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スピン偏極と原子核反応 (と分解反応)
スピン偏極と原子核反応 (と分解反応)
平成 17 年度東大夏学期集中講義 (9/12∼14)
岡村 弘之 (東北大学サイクロトロン・
ラジオアイソトープセンター)
9/29 加筆修正
目次
1
2
3
4
原子核反応論の基礎
1.1 微分断面積 [復習] . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Green 関数と積分方程式・Born 近似 [復習]
1.3 部分波による扱い [復習] . . . . . . . . . .
1.4 弾性散乱からの拡張 . . . . . . . . . . . .
1.5 歪曲波 (distorted wave) への拡張 . . . . .
幾つかの反応模型・近似法
2.1 複合核反応・直接反応 . . . . . . . . .
2.2 直接反応模型 . . . . . . . . . . . . . .
2.3 歪曲波インパルス近似・有効相互作用
2.4 アイコナール近似 (Glauber 近似) . . .
2.5 チャネル結合法 . . . . . . . . . . . . .
2.6 光学ポテンシャル . . . . . . . . . . . .
2.7 断熱近似 . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8 チャネル結合 Born 近似 . . . . . . . .
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少数粒子系の分解反応
3.1 Faddeev 方程式 . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 離散化連続チャネル結合法 (CDCC) . . . .
3.3 Coulomb 力の取り扱い . . . . . . . . . . .
3.4 時間依存型 Schrödinger 方程式による方法
3.5 吸収境界条件による方法 . . . . . . . . . .
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3
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15
17
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28
29
40
44
47
50
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55
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57
58
60
63
67
67
スピン偏極
68
4.1 スピン演算子の基礎 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.2 偏極観測量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.3 種々の変換不変性による制限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.4 偏極分解能・偏極能に対する制限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
A スピン代数の公式
85
B 直接反応計算プログラム
87
C DWBA プログラムの簡単な例題
88
参考文献
原子核の直接反応を詳しく扱った教科書
1. “Direct Nuclear Reactions”, G.R. Satchler (Oxford, 1983) ISBN 0-19-851269-4
2. “Direct Nuclear Reactions”, N.K. Glendenning (Academic Press, 1983) ISBN 0-12-286320-8
復刻版 (World Scientific, 2004) ISBN 981-238-945-8
原子核反応論の一般的教科書
3. “Introduction to Nuclear Reactions”,
C.A. Bertulani & P. Danielewicz (Institute of Physics Publishing, 2004) ISBN 0-7503-0932-6
4. 「原子核反応論」河合光路、吉田思郎 著 (朝倉書店, 2002) ISBN 4-254-13689-7
5. 「原子核の理論」市村宗武、坂田文彦、松柳研一 著 (岩波書店, 1993) ISBN 4-00-010439-X
量子論的な散乱の一般論に関する教科書
6. 「散乱の量子論」砂川重信 著 (岩波書店, 1977) ISBN 4-00-021213-3
7. 「散乱理論」笹川辰弥 著 (裳華房, 1991) ISBN 4-7853-2321-3
8. 「衝突の理論 上 I・II 下 I・II」N.F. Mott, H.S.W. Massey 著・高柳和生、市川行和、島村勲 訳 (吉岡書店, 1975)
9. 「量子力学 2・3」A. Messiah 著・小出昭一郎、田村二郎 訳 (東京図書, 1972) ISBN 4-489-01244-6, 4-489-01245-4
10. 「量子力学 下」L.I. Schiff 著・井上健 訳 (吉岡書店, 1972) ISBN 4-8427-0158-7
スピン偏極現象を詳しく扱った教科書・レヴュー
11. 「スピンと偏極」久保謙一、鹿取謙二 著 (培風館, 1994) ISBN 4-563-02427-9
12. “Polarization transfer and spin correlation experiments in nuclear physics”, G.G. Ohlsen, Rep. Prog. Phys. 35 (1972) 727.
3
原子核反応論の基礎
1
1.1
微分断面積 [復習]
古典的 (巨視的) 定義
· · · 古典軌道が観測できるならば
間接的な観測量 (= 断面積) を使う必要は無い
impact parameter
微視的な系では 衝 突 径 数 は制御不能
⇒ 一様な厚さのターゲットに入射する粒子 (または
ターゲット粒子に降り注ぐ一様に広がったビーム)
が反応を起こす確̇率̇から推定1
dσ
dY
1
≡ lim
∆Ω→0 dt n I/q ∆Ω
dΩ
(ただし薄い標的の極限)
2
断面積および種々の物理量 (散乱角度 、エネルギー、スピン偏極 · · · )
に対する微分量 (= 微分断面積) や依存性をう̇ま̇く̇説̇明̇す̇る̇ような
核構造・相互作用モデルを構築し、実験と比較して妥当性を判断。
標的の厚みが増すと、重なり合う効果を考慮に入れる必要有り。
全断面積を σ として、ビーム強度 I の減衰を計算すると
dI
ρNA
dx =⇒ I(x) = I(0) exp(−λ x)
= −I σ
dx
| {zA }
≡ λ (減衰係数)
1
2
衝突加速器の実験では Luminosity を使って定義。
Lorentz 不変な微分変数としては Mandelstam 変数 t 等が使われる。
dY
dt
$% &'()
dQ
I=
dt
θ
d
!" # n= d ρ N
A A
∆Ω
4
量子力学的な断面積の表現
時間に依存しない Schrödinger 方程式を考える
平面波 :
dS
~2 2
H=−
∇ + V (r)
2m
| {z }
≡ H0 · · · 自由粒子 Hamiltonian
全系の Hamiltonian :
φ(k; r) = C exp(ik·r)
dΩ =
···
E=
~2 k 2
2m
dS
r2
自由粒子の方程式 H0 φ = Eφ の解
θ
空間的に無限に広がっている (実際の波束は有限の k の広がり)
定数 C の選び方に任意性 (後で議論) ⇒ 以下では簡単のために C ≡ 1 とする
Z
0
3
ei(k−k )·r dr = (2π)3 δ(k−k0 )
規格直行関係 : h φk | φk0 i =
流れの密度 :
j[φ] ≡ −
i~ ∗
~k
[φ ∇φ − φ∇φ∗ ] =
=v
2m
m
e.g. C = V −1/2 とすれば j =
散乱波 : 全系の方程式 Hψ = Eψ の解
v
V
(漸近的境界条件)
f (θ) · · · 散乱振幅
これは適当な境界条件なのか？ (⇒ 積分方程式で説明)
·
¸
i~
∂ ∗
|f (θ)|2
∗ ∂
外向き球面波 χ の流れの密度 : j[χ]·b
r = −
χ
χ−χ χ = v
+ O(r−3 )
2m
∂r
∂r
r2
(eθ 成分無視)
r→∞
dY
j[χ]·b
r dS −→ v |f (θ)|2 dΩ =
dt
|{z}
dσ
dY
1
“粒子計数率”
∴
=
= |f (θ)|2
dΩ
|j[φ]| dtdΩ
3
h r | φk i = φ(k; r)
z
· · · 次元は [面積 · 時間]−1
r→∞
exp(ikr)
ψ(k; r) −→ exp(ik·r) + f (θ)
r
| {z }
|
{z
}
= φ(r)
≡ χ(r)
r
(1-1)
入射波は散乱された分減るはず · · · 平面波 φ と外向き球面波 χ の干渉部分
"
µ
¶
i~
exp(−ikr)
exp(−ikr)
∗
∗
jint (r) = −
f (θ)
∇ exp(ik·r) − exp(ik·r) ∇ f (θ)
2m
r
r
#
µ
¶
exp(ikr)
exp(ikr)
+ exp(−ik·r) ∇ f (θ)
− f (θ)
∇ exp(−ik·r)
r
r
·
¸
~k 1+ cos θ
∗
jint (r) · rb =
f (θ) exp [−ikr(1− cos θ)] + f (θ) exp [ikr(1− cos θ)] + O(r−2 )
2m
r
5
k·r = kr cos θ
cos θ 6= 1 では exp[· · · ] が r → ∞ で k に関して激しく振動。実際の波束は k の広がりを持ち、k に関する積分は θ 6= 0 で相殺する。
Z
i
r→∞ ~k 1 h
波束
jint (r)·b
f ∗ (0) exp[−ikr(1− cos θ)] + f (0) exp[ikr(1− cos θ)]
r =
jint (r)·b
r J (k) dk '
m r
k は波束に関する平均
θ ≤ δθ ' 0 の小立体角で流れの密度を積分すると
¸
·
Z δθ
1− exp[ikr(1− cos δθ)]
~|k|
1− exp[−ikr(1− cos δθ)]
波束
2
∗
2πr f (0)
+ f (0)
jint ·b
r 2πr sin θ dθ =
m
ikr
−ikr
0
δθ → 0
~ ∗
b = − 4π~ Imf (0) k
b
' 2π
[f (0) − f (0)] k
im
m
一方、ψ が Schrödinger 方程式を満たすな̇ら̇ば̇ (V が Hermitian であるとして)
Gauss の定理から
Z
Z
Z
j(r)·b
r dS = 0 =
j[φ]·b
r dS
|
{z
}
=0
右辺第 3 項は入射波の
減̇少̇分̇を表わす。
Z
dσ
dΩ との関係は光学定理と呼ばれる。
全断面積 σtot =
dΩ
k
σtot = Imf (0)
4π
+
∇·j(r) = −
Z
¤
i~ £ ∗ 2
ψ ∇ ψ − ∇2 ψ ∗ ψ = 0
2m
jint ·b
r dS
| {z }
4π~
= v |f (θ)|2 dΩ = v σtot = −
Imf (0)
m
j[χ]·b
r dS
| Z {z
}
+
6
1.2
Green 関数と積分方程式・Born 近似 [復習]
全系の Schrödinger 方程式
Hψ =Eψ
自由粒子の方程式
H0 φ = E φ
(∇2 + k 2 ) φ = 0 : Helmholtz 方程式
2m
(∇2 + k 2 ) χ = V ψ
ただし V = 2 V
~
ψ = φ + χ と置くと
となる Green 関数 G0 が求められれば、
G0 の Fourier 変換 G0 を考える。
一方
=⇒
(∇2 + k 2 ) G0 (k; r) = δ(r)
Z
χ(k; r) =
G0 (k; r−r 0 ) V(r 0 ) ψ(k; r 0 ) dr 0
Z
(1-2)
から χ が得られる。
G0 の求め方 (の一つ)
G0 (k; k0 ) exp(ik0 ·r) dk0
Z
−3
δ(r) = (2π)
exp(ik0 ·r) dk0
G0 (k; r) =
(k 2 − k 02 ) G0 (k0 ; k) = (2π)−3
Z ∞ 0
Z
exp(ik0 ·r) 0
1
k sin(k 0 r) 0
−3
G0 (k; r) = (2π)
dk
=
dk
k 2 − k 02
2π 2 r 0
k 2 − k 02
¶µ
¶
Z ∞µ
i
1
1
0
0
=
+ 0
exp(ik r) − exp(−ik r) dk 0
2
0
16π r −∞ k + k k − k
これらを式 (1-2) に代入すると
従って
積分内は偶関数なので
極 k 0 = ±k の避け方は色々あるが、外向き (+) 球面波と内向き (−) 球面波となる解を採用。
Z
1
exp(ik0 ·r)
1 exp(±ikr)
(±)
0
G0 (k; r) = lim
dk
=
−
²→ +0 (2π)2
(k ± i²)2 − k 02
4π
r
(1-3)
求め方終り
まとめると、散乱波 ψ に関する (第 2 種 Fredholm 型) 積分方程式が得られる。
ψ (±) (k; r) = φ(k; r) + χ(k; r)
Z
exp(±ik|r−r 0 |)
1
= exp(ik·r) −
V(r 0 ) ψ (±) (k; r 0 ) dr 0
4π
|r − r 0 |
積分は V (r) ψ(r) が r → ∞ で r−2 より速く 0 に収束しなければ定義できない
· · · Coulomb 力、内部構造を持つ粒子の分解で問題
7
√
r 0 の積分が適当な体積にとどまるとする。r → ∞ では r0 ¿ r なので
|r − r 0 | = r2 + r02 − 2r·r 0 → r − rb·r 0
Z
r→∞
積分方程式に代入
exp(±ikr) 1
(±)
ψ (k; r) −→ exp(ik·r) −
exp[−ik(b
r ·r 0 )] V(r 0 ) ψ (±) (k; r 0 ) dr 0
r
4π
| {z ¾ } |
{z
}
−f (θ)
+: 外向き
−: 内向き
球面波
境界条件 (1-1) が自動的に満たされている。微分方程式に較べ、逐次的 (iterative) に近似解を求められる等が利点。
散乱方向の波数ベクトル k0 ≡ k rb を定義すると4 、散乱振幅は
k
Z
¯
¯
D
E
m
1
¯ ¯ (+)
exp(−ik0 ·r 0 ) V(r 0 ) ψ (+) (k; r 0 ) dr 0 = −
φk0 ¯ V ¯ ψk
f (θ) = −
2
4π
2π~
| {z }
平面波 φ の規格化に依存
積分方程式の演算子による表現 — Lippmann-Schwinger 方程式
3́
´
´ k0
´
-´ θ
(1-4)
式 (1-3) を使って (2² → ² として) 積分方程式を書き直すと (ただし E 00 = ~2 k 002 /2m)
¸
Z ·Z
1
1
(±)
00
00
0
ψ (k; r) = exp(ik·r) + lim
exp[ik ·(r−r )] dk V (r 0 ) ψ (±) (k; r 0 ) dr 0
²→ +0 (2π)3
E − E 00 ± ²
|
{z
}
1
(Schrödinger 方程式により) =
exp[ik00 ·(r−r 0 )]
E − H0 ± ²
R
k00 を含むのは exp(ik00 ·r) だけなので (演算子 H0 は k00 を含まない！) 積分 dk00 を実行すると
Z
1
= exp(ik·r) + lim
δ(r−r 0 ) V (r 0 ) ψ (±) (k; r 0 ) dr 0
²→ +0 E − H0 ± ²
dr 0 の積分を実行してまとめると
ψ (±) (k; r) = φ(k; r) + lim
²→ +0
1
V (r) ψ (±) (k; r)
E − H0 ± ²
Lippmann-Schwinger 方程式5 が得られる (通常 lim は省略される)。
²→ +0
見掛上は Schrödinger 方程式
の反転 ψ =
4
5
次節で示すように |k| = |k0 | でなくとも良い。
B.A. Lippmann and J. Schwinger, Phys. Rev. 79 (1950) 469.
£
¤
E − H0 ψ = V ψ
1
V ψ と斉次方程式一般解 φ の和
E − H0
8
この式に現れる “演算子”6
(±)
G0 (E)
1
≡
E − H0 ± ²
を単に Green 関数と呼ぶ事も多い7 。
方程式を逐次代入して得られる
(±)
ψ (±) = φ + G0 V ψ (±)
|{z}
方程式自身を代入
h
i
(±)
(±)
(±)
= φ + G0 V φ + G0 V ψ
|{z}
..
更に代入
.
(±)
(±)
(±)
(±)
(±)
(±)
= φ + G0 V φ + G0 V G0 V φ + G0 V G0 V G0 V φ + · · ·
¯ ¯ (+) ®
は Born 展開と呼ばれる。散乱振幅 f (θ) ∝ φk0 ¯ V ¯ ψk
を模式的に描くと
MB
φk0
B
B
B
B
6V
(+)
ψk
MB
=
φk0
B
B
B
B
6V
MBB
+
φk0
B
B
COC V
C G0
C
6V
MB
B
φk0
BV
6
G0
+ V MB
B G0
B
V
6
φk
φk
φk
1 次 Born
2 次 Born
3 次 Born
+ ···
相互作用 V が小さく、Born 展開の収束が十分速い時、(第 1 次) Born 近似
m D ¯¯ ¯¯ E
f (θ) ' −
φk0 ¯ V ¯ φk
2π~2
が近似解として良く使われる8 。Born 展開の収束性の条件については参考文献 [6–8] 等を参照。
6
E は波動関数が持つ固有値であり、これを含むと言う事は、任意の波動関数に作用させる事ができない、つまり通常の意味の演算子ではない事を意味する。
r 空間での表現が本来の Green関̇数̇だが、“Green’s operator” に対する訳語として “Green 演算子” は何故かあまり使われない。resolvent (溶剤から転じて
逆核の意) と呼ばれる事もある。場の理論で 4 次元時空に拡張されたものを伝播関数 (propagator) と呼ぶが、これを総称的に用いる事も多い。
8
実際には Green 関数を計算していないので 1 次 Born 近似は簡単。逆に 2 次以上は急速に計算が困難になり、通常扱われない。
7
9
例: 中̇性̇電荷分布による荷電粒子の散乱
漸近的に中性となる電荷分布の作るポテンシャルが湯川型
V (λ; r)
=
で表される時、Born 近似を適用すると
D ¯ ¯ E
¯ ¯
φk0 ¯V ¯φk
=
∴
Ã
dσ
dΩ
!
.
ここで、λ → 0 (即ち V (r) → Ze2 r) の極限
=
=
Born
λ→0
−→
exp(−λ r)
r
Z
exp(i(k−k0 )·r − λr)
2
Ze
dr
r
Z ∞
4πZe2
2 4π
Ze
exp(−λr) sin(qr) dr = 2
q 0
q + λ2
"
#2
¯
¯
2
¯ m D ¯¯ ¯¯ E¯2
2mZe
¯
¯
¯ 2π~2 φk0 ¯V ¯φk ¯ = ~2 (q 2 + λ2 )
Ze2
Ã
Ze2
4E
!2
sin−4
θ
2
運動量移行 q ≡ k − k0 を定義
q = 2k sin
θ
なので
2
は Rutherford の公式 (後で示すように量子力学的にも厳密に正しい) を与えるが、前提となる積分方程式が Coulomb 力では定義でき
ないので、偶然の一致と見るべきである。実際、第 2 次 Born 展開項
Z Z
¯ E
D ¯
exp(ik|r−r 0 |)
m2
¯
¯
(+)
0
φk0 ¯ V G0 V ¯φk =
exp(−ik
·r)
V
(r)
V (r0 ) exp(ik·r 0 ) dr dr 0
π~4
|r − r 0 |
は発散する (第 1 次 Born 項が発散するのは q = 0 だけだが、第 2 次 Born 項は至る所で発散する)。
“G0 を使った” Lippmann-Schwinger 方程式は
• V が核力 (強い相互作用) ポテンシャルである場合に Born 展開が有効でない
• V が Coulomb ポテンシャルを含む (漸近的に r−1 に比例する) 場合に適用できない
という点で実用性に乏しい。次節でこれらを克服する手段を紹介するが、その前に幾つかの有用事項をまとめておく。
10
散乱の形式解・T 行列要素
一般に不可換な演算子 A と B に関して
が成り立つので、
と置くと、H − H0 = V より
従って
1
1
1
1
1
1
−
=
(B − A)
=
(B − A)
A B
A
B
B
A
A → E − H0 ± i² , B → E − H ± i²
1
1
1
1
=
−
V
E − H0 ± i²
E − H ± i²
E − H ± i² E − H0 ± i²
1
V ψ (±)
E − H0 ± i²
|
{z
}
上の関係で置き換え
·
¸
1
1
= φ +
1−V
V ψ (±)
E − H ± i²
E − H0 ± i²
·
¸
1
1
(±)
(±)
= φ +
V ψ −
Vψ
E − H ± i²
E − H0 ± i²
|
{z
}
Lippmann-Schwinger 方程式自身を使って · · ·
1
Vφ
= φ +
E − H ± i²
|
{z
}
(±)
G (E) と表わす
ψ (±) = φ +
という散乱の形式解が得られる。散乱振幅 (1-4) に代入すると
m D ¯¯ ¯¯ (+) E
f (θ) = −
φk0 ¯ V ¯ ψk
2π~2
¯ E
m D ¯¯ (+)
¯
0
φ
= −
T
(E)
¯
¯ φk
k
2π~2 |
{z
}
遷移行列 (T -matrix)
ここで
T (+) (E) = V + V G (+) (E) V
と定義した。
9
G0 (E) と同じ理由で (ページ 8 の脚注 6) 通常の意味の演算子ではない。
: 遷移演算子9
11
Lippmann-Schwinger 方程式との対応から、T が
(+)
T (+) (E) = V + V G0 (E) T (+) (E)
(1-5)
を満たすのは明らか (遷移演算子に対する Lippmann-Schwinger 方程式)。
一方、|φki ⇒ |φk0 i の単位時間当りの遷移確率 Wk→k0 と遷移行列は
Wk→k0 =
Fermi’s Golden Rule No. 2
2π ¯¯D ¯¯ ¯¯ E¯¯2
¯ φk0 ¯ T ¯ φk ¯ ρ(E 0 ) : Fermi の第 2 黄金律
~
| {z }
状態密度
によって関係付けられる。規格直行関係を hφk | φk0 i = (2π)3 δ(k−k0 )、つまり完全性を
Z
dk
|φki
hφk| = 1
(2π)3
と定めたので、区間 (k, k+dk) にある状態の個数は dk/(2π)3 、従って状態密度は
p2 dp dΩ
mp
dk
=
=
dE dΩ = ρ(E) dE dΩ
3
3
(2π)
(2π~)
(2π~)3
E=
から求められる10。微分断面積との関係は (E 0 = E とすると)
つまり、
dσ
m2 2π ¯¯D ¯¯ ¯¯ E¯¯2
m
= |f (θ)|2 =
Wk→k0
¯ φk0 ¯ T ¯ φk ¯ =
3
dΩ
(2π~) ~
p
|{z}
−1
j[φk]−1 · · · [流れの密度]
微分断面積は入射粒子の流れの密度で規格化された遷移確率
になっている事がわかる。
実際、j[φk] は [面積 · 時間]−1 、Wk→k0 は [時間]−1 の次元を持つので、断面積は文字通り [面積] の次元を持つ。
10
例えば、平面波を φ(k; r) = V −1/2 exp(ik·r) と定義した場合には ρ(E) =
mp
V となる。
(2π~)2
p2
p
⇒ dE = dp
2m
m
多体終状態反応の状態密度 (位相空間分布)
2 体反応
前ページで述べた状態密度は 2 体終状態 (終状態が 2 粒子) の場合であった。
´
´
-´
s
J
J
J
J
^s
s
n 体終状態の場合の状態密度は、観測粒子を 1, · · · , n−1 として、これまで暗黙に使っていた
エネルギー・運動量保存則11 を明示的に使うと
mi p i
dki
=
dΩi dEi
¶
µ
¶
Z
Z µ
3
3
n
n
n
(2π)
(2π~)
X
X
Y dki
··· δ P−
pi δ E−
Ei
(2π)3
i=1
i=1
i=1
m 1 p1
mn−1 pn−1
=
dΩ1 · · · dΩn−1 dE1 · · · dEn−2
···
3
(2π~)
(2π~)3
{z
}
|
ρn (E1 , · · · , En−1 )
3́
´
´
s
s
Á
³
1s
³³³
-³
s ³
..
Q
C Q
.
C Q
Q
C
Q
Q
ss
CWs
n 体終状態
s
12
n 体終状態反応の微分断面積は一般に次のように書ける 。
¯ ¯ E¯2
1 2π ¯¯D
d 2n−3 σ
¯ ¯
¯
=
¯ φk1 k2 ···kn ¯ T ¯ φk ¯ ρn (E1 , E2 , · · · , En−1 )
dΩ1 dΩ2 · · · dΩn−1 dE1 dE2 · · · dEn−2
j[φk] ~
観測粒子が n−1 より少ない時、エネルギーは一意に決まらず分布を持つ。
例: β 崩壊
n → p + e− + ν̄e
(A, Z) → (A, Z+1) + e− + ν̄e
→ (A, Z−1) + e+ + νe
: β− 崩壊
: β+ 崩壊
例: 分解した残留粒子の共鳴探索
相対論的 (Lorentz 不変な) 位相空間分布 (1/h3(n−1) を省略)
¶Y
¶Y
Z
Z µ
Z
Z µ
n
n
n
n
X
X
d3 pi
4
2
2 4
4
··· δ P −
pi
δ(pi −mi )d pi =
··· δ P −
pi
2Ei
i=1
i=1
i=1
i=1
∵ 一般に関数 f (x) の零点 xi (f (xi ) = 0) に対し δ(f (x)) =
11
2
δ(p20 −|p|2 −m2 )
−→
X δ(x − xi )
¯ . ¯ なので
¯
¯
i ¯df dx¯
δ(p0 +E) + δ(p0 −E)
δ(p0 −E)
δ(p −m ) =
=
→
2E
2E
|
{z
}
零点は p0 = ±E
2
non rel.
Z
···
Z
µ
¶Y
n
n
X
d3 pi
δ P−
pi
2mi
i=1
i=1
4
x=xi
(p0 = −E は物理的に無意味)
波動関数の規格化は
®
φk0 |φk = (2π)3 2E
2 体反応では、質量中心運動を分離し相対運動のみを議論する事で暗黙に使われていた。
運動量の保存から Ωi と pi (⇒ Ei ) の自由度は 1 つずつ減り、エネルギーの保存から Ei の自由度は更に 1 つ減る。Ωi は本来 θi と φi の 2 つの自由度を表す
ので、全体の自由度は 3n−4 (微分断面積としては 3n−4 階の微分量) であるのだが、慣̇習̇的̇に̇ Ωi を 1 つの自由度として 2n−3 階と表現するのが一般的である。
12
12
13
応用: Lippmann-Schwinger 方程式の離散運動量表現による数値解法13
式 (1-5) の運動量表現は、|φki に対する行列要素を用いて14
2m 1
hφk0 |T |φki = hφk0 |V |φki + lim 2
²→+0 ~ (2π)3
と書ける15 。一般に Z
lim
²→+0
F (k00 )
dk 2
= P
k − k 002 + i²
00
Z
0
∞
dk
00
Z
Z
hφk0 |V |φk00 ihφk00 |T |φki 3 00
dk
k 2 − k 002 + i²
(1-6)
k 002
F (k00 )
2 − k 002
k
4π
Ã
!
