現代の経済問題III 第3講: 戦略形ゲーム1

現代の経済問題 III
第 3 講: 戦略形ゲーム 1
三浦慎太郎
2013 年 4 月 29 日
神奈川大学
1
概要
⃝ 戦略形ゲーム
1. ゲーム的状況の定式化
➢ “読み合い”の状況 (例: じゃんけん) の定式化．
➜ 共有知識と完備情報同時手番ゲーム．
➢ 戦略形ゲームの構成要素．
➜ プレイヤー・戦略・利得 (効用)，利得行列表現．
➢ 代表的な戦略形ゲーム．
➜ 囚人のジレンマ・男女の争い・マッチングペニー．
2. ゲームの解．
➢ ゲームの帰結 (解) はどうなるか？
➜ 均衡分析とその前提条件．
➢ ゲームの解が満たすべき性質．
2
1. ゲーム的状況の定式化
3
ゲーム的状況の定式化
⃝ ゲーム理論では人々の駆け引きを分析する．
➢ 前回のあらすじ: 個人の意思決定問題.
➜ 個人の行動と不確実性だけで結果が決まった．
➢ 現実の駆け引きはより複雑…．
例 じゃんけん．
➜ じゃんけんの結果は一人の行動だけでは決まらない．
➜
と
の二つの要因が影響．
➱ “私”はグーを出す．結果は “あなた”の行動に依存する．
❒ “あなた”がパー ➜ “私”の負け・“あなた”の勝ち．
❒ “あなた”がチョキ ➜ “私”の勝ち・“あなた”の負け．
❒ “あなた”がグー ➜ あいこ．
➢ 学問の大原則: まずは簡単なケースから始めよう！
4
ゲーム的状況の定式化
⃝
．
➢ ゲーム理論で最も基本的な状況．
➜ “完備情報”とは？“同時手番”とは？
➢ 同時手番ゲームとは “
”を含むゲーム的状況である．
➜
➜ 同時手番ゲームの例: じゃんけん．
➜ 同時手番ゲームではない例: 将棋．
5
ゲーム的状況の定式化
⃝ 完備情報同時手番ゲーム (続き)．
➢ 完備情報ゲームとは，
ゲーム的状況である．即ち，
1.
2.
3.
4.
各個人が選択可能な行動の全て;
起こりうる結果の全て;
当事者間の行動の組み合わせと帰結の対応関係;
自分を含めた各人の選好;
が全て駆け引きの当事者間全員の
になっている状況．
➜ 当事者間の “常識”になっているということ．
➢ 完備情報ゲームの例: じゃんけん． ➢ 完備情報ゲームではない例: 麻雀・カードゲーム．
6
⃝ 完備情報同時手番ゲーム (続き)．
➢ ゲーム理論では共有知識を以下のように定義する:
定義 1 共有知識
以下の性質を満たすとき事象 E は共有知識である:
1.
2.
3.
;
;
．
➢ 共有知識となる事象の例:
➜ 傘をさして歩いている友人間での「今日は雨」という事象．
➢ 共有知識とはならない事象の例:
➜ 口頭で伝えられた「次回テストをする」という事象．
➢ 共有知識は事象 (事柄) への深い理解を要求している．
➜ 相手の行動を予測する際に議論を簡略化できる．
7
⃝
．
➢ 完備情報同時手番ゲームは戦略形ゲームで表現する．
➢ 戦略形ゲームでは以下の 3 要素でゲーム的状況を記述する．
1.
: 意思決定を行う個人・組織．
➜ プレイヤーの定義は分析したい状況で異なる．
➱ 企業間競争 ➜ 企業が一人のプレイヤー．
➱ 企業組織 ➜ 企業の各構成員がプレイヤー．
2.
: プレイヤーの
．
➜ 単なる行動ではないことに注意！
例 1 “局面 A では行動 a を選択し，局面 B では行動 b を選択”．
例 2 “行動 a と行動 b を交互に選択”．
3.
: 結果に対する数値化されたプレイヤーの選好順序．
➜ プレイヤーの行動選択の結果，ある一つの帰結が実現．
➜
で表現される．
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ゲーム的状況の定式化
⃝ 戦略形ゲーム (続き)．
➢ 戦略形ゲームをフォーマルに表現すると以下のようになる:
1.
; プレイヤーの集合. n 人ゲーム．
➜ i ∈ N ; プレイヤー i．プレイヤーの “一般表現”．
2.
