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Appendix 1 Sパラメータの基礎
Appendix1 Sパラメータの基礎 A1-1 定義 Sパラメータ（Scattering parameter）とは、交流信号を波動と捉えたとき、 その波の散乱度合いで対象となる回路の特性を表わしたものです。｢散乱｣ という用語は、ここでは反射（入射側に戻ってくるもの）と伝送（別な方向 に伝わるもの）の総称です。 図A1-1に光との類推で図示してみました。 「度合い」というのは、どの 程度減衰されて、あるいは増幅されて伝わるかということを指しています が、それを電力（正確にはその平方根を取ったもの）で計量します。散乱度 合い （Sパラメータ）によって対象回路の線形な性質はすべて把握できます。 図A1-1 Sパラメータの概念図（光との類推） 入射a1 （A1-1） Sパラメータは比なので、基本的には無次元量です（単位がありません） 。 しかし、その大きさを言う場合、常用対数をとって、dB単位で表わすのが普 通です。参考のため、表A1-1に代表的な値を載せておきました。 表A1-1 Sパラメータの大きさ 透過,伝送b2 反射b1 対象物 58 S21=b2/a1 S11=b1/a1 対象回路のポート（出入り口）に番号を付け、｢ポート j に入射→ポート i で 検出｣されるSパラメータをSijと記します。i＝jの場合は反射、i≠jの場合は 伝送を表わします。 従って、nポート回路の場合、n 2 個のSパラメータが存在することになり ますが、それらを行列の形に並べたのをS行列（散乱行列）と言います（式 （A1-1） ） 。詳細な定義は教科書（[1] ∼ [5]）などを参照してください。 A1-2 性質 Sパラメータのいくつかの性質を列挙します。これらは覚えておくと便利 です。 ・無損失回路の場合、S行列はユニタリ行列になります。従って、2ポート 回路では、 （Feldtkellerの公式） が成り立ちます。損失が無いので全割合を足せば100%になるということ です。 このことから、｢S21（S11）が大きいときはS11（S21）が小さい｣という関係に あることがわかります。 ・2ポート受動回路の場合は、 （ 等 号 は 無 損 失 の と き。 前 記 ）と な り ま す。 従 っ て、受 動 回 路 のSパ ラ メ ー タ は1（0dB）を 越 え ま せ ん。 こ の 左 辺、 を"電力散乱率"と称します。それは、対象回路の中で どの程度電力が消費されるかを示しています。 で、小さいほど損失性ということになります。 ・カットオフ周波数とは、フィルタなどでその通過域と阻止域の境界を示 す周波数です。概略、|Sij|=–3dB（半分の電力が通過する）となる周波数と 考えてよいでしょう。従って、無損失2ポート回路の場合、カットオフ周波 数では、|S11|=|S21|となっています（|S11|のグラフと|S21|のグラフの交点、実 例は図A1-6参照） 。 ・可逆な回路（受動部品で言えば一方向系（アイソレータやサーキュレー タなど）でないもの）は、S行列が対称行列になります。 従って、Sij=Sjiです。ミックストモードSパラメータ（A1-10節参照）でも同 様に、Scc21=Scc12, Scd21=Sdc12, Sdc21=Scd12, Sdd21=Sdd12が成り立ちます。 A1-3 Touchstoneフォーマット Sパラメータの測定は、最近ではネットワークアナライザを使うのが一般 的です。その際、データを保存する形式としては、後に数値としてやり取 りしたり、シミュレータで使う予定があるなら、いわゆるTouchstone形式 （のテキストファイル（.snp） ）にしておく必要があります。Touchstoneファ イルの例を図A1-2に示します。 図A1-2 Touchstoneファイルの例 option line（#行）の意味は表A1-2をご参照ください[6]。次の行からは、 複数の列で構成された数値が並びます。一番左の列は周波数です。この例 ではDC ∼ 6GHz（0Hz ∼ 6000MHz）になっています。周波数範囲やその 間隔は任意ですが、低い順に並んでいなくてはなりません。残りの8列は、 その周波数でのSパラメータ値です。