トムリンソン

第３章 余剰生産量モデル
surplus production model
「水産資源学」
北海道大学水産学部
准教授 松石 隆
1
３．１ ラッセルの方程式



再生産機能を利用して、適正な漁獲を行おうとする考え
方
Russell, E. S. (1931) Some theoretical considerations on the ‘overfishing’
problem. Journal du Conseil International pour l’Exploration de la Mer, 6, 320.
はじめの資源量P1, １年後の資源量P2
P2 = P1 + ( A + G ) − (Y + M )
A:加入量 G：成長量 Y:漁獲量 M：死亡量
( A + G ) > (Y + M ) P2 > P1
( A + G ) < (Y + M ) P2 < P1
( A + G ) = (Y + M ) P2 = P1
2
3.2 シェーファーのモデル

ラッセルのモデルを変形し、持続漁獲量を算定
Ye = V = A + G − M

V:自然増加量
Ye 持続漁獲量
Vは資源量Pによって異なる




P=0ならば 明らかにV=0
これ以上資源が増大できないP∞ がありそこではV=0
P=0とP∞の間に最大自然増加量＝維持漁獲量を得るPがある
はず
最大維持漁獲量 Maximum Sustainable Yield / MSY
3
3.2.2 維持漁獲量と資源量

以下関係に基づき、Yeを計算
しPとの関係を図示
P2 − P1 = ∆P
∆P = Ye − Y
Ye = ∆P + Y


放物線に当てはめてMSYを
推定
過去にCPUEが270～280ポ
ンドだったという情報あり
Schaefer, M. B. (1954) Some aspects of the dynamics
of populations important to the management of the
commercial marine fisheries. Bulletin, Inter-American
Tropical Tuna Commission, 1, 27-56.
4
3.2.3 余剰生産モデルの仮定
1.
2.
3.
4.
5.
Equilibrium condition: 資源は平衡状態にあり
環境が安定している
Single Population: 対象資源は独立した系群
Fishable population constant：年齢組成を無
視できる
Constant catchability: 漁獲効率が一定
No time lag: 自然増加量がその瞬間の資源量
によって決まる
5
3.2.4 漁獲が無い場合の個体群の増殖
増殖制限が無い場合


自然増加量の定式化
dP
= P ⋅ f (P )
dt
制限の無い増加（ねずみ算式）
f (P ) = r
dP
= rP
dt
P = P0 e rt
6
3.2.4 漁獲が無い場合の個体群の増殖
増殖制限が有る場合

制限がある場合
 P
f ( P ) = r 1 − 
 K
dP
 P
= rP1 − 
dt
 K
K
P=
K
 − r (t − t 0 )
1 +  − 1e
 P0 
K
P=
1 + e a − rt
ここで
K

e a =  − 1e rt0
 P0 
L=K
7
3.2.5 シェーファーのモデル
漁獲がある場合

基本式
dP
 P
= rP1 −  − qXP
dt
 K

r: 内的自然増加率
P:資源量
K：環境収容量
q：漁獲効率
X:漁獲努力量

漁獲量
Y = qXP

持続漁獲量
dP
=0
dt
 P
Ye = qX e P = rP 1 − 
 K

このときCPUE uは
u = Ye X = qP
P =u/q
8
CPUEと努力量Xの関係
 P
Ye = qX e P = rP 1 − 
 K
 P
qX e = r 1 − 
 K
qX e
P
= 1−
r
K
qX e
P
= 1−
K
r
 qX e 
P = K 1 −

r 

 qX 
Ye = qX e P = qX e K 1 − e 
r 

q2K 2
Xe
Ye = qKX e −
r
Ye
q2K
u=
= qK −
Xe
Xe
r
9
努力量とSYの関係
 P
Ye = qX e P = rP 1 − 
 K
10
維持漁獲量と資源量・努力量の関係
資源量と維持漁獲量の関係
努力量と維持漁獲量の関係
 P
Ye = rP 1 − 
 K
Ye
q2K 2
Xe
Ye = qKX e −
r
Ye
P
Xe
11
MSY