➜
➜
➜
;
の集合．
; プレイヤー i の戦略集合．選択肢の集まり．
; プレイヤー i の戦略．“i さん”の実際の選択．
;
と呼称．
“全員”の実際の選択．
3.
; (vNM) 効用関数の集合．
➜
; プレイヤー i の効用関数．
➜ ui(s1, s2, . . . , sn); 戦略プロファイル (s1, s2, . . . , sn) が
選択された際にプレイヤー i が得る効用値．
9
⃝ 戦略形ゲーム (続き)．
例 2 人じゃんけんを戦略形ゲームとして定式化する．
➢ プレイヤー:
.
➢ 戦略:
．
➜ プレイヤー 1 はグーを選択:
.
➢ 利得: vNM 効用関数 u1, u2 は以下のように定義できる:
u1(グー, グー) = 0,
u1(チョキ, チョキ) = 0,
u1(パー, パー) = 0,
u1(グー, パー) = −1,
u1(グー, チョキ) = 1,
u1(チョキー, グー) = −1,
u1(チョキ, パー) = 1,
u1(パー, グー) = 1,
u1(パー, チョキ) = −1,
u2(グー, グー) = 0.
u2(チョキ, チョキ) = 0.
u2(パー, パー) = 0.
u2(グー, パー) = 1.
u2(グー, チョキ) = −1.
u2(チョキー, グー) = 1.
u2(チョキ, パー) = −1.
u2(パー, グー) = −1.
u2(パー, チョキ) = 1.
10
⃝
.
➢ 愚直に定義に従うと定式化が非常に面倒…．
➜ 利得行列を用いるとスッキリと表現できる！
11
⃝ 利得行列 (続き)．
➢ 左端にプレイヤー 1 の選択可能な戦略が並んでいる．
➜ プレイヤー 1 が表の
を選択．
2
1
グー
グー
チョキ
0, 0
1,
1, 1
チョキ
パー
1,
1
パー
1
0, 0
1, 1
1, 1
1,
1
0, 0
12
⃝ 利得行列 (続き)．
➢ 上端にプレイヤー 2 の選択可能な戦略が並んでいる．
➜ プレイヤー 2 が表の
を選択．
2
1
グー
グー
チョキ
0, 0
1,
1, 1
チョキ
パー
1,
1
パー
1
0, 0
1, 1
1, 1
1,
1
0, 0
13
⃝ 利得行列 (続き)．
➢ 利得行列の各マスは
の一つに対応
➜ 黒丸の部分は
に対応．
➢ 中の数字が各プレイヤーの利得に対応する．
➜ プレイヤー 1 の利得が ，2 の利得が の数字．
2
1
グー
グー
チョキ
0, 0
1,
1, 1
チョキ
パー
1,
1
パー
1
0, 0
1, 1
1, 1
1,
1
0, 0
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ゲーム的状況の定式化
⃝ 代表的な戦略形ゲーム．
➢
．
➜ A と B の二人が拳銃の不法所持で現行犯逮捕．
➜ 二人は強盗事件の容疑者であるが，証拠が不十分．
➜ 自白を引き出すため，個別に取り調べを受けている両者に
対して検事は以下のような司法取引を持ちかける：
➱ 二人とも “自白”すれば，二人とも懲役 3 年．
➱ 二人とも “黙秘”すれば，拳銃不法所持のみで各懲役 1 年．
➱ 君が “自白”で相方が “黙秘”した場合，君は直ぐに釈放
されるが相方は懲役 5 年．
➱ 逆に君が “黙秘”して相方が “自白”した場合，相方は直
ぐに釈放されて君は懲役 5 年．
➜ 二人はどのように行動すると考えられるか？
➜ 要点は
．
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ゲーム的状況の定式化
⃝ 代表的な戦略形ゲーム (続き)．
➢ 囚人のジレンマ (続き)．
黙秘
B
自白
黙秘
A
自白
16
ゲーム的状況の定式化
⃝ 代表的な戦略形ゲーム (続き)．
➢
．
➜ Q 太郎と P 子は仲の良いカップルで，デートをすることに．
➜ デートの行き先としてはサッカー・映画の二つ．
➜ お互いに話半分で聞いていたので行き先を忘れてしまった．
➱ 携帯も電池切れでお互いに連絡が取れない．
➜ 二人とも一緒に過ごした方が別々の場合よりも好き．
➜ ただし行き先の好みは二人で異なる:
➱ Q 太郎はサッカーの方が映画よりも好き．
➱ P 子は映画の方がサッカーよりも好き．
