「無線伝送工学」

内容
第1章：ディジタル変調理論
第2章：信号検出理論
第3章：誤り訂正符号化理論
第4章：多重化とマルチアクセス理論
第5章：フェージング理論
第6章：フェージング対策技術
第7章：セルラー理論
第8章：DS-CDMA
第8.1節：原理
第8.2節：Rake受信
第8.3節：リンク容量
第9章：OFDMとMC-CDMA
第10章：シングルキャリア伝送
第11章：次世代移動通信
無線伝送工学
2015年後期
通信工学専攻
安達文幸
ディジタル通信の基盤技術であるディジタル変調，
誤り制御，等化，多重化，マルチアクセスにつ
いての基礎理論を学びます．そして，最近の無線通信で広
く用いられている符号分割マルチアクセス
（CDMA）および直交符号分割マルチアクセス（OFDMA），
そして将来の移動通信技術について概説します．
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FA/Tohoku_U 「無線伝送工学」
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目次
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
「無線伝送工学」
第1章
ディジタル変調理論
序論
シャノンのチャネル容量定理
ディジタル変調
電力スペクトル密度
帯域制限
電気・通信工学専攻
安達文幸
参考書
・ 斎藤：ディジタル無線通信の変復調，電子情報通信学会，1996年
・ 山本，加藤：TDMA通信，信学会，1989年
・ 安達：通信システム工学，朝倉書店，2007年
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通信の目的
通信とは何か？それは勿論，私たちの意思を伝達するこ
とであろうが，最近ではコンピュータ間通信のように人間
を介さない通信も多くなってきた．
遠くの人と会話したい
1.1 序論
送る情報：音声
電話，携帯電話
遠くの情報を知りたい，見てみたい（あるいは遠くの人へ
情報を送りたい）
送る情報：音声，データや画像
ラジオ・テレビ放送，遠隔監視，インタネット
遠くの機械を操作したい
送る情報：制御データ
遠隔操縦（無人飛行機，衛星），宇宙探査機
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通信技術の歴史（その１）
6
AMラジオ放送
1876年*1
本放送1925年
米国では，1920年に開始
無線電信の発明と実験
G.Marconi（マルコーニ）
1895年発明，1897年特許，1897年英仏海峡横断実験 *2 ，1901年
大西洋横断実験
テレビ技術の開発
1926年12月25日，高柳健次郎（浜松高等工業学校）が受像機に「イ」
の字を映し出すのに成功（20世紀放送史（NHK編）による）
周波数変調（FM）方式の発明
W.B.Shockley（ショックレイ）1951年*1
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実験放送1957年
本放送1969年
TV放送
実験放送1939年（走査線441本，毎秒25枚）
本放送1953年
船舶電話：1953年（世界で最初の公衆移動通信）
携帯電話：1979年12月（世界で最初の本格的セルラー移動通
信）
トランジスタの発明
参考文献：
若井登監修，無線百話，クリエイト・クルーズ
*1 科学技術史，直川一也著，東京電気大学出版局
*2 R. Jordan and C.T.Abdallah, “Wireless communications and networking: an overview,”
IEEE Antennas and Propag. Mag., vol. 44, pp. 185-193, 2002.
FMラジオ放送
商用移動通信サービス
E.H.Armstrong（アームストロング）1933年*1
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通信技術の歴史（その２）
電話の発明
G.Bell（ベル）
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商用インターネットサービス
1993年
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参考文献：無線百話，若井登監修，クリエイト・クルーズ
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通信情報と通信形態
通信情報は，インターネットの普及に伴い，音声からデー
タ（テキスト情報など）や静止画像や動画像へと移ってい
る．
音声
データ
画像
1.2 シャノンのチャネル容量定理
通信形態は以下のように3つに分類できよう．インター
ネットの普及前は人から人への通信が主であったが，最
近ではコンピュータが介在する通信が増えてきている．
人 対 人
人 対 コンピュータ
コンピュータ 対 コンピュータ
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通信システムのモデル
送信信号
通信路
符号化
送信機
変調
雑音
通信路
情報源
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通信システムの評価基準
受信機
送信機
メッセージ
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受信メッセージ
復調
通信路
復号
受信者
通信では，与えられた帯域幅で，できるだけ高い通信速度
で，かつ少ない送信電力で伝送できることが要求される．
評価基準
単位時間当たりどれだけ多くの情報を伝送できるか（通信速度），
どれほど忠実に伝送できるか（通信品質）
受信信号
電気信号 同軸ケーブル
光，電波 光ファイバー
空間
通信速度
送信メッセージ（例えば音声）を0, 1の系列に変換（情報源符号化とい
う）．
符号化：伝送路で生ずる誤りを検出，訂正する符号化
変調：通信路で伝送するのに適した周波数帯の信号波形へ変換．
受信機
単位時間あたりに伝送するビット数（bits/sec）
通信品質
伝搬路の歪み，伝送路途中で加わる干渉や雑音の影響で送信さ
れたビット系列と異なる系列が受信される．
ビット誤り率が品質を計る尺度として良く用いられている．
増幅器で処理しやすい電圧まで増幅し，受信フィルタで雑音を低減．
復調：0, 1の受信系列に変換
復号：伝送路で生した誤りを検出，訂正
送信メッセージを復元．
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通信路の最大情報伝送速度（1秒あたりのビット
数）を知る
通信路の帯域幅がW（Hz)で，信号対雑音電力比がS/N
のとき，誤りなく伝送できる通信路の最大情報伝送速度
（ビット/秒）には限界がある．
これを通信容量と呼ぶ．
信号
帯域幅W(Hz)の通信路
シャノンのチャネル容量
通信路の帯域幅がW（Hz)で，信号対雑音電力比がS/N
のとき，通信路の最大情報伝送速度（ビット/秒）はいくつ
か？
これに答えを与えるのが，白色雑音チャネルで誤りなく通
信できる最大通信速度を示したシャノンの通信容量であ
る．
通信容量C(bps)は次式で与えられる．
S
（ビット/標本値）　N
C  2W（標本/秒） log 2 1 
雑音
S / N : 信号電力対雑音電力比
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通信路伝達関数
S