Z
Z +∞
00
00
k
k
1
dΩk00 lim
dk 00 00
+
F (k00 )
−
²→+0 −∞
4 4π
k −(k+i²) k 00 +(k+i²)
|
{z
}
2πi kF (k)
dΩk00
(P は積分の主値、右辺第 2 項は被積分関数が k に関して偶関数である事を使った) なので、式 (1-6) 右辺第 2 項の積分は
Z ∞
Z
Z
Z
¯
iπk
hφk0 |V |φk00 ihφk00 |T |φki 3 00
¯
002
00 hφk0 |V |φk00 ihφk00 |T |φki
00
00
0
00
00
lim
dk =
dΩk P
k dk
−
dΩk hφk |V |φk ihφk |T |φki¯
2
002
2
002
²→+0
k − k + i²
k −k
2 4π
|k00 |=|k|
0
4π
と書き直せる。以下では lim を省略する。
²→+0
k 00 −k ³
a+x ´
00
k に関する [0, ∞] の数値積分は、例えば定義域 [−1, +1] の変数 x ≡ a 00
従って k = k
を導入すれば、Gauss-Legendre 法
k +k
a−x
00
2ak
∂k
00
00
=
。a は本来 1 だが、多少大き目の値を選べば kmin
等の有限区間積分法が適用できる。Jacobian は
と kmax
にカットオフ
∂x
(a−x)2
を与えられる。
00
b 00 の角度積分は、V が球対称であるか、テンソル相互作用等のように角運動量結合の性質が良くわかっている演算子で書ける場合に
k
は、部分波展開が有利 (後述)。しかしこのような対称性の指針が全く無い場合の有力な方法に Lebedev の求積法16 がある。これは、
適当な評価点での重み付き総和をとるという点で Gauss 法に類似しているが、極座標の (θ, φ) を分離せずに格子点を与える所に特徴
があり、θ と φ で各々Gauss 法を適用するより評価点が 2/3 程度で済むという利点がある。例として、lmax = mmax = 15 までの積分
を正しく評価するのに必要な Lebedev の格子点 (350 点) と、分離変数による Gauss 法の格子点 (512 点) を図に示す。
13
例えば M. Ingr, M. Polášek, P. Čársky, and J. Horáček, Phys. Rev. A 62 (2000) 032703. に詳しい。
|φk i は完全基底系であれば平面波でなくとも良い。
15
ここで hr|ki = (2π)−3/2 exp(ik·r) と定義されている。hr|ki = exp(ik·r) を採用する場合は、グリーン関数に全て (2π)−3 を乗ずる必要がある。
16
V. I. Lebedev, Zh. Vychisl, Mat. Mat. Fiz. 16 (1976) 293; l = 131 までの Lebedev 格子点と重みを生成する Fortran プログラムは
http://www.ccl.net/cca/software/SOURCES/FORTRAN/Lebedev-Laikov-Grids/ から入手可能。ただし、重みは全立体角積分が 1 となるように
規格化されているので、通常の Green 関数の定義では 4π を乗じる必要がある事に注意。
14
Lebedev grid
Gauss grid
lmax = mmax = 15 の積分に必要な Lebedev 法の格子点 (左: 350 点) と (θ, φ) 分離変数による Gauss 法の格子点 (右: 512 点) の x-y 平面射影図。
これらの求積法により、精度を損なわずに積分方程式を行列演算で解く事ができる。k00 の動径積分の Gauss-Legedre 格子点と重みを
Ω
で表し、行列要素
xi と wiR (対応する運動量を ki00 )、角度積分の Lebedev 格子点と重みを Ωm と wm
2m iπk Ω
if ki00 = k
−δnm δji ~2 2 wm
³
´
(+)
G0
≡
2m k 00 2
2ak
nj,mi
wR wΩ
if ki00 6= k
δnm δji 2 2 i 00 2
~ k −ki (a−xi )2 i m
³ ´
V
≡ hkj00 Ωn |V|ki00 Ωm i
nj,mi
³ ´
T
nj,mi
≡ hkj00 Ωn |T |ki00 Ωm i
を定義すると、逆行列の演算
T =
によって遷移行列要素が求められる。
³
(+)
1 − V G0
´−1
V
運動量ベクトル k = (kj Ωn ) は積分の格子点で決まってしまう (求めたい終状態ベクトルには一致しない) が、T の完全セットの表現
を求めているので、必要な運動量終状態への遷移は、あらためて Lippmann-Schwinger 方程式
(+)
T = V + V G0 T
を用いれば計算する事ができる。
14
15
1.3
部分波による扱い [復習]
"
Ã
!
#
2
~2 1 ∂
∂
L
H = −
r2
− 2 2 + V (r)
2m r2 ∂r
∂r
~r
| {z }
球対称とする
極座標表示
L2 Ylm (θ, φ) = ~2 l(l+1) Ylm (θ, φ)
Lz Ylm (θ, φ) = ~ m Ylm (θ, φ)
完全系 Ylm (θ, φ) による展開
ψ
(+)
(k; r) = 4π
∞
X
l
i Rl (k; r)
l=0
ul (k; r)
と置くと、動径成分は
Rl (k; r) ≡
kr
ただし ul (k; 0) = 0
·
l
X
m=−l
Yl
m∗
b Y m (b
(k)
r) =
l
∞
X
l=0
b r)
(2l+1) il Rl (k; r) Pl ( k·b
|{z}
cos θ
¸
l(l+1)
d2
2
+k −
− V(r) ul (k; r) = 0
dr2
r2
|{z}
2m
= 2 V (r)
~
V(r) = 0 となる領域 (r > a) の Rl (k; r) の独立な 2 解
または
一般解はこれらの線型結合
球 Bessel 関数
球 Neumann 関数
球 Hankel 関数
(+)
jl (kr)
nl (kr)
: 原点で正則
: 原点で特異
(±)
hl (kr) ≡ jl (kr) ± i nl (kr)
(−)
Rl (kr) = Al hl (kr) + Bl hl (kr)
NOTE
sin ρ
sin ρ cos ρ
, j1 (ρ) =
−
ρ
ρ2
ρ
cos ρ
cos ρ sin ρ
n0 (ρ) = −
, n1 (ρ) = − 2 −
ρ
ρ
ρ
j0 (ρ) =
漸化式
Wronskian
(2l+1) Rl (ρ) = ρ [Rl+1 (ρ) + Rl−1 (ρ)]
·
¸
d
d
2
ρ nl jl − jl nl = 1
dρ
dρ
微分方程式の形だけで決まる
Green 関数の部分波表示で使用
漸近形
ρ→0
jl (ρ) −→
ρ→∞
−→
ρ→0
ρ→0
ρl
(2l−1)!!
(2l−1)!!
(±)
nl (ρ) −→ − l+1
hl (ρ) −→ ∓i l+1
(2l+1)!!
ρ
ρ
µ
¶
µ
¶
ρ→∞
ρ→∞
¡
¢
1
lπ
1
lπ
1
sin ρ−
−→ − cos ρ−
−→ (∓i)l+1 exp ±iρ
ρ
2
ρ
2
ρ
classical turning point: rc
NOTE 終り
散乱波の境界条件
r→∞
ψ (+) (k, r) −→ exp(ik·r) + f (θ)
~2 l(l+1)
E=
2m rc2
· 2
¸
d
l(l+1)
2
+k −
ul = 0
dr2
r2
⇒ 巾関数・振動部分の分岐点
p
k rc = l (l+1) ∼ l
exp(ikr)
r
を満たすように Al , Bl を決めると、平面波の Rayleigh 展開
∞
X
exp(ik·r) =
(2l+1) il jl (kr) Pl (cos θ)
| {z ³
}
l=0
´.
(+)
(−)
2
= hl + hl
から Bl = 1/2 である。Sl ≡ 2Al と表すと
∞
h
i
X
r>a
(+)
(−)
l 1
(+)
(2l+1) i
ψ (k; r) −→
Sl (k) hl (kr) + hl (kr) Pl (cos θ)
2
l=0
∞
exp(ikr) X 2l+1
−→ exp(ik·r) +
[Sl (k)−1]Pl (cos θ)
r
2ik
{z
}
|l=0
= f (θ)
従って、V (a) ∼ 0 となる a に対し、
r→∞
• r < a の領域の解を適当な方法 (例えば Numerov 法等) で解き、
d .
• r = a での Rl Rl の連続性から Sl を決定 (必要なら r < a の解を規格化)、
dr
• lmax ∼ ka まで部分波の和をとれば良い。
上図に示した V に対する Sl 。
Sl = exp(2iδl )
で定義される位相のずれ δl を使う事も多い。
特に弾性散乱では |Sl | = 1 なので δl は実数。
16
1.4
弾性散乱からの拡張
am
a + A −→ b + B 型の一般的反応 (分類に関する詳細は後述)
始状態 α の漸近的 Hamiltonian
3́
rα º· º·
´
- A
´ rβ
B
¹¸
⇒
始状態 α
~
∇2
2mα rα
2
Tα ≡ −
mα ≡
¹¸
終状態 β
ma mA
ma + mA
· · · 粒子 a, A の内部座標 xa , xA に関する Hamiltonian
Hα = Ha + HA
ϕα (xα ) = ϕa (xa ) ϕA (xA )
bm
· · · 対応する波動関数 (xα は xa と xA のセット)
xA = {r1 , r2 , · · · , rA }
ただし Hα ϕα = ²α ϕα , ²α = ²a + ²A , hϕα |ϕα i = 1
始状態平面波
[Hα + Tα − E] Φα (xα , rα ) = 0
Φα (xα , rα ) = ϕα (xα ) φkα (rα )
E − ²α ≡ Eα =
~2 kα2
2mα
φkα (rα ) = exp(ikα ·rα )
Tα φkα (rα ) = Eα φkα (rα )
終状態 β に関しても同様。ただし、一般に hϕβ |ϕα i 6= 0 (直行していない)
終状態平面波
[Hβ + Tβ − E] Φβ (xβ , rβ ) = 0
Φβ (xβ , rβ ) = ϕβ (xβ ) φkβ (rβ )
E − ²β ≡ Eβ =
全 Hamiltonian
~2 kβ2
2mβ
φkβ (rβ ) = exp(ikβ ·rβ )
Tβ φkβ (rβ ) = Eβ φkβ (rβ )
H = Hα + Tα + Vα (rα , xα )
= Hβ + Tβ + Vβ (rβ , xβ )
V の x 依存性が反応を誘起する要
17
18
始状態座標系での散乱波
[Hα + Tα + Vα −E] Ψα (xα , rα ) = 0
|
{z
}
=H
ψα (rα ) ≡ hϕα |Ψα i
式 (1-7) に左から ϕα をかけて積分すると
と定義
(1-7)
注意: Ψ (x, r) 6= ϕ(x) ψ(r)
[E − ²α −Tα ] ψα = hϕα | Vα | Ψα i
| {z }
Eα
一方、求めたいのは α → β の射影
だが、式 (1-7) の H を終状態表現で置き換えた
ψβ (rβ ) ≡ hϕβ |Ψα i
[Hβ + Tβ + Vβ − E] Ψα = 0
に、左から ϕβ をかけて積分すると
[Eβ − Tβ ] ψβ = hϕβ | Vβ | Ψα i
すなわち
(∇2rβ + kβ2 ) ψβ =
(±)
ここで Green 関数 G0
を使うと
(±)
ψβ (rβ )
r→∞
mβ exp(±kβ rβ )
−→ δαβ exp(ikα ·rα ) −
2π~2
rβ
(β 6= α の時には入射平面波が無い事を考慮した)。従って
fβα (θ) = −
α → β の微分断面積は
2mβ
hϕβ | Vβ | Ψα i
~2
Z
D ¯ ¯
E
¯ ¯
exp(−ikβ ·rβ0 ) ϕβ ¯ Vβ ¯ Ψα(±) drβ0
{z
}
|
hΦβ |
mβ D ¯¯ ¯¯ (+) E
Φβ ¯ Vβ ¯ Ψα
2π~2 |
{z
}
Tβα
dσβα
1
m α kβ
=
vβ |fβα (θ)|2 =
|fβα (θ)|2
dΩ
vα
m β kα
=
1 2π
m α m β kβ
2
2 mβ ~kβ
|T
|
=
|T
|
βα
βα
(2π~2 )2 kα
vα ~
(2π~)3
| {z }
|{z}
ρ(Eβ ) 終状態密度
始状態流れの密度
19
post-prior equivalence17
Tβα
D ¯ ¯
E
D ¯ ¯ E
¯ ¯ (+) Born 近似
¯ ¯
BA
= Φβ ¯ Vβ ¯ Ψα
=⇒
Tβα = Φβ ¯ Vβ ¯ Φα
非対称な形？
実は Lippmann-Schwinger 方程式の形式解を使うと
D ¯ ¯
E
¯ ¯ (+)
Tβα = Φβ ¯ Vβ ¯ Ψα
· · · post-formalism
#¯ +
* ¯ "
¯
¯
1
¯
¯
Vα ¯ Φα
=
Φβ ¯ Vβ 1 +
¯
¯
E−H+i²
# ¯ +
* ¯"
¯ E
¯
¯
D ¯
1
¯
¯
¯
¯
Vα ¯ Φα + Φβ ¯ (Vβ −Vα ) ¯ Φα
=
Φβ ¯ 1 + Vβ
¯
¯
E−H+i²
|
{zD ¯ }
¯ E
¯
¯
*"
# ¯ ¯ +
(H
+T
−H
−T
)
=
Φ
¯ Φα
¯
α
α
β
β
β
¯
¯
1
¯ ¯
= (²α +Eα −²β −Eβ )hΦβ |Φα i = 0
=
1+
Vβ Φβ ¯ Vα ¯ Φα
¯ ¯
E−H−i²
=
という一般的関係が導かれる。
(+)
¯ ¯ E
D
¯
(−) ¯
Ψβ ¯ Vα ¯ Φα
· · · prior-formalism
(+)
それぞれに対応する Born 近似は、Ψα → Φα および Ψβ → Φβ という異̇な̇る̇近̇似̇を適用する事になるため、等号関係が保存される
かは自明でない。しかし、上でエネルギー保存を使って示したように Born 近似でも post-prior equivalence は成り立ち、遷移行列は
対称な形になる。
D ¯ ¯ E
¯ ¯
BA
Tβα = Φβ ¯ Vβ ¯ Φα
· · · post-formalism
D ¯ ¯ E
¯ ¯
= Φβ ¯ Vα ¯ Φα
· · · prior-formalism
これは「求め易いチャネルでの相互作用を使えば良い」事を意味する便利な関係と言える。
17
post-prior equivalence は、ここに示した以外にも色々な方法で証明可能であり、時間反転不変性による方法 (文献 [5,1]) や、次節で説明する Gell-Mann
Goldberger 変換を用いた方法 (文献 [9]) 等がある。
20
1.5
歪曲波 (distorted wave) への拡張
粒子の内部座標 xα に依存しないポテンシャル Uα (rα ) に対し
h
i
Eα − Tα − Uα (rα ) χα (kα ; rα ) = 0
となる χα が比較的容易に求められるとする。Schrödinger 方程式 (H−E) Ψ = 0 は
を使うと
と書ける。ここで
distorted Green’s function
hϕα | Uα | Ψα i = Uα hϕα |Ψα i = Uα ψα
h
i
Eα − Tα − Uα ψα (kα ; rα ) = hϕα | (Vα −Uα ) | Ψα i
h
i
Eα − Tα − Uα Gα (kα ; rα , rα0 ) = δ(rα −rα0 )
(1-8)
となる 歪曲された Green 関数 が (χα を使って) 求められれば、散乱波は
Z
ψα (kα ; rα ) = χα (kα ; rα ) + Gα (kα ; r, r 0 ) hϕα | (Vα −Uα ) | Ψα i dr 0
と書ける。
Gα の求め方
簡単のために k, r, m の添字 α を省略。それぞれの多重極展開を
X
4π X l
b Y m (b
χα (k; r) =
i ul (k; r)
Ylm∗ (k)
r)
l
kr l
m
X
X
1
0
Gα (k; r, r 0 ) =
g
(k;
r,
r
)
Ylm∗ (b
r ) Ylm (b
r0)
l
rr0
m
l
と定義し、
δ(r−r0 ) X m∗
Yl (b
r ) Ylm (b
r0)
rr0
lm
に注意すると、式 (1-8) の動径成分は
"
#
d2
l(l+1)
2m
2m
2
0
−
+
k
−
U
g
(k;
r,
r
)
=
δ(r−r0 )
α
l
2
2
2
2
dr
r
~
~
δ(r−r 0 ) =
(1-9)
正則な斉次解 ul は χα から既知。漸近形が r → ∞ で外向き球面波となる事を要求すると
(+)
gl (k; r, r0 ) = Nl ul (k; r< ) h̃l (kr> )
|{z}
規格化因子
(+)
(+)
ただし h̃l (kr) = kr hl (kr)
式 (1-9) を r = r0 を含む微少区間で積分
2m
=
~2
21
Z
¯r0 +δ
d2
d
0
0 ¯
g
(k;
r,
r
)
dr
=
g
(k;
r,
r
)
¯0
l
l
2
dr
r −δ
r 0 −δ dr
·
¸
¯
¯
d
¯
¯
(+) 0
0 d (+)
= Nl ul (k; r ) h̃l (kr)¯
−
ul (k; r)¯ h̃l (r )
dr
dr
r0 +δ
r0 −δ
·
¸
δ→0
d
d
(+)
(+) 0
0
0
0
−→ Nl k ul (k; r )
h̃ (kr ) − h̃l (r )
ul (k; r ) = −Nl k
d(kr0 ) l
d(kr0 )
|
{z
}
Wronskian
r 0 +δ
2m 1
(+)
なので Wronskian は定数
ul (k; r< ) h̃l (r> )
~2 k
U = 0 の領域で評価すれば 1
X
2m 1 X
(+)
0
r0 )
r ) Ylm (b
= − 2
(kr
)
Ylm∗ (b
G(+)
u
(k;
r
)
h̃
>
l
<
α (k; r, r )
l
0
~ krr l
m
0 X
X
r→∞
2m exp(ikr)
ul (k; r )
−→ − 2
r0 )
i−l
r ) Ylm (b
Ylm∗ (b
0
~
r
kr
r > r0
m
l
m exp(ikr) (−)∗ 0 0
= −
χα (k ; r )
ただし k0 ≡ kb
r
2π~2
r
X
4π X −l
b Y m (b
χ(−)∗
(k; r) ≡
i ul (k; r)
Ylm∗ (k)
r)
と定義した。
α
l
kr l
m
X
4π X l
b Y m (b
=
i ul (k; r)
Ylm∗ (−k)
r ) = χ(+) (−k; r)
(時間反転解)
l
kr l
m
∴ gl (k; r, r0 ) = −
ここで
Schrödinger 方程式から
·
¸
d
d
d
u h−h u =0
dr dr
dr
求め方終り
22
まとめると
ψα(+) (kα ; rα )
=
rα →∞
−→
終状態についても同様に
(+)
ψβ (kβ ; rβ )
rβ →∞
−→
従って
Tβα
=
=
χ(+)
α (kα ; rα )
χ(+)
α (kα ; rα )
+
Z
¯
D ¯
E
¯
¯ (+)
0
G(+)
(k
;
r
,
r
)
ϕ
(V
−U
)
Ψ
drα0
¯
¯
α
α
α
α
α
α
α
α
¯
E
mα exp(ikα rα ) D (−) ¯¯
¯ (+)
−
χα ϕα ¯ (Vα −Uα ) ¯ Ψα
2π~2
rα
¯
E
mβ exp(ikβ rβ ) D (−) ¯¯
¯ (+)
δαβ χ(+)
(k
;
r
)
χ
ϕ
(V
−U
)
Ψ
−
α
α
β¯
β
β ¯ α
α
β
rβ
|
{z
} 2π~2
弾性散乱の場合
D
¯
¯
exp(ikα0 ·rα ) ¯ Uα
¯
¯
¯
E
E
D
¯ (+)
¯
¯ (+)
(−)
¯ χα δαβ + χβ ϕβ ¯ (Vβ −Uβ ) ¯ Ψα
¯
¯
¯ ¯
E
D
E
D
¯
¯
(−) ¯
0
(−) ¯
ϕ
χα ¯ Uα ¯ exp(ikα ·rα ) δαβ + Ψβ ¯ (Vα −Uα ) ¯ χ(+)
α
α
· · · post-form
· · · prior-form
補助ポテンシャル U を導入して遷移行列を分解 · · · Gell-Mann Goldberger 変換18
補足:
(+)
(+)
• U が Coulomb 力を含む場合は、球 Hankel 関数 h̃l (kr) の代わりに Coulomb 波動関数 Hl
Wronskian は同じ (= 1) なので見掛けの形は変わらない。
(kr) を用いる (後述)。
• Green 関数 Gα (k; r, r 0 ) は r = r0 で不連続。
馴染み深い例： Laplace 方程式 ∇2 φ(r) = 0 の Green 関数
l
X rl
1
1 X m∗
<
Yl (b
r )Ylm (b
r0 )
=
4π
l+1 2l+1
|r − r 0 |
r>
l
m=−l
· 2
¸
d
l(l+1)
cf.
−
ul (r) = 0 の独立な 2 解は ul (r) = rl+1 , r−l
2
dr
r2
18
M. Gell-Mann and M.L. Goldberger, Phys. Rev. 91 (1953) 398; K.M. Watson, Phys. Rev. 88 (1952) 1163.
d2
→ δ(r−r0 )
dr2
23
歪曲波 Born 近似 (Distorted Wave Born Approximation: DWBA)
(V −U ) が小さい時 (V や U 自身が小さくなくても良い)、Ψ → χϕ と近似すると
¯
¯
D
E
¯
¯ (+)
(−)
DWBA
Tβα
= χβ ϕβ ¯ (Vβ −Uβ ) ¯ χα ϕα
¯
¯
D
E
¯
¯
(−)
= χβ ϕβ ¯ (Vα −Uα ) ¯ χ(+)
ϕ
α
α
formfactor
形状因子
· · · post-form
· · · prior-form
¯h
i¯
E
¯
¯
Fx (rα , rβ ) ≡ ϕβ (xβ ) ¯ Vx (x, r)−Ux (r) ¯ ϕα (xα )
¯
¯
D
E
¯
¯
(−)
DWBA
Tβα
= χβ (rβ ) ¯ Fx (rα , rβ ) ¯ χ(+)
(r
)
α
α
D
を定義すると
x = α または β
ただし α 6= β として第 1 項は省略した。
原子核反応の解析で非常に広く使われている。具体的応用例は次節で紹介する。
· · · 最も一般的な原子核反応 (e.g. 加速器からの一次ビームは荷電粒子)
例：Coulomb 力+短距離力による弾性散乱
弾性散乱 (ϕα = ϕβ ) なので ϕ および添字 α, β を省略。
U (r) =
Za ZA e 2
, V (r) = U (r) + W (r)
r
散乱振幅の Gell-Mann Goldberber 変換
f (θ) = fC (θ) + fW (θ)
fC (θ) : 純粋な Coulomb 力による散乱振幅
¯ ¯
D
E
¯ ¯ (+)
exp(ik·r) ¯ U ¯ χC
では計算できない
Z
G0 (r, r 0 ) U (r 0 ) χC (r 0 ) dr 0
| {z } | {z }
|{z}
1
1
r02 dr0 dΩ
∼ 0
∼ 0
r
r
=⇒ 放物線座標による解の漸近形から
fW (θ) : 短距離力による効果
=⇒ 極座標による部分波展開から
ただし r > a で W (r) = 0
24
Coulomb parameter · · · 運動学における
Coulomb 力の相対的重要性を表すパラメータ
µ ¶
Za ZA e2 m
Za ZA e2
Za ZA v −1
η ≡
=
'
~2 k
~v
137 c
放物線座標による Coulomb ポテンシャルの解 [復習？]
·
¸
純粋 Coulomb 場中の粒子の Schrödinger 方程式は ∇2 + k 2 − 2ηk χ (r) = 0
C
r
χC (r) ≡ exp(ikz) f (v) , v ≡ ik(r−z) と置けば ·
¸
d2
d
v 2 + (1−v) + iη f (v) = 0
· · · Kummer 方程式
dv
dv
原点で正則な解は
χC (k; r) = A exp(ikz) F (−iη , 1 ; ik(r−z))
ただし F は合流型超幾何関数
F (α , β ; z) =
∞
X
Γ (α+n) Γ (β) z n
n=0
(少々天下りだが) 規格化因子を
とすると、漸近形は
Γ (α) Γ (β+n) n !
¶
µ
πη
A = Γ (1+iη) exp −
2
·
¸
r→∞
η2
χC (k; r) −→ exp[ikz + iη ln k(r−z)] 1 +
+ ···
ik(r−z)
·
¸
exp[i(kr − η ln 2kr)]
(1+iη)2
1+
+ ···
+ fC (θ)
r
ik(r−z)
·
µ
¶
¸
η
2 θ
fC (θ) = −
exp −iη ln sin
+ 2iσ0
2
2 θ
2k sin
2
σ0 = arg Γ (1+iη)
(1-10)
(1-11)
式 (1-10) を [平面波]+[外向き球面波] とみ̇な̇せ̇ば̇、散乱振幅は fC (θ) で与えられる。微分断面積は
à !2
Ã
!2
2
η
θ
Za ZA e
θ
dσC
= |fC (θ)|2 =
sin−4 =
sin−4
dΩ
2k
2
4E
2
となり、古典論の Rutherford 散乱に一致する。
注：Coulomb 力は無限大のレンジを持つため、漸近形が
r→∞
exp(ikr)
r
の形にならない。にもかかわらず、式 (1-11) の fC (θ) から微分断面積を計算する事ができる。原点に立ち返って Coulomb 波動関数の
漸近形 (1-10) の流れの密度を計算すれば、断面積の定義は変更を受けない (参考文献 [9,8] 等)。光学定理も成り立つ。
χ(k; r) −→ exp(ikz) + f (θ)
25
極座標による Coulomb ポテンシャルの解 [復習]
∞
l
X
4π X l
b Y m (b
Ylm∗ (k)
r)
χC (k; r) =
i ul (k; r)
l
kr l=0
m=−l
波動関数の多重極展開を
とすると、Schrödinger 方程式の動径成分は"
d2
+
dr2
Ã
l(l+1) 2ηk
k2 −
−
r2
r
!#
ul (k; r) = 0
ρ = kr , v = −2iρ , ul (kr) = exp(iρ) ρl+1 yl (ρ) と置けば
"
#
d2
d
v 2 + (2l+2−v) − (l+1+iη) yl (ρ) = 0 · · · Kummer 方程式
dv
dv
原点で正則な解 は (再び) 合流型超幾何級数を使って
ul (η; kr) = cl exp(ikr) (kr)l+1 F (l+1+iη , 2l+2 ; −2ikr) ≡ Fl (η; kr)
(またまた天下りだが) 規格化定数を
と̇す̇る̇と̇19 、漸近形は
µ
¶
πη |Γ (l+1+iη)|
cl = 2 exp −
2
(2l+1) !
l
³
´
r→∞
lπ
Fl (η; kr) −→ sin kr − η ln 2kr −
+ σl
2
σl ≡ arg Γ (l+1+iη) = σ0 +
一方、原点近傍では
r→0
l+1
Fl (η; kr) −→ cl (kr)
l
X
s=1
tan−1
η
s
classical turning point
p
krc = η + η 2 + l(l + 1)
19
Fl を実数に定義している。ul としては exp(iσl ) を加える必要有り (⇒ 次々ページ)。
26
原点で特異な解
³
´
r→∞
lπ
Gl (η; kr) −→ cos kr − η ln 2kr −
+ σl
2
·
¸−1
r→0
−→ (2l+1) cl (kr)l
球 Bessel, 球 Neumann 関数との関係 (η = 0)
Fl (0; kr) =
となるように選択するのが一般的20 。
kr jl (kr)
Gl (0; kr) = −kr nl (kr)
漸化式
Wronskian は
#
p
p
l(l+1)
ul (ρ) = l η 2 + (l+1)2 ul+1 (ρ) + (l+1) η 2 + l2 ul−1 (ρ)
(2l+1) η +
ρ
!
