公式LIM

応用解析 第11回 ベキ級数
１．ベキ級数
△ 複素数列の収束： lim α n = α ⇔ lim α n − α = 0 ．//
n→∞
△ 複素級数の収束：
n→∞
∞
∑ α k = σ ⇔ lim
n→∞
k=0
∞
n
∑ α k = σ ⇔ lim σ − ∑ α k ．//
n→∞
k=0
k=0
定点 α ∈! を中心とするベキ級数は，以下のような関数(無限次多項式)である．
f (z) =
∞
∑ ck (z − α )k = c0 + c1(z − α ) + c2 (z − α )2 +! ．
(1)
k=0
ベキ級数が収束する z の範囲は円板である．(数学では円盤の字を充てない．)
［定理1］ α を中心とする円 C : z − α = R が存在し，その内部で(1)は収束，外部で発散する．//
△定理1の円 C を収束円，その半径 R を収束半径と言う．//
図1 収束円
・注意1： C 上では点毎に(1)の収束発散が決まる．//
・約束1： z = α 以外の全ての z ∈! で(1)が発散するとき R = 0 とする．//
収束半径R
・約束2：全ての z ∈! で(1)が収束するとき R = ∞ とする．//
収束円C
［定理2］収束円内で， f (z) は正則．その導関数 f ′(z) と原始関数 F(z) は
∞
f ′(z) = ∑ kck (z − α )k−1 , F(z) =
k=1
∞
内：収束
c
∑ k +k 1 (z − α )k+1
外：発散
k=0
である．これらは，(1)の級数を項別微分，項別積分したものと等しい．微積簡単！//
２．収束半径の計算
［定理3］(収束半径の計算公式) 右辺の極限が存在すれば，
(1)
1
c
= lim k+1
R k→∞ ck
(ダランベールの公式），
(2)
1
1/k
= lim ck
R k→∞
(コーシー・アダマールの公式)．//
［例1］ダランベールの公式により，次のベキ級数の収束半径 R を求める．
(1)
∞
1
∞
∞
k=0
k=0
1
∞
∑ (k + 1)2 (z − 1)k ， (2) ∑ a k z k ， (3) ∑ k!(z + 1)k ， (4) ∑ k!(z − α )k ．
k=0
(1)
1
1 / (k + 2)2
(k + 1)2
1
= lim
=
lim
= 1. ∴ R = = 1.
2
2
k→∞ (k + 2)
R k→∞ 1 / (k + 1)
1
(2)
a
1
1
= lim
= lim a = a . ∴ R = .
k→∞
R k→∞ a k
a
(3)
1
1 / (k + 1)!
k!
1
1
= lim
= lim
= lim
= 0. ∴ R = = ∞.
k→∞ (k + 1)! k→∞ k + 1
R k→∞ 1 / k!
0
(4)
1
(k + 1)!
1
= lim
= lim (k + 1) = ∞. ∴ R = = 0. //
k→∞
R k→∞ k!
∞
k=0
k+1
授業資料 http://www.seto.nanzan-u.ac.jp/ sugiurah/ 質問メールなど [email protected]
k2
∞
⎛ 1⎞
［例2］ベキ級数 f (z) = ∑ ⎜ 1+ ⎟ z k の収束半径 R は，コーシー・アダマールの公式により
⎝
k⎠
k=0
1/k
⎡⎛ 1 ⎞ k 2 ⎤
1
= lim ⎢⎜ 1+ ⎟ ⎥
R k→∞ ⎢⎝
k⎠ ⎥
⎣
⎦
k
1
⎛ 1⎞
= lim ⎜ 1+ ⎟ = e となり， R = ．//
⎝
⎠
k→∞
e
k
３．ベキ級数の例
◎ 指数関数由来のベキ級数 中心 α = 0 ，収束半径 R = ∞ 項別微分
ez =
∞
∞
∞
項別微分
1
1
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→ ∑ z k = ez ,
⎯
∑ k!z k ←
項別積分(積分定数1)
k!
k=0
k
k=0
∞
項別微分
(−1)
(−1)k
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→∑
z 2k = cos z,
⎯
∑ (2k + 1)!z 2k+1 ←
項別積分(積分定数0)
(2k)!
sin z =
k=0
∞
sinh z =
k=0
∞
項別微分
1
1
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→∑
z 2k = cosh z.
