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V - 熊本大学
能動フィルタの構成原理の諸展開
熊本大学大学院自然科学研究科
情報電気電子工学専攻
井上 高宏
2011/1/25
1
目次
はじめに
能動ＲＣフィルタ
スイッチトキャパシタ
フィルタ
スイッチトカレントフィル
タ
MOSFET-Cフィルタ
2011/1/25
OTA-C(Gm-C)フィルタ
カレントコンベア能動
RCフィルタ
トランスリニアフィルタ
ウェーブアクティブフィ
ルタ
複素係数能動フィルタ
むすび
2
１．はじめに
１．１ フィルタ構成原理の歴史的展開
●フィルタの概念の誕生は古く、その源泉は1887年のO. Heavisideに
よる装荷ケーブルの提案、1899年のM. I. PupinによるPupinコイルの
特許、1917年のG. A. Campbellによるフィルタの発明まで遡れる。
●能動フィルタに至る経緯とその後の発展は、おおよそ下図の流れに
沿っている。
RLCフィルタ
L
C
１９６０年代
Lの除去
１９８０年代
CMOSフィルタ
能動RCフィルタ
Rの除去
R
小型化
2011/1/25
完全集積化
3
２．能動ＲＣフィルタ
２．１ 伝達関数の直接形構成法
●高次の伝達関数を帰還増幅回路構成で実現すると、一般に素子
感度が高い。
Analog Amplifier
Adder
v1
vi
K (s )
H1 ( s) ＋
N (s)
H1 (s) 1
Hv2
D(s)
H (s)
2
RC Network
v2
H2 (s)
N2 (s)
D(s)
図２．１‐１ 帰還増幅回路の回路構成を用いた能動ＲＣフィルタ
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4
２．１‐１縦続形構成法
●実係数多項式が実係数の１次および２次の多項式に因数分解で
きることを利用して、１次および２次のフィルタ区間を縦続接続して高
次の伝達関数を実現する。
●素子感度も比較的低く、回路の最適化や調整が容易である。
bn s n bn 1s n 1 b1s b0
(b11s b01 ) (b2 k s 2 b1k s b0 k )
H (s)
n
n 1
an s an 1s a1s a0 (a11s a01 ) (a2 k s 2 a1k s a0 k )
b11s b01
a11s a01
b22 s 2 b12 s b02
a22 s 2 a12 s a02
b2 k s 2 b1k s b0 k
a2 k s 2 a1k s a0 k
n 2k 1
図２．１‐２ 能動ＲＣフィルタの縦続形構成
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5
バイカッドの構成法
●双２次伝達関数を実現するフィルタ（バイカッド）は、単一の増幅器
に対して、ＲＣ回路で単帰還ループあるいは多重帰還ループを施し
て実現できる。
●バイカッドは、後述の状態変数形フィルタ、あるいは負性インピー
ダンス変換器（ＮＩＣ）を用いたフィルタ、ＯＴＡ‐Ｃフィルタ、カレントコン
ベアフィルタ等の手法でも実現できる。
C1
R1
C2
－
＋
V1
Ra
Rb
ＬＰＦ：増幅器の＋－を
入れ替え、Ｃ2をＲ2に、
Ｒ2を片接地のＣ2にそ
れぞれ入れ替えて実現
できる。
R2
ＨＰＦ：ＬＰＦのCとＲを入
れ替えて実現できる。
V2
図２．１‐３ 帯域通過形単一増幅器バイカッド（ＳＡＢ）
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6
２．１‐２ 状態変数形フィルタ構成法
●実係数有理伝達関数 H (s ) は一般に下式のように表せる。
( a 0 s n a 1 s n 1 a n ) x
V2
H (s)
V1
( b 0 s n b1 s n 1 b n ) x
●上式は以下のような２式に分解して表せる。
bn x V1 b0 ( x s n ) bn 1 ( x s )
V 2 a 0 ( x s n ) a 1 ( x s n 1 ) a n x
●上式は下記の回路で実現できる。この状態変数形フィルタは、縦続
形構成法に比べ、加算回路を必要とするため所要の演算増幅器の数