Ã
r
η2
d
l
η
1 + 2 ul (ρ) =
ul−1 (ρ)
− + +
l
dρ ρ
l
"
dFl
dGl
− Fl
= 1
dρ
dρ
1
Gl Fl−1 − Fl Gl−1 = p
2
l + η2
Gl
従って
(外向き・内向き球面波を表す) 球 Hankel 関数に対応するものは
· µ
¶¸
r→∞
lπ
(±)
Hl
≡ Gl ± iFl −→ exp ±i kr − η ln 2kr −
+ σl
2
位相の定義が素直。(繰り返すが) Fl , Gl とも実数に定義されている事に注意21 。
20
F.L. Yost, J.A. Wheeler, and G. Breit, Phys. Rev. 49 (1936) 174. · · · Gl も実数に定義している。
実際に数値計算する場合には、定義通りに合流型超幾何級数を使って (複素数の無限級数で) 計算するのは賢くない (特に r < rc の収束性は極めて遅い)。
様々な計算方法が提案されているが、良く使われているものの一つは、A.R. Bernett, D.H. Feng, J.W. Steed, and L.J.B Coldfarb, Comp. Phys. Commun. 8
(1974) 337–395 (J.W. Steed の博士論文)。一方、Coulomb の位相のずれ σl として良く使われる近似式は (他にも色々知られているが)
·
¸
·
¸
η
7
η
1 η 2 −48
1 η 4 −160η 2 +1280
2
−1 η
−1
−1 η
−1 η
σ0 = −η + ln(η +16) + tan
− tan η + tan
+ tan
−
1+
+
2
2
4
2
3
12(η 2 +16)
30 (η 2 +16)2
105
(η 2 +16)4
21
27
(話を Coulomb 力+短距離力に戻すと · · · )
U=
Za ZA e 2
のみの解は
r
µ
¶
πη
= Γ (1+iη) exp −
exp(ikz) F (−iη , 1 ; ik(r−z))
· · · 放物線座標の解
2
X
4π X l
b Y m (b
=
i exp(iσl ) Fl (η; kr)
Ylm∗ (k)
r)
· · · 極座標の解
l
kr l
m
h
iX
4π X l i
(−)
(+)
b Y m (b
=
i exp(iσl ) Hl (kr) − Hl (kr)
Ylm∗ (k)
r)
l
kr l 2
m
· · · 平面波の Rayleigh 展開に対応
一方、V = U + W の解が W のレンジの外 (r > a) で
iX
h
4π X l i
(−)
(+)
b Y m (b
Ylm∗ (k)
r)
(1-12)
ψ (+) =
i exp(iσl ) Hl (kr) − Sl Hl (kr)
l
kr l 2
m
(+)
χC
と表せたとすると、χC の多重極展開を使って
1 X
i
(+)
(2l+1) il exp(iσl ) (1−Sl ) Hl (kr)Pl (cos θ)
kr l
2
r→∞
exp[i(kr−η ln 2kr)] 1 X
(+)
−→ χC +
(2l+1) exp(2iσl ) (Sl −1) Pl (cos θ)
r
2ik l
|
{z
}
≡ fW (θ)
χC の漸近形 (1-10, 1-11) と併せると、全体の散乱振幅は
ψ (+)
=
(+)
χC
+
f (θ) = fC (θ) + fW (θ)
r < a の解を求め、境界条件 (1-12) から Sl を求める方法は Coulomb 力が無い場合と同じ。収束性の条件 ka ¿ lmax も同じ。
(+)
χC から Coulomb distorted Green 関数 GC (k; r, r 0 ) を定義する事は可能。Lippmann-Schwinger 方程式の形式解も変更を受けない。
注: fC (θ) の部分波展開
∞
1 X
fC (θ) =
(2l+1) (exp(2iσl )−1) Pl (cos θ)
2ik l=0
は l に関して収束しない。放物線座標の解を使う事。
28
終状態
幾つかの反応模型・近似法
2
2.1
原子核反応の様々な形態
複合核反応・直接反応
a
elastic scattering
弾性散乱
A
a
始状態
Ra
b
A
RA
b
B
..
.
複合核反応の特徴
• 大きな角運動量を与えられる · · · Lmax = R × Pbeam
√
例 : 50-MeV α
6 [fm] × 2mE = 3800 [MeV· · · fm/c] = 19~
¯
¯
¯
¯
⇐⇒ 直接反応では Lmax = ¯(peject. − pbeam ) × R¯
{z
}
|
= q : 運動量移行
inelastic scattering
非弾性散乱
transfer reaction
核子移行反応
..
.
compound reaction
複合核反応
• (先ず) 粒子 “蒸発” による冷却 · · · 主に中性子 (陽子 etc. は Coulomb 障壁のため出難い)
持ち出すエネルギー ²n に対して角運動量 Ln は小さい
²n = (束縛エネルギー) + (運動エネルギー)
{z
}
|
{z
}
|
= 核子当り 8 MeV
= Maxwell-Boltzmann 分布
Ln に寄与するのは運動エネルギーだけ
high-spin state
例 : hLn i = R ×
√
2mn En = 6 [fm] ·
p
2 · 1000 [MeV/c2 ] · 1 [MeV] ' 270 [MeV·fm/c] ' 1.4~
=⇒ “冷却” 後には 高スピン状態 の原子核が残る −→ カスケード γ 線放出
· · · 変形原子核の研究に最適
29
F.E. Bertrand & R.W. Peele,
Phys. Rev. 8 (1973) 1045.
エネルギー・分布
角度分布
断面積
複合核反応
低エネルギー・
連続 (Maxwellian)
⇒ 自由度大
等方的
支配的
直接反応
∼Ebeam ・離散的
⇒ 自由度小
前方ピーク
マイナー
· · · U として肝要
高エネルギー (> 100 MeV/A) では準弾性過程も
2.2
直接反応模型
巨視的記述 (核を連続体として扱う)
微視的記述 (個々の核子に注目)
非弾性散乱 — 集団状態励起
変形核の回転準位
球形核の振動準位
非弾性散乱 — 1 粒子状態励起
荷電交換反応
核子・クラスター移行反応
···
30
例 1: 回転準位励起
b r)
H = T + U (R(ξ);
全系の Hamiltonian は
b r) = U0
ただし U (R(ξ);
軸対称変形の場合には22
h
i
0 b
b
R(ξ) = R0 1 + β2 Y2 (ξ) + · · ·
Yl ( ξb ) =
|{z}
0
r
原子核に固定
1
#
"
b
r−R(ξ)
1 + exp
a
4π X m∗
b ) Y m ( rb )
Y (x
2l+1 m l |{z} l |{z}
内部座標
空間座標
Gell-Mann Goldberger 変換の補助ポテンシャルとして球対称ポテンシャル U (R0 ; r) をとる。
反応を引き起こす残留相互作用は
b r) − U (R0 ; r)
W (x, r) ≡ U (R(ξ);
· ¸
·
¸
1 2 d2 U
dU
= −δR
+ δR
+ ···
dR R=R0 2
dR2 R=R0
b − R0 と定義。β2 の項だけとると
ただし δR ≡ R(ξ)
r
· ¸
4π X m
dU
β2
Y2 (b
x) Y2m∗ (b
r ) + O(β22 )
' −R0
dR R=R0
5 m
一次近似では分離型になる23
¯
¯
D
E
¯
¯
DWBA
T
= χB (kB ; r) ϕB (IB , MB ; x)¯ W (x, r) ¯χA (kA ; r) ϕA (IA , MA ; x)
r
= −
¯ · dU ¸
¯
¯
¯
E
ED
4π X D
¯
¯
¯
¯
m
ϕB (IB , MB ; x)¯ β2 Y2 (b
Y2m∗ (b
r ) ¯χA (kA ; r)
x) ¯ϕA (IA , MA ; x) χB (kB ; r)¯ R0
5 m |
dr R=R0
{z
}
1
=√
hIA MA 2 m | IB MB i hIB || β2 Y2 ||IA i
2IB +1
22
l
Ylm (b
x) は集団運動の波動関数で回転を表す。一般の非軸対称変形の場合は回転行列 Dmm
0 となる。
23
実際の変形原子核や四重極振動では遷移が強く、Born 近似では実験を再現できない事が多いので、チ ャ ネ ル 結 合 法 (後述) が良く使われる。
coupled-channel method
簡単な場合として U (R; r) を井戸型ポテンシャルで近似してみる。
· ¸
dU
−→ U0 δ(r−R0 )
dr R=R0
更に歪曲波を平面波で近似
χ∗B (kB ; r)χA (kA ; r)
∞
l
h
i
X
X
l
b Ylm (b
→ exp i (kA −kB )·r = 4π
i jl (qr)
Ylm∗ (q)
r)
| {z }
l=0
m=−l
=q
球面調和関数の規格直交性から部分波の和に寄与するのは l = 2 のみ。
従って
T PWBA ∝ β2 j2 (qR0 )
微分断面積は |T |2 に比例するので、角度分布は特徴的な回折パターンを示す。
原子核の振動準位
0~ω
1~ω
2~ω 0+ ,
..
.
0+
2+
2+ , 4+
..
.
αλµ =
i
~ωλ h
bλµ + (−)µ b†λµ
2Cλ
bλµ , b†λµ : 2λ 重極フォノン消滅・生成演算子
回転準位と同様の手順 (文献参照) で
···
r
dσ
∝ |αλµ |2
dΩ
直接反応の 1 次近似では、振動と回転状態の区別は出来ない
43-MeV α 粒子に対する 58 Ni(α, α0 ) 反応の例
H.W. Broek et al., Nucl. Phys. 64 (1965) 259.
31
32
例 2: 微視的非弾性散乱
n
ターゲット A が n と C から成るクラスター構造を持ち、内部波動関数が n と C の相対波動関数で
mC
表されるとする。右図のように座標系をとり、ξ ≡
と定義すると
mn + mC
~2
~2
H = −
∇2x + VnC (x) −
∇2 + Vna (r−ξx) + VaC (r+(1−ξ)x)
2mnC
2maA r
|
{z
} | {z }
{z
}
|
Hα
Kα
Vα (x, r)
h
終状態を β = α0 と表す。
T DWBA =
ここで
A
a
x
r
C
Hα ϕα (x) = ²α ϕα (x)
i
Kα + Uα (r) χα (r) = Eα χα (r)
¯
¯
®
χα0 (r)ϕα0 (x)¯ [Vα (x, r)−Uα (r)] ¯χα (r)ϕα (x)
mn ¿ mC 従って ξ ' 1
更に
VaC (r−(1+ξ)x) ' Uα (r)
と近似すると
T DWBA '
¯
¯
®
χα0 (r)ϕα0 (x)¯ Vna (r−ξx) ¯χα (r)ϕα (x)
特に核子非弾性散乱 (A(p, p0 )A∗ 等) では Vna は核子-核子ポテンシャルとなり、情報が豊富なので、上の近似は一般に良く使われる。
ただし裸の核子-核子ポテンシャルは斥力芯がある等、Born 近似で扱うには適当でないので、同じ効果をもたらす有効相互作用ポテ
ンシャル (後述) で置き換え、計算が行われる。
33
簡単な場合として、ポテンシャルがスピンに依存しない中心力であれば
X
X
Vna (r−ξx) =
v` (r, ξx)
Y`m (b
r )Y`m∗ (b
x)
m
`
更に簡単のためターゲット A は偶々核 (核スピンが IA = 0) とすると、形状因子の積分は ` = IA0 のみが残り
0
の形に書ける。遷移行列要素は
となるが、核半径 R に対して
M
(r) YIA0 A0 (b
r)
hϕα0 |Vna |ϕα i = fIαα
A0
T
DWBA
=
(
D
¯
¯
E
¯ αα0
¯
MA 0
χ (r)¯fIA0 (r) YIA0 (b
r )¯χα (r)
α0
0
fIαα
(r) = 0 , r & R
A0
χα (r) = 0 , r . R
と期待される事から、表面型反応を仮定し χα を平面波近似すると、変形核の回転準位励起の場合と同様の議論により
T DWBA ∝ jIA0 (qR)
と表され、残留核のスピン IA0 を反映して特徴的な角度分布が現れる事がわかる。
a
a’
実際の計算ではスピンも関与するため、ターゲットの複雑な波動関数 ϕα (x) を直接用いるのは現実的で
ないので、一粒子殻模型波動関数をイ̇ン̇タ̇ー̇フ̇ェ̇ー̇ス̇として用いるのが一般的である。ターゲット A 内
で核子 n が取り得る一粒子軌道 j の波動関数を ϕj (x) と表すと、完全性
X
|ϕj ihϕj | = 1
から、形状因子は
hϕα0 |Vna |ϕα i =
n
j
X
jp jh
hϕα0 |ϕjp ihϕjp |Vna |ϕjh ihϕjh |ϕα i =
0
X
hϕα0 |a†jp ajh |ϕα ihϕjp |Vna |ϕjh i
{z
}
|
jp jh
αα0
≡ Zjp jh
A
a†jp , ajh は一粒子軌道 j に粒子を生成・消滅する演算子、Zjαα
は spectroscopic amplitude。粒子-空孔状態に対する遷移行列要素
p jh
は簡単に計算できるので
TjDWBA
≡ hχα0 ϕjp |Vna |χα ϕjh i
p jh
T DWBA =
X
jp jh
0
T DWBA
Zjαα
p jh jp jh
となり、見通しが良い。通常はモデル空間が制限される (完全性は近似的にしか満たされない)。
一般には Vna はスピン・荷電スピンに依存する非中心力である。便宜のため σ 0 = τ 0 = 1 と定義する。物理演算子はスカラーなので
X
X
X
X
s
s
t
V (σ1 , σ2 , τ1 , τ2 ; r) =
Vkst (r)
hk q k µ | 0 0iYkq (b
r)
hs µ1 s µ2 | k µiσ1µ
σ
ht ν1 t ν2 | 0 0iτ1ν
τt
1 2µ2
1 2ν2
kst
X
≡
kst
qµ
µ1 µ2
ν1 ν2
h £
¤k i0 h t t i0
Vkst (r) Yk , σ1s , σ2s
τ1 , τ2
0
(2-1)
0
と書ける (詳しくは 4.1 節参照)。スピン 12 演算子はベクトル (ランク 1 テンソル) なので、k は 0, 1, 2 のみが可能。
通常のポテンシャル表現で用いられる演算子とは以下のように対応する24 。ただし 2S ≡ σ1 +σ2 , S12 ≡ 3 rb·σ1 rb·σ2 −σ1 ·σ2 と定義。
t=0
s=0
V0 (r)
k=0
k=1
k=2
t=1
s=1
Vσ (r)σ1 ·σ2
VLS (r)L·S
VT (r)S12
s=0
Vτ (r)τ1 ·τ2
s=1
Vστ (r)σ1 ·σ2 τ1 ·τ2
Vτ LS (r)L·Sτ1 ·τ2
Vτ T (r)S12 τ1 ·τ2
スピン・軌道相互作用およびテンソル相互作用は、各々空間成分に Y1 (b
r ) および Y2 (b
r ) を含み、中心力とは異なる多重極展開が必要。
r ) で与えられる事から、
しかし、いずれの演算子も Laplace 方程式の解であり、多重極場は rl Ylm (b
s
X
X
4π(2l+1)!
rl Ylm (b
r) =
δl1 +l2 , l
r1l1 r2l2
hl1 l2 m1 m2 |l miYl1m1 (b
r1 )Yl2m2 (b
r2 )
(2l1 +1)!(2l2 +1)!
m m
l1 l2
(ただし r ≡ r1 +r2 ) の展開25 を使えば
\ =
Vk (|r−ξx|) Ykq (r−ξx)
1
X
l1 l2
(2-2)
2
h
ik
vk;l1 l2 (r, ξx) rl1 Yl1 (b
r ), xl2 Yl2 (b
x)
(2-3)
q
の展開形にまとめる事ができる。
中心力の展開形は、k = 0 (従って l1 = l2 ) の特殊な場合と位置付けられる26 。
24
b のベクトル積
k = 1 の場合、空間反転不変性の要求から式 (2-1) の形は採用できない。Y1 の部分を空間反転で偶となるように座標 rY1 (b
r ) と運動量 pY1 (p)
(外積) で置き換えたものがスピン・軌道相互作用ポテンシャルとなる。
25
M. Moshinsky, Nucl. Phys. 13 (1959) 104–116.
√
26
hl1 l2 m1 m2 |0 0i = δl1 l2 δ−m1 m2 (−)l1 −m1 / 2l1 +1
34
35
実際に計算で用いられる代表的な解析型ポテンシャルについて、具体的な多重極展開形を以下に示す。
(+)
r ≡ r1 + r2 、Bl (ρ) ≡ i−l jl (iρ) , Hl (ρ) ≡ −il hl (iρ)
Yukawa 型中心力
X
X
exp(−µr)
= 4π
Bl (µr< ) Hl (µr> )
Ylm∗ (b
r1 ) Ylm (b
r2 )
µr
m
m
Coulomb 力
l
X r
1
1 X m∗
<
= 4π
Yl (b
r1 ) Ylm (b
r2 )
l+1
r
r> 2l+1 m
l
r2 ×Yukawa 型テンソル力
r
2 exp(−µr)
µr
Y2m (b
r)
=
√
4π
X
l1 l2 l 0
r
(2l1 +1)(2l2 +1)
hl1 l2 00|20i
5
¤
£
× r12 Bl2 (µr< )Hl2 (µr> ) − al0 l1 l2 r1 r2 Bl0 (µr< )Hl0 (µr> ) + r22 Bl1 (µr< )Hl1 (µr> )
X
×
hl1 l2 m1 m2 |2 miYl1m1 (b
r1 )Yl2m2 (b
r2 )
m m
ただし
al0 l1 l2
1 2
0
2
if l =l1 ±1 and l2 =l1 ±2
2l1 +3
if l0 =l1 −1 and l2 =l1
=
2l
+1
1
2l
−1
1
if l0 =l1 +1 and l2 =l1
2l1 + 1
スピン・軌道相互作用は運動量を含むので、r 表現での展開は易しくない。運動量表現を用いるか、スピン 1/2 粒子に限ればヘリシ
ティ表現で扱う事ができる (あるいは屡々無視される…)。87 ページ付録 B の計算コードを参照。
非中心力の場合、角度分布が単純に標的核の軌道角運動量変化 ` を反映しない事になるが、表̇面̇型̇反̇応̇では、rl1 , xl2 の存在により
Z ∞
歪曲波積分 :
· · · rl1 dr =⇒ l1 が大きい程大きく寄与
形状因子積分 :
∼R
∼R
Z
0
· · · xl2 dx =⇒ l2 が小さい程大きく寄与
という傾向が有るので、角度分布は ` + k で特徴付けられるものに近付くと期待される。
特に θ = 0◦ (q ∼ 0) では ` = 0 の中心力成分だけが寄与する事になり、IAS や GT 励起の議論を簡単にする。
ただし、これまで核子間の反対称化が無視されていた点に注意。A+1 系の反対称化は現実的でないので、
direct
exchange
exchange term
n ⇔ a の 交 換 項 が通常考慮される。交換項の k 6= 0 成分は q ' 0 でも大きく寄与する (反対称化後の移行運動量 Q = k 0 +k は大きい)。
42 ページの図も参照。
36
例 3: 荷電交換反応
A(p, n)B 反応等27 。右図のように座標系を定義すると
mb
xα
r α = xβ −
mA
m
rβ = xα − a xβ
mB
Hamiltonian は
b
rβ
xα
a
rα
xβ
A
C
B
~2
~2
2
H = −
∇xα + VbC (xα ) −
∇2rα + Vab (xα −xβ ) + VaC (xβ )
2mbC
2maA
|
{z
} |
{z
} |
{z
}
Hα
Kα
Vα (xα , rα )
遷移行列要素は
~2
~2
= −
∇2xβ + VaC (xβ ) −
∇2 + Vab (xα −xβ ) + VbC (xα )
2maC
2mbB rβ
|
{z
} |
{z
} |
{z
}
Hβ
Kβ
Vβ (xβ , rβ )
¯
¯
®
χβ (rβ )ϕβ (xβ )¯ [Vα (xα , rα )−Uα (rα )] ¯χα (rα )ϕα (xα )
¯
¯
®
= χβ (rβ )ϕβ (xβ )¯ [Vβ (xβ , rβ )−Uβ (rβ )] ¯χα (rα )ϕα (xα )
DWBA
Tprior
=
DWBA
= Tpost
非弾性散乱と同様に
更に
と近似すると、
mC À ma , mb (従って xα ' rβ , xβ ' rα )
VaC (xβ ) ' Uα (rα ) , VbC (xα ) ' Uβ (rβ )
¯
¯
®
DWBA
DWBA
Tprior
= Tpost
' χβ (rβ )ϕβ (xβ )¯ Vab (xα −xβ ) ¯χα (rα )ϕα (xα )
(p, n) 反応のように、a, b ともに核子である場合には、情報の豊富な核子-核子相互作用を残留相互作用として用いる事ができる。
積分の実行には、xα , rβ の変数セットで表される形状因子を、式 (2-2) の rl Ylm (b
r ) の多重極展開を利用して変数セット rα , rβ によ
る表現に書き換え、歪曲波に関する積分を行う。スピン代数に関する計算が込み入っているので、詳しくは文献 (例えば N. Austern,
Phys. Rev. 133 (1964) B3–B16 等。付録 B で紹介する twofnr のマニュアルも有用) を参照。このような有限レンジ計算は次の核子
移行反応でも行われる28 。
A(p, p0 )A∗ 非弾性散乱でも散乱粒子と核内核子の反対称化を考慮すると同様の計算が必要。
r 表現の展開ではスピン・軌道相互作用が扱い難く、計算に時間がかかる等の難点もあり、平面波展開による方法も提案されている。詳しくは L. Charlton,
Phys. Rev. C 8 (1973) 146 を参照。付録 B で紹介する dwuck5 で採用されている。
27
28
例 4: 核子移行反応
n
A(d, p)B 反応等。右図のように座標系を定義すると
mb
xα
rα = xβ −
ma
mA
rβ =
xβ − xα
mB
Hamiltonian は
xβ
B
~2
~2
H = −
∇2xα + Vnb (xα ) −
∇2 + VbA (xα −xβ ) + VnA (xβ )
2mnb
2maA rα
|
{z
} |
{z
} |
{z
}
Hα
Kα
Vα (xα , rα )
遷移行列要素は
DWBA
= Tpost
と近似すると、
A
~2
~2
∇2xβ + VnA (xβ ) −
∇2 + VbA (xα −xβ ) + Vnb (xα )
= −
2mnA
2mbB rβ
|
{z
} |
{z
} |
{z
}
Hβ
Kβ
Vβ (xβ , rβ )
¯
¯
®
χβ (rβ )ϕβ (xβ )¯ [Vα (xα , rα )−Uα (rα )] ¯χα (rα )ϕα (xα )
¯
¯
®
= χβ (rβ )ϕβ (xβ )¯ [Vβ (xβ , rβ )−Uβ (rβ )] ¯χα (rα )ϕα (xα )
DWBA
=
Tprior
ここで
rα
mA À mn
更に
VbA (xα −xβ ) ' Uβ (rβ )
DWBA
Tpost
' hχβ (rβ )ϕβ (xβ )|Vnb (xα )|χα (rα )ϕα (xα )i
DWBA
多くの場合 mn ∼ mb なので、Tprior
で類似の近似は成り立たない (post-prior equivalence の有り難みを実感)。
内部波動関数は
ϕα (xα ) = ϕa (xα ) ϕA
ϕβ (xβ ) = ϕb ϕB (xβ )
ϕB (xβ ) =
X
jIA0
ZjIA0
X
µMA0
hIA0 MA0 j µ|IB MB iϕjµ (xβ ) ϕA0
と展開できる。ここで ϕjµ は一粒子殻模型波動関数、ZjIA0 は spectroscopic amplitude。
簡単な場合としてターゲットが偶々核 (IA = 0)、更に IA0 6= IA では ZjIA0 = 0 とすると、j = IB となる。
a
xα
rβ
37
b
この積分も rl Ylm (b
r ) の多重極展開を利用し、変数を rα , rβ に統一して実行できるが、見通しを良くするため以下の近似を導入。
Vnb (xα )ϕa (xα ) ' D0 δ(xα )
これはゼロ・レンジ近似と呼ばれ、D0 は Schrödinger 方程式を使って
¸
Z
Z · 2
~
2
D0 =
∇ + ²a ϕa (xα ) dxα
Vnb (xα )ϕa (xα )dxα =
2mnb xα
から求められる (ϕa だけ与えれば良く、Vnb に関する知識は不要)。この近似により
mA
xβ → rα , rβ →
rα
mB
となるので、遷移行列要素は
¯
E
X D ³ mA ´¯¯
¯
DWBA
Zj χ β
Tpost
' D0
r ¯ϕj (r)¯χα (r)
mB
j
と単純化される (殻模型波動関数 ϕj そ̇の̇も̇の̇が形状因子となる)。ϕj が特定の軌道角運動量 ` を持つ場合には、核半径 R に対して
(
ϕj (r) = 0 , r & R
χα,β (r) = 0 , r . R
である事から、表面型反応を仮定し、更に χα,β を平面波近似すると、
DWBA
Tpost
∝ j` (qR)
となり、` に応じた特徴的な角度分布を示すのは、これまでの議論と同様である。核子移行反応で j の組み合せがユニークである場
合には、Sj ≡ |Zj |2 が殻模型軌道 ϕj の占有確率を与える。これは分光学的因子 (spectroscopic factor) と呼ばれる。
√
ゼロ・レンジ近似は、核力と束縛状態波動関数の広がりが小さい事を利用するが、比較の対象となるのは散乱粒子の波数 kα,β = 2mE/~
なので、低いエネルギーでのみ有効な近似と言える。一方、移行反応は一般に低いエネルギーでしか行われない。多くの場合
なので、たとえ θ = 0◦ でも運動量移行は
Eβ = Eα + ²α − ²β ' Eα
q = kβ − kα ' kα
·r
mb
−1
ma
¸
と大きな値をとる傾向がある (運動量ミスマッチ)。q がフェルミ運動量 kF ' 1.25 fm−1 を大きく越えると運動量空間での波動関数の
重なりが減少し、断面積は急速に小さくなる。(d, p) 反応の場合、数 10 MeV 程度以下で実験される事が多い。
cf. 10-MeV d で kα ' 1 fm−1
38
d
39
p
52
Cr
n
53
Initial State
Cr
Final State
移行全角運動量 j を識別するにはスピン偏極観測量が必要
(後述)
D.C. Kocher & W. Haeberli, Nucl. Phys. A196 (1972) 225.
