xy 平面に書いたとき，p > 0 のときは
∪
のような形，p < 0 のときは
∩
のような形と書きました．これらの形を拡張して，前者のような形を凸関数，後者のような形を凹関数として
定義します．
まずはきちんと凸関数と凹関数を定義する前に，前節の練習 2.18 の f (x) = −x2 についてみてみましょう．
すでにず xy 平面に y = −x2 のグラフがありますが，適当な 2 点 A(a, −a2 ), B(b, −b2 ) を取って線分 PQ を
書いてみましょう．線分 PQ は，点 P と点 Q 以外は，グラフ y = f (x) の下方にあります．どんな P，Q を
とってもこのような状態になります．では定義しましょう．
定義 2.19
区間 I で定義された関数 f (x) を考える．
(i). 任意の a, b ∈ I ，任意の λ ∈ [0, 1] について，
f (λb + (1 − λ)a)
が成り立つとき，f (x) は I で

凸関数
凹関数
{
≤
≥
λf (b) + (1 − λ)f (a)
であるという．
(ii). (i) で，等号が成り立つのが λ = 0, 1 のときのみのとき，f (x) は I で狭義
24

凸関数
凹関数
であるという．
2016 年 12 月 19 日 version
y
関数の凹凸は線分と比較しているわけなので，線分を表す 1 次関数 g(x) = px + q は，凸関数でもあり，凹
関数でもあります．ですからそれを含まないように，(ii) のように凹凸についてもう少し強い定義もしておい
たのです．
この定義から f (x) = −x2 は，狭義凹関数です．もう少し拡張して p, q, r を定数として，x の 2 次関数
g(x) = px2 + qx + r を考えてみましょう．xy 平面に y = g(x) のグラフを書くと明らかですが，p > 0 のと
きは g(x) は実数全体で，狭義凸関数となります．p < 0 のときは，実数全体で狭義凹関数となります．
さてこの g(x) を 2 回微分してみましょう．簡単に g 00 (x) = 2p が得られますね．この g(x) を例として以下
が言えます．
定理 2.20
区間 I で定義された関数 f (x) が導関数 f 0 (x) を持つとき，f 0 (x) が I で狭義単調
ば，f (x) は I で狭義

凸

増加
減少
y
関数である．
凹
なら
証明せず，講義ではグラフで示すことにします．定理 2.17 より f 00 (x) > 0 ならば f 0 (x) は，狭義単調増加
関数なので，2 回微分可能のときの十分条件が，以下でいえます．
定理 2.21
有界閉区間 [a, b] で定義された関数 f (x) が，[a, b] で連続かつ，開区間 (a, b) で 2 次導関数 f 00 (x)
を持つとする．
任意の x ∈ (a, b) で f 00 (x)

>
<
0 のとき，f (x) は [a, b] で狭義

凸
凹
関数である．
y
両端の a, b では，微分可能でなくともよいのがポイントです．
f (x) = x2 のとき f 00 (x) = 2 なので，f (x) は実数全体で狭義凸関数です．g(x) = x3 のとき g 00 (x) = 6x で
す．すると定理 2.21 より，x ≤ 0 の範囲では狭義凹関数で，x ≥ 0 の範囲では狭義凸関数となります．
xn の微分の拡張として，任意の有理数 α について，x > 0 で定義された関数 f (x) = xα の導関
√
数は f 0 (x) = αxα−1 となることが知られています．これを利用して g(x) = x について，g 00 (x) を求めて，
練習 2.22
g(x) が x ≥ 0 で凹関数となることを確かめてください．
2.7 2 日目の PC 実習
2.7.1 wxMaxima の場合
複数問ある場合は，偶数の問題だけ例示しました各コードを打ち込んだ後に，Shift+Enter です．
• p18 練習 2.2(2) は，limit((1+1/n)^n, x, inf);
• p20 練習 2.6(2) は，limit(abs(x-1),x,1);
• p22 練習 2.11(2) は，diff(x^2+x+10,x);
• p23 練習 2.14(2) は，diff((x^2+x+10)^7,x);
• p23 練習 2.15(2) は，diff(sqrt(x^2+x+8),x);
25
y
2016 年 12 月 19 日 version
• p24 練習 2.18 の図は，wxplot2d(-x^2,[x,-2,2]);
• p25 練習 2.22 は，diff(sqrt(x),x,2);
2.7.2 GeoGebra の場合
複数問ある場合は，偶数の問題だけ例示しました．各コードを打ち込んだ後に，Enter ボタンです．
((
)x
)
• p18 練習 2.2(2) は，limit 1 + x1 , ∞ と入力．e の近似値 2.72 が得られます．方法は:
÷ ボタン・ax ボタン・> ボタンを駆使し，最後は ∞ ボタンを使います．
• p20 練習 2.6(2) は，limit(|1 − x|, 1) と入力．方法は:
limit( と打ち込んだ後に，|x| ボタンを押し，その後 1-x を打ち込み，> ボタンを押す．最後に,1)
を入力．
• p22 練習 2.11(2) は，derivative(x^2+x+10)
• p23 練習 2.14(2) は，まず h(x)=derivative((x^2+x+10)^7) と入力．
わざわざ h(x) と名前を付けたのは，これを因数分解したいためです．この後に，factor(h(x)) で
Enter ボタン．
√
• p23 練習 2.15(2) は，derivative( x2 + x + 8) と入力．方法は:
√
derivative(と打ち込んだ後に ボタンを押して，その後根号の中に x^2+x+8 を打ち込み，> ボタン
で移動して，,) で閉じて Enter．
• p24 練習 2.18 の図は，−x2
√
√
• p25 練習 2.22 は，derivative( x,2) と入力．方法は: まず derivative(と打ち込んだ後に， ボタ
ンを押して，x を押す．> ボタンの後，,2) と打つ．
2.8 コラム: 文字の意味
経済学の数式の文字は，大文字であれ小文字であれ，英語の頭文字を付けることが多いです．そこである程
度ここで示しておきましょう．
• C・・・Cost, Consumption, Constant
• P・・・Price, Probability(確率)
• L・・・Labor
• Q・・・Quantity(数量)
• U・・・Utility(効用)
• W・・・Wage
ただし，資本は K を使うことが多いですね．Capital だと C なので，C ばかりになってしまいます．資本は
ドイツ語で Kapital なので，そこからかなと (勝手に) 思っています．
26
2016 年 12 月 19 日 version
3 (3 日目) 1 変数関数の最大・最小
現代経済学のメインテーマは，希少な資源の有効利用についてです．とはいえそんな難しく考えることはあ
りません．まずは，人や組織は，最適に行動すると仮定することにします．その最適という意味もいろいろあ
るのですが，まず最初に，人や組織などは利潤を最大化したい・費用を最小化したい・できるだけ幸せになら
いたいと仮定し，その場合どのようなことが起こるかなどを考えていくことにすることをやってみます．その
ときに，入門数理や経済数学で学んだ 微分法 がとても役立ちます．
3.1 関数の最大化・最小化と凹凸と 1 回微分・2 回微分
−1.5 ≤ x ≤ 2.5 で定義された関数 f (x) = x3 − 3x を，xy 平面に書くことにしましょう．wxMaxima に書
かせる (コードは wxplot2d(x^3-3*x,[x,-1.5,2.5]) で Shift+Enter) と，
となります*3 ．すると f (x) は x = 2.5 のときに最大値をとり，x = 1 のあたりで最小値をとることが分
かります．また x = −1 の近辺を見てみましょう．範囲を小さく例えば −1.5 ≤ x ≤ −0.5 を考えれば，その
x = −1 で f (x) は最大値を取ります．このような点を極大点と言います．そこで最大・最小・極大・極小に
ついて定義をしておきましょう．
*3
凹凸が分かるような図を手書きで書くときは，f 0 (x), f 00 (x) までをまず計算します．
f 0 (x) = 3x2 − 3 = 3(x + 1)(x − 1)
f 00 (x) = 6x − 1 = 6(x − 1/6)
これより，以下のように増減表の一部を完成させて，
x
f 00 (x) 符号
f 0 (x) 符号
f (x)
−1.5
−
+
−
+
−1
−
0
27
−
−
1/6
0
−
+
−
1
+
0
+
+
2.5
+
+
2016 年 12 月 19 日 version
定義 3.1 区間 I で定義された関数 f (x) について，
(i). 任意の x ∈ I について，f (x)
をとる，または c は

最大点

≤
≥
f (c) が成り立つ c ∈ I が存在するとき，f (x) は c で
であるという．f (c) を
最小点

最大値
最小値
とき，f (x) は c で
をとる，または c は
極小値

極大点
極小点
最小値
という．
(ii). ある点 c ∈ I と c を含むある開区間 Ic があって，任意の x ∈ Ic について f (x)

極大値

最大値

≤
≥
f (c) が成り立つ
であるという．f (c) を

極大値
極小値
と
いう．
(iii). (ii) の ≤ の代わりに < としたときには，
「極大」の代わりに「狭義極大」とする．≥ の代わりに > とし
たときには，「極小」の代わりに「狭義極小」とする．
y
上の f (x) = x3 − 3x の例では，−1 が極大点，1 が最小点，2.5 が最大点となりますが，最小点ならば極小
点ですし，最大点ならば極大点です．
次の定理のように，関数の最小化・最大化については，凸関数であるか凹関数であるかが重要になります．
定理 3.2 区間 I で定義された関数が，
(i). I で