 W log 2 1   （ビット/秒）
N

W : 通信路の帯域幅(Hz)
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周波数
-W
0
W (Hz)
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通信限界
帯域幅1MHzのチャネル容量を考える
周波数利用効率（bps/Hz）の定義
1ビットあたりの信号エネルギーE bはS / Cであり，雑音電力
C  W log 2 (1  S / N ) bps
スペクトル密度N 0はN / Wであるから，
ここで，伝送帯域幅W  1MHzであるから，
E b / N 0  ( S / C ) /( N / W )  ( S / N )(W / C )
S/N 7　( 8.45dB)のとき
となり，
C  10  log 2 (1  S / N )  3Mbps
6

E C
C
 bps/Hz
 log 2 1  b
W
N 0 W 

である．
チャネル容量に近づける有効な手段が通信路符号化で
ある．
周波数利用効率（bps/Hz）の式で，ビットレートを一定の
ままで帯域幅を無限大にしたとき（C/W→0）のEb/N0の
極限
1
Eb  C 
 
N0 W 
2
C /W

1
であるが，ここで 2 x  e x ln 2  1  x ln 2 を用いると
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Eb
 ln 2 ( 1.6dB)
N0
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周波数利用効率と電力効率
Eb/N0と周波数利用効率の関係
BER=10-4 を 確 保 す る
ために必要なEb/N0．
PSK,QAM で は ロ ー
ルオフファクタ0.5の
ルートナイキスト送信
フィルタを仮定
GMSKでは正規化帯
域 幅 BbT=0.25 で 帯
域制限したときの
99.9%帯域幅．
100
C/W [bps/Hz]
10
1
0.1
0.01
-5
0
5
10
15
20
25
出典：斎藤：ディジタル無線通信の変復調，信学会，1996年
30
E b /N 0 [dB]
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周波数利用効率と電力効率のどちらを
を優先させるか
C/W>1の領域
周波数利用効率が重要視される帯域制限領域で，送信
電力効率を犠牲
C/W<1
電力効率が重要視される領域で，周波数利用効率を犠
牲
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1.3 ディジタル変調
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等価低域表現
等価低域表現
変調
基底帯域（ベースバンド）伝送の信号波形は零周波数付近の
スペクトルを持っている．
しかし，現実の大部分の通信路は零周波数付近を殆ど伝送す
ることができない帯域通信路とみなされる．無線通信路はまさ
にそういう通信路である．
ベースバンド信号を通信路に最適な周波数帯域へ移す技術が
変調である．



x (t )  Re (t ) exp( j(t )) 2 P exp( j 2f c t )
搬送波に関係しない項s(t )  (t ) exp( j(t ))は，被変調信号の
等価低域表現と呼ばれる．
ここで
s(t )  I (t )  jQ (t )
とおくと



x (t )  Re I (t )  jQ (t ) 2 S exp j ( 2f c t )
変調された信号（被変調信号）の表現
x (t )  2 P (t ) cos2f c t  (t ) 
 2 P Re[{I (t )  jQ (t )}exp( j 2f c t )]


