⑦ 折り紙で三角形の外心・内心を探そう

⑦
折り紙で三角形の外心・内心を探そう
＜教材観＞
・コンパスと定規を用いる作図よりも、折り紙による作図のほうが優れている点は、各辺の垂
直二等分線や内角の二等分線（折り目）が簡単に引けるところである。また、折り紙を広げ
たときに、3 本の折り目が実際に１点で交わることを見ることによって、外心や内心が強く
印象に残るに違いない。
・「重心・外心・内心」の作図方法は、機械的に暗記させるのでなく、「重心・外心・内心」と
いう言葉の使い方から、その性質を考えさせ、それぞれの作図方法（中線、垂直二等分線、
角の二等分線を引く。）が必然的に思い出されるようになってほしい。
・余力のある生徒には、四角形や五角形、また四面体などの空間図形にも発展させて考えさせ
たい教材である。
＜指導観＞
・折り紙での作業を通して、図形の性質を考えさせることによって、学習への興味・関心を持
たせることを重視する。また、図形の性質を論理的に考察し、的確に表現する能力も身につ
けさせたい。
・外心や内心について、数冊の教科書を調べたところ、「はじめに外心や内心の作図方法を提示
し、その後で外心や内心の特徴を考える。」という展開がほとんどであった。これとは逆に、
本時では「こういう特徴を持っている点はどういう点だろう。」という課題から出発する展開
をし、生徒が考える場を設けることにした。
・
「定理の提示のあとに証明の解説」という講義調の授業ではなく、実験や作業を取り入れるこ
とにより、「重心・外心・内心」に関する理解を深め、それらの知識を定着させることが期待
できる。
＜学習指導案＞
指導対象学年 1 年
場所
教室
科目名・単元名 数学 A・平面図形
使用教材 教科書 折り紙 厚紙
三角形や円などの基本的な図形の性質についての理解を深め、図形の見方を
単元の目標
豊かにするとともに、図形の性質を論理的に考察し処理できるようにする。
学習目標
外心・内心の性質を理解し図示できるようにする。
・簡単な作業を通して、図形の性質を調べようとしている。
（関心・意欲・態度）
・「重心・外心・内心」という言葉の使い方から、その性質を考える。
評価規準
（数学的な見方や考え方）
・「重心・外心・内心」の意味が理解できる。
（知識・理解）
・「重心・外心・内心」が図示できる。
（表現・処理）
本 時 の 展 開
指導上の留意点
過
学習項目
学習活動
観点別評価
程
指導のねらい （□：指示・説明
○：発問・活動）
（⇒：評価方法）
導
前 時 の 復 習 を ○適する語・数値を入れて完成しよう。
・重心という言葉の使い方
入
する。
からその性質を考える。
「三角形の３つの
線は１点で交わ
り、その交点を
心という。
（数学的な見方や考え方）
・重 心 の 意 味 が 理 解 で き
心は
線を ： の比に
る。
（知識・理解）
内分する。」
⇒生徒の取組を観察する。
○＜実験＞厚紙から切り取った三角形を
数学的知識の
指で支えてみよう。
意味付け・活用 （重心を求めずに、まずは山勘で数回挑戦
の場面
させる。その後に、きちんと重心を求め
展
開
させ、重心では水平に保たれることを確
認させる。）
課 題 １ を 理 解 ＜課題１＞
・３つの頂点から等距離に
する。
三角形 ABC の３つの頂点から等距離
にある点を求めてみよう。
ある点の求め方をまとめ
る。
□外心、外接円について説明する。
垂 直 二 等 分 線 ○条件を緩くした、「２点 B，C から等距 ・必要な場合は、ヒントを
の性質を確認
与える。
離にある点はどこか。」について、考え
する。
てみよう。
数学的考察・処
理の場面
折り紙を使っ
て外心の性質
を調べる。
数学化の場面
外心の性質を
論理的に考察
する。
○それでは、3 点から等距離にある点はど
こか。
□「三角形の各辺の垂直二等分線の交点を
求めればよい」（☆）ことに気づかせ、
折り紙を利用して、（☆）を確認させる。
○折り紙で外心を探そう。
(1) 折り紙から三角形を切り取る。
(2) 各辺の両端を合わせて折り目をつけ
る。
(3) 3 本の折り目をつけてから、もとの三
角形へ広げる。
(4) できた３つの線の交点が求める点