は増えるが、素子感度が低いことがその特長である。
an
1
n
b
v1
x
an 1
dt
＋
1
bn 1bn
dt
bn 2bn1
dt
b0bn1
図２．１‐５ 状態変数形フィルタ
2011/1/25
＋
v2
a0
By W.J. Kerwin,L.P. Huelsman,and
R.W. Newcomb(1967)
7
２．２ 両側抵抗終端ＬＣフィルタシミュレーション
RS
~ V1
Pi
LC Filter
V2
RL
V1
2
2 RS
, Po
V1
2
V2
2
RL
V2
2
1
Pi Po
2
4RS RL
図２．２‐１ 両側抵抗終端ＬＣフィルタ
●反射零点において
V2 1
H
V1 2
2
V2
R
L
V1
4RS
RL
RS
よって、反射零点において素子感度は
S
H
RL
1 H
1
, S RS ;
2
2
S
H
x
0, ( x L, C )
両側抵抗終端ＬＣフィルタの低素子感度性
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8
２．２．１‐１ Ｌシミュレーション法（方法１）
●ＬＣフィルタのＬをすべてジャイレータでシミュレートしたＬで置き換える。
●ジャイレータは、トランジスタあるいはトランスコンダクタンス増幅器（Ｏ
ＴＡ）、またはカレントコンベア等の能動素子で実現できる。
0
ジャイレータのコンダクタンス行列： G
g
C
Z in j 2
g
L
Gyrator
（
g
0
g : 非零の実数）
Z in
C
By B. D. H. Tellegen (1948)
図２．２‐２ ジャイレータによるＬシミュレーション
2011/1/25
9
２．２．１‐２ Ｌシミュレーション法（方法２）
●ＬＣフィルタのＬをすべて一般化イミタンス変換器（ＧＩＣ）でシミュレート
したＬで置き換える。
●ＧＩＣは、演算増幅器（ＯＰＡ）を用いて実現できる。
I1
V1
+
Z1
-
Z4
Z3
Z2
-
+
I2
V2
ZL
図２．２‐３ AntoniouのＧＩＣ
By A. Antoniou(１９６７）
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10
●ＧＩＣは以下の縦続行列をもつ。
1
V1
I 0
1
0 V
Z 2 Z 4 2
I
Z1 Z 3 2
●ＧＩＣで、 Z1 R1 , Z R2 , Z3 R3 , Z 4 1 jC とおけば、その
1次側から入力インピーダンス Zin は
Z in
LC
L
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RR
V1
j C 1 3 RL
I1
R2
R1 R3
RL
R2
I1
V1
+
R1
-
R3
R2
C
-
+
I2
V2
RL
11
●一般に、はしご形抵抗回路網の各非接地節点ごとに同一特性の
ＧＩＣを接続すると、各ＧＩＣの１次側端子からみて、はしご形インダク
タンス回路網が実現される。この性質を利用すれば、Ｌのみからなる
部分回路を個別のＬシミュレーション法よりも少ない個数のＧＩＣでシ
ミュレートできる。
G12
G11
GIC
Vin1
V in 2
GIC
Gn1,n
G22
Gn 1,n 1
Gnn
GIC
V inn
By Gorski-Popiel(1967年)
図２．２‐４ ＧＩＣを用いたＬ回路網の実現
2011/1/25
12
２．２．２ ＬＣラダーシミュレーション法
●原ＬＣフィルタを手本にして回路全体を一体としてシミュレートする
手法である。
RS
２．２．２‐１ 周波数
スケーリング
sL 1
sL 3
sL 2
~
RL
1 sC2
L. T. Bruton(1969年)
1 s scaling
RS s
~
L1
L2
1 s 2C2
L3
RL s
FDNR
図２．２‐５ Brutonによる周波数スケーリング
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L
I1
I2
V1
V2
C
I1
1
(V1 V2 ) jC (V1 V2 ) 0
jL
1
I2
(V2 V1 ) jC (V2 V1 ) 0
jL
－１
２．２．２‐２ シグナル
フローグラフ（ＳＦＧ）法
By F.E.I. Girling and E.F.