維持漁獲量の最大値が
MSYであるので微分し
2
q K 2
Ye = qKX e −
Xe
r
Ye = MSYの時
dYe
q2K
= qK − 2
Xe = 0
dX e
r
X MSY

その時の維持漁獲量
MSYは
r q K r 
 
−
MSY = qK
r  2q 
2q
2
2
rK
=
4
r
=
2q
12
MSYを満たす平衡資源量
Ye = qX e P
Ye
P=
qX e
PMSY
(
Ye
rK 4 ) K
=
=
=
qX e q(r 2q ) 2
MSYのとき
r
Xe =
2q
rK
Ye =
4
13
維持漁獲量と資源量・努力量の関係
資源量と維持漁獲量の関係
努力量と維持漁獲量の関係
 P
Ye = rP 1 − 
 K
q2K 2
Xe
Ye = qKX e −
r
rK 4
rK 4
Ye
Ye
r 2q
K 2
P
K
Xe
14
MSYの求め方
CPUEとＸの関係から回帰直線
q2K 2
Xe
Ye = qKX e −
r
q2K
Xe
u = qK −
r
u = a − bX
qK = a
q2K r = b
(
a2
rK
qK )
=
=
=
2
4
4(q K r ) 4b
2
MSY = Ymax
X opt
 r  a
r
1
=
= (qK ) 2  =
2q 2
 q K  2b
Ymax = a 2 4b
X opt = a 2b
15
補足：MEY
持続漁獲高・コスト(\)
Maximum Economical Yield
MEY
努力量X
16
3.2.6 実例
King 1995
17
3.3 フォックスのモデル


シェーファーのモデルでは、自然増加がロジス
ティック曲線に従うと仮定
フォックスのモデルではゴンペルツ曲線に従うと
仮定
18
3.3.1 概要
dP
= KP (ln L − ln P ) − qXP
dt
Y = X (qL )e
uopt = qL e
X opt = K q
− (q K ) X
u = (qL )e − (q K ) X
ln u = ln (qL ) − (q K )X
Ymax = KL e
ln(CPUE) lnu
qL
− (q K )
努力量X
19
3.4 ペラ・トムリンソンモデル
dP
= HP m − KP
dt
z

dP
  P  
= rP 1 −   
dt
  K1  
Y = HP m − KP = qXP
K (1 − m )
X opt =
mq 1
 K  m −1
Popt = 

 mH 
Ymax
 K 
= H

 mH 
m
m −1
 K 
− K

 mH 
1
m −1
1
m −1
 qX + K 
Y = qX 

 H  1
Y
 qf + K  m −1
u = = q

X
 H 
20
21
3.5 r-, K-戦略

r-戦略：rを大きくすること
によって資源を維持しよ
うとする戦略





環境変動が大きい
餌を見つける能力が高い
餌が豊富にある
成熟が早い
サンマ、マイワシ、ニシンな
どの浮魚類
dN
 N
= r 1 −  N
dt
 K

K-戦略：Kを大きくするこ
とによって資源を維持し
ようとする戦略





環境変動が小さい
rが小さい
餌を見つける能力が低い
成熟が遅い
カツオ、マグロ、カレイ、ヒラ
メ
22
まとめ


ラッセルの方程式：資源動態を表す
シェーファーのモデル：ロジスティック曲線を用いて
MSY等を求めることができる
u = a − bX
Ymax = a 2 4b , X opt = a 2b

フォックスモデル、ペラトムリンソンモデル：シェーファー
モデルの拡張

r-戦略：多産、浮魚に多い
K-戦略：少産、底魚に多い

23
Vocabulary




Surplus Production
Model
Production Model
Recruitment overfishing
Growth overfishing
Natural Increase




MSY/ Maximum
Sustainable Yield
Equilibrium condition
Catchability
Intrinsic rate of increase
Intrinsic growth rate
24