基礎電磁気学ノート - rabbit.mns.kyutech.ac.jp

九州工業大学総合システム工学科
基礎電磁気学ノート
岸根順一郎
基礎科学研究系量子物理学部門
2010 年 4 月
3
目次
第0章
はじめに
5
0.1
講義の基本情報 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
0.2
電磁気ブックガイド . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
第1章
電気の発見
9
第2章
電荷と電場
15
第3章
電場のフラックス，立体角，ガウスの法則
23
第4章
場の解析，静電ポテンシャル，電位
29
4.1
保存力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
4.2
保存力のする仕事は経路によらない . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
4.3
電位 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
4.4
3 次元の場合の電場と電位 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
4.5
経路に沿った積分：線積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
4.6
ガウスの発散定理：表面情報と内部情報を結びつける式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
4.7
ガウスの法則の微分形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
4.8
ポアソン方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
導体と自由電子
39
5.1
自由電子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
5.2
静電場中の導体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
5.3
コンデンサー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
5.4
静電型マイクロフォン . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
5.5
コンデンサーの静電容量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
5.6
静電容量の計算法
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
5.7
静電場のエネルギー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
5.8
荷電粒子系の相互作用エネルギー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
第5章
第6章
電流
45
6.1
ドリフト速度と電流密度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
6.2
電気伝導の現象論
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
6.3
巨視的なオームの法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
6.4
ジュール熱 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
6.5
直流回路網 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
6.6
6.7
第7章
7.1
電荷保存則と連続方程式
∗
陰極線管 (ＣＲＴ)
磁場
55
ベクトルの外積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
4
目次
7.2
ローレンツ力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
7.3
磁石 (Magnet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
7.4
単磁極（モノポール）の不在
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
第8章
電流と磁場
59
8.1
電場と磁場の相対性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
8.2
動く点電荷が作る磁場 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
8.3
ビオ・サバールの法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
8.4
磁気モーメント . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
8.5
第9章
アンペールの法則
69
回転と循環
9.1
ベクトル場の回転
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
9.2
ストークスの定理
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
9.3
アンペールの法則の微分形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
9.4
時間変化しない 電場と磁場の法則のまとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
第 10 章
変位電流 (Displacement current)
73
第 11 章
電磁誘導 (Electromagnetic Induction)
75
11.1
1831 年 8 月 29 日 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
11.2
電磁誘導の応用例
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
11.3
Motional Induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
11.4
Transformer Induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
11.5
Motional induction と Transformer induction が両方起きる場合 . . . . . . . . . . . . . .
79
11.6
ファラデーの法則の数学的整備 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
11.7
ファラデーの法則の微分形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
第 12 章
電磁気学第 1 幕フィナーレ
81
付録 A
昨年度の試験問題
87
A.1
第 1 回中間試験 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
A.2
第 2 回中間試験 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
A.3
期末試験 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
5
第0章
はじめに
0.1 講義の基本情報
• 必修４単位
• 授業：金曜 1 限，火曜 2 限
• 目的：真空における電磁気学について詳しく講義する．
• キーワード：静電場，ガウスの法則，ローレンツ力，電流と磁場，電磁誘導，マックスウェル方程式
• 評価方法：中間試験１（20% ），中間試験 2（20% ），期末試験（30% ），レポート（30% ）．60% 以
上で合格．
• オフィスアワー：金曜３限
• 教科書：市販教科書は使いません．本講義ノートに沿って進めます．
• 進行予定
1
はじめに, 電気の発見
16
磁力の発見，アンぺールの法則
2
電荷と電場
17
ビオ・サバールの法則
3
ガウスの法則
18
ビオ・サバールの法則
4
ガウスの法則
19
ビオ・サバールの法則
5
場の解析
20
中間試験２
6
場の解析
21
電磁場中の荷電粒子
7
電場と電位
22
電磁場中の荷電粒子
8
場の重ね合わせ
23
時間変化する磁場
9
場の重ね合わせ
24
電磁誘導の法則
10
中間試験１
25
電磁誘導の法則
11
金属と電場
26
時間変化する電場
12
静電容量
27
マックスウェル方程式
13
静電容量
28
マックスウェル方程式
14
電荷保存と直流
15
直流回路
期末試験
• 基礎数理総合演習 III
本科目と並行して基礎数理総合演習 III が開講されます．岸根が担当するのは計 7 回です．講義内容
に合わせた演習を準備します．
6
第 0 章 はじめに
し，直観と理論のバランスへの配慮に富
0.2 電磁気ブックガイド
む．通読するのは大変だが，一度はトラ
イするとよい．
九工大図書館（本館）にある電磁気関連書籍のうち
–『電磁気学』 ファインマン, レイトン,
ごく一部を紹介します．それぞれの本には長所と短
サンズ著/宮島龍興訳. 岩波書店, 1969
所があり，項目によって説明が分かりやすかったり
(ファインマン物理学:3). 本館閲覧室３
分かりにくかったりするものです．また，好みや相
階 420||F-5.
性もあります．学習の初期の段階では，乱読を進め
ファインマンの物理観がちりばめられて
ます．つまり，ちょっと読んでわからなければ他の
いる．あまり体系的ではないが，電磁気
本にあたってみる，それでもだめなら別の本の同じ
の全貌がある程度見えた段階で読むと大
ような個所を探し出して読んでみる．これを根気よ
変有用．
く続けながら自分なりの理解を作り上げて下さい．
• 一般的な教科書 (学部１・２年生向け)
–『電磁気学』 D. ハリディ, R. レスニッ
–『基礎の電磁気学 : マクスウェル方程式
から始める』 渡邊靖志著. 培風館, 2004.
本館 閲覧室３階 427||W-8.
ク, J. ウォーカー共著/野崎光昭監訳. 培
数学（ベクトル解析）が苦にならない人
風館, 2002 (物理学の基礎:3). 本館閲覧
には，本書の書き方のほうが気持よく理
室３階 427||H-18.
解できるだろう．
現象に根ざし，モチベーションを明確に
した記述が素晴らしい．
–『わかる電磁気学』松川宏著. サイエンス
社, 2008 (新・数理科学ライブラリ:物理
学 ; 3). 本館 閲覧室３階 427||M-16.
最近出たコンパクトな良書．具体例が多
く教育的．
–『アルテ 21 [企業・大学/実学シリーズ] 電
磁気』 高木正蔵編, オーム社，2005, 本
館 閲覧室３階 学生用図書 427||T-11.
–『電磁気学』 兵頭俊夫著. 裳華房, 1999
(裳華房テキストシリーズ - 物理学). 本
館 閲覧室３階 427||H-14.
–『電磁気学』 小出昭一郎著. 裳華房, 1997
• 比較的テーマを絞った入門書 (学部１・２年
生向け)
–『 静 電 磁 場 の 物 理 』日 本 評 論 社, 2004
(物 理 は 自 由 だ:2).
本館 閲覧室３階
420.7||E-3||2.
–『ガウスの法則の使い方』小野嘉之著. 共
立出版, 1998 (物理学演習 One Point:2).
本館 閲覧室３階 427.1||O-2.
–『ポケットに電磁気を』 勝本信吾著/パリ
ティ編集委員会編. 丸善, 2002 (パリティ
ブックス). 本館 閲覧室３階 427||K-41.
–『新しい物性物理』伊達宗行. 講談社,
2005 (ブルーバックス:B-1483). 本館 閲
覧室１階 文庫 408||B-2||1483.
(物理学). 本館 閲覧室３階 427||K-33.
物質科学への素晴らしい入門書．数式は
–『電磁気学:初めて学ぶ人のために』砂川
ほとんど出てこないので，気楽に読むだ
重信. 培風館, 1988. 本館 閲覧室３階
けで物質科学のエッセンスが身に付く．
427||S-25.
–『電磁気学』 砂川重信著. 岩波書店, 1987
(物理テキストシリーズ:4). 本館 閲覧室
３階 420.8||B-12||4.
–『電磁気学』 加藤正昭著. 東京大学出版
会, 1987 (基礎物理学:3). 本館 閲覧室３
階 427||K-27.
–『電磁気上, 下』 Edward M.Purcell [著]/
飯田修一監訳. 丸善, 1970-1971 (バーク
• 本格的な専門書（学部３年以上向け）
–『電磁気学 (新物理学シリーズ 2)』 平川
浩正. 培風館, 1976. 本館閲覧室３階
427||H-2.
コンパクトで無駄がなく，記述はいたっ
て簡潔で高級．演習が面白い．
–『電磁気学 (物理学選書 3)』高橋秀俊. 裳
華房, 1980. 本館 閲覧室３階 427||T-1||y.
427||T-7||b.
レー物理学コース:2). 本館閲覧室３階
数学的体系より現象の理解を重視した本
420||B-9||2-1.
格的専門書．
アメリカの教科書．有名なバークレー
物理学コースのなかの１巻．現象に根ざ
–『電磁気学 : 新しい視点にたって, 1, 2』
V. D. バーガー, M. G. オルソン共著/
0.2 電磁気ブックガイド
小林
郎, 土佐幸子共訳. 培風館, 1991-
1992. 本館 閲覧室３階 427||B-9||1.
身の回りの電磁気現象をいたるところに
取り込みながら，紛らわしい概念を明快
に説明．膨大な演習問題（解答つき）は
どれも素晴らしい．
–『電磁気学の基礎, 1, 2』太田浩一著. シュ
プリンガー・ジャパン, 2007. 本館 閲覧
室３階 427||O-15||1.
歴史に題材を求めながら電磁気学の体系
を俯瞰する名著．よくもここまで書ける
ものだと感心させられる．
–『理論電磁気学 第 3 版』 砂川重信. 紀伊
國屋書店, 1999. 本館 閲覧室３階 427||S-
11||3.
我が国の電磁気教科書としては最高峰に
位置づけられる名著．電磁気学を体系的
に極めたい人には必読書（２年生に進め
るには気が引ける？）．
• 電磁気学教科書の決定版 (大学院向け)
–『電磁気学, 上・下』 J.D. ジャクソン/西
田稔. 吉岡書店, 1994 (物理学叢書. 67.).
本館 閲覧室３階 427.7||J-3||
電磁気学教科書の最高峰かつ決定版．こ
の本を超える電磁気の本はない．2 年生
に進めるには気が引けるが，頂点を見て
おくのも無駄ではない．
• 演習書
–『詳解電磁気学演習』 後藤憲一, 山崎修一
郎共編. 共立出版, 1970. 本館 閲覧室３
階 427||G-3.
–『新・演習電磁気学』 阿部龍蔵著. サイエ
ンス社, 2002 (新・演習物理学ライブラ
リ:3). 本館 閲覧室３階 427.7||A-4.
–『電磁気学 : 大学演習 全訂版』 霜田光一,
近角聡信編. 裳華房, 1980. 本館 閲覧室
３階 427||S-1.
–『電磁気学演習』砂川重信著. 岩波書店,
1987 (物理テキストシリーズ:5). 本館 閲
覧室３階 420.8||B-12||5.
–『電磁気学演習』小出昭一郎編著/水橋誠
二, 荻原照男著. 裳華房, 1981 (基礎物理
学選書:21). 本館 閲覧室３階 420.8||K-
4||21-c.
7
9
第1章
電気の発見
• 電気と磁気の発見
– 紀元前 7 世紀頃：中国『易経』*1 に，「磁石は鉄を，琥珀はほこりを吸着する」という意味の文．
– 紀元前 600 年頃：タレス*2 が磁石を論じる．タレス自身が書いたものは残っていないが，アリス
トテレスが『霊魂論』で，
「タレスも，人々が記録していることから判断して，もし磁石は鉄を動
かすがゆえに霊魂を持つといったとすれば，霊魂を何かを動かすことのできるものと解したよう
だ」（山本義隆『重力と磁力の発見 1』 p.17）と書き残している．
– 紀元前 360 年前後：プラトン*3 が「琥珀や磁石がものを引き付けるというあの不思議な現象・・・」
という表現を『ティマイオス』中で使う．
– 1600 年：ギルバート*4 が『磁石及び磁性体ならびに大磁石としての地球の生理』を出版．ギル
バートは，琥珀のギリシャ語名 elektron から electricity（電気）という言葉を提案した．
– 1773 年：キャヴェンディッシュ*5 が帯電物体間に働く力が逆二乗法則発見（しかし発表せず）．
– 1785 年：クーロン*6 が帯電物体間に働く力をねじれ秤を使って測定し，クーロンの法則を確立．
– 1891 年：ストーニー*7 が，電気の素ををエレクトロンと呼ぼうと提案．
– 1897 年：トムソン*8 が，陰極線の正体が負に荷電した粒子（電子）であることを突き止める．
– 1912 年：ミリカン*9 が素電荷を測定し，結果を 1.592 × 10−19 Ｃと発表．
*1
*2
*3
*4
*5
*6
*7
*8
*9
儒教の基本テキストである五経の筆頭経典
紀元前 624-紀元前 546 頃．古代ギリシアにおける最古の自然哲学者
紀元前 427 −紀元前 347 年古代ギリシアの哲学者．ソクラテスの弟子，アリストテレスの師．
1544-1603．イギリスの医師，物理学者．静電気，磁気の研究を初めて体系化した．実験・実証に基づく科学研究スタイルを初
めて確立し，近代科学の確立に多大な影響を及ぼした．
1731-1810．イギリスの化学者，物理学者．
1736-1806．フランスの物理学者・土木技術者．
1826 − 1911．アイルランドの 物理学者．
1856-1940．イギリスの物理学者．J.J. トムソンと呼ばれる．1906 年ノーベル物理学賞．
1868-1953．アメリカの物理学者．
10
第1章
電気の発見
• 接触電荷誘起傾向
『電磁気』高木正蔵編（オーム社）
より
• キャヴェンディッシュとクーロンの実験
– キャヴェンディッシュの実験：同心導体球殻の外側の球殻に電圧をかけ，内側の球殻との間に電
位差が生じるか否かを検証した．これによって，クーロン力が距離の２乗に反比例するか否か検
証できる（その理由は少しあとで）．キャベンディッシュは，クーロンより 10 年以上前にこの実
験を行ったが，論文を公表しなかった．1879 年にマクスウェルが紹介するまで 100 年以上世に知
られなかった．
– クーロンの実験：ねじれ秤を使って帯電物体間の引力・斥力を測定し，クーロンの法則を確立．
教訓：結果は公表せよ．
クーロンの捩り秤
キャベンディッシュの装置
http://www.uibk.ac.at/exphys/museum/html/details/electr/cavendish.html.en
11
• クーロンの法則
– 距離 r[m] 離れて真空中に置かれた電荷 q[C]，Q[C] の二つの物体の間には，大きさ k
相互作用力 (クーロン力）が働く．
qQ
[N] の
r2
– クーロン力の定数： k = 8.9876 × 109 Nm2 C−2
1
と書かれる．真空の誘電率と真空の
4πε0
1
透磁率µ0 = 4π × 10−7 N/A2 を使うと真空中の光速 c = √
が得られる（詳しくは後で）
．真
ε0 µ0
空中の光速は普遍物理定数であり c = 299792458m/s である．ここから逆算して
クーロン力の定数は，真空の誘電率ε0 を使って k =
ε0 =
1
= 8.854 × 10−12 C2 /N · m2
c2 µ0
これから k の値を遡って計算するのが“本道”．
• 斥力と引力と：２物体間のクーロン力は，それらの電荷が同符号なら斥力，異符号なら引力になる．
このように，電荷の組み合わせによって斥力と引力が生じることがクーロン力の決定的な特徴である．
これに対して，重力（万有引力）には引力しかない．これら基本的な力の性質の違いが，自然界の成
り立ちを支配している．
• 自然界の長さスケール
• トップダウンとボトムアップ
– トップダウン：目に見える大きさの物質（マクロ）の性質を細かく砕いていって究極の構成要素
（ミクロ）に迫る．
– ボトムアップ：究極の構成要素（ミクロ）が何かを探り，これを集積させることで目に見える大
きさの物質（マクロ）の性質に迫る．
– ナノテクノロジー：10−9 m (1 ナノメートル) 付近がミクロ（原子・分子の世界）とマクロ（日常
の世界）の境目．
12
第1章
電気の発見
• 物質世界の成り立ち
机の上の消しゴム：原子スケールで見た表面
マクロスケール
~10-10m
~10-2m
-
+
-6
+
~10 m
-
ナノスケール
-9
原子
~10 m
-
-
+
+
+
+
+
+
-
• 原子間距離が 10Å 程度の領域では引力が作用し， 原子同士が互いにめり込む程度に近づくと強い反
発力に転じる． 固体表面間の垂直抗力と静止摩擦力の起源は，定性的にはこれによって理解できる．
• 物質は原子でできている
陽子・中性子・電子の持つ属性：質量と電荷
◎ 質量と質量のあいだの相互作用＝重力
◎電荷と電荷のあいだの相互作用＝静電気力 (=⇒ 電磁力)
=⇒ 共有結合, 金属結合, 水素結合, ファンデル・ワールス結合, 疎水性結合
-
+
+
-
+
• 素電荷 e = 1.602 × 10−19 C
原子
原子核
電子
+
質量
電荷
me
−e
陽子 1840me
+e
中性子 1840me
0
13
【問題】
1.1 以下の表現で，「電気」という言葉が意味する内容は実際のところ何なのか検討せよ．
1. 電気が暗い
2. 電気代がかさむ
3. 電気が流れる
4. 電気が走る
1.2 以下の主張はすべて間違いである．内容を検討せよ．
1. 絶縁体は電気を流さないから電気を持たない．
2. 送電線にぶら下がったら感電する．
3. 人間の致死電流は 50mA 程度なので，1.5V 乾電池に 1Ω の抵抗を繋いだ電気回路を触ると感電して
死ぬ．
4. 電気ウナギは自分自身でもかなり感電している．
5. スイッチを入れるとすぐ電気がつくので電流の速さは無限である．
6. ニンジンがオレンジ色に見えるのは，ニンジンがオレンジの光を出すからである．
1.3 指先のすべての原子から電子をはぎとって 1 価の陽イオンにしたとする. イオン化した指と指を 1cm
近づけたときの斥力の大きさは次のどれを持ち上げられる大きさに匹敵するか？
(ア) 消しゴム
(イ) 車
(ウ) この校舎全体 (エ) 皿倉山全体 (オ) 地球全体
1.4 日明港に出かけてコップ 1 杯の海水 (約 10−4 m3 ) を汲み, コップ内の水分子 (約 1024 個) に印をつけて
再び海に戻したとしよう. 地球の海水全体をよくかき混ぜた後に, 再びコップで海水を汲み上げる. 印を付け
た水分子はコップに何個くらい入っているだろうか？
地球の全海水の容積は約 1018 m3 である.
