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1. 鶴亀算に挑戦！
1. 鶴亀算に挑戦！ ［問題］ キジとウサギあわせて頭が60で，足の数 を合わせると150本です。 簡単だよね？ それぞれ何羽（何匹）いるのでしょうか？ 『算法闕疑抄』より 1. 鶴亀算の答え 15匹（15羽） ［答えと解法］ 全部キジだとすると足は120本となりま すが，合計はそれよりも30本多いですね。 30本は，キジより2本足数の多いウサギ 45羽 の分と考えられますで，ウサギの数は 30÷2=15 となります。 はじめ鶴亀算は，この例題のように雉（キ ジ）と兎（ウサギ）を用いていましたが， キジとウサギの数をそれぞれｘ，ｙとし て，連立方程式で記述すれば， のちに鶴と亀を用いるようになり，現在は 「鶴亀算」という名前でよばれています。 ｘ+ｙ=60 2ｘ+4ｙ=150 となり，同等の計算ができます。 縁起よい もの勝ち！ 2. 盗人算に挑戦！ ［問題］ 橋の下で絹盗人が絹を分けあっている声 が聞こえます。 「7反ずつ取れば8反余り」 「8反ずつ取れば7反足らず」 さて、盗人の人数と絹の反数はいくらで しょうか？ 7反とった時から、 次に1反ずつ取っていって 7反足りなくなったのだか ら．．． 2. 盗人算の答え 余りからさらにひとり1反 ずつとると ［答えと解法］ 7反ずつ取った時から、全員が1反ずつ取っ 余りの 8反 ていって、7反足りなくなったのだから、 ８反ずつ これを図に示すと右のようになります。 ７反ずつ 盗人の人数は 8反 ＋ 7反 となります。 不足の 7反 盗人の人数 ＝ 8反 ＋ 7反 絹の反数 ＝ 15人 × 7反 ＋ 8反 ＝ 113反 人数 15人 この「過不足算」は、和算では「盈 （えい）不足算」または「盈じく」と 113反 いいました。 3. 馬乗り算に挑戦！ ［問題］ 6里の道のりを4人で旅するとき、馬3頭 に平等に交代で乗るとしたら、ひとり当た り何里づつ乗ればよいでしょうか。 何回乗りかえれば よいのじゃろう？ 馬3頭で何里歩く ことになるのかな？ 3. 馬乗り算の答え ［答えと解法］ 3頭の馬が歩く道のりの合計は18里。 道のりを3里として、旅人が3人、馬が2頭 とすると、さらに容易に理解できます。 3頭 × 6里 ＝ 18里 これを4人で乗るから、一人あたり馬 3里 2里 1里 に乗る道のりは4.5里となります。 18里 ÷ 4人 ＝ 4.5里 乗りかえが3回あるので、一回当たり の道のりは1.5里となります。 4.5里 ÷ 3回 ＝ 1.5里 2頭の馬が歩く道のりの合計は6里。 2頭 × 3里 ＝ 6里 これを3人で乗るから、一人あたり馬に乗 る道のりは2里となります。 6里 ÷ 3人 ＝ 2里 4. ねずみ算に挑戦！ ［問題］ 正月 正月に，ねずみの父母が子どもを12匹生ん で，親子とも14匹になるとします。 この14匹のねずみが，2月には7組の父母 として12匹づつ生むと，全部で98匹となり ます。 このように月に一度づつ，親も子も孫もひ 孫も12匹づつ生むとしたら，12月には何匹 になるでしょうか？ 2月 上の14匹が父母 となりそれぞれ 12匹を生む 4. ねずみ算の答え ［答え］ 276億8257万4402匹。 ［解法］ 等比級数的に増えることを，ねずみ算的に 増えるという語源になった数学遊戯。 1月は 2×7=14 2月は 2×72=98 3月は 2×73=686 と数式化すると， 12月は 2×712 となります。 1匹の体長10cmで 全部つながると なんと地球69周分！ すごいでしょ 『塵劫記』より 5. 俵算に挑戦！ ［問題］ 俵が図のように，上から1俵，2俵，3俵と 積み上げられ，一番下が13俵に並ぶよう積 み上げられています。 俵は，全部あわせると何俵となるでしょう か？ 13俵 5. 俵算の答え ［答えと解法］ ① まず全体の形を，下図のように俵を ② もう一つ同じ量の俵をもってきます。 左に寄せてみます。 13 ○ ○○ ○○○ ○○○○ ○○○○○ ○○○○○○ ○○○○○○○ ○○○○○○○○ ○○○○○○○○○ ○○○○○○○○○○ ○○○○○○○○○○○ ○○○○○○○○○○○○ ○○○○○○○○○○○○○ ○ ●●●●●●●●●●●●● ○○ ●●●●●●●●●●●● ○○○ ●●●●●●●●●●● ○○○○ ●●●●●●●●●● ○○○○○ ●●●●●●●●● ○○○○○○ ●●●●●●●● ○○○○○○○ ●●●●●●● ○○○○○○○○ ●●●●●● ○○○○○○○○○ ●●●●● ○○○○○○○○○○ ●●●● ○○○○○○○○○○○ ●●● ○○○○○○○○○○○○ ●● ○○○○○○○○○○○○○ ● 13 ③ こうすると，全体の数は右の 図の半分となります。 13 ×（13+1）÷ 2 = 91俵 13 これは三角数を利用した計算で， ｎ番目の三角数は ｎ(ｎ+1)÷2 となります。 ○●●●●●●●●●●●●● ○○ ●●●●●●●●●●●● ○○○ ●●●●●●●●●●● ○○○○ ●●●●●●●●●● ○○○○○ ●●●●●●●●● ○○○○○○ ●●●●●●●● ○○○○○○○ ●●●●●●● ○○○○○○○○ ●●●●●● ○○○○○○○○○ ●●●●● ○○○○○○○○○○ ●●●● ○○○○○○○○○○○ ●●● ○○○○○○○○○○○○ ●● ○○○○○○○○○○○○○ ● （13+1） 6. 