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講義資料No.7
確率論補助資料 No. 7 担当:松田晴英 3 確率変数と確率分布 3.4 確率分布モデル ここでは,具体的な現象に適用できる代表的な確率分布を紹介します。前半では離散分 布を,後半では連続型分布を扱います。 3.4.1 離散分布 (2 項分布) 演習 No. 7 において,正答数を X (問)とするとき,次が得られます。 P (X P (X P (X P (X µ ¶5 µ ¶4 µ ¶ 2 2 32 1 10 = 0) = = ; 0.132 P (X = 4) = 5 C4 = ; 0.041 3 243 3 3 243 µ ¶5 µ ¶ µ ¶4 2 1 1 80 1 = 1) = 5 C1 = ; 0.329 P (X = 5) = = ; 0.004 3 3 243 3 243 µ ¶2 µ ¶3 1 2 80 = 2) = 5 C2 = ; 0.329 P (X = x) = 0 (x 6= 0, 1, 2, 3, 4, 5) 3 3 243 µ ¶3 µ ¶2 2 1 40 = 3) = 5 C3 = ; 0.165 3 3 243 5 X また, P (X = x) = 1 が成り立ちます。 x=0 ある実験をしたとき,その結果が 2 通りしかない場合,あるいは 2 通りの結果にしか着 目しない場合があります。例えば,硬貨投げの実験では表か裏の 2 通り,ある製品の品質 検査では不良品であるかないかの 2 通りなどです。このように,2 通りの結果のみに着目 した確率分布のひとつに 2 項分布があります。 ¶ ³ n を整数とし,0 5 p 5 1 とする。離散型確率変数 X が次の確率関数をもつとき,X はパラメータ n,p の 2 項分布 (binomial distribution) に従うという。 ( P (X = x) = n Cx px (1 − p)n−x x = 0, 1, 2, . . . , n 0 その他の場合 µ ´ 2 項分布を記号で Bin(n, p) と表すことがあります。 ¶ ³ 確率変数 X がパラメータ n,p の 2 項分布に従うとき, E(X) = np, Var(X) = np(1 − p) µ ´ 1 証明 離散型確率変数に対する平均の定義によって, E(X) = n X x n! px (1 − p)n−x x!(n − x)! x n! px (1 − p)n−x x!(n − x)! x=0 = n X x=1 = np = np n X x=1 n X x=1 (x = 0 のときは 0) (n − 1)! px−1 (1 − p)n−x (x − 1)!(n − x)! (n − 1)! px−1 (1 − p)(n−1)−(x−1) (x − 1)!(n − x)! (x を約分し,np をくくり出す) (n − x = (n − 1) − (x − 1)) = np{p + (1 − p)}n−1 = np (2 項定理) また,V (X) を導くために,E(X(X − 1)) を求めると,以下のとおりである。 E(X(X − 1)) = = n X x=0 n X x(x − 1) n! px (1 − p)n−x x!(n − x)! x(x − 1) n! px (1 − p)n−x x!(n − x)! x=2 2 = n(n − 1)p = n(n − 1)p2 n X x=2 n X x=2 (n − 2)! px−2 (1 − p)n−x (x − 2)!(n − x)! (n − 2)! px−2 (1 − p)(n−2)−(x−2) (x − 1)!(n − x)! 2 = n(n − 1)p {p + (1 − p)}n−2 = n(n − 1)p2 ここで,E(X(X − 1)) = E(X 2 ) − E(X) だから, E(X 2 ) = E(X(X − 1)) + E(X) = n(n − 1)p2 + np = np{(n − 1)p + 1} を得る。したがって, V (X) = E(X 2 ) − {E(X)}2 = np{(n − 1)p + 1} − (np)2 = np(1 − p) ¶ ³ 2 項定理 n (a + b) = n X n Ck a n−k k b = an + n C1 an−1 b + n C2 an−2 b2 + · · · + n Cn−1 abn−1 + bn k=0 µ ´ 復習問題 ゆがみのないサイコロを 5 回投げたとき,1 の目が 3 回出る確率を求めよ。 125 復習問題の答: 3888 2