FUMI の式の導出

FUMI の式の導出
FUMI 理論の測定モデルでは，面積測定値または高さ測定値の誤差は，ベースラインノ
イズが作る面積または高さ（偽りの面積または高さ）であると仮定している。FUMI の式
は，ノイズが作る偽りの面積（または高さ）の標準偏差を計算する式である。FUMI の式
の導出は，次の手順で行う：
1.
時間 i におけるノイズの強度を記述する；
2.
ある時間区間におけるノイズの強度の和（偽りの面積 R）を記述する；
3.
偽りの面積の分散（標準偏差の 2 乗）を求める。
現実のノイズは 1/f ゆらぎに近いことがある。1/f ゆらぎとは，ノイズのパワースペクト
ル P が周波数に反比例する確率過程である。つまり，P ∝ f−1 である。FUMI 理論では，ノ
イズはホワイトノイズとマルコフ過程の和と定義している。つまり，ホワイトノイズ（P ∝
f0）とマルコフ過程（P ∝ f−2）の和で，1/f ゆらぎを近似する。
ホワイトノイズの時間 i での観測値は
(1)
wi
と表せる。ただし，時間 i は離散とする（i = 0, 1, 2,…）。wi は確率変数である。つまり，
wi は i の関数ではなく，時間 i である値 wi を取る「変数」である。ニュートン力学の物体
の自由落下は時間 t の関数で表される。物体を時間 t = 0 にある決まった位置から落とせば，
時間 t には位置 Y に物体はある。同じ思考実験を t = 0 から何度始めても，時間 t には必ず
位置 Y に物体はある。しかし，wi は同じ時間 i でも観測するごとには異なった値を取る。
そのため，
「ある時間 i で wi がある特定の値を取る」は意味を成さないが，wi の性質として
時間 i での平均と標準偏差は定義できる。
ノイズのくり返し測定においても，どの測定も時間 0 から始まると仮定する。すると，
時間 i におけるノイズ強度 wi は，くり返し測定毎に異なるが，無限にくり返した測定にお
ける wi をすべて集計すると，これらは平均 0，標準偏差 の正規分布を示す（ホワイトノイ
ズの定義）
。wi の平均と標準偏差は，時間 i を変化させて計算するのではなく，i は固定し
てくり返し測定について定義されている。wi はアンサンブル平均と言われている。ホワイ
トノイズの定義では，wi の平均と標準偏差は時間によらず一定である。
時間 i でのマルコフ過程の観測値は，次の式で表される：
Mi = ρMi−1 + mi
(2)
マルコフ過程は，1 ステップ前の時間 i−1 の強度 Mi−1 に定数ρをかけた位置ρMi−1 から出発
し，mi だけ移動する。mi は平均 0 で標準偏差 のホワイトノイズであり，マルコフ過程の
駆動力である。ρは 1 未満 0 以上の値を取る。ρ = 0 の場合は，ホワイトノイズである。
1
ホワイトノイズは自己相関がなく，マルコフ過程は自己相関がある。時間 i でのホワイト
ノイズの値 wi は，他の時間 j での値 wj とは独立である。しかし，定義より，マルコフ過程
では，時間 i の値 Mi は，前の時間 i−1 の値 Mi−1 に依存している（式（2）参照）。この依存
性を自己相関という。例えると，ホワイトノイズの軌跡は，サイコロの出た目をプロット
したものであり，マルコフ過程は，すごろくの位置をプロットしたものである。
FUMI 理論のモデルノイズでは，時間 i におけるベースラインノイズの観測値は
Yi = Mi + wi
(3)
である。時間 1 から k までの区間でのノイズの強度の和は
R= ∑
Y
(4)
であり，ノイズが作る偽りの面積を表す。FUMI の式は偽りの面積 R の標準偏差（または
相対標準偏差）である。
E[Z]で確率変数 Z のアンサンブル平均を表す。偽りの面積（式 4）の平均は 0 である：
E[R] = 0
(5)
なぜならば，R に含まれる Yi は，ホワイトのノイズ wi と mi の和であり，ホワイトノイズ
の平均は 0 だからである。一方，偽りの面積の分散
Var(R) = E[R 2]
(6)
は 0 とはならない。式 6 の左辺をホワイトノイズの標準偏差 ，マルコフ過程の駆動力であ
るホワイトノイズの標準偏差 ，定数ρの関数として記述することが，最後の問題（上記手
順 3）である。
式（3）と（4）より，偽りの面積の 2 乗は次のように表せる：
R2 = ∑
+∑
w
(7)
マルコフ過程は時間（i = 0, 1,…, k）ごとに次のように記述できる：
M0 = 0 （仮定）
M1 = m1
M2 = ρm1 + m2
2
M3 = ρ2m1 + ρm2 + m3
…
Mk = ρk−1m1 + ρ k−2m2 + … + ρmk−1 + mk
(8)
ここで，マルコフ過程は時間 0 で，常に原点（M0 = 0）から出発すると仮定している。マ
ルコフ過程の和（式 7 右辺の括弧の中の第 1 項）は次のように整理される：
∑
= (1 + ρ + ρ2 +…+ ρk−1)m1
+ (1 + ρ + ρ2 +…+ ρk−2)m2
…
+ (1 + ρ)mk−1
+ mk−1
(9)
式（9）を式（7）に代入すると，A2 には確率変数の 3 つの項 mimj， miwj，wiwj が現れる。
ρは定数なので，平均の計算（式（6））には重要ではない。mimj， miwj，wiwj の平均は次
の性質がある：
E[wi] = 0
E[mi] = 0
E[wiwj] = 0, if i ≠ j
=
2,
if i = j
E[mimj] = 0, if i ≠ j
=
2,
if i = j
E[wimj] = 0
式 E[wiwj] = 0 と E[mimj] = 0 は，異なった時間の確率変数は互いに独立であることを示し
ている。たとえば，1 回目に振ったサイコロの目と 2 回目に振ったサイコロの目が無関係で
あることと同じ意味である。上記の式を使えば，式（6）は次の形をとる：
Var(R) = (1 + ρ + ρ2 +…+ ρk−1)
+ (1 + ρ + ρ2 +…+ ρk−2)
2
2
…
+ (1 + ρ)
+
+k
2
2
(10)
2
3
この式を整理すれば，FUMI の式（Anal. Chem., 66 (1994) 2874）の式（19）を導出でき
る。
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