（ア）限りなくゼロに近い (イ) 10 個以下 （ウ）数百個 （エ）数万個 （オ）数億個
実習課題 サイエンス体験工房のバン・デ・グラーフ発電機で遊んでみよう．
http://chem.ch.huji.ac.il/history/ より
15
第2章
電荷と電場
• 物理的自然観
私たちは，すべての自然現象を時間と空間という入れ物の中で認識する．時空という入れ物が自然現
象の舞台であるなら，主な役者は物質 (物体)*1 である．物質は，質量や電荷といった固有の属性を持
つ．同種の属性を持つ物体どうしは相互作用することで力を及ぼしあう．たとえば質量を持つ物体間
には重力が働き，電荷を持つ物体間にはクーロン力が働く．相互作用の結果，物質の状態が変化し，時
空という舞台の上で自然現象が演じられるのである．物質が示す一連の状態変化を運動と呼ぶ．様々
な状態を観測し，測定を行い，運動の因果関係を自然法則に基づいて明らかにしていくのが物理学の
目的である．この作業を具体化するためには，
(1) 時空という入れ物をどう設定するか (座標系のセットアップ)，
(2) 物質の状態をどう表現するか (物理量の表現)，
(3) 物質の属性に応じてどんな相互作用が働くか (相互作用の解明)，
を個別に明らかする必要がある．その上で，
(4) 状態変化の因果関係を記述する法則 (物理法則) を見出す．
以上が物理学的な自然の捉え方である．
• 位置ベクトル
原点を始点とし，粒子（質点）の位置を終点とするベクトルを位置ベクトルと呼び, ⃗
r で表す．位置ベ
クトルは，粒子の位置を表す座標の組 (x, y, z) と同一視して
⃗r = (x, y, z)
と書くことができる．質点が運動するということは，時間とともに位置ベクトルが変化することであ
る．このため，位置ベクトル ⃗
r は時刻 t によってラベルされ， ⃗r(t) のように書かれなくてはならない．
位置ベクトルは時刻 t を変数とする関数である，というのと同じである． 同じベクトルでも, 基底の
選び方によって様々な表現が可能.
→
r
*1
物質は material, 物体は object であるが，特に区別しないことにする
16
第2章
電荷と電場
• 物理量の分類
– スカラー (scalar) 量：大きさしか持たない量
例：質量, 密度, 時間, 長さ, 温度
– ベクトル量：大きさだけでなく, 方向と向きを持つ量
例：位置, 変位, 速度, 加速度
• 座標系
– 2 次元直交座標 (x 座標と y 座標)：⃗a = (ax , ay ) = ax ı̂ + ay ̂
基底ベクトル ı̂ = (1, 0), ı̂ = (0, 1)
– 2 次元極座標 (動径 r と偏角 θ)：⃗a = (r cos θ, r sin θ) = r cos θı̂ + r sin θ̂ = rr̂
基底ベクトル r̂ = (cos θ, sin θ), θ̂ = (− sin θ, cos θ)
y
^
ȟ
^
Ѝ
r
a
ay
a
ȟ
^
j
^
i
ax
x
2 ḟඖ┤஺ᗙᶆ
2 ḟඖᴟᗙᶆ
• 場
– その場の雰囲気に噛み合わない発言などをすると「空気読めない」といわれる．では，「その場の
雰囲気」は誰が作り出しているのか？また，「空気を読む」にはどうすればよいのか？
– 一般に，場を作り出す源を場の源 (source)，それが作り出す空間のパターンを場 (field) と呼
ぶ．場を感じ取るのが粒子 (particle) である．源があって場ができ，これを粒子が感じ取るとい
うわけである．ここで要注意なのは，場の源と粒子は立場が入れ替わることもあり得るというこ
とだ．だから，特定の状況下で，何を源とみなし何を粒子とみなしているのか，立場をきちんと
把握する必要がある．
– 原点に電荷 Q を帯びた物体Ｓがあると，これが源となって周囲の空間に特定のパターン，電場を
作る．この空間内の位置ベクトル ⃗
r の点に電荷 q を帯びた別の粒子Ｐがやってくる．ＰはＳから
クーロン力を感じる．その場の雰囲気を読むわけである．Ｐが感じるクーロン力の大きさと向き
を一挙に表現すると
qQ
⃗
F⃗ = k 3 ⃗r = q E
r
と書ける．ここで，
⃗ = k Q ⃗r
E
r3
とおいた．まずはこのようなベクトル記法に慣れよう．
⃗ を，Ｐが力 q E
⃗ として感じ取る」と考える．つまり，Ｓが
– ここで「Ｓが位置 ⃗r に作り出す電場E
主役となって周辺の空間の属性を変え，これをＰが感じていると考えるのである．
– ここでは，Ｐのことを「場を探る探針 (probe)」ととらえた．この意味で，q を試験電荷と呼ぶ．
17
• 電気力線
– 場の分布をイメージするにはどうすればよいか？これには，試験電荷が感じる力の向きと大き
さを空間に描き込んでいけばよい．矢印の分布をは曲線の集合体となる．これらを電気力線と呼
ぶ．このアイデアを思いついたのがファラデー*2 である．単に「場の様子を図示せよ」といった
場合，「電気力線を図示せよ」というのと同じことである．
• 孤立した正電荷による電気力線
• 場の源が複数ある場合
⃗ 1 に電荷 Q1 ，位置 R
⃗ 2 に電荷 Q2 がある場合はどうなるだろう．
– 場を作り出す源として，位置 R
これらが位置 ⃗
r に作り出す電場はそれぞれ
⃗1 = k
E
Q
⃗ 1 |3
|⃗r − R
⃗ 1 ),
(⃗r − R
⃗2 = k
E
Q
⃗ 2 |3
|⃗r − R
⃗ 2 ),
(⃗r − R
である．
試験電荷 q
×
Q2
→
r
Q1
→
R2
→
R1
O
*2
1791-1867．近代電磁気学の父と呼ばれるイギリスの化学者・物理学者。
18
第2章
電荷と電場
⃗ 1 (⃗r)，q E
⃗ 2 (⃗r) の
• 重ね合わせの原理：試験電荷 q を位置 ⃗r に持ってくれば，各電荷からそれぞれ，q E
力を受ける．これらの合力は
→
⃗ 1 + q−
F⃗合 = q E
E2
である．つまり，位置 ⃗
r には合成電場
→
⃗合 = E
⃗1 + −
E
E2
ができていることになる．このように，各点であちらこちらの源から作られる合成電場は，各々の電
場を足し合わせる（重ね合わせる）ことで求められる．これを重ね合わせの原理と呼ぶ．
• ふたつの源がある場合の電気力線の例
19
• 4 つの源がある場合の電気力線の例
• 多数の魚は探知と情報伝達のため電場を使っている (『ライフサイエンス物理学』Kane and Sternheim,
廣川書店，より)．
20
第2章
電荷と電場
【問題】
2.1 2 次元ベクトル場
⃗ r) = (x, y) を図示せよ．
A(⃗
2.2 2 次元ベクトル場
⃗ r) = ⃗r
A(⃗
r
2.3 2 次元ベクトル場
⃗ r) = (−y, x) を図示せよ．
A(⃗
を図示せよ．ここで，⃗
r = (x, y)，r =
p
x2 + y 2 である．
2.4 下図は，富士山の等高線図である．傾斜勾配の分布を図示せよ．
http://www.edu.gunma-u.ac.jp/ hayakawa/project/kazan3D/kashmir/contour/fuzi2.gifより
2.5 xy 平面上の点 (0, a) に点電荷 +q ，点 (0, −a) に点電荷 −q が置かれている．原点から遠く離れた点
⃗r = (x, y) での電場を考える．
(1) y 軸上で，原点から遠く離れた点での電場が
Ex = 0,
Ey ≅ 2k
P
y3
となることを示せ．ここで，P = qd を電気双極子モーメントと呼ぶ．
(2) x 軸上で，原点から遠く離れた点での電場が
Ex = 0,
Ey ≅ −k
P
x3
となることを示せ．
実習課題 Mathematica でベクトル場を描く練習をしてみよう（情報端末室の整備ができ次第）．
21
2.1 の解答
2 次元ベクトル場
2.2 の解答
2 次元ベクトル場
⃗ r) = (x, y)
A(⃗
⃗ r) = ⃗r
A(⃗
r
22
第2章
2.3 の解答
2 次元ベクトル場
⃗ r) = (−y, x)
A(⃗
電荷と電場
23
第3章
電場のフラックス，立体角，ガウスの法則
• 大域的 (global) 法則：「表面を撫でて内側を知る」タイプの法則を大域的法則という．大域的な法則
は積分で表現される．積分とは細かく分けてから積み上げることである．
例：地表を貫く熱流から地球内部の熱源を探る ⇒ 地上の熱流を積分すれば湧き出す熱の総量がわ
かる．
• 局所的 (local) 法則：逆に，「ある点での情報を直近の情報と結びつける」タイプの法則を局所的法則
という．局所的な法則は微分で表現される．微分とは，微小なものに分けることである．つまり時間
と空間を微小分割し，隣接する微小領域との関係を知ろうということである．
例：運動する質点の，時刻 t と時刻 t + dt での位置の差は，速度 v を使って x(t + dt) − x(t) = vdt と
書ける．書き直すと v =
dx
.
dt
• 表面，内部，縁，パッチワーク
• 電磁場の法則：どんな源がどんな場を作るかを教えるのが場の物理法則である．場の物理の法則はす
べて大域的（積分形），局所的（微分形）いずれの形にも表現できる．電磁場の基本法則はマックス
ウェル方程式と呼ばれる４つの方程式にまとめられるが，これらも積分形，微分形いずれでも表現で
きる．解きたい問題に応じて使い分けることになる． まずは積分形から始めていく．
• ガウス面，立体角： プラネタリウムのドームのような球面状の壁を持つ部屋の中心に立っていると想
像しよう．この球 (参照球) の半径を 1 としておく．外の景色は，すべてドームの壁に映し出される
形でしか見えない．このとき，壁の外側を曲面 S (ガウス面と呼ぶ) で囲み，曲面 S 上の微小領域 dS
24
第3章
電場のフラックス，立体角，ガウスの法則
（面積 dS ）を取り出す．球の中心から微小領域までの距離を r とする．このとき，ドームの壁に映る
微小領域の面積 dΩ と，微小領域本来の面積 dS との関係は
dS cos α = r2 dΩ
となる．ここで，板 S の法線ベクトル（面に垂直な単位ベクトル）を n̂ として，α は n̂ と ⃗
r のなす角
である．ここに現れた dΩ を，微小領域dS を見込む立体角という．立体角は参照球面の一部分の面積
なので，これらを全部足し合わせれば必ず 4π になる．このことを
ZZ
S
dΩ = 4π
と表現する．つまり，立体角の積分は 4π である．積分記号に S を添えることで，ガウス面 S 上を掃
きつくすように積分を実行することを明示する．
ガウス面S
r→
法線ベクトル
立体角 dΩ
ᵼ
n
α
dS cosα
• フラックス： 放射状に水を放出できるスプリンクラーを思い浮かべよう．スプリンクラーを網で囲む
（網面がガウス面）．網上の単位面積を毎秒 v リットルの水流が貫くとする．このとき，網全体を毎秒
通過する（フラックスと呼ぶ）は
ZZ
ZZ
Φ=
v cos αdS =
S
S
vr2 dΩ
と書けるだろう．α は水流が，網を貫く点で網の法線となす角である．ここで，S は網の表面（ガウ
ス面）を表す．フラックのイメージと数学的な表現が理解できるだろうか？
• 電場のフラックス： 点電荷 q の作る電場は
⃗ =
E
1 q
⃗r
4πε0 r3
25
である．対応する電気力線を，先ほど考えたスプリンクラーからの水流と見立て，電場のフラック
スなるものを調べよう．点電荷を囲む曲面 S を貫くフラックスを求めるには，
ZZ
Φ=
S
E cos αdS
を計算すればよいことになる．α は電気力線がガウス面 S を貫く点で法線となす角であり，
⃗ · dS
⃗
E cos αdS = E
と書いてもよい．ここで，
⃗ = n̂dS
dS
を面積要素ベクトルと呼ぶ．
dS cos α = r2 dΩ の関係を使うと，電場のフラックスは
¶
ZZ µ
q 1
Φ=
r2 dΩ
4πε0 r2
S
となる．ここで決定的なことが起きている．クーロンの法則から来る
1
と面積要素から来る r 2 が打
r2
ち消し合い，r が消える！これは大変神秘的なことである．クーロン電場という物理的特性と空間の
属性がうまく折り合うのである．これより，
Φ=
q
4πε0
ZZ
S
dΩ =
q
q
4π =
4πε0
ε0
となる．
• ガウスの法則（積分形）： 以上まとめると
ZZ
⃗ · dS
⃗= q
E
ε0
S
これが，静電気に関するもっとも基本的な法則であるガウスの法則（の積分形）である．この関係式
はガウス面 S が電荷 q をその内側に囲みこんでいる限り必ず成り立つ．つまり，ガウス面 S としてど
んな閉曲面（穴のない閉じた曲面）を考えても成り立つのである．
• 複数の点電荷：ここまでは一つの点電荷の作る電場を考えたが，たくさんの点電荷 q1 , q2 , · · ·, qN が
寄せ集まっている場合はどうなるだろう．この場合，点電荷 q を，ガウス面 S 内部にある全電荷で置
き換えればよい．つまり，
PN
j=1 qj
と置き換えればよいだけである．つまり，ガウスの法則は
ZZ
N
1X
⃗
⃗
qj
E · dS =
ε0 j=1
S
となる．
ガウス面
離散電荷分布
26
第3章
電場のフラックス，立体角，ガウスの法則
• 電荷の連続分布：では，電荷がべちゃっと寄せ集まって 連続的に分布 している場合はどうなるだろ
う．この場合，和
N
X
qj を積分に置き換える必要がある．どうすればよいだろう．空間の微小領域
j=1
(体積 dV ) 内部の電荷は，密度 ρ を使って ρdV と書ける．よって，これをガウス面 S 内部の領
ZZZ
域 V で積分すれば，全電荷は
ZZ
V
ρdV と書ける．これより，ガウスの法則は
1
⃗
⃗
E · dS =
ε0
S
ZZZ
V
ρdV
となる．だんだんと見た目がごっつくなってきたが怖がる必要はない．ガウスの法則を言葉で表すと，
任意の閉曲面（ガウス面）を貫く電場のフラックスは，ガウス面内部に含まれる全電荷をε0 で割った
ものに等しいとなる．
ガウス面
連続電荷分布
27
【ガウスの法則を使って電場を求める問題】
注意：ガウスの法則は電荷分布の対称性が良い場合に限り実用的である．
3.1 半径 a の球面上に電荷が一様分布している場合の電場を求めよ．電荷の面密度を σ とする．
3.2 無限に長い直線上に電荷が一様分布している場合の電場を求めよ．電荷の線密度を λ とする．
3.3 半径 a の球内に電荷が一様分布している場合の電場を求めよ．全電荷を Q とする．
3.4 数年前福岡県志摩町の海岸付近に落雷があり, 沖合でサーフィンをしていた 5 人がけがをした。落雷
と稲妻について考えよう．稲妻は, 雷雲から大地へ伸びた電荷の柱が周囲に作る電場が空気の絶縁破壊電場
(3 × 106 N/C) を超えた場合に発生する． 電荷の柱は無限に長い直線状の電荷分布であると仮定し, 典型的
な線電荷密度として λ = 1.0 × 10−3 C/m をとる． このとき, 稲妻の半径（つまり, 電荷の柱による電場が絶
縁破壊電場を超える領域の半径) を見積もれ． 真空の誘電率は ε0 = 8.85 × 10−12 C2 /N·m2 である．
3.5 半径 a の球面上に電荷が一様分布している場合, 球の内部に電場は存在しない．
qQ
(1) 神様がいたずらしてクーロンの法則が F = k 2 でなく，
r
F =k
qQ
r2.1
