プリント

経営経済の基礎数学 I 第 11 回（2012/06/19）
：1 変数関数の微分と利潤最大化２周目『経
出る』第 5 章
Key Words：積の公式，独占企業と価格支配力，競争企業とプライス・テイカー
数学ウオーミングアップ：早く来た人は時間つぶしにどうぞ ♥
1
問1
左右の対応する式を線でつなぎなさい．
x·x
◦
◦ x2
x3 · x2
◦
◦ x5
◦
◦ x6
x3 · x4
◦
◦ x7
x3 ÷ x2
◦
◦ x
◦
◦ 1
(
x3
)2
x3 ·
1
x3
ロードマップ
回数
月・日
数学の内容
経済学では
第 11 回 （今回）
6.19
y = f (x)g(x) の微分 独占：R(x) = P (x) · x 弾力性（発展なのでやらない）
第 12 回
6.26
y=
f (x)
の微分
g(x)
平均費用：AC =
第 13 回
7.03
y=
f (x)
の増減
g(x)
平均費用の最小化：効率的生産規模
第 14 回
7.10
応用問題
第 15 回
7.24
過去問で総復習
第 16 回
7.31
期末試験
C(x)
x
効用最大化・異時点間の最適消費『経出る』例題 7.5
7.17（火）は月曜日授業日なので注意 ♥
専門科目の期末試験の日程は例年 7.11（水）以降に発表．なので↑はあくまでも「たぶん」な日程．
教養教育の期末試験についてはケースバイケースなので，
「いたた」ってならないように要注意！
1
ロードマップ
2
これまで：あたりまえ ♥ の微分公式と 1 階の条件
2.1
あたりまえ ♥ の微分公式
(
1.
(
3.
xn
)0
axn
(
= nxn−1
)0
2.
( )0
= a xn = anxn−1
(
4.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ↓ 勇気が
(
5.
x
)0
(
7.
bx
(
9.
c
)0
)0
6.
(
= b （b は係数）
8.
(
= 0（c は定数）
10.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ↓ 暗黙の了解
11.
(
)0
f (x) + g(x) = f 0 (x) + g 0 (x)
12.
(
)0
f (x) − g(x) = f 0 (x) − g 0 (x)
13.
(
)0
k · f (x) = k · f 0 (x)
)0
−axn
= −nxn−1
)0
( )0
= −a xn = −anxn−1
要るかも ↓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(
=1
−xn
−x
)0
−bx
−c
= −1
)0
)0
= −b （ − b は係数）
= 0（ − c は定数）
(*｀͡´)ゞ ↓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
これから：あたりまえでない ♥ 微分公式と 1 階の条件
2.2
14.
15.
あたりまえでない ♥ 微分公式
(
)0
f (x)g(x) = f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x)
)0
(
f 0 (x)g(x) − f (x)g 0 (x)
f (x)
=
(
)2
g(x)
g(x)
2
微分公式と 1 階の条件
3
3.1
差の公式と利潤最大化の 1 階条件
利潤
= 収入 − 費用
−→
(
)0
f (x) − g(x) = f 0 (x) − g 0 (x) ：差の公式
命題 1 (『経出る』 命題 5.10：利潤最大化の 1 階条件)
関数 f (x) = R(x) − C(x) が x = x∗ で最適生産量となるならば，
R0 (x∗ ) =
∗
M R(x ) =
C 0 (x∗ )
∗
M C(x )
(1)
(2)
となる．ここで M R(x) は限界収入 (Marginal Revenue)，M C(x) は限界費用 (Marginal Cost) と呼ぶ経済
学用語．
証明
最適化の 1 階の条件は：
0
=
f 0 (x) = R0 (x) − C 0 (x)
なので，x∗ が最適生産量なら R0 (x∗ ) = C 0 (x∗ ) となる．
終
3
3.2
競争企業と差の公式
命題 2 (『経出る』 命題 5.11：プライス・テイカーの仮定の下での利潤最大化の 1 階条件)
関数 f (x) = px − C(x) が x = x∗ で最適生産量となるならば，
C 0 (x∗ )
p =
∗
p =
証明
M C(x )
(3)
(4)
最適化の 1 階の条件は：
0
=
( )0
f 0 (x) = px − C 0 (x) = p − C 0 (x)
なので，x∗ が最適生産量なら p = C 0 (x∗ ) となる．
終
例題 1
『経出る』例題 5.7
X 財を生産するある企業の費用関数が，
C(x) = x3
〔x：X 財の生産量〕
で示されるとする．この企業はプライス・テイカーであるとする．市場においてこの財の価格が p = 300
であるとき，この企業は生産量をいくらにするか．
解答
限界費用は M C(x) = C 0 (x) = 3x2 なので，1 階の条件 (2) から：
300 =
x2
3x2
= 100
x = ±10.
