半径 r の球に内接する直円柱のうちで, 体積が最大のものの底面の半径

半径 r の球に内接する直円柱のうちで, 体積が最大のものの底面の半径, 高さおよび
その体積を求めよ.
右図のような断面図を考える. 円柱の高さを h (0 ≤ h ≤ 2r) と
すると, 底面の直径は
√
(2r)2 − h2 =
√
4r2 − h2
r
h
2r
となる. すると, 半径は
1 √ 2
4r − h2
2
となる. これより, 円柱の体積 V は,
(
V = V (h) = π
1 √ 2
4r − h2
2
)2
h=
π
(4r2 h − h3 )
4
となる. これを h で微分すると,
d
π
V =
(4r2 − 3h2 )
dh
4
√
4
d
V = 0 となるのは h =
r のときであるので, 増減表は以下のようになる.
となる.
dh
3
√
4
x
0 ···
r
· · · 2r
3
d
V + +
0
− −
dh
(√
)
4
V
0 ↗ V
r
↘ 0
3
これより, 底面の半径は
1
2
√
2 3
高さは
r, 体積は
3
(√
V
4
r
3
√
4r2
)
4 2
r =
−
3
√
6
r,
3
(
) √
π
4
2 3
=
r2
r
4r2 −
4
3
3
√
4 3 3
=
πr
9
となる.
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