枕地問題/最短時間制御問題とは何か

計那軸制御学会東北支部174紺究集会（1g98．5．8）
資柑号174−11
故地の最短時間制御における人の制御特性について
○鳥巣 諒♯．田中健一ヰ．武田純一ヰ．井前 議＝
岩手大学農学部＊，岩手大学農学部＊＊
NiTIi甘IaJ）tlA Time Controland Operator Naneuvers of theIeadland
ORYO TDrisu＊．Ken主chiTanaka㌔JubichiTakedaホ，Joe h．aeヰ轟
Fa亡ultY Oflgri亡ulture■ IYatelhiversity
Fa亡ulty｛lf Engineering…Iv且te tJniversity
トワード：皿（headland），舶閥拍伽inimu山tiLe COntrOl）．旋剛摘（ttJrniElg teChnique）．／り申現靂
（hang−bang principl亡）．舶柵（optib）alcontrol）．丑踊算（nu）ericalanalysis）
逓瑞光：尋020一粥別l引細川ヨー柑−8岩手大軍畏鞘最悪蛸朋工期蛸軸Ⅰ鞘座
鳥典諒．Tel：（D19）621−6184，Fax．：（O19）62l−6204，E一皿ail：ry亡】tOryS㊥iYate．uV．aC．jp
0．枕他聞確／最短時間制細岡埴とは何か
一般に圃場（田や畑）は長方形に造成されている。この圃場で色々な農作業を行う場合．
うに行えはその作業効率喜高めることができるかということが開削こなる。ここでは農作業の代表
例として．トラクタにロータリを装着した場合の耕うん作業碁敵り上げる。ある長方形の圃場か与
えられたとき．耕うん作業を効率的に行うため長辺の両側に枕地というものを設定する。国1に示
すこの枕地は，それまで耕して重た畝（既耕地）の終端位置で按部のロータリを上げ，1銅度旋回
し次に耕す畝に入る旋回堵所である。この枕地では作業をしないので，この間の走行時間を短くす
ることは作業効率の点から重要である。この間超を枕地問聴と呼ぶ。
この枕他聞埴を明確に述べると，車両がある横幅（畝幅d）か与えられたと菖．最も短い暗闘で
180度旋回して次の故に入るには．どのよう甘運転（操縦）貴行えばいいかということである。こ
の場合の車両速度は0．5∼1．5［山s】の範囲の低速度で．その運動は客車輪が進行方向にのみ速度
をもつという性質を利用する運動苧モデル1〉で表される。これは，また非ホロノミツタ車両轟のひ
とつでもある2）。
1．はじめに
これまで，筆者らは任地における最短旋回時同問題を餞何字的拘束を受ける非ホロノミッタ車両
系の運動計画の問題ヨ）としてとらえ，最適制釦理論を援用して検討してきた4〕・5）。そこでは，次
のような仮定春蝶周していた。（1）走行箱師ま平坦で．トラクタの運動は平面運動とし．ロール．
ピッチ等の空間運動を無視する。（2）トラクタは前輪操舵／後輪駆動とする。（a）人力を前輪
・・・1−
どのよ
の操舵角し．ハンドルから操舵編までの慣性や人の応答遅れを無視する。（3）したがって．その
車両運動は運動苧モデルで塞きれ，状態量はトラクタ賓勢角（ヨ一角）とトラクク代表点．この場
合はトラクタ横縞点中心（Ⅹ。．y。）の3つとなる（等価2韓モデル）。」以上の仮定を採用すると．
状態方程式は蓋1のように表される。また，操作皇（操舵角）には制約かあり長大角42度までし
か切れない，速度にも制約かある．等の操作畳や状態屋の拘束条件や状態方程式が非線形とLlうこ
とから．最短時間を直接解析的に求める最適制御開祖を解くことか困穆だったので，載値解儀で求
めている。得られた結果は，且a昭一Bang Prin亡iple8）そのもので．①速度は正負の最大．⑧操舵角