になったら，球内部の電場はどうなるか？
(2) キャヴェンディッシュは，同心導体球殻の外側の球殻に電圧をかけ，内側の球殻との間に電位差が生じ
るか否かを調べた．これによって，クーロン力が距離の２乗に反比例するか否か検証した．なぜこの実験に
よって逆２乗則が検証できるのか説明せよ．
3.6 1904 年に J.J. トムソンが提案した原子模型 (プラムプリン模型) では，半径 a の球内に電荷が一様分
布し (全電荷 Q)，その中を電荷 −e の電子が何個か存在して全体として中性になっている．
(1) 電子は電荷分布の中心のまわりに単振動することを示せ．
(2) a = 0.53 × 10−10 m, e = 1.6 × 10−19 C, m = 9.1 × 10−31 kg として振動数を求めよ．
http://www.welsch.com/
28
第3章
電場のフラックス，立体角，ガウスの法則
【参考】絶縁破壊
物質に強い電場をかけると，原子・分子から電子がはぎとられる（電離）
．この結果，原子・分子はイオン
化して帯電する．はぎとられた電子は原子・分子に衝突してこれらを電離する．このプロセスに歯止めが利
かなくなると絶縁体に電気が流れることになる．これが絶縁破壊現象である．
また，気体における絶縁破壊を気体放電とよぶ．気体放電はコロナ放電，火花放電，全路破壊に分類でき
る．詳しくは，
『アルテ 21 [企業・大学/実学シリーズ] 電磁気』高木正蔵編, オーム社の p.38 を見よ．
『アルテ 21 [企業・大学/実学シリーズ] 電磁気』 高木正蔵編, オーム社，より
29
第4章
場の解析，静電ポテンシャル，電位
4.1 保存力
原点に電荷 Q が固定されている．x 軸上を動ける質量 m のビーズ玉に電荷 q を与え，適当にはじいて運
動させる．このとき，ビーズ玉の運動方程式は
m
dv
qQ
=k 2
dt
x
となる．両辺に v = dx/dt をかけて変形する：
mv
dv
qQ dx
=k 2
dt
x µ
dt
µ
¶
¶
d 1
qQ
d
2
=⇒
−k
mv =
dt 2
dt
x
µ
¶
d 1
qQ
=⇒
mv 2 + k
=0
dt 2
x
1
qQ
=⇒ mv 2 + k
= E (一定)
2
x
このように，運動方程式をいじってそこに潜む保存量E を発見することができた．この保存量 E には，力学
的エネルギーという名前が付いていたのであった．また，
U (x) = k
qQ
x
には，位置エネルギー (ポテンシャル) という名前が付いている．以降，ポテンシャルという呼び方を使い続
けることにする．
さて，この作業を一般化しよう．力として，位置だけの関数 F (x) を考える．この関数は，やはり x の関
数である U (x) を使って
F (x) = −
dU (x)
dx
と書けるとする．すると，
mv
dv
dx
= F (x)
dt
dt
µ
¶
d 1
d
2
mv =
(−U (x))
=⇒
dt 2
dt
¶
µ
d 1
2
=⇒
mv + U (x) = 0
dt 2
1
=⇒ mv 2 + U (x) = E (一定）
2
となる．つまり，この U (x) こそがポテンシャルである．
F と U の関係はまた，
Z
U (x) = −
x
x0
F (x′ )dx′
と書くこともできる．x0 は任意の基準点である．このように，位置だけで決まり，ポテンシャルによって表
せる力を保存力と呼ぶ．
30
第 4 章 場の解析，静電ポテンシャル，電位
問題 4.1 以下の運動について，力学的エネルギー保存則を導け．
(1) 単振動 (2) 太陽の周りの地球の運動
4.2 保存力のする仕事は経路によらない
物体が力 F (x) を受けて始点 x1 から終点 x2 まで移動したとする. このとき,
Z
力 F は物体に対して仕事 Wx1 →x2 =
という. F が保存力である場合，F (x) = −
Z
Wx1 →x2 = −
x2
x1
F (x′ )dx′ をした
dU (x)
なので
dx
x2
x1
dU (x′ ) ′
dx = U (x1 ) − U (x2 )
dx′
となる．つまり，
保存力のする仕事は途中の経路によらず，始点と終点だけで決まる
これよりただちに次のことが言える：
始点と終点が一致していれば，保存力のする仕事はゼロである
4.3 電位
さて，最初の例に戻ろう．原点に電荷 Q が固定されていると，x 軸上に電場
E(x) = k
Q
x2
ができている．電場を使うと，ポテンシャルは
Z
U (x) = −q
x
x0
E(x′ )dx′
となる．そこで，
Z
U (x)/q = V (x) = −
x
x0
E(x′ )dx′
と書くと電場は
E(x) = −
dV (x)
dx
と書けることになる．この V (x) を，基準点 x0 に対する位置 x での電位と呼ぶ．クーロン電場の場合，
基準点を無限遠点 にとり，x0 → ∞ とする．すると，
Z
V (x) = −
x
∞
k
·
¸x
Q ′
Q
Q
=k
dx
=
k
x′2
x′ ∞
x
となる．これがよく知られたクーロン電場の電位である．電位とポテンシャルの関係は
U (x) = qV (x)
なので．電位とは単位電荷あたりのポテンシャル（位置エネルギー）であるといえる．電位の単位はボルト
[V] である．
問題 4.2 空間に固定された +Q の電荷をもつ粒子 A に向かって，無限遠方から同じく +Q の電荷をもつ
粒子 B が近づいている．無限遠方での B の早さは v0 だった．ＢはＡにどの距離まで近づけるか？
4.4 3 次元の場合の電場と電位
31
4.4 3 次元の場合の電場と電位
スカラー場V (⃗
r) があるとき，これからつくられるベクトル場
µ
∂V (⃗r) ∂V (⃗r) ∂V (⃗r)
,
,
∂x
∂y
∂z
¶
⃗ (⃗r) あるいは grad V (⃗r) と書く．つまり，(⃗r) を省略して書くと
をその勾配と呼び，∇V
⃗ =
∇V
µ
∂V ∂V ∂V
,
,
∂x ∂y ∂z
例として，
V =
（r =
p
x2 + y 2 + z 2 ）について
¶
.
1
r
⃗ = − ⃗r
∇V
r3
となることを確かめよ．以上が準備．
さて，原点に源泉電荷 Q が固定されている．位置 ⃗
r にある電荷が感じる電場は
⃗ = k Q ⃗r
E
r3
であった．
q
r→
Q
源泉電荷
⃗ = − ⃗r3 ）を使うと，
さきほどの関係（∇V
r
V =k
Q
r
とおけば
⃗ = −∇V
⃗
E
の関係があることがわかる．これが，電位と電場の関係の 3 次元版である．
このときエネルギー保存則はどうなるだろう．電荷 q の運動方程式は
m
であるから，この両辺に ⃗v =
m⃗v ·
d⃗v
⃗
= −q ∇V
dt
d⃗r
をかけて（内積をとって）
dt
d⃗v
d⃗r ⃗
= −q · ∇V
dt
dt
µ
¶
d 1
dy ∂V
dz ∂V
dx ∂V
⇒
m⃗v 2 = −q
−q
−q
dt 2
dt ∂x
dt ∂y
dt ∂z
µ
¶
d 1
dV
⇒
m⃗v 2 = −q
dt 2
dt
¶
µ
d 1
⇒
m⃗v 2 + qV = 0
dt 2
1
=⇒ mv 2 + qV = E (一定）
2
32
第 4 章 場の解析，静電ポテンシャル，電位
と変形できる．qV がたしかにポテンシャルとしての意味を持っていることがわかる．
ここまでは，微分的（局所的）な関係だけ考えた．問題は，積分形 V =?? の形にもっていくことである．
こたえは
Z
V (⃗r) = −
⃗
r
⃗
r0
⃗ r′ ) · d⃗r′
E(⃗
である．この式の意味は，位置 ⃗
r0 から ⃗r まで，ある経路にそっと場に逆らってゆっくりと試験電荷を動かす
のに要する仕事に対応している．以下，この様子をもう少し詳しく見ていこう．その前に．
．
．
⃗ を計算せよ．
問題 4.3 ∇r
問題 4.4 点 ⃗
r0 に点電荷 Q があるとき，点 ⃗r での電位 V (⃗r) は
V (⃗r) =
Q
1
4πε0 |⃗r − ⃗r0 |
⃗ r) を求める式を書き，その意味をよく理解せよ．
と書ける．電場 E(⃗
問題 4.5 点 ⃗
r1 , ⃗r2 , · · · ⃗rN , に点電荷 Q1 , Q2 , · · · QN , があるとき，点 ⃗r での電位 V (⃗r) は
V (⃗r) =
N
1 X Qj
4πε0 j=1 |⃗r − ⃗rj |
⃗ r) を求める式を書き，その意味をよく理解せよ．
と書ける．電場 E(⃗
問題 4.6 原点に電気双極子モーメント p
⃗ が置かれている．このとき，十分な遠方での電位が
V (⃗r) =
1 p⃗ · ⃗r
4πε0 r3
で与えられることが分かっている．対応する電場を計算せよ．
問題 4.7 下の図の曲線はそれぞれ等電位線（電位が等しい点をつないだ線）を表す．欄外の数値はボルト
単位で表した電位の値で，座標軸の目盛りはメートル単位である．
(1) 点Ｐを通る電気力線を書き込め．
(2) 点Ｑでの電場の大きさ EQ のおよその値を図から求めよ．
(3) 点Ｐでの電場の大きさ EP のおよその値を図から求めよ．
4.5 経路に沿った積分：線積分
33
4.5 経路に沿った積分：線積分
平面上で位置 ⃗
r0 から ⃗r まで 折れ線経路 に沿って段階的に力を変えて物体を動かすときの仕事は
w=
N
−1
X
f⃗(⃗rj ) · (⃗rj+1 − ⃗rj )
j=0
と書ける．
r→
r→
0
では， ⃗
r0 と ⃗r はそのままに N が非常に大きくなったらどうなるか？ 細かく分けて積み上げるのが積分な
ので，積分記号を使って
Z
w=
⃗
r
⃗
r0
f⃗(⃗r) · d⃗r
と書けばよい．
r→
C
r→
0
これまでにない新しい点は，経路 C を分割して足しあげているとうことである．このような積分を経路 C
に沿った線積分という．線積分は，始点と終点を指定しただけでは決まらない．経路まで指定して初めて決
まる量である．
Z
⃗
r
f⃗(⃗r ′ ) · d⃗r ′ を計算せよ．
⃗
r0
√
⃗r0 = (0, 0), ⃗r = (1, 1) とする．経路 1: y = x， 経路 2: y = x2 ， 経路 3: y = x
問題 4.8 以下の 3 通りの経路に沿って，ベクトル場 f⃗ = (x, y) の線積分
y
(1,1)
③
①
②
x
(0,0)
答 経路 1 上では，f⃗ = (x, y) = (x, x) かつ d⃗
r = (dx, dy) = (dx, dx) なので
f⃗ · d⃗r = 2xdx
よって求める積分は
Z
1
0
2xdx = 1
34
第 4 章 場の解析，静電ポテンシャル，電位
経路 2 上では，f⃗
= (x, y) = (x, x2 ) かつ d⃗r = (dx, dy) = (dx, 2xdx) なので
f⃗ · d⃗r = xdx + 2x3 dx
Z
よって求める積分は
1
0
経路 3 上では，f⃗
= (x, y) = (x,
√
(x + 2x3 )dx = 1
x) かつ d⃗r = (dx, dy) = (dx, 12 x−1/2 dx) なので
1
f⃗ · d⃗r = xdx + dx = (x + 1/2)dx
2
Z
よって求める積分は
1
0
(x + 1/2)dx = 1
3 通りの経路に沿っての積分はすべて同じになった．これは偶然か必然か？
この問題の答えがみんな同じになったのは必然 である．実は，
1
V (⃗r) = − (x2 + y 2 )
2
というスカラー場を用意すると
fx = −
∂V
∂V
, fy = −
,
∂x
∂y
とかける（２次元なので z は必要ない）
．つまり
f⃗ = −
µ
∂V ∂V
,
∂x ∂y
¶
⃗
≡ −∇V
である．よって，始点が ⃗
r0 = (0, 0), 終点が ⃗r = (1, 1) であるかぎり 経路によらず 積分はすべて
Z
f⃗ · d⃗r = −
Z
dV = −V (⃗r) + V (⃗r0 ) = 1
なのである！
確認 x と y の関数 dV (x, y) の全微分が
dV =
∂V
∂V
dx +
dy
∂x
∂y
となることはＯＫだろうか？
以上の話を一般化すると，
⃗ の線積分は経路によらない
スカラー場V を使って書けるベクトル場 f⃗ = −∇V
ということがわかる．
⃗ を求めよ．
問題 4.9 スカラー場 V (⃗
r) = mgz （m, g は定数）について −∇V
4.6 ガウスの発散定理：表面情報と内部情報を結びつける式
35
4.6 ガウスの発散定理：表面情報と内部情報を結びつける式
いまから，電磁気学第１の基本法則であるガウスの定理の「微分形」を導く準備をする．運河に沿った流
水を思い浮かべよう．話を簡単にするため一方向 (x 軸方向) の流れを考えるが，流速は場所場所で異なると
する． つまり，流速は位置 x の関数として v(x) と書かれる（流速の場）
．
∆y
∆z
v(x)
∆x
x
㠃࡛ࡢὶ㏿
v(x−∆x/2)
㠃࡛ࡢὶ㏿
v(x+∆x/2)
㠃ࡢ㠃✚せ⣲
࣋ࢡࢺࣝ
− ∆y∆zn
㠃ࡢ㠃✚せ⣲
࣋ࢡࢺࣝ
^
^
∆y∆zn
いま，運河に 3 辺の長さ ∆x, ∆y, ∆z の微小な直方体のカゴ (金網か何かでできていて流れを乱さないとす
る) を沈める．カゴの中心位置を (x, 0, 0) とすれば，流れと垂直な面 1 と面 2 はそれぞれ (x−∆x/2, 0, 0), (x+
∆x/2, 0, 0) にある． 面 1 と面 2 の面積はどちらも ∆y∆z だが，面積要素ベクトルの向きは逆向きである．
すると単位時間あたり，面 1，面 2 を通ってカゴから流出する水の容積は
v(x + ∆x/2)∆y∆z − v(x − ∆x/2)∆y∆z ≅
|
{z
} |
{z
}
面 2 を通って流出
面 1 を通って流出
∂v(x)
∆x∆y∆z
∂x
となる． 面 1 と面 2 の法線ベクトルを −n̂, +n̂ とすれば， おのおのの面積要素ベクトルは
⃗1 = −∆y∆zn̂,
∆S
⃗2 = +∆y∆zn̂,
∆S
と書ける． また，表示に一般性を持たせるために, 面 1 と面 2 の位置での流速ベクトルを ⃗v1 , ⃗v2 と書く． す
ると,
⃗1 + ⃗v2 · ∆S
⃗2 = ∂vx (x) ∆x∆y∆z
⃗v1 · ∆S
∂x
と書ける． 流れが 3 次元的であれば, 位置 ⃗
r = (x, y, z) での流速は ⃗v (⃗r) のように書ける．以上の考察を拡
張すれば，カゴの全面（6 面ある）に出入りする水の容積は
⃗1 + ⃗v2 · ∆S
⃗2 + ⃗v3 · ∆S
⃗3 + ⃗v4 · ∆S
⃗4 + ⃗v5 · ∆S
⃗5 + ⃗v6 · ∆S
⃗6
⃗v1 · ∆S
·
¸
∂vx (x) ∂vy (x) ∂vz (x)
=
∆x∆y∆z
+
+
∂x
∂y
∂z
⃗ · ⃗v (⃗r)∆x∆y∆z
=∇
ということになる．
36
第 4 章 場の解析，静電ポテンシャル，電位
4
16
5
2
3
ここまではカゴが微小であると考えたが，これを大きさのある面に広げて足し合わせればガウスの発散
定理
ZZ
S
⃗=
⃗v (⃗r) · dS
ZZZ
V
⃗ · ⃗v (⃗r)dV
∇
が得られる．
ガウスの発散定理は, 単位時間につき金網カゴ内で湧き出した水がカゴの面を通過する流束 (フラックス)
として外に出て行く, というごく自明の理の数学表現に過ぎない.