2ポートの場合は、S11、S21、S12、S22の 順に並んでいます。各Sパラメータは2つの実数（この例ではMA形式だか ら絶対値と位相）で表わされていますので、全部で8列（周波数を入れると9 列）となります。2ポート以外の場合もほぼ同じです（数値の並び順が行列 のようになるなど、多少の違いはありますが） 。 表A1-2 option line（#行）の文法 例 規格 MHz 周波数の単位。 S 回路行列の種類。S/Z/Yなど。 MA 複素数の表現形式。MAは絶対値と位相(magnitude/ angle)のこと。 その他にRI(real/imaginary)とDB(dB/angle)という形 式もある。位相の単位は｢度｣。 R50 基準インピーダンス/を示す。 R50は、50ということ。 A1-4 Sパラメータを使う理由 電子機器の高速化に伴ない、デジタル設計においてもアナログ的な性質 （SI= Signal Integrity）が重視されてきました。そのため、従来はやや特殊な 扱いであったSパラメータも、今また注目が集まっています。Sパラメータ は、どういう場面で、そしてどういう理由で使われるのでしょうか。いく つかを列挙してみました。 ・信号や電力（エネルギー）の授受を表わしている：そのため、フィルタの 減衰量や能動素子の変換利得など、物理量として意味がある。 59 ・高周波では、対象物が波長程度の大きさになり、場所による時間差を考慮 する必要がある。そのため反射、伝送といった関係で現象を捉えた方が理 解しやすいし、 式も簡潔になる。伝送線路のSパラメータが、式（A1-13） のような簡単な式で表わされるのは、そういったことの一端である。 ・受動回路では常に存在する（発散しない） ：従って、例えば理想トランス 網の解析などに有効。 ・高周波で測定可能：厳密な開放、短絡といった終端条件は、高周波では実 現が難しい。その点、Sパラメータは抵抗終端で定義されているので測定 しやすい。そういった測定可能な量で記述しておけば、計算が面倒でない（Z 行列とかY行列とかに変換する手間がかからない） 。 60 A1-5 インピーダンス 線形な1ポート（2端子）回路の特性は1つの複素数で記述できます。イン ピーダンスやアドミタンス、反射係数などがそうです。これらについては 説明を要さないと思いますが、簡単にだけ触れておきましょう。 端子間の電圧と端子を流れる電流の比が、インピーダンスZ、そしてその逆 数がアドミタンスY です。複素数なので、実虚あるいは極形式など2つの実 数で表わせます。インピーダンスの実数部は｢抵抗R｣、虚数部は｢リアクタ ンスX｣と呼ばれます。アドミタンスの実数部は｢コンダクタンスG｣、虚数 部は｢サセプタンスB｣です。 2つの実数で決められるので、コンデンサと抵抗器（C-R）あるいはコイル と抵抗器（L-R）の組み合わせ回路で表現することも可能です。組み合わせ 方は並列、直列がありますので、結局全部で4通りあることになります（表 A1-3参照） 。 表A1-3 インピーダンスを表現する諸量 (インピーダンス Z = R + jX= | Z | e jθ, アドミタンス Y = G + jB= | Y | e -jθ、 とL、C、Q、D=tanδの関係) 領域 誘導性 (Inductive) Ls Lp R G X≧0 ,B≦0 0≦θ≦π/2 X = ωLs 容量性 (Capacitive) Cs X≦0 ,B≧0 −π/2≦θ≦0 D = tanδ= 1/Q 表現回路 B =−1/ωLp Cp R X =−1/ωCs G B = ωCp D = R/X =−G/ B D = R/ωLs= ωLpG D = cotθ δ=π/2−θ 相互関係 RG= 1/ (1+ Q 2 ) XB=−1/ (1+D 2 ) Cs= Cp (1+D 2 ) Lp= Ls (1+D 2 ) D =−R/X =−G/ B D≪1のときの近似 D = ωCs R = G /ωCp RG≒D 2 , XB≒−1 D =−cotθ Cs≒Cp , Lp≒Ls δ=π/2+θ ここでのL値やC値は虚数部を表現する一種のパラメータです。具体的に 言えば、Ls、Cpはそれぞれ、リアクタンスX、サセプタンスBを角周波数ωで 除したものです。それ以上でも、それ以下でもありません。 