Good(1970):Leapfrog Filter
C
－＋
I1
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＋－
C
C
C
V1
R
R
R
R
図２．２‐６ ＳＦＧ法による
浮遊ＬＣ並列枝のシミュ
レーション
I2
C
L CR 2
－＋
V2
14
３．スイッチトキャパシタフィルタ
By J.T.Caves, M.A.Copeland, C.F.
Rahim, and S.D.Rosenbaum(1977)
B.J.Hosticka, R.W.Brodersen, and
３．１ スイッチトキャパシタ抵抗 By
P.R.Gray(1977)
●キャパシタＣが標本保持している電圧情報をスイッチで短絡消去
すれば、Ｃがメモリレスとなり等価的に抵抗を実現できる。
I (1) Q (1) f c Cf c (V1(1) V2(1) )
1 fc
I
V1
1
R
2 1 2
C
V1
V2
V1 ,V2 :Voltage sources
t
1
Q
1
R
f cC
1
2
V2
2
1
：Switch which is ON only during 1
2
：Switch which is ON only during 2
図３．１‐１ ＳＣ回路による等価抵抗の実現
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電圧反転形スイッチトキャパシタ抵抗
●キャパシタＣの右側のスイッチ対のクロックを入れ替えれば、入力
に１：－１の理想変成器をもつＳＣ等価抵抗を実現できる。このように
ＳＣ抵抗回路では電圧の反転に能動電圧反転回路は不要である。
I ( 2 ) Q ( 2 ) f c Cf c ( V1(1) V2( 2 ) )
1 fc
１：－１
V1
1 2 1 2
R I
C
V1
V2
t
1
Q
R
2
2
1
f cC
V2
1
1
：Switch which is ON only during 1
2
：Switch which is ON only during 2
図３．１‐１ 入力に１：－１の理想変成器をもった抵抗の実現
2011/1/25
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能動ＲＣフィルタからＳＣフィルタへの変換
●能動ＲＣフィルタの各実現法において、その抵抗素子をＳＣ抵抗で置
換すればＳＣフィルタが得られる。
●特に、状態変数形フィルタやＳＦＧ法による能動ＲＣフィルタの抵抗を
ＳＣ抵抗で置換すれば、Ｃの寄生キャパシタンスに不感なＳＣフィルタが
得られる。
●ＳＣフィルタでＬＣラダーシミュレーションを精密に行うには、Ｓｃａｎｌａｎ
やＳｅｄｒａにより独立に提案された精密設計法が有効である。
S. O. Scanlan, “Analysis and Synthesis of Switched-Capacitor
State-Variable Filters,” IEEE Trans. Circuits Systs., vol.CAS-28,
no.2, Feb. 1981.
A. S. Sedra, Switched-Capacitor Filter Synthesis, in Y．Tsividis & P.
Antognetti Eds., Design of MOS VLSI Circuits for
Telecommunications, Prentice-Hall, 1985.
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３．２ ＳＣイミタンスシミュレーション（その１）
●ＧＩＣに類似の特性ともつイミタンス変換器もＳＣ回路で実現できる。
●下図に示すＳＣイミタンス変換器（ＳＣＩＣ）では、2次側をキャパシタ
Ｃで終端すると1次側からみてインダクタンスが得られる。
SCIC
CI
１
＋
L
CI
f c2C f C L
２
２
＋
Cf
１
－
By T. Inoue and F.