微分断面積角度分布から移行軌道角運動量 l を識別
※ 1996 年度東大理学部物理学実験 II「原子核散乱」測定データ
ゼロ・レンジ DWBA 計算のプログラム例は付録を参照
40
2.3
歪曲波インパルス近似・有効相互作用
比較的高いエネルギー (> 100 MeV) の核̇子̇非弾性散乱や荷電交換反応 [(p, p0 ), (p, n) 等] に多く用いられる近似法。
¯
¯
D
E
真の遷移行列要素は
¯
¯
(−)
T = χα0 ϕα0 ¯Wα0 ¯Ψ(+)
α
であるが、全系の波動関数の形式解は、Gell-Mann Goldberger 変換によって
¯
¯
¯
E
E
E
1
¯ (+)
¯
¯ (+)
W
χ
ϕ
= ¯χ(+)
ϕ
+
¯
¯Ψα
α
α
α
α
α
E − H + i²
A
n
x
と書けるので、残留相互作用を (微視的非弾性散乱の座標系を踏襲して)
と近似すると、形式解
a
r
C
Wα ≡ Vα − Uα ' Vna , 従って Wα0 ' Wα
1
Vna
E − H + i²
¯
¯
E
D
¯ (+) ¯ (+)
(−)
T ' χα0 ϕα0 ¯ t̃na
¯χα ϕα
(+)
t̃na
= Vna + Vna
を使って
(+)
となる。t̃na は歪曲を受けた二核子散乱を表す遷移演算子である。定義式の Green 演算子に現れる全 Hamiltonian は
~2
~2
H = −
∇2rna + Vna −
∇2 + VnC +VaC
2mna
2mnC rnC
|
{z
}|
{z
}
Hna
Hα
であるが、散乱粒子 a のエネルギーが十分高く、de Broglie 波長が核内の平均核子間距離 (∼ 1.8 fm) より十分短ければ、散乱粒子は
n とのみ相互作用し、残りの核子からの影響は小さいと期待される (VaC → 0)。また、核内核子 n の束縛エネルギー ²α が相対的に小
(+)
さいので、a の動きに較べて n が遅く、止まっていると近似すれば、Hα → ²α と置き換えられる29 。E − ²α = Eα なので、t̃na は
(+)
t̃na
' t(+)
na = Vna + Vna
(+)
1
Vna
Eα − Hna + i²
と近似できるが、tna は自由な二核子の散乱を表す遷移演算子に他ならない。
¯
¯
D
E
¯ (+) ¯ (+)
(−)
DWIA
0
T
≡ χα0 ϕα ¯ tna ¯χα ϕα
は歪曲波インパルス近似 (Distorted-Wave Impulse Approximation: DWIA) と呼ばれる。
29
この近似はしばしば「断熱近似」(adiabatic approximation) と呼ばれるが、意味としては逆であり、誤解を招くので注意が必要である。
41
(+)
見た目が DWBA に類似しており、有効相互作用ポテンシャル Veff を遷移演算子 tna
30
に置̇き̇換̇え̇る̇だ̇け̇で DWBA より高度な近似計算
が出来るので重宝されるが、摂動ではないので本質的に DWBA とは異なる
間接的な演算子 (=ポテンシャル) を使わずに済むのは利点だが、核子-核子散乱の豊富なデータは on-shell、即ち二核子の運動量保存
kn0 + ka0 = kn + ka
が成り立つ成分の情報しか与えない事に注意しなければならない。DWIA 計算で要求されるのは、全̇系̇の運動量保存
kn0 + ka0 + kC0 = kn + ka + kC
が成り立つ成分であり、二核子だけに注目するとエネルギー-運動量保存が成り立っていない (off-shell)。高エネルギーの散乱では
k a À k n , kC
なので両者の違いは小さくなる。単に kn , kC を無視する近似の他、最適な on-shell の運動量を選択する optimal frame approximation
がある。DWBA プログラムで扱い易いように解析関数 (湯川型) の重ね合わせでパラメータ化したものも広く使われている31 。下図
は 120 MeV での 12 C(p, p0 )12 C∗ の DWIA 計算例32 。
30
原子核物理の専門家でも、有効相互作用として自由な二核子遷移演算子を用いた DWBA と誤解している向きがある。ところで、元々インパルス近似とは、
高エネルギーの散乱核子 a が n 以外の核内核子へ与える影響は小さいとして無視し、二核子散乱を標的核波動関数 ϕA で重ね合わせ、全体の散乱を表す方法
を指す。
¯X
¯ E
¯
¯
¯
¯ E
D
ED
XD
¯
¯
¯ (+) ¯
¯ i(kn −ka −kn0 +ka0 )·rna ¯
0
0
0
0
∗
T IA = ϕA∗ ¯
t̄(+)
(k
,
k
;
k
,
k
)
'
φ
t
ϕ
e
¯ϕ
¯
¯φ
¯
¯ϕA
n
a
A
kn −ka na
kn −ka
A
na
n
a
n∈A
n∈A
ここで t̄na は tna の Fourier 変換、ϕα = ϕA である (a が核子なので)。標的原子核のコヒーレントな効果が無視されているので、それを歪曲波として取り入れた
のが DWIA と解釈できるが、このアプローチが理解し易いとは言い難い。DWIA を最初に導入した論文は M. Kawai, T. Terasawa & K. Izumo, Nucl. Phys.
59 (1964) 289 および R.M. Haybron & H. McManus, Phys. Rev. 136B (1964) 1730 だが、歪曲波の定式化については説明されていない。
31
良く使われるのは M.A. Franey & W.G. Love, Phys. Rev. C 31 (1985) 488 等。
32
W.G. Love & M.A. Franey, Phys. Rev. C 24 (1981) 1073 から引用。
42
前ページ図で C, LS, T と書かれているのは、各々中心力、スピン・軌道相互作用、テンソル相互作用を指す (34 ページの展開式 (2-1)
参照)。中心力に対応する t の運動量移行ゼロ (q = 0) での各成分のエネルギー依存性を左図に示す (脚注 32 の文献から引用)。tσ は他
の成分より弱いため、実験的に精度良く決定されていない。前ページの 12 C[1+ ; 12.71] 状態は、T = 0 のスピン反転状態なので tσ が
主に寄与する。これが再現性の良くない一因と考えられる。
t 行列は、二核子散乱のデータから反対称化の効果を除いてポテンシャルを求め、それを DWBA 計算プログラムの入力とする。DWBA
プログラムの中では、36 ページの有限レンジ計算の方法に従い、改めて交換項を計算して全散乱振幅を求める (反跳による運動学が
異なるため)。現実的な計算での交換項の効果を右図に示す。
自由な二核子散乱の位相差解析の集大成
1. R.A. Arndt and L.D. Roper, Phys. Rev. C 56 (1997) 3005. — SAID プログラムとして有名 (http://gwdac.phys.gwu.edu/)
自由な二核子相互作用の代表的なポテンシャル表現
2. V.G.J. Stoks, R.A.M. Klomp, C.P.F. Terheggen, and J.J. de Swart, Phys. Rev. C 49 (1994) 2950.
— Nijmegen potential
3. R.B. Wiringa, V.G.J. Stoks, and R. Schiavilla, Phys. Rev. C 51 (1995) 38.
— AV18 potential
4. R. Machleidt, Phys. Rev. C 63 (2000) 024001.
— CD-Bonn potential
中間子モデルによる核子-核子相互作用の起源に関する教科書
5. 「大学院原子核物理」中村誠太郎・吉川庄一・森田正人・玉垣良三・谷畑勇夫・大塚孝治 (岩波・1996) — 第 4 章「核力の多面性」
43
G 行列有効相互作用
t 行列とは逆に、エネルギーが低い極限で用いられる有効相互作用の求め方の一つ。この場合には、散乱粒子 a は基本的に核内核子
n と区別が無く、Pauli 排他効果等の媒質効果を強く受ける。Pauli 効果によって遷移可能な状態は制限を受けるので、その空間への
(+)
射影演算子を Q と表すと、核内の二核子散乱を表す遷移演算子 gna は33
(+)
gna
= Vna + Vna
(+)
Q
(+)
gna
E − H0 + i²
で与えられる (Bethe-Goldstone 方程式)。gna は G 行列と呼ばれ、50 MeV 程度以下の二核子有効ポテンシャルとして広く用いられ
ている。t 行列と同様に解析関数 (湯川型) でパラメータ化されたものが便利に使われる34 。
310
Y. Satou et al. / Physics Letters B 549 (2002) 307–313
複合散乱粒子に対する歪曲波インパルス近似
DWIA の計算には様々な運動学での二体散乱 t 行列要素が必要になるので、データ
の豊富な核子-核子散乱の t 行列要素を使った核子-核散乱の解析に DWIA は専ら用い
られるが、複合散乱粒子に DWIA を用いた例として (d, d0 ) 非弾性散乱の解析がある
[Y. Satou et al., Phys. Lett. B 549 (2002) 307]。右図は、後述する Faddeev 計算に
よって核子-重陽子散乱の t 行列要素を求め、DWIA 計算を行ったもの (実線) と、核
子-核子相互作用を重陽子波動関数の二乗で重ね合わせた (Folding) ポテンシャルで
DWBA 計算を行ったもの (破線) の比較。DWIA では実験との一致が改善しており、
重陽子の基底状態以外に連続状態チャネルとの結合が寄与している事がわかる。
反対称化の近似的扱い
複合散乱粒子の場合、散乱粒子内核子と標的核内核子の反対称化は複雑な積分を要
するため、正確な反対称化を行った計算は稀である35 。屡々用いられるのは、中心力
を短距離ポテンシャルの極限である δ 関数で近似するもので、ゼロ・レンジ近似と
同様に、積分は単純化されて直接項の場合と同じになる。δ 関数の係数は、交換反応
における運動量移行でのポテンシャルの大きさに一致するように決められる。詳し
Fig. 2. (a) Measured differential cross sections for the 12 C(d, d ) reaction at Ed = 270 MeV leading
くは前掲の Love & Franey の論文 (脚注 32) を参照。ただしテンソル力は原点近傍で
as full circles. The solid (dashed) lines are results of the DWIA calculations using the projectile-n
r2 に比例するため δ 関数では近似できない。
Faddeev (folding) calculations. (b) Measured differential cross sections for the elastic scattering o
solid line shows the result of the optical model calculation using the parameters listed in Table. 1.
ここではグリーン関数との区別のため小文字を使ったが、通常は大文字で書かれる。
G. Bertch, J. Boryowicz, H. McManus & W.G. Love, Nucl. Phys. A284 (1977) 399; A. Hosaka, K.-I. Kubo & H. Toki, Nucl. Phys. A444 (1985) 76 等。
35
複合散乱粒子の場合は反対称化しても束縛粒子である事が要求される (位相空間が小さい) ので交換項の寄与が相対的に小さいと期待される。
33
34
44
2.4
アイコナール近似 (Glauber 近似)
高エネルギー核子反応 (Ep & 1 GeV) や重イオン反応等、lmax = ka À 1 であり、部分波展開では扱い難い場合に良く使われる近似。
散乱の積分方程式を思い出すと
Z
(+)
(+)
ψ (k; r) = exp(ik·r) +
G0 (k; r−r 0 ) V(r 0 ) ψ (+) (k; r 0 ) dr 0
ただし
(+)
G0 (k; r−r 0 )
粒子はほぼ直進するので
1
=
(2π)3
Z
exp[ik0 ·(r−r 0 )] 0
dk
k 2 − k 02 + i²
(+)
ψ (+) (k; r) ' ψeikon (k; r) ≡ ζ(k; r) exp(ik·r)
と近似し、積分方程式に代入して exp(ik·r) を除くと
(2-4)
Z Z
exp[i(k0 −k)·r 00 ] 0
dk V(r−r 00 ) ζ(k; r−r 00 ) dr 00
k 2 − k 02 + i²
|
{z
}
ka À 1 ⇒ 激しく振動
ただし r 00 ≡ r − r 0
exp[· · · ] の振動のため、積分に寄与するのは k0 ' k の部分のみ。
k00 ≡ k0 − k とすると、k 02 ' k 2 + 2k·k00 なので、
Z Z
1
exp(ik00 ·r 00 )
ζ(k; r) ' 1 +
dk00 V(r−r 00 ) ζ(k; r−r 00 ) dr 00
(2π)3
−2k·k00 + i²
1
ζ(k; r) = 1 +
(2π)3
k 方向を z 軸にとると、下線部の積分は
Z ∞
Z Z
Z ∞
Z ∞
exp(ikz00 z 00 ) 00
exp(ik00 ·r 00 )
00 00
00
00
00 00
00
exp(ik
y
)
dk
dk
=
exp(ik
x
)
dk
dkz
y
y
x
x
00
−2k·k00 + i²
−∞ −2kkz + i²
−∞
−∞
Z ∞
exp(ikz00 z 00 ) 00
2
00
00 −1
= (2π) δ(x ) δ(y )
dkz
2k −∞ kz00 − i²
|
{z (
}
留数
=
−i
(2π)3 δ(x00 ) δ(y 00 ) θ(z 00 )
2k
| {z }
Heaviside 関数
2πi (z 00 > 0)
0 (z 00 < 0)
i
ζ(k; x, y, z) = 1 −
2k
これを代入すると
= 1 −
i
2k
Z
∞
0
Z
45
V(x, y, z−z 00 ) ζ(k; x, y, z−z 00 ) dz 00
z 0 = z − z 00 なので
z
−∞
V(x, y, z 0 ) ζ(k; x, y, z 0 ) dz 0
z→∞
∂
i
両辺を z で微分すると
ζ = − Vζ (つまり指数関数)、ζ −→ 1 となるべきなので、
∂z
2k
¸
·
Z z
i
0
0
ζ(k; x, y, z) = exp −
V(x, y, z ) dz
2k ∞
まとめると、散乱波として
·
¸
Z z
1
(+)
0
0
ψeikon (k; r) = exp ik·r − i
V (x, y, z ) dz
~v −∞
V=
2m
V
~2
E i k o n a l
が得られる。この近似方法は アイコナール 近似と呼ばれる36 。散乱波を式 (2-4) の形に近似できるためには、exp[· · · ] 内の第 2 項が
第 1 項に較べて小さくなければならない。十分条件としては (高エネルギーの条件 ka À 1 に加え)
kÀ
弾̇性̇散̇乱̇の散乱振幅は
1
f (θ) = −
4π
Z
|V0 |
~v
つまり
2E À |V0 |
·
¸
Z z
i
0
0
exp(iq·r) V(r) exp −
V(x, y, z ) dz dr
2π −∞
V0 はポテンシャルの深さ。
q ≡ k − k0
更に k ' k 0 かつ θ ' 0 に話を限り、q·r ' q·b と近似して円筒座標 dr = bdb dφ dz を使うと
¸ ¾
½Z ∞
·
Z ∞Z 2π
Z z
1
i
0
0
f (θ) ' −
V(x, y, z ) dz dz bdb dφ
exp(iqb cos φ)
V(r) exp −
4π 0 0
2k −∞
−∞
|
{z
· } Z z
¸
Z ∞
i
d
0
0
= 2ki
exp −
V(x, y, z )dz dz
2k −∞
−∞ dz
Z 2π
1
0
V が z 軸周りで対称とし、Bessel 関数の積分表現 J0 (x) =
exp(ix cos φ) dφ を使うと
k»
:
»
»
2π 0
q
'$
»
k
-»»
-6
½ ·
¸
¾
Z ∞
Z ∞
6
b
i
k
- z
J0 (qb) exp −
V(x, y, z 0 ) dz 0 − 1 bdb
=
i 0
2k −∞
&%
36
元々は幾何光学で用いられた手法。eikon は image (影像) を意味するギリシャ語の ²ικoν に由来。
46
散乱波
(+)
ψeikon
は漸近的境界条件 (1-1) を満たしていない事に注意。散乱振幅の積分 hφ |V
k0
(+)
|ψk i
の中でだけ意味を持つ。
原子核を適当な分布に従う核子の集合と考え、個々の核子からの散乱をアイコナール近似で表し、干渉効果も含め、その重畳として
原子核全体の散乱をとらえる近似は Glauber 近似37 として知られる。数 GeV 以上の核子–原子核散乱は、ほとんどが Glauber 近似
で解析されていると言って良い。
(+)
ところで、ψeikon を歪曲波として DWBA を考えると、始状態と終状態の歪曲波の積は
·
¸
Z z
Z ∞
m
m
(−)∗
(+)
0
0
0
0
χβ (r) χα (r) = exp[i(kα −kβ )·r] exp −i 2
Uα (r )dz − i 2
Uβ (r )dz
~ kα −∞
~ kβ z
i
h
kβ ' kα ≡ k 、Uβ ' Uα ≡ U とすると
' exp iq·r + i X(b)
| {z }
Z
m ∞
U (r0 )dz 0
=− 2
~ k −∞
と書け、遷移行列要素は
Z
(−) ¯ ¯ (+) ®
¯ ¯ ® £
¤
DWBA
0
¯
¯
Teikon (k , k) = χβ ϕβ V χα ϕα '
ϕβ ¯V ¯ϕα exp iq·r+iX(b) dr
| {z }
Fβα (r) : 形状因子
と簡単化される。l = b p の関係に注目すれば、部分波展開の l に関する和を衝突径数 b に関する積分に置き換えた近似と理解される。
高エネルギー重イオン反応の解析等、部分波展開では lmax が非常に大きくなる場合に計算を簡単化するので重宝されるが、前方角度
に限られる等、適用条件に注意が必要である。
この計算は、歪曲波としてアイコナール近似の波動関数を用いているだけ で、DWBA の一種である。にも関わらず、Glauber 近似
と呼ばれてしまう事が多い。形状因子として前節で説明したものを用いた場合、Glauber のアイディアとは全く無関係なものになる
ので、誤解に基づく呼び名と言うべきである (高エネルギー重イオン反応では一般的に用いられており、今更覆すのは不可能だが)。
Coulomb 力が働く場合には、式 (2-4) の平面波から変更を加える必要がある。詳しくは文献 3 を参照。
37
R.J. Glauber, in Lectures in Theoretical Physics, edited by W.E. Brittin (Interscience, New York, 1959), Vol. 1; R.J. Glauber, Phys. Rev. 100 (1955)
242; R.J. Glauber & G. Matthiae, Nucl. Phys. B 21 (1970) 135. 文献 [3,8] 等。
47
2.5
チャネル結合法
入射粒子が a、ターゲットが A である時に起こる全ての反応を記述する全波動関数を Ψ と表す。一般表記として、粒子 i の内部波動
関数を ϕi 、出射粒子 j と残留核 k の相対運動に関する外向き球面波を χjk と書く事にすると、その漸近形は、例えば
r→∞
Ψ −→ ϕa ϕA exp(ikaA ·raA ) + ϕa ϕA χaA (raA )
· · · A(a, a)A 弾性散乱
+ ϕa ϕA∗ χaA∗ (raA∗ ) · · · A(a, a0 )A∗ 非弾性散乱 1
..
.
+ ϕb ϕB χbB (rbB )
· · · A(a, b)B 組み替え反応 1
..
.
+ ϕc ϕC χcC (rcC )
· · · A(a, c)C 組み替え反応 n
..
.
等という形をとる。以下では、a-A, a0 -A∗ , b-B, c-C 等のチャネルをギリシャ文字 α, α0 , β, γ, · · · を使って表し、ϕα ≡ ϕa ϕA (入射
チャネル), ϕα0 ≡ ϕa0 ϕA∗ , ϕβ ≡ ϕb ϕB , ϕγ ≡ ϕc ϕC 等と略記する。残留核 (B, C 等) は束縛状態に限定しない。次節で説明するように、
多粒子の散乱状態を扱うのは理論的な困難があるので、例えば A(p, np)C 反応の場合には、注目する粒子 (例えば n) を出射粒子とし、
残り (p + C) を非束縛状態の残留核として扱う事にする。複合核反応も同様 (実際には以下の 完全性の議論に抵触 する。CDCC の節
でこの問題に帰る)。これにより、各チャネルにおける二体の散乱波 ψ(r) は
(
rξ →∞
eikα ·rα + χα (rα )
(ξ = α)
ψξ (rξ ) ≡ hϕξ |Ψi −→
χξ (rξ )
(ξ 6= α)
で与えられる。全ての可能なチャネルを採れば内部波動関数は完全系を成す、即ち
X
|ϕξ ihϕξ | = 1
ξ
と期待されるので、全波動関数 Ψ は
|Ψi =
と展開する事ができる38 。
38
X
ξ
ψξ (rξ )|ϕξ i
(2-5)
組み替えチャネルを考慮すると一般には α 6= β でも hφα |φβ i 6= 0 であり、式 (2-5) の展開係数 ψξ は厳密には hφξ |Ψi に一致しない。これは非直交性問題と
して知られるが、簡単のために以下では無視する事にする。
48
さて、全系の Hamiltonian は、個々の核子の座標を使って書かれた多体系 Hamiltonian であるが、各チャネル毎に相対運動エネルギー
および各粒子の束縛エネルギーを分離した形に書く事も出来る。
~2 2
∇ + Hα + Vα
2mα rα
~2 2
∇ + Hβ + Vβ
= −
2mβ rβ
~2 2
= −
∇ + Hγ + Vγ
2mγ rγ
..
.
H = −
· · · α (入射) チャネル
· · · β チャネル
· · · γ チャネル
ここで mξ はチャネル ξ の換算質量 (= mx mX /(mx +mX )) であり、Hξ (= Hx +HX ) は粒子 x と粒子 X の内部 Hamiltonian である。束
縛エネルギーの総和を ²ξ (= ²x +²X ) と書くと、内部波動関数 ϕξ は
Hξ ϕ ξ = ² ξ ϕ ξ
を満たす。また、Vξ は例によって rξ のみに依存するポテンシャルで̇は̇な̇い̇事に注意。Ψ の満たす Schrödinger 方程式は
(H − E)Ψ = 0
であるが、左からチャネル ξ の内部波動関数 hϕξ | を掛けて積分すると
#
"
~2 kξ2
− (E − ²ξ ) ψξ (rξ ) + hϕξ |Vξ |Ψi = 0
−
2mξ
| {z }
| {z }
≡ Kξ
≡ Eξ
X
式 (2-5) の展開系を使うと
hϕ |V |ϕ i ψ (r )
hϕξ |Vξ |Ψi = hϕξ |Vξ |ϕξ i ψξ (rξ ) +
| ξ {zξ λ} λ λ
| {z }
λ6=ξ
≡ Uξ (rξ )
≡ Fλ ξ (rλ , rξ )
(2-6)
と分解できる。Uξ はチャネル ξ での光学ポテンシャル、Fλ ξ はチャネル ξ-λ 間の形状因子である。全波動関数 Ψ を解く作業は、ψξ (rξ )
X
に関する連立微分方程式
Fλα (rλ , rα )ψλ (rλ )
[Kα + Uα (rα ) − Eα ]ψα (rα ) = −
λ6=α
[Kβ + Uβ (rβ ) − Eβ ]ψβ (rβ ) = −
[Kγ + Uγ (rγ ) − Eγ ]ψγ (rγ ) = −
..
.
X
Fλβ (rλ , rβ )ψλ (rλ )
(2-7)
λ6=β
X
λ6=γ
Fλγ (rλ , rγ )ψλ (rλ )
..
.
49
を解く事に帰着する。これはチャネル結合法と呼ばれ、特に実験との比較では
広く用いられているが、本来正確な解を求める手法であって、近似法で̇は̇な̇い̇
事に注意。実際には、Hξ , ϕξ および Vξ の全てが既知である訳でなく、また、
多数のチャネルについて連立微分方程式を解くのは現実的でないので、形状
因子 Fλ ξ が無視できないチャネルのセットを選んで計算するのが一般的であ
る。省かれたチャネルの影響は Uξ の中に繰り込まれる事になり、ここで近似
が導入される。
模型空間の考え方は殻模型計算でも馴染み深い。核の A 体系 Hamiltonian を一体場
U で近似し、U で表現できない残りを残留相互作用 W として、
H = −
i
A h
i
A X
A X
A
i
X
X
X
X
~2 2
vij (ri , rj ) =
Ki + Ui (ri ) +
Wij (ri , rj )
∇ri +
2m
i=1 |
i=1 j=1
i=1 j=1
i=1 | {z }
{z
}
≡ −Ki
≡ Hi
一体場による一粒子殻模型波動関数 ϕj が完全系を成すとして
X
j
D.L. Hendrie et al., Phys. Lett. 26B (1968) 127.