例えば、コンデンサを測定し、Cpを表示させたとします。それがコンデン サの真の静電容量（誘電体の誘電率に比例するもの）になっているかどう かは、その測定周波数において、対象となるコンデンサがCとRの並列回路 で（近似的に）表わされうるかどうかということによります。自己共振周 波数を超えていれば、Cpは負になっているでしょうし、電解系のコンデン サのようにコンデンサと直列に入っている（陰極の）抵抗が大きく影響し ている（D>>1）のであれば、自己共振周波数以下でも、Cpが何を指している かは不明です（電解系のコンデンサでは静電容量を測定する際、Csで見る のが普通です）。従って、少々逆説的ですが、測定モードをCpにするかCsに するかは、測定する前からわかっていないといけないということになりま す。もっとも、2つの（独立な）パラメータを取得してあるならば、測定後 に表A1-3の式を使って、変換することは可能ですが。 一方、 インピーダンスやアドミタンスの実数部は回路の損失を表わします。 実数部そのものではなく、実数部と虚数部の比D（=tan、損失係数）で表現 することもあります。はインピーダンスあるいはアドミタンスの位相の 余角に相当します（が、その値自体を扱うことはほとんどありません） 。 低損失なものを扱うときはtanが小さくなりますので、100倍して%表示す Q ることがあります。またtanの逆数、 （品質係数）も広く使われています。 tanを使うか、Qを使うかは、その分野で慣習的に決まっていることが多い と思います。 コイルとコンデンサを（直列または並列に）つなげると共振回路になりま す。それぞれに損失があった場合、共振回路のQ（=中心周波数/半値幅、共 振の鋭さを表わす）は、コイル、コンデンサの品質係数QL、QCと次のような 関係にあります。 （A1-2） 1 1 1 = ＋ Q QL QC . 図A1-3 インピーダンス平面からスミスチャートへ X R 図A1-4 スミスチャートにLCR直列回路をプロットする ImΓ +j 従って、コイル/コンデンサのQは、無損失（Q=∞）なコンデンサ/コイルを つなげたときの共振回路のQと定義することもできます。 ReΓ A1-6 スミスチャート 1ポートのSパラメータを反射係数と言います（反対に反射係数を2ポート 以上に拡張したものがSパラメータとも言えます） 。反射係数Γは、同じ1 ポートパラメータであるインピーダンスZやアドミタンスYと次のような関 係にあります。 Y0−Y Z−Z0 （A1-3） Γ = = Y0＋Y . Z＋Z0 ただし、Z0=1/Y0は基準インピーダンスです。 スミスチャートというのは、反射係数の複素平面上に、インピーダンスを 直読できるような目盛りを振ったものです。ΓとZ、Y は（無限遠点を含め れば） 、式（A1-3）のように一対一に対応していますので、そのようなこ とが可能なのです。対応の様子を図A1-3に示します。この図を見ればわ かるように、受動回路（インピーダンスの複素平面の右半平面）は、スミス チャートの内部になります。そして、short（Z=0、インピーダンス平面の 原点）が左端（Γ=−1） 、open（Z=∞）が右端（Γ=1） 、Z=Z0が中心（Γ=0） になります（図A1-4） 。 -1 (short) 0 +1 (open) -j C R L 図A1-4の青線はQ=1の等Q円を示しています。それは、スミスチャート上 でX=±Rの点を結んだものです（従って、インピーダンス平面では原点を 端とする傾き±1の半直線に相当します） 。 例として、LCRの直列共振回路を図A1-4に赤でプロットしました。周波 数は図中に明示されていませんが、低周波では右端（Γ=1、open）にあり、 そこから出発し、周波数が増加すると時計回りにまわって、高周波の極限 では再び右端に戻ります。インピーダンス平面では、点（R、0）を通り虚軸 に平行な直線になりますが、それを図A1-3のように丸めたのが、上記の軌 跡になるわけです。Fosterのリアクタンス定理にあるように、リアクタン スは周波数の増加関数ですので、スミスチャート上では時計回りとなりま す。 LCR直列回路の共振周波数は、 （A1-4） , 61 となりますが、それは赤線が実Γ軸を横切る瞬間です。