コーシーの積分公式（第 2 定理）とグルサの定理

コーシーの積分公式（第 2 定理）とグルサの定理
定理 1 C を正の向きの閉曲線とする．C の周とその内部ほ含む領域を D とする．α を C 内の 1 点とする．
f (x) を D で正則な関数とすると，
f (α) =
1
2πi
∫
C
f (x)
dz
z−α
である．
［証明］F (x) =
f (z)
とすると，
z−α
Res(F (z), α) = lim(z − α)F (z) = f (α)
∫
∫
1
1
f (x)
∴ f (α) =
F (z)dz =
dz
2πi C
2πi C z − α
［証明おわり］
定理 2 f (z) を領域 D で正則な関数とすると
1
f (α) =
2πi
0
∫
C
f (z)
dz
(z − α)2
である．
［証明］
f (α + h) − f (α)
h→0
h
)
∫ (
1
f (z)
f (z)
= lim
−
dz
h→0 2πih C
z−α−h z−α
∫
hf (z)
1
dz
= lim
h→0 2πih C (z − α − h)(z − α)
∫
1
f (z)
=
lim
dz
2πi C h→0 (z − α − h)(z − α)
∫
1
f (z)
=
dz
2πi C (z − α)2
f 0 (α) = lim
［証明おわり］
定理 3 グルサ (Goursat) の定理
f (z) を領域 D で正則な関数とすると
∫
n!
f (z)
f (n) (α) =
dz
2πi C (z − α)n+1
である．
1/2
［証明］数学的帰納法による．n = 1 の場合は前定理による．
f (n) (α + h) − f (n) (α)
h→0
h
)
∫ (
n!
f (z)
f (z)
= lim
−
dz
h→0 2πih C
(z − α − h)n+1
(z − α)n+1
{
}
(n + 1)n 2
∫
(n + 1)h(z − α)n −
h (z − α)n−1 + · · · f (z)
n!
2
= lim
dz
h→0 2πih C
(z − α − h)n+1 (z − α)n+1
∫
(z − α)n f (z)
(n + 1)!
=
dz
n+1 (z − α)n+1
2πi
C (z − α)
∫
(n + 1)!
f (z)
=
dz
2πi
(z
−
α)n+2
C
f (n+1) (α) = lim
［証明おわり］
参考文献
[1] 寺田文行『複素関数の基礎』（サイエンス社，1998 年）
[2] 藤原毅夫「東京大学藤原研究室講義ノート」<http://fujimac.t.u-tokyo.ac.jp/lecture.html>
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