Hj ϕj = ²j ϕj , (j = 0s1/2 , 0p3/2 , 0p1/2 , 0d5/2 , 1s1/2 , 0d3/2 , · · · )
|ϕj ihϕj | = 1
真の波動関数 ψj を ϕk で展開し、残留相互作用が対角化されるように係数を決める。
X
αjk ϕk such that hψj |W |ψk i = ck δjk
ψj =
k
残留相互作用は対角化される前の行列要素 hϕj |W |ϕk i の形で現象論的に与えられる事が多い。行列要素が無視できない ϕj のセット (模型空間)
に制限して計算を簡単化するのが一般的である。ただし、殻模型計算では U として調和振動子型をベースにすれば非束縛状態が作られる心配は
無いが、散乱問題では残留核が分解してしまう場合も含めて完全系なので、扱いが複雑になる。
50
2.6
光学ポテンシャル
考慮に入れるチャネルの集合が張る模型空間を C とする。チャネル α への射影演算子を P 、C から α を除く
空間への射影演算子を Q、省かれたチャネルの張る空間への射影演算子を R とする。
X
X
|ϕλ ihϕλ | , R ≡
|ϕλ ihϕλ |
P ≡ |ϕα ihϕα | , Q ≡
λ6∈C
λ6=α
λ∈C
P
α
C
R
Q
P 2 =P , Q2 =Q, R2 =R, P Q=QR=RP =0, P +Q+R=1 である事に注意すると、Schrödinger 方程式は
P (H−E)P Ψ + P V QΨ + P V RΨ = 0
(2-8)
R(H−E)RΨ + RV P Ψ + RV QΨ = 0
(2-9)
と書く事ができる。式 (2-9) の形式解は
RΨ =
RV P Ψ + RV QΨ
E − RHR + i²
なので、これを式 (2-8) に代入して RΨ を消去すると
"
#
"
#
P V RV P
P V RV Q
P HP − E +
PΨ = − PV Q +
QΨ
E − RHR + i²
E − RHR + i²
左から hϕα | をかけ、散乱波 ψα の方程式として書き直すと
Z
XZ
0
0
0
F̃λα (rλ , rα ; rλ0 )ψλ (rλ0 )drλ0
(Kα − Eα ) ψα (rα ) + Ũα (rα , rα )ψα (rα )drα = −
(2-10)
λ6=α
λ∈C
ただし光学ポテンシャルと形状因子を
Ũα (rα , rα0 ) ≡ hϕα |Vα |ϕα iδ(rα −rα0 ) +
F̃λα (rλ , rα ; rλ0 ) ≡ hϕα |Vα |ϕλ iδ(rλ −rλ0 ) +
と定義した。
P
µ6∈C hϕα |Vα |ϕµ ihϕµ |Vα |ϕα i
(2-11)
µ6∈C hϕα |Vα |ϕµ ihϕµ |Vλ |ϕλ i
(2-12)
P
E − RHR + ²
E − RHR + i²
51
式 (2-10) が、式 (2-7) に代わって用いられる連立微分方程式となるが、モデル空間を制限する事によって
1. 有効ポテンシャル Ũ および有効形状因子 F̃ は非局所関数となり、且つエネルギー E に依存する
2. それらはモデル空間の選び方に依存する
事がわかる。式 (2-11, 2-12) の第 2 項は、モデルで考慮されない複雑なチャネルを経由して戻̇っ̇て̇来る波の寄与を表すと考えられる。
特に、入射チャネル α 以外を全て R とした (Q を空集合 φ とした) 場合の Ũα は、弾性散乱解析に用いられる光学ポテンシャルとな
る。式 (2-10) の右辺は 0 となるが、
Z
(Kα − Eα ) ψα (rα ) + Ũα (rα , rα0 )ψα (rα0 )drα0 = 0
£
¤
−→ Kα + Uα (rα ) − Eα ψα (rα ) = 0
として局所近似されたポテンシャル Uα が現象論的に用いられる。非局所性の補正としては、局所エネルギー近似に基づき、ポテン
シャルに因子
¸
·
βα 2mα
Uα (rα )
H(rα ) ≡ exp
8 ~2
を乗ずる方法が良く用いられる (βα はパラメータ)39 。この補正で波動関数は原子核内部で減衰を受けるが、外部では影響を受けない。
弾性散乱の観測量は漸近領域での散乱波の振る舞いで決まるので、非局所性の効果は弾性散乱にほとんど全く現れない。一方、反応
計算では形状因子との積分になるので、原子核内部および表面での散乱波が重要となり、非局所性の効果が相対的に大きく現れる。
例: アイソバリック・アナログ状態の励起と光学ポテンシャルの荷電スピン依存性
a および b を核子として、A(a, b)B 反応で A のアイソバリック・アナログ状態 B が励起される場合を考える。
a および A の荷電スピンベクトル演算子を Ta および TA と書くと、
|ϕB i = TA± |ϕA i , |ϕb i = Ta∓ |ϕa i
ただし荷電スピン昇降演算子を TA± ≡ TAx ± iTAy (Ta∓ も同様) と定義した。Hamiltonian は荷電スピン空間のスカラーでなければ
ならないが、Ta = 1/2 であり、a に関してはベクトルしか作れないので、相互作用部分は内積の形に書けるは̇ず̇である40 。
4
V = V0 + V1 Ta ·TA
A
39
40
F.G. Perey & B. Buck, Nucl. Phys. 32 (1962) 353 等
光学ポテンシャルの荷電スピン依存型は Lane ポテンシャルと呼ばれる。A.M. Lane, Nucl. Phys. 35 (1962) 676.
52
V1 の係数は後の便宜のため導入した。内積の展開形が
1
Ta ·TA = (Ta+ TA− + Ta− TA+ ) + Taz TAz
2
(2-13)
である事に注意すると、局所近似有効ポテンシャルは [式 (2-13) の第 2 項のみが寄与し]
U = hϕa ϕA |V |ϕa ϕA i = hϕa ϕA |V0 |ϕa ϕA i ±
|
{z
}
≡ U0
NA − ZA
hϕa ϕA |V1 |ϕa ϕA i
|
{z
}
A
≡ U1
(復号は Taz の符合に対応、陽子が −、中性子が + と定義)。一方、局所近似形状因子は [式 (2-13) の第 1 項のみが寄与し]
FbB;aA = hϕb ϕB |V |ϕa ϕA i
Ta = Tb = 1/2 なので
= hϕb ϕB |Ta± TA∓ V1 |ϕa ϕA i
1p
4
=
(Ta ∓Taz +1)(Ta ±Taz )(TA ±TAz +1)(TA ∓TAz ) U1
2
A
2p
=
(TA ±TAz +1)(TA ∓TAz ) U1
A
(復号は (n, p) および (p, n) 反応に対応)。ターゲット A は基底状態で TA = |TAz | なので、NA ≥ ZA ならば (n, p) 反応でアイソバリッ
ク・アナログ状態は励起されない事がわかる。また、(p, n) 反応の場合の形状因子は
√
2 2TA
FnB;pA =
U1
A
反応計算のモデル空間として (p, p) 弾性散乱と (p, n) 反応のみを採用した場合、式 (2-10) に対応するチャネル結合方程式は
√
·
¸
2TA
2 2TA
U1 + UC − EpA ψpA = −
U1 ψnB
KpA + U0 −
A
A
√
·
¸
2(TA −1)
2 2TA
U1 − EnB ψnB = −
U1 ψpA
KnB + U0 +
A
A
となる。UC はクーロンポテンシャルであり、クーロンエネルギーシフト ∆E = ²A − ²B を使うと EnB = EpA − ∆E と関係付けられる。
53
現象論的局所近似光学ポテンシャル
モデル空間を弾性散乱チャネルのみに制限した場合、右辺
X
imaginary
Fλ α ψλ を通じて失われる波を 嘘 数 ポテンシャルで表現
λ6=α
U (r) = −VV f (RV , aV ; r) − i WV f (RV , aV ; r) + 4aD i WD
∇·j = −
i
i~ h ∗ 2
2
ψ ∇ ψ − (∇2 ψ ∗ )ψ = Im U ψ ∗ ψ
2m
~
d
f (RD , aD ; r)
dr
µ
~
+ (VSO + iWSO )
mπ c
¶2
1 d
f (RDO , aSO ; r) L · σ
r dr
Gauss の定理より Im U < 0 流れの吸い込み
> 0 湧き出し
密度分布を反映して f (R, a; r) は Fermi 型で表される事が多い。パラメータは現象論的に決定。
陽子ビームに対する大域的エネルギー依存性
Nucl. Phys. A 713 (2003) 231.
• VV ∼ 50 MeV (E ∼ 0) は殻模型の核内核子ポテンシャルに等しく、Fermi エネルギーと束縛エネルギーの和に対応。
• ビームエネルギー上昇と共に多数の反応チャネルが開く (反応閾値を超える) ので W は深くなる。
• エネルギーが低いと表面吸収項 WD が相対的に強く、エネルギー上昇と共に体積吸収項 WV が支配的となる傾向。
• 粒子が重くなるにつれ (p → d → α → · · · ) 一般にポテンシャルは深くなる。
54
2.7
断熱近似
adiabatic approx.
チャネル結合方程式 (2-7) を解くために屡々導入されるのが 断 熱 近 似 である41 。変形核の回転運動の励起 (Ex ¿ 1 MeV) や束縛
エネルギーの小さな粒子の移行反応や分解反応の場合、系の変化は比較的 “ゆっくり” 起こると期待される。入射粒子エネルギーが
十分に高ければ、粒子が系を通り過ぎる時間は非常に短く、その間の系の変化が無視できると近似するものである。
具体的には、全系の Hamiltonian
H = Hα (xα ) + Kα (rα ) + Vα (xα , rα )
の中で、部分系の Hamiltonian Hα を束縛エネルギー ²α に置き換える 事で導入される。散乱波の形式解は、
Ψ(+)
α (kα ; xα , rα )
·
= 1+
¸
1
Vα (xα , rα ) eikα ·rα ϕα (xα )
E−H+i²
と書けるが、断熱近似 Hα → ²α を導入すると、Eα = E − ²α なので
·
¸
1
→ ϕα (xα ) 1 +
Vα (xα , rα ) eikα ·rα = ΨAD
α (kα , xα ; rα )
Eα −Kα −Vα (xα , rα )+i²
{z
}
|
AD
≡ χα (kα , xα ; rα )
となり、式 (2-5) で導入されたチャネル結合法の展開
X
Ψ(+)
(x
,
r
)
=
ϕξ (xα ) ψξ (rξ )
α
α
α
に較べて著しく単純化される。
ξ
一般には直交性 hϕα |ϕβ i = 0 は成り立たない
AD
ΨAD
α は単なる変数分離型 ϕα (xα )ψα (rα ) でなく、χα が xα に依存する (他のチャネルとの結合が実効的に含まれている) 事に注意。
ΨAD
α は Schrödinger 方程式
h
i
Kα (rα ) + Vα (xα , rα ) − Eα ΨAD
α (kα , xα ; rα ) = 0
を解いて得られるが、xα は (変数でなく) 与えられたパ̇ラ̇メ̇ー̇タ̇と考えれば良い。
散乱粒子が十分遠くへ跳び去るまでには、系の変化が追従すると期待されるので、ΨAD
α の漸近的振る舞いは正しくないと考えるべき
¯ ¯ (+) ®
¯
¯
であり、短距離力に対する遷移行列 Φβ Vβ Ψα
の計算においてのみ意味を持つ。
impulse approx.
41
sudden approx.
通常、量子力学で断熱近似と言えば遅い変化に量子状態が追従する近似を指し、ここで紹介するのは 衝 撃 近 似 や 突 然 近 似 と呼ぶべきものであるが、
歴史的理由と慣習により断熱近似の呼称が使われている。
55
実際の簡単な例題として、ポテンシャルが球対称であり、
X µ∗
X
Vα (x, r) =
Vλ (xα , rα )
Yλ (b
xα ) Yλµ (b
rα )
λ
µ
4π X L
i hl m L M | λ µihl0 m0 L0 M 0 | λ µi
kα rα
¯ m0
¯
® m
bα ) Y M0 0 (b
¯
¯
× χλl0 L0 ;lL (kα , xα ; rα ) YLM ∗ (k
r
)
(b
x
)
Y
(b
x
)
Y
0
α
α
α
L
l
l
ΨAD
α (kα , xα ; rα ) =
と多重極展開できる場合を考える。スピン代数 (付録 A) に関する計算は省略するが、問題は連立微分方程式
h d2
i
L(L + 1) 2m
2
J
+
k
−
−
V
(x
,
r
)
0 α α χlL;lL (kα , xα ; rα )
α
2
2
2
drα
rα
~
p
2m X l0 +L0 −l−L
l+L0 +J
=
i
(−)
(2λ+1)(2l+1)(2L+1)
~2 0 0
l L λ6=0
× hl λ 0 0 | l0 0ihL λ 0 0 | L0 0i W (lLl0 L0 ; Jλ) Vλ (xα , rα ) χJl0 L0 ;lL (kα , xα ; rα )
(2-14)
を解く事に帰着する (W は Racah 係数)。
2.8
チャネル結合 Born 近似
本来 DWBA は定義として歪曲波の計算方法まで規定していないが、通常は現象論的局所近似光学ポテンシャルを使って解いた散乱波
を歪曲波とする計算を慣習的に DWBA と称し、他の方法で歪曲波を求めた Born 近似計算は別の名称で区別される事が多い (既出例は
Coupled-Channel Born Approx.
46 ページ Glauber 近似)。特に、チャネル結合方程式を解いて求めた散乱波を用いて Born 近似を行う計算は チャネル結合 Born 近似
(CCBA) と呼ばれ、局所光学ポテンシャルで表現できないチャネルが強く影響する場合の近似向上に用いられる。具体的には
¯h
¯h
¿X
À
¿X
À
i¯¯X
i¯¯X
¯
¯
β(−)
α(+)
β(−)
α(+)
CCBA
CCBA
Tpost
=
χβ 0 ϕβ 0 ¯¯ Wβ −Uβ ¯¯
χα 0 ϕ α 0 =
χβ 0 ϕβ 0 ¯¯ Wα −Uα ¯¯
χα0 ϕα0 = Tprior
β0
ただし
h
α0
β0
α0
i
X
¯
¯
¯
¯
®
® α(+)
Kα (rα ) + ϕα (xα )¯Uα (rα , xα )¯ϕα (xα ) − Eα χα(+)
(rα ) = −
ϕα (xα )¯Uα (rα , xα )¯ϕα0 (xα ) χα0 (rα )
α
α0 6=α
(β チャネルも同様) 等と書ける。「チャネル結合方程式を解くのに Born 近似？」と疑問に思うかも知れないが、始 (終) 状態歪曲波
の計算に終 (始) 状態チャネルを結合していないので、目的の遷移 α → β は解いていない (一次の摂動で扱う) 事に注意。通常、結合
するチャネル α0 , β 0 は集団運動の非弾性励起や後述する分解反応等、組み替えを伴わない反応に限られる (座標が変わるチャネルを
含めてチャネル結合方程式を解くのは非常に難しいので、次善の策として Born 近似で扱っているとも言える)。チャネル結合方程式
Adiabatic Coupled-Channel Born Approx.
で更に断熱近似を導入して計算を簡単化したものは 断熱チャネル結合 Born 近似 (ACCBA) と呼ばれる。
56
連立微分方程式の数値解法
興味のために修正 Numerov 法による解法42 を紹介する。逐次近似法43 も良く使われている。以下では (l, L) の組み合わせ (チャネル)
を添字 i, j, k で表す。連立微分方程式が
X
d2
χ
(r)
=
Aij (r) χji (r)
ii
dr2
j
と一般的に書かれるとして、境界条件
χji (0) = 0
χji (r) = eiσj [δij Fi (r) + Tji Hj (r)] , r > rmatch
の下で解く。補助波動関数 Zij (r) を導入し、
wij (r) =
X·
k
¸
h2
δik + Aik (r) Zkj (r)
12
(2-15)
Fi (r) , Hi (r) は Coulomb 波動関数
により連立微分方程式を書き換える。h は積分のステップサイズ、wij (r) は規格化されていない波動関数である。通常の Numerov 法
と同様に、実際の積分は“ 漸化式 ”
X
Zij (r+h) = 2Zij (r) + h2
Aik (r) wkj (r) − Zij (r−h)
k
で行われる。Zij (r) の初期値として、通常
従って
Zij (0) = 0 , Zij (h) = ²δij
·
¸
h2
wij (0) = 0 , wij (h) = ² δij + Aij (h)
12
が採られるが、² には実数表現の最大値を越えない程度に小さな値を与える (大きい L において wij (r) は r に関して急速に増加する
関数となる)。規格化された波動関数 χji (r) は、wji (r) の適当な線型結合によって表される。
X
Rik wjk (r)
χji (r) =
k
Rik は二つの接続点 r1 と r2 での結合条件 [式 (2-15)] から決定され、Tji を消去すると以下の解が得られる。
X
£
¤
Rik =
δij eiσj [Fi (r2 )Hj (r1 ) − Fi (r1 )Hj (r2 )] D−1 kj
£
¤
j
=
eiσi [Fi (r2 )Hi (r1 ) − Fi (r1 )Hi (r2 )] D−1 ki
Dkj = wjk (r2 )Hj (r1 ) − wjk (r1 )Hj (r2 )
42
M.A. Melkanoff, T. Sawada, and J. Raynal, Methods in Computational Physics, vol. 6 (Academic Press, 1966) p. 1; P. Nagel and R.D. Koshel, OUKID:
a finite range coupled channel Born approximation code, Comp. Phys. Comm. 15 (1978) 193–226.
43
付録 B で紹介する ecis (équations couplées en itération séquentielle) や fresco (Computer Phys. Rep. 7 (1988) 167) で使われている。
57
3
少数粒子系の分解反応
1
以下では標的核や散乱粒子が終状態で分解してしまう場合を考える。
便宜上、a → 1 , A → (2+3) 等として対称性の高い表記で 3 粒子系を扱う。
平面波 {φk} を基底として Lippmann-Schwinger 方程式を運動量表現で書くと
Z
1
d6 k00
0 |V |φk00 i
hφk0 |T |φki = hφk0 |V |φki +
hφ
hφk00 |T |φki
k
(2π)6
E − E 00
1
r31
r1−23
2
r23
1
3
2
r2−31
r12
3
2
ただし V = V23 (r23 ) + V31 (r31 ) + V12 (r12 )
平面波の r 表現は Jacobi 座標に応じて
hr|φki = hr23 |k23 ihr1-23 |k1-23 i = exp(ik23 · r23 ) exp(ik1-23 · r1-23 )
= hr31 |k31 ihr2-31 |k2-31 i = exp(ik31 · r31 ) exp(ik2-31 · r2-31 )
= hr12 |k12 ihr3-12 |k3-12 i = exp(ik12 · r12 ) exp(ik3-12 · r3-12 )
と書けるので、
0
0
0
hφk0 |V |φki = δ(k1-23 −k10 -23 ) hk23
|V23 |k23 i + δ(k2-31 −k20 -31 ) hk31
|V31 |k31 i + δ(k3-12 −k30 -12 ) hk12
|V12 |k12 i
積分方程式の逐次近似が収束し、解が一意的に決まるためには、積分核の絶対値の二乗が有限でなければならないが44 、
¯
Z Z ¯
Z
Z
¯ hφk|V |φk0 i ¯2 6 6 0
d6 k0
6
¯
¯ d kd k =
0
i
d
k
hφ
|V
|φ
hφk0 |V |φki
k
k
¯ E − E0 ¯
(E − E 0 )2
¯
Z ¯ 0
Z
¯ hk23 |V23 |k23 i ¯2 0
0
2
0
¯
¯
= ··· +
¯ E − E 0 ¯ dk23 dk23 |δ(k1-23 −k1-23 )| dk1-23 dk1-23 + · · ·
{z
}
|
= δ(0)
という発散項が現れてしまう。その原因は、相̇互̇作̇用̇し̇な̇い̇座標 (上の例では r1-23 ) が分離されず、“素通り” している点にある45 。
2 体散乱で同様の問題が起こらなかったのは、質̇量̇中̇心̇運̇動̇を̇分̇離̇する事により、発散項が現れるのを防いでいたからである (唯一
現れる座標 r には収束項 V (r) が作用していた)。
この問題を最も綺麗に回避する方法が Faddeev 方程式である。
44
45
数学的には Hilbert-Schmidt 型でなければならない。
∞ = ∞ の無意味な方程式となって解が決まらなくなるというだけで、Lippmann-Schwinger 方程式が本質的に間違っている事を意味するものではない。
r3−12
3
58
3.1
Faddeev 方程式
¾»
1 - =
2
T
3 -½¼
1
2
3
|
1
+2
3
|
1
+2
3
|
1
- + 2
3
1
- + 2
3
1
- + 2
3
1
- + 2
3
1
- + 2
3
1
- + 2
3
1
- + 2
3
1
- + 2
3
-¾»
- T23 -½¼
- + ···
-
1
- + 2
3
1
- + 2
3
1
- + 2
3
1
- + 2
3
- + ···
-
{z
{z
{z
1
≡ 2
3
Tij の添字は、最̇後̇に̇相互作用する粒子対 i-j の番号を指す。無限級数の性質から
¾»
1 1
T23 - = 2
2
3 -½¼
3
¾»
1 1
T31 - = 2
2
3 -½¼
3
¾»
1 1
T12 - = 2
2
3 -½¼
3
- + ···
-
¾»
1 - + 2 - T
- +
23
3 -½¼
¾»
1 - + 2 - T23
- +
3 ½¼
¾»
1 - + 2 - T23
- +
3 ½¼
}
}
¾»
1 ≡ 2 - T31 3 -½¼
}
¾»
1 ≡ 2 - T12 3 -½¼
¾»
¾»
1 1 +
T31
T12 2
2
3 -½¼
3 -½¼
¾»
¾»
1 1 + 2
T31
T12 2
3 -½¼
3 -½¼
¾»
¾»
1 1 + 2
T31
T12 2
3 -½¼
3 -½¼
粒子 i-j 間の相互作用を Vij 、自̇由̇な 3 粒子の伝播関数を G0 と書くと、方程式としては
T23 = V23 + V23 G0 (T23 + T31 + T12 )
T31 = V31 + V31 G0 (T23 + T31 + T12 )
T12 = V12 + V12 G0 (T23 + T31 + T12 )
(3-1)
59
第 1 式に注目し、T23 に関してまとめると
(1 − V23 G0 ) T23 = V23 + V23 G0 (T31 + T12 )
形式解を求めると
T23 =
1
1
V23 +
V23 G0 (T31 + T12 )
1 − V23 G0
1 − V23 G0
(3-2)
一方、(粒子 1 が無い時の) 2 粒子散乱演算子 t23 の Lippmann-Schwinger 方程式は
t23 = V23 + V23 G0 t23
であり、同様に形式解が
t23 =
と書ける事を使って、式 (3-2) に代入すると
1
V23
1 − V23 G0
T23 = t23 + t23 G0 (T31 + T12 )
T31 , T12 についても同様に書き換え、行列形式にまとめると、Faddeev 方程式と呼ばれる連立積分方程式
0 t23 t23
T23
t23
T23
T31 = t31 + t31 0 t31 G0 T31
t12 t12 0
T12
t12
T12
(3-3)
が得られる。これを解いて和をとれば、全系の解
T = T23 + T31 + T12
が得られる。一方、式 (3-1) を辺々足せば
T = V + V G0 T
であり、通常の形の Lippmann-Schwinger 方程式に帰着する事がわかる。
Faddeev 方程式では、前ページの “素通り” の問題が巧みに回避されている。例えば、式 (3-3) の 1 行目は
T23 = t23 + t23 G0 t31 + t23 G0 t12 + · · ·
と漸近展開され、t23 G0 t23 のような相互作用しない座標 (r1-23 ) を含む積分核が現れないようになっている46 。
Faddeev 方程式を漸近展開とみなすと、
quasi-elastic scatt.
第一項
tij
は 準弾性散乱 、
final-state interaction
第二項 tij G0 tjk は 終状態相互作用 を表す。
46
j
( j
hhhh
h((((
#Ã
j
QFS
jspectator
"!
∞ = ∞ となる成分を分離し、その成分に対しては別の方程式を立てて連立させて解く。
j
( j
hhhh(((((
#Ã
j
j
FSI 1 "!
j
hhhh (((( j
#Ã
j
j
FSI 2 "!