は正負の最大と場合によってはぜロを組み合わせて採周すればよいということか得られた。そこで
の残された問題は，実際の良作薫では，操舵角を瞬時にきることはできない．あるいは．操舵角は
出発時にゼロとしている。また．前進後退古併用する場合．人はクラッチ操作を無限小時間では行
えない．等の理論とのギャ・ツプかあった（特に，農機眉野の人々からかなり強い批判があった）。
本報告では．人が嚢陽に圃場で最短時間旋回暮する場合阜考慮して（1）理論を拡張すること．
（2）実際の人による圃場実験を行い．拡張した理論と来車実験阜比較検討して．理論の賓当性を
検証することをH的とする。
2．枕地最短暗闘問題の拡張
2．1 最短時間制御国磁の定式化
枕地問趨は平面上のある初期状態におかれた車両を別の点に移動させる場合の軌道計画開祖の一
つであり．それを最塙時間で行おうとするものである。また．上述したように最短時間問題は最遠
制御問埴のひとつであり．原理的には評価関数を時間tとおき．これを最小にするとよい。しかし
今回は車両方程式が非線形なので，解析的な解を両棲求めることは困難である。そこで．ここでは
以下のように「問庵を変換して解く方法」T〉を採用する。
制御対象 d x／d t＝f（Ⅹ，U）
拘束条件 ［u≦u叫
初期条件
Ⅹ（8）＝Ⅹ0；既知，t＝0
終端条件
t＝T−；既知，Ⅹ（T．）：既知
評価関数
J＝∑lRj［Ⅹ（t川上（j＝1．2，‥・．k）
ただし．ここでⅩ＝［α．β，Ⅹ。，y廿］Tは4次元状態ベクトル．u＝（名．Ⅴ）Tは2次元ベクトル
操作星である。
この定式化は終端時刻自由問堰を終端時間固定同報に変換したものである。この間車に具体的に
敦備計算する方法は勾配法をはじめいろいろ墟案されているか，ここでは良好な結果が得られてい
る最適7ルゴリズム法射を採用する。
2．2 最知時間問題への塞襖
次に．上で固定した時間をパラメータとしていろいろ変化させ．最終的に終嬉状態を満足する時
間の最も短いものを最短時間とする方法である卜状態方程式は衷1の通りである伊吹に．評価関数
具体的に示す。
−2−
J＝10（t，．）−gfIB＋IxB（tf．）−Ⅹ‖I2＋1y8（t，i）−yB．l2＋ia（t−1）−・αt．12
＋J［Tl／lqm2−a（t）2l之＋γ1／fLLh−FL（t）12＋r．／IVn−V（t）I2丁2h（Ⅹ。（t））12］dt
（1）
ただし，γ1：0に軍司減少する正の内点ペナルティ・パラメータ
γz：00に．単調増加する正の外点ペナルティトパラメータ
h（Ⅹ．（t））＝−Ⅹ8（t）3：（Ⅹ。＜￠）
＝0
：（Ⅹ蜂≧0）
（2）
3．枕地最短時間制釦の乗車実膜
3．1 実車実験
枕地での最短時間旋回町運転法・操縦法は，背から経験的によく知られていたと思われる。理論
的には，届垣○）によってか在り整理された。速度は前進・後退の最大速度．操舵角は左右最人角又
はゼロという操縦法であ畑．結果としてBB原理を楳．村していることになってLlる。
供試車両と測定項目：トラクタは三菱MT48Dを用いた。諸元を表2に示す。操作量として
トラクタ速度Ⅴ．状態貞として操舵角α，トラクタ賓勢角βとトラクタ後編点位置（Ⅹ。，yコ）与測
定した。姿勢角は光ファイパージャイロで測定し．速度は回転計で横田速度から換算した。操舵角
は変位計を利椙し，パワーステアリングの油圧シリンダ変位から求めた。
3．2 実験方法
走行実験はアスファルト路面上に，耕地と枕地の境界を描き，畝幅を設定した。オペレータは耕
地から後方から一定速度で走行し，後篇点が境界点に達した瞬間にハンドルを捜作し，次に入るぺ