 Re(t ) exp( j(t )) 2 P exp j 2f t 
 2 P ReI (t )  jQ (t )cos(2f c t )  j sin(2f c t )
 Re 2 P (t ) exp j 2f c t  (t ) 
I (t ) cos(2f c t )  Q (t ) sin(2f c t ) 
 2 P Re 

  j I (t ) sin(2f c t )  Q (t ) cos(2f c t )
c
 2 P I (t ) cos(2f c t )  Q (t ) sin(2f c t )
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送信するデータに応じて，(t) と(t)，またはI(t)と
Q(t) を変化させる．
Q
s(t )  I (t )  jQ (t )
(t)
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振幅，位相，または周波数，すなわち(t)，振幅，位相，
または周波数，すなわち(t)，(t)，またはd(t)/dtを
変化させる3つの方法がある．
I(t)とQ(t)を変化させても良い．
s(t )  (t ) exp j(t )   I (t )  jQ (t )
(t )  I 2 (t )  Q 2 (t )
 (t )  tan
1
ディジタル(Digital)
アナログ(Analog)
振幅変調
OOK (On-Off keying)
AM
Amplitude modulation ASK (Amplitude shift keying)
位相変調
PM
PSK (Phase shift keying)
Phase modulation
Q(t )
I (t )
(t)
I
周波数変調
FSK (Frequency shift keying)
Frequency modulation
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FM
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被変調信号の周波数スペクトル


2
1
2
X(f )  2






I (t ) cos2f c t   Q(t ) sin 2f c t exp j 2ft dt
I (t ) cos2f c t  exp j 2ft dt　 2

j
2

2



2

1

1


2


Q(t ) sin 2f c t  exp j 2ft dt
X(f)
I (t )exp j 2f c t   exp j 2f c t  exp j 2ft dt

1


1
Q (t )exp j 2f c t   exp j 2f c t  exp j 2ft dt
I (t )  jQ(t ) exp j 2( f  f c )t dt　
2
1




c
*
2

I (t )  jQ(t ) exp j 2( f  f c )t dt 

2
位相
S ( f  fc )
f

0
-fc

+fc
c
被変調信号の周波数スペクトル
ここで
S ( f ) 
1
S(f)
I (t )  jQ(t ) exp j 2( f  f c )t dt
 1
I (t )  jQ(t ) exp j 2( f  f c )t dt　 
S ( f  f )  S ( f  f )

2
S  ( f  f c )


I (t )  jQ(t )exp j 2ft dt
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アナログ振幅変調:両側波帯搬送波抑圧
ディジタル被変調信号の表現
(DSB-SC:Double sideband suppressed carrier)
被変調信号の時間領域表現
被変調信号は次式のように表せる．
f
であるので，被変調信号は次式で与えられる．
0
ベースバンド信号
ただし, P  1とした．
2
G( f
n T
(t  nT )
s nはn番目の送信シンボル，hT (t )は送信フィルタのインパルス
 s n  I n  jQn , E[| s n |2 ]  1



2
 (1 / T )  hT (t )dt  1
1
G( f  fc )
2
 f c )  G ( f  f c )
1
G( f  fc )
2
2PSK( I n  1, Qn  0)の場合
hT(t)
1
0



g (t ) exp j 2ft dt  G * (  f )
+1 I n 3 I n  2
-fc
振幅変調波
+fc
T
-1
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I n 1
In
t
I n 1 I n  2
t
T
フィルタ出力 I (t )  j 0
フィルタ入力
ここで
G ( f ) 
s h
n  


1

I (t )  jQ (t ) 
応答である．
周波数スペクトル

X ( f )    2 g (t ) cos2f c t exp j 2ft dt



ここで，PSKやQAM系の変調の場合（Tはシンボル長）
等価低域表現はs(t )  I (t )  jQ (t )  g (t )  j 0
x (t )  2 g (t ) cos(2f c t )

x (t )  Re I (t )  jQ (t ) 2 P exp j 2f c t
G(f) 位相
変調信号をg (t )とする．(t )  g (t )，(t )  0
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送信
フィルタ
HT(f)
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+1
t
T
-1
30
ディジタル変調器の構成
ディジタル変調方式の分類
2値パルス系列を送信データシンボル系列に変換．これはデータ変
調と呼ばれる．
送信データシンボル系列に対応したI(t)とQ(t) を生成し，それぞれ
，cos(2fct)とsin(2fct) に乗積すれば，ディジタル変調波を発生
できる．
I (t )  jQ (t ) 
 I
n  