問題 4.10 ベクトル場
⃗v (⃗r) = (y 2 , 2xy + z 2 , 2yz)
を，1 辺の長さ 1 の立方体の面に沿って積分することにより，ガウスの発散定理を確認せよ．6 面全部につい
てチェックする必要があるのでしんどいが頑張ろう．
4.7 ガウスの法則の微分形
ガウスの法則で, 考えている閉曲面 S 内の領域 V に含まれる全電荷 Q というは, 電荷密度 ρ [C/m3 ] を用
ZZZ
いれば
Q=
と書かれる． よって,
ZZ
V
ρ(⃗r)dV
⃗ r) · dS
⃗= 1
E(⃗
ε0
S
ガウスの発散定理によれば,
ZZ
S
⃗ r ) · dS
⃗=
E(⃗
ZZZ
である． つまり
ZZZ
V
ZZZ
V
⃗ · E(⃗
⃗ r)dV = 1
∇
ε0
V
ρ(⃗r)dV
⃗ · E(⃗
⃗ r)dV
∇
ZZZ
V
ρ(⃗r)dV
これが任意の曲面について成り立つので,
⃗ · E(⃗
⃗ r) = 1 ρ(⃗r)
∇
ε0
これは, ガウスの法則の微分形と呼ばれる．
4.8 ポアソン方程式
電場と電位の関係をガウスの法則の微分形に代入すると, ポアソン方程式
⃗ · [−∇V
⃗ (⃗r)] = 1 ρ(⃗r)
∇
ε0
µ 2
¶
∂
∂2
∂2
1
=⇒ −
+
+
V (⃗r) = ρ(⃗r)
2
2
2
∂x
∂y
∂z
ε0
⃗ 2 V (⃗r) = − 1 ρ(⃗r)
=⇒ ∇
ε0
4.8 ポアソン方程式
37
⃗ 2 をしばしば ∆ と書き，これをラプラス演算子（ラプラシアン）と呼ぶ．ラプ
が得られる．ここに現れた ∇
ラシアンをつかい，さらに (⃗
r) を省略するとポアソン方程式は
∆V = −
1
ρ
ε0
とすっきり書ける．
問題 4.11 平行平板の陰極と陽極にはさまれた空間内で, 陰極から距離 x の点での電位が V = V0 (x/d)4/3
で与えられるという. このときの電荷分布を求めよ.
39
第5章
導体と自由電子
5.1 自由電子
これまでは，固定された源泉電荷がどんな電場を作るか，ということを問題にしてきた．今度は，
（源泉は
問わず）電場が与えられた場合，電荷がどう応答するかという問題に視点を移す．
「結晶中を動き回れる（遍歴する）荷電粒子＝自由電子」を持つ物質を導体という．金属は導体である．も
ちろん，物質中の電子は全て原子から来る．自由電子は，親元である原子から離れて放浪するきままな電子
である．
銅の陽イオン
-e
+
Cu
+
Cu
-e
-e
自由電子
Cu
+
-e
+
Cu
-e
+
Cu
一方，このような気ままな自由電子を全く持たない物質を絶縁体という．非金属は絶縁体である．元素の
周期表では，B（ホウ素）と At（アスタチン）を結ぶ直線が絶縁体と導体の境目となる．
非金属
金属
40
第 5 章 導体と自由電子
元素
n[×1028 /m3 ]
Na
2.65
Cu
8.47
Ag
5.86
Au
5.90
Fe
17.0
Mn
16.5
自由電子の密度
5.2 静電場中の導体
導体に静電場をかけると，きわめて短時間の間に自由電子が電場に加速されて移動する．この結果，すべ
ての自由電子は表面まで来て止まる．この現象を静電誘導という．この自由電子の大移動は，導体内部の電
場がゼロになって全体として平衡状態に達した時点で終了する．導体の平衡状態では，自由電子が表面に分
布し，全体として静止する．このことから，以下のことが言える．
広瀬 立成「EとH,DとB (物理学One Point 10) 」
（共立出版 ，1981）
より
• 電場中に導体を置くと，自由電子はすべて表面に分布し，内部の電場はゼロになる
• 導体内はすべて等電位である
• 電気力線は導体表面に垂直に入る
• 導体表面の表面電荷密度を σ とすると，そのすぐ外側の電場の強さは σ/ε0 である．
———————————————————————————————————————
問題 5.1 (1) 導体表面のすぐ外側の電場の強さが σ/ε0 であることを示せ．
(2) 導体の表面には，σ の正負にかかわらず 単位面積あたり σ 2 /2ε0 の張力（外向きの力）が表面に垂直に作
用することを示せ．この張力を静電張力（electric tension）または静電応力（electric stress）と呼ぶ．
ヒント：表面の周囲の電場は，表面電荷自身が作る電場と，それ以外の電荷が作る電場の合成電場である．
また，境界面で電場の法線成分は連続である．
———————————————————————————————————————
5.3 コンデンサー
41
5.3 コンデンサー
はじめ電気的に中性だった導体を帯電し，さらに帯電による余剰電荷を 保持 するにはどうすればよいだろ
う．電荷が保持できればそれを好きなように取り出せるので大変便利である．一般に，余剰電荷を保持でき
る装置をコンデンサー (condenser) またはキャパシター (capacitor) と呼ぶ．下図は，代表的な市販コン
デンサーの構造である．この装置でなぜ電荷を保持できるのか考えよ．
http://www.digitivity.com/articles/capacitor-breakdown-thumb-404x615.jpg より
5.4 静電型マイクロフォン
マイクロフォンは，音波＝空気の振動を電気信号に変換する装置である．マイクロフォンには，静電型，
導電型，炭素型，圧電型などがある．静電型はコンデンサーを使った簡単なものである．下図より原理がす
ぐわかるだろう．
『アルテ 21 [企業・大学/実学シリーズ] 電磁気』 高木正蔵編, オーム社，より
42
第 5 章 導体と自由電子
5.5 コンデンサーの静電容量
コンデンサーを構成する導体部分は電荷が Q をもつ．このため必ず周囲との電位差が生じている．電荷 Q
が大きいほど，基準点からの電位差 V も大きい．この関係を
Q = CV
と書き，C を静電容量 (capacitance) または電気容量と呼ぶ．電気容量の単位は F(ファラッド) であらわ
す．しかし，1F の静電容量はとてつもなく大きく非現実的である（なぜか？）．普通に使う電子部品として
のコンデンサーでは，1µF= 10−6 F，1pF= 10−12 F が多く用いられる．
5.6 静電容量の計算法
1. ᖹ⾜ᯈ ᴟᯈ㸿࡟㟁Ⲵ Q ࢆ௜୚
qA
ᴟᯈ㸿ෆ㒊ࡢ㟁ሙࡀࢮࣟ࡟࡞ࡿ᮲௳
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qA
qAqB Q ձ
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ᴟᯈࡢྛ㠃ࡢ㟁Ⲵࢆ
ࡦ࡜ࡲࡎࡇ࠺࠾࠸࡚ࡳࡿ
ᴟᯈ㹀
qB
qB
qC
qC
ࡑ࠺ࡍࡿ࡜㟁ሙࡣ qD
ղ
ᴟᯈ㹀ෆ㒊ࡢ㟁ሙࡀࢮࣟ࡟࡞ࡿ᮲௳
qAqBqCqD
Ȝ S
qD
ճ
ᴟᯈ㹀ࡼࡾୗࡢ㟁ሙࡣࢮࣟ
᥋ᆅࡉࢀ࡚ࡿ࠿ࡽ ձ㸫մࡼࡾ
qAqBqCqD
ᴟᯈ㛫㟁ሙࡣ
Q
Q
qA
qB
qC
qD
ࢮࣟࡌࡷ࡞࠸࡜᥋ᆅᑟ⥺࡟㟁ὶࡀ
ὶࢀ࡚ࡋࡲ࠺
Q
E Ȝ
S
ȜS
մ
㟼㟁ᐜ㔞ࡣ
ᴟᯈ㛫㟁఩ᕪࡣ
ȜS
Q
V Ed ȜS
C d
Q
2. ⌫ᙧ
(a) ⌫Ẇࢆ᥋ᆅࡋ࡚ෆ⌫࡟㟁Ⲵ Q ࢆ௜୚ࡍࡿሙྜ
Q
b
Q
᥋ᆅࡉࢀ࡚࠸ࡿ࠿ࡽ⌫Ẇࡢእഃࡢ
㟁ሙࡣࢮ࡛ࣟࡍࠋ࡜࠸࠺ࡇ࡜࡛ ⌫Ẇࡢእ⾲㠃ࡢ㟁Ⲵࡣࢮࣟ
Q
a
ࡑࡢ⤖ᯝ ⌫Ẇࡢෆ㠃࡟㟁Ⲵ
Q ࡀㄏᑟࡉࢀࡿࡇ࡜ࡀࢃ࠿ࡾࡲࡍࠋ
୰ᚰ࠿ࡽ㊥㞳 r(a<r<b) ࡢⅬ࡛
ࡢ㟁ሙࡢᙉࡉࡣ࢞࢘ࢫࡢᐃ⌮ࡼࡾ
Q
E㸻4
ෆ⌫࡜⌫Ẇ㛫ࡢ㟁఩ᕪࡣ
b
ґ
Q
4
a b
ȧȜ
a
ab
C 4ȧȜ
bѸa
V Edr
r
ȧȜ
㟼㟁ᐜ㔞ࡣ
———————————————————————————————————————
問題 5.2 コンデンサーの直列接続，並列接続を考える．合成容量を求める公式を導け．
問題 5.3 半径 a の孤立した導体球の静電容量を求めよ．（答:C = 4πε0 a）
問題 5.4＊ 半径 a の金属球を, 同心の金属肉厚球殻 (内径 2a, 外径 3a) で囲う。 下図は中心を通る断面図
である。 以下の問題で, 接地用の導線が電場分布に影響を及ぼすことはないものとする。はじめ, スイッチ
S1 , S2 はともに開いている。 真空の誘電率を ε0 とする。
[A] スイッチ S1 を閉じて (つまり球殻を接地), 金属球に電荷 Q を与える。
[A-1] 金属肉厚球殻の内側の面に分布する電気量を求めよ。
[A-2] この系の静電容量を求めよ。
[B] いったん系の全電荷を放電した後スイッチ S1 を開いてスイッチ S2 を閉じ (つまり金属球を接地), 金属
肉厚球殻に電荷 Q を与える。
[B-1] 金属肉厚球殻の内側の面に分布する電気量を求めよ。
5.7 静電場のエネルギー
43
【ヒント：金属球表面に現れる電荷を −Q′ とおく】
[B-2] 金属肉厚球殻の外側の面に分布する電気量を求めよ。
[B-3] この系の静電容量を求めよ。
3a
2a
a
S2
S1
———————————————————————————————————————
5.7 静電場のエネルギー
面積 S ，極板間距離 d の平行平板コンデンサーに，±Q の電荷を充電することを考えよう．この状態を
保持するには，極板間に働く引力に抗って支えておく必要がある．支えがなければ，両極板は引力のせいで
くっついてしまう．これは，重力に逆らって重いものを高い所に保持するのと同じことである．そこで，極
板間隔をゼロからゆっくり d に広げるのに必要な仕事 U を計算してみよう．それにはまず，極板間の引力の
大きさ F を知る必要がある．
まず，コンデンサーの極板の電場は，正極板が作る電場 E正極板 =
の和として
E = E正極板 + E負極板 =
σ
σ
と負極板が作る電場 E負極板 =
2ε0
2ε0
σ
ε0
となる．ここで，σ = Q/S は面電荷密度である．次に，
極板が引き合う力F ＝正極板の作る電場が負極板の電荷を引く力＝負極板の作る電場が正極板の電荷を引
く力
であることに注意する．これより，
F = QE正極板 =
σ2 S
1
= QE
2ε0
2
であることがわかる．ということは，求める仕事は
U = Fd =
1
1
1
Q2
σ2 S
d = QEd = QV = CV 2 =
2ε0
2
2
2
2C
ということになる．これをコンデンサーの静電エネルギーと呼ぶ．静電エネルギーは，極板間に電場をため
込んでおくために必要なエネルギー（電場のエネルギー）と考えることができる．
ここで，
U=
σ2 S
d
2ε0
44
第 5 章 導体と自由電子
という式に注目する．ここに表れている Sd は極板間空間の体積であるから，単位体積当たりの電場のエネ
ルギーは
u=
U
σ2
1
=
= ε0 E 2
Sd
2ε0
2
となる．この最後の式は，コンデンサーの形が平行平板であろうが何だろうが関係なく成り立つ普遍的な結
論である．電場が存在する空間には，必ず単位体積当たり
1
ε0 E 2 のエネルギーが蓄えられのである．
2
———————————————————————————————————————
問題 5.5 下図のように，同軸ケーブル型コンデンサーを起電力 V の電池で充電する．
(1) 正極ケーブルに誘起される電荷密度を Q とする．ケーブル間の電場を軸からの距離 r の関数として求
めよ．
(2) 正負ケーブル間の電位差を Q で表せ．
(3) Q を V で表せ．
(4) このコンデンサーの静電容量 C を求めよ．
(5) このコンデンサーに蓄えられる電場のエネルギーを，
¶
ZZZ µ
1
2
U=
ε0 E dτ
2
V
を計算することで求めよ．ただし，微小体積要素を dτ と記した（dV と書くと電圧の V と紛らわしいので）
(6) U =
1
CV 2 であることを確かめよ．
2
L
b
a
———————————————————————————————————————
5.8
荷電粒子系の相互作用エネルギー
• 点電荷が複数ある場合
N
W =
1X
qi V (⃗ri )
2 i=1
W =
ε0
2
• 連続電荷分布がある場合
ZZZ
V
E 2 dτ
———————————————————————————————————————
問題 5.6 点電荷が複数ある場合，相互作用エネルギーは正にも負にもなる．しかし，連続電荷分布の場合
の積分表示を見ると，これは必ず正である．これは矛盾なのだろうか？
———————————————————————————————————————
45
第6章
電流
6.1 ドリフト速度と電流密度
電子の流れを電流という．電子の束が一方向に一定の平均速度 〈⃗v 〉（ドリフト速度という）で流れているの
が定常電流 (steady current) である．電流の向きと強さを測る最も基本的な（微視的＝ミクロな）量が電
流密度⃗j である．電流密度は流れに沿った断面を単位面積当たり，単位時間あたりに通過する電気量である．
単位としては A/m2 が用いられる．電子の密度を n とすると，
⃗j = −en 〈⃗v 〉
が電流密度の定義となる．
れ
の流
電子
———————————————————————————————————————
問題 6.1 ⃗j = en 〈⃗v 〉 という式が，確かに「流れに沿った断面を単位面積当たり，単位時間あたりに通過す
る電気量」に対応することを確かめよ．
問題 6.2 銅の自由電子密度は n ∼ 1029 個/m3 である. 断面積 A = 2mm2 の導線をつくって 1A の電流を
流すとき, 自由電子のドリフト速度はどの程度か？ [答：v ∼ 3 × 10−5 m/s∼ 秒速 1/300cm]