凹
凸

最大点
関数ならば，
最小点
は，存在しないか，1 点のみ存在するか，ある区間 [a, b] の任意の
点で存在する，のいずれかである．


(ii). I で狭義
凹
凸
最大点
関数ならば，
最小点
は，存在しないか 1 点のみ存在するかの，いずれかである．
y
この証明はしませんが，凸関数のイメージ図は
∪
で，凹関数のイメージ図は
∩
なので，上の定理は図から
明らかでしょう．経済学の例では，x が有限であるときの f (x) の最大化や最小化の問題が多く出てきます．
最大化する関数の場合は，狭義凹関数 (例えば f (x) =
√
x) であることが分かっていて，最小化する関数の場
合はなど，狭義凸関数 (例えば a < 0 で f (x) = ax2 + bx + c) であることが分かっていることがほとんどで
す．だから，次の定理があるので，区間の内部にある点については，「微分=0」となる点を探すことのみに
f (−1), f (1), f (1/6) と両端の点 f (−1.5), f (2.5) の値をそれぞれ計算して，2, −2, − 107
, 9,
216 8
0
f (x) の符号に合わせて 4 つの矢印を埋めて，
x
f 00 (x) 符号
f 0 (x) 符号
−1.5
−
+
f (x)
9
8
−
+
−1
−
0
−
−
1/6
0
−
− 107
216
2
と増減表を完成させると，美しいグラフを書くことができる．
28
+
−
1
+
0
−2
+
+
65
8
2.5
+
+
65
8
であり，残りの部分は f 00 (x) と
2016 年 12 月 19 日 version
集中すればよいのです．
定理 3.3 開区間 I で定義された関数 f (x) が I で微分可能とする．
(i). f (x) が I で

凹
凸
(ii). f (x) が I で狭義
関数で，f 0 (c) = 0 となる c ∈ I が存在するならば，c は

凹
凸

最大点
最小点
関数で，f 0 (c) = 0 となる c ∈ I が存在するならば，c が唯一の
である．

最大点
最小点
．
y
この定理と定理 2.21 から，以下が簡単に言えます．
系 3.4 区間 I で定義された関数 f (x) が I で連続，I o で 2 回微分可能かつ，任意の x ∈ I o で
f 00 (x)

<
0 とする．このとき f 0 (c) = 0 となる c ∈ I が存在するならば，c は唯一の
>

最大点
最小点
．
y
練習 3.5 以下の各 f (x) は定義域の区間 I で連続で，内部 I o で f 00 (x) < 0 を満たすことが分かっています．
f 0 (x) = 0 を解くことにより，最大点を求めてください．
(1). f (x) = −x2 + 4x,
(2). f (x) = −x4 + 2x2
(3/4 ≤ x ≤ 2),
(3). f (x) =
√
√
x+ 2 − x
(0 ≤ x ≤ 2)
y
もっと一般的に，あらかじめ凹凸が分からない場合は以下が言えます．
定理 3.6 区間 I で定義された連続関数 f (x) が I で連続で，I o で C 2 級とする．c ∈ I で，f 0 (c) = 0 かつ