s h
n T
{In}
データ
シンボル
生成
2値(0,1)
パルス
系列
t
{Qn}
送信ﾌｨﾙﾀ
HT(f)
送信ﾌｨﾙﾀ
HT(f)
x(t)
Q(t)
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電力増幅器
位相シフト
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最も簡単なディジタル変調が2値変調である．ASK，
s (t )  I (t )  jQ (t )
2PSKと2FSKの例を以下に示す．
(a) 2ASK
a0= “1”
0
a1=“0” a2=“1” a3=“1”
T
2T
3T
周波数利用効率の向上
変調方式
線形変調
AM,ASK,PSK
スペクトル
ベースバンド信号のスペク 高調波成分が発
トルが保存される
生する
包絡線
変動する
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非線形変調
PM,FM，FSK
一定
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ディジタル被変調信号の表現
ディジタル被変調信号の波形
2値送信
データ
2bits/symbol
2P
I(t)
- sin(2fct) /2
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QPSK
ASK系列
log2M
bits/symbol MQAM
発振器 ~ +cos(2fct)
(t  nT )
n  
送信シンボル
（記号）
T
0
定振幅
多値FSK
MSK
OQPSK
PSK系列
MPSK
1
 jQn hT (t  nT )
n
変動振幅
hT(t)
x (t )  2 P I (t ) cos(2f c t )  Q (t ) sin(2f c t )

周波数利用効率と送信電力効率
kT  t  ( k  1)T
Q
ak=“0” “1”
t
I
4T
被変調信号は次式のように表せる．
x (t )  2 P I (t ) cos(2f c t )  Q (t ) sin(2f c t )



 Re I (t )  jQ (t ) 2 P exp j 2f c t
ここで，PSKやQAM系の変調の場合（Tはシンボル長）

s(t )  I (t )  jQ (t ) 
s h
n T
(t  nT )
n  
s nはn番目の送信シンボル，hT (t )は送信フィルタのインパルス
応答である．
“0”
(b) 2PSK
“1”
“1”
(c) 2FSK
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“0”
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1 d ( t )
  f
2  dt 33
 s n  I n  jQn , E[| s n |2 ]  1



2
 (1 / T )  hT (t )dt  1

2PSK(bn  0)の場合
+1 I n 3 I n  2
T
-1
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I n 1
In
hT(t)
1
0
フィルタ出力 I (t )  j 0
フィルタ入力
t
I n 1 I n  2
t
T
送信
フィルタ
HT(f)
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+1
t
T
-1
34
多値PSKと多値QAM
2PSK被変調信号の表現
・　被変調シンボルs n (  I n  jQn )
2PSK変調のとき，常にQn  0であり，s nは次式のようになる．
 1  j 0　送信データ"0" のとき
s n  I n  jQn  
 1  j 0　送信データ"1" のとき
n
1
T
0  t  Tのとき
1,
hT (t )  
0
,
その他

