問6～12

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6
一様な電場 E と磁場（磁束密度）B の下で質量 m, 電荷 q の荷電粒子が運動し
ている。この荷電粒子にはローレンツ力が働くので，この粒子の速度を V とすると
m
dV
= qE + q(V × B)
dt
という運動方程式が成り立つ。
荷電粒子の位置を r = (x, y, z) とし，次の各々の場合について，上記運動方程式を解き，
粒子の運動をグラフで表せ。なお，初期条件は t = 0 で x = 0, y = 0, z = 0, V = (0, V0 , 0)
であるとする（V0 は正の定数である）。
(1) E = 0, B = (0, 0, B) (B > 0 は一定)
図1
(2) E = (E, 0, 0), B = (0, 0, B) (E > 0 と B > 0 は一定)
図2
3
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7
真空中に電荷密度 ρ0 [C/m3 ] で一様に帯電した原点中心で半径 a の球がある。
この球の誘電率は真空の誘電率 ε0 と同じであるとする。
この球電荷の作るポテンシャルを、以下の手続きにしたがってポアソンの方程式を解くこ
とにより求め、この系の持つエネルギーについての問いに答えなさい。
(1) 対称性からポテンシャルは φ(r) と書けることが分かる。ここで r =
ある。この時
∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2φ
1 d2
∇2 φ =
+
+
=
{rφ(r)}
∂x2 ∂y 2
∂z 2
r dr2
√
x2 + y 2 + z 2 で
が成立することを示しなさい。
(2) 無限遠を基準点とするポテンシャルをポアソンの方程式
∇2 φ(~r) = −
ρ(~r)
ε0
ρ(~r) は点~rにおける電荷密度、ε0 は真空の誘電率
を解くことによって求めなさい。ここで (1) の結果を使ってよい。特に r = a における φ
およびその導関数の連続性および、原点における φ が x, y, z で偏微分可能であることに注
意すること。
(3) この系の持つ全静電エネルギー
1
2
∫
ρ(~r)φ(~r)dV
全空間
を求めなさい。
(4) 球の持つ全電荷を一定の値 Q に保ちながら a → 0 としたとき、この系の持つ静電エ
ネルギーはどうなるか、式を使って議論しなさい。
4
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質量 m の粒子が，区間 0 ≦ x ≦ L に閉じ込められている。このとき，位置エネ
ルギーは井戸型ポテンシャル
{
0 0≦x≦L
V (x) =
∞ それ以外
で与えられるものとする。以下の問に答えよ。
問 1. シュレディンガー方程式と境界条件を示せ。
問 2. エネルギー準位と波動関数をすべて求めよ。
これ以降，基底状態 (もっともエネルギーの低い状態）についてのみ考えることにする。
ここでの基底状態のエネルギーを EG とする。
問 3. 運動量の期待値 hp̂i および運動量の自乗の期待値 hp̂2 i を計算し，運動量の不確定性
√
∆p = hp̂2 i − hp̂i2 の値を求めよ。
√
問 4. 位置の不確定性 ∆x = hx2 i − hxi2 について，∆x が L に 比例する ことを示せ。
問 5. この状態を例にとって，不確定性原理について述べよ。
次に，位置エネルギーを，下記のものに変更した。
{
0 0≦x≦L
V (x) =
ただし，V0 |EG |
V0 それ以外
問 6. この場合における基底状態のエネルギーを EG 0 とする。EG 0 は EG に比べてどのよ
うな値をとるか，上記の問３∼５と関連づけて定性的に説明せよ。
5
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9
3 次元の体積 V の領域に閉じ込められて自由に運動する質量 m のフェルミ粒子
の１粒子状態密度が 1 粒子エネルギー ε の関数として D(ε) = AV ε1/2 と表される事を以
下の手順で導こう。
1. 粒子の閉じ込められている領域は１辺 L (L3 = V ) の立方体である。周期的境界条
件のもとで粒子のとり得る波数ベクトルの内、大きさが k と k + dk の間にある波数
ベクトルはどれだけあるか？
2. 上問の波数ベクトルの数が、エネルギーが ε と ε + dε の間にある状態の数にスピン
の自由度を考慮したもの（この粒子のスピンは 1/2 とする）が D(ε)dε に等しいと
考えれば D(ε) が求められる。これにより A を具体的に求めよ。
以下の答えには D(ε) = AV ε1/2 をそのまま用いて良い。
3. この領域に N 個の電子が閉じ込められている。T = 0 におけるフェルミエネルギー
µ0 を求めよ。
4. この系の基底状態のエネルギーを求めよ。
5. この系の粒子数は、温度 T によらず N に固定されており、この条件を満たすように
化学ポテンシャルが決まる。化学ポテンシャルは低温で T = 0 の値 µ0 からどれだ
け変化するか、T 2 に比例する項まで求めよ。但し、kB T µ のとき、緩やかに変
化する関数 F (x) にたいして
∫ ∞
∫ µ
π 2 dF (ε)
F (ε)fF (ε)dε '
)ε=µ (kB T )2