<
f 00 (c)
>
0 ならば，c は狭義

極大点
極小点
y
である．
この結果，経済学の用語では以下のように定義します．
定義 3.7 I, f は前定理と同様とする．f (x) の

最大化問題
最小化問題
については，
(i). f 0 (c) =
 0 を満たす点 c を，1 階の条件を満たす点，もしくは 1 階の必要条件を満たす点であるという．
<
(ii). f 00 (c)
0 を満たす点 c を，2 階の条件を満たす点，もしくは 2 階の十分条件を満たす点であると
>
いう．
y
注意: 1 階の条件と 2 階の条件は，英語の本でよく出てきます．それぞれ first order condtion second
order condition といいます．
(注意終)
最大値問題について，1 階の条件と 2 階の条件をともに満たす c が複数あれば，I の端点が存在すればその
値も含めて，最も大きいものが，最大値となります．
29
2016 年 12 月 19 日 version
2 階の条件を一応書きましたが，先にも書いたように，実は 2 年生のミクロ経済学で出てくる 1 変数関数
f (x) は，簡単な形になっています．つまり，f (x) の最大値を求めたいときは，f (x) が凹関数や狭義凹関数に
なっていて，最小値を求めたいときには，f (x) が凸関数や狭義凸関数になっていることがほとんどです．で
すから，2 階の条件を全然気にしないで「微分 = 0」で済ませていることがほとんどです．
練習 3.8 f (x) = x3 − 6x2 + 9x + 4 で，狭義の極大値をとる点 (狭義極大点) と，狭義の極小値をとる点 (狭
y
義極小点) が，1 つづつ存在します．それぞれ求めてください．
3.2 経済学への応用: 利潤最大化 (1)・・・売れ残り商品の値下げ
スーパーなどでは閉店間際に生鮮食料品を値下げすることはよく知っていますね．その理由は基本的には，
消費者への PR や廃棄ロスを押さえるためです．ここでは後者の廃棄ロスに注目しましょう．以下は小学校の
単位当たりの計算と文章問題，そして中身は中学高校で学んだものの応用問題になります．よく読んでみてく
ださい．
例題 3.9 閉店 1 時間前のあるスーパーで，ある牛肉が A(kg) 残っているとします．通常価格は p(円/kg) で
す．これを値下げして，価格を (1 − x)p 円 (ただし r は値下げ率で 0 ≤ x ≤ 1) にしたときには，1 時間の間
に牛肉が xA(kg) 売れることがわかっているとします．そして売れ残ったものは，全てごみとして廃棄するも
のとします．廃棄にかかる費用は 1kg あたり c 円とします．
上記の A, p, c は A > 0, 0 ≤ c < p で，スーパーにとって所与の値とします．このとき，
(i). このスーパーのこの牛肉による利潤を f (x) とします．これを A, c, p, x の式で表してください．
(ii). スーパーは x を動かすことによって，上記の利潤 f (x) を最大化するものと仮定します．式で書くと，
max f (x)
0≤x≤1
です．このとき利潤最大化する x の値 (x∗ とする) を求めなさい．
y
注意: (ii) では放物線での解き方もありますが，微分を学んだので，微分で解きます．
(注意終)
（解答）(i) 今の場合， 利潤＝収入 − 費用です．もう少し書くと
[単位当たり価格 (円/kg)] ＊ [売れた数量 (kg)] −[単位当たり廃棄費用 (円/kg)] ＊ [捨てた数量 (kg)]
ですから，これを式で表して，
f (x) = (1 − x)p · xA − c(A − xA)
(ii) 上の式を，x について整理すると，
f (x) = (1 − x)p · xA − c(A − xA) = A[px − px2 − c + cx)]
= A[−px2 + (p + c)x − c]
30
(3.1)
2016 年 12 月 19 日 version
となります．x に関する 2 次関数で，2 次の係数が −Ap < 0 なので狭義凹関数です．よって 1 階の条件を満
たす点が最大点です．
f 0 (x) = A [−2px + (p + c)] = 0
を解くと，
x∗ =
p+c
2p
(3.2)
です．0 < c < p なので，x∗ は定義域 0 ≤ x∗ ≤ 1 に含まれます．よって最適な値下げ率 x∗ は上記の式で表
されます．
（解答終）
0
∗
注意: 実際に f (x ) = 0 を解くときには，∗ マークをつけるのは面倒です．そこで実際に計算するならば，
方程式 f 0 (x) = 0 を解いて，解答だけ (3.2) 式の形で書くことがほとんどです．
(注意終)
この例題のポイントは主に 3 つあります．まず 1 つ目に，単位当たりの計算です．今回は 1kg あたりの価
格を，(円/kg) で書いています．/ は割り算ですが日本では，分数化する人が多いので，意味は
( )
円 という意味です．数字と単位を割り算し，p 円
1kg あたり p 円というのは， p1kg
kg
です．さてこの p(円/kg) の肉を q(kg) 買うと，支払額は pq 円となりますが，なぜ掛け算するのかというと，
それは
(
p
円
kg
)
(
· q (kg) = pq
円
kg
)
· kg
= pq(円)
と，単位の部分が約分されて円が残るからです．単位当たりの記号はこのように分数で表されていることに注
意してください．というのは，経済学では 1 人あたり GDP などをはじめとして，「単位当たり∼」という表
現がよくでてくるためです，
2 つ目のポイントは，問題に数字がほとんど出てくなくて文字ばかりという点です．このように数字ではな
くて文字式で考えるのは，最適な x∗ を求めた後に，既知の値 A, p, c を動かしてみて，どのようなときにどの
ようなことがいえるのかを解釈するためです．例えば以下のように考えられます．
(1) c = 0 の場合だと，x∗ = 0.5 です．つまり最適価格は値引き前の半額です．半額というのはスーパーでも
よくあることですね．上記のような場合で，単位当たり廃棄ロスが 0 のときは，「半額セール」を行うこ
とが最適となります．
(2) 逆に c が非常に p に近い場合は，x∗ は 1 に非常に近くなり，(1 − x∗ )p はほぼ 0 になります．つまり単位
当たり廃棄ロスが非常に大きい場合は，スーパーは大幅値下げをすることによって，いわゆる「持って行
け泥棒」という状態を作り出すことが最適となります．
問題を解く前に (2) はほとんど自明だったと思います．ですが，(1) は解いてみて初めてわかることです．
このように見えないものを見える化するということは，社会科学系の学問にとって重要なことです．特に日本
では見えないものに金を出してくれないことが多いものです．そこで簡単な数学によって見える化することに
よって，説得力をもつものができます．また今の問題から，何を既知とし，何を動かすことによって何を最大
化 (もしくは最小化) するかということの重要性もわかってほしいと思います．というのも，分析する事柄に
よって，何を既知とするか，何がコントロールできるものなのかが異なるためです (次節参照)．
最後のポイントはというと，微分です．とにかく微分の意味が理解できて，ある程度の計算ができれば，現
代経済学のいろいろな中級の理論はほぼ理解可能となります．
31
2016 年 12 月 19 日 version
3.3 経済学への応用: 利潤最大化 (2) 生産を含めたもの (ミクロ経済学の生産者理論・完全
競争市場を参考に)
前節では，売れ残ったものについての利潤最大化を考えました．次に経済学の最初に学ぶように，利潤を売
上と生産にかかる費用の差と考えて，その利潤最大化について，少しだけ考えてみよう．
例題 3.10
ある企業が，ある 1 つの財を生産して，それを売ることによって利潤を得ているとします．その
財はいろいろなライバル会社がとても多くて，市場価格は 1 単位当たり p 円となっていて，この企業では p は
動かせないとします．市場が大きいので，この企業が作ったとき，売れ残りはないと仮定します．さてこの企
業が利潤最大化をしたいと仮定します．
この企業が財を q 単位 (q は q ≥ 0 とします) 生産したときにかかる費用は，cq 2 円とします (c は c > 0 の
定数)．さてこの場合の最適生産量 q ∗ を c, p で表しなさい．
y
（解答）q 単位だけ生産したときの利潤 (円) を f (q) で表します．売上 − 費用だから
f (q) = pq − cq 2 = −cq 2 + pq
これは q に関する 2 次関数で 2 次項の係数が −c < 0 なので，f (q) は狭義凹関数．よって前節同様に 1 階の
条件
f 0 (q) = −2cq + p = 0
を満たすものが存在すれば，それが最大点となるので，上の方程式を解けば，
q=
つまり，q ∗ =
p
2c
p
2c
です．
3.4 経済学への応用: 収入最大化・・・ミクロ経済学の生産者理論の 1 生産要素・2 財モデ
ルを参考に
次の例題は，生産者理論での，1 生産要素 (今回は労働時間というか勉強時間)・2 財モデルの応用です．学
生さんの最適戦略を考える問題です．勉強時間を生産要素として，テストの点数を生産するモデルです．
例題 3.11
ある学生がいて，英語のテストまで残り 1 時間あるとします．英語はリスニングとリーディング
の 2 種類です．残り時間全て勉強します．リスニングとリーディングの配点が `, r で一定としましょう (`, r
とも正で既知とします)．この学生のとる点数を，比率で表すとします．この学生のテストでのリスニングと
リーディングの正解率をそれぞれ L, R とします (L, R とも 0 以上 1 以下) と，この学生は
`L + rR
を最大化したいということは明らかでしょう (例えば ` = 50, r = 50 ならばリスニングとリーディングの配点
が 50 点ずつの 100 点満点のテストということになります)．(簡単化のために) 勉強時間と正解率の関係が以
下が成り立つとき，最適勉強時間と，最適なときのそれぞれの正解率および英語の点数を，求めてください．
32
2016 年 12 月 19 日 version
(i). リスニング・リーディングの勉強時間と正解率の関係については，どちらの勉強についても，
t 時間 (t は 0 以上 1 以下) 勉強すること ⇐⇒ ちょうど正解率が t
が成り立っている場合
(ii). リスニング・リーディングの勉強時間と正解率の関係については，どちらの勉強についても，
t 時間 (t は 0 以上 1 以下) 勉強すること ⇐⇒ ちょうど正解率が
√
t
が成り立っている場合
y
（解答）
(i) について: リスニングを x 時間勉強し，リーディングを y 時間勉強したとき，それぞれの正解率も，x, y
となるので，英語の合計点は，
`x + ry
となります．これを最大化することです．よく，
max (`x + ry),
x≥0,y≥0
subject to
x+y =1
とか，
max `x + ry
x≥0,y≥0
s.t.
x+y =1
などと書きます．さて解き方ですが，今回は制約式 y = 1 − x を目的関数に代入して，x についての (制約な
しでの) 最大化問題として解くことにします．代入すると，
max `x + r(1 − x)
0≤x≤1
です．変形すれば，
max (` − r)x + r
0≤x≤1
と書くことができます．x についての 1 次式なので，微分を使わなくとも 1 次関数の性質から，x の係数 ` − r
の符号で以下のように場合分けして，簡単に答えが得られます．
(1)` > r の場合は，x = 1 のとき最大となります．このとき当然 y = 0 となります．つまり，勉強時間を全
てリスニングにつぎ込むことが最適です．このときの英語の点数は ` 点です．
(2)` < r の場合は，x = 0 のとき最大となります．(1) とは逆に，勉強時間を全てリーディングにつぎ込む
ことが最適となります．このときの英語の点数は r 点です．
(3)` = r の場合は，どんな x を入れても，`x + r(1 − x) は r となって一定です．よってどの x でも最適な
ので，結局リーディング・リスニングは合計 1 時間の勉強時間であれば，どんな場合でも最適です．このとき
の英語の点数は，` 点 (r 点とも言えます) です．
(ii) について: (i) と同様に書くと，
√
√
max ` x + r y,
x≥0,y≥0
33
s.t.
x+y =1
2016 年 12 月 19 日 version
となります．(i) と同様の方法で，制約式 y = 1 − x を目的関数に代入して最大化します．つまり
√
√
f (x) = ` x + r 1 − x
として，この f (x) を 0 ≤ x ≤ 1 の範囲で最大化するということになります．f (x) は閉区間 0 ≤ x ≤ 1 で連
続で，開区間 0 < x < 1 で微分可能です．そして端点については，計算すると簡単に f (0) = r, f (1) = ` が得
√
られます． x,
√
1 − x ともに狭義凹関数なので，その和の f (x) も狭義凹関数です (証明略)．よって 1 階の
条件を満たす x があれば，それが最大点となります．0 < x < 1 のとき，
r
1
1
`
=0
f 0 (x) = ` x−1/2 + r (1 − x)−1/2 (−1) = √ − √
2
2
2 x 2 1−x
を解くと，
⇐⇒
f 0 (x) = 0
`
r
√
= 2√1−x
2 x
2
`
⇐⇒
4x
2
⇐⇒ ` (1 − x)
⇐⇒ (`2 + r2 )x
⇐⇒
x
2
r
= 4(1−x)
2
=r x
= `2
2
= `2`+r2
この x は 0 < x < 1 を満たすので，これがリスニングの最適勉強時間となります．リーディングの最適勉強
2
時間は，1 からリスニングの勉強時間を引いて， `2r+r2 となります．
（解答終）
(i)(ii) ともに配点の `, r によって，最適勉強時間が変化することに注目してください．この例では，勉強時
間と点数の関係が，リスニング・リーディングともに同じような形になっています．よく見ると，配点が高い
方をよりたくさん勉強する方がよいということになっています．
それでも，(1) の場合ならば配点が高い方に全力投球し，低い方は完全に無視することが最適となります．
(2) はそこまで極端ではありません．例えばリスニング 3 割・リーディング 7 割という ` = 0.3, r = 0.7 とい
う配点だと，最適な勉強時間は小数第 3 位四捨五入で
x=
0.32
0.72
=
0.16,
y
=
= 0.84
0.32 + 0.72
0.32 + 0.72
という，16%:84% の比率になって，そのときの得点は小数第 3 位四捨五入で
√
√