2PSK変調のI (t )  jQ (t )
・　+1
nT  t  ( n  1)T　+1
I
“1”
“0”
0010
0000
0001
2 PSK被変調信号
・　時間nT  t  ( n  1)Tの2 PSK被変調信号の表現
nT  t  ( n  1)T
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35
QAM (Quadrature amplitude modulation) の信
号点配置(sn= In + jQn)
“01”
1
1
“0”
“1”
 1/ 2
 1/ 2
 1/ 2
 1 / 10
 1 / 10
“10”
 3 / 10
 1 / 10
(d)16PSK
36
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“00”
“01”
 3 / 10
 1 / 10
 1 / 10
 3 / 10
 3 / 10
“11”
4ASK
(d) 4QAM
1011
1010
1000
1001
 3 / 10
 3 / 10
“11”
“10”
101
100
(c) 8PSK
16QAMの信号点配置(sn= In + jQn)
“10”
 1 / 10
 1/ 2
(b) 4PSK
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“01” “00” “10” “11”
“00”
QAM
(d) 2ASK
“11”
4ASK
 3 / 10
000
1110
1111
0011
-1
x (t )   2 P cos(2f c t ),
10
0101
0100
1101
1100
0110
0111
送信電力をPとすると，Ac  2 P
001
00
(a) 2PSK
・　搬送波振幅Ac
111
1
0
Q
-1
110
In
1
矩形インパルス応答hT(t)
011
11
01
t
0
・　矩形インパルス応答を有する送信フィルタ
I (t )  I n  1, Q (t )  0,
多値PSK (Multi-level PSK) の信号点配置(sn= In +
jQn) Q
010
hT(t)
 1 / 10
“01” “00” “10” “11”
 1 / 10
“00”
“01”
(e) 16QAM
 3 / 10
“0101”
“0100”
“0110”
“0111”
“0011”
“0010”
“0000”
“0001”
“1101”
“1100”
“1110”
1
“1111”
“1011”
“1010”
“1000”
“1001”
信号点配置
16PSK
2015/10/02
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37
2015/10/02
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38
多値PSKのI(t)とQ(t)の波形（その２）
多値PSKのI(t)とQ(t)の波形（その１）
Q s(t )  I (t )  jQ (t )
帯域幅一定のまま伝送レートを高速化
送信する2値データ
1
1
0
1
0
0
+1
t
(a)2PSK I(t)
送信する2値データ
1 1 0 1 0 0
I
1
0
(a)2PSK
-1
t
Q(t)
I(t)
Q(t)
11
I(t)
(b)4PSK
01
00
(b)4PSK I(t)
Q(t)
10
00
Q(t)
I
1
t
1
 1/ 2
I(t)
高速伝送 (c)8PSK
011
001
-1
2015/10/02
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000
100
10
00
010
110
111
Q(t)
11
 1/ 2
 1/ 2
010
110 100
1
0
01
 1/ 2
 1/ 2
Q
t
11
01
11 01 00
I (t )  jQ (t )
伝送レート一定のまま帯域幅の狭帯域化
110
(c)8PSK
狭帯域
伝送
101
39
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100
I(t)
 1/ 2
Q(t)
1
011
110
001
000
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111
100
101
40
伝送レート一定の場合には多値レベルを大きくすると狭
帯域スペクトルになる
1.4 電力スペクトル密度
W
W/2
(a)2PSK
(b)4PSK
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W/3
(c)8PSK
41
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42
自己相関関数と電力スペクトル密度
決定論的信号
決定論的信号の周波数領域での表現としてフー
リエ変換と電力スペクトル密度が存在する．
不規則信号
送信データ“0”と“1”の発生が不規則（ランダム）であ
るようなディジタル伝送のような場合，ディジタル被変
調信号を不規則信号とみなして統計的に扱うことしか
できない．
不規則信号の周波数領域での表現として電力スペク
トル密度が用いられる．
電力スペクトル密度は自己相関関数のフーリエ変換
である．
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43
自己相関関数R xx ( )と電力スペクトル密度P ( f )とは次式のように
フーリエ変換対の関係にある．


 P ( f )   R xx ( ) exp( j 2f )d


 R ( ) 
P ( f ) exp( j 2f )df
xx


ここで


P(0) 



R xx ( )d
は直流電力であり，また
R xx (0) 
lim 1
T   2T



xT2 (t )dt 



P ( f )df  P
は平均電力である．電力スペクトル密度P( f )を全ての周波数
にわたって積分すれば平均電力Pが得られる．
2015/10/02
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48
ディジタル被変調波の自己相関関数と
電力スペクトル密度
演習問題1.1
信号x(t)の電力スペクトル密度P(f)は，その自己相関関数
Rxx()のフーリエ変換であることを示せ．
Rss ()  E[s(t )s(t  )] 
 P( f )   R () exp( j 2f)d
 xx



 R xx ()   P( f ) exp( j 2f)df


1  lim
1 ( N 0.5)T
I (t )I (t  )  Q(t )Q(t  )dt  cos(2f c )
 

(
0
.
5
)


N
T
2  N   2 NT

1  lim
1 ( N 0.5)T
Q(t )I (t  )  I (t )Q(t  )dt  sin(2f c )
 

(
0
.
5
)

N

T
2  N   2 NT

ここで
RI  jQ () 
lim
1 ( N 0.5)T
s(t )s(t  )dt
N   2 NT ( N 0.5)T
1 lim
1 ( N 0.5)T
[ I (t )  jQ(t )][I (t  )  jQ(t  )]* dt

(
0
.
5
)

N

T
2 N   2 NT
とすると

 ReR



Rss ()  Re RI  jQ () cos(2f c )  Im RI  jQ () sin(2f c )
I  jQ
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49
2015/10/02
()exp( j 2f c )

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50
従って，
1 lim
1
R I  jQ ( ) 
2 N   2 NT