Ueno(1980)
１
２
CL
－
図３．２‐１ ＳＣイミタンス変換器（ＳＣＩＣ）
2011/1/25
18
●はしご形キャパシタンス回路網の各非接地節点ごとに同一特性の
ＳＣＩＣを接続すると、各ＳＣＩＣの１次側端子からみて、はしご形インダ
クタンス回路網が実現される。この性質を利用すれば、Ｌのみからな
る部分回路を個別のＬシミュレーション法よりも少ない個数のＳＣＩＣ
でシミュレートできる。
C12
C11
ＳＣＩＣ
Vin1
V in 2
ＳＣIC
Cn1,n
C22
Cn 1,n 1
Cnn
ＳＣＩＣ
V inn
By T. Inoue and F. Ueno(1980)
図２．２‐４ ＳＣＩＣを用いたＬ回路網の実現
2011/1/25
19
３．２ ＳＣイミタンスシミュレーション（その２）
●電圧反転スイッチ（ＶＩＳ）は、サンプルした端子間電圧を反転させ
て同じ端子間に出力する回路である。
２
１
vVIS
vVIS ,a vVIS ,b
－
＋
b: just before
a: just after
１
Tc
vVIS
２
１
２
tn
図３．２‐２ 電圧反転スイッチ（ＶＩＳ）
t n 1
t
Impulse currents
in a network
By A. Fettweis(1979)
2011/1/25
20
●ＶＩＳフィルタでは、原ＬＣフィルタの独立ループに対応するループに
必ず１個のＶＩＳを含むことが必要である。
● J と U に関する回路方程式には、ＶＩＳは陽には現われない。
v2
q(n) Q exp( st n )
vn
v3
vb (n) Vb exp( st n )
Tc
v1
tn
t n 1
Impulse currents
n
v
i 1
ib
n
v
i 1
ia
va (n) Va exp( st n )
b: just before
a: just after
vVIS
VIS
J
Q
V V
, U b a
Tc
2
図３．２‐３ ＶＩＳを含んだ独立ループ
vVIS ,b
m
q (n) 0 Q
k 1
vVIS ,a
m
k
k 1
k
m
0 J k 0 ：KCL
k 1
n
U i 0 ：KVL
i 1
vVIS ,a vVIS ,b
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21
1 z 1
sTc
,
z
e
1 z 1
双1次s-z変換に基づく
等価回路素子
q (n) C{v a (n) vb (n)}
C
vb (n) v a (n 1)
q(n) C{v a (n) vb (n)}
q(n) C{v a (n) vb (n)}
vb (n) vS
2
U
J
C
vb (n) va (n 1)
( z z 1 )
T
2C
2
1
J
1
T
2C
U
J
2
vS
＋
－
C
VS ＋
－
T
2C
U
図３．２‐４ ＶＩＳフィルタにおける等価回路素子
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22
４．スイッチトカレントフィルタ
●電流信号を電圧に変換してキャパシタでその情報を保持して遅延
させ、再びその電圧を電流に変換すれば、等価的に電流遅延回路
が実現できる。
●下図の半周期遅延回路は、トランジスタを時分割多重使用して1
個のトランジスタで実現できる。このとき、この回路はカレントコピアと
呼ばれる。
VDD
IB
By J.B.Hughes, N.C.Bird, and
I.C.Macbeth(1989)
IB
iin
iin
2
iout
z
1
2
iout
図４‐１ スイッチトカレント逆相半周期遅延セル
注： i in はクロック１でサンプルされ全周期保持された信号と仮定
2011/1/25
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スイッチトカレント（ＳＩ）積分回路
●２個のカレントコピアを縦続接続して正相全周期遅延回路を構成
し、その出力を帰還して入力に加算すれば、ＳＩ積分器が得られる。
●ＳＩ積分器と電流インバータ（電流ミラー）をビルディングブロックと
し、電流信号の加算を結線和（wired sum）で実現すれば、状態変数
フィルタやＳＦＧ法によるフィルタなどの各種のフィルタを電流モード
回路で実現できる。
V DD
１ ： １
１ ： １
1
iin
1
2
１ ：１
H (z)
Vb
2
2
iout 1
iout 2
i in
1
2
z
1 z 1
z
1 2
i out
z 1 2
図４‐２ １入力２出力スイッチトカレント正相積分器
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５．MOSFET-Cフィルタ
●MOSFETの非飽和領域の I D 対 VDS 特性は２次以上の非線形項
をもつが、その主要非線形項は２次の非線形項である。
●完全平衡形あるいは完全差動形の回路構成を用い、MOSFETの
非飽和領域の I D 対 VDS 特性の偶数次の非線形ひずみを打ち消せば、
MOSFET対を等価的に線形抵抗として利用できる。
VC 1
V1
I1 I 2 K (VC1 VC 2 )(V1 V2 )
I1
VC 2
VC 2
By Z. Czarnul(1986)
VC 1
By B. –S. Song(1986)
－
＋
V2
I2
図５‐１ MOSFET-Cフィルタの基本回路ブロック
2011/1/25
25
By C.F. Wheatley and H.A.