0.3 x + 0.7 y = 0.76
と 100 点満点で 76 点となります．このように違いがでることが面白いですね．
また (2) では，√の微分が面倒だったと思います． 2 変数のままでの制約付き最大化問題 (効用最大化:ミク
ロ経済学の消費者理論への応用) を用いると，より簡単な計算で結果を得ることができます．「ちょっと学べば
楽できる」の典型的な例です．
3.5 指数関数と対数関数
a を非 1 の正数の定数とします．このとき，実数 x について，
ax
34
2016 年 12 月 19 日 version
を x の指数関数といいます．x が無理数の時は有理数の極限値として定義します．さて
y = 2x ,
y = 3x
のグラフを x = 0 の近辺で書いてみましょう (wxMaxima で書かせると wxplot2d([2^x,3^x],[x,-1,1]);
で Shift+Enter)
点 (0, 1) を通るので接線の傾きを書いてみましょう．y = 2x よりも y = 3x の方が傾きが急になっています．
実際前者の傾きは 1 より小 (0.7 弱) で，後者の傾きは 1 より大 (1.1 弱) です．よって，
ah − 1
=1
h→0
h
lim
となるような a は，2 と 3 の間にありそうです．で実際に
e = lim (1 + 1/n)n
n→∞
のみがこの条件を満たします (証明略)．つまり，
eh − 1
=1
h→0
h
lim
(3.3)
が成り立ちます．よって指数関数の中でも
f (x) = ex
が特別です．これ以降 2x や 3x も含めて，経済学でも ex 以外の指数関数は出てきません．重要な点は (3.3)
式から f 0 (x) = ex が成り立つことです．さらに f 00 (x) も f 000 (x) も ex となりますので，とても便利なもの
です．
ex が x の狭義凸関数になることは，グラフから明らかです．微分で確かめても，{ex }00 = ex > 0 から成り
立ちます．
一方対数関数は非 1 の正数 a と，実数 x, y(y > 0) で
ay = x ⇐⇒ y = loga (x)
35
2016 年 12 月 19 日 version
とします．つまり，指数関数の指数部分を，a と指数関数の値で表したものとなります．数学的には指数関数
ax の逆関数ということになります．a = 10 のときの log10 x を常用対数といい，a = e のときの loge x を自
然対数といいます．経済学では後者しか使いません．
自然対数の導関数については {ex }0 = ex から，{loge (x)}0 =
1
x
が得られます．y = loge (x) のグラフ
0.5 ≤ x ≤ 2 の範囲で wxMaxima で書いた図を示しておきます．(wxplot2d(log(x),[x,0.5,3]);)
先に loge (x) と書きましたが，底が e のときの自然対数は loge (x) とは書きません．カッコや e を省略して，
log x や ln x と書くことが多く，経済学では後者の書き方がほとんどです．
任意の正数 a(ただし a 6= 1) について，
a0 = 1
ですから，その a について以下がいえます．
loga 1 = 0
忘れる人が多いので，よく注意してください．
対数計算の計算は次のようになります．
例題 3.12
a は非 1 の正数とします．x, y は正とします．このとき以下を証明してください．
(i). loga (xy) = loga x + loga y
(ii). loga (x/y) = loga x − loga y ．特に loga (1/y) = − loga y
(iii). loga (xy ) = y loga x
(iv). a = eloge x
y
（解答）
(i) X = loga x, Y = loga y とします．それぞれ指数に戻して，
x = aX , y = aY
36
2016 年 12 月 19 日 version
それぞれ掛けて，
xy = aX+Y
対数の定義から，対数に直して，
loga (xy) = X + Y
= loga x + loga y
(ii) は (i) と同様にできます．
(iii) については，y = 0 のときは明らかです．y > 0 の場合は A = loga (xy ) とします．指数に戻すと
aA = xy
両辺 1/y 乗して，
aA/y = x
対数の定義より，
⇐⇒
A
y
= loga x
A = y loga x
から成り立ちます．y < 0 の場合は，
loga (xy )
(ii) より
= loga (1/x)−y
= −y loga (1/x)
= y loga x
(iv) a = eY とすると，Y = loge a．よって，a = eloge a ．
（解答終）
00
ln x は x について狭義凹関数です．{ln x} = −1/x < 0 から言えます．
2
3.6 3 日目の PC 実習
3.6.1 wxMaxima の場合
• p29 練習 3.5(1)
diff(-x^2+4*x,x); で Enter
solve(%,x); で Shift+Enter
• p29 練習 3.5(3) diff(sqrt(x)+sqrt(2-x),x); で Enter
solve(%,x); で Shift+Enter
後は，両辺を 2 乗して解けばよいのです．
• p30 練習 3.8 図を書いた後に，微分させます．
wxplot2d(x^3-6*x^2+9*x+4,[x,-5,5])$ で Enter
diff(x^3-6*x^2+9*x+4,x); で Enter
solve(%,x); で Shift+Enter
• 3.2 節の (ii) について．
diff(A*(-p*x^2+(p+c)*x-c),x); で Enter
solve(%,x); で Shift+Enter
37
2016 年 12 月 19 日 version
• 3.3 節について．
diff(p*q-c*q^2,q); で Enter
solve(%,q); で Shift+Enter
• 指数関数で y = 2x , y = ex , y = 3x のグラフ −1 ≤ x ≤ 1 の範囲で書きます．
wxplot2d([2^x,exp(x),3^x],[x,-1,1])$ で Shift+Enter
• limh→0
eh −1
h
= 1 を確かめます．
limit((exp(h)-1)/h,h,0); で Shift+Enter
• y = ln(x) のグラフを 0.5 ≤ x ≤ 1 で書かせます (コードは本文にあります)．
3.6.2 GeoGebra の場合
• p29 練習 3.5(1)
f(x)=derivative(−x2 + 4x) で Enter ボタン．
f (x) = 0 の解は式から明らかですが，root(f(x)) で Enter ボタンで，得られます．
• p29 練習 3.5(3) まず図を書かせましょう．
√
√
g(x) = x + 2 − x で Enter ボタン．図から最大点が 1 つのみありそうです．
g1(x)=derivative(g(x)) で Enter ボタン．
図からやはり g1(x) = 0 の解は 0 と 2 の間に 1 個のみありそうです．そこで近似解を求めると，
root(g1(x),0,2) で Enter ボタンですが，たまたま今回は厳密解です．
• p30 練習 3.8 図を書いた後に，微分させます．
h(x) = x3 − 6x2 + 9x + 4 で Enter ボタン．
h1(x)=derivative(h(x)) で Enter
h1(x) は 2 次関数なので，h1(x) = 0 の解は簡単に，root(h1(x)) で Enter ボタン
• 指数関数で y = 2x , y = ex , y = 3x のグラフを書きます．
(i). 2x で Enter ボタン．方法は，2 ボタン・ax ボタン・x ボタンの順でできます．
(ii). 3x で Enter ボタン．方法は 2x の場合と同じ．
(iii). ex で Enter ボタン．方法は，ex ボタンと x ボタンの順で．
• limh→0 e h−1 = 1 を確かめる．
( x
)
limit e x−1 , 0 で Enter ボタン．÷ ボタン・ex ボタン・< ボタン・> ボタンを駆使して入力します．
h
• ln(x) で Enter ボタン．方法は，ln ボタンと，x ボタン．
3.7 コラム: 準備の勧め
皆さんは，はじめて大東文化大学を受験するときに，全く何も調べずに入学したでしょうか．多くの人は
HP を見たりして少しは情報を収集したと思います．旅行するときに，旅行先について一切下調べをしない人
は，ごく少数でしょう．このことからわかるように，人生を楽しむためには，準備や下調べが重要です．
大学生として生きている時間のうち，講義が占める割合はかなり多いはずです．ですから，大学生活を楽し
むためには，やはり同様に準備や下調べをするべきでしょう．
とはいえそんなにみっちりやる必要はありません．旅行を例にすると，
38
2016 年 12 月 19 日 version
(i). 下調べする．
(ii). 実際に旅行する．
(iii). 帰ってきて写真などを整理したりして，旅行の思い出とする．
という感じです．そして時間と言う意味では，下調べはその他 2 つに比べて比重は少ないでしょう．大事なこ
とは思い出にして記憶に残すことです．
上を講義に置き換えてみると，多分以下のようになります．
(i). 予習などして準備する．
(ii). 講義を受ける．
(iii). 復習などして，記憶に残す．
大した手間ではないですが，ほとんどの人はやっていないと思います．
少しの手間で大きなリターンが得られますから，次年度から是非トライしてみてください．
39
2016 年 12 月 19 日 version
4 (4 日目) 2 変数関数のグラフと最大化・最小化
2 変数実数値関数とは，2 つの実数をインプットして，1 つの実数値をアウトプットする関数です．f (x, y)
のイメージ図は，
x
y
}
→ f (x, y)
です．1 変数同様，「実数値」という言葉は以下では省略します．
経済学でよく出てくる 2 変数関数は，α, β を正の定数として，x, y の定義域が x ≥ 0, y ≥ 0 の関数で
u(x, y) = xα y β
という関数 u です．u(x, y) = xy について，xyz 空間に z = u(x, y) を書いた 3 次元グラフが以下になります
(wxMaxima のコードで wxplot3d(x*y, [x,0,5], [y,0,5])$で Shift+Enter)．
α, β が 1 とは異なる正数でも，形としては似たようなものになります．
しかし 3 次元のグラフを手で書いたり，頭で理解することは非常に難しいです．そこで天気図の等圧線や，地
図の等高線のように，z = u(x, y) を平面 z = ū(ū は適当な数) で切って，u(x, y) = ū と 2 次元の図に落とし込
むことが重要になります．以下の図は u(x, y) = xy について，ū = 5, 10, 15, 20, 25 として，u(x, y) = ū でそれ
ぞれ xy 平面に等高線を書いたものになります (wxMaxima で contour_plot (x*y,[x,0,5],[y,0,5])$で
Shift+Enter)．
まずはこの等高線という感覚を身に着けてください．経済学の等高線は ū ↑⇐⇒ グラフ右上方向シフトのも
のばかりなので，簡単です．
練習 4.1 a, b は正の定数とします．このとき実数 x1 , x2 の 2 変数関数 u(x1 , x2 ) = ax1 + bx2 を考えます．1
つの x1 x2 平面上に，3 つの直線
40
2016 年 12 月 19 日 version
• ax1 + bx2 = 10
• ax1 + bx2 = 20
• ax1 + bx2 = 30
y
を書き込んでください．
4.1 2 変数関数の凹凸
1 変数の場合に，凸関数のイメージ図が
∪
で凹関数のイメージ図が
∩
であると述べました．2 変数の場合
も同様です．
左が f (x, y) = x2 + y 2 の 3 次元グラフで，f は凸関数です．右が g(x, y) = −x2 − y 2 の 3 次元グラフで，g
は凹関数です．
4.2 2 変数関数の偏微分と最大化・最小化問題
他の変数をあたかも定数とみて，1 つの変数だけで微分することを偏微分するといいます．u(x, y) を x で
偏微分したものは，
∂u
(x, y), ux (x, y), Dx u(x, y)
∂x
41
2016 年 12 月 19 日 version
などと書きます．一番左の ∂ は「ラウンド」と呼ぶことが多いです．1 変数関数の微分の記号 d と似ていま
す．よって ∂ のことも「ディー」と呼ぶ人も多いです．
u(x, y) = xy
については，
ux (x, y) = y,
uy (x, y) = x
(4.1)
となることは簡単ですね．これらを，u(x, y) の偏導関数といいます．
1 変数関数 f (x) について，f 00 (x) まで求めましたから，同様に 2 階の偏導関数を求めてみましょう．
• ux (x, y) を x で偏微分したものを，uxx (x, y) と書きます．
• ux (x, y) を y で偏微分したものを，uxy (x, y) と書きます．
• uy (x, y) を x で偏微分したものを，uyx (x, y) と書きます．
• uy (x, y) を y で偏微分したものを，uyy (x, y) と書きます．
この 4 つを，u(x, y) の 2 次偏導関数と言います．u(x, y) = xy の場合，(4.1) 式をもう一度偏微分して，以
下となります．
uxx (x, y) = 0, uyy (x, y) = 0, uxy (x, y) = uyx (x, y) = 1
(4.2)
偏導関数が連続関数となっているときは，以下のように書きます．
定義 4.2 開区間の積 Ix × Iy で定義された 2 変数関数 u(x, y) について，
(i). 偏導関数 ux (x, y), uy (x, y) が存在して，ともに定義域で連続関数のとき，u は C 1 級であるという．
(ii). 2 次偏導関数 uxx (x, y), uyy (x, y), uxy (x, y), uyx (x, y) が存在して，ともに定義域で連続関数のとき，u
は C 2 級であるという．
y
1 変数関数同様にあらかじめ凹 (resp. 凸) が解っていている場合の最大化問題 (resp. 最小化問題) は，「偏
微分=0」で簡単に終わります．まとめたものが以下の定理になります．
定理 4.3 開区間の積 Ix × Iy で定義された 2 変数関数 u(x, y) が C 1 級とする．
このとき，u(x, y) が