———————————————————————————————————————
補足：電流を時間的変化の仕方によって分類すると交流と直流に分かれる．乾電池回路を流れる電流のよう
に，常に同じ方向に流れる電流が直流である．直流のうち，とくに強さが時間変化せず一定のものを定常電
流という．一方，周期的に流れの向きが変わる（交替する）電流が交流である．電力会社から家庭に送られ
るのは交流である．
『アルテ 21 [企業・大学/
実学シリーズ] 電磁気』 高木正蔵編, オーム社，より
46
第6章
電流
6.2 電気伝導の現象論
電気伝導率
自由電子は導体内の局所電場 E によって加速されると考えよう．しかし，そのままでは電子はどんどん加
速されてしまう．実際には，電子の加速を抑止する抵抗力が働くはずである．この抵抗力はどこから来るの
だろう？金属結晶中の自由電子の運動を阻むものは，おも金属陽イオンとの衝突である．J. J. Thomson が
電子を発見した数年後，Drude はこれらの効果を現象論的に考察して定常電流をうまく説明した．Drude 理
論の基本的仮定は以下のとおりである：
• 自由電子は，陽イオンと陽イオンの間の空間を自由に運動する（独立粒子模型）．陽イオンはほぼ固定
された粒子としてふるまう．
• 自由電子と陽イオンとの衝突は，緩和時間τ で決まる．単位時間当たりの衝突確率は τ −1 である（こ
れを緩和時間近似と呼ぶ）
• 自由電子は陽イオンとの衝突によって熱平衡状態に達する．衝突後の速度はランダムな方向を向き，
速さの平均は絶対温度で決まる．
⤖ᬗ୰ࡢṇ࢖࢜ࣥ ୙⣧≀
⮬⏤㟁Ꮚ
㟁ሙ
自由電子の運動方程式は
⃗
m⃗a = −eE
⃗
なので，電子は ⃗a = −eE/m
の等加速度運動をする．よって，緩和時間 τ の間に速度は
〈⃗v 〉 = −
eE
τ
m
に達する．この速度をドリフト速度と考える．これより，電流密度は
2
⃗
⃗j = −en 〈⃗v 〉 = ne τ E
m
となる．
以上より，電流密度と電場は比例し，
⃗
⃗j = σ E
となることが判った．これがオームの法則である．比例定数
σ=
ne2 τ
m
を電気伝導率 (electrical conductivity) と呼ぶ．また，電気伝導率の逆数
ρ=1/σ
を電気抵抗率 (electrical resistivity) と呼ぶ．
6.2 電気伝導の現象論
47
『アルテ 21 [企業・大学/実学シリーズ] 電磁気』 高木正蔵編, オーム社，より
緩和時間は絶対温度に依存する．このため，伝導率や抵抗率は温度変化する．
• 物質の抵抗率
– 純金属：ρ ∼ 10−8 Ω·m =⇒ 温度上昇とともに抵抗増加
– 半導体：ρ ∼ 10−4 − 107 Ω·m =⇒ 温度上昇とともに抵抗減少
– 絶縁体：ρ ∼ 107 − 1017 Ω·m =⇒ 温度上昇とともに抵抗減少
平川浩正「電磁気学」
より
熱伝導率
金属の電気伝導を特徴づけるもうひとつの重要な量が熱伝導率 (thermal conductivity) である．熱伝
導率は，単位時間に単位面積を通過する熱エネルギー（熱流束）を温度勾配で割った量である．緩和時間近
­ ®
nCV v 2 τ
κ=
3
似での熱伝導率は
で与えられる．CV = 32 kB は定積モル比熱である．
電気伝導率と熱伝導率の比は
­ ®
­ ®
µ ¶2
nCV v 2 τ m
κ
kB m v 2
kB 3
3 kB
=
= 2
= 2 kB T =
σ
3
ne2 τ
e
2
e 2
2
e
となる．さらに，自由電子を理想気体とみなすと，運動エネルギーの平均値を絶対温度で表すことができ，
­ ®
m v2
3
= kB T
2
2
となる．よって
κ
3
=
σ
2
がえられる．ここに現れた定数
L=
3
2
µ
kB
e
¶2
=
3
2
µ
µ
kB
e
¶2
T
1.38 × 10−23 [J/K]
1.6 × 10−19 [C]
¶2
2
≅ 1.1 × 10−8 [V2 /K ]
48
第6章
電流
をローレンツ数と呼ぶ．また，電気伝導率と熱伝導率の間のきれいな関係式
κ
=L
σT
をヴィーデマン・フランツ (Wiedemann-Franz) の法則と呼ぶ．この法則は，
電気伝導と熱伝導は起源が共通である
ことを物語っている．
6.3 巨視的なオームの法則
電気抵抗率 ρ の材料で，断面積 S 長さ L の導線をつくる．このとき，
R=ρ
L
S
をその導線の電気抵抗 (resistance) と呼ぶ．その逆数
G=
1
R
をその導線のコンダクタンス (conductance) と呼ぶ．電気抵抗とコンダクタンスは導線全体に関する量で
あり，巨視的な量である．
いま，微視的なオームの法則を，電場と電流密度の強さの関係に直すと
E = σ −1 j
である．この両辺に L をかけると
LE = Lσ −1 j =⇒ 電位差 V =
L
Sj =⇒ V = RI
Sσ |{z}
|{z}
=R
=I
となって，おなじみのオームの法則になる．
———————————————————————————————————————
問題 6.3 誘電率 ε，電気伝導率 σ の媒質を詰めた静電容量 C のコンデンサーの両極板間に電流が流れると
き，このコンデンサーの電気抵抗が
R=
ε
σC
で与えられることを示せ．
ε,σ
問題 6.4 半径 a の円形断面を持つ金属柱 (長さ l) を, 半径 b の同軸金属円筒で囲み, 空隙に導電率 σ の液
体を満たして両端を絶縁体のふたで 密閉する. 金属柱と円筒間に電位差 V を与えると, 金属柱から円筒面へ
向けて放射状に電流が流れる. この場合の抵抗を求めよ．
6.4 ジュール熱
49
⤯⦕యࡢࡩࡓ
V
a
b
㔠ᒓᰕ
Ȫ
問題 6.5 試料の電気抵抗を測定するには，２端子法と４端子法がある．４端子法の利点を考えよ．(キー
ワード：接触抵抗)
V
V
I
I
4 端子法
2 端子法
———————————————————————————————————————
6.4 ジュール熱
電気抵抗のある物質中を電荷が移動すると，電荷は摩擦を受けながら運動することになる．このため，摩
擦熱（ジュール熱）が発生する．抵抗値 R の電気抵抗で短時間当たり発生するジュール熱は
QJ = I 2 R
である．この式は，ジュールの法則として知られており，1840 年に J.P.Joule が実験的に見出した．Joule
は，熱量計の中に導線を入れて電流を流し，発生する熱量を正確に測定することでこの法則を確認した．
ジュール熱は，電場が供給する仕事率を外に放出することで，回路全体として電子がエネルギーを獲得で
きないようにしている．さもないと，電子はどんどん加速されてしまうからである．一定の電流が流れてい
る状態では，電子は等速運動していうのでエネルギーは変わらない．電池から得たエネルギーを外へ放出す
るプロセスこそが電気抵抗なのである．
———————————————————————————————————————
問題 6.6 粗い面上で質量 m の物体に一定の外力 F を加え続けたら等速直線運動した．動摩擦係数を µ と
する．このとき，外力のする仕事と摩擦熱が等しくなることを示せ．
50
第6章
電流
問題 6.7 コンデンサーに電気抵抗と電池をつないでスイッチを入れる．スイッチを入れた瞬間を t = 0 と
する．
C
V
R
(1) コンデンサーの正極板の電荷を Q(t) とすると，
R
dQ(t) Q(t)
+
=V
dt
C
が成り立つことを示せ．
(2) Q(t) を求め，時間変化の様子を図示せよ．
(3) I(t) を求め，時間変化の様子を図示せよ．
(4) 電池がする仕事の総量はいくらか？
(5) 単位時間当たり発生するジュール熱を時間積分することによって，電気抵抗で発生するジュール熱の総
量を求めよ．
(6) 電池がする仕事の半分がコンデンサーの静電エネルギーとなり，残り半分はジュール熱として散逸する
ことを確かめよ．
(7) たとえ電気抵抗がどんなに小さくとも，(6) の結果に変わりないことを説明せよ．
問題 6.8 ニューロンは神経系を構成する細胞で，情報処理と情報伝達を司る．ニューロン内側表面と外側
表面の電位差 (静止膜電位) は −70mV で厚みは 6.0 nm 程度である．ニューロン内部の電場はどの程度か？
Benjamin Crowell, ”Electricity and Magnetism”より
コメント：細胞の膜電位に関する問題には静電気学の格好の例題が多い．
———————————————————————————————————————
6.5 直流回路網
51
6.5 直流回路網
直流電源と電気抵抗を張り巡らして閉じた回路を作ったものを直流回路という．直流回路の支流を流れる
電流を求めたり，合成抵抗を求めたりする際の基本法則がキルヒホッフの法則である．これは，1845 年キル
ヒホッフがオームの法則を一般化する形で見出したものである．
• キルヒホッフの第１法則（電流則）：ある結節点に流れ込む電流と流れ出す電流の和は 0 である
• キルヒホッフの第 2 法則（電圧則）
：回路に任意の閉路をとったとき，これに沿った電圧の総和は 0 で
ある
———————————————————————————————————————
問題 6.9 抵抗器の直列接続，並列接続を考える．合成抵抗を求める公式を導け．
問題 6.10 ホイートストーン・ブリッジ (Wheatstone bridge) は，未知の抵抗を測定するための回路であ
る．その原理と使い方を説明せよ．
R3
Rx
V
R1
R2
問題 6.11 抵抗率 ρ の金属で作った下図のような円錐台型抵抗器がある．電流は軸方向に一様（電流密度
は軸に沿って変わる）に流れる．この抵抗器の電気抵抗が
R=
ρ
π
µ
h
ab
¶
となることを示せ．
———————————————————————————————————————
52
第6章
6.6
電流
電荷保存則と連続方程式
電荷は消えたり生まれたりするものではない．つまり，導体中の自由電子の“人口”は不変である．このこ
とから，
領域V 内部の自由電子は，表面S から中に出た分だけ減る
という当り前のことが言える．これを電荷保存則という．このことを，毎秒あたりの変化を表す式で表そ
う．下図を参考に考えよう．
この微小面を単位時間
に出ていく自由電子数
→
→
＝
dS
→
j
→
j.
dS
この微小領域の電荷の
時間変化率
＝
∂ρ
dV
∂t
ZZ
ZZZ
∂ρ
⃗+
⃗j · dS
dV = 0
S
V ∂t
| {z } |
{z
}
すると，
出ていく電流
電荷の増加率
が成り立つことがわかる．
ガウスの発散定理によれば,
ZZ
S
なので，
⃗=
⃗j · dS
ZZZ
V
⃗ · ⃗jdV
∇
¶
ZZZ µ
ZZZ
∂ρ
⃗ · ⃗j+ ∂ρ dV = 0
⃗ · ⃗jdV +
∇
dV = 0 =⇒
∇
∂t
V
V
V ∂t
ZZZ
これが任意の曲面について成り立つので, 局所的な微分法則として
⃗ · ⃗j+ ∂ρ = 0
∇
∂t
が成り立つことがわかる．これを連続方程式 (continuity equation) とよぶ．連続方程式は，局所的な電
荷保存則を表したにすぎない．
ZZ
ここで，
S
は表面を貫く全電流であり，
ZZZ
⃗=I
⃗j · dS
∂ρ
d
dV =
dt
V ∂t
µZZZ
V
¶
ρdV
=
dQ
dt
6.7 陰極線管 (ＣＲＴ)∗
53
は領域内部での総電荷の増加率である．これより，連続方程式を「出ていく電流 I 」と「総電荷の変化率
の関係に直すと
I+
dQ
」
dt
dQ
=0
dt
———————————————————————————————————————
問題 6.12 導体中に埋め込まれた真電荷の緩和時間(初期値の 1/e に減衰するまでの時間) を求めたい. 時
刻 t = 0 に電荷密度 ρ0 の電荷を埋め込んだとして, 任意の時刻 t での電荷密度 ρ を求めてみよう.
(1) これまでに出てきた
⃗ · ⃗j+ ∂ρ = 0
• 連続方程式： ∇
∂t
⃗ ·E
⃗ =ρ
• ガウスの法則：∇
ε
⃗
• オームの法則：⃗j = σ E
を組み合わせると
∂ρ
σ
=− ρ
∂t
ε
が得られることを示せ.
(2) 緩和時間 τ を求めよ.
(3) 銅 (室温) の場合, σ = 6.0 × 107 Ω−1 m−1 である. ε = 1.2 × 10−11 C2 /N·m2 として緩和時間を見積もれ.
(4) この考察からどんなことがわかるか？
———————————————————————————————————————
6.7
陰極線管 (ＣＲＴ)∗
テレビやＰＣモニタのブラウン管 (古い？) は，管内を走る電子ビームを電場・磁場で偏向して蛍光物質を
塗った表示面（陽極）を光らせる装置である．これによって，電気信号を映像化することができる．基本は
陰極線管 (ＣＲＴ) である．電子ビームは電子の放出源であるカソード (陰極) と，電子を集める陽極 (アノー
ド) の間を流れる．カソードにはヒーターが付いており，熱電子放出が起きる (高温にすると物質内部から電
子が放出される)．もし管内に酸素があると，高温のため物質は燃えてしまう．このため，管内を真空にする
必要がある．
蛍光物質を塗布
ヒーター
陰極
陽極
0
さて，管内の電子の速度分布を決定してみよう．基本的な方程式は
en(x)
dE(x)
=−
dx
ε
dV (x)
電場と電位の関係：E(x) = −
dx
dv
電子の運動方程式：m
= −eE(x)
dt
1
運動エネルギーと仕事の関係： mv 2 = eV (x)
2
電子速度と電流密度の関係：j = −env
1. 電場を決定するガウスの法則：
2.
3.
4.