木の高さ積りに挑戦！ ［問題］ 右の図のようにして、木にとまっている鳥 の高さを測るため、目の位置に折り紙を半分 に折り、一辺に重りをつけて斜辺の先が鳥の 高さとなるような位置に立ちました。 この時、木の根本までの距離は7間、高さ を測っている鳥の背の高さは 1尺とします。 木にとまっている鳥の高さはいかほど？ 木の根まで7間 6. 木の高さ積りの答え ［答えと解法］ 折ったおりがみは二等辺三角形ですから、 目の高さから木の鳥までの高さは、木の根本 までの長さと等しくなります。 これに測っているものの背の高さを加えれ ７間 ば、求める高さの 7間1尺となります。 １尺 １尺 7間 7. 方陣に挑戦！ ［問題］ 図のように，9個の場所のある正方形のそ れぞれの場所に，１から9までの数字を入 れて，たて・よこ・斜めの列の和が，すべ て等しくなるように並べてください。 魔方陣ともいわれて いるのだ！ 魔法陣ではないぞー 7. 方陣の答え でも， ［答えと解法］ 魔法のようじゃろ 次のようにすると，簡単に方陣を作る ことができます。 ① 下のような順で数を並べる ② 2と8の位置を交換する ③ どの列の合計も15となる 2 1 6 2 1 6 8 1 6 3 4 5 9 7 8 3 4 5 9 7 8 3 4 5 9 7 2 この方陣は，たてよこ3マスの3方陣で，マ 『算法闕疑抄』では19方陣の遺題が提示 スが増えるごとに4方陣，5方陣というよう され，『算俎』がそれに解答をあたえてい によばれます。 ます。 8. 油分け算に挑戦！ ［問題］ 桶に10升の油が入っています。これを7 升マスと3升マスの2つのマス使って，5升 ずつに分けるには，どうすればよいでしょ うか。 10升桶 7升マス 3升マス どちらの方法でも できマス 10升桶 3升マス 7升マス 8. 油分け算の答え ［答え］ ［解法（油分けの法則）］ 次のような手順で，5升ずつ 第1条件 マスBが空いたら桶Aから注ぐ 第2条件(1) マスCがいっぱいでなければ，Bから注ぐ に分けることができます。 10升 3升 7升 桶 マス マス 10 0 0 はじめの状態 3升マスで3杯くみ，7升マス が一杯になるまで注ぐ 1 2 7 7升マスから10升桶に戻す 8 2 3升マスから7升マスに 8 10升桶から3升マスに 3升マスから7升マスに 解法 はじめの状態 繰り返す (2) Cがいっぱいになったら，Aに戻す 10升 7升 3升 桶 マス マス 10 0 0 7升マスに注ぐ 3 7 0 0 7升マスから3升マスで3 杯くみ，10升桶に戻す 9 0 1 0 2 10升桶から7升マスに 2 7 1 5 3 2 7升マスから3升マスに 2 5 3 5 0 5 3升マスから10升桶に 5 5 0 ［解説］ 左の解法は，桶から3升マスでくみ出す回数をx，7升 マスで10升桶に戻す回数をyとすると，3x – 7y = 5 の整数解を求めることと対応します。（x=4，ｙ=1） 別法 右の別法は，7x – 3y = 5 の整数解を求 めることと対応します。（x=2，ｙ=3） 9. 倍増し算に挑戦！ ［問題］ 大豆1粒を毎日2倍にすれば、30日目に は何粒になるでしょうか。大体の予想で考 えてください。 1日目は1粒 2日目は倍で2粒 3日目はその倍で4粒 と計算するのじゃ 9. 倍増し算の答え ［答え］ 5億3千6百87万9百12粒（536,870,912）。 ［類する話］ その昔、そろり新左衛門という秀吉に可 愛がられたお伽衆（話相手）がいて、 ［解法］ 「望みのものを与えよう」と秀吉にいわ 2日目から2倍になるので、合計29回、2倍 の計算をすることになります。 1 × 229 = 536,870,912 れたところ、「今日一文、明日2文、次ぎ の日4文というように、毎日2倍の銭を一 か月頂きたい」といった逸話が残されて います。 秀吉はこれを承知したとされますが、そ 芥子の実やお米、 まんじゅうなどでの 問題もあります の後この褒美は無かったとのことです。 10. 継子立（ままこだて）の不思議 前編： 継子の危機！ 先妻の子（継子）15人と実子15人を円 数えすすめると，継子ばかり続けて 形に並べ，10番目にあたる子どもを除い 14人除かれ，もう1回数えると，継子が て，最後に残る1人に家督を譲るといわ すべて除かれることとなってしまいまし れ，継母が下図のように子どもを並べ， た。 数え始めました。 3 実子 6 8 開始点 １４ 11 10 継子 １３ １２ 5 始めの10人目 次の10人目 9 1 1 2 4 最後の継子 2 7 １５ 後編：継子の逆転！ この時，1人残った継子は「あまりに片 すると今度は，実子ばかり続けて10 寄りすぎなので，これからは私から数え 番目に該当し実子が15人除かれ，なん てください」といったところ，受入れら と最後には継子が残って家督を継ぐこと れて，最後の継子から再度数え始めまし になったとさ。 た。 1 11 1 9 4 15 始めの10人目 13 10 5 今よりは 我れより 数へられ候へ 8 次の10人目 継子が残った！ 再開点 3 6 2 2 14 7 12