2007年 - XREA.com

1
平成 19 年度 九州工業大学２次試験前期日程 (数学問題)
工学部 平成 19 年 2 月 25 日
• 数 I・II・III・A・B・C (120 分)
1 8 枚のカードがあり，2 枚のカードには数字の 2 が書いてあり，残りの 6 枚の
カードには数字の 6 が書いてある．8 枚のカードの中から同時に 2 枚を取り出
すとき，その 2 枚のカードに書かれた数字に対して，次のように点数を定める．
2 枚のカードに書かれた数字が同じとき，その数を a とし，方程式
cos(ax) = sin(ax) (0 5 x 5 π) の解の個数を点数とする．
2 枚のカードに書かれた数字が異なるとき，大きい方の数を b，小さい方
の数を c とし，方程式 cos(bx) = cos(cx) (0 5 x 5 π) の解の個数を点数と
する．
次に答えよ．
(1) 2 枚のカードに書かれた数字がともに 2 のときの点数を求めよ．
(2) 2 枚のカードに書かれた数字の一方が 2，他方が 6 のときの点数を求めよ．
(3) 2 枚のカードに書かれた数字が同じになる確率を求めよ．
(4) 点数の期待値を求めよ
2 数列 {an } を，a1 = a2 = 1，an+2 = an+1 + an (n = 1, 2, 3, · · · ) で定める．
また，数列 {bn } を bn = cos(an π) (n = 1, 2, 3, · · · ) で定め，数列 {cn } を
³a ´
n
cn = cos
π (n = 1, 2, 3, · · · ) で定める．次に答えよ．
2
(1) b1 ，b2 ，b3 ，b4 ，b5 ，b6 の値を求めよ，
(2) bn+3 (n = 1, 2, 3, · · · ) を bn を用いて表せ．
(3) b100 の値を求めよ．
(4) c1 ，c2 ，c3 ，c4 ，c5 ，c6 の値を求めよ．
(5) c2007 の値を求めよ．
2
Ã
3 行列 P =
Ã
B=
2
3
d
c
1
3
3
√
2
!
Ã
!
√ !
1
2
a
3
がある．行列 A，B をそれぞれ A =
，
2
b 23
とする．次に答えよ．
(1) P = A + 4B ，AB = BA をみたすように a，b，c，d を定め，積 AB を求
めよ．
(2) a，b，c，d を (1) で定めた値とする．自然数 n に対して An と B n を求めよ．
(3) 自然数 n に対して P n を求めよ．
4 曲線 C : y = log x 上の点 P(e, 1) における法線が x 軸と交わる点を Q とする．
ただし，対数は自然対数を表し，e は自然対数の底とする．次に答えよ．
(1) 点 Q の座標を求めよ．
(2) 点 P，Q および原点 O を通り，y 軸に平行な軸をもつ放物線の方程式を求
めよ．
(3) 曲線 C と x 軸との交点を R とする．(2) で求めた放物線と曲線 C および
線分 OR で囲まれる図形の面積 S を求めよ．
(4) (3) の図形を x 軸のまわりに 1 回転してできる立体の体積 V を求めよ．
µ
¶
1
1
5 曲線 C : y = (x > 0) 上の点 P a,
における接線 l1 と
x
a
µ
¶
1
2
直線 l2 : y = b x + 2b b >
について，次に答えよ．
a
(1) 接線 l1 の方程式を求めよ．
(2) l1 と l2 の交点を Q(X, Y ) とする．X と Y をそれぞれ a，b を用いて表せ．
√
(3) l1 ，l2 および y 軸で囲まれる図形の面積 S が 2 − 2 であるとき，ab の値
を求めよ．またこのとき，X を a を用いて表し，Y を b を用いて表せ．
√
(4) 点 P が動くとき，S = 2 − 2 をみたしながら動く l1 と l2 の交点 Q(X, Y )
の軌跡を図示せよ．
3
正解
1
(1) 2 枚のカードの数字がともに 2 のとき
cos 2x = sin 2x ゆえに
これを解いて
x=
π 5
, π
8 8
³
π´
sin 2x −
= 0 (0 5 x 5 π)
4
点数は
2
(2) 2 枚のカードの数字が 2 と 6 のとき
cos 6x = cos 2x ゆえに
これを解いて
x = 0,
sin 4x sin 2x = 0 (0 5 x 5 π)
π π 3
, , π, π
4 2 4