x ≥ 0 なので，x = 10 が生産量となる．
終
4
3.3
独占企業と積の公式
『経出る』 練習問題 5.6
例題 2
ある企業がある財を独占的に市場に供給している．この企業の費用関数を
C(x) = x2
とする．また逆需要関数a を
P (x) = 12 − 2x
とする．利潤を最大化する生産量 xM を 1 階条件を用いて求めなさいb ．またそのときの価格 pM を求め
なさい
a 価格を表す関数のこと．プライス定価（これはオヤジギャグ）ではないので，x
b 『経出る』にも説明してあるように
の式で表されるのが今回のみそ ♥
M は独占=Monopoly の頭文字
解答
最適化の 1 階条件は：
0 =
(
)0
f 0 (x) = P (x) · x − C 0 (x)
だが
6= P (x) − C 0 (x) でもないし
6= P 0 (x) − C 0 (x)
でもない.
(
)
ふつうに展開する事にして，R(x) = P (x) · x = 12 − 2x x = −2x2 + 12x．なので，R0 (x) = −4x + 12．
従って 1 階の条件は
R0 (x)
−4x + 12
= C 0 (x)
=
2x
6x =
12
⇒ ∴ 利潤を最大化する生産量は xM = 2.
価格は pM = P (xM ) = P (2) = 12 − 2 · 2 = 8.
終
収入
= 価格 × 数量
−→
(
)0
f (x) · g(x) =?
5
積の公式
積の公式
4
4.1
公式
)0
(
f (x)g(x)
(
(
f ·g
前×後
)0
)0
= f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x)
(5)
= f 0 · g + f · g0
(6)
= 前0 × 後 + 前 × 後0
(7)
(6) 式をぱらぱらまんが風に 〆 (・ω・) どですか？ (
f ·g
f ·g f ·g
···
f · g って３個書く
f ·g
)0
f ·g
=
f ·g+f ·g
···
= と + でつなぐ
=
f 0 · g + f · g0
···
0 記号を打つ
問 2 積の公式を使って，次の計算をしなさい．
y = x2 (x2 − 2)
y0 =
4.2
わなに注意
♠
問3
(
)0
f (x)g(x) 6= f 0 (x)g 0 (x) ♠
次の計算をしなさい．
1.
f (x) = x3 ,
f 0 (x) =
2.
g(x) = x4 ,
g 0 (x) =
3.
f 0 (x) · g 0 (x) =
4.
y = f (x) · g(x) = x3 · x4 = x7 ,
y0 =
6
なるほど：公式の説得
4.3
例題 3
次の関数を微分しなさい．
1.
f (x) = ax + b,
2.
g(x) = cx + d,
3.
y = f (x)g(x) = (ax + b)(cx + d) = acx2 + adx + bcx + bd
解答
1.
f 0 (x) = a
2.
g 0 (x) = c
y0
3.
⇐=
= 2acx + ad + bc
= (acx + ad) + (acx + bc)
= a(cx + d) + (ax + b)c
= f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x)
×
ax
b
cx
acx2
bcx
d
adx
bd
終
5
練習問題
例題 4
(
x4
)0
( )0
= 4x3 の事実と積の公式を用いて， x5 を求めなさい．
解答
(
x5
)0
)0
x · x4
( )0
( )0
= x · x4 + x · x4
=
=
(
1 · x4 + x · 4x3
= x4 + 4x4 = 5x4 .
終
【ちょっとメモ】
“ ”0
この論法を使えば，どんどん上の次数の公式 xn = nxn−1 も芋づる式に出てくる事がわかる．
7
5.1
展開すれば簡単じゃん ♥ でも公式でやってみよな問題
問4
次の関数を微分しなさい．
1.
f (x) = x2 (x3 + 1)
f 0 (x) =
2.
y = (x2 + x)(x2 − x)
y0 =
3.
f (x) = x2 (x + 3)
f 0 (x) =
問5
関数 f (x) = x2 (3x2 − 4x) の極値を求めなさい．
x
f 0 (x)
f (x)
8