フィルタ演算RC

P4 通信システム
P4.1 ディジタルフィルタの設計とその応用
P4.2 分布定数線路のCAD
アナログ
信号
H4.1
サンプリング
AD
変換
P4.1
H4.1
ディジタル
信号処理
変調
ディジタル信号処理の更なる理解のために
¾離散フーリエ変換による信号解析の理解
¾ディジタルフィルタの設計と性能評価
1
伝送
ディジタル信号処理とは
定義？！
アナログ信号をディジタル信号に変換し，ディジタル的に演算すること
どこで利用？！
科学技術のあらゆる分野に必要不可欠な基盤技術
なぜ？！
信号の処理・加工が容易
ディジタル信号処理の重要
かつ有用な基本アルゴリズム
離散フーリエ変換
ディジタルフィルタリング
TUT
2
アナログ信号とディジタル信号
アナログ信号
サンプリング
サンプリング定理とは
サンプリング周波数が，ｘ（ｔ）に
含まれる最高周波数の２倍よりも
大きい場合，元の信号を再生可能
2ω 0 < ω s
サンプル値信号
AD変換
ディジタル信号
注意
通常の表記（T：削除）
x(nT)
x(n)
TUT
3
アナログとディジタルフィルタの比較（LPF）
ｕ（ｔ）
Ｃ
ｙ（ｔ）
dy (t )
RC
+ y (t ) = x(t )
dt
１
ｙ（ｔ）
アナログ
フィルタ
Ｒ
０
線形微分方程式
ｕ（ｎ）
ｙ（ｎ）
b
Ｚ-１
y (n) = by (n − 1) + x(n)
線形差分方程式
4
ｔ
３
ｙ（ｎ）
＋
ディジタル
フィルタ
1− e
( t RC )
２
１
０
ｎ
ｕ（ｔ）、ｕ（ｎ）：単位ステップ
TUT
ディジタルフィルタの構成
要素
遅延素子
式表現
ブロック表現
y (n) = x(n − 1)
k
加算器
y (n) = ∑ xi (n)
i =1
係数乗算器
x(n)
Z-1
x1(n)
x2(n)
＋
xk(n)
y (n) = ax(n)
x(n)
y(n)
a
y(n)
y(n)
TUT
5
簡単なディジタルフィルタの例
y (n) = x(n) − x(n − 1)
０
y (n) = x(n) + x(n − 1)
ω
０
ω
y (n) = x(n) + x(n − 2)
０
6
ω
TUT
実験内容
１. ディジタルフィルタの基礎
（１）線形と非線形特性を持つディジタルフィルタの理解
（２）離散フーリエ変換による信号解析
２. ＦＩＲ形ディジタルフィルタの設計とその応用
（１）フーリエ級数法による設計
（２）周波数サンプリング法による設計
具体的には，ＬＰＦ，ＨＰＦ，ＢＰＦを設計し，
離散フーリエ変換によりその入出力特性を調べる
注意：Ｃ言語を利用して，実験を行う．
TUT
7
離散フーリエ変換
フーリエ変換（連続）
∞
X (ω ) = ∫ x(t )e
− jωt
−∞
時間領域
dt
ｔ
離散フーリエ変換（離散）
N −1
X (k ) = ∑ x(n)W
kn
周波数領域
n =0
W =e
−j
2π
N
：回転因子
ｆ
TUT
8
離散フーリエ変換の解釈
x(t ) = 0.3 + sin(ω1t ) + 0.3 sin(ω 3t ), ω1 = 2πf1
t
x(t )
⎡ X (0) ⎤ ⎡W 00
⎢ X (1) ⎥ ⎢ 10
⎢
⎥ = ⎢W
⎢ X (2)⎥ ⎢W 20
⎢
⎥ ⎢ 30
(
3
)
X
⎣
⎦ ⎢⎣W
W
kn
W 01 W 02 W 03 ⎤ ⎡ x(0) ⎤
⎥⎢
⎥
W 11 W 12 W 13 ⎥ ⎢ x(1) ⎥
W 21 W 22 W 23 ⎥ ⎢ x(2)⎥
⎥
31
32
33 ⎥ ⎢
(
3
)
x
W
W
W ⎥⎦ ⎣
⎦
2πkn
2πkn
= cos
− j sin
N
N
各周波数成分との内積！！
∞
X (ω ) = ∫ x(t )e − jωt dt
−∞
DC
W 0 0.3
f1
W1 1
f 2 = 2 f1
W2 0
f 3 = 3 f1
W 3 0.3
xn=0
(0) x1(1) x(22) x(33) x(00)
9
TUT
1. 基礎項目のまとめ
1. フィルタの作成
a. 入力信号生成（離散信号）
b. 入出力信号の観測（時間領域）