F (ε)dε + (
6
dε
0
0
と近似してよい事を用いよ。ただし fF (ε) はフェルミ分布関数を表す。
6. 全エネルギーの低温における変化を求め、それを用いて系の比熱を求めよ。
6
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解答は解答用紙に途中の論理、計算も含めて明確に記すこと。以下で、−e, m は１つの
電子の電荷と質量、n を伝導電子（自由電子）密度とする。必要とあれば以下のマクスウェル方程
式および公式を用いて良い。
マクスウェル方程式
~ = 4πρ,
divE
~ =−
rotE
~ =0
divH
~
1 ∂H
,
c ∂t
~ =+
rotH
~
1 ∂E
4π
+ ~j
c ∂t
c
~ は電場、H
~ は磁場、ρ は電荷密度、j は電流密度、c は光速である。
ここで E
公式
rot rot = grad div − ∇2
(1)
(2)
1. 以下のうち一つを選び、解答せよ。
(a) 金属中の電子の平均の運動量 p~ は次の運動方程式に従うと考えることができる。
1
d~
p
~
= − p~ − eE(t)
dt
τ
(3)
ここで、τ は緩和時間である。式 (3) より、交流電気伝導度 σ(ω) が
σ(ω) =
σ0
,
1 − iωτ
σ0 =
ne2 τ
m
(4)
となることを導き、σ(ω) の実部 σ 0 (ω) と虚部 σ 00 (ω) のグラフを記せ。
(b) 金属中の電子の交流電気伝導度の表式
(4) とマクスウェル方程式を用いて周波数 ω がプラ
√
2
ズマ周波数 ωp = 4πne
m 以上の電磁波は金属中を伝わること、それ以下の周波数の電磁波
は伝わらないことを示せ。ただし、ωτ >> 1 とする。
(c) N 個の水素イオンがある場合を考える。V` (~r) を ` 番目の水素イオンが電子に及ぼすポテ
ンシャル、φ` (~r) を ` 番目の水素イオンだけがあるときのその周りの電子の 1s 軌道の固有
関数、0 をその固有エネルギーとする。N 個の水素イオンが間隔 a で１次元的に並んでい
るときの、1 電子のシュレディンガー方程式の固有関数 ψ(~r) を、
∑
∑
ψ(~r) =
c` φ` (~r),
c` =
ck eikR`
`
k
とおく。ここで k は波数、R` = `a は ` 番目の水素イオンの位置である。今、周期境界条件
φ`±N (~r) = φ` (~r)
~ N ) = ψ(~r)
ψ(~r ± R
(5)
を課すものとする。このとき、k の取り得る値を示せ。また、適当な近似を用いると、１
電子の状態のエネルギーが k = 0 + d − 2t cos(ka) の形となることがわかる。この結果に
基づき、金属と半導体、絶縁体の違いを図も用いて説明せよ。
2. 以下の事柄のうち、１つを選び、その理由・機構も含め図も用いて説明せよ。式を使って導け
る、または説明できることはそうすること。
(i) 半導体へのドーピングと p 型、n 型半導体、(ii) キュリー常磁性、パウリ常磁性、(iii) 強磁
性と反強磁性、(iv) 超伝導とマイスナー効果
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博士前期課程 基礎科学コース「専門科目」問題用紙（2013 年度 9 月入学試験）
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湯川は核子が π 中間子を交換することで，核子間の力（核力）を説明しようと
した。このことに関し，以下の問に答えよ。
ただし，c = 3.00 × 10 8 m s−1 ，~c = 197 MeV fm であるとしてよい。また π 中間子の質
量を m とする。
∆r
c
程度であり，この間に，核力を及ぼしあう核子系のエネルギーの不確定性 ∆E は，π
中間子の静止質量程度である。まず，∆t と ∆E の間の不確定性関係を式で表せ。
(1) 核力を及ぼしあう核子間の距離を ∆r とすると，π 中間子が存在する時間は ∆t =
(2) ∆r ∼ 1.2 fm 程度である。上の関係から，π 中間子の静止質量を推定せよ。答は
MeV/c2 の単位で，有効数字２桁で表せ。
(3) 湯川ポテンシャル U (r) を求めてみよう。U (r) の時間変化はないと近似して，KleinGordon 方程式から時間での偏微分の項を除くと，
(
)
∇2 − κ 2 U (r) = 0
[A]
となる。ただし，κ = mc/~ である。また，U (r) は球対称だと仮定できるので，こ
の場合，ラプラス演算子は極座標で
(
)
1 d
2
2 d
∇ = 2
r
r dr
dr
a
(a は定数) という解をもつ。
r
f (r)
そこで，f (r) を r の関数として，U (r) =
とおき，U (r) の満たすべき解を求
r
めよ。
としてよい。m = 0 のとき，式 [A] は U (r) =
ただし，r → ∞ で，U (r) → 0 になることに注意せよ。
12
東日本大震災は，日本のみならず世界に大きな衝撃を与えた。わが国において
は，未だに癒されない傷跡が残り，未解決の多くの課題が山積している。
(1) このうち，科学・技術と関連の深い課題を選び，何が問題であるかを論ぜよ。
(2) 上記の問題を解決するために，基礎科学が果たすべき役割を経済活動や社会科学・
工学等他分野との関係性を考慮して考察せよ。
(3) またそのためには，広い意味での基礎科学の研究や教育に何が必要だと考えるか。
8