点数は
5
(3) 2 枚のカードの数字がともに 2，または，ともに 6 の確率であるから
4
+ 6 C2
1 + 15
=
=
28
7
8 C2
2 C2
(4) 2 枚のカードの数字がともに 6 のとき
cos 6x = sin 6x ゆえに
これを解いて
x=
³
π´
sin 6x −
= 0 (0 5 x 5 π)
4
π 5
9
13
17
21
,
π,
π,
π,
π,
π
24 24
24
24
24
24
点数は
点数を X とすると
2 C2
1
,
28
8 C2
15
6 C2
=
P (X = 6) =
28
8 C2
P (X = 2) =
=
P (X = 5) =
2 C1 ·6 C1
8 C2
=
12
,
28
よって，期待値 E(X) は
E(X) = 2 ×
38
12
15
152
1
+5×
+6×
=
=
28
28
28
28
7
6
4
2
(1) 漸化式から
a1 = 1, a2 = 1, a3 = 2, a4 = 3, a5 = 5, a6 = 8
したがって
b1 = cos π = −1,
b2 = cos π = −1,
b3 = cos 2π = 1,
b4 = cos 3π = −1,
b5 = cos 5π = −1,
b6 = cos 8π = 1
(2) 漸化式から
an+3 = an+2 + an+1 = (an+1 + an ) + an+1 = 2an+1 + an
上式および {an } が整数であることから
bn+3 = cos(an+3 π) = cos{(2an+1 + an )π} = cos(an π) = bn
したがって
bn+3 = bn
(3) (2) の結果により b100 = b1 = −1
(4) (1) と同様にして
π
= 0,
2
3
c4 = cos π = 0,
2
c1 = cos
π
= 0,
2
5
c5 = cos π = 0,
2
c2 = cos
2
c3 = cos π = −1,
2
8
c6 = cos π = 1
2
(5) 漸化式から
an+6 = an+5 + an+4 = (an+4 + an+3 ) + an+4 = 2an+4 + an+3
= 2(an+3 + an+2 ) + an+3 = 3an+3 + 2an+2
= 3(an+2 + an+1 ) + 2an+2 = 4(an+2 + an+1 ) + (an+2 − an+1 )
= 4(an+2 + an+1 ) + an
上式および {an } が整数であることから
³a
´
n+6
cn+6 = cos
π
½ 2
¾
³a ´
4(an+2 + an+1 ) + an
n
= cos
π = cos
π = cn
2
2
したがって
cn+6 = cn
上式および (4) の結果から
c2007 = c3 = −1
5
3
(1) P = A + 4B より
Ã
3
√
2
!
Ã
!
√ ! Ã 1
2
2
a
c
3
=
+4 3 1
3
b 23
d 3
!
Ã
3
a + 4c
· · · (∗)
=
b + 4d
2
AB = BA より
Ã
!Ã
!
Ã
!Ã
!
1
1
1 3a
2 3c
2 3c
1 3a
=
9 3b 2
9 3d 1
3d 1
3b 2
Ã
! Ã
!
9ad + 2 3a + 3c
9bc + 2 6a + 6c
=
· · · (∗∗)
6b + 6d 9bc + 2
3b + 3d 9ad + 2
√
(∗)，(∗∗) の両辺の (1,2) 成分から
(∗)，(∗∗) の両辺の (2,1) 成分から
√
2
2
a=−
，c =
√3
√3
2
2
b=−
，d =
3
3
これらの値は (∗∗) における (1,1) 成分および (2,2) 成分を満たす．
Ã
!
0 0
また，このとき
AB =
0 0
Ã
Ã
√ !
√ !
1
1
1
− 2
2
2
√
√
(2) (1) の結果より，A =
，B =
から，
3 − 2
3
2
2 1
Ã
√ !Ã
√ !
√ !
1
1
− 2
1
− 2
1
− 2
√
√
√
=
3 − 2
− 2
2
− 2
2
2
Ã
Ã
√ !Ã
√ !
√ !
1
1
2
2
2
2
2
2
√
√
√
B2 =
=
9
3
2 1
2 1
2 1
1
A =
9
Ã
2
A2 = A，B 2 = B であるから，An = A，B n = B より
Ã
Ã
√ !
√ !