2. ＤＦＴの作成
a. ＤＦＴの理解
b. 入出力信号の観測（周波数領域）
TUT
10
実験内容
１. ディジタルフィルタの基礎
（１）線形と非線形特性を持つディジタルフィルタの理解
（２）離散フーリエ変換による信号解析
２. ＦＩＲ形ディジタルフィルタの設計とその応用
（１）フーリエ級数法による設計
（２）周波数サンプリング法による設計
具体的には，ＬＰＦ，ＨＰＦ，ＢＰＦを設計し，
離散フーリエ変換によりその入出力特性を調べる
注意：Ｃ言語を利用して，実験を行う．
TUT
11
フーリエ・ラプラス・z変換の関係
フーリエ変換
フーリエ変換
F (ω ) = ∫
∞
−∞
f (t )e
− j ωt
dt
可積分関数でなければならない
∞
ラプラス変換
ラプラス変換
F ( s ) = ∫ f (t )e − st dt
−∞
( s = σ + jω )
e −σt を乗ずることで，可能
（σ=0の時フーリエ変換）
∞
z変換
z変換
F ( z ) = ∑ f (nT ) Z − n
連続関数f(t)を離散化
n =0
TUT
12
FIRフィルタとIIRフィルタ
a0
ＩＩＲフィルタ
a1
y(n)
a2
x(n)
Z-1
Z-1
Z-1
aM
＋
＋
ＦＩＲフィルタ
Z-1
-b1
Z-1
Z-1
-b2
-bN
Ｎ次差分方程式
M
N
k =0
k =1
y (n) = ∑ ak x(n − k ) −∑ bk y (n − k )
13
TUT
伝達関数
Ｎ次差分方程式の両辺をＺ変換し，入出力の比を取る
M
N
k =0
k =1
Ζ[ y (n)] = ∑ ak z − k Ζ[x(n)] −∑ bk z − k Ζ[ y (n)]
M
Ζ[ y (n)]
H ( z) =
=
Ζ[x(n)]
−k
a
z
∑ k
k =0
N
1 + ∑ bk z
−k
伝達関数
k =1
上式を因数分解する
M
H ( z) =
H 0 ∏ (z − zk )
極零点配置（安定性判別）
零点： z1 , z 2 , L , z M
極： p1 , p2 , L , p N
k =1
N
∏ (z − p )
k
k =1
14
TUT
極零配置の例とインパルス応答
1 + z −1
ＬＰＦ H ( z) =
1 − ρz −1
Im
ＢＰＦ
H ( z ) = 1 − z −2
Im
1
Re
零
1
Re
極
極がＺ平面の単位円内：安定
未知システムに，インパルスを入力⇒未知システムがわかる
M
δ (n)
未知システム
n
H ( z) =
H 0 ∏ (z − zk )
k =1
N
∏ (z − p )
k
k =1
15
TUT
たたみこみ
実際のフィルタリング（式での表現）
y ( n) =
∞
∑ x ( k ) h( n − k )
k = −∞
= x ( n) ∗ h( n) = h( n) ∗ x ( n)
入力とインパルス応答が与えられると，出力は？
4
2
x(n)
1
0 1 2 3
入力
h(n)
n
3
2
1
0 1 2 3
y (n)
n
インパルス応答
出力？
TUT
16
たたみこみの例
10
4
3
8
2
h(n)
x(−k )
x(1 − k )
x(2 − k )
x(3 − k )
x(4 − k )
1
1
0 1 2 3
2
y (n)
n
4
1
0 1 2 3 4 n
2x4=8
1
7
2
2x3+1x4=10
1
2
2x2+1x3=7
1
2
2x1+1x2=4
1
2
1x1=1
17
TUT
周波数特性の導出法
M
Ｍ（ω）
H ( z) =
−k
a
z
∑ k
k =0
N
1 + ∑ bk z − k
k =1
上式のｚにeｊω （振幅１の全周波数）代入する ０
H (e jω ) = H R (e jω ) + jH I (e jω )
= M (ω )∠θ (ω )
jω
H
(
e
)
−1
jω
I
arg H (e ) = tan
H R ( e jω )
18
π ω
位相特性
π ω
０
∠ θ （ω）
= H (e jω ) ∠ arg H (e jω )
振幅特性
TUT
周波数特性
ωｃ
ω