凹
凸
関数で，ux (x∗ , y ∗ ) = uy (x∗ , y ∗ ) = 0 を満たす (x∗ , y ∗ ) は，u(x, y) の

最大
最小
y
点．
よって 1 変数の場合と似たように，
「偏微分=0」の連立方程式の解のことを，1 階の必要条件または単に，1
階の条件といいます．
練習 4.4 以下の関数は定義域で凸関数であることが知られています．1 階の条件から，最小点を求めなさい．
(1).f (x, y) = x2 + 2x + y 2 ,
(2).f (x, y) = x4 + 3x2 y 2 + y 4 ,
2
(3).f (x, y) = ex y 2
y
42
2016 年 12 月 19 日 version
4.3 制約なしの場合の最小化・・・講義では軽く流します
この節の内容は，2 年次の経済データ分析や，3 年次の計量経済学 I で出てきます．そのとき思い出してく
ださい．
例題 4.5 n 個の定数 x1 , · · · , xn と n 個の定数 y1 , · · · , yn があって，x1 , · · · , xn の少なくとも 1 つは，他と
異なるとします (従って証明はしませんが n
∑
i=1
関数 S(a, b) が
S(a, b) =
x2i > (
∑
xi )2 がいえます)．このとき実数 a, b の 2 変数
i=1
n
∑
(yi − a − bxi )2
(4.3)
i=1
と与えられているとします．統計学ではこのときの S(a, b) を a, b について最小化したいことが起こります．
そこで S(a, b) を最小化する a, b を â, b̂ とし，1 階の条件から b̂ を xi , yi (i = 1, 2, · · · , n) で表しなさい．
y
（解答）各 i について，(yi − a − bxi )2 は (a, b) について凸関数なので，その和である S(a, b) も凸関数とな
ります．偏導関数
∂S(a,b) ∂S(a,b)
∂a ,
∂b
を求めると，それぞれ合成関数の微分から
∂S(a, b) ∑
=
2(yi − a − bxi )(−1)
∂a
i=1
(4.4)
∂S(a, b) ∑
=
2(yi − a − bxi )(−xi )
∂b
i=1
(4.5)
n
n
1 階の条件は，それぞれ = 0 と置いてその連立方程式を解くことです．上の 2 つの式を = 0 と置いてそれぞ
れ両辺を 2 で割って，命題 6.5 から和記号の中を分けて，
−
−
n
∑
xi yi +
(
n
∑
yi
i=1
( n
∑
+ na +
)
xi
i=1
a+
n
∑
i=1
( n
∑
i=1
)
xi
b=0
)
x2i
b=0
i=1
それぞれ第 1 項を右辺に移項して，
(
na +
(
n
∑
)
xi
a+
i=1
n
∑
i=1
( n
∑
i=1
)
xi
b=
)
x2i
b=
n
∑
i=1
n
∑
yi
(4.6)
xi yi
(4.7)
i=1
が成り立ちます．これらは a, b に関する 2 元 1 次連立方程式となっています．定理 1.8 より，
b=
n
∑n
∑n
∑n
xi yi − ( i=1 xi ) ( i=1 yi )
∑n
∑n
2
n i=1 x2i − ( i=1 xi )
i=1
43
(4.8)
2016 年 12 月 19 日 version
これが求めたい b̂ となります*4 ．
4.4 制約付き最大化・最小化の準備: グラフ u(x, y) = ū 上の点 (x∗ , y ∗ ) での接線の法線ベ
クトル
法線とは垂直という意味があります．以下で説明していきましょう．
xy 平面上で，ある点 P0 (x∗ , y ∗ ) を通る直線は，適当な実数 α で，
y = α(x − x∗ ) + y ∗
∗
(4.9)
(4.10)
x=x
のどちらかの形であらわされます．前者は，x が 1 進むと y が α 進みます．後者は x が変化しないで，y のみ
変化します．
平面上で，2 つの数字を以下のように縦に並べたもの
(
x の増分
y の増分
)
を，平面ベクトルといいます．例えば点 A(1, 2) と点 B(4, 8) があったとき，
−−−→
AB =
(
) ( )
4−1
3
=
8−2
6
です．上の数字を第 1 成分，下の数字を第 2 成分といいます．
これを用いて (4.9) 式と (4.10) 式の方向を表すベクトルを書くとそれぞれ，
( ) ( )
1
0
,
α
1
となります．これらは代表的なベクトルで，この b 倍とか −a 倍したもの (ただし b, a 6= 0) の
(
) ( )
b
0
,
αb
−a
(4.11)
なども，それぞれの方向ベクトルといえます．いろいろな数字があげられますが，わかりやすいものを選べば
よいのです．
さて 2 つの式で考えるのは面倒なので，適当な実数 a, b で
a(x − x∗ ) + b(y − y ∗ ) = 0
(4.12)
という形の直線を考えましょう．これならば (4.9) 式・(4.10) 式の 2 つを，1 つにまとめて表せます．実際
b 6= 0 ならば，この式は α = −a/b とした (4.9) 式の形になり，b = 0 のときは (4.10) 式の形になります．ど
ちらにしても，直線 (4.12) の方向ベクトルは，(4.11) 式から，
(
b
−a
*4
この b̂ については，x̄ =
∑n
i=1
xi /n, ȳ =
)
∑n
yi /n とおくと，
∑n
i=1 (xi − x̄)(yi − ȳ)
∑n
b̂ =
2
i=1 (xi − x̄)
i=1
と変形することができます．こちらの方が覚えやすい形をしています．
44
(4.13)
2016 年 12 月 19 日 version
と書けます．
次に 2 つのベクトルの垂直を考えてみましょう．xy 平面に
O(0, 0), A(1, 0), B(0, 1), C(2, 2), D(6, −6)
−−→
−−−→
−−−→
−−−→
を書くと，明らかに OA と OB は垂直ですし， OC と OD も垂直です．第 1 成分の積と第 2 成分の積
−−→
−−−→
の和をとると， OA と OB については
1·0+0·1=0
−−−→ −−−→
OC と OD については
2 · 6 + 2 · (−6) = 0
となります．このように，2 つの平面ベクトルが垂直であることと，成分の積和が 0 であることは同値となり
ます．
さて，直線 (4.12) について，その方向ベクトル (4.13) 式と垂直なベクトルのことを，法線ベクトルといい
ます．いくつか挙げられますが，最も簡単に書けるのは，
( )
a
b
(4.14)
です．なんと x の係数と y の係数そのものです．そこで数学では法線ベクトルで考えると楽になります*5 ．
経済学の直線の式では ax + by = M の形が多いですので，それについて書いておきましょう．
定理 4.6 xy 平面上の直線の式 ax + by = M の法線ベクトルと方向ベクトルはそれぞれ
( )
a
,
b
(
である．接線の傾きは，b 6= 0 のとき，
−
)
b
,
−a
a
b
y
この定理をよくみると，接線の傾きは法線ベクトルの真ん中に分数の棒を引いて，(−1) 倍した
−
法線ベクトル第 1 成分
法線ベクトル第 2 成分
です．だから法線ベクトルで考えると便利です．
それでは次に C 1 級の 2 変数関数 u(x, y) について，ある数 ū として xy 平面に，u(x, y) = ū のグラフを書
いたときの接線を考えましょう．
1 変数関数 f (x) がある x∗ で微分可能のとき，xy 平面上に接線は
y = f 0 (x∗ ) · (x − x∗ ) + f (x∗ )
と書けました．2 変数関数 u(x, y) についても，xyz 空間上で，z = u(x, y) に接する平面
z = ux (x∗ , y ∗ ) · (x − x∗ ) + uy (x∗ , y ∗ ) · (y − y ∗ ) + u(x∗ , y ∗ )
*5
ただし経済学の講義では法線ベクトルというあまり概念は出てきません．苦労して「傾き」だけで話を進めています．
45
2016 年 12 月 19 日 version
が書けます．今この平面の中で z = ū = u(x∗ , y ∗ ) だけを取り出すので，代入して，
ux (x∗ , y ∗ ) · (x − x∗ ) + uy (x∗ , y ∗ ) · (y − y ∗ ) = 0
が成り立ちます．これこそが xy 平面上の直線で u(x, y) = ū を xy 平面上に書いたグラフの接線です．この
形から定理 4.6 より以下が言えます．
定理 4.7 C 1 級の 2 変数関数 u(x, y) について，ある定数 ū について，xy 平面上にグラフ u(x, y) = ū を書
く．グラフ上の点 (x∗ , y ∗ ) での接線の法線ベクトルは以下である．
(
)
ux (x∗ , y ∗ )
uy (x∗ , y ∗ )
接線の傾きは，uy (x∗ , y ∗ ) 6= 0 のとき，
−
ux (x∗ , y ∗ )
uy (x∗ , y ∗ )
y
これが次節の (4.15) 式の導出につながるのです．
練習 4.8 u(x, y) = x2 y について，xy 平面上に u(x, y) = 9 を書く．そのグラフ上の点 (3, 1) における
y
u(x, y) = 9 の接線の法線ベクトルを求めなさい．
4.5 制約付き最大化 (1): 効用最大化・・・ミクロ経済学の消費者理論への応用
企業の理論では，利潤最大化や (費用は考えていない場合) の収入最大化などを仮定していました．消費者
の理論では，幸せを表す関数 (効用関数) を仮定して，消費者はそれを最大化するものと仮定します．ただし
無尽蔵にお金があるわけではないので，有り金を制約とします．
例題 4.9 第 1 財・第 2 財という 2 つの財があるとします．それぞれ x1 , x2 だけ消費した場合，Y さんの効用
関数を
u(x1 , x2 ) = x1 x2
とします．第 1 財の単位当たり価格は p1 ，第 2 財の単位当たり価格は p2 とします．今 Y さんは所得 M を
持っているとして，第 1 財と第 2 財に消費するとします．従って制約式は
p1 x1 + p2 x2 ≤ M
となります．このとき，Y さんの最適な消費の組み合わせを求めなさい．
y
（解答）
x1 x2 平面に，線分 p1 x1 + p2 x2 ≤ M を書きます．その線分の x1 軸との交点を A(M/p1 , 0)，その線分の
x2 軸との交点を B(0, M/p2 ) とします．制約式を満たす x1 , x2 の組み合わせは，グラフでの直角三角形 OAB
の内部と境界線です．
次に，練習 4.1 の 2 のようにして，u1 < u2 < · · · と考えて，そのグラフに u1 = u(x1 , x2 ), u2 = u(x1 , x2 ), · · ·
を書いていきましょう．するとある値 u∗ で，u∗ = u(x1 , x2 ) のグラフと，線分 p1 x1 + p2 x2 ≤ M が接しま
す．u∗ より大きい値だと，もう制約を満たすことはできませんから，この場合が最適となります．
制約式を g(x1 , x2 ) = p1 x1 + p2 x2 − M とします．最適な組み合わせを (x1 , x2 ) とすると，
46
2016 年 12 月 19 日 version