( N  0 .5 ) T
[ I (t )  jQ (t )][ I (t  )  jQ (t  )] dt
*

 ( N  0.5 ) T
a nとbnとが独立であるなら
N

lim
1
N   2 NT
R I  jQ ( )  P
1
 P 
T
( I n2  Q n2 )
n   ( N 1)

hT (t  nT )hT (t    nT )dt
 ( N  0.5 ) T
N

 lim
1
hT (t )hT (t  )dt 
N


2
N



( N  0 .5 ) T
(I
2
n
 Q n2 )
n   ( N 1)
E [a n2

1
2
1 


  T  hT (t )hT (t  )dt  exp(  j 2f)d  T H T ( f )
となるから，被変調信 号の電力スペクトル密 度は次式になる．
 Q n2 )  E [ I n2  Q n2 ]
n N
2
bn ]  1であることから，自己 相関関数は次式で表せ る．
1
R I  jQ ( )  P 
T
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
P ( f ) 


hT (t )hT (t  )dt   P  R hh ( )






2
n


N
(I

 Rhh () exp(  j 2f)d
大数の法則より
lim
1
N   2N

 R ss ( )  Re[ R I  jQ ( ) exp( j 2 f c )]

P

R hh ( ) exp( j 2 f c )  R hh ( ) exp(  j 2 f c )
 
2

1 


 R hh ( )  T   hT (t ) hT (t  ) dt
ここで， R hh ( )のフーリエ変換は
1
P 1
2
2
H T ( f  fc )  H T ( f  fc ) 
2  T
T

ここで， H T ( f )は送信フィルタの伝達 関数である．
51
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2015/10/02
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52
矩形パルス応答をもつ送信フィルタのと
きの電力スペクトル密度
 1,
hT (t )  
0,
のとき
H T ( f )  T
であるから
0t T
|HT(f)|
elsewhere
sin(fT )
exp jfT 
fT
T
hT(t)
1
0
 sin[( f  f )T ]  2 
c

 

PT  ( f  f c )T  
PT ( f ) 


2   sin[( f  f )T ]  2 
c
 
 
  ( f  f c )T  
T
1.5 帯域制限
f
t
-1/T
0
1/T
PT(f) サイド
ローブ
PT/2
メイン
ローブ
f
0
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fc-1/T
+fc
fc+1/T
53
2015/10/02
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54
送信機の構成
被変調波の帯域制限
帯域制限なしでは高調波成分がある Without filtering, there
exist harmonics components.
→無線通信では他チャネル
へ干渉を与える In wireless communication, the harmonics
will interfere the other channel and are undesirable
矩形パルス応答hT(t)を持つ送信フィルタ
hT(t)
1
データシンボル
生成
cos(2fct)
送信2値(0,1)
データ系列
Transmit binary
Data sequence
2PSK(Qn=0)のとき
I(t)
2P
送信データ
x(t )  2P(t ) cos2f c t  (t )
Q(t)
+1 I n 3 I n  2
T
P(f)
 sin fT 
P( f )  

 fT 
P(f)
周波数
アップコンバージョン
Frequency
up-conversion
f
0
-1/T
+1/T
2015/10/02
送信
データ
メインローブ
Main lobe
t
1
0
1
0
55
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t
T
-1
1
0
t
T
1
Q(t)
+1/T
1
+1
1
I(t)
fc
送信
フィルタ
HT(f)
I n 1 I n  2
1
f
-1/T
In
I n 1
-1
電力増幅器
- sin(2fct)
2
フィルタ出力 I (t )
フィルタ入力
 2P I (t ) cos(2f c t )  Q(t ) sin(2f c t )
x(t )
t
T
0
2015/10/02
56
FA/Tohoku_U 「無線伝送工学」
送信信号の占有帯域幅を最小化し，かつ受信
フィルタ出力S/Nを最大化するには？
T秒ごとに振幅 (2P)1/2 のディジタル被変調波パルスを
送信する時の電力スペクトル密度P(f)は次式のように広
がってしまう．
送信データを表す正負のインパルスをT秒毎に送信する
とき，総合（送信＋受信フィルタ）の伝達関数をどんな関
数にすればよいか？
T秒ごとに標本化された標本を送信＋受信低域通過フィ
ルタを通したとき，受信フィルタ出力波形のT秒ごとの標
本値が元の値と完全に等しくなる（すなわち他の送信
データからの影響を受けない）ようにすればよい．
このような伝送系をナイキスト伝送系と呼ぶ．
hT(t)
f
1
fc
-1/T
+1/T
電力スペクトル密度P(f)
t
0
T
矩形パルス応答hT(t)
PT  sin( f  f c )T ]   sin( f  f c )T  

 

2  ( f  f c )T   ( f  f c )T 

2
PT ( f ) 
無線通信では他チャネルへ干渉を与えることになるので
好ましくない．そこで用いられるのがナイキストフィルタで
ある．
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57
2