5.
x
l
54
第6章
電流
である．ここで，n(x) は電子密度 (もちろん場所による)．j は定常的で x によらないと仮定 する．これら
を使うと
d2 V (x)
en(x)
j
j
−
=−
=
=
dx2
ε
εv
ε
が得られる．両辺に
µ
m
2eV (x)
dV
をかけて整理すると
dx
¶1/2
( µ
¶2 )
m dV
1 dV
d
j ³ m ´1/2 d ³ 1/2 ´
2V
=⇒
=
2eV (x) dx
dx 2 dx
ε 2e
dx
µ r ¶1/2
µ r ¶1/2
dV
4j m
dV
4j m
1/4
=
V
=⇒ 1/4 =
dx
=⇒
dx
ε 2e
ε 2e
V
µ r ¶1/2
µ r ¶1/2
dV
4j m
4 3/4
4j m
=⇒ 1/4 =
=
dx =⇒ V
x
ε 2e
3
ε 2e
V
µ r ¶ 23
4
9j m
x3
=⇒ V =
4ε 2e
dV d2 V (x)
j
=
2
dx dx
ε
r
以上より，陽極 x = l での電圧は
µ
V =
9j
4ε
よって陽極での電流密度は
4ε
j= 2
9l
r
r
m
2e
¶ 23
4
l3
2e 3/2
V
m
となる．電流は電圧に比例しないので，オームの法則は成り立たない．
55
第7章
磁場
7.1 ベクトルの外積
磁場の関係する物理現象の解析には，ほとんどすべてでベクトルの外積が現れる．2 つのベクトル ⃗a と ⃗b
の外積 (ベクトル積) ⃗a × ⃗b は,
大きさが |⃗a||⃗b| sin φ で, ⃗a から ⃗b へ向けてまわした右ねじが進む方向を向くベクトル
である．これよりただちに，互いに平行な二つのベクトルの外積はゼロであることがわかる．
たすきがけ
ax ay az ax
bx bx
by bz →
axby−aybx
aybz−azby
→
→
→
a×b の x 成分
a×b の z 成分
azbx−axbz
→
→
a×b の y 成分
また，外積の成分は下図のように計算できる．
Ѝ
aЍ™ b
㹻
Ѝ
aЍ™ b
|a||b|sinφ
ྑࡡࡌ
Ѝ
b
Ѝ
b
Ѝ
a
aЍ
φ
7.2 ローレンツ力
空間に 静止した 試験電荷が力を感じれば，その場所には電場があることがわかる．次に，試験電荷を動か
⃗ で表す．磁束密
したときに初めて感じる力があるとき，その場所には磁場があるという．磁場は磁束密度B
⃗ に対して速度 ⃗v を持
度の単位は T（テスラ）であり，T=N/A·m である．電荷 q の荷電粒子が磁束密度 B
つとき受ける力は
⃗
F⃗L = q⃗v × B
であり，これをローレンツ力と呼ぶ．
———————————————————————————————————————
⃗ に対して速さ v0 で垂直に入射した電荷 q の粒子は等速円運動することを示せ．
問題 7.1 一様な磁束密度 B
56
第7章
磁場
⃗ に対して速さ v0 で斜めに入射した電荷 q の粒子はらせん運動することを示せ．
問題 7.2 一様な磁束密度 B
問題 7.3 ローレンツ力は決して仕事をしない．なぜか？
問題 7.4 ヴァン・アレン帯は地磁気にトラップされた荷電粒子からなる．荷電粒子が下図のような軌跡を
描いて運動する理由を説明せよ．
Physics for Scientists and Engineers 6th ed. (College Text), Serway and Jewett より
———————————————————————————————————————
電荷が動けば力を受ける，ということは電流と磁場が相互作用することを示唆する．電流が磁場から力を
受けることを最初に発見したのはデンマークのエルステッド（1777-1851）である．エルステッドは，1820
年の公開実験で，導線に電流を流すと方位磁石の針が触れることを示した．
エルステッドの発見を受けて，これを一般化したのがフランスのアンペール（1775-1836）である．アン
ペールは，エルステッドの実験において，磁針の振れる向きと電流の向きに関係があることを発見した．こ
れをもとに，電流と磁場についてのアンペールの法則や，これを補足する右ねじの法則を導き出した．さら
に，アンペールは平行ば 2 本の導線に電流を流したとき，電流の向きが互いに同じなら引力，反対なら斥力
が働くことを見出した．
7.3 磁石 (Magnet)
57
Introduction to Electrodynamics: David J. Griffiths より
これらの発見は，その後の電磁気学の礎となり，19 世紀にファラデー，マックスウェルによって大成され
る電磁気学の体系へとつながっていった．
7.3 磁石 (Magnet)
磁場の源泉を磁石という．磁石には２種類ある．
永久磁石：そのままの状態で磁場を発生する物質を永久磁石という．永久磁石の周囲には下図のような磁力
線ができる．
• 永久磁石の起源は，1 個の電子自身がスピンという属性を持ち，小さな磁石としてふるまうことによ
る．このため，永久磁石は切っても切っても N 極と S 極をペアで持つ磁石のままである．
58
第7章
磁場
電子のスピンの古典的なイメージ．
電子は自転することで周囲に磁場を作り出す．
つまり電子１個で小さな磁石となる
• 電磁石：電流は周囲に磁場を作る．この性質を活用したのが電磁石である．電流が作る磁場は，以下
に述べるアンペールの法則によって決まる．
電流
7.4 単磁極（モノポール）の不在
磁場の源泉としては，磁石の N 極と S 極があるわけだが，N 極だけ，S 極だけを単独に取り出したもの
（単磁極＝モノポール）はこの宇宙に存在しない．どんなにミクロなスケールにさかのぼっても，N 極と S 極
は必ずペアで現われる．これより，磁束密度に対するガウスの法則として
ZZ
S
⃗ · dS
⃗=0
B
である．ガウスの発散定理を使って微分形に書き直すとこれが任意の曲面について成り立つので,
⃗ ·B
⃗ =0
∇
となる．この式は，この宇宙のいかなる磁場についても成り立つ普遍法則である．
59
第8章
電流と磁場
8.1 電場と磁場の相対性
⃗ ′ だけがあるとする．この座標系が一定速度 ⃗v で
ある座標系 K′ で磁場がなく，電荷 q が静止して電場 E
動いて見える座標系 K を考える．特殊相対性理論によれば, K 系では電場だけでなく磁場が発生する．高速
運動する荷電粒子の周辺には，下図ような電場と磁場ができるのである．このように，電場と磁場は，互い
に動きながら眺めると立場が入れ替わる．このような性質を，電磁場の相対性と呼ぶ．
Greiner, Classical Electrodynamicsより
v が光速 c に比べて十分小さい極限（v ≪ c）で，K 系では磁場
⃗ = 1 ⃗v × E
⃗′
B
c2
が見える.*1 ここで，
c= √
1
ε0 µ0
は真空中の光速である. このように，電場が動けば磁場ができ，次の章でみるように磁場が動けば電場がで
きる．電場と磁場はお互いに移り変わるのである．このため，電気と磁気の絡んだ現象全般を電磁気現象と
よぶ．電磁気，という言葉には電場と磁場がお互いを作り出す性質を持つことが込められている．
先回りしてまとめると
• 電場の起源
– 電荷→ 固有電場（クーロン電場）
– 変動する磁場→ 誘導電場
• 磁場の起源
– 電子のスピン→ 固有磁場
– 変動する電場→ 変位電流→ 磁場
*1
詳しくは，たとえばバーガー・オルソン「電磁気学」（培風館）11-3 節を参照
60
第8章
電流と磁場
となる．
———————————————————————————————————————
問題 8.1 (1) 無限に長い導体棒が静止している. 導体棒には, 単位長さあたり λ[C/m] の電荷が一様に分布
している. ガウスの法則を用いて導体棒から垂直距離 r 離れた点Ｐでの電場 E の向きと大きさを求めよ.
(2) この導体棒を棒と垂直な方向に速さ v で動かす. 導体棒から垂直距離 r 離れた点 P で の磁場の磁束密度
B の向きと大きさを求めよ. ただし, 図のように点 P の方向と速度ベク トルのなす角を θ とする.
———————————————————————————————————————
8.2 動く点電荷が作る磁場
⃗′ =
電子の作る静電場が E
場は
q ⃗r
(q = −e) であったことを思い出すと，一定速度 ⃗v で動く電子が作る磁
4πε0 r3
⃗ = 1 ⃗v × E
⃗ ′ = µ0 q ⃗v × ⃗r
B
2
c
4π r3
となる．
8.3 ビオ・サバールの法則
⃗ を求めよう．こ
導線を電流 I⃗ が流れている．導線の微小線要素を d⃗
ℓ が，相対位置 ⃗r に作る微小磁場 dB
の微小線要素では，電荷 q = −enSdℓ が速度 ⃗v で走っているので，
⃗ =
dB
µ0 (−enSdℓ) ⃗v × ⃗r
µ0 (−en⃗v S) dℓ
⃗r
=
× 3
3
4π
r
4π
r
となる．⃗v と d⃗
ℓ は同じ向きなので，
(−en⃗v S) dℓ = (−envS) d⃗ℓ = Id⃗ℓ
書いてよい．これより
⃗ =
dB
µ0 I d⃗ℓ × ⃗r
4π r3
という法則が得られる．これが 1820 年にフランスのビオとサバールによって実験的経験則として発見され
たビオ・サバールの法則である．
8.3 ビオ・サバールの法則
61
→
dB
×
r→
I
→
θ
d`
⃗ の大きさは
d⃗ℓ と ⃗r のなす角を θ とすると，dB
dB =
µ0 I sin θdℓ
4π r2
と書ける．
コメント：導線を電流を流れるとき，動く電荷による電場はどうなってしまうのだろう．特殊相対性理論に
よると，背景の陽イオンが作る電場と自由電子の電場が完全に打ち消し合ってゼロになることが知られてい
る．このため，電流がつくる電場は考えなくてよい．これは当たり前のようで全然あたりまえでない事実で
ある．*2
*2
詳しくは，たとえばバーガー・オルソン「電磁気学」（培風館）11-3 節を参照
62
第8章
電流と磁場
———————————————————————————————————————
問題 8.2 (1) 円電流が z 軸上の点 (0, 0, z) に作る磁場 B を求めたい．z 軸に垂直な磁場成分は打ち消し
合ってゼロとなるので，z 成分だけ求めればよい．すると，ビオ・サバールの法則より
dBz =
µ0 I
a
dℓ
4π (a2 + z 2 )3/2
である．これを使って B を求めよ．
dB
z
O
a
Id`
I
(2) 下図のように中心を共有する同一半径 a の円電流がある．これらは互いに直交する平面内にある．共通
中心での合成磁場を求めよ．
Benjamin Crowell, ”Electricity and Magnetism”より
8.3 ビオ・サバールの法則
63
問題 8.3 十分長いソレノイド (半径 a，単位長さ当たり n 巻き) に電流 I を流したときの中心軸上の磁場 B
を求めたい．ソレノイドの軸を z 軸にとると，座標が z ′ と z ′ + dz ′ の間にある電流（ndz 個の円電流とみな
せる）が軸上の点 z に作る磁場は
dB =
µ0 I
2 n
a2
a2
+ (z −
2
z′)
o3/2 ndz
′
である．これを使って B を求めよ．
電流
問題 8.4 (1) 図に示すように 有限の長さのまっすぐな導線 AB に電流 I が流れている. 点 P での磁束密度
の強さを求めよ.
(2) 導線の長さが無限になったら磁束密度はどうなるか．
P
r
A
θ2
θ1
B
問題 8.5 図に示すように 1 辺の長さ 2a の正方形の導線回路に電流 I が流れている.
(1) 回路の中心 O における磁束密度の強さを求めよ.
(2) 回路の中心から距離 d の点 P での磁束密度の強さを求めよ.
P
d
2a
O
2a
64
第8章
電流と磁場
問題 8.6 図に示すように，ひとつながりの長い導線が一辺の長さ a の正方形断面を持つ形状に保持されて
いる．この導線に電流を流すとき，中心軸上での磁場を求めよ．ただし，導線は十分長く，端の効果は無視
してよいものとする．
問題 8.7 ヘルムホルツコイルは，等価な円形コイル（半径 a）を距離 b 隔てて平行に保持したものであり，
均一な磁場を作るための装置である．コイルに同方向に同じ強さの電流を流すとき，コイルの中心を結ぶ線
分の中点付近に均一な磁場ができるための条件を考察せよ．
ヘルムホルツコイル
a
b
ヘルムホルツコイルによる磁場分布．
中心軸付近で極めて均一な磁場が
できている．
8.4 磁気モーメント
8.4
65
磁気モーメント
ループ回路を流れる電流は磁場を作る能力を持っている．つまり，
＝
電流
電流ループ
磁石
のように，ループ電流と棒磁石を等価とみなすことができる．このとき，ループ電流の，
「磁石としての強
さ」を表す指標として磁気モーメント
⃗ = µ0 I S
⃗
M
⃗ は大きさがループの面積に等しく，ループの法線方向を向くベクトル（面積ベクト
を定義する．ここで，S
ル）である．
半径 r の等速円運動をする質量 m，電荷 q のの荷電粒子がつくる磁気モーメントを考えよう．電流の大き
さは
I=
q
qv
=
T
2πr
(T = 2πr/v) なので，磁気モーメントは
⃗ = µ0
M
³ qv ´
πr2 ẑ
2πr
である．ẑ はループ法線方向の単位ベクトル．粒子の角運動量が
⃗ℓ = mrvẑ
であることを使うと，
⃗ = µ0
M
³ qv ´
1 ⃗ ³ µ0 q ´ ⃗
ℓ = g⃗ℓ
ℓ=
πr2
2πr
mrv
2m
となり，磁気モーメントと角運動量が比例することがわかる．
g=
µ0 q
2m
は磁気回転比と呼ばれる．
→
角運動量 `
→
磁気モーメント M
66
第8章
電流と磁場
8.5 アンペールの法則
真空中で，
⃗ = 1B
⃗
H
µ0
で関係づけれらる場を単に磁場と呼ぶ．µ0 = 4π × 10−7 N/A2 を真空の透磁率と呼ぶ．アンペールは，電流
が作る磁場について
Z
C
⃗ · d⃗r = I
H
という関係を実験的に見出した. ここで, アンペール線 C は電流の周りを一回りする任意の閉曲線である.
定常電流の向きに右ネジが進む向きが正の向き である.
I
→
C
アンペール
H
dr→
⥺せ⣲࣋ࢡࢺࣝ
ṇࡢྥࡁ
さて, 電流が銅線内で空間分布している場合は, 電流密度⃗j(⃗
r) を導入する必要がある. いま, アンペール線 C
を縁とする 面 S を考えると, この面を貫く電流 I は
ZZ
I=
S
⃗
⃗j · dS
㟁ὶᐦᗘศᕸ
→
→
j㻔r㻕
㠃✚せ⣲
࣋ࢡࢺࣝ
S
→
dS
C
ṇࡢྥࡁ
かくして, アンペールの法則の積分形として
Z
C
⃗ · d⃗r =
H
ZZ
S
⃗
⃗j · dS
が得られる.
———————————————————————————————————————
問題 8.8 無限に長い直線電流が作る磁場について，アンペールの法則を確かめよ．
問題 8.9 無限に長い２本の平行直線電流 I1 , I2 間 (距離 r) に働く単位長さ当たりの力の大きさが
F =
であることを示せ．
µ0 I1 I2
2πr
8.5 アンペールの法則
67
問題 8.10 ところで，１アンペアとは，
「r =1m 離れておいた無限に長い平行直線電流（I1 = I2 = I ）間に
働く力の大きさが 1m あたり 2 × 10−7 N/m になるときの I の大きさ」として定義される．真空の透磁率 µ0
の値を求めよ．
問題 8.11 穴あき導線に電流を流した場合にできる磁場について, 以下の手順で考えよう.
(1) 図 (a) に示すように半径 R の無限に長い円柱状導線に電流密度 i の電流が一様に流れている. 円柱の軸
⃗ 1 (x) を求めよ.
に垂直な xy 面をとる. 原点は軸上にある. このとき, x 軸上の 点 Q(x, 0) での磁束密度 B
0 < x < R の場合と R < x の場合に分けて議論すること.
(2) 図 (b) に示すように半径 r の無限に長い円柱状導線に電流密度 i の電流が一様に流れている. 円柱の軸
に垂直な xy 面をとる. 円柱の軸は点 (a, 0) を通る. このとき, a − r < x < a + r として, 導線内部の点
⃗ 2 (x) を求めよ.
Q(x, 0) での磁束密度 B
(3) 図 (c) に示すように, 半径 R の無限に長い円柱状導線に, 中心軸が a だけ離れた半径 b の円筒状の穴が
明けてある. この導線に電流密度 i の電流が一様に流れている. a − r < x < a + r として, 穴の内部の点
⃗
Q(x, 0) での磁束密度 B(x)
を求めよ.
(a)
y
(b)
(c)
y
RR
R
O
y
×
Q
x
O
R
× P
Q
a
r
x
O
× P
Q
r
a
———————————————————————————————————————
x
69
第9章
回転と循環
9.1 ベクトル場の回転
ベクトル場 f⃗ = (fx , fy , fz ) に対して， その回転を
⃗ × f⃗ =
∇
µ
∂fz
∂fy ∂fx
∂fz ∂fy
∂fx
−
,
−
,
−
∂y
∂z ∂z
∂x ∂x
∂y
¶
⃗ × f⃗ は, rotf⃗ と表記することもある．ベクトル場の回転は，ベクトル場の循環の度合いを測
で定義する． ∇
る目安である．
行列式の形で，
¯
¯
¯
¯
⃗ × f⃗ = ¯
∇
¯
¯
¯
⃗i
∂
∂x
fx
⃗j
∂
∂y
fy
⃗k
∂
∂z
fz
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
と書いておくと記憶しやすい．ここで， ⃗i = (1, 0, 0), ⃗j = (0, 1, 0),
⃗k = (0, 0, 1) である．
———————————————————————————————————————
⃗ × f⃗ を計算せよ．
問題 9.1 次のベクトル場の様子を図示し，その回転 ∇
(1) f⃗ = (x, y, 0)
(2) f⃗ = (−y, x, 0)
問題 9.2 以下の (A)∼(F) のベクトル場について，発散と回転がゼロが有限か判定せよ．
y
y
ᵆᵟᵇᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᵆᵠᵇᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᵆᵡᵇ
x
x
x
y
y
ᵆᵢᵇᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᵆᵣᵇᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᵆᵤᵇ
x
y
x
y
x
———————————————————————————————————————
70
第9章
回転と循環
9.2 ストークスの定理
力の場（もちろんベクトル場） f⃗ = (fx , fy , fz ) が与えられたとき， xy 平面上の微小長方形の縁 A → B
→ C → D → A に沿ってぐるっと 1 周する際に f⃗(x, y, z) がなす仕事 WA→B→C→D→A を計算しよう.
y+Δy
Δx
C
D
Δy
Δy
y
A
Δx
B
x+Δx
x
各区間での仕事に分けると，
WA→B→C→D→A = WA→B + WB→C + WC→D + WD→A
仕事の定義から，
WA→B = fx (x, y, z)∆x,
·
¸
∂fy (x, y, z)
WB→C = fx (x + ∆x, y, z)∆y ≅ fy (x, y, z) +
∆x ∆y,
∂x
·
¸
∂fx (x, y, z)
WC→D = −WD→C = −fx (x, y + ∆y, z)∆x ≅ − fx (x, y, z) +
∆y ∆x,
∂y
WD→A = −WA→D = −fy (x, y, z)∆y.