(i). グラフより 2 つのグラフの (x1 , x2 ) における接線の傾きが等しい (法線ベクトルの比が等しい) ので，
∂u
∂x1
∂u
∂x2
=
∂g
∂x1
∂g
∂x2
(4.15)
(ii). 制約が等式で成り立つので，
p1 x1 + p2 x2 = M
(4.16)
の 2 つの式を連立して解きます．(4.15) 式を計算すると
x2
x1
⇐⇒ p1 x1
= pp12
= p2 x2
と同値ですから，(4.16) 式と連立して解くと (今の場合ならばクラメールの公式よりも代入法が楽です)，最
適な x1 , x2 の値は
x1 =
M
,
2p1
x2 =
M
2p2
となります．
（解答終）
制約付き最大化問題の一般の形は面倒なのですが，経済学の入門で扱うのはこのように図で考えていき，最
後に，(4.15) 式・(4.15) 式のようにして，連立方程式を解く形に持っていくと簡単になります．
練習 4.10
上の例題の u(x1 , x2 ) の代わりに，
β
u(x1 , x2 ) = xα
1 x2
とします．ただし α, β は正の定数とします．これを最大化する (x1 , x2 ) は，ln(u(x1 , x2 )) を最大化する
β
(x1 , x2 ) と同じです．従って，v(x1 , x2 ) = ln(xα
1 x2 ) = α ln(x1 ) + β ln(x2 ) を p1 x1 + p2 x2 ≤ M とした制約
付き最大化問題を解きます．このときの最適な x1 , x2 の値は，
x1 =
α
M
,
(α + β) p1
x2 =
β
M
(α + β) p2
(4.17)
となることを示しなさい．
y
練習 4.11
y
例題 3.11 の (ii) の問題を，例題 4.9 の方法で解きなさい．
4.6 ラグランジュ乗数法・・・講義ではやらない．紹介のみ
定理 4.12
2 つの開区間 Ix × Iy ) で定義された 2 変数関数 f (x, y) と g(x, y) があり，f, g とも凹関数とする．
1
f, g とも C 級とする．このとき
max f (x.y),
x,y
s.t. g(x, y) ≥ 0
という制約付き最大化問題について，
L(x, y, λ) = f (x, y) + λg(x, y)
という関数 L(x, y, λ) を作ったときに，
47
2016 年 12 月 19 日 version
(i). Lx (x∗ , y ∗ , λ∗ ) = Ly (x∗ , y ∗ , λ∗ ) = 0
(ii). Lλ (x∗ , y ∗ , λ∗ ) = 0
(iii). λ∗ > 0
のすべてを満たす (x∗ , y ∗ , λ∗ ) が存在すれば，その (x∗ , y ∗ ) が制約付き最大化問題の解である．
練習 4.13
y
練習 4.8 の u(x, y) を対数化して，x > 0, y > 0 として，
s.t.p1 x + p2 y ≤ M
max(α ln x + β ln y),
x,y
を解きたい．(α ln x + β ln y)，(M − p1 x − p2 y) ともに定義域で凹関数である．
L(x, y, λ) = (α ln x + βlny) + λ(M − p1 x − p2 y)
として，ラグランジュ乗数法を用いて解くと，解が (4.17) 式と同様に，
x∗ =
α
M
,
(α + β) p1
y ∗=
β
M
(α + β) p2
y
となることを確かめてください．
4.7 4 日目の PC 実習
4.7.1 wxMaxima の場合
• 4.1 節の 2 つのグラフを，コマンド入力で書きます．
wxplot3d(x^2+y^2,[x,-5,5],[y,-5,5])$ で Shift+Enter
wxplot3d(-x^2-y^2,[x,-5,5],[y,-5,5])$ で Shift+Enter
• p42 練習 4.4(1) について．g(x, y) = fx (x, y), h(x, y) = fy (x, y) と定義して，g(x, y) = 0, h(x, y) = 0
となる (x, y) を求めます．
f(x,y):=x^2+2*x+y^2; で Enter
define(g(x,y),diff(f(x,y),x)); で Enter
define(h(x,y),diff(f(x,y),y)); で Enter
solve([g(x,y)=0,h(x,y)=0],[x,y]); で Shift+Enter
• p46 練習 4.8 について，g(x, y) = ux (x, y), h(x, y) = uy (x, y) とする．法線ベクトルの第 1 成分が
g(3, 1) で第 2 成分が h(3, 1) です．
u(x,y):=x^2*y; で Enter
define(g(x,y),diff(u(x,y),x)); で Enter
define(h(x,y),diff(u(x,y),y)); で Enter
g(3,1); で Enter
h(3,1); で Shift+Enter
• p47 練習 4.10 について．記号の簡単化のために，x = x1 , y = x2 , a = α, b = β として，wxMaxima で
解く．上と同様に g(x, y) = ux (x, y), h(x, y) = uy (x, y) とします．以下のコードで，最終行以外は行
末に Enter で，最終行を打ち込んだ後は Shift+Enter
48
2016 年 12 月 19 日 version
assume(a>0,b>0,M>0,p1>0,p2>0,x>0,y>0);
v(x,y):=a*log(x)+b*log(y);
define(g(x,y),diff(v(x,y),x));
define(h(x,y),diff(v(x,y),y));
solve([g(x,y)/h(x,y)=p1/p2,p1*x+p2*y=M],[x,y]);
4.7.2 GeoGebra 3D grapher と Math 42 の場合
GeoGebra 3D grapher は，2016/12/19 現在 Android のみ DL 可能です．また GeoGebra は，微分は x に
ついてしかできないので，Math42 というソフトを用います．iphone,android ともに DL 可能です．
• 4.1 節の 2 つのグラフを，3D grapher で書きます．
x2 + y 2 で Enter ボタン
−x2 − y 2 で Enter ボタン
• p42 練習 4.4(1) について．Math 42 を利用して求めます．g(x, y) = fx (x, y), h(x, y) = fy (x, y) と定
義して，g(x, y) = 0, h(x, y) = 0 となる (x, y) を求めます．
(i). x2 + 2 ∗ x + y 2 と入力して，Unknown を x として，Show Approaches ボタンを押し，Differentiate
ボタンを押します．
(ii). x で微分したものが出てきます．メモしておきます．
(iii). (1) で入力した横に，鉛筆マークがありますから，それを押します．
(iv). Unknown を y として，Show Approaches ボタンを押し，Differentiate ボタンを押します．
(v). y で微分したものが出てきます．メモしておきます．
(vi). メモした 2 つの式をともに 0 と置いた x, y の連立方程式は，簡単に解けます．
• p46 練習 4.8 について，g(x, y) = ux (x, y), h(x, y) = uy (x, y) とすると，法線ベクトルの第 1 成分が
g(3, 1) で第 2 成分が h(3, 1) です．
(i). x2 y と入力して，Unknown を x として，Show Approaches ボタンを押し，Differentiate ボタン
を押します．
(ii). x で微分したものが出てきます．それに x = 3, y = 1 を代入したものが法線ベクトルの第 1 成分
です．
(iii). (1) で入力した横に，鉛筆マークがありますから，それを押します．
(iv). Unknown を y として，Show Approaches ボタンを押し，Differentiate ボタンを押します．
(v). y で微分したものが出てきます．それに x = 3, y = 1 を代入したものが法線ベクトルの第 2 成分
です．
• p47 練習 4.10 について．記号の簡単化のために，x = x1 , y = x2 , a = α, b = β, p = p1 , q = p2 , m = M
として，Math 42 で解きます．上と同様に g(x, y) = vx (x, y), h(x, y) = vy (x, y) とします．
(1) aln(x) + bln(y) と入力します．a，ln ボタン，x，→ボタン，b,ln ボタン，y の順の入力です．
(2) Unknowns に x をチェックして Show Approaches ボタン，Differentiate ボタンの順に押し
ます．
(3) aln(x) + bln(y) を x で微分したものが出てきますから，メモしておきます．
49
2016 年 12 月 19 日 version
(4) (1) で入力した横に，鉛筆マークがありますから，それを押します．
(5) Unknowns に y をチェックして Show Approaches ボタン，Differentiate ボタンの順に押し
ます．
(6) aln(x) + bln(y) を y で微分したものが出てきますから，メモしておきます．
(7) (1) で入力したうえに＋ボタンがありますから，それを押します．
(3) の式
(8) ÷ ボタンを使って，
= pq の形になるように書いて，Enter ボタンを押します．
(6) の式
(9) px + qy = m と書きます．
(10) Unknowns は x になっているでしょう．そこでそのまま数式入力画面を指で触り，少し上にスワ
イプすると，Show Approaches ボタンが出てくるので押して，その後 Solve ボタンを押します．
(11) すると求める答えが出てくることでしょう．
4.8 コラム: 習うより慣れよ
よく聞く言葉ですが，20 世紀最大の数学者の一人であるフォン・ノイマンも，
「数学は理解するようなものではない．ひたすら慣れるのみ．」
という意味の言葉を残しているそうです．
私も，理解したい考え方や定理があれば，まずは流し読みでもいいので最低 10 回以上 (普通は 30 回程度)
読んで，そして読まないで頭の中で 50 回以上は繰り返します．他人の考えなど，1 回読んで全てが分かるこ
とはほとんどありませんから．
数学だけではなくて例えば私は，自転車乗り・スケート・スキー・キャッチボール投げの 4 つとも全てでき
ますが，やはり 100 回くらいは転んだり失敗したかと思います．リンゴの皮むきも，今は簡単にできますが，
最初はやはり全然だめでした．1 度も転ばずないで，歩くことができるようになった人間もいません．何事で
も 1 回で上手にできることは，ほとんどないと思います．
さて数学に戻りますが，分量にもよりますが，定理 1 つなら，時間としては 1 回 3 秒∼5 秒で終わらすもの
がせいぜいです．3 秒を 50 回繰り返しても，3 分かかりませんから，大した手間はかかりません．数学に限ら