フィルタ入力
+1 I n 3 I n  2
T
-1
I n 1
フィルタ出力
+1
In
t
I n 1 I n  2
送信＋受信
フィルタ
H(f)=HT(f)HR(f)
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t
T
-1
58
ナイキスト第1基準を満たすフィルタの
条件
ナイキスト基準
第1基準
総合インパルス応答h(t)はt=0を除いて等間隔零交差
するための条件．すなわち，h(t)をt=nTで標本化した標
本値をhnとすると
n0
1,
hn  h(nT )  
0, otherwise
第２基準
標本点間の中点t=(2n-1)T/2においてインパルス応答
が零交差するための条件．（自乗余弦フィルタで=1の
とき）
第３基準
インパルス応答の１標本区間の積分値が入力信号振幅
に比例するための条件．（Sinc(fT)の逆数を伝達関数と
するフィルタ）
フィルタの伝達関数をH(f)

hn  h(t  nT )   H ( f ) exp( j 2fnT )df




k  
k / T 1 / 2T
k / T 1 / 2T
H ( f ) exp( j 2fnT )df
 

  H ( f  k / T ) exp( j 2fnT )df
1 / 2T
k  

1 / 2T

周波数領域表現
n0
1,
h(t  nT )  

0
,
otherwise


 H( f  k /T)  T
k  
無数の解があり得る．
H(f)が|f|<1/(2T)でのみ値を持つのが理想矩形フィル
タであり，H(f)=T, |f|<1/(2T)．
参考文献：W.R.Bennet and J.R.Davey（甘利省吾監訳）：ﾃﾞｰﾀ伝送,ラティス刊，1966.
2015/10/02
59
FA/Tohoku_U 「無線伝送工学」
2015/10/02
自乗余弦フィルタ
60
送受信フィルタの設計
最適伝送系のフィルタ伝達関数HT(f)とHR(f)
理想矩形フィルタは作りにくい．なぜなら，インパルス応
答が無限に続くからである．
実際の通信システムでは自乗余弦フィルタが良く用いら
れる．
H(f)
理想矩形
自乗余弦フィルタの伝達関数
フィルタ
T
受信フィルタ出力のS / Nを最大とする受信フィルタの伝達関数は
H R ( f )  kS * ( f ) exp j 2 ft m 
2007）．ここで，S ( f )は
である（安達：通信システム工学，朝倉書店，
送信信号スペクトル．
S ( f )  H T ( f )であるから直ちに
H ( f )  H T ( f ) H R ( f )  k H T ( f ) exp j 2 ft m 
H ( f )  H T ( f )H R ( f )
2

T,


 T 
1   

 T cos 2 
 f 
 ,

2
2T 



0, 

1 
2T
1 
1 
 f 
2T
2T
elesewhere
ここで，kとt mは設計パラメータであるから自由に選べる．
0 f 
ここではロールオフファクタ ．
2
H T ( f ) / Tが電力スペクトル密度を表す（1秒間に1 / T個のインパルス
の応答が送信される）ことから，k  1 / Tとし, また便宜上t m  0と置くと
2
H ( f )  H T ( f ) / T
f
0
1 
2T
2015/10/02
FA/Tohoku_U 「無線伝送工学」
FA/Tohoku_U 「無線伝送工学」
1 
2T
62
となる．以上から，H T ( f )を実数関数とすれば
H T ( f )  T  H ( f ) , H R ( f )  H ( f ) / T
これらはルートナイキストフィルタと呼ばれる．
2015/10/02
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65
hT t    H T ( f ) exp( j 2ft )dt

ナイキスト自乗余弦フィルタ伝送系のとき
t
 t

 t

sin   1     4 cos  1   
T
 T

 T


2
t  
t 
  1   4  
T   T  
 H T ( f )  T  H ( f )

 H R ( f )  H ( f ) / T
より

 T,

 T 
1   

H T ( f )  T cos
 ,
 f 
2T 
 2 

 0, 
H R ( f )  HT ( f ) / T
2015/10/02
1 α
2T
1 α
1 α
 f 
2T
2T
elesewhere
0 f 
66
FA/Tohoku_U 「無線伝送工学」
2015/10/02
67
FA/Tohoku_U 「無線伝送工学」
ディジタル変調器の構成
理想低域通過フィルタ伝送系のとき
T
H ( f )  
0
f  1 / 2T
H T(f)
elsewhere
T
であるから
T
H T ( f )  T  H ( f )  
0
1
H R ( f )  H ( f ) / T  
0
f  1 / 2T
2値（“0”, “1”）データ系列に対応したI(t)とQ(t)の波形を生
成し，搬送波成分cos(2fct)とsin(2fct)とに乗算する．
s(t )  2P I (t ) cos(2f c t )  Q(t ) sin(2f c t )
f
-1/(2T) 0 1/(2T)
発振器 ~ cos(2fct)
elsewhere
f  1 / 2T
2値(“0”, “1”)
データ系列
elsewhere
送信フィルタのインパルス応答は次式となる．
hT (t ) 