(5) クラス全員が「３つの線は１点で交わ
った。」か挙手で確認。（鈍角三角形の
場合は、３つの線の延長上に交点がで
きる。）
○OA＝OB＝OC を確認してみよう。
(6) 外心と各３つの頂点を結んで線（半
径）を引き、その線を合わせると、ぴ
ったり重なる。
→外接円の半径が等しいことが折り紙
で確認できる。
□論理的な証明を説明する。「三角形の 3
辺の垂直二等分線は１点で交わる。」→
「外接円をかくことができる。」
＜課題２＞
三角形 ABC の３辺から等距離にある
課題２を理解
点を求めてみよう。
する。
・簡単な作業を通して、図
形の性質を調べようとし
ている。
（関心・意欲・態度）
⇒机間指導により生徒の取
組を観察する。
・外心という言葉の使い方
から、その性質を考える。
（数学的な見方や考え方）
・外 心 の 意 味 が 理 解 で き
る。（知識・理解）
・外心が図示できる。
（表現・処理）
⇒机間指導により生徒の取
組を観察する。
・外 心 に つ い て は 説 明 す
る。次の内心については
生徒に論理的に証明させ
る。
・必要な場合は、ヒントを
□内心、内接円について説明する。
与える。
角 の 二 等 分 線 ○条件を緩くした、「2 辺 BA，BC から等 ・生徒から考えを引き出し
距離にある点はどこにあるか。」につい
の性質を確認
ながら、求め方をまとめ
て、まず考えてみよう。
する。
る。
○それでは、３辺から等距離にある点はど
こか。
□「三角形の３つの内角の二等分線の交点
を求めればよい。」（★）ことに気づか
せ、折り紙を利用して（★）を確認させ ・簡単な作業を通して、図
る。
形の性質を調べようとし
○折り紙で内心を探そう。
ている。
数学的考察・処
(1) 折り紙から三角形を切り取る。
（関心・意欲・態度）
理の場面
(2) 各頂点を先頭に隣り合う辺と辺を合
わせて折り目をつける。
(3) 3 本の折り目をつけてから、もとの三
角形へ広げる。
(4) できた３つの線の交点が求める点（内
心）。
(5) クラス全員が「３つの線は１点で交わ
った。」かを挙手で確認。
○内心と各辺との距離が等しいことを確
認してみよう。
(6) 内心を頂点にして３辺を合わせると、
ぴったり重なる。
→内接円の半径が等しいことが折り紙
で確認できる。
数 学 化 の 場 面 ○「三角形の 3 つの内角の二等分線は１点
で交わる。」→「内接円をかくことがで
内心の性質を
きる。」を論理的に証明してみよう。
論理的に考察
□証明は生徒に板書させる。説明も生徒に
する。
させる。
折り紙を使っ
て内心の性質
を調べる。
⇒机間指導により生徒の取
組を観察する。
・内心という言葉の使い方
から、その性質を考える。
（数学的な見方や考え方）
・内 心 の 意 味 が 理 解 で き
る。（知識・理解）
・内心が図示できる。
（表現・処理）
⇒机間指導により生徒の取
組を観察して評価する。
・内心という言葉の使い方
から、その性質を考える。
（数学的な見方や考え方）
⇒板書・発表を通して評価
する。
ま
と
め
本 時 の ま と め □＜課題＞（レポートを提出させる。）
・重心・外心・内心の定義
と課題の提示
重心・外心・内心について定義や性質
や性質を考える。
をまとめておこう。インターネットで重 （数学的な見方や考え方）
心・外心・内心を検索し、さらに発展的 ⇒レポートに基づき評価す
る。
に学習しよう。
＜解説＞
（１）平面図形に関する内容は、新学習指導要領から高等学校で教えることになった内容であ
る。高校の教員にとっては、これらを基礎から教えるのは初めての経験になるので、十分
に準備して授業に臨まなければならない。
（２）インターネットで内心や外心を検索すると、「折り紙で作る内心・外心」が見つかり、こ
のホームページのものと本時の授業内容はほぼ同じであった。この他にも、「砂が教える内
心・外心」「塩で幾何学」など授業の参考になるような実践例・応用例をいろいろと見つけ
ることができる。これらを十分に研究して、授業の教材として取り入れるとおもしろい。
「塩で幾何学」に紹介されていることを、実際に実験してみたところ、内心や外心と見