ず，頭を 50 回使うことを習慣づけると，なぜか他人から頭がいいという扱いを受けやすいです．他人の評価
などどうでもいいですが，やはり人生ちょっと得しますから，お勧めです．
また，(私もそうですが) ゲーム好きなら，ゲームを攻略する気分でやると，楽しくできますよ．
50
2016 年 12 月 19 日 version
5 (5 日目午前) 経済学への応用例: 4 日目の続き
5.1 制約付き最大化 (2) 1 生産要素 2 変数モデルと比較優位
次の例は 2 人の生産性の話ですが，国際貿易をはじめとして，よく出てくる例です．
例題 5.1 従業員の Y さんと Z さんの 2 人からなる英語会社があるとします．翻訳部門と英語のテープ起こ
しの 2 種類をメインに事業を行っています．Y さんの生産性が，以下のように Z さんより非常に高いものと
します．
(i). Y さんは 8 時間で 10000 字翻訳できて，8 時間で 5000 字テープ起こしできます．時間を分ければ線形
関係になっているとします．8 時間を両方に適切に割り振ると，翻訳字数 x1 ，テープ起こし字数 x2 と
すると，x1 /10000 + x2 /5000 ≤ 1 です．
(ii). 同様に，Z さんが 8 時間でできる作業の組み合わせは，翻訳字数 x1 ，テープ起こし字数 x2 とすると，
x1 /2000 + x2 /400 ≤ 1 です．
さてこの企業では翻訳 1 字あたり p1 円，テープ起こし 1 字あたり p2 円で仕事を請け負っているとします (簡
単化のため 1/5 < p1 /p2 < 1/2 としますし p1 > 0, p2 > 0)．仕事は十分あると考えたときに，Y さんと Z
さんにどのように仕事を割り振ればよいでしょうか？．簡単化のために 2 人に払う賃金は考えないものとし
y
ます．
（解答）最適化という意味から，2 人の生産能力を制約として，収入最大化を考えます．8 時間で翻訳できる
字数を x1 字，テープ起こしできる字数を x2 字とします．まずはこのとき 2 人力を合わせてできる生産可能
な集合を x1 x2 上に書きます．それは原点 O ，A(12000, 0)，C(0, 5400)，B(2000, 5000) をとったときに，四
角形 OABC の内部と境界線です．
四角形 OABC の内部と境界線を表す集合を S として，これを制約として，収入最大化を目指します．かっ
こよく書くと
max
(x1 ,x2 )∈S
p1 x1 + p2 x2
となります．ではグラフで示しましょう．
収入を表す関数を u(x1 , x2 ) = p1 x1 + p2 x2 として，u1 < u2 < · · · < というような感じで値 u1 , u2 , · · · を
考えたとき，x1 x2 平面上で書いた p1 x1 + p2 x2 = u1 , p1 x1 + p2 x2 = u2 , · · · という直線は，u1 < u2 < · · ·
としていくと，練習 4.1 と同様にして，右上の方にシフトしていきます．仮定 1/5 < p1 /p2 < 1/2 なので，シ
フトしていくと，B 点で四角形 OABC と交わった後は，それ以上右上シフトしていくと，四角形とは交わり
ません．従って B 点のときが最適となります．B 点の座標をよく見ることによって，
Y さんは全てテープ起こしのみを行い (x1 = 0, x2 = 5000)，Z さんは翻訳のみを行う (x1 = 2000, x2 = 0)
ことが最適となります．
（解答終）
Y, Z さんのように生産性がともに Y さんの方が大きいような状況は，学校でも社会でもよくおこります．
絶対量では Y さんの方が生産的ですが，相対的に見た場合，Z さんは Y さんよりテープ起こしが得意という
ことになって，今の価格比の場合では，完全分業することが最適ということになります．
51
2016 年 12 月 19 日 version
ところでこのように絶対的に Y さんの方が生産性が大きいときには，Z さんが悪く言われたり，あるいは
いじめられたりすることも，残念ながらありがちです．しかしそれは大きな間違いとなっていることを，この
例題が示しています．適材適所ということを理論的にきちんと説明できる経済学というものは，人にやさしい
学問だと思います．みなさんもこの例題の意味をじっくりとよく考えてみてください．
5.2 じゃんけんの最適戦略: ミクロ経済学・ゲーム理論への応用
じゃんけんをするときに，相手がグーばかりを出してくることを知っていれば，当然こちらはパーを出すこ
とが最適となります．実際はそのようなことはなかなかありません．
またじゃんけんに勝つといっても，何を出して勝ったかで報酬が異なることがあります．私がこどものころ
は，30 段くらいある石段があって，２人でじゃんけんをして，
• グーで勝ったら「グリコ」といって３段上る．
• チョキで勝ったら「チョコレート」といって５段上る．
• パーで勝ったら「パイナップル」といって６段上る．
という遊びをよくやったものです．
例題 5.2 Y さん,Z さんの 2 人がいて，2 人で 1 回だけじゃんけんをします．勝った方は別の C さんからお
金をもらえるとします．負けたり引き分けたりした場合は，何ももらえません．もらえるお金は
• グーで勝ったら 3 円
• チョキで勝ったら 5 円
• パーで勝ったら 6 円
とします．さて Z さんはグーチョキパーを確率的に出すとします．つまりグー・チョキ・パーを出す確率がそ
れぞれ q1 , q2 , q3 (全て 0 以上で q1 + q2 + q3 = 1) で，その値は既知とします．このとき Y さんは期待利得を
y
最大化したいとします．さてそのための最適戦略は何でしょうか．
（解答）Y さんがグー・チョキ・パーを出す確率を p1 , p2 , p3 とします．問題は
max
p1 ≥0,p2 ≥0,p3 ≥0
3q2 p1 + 5q3 p2 + 6q1 p3 ,
s.t.
p1 + p2 + p3 = 1
(5.1)
で表されます．p3 = 1 − p1 − p2 としますと，問題は
max
p1 ≥0,p2 ≥0
(3q2 − 6q1 )p1 + (5q3 − 6q1 )p2 + 6q1 ,
s.t.
p1 + p2 ≤ 1
(5.2)
となって，2 変数の制約付き最大化問題となります．さて，(5.1) 式と (5.2) 式のどちらの方が解きやすいか
というと，今回は 3 変数のままの (5.1) 式が解きやすいのです．ポイントは目的関数が p1 , p2 , p3 の線形結合
となっていて，かつ係数 3q2 , 5q3 , 6q3 が全て 0 以上という点にあります．この 3 つの値の中で最も大きい数
をみつけて，それに集中するという考え方でいいのです．たとえば，3 つの値の中で 3q2 が他の 2 つよりも
大きいならば，そのときは p1 = 1 が最適となるのです．ですから以下 (i)(ii)(iii) は簡単です．(iv) 以降は
3q2 , 5q3 , 6q3 のうち，最も大きい場合が 2 個以上ある場合です．
(i). 3q2 > max(5q3 , 6q1 ) の場合，p1 = 1, p2 = 0, p3 = 0 が最適．
(ii). 5q3 > max(3q2 , 6q1 ) の場合，p1 = 0, p2 = 1, p3 = 0 が最適．
52
2016 年 12 月 19 日 version
(iii). 6q1 > max(3q2 , 5q3 ) の場合，p1 = 0, p2 = 0, p3 = 1 が最適．
(iv). 3q2 = 5q3 > 6q1 の場合，p1 + p2 = 1, p3 = 0 を満たす全ての組み合わせが最適．
(v). 5q3 = 6q1 > 3q2 の場合，p2 + p3 = 1, p1 = 0 を満たす全ての組み合わせが最適．
(vi). 6q1 = 3q2 > 5q3 の場合，p3 + p1 = 1, p2 = 0 を満たす全ての組み合わせが最適．
(vii). 3q2 = 5q3 = 6q1 の場合 (つまり q1 = 5/21, q2 = 10/21, q3 = 2/7 の場合)，p1 + p2 + p3 = 1 を満たす
全ての組み合わせが最適．
問題によっては，この問題のように次元を落とさない方が楽な場合があります．機械的に次元を下げること
はしないでおきましょう．また，ゲーム理論で利得表というものが出てきます．今の場合の利得表を簡単に書
くと
Y さん \Z さん
グー
チョキ
パー
グー
0,0
3,0
0,6
チョキ
0,3
0,0
5,0
パー
6,0
0,5
0,0
と書けます．ゲーム理論を学んだ時に思い出してください．
また上の場合分けでの (vii) の場合の 3q2 = 5q3 = 6q1 の場合 (つまり q1 = 5/21, q2 = 10/21, q3 = 2/21)
については，p1 , p2 , p3 がどんな組み合わせでも最適となることを示しました．この場合からさらに，混合戦
略ナッシュ均衡の話へとつながっていきます．それもゲーム理論を学んだ時に思い出してください．
6 (5 日目午後) 経済学への応用例: 数列の応用を Excel を使いながら
等差数列や等比数列やそれらの和などを勉強してきたことでしょう．そこで，経済学への応用を 3 つほど考
えてみましょう．Excel の関数などはこのレジュメには書きません．講義を受けながらシートに書き込んでく
ださい．
6.1 数列の極限値の四則
次の定理は直感的に明らかです．証明はすこし込み入っているので，省略します．
定理 6.1 数列 an と bn がそれぞれ極限値
lim an = α,
n→∞
lim bn = β,
n→∞
を持つとき，
(i).
(ii).
(iii).
lim (an + bn ) = α + β
n→∞
lim pan = pα (ただし p は実数の定数)
n→∞
lim (an bn ) = αβ
an
α
(iv). lim
= (ただし β 6= 0)
n→∞ bn
β
n→∞
y
53
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次の定理は，実数の公理 (xvii) からいえます．詳しくは省略します．
1
=0
n
(ii). |r| < 1 のとき， lim rn = 0
定理 6.2
(i).
lim
n→∞
n→∞
y
練習 6.3 次の数列の極限値をそれぞれ求めなさい．
(1)
6
100
5/n
+ 0.5n , (2)1 −
(3)
,
n
n
4/n + 3
y
6.2 和記号と級数
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 と書くのはかなり面倒です．和は summuation であり，頭文字 S の
ギリシャ文字 Σ を用いて，整数 n の数列 an に関して，n = a から n = b までの和を
b
∑
an
n=a
で表します．当然
10
∑
n = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55
n=1
が成り立ちます．変数は n でなく，k や m を用いることもあります．
10
∑
k=1
k,
10
∑
m,
m=1
としても，同じく 55 となります．
次に初項 a0 = 1 での等比数列 ak = rk の k = 0 から n までの和は，