60
3.2
離散化連続チャネル結合法 (CDCC)
Faddeev 方程式は本質的に正しい理論であるが、現実の原子核反応に適用するには様々な困難がある。一方、伝統的な二体反応の
理論を拡張し、分解反応を近̇似̇的̇に̇扱う様々な試みが成されている。その中で最も強力と目されるのは離散化連続チャネル結合法
(Continuum-Discretized Coupled-Channels: CDCC)47 である。
2.5 節 (47) で紹介したチャネル結合法は、全てのチャネルが二体反応である場合には完全な取り扱いであったが、分解反応が起こる
場合には、以下の問題が発生する。
• 複̇数̇の̇座̇標̇に関して散乱状態の積分を行うので、“素通り” の問題が発生して積分が発散する。
• チャネルの指標 (= 励起エネルギー) が連続変数となってしまい、そもそも連立微分方程式の形に書けない！
自然な発想の近似として、連続である励起エネルギー (相対エネルギー) を 複数の微小区間に分割 し、各々の区間で一つの波動関数
を代表させて用いる方法が考えられる。散乱波としては
X
XZ
(+)
Ψ
= ϕα (xα ) χα (rα ) +
ϕξ (xξ ) χξ (rξ ) +
d²λ ϕλ (²λ ; xλ ) χλ (²λ ; rλ )
ξ
λ |
{z
}
n
X
ϕλi (xλ ) χλi (rλ )
→
となるが、χλ (²λ ; rλ ) の ²λ 依存性が小さいと近似すると、ϕλi (xλ ) は微小区間での平均
1
ϕλi (xλ ) ' max min
²λi −²λi
Z
i=1
²max
λ
i
ϕλ (²λ ; xλ ) d²λ
²min
λ
i
に相当する。これは運動量空間で矩形分布する一種の “波束” とみなせるので、ϕλ (²λ ; xλ ) が散乱状態であっても、ϕλi (xλ ) は有限の
領域で収束する関数になると期待される。従って “素通り” の問題も一挙に回避 でき、2.5 節の議論がそのまま適用可能となる。
47
詳しくは N. Austern, Y. Iseri, M. Kamimura, M. Kawai, G. Rawitcher & M. Yahiro, Phys. Rep. 154 (1987) 125 のレヴュー、および最近の多くの不安定
原子核反応に関する論文を参照。なお、当初は Coupled Discretized-Continuum Channels と称されていた (Prog. Theor. Phys. Suppl. 89 (1986) 頃まで) が、
“ 変な英語 ”との指摘で N. Austern et al. のレヴュー辺りから現在の呼び名になったと聞く。
p
例: (d, pn) 重陽子分解反応
n
右図のように座標系を採る。prior-formalism での遷移行列要素は
¯£
D
E
¤¯¯
(+)
(−) ¯
Tprior = Ψ ¯ VpA +VnA −VdA ¯ϕd (xα )χdA (rα )
散乱波は Schrödinger 方程式
£
¤
Kα + VpA + VnA + Vpn − E Ψ = 0
を解いて得られる。ポテンシャルが球対称であるとすると、多重極展開
³
³
X
X µ∗
1 ´
1 ´
VpA rα + xα + VnA rα − xα =
Vλ (xα , rα )
Yλ (b
xα ) Yλµ (b
rα )
2
2
µ
61
xα
rβ
rα
xβ
A
λ
を使えば、V0 から光学ポテンシャル Uα 、Vλ6=0 からチャネル結合形状因子 Fλα が得られ、CDCC によって Ψ を計算する事ができる。
次ページに 56 MeV での (d, pn) 反応の計算と実験の比較を載せる。
更に断熱近似を適用する場合は、55 ページの式 (2-14) を解けば良い。異なる l-l0 のチャネル結合を取り入れているので、(d, pn) 分解
反応を含め、良い結果を与える事が多い (xα に関する波動関数は p-n 散乱状態と重陽子束縛状態を同じに採っているにも関わらず)。
一方、post-formalism での遷移行列要素は (p-A 系を便宜上 B と表すと)
¯£
D
¤¯¯ (+) E
¯
(−)
Tpost = ϕB (xβ )χnB (rβ )¯ Vpn +VnA −VnB ¯Ψα
解くべき散乱波の Schrödinger 方程式は上と同じ。
ここで、核子移行反応で行ったと同様に
である場合を考えると、
mn = mp ¿ mA
³
mp ´
VnA rβ +
xβ ' VnA (rβ )
mB
であり、多重極展開から生じる チャネル結合の効果が無視できる ので、散乱波が単独チャネルの歪曲波で近似可能 (Ψ ' ϕd χdA )、
従って DWBA が良い近似になると期待される。計算の簡単のため、更に近似48
(+)
を導入すると、遷移行列要素は
(+)
とまとめられる。結果は次ページ図の通りで、良い結果を与える。
次節で扱うように、post-formalism は Coulomb 力を取り入れるのも有利 な場合がある。
48
(+)
VnB ' VnA (従って χnB ' χnA ) および ϕB → χpA
¯ ¯
D
E
¯ ¯
(−)
(−)
DWBA
Tpost
= χpA (xβ )χnA (rβ )¯Vpn ¯ϕd (xα )χ(+)
(r
)
α
α
終状態を散乱波の積で表すのは前節の議論から定式化上問題があるが…
62
Coulomb 力を含まない CDCC 計算
良い基底の選択は高度なチャネル結合より重要
M. Yahiro et al., Phys. Lett. 141B (1984) 19.
H. Okamura et al., Phys. Rev. C 58 (1998) 2180.
63
3.3
Coulomb 力の取り扱い
Faddeev 方程式は 3 体を扱う完全な理論たが、以下の場合にのみ適用できる。
Ã
! Ã
!Ã
!
ri-jk
cjk sjk
rk-ij
• 非相対論的な場合
— 座標変換が線型 (Galilei 変換)
=
rjk
−sjk cjk
rij
• Coulomb 力が働かない場合
— 自由な波が平面波 φ(r) = exp(r)
これらの条件下で、部分系間の変換 φ1-23 (r1-23 )φ23 (r23 ) = φ2-31 (r2-31 )φ31 (r31 ) = φ3-12 (r3-12 )φ12 (r12 ) から問題を解く事が出来た。
相対論的効果は、ビームエネルギーから影響の程度は予測可能であり、適当なエネルギーの下では無視する事が出来る。
一方、加速器から供給されるビームは一般にイオンであり、Coulomb 力が働かない場合は稀である。3 核子力の問題等の少数核子系
の精密な議論に耐えるには Coulomb 力も完全に扱える事が望まれる。また、Coulomb 力による分解反応を積極的に使う応用もある。
天体中で起こる A(x, γ)B 放射性捕獲反応の断面積は、元素合成の仕組みを探る鍵となるが、極低エネルギーの不安定核反応の測定
となるので実験は難しく、逆反応である (B, xA) Coulomb 分解反応から断面積を導出する事が試みられている49 。ここで反応を引き
起こすのが実光子ではないため、物理的に意味のある量を引き出すには反応機構を正しく扱える事が前提となるが、終状態が多体
(x +A) である事が問題を難しくしており、様々な取り扱いが提案されている。
これらは現代の反応論の課題であるが、恣意的に幾つかを紹介する。
49
例えば G. Baur & M. Weber, Nucl. Phys. A504 (1989) 352.
64
2 荷電粒子の場合
d + p 系、A(a, nb)A 型反応等 (a = n+b) — Coulomb 力が働くのは 3 組の相互作用 VnA + Vnb + VbA の中の１̇つ̇だ̇け̇ (= VbA )
Coulomb-Fourier 変換による方法50
2 体反応で Coulomb 力が扱えたのは何故か？
Gell-Mann Goldberger 変換 · · ·
歪曲波 {χξ } (Coulomb 歪曲を含む) を基底として hχλ |T |χξ i に関する方程式に変換
=⇒ Coulomb 力部分を分離し、素直に問題が解けた
波動関数が分離形に書けないので一般に拡張は出来ないが · · ·
粒子 1-2-3 系において Coulomb 力が 1 組の粒子対 (2-3) にしか働かない場合は、Coulomb 波動関数を χC として、
χ(k1-23 , k23 ; r1-23 , r23 ) ≡ exp(ik1-23 ·r1-23 ) χC (k23 ; r23 )
を基底系とする運動量表現に変換すれば、ポテンシャルは各々
Z
¯ ¯
®
0
0 ¯ C¯
0
0
χ(k1-23 , k23 ) V23 χ(k1-23 , k23 ) = δ(k1-23 −k1-23 ) χC∗ (k23
) V23C (r23 ) χC (k23 ) dr23
|
{z
}
2 体問題と同様扱い易い
Z
¯ ¯
®
£
¤
dr12
0
0 ¯
−3 C
0
0
0
¯
χ(k1-23 , k23 ) V12 χ(k1-23 , k23 ) = |s12 | L23 (k1-23 , k23 , k1-23 , k23 ) exp is−1
12 (k1-23 −k1-23 )·r12 V12 (r12 )
(2π)3
{z
}
|
Fourier 変換
Z
ただし
£
¤
0
0
0
LC
exp ic12 /s12 (k10 -23 −k1-23 )·r23 χC∗ (k23
) χC (k23 ) dr23
23 (k1-23 , k23 , k1-23 , k23 ) ≡
¯
¯
®
0 ¯
χ(k10 -23 , k23
) V31 ¯χ(k1-23 , k23 )
s12 , c12 は (r1-23 , r23 ) から (r3-12 , r12 ) への変換係数
= (同様 · · · )
0
0
問題は LC
ij (k1-23 , k23 , k1-23 , k23 ) の性質であるが、精々1 位の特異性しか持たない事が示される (詳細は脚注 50 の文献)。
形式的に美しい解だが、本格的利用は今後に期待。
50
E.O. Alt, S.B. Levin & S.L. Yakovlev, Phys. Rev. C 69 (2004) 034002.
PHY SICAL REVIEW
参考文献 [7] 等に詳しいので省略。最近の計算としては
· µ
¶n ¸
r23
VR23 (r23 ) = V (r23 ) exp −
R23
のタイプで (n = 4) を用いたものがある51 。R23 は適当な遮蔽半径で、n = 1 は湯川型、
n → ∞ は Heaviside 関数に対応し、n = 4 は中間の Fermi 型に似た形となる。右図は
130 MeV での d(p, pp)n 分解反応に関する計算と実験の比較。実線 (破線) は Coulomb
を含む (含まない) 場合。
Bremsstrahlung 行列要素の利用
LETT
65
2.5
0.4
0.3
2.0
1.5
Ay (N)
遮蔽 Coulomb ポテンシャルによる方法
d5σ/dS dΩ1 dΩ2 (mb MeV-1sr-2)
PRL 95, 092301 (2005)
0.2
1.0
0.2
0.0
0.1
0.5
o
o
o
(15 ,15 ,160 )
(15o,15o,40o)
0.0
-0.2
0
0.0
80
120
S (MeV)
80
120
160
FIG. 3. Differential cross section for pd breakup at 130 MeV
deuteron lab energy. Curves as in Fig. 2. The experimental data
are from Ref. [17].
(12)+3 → 1+2+3 型反応で 2-3 間にのみ Coulomb 力が働く (1 が中性粒子である) 場合、核力を無視した近似での波動関数の積
¯
E
D
¯ C
C
which
exp(ik1-23 ·r1-23 ) χ (k23 ; r23 ) ¯ χ (k3-12 ; r3-12 ) there are available data, we find the effect of
Coulomb to be rather small except in recently measured
configurations
of pd breakup at 130 MeV(減衰項の
deuteron lab
は、r3-12 ' r23 の条件の下では、Bremsstrahlung の行列要素として知られる解析関数の表現52 を用いて簡単に計算できる
energy [17] shown in Fig. 3 where, depending on the
無い散乱波のみの積の積分なので収束が遅く、数値的に積分を実行しようとすると非常に難しい
)。 Coulomb either increases or decreases
azimuthal angle,
the differential cross section. By and large, the agreement
前節の (d, pn) 分解反応で取り上げた post-formalism の DWBA でゼロ・レンジ近似に有限レンジ補正を加えた場合や、断熱近似を用
between theoretical predictions and experimental data is
53
improved. Other configurations where the Coulomb effect
いた場合 にも、遷移行列要素が
is very important correspond to the proton-proton final¯
¯
D
E
¯
¯ (+) state interaction (pp-FSI) regime with very low relative pp
C
Tpost (k23 , k1-23 ; k3-12 ) = exp(ik1-23 ·r1-23 ) χ (k23 ; r23 ) ¯ V12 (r12 ) ¯ Ψ (kenergy
3-12 ; r(not
12 , rshown
3-12 ) here) for which there are no available
data.
In
there
pp repulsion
¯ is responsibleEfor decreasing the
¯
¯
D
ED
¯
¯
¯
C
cross
section,
converting
peak obtained in the
' exp(ik12 ·r12 )¯V12 (r12 )¯ϕ(12) (r12 ) exp(ik1-23 ·r1-23 ) χ (k23 ; r23 ) ¯ χCa(kpp-FSI
3-12 ; r23 )
absence
of
Coulomb
into
a
minima
[5,15]. This effect is
{z
}
|
partially responsible for lowering the peak in the configu形状因子
ration (15 , 15 , 40 ) in Fig. 3, where the relative pp
energy is rather low at the peak. The relative pp energy
と分離型に書けるので、非常に計算が簡単化される。Coulomb 力が支配的な分解反応では実際に良い結果を与える
(次ページ図
)。
gets considerably increased as one changes
the azimuthal
angle to 160 ; adding Coulomb there increases the cross
section. Finally, Fig. 4 shows the Coulomb effect on the
nucleon analyzing power in the collinear configuration at
65 MeV nucleon lab energy.
In conclusion, we have been able for the first time to
51
A.Deltuva, A.C. Fonseca & P.U. Sauer, Phys. Rev. Lett. 95 (2005) 092301; Phys. Rev. C 71 (2005)
054005.
calculate
pd breakup observables using realistic hadronic
52
A. Nordsieck, Phys. Rev. 93 (1954) 785.
potentials and the full Coulomb interaction between
53
A. Tostevin, S. Rugmai & R.C. Johnson, Phys. Rev. C 57 (1998) 3225.
charged baryons. Coulomb effect may be important even
at higher energies, depending on the kinematical configuration, but it is unable to resolve the space star anomaly at
FIG. 4. Proton
proton lab ener
Fig. 2. The exp
*On leave
Astronom
Electronic
[1] E. O. Alt,
A. I. Satta
[2] A. Kievsk
024002 (2
[3] C. R. Che
31, 13 (2
[4] A. Deltuv
71, 05400
[5] E. O. Alt
[6] A. Kievsk
2987 (199
[7] V. M. Sus
(2004).
[8] E. O. Alt,
167 (1967
[9] J. R. Tay
Semon an
[10] E. O. Alt,
17, 1981
(1980).
[11] R. Machl
[12] A. Deltuv
68, 02400
[13] A. Deltuv
67, 05400
[14] A. Deltuv
67, 03400
[15] A. Deltuv
66
H. Okamura it al., Phys. Rev. C 58 (1998) 2180.
67
3 荷電粒子の場合
そもそも散乱波の漸近形が一般的には変数分離型に書けない。特殊な場合として以下の漸近領域に関する議論が有る。
bjk · rbjk 6= 1 である場合
• 3 粒子とも十分離れ、k
[L. Rosenberg, Phys. Rev. D 8 (1973) 1833. ]
Ψ(kjk , ki-jk ; rjk , ri-jk ) → exp(ikjk ·rjk ) exp(iki-jk ·ri-jk )
Y
{jk}
£
¤
exp iηjk ln(kjk rjk −kjk ·rjk )
• 2 粒子が近く、第 3 の粒子が十分離れている場合
[A.M. Mukhamedzhanov & M. Lieber, Phys. Rev. A 54 (1996) 3078. ]
· · · 局所運動量 (漸近的運動量とは異なる) を用いた分離型漸近形
この形に基づく 208 Pb(8 B, 7 Be p)208 Pb 分解反応の試算が
[E.O. Alt, B.F. Irgaziev & A.M. Mukhamedzhanov, Phys. Rev. C 71 (2005) 024605. ]
で議論されている。
Coulomb 相互作用と “素通り” の問題は積分を発散させてしまう点にある。これを回避する全く別の試みを 2 つ簡単に紹介する。
3.4
時間依存型 Schrödinger 方程式による方法
被積分関数に現れるのはポテンシャルと波動関数の積なので、無限に広がる定常波の代わりに、局所化された波束を考えれば積分は
実行可能になる。ただし、波束の場合は時間発展を追い掛けるため Schrödinger 方程式を時間依存で解く必要があり、計算量が増大
する事になるが、最近の計算機の進歩に伴い、多くの試みがなされている54 。
3.5
吸収境界条件による方法
元々は化学反応分野で発展した方法55 。積分の発散を防ぐべく、散乱波が無限に広がらず適当な半径で収束するように、ポテンシャ
ルに吸収を表す複素成分を人̇工̇的̇に̇加える。吸収ポテンシャルは、吸収境界で反射が起こらず、遷移行列要素の積分に寄与する波動
関数の内部成分が正しく記述されるように、外側に向かって漸近的に強くなるように与えられる。
54
Coulomb 分解反応に関する初期の試みとしては H. Esbensen, G.F. Bertch & C.A. Bertulani, Nucl. Phys. A 581 (1995) 107; T. Kido, K. Yabana & Y.
Suzuki, Phys. Rev. C 53 (1996) 2296 等。
55
レヴューとしては C.W. McCurdy, M. Baertschy & T.N. Rescigno, J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 37 (2004) R137 等。
68
4
4.1
スピン偏極
スピン演算子の基礎
回転行列56
回転演算子
R = Rz0 (γ) Ry1 (β) Rz (α)
= exp(−iγJz0 ) exp(−iβJy1 ) exp(−iαJz )
= exp(−iαJz ) exp(−iβJy ) exp(−iγJz )
·
¸
exp(−iβJy1 ) = exp(−iαJz ) exp(−iβJy ) exp(+iαJz )
···
完全基底系 ψjm に対する行列表現
X j
R ψjm =
Dm0 m (αβγ) ψjm0
Euler 角の定義
m0
j
Dm
= hjm0 | R |jmi = exp(−im0 α) djm0 m (β) exp(−imγ)
0m
µ
¶2j+m−m0 −2pµ
¶m0 −m+2p
h
i1/2 X
β
β
(−)p
j
0
0
cos
− sin
dm0 m = (j+m)! (j−m)! (j+m )! (j−m )!
(j−m0 −p)! (j+m−p)! (p+m0 −m)! p!
2
2
p
p の和は階乗が意味を持つ範囲でとる
irreducible tensor operator
既約テンソル演算子
(実空間・スピン空間等の) 回転に対し
R Tqk R−1
に従って変換される 2k+1 個の演算子 Tqk のセット
同値な定義57 :
h
=
k
X
q 0 =−k
Dqk0 q Tqk0
rank k
· · · k 階 の既約テンソル演算子 Tk の標準成分
既約 · · · 回転によって異なる k の成分が混じり合わない ⇐⇒ 可約
i p
h
i
k
J± , Tqk = k(k+1) − q(q±1) Tq±1
,
Jz , Tqk = q Tqk
· · · 回転に対して Ylm と同様の変換性を持つ演算子
Wigner-Eckart の定理58
hjm| Tqk |j 0 m0 i = √
1
hj 0 m0 k q | jmi hj|| Tk ||j 0 i
2j+1 |
{z
} | {z }
C.G. 係数 reduced matrix element
換算行列要素
· · · m, m0 , q に依らない
j
以下は Wigner の記法による (Dm
0 m は drehen [回転する・させる] に由来？)。
微小回転 R(δθ) ' 1 − iJδθ
を考えれば簡単に証明可能。
√
58
文献によっては係数 1/ 2j+1 の無い定義を用いているものもある (少数派だが原子核反応関係で多い)。
56
57
69
規約テンソル演算子の例 :
• 演算子としての球面調和関数 Ykq (b
r)
特に
r
r
3
rY 0 (b
r) = z
4π 1
3
1
rY1±1 (b
r ) = √ (∓x − iy)
4π
2
1
σ±1
1 階テンソル ⇐⇒ 3 次元ベクトル
1
を持つ粒子に対するスピン演算子の “表現”
2
Ã
!
1
0
≡ σz =
Ã
√ !
0 −1
2
0
−
· · · これも 1 階テンソル =⇒ 3 次元空間ベクトルと同様に扱える
0
0
1
!
Ã
≡ √ (∓σx − iσy ) =
2
0 0
√
2 0
Ã
!
1 0
単位演算子 I =
とセットで 2×2 行列の完全系 · · · I は 0 階テンソル (スカラー)
0 1
• Pauli 行列 σ · · · スピン
σ01
³ ´
σq1
ところで、上の行列表現は
m0 m
√
= h 12 m0 | σq1 | 21 mi = − 2 h 21 m0 12 −m | 1 qi
と書く事もできる。
Wigner-Eckart の定理から当然59
スピン s を持つ一̇般̇の̇粒子に対するスピン演算子 (もどき) は、どう定義されるべきか？
spherical tensor
球テンソル
³
s
τkq
´
m0 m
s
= hs m0 | τkq
|s mi ≡
√
2s+1 (−)s−m hs m0 s −m | k qi =
| {z }
1
s
τ00
= I = ...
0
···
..
.
···
√
2k+1 hs m k q | s m0 i
0
.. となるように導入
.
1
hs||τks ||s0 i =
p
(2k+1)(2s+1)δss0
Wigner-Eckart の定理から期待される最も単純な規約テンソル演算子
今後は特に注意する場合を除き添字 s を省略
Hermite 性
直行性
59
†
τkq
= (−)q τk −q
†
Tr(τk0 q0 τkq
) = (2s+1) δkk0 δqq0
Clebsch-Gordan 係数の対称性に注意。
スピン 1 の場合 :
k=0
τ00
k=1
τ10
···
1
= 0
0
70
· · · k = 0, 1, 2 (=2s) が可能。3×3 行列による表現
スカラー
0 0
1 0
0 1
· · · ベクトル
r
1 0 0
3
=
0 0 0
2
0 0 −1
τ11 =
r
0 −1 0
3
0 0 −1
2
0 0 0
τ1−1 =
r
0 0 0
3
1 0 0
2
0 1 0
p
√
Y1 (b
r ) や σ を参考に τ10 ≡ 3/2 Sz , τ1±1 ≡ ∓ 3/2 (Sx ± iSy ) と関係付けると
1 0 0
0 1 0
0 −i 0
1
1
· · · Pauli 行列の自然な拡張
Sx = √ 1 0 1
Sy = √ i 0 −i
Sz = 0 0 0
2
2
0 0 −1
0 1 0
0 i 0
k=2
τ20
· · · 2 階テンソル
1 0 0
1
= √ 0 −2 0
2
0 0 1
τ21 =
r
0 −1 0
3
0 0 1
2
0 0 0
τ22
r
0
0
1
0
0
0
0
0
0
√
√
3
= 3 0 0 0 τ2−1 =
1 0 0 τ2−2 = 3 0 0 0
2
0 0 0
0 −1 0
1 0 0
スピン 1 の固有状態 (m = + 1, 0, −1) を基底として 3×3 行列で表現される演算子は、
k = 0 (スカラー)、k = 1 (ベクトル)、k = 2 (2 階テンソル) の既約な成分に分解される。
1
+
3
+
5
=
9 個の独立成分で展開可能
=⇒ 一般にスピン s の場合は k = 0, 1, · · · , 2s が必要
cf.
2s
X
(2k+1) = (2s+1)2
k=0
3 次元空間ベクトルと同様に扱えるのはスピン
1
の場合だけ
2
· · · su(2) と O(3) は同じ表現をとる事ができる
71
スピン s の系に関わる任意の演算子を A とすると
A =
s
as00 τ00
+
+1
X
s
as1q τ1q
+
q=−1
系の回転
s
−→ as00 τ00
+
+1
X
+2
X
+(2s)
s
as2q τ2q
q=−2
"
+1
X
1∗ s
Dqq
00 a1q 00
q=−1 q 00 =−1
#"
+1
X
+ ··· +
s
Dq10 q τ1q
0
q 0 =−1
#
X
s
as(2s)q τ(2s)q
q=−(2s)
+2
X
+
"
+2
X
2∗ s
Dqq
00 a2q 00
q=−2 q 00 =−2
※ 回転演算子 R の unitary 性 (R−1 = R† ) から
#"
+2
X
s
Dq20 q τ2q
0
q 0 =−2
#
+ ···
k∗
Dqk0 q (−γ, −β, −α) = Dqq
0 (α, β, γ) 即ち
• 異なる k の成分は回転で混じり合わない (既約性)
0
• k=0 (スカラー) 成分は回転で不変 ⇐ D00
=1
k
X
k∗
Dqk0 q Dqq
00 = δq 0 q 00
q=−k
既約テンソル演算子の合成
h
tensor product
テンソル積60
k1
U ,V
k2
ik
q
≡
X
q1 q2
X
系の回転 −→
q1 q2
hk1 q1 k2 q2 | k qi Uqk11 Vqk22
"
hk1 q1 k2 q2 | k qi
X
q0
Dqk01q1 Uqk01
1
1
#"
X
q0
Dqk02q2 Vqk0 2
2
1
2
X
X
=
Dqk0 q hk1 q10 k2 q20 | k q 0 i Uqk01 Vqk0 2
q0
60
61
|
1
q10 q20
から (任意の ψj1 m1 , ψj1 m2 に関して成り立つので係数を比較すると)
⇐ 脚注 61
2
{z
}
h
ik
= Uk1 , Vk2
· · · k 階の既約テンソル演算子
q0
vector coupling と呼ぶ文献も有る。
X
基底の合成関係 ψjm =
hj1 m1 j2 m2 | j mi ψj1 m1 ψj2 m2 に回転を施して得られる式
m1 m2
X j
X j
X
X j
Dm20 m2 ψj2 m02
Dm0 m ψjm0 =
Dm10 m1 ψj1 m01
hj1 m1 j2 m2 | j mi
2
1
| {z } m1 m2
m0
m02
m01
X
0
0
0
=
hj1 m1 j2 m2 | j m i ψj1 m01 ψj2 m02
m01 m02
2
#
X
m0
j
hj1 m01 j2 m02 | j m0 i Dm
0m =
X
j1
j2
hj1 m1 j2 m2 | j mi Dm
0 m Dm0 m
1
2
m1 m2
1
2
例:
• ベクトル (1 階テンソル) の内積
[r11 , r12 ]00 =
X
m
···
r01
f (r1 +r2 ) =
X
gl (r1 , r2 ) [Yl (b
r1 ), Yl (b
r2 )]00 =
l
rb1 を z 軸、rb2 を x-z 平面にとると
Ylm ∗ (b
r1 ) Ylm (b
r2 ) =
m
X
m
δm0
r
2l+1
·
4π
r
X
g̃l (r1 , r2 )
zX
m
l
Yl−m = (−)m Ylm∗
回転不変
}|
{
Ylm ∗ (b
r1 ) Ylm (b
r2 )
2l+1
2l+1
Pl (cos θ) =
Pl (cos θ)
4π
4π
· · · 加法定理
#
"
h
i
1
i
[r1 , r1 ]1 = √ √ ∓ (r1y r2z −r1z r2y ) −i (r1z r2x −r1x r2z )
1 2 ±1
2
2
|
{z
} |
{z
}
(r1 ×r2 )x
(r1 ×r2 )y
i
1 1 1
[r , r ] = √ (r1x r2y −r1y r2x )
1 20
2 |
{z
}
(r1 ×r2 )z
• ベクトル (1 階テンソル) の外積
√
· · · p10 = pz , p1±1 = (∓px −ipy )/ 2 とする
• スピン・軌道相互作用演算子
1
X
√
= (∓x−iy)/ 2 とする
1
h1 m 1 −m | 0 0i (r1 )1m (r2 )1−m = − √ (x1 x2 +y1 y2 +z1 z2 )
3 |
{z
}
r1 ·r2
一般に h l m l −m | 0 0i = (−)l−m (2l+1)−1/2
スカラー場は次の展開形をとる
=z,
1
r±1
1 1
[[r , p ]
, σ 1 ]00
¸
X·X
1
1
1
=
h1 m1 1 m2 −m1 | 1 m2 i rm1 pm2 −m1 h1 m2 1 −m2 | 0 0i σm
2
m2
m1
i
i
= − √ (r×p) · σ = − √ L · σ
6
6
• (所謂) テンソル相互作用演算子
[[r1 , r1 ]2 , [σ 1 (1), σ 1 (2)]2 ]00 =
X
m3
σ(i) · · · 粒子 i のスピン演算子
X
1
1
h2 m3 2 −m3 | 0 0i
h1 m1 1 m3 −m1 | 2 m3 i rm1
rm
3 −m1
m
1
X
1
1
×
h1 m2 1 −m3 −m2 | 2 −m3 i σm2
(1) σ−m
(2)
3 −m2
m2
i
1 h
2
= √ 3(σ(1) · r)(σ(2) · r) − σ(1) · σ(2) r
3 5
=⇒ 相互作用を記述する演算子は、実空間 (および運動量空間) の k 階テンソルと
スピン空間の k 階テンソルを合成して作られる 0 階テンソル (スカラー)
72
73
相互作用演算子の分類
• 回転不変性 → 0 階テンソル
• 空間反転不変性 (パリティが良い量子数) r → −r , p → −p
• 時間反転不変性
p → −p , σ → −σ
要求される条件
(弱い相互作用を除く)
c.f. [Yl1 (b
r ), Yl2 (b
r )]lm =
注: 実空間および運動量空間のテンソルは任意の階数が可能
s
(2l1 +1)(2l2 +1)
hl1 0 l2 0 | l 0i Ylm (b
r)
4π(2l+1)
スピン s を持つ粒子のスピン演算子は 2s 階までのテンソルしか作れない
c.f. スピン 1/2 の場合は σ×σ = 2iσ , σ · σ = 3 から [σ 1 , σ 1 ]2m = 0
例 : 2 核子間相互作用として可能な演算子
• 0 階テンソルどうしの組合わせ
1
£ 1 1 ¤0
r , r 0 ∝ r2
£ 1 1 ¤0
p , p 0 ∝ p2
£ 1 1 ¤0
s , s 0 ∝ σ(1) · σ(2) + const.