き畝に入るように運転する。なお．オペレーダは予めスタート位置から与えられたゴール位直へ車
両かどのよう初期状態と終端状態であるぺ重かということを熟知している。また．ハンドルは回転
速度を最庚速度（オペレータか実行で巷る最大回転速度）で回し．操舵角は曲線運動では左右どち
らかの最大角に保つこと，直線運動ではゼロ与保持するという操作貴行った。また．走行速度はス
ロットル・レーバを固定して常に一定速度とした。
3．3 実験項目
連行実験は．畝幅dをき種類．軌道パターンをヨ種類変化させて行い．各状態で後輪点中心に点
滴装眉を取付け，水性ペイントを滴下させ走行軌跡をとった。各条件で数回の最短時間制卸の試衝
を行い．走行軌道か対称で比較的良好と判断きれるものを選別し．軌跡（Ⅹ8．アD）喜掩面から読み
取った。
4 膳果及び考察
枕地での最短時間制御はBamg−Bang原理を適用すると．次に入るぺ舌畝帖によって国2に示すよ
うに3つの軌道パターンに分類される1＝。同国（ア）と（エ）に示す最も簡単で特別な例は．次
に入るぺき畝幅かトラクタの最小旋回半径と同じ場合である。この場合は．膣裡的にすぐ分かるよ
うに，ハンドルを石屋大に切り急タラソナ接続を行い．終端状態になったと喜急ブレーキを踏む。
このときハンドルは切ったままにして置く。その他の例もB B原理そのものである。なお，これは．
敦値計算でも再羅課された4）・5）。ここでは．前述したように．BB蝶理か実際の人の操縦によっ
てどのように変化するかを検討する。
−3一
4．1 畝幅が車両の最小旋回半径に等しい場合
4．1．1 乗車乗験の鋸果
国3に畝幅（旋回幅）か車両の最小旋回半径に等しい場合の乗車実験の艇果を示す。阿3（ア）
か旋回軌道，囲3（イ）がそのと喜の姿勢角と操舵角の時間変化である。このとき旋回時間は15．9
［s］，旋回幅d＝4．51［m］，走行速度Ⅴは0．47［m／島］ではぼ一定であった。
囲3の走行軌跡は．ほぼ半円になっている。図3（イ）から明らかなように，操舵角はある傾き有
して最大値になり（右最大操舵角に切り）．ある時間それを保持し．その撞ゼロに戻して終わって
いる。
4．1．2 数倍計算による掩討
上町実検を数値計算と比較検討する。当然トラクタの諸元は表2の僕試車両と同一である。図4
は．国定時間をパラメータとして変化させた場合の，最短時間の場合の結果を示したものである。
数個計算における最短時間の決定法は後述の後退時町境合その詳細を示すこととし．ここでは最終
的な結果だけを示す。長粒時聞はT。＝15．1［s］．そのときの評価関数の儲‖＝2．Txlロ￣8であっ
た。最短時間の理論値と実測値の相対誤差は5，‘であり，両者はばばあっているといえるであろう。
なお．図3（イ）と囲4（エ）を比較すると．唾勢角と操舵角もよく一致している。
4．2 畝幅が車両の最小旋回半径より大きい場合
4．2．1 喪章実験の結果
国5に畝幅（旋回晦）が車両の最小旋回半径より大童い場合の巽車乗験の嬉果を示す。国き（ア）
が旋回軌道．国5（イ）がそのときの堅笥角と操舵角の時間変化である。このとき旋回時問は24．6
［s］．旋回幅d＝乱83［m］．走行速度Ⅴは軋48［m／s］でほぼ一定であった。
国5（ア）の走行軌跡は．ほぼ四分円になった状態でハンドルをゼロに戻し，その乱 耕地と枕地
の境界に平行に直進し，最後に再度を四分円を描き終丁している。固5（イ）から明らかなように．
操舵角はある傾き有して最大値になり（右一一杯に切り）．ある時間それ与保持している。その後ゼ
ロに戻しその状態巷保持し．再度右一杯に切り，ある時間その状態を保つ。最後にゼロに戻すとい
う一一連の操作貴行っている。なお，最初にハンドルを戻す際，若干の微調整を行っていることも分