 1 − rn+1
k
r =
1−r

n+1
k=0
n
∑
(if r 6= 1)
(6.1)
(if r = 1)
であらわされます．数列 {ak }∞
k=0 が与えられて，n → ∞ のときの
n
∑
ak を級数と言い，
k=0
∞
∑
ak
k=0
で表します．ak によって収束する場合としない場合とありますが，皆さんが習うようなものでは，前者のみ
取り扱います．この表記を用いて，(6.1) 式について |r| < 1 のとき，n → ∞ の極限を考えると，定理 6.1・
定理 6.1 より，
定理 6.4 |r| < 1 のとき，
∞
∑
rk =
k=0
1
1−r
(6.2)
y
54
2016 年 12 月 19 日 version
が得られます．これはパラメータ r の幾何級数とも言います．いろいろな級数がありますが，経済学ではこ
れが有用です (6.5 節参照)．
また幾何級数ではないですが，高校の教科書には和記号を用いて，以下のような 3 次式までの和の公式
n
∑
k=1
n
∑
1=n
k=
k=1
n
∑
k=1
n
∑
n(n + 1)
2
k2 =
n(n + 1)(2n + 1)
6
k3 =
n2 (n + 1)2
4
k=1
が載っていますので，興味があればなぜそうなるかを復習してみてください．
また足し算ですから，以下が簡単にいえます．
∞
命題 6.5 2 つの数列 {ak }∞
k=0 , {bk }k=1 があるとき，実数 a, b について
n
∑
(aak + bbk ) = a
k=1
n
∑
k=1
ak + b
n
∑
bk
k=1
y
練習 6.6 次の値を求めなさい．
(1)
n
∑
(4 + 2k), (2)
k=1
n
∑
k=0
3k , (3)
∞
∑
1
10k
k=0
y
6.3 ローンの返済
学生では実感はあまりないでしょうが，社会に出ると住宅ローン・融資・返済など，いろいろな場面で金融
というものが身近になります．融資や返済計画を立てなければいけません．
例題 6.7 以下の A, r, T, d は正とします．銀行から 0 期に A 円借りて，各期の利子率は r で一定として，第
1 期から T 期まで一定金額 (d 円) を，それぞれの期首に返済する計画を交わしました．さてこの d を，A, r, T
y
で表してください．
（解答）数列 an は，n 期 (n ≥ 1) の最初に d だけ返済し，その後に残っている債務とします．期首返却で式
を立てると，以下の 3 式が成り立ちます．
a0 = A
(6.3)
aT = 0
(6.4)
an = (1 + r)an−1 − d
55
(n = 1, 2, · · · , T )
(6.5)
2016 年 12 月 19 日 version
(6.5) 式の形から，ある数 α を
α = (1 + r)α − d
(6.6)
とします．これを解いて α = d/r ．さて (6.5) 式から (6.6) 式を両辺引いて
an − α = (1 + r)(an−1 − α)
(6.7)
が n ≥ 1 で得られます．これを順々に考えていくと，
an − α = (1 + r)(an−1 − α)
= (1 + r)2 (an−2 − α)
= (1 + r)3 (an−3 − α)
= ···
= (1 + r)n−1 (a1 − α)
= (1 + r)n (a0 − α)
すなわち
an − α = (1 + r)n (a0 − α)
この式に n = T を代入すると (6.3) 式・(6.4) 式より，0 − α = (1 + r)T (A − α)
最後にこの式に α = d/r を代入して，d の式にすると，
d=
rA
1−
1
(1+r)T
(6.8)
（解答終）
この (6.8) 式は，Excel の期首返却の PMT 関数の値そのものとなります．Excel2010 では，
=PMT(r の値,T の値,A の値,0,1)
で −d の値 (返済なので負の数となります) が得られます．
6.4 割引現在価値
例題 6.8 ある学生は
1 月後に 10 万円もらうことと，今すぐに 9 万円もらうことが同じ幸せ
という価値観を持っています．この学生は仕送りを月に 10 万円ずつもらっていましたが，大学 2 年の 4 月 1
日に，残り 3 年分 (36 か月分) を一括でもらうことになりました．その金額は一括で 180 万でした．学生は
360 万円の半額なので，額が少なすぎると学生は不平を言っていました．さてこれについて，学生が不平を漏
らすことは正しいでしょうか．経済学的に説明してください．なおインフレ率はないものと仮定します．
y
（解答）T = 36, A = 10, d = 0.9 とします．大学 2 年の 4 月 1 日から，大学 4 年の 3 月 1 日まで，月の初め
に 10 万円ずつ 36 か月もらった場合，その総額の，大学 2 年の 4 月 1 日時点での割引現在価値は，
A + Ad + Ad2 + · · · + AdT −1 = A(1 + d + d2 + · · · + dT −1 )
(6.1) 式より = A ·
56
1 − dT
1−d
(6.9)
(6.10)
2016 年 12 月 19 日 version
となります (単位は万円)．数値計算すると 0.936 ; 0.0225 なので
10
1 − 0.936
1 − 0.0225
; 10
; 97.75
1 − 0.9
0.1
計算から，この割引現在価値は約 97.75 万円となります．これは 180 万円より少ないですから，学生は感謝す
べきでして，不平を言うことは不当といえます．
（解答終）
自己破産や過重借り入れなど，金融関係で失敗する人は多いです．それは，このような錯覚があるからで
す．逆に言えば，そのような錯覚を利用して合法的に儲けることができる人がいるということです．
金融に興味のある人は，単純な四則演算だけでなく数学も重要なことは，以上のことからもわかるでしょう．
6.5 不動産投資や配当と数列
例題 6.9 ある Y 社の株式を購入するかどうかを迷っている人がいます．Y 社の株の配当は，購入後 1 年後
から，1 年ごとに毎年あたり d 円もらえると仮定します．インフレ率は r とします．このとき，株価がいくら
y
だったらこの株式を購入すればよいでしょうか？
（解答）
インフレ率を考慮して配当を現在価値に直すと，
)k
∞ (
d
d
d ∑
1
d
+
+ ··· +
+ ··· =
1 + r (1 + r)2
(1 + r)n
1+r
1+r
k=0
d
1
(6.2) 式より =
1
1 + r 1 − 1+r
=
d
r
従って株価がこの値以下であれば，購入すればよいことがわかります．
6.4 節と 6.5 節の内容は，金融関係のゼミに入る人は，必須の知識です．よく復習しておいてください．
6.6 年利・半年複利・3 か月複利・1 か月複利などと，e の関係
e は経済数学のテキストや，高校 3 年生の教科書で
(
e = lim
n→∞
と定義されます．これは n ≥ 1 の数列
en =
1+
1
n
)n
)n
(
1
1+
n
とすると，en ≤ en+1 と en ≤ 3 です (証明は面倒なので省略)．よって上に有界な単調増加数列なので，実数
の公理 (xvii) より，en は収束するので，その収束値を e と定義したわけです．小数第 3 位で四捨五入すると，
約 2.72 です．これを用いて複利計算との関係を調べましょう．
57
2016 年 12 月 19 日 version
例題 6.10
仮に年利 r の銀行があるとします．つまり 1 年預金したら預金額が (1 + r) 倍になるということ
です．
• この銀行がサービスをしてくれて，半年複利で半年の利子率が r/2 としてくれたとします．すると，1
年預金したら
(
1+
r )2
2
倍になります．
• さらにサービスして，3 か月複利でも利子率 r/4 としてくれたとしますすると 1 年預金したら，
(
1+
r )4
4
倍になります．
• さらにサービスして，1 か月複利でも利子率 r/12 としてくれたとしますすると 1 年預金したら，
(
1+
r )12
12
倍になります．
では無限にサービスをしてくれたとします．すると 1 年預金した場合
(
lim
n→∞
1+
r )n
n
y
倍となります．この値はいくつでしょうか?
(
（解答） lim
n→∞
1+
1
n
)n
= e を思い出して，
(
lim
n→∞
1+
r )n
= er
n
（解答終）
r
金融機関が複利計算に関してどれだけサービスしてくれても，1 年後の預金額 e より大きい値にはならな
いということになります．
58
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6.7 コラム: 教えることの勧めと，幸せについて
このレジュメも最後になりました．無償で 15 時間も講義をするのは，大東文化大学経済学部の知的レベル
を上昇させたい一心からです．今まで，数学でつまずいて経済学が嫌いになる学生を多く見かけたので，「そ
のような人が一人でも少なくなるように」と願ってやってきました．これで 3 年目になります．
分量は 60 ページほどもありますし，またコラムでも書いたように，他人の考えを一発でわかるわけありま
せん．ミクロ経済学やマクロ経済学をはじめとして，勉強してきたときに
あ∼こんなことを，春休みにやったな∼
と思い出して下さい．そして次に，周囲で理解できなかった学生に教えてみてください．教えることにより飛
躍的に理解が高まります．皆さんの理解が深まれば，皆さんも幸せになりますが，その学友も幸せになりま
す．標語的に言うと
もらう喜びばかりでなく，与える喜びも！
というところですね．皆さんがこれができるようになると，大学生活が楽しくなりますし，ひいては大東文化
大学経済学部全体や，皆さんの家族・友人・保護者などの関係者も幸せになるわけです．
経済学では，外部効果とか外部経済という言葉でこのような動きが説明されます．是非これからも，楽しく
学び，人に教えたり教わったりしながら，幸せな学生生活を送ってください．
59