⎯
∑ (2k + 1)!z 2k+1 ←
項別積分(積分定数0)
(2k)!
k=0
k=0
◎ 等比級数由来のベキ級数 α = 1 ，収束半径 R = 1
微分
項別微分
f (z)
f ′(z)
f ′′(z)
!
f (l) (z)
1
1− z
1
(1− z)2
2
(1− z)3
!
(l − 1)!
(1− z)l+1
∞
∑ zk
k=0
∞
∑ (k + 1)z k
k=0
∞
∞
∑ (k + 1)(k + 2)z k !
∑ (k + 1)(k + 2)!(k + l)z k
k=0
k=0
∞
∞
k−1
項別微分
1
1
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→ ∑ (−1) z k = log(1+ z).
=
= ∑ (−1)k z k ←
⎯
項別積分(積分定数0)
1+ z 1− (−z) k=0
k
k=1
［例3］
∞
∑ k 2r k =
k=0
［例4］ f (z) =
∞
2
3
1
r(1+ r)
∑ ((k + 1)(k + 2) − 3(k + 1) + 1)r k = (1− r)3 − (1− r)2 + 1− r = (1− r)3 ．
k=0
1
を α (α ≠ β ) を中心とするベキ級数に展開する． δ = β − α とすると，
z−β
f (z) =
∞
1
1
−1
1
−1 ∞ ⎛ z − α ⎞
=
= ⋅
=
=
−δ −k−1 (z − α )k ．//
∑
∑
⎜
⎟
z − β (z − α ) − δ δ 1− z − α δ k=0 ⎝ δ ⎠
!
$
k=0 #"#
ck
δ
k
(
)
ダランベールの公式より，収束半径 R = δ = β − α ．//
第11回練習問題
∞
k! k
z の収束半径 R を求めよ．
k
k=1 k
１． ∑
２． f (z) =
1
の α = i を中心としたベキ級数に展開し，その収束半径 R を求めよ．
z −1
授業資料 http://www.seto.nanzan-u.ac.jp/ sugiurah/ 質問メールなど [email protected]
第11回練習問題
∞
k! k
z の収束半径 R を求めよ．
k
k=1 k
１． ∑
２． f (z) =
1
の α = i を中心としたベキ級数に展開し，その収束半径 R を求めよ．
z −1
解答
１． ck = k!/ k k をダランベールの公式に代入して，
1
c
(k + 1)!/ (k + 1)k+1
(k + 1)!
kk
kk
1
1
= lim k+1 = lim
=
lim
⋅
=
lim
= lim
= ．
k
k+1
k
k
k→∞
k→∞
k→∞ (k + 1)
k→∞ ⎛
R k→∞ ck
k! (k + 1)
e
k!/ k
1⎞
⎜⎝ 1+ ⎟⎠
k
ゆえに， R =
２． f (z) =
1
= e ．//
1/ e
1
1
1
1
1 ∞ ⎛ i − z⎞
=
=
⋅
=
∑⎜ ⎟
z − 1 (i − 1) − (i − z) i − 1 1− i − z i − 1 k=0 ⎝ i − 1 ⎠
i −1
∞
⎛ 1 ⎞
= ∑⎜
⎝ i − 1 ⎟⎠
k=0
⎛ 1 ⎞
ck = (−1)k ⎜
⎝ i − 1 ⎟⎠
k+1
k+1
∞
1 ⎞
(i − z) = ∑ (−1) ⎜
⎟
⎝
i − 1⎠
k=0
k
1
c
= lim k+1
R k→∞ ck
1
1/ 2
k⎛
k+1
(z − i)k .
をダランベールの公式に代入して，
k+1 ⎛
ゆえに， R =
k
k+2
1 ⎞
(−1) ⎜
⎝ i − 1 ⎟⎠
1
1
= lim
= lim
=
.
k+1
k→∞
k→∞ i − 1
2
k⎛ 1 ⎞
(−1) ⎜
⎝ i − 1 ⎟⎠
= 2 ．//
授業資料 http://www.seto.nanzan-u.ac.jp/ sugiurah/ 質問メールなど [email protected]