1
1
1
−
2
2
2
√
√
An =
, Bn =
− 2
2
2 1
3
3
(3) (1)，(2) の結果から1 P n = (A + 4B)n = A + 4n B
Ã
√ n √ !
n
1
1
+
2·4
2·4 − 2
√ n √
ゆえに P n =
2·4 − 2
2 + 4n
3
1
http://kumamoto.s12.xrea.com/nyusi/Qdai ri 2004.pdf のスペクトル分解を参照．
6
4
(1) y = log x より y 0 =
x = e のとき −
1
x
y
1
= −e
y0
C の点 (e, 1) における法線の方程式は
1
y − 1 = −e(x − e)
O
ゆえに
P
Q
y = −ex + e + 1
e2 + 1
上式に y = 0 を代入すると x =
e
µ
よって
e
1
2
Q
e2 + 1
e
C
x
¶
, 0
(2) 2 点 O，Q を通り，y 軸に平行な軸をもつ放物線を
µ
¶
e2 + 1
y = ax x −
e
とおく (a は定数)．これが点 P(e, 1) を通るから
µ
¶
e2 + 1
1 = ae e −
ゆえに a = −1
e
よって，求める放物線の方程式は
µ
¶
e2 + 1
y = −x x −
すなわち
e
y = −x2 +
e2 + 1
e
x
(3) S は右の図の斜線部分の面積であるから
y
¶
Z eµ
Z e
e2 + 1
2
S=
x dx −
log x dx
−x +
e
0
1
¸e
·
¸e ·
C
1
x3 e2 + 1 2
P
− x(log x − 1)
= − +
x
3
2e
R
Q
1
0
O
3
x
e
e
e
1
=
+ −1
6
2
¶2
Z eµ
Z e
e2 + 1
2
(4) V = π
−x +
x dx − π
(log x)2 dx
e
0
1
·
¸e
· 5
¸e
2
2
2
x
e + 1 4 (e + 1) 3
2
− π x{(log x) − 2 log x + 2}
=π
−
x +
x
5
2e
3e2
1
0
µ 5
¶
3
e
e
2
=
+
− e+2 π
30
6
3
7
5
1
1
を微分すると y 0 = − 2
x
x
µ
¶
1
l1 は，C の P a,
における接線であるから
a
(1) y =
y−
(2) l1 : y = −
1
2
1
1
= − 2 (x − a) すなわち y = − 2 x +
a
a
a
a
1
2
x
+
，l2 : y = b2 x + 2b
2
a
a
上の 2 式を連立させて解くと
2a(1 − ab)
x=
,
1 + a2 b2
X=
よって
Y =
2b(1 + ab)
y=
1 + a2 b2
2a(1 − ab)
1 + a2 b2
2b(1 + ab)
1+
a2 b2
y
2b
C
l1
Q
，
l2
Y
2
a
1
a
X O
P
a
1
> 0 に注意して
a
¶
µ
1
2
µ
¶
2a b −
2
1
a
ab > 1, 2b − = 2 b −
> 0, X = −
<0
2
2
a
a
1+a b
¶
µ
1
2
µ
¶ 2a b −
1
2
2(ab − 1)2
a
したがって S =
2b −
×
=
2
a
1 + a2 b2
1 + a2 b2
(3) S は上の図の斜線部分の面積であるから，b >
=
S =2−
√
2{(1 + a2 b2 ) − 2ab}
4ab
=
2
−
1 + a2 b2
1 + a2 b2
2 のとき
√
√
4ab
2 2
=
2
ゆえに
1
+
a
b
=
2
2ab · · · °
1
1 + a2 b2
√
したがって
(ab)2 − 2 2ab + 1 = 0
√
ab > 1 に注意してこれを解くと ab = 2 + 1 · · · °
2
x
8
°
1 ，°
2 を (2) に代入すると
√
2a(1 − ab)
2a{1 − ( 2 + 1)}
1
√
X=
=
=−
2
2
1+a b
b
2 2ab
√
√
2b(1 + ab)
2b{1 + ( 2 + 1)}
2+1
√
Y =
=
=
2
2
1+a b
a
2 2ab
√
1
a
2+1
°
2 より， = √
，
= b であるから
b
a
2+1
X = −√
a
2+1
,
√
(4) (3) の結果から a = −( 2 + 1)X, b = Y
√
これらを ab = 2 + 1 に代入すると
Y =b
y
XY = −1
1
また，a > 0 より
X<0
よって，求める軌跡の方程式は
xy = −1 (x < 0)
その図形は，右の図のようになる．
−1
O
x