Wittlinge(1969):RCA CA3080
６．OTA-C(Gm-C)フィルタ
●トランスコンダクタンス増幅器（ＯＴＡ）は電圧制御電流源の特性を
もった能動素子で、トランスコンダクタとも呼ばれる。
●ＯＰＡと違って位相補償のためのＲＣ帰還回路を必要としないため、
ＯＰＡよりも高周波まで使用できる。
●下図のように積分器や等価抵抗を容易に実現でき、また信号の
加算は電流信号の結線和で実現できるため、ＯＴＡとＣのみを用いて
各種の能動フィルタを実現できる。
－
vid
Gm
＋
v0
Gm
vid
sC
i
io
－
v0 v i
Gm
＋
i Gm vi
図６‐１ ＯＴＡによる積分器と抵抗の実現
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７．カレントコンベア能動ＲＣフィルタ
By A. Sedra and K. C. Smith(1970)
●第２世代カレントコンベア（ＣＣⅡ）は、 x, y, z という３つの端子を
もった３端子能動素子で、ＣＣⅡ－ではx, y, zが理想トランジスタのエ
ミッタ、ベース、コレクタに相当する。ＣＣⅡ＋はＣＣⅡ－でコレクタ電流
に対応する電流のみその向きを逆にした特性をもつ。
●ＣＣⅡ－を用いれば、トランジスタ回路で実現可能な能動ＲＣフィル
タをすべて実現可能である。
R4
Vo
Positive Current Conveyor
X
CCⅡ+
Z
Y
C1
●ＣＣⅡで構成される能動フィルタは、
一般に素子感度が低い。
R3
K 1
C2
K
C2
K
Vo 1
sC2 R4
Vi K s 2C1C2 R3 R4 sR4 (C1 C2 ) 1
Vi
(by C. P. Chong and K. C. Smith, 1986)
●電流伝達関数も実現可能
図７‐１ ＣＣⅡ＋を用いた帯域通過形バイカッド
2011/1/25
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８．トランスリニアフィルタ
●トランスリニア原理とは、「2n個のバイポーラトランジスタのベー
ス・エミッタ間電圧のみからなるループにおいて、各トランジスタが同
一温度でかつ同一飽和電流密度をもつとき、n個の時計周りの向き
のエミッタ電流の積はn個の反時計周りの向きのエミッタ電流の積に
比例する」ことをいう。このときの比例係数は、エミッタ面積の積の比
で与えられる。 By B. Gilbert(1975)
VEB1 VBE 2 VBE 3 VEB 4 0
Ｑ２
Ｑ１
Ｑ３
Ｑ４
I E1 I E2 I E 3 I E 4
図８‐１ ４個のトランジスタによるトランスリニアループ
2011/1/25
28
●電圧源 V とバイポーラトランジスタのベース・エミッタ間電圧のみ
からなるループにおいて、電圧 V はエミッタ電流の積の比の対数関
数で表せる。
V VEB1 VBE 2 VBE 3 VEB 4 0
Ｑ２
Ｑ１
V ＋
－
Ｑ３
Ｑ４
I E3I E4
V VT ln(
)
I E1 I E2
VT : Thermal potential
図８‐２ 電圧源 V とベース・エミッタ間電圧のみからなるループ
2011/1/25
29
●原ＬＣフィルタのＳＦＧにおける各規格化電圧に対する線形演算を
電流モードで実現し、各演算での端子電圧は端子電流の対数関数
の形で圧縮して与える方式のフィルタがＬｏｇドメインフィルタである。
●このように、Ｌｏｇドメインフィルタでは、各端子電圧は各端子電流
の対数関数で与えられるため、電圧信号が圧縮されており、低電源
電圧での回路構成に適している。
By R. W. Adams(1979)
①
VDD
②
I0
VˆiP
I out1Vˆo I out 2
VˆiN
C
図８‐３ Ｌｏｇドメイン２入力差動積分器
I0
By V.W.Leung and G.W.Roberts(2000)
2011/1/25
30
①
VDD
②
I0
I out1Vˆo I out 2
VˆiP
VˆiN
C
I
I0
注）有損失積分器は
VˆiN Vˆo
と結線すれば実
現でき、これは
②の電流源をC
に並列接続する
こと同じである。
破線の接続時
トランスリニア
原理から I I 0
VˆiP