事に一致し、とても楽しい気分になれたので、生徒にもぜひ経験させたい。ここに内容の
一部を紹介する。
三角形の厚紙を（コップが三角形の中に隠れるように）逆さまにしたコップにのせて、
その上にまんべんなく塩を降らせると、三角錐ができる。この頂上の真下の点が、三角形
の内心となる。
三角形の内心に印をつけておく
三角錐の頂上の真下が内心
（３）三角形には、五心（重心・外心・内心・垂心・傍心）があり、旧学習指導要領ではこの
五心について一通りの説明がなされていたが、新学習指導要領では、垂心・傍心が割愛さ
れ、三心だけの扱いとなった。しかし、それほど負担にならないと判断できるような場合
には、垂心については、発展的に学習しておいてもよいのではないかと考える。なぜなら、
垂心が関係するものとして、「３垂線は１点で交わる」や「オイラーの定理」があり、これ
らには座標幾何やベクトルを使った証明もあるが、平面幾何ならではの証明があり、これ
らの証明には「おもしろい」「美しい」「すごい」といったような数学的好奇心を刺激する
ものがあるからである。
・「３垂線は１点で交わる」の証明
$
5
)
4
(
頂点 A、B、C から対辺 BC、CA、AB
またはその延長上に下ろした垂線を、
それぞれ、AD、BE、CF とする。
%
'
また、A、B、C を通り、対辺に平行な
直線を引き、△PQR を作る。
このとき、
四角形 BCAR と四角形 BCQA
は平行四辺形となるので、A は辺 QR の中
3
点で、AD は辺 QR の垂直二等分線である。
同様に、BE は辺 RP の垂直二等分線、
CF は辺 PQ の垂直二等分線である。
よって、３垂線 AD、BE、CF は△PQR の外心で交わる。
（証明終）
&
・オイラーの定理
△ABC の外心 O、重心 G、垂心 H は一直線上にあり、OG：GH=１：２である。
証明１
$
△ABC において、辺 AB の中点を M、
外心 O を通る直径を BD とする。
また、外心Ｏ、垂心Ｈに対して、CM と OH の
'
交点を G’とする。（この G’が△ABC の重心と一
0
致することを以下に示す。）
まず、H は垂心より
+
2 *
BC⊥AH･･･①
AB⊥CH･･･②
次に、BD が直径より、
BC⊥DC･･･③
AB⊥DA･･･④
%
&
①③より AH//DC
②④より CH//DA
ゆえに、四角形 AHCD は平行四辺形である。
したがって、AD＝CH･･･⑤
次に△ABD に着目して、中点連結定理により、AD＝２OM･･･⑥
⑤⑥より、CH：OM＝２：１･･･⑦
次に、△CHG’と△MOG’について、
∠G’CH＝∠G’MO（錯角）
∠HG’C＝∠OG’M（対頂角）
よって△CHG’∽△MOG’･･･⑧
⑦⑧より、CG’： G’M＝２：１
したがって、G’は中線 CM を２：１に内分しているので、△ABC の重心Ｇと一致する。
以上のことから、３点外心 O、重心 G、垂心 H は一直線上にあり、
OG：GH＝１：２が成り立つ。
証明２
外心 O、重心 G に対して、点 H’を
３点Ｏ、Ｇ、H’はこの順にあり、ＯＧ：ＧH’＝１：２･･･①を満たすようにとる。
（この点 H’が△ＡＢＣの垂心と一致することを以下に示す。）
ＢＣの中点をＭとする。
△ＯＭＧと△H’ＡＧについて
Ｇは重心より、ＧＭ：ＡＧ＝１：２･･･②
また、∠ＭＧＯ=∠ＡＧH’（対頂角）･･･③
よって、①②③より △ＯＭＧ∽△H’ＡＧ
Ａ
ゆえに、∠ＯＭＧ＝∠H’ＡＧ
したがって、ＯＭ//ＡH’･･･④
また、Ｏは外心より、ＯＭ⊥ＢＣ･･･⑤
④⑤より、ＡH’⊥ＢＣ･･･⑥
さらに、ＡＣの中点をＮとすると、
Ｎ
△ＯＮＧと△H’ＢＧについて
Ｏ
Ｇは重心より、ＮＧ：ＢＧ＝１：２･･･⑦
Ｇ
また∠ＮＧＯ＝∠ＢＧH’（対頂角）･･･⑧
Ｈ
よって、①⑦⑧より △ＯＮＧ∽△H’ＢＧ
Ｃ
Ｂ
Ｍ
ゆえに、∠ＯＮＧ＝∠H’ＢＧ
したがって、ＯＮ//ＢH’･･･⑨
また、Ｏは外心より、ＯＮ⊥ＣＡ･･･⑩
⑨⑩より、ＢH’⊥ＣＡ･･･⑪
⑥⑪より、点 H’は△ＡＢＣの垂心Ｈと一致する。
以上のことから、３点Ｏ、Ｇ、Ｈは一直線上にあり、
ＯＧ：ＧＨ＝１：２である。