よって,
·
¸
∂fy (x, y, z)
WA→B→C→D→A = fx (x, y, z)∆x + fy (x, y, z) +
∆x ∆y
∂x
·
¸
∂fx (x, y, z)
− fx (x, y, z) +
∆y ∆x − fy (x, y, z)∆y
∂y
·
¸
∂fy (x, y, z) ∂fx (x, y, z)
−
=
∆x∆y
∂x
∂y
が得られる. 一方，積分記号を使えば
WA→B→C→D→A =
Z
A→B→C→D
f⃗ · d⃗r
である. よって， 微小長方形に沿って一周する際に力がする仕事について
Z
·
¸
∂fy (x, y, z) ∂fx (x, y, z)
⃗
f · d⃗r =
∆x∆y
−
∂x
∂y
A→B→C→D
が成り立つことがわかる．
同様に，もし ABCD が yz 平面， または zx 平面上にあれば，対応する仕事はそれぞれ
·
¸
∂fz (x, y, z) ∂fy (x, y, z)
∆y∆z,
−
∂y
∂z
·
¸
∂fx (x, y, z) ∂fz (x, y, z)
−
∆z∆x
∂z
∂x
となる.
さらに一般化しよう． xy 平面上に， 下図のような 図形 ABCDEF の縁に沿って 1 周したらどうだろう．
この場合， すぐ下に示すように図形を 2 つの長方形に分ける．
9.2 ストークスの定理
71
C
D
E
F
B
C
A
D
経路分割
E
F
A
B
G
E→Gの寄与と
G→Eの寄与は
打ち消しあう
[A→B→C→D→E→F→A に沿う仕事]
＝[A→G→E→F→A に沿う仕事]
+ [G→B→C→D→G に沿う仕事]
すると，G → E
の仕事と
E → G の仕事は打ち消しあう． これより， A → B → C → D → E → F
→ A に沿っての仕事は， A → G → E → F → A に沿う仕事と， G → B → C → D → G に沿う仕事の
和であることがわかる．こう考えていくと，どんどん角を増やしていって複雑な形， ついには下図のような
形の場合でも， 領域を多数の長方形に分割することによってひとつの長方形に対する関係式が使えることが
わかる．
⤒㊰
xy ᖹ㠃ୖ
C
㡿ᇦ S
⤒㊰ศ๭
かくして, xy 平面上の閉じた経路 C および， C
Z
C
f⃗ · d⃗r =
ZZ ·
S
によって囲まれる領域 S に対して，
¸
ZZ
ZZ
∂fy (x, y, z) ∂fx (x, y, z)
⃗ × f⃗) · dS
⃗
⃗ × f⃗]x dxdy =
(∇
−
[∇
dxdy =
∂x
∂y
S
S
⃗ は xy 平面の面積要素ベクトルである．
の形にまとまる．この場合，dS
この考えを推し進めると， 経路 C が xy 平面上になくても良いことが判る．つまり， 任意の閉じた経路
C および， C によって囲まれる領域 S に対して，
Z
C
f⃗ · d⃗r =
が成立する．これがストークスの定理である．
ZZ
S
⃗ × f⃗) · dS
⃗
(∇
72
第9章
回転と循環
———————————————————————————————————————
問題 9.3 ベクトル場 f⃗ = (0, 2xz + 3y 2 , 4yz 2 ) について，1 辺の長さ 1 の正方形 [頂点が (0, 0, 0)
，(0, 1, 0), (0, 1, 1), (0, 0, 1)] を反時計回りにめぐる経路をとってストークスの定理が成り立つことを確か
めよ．
———————————————————————————————————————
9.3 アンペールの法則の微分形
アンペールの法則の積分形
Z
C
⃗ · d⃗r =
H
ZZ
S
⃗
⃗j · dS
についてストークスの定理を使うと，
ZZ
S
⃗ × H)
⃗ · dS
⃗=
(∇
ZZ
S
⃗
⃗j · dS
これが任意の曲面について成り立つので, 局所的な微分法則として
⃗ ×H
⃗ = ⃗j
∇
が導ける．これがアンペールの法則の微分形である．
9.4 時間変化しない 電場と磁場の法則のまとめ
以上で，時間変化しない電場と磁場が満たすべき方程式が全部出揃った．これらを比較すると電荷が作る
電場（クーロン電場）は
(
⃗ ·E
⃗ = ρ
ガウスの法則： ∇
ε0
⃗ ×E
⃗ =0
電場がポテンシャル場であること： ∇
を満たす．ここで，２番目の式は，
⃗ = −∇V
⃗
E
³
´
⃗ × ∇V
⃗
∇
=0
であることと，恒等式
に注意すると理解できる．
また，電流が作る磁場（直流磁場）は
½
⃗ ·B
⃗ =0
モノポールの不在： ∇
⃗
⃗
アンペールの法則： ∇ × B = µ0⃗j
を満たす． 電場は発散が有限だが回転がゼロである．磁場は発散はゼロだが回転が有限である． このよう
に，電場は発散的であり 磁場は回転的である． 電場と磁場の対比が浮き彫りになっている．
73
第 10 章
変位電流 (Displacement current)
平行板コンデンサーに時間変化する電流 I(t) が流れ込んでいるとする. 極板には, 時々刻々変化する電荷
±Q(t) が蓄積される. このとき, 極板間には時々刻々変化する電場
E(t) =
Q(t)
ε0 S
I(t) =
dQ(t)
dt
が生じる. 電流の定義から,
であるが, これはもちろん極板につながれた導線を電子が流れているのである. つまり, I(t) は真電流(電子の
流れ) である. 極板の隙間 については, 絶縁破壊が起こらない限り真電流は流れない. しかし, コンデンサー
の部分をブラックボックスで覆えば, 上の極板に電流 I(t) が流れ込み, したの極板から電流 I(t) が流れ出て
いるのだから, ブラックボックス内部にも “見えない導線” があって, ここを見えない電流 ID (t) が流れてい
ると解釈できる.
I㻔t㻕
ࢥࣥࢹࣥࢧ࣮㒊ศࢆ
ࣈࣛࢵࢡ࣎ࢵࢡࢫ࡛そ࠺
I㻔t㻕
+ Q㻔t㻕
E㻔t㻕
ID㻔t㻕
}┿㟁ὶ
}
ኚ఩
㟁ὶ
− Q㻔t㻕
I㻔t㻕
I㻔t㻕
} ┿㟁ὶ
このとき, ID = I だと考えれば
ID (t) = ε0 S
dE(t)
dt
電場が空間分布している場合を考えて一般化すると,
d
ID (t) = ε0
dt
µZZ
S
⃗ · dS
⃗
E
¶
これが マックスウェルによって理論的に導入された変位電流である. 変位電流は, マックスウェル方程式に
現れる諸々の項の中で, ただひとつ実験によらずに純粋に理論的に導入されたものである. このため, 変位電
流という考え方の妥当性は, 実験によって検証される必要があった. 事実, ヘルツによる電磁波発生の実験が,
変位電流の正しさを裏付けた.
74
第 10 章 変位電流 (Displacement current)
かくして, 変位電流（マックスウェルの付加項）まで考慮に入れると アンペールの法則の積分形として
Z
C
⃗ · d⃗r =
H
ZZ
⃗ + ε0 d
⃗j · dS
dt
S
µZZ
S
⃗ · dS
⃗
E
¶
が得られる. 右辺をまとめれば,
Z
!
ZZ Ã
⃗
∂
E
⃗
⃗ · d⃗r =
⃗j + ε0
· dS
H
∂t
C
S
となる. つまり, 真電流と変位電流をあわせた一般化された電流密度 が
⃗
∂E
J⃗ = ⃗j + ε0
∂t
と書けることがわかる.
変位電流の考え方は， マクスウェルが，論文「電磁場の動力学的理論」で導入したものである． これに
よってあとで見るマクスウェル方程式が完成し，光と電磁波の関係がはっきり理解できるようになる．
75
第 11 章
電磁誘導 (Electromagnetic Induction)
11.1 1831 年 8 月 29 日
この日，マイケル・ファラデー（1791–1867）は軟鉄のリングの両側に銅線を何回も巻いたものを作り，一
方のコイルを電池に，他方のコイルには閉じた回路をつけてその下に方位磁石を置いた．すると，電池のス
イッチを入れた瞬間と切った瞬間だけ磁石の針が振れた．また，棒磁石をコイルの中に出し入れする場合に
も磁石の針が振れた．これが電磁誘導現象の発見であり，電気工学誕生の瞬間である．
11.2 電磁誘導の応用例
発電機，変圧器（トランス）
，マイクロフォン，エレキギター，磁気記録装置，IH クッキングヒーター，電
磁ブレーキ，非接触カードタグなどなど
11.3 Motional Induction
棒が静磁場を横切る
⃗ の 静磁場中を速度 ⃗v で滑らせる. このとき発生する誘
幅 ℓ のコの字型レールに導体棒を渡して磁束密度 B
導起電力は
⃗ · ⃗ℓ = −vBℓ sin θ
Vm = ⃗v × B
このように, 導線が磁場を横切ることによって誘導起電力が生じる現象を motional induction (適当な日
本語訳がない) と呼ぶ. これを任意の (曲がった) 導線 C の場合に一般化すると
Z
Vm =
C
⃗ · d⃗r
⃗v × B
76
第 11 章 電磁誘導 (Electromagnetic Induction)
㟼☢ሙ
Ѝ
B
Ѝ
ືࡃᑟయᲬ Ѝ
v
`
———————————————————————————————————————
問題 10.1 Motional induction による誘導起電力の表式は,
⃗
⃗ · ⃗ℓ = B
⃗ · ⃗ℓ × ⃗v = −B
⃗ · dS(t)
Vm = ⃗v × B
dt
⃗ は大きさが回路の面積に等しく, 向きは回路の法線方向を向くベク
と書き換えられることを示せ. ここで, S
トル (面積ベクトル) である.
———————————————————————————————————————
11.4 Transformer Induction
変形しないコイルを変動磁場が貫く
⃗
図 2 のように形の変わらない固定された閉回路 C(面積 S) を, 磁束密度 B(t)
の変動磁場が貫いている. この
とき回路を貫く磁束
⃗
⃗
Φ(t) = B(t)
·S
を使うと，誘導起電力は
Vt = −
dΦ(t)
dt
このように, 磁場が時間変化することによって誘導起電力が生じる現象を transformer induction と呼ぶ.
An
Ѝ
B
S
ṇࡢྥࡁ
⃗ が発生して起電力を生み出していることになる. この電場を
この場合, コイルに沿って非クーロン電場 E
誘導電場と呼ぶ. 誘導電場は
I
⃗ · d⃗r = − dΦ(t)
E
dt
C
⃗ r, t) となって
で決まることになる. これを磁場が一様でない場合 (つまり磁束密度が場所 ⃗
r にも依存して B(⃗
いる場合) に一般化すると,
I
ZZ ⃗
∂ B(⃗r, t) ⃗
⃗
· dS
Vt = E · d⃗r = −
∂t
C
S
となる.
———————————————————————————————————————
11.4 Transformer Induction
77
問題 10.2 z 軸方向を向いた， 時間変化する一様な磁束密度
⃗
B(t)
= (0, 0, B0 sin(ωt))
がある. xy 面内に半径 r の円形ループをとり，このループに沿う誘導電場 E(r) を求めよ．
この結果から， ループを貫く磁束が増大している間は，ループの正の向きに誘導電場が生じることがわかる.
このとき， 誘導電流も正の向きに流れる. この誘導電流の作る磁場は， ループを下向き (−z 方向) に貫くか
ら， 増大する磁束を打ち消す向きである. これは，レンツの法則とつじつまの合う結果である.
問題 10.3 無限に長い直線導線に電流 I を流す. 1 辺の長さ a の正方形回路 ABCD を, 辺 AB および辺
CD が導線と平行になるように置く. 辺 AB と導線との距離を x とする.
(1) 導線からの距離 x の点での磁束密度の強さ B(x) を求めよ. 真空の透磁率を µ0 とする.
(2) 回路 ABCD を貫く磁束 Φ(x) を求めよ.
(3) 回路は位置 x に静止していて電流 I が時間変化するとき, 回路 ABCD で生じる誘導起電力の大きさを求
めよ. dI/dt を含む形で答えよ.
(4) 次に, 電流 I が一定で回路 ABCD が一定速度 v で導線から遠ざかる場合を考える. 辺 AB と導線との距
離が x である瞬間に回路 ABCD で生じる誘導起電力の大きさを求めよ. v = dx/dt であることに注意せよ.
(5) 電流 I が時間変化するとともに回路 ABCD が一定速度 v で導線から遠ざかる場合を考える. 辺 AB と
導線との距離が x である瞬間に回路 ABCD で生じる誘導起電力の大きさを求めよ.
I
A
a
D
a
B
O
x
C
78
第 11 章 電磁誘導 (Electromagnetic Induction)
問題 10.4 IH クッキングヒータには下図のような N 巻のらせんループが使われる．
(1) このループに垂直に変動磁場
B(t) = B0 cos(ωt)
をかける．端子 AC 間に生じる誘導起電力を求めよ．[答：V =
ヒント：磁束は
Φ=
1
B(t)
2
Z
2πN
0
1
πB0 ωh2 N 3 sin (ωt)]
3
2
{r(θ)} dθ
と計算できる．ここで，r(θ) = hθ/2π である .
(2) 次に，このループに使われる導線の断面積を S ，電気抵抗率を ρ として，単位時間あたりに発生する
ジュール熱の総量 QJ を計算せよ．
(3) S = 0.1cm2 , ρ = 10−8 Ω·m，h = 0.1cm，N = 100 として QJ を見積もれ．
———————————————————————————————————————
11.5 Motional induction と Transformer induction が両方起きる場合
79
11.5 Motional induction と Transformer induction が両方起きる場合
———————————————————————————————————————
問題 10.5(変形するコイルを変動磁場が貫く)
ኚື☢ሙ
Bt
幅 ℓ の コ の 字 型 レ ー ル に 導 体 棒 を 渡 し て 回 路 に 垂 直 (θ =90) な
時間変化する 磁束密度 B(t) = B0 cos(ωt) の磁場中を一定速度 v
で滑らせる. このとき, 棒の位置が x である瞬間に回路に発生する誘
導起電力を求めよ.
ືࡃᑟయᲬ
`
x
———————————————————————————————————————
この場合，motional induction と transformer induction が両方起きるので，誘導起電力は
Vemf = Vm + Vt = −
d ⃗
⃗
(S(t) · B(t))
dt
となる．ここで, 回路を貫く磁束 Φ を
⃗
⃗
Φ(t) = B(t)
· S(t)
で定義した. これを使うと, 電磁誘導の法則は一気に
Vemf = −
dΦ(t)
dt
とまとめることができる. これが世に名高いファラデーの電磁誘導の法則である. これは motional induction
と transformer induction を包含する一般法則である. これを実験事実から見抜いたファラデーの慧眼を，脱
帽して敬服するしかない.
11.6 ファラデーの法則の数学的整備
あらためてファラデーの法則を仕切りなおそう．閉曲線 C を考える. いま, どちらでも良いので C に正の
向きをつけよう. 次に C を縁とする面 S を考えよう. 右ネジを C の正の向きに回したとき進む方向を, 面 S
の法線の方向 (面積要素ベクトルの方向) と決める. ここまでは, 閉曲線 C の性質を定めたに過ぎない.
⃗ r) の中に描くとき, 面 S を貫く磁束 Φ は,
さて, この閉曲線 C を磁束密度分布 B(⃗
ZZ
Φ(t) =
S
⃗ · dS
⃗
B
で定義される.