Exp
＋
VˆiN
Exp
I
Exp(Vˆo ) 0
2VT C
1
k dt
Log
I0
2VT C
{Exp(VˆiP ) Exp(VˆiN )}dt
k
Vˆo
Exp( x) I 0 {exp( x 2VT ) 1}
（ VT : 熱電位）
図８‐４ Ｌｏｇドメイン２入力差動積分器とその等価表現
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31
トランスリニアフィルタの設計法
L0
IR
IL C
Vi ＋
0
－
Step 1
Vo
R
(a)Original LC filter
Vi
Step 2
k1
s
＋
1
k1
RIL
＋
1
R
RI L (Vi Vo )
sL
1
Vo
( RI L Vo )
sCR
k2
s
Vo
1
R
, k2
L0
C0 R
(b)Signal flow graph
図８‐５ 原２次ＬＣフィルタとそのＳＦＧ
（注）トランスリニアフィルタはダイナミックトランスリニア回路の一種である。
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32
k1
I0
I0
1
R
, k2
L0 2VT C1
C0 R 2VT C2
Vi
I in
Exp
Log
Step 3
Exp
I out
Exp
Log
＋
1
k 2 dt
Vo
Exp
k1 dt
Log
RI L
＋
Exp
1
図８‐６ 原２次ＬＣフィルタをシミュレートするＬｏｇドメインフィルタ
●同様のＬｏｇドメインフィルタは、バイポーラトランジスタの代わりに
弱反転領域動作のＭＯＳトランジスタを用いても実現可能である。
2011/1/25
33
９．ウェーブアクティブフィルタ（ＷＡＦ）
●ウェーブアクティブフィルタ（ＷＡＦ）は、回路網のポートの電圧 V 、
電流 I なる回路変数を、入射波 A 、反射波 B なる波動変数に変換
し、波動回路の概念のもとで能動フィルタを構成する手法である。
●この方法は、一種のスタブフィルタシミュレーションと考えてよく、低
素子感度のフィルタを実現できる。
Ai Vi Ri I i
r
Ai
－
＋
Bi
r
Ii
Bi
Ri
Ai
Ii
Bi Vi Ri I i
Ri
Vi
Vi
図９‐１ 回路変数を波動変数へ変換する回路
A. Fettweis’ ｄigital wave filter concept(1971)=>By H.Wupper and K.Meerkötter(1975)
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34
B1
B2
I1
A1
R 1 V1
I2
N
V2 R
2
A2
図９‐２ ＬＣ２ポート N のウェーブアクティブ（ＷＡ）４ポートへの変換
r
Z
V1
I2
V2
Z=sLならR/sLで
スケーリング
Z=1/sCならス
ケーリング不要
2011/1/25
－
＋
I1
B1
r
A1
2R
Port normalization
resistances:
r
－
＋
R1 R2 R
r
B2
Z
A2
（注）散乱行列は、
インピーダンス・
スケーリングに対
して不変である。
図９‐３ 浮遊インピーダンス Z からなる２ポート
に対応するＷＡ４ポート
35
波動変数のもとでのＬＣ並列枝の
等価実現法 Z 1
R1 R2 R のとき、 Z 4 R Y1 なる関係にあ
る Z と Y1 （すなわち逆回路）に関して、下式が
2
成り立つ。
B 1 , Z B 2 ,Y1
B 2 , Z B 1 ,Y1
1 sL sC
1 / Y1 1 ( sL / 4 R 2 ) s 4 R 2C
波動変数のもとでは、ＬＣ
並列枝は、その逆回路で
あるＬＣ直列枝の B ポート
を１次側と２次側で入れ替
えて実現できる。
ＷＡ４ポート間の接続規則
B1a
A1a
B2 a
Na
A2 a
B1b
A1b
B2b
Nb
A2b
図９‐４ ２つのＷＡ４ポートの接続規則
2011/1/25
36
１０．複素係数能動フィルタ
● s の実係数有理伝達関数 H ( s )において、その絶対値の２乗の周波数特
性は H ( j ) H ( j ) で与えられる。
●そのため、その周波数特性は に関して正負対称な特性をもつ。しかし、