r ≡ r(1) − r(2)
p ≡ p(1) − p(2)
s ≡ σ(1) + σ(2) ⇐ 入れ換えに対する対称性
これらの組合せの積
[r1 , p1 ]00 ∝ r · p · · · 時間反転不変性から許されない
• 1 階テンソルどうしの組み合わせ
)
£ 1 1 ¤0
r , s 0 ∝ r·s
· · · 空間反転不変性から許されない
£ 1 1 ¤0
p ,s 0 ∝ p · s
h£
¤1 i 0
r1 , p1 , s1 ∝ L · s · · · スピン・軌道相互作用
(スピンは擬ベクトル)
0
• 2 階テンソルどうしの組み合わせ
h£
¤ £ 1 1 ¤2 i0
1 2 2
2
1
1 2
r , r , s ,s
∝ (r · s) − r s · · · 通常のテンソル相互作用
3
0
h£
i
0
¤
£
¤
1
2 2
2
1
1 2
1 1 2
· · · 全て可能
p ,p , s ,s
∝ (p · s) − p s
3
0
h£
¤ £ 1 1 ¤2 i0
1 2 2 1
2
1
1 2
テンソル相互作用は一種類ではない
r ,p , s ,s
∝ (L · s) − L s + L · s
3
2
0
| {z }
L×L = iL のため残る
2 核子間相互作用には、これより高い階数のテンソルは介在しない。
74
補足: Cartesian テンソル62
• 実験ではビーム・検出器の幾何配置の制限から、全ての球テンソル τkq の期待値を測定できない事も多い。
• 球テンソルによる定義は万人に判り易いとも言い難い。
スピン 1 の場合
• 0 階 (スカラー)
• 1 階 (ベクトル)
m0 =
1
1
I ≡ 0
0
0 −1
0 0
1
i.e. hm | I | m0 i = δmm0
1 0 0
0 1
−1
τ00 = I
m
0 1 0
0 −i 0
1 0 0
1
1
Sx ≡ √ 1 0 1 , Sy ≡ √ i 0 −i , Sz ≡ 0 0 0
2
2
0 1 0
0 i 0
0 0 −1
τ10 =
• 2階
ベクトルの diad (poor man’s tensor)
µ
¶
3
Sij ≡
Si Sj + Sj Si − 2 I δij
2
r
3
Sz , τ1±1
2
√ µ
¶
3
=∓
Sx ± iSy
2
Si Sj − Sj Si = i ²ijk Sk
6
rank 0, 1 成分を除くための細工
Sij = Sji
· · · 反対称成分は rank 1
Tr Sij = 0 · · · Tr 6= 0 成分は rank 0
1
0
0
√
Szz = 2 τ20 = 0 −2 0
0 0 1
Ãr
!
r
−1 0 −3
3
3
1
1
τ22 + τ20 +
τ2−2 = 0 2 0
Syy = − √
2
2
2
2
−3 0 −1
Sxx + Syy + Szz = 0 · · · 独立なのは 5 成分
µ
µ
¶
¶
1
1
τ2±2 = √ Sxx − Syy ± 2iSxy , τ2±1 = ∓ √ Sxz ± iSyz
2 3
3
62
L.J.B. Goldfarb, Nucl. Phys. 7 (1958) 622.
75
4.2
偏極観測量
N
1 X¯¯ ® ¯¯
ρ ≡
ψk ψk
N k=1
ビーム粒子アンサンブルを記述する密度演算子
ρ をスピンテンソル演算子で展開
ρ =
1 X
†
tkq τkq
2s+1 kq
N
1 X
行列要素は hs m | ρ | s mi =
hs m0 |ψk ihψk |s mi
N k=1
0
beam polarization
展開係数
例 1 — スピン 12 の場合
tkq ≡ Tr(ρ τkq ) · · · ビーム偏極度
Cartesian テンソルでも同様
à !
ak
ψk =
とすると、
bk
Ã
!Ã !
N
N
N
¢
1 X ¯¯ ¯¯ ®
1 X ∗ ∗ 0 1 ak
1 X¡ ∗
例えば px ≡ Tr(ρσx ) =
ψk σx ψk =
(ak bk )
=
ak bk + bk a∗k
N
N i=1
N i=1
1 0 bk
Ã
! i=1
N
1 X |ak |2 ak b∗k
= p0 I + px σx† + py σy† + pz σz†
ρ =
N i=1 bk a∗k |bk |2
例 2 — 軸対称分布の場合
多くの偏極イオン源は軸対称な構造 ⇒ ρ は対称軸 (z 軸) 周りで回転不変
[ρ , Jz ] = 0
Jz : 全角運動量演算子
規約テンソル演算子は
[Jz , τkq ] = q τkq
を満たすので
スピン 1 の場合
t10
t20
q = 0 に対してのみ tkq 6= 0
⇒ ρ は対角行列
r µ
¶
3
=
N+1 − N−1
(ベクトル偏極度)
2
だけで良い
r µ
¶
1
N+1 − 2N0 + N−1
=
(テンソル偏極度)
2 r
µ
¶
n
1
1 X
=
1 − 3N0
|hsm|ψk i|2
ただし
N
≡
m
2
N
k=1
76
スピン量子化軸と座標軸は、実験条件に応じて異なる定義が採られる。
散乱の一般論ではビーム軸方向を z 軸に採るが、スピン偏極ビームを用いる場合、ビーム粒子 (p, d, · · · ) の異常磁気能率により磁場中でスピン
歳差が起こるのを避けるため、ビーム輸送電磁石の磁場方向 (多くは鉛直方向) にスピンを向けて実験する事が多い (80 ページの Case 1)。
一方、反応で生成されたスピン偏極を磁場で保持し、β 崩壊非対称を測定する実験等では、散乱平面垂直方向を z 軸に採る事が多い (同 Case 2)。
偏極観測量は、座標系の採り方に対し判り易い変換性を持っている事が望ましい (つまり球テンソルの期待値)。
反応が遷移演算子 T で起こされるとして、始状態 ρi について展開すると
µ ¶
µ ¶
X
¡
¢
dσ
dσ
†
= Tr T ρi T K =
tkq Tkq
dΩ pol
dΩ unpol
K≡
m α m β kβ
と定義
(2π~2 )2 kα
kq
µ
dσ
dΩ
¶
=
unpol
Tkq
Tr(T T † )
K
2s + 1
†
Tr(T τkq
T †)
=
Tr(T T † )
· · · 非偏極断面積
analyzing power
· · · 偏極分解能
ビームが偏極する事による断面積の変化の割合
一方 ρi ∝ I (非偏極) の時、終状態 ρf について展開した係数は
t0kq
Tr(T T † τkq )
= Tr(ρf τkq ) =
Tr(T T † )
更に、始状態 ρi についても展開すると
t0k0 q0 =
k0 q 0
Kkq
polarizing power
··· 偏 極 能
非偏極ビームを照射した時の出射粒子の偏極度
単に polarization と呼ばれる事も多い
Tr(T ρi T † τk0 q0 )
1 X
k0 q 0
tkq Kkq
=
†
Tr(T T )
2s + 1 kq
†
Tr(T τkq
T † τk 0 q 0 )
=
Tr(T T † )
polarization transfer
· · · 偏極移行係数
入射粒子の偏極が出射粒子の偏極に反映される割合
Cartesian テンソルによる定義では、tkq → pij (偏極度)、Pij (偏極能)、Tkq → Aij (偏極分解能) 等の記号を使うのが一般的
偏極移行量に関しては、歴史的理由で色々な記号が使われている (Dij , R, Q, · · · 等)
polarization correlation
この他、ターゲットのスピン偏極に関する観測量 ( 偏極相関係数 ) 等、様々な偏極観測量が定義可能。詳しくは文献 12 を参照。
77
例: A(d, p)B 反応におけるベクトル偏極分解能
簡単のため標的核 A のスピンを 0+ とし、残留核 B はスピン j を持つが、0+ の A に中性子が束縛した状態と近似。陽子・中性子の
µ
スピン磁気量子数を µp , µn 、スピン波動関数を ξp p , ξnµn と表し、全てのスピン軌道相互作用を無視すると、歪曲波は
X
¯
®
1
1
¯ 1 µd ξpµp ξnµn
Xαµd (xα , rα ) = χα (kα ; rα ) ϕµd d (xα )
µ
µ
p
n
2
2
µ µ
Xβ p (xβ , rβ )
=
µp µn
µ
χβ (kβ ; rβ ) ϕl (xβ ) ξpµp
| {z }
X
¯ ®
xβ ) ξnµn
= ul (xβ )
l m 21 µn ¯ j µ Ylm (b
mµn
µ0 ¯ ®
j の値は l ± 12 が可能。 ξp p ¯ξpµp = δµ0p µp 等と規格化されているとして、ゼロ・レンジ近似を使うと DWBA 遷移行列要素は
³
´
µ µ¯
®
DWBA
≡ D0 Xβ p ¯Xαµd
T
µp µn µd
¯
E
X
¯
¯ ®D ³
®
mA ´¯¯
¯
m
1
1
1
¯
¯
u
(r)Y
(b
r
)
χ
(k
;
r)
r
µ
µ
1
µ
l
m
µ
j
µ
χ
k
;
=
¯
¯
α
α
p
n
d
n
β
l
β
l
2
2
2
mB
mµ
|
{z
}
m
≡ Ml (kβ , kα )
µp µn
+1
0
−1
µd
r
l+m+1
0
0
+ 21 + 12
2l+1
s
l−m+1
1
1
+2 − 2
0
0
X
2(2l+1)
1
s
=
if j = l +
× Mm
l (kβ , kα )
2
l+m+1
m
− 12 + 12
0
0
2(2l+1)
r
l−m+1
1
1
0
0
−2 − 2
µp µn
+1
0
−1
µ
2l+1
r
d
l−m
0
0
+ 12 + 12 −
2l+1 s
l+m
1
1
0
+2 − 2
0
X
2(2l+1)
s
or
× Mm
l (kβ , kα )
l−m
m
− 12 + 12
0
−
0
2(2l+1)
r
l+m
if j = l −
1
1
0
0
−2 − 2
2l+1
1
2
78
重陽子のランク 1 スピン演算子が
で与えられる事を使い63 、偏極分解能
1 0 0
Sz = 0 0 0
0 0 −1
Az ≡
を j = l±1/2 に応じて各々計算すると
Tr(T Sz T † )
Tr(T T † )
Az [j = l+1/2]
l
= −
Az [j = l−1/2]
l+1
と反対符合の比例関係にある事がわかる。
52
Cr(d, p)53 Cr の例 (39 ページ) で示したように、微分断面積の角度分布からは移行軌道角運動量 l しか判別できず、p1/2 と p3/2 軌道
が区別できなかったのに対し、偏極分解能を用いれば、全角運動量 j を符合の違いとして明確に識別できる事がわかる。
二核子相互作用や光学ポテンシャルのスピン依存性を無視してはいるが、歪曲波の詳細に依らないのは注目すべき点で、一般性を
持っており、殻軌道の全角運動量 j の決定に広く使われた。
63
反応平面の垂直方向を z 軸としている (80 ページの Case 2 に対応)。一方、39 ページ図の偏極分解能 iT11 は反応平面の垂直方向を y 軸とした場合 (80 ペー
ジの Case 1 に対応) の定義であり、こちらに揃えたい所だが、形状因子 ϕµ
l の回転が必要なので、簡単のために Case 2 を採用した。
79
4.3
種々の変換不変性による制限
弱い相互作用による現象は除く
• 回転 Rotation (空間およびスピンの…)
u 周りの φ の回転演算子 : Ru(φ) = exp(−iφu·J )
Rz (φ)|jmi = exp(−imφ)|jmi
特別な例 – z 軸周りの回転
– y 軸周りの 180◦ 回転
Ry (π)|jmi = (−)j−m |j −mi
– u ⊥ k での 180◦ 回転
Ru(π)|ki = |−ki
• 空間反転 Parity inversion
r → −r or (r, θ, φ) → (r, π−θ, φ+π)
スピンは変化しない (L = r×p と同様の変換性)
固有パリティ(intrinsic parity) に応じて符号変化
平面波 exp(ik·r) → exp[ik·(−r)] = exp[i(−k)·r]
例:
j
回転行列 dm0 m (π) = (−)j−m δ−mm0
³
π ´2j+m−m0 −2p
m−m0
∵ cos
6= 0 −→ p = j+
2
2
0
全ての階乗因子 ≥ 0 −→ m = −m
· · · effective に k → −k に等しい。
– スピン (Ia , Ma ) および固有パリティ πa を持つ粒子 a
P|ka ; Ia Ma i = πa |−ka ; Ia Ma i
– 二粒子系 α = a + A、合成スピン Sα (Sα =Ia +IA )
P|kα ; Sα Mα i = πa πA |−kα ; Sα Mα i
– 軌道角運動量固有状態のパリティ
PY`m (θ, φ) = Y`m (π−θ, φ+π) = (−)` Y`m (θ, φ)
• 鏡映 Reflection
空間反転と反応平面垂直方向周りの 180◦ 回転に等しい
¯ ´3́
kα - ´
kβ
-
P
⇒
¾
´
kβ +́
⊗
´
R
¾
kα
⇒
⊗ ´3́
kα - ´
kβ
-
Case 1
y k kα ×kβ
Case 2
y
6
P kα
¡
µ
¡
x
80
z
6
y
¡
µ
¡
PP
¡
PP
qP ¡
PP
PP
P
P kα
PP
¡
PP
qP ¡
- kβ
PP
PP
PP
qz
P
Ry (π)P|kα ; Sα Mα i = πa πA (−)Sα −Mα |kα ; Sα −Mα i
z k kα ×kβ
- kβ
PP
qx
Rz (π)P|kα ; Sα Mα i = πa πA exp(−iMα π) |kα ; Sα Mα i
|
{z
}
−Mα
(−)
応用 : 球面調和関数の性質
• 時間反転 Time Reversal
(
k → −k
θ|ka ; Ia Ma i = (−)Ia −Ma |−ka ; Ia −Ma i
| {z }
s → −s
任意性有り
Rz (π)P Y`m (θ, φ) = (−)`−m Y`m (θ, φ)
³π ´
³π ´
π
θ = では不変のはず ⇒ (−)`−m Y`m , φ = Y`m , φ
2
2
2
´
³
m π
,φ =0
⇒ `−m = odd ならば Y`
2
合成系に同じ式が適用可能な様に決定
X
hIa Ma IA MA |Sα Mα i θ |Ia Ma i |IA MA i
θ|Sα Mα i =
Ma MA
=
X
Ma MA
(−)Sα −Ia −IA hIa −Ma IA −MA |Sα −Mα i (−)Ia −Ma +IA −MA |Ia −Ma i |IA −MA i
= (−)Sα −Mα |Sα −Mα i
Schrödinger 表現において、ψ(r) が r のみの関数である (スピンを含まない) 場合、時間反転は複素共役に等しい。
cf. k = −i∇r
θψ(r) = ψ ∗ (r)
θ[i` Y`m ] = [i` Y`m ]∗ = (−)`−m [i` Y`−m ] なので、 i` Y`m を改めて球面調和関数と定義し直す 場合も多い (幾つかの反応コード)64 。
cf. ψ =
64
4π X `
b
i u` (r) Y`m (b
r ) Ylm∗ (k)
kr `m
通常の定義は Condon & Shortley “Theory of atomic spectra” による
殻模型波動関数の位相が変わるので
spectroscopic amplitude
の位相も変わる。角度成分
(Ylm ) の定義の他に、動径成分 (原点近傍で正とするか漸近的に正
¡P
¢
P
m σ
σ m
とするが)、l と s の合成の順番
hl m s σ | j µi Yl ξs 6= hs σ l m | j µi ξs Yl による違いがあるので、マニュアルを良く見る事。
81
4.4
偏極分解能・偏極能に対する制限
• 鏡映不変性
Tkq =
座標系は Case 1 を採る
¯ ¯
¯ ®
0¯
®
0
sµ ¯[Ry (π)P]† τkq [Ry (π)P]¯sµ = π(−)s+µ s −µ0 ¯τkq ¯s −µ π(−)s−µ
|
{z
}
2s+k
= (−)
hsµ0 |τk −q |sµi
τkq は規約テンソル演算子 ⇒ C. G. 係数の性質から
¯ ®
¯
= (−)k−q sµ0 ¯τk −q ¯sµ
Tr(T τkq T † )
であり、鏡映不変性 [Ry (π)P]† T [Ry (π)P] = T を使うと
Tr(T T † )
£
¤† £
¤
Ry (π) P Tkq Ry (π) P = (−)k−q Tk −q = Tkq
†
Tkq
= (−)q Tk −q
エルミート性
k
と組み合わせると
例:
スピン
Tkq = (−)
†
Tkq
従って
k :
even
odd
∵ µ − q = µ0
Tkq : 実数
(
Tkq : 虚数
Tk0 = 0
注意 : 偏極度の一般的性質ではなく、散乱で発生する制限。偏極能 tkq も同様。
(偏極能・偏極分解能に対して z k kα , y k kα ×kβ とした時の性質)
1
:
2
T10 = 0
T11 = T1−1
∴ Ay =
√
cf. T10 =
Az
1
T1±1 = √ (∓Ax −iAy )
2
2 Im(T11 ) のみが 0 でない
これは L · S 力等の “ポテンシャルの要請” による結果ではない。
cf.
L·S < 0
@
I
µ
¡
@
¡
@ v¡
¯L
L⊗ 6 6
L·S > 0
S ¯ ¯S
スピン 1 :
T10 = 0
T20 = Re(T20 )
T11 = Im(T11 ) = T1 −1
T21 = Re(T21 ) = −T2 −1
T22 = Re(T22 ) =
従って
dσ
=
dΩ
µ
dσ
dΩ
¶
unpol
h
T2 −2
1 + 2Re(it11 )Re(iT11 ) + Re(t20 )Re(T20 )
i
+ 2Re(t21 )Re(T21 ) + 2Re(t22 )Re(T22 )
と書け、偏極分解能 Tkq の Re(· · · ) は省略可能
一方、ビーム偏極度 tkq は一般に複素数であり、本来 Re(· · · )
は必要だが、慣習的に省略する事が多い。
82
• Bohr の定理
鏡映不変性より
Case 1
y k kα ×kβ , z k kα では
hkβ ; Ib Mb IB MB |T |kα ; Ia Ma IA MA i
= (−)IB −MB +Ib −Mb +IA −MA +Ia −Ma πB πb πA πa hkβ ; Ib −Mb IB −MB |T |kα ; Ia −Ma IA −MA i
Case 2
z k kα ×kβ では
hkβ ; Ib Mb IB MB |T |kα ; Ia Ma IA MA i
= (−)Mb +MB −Ma −MA πB πb πA πa hkβ ; Ib Mb IB MB |T |kα ; Ia Ma IA MA i
⇒ πB πb πa πA = (−)Mb +MB −Ma −MA でない成分は 0
· · · 粒子のパリティ決定に有用
例 : – 0+ + 0+ → 0+ + 0− 型反応は起らない (自明)。
–
1+
2
+
+ 0+ → 12 + 0+ 型反応
a
A
b
B
例 : スピン 0 ターゲットによる陽子弾性散乱
hMb |T |Ma i = (−)Mb −Ma h−Mb |T |−Ma i
Ia = Ib =
1
より
2
T =
Ã
AB
CD
!
∴ T = A + iσy B
0
Kyy =
A=D
とすると
B = −C
Case 1
µ
AB
−B A
¶
y
s
⇑
6
¡
µ
¡
x
PP kα
s
PP
¡
qP ¡
P
PP
kβ
PP
PP
qz
P
Tr(T σy T † σy0 )
=1
Tr(T T † )
y 方向偏極度は反応によって変化しない。
⇑
A, B は複素数、また全体の位相は物理的に無意味
dσ
0
, Ay , Kxx · · · 完全実験
→ 独立な観測量は 3 つ
dΩ
83
– 1+ + 0+ → 0+ + 0− 型反応
a
A
b
B
例: 偶々核ターゲットの (d, α), (d, 2 He) 反応
T の行列要素は
h0 0| T |+1 0i = A
h0 0| T | 0 0i = B
h0 0| T |−1 0i = C
Bohr の定理より
µ
dσ
dΩ
¶
C = −A
=
unpol
iT11 =
T20 =
T21 =
T22 =
特に
Ayy =
ただし
⇒ 独立な観測量は 3 つ
1
1
Tr(T T † ) K = (2|A|2 +|B|2 ) K
3
3
r
. dσ
2
∗
Im(AB )
3
dΩ
√
. dσ
2
(|A|2 −|B|2 )
3
dΩ
r
. dσ
2
−
Re(AB ∗ )
3
dΩ
r
. dσ
1
−
|A|2
3
dΩ
Tr(T Syy T † )
= 1
Tr(T T † )
Syy =
3Sy2
−2 = −
√
3
1
(τ22 + τ2−2 ) − √ τ20
2
2
K≡
m α m β kβ
(2π~2 )2 kα
• 時間反転不変
θ † T † θ = T から
84
⇒ 相反性 reciprocity
hkβ ; Ib Mb IB MB |T |kα ; Ia Ma IA MA i
= (−)Ib −Mb +IB −MB +Ia −Ma +IA −MA h−kα ; Ia −Ma IA −MA |T | − kβ ; Ib −Mb IB −MB i
A(~a, b) 型反応 (I とする) の偏極分解能
I
Tkq
(kβ , kα ) =
に時間反転を施すと、
Tr(T τkq T † )
Tr(T T † )
hj1 m1 j2 m2 |k qi = (−)k−j1 −j2 hj1 −m1 j2 −m2 |k −qi
を使って、B(b, ~a)A 型反応 (II とする) の偏極能 tII
kq とは
I
(kβ , kα ) = (−)k tII
Tkq
kq (−kα , −kβ )
と関係付けられる。
ただし、座標系の定義は I, II 間で共通である事に注意。
I : A(~a, b)B
kβ
3́
kα - ´´ z
¯y
II : B(b, ~a)A
¾ kα
k
´ β
´
+́
´
-z
¯y
微分断面積に関する重要な関係 · · · 微細平衡の原理(principle of detailed balance)
T 行列が等しくとも、スピンについて和 (終状態) と平均 (始状態) をとる事に注意
X
dσα→β
1 2π
1
cf.