さて, Φ が時間変化すると C に沿って起電力
V =−
dΦ(t)
dt
が生じる， というのがファラデーの電磁誘導の法則である. 起電力が生じるということは, C に沿って電場
⃗ r) が生じるということである. 起電力と電場の関係は
(誘導電場) E(⃗
I
⃗ · d⃗r
Vemf = E
C
v
80
第 11 章 電磁誘導 (Electromagnetic Induction)
磁束密度分布
B(r)
S
面積要素
ベクトル
dS = ndS
C
正の向き
を上向きに貫く磁束が
時間とともに増大する
場合の誘導電場 Ein(r)
である. これより，ファラデーの法則は
I
⃗ · d⃗r = − d
E
dt
C
µZZ
S
⃗ · dS
⃗
B
¶
の形にまとまる. 下図に， コイルを上向きに貫く磁束が時間とともに増大する場合の誘導電場の向きを示す.
———————————————————————————————————————
問題 10.6(ベータトロン)
½
軸対称磁場
B(r) =
B0 sin (ωt)
B1 sin (ωt)
(0 < r ≤ a)
(a < r)
がある．時刻 t = 0 に，r = 2a の位置に電子（質量 m，電荷 −e）を静かに置いて放す．すると電子は
r = 2a の円周上を運動し続けた．
(1) このようなこと（定まった円軌道を描くこと）が起きるためには，B0 と B1 の間に特定の関係がなくて
はならない．どんな関係か．
答：B0 = 5B1
(2) a = 6cm，B0 = 0.02T，ω = 100s−1 とする．電子は，加速開始後何秒くらいの間に最大どれくらいのス
ピードまで（光速の何パーセントくらいまで）加速されるか．
答：光速の 28%
———————————————————————————————————————
11.7 ファラデーの法則の微分形
ファラデーの法則の積分形の左辺に対してストークスの定理を使うと
Z
C
よって,
ZZ
S
⃗ · d⃗r =
E
ZZ
S
⃗ × E)
⃗ · dS
⃗
(∇
⃗ × E)
⃗ · dS
⃗=−
(∇
d
dt
µZZ
S
これが任意の曲面 S について成り立つから，
⃗
⃗ ×E
⃗ = − ∂B
∇
∂t
がいえる． これがファラデーの電磁誘導の法則の微分形である.
⃗ · dS
⃗
B
¶
81
第 12 章
電磁気学第 1 幕フィナーレ
みなさんよく頑張りました。これで電磁気学第１幕（真空電磁場）が終わりです。この１学期間学んだこ
とをまとめてみましょう。
第 1 話：電荷は電場を作り出す
1. クーロンの法則
⃗ (⃗r) =
E
1 Q
⃗r
4πε0 r3
2. 電気力線：電荷は静電場の湧き出し口（正電荷の場合）か吸い込み口（負電荷の場合）
力線のアイデアを提案したのはファラデーである。
1. 電荷密度 ρ (⃗r) と電荷 Q
ZZZ
Q=
2. ガウスの法則（積分形）
ZZ
V
ρdV
⃗ · dS
⃗= 1
E
ε0
S
ZZZ
V
ρdV
82
第 12 章 電磁気学第 1 幕フィナーレ
3. 数学の定理：ガウスの発散定理
ZZ
S
4. ガウスの法則（微分形）
⃗ · dS
⃗=
E
ZZZ
V
⃗ · EdV
⃗
∇
⃗ ·E
⃗ = 1ρ
∇
ε0
第 2 話：モノポールは存在しない
1. 積分形
ZZ
S
2. 微分形
⃗ · dS
⃗=0
B
⃗ ·B
⃗ =0
∇
第 3 話：電流は磁場を作り出す
1. 磁束密度と磁場（真空中）
⃗ = µ0 H
⃗
B
2. ビオ・サバールの法則
⃗ =
dH
3. 磁力線：電流が作る静磁場は回転する。
I d⃗ℓ × ⃗r
4π r3
83
1. 電流密度 ⃗j (⃗r) と電流の強さ I
ZZ
I=
2. アンペールの法則（積分形）
Z
C
3. 数学の定理：ストークスの回転定理
Z
C
4. アンペールの法則（微分形）
S
⃗ · d⃗r =
H
⃗ · d⃗r =
H
⃗
⃗j · dS
ZZ
ZZ
S
S
⃗
⃗j · dS
⃗ ×H
⃗ · dS
⃗
∇
⃗ ×H
⃗ = ⃗j
∇
84
第 12 章 電磁気学第 1 幕フィナーレ
第 4 話：変位電流
1. 真電流：電荷が流れる電流を改めて真電流 I と呼ぶ。
2. 変位電流
ID
d
= ε0
dt
µZZ
S
⃗ · dS
⃗
E
¶
ZZ
= ε0
⃗
∂E
⃗
· dS
S ∂t
3. アンペール・マックスウェルの法則（積分形）
Z
⃗ · d⃗r = I + ID
H
C
つまり
Z
C
⃗ · d⃗r =
H
!
ZZ Ã
⃗
⃗
⃗j + ε0 ∂ E · dS
∂t
S
4. アンペール・マックスウェルの法則（微分形）
⃗
⃗ ×H
⃗ = ⃗j + ε0 ∂ E
∇
∂t
第 5 話：ファラデーの電磁誘導の法則
1. Motional Induction：導線が磁場を横切ることで誘導起電力が発生
2. Transformer Induction：コイルを貫く磁場が時間変化することで誘導起電力が発生
3. 磁束
ZZ
Φ=
S
4. ファラデーの電磁誘導の法則
dΦ(t)
dt
V =−
5. ファラデーの法則（積分形）
Z
6. 数学の定理：ストークスの回転定理
⃗ · d⃗r = − d
E
dt
C
Z
C
7. ファラデーの法則（微分形）
⃗ · d⃗r =
E
⃗ · dS
⃗
B
µZZ
ZZ
S
S
⃗ · dS
⃗
B
⃗ ×E
⃗ · dS
⃗
∇
⃗
⃗ ×E
⃗ = − ∂B
∇
∂t
⃗ ×E
⃗ ̸= ⃗0）。
注意：電磁誘導による誘導電場は回転型（∇
¶
85
第 6 話：マックスウェルによるまとめ
1. マックウェル方程式（積分形）
ZZ
ZZZ
⃗ · dS
⃗= 1
• ガウスの法則：
E
ρdV
ε0 V
S
ZZ
⃗ · dS
⃗=0
• モノポール不在の法則：
B
S
!
ZZ Ã
⃗
∂
E
⃗
⃗ · d⃗r =
⃗j + ε0
· dS
• アンペール・マックスウェルの法則： H
∂t
C
S
µZZ
¶
Z
⃗ · d⃗r = − d
⃗ · dS
⃗
• ファラデーの電磁誘導の法則： E
B
dt
C
S
Z
2. マックウェル方程式（微分形）
⃗ ·E
⃗ = 1ρ
• ガウスの法則： ∇
ε0
⃗ ·B
⃗ =0
• モノポール不在の法則： ∇
⃗
⃗ ×H
⃗ = ⃗j + ε0 ∂ E
• アンペール・マックスウェルの法則： ∇
∂t
⃗
⃗ ×E
⃗ = − ∂B
• ファラデーの電磁誘導の法則： ∇
∂t
87
付録 A
昨年度の試験問題
A.1 第 1 回中間試験
問題 1 以下の問いに答えよ．
(1) あらゆる電気の素は，電子と陽子が持つ電荷である．その大きさ（電気素量）は
e = 1.60 × 10n C である．n の値を答えよ．
(2) 2 回目の授業で，バンデ・グラーフ発電機を使った実験を見せました．球の上にアルミ皿を何枚も重ねた
ものを置いてスイッチを入れると，これらが飛び散ったのを覚えているでしょうか．これは，アルミ皿が帯
電して互いに反発するからでした．では，このとき，アルミ皿が帯びている電荷はだいたい何クーロン（10
の何乗？）くらいでしょうか．理由をつけて答えてください．
⃗ をひとつの式で
(3) 3 次元空間の原点に点電荷 Q が置かれている．位置ベクトル ⃗r の点での電場ベクトル E
書くとどうなるか．
(4) 無限に長い直線上に，単位長さ当たり λ の電荷が一様に分布している．直線から距離 r の点での電場の
大きさを，ガウスの法則を使って求めよ．
問題 2
xy 平面上の点Ａ (−a, 0) に点電荷 −q ，点Ｂ (a, 0) に点電荷 +q が置かれているとき，位置 ⃗r = (x, y) で
⃗ r) を考える．
の電場 E(⃗
y
r→
A
Ο
B
x
−−→
⃗ r) を ⃗r，d⃗ およびクーロン力の定数 k を使ってあらわせ．
(1) ＡＢ = 2d⃗ として，電場 E(⃗
(2) 点 (a, a) での電場の x 成分と y 成分を求めよ．
(3) y 軸上で原点から遠く離れた点 (0, y) での電場の大きさは，原点からの距離の３乗に逆比例する（つま
1
り 3 に比例する）ことを示せ．
y
問題 3
以下の式 (1)∼(5) で表されるベクトル場がある．これらに対応する図を (A)∼(F) よりひとつづつ選ん
で記号で答えよ．
⃗ r) = (x, x)
(1) A(⃗
⃗ r) = (x, 1)
(2) A(⃗
88
付録 A 昨年度の試験問題
⃗ r) = (x, y)
(3) A(⃗
⃗ r) = (y, x)
(4) A(⃗
⃗ r) = (−y, x)
(5) A(⃗
y
y
ᵆᵟᵇᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᵆᵠᵇᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᵆᵡᵇ
x
y
x
x
y
y
ᵆᵢᵇᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᵆᵣᵇᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᴾᵆᵤᵇ
y
x
x
x
問題 4
真空中で，半径 a の球の内部に電荷が一様に分布している．全電荷は Q である．球の中心からの距離 r の
点での電場の大きさを E(r) とする．
θ
}
r
φ
(1) まず，球の外部（r > a の場合）について E(r) を求めよ．
(2) 次に，球の内部（0 < r < a の場合）について E(r) を求めよ ．
(3) 球の内外での電場の大きさが r によってどう変化するかをグラフで示せ．
(4) 1904 年に J.J. トムソンが提案した原子模型 (プラムプリン模型) では，半径 a の球内に電荷が一様分布
し (全電荷 e)，その中を電荷 −e の電子（質量 m）が何個か存在して全体として中性になっている．このと
き，電子が中心のまわりに単振動することを示し，その振動周期 T を a，ε0 ，e，m を使ってあらわせ．
問題 5
雷が落ちそうになったら車の中でじっとしていろ，とよくいう．これは，車の内部には決して電場が入り
込まないからである．一般に，帯電した導体の内部で電場はゼロとなる．これはなぜか．球殻（導体ででき
たボール）の場合を例として，文と式を使って説明せよ．
「立体角」という言葉を必ず使うこと．
以降は，時間が余った人のための問題です．
問題 6
A.1 第 1 回中間試験
半径 a の無限に長い 円柱 の内部が，一様な電荷密度で帯電している．円柱の内外にできる電場を求めよ．
軸方向の単位長さ当たりの電荷の総量を λ とする．
問題 7
真空中で，球内部に電荷が一様に分布している．単位体積当たりの電荷（電荷密度）は ρ である．いま，
この球の内部に球状の穴をくり抜く（穴の中心と球の中心の距離を d とする）．この穴の内部での電場の向
きと大きさを求めよ．
89
90
付録 A 昨年度の試験問題
A.2 第 2 回中間試験
注意： A1 ∼ A3 は必答問題なので全問解答してください。 B1 ∼ B3 は選択問題です。この中から
1 問以上を選んで 解答してください。正解すれば点数がどんどん上がります。
A1 [9 点] 以下の空欄に当てはまる数式などを答えよ。
⃗ r) とするとき，ガウスの法則の微分形は
(1) 電荷密度の分布 ρ(⃗r) が作る静電場を E(⃗
⃗ r) を電位 V (⃗r) で表すと，E(⃗
⃗ r) =
た，電場 E(⃗
式
と書ける。ま
である。よって，V (⃗
r) と ρ(⃗r) の間にはポアソン方程
が成り立つ。
(2) 導体の表面には，表面電荷密度 σ の正負にかかわらず，単位面積あたり
の張力（外向きの力）が
表面に垂直に作用する。この張力を静電張力と呼ぶ。
(3) 電流密度は流れに沿った断面を単位面積当たり，単位時間あたりに通過する電気量である。電子の電気
量を −e，密度を n，ドリフト速度を ⃗v とすると，⃗j =
が電流密度の定義となる。例えば，銅の自由
電子密度は n = 8.47 × 1028 個/m3 である。断面積 A = 2mm2 の導線をつくって 1A の電流を流すとき, 自
由電子のドリフト速度は v = 3.69 × 10n m/s である。指数 n の値は n =
である。ところで，このス
ピードはとても遅い。では，なぜスイッチを入れるとすぐ電気がつくのだろう。その理由を
に記せ。
(4) 誘電率 ε，電気伝導率 σ の物質をぴったり詰めた平行板コンデンサーの両極板間に電流が流れる。両極
板の電荷を ±Q とし，極板間を流れる電流の強さを σ ，ε，Q で表すと I =
デンサー全体の電気抵抗を σ ，ε およびコンデンサーの静電容量 C で表すと R =
である。これより，コン
となる。
A2 [3 点] 以下の空欄に当てはまる数式を答えよ。
(1) p⃗ を定ベクトル（各成分が定数という意味），⃗r = (x, y, z) とするとき，
⃗ (⃗
∇
p · ⃗r) =
であり，また
⃗
∇
である。ただし，r =
ヒント 1：
p
µ
1
r3
¶
=
x2 + y 2 + z 2 である。
はp
⃗ だけで書ける。
はrと⃗
r だけで書ける。
n
⃗
ヒント 2：一般に，∇ (r ) は n と r と ⃗
r だけを使って簡単な形に書けます。
(2) 原点に電気双極子モーメント p⃗ の電気双極子が置かれている。このとき，十分遠方での電位が
V (⃗r) =
で与えられることが分かっている。
，
1 p⃗ · ⃗r
4πε0 r3
の結果を使うと，これによる電場は
⃗ r) =
E(⃗
1 ³
4πε0
´
と計算できる。
⃗ (f g) = f ∇g
⃗ + g ∇f
⃗ を用いる
ヒント：ここで，任意のスカラー場 f (⃗
r) と g (⃗r) について成り立つ関係式 ∇
と便利。
A3 [4 点] 以下の空欄に当てはまる数式を答えよ。
ベクトル場
⃗v = (x + y, x − y, z)
を，下図のような 1 辺の長さ 1 の立方体の面に沿って積分することにより，ガウスの発散定理
ZZZ
V
が成り立つことを確認しよう。
⃗ · ⃗v dV =
∇
ZZ
S
⃗
⃗v · dS
A.2 第 2 回中間試験
91
4
16
5
2
3
ZZZ
まず，
∼
V
⃗ · ⃗v dV =
∇
である。これで左辺の計算は完了。次に右辺をきちんと計算する。以下の
に該当する値を求めて表を完成させよ。
ZZ
各面についての
面１
⃗ の値
⃗v · dS
1
2
0
−
面２
面３
面４
−
面５
1
2
面６
各面からの積分の値の和が
に等しくなっている（はずです）。これより，ガウスの発散定理が確認
できる。
B1 [4 点]
[1] 下図のように，半径 a の導体球を半径 b の薄い導体球殻で囲って同心球コンデンサーを作る。導体球と球
殻の間を電位差 V に保つ。
b
a
V
(1) このコンデンサーの静電容量 C を求めよ。
(2) このコンデンサーに蓄えられる電場のエネルギー
¶
ZZZ µ
1
2
U=
ε0 E dτ
2
V
を計算し，U =
1
CV 2 であることを確かめよ。ただし，微小体積要素を dτ と記した（dV と書くと電圧の
2
92
付録 A 昨年度の試験問題
V と紛らわしいので）。
ヒント：半径 r と r + dr に挟まれた薄皮状の球殻の体積はどう書ける？
[2] 次に，導体球と球殻の間の空間を，誘電率 ε，電気伝導率 σ の物質で満たした。
ε，
σ
b
a
V
(3) このとき，球の中心からの距離 r の球面を通過する電流の強さ I(r) を求めよ。ただし，a < r < b とす
る。
ヒント：r の位置での電流密度をまず