➜ お互いに相手と相談なしに行き先を決めねばならない．
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ゲーム的状況の定式化
⃝ 代表的な戦略形ゲーム (続き)．
➢ 男女の争い (続き)．
P
サッカー
映画
サッカー
Q
映画
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ゲーム的状況の定式化
⃝ 代表的な戦略形ゲーム (続き)．
➢
．
➜ J 太郎と DB がコインを使ったギャンブルをしている．
➜ それぞれコインを表・裏のどちらを上にするか決める．
➱ 相手からはどちらを上にしたかが見えないとする．
➜ それぞれの勝利条件は以下の通り:
➱ (表・表)，(裏・裏) ならば J 太郎の勝利．
➱ (表・裏)，(裏・表) ならば DB の勝利．
➜ それぞれどちらの面を上にするべきか？
➢ サッカーの PK も同様の構造をしている．
➜
と呼称．
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ゲーム的状況の定式化
⃝ 代表的な戦略形ゲーム (続き)．
➢ マッチングペニー (続き)．
表
D
裏
表
J
裏
20
2. ゲームの解
21
ゲームの解
⃝ これまでのお話．
➢ ゲーム的状況の要素を抜き出し，どのように定式化するか？
➢ これだけでは如何ともし難い…．
⃝ これからのお話．
➢
を分析する．
➢ 言い換えれば，“ゲームを解く”ことになる．
➢ そのためには
を定義する必要有り．
➜ 「どのような状況がゲームの帰結としてもっともらしいか」
➜
と呼称する．
➢ 解概念により導かれたゲームの予測結果を
と呼称．
➜ 均衡とは “
”状態のこと．
➜ 均衡を求める分析なので
と呼称．
22
⃝ 均衡分析の前提条件．
➢ 均衡分析を行う場合，以下のことを前提として仮定する:
1.
．
➜ 各プレイヤーは
が出来るということ．
➜ 効用関数 ui を最大化する戦略 si ∈ Si を選択可能．
2.
.
➜ プレイヤーは
に立って物事を考えられる．
➜ 「自分が相手ならばこう動くであろう．
」
3.
．
➜ 各プレイヤーの
が共有知識である．
4.
．
➜ ゲームの解は自己拘束的でなければならない．
➜ 均衡行動は自分以外の誰からも強制されるものではない．
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⃝ ゲーム理論の強み．
➢
での分析．
➜ ケースバイケースで分析手法を変えることをしない！
➜ 特定の分析手法で様々な駆け引きを分析する！
➱ 特定の解概念で全ての状況を斬る！
⃝ ゲームの解が満たすべき (満たすことが望まれる) 性質．
1.
．
➢ 解概念が広範な状況に適用できなければならない．
➢ ナイスな解概念でも特定状況でのみ使用可能では使えない．
2.
．
➢ 起こりうる結果をシャープに予測出来る方が望ましい．
➢ “何でも言える”は “何も言えない”と同義．
3.
．
➢ ゲームの構造が僅かに変化しても解は大きく変化しない．
➢ 解が
に強く依存しすぎていない．
24
まとめ
⃝
は以下の三要素で構成される:
➜
．
➜ これらの要素を表記した行列を
と呼称する．
⃝
とは各プレイヤーが相手の戦略を知る前に自身
の戦略を決定しなければならないゲーム的状況である．
⃝ ある事象・情報がプレイヤー間の
になっているとは，各
プレイヤーがその事象・情報を知っており，各プレイヤーが「各
プレイヤーがその事象・情報を知っている」ことを知っており…
と無限階層の認識になっている状態である．
⃝
とは，プレイヤー全員が駆け引きの構造を正し
く理解しているゲーム的状況である．具体的には以下のものが全
て共有知識となっているゲーム．
25
➜ (i)
(iii)
, (ii)
,
, (iv)
⃝ 「ゲーム的状況の何をもってもっともらしい帰結とするのか」を
定めたものが
であり，解概念によって導かれた「ゲーム的
と呼称する．
状況の予測結果」を
⃝ 均衡分析の前提条件は，(i)
，(iii)
である．
⃝ 解概念の満たすべき性質は，(i)
である．
，(ii)
，(iv) 解概念の
，(ii)
，(iii)