=
|hβ|T |αi|2 ρβ
dΩ
|jα | ~ (2Ia +1)(2IA +1)
M
∴
例 : π 中間子のスピン決定
dσ(α→β)
(2Ib +1)(2IB +1) kβ2
=
dσ(β→α)
(2Ia +1)(2IA +1) kα2
π+ + d ↔ p + p
1
1
Iπ
1
2
2
2
kpp
dσ(π + + d → p + p)
4
=
2
dσ(p + p → π + + d)
3 (2Iπ +1) kπd
ρβ
kβ
∝
|jα |
kα
85
A
スピン代数の公式
球面調和関数の行列表現
0
hl m
0
| Ykq (b
r ) | l mi
=
Z
m
m0 ∗
(−) Yl0
Ykq (b
r )Ylm (b
r )db
r
=
6j 記号
|(ls)jµi ≡
l + s = j の角運動量合成で作られた状態を
3 つの角運動量 (l, k, s0 ) の合成に関する変換関係は
0
0 0
X
mσ
0 0
k Q
3́
¢̧
¢ Q´´ A 0
l ¢ ´0 QQ A s
s QA
¢´´l
Q
AAU
s
Q
¢´
j
(2k+1)(2l+1)
1
hl 0 k 0 | l0 0i √ 0 hl m k q | l0 m0 i
4π {z
|
} 2l +1
0
hl || Yk || li
hl m s σ | j µi Ylm (b
r ) ξsσ
h(l(ks )s)jµ|((lk)l s )j µ i = δjj 0 δµµ0
9j 記号
r
p
と表記すると、
k+l+s0 +j
(2l0 +1)(2s+1)(−)
l+s
l 0 + s0
l+k
k + s0
=
=
=
=
j
j
l0
s
(
l k l0
s0 j s
)
4 つの C.G. 係数の結合と等価
同様に、4 つの角運動量 (l1 , s1 , l2 , s2 ) の合成に関する変換関係は
l
s
j
¯³
1 1 1
D³
´
´ E
p
0 0¯
0
0
(l1 s1 )j1 (l2 s2 )j2 J µ ¯ (l1 l2 )L(s1 s2 )S Jµ = δJJ δµµ (2j1 +1)(2j2 +1)(2L+1)(2S+1) l2 s2 j2
L S J
l1 + s1
l2 + s2
j1 + j2
l1 + l2
s1 + s2
L+S
=
=
=
=
=
=
j1
j2
J
L
S
J
6 つの C.G. 係数の結合と等価
6j 記号は J = 0 の特殊な場合
86
テンソル積の行列要素に関する公式
1
2
Tkq
は |j1 i のみに、Tkq
は |j2 i のみに作用する演算子とすると
j
j
j
¯¯h
1 2
D
ik ¯¯
E
p
¯¯
0 0 0 ¯¯
1
2
0
1
0
2
(2j+1)(2k+1)(2j 0 +1) hj1 ||Tk1 ||j1 ihj2 ||Tk2 ||j2 i k1 k2 k
(j1 j2 )j ¯¯ Tk1 , Tk2 ¯¯(j1 j2 )j =
j0 j0 j0
1 2
特に k = 0 (スカラー積) の場合
(
)
¯h
i0 ¯
E
D
0
j
k
j
0
¯
¯
1
1
(j10 j20 )j 0 µ0 ¯ Tk11 , Tk22 ¯(j1 j2 )jµ = δjj 0 δµµ0 (−)j+j +j2 hj10 ||Tk11 ||j1 ihj20 ||Tk22 ||j2 i
0
j2 j j20
殻模型の残留相互作用
簡単のため、スピンに依存しない中心力の場合、
V (r1 −r2 ) =
の殻模型波動関数
に対する行列要素は
X 4π
£
¤0
vk (r1 , r2 ) Yk (b
r1 ), Yk (b
r2 ) 0
2k+1
k
m
L, S
PP
BMB
P
Pm
l1 , s1 , j'$
1
µ
¡
B ¡
l2 , s2 , j2
B¡
£
¤M
|n1 n2 (l1 l2 )LM i = un1 l1 (r1 )un2 l2 (r2 ) Yl1 (b
r1 ), Yl2 (b
r2 ) L
hn01 n02 (l10 l20 )L0 M 0 |V (r1 −r2 )|n1 n2 (l1 l2 )LM i =
Rk (n01 n02 l10 l20 , n1 n2 l1 l2 )
≡
Z
&%
X 4π
(
)
Rk (n01 n02 l10 l20 , n1 n2 l1 l2 )
0 0
2k+1
L l2 l1
0
k
×(−)l1 +l2 +L δLL0 δM M 0 hl10 ||Yk ||l1 ihl20 ||Yk ||l2 i
k l1 l2
un01 l10 (r1 )un02 l20 (r2 )vk (r1 , r2 )un1 l1 (r1 )un2 l2 (r2 )r12 r22 dr1 dr2
二核子ポテンシャルの行列要素
(
)
¯h £
D
i0 ¯
E
0
¤
l k l
0
k ¯
¯
(l0 s0 )j 0 µ¯ Yk , τk1 (1), τk2 (2)
¯(ls)jµ = δjj 0 δµµ0 (−)j+l+s hl0 ||Yk ||li h(s1 s2 )s0 ||[τk1 (1), τk2 (2)]k ||(s1 s2 )si
0
0
{z
} s j s
|
s
s
s
p
¯¯ ® ¯¯
¯¯ ® 1 2
¯¯
= (2s0 +1)(2k+1)(2s+1) s1 ¯¯τk1 (1)¯¯s1 s2 ¯¯τk2 (2)¯¯s2
k1 k2 k
s s s
1 2
0 0
例えば、テンソル演算子の行列要素 h(l s )j|S12 |(ls)ji は
1 1
1
2 2
1
1
0
s1 = s2 = 2 , s = s = 1 , k1 = k2 = 1 , k = 2 および
1 1 2 =
1 1 1
9
2 2
から求められる。答えは「大学院原子核物理」中村 他 (講談社) p. 151 表 4-4 参照。
87
B
直接反応計算プログラム
網羅的ではないが、幾つか代表例を掲げる。
DWBA, DWIA
dwuck4 — P.D. Kunz (U. Colorad)
Computational Nuclear Physics 2 (Springer-Verlag, 1993) ISBN0-387-97954-9
汎用ゼロ・レンジ Born 近似、ミクロ&マクロ形状因子
twofnr — M. Igarashi (INS) maintained by Y. Aoki (U. Tsukuba)
汎用有限レンジ・二次 Born 近似、ミクロ&マクロ形状因子
dwuck5 — P.D. Kunz (U. Colorad)
移行反応の有限レンジ Born 近似、平面波展開による効率的計算
http://spot.colorado.edu/~kunz/
http://www.tac.tsukuba.ac.jp/~yaoki/
http://spot.colorado.edu/~kunz/
dwba98 — J. Raynal (Sacley) w/ R. Schaeffer & H.V. von Geramb
http://www.nea.fr/abs/html/nea-1209.html
核子-核反応 Born 近似 (ミクロ形状因子)、正確な交換項 (反対称化効果) の計算
密度依存等の凝った有効相互作用、ヘリシティ表現によるスピン・軌道相互作用の有限レンジの扱い (スピン 1/2 に限られる)65
dw81 — J. Comfort (U. Pittsburgh) & W.G. Love (U. Georgia)
dwuck4 のルーチンを使って dwba70 を汎用化
Coupled-Channels
chuck3 — P.D. Kunz (U. Colorad)
汎用ゼロ・レンジチャネル結合計算、ミクロ&マクロ形状因子
http://spot.colorado.edu/~kunz/
ecis03 — J. Raynal (Sacley)
http://www.nea.fr/abs/html/nea-0850.html
汎用ゼロ・レンジチャネル結合、主にマクロ形状因子だが豊富なオプション
(Numerov 法でなく) 反復法による効率的な連立微分方程式の解法66
パラメータサーチ機能 — 光学ポテンシャル決定にも良く使われる
fresco — I. Thompson (U. Surrey)
http://www.fresco.org.uk/
汎用ゼロ・レンジチャネル結合、豊富な形状因子、CDCC を扱える 数少ない選択肢
Fortran 90 記述、パラメータサーチ (sfresco)、GTK+ベースのグラフィカル操作 (xfresco)
65
66
J. Raynal, Nucl. Phys. A97 (1967) 572.
J. Raynal, Phys. Rev. C 23 (1981) 2571.
88
C
DWBA プログラムの簡単な例題
(d, p) 反応ゼロ・レンジ DWBA 計算のプログラム例
1995–7 年度東大理学部物理学実験 II「原子核散乱」で使用したもの
計算結果は 39 ページ図を参照
c
c
c
c
c
program dp
(d,p) 反応微分断面積の計算
implicit none
数値計算に関するパラメータ
Rmax=nR*dR は核力が 0 と見倣せる距離
integer
nR
! R 分割数
parameter (nR=120)
real*8
dR
! R 刻み幅 (fm)
parameter (dR=0.1D0)
integer
Lmax
! L 最大値
parameter (Lmax=10)
物理定数:
real*8
munit
! 質量単位 (MeV)
parameter (munit=931.495)
real*8
hc,e2
parameter (hc=197.327, e2=hc/137.036)
complex*16 i
parameter (i=(0.D0,1.D0))
real*8
pi
parameter (pi=3.14159265358979)
real*8
D0_2
! ゼロ・レンジ定数 (MeV^2 fm^3)
parameter (D0_2=1.53D4)
始状態に関する定数、変数
real*8
Zp,mp
! 入射粒子 (projectile) 電荷、質量
parameter (Zp= 1., mp= 2.)
real*8
Zt,mt
! ターゲット (target) 電荷、質量
parameter (Zt=24., mt=52.)
real*8
mu_i
! 換算質量
parameter (mu_i=munit*mp*mt/(mp+mt))
real*8
E,EC_i
! 入射エネルギー, 質量中心系エネルギー
parameter (E=10., EC_i=E*mt/(mp+mt))
real*8
K_i,eta_i
! 波数, クーロンパラメータ
complex*16 Vinit
! 光学ポテンシャル
external
Vinit
complex*16 chi_i(0:nR,0:Lmax)
! 歪曲波動径成分
complex*16 S_i(0:Lmax)
! exp(2i*dlt), dlt:核力による位相のずれ
real*8
sigma_i(0:Lmax)
! クーロンによる位相のずれ
integer
L_i
! 部分波軌道角運動量
終状態に関する定数、変数
real*8
Ze,me
! 出射粒子 (ejectile) 電荷、質量
parameter (Ze= 1., me= 1.)
real*8
Zr,mr
! 残留核 (residual) 電荷、質量
parameter (Zr=24., mr=53.)
real*8
mu_f
! 換算質量
parameter (mu_f=munit*me*mr/(me+mr))
real*8
Q,Ex
! 反応 Q 値, 励起エネルギー
parameter (Q=5.715, Ex=0.00)
real*8
EC_f
! 質量中心系での出射エネルギー
parameter (EC_f=EC_i+Q-Ex)
real*8
K_f,eta_f
! 波数, クーロンパラメータ
c
c
c
c
c
c
c
complex*16 Vfinal
external
Vfinal
complex*16 chi_f(0:nR,0:Lmax)
complex*16 S_f(0:Lmax)
real*8
sigma_f(0:Lmax)
integer
L_f
殻模型に関する定数、変数
integer
n,l
real*8
j
parameter (n=1, l=1, j=1.5)
real*8
Ebind
real*8
phi(0:nR)
一時変数
complex*16 Y(0:Lmax*(Lmax+1))
real*8
cleb,clebz
integer
theta
complex*16 T
integer
iR,m
complex*16 W
real*8
Xsec
! 光学ポテンシャル
!
!
!
!
歪曲波動径成分
exp(2i*dlt), dlt:核力による位相のずれ
クーロンによる位相のずれ
部分波軌道角運動量
!
!
!
!
!
ノード数、軌道角運動量
全角運動量
1p3/2 軌道
束縛エネルギー
波動関数動径成分
!
!
!
!
球面調和関数
クレブシュ・ゴルダン係数
散乱角度 (degree)
遷移行列要素
! 微分断面積
始状態の歪曲波の計算
K_i=sqrt(2.*mu_i*EC_i)/hc
eta_i=mu_i*Zp*Zt*e2/K_i/hc**2
write(0,’(A,2F10.4)’) ’ K_i,eta_i=’,K_i,eta_i
call distwf(nR,dR,Lmax,K_i,eta_i,mu_i,Vinit,chi_i,S_i,sigma_i)
終状態の歪曲波の計算
K_f=sqrt(2.*mu_f*EC_f)/hc
eta_f=mu_f*Ze*Zr*e2/K_f/hc**2
write(0,’(A,2F10.4)’) ’ K_f,eta_f=’,K_f,eta_f
call distwf(nR,dR*mt/mr,
&
Lmax,K_f,eta_f,mu_f,Vfinal,chi_f,S_f,sigma_f)
殻模型波動関数の計算
call solve_wf(mr,n,l,j,nR,dR,phi,Ebind)
write(0,’(A,F10.4)’) ’ Ebind=’,Ebind
クレブシュ・ゴルダン係数計算ルーチンを初期化
call inirac
散乱角度に関してループ
do theta=5,180,5
call spherical(theta/180.D0*pi,0.D0,Lmax,Y) ! 球面調和関数の計算
Xsec=0.
do m=-l,l
T=(0.,0.)
! 遷移行列要素の計算
do L_f=0,Lmax
do L_i=0,Lmax
W=(0.,0.)
! 動径積分
do iR=1,nR
W=W+chi_i(iR,L_i)*chi_f(iR,L_f)*phi(iR)/(iR*dR)*dR
enddo
T=T+i**(L_i-L_f-m)*sqrt((2.*L_f+1.)*(2.*l+1.))
&
*clebz(2*L_f,2*l,2*L_i)
&
*cleb(2*L_f,-2*m,2*l,2*m,2*L_i,0)
&
*Y(L_f*(L_f+1)/2+abs(m))*sign(1,m)**m
&
*W
enddo
89
enddo
T=T*4*pi/(K_i*K_f)*(mr/mt)
Xsec=Xsec+abs(T)**2
enddo
Xsec=Xsec*D0_2*mu_i*mu_f/(2.*pi*hc**2)**2*K_f/K_i
&
*(2.*j+1.)/(2.*l+1.)/2.
write(6,’(I5,1pE14.4)’) theta,Xsec*1.E+1
enddo
stop
end
c
c
c
c
c
c
c
! 状態密度 etc.
! スピン統計因子
! fm^2 => mb
complex*16 function Vinit(R)
! 始状態光学ポテンシャル
implicit none
real*8
R
定数
real*8
Zp,Zt
! 入射粒子電荷、ターゲット電荷
parameter (Zp=1., Zt=24.)
real*8
A
! ターゲット質量数
parameter (A=52.)
real*8
VR,rR,rR0,aR
! ポテンシャル実部パラメータ
parameter (VR=-87.2 , rR0=1.170, aR=0.792)
real*8
VI,rI,rI0,aI
! ポテンシャル虚部パラメータ
parameter (VI=+68.68, rI0=1.390, aI=0.658)
real*8
rC,rC0
! 一様電荷球半径
parameter (rC0=1.3)
real*8
hc,e2
parameter (hc=197.327, e2=hc/137.036)
complex*16 i
parameter (i=(0.D0, 1.D0))
一時変数
real*8
x
logical
first
data
first/.true./
定数の初期化
if (first) then
rC=rC0*A**(1./3.)
rR=rR0*A**(1./3.)
rI=rI0*A**(1./3.)
first=.false.
endif
クーロンポテンシャル
if (R.gt.rC) then
Vinit=Zp*Zt*e2/R
else
Vinit=Zp*Zt*e2*(3.D0-(R/rC)**2)/2.D0/rC
endif
実部核力ポテンシャル
x=(R-rR)/aR
if (x.lt.50.D0) Vinit=Vinit+VR/(1.D0+exp(x))
虚部核力ポテンシャル
x=(R-rI)/aI
if (x.lt.50.D0) Vinit=Vinit-i*VI*exp(x)/(1.D0+exp(x))**2
return
end
c
c
c
c
c
c
c
c
c
complex*16 function Vfinal(R)
! 終状態光学ポテンシャル
implicit none
real*8
R
定数
real*8
Zp,Zt
! 入射粒子電荷、ターゲット電荷
parameter (Zp=1., Zt=24.)
real*8
A
! ターゲット質量数
parameter (A=53.)
real*8
VR,rR,rR0,aR
! ポテンシャル実部パラメータ
parameter (VR=-50.0, rR0=1.25, aR=0.65)
real*8
VI,rI,rI0,aI
! ポテンシャル虚部パラメータ
parameter (VI=+53.2, rI0=1.25, aI=0.47)
real*8
rC,rC0
! 一様電荷球半径
parameter (rC0=1.3)
real*8
hc,e2
parameter (hc=197.327, e2=hc/137.036)
complex*16 i
parameter (i=(0.D0, 1.D0))
一時変数
real*8
x
logical
first
data
first/.true./
定数の初期化
if (first) then
rC=rC0*A**(1./3.)
rR=rR0*A**(1./3.)
rI=rI0*A**(1./3.)
first=.false.
endif
クーロンポテンシャル
if (R.gt.rC) then
Vfinal=Zp*Zt*e2/R
else
Vfinal=Zp*Zt*e2*(3.D0-(R/rC)**2)/2.D0/rC
endif
実部核力ポテンシャル
x=(R-rR)/aR
if (x.lt.50.D0) Vfinal=Vfinal+VR/(1.D0+exp(x))
虚部核力ポテンシャル
x=(R-rI)/aI
if (x.lt.50.D0) Vfinal=Vfinal-i*VI*exp(x)/(1.D0+exp(x))**2
return
end
subroutine spherical(theta,phi,Lmax,Y)
球面調和関数の計算
implicit none
入力:
real*8
theta,phi
! 角度 θ, φ (radian)
integer
Lmax
! L 上限値
出力:
-- Y(L,M) は一次元配列 Y(L*(L+1)/2+M) に納められる
complex*16 Y(0:*)
一時変数
integer
nstore
parameter (nstore=40000)
90
real*8
P(0:nstore)
integer
L,M,j
real*8
u,v,w,fact,pi
complex*16 i
parameter (i=(0.D0,1.D0))
c
c
c
c
c
c
! Legendre 陪多項式
! u=cos(theta), fact:階乗
if (Lmax*(Lmax+1)/2.gt.nstore) stop
pi=atan(1.D0)*4.D0
u=cos(theta)
P(L,L)=(2*L-1)!!*(1-u**2)**(l/2) を計算
fact=1.D0
v=sqrt(1.D0-u*u)
w=1.D0
do L=0,Lmax
fact=fact*max(2.D0*L-1.D0,1.D0)
P(L*(L+1)/2+L)=fact*w
w=w*v
enddo
P(L,L-1)=(2*L-1)*u*P(L-1,L-1) を計算
do L=1,Lmax
P(L*(L+1)/2+L-1)=(2.D0*L-1.D0)*u*P((L-1)*L/2+L-1)
enddo
P(L,M)=((2*L-1)*u*P(L-1,M)-(L+M-1)*P(L-2,M))/(l-M) 漸化式を計算
do M=0,Lmax-2
do L=M+2,Lmax
P(L*(L+1)/2+M)=((2.D0*L-1.D0)*u*P((L-1)*L/2+M)
&
-(L+M-1)*P((L-2)*(L-1)/2+M))/(L-M)
enddo
enddo
Y(L,M)=(-)^M*sqrt((2*L+1)/4/pi*(L-M)!/(L+M)!)*P(L,M)*exp(-i*m*phi)
do L=0,Lmax
do M=0,l
fact=1.D0
do j=1,L-M
fact=fact*j
enddo
do j=1,L+M
fact=fact/j
enddo
Y(L*(L+1)/2+M)=(-1)**M*sqrt((2.D0*L+1.D0)/(4.D0*pi)*fact)
&
*P(L*(L+1)/2+M)*exp(i*M*phi)
enddo
enddo
return
end
subroutine distwf(nR,dR,Lmax,K,eta,mu,V,chi,S,sigma)
光学ポテンシャルから歪曲波を計算
implicit none
入力:
integer
nR
! R 分割数
real*8
dR
! R 刻み幅 (Rmax=nR*dR で漸近形に接続)
integer
Lmax
! L 最大値
real*8
K
! 波数
real*8
eta
! クーロンパラメータ
c
c
c
real*8
mu
! 換算質量
complex*16 V
! 光学ポテンシャル
external
V
出力:
complex*16 chi(0:nR,0:Lmax)
! 歪曲波 χ
complex*16 S(0:Lmax)
! exp(2i*dlt), dlt:核力による位相のずれ
real*8
sigma(0:Lmax)
! クーロンによる位相のずれ
定数:
real*8
hc
parameter (hc=197.327)
complex*16 i
parameter (i=(0.D0, 1.D0))
一時変数:
integer
nRmax
parameter (nRmax=10000)
complex*16 u(0:nRmax),up,E(0:nRmax),C
real*8
R,dR2
integer
Lmax0
parameter (Lmax0=100)
real*8
F(0:Lmax0),Fp(0:Lmax0),G(0:Lmax0),Gp(0:Lmax0)
integer
L,j
data
u(0)/(0.,0.)/,E(0)/(0.,0.)/
c
c
c
c
c
if (Lmax.gt.Lmax0.or.nR+1.gt.nRmax) stop
接続点 (nR*dR) でのクーロン波動関数を予め計算
call coulfn(F,Fp,G,Gp,sigma,eta,K,nR*dR,Lmax)
dR2=dR**2/12.D0
do L=0,Lmax
Numerov 法により原点から順次積分
do j=1,nR+1
R=j*dR
E(j)=K**2-L*(L+1)/R**2-2.D0*mu/hc**2*V(R)
enddo
u(1)=1.
do j=1,nR
u(j+1)=(2.D0*(1.D0-5.D0*dR2*E(j ))*u(j )
&
-(1.D0+
dR2*E(j-1))*u(j-1))
&
/
(1.D0+
dR2*E(j+1))
enddo
Rmax=nR*dR でクーロン波動関数に接続
up=(u(nR+1)-u(nR-1))/2.D0/dR
S(L)=-((F(L)+i*G(L))*up-(Fp(L)+i*Gp(L))*u(nR))
&
/((F(L)-i*G(L))*up-(Fp(L)-i*Gp(L))*u(nR))
C=((G(L)-i*F(L))-S(L)*(G(L)+i*F(L)))*i/2.D0*exp(i*sigma(L))
&
/u(nR)
*exp(-i*sigma(0)) ! DWUCK4 convention
規格化
do j=0,nR
chi(j,L)=C*u(j)
enddo
enddo
return
end
subroutine solve_wf(A,n,l,j,nR,dR,u,Ebind)
91
c
c
c
c
c
c
中性子の殻模型軌道波動関数と束縛エネルギーの計算
implicit none
入力変数 :
real*8
A
! 質量数 (質量単位)
integer
n
! ノード数
integer
l
! 軌道角運動量
real*8
j
! 全角運動量
integer
nR
! R 分割数
real*8
dR
! R 刻み (Rmax=nR*dR で漸近形に接続)
real*8
u(0:nR)
! 波動関数動径成分 (phi=u(r)/r*Y(l,m))
出力変数 :
real*8
Ebind
! 束縛エネルギー (MeV)
ポテンシャルパラメータ
real*8
V0
! 深さ (MeV)
parameter (V0=-50.)
real*8
r0
! 単位半径 (fm)
parameter (r0=1.2)
real*8
d
! ぼやけ (fm)
parameter (d=0.6)
real*8
VLS
! スピン軌道相互作用の強さ (MeV)
parameter (VLS=30.)
定数
real*8
eps
! 束縛エネルギーの精度 (MeV)
parameter (eps=1.D-6)
real*8
munit
! 質量単位 (MeV)
parameter (munit=931.495)
real*8
mn
! 中性子質量 (質量単位)
parameter (mn=1.)
real*8
hc
! hbar*光速 (MeV*fm)
parameter (hc=197.327)
その他の一時変数
real*8
mu
! 換算質量
integer
nRmax
parameter (nRmax=10000)
real*8
E(0:nRmax)
! ポテンシャル格納用ワーク領域
real*8
R,dR2,x
! R:半径
real*8
dEbind,Ebind0
real*8
f,f0,umR,s
integer
i,mR,n0
&
&
c
c
c
c
c
c
c
if (nR.gt.nRmax) stop
mu=munit*mn*(A-mn)/A
dR2=dR**2/12.
Ebind =min(-eps,V0/(1.+exp(nR*dR/d)))
dEbind=-1.
Ebind0=10.
do while (abs(dEbind).gt.eps)
ポテンシャル、波数の配列を用意
mR=nR-5
! 回帰点が存在しなかった場合のダミー
do i=1,nR
R=i*dR
E(i)=2.*mu*Ebind/hc**2-l*(l+1)/R**2
x=(R-r0*(A-mn)**(1./3.))/d
if (x.lt.50.)
! to avoid overflow
&
E(i)=E(i)-2.*mu/hc**2*(V0/(1.+exp(x))
c
c
-VLS*exp(x)/(1.+exp(x))**2/(d*R)
*(j*(j+1.)-l*(l+1.)-0.75)/2.) ! スピン軌道相互作用
if (i.gt.1.and.E(i)*E(i-1).le.0.) mR=i ! 古典的回帰点
enddo
原点から古典的回帰点へ Numerov 法で積分
n0=0
u(0)=0.
u(1)=1.
do i=1,mR-1
u(i+1)=(2.*(1. -5.*dR2*E(i ))*u(i )
&
- (1. +
dR2*E(i-1))*u(i-1))
&
/
(1. +
dR2*E(i+1))
if (u(i)*u(i+1).le.0.) n0=n0+1
! ノード数をカウント
enddo
umR=u(mR)
f=u(mR-1)/u(mR)
Rmax(=nR*dR) から古典的回帰点へ Numerov 法で積分
u(nR )=1.E-15
u(nR-1)=u(nR)*exp(dR*sqrt(-E(nR)))
do i=nR-1,mR,-1
u(i-1)=(2.*(1. -5.*dR2*E(i ))*u(i )
&
- (1. +
dR2*E(i+1))*u(i+1))
&
/
(1. +
dR2*E(i-1))
enddo
f=f-u(mR-1)/u(mR)
束縛エネルギーの修正
if (n0.ne.n) then
ノード数が一致しない場合
if ((n0-n)*dEbind.gt.0) dEbind=dEbind/2.
dEbind=sign(dEbind,n-n0)
Ebind=Ebind+dEbind
else
古典的回帰点の接続条件から束縛エネルギーを修正
if (Ebind0.lt.0.) then
! ループの一回目をスキップ
if (f.eq.f0) then
dEbind=0.
else
dEbind=-(Ebind-Ebind0)*f/(f-f0)
endif
endif
f0=f
Ebind0=Ebind
Ebind=min(-eps,Ebind+dEbind)
endif
enddo
回帰点で波動関数を接続
u(mR-1)=u(mR-1)/u(mR)*umR
do i=nR,mR,-1
u(i)=u(i)/u(mR)*umR
enddo
波動関数の規格化
s=0.
do i=1,nR
s=s+u(i)**2*dR
enddo
92
s=sqrt(s)
do i=1,nR
u(i)=u(i)/s
enddo
return
end