そして、両側の等Q 円との交点が半値幅 を示します。そして、LCR直列回路のQは、 （A1-5） 無損失の場合、これらの式からわかるように、①series-thruならZ=j2Z0のと き、②shunt-thruならY=j2Y0のとき 、カットオフとなります。 ビーズの例で見てみましょう（図A1-6）。 . となります。ただし、 . です。 この図からわかるように、損失が少ない（赤線がスミスチャート外周に近 い）ほど、半値幅が狭くなり、従って、Qが高くなります。 スミスチャートはインピーダンス測定（反射係数からの換算）や整合回路 の設計、マイクロ波増幅器の設計などに使われます。 図A1-6 ビーズのインピーダンスとSパラメータ （a） |Z| 100Ω X R （b） 62 A1-7 2端子部品のSパラメータ 2端子部品、すなわちインピーダンスで特性付けられる部品を配置して2 ポート回路を構成してみましょう。最も簡単なものとして、図A1-5に示 すような2つのタイプが挙げられます。実際の回路ではこれらをつなぎ合 わせた構成（接続については次節参照）になっていることが多いと思いま すが、そういった意味でこれらは基本形です。SEATで表示するSパラメー タもこの配置のものです。 図A1-5 2端子部品で2ポート回路を構成する ①series-thru Z ②shunt-thru Y Sパラメータの理論式は次のようになります。 （A1-6） （A1-7） |S11| |S21| 低域のカットオフ周波数は5MHz付近ですが、その周波数で、ちょうど |Z|=100になっていることがわかります。100というのは、もちろん、 50系のSパラメータを見ているからです。基準インピーダンスが50で なければ、また違ってきます（図A1-7参照） 。 インピーダンスとSパラメータの関係は、理想的には上記のようになりま すが、実測値を使って計算する場合は、少々注意が必要です。実際の測定 では、図A1-5のように配置しても、GNDとの相互作用が何らか存在する からです。 A1-8 縦続接続 回路の接続形態として最もよく使われているのは縦続接続です。2ポート 回路Mと回路N（それらのS行列をSM、SNとします）を縦続接続したときの 全体のS行列SMNは、 （A1-8） . となります。ただし、接続されるポートの基準インピーダンスは等しくな ければなりません。縦続接続の計算ではF行列やＴ行列を用いることが多 いのですが、元がS行列で表わされているならば、変換しなくて済む分、式 （A1-8）は便利です。 回路Mのポート2を終端したときの入力インピーダンス（反射係数ΓINで表 わす）は、上記縦続接続で、回路Nが1ポート回路（その反射係数をSN11とす る）の場合に相当するので、式（A1-8）の（1、1）要素、 SM12SN11SM21 （A1-9） ΓIN = SM11 + 1−SM22SN11 . となります。 A1-9 伝送線路の特性 伝送線路（もしくはフィルタなどを伝送線路と見立てたとき）の特性とし て、群遅延時間や特性インピーダンスがあります。 群遅延時間 tGDは、S21の位相を用いて、 （A1-10） . で与えられます。この値が周波数に対して平坦でないと、デジタル波形の ように複数の周波数成分を持つ信号は歪みが発生します。 特 性 イ ン ピ ー ダ ン スZ0tは、Open/Short法（ 他 端 をOpen、Shortし た と き の入力インピーダンスから Z0t = Zopen・Zshort として求める）で算出するこ とができます。OpenまたはShort終端のときの入力インピーダンスは式 （A1-9）でSN11=±1とすれば得られますので、結局、特性インピーダンス Z0tは、Sパラメータを用いて、 （A1-11） Z0t ( 1 +S11+S22+ | S |)( 1 +S11−S22−| S |) = Z0 ( 1−S11+S22−| S |)( 1−S11−S22−| S |) . と書くことができます。これは影像インピーダンスを求めていることに相 当します。 この方法は、Open/Short法を原理としているので、λ/4以下の低い周波数 でないと精度良く求まらないということに注意が必要です。結合線路で も、適当なモードを取る（モードについてはA1-11節参照）ことにより独立 になるならば、それぞれのモードで式（A1-11）を使うことができます。 