かる。これは人の操作かフィードバック制御だからである。ただし．軌適は姿勢角の横分要素になっ
ているため．軌道の乱れはそう大童くない。
4．2．2・数値計算による検討
ここでも，結果だけ喜示す。最垣時間T。＝23．空［＄］であり．評価関数牒J＝5．4XlO￣8であっ
た。最短時間の実測値と理論値の相対誤差は6鮎弱であった。
4．3 畝晦か車両の最小旋回半径より小さい埠合
畝幅（寄幅）が小さい場合には．BB原理から次の2つのことか分かっている。−一一つは，①前進
だけでなく後退を併用する方か有利になる。もう一つは，⑧寄幅に関係庵く最短時間が・定になる
ということである。実際に人が操縦する場合でも，これらのことか成立するのであろうか。本報告
の主眼目はこの検討にある。ただ．実際の場合には，ハンドルから操舵角までの慣性によるむだ時
間，後退運動を採用する場合．ギアの切替え時間のロスか遭にハンデとなる。他方，理論的な検討
としては．設定している初期状態から最終状態までの一連の運動が連続でない。掛こ軌道と時間の
一対一の対応がつかないので．その取り扱いをどうするかという新たな問題も発生する。
4．3．1 畝幅の異なる2つの乗車実験の結果
4一
畝幅が最小回転直径よりも小さい墳合に後退巷併用する操縦法は，畝幅が同
一でも人にとっては
2種類の操縦法か存在する。すなわち．車両の回転方向か時計方向か適時計方向かで異なった運動
軌跡になる。ただし．数情計算では．終端条件か±∬と異なるので2つの違ったケースとなる。こ
こでは．あえて．畝幅も変え．それぞれの畝幅に対して一つの回転方向の実験のみを行った。国7
か，時計方向（一打），図8が反時計方向（＋∬）の回転をした場合の実験結果である。
固7が旋回幅d＝1，64［m］のときの結果である。図T（ア）か旋回軌道．（イ）かそのと幸の
賓勢角と操舵角の時間変化である。また，旋回時問は20．1［s］，走行速度は1vl≦0．48［m／s］
の範囲であった。
国8が旋回時d＝1．47［mコのときの結果である。国8（了）か旋回軌道，（イ）がそのときの
姿勢角と操舵角の時間変化である。また．旋回時間は訓．1［s］．走行速度は弓vl≦廿，48【m／＄］
の範囲であった。ここで注目したいのは最短時間である。旋回幅の異なった3回の実験において旋
回時聞がほぼ等しいという結果が得られた。なお，前進・後退のギアの切り替えはそれぞれ2回存
在するが，本来暁のオペレータの場合，そのロス時間は2秒∼3抄であった。
4．3．2 数値計算による後退時の最短時間の検討
上の2つの実験喜載値計算によってそれぞれ検討する。国9は国7に対応する最短時間制御のシ
ミュレーションである。同国9では固定時間をパラメータとして変化させ，最短時間を決定するプ
ロセスを図解している。そのいくつかの例を図示したもので．同国（ア）∼（カ）のうち．（エ），
（オ）．（カ）の3組か時間を十分に大きく淑った場合（85秒）で，左に行くにしたがぅて与える
国定時間を短くしている。
慮垣崎聞T。は，評価脚数か10TR−1q4のオーダになるTlを探して．そ
のときのTlを最短時間T。＝18．3［s］と定めた。この探索は，原理的には2分億と試行錯誤法を
併用した。川3∼川4のオーダの根拠は，そのとき得られた軌道．操作量が最も適していると判断
されるからである。当然，左端は時間（10秒）が足りなくて途中で終わっている例である。頓に最
右実のヨつの組は，固定時間は同一で初期値を色々変えた場合で，与えられた終端条件は完全に満
足している。時間が十分にある場合は，遠回りしてる。その場合，操舵〔ハンドル）と速度（アク