低域通過フィルタ（ＬＰＦ）
ωｃ
ω
高域通過フィルタ（ＨＰＦ）
ωL
ωH
ω
帯域通過フィルタ（ＢＰＦ）
ωL
ωH
ω
帯域除去フィルタ（ＢＥＦ）
TUT
19
システム表現
離散時間フーリエ変換
時間領域
時間領域
周波数領域
周波数領域
y ( n) = h( n) ∗ x ( n)
Y ( e jω ) = H ( e jω ) X ( e jω )
インパルス応答
周波数特性
z=e
z変換
jω
Z領域
Z領域
Y ( z) = H ( z) X ( z)
伝達関数
20
TUT
フィルタ設計とは？！
フィルタの係数を決定すること
通過域
阻止域
そのためには？！
¾望まれるフィルタの特性を決定
振幅特性と位相特性
¾使用するフィルタを決定
０
ＦＩＲかＩＩＲかその他
¾設計方法を決定
どの設計アルゴリズムを利用するか
ωｃ
π ω
遷移域
減衰量
TUT
21
正規化周波数とは？！
サンプリング周波数ｆｓに応じて，周波数特性を表現するのは無駄
（ｅｘ．カットオフ周波数ｆｃ＝１ｋＨｚ，サンプリング周波数ｆｓ＝１０ｋＨｚ，２０ｋＨｚ）
回避するために？！
対象となる周波数は，
０からサンプリング周波数ｆｓの半分ｆｓ/２（サンプリング定理より）
すなわち，０からπを利用して表現（正規化と呼ぶ）
fs
2π
2πf
2 =π
⇒
fs
fs
０
22
ωｃ
π ω
TUT
フーリエ級数法による設計
理想特性と実際の特性の
平均二乗誤差（ＭＳＥ）が
最小となるように設計
理想特性：Ｄ（ｆ）
実際の特性：Ｈ（ｆ）
π
MSE = ∫ D( f ) − H ( f ) df
2
−π
０
ωｃ
ちょっと複雑な計算
π ω
1
hi =
2π
π
∫ π D(ω )e
−
j ωi
dω
TUT
23
ＬＰＦからＨＰＦ，ＢＰＦ（周波数変換）
jω
H H (e ) = H L (e
j (ω −π )
)
少し複雑な計算
ωｃ
ω
ＬＰＦ：ＨＬ（ｚ）
ωｃ
ω
ＨＰＦ：ＨＨ（ｚ）
hH (n) = (−1) hL (n)
n
hBP (n) = 2 cos(nω 0 ) ⋅ hL (n)
ωL ω０ ωH
ω
ＢＰＦ：ＨＢＰ（ｚ）
24
TUT
窓関数
hw (n) = h(n) ⋅ w(n)
Ｇｉｂｂ’ｓ現象の軽減
（スペクトルの洩れ）
窓関数
矩形窓
ハニング窓（α=0．46）
ハミング窓（α=0.5）
バートレット窓
ブラックマン窓
w(n) = 1
⎛ 2πn ⎞
w(n) = α × (1 − α ) cos⎜
⎟
⎝ N −1⎠
2n
w(n) = 1 −
N −1
⎛ 2πn ⎞
⎛ 4πn ⎞
w(n) = 0.42 + 0.5 cos⎜
⎟ + 0.08 cos⎜
⎟
⎝ N −1⎠
⎝ N −1⎠
TUT
25
周波数サンプリング法による設計
理想特性：Ｄ（ｆ）
所望特性：Ｈ（ｆ）
時間領域
ｔ
０
ωｃ
π ω
周波数領域
逆フーリエ変換
周波数特性
時間特性
（所望特性）
（フィルタ係数）
ｆ
TUT
26
2. フィルタ設計のまとめ
ＬＰＦ，ＨＰＦ，ＢＰＦの作成
a. 各設計法によるフィルタ係数導出の理解
b. サンプリング周波数，カットオフ周波数（各自が設定）
c. 入出力信号の観測（時間領域，周波数領域）
d. 次数に対する考察
e. 窓関数に対する考察
TUT
27
参考文献
¾中村尚五，“ビギナーズデジタルフィルタ”，東京電機大学出版局
¾樋口龍雄，“ディジタル信号処理の基礎”，昭晃堂
¾樋口龍雄，川又政征，“ＭＡＴＬＡＢ対応ディジタル信号処理”，昭晃堂
¾武部幹，“ディジタルフィルタの設計”，東海大学出版会
¾臼井支朗，“信号解析”，オーム社
¾貴家仁志，“ディジタル信号処理”，昭晃堂
TUT
28
報告書の書き方
報告書とは
初めて読む人が，すぐに理解できる
（実験の目的，原理，手順，結果，考察）
その報告書に基づき，容易に再実験が可能
表紙と報告書の中身
概要：報告書の内容を簡単にまとめたもの
中身：目的
原理
実験内容・手順
結果・考察
参考文献（感想・意見）
その他：式，図，表には通し番号と適切な表題
下欄にページ番号，図の書き方の工夫
29
TUT