H T ( f ) exp( j 2ft )df 

sin(t / T )
t / T
{In}
データ
シンボル
生成
{Qn}
送信ﾌｨﾙﾀ
HT(f)
送信ﾌｨﾙﾀ
HT(f)
2P
I(t)
s(t)
Q(t)
電力増幅器
- sin(2fct) /2
位相シフト
2015/10/02
FA/Tohoku_U 「無線伝送工学」
68
2015/10/02
FA/Tohoku_U 「無線伝送工学」
69
隣 接 チ ャ ネ ル 干 渉 の 低 減 Adjacent
Interference Reduction
2PSKの例
Example of 2PSK Transmission
ナイキストフィルタ
With Nyquist filter
P(f)
H(f)
f
フィルタ入力 Filter input
-W
=-1/(2T)
t
f
フィルタ出力 Filter output
W
=1/(2T)
fc
1/T
-1/T
帯域制限フィルタなし(without band-limited filter)
t
h(t)
T
標本時点の出力値は入
力と同じ値が保存される
The output value at
理想フィルタ(Ideal Filter)
sampling time is the same
矩形パルス応答フィルタ
Rectangular pulse response filter as the input value
送信データ
T
1
1
0
1
0
0
帯域幅(bandwidth)
P(f)
ｆ
 2
t
fc
1/T
-1/T
ナイキストフィルタ (Nyquist filter)
I(t)
2015/10/02
T
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70
演習問題1.2
 2
2015/10/02
71
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演習問題1.3
問１（１）ナイキスト自乗余弦フィルタのインパルス応答h(t)が次式とな
ることを示せ．ロールオフファクタをαとする．
t
 t

sin    cos  
 T
 T
h(t ) 
2
t
t


1

2



T
 T
問1：線形帰還シフトレジスタ(LFSR: linear feedback shift register)に
全1の初期値を与えることにより周期31ビットの周期系列が生成できる．これ
に1ビット（“0”）を追加し周期32ビットの系列を生成せよ．
x5
（２） =0, 0.5と1.0のときのh(t)を描け．
問２（１）ナイキスト自乗余弦フィルタ伝送系の送信フィルタHT(f)のイン
パルス応答hT(t)が次式で与えられることを示せ．
t
 t

 t

sin   1     4 cos  1   
T
T
T




hT t  
2
t 
t 
  1   4  
T   T  
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x4
x3
x2
x1
x0
周期31のLFSR
帰還結線は101001で多項式表現はx5 + x3+1
問2：周期32ビットの系列で生成される2PSK波形の周波数スペクトル密度を
求め，得られた結果を考察せよ．
ロールオフファクタのナイキスト自乗余弦フィルタを用いる． =0, 0.5
と1.0を考えよ．
スペクトルの計算には256ポイントの離散フーリエ変換（DFT）を用いよ．
比較のため矩形パルス応答を有するフィルタを用いる場合についても検
討せよ．
（２） =0, 0.5と1.0のときのh(t)を描け．
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1
 1   
T
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73
文献
次回
参考書
・ 斎藤：ディジタル無線通信の変復調，電子情報通信学会，
1996年
・ 山本，加藤：TDMA通信，信学会，1989年
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第2章信号検出理論
2.1 整合フィルタ
2.1.1 ディジタル通信システムのモデル
2.1.2 S/Nを最大とする整合フィルタ
2.1.3 整合フィルタの伝達関数
2.1.4 整合フィルタの実現法
2.1.5 符号判定
2.1.6 最大事後確率判定
2.1.7 最尤判定
2.2 最適送受信系
2.2.1 伝送系の基底帯域モデル
2.2.2 ナイキスト伝送系
2.2.3 ナイキスト基準
2.2.4 ナイキストフィルタ
2.2.5 伝達関数の送受信フィルタへの最適配分
2.3 誤り率
2.3.1 ディジタル伝送における判定誤り
2.3.2 ASKの誤り率
2.3.3 BPSKの誤り率
2.3.4 FSKの誤り率
2.3.5 C/NとEb/N0との関係
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