有理伝達関数の係数が複素数である場合には、H (s ) は
H ( s ) H r ( s ) jH i ( s )
と表せる。ここで、 H r ( s ) と H i ( s ) はそれぞれ s の実係数有理関数であり、
それぞれ r 成分と i 成分を表す。このとき、伝達関数の入力 X ( s ) 、出力Y ( s )
についても、伝達関数と同様に、それぞれ r 成分とi 成分をもつと考えて
Y (s) H (s) X (s)
が成立する4ポートを考えることができる。
●このとき、回路変数である電圧V と電流I も，それぞれr 成分とi 成分をもつ
複素関数であると考え，これらに対しキルヒホッフの電圧則，電流則を要請す
る。
2011/1/25
37
●複素係数有理伝達関数の振幅応答は下式で与えられる。
H ( j ) H r ( j ) H i ( j )
2
2
2
2 I m H r ( j ) H i ( j )
に関し非対称
に関し対称
ここで I m [] は虚部を表す。
●複素係数をもつフィルタは、虚抵抗が存在すれば実現可能である。
RC 1 (s)
V1r
V2r
V1i
Complex
V2i
Filter
VS
V1
jR
C V2
90°Phase
Shifter
V1 V1r jV1i , V2 V2 r jV2i
1
図１０‐１ 伝達関数 1 js を実現する浮遊虚抵抗を
用いた複素係数フィルタとその測定法
2011/1/25
38
Im
H ( j )
H ( j )
s -plane
s j x
Re
1
1
1
0
1
1
図１０‐２ 伝達関数 1 js をもつ複素係数フィルタの
振幅応答
2011/1/25
39
●浮遊虚抵抗は下図の４ポートで実現できる。よって、4個のＯＴＡを用
いて実現することができる。
I1r R 1 (V1i V2i )
I 2 r R 1 (V2i V1i )
V1r I1r
I 2r
I1i
I 2i
V1i
I1i R 1 (V2 r V1r )
V2 r
V2i
I 2i R 1 (V1r V2 r )
図１０‐３ 浮遊虚抵抗 jR を実現する４ポート
2011/1/25
40
● s の実係数有理関数である通常の浮遊インピーダンス Z(s) は、そ
の r成分と i 成分とが干渉しない下図の４ポートとして実現できる。
●接地インピーダンスの場合は、下図で V2r V2i 0 とおけばよい。
I 1r
I2
I1
Z (s )
V1
I 2r
Z (s )
V2 r
V1r
V2
I 1i
I 2i
Z (s )
V1i
V2i
図１０‐４ 浮遊インピーダンス Z (s) を実現する４ポート
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複素係数フィルタの各４ポート素子間
の接続規則
V1r ,a
V2 r ,a
Nb
Na
V1i ,a
V2 r ,b
V1r ,b
V2i ,a
V1i ,b
V2i ,b
図１０‐５ ２つの４ポート素子の接続規則
●原ＬＣフィルタの伝達関数を周波数軸上でシフトすると、虚抵抗もっ
たＬＣＲ回路で構成される複素係数フィルタとなる。
●ＬＣＲ回路は能動ＲＣ回路でシミュレートでき、虚抵抗はＯＴＡで実現
できることから、以上の手法により複素係数フィルタは能動ＲＣ回路で
実現できる。
2011/1/25
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１１．むすび
●能動デバイスを用いたアナログフィルタである能動フィルタについ
て、その発展の歴史の中で誕生した様々な構成原理を、特にその基
本的アイデアに焦点を当てて紹介した。
●能動フィルタの構成原理は、個別素子を用いた実現からモノリシッ
ク集積化へというの流れに沿って、より小型化、より低電圧化、より
低消費電力化、より高周波化（また、より低周波化）の方向をめざし
て発達してきた。
●今後の能動フィルタの発達を担う若い回路技術者・研究者が、能
動フィルタの構成原理へさらなる斬新なアイデアを吹き込んでくれる
ことを心から期待したい。
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