セル）由二つを自由に変化させられるので，このような状況が発生する。他方，前進のみの場合に
は速度を一定とするとハンドル振作だけで終端条件を満足させねばならないので相似形に近い軌跡
しか実現されない。白樺走行を考える場合このことは念頭に置いておく方かよい。通常の農作業で
は（オ）とか（カ）という勤室はそう好ましいものではないからである。なお，中央の2列はその
ときの操作畳も併せて示した。
国18は国8に対応する最短時間の患果で．そのときの軌道と贅勢角と操舵角の暗闘履歴を示す。
なお．最短時間T。＝川．2［B］，J＝1．8xlO￣4である。
5 おわりに
実際に人か行う枕地旋回では，操舵角は操作壇ではなく状態畳であり．後退時にはギアの人替え
のむだ時間等か発生するなどの間喘が起こり．BB原理では説明かつかない等の批判かあった。こ
のため．微分皇与新たに操作量にする変換貴行い，枕地最短時間制細問題を再構築して．主に後退
妄評す場合の最短旋回問堰を実車窯験と比較検討した。
ー5−
得られた主な枯葉は以下の通りである。
（1’）再構築した理論は，．標準的な南海操舵・後輪駆動の2WDトラクタに関しては．人の実際の
操縦法をかなりの梢度でシミュレート可能であることか分かった。
（2）枕地旋回に関しては人か操縦する現実の場合でも，畝幅（寄幅）か車両の最小旋回直径より
小さい場合には．後退を併用する場合帆 前進だけの場合より，短い時間で旋回で舌ることが示
された。
（3）最短旋回時間は．畝幅か最小旋回直捧より小さい堵合には．畝幅に無関係に一定時間になる
ことを喪毅的に確認し．理論的にそれ巷示した。
なお．今後．
①畝幅がとのくらいから後退巷併桐する方が有利なのかを．捜載のオペレータのデータと此較し
検討すること．⑧あるいはそれに関連して．熟練者は畝幅がどのくらいから後退運動を併用して
いるのかを実測し．構築した理論で検討すること．⑨後退も許す場合の枕地最短時間制卸間確は，
前進・後退時の変速ギアの交換というむだ時問を考庫した場合には．今回は単に最短時間は，実運
動時陶にむだ時間右加算しただけであったか，もっと別の手法はないのであろうかということ等古
模討してい畠たいと考えている。
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文集．23（4）．41ロー412，1g87
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機誌．25（2）．Tト75．1983
10）鳥巣．田中，武田：微分幾何的アプローチによる枕地の最短旋回軌道，農業眉傭学会東北ま部
報，Ⅳ0．48，15−2q．1g96
−6−
表l 状態方程式・拘束条件・評価膵勤
◆制御対点 d x／d t＝f（よ．∪）：用の胡寺田群臣毒舌（‡l粥デル）
d8／dt＝v／且−【Oiα
dx．／dt＝∨〔OSβ
dy．／dt＝v玉in8
dα／dl＝k甚
￠状態t x＝ 亡α．∂，X．．y。】T
￠損作土 u＝（止．V）T
●拘束条件
（5）
0状態土 操舵角 ］αl≦昭一（＝αH〕
空也
x≧ロ
Ivl≦vm
銅腋作量亡 ∃連用
角連荘 ；甚l≦仏m
表2 供試トラクタの諸元
ココ．8 川／2508「叩 （46 PS）
機関出力
抽距止
l．96 椚
最大操舵角 0．丁7 rad，
（440）
‡．56 汀t
全長
l≡匿l「
七亡地Iq■と：書1コ■ 壬 ■■モプル
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月亭（イ】トラクタ＃井■と■舵1の嚢化
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