なお、特性インピーダンスはTDR測定でも求められます。その場合は、時 間軸特性（位置情報）が得られます。 ちなみに無損失伝送線路のS行列Stは次式で表わされます。 （A1-12） ただし 、 、t は電気長（単位は時間）です。 基準インピーダンスを線路の特性インピーダンスに取れば、ρ=0なので、 式（A1-12）は、 （A1-13） . と簡単になります。整合しているので、反射（S11）が無く、またS21は電気 長分だけ位相が回ります。逆に式（A1-13）に基準インピーダンスの変更 （次節参照）を施したものが、式（A1-12）となります。式（A1-12）の分 母は不整合による多重反射を表わしているわけです。 A1-10 基準インピーダンス Sパラメータを使う上で、あるいは理解する上で重要な概念に基準インピ −ダンスというものがあります[4]、[5]。 Sパラメータの値を示すとき、単純にS21がxxdBとか言ったりしますが、本 来は、yyを基準にしたときのS21がxxdBと言う必要があります。たいてい の場合、50基準なので省略しても問題は無いのですが、何かを基準にした ときの、言わば相対値だということを忘れてはなりません。Sパラメータ を取得（測定やシミュレーションで）した際の基準値が必ず付属している のです。基準というのは次のような意味です。Ｚパラメータ（インピーダ ンス）は通常、基準値などは付いていませんが、付けて言うことも可能です。 例えば、50基準ならば、200のことを4と、5のことを0.1と称すればよ 63 いのです。この場合は、割り算をしただけですので単純明快です。Sパラ メータの場合は少し複雑（式（A1-3）参照）なので、少々理解しにくい面も ありますが、何かを基準にした｢相対値｣だということには変わりありませ ん。 50というのが単なる基準値である以上、変更が可能（再規格化=基準イン ピーダンスの変更）です。つまり、50のときのSパラメータSがわかって いれば、それ以外の基準インピーダンスでのSパラメータS'に直すことがで きます。計算式は以下の通りです。 （A1-14） ただし、 です。Z0は元の基準インピーダンス、Z0' は新しい基準インピーダンスです。またIは単位行列です。ここで、注意し なければならないのは、S'21だけが知りたい場合でも、元のSパラメータは 全てのSijが必要ということです。 技術ですが、クロックの高速化とともに再び注目を集めています。 差動伝送はディファレンシャルモードやコモンモードといったモード（コ ラム参照）を利用したシステムですが、その場合、Sパラメータもそういっ たモード空間で考える必要があります。それがミックストモードSパラ メータ（modal Sパラメータ）です[5]、[7]。通常のSパラメータ（これをミッ クストモードSパラメータに対して、シングルエンデッドSパラメータ、あ るいはnodal Sパラメータと言う）はポートごとの応答を表わしているので すが、ミックストモードSパラメータは2つのポートの和信号（コモンモー ド）や差信号（ディファレンシャルモード）の応答を表わしています。 2入力、2出力型の4ポート回路で説明します（図A1-8） 。ここでは、ポート 1とポート3、ポート2とポート4が組になっています。 図A1-8 4ポートSパラメータ 1 2 3 4 C1 C2 D1 D2 64 図A1-7 ビーズのSパラメータのZ0 依存性 |S21| |S11| 矢印は基準インピーダンスの増える (10Ω→50Ω→100Ω）方向 図A1-7はseries-thru配置のビーズのSパラメータを10、50、100基準で 描いたものです。基準インピーダンスが小さいほど、高い減衰能力を有す ることがわかります。shunt-thru配置のコンデンサは、ここには図示しませ んが、その逆で、高インピーダンスほど減衰能力が高くなります。 A1-11 ミックストモードSパラメータ 1990年代後半から、デジタル信号の伝送方式として、高速差動伝送が実用 化されてきました。差動伝送方式（平衡伝送とも言う）は古くからあった ミックストモードSパラメータは次のような意味があります。 ・Sccij：コモンモードの応答 ・Sddij：ディファレンシャルモードの応答 ・Scdij、Sdcij：ディファレンシャルモード⇔コモンモード間のモード転換量 系の対称性が良ければ、ゼロ、つまり、各モードが独立する。 これらのミックストモードSパラメータSγの値はシングルエンデッドSパ ラメータSから求めることができます。計算式は以下の通りです[5]。 （A1-15） ただし、 （A1-16） . と置きました。 ここで注意しなければならないのは、 基準インピーダンスです。コモンモー ドの基準インピーダンスは、元のSパラメータの基準インピーダンスの1/2 で、ディファレンシャルモードは2倍です。つまり、元が50系であれば、 コモンモードの基準インピーダンスは、25で、ディファレンシャルモード は100になります。それ以外の基準で見たい場合は、式（A1-14）を併用 する必要があります。 図A1-9はコモンモードフィルタ（CMF）の実測例です。このCMFは、 ｢100MHz付近のコモンモードを抑制するが、その帯域でのディファレン シャルモードは素通り｣であるということが読み取れます。 図A1-9 CMFのミックストモードSパラメータ |Sdd21| |Scc21| |Scd21| |Sdc21| 参考文献 [1] 太田勲，｢電磁波回路のSパラメータによる表現とその基本特性｣， MWE（Microwave Workshops & Exhibition）'97 Digest，pp.427-436， 1997 [2] 荒木純道，｢Sパラメータに基づく電磁波回路の解析と設計｣， MWE（Microwave Workshops & Exhibition）'97 Digest，pp.437-445， 1997 [3] 高橋秀俊,藤村靖，｢高橋秀俊の物理学講義 -物理学汎論-｣，丸善，1990 [4] K.Kurokawa, "Power waves and the scattering matrix", IEEE Trans. MTT, vol. MTT-13, pp.194-202, 1965 March [5] 藤城義和，｢Sパラメータによる電子部品の評価｣, http://www.tdk.co.jp/tvcl/spara/an-sp06a001_ja.pdf [6] Agilent Technology社，｢ADS｣マニュアル. TouchstoneはEEsof社（現Agilent Technology社）の線形回路シミュレー タの名称です。 [7] David E.Bockelman, William R.Eisenstadt, "Combined Differential and Common-Mode Scattering Parameters: Theory and Simulation", IEEE Tarns. MTT, vol.43, No.7, pp.1530-1539, 1995 July 65 コモンモードとディファレンシャルモード 平行に走っている2本の導体（とGND導体）を想定します。その導体の 電圧、電流をそれぞれ、V1、I1、V2、I2とすると、コモンモード電圧Vc、電 流 Ic、そしてディファレンシャルモード電圧Vd、電流Idは次のように定義 されます（IEC用語規格IEC60050-161:1990，JIS C0161:1997）。 ・Vc: 各導体の電圧の平均 Vc =（V1 ＋V2）/2 ・Ic: 各導体の電流の和 Ic = I1 ＋I2 ・Vd: 2導体間の電圧 Vd = V1 −V2 ・Id: 各導体の電流の差の半分 66 Id =（I1 −I2）/2 コモンモードが和信号、ディファレンシャルモードが差信号を表わして いることがわかります。ディファレンシャルモード電流は2導体を逆向 き（逆相）に流れる電流成分ですので、GNDは直接関与していません（そ のためノーマルモードと言うこともあります） 。一方、コモンモード電 流は2導体を同じ向き（同相）に流れる電流成分です。従って、行った電 流はGND導体（またはどこか別のところ）を通って帰ってきます（その ため地回線と言ったりもします） 。コモンモードのことをasymmetrical （反対称あるいは 「縦 （例えば縦電流） 、 longitude」、ディファレンシャルモー ドのことをsymmetrical（対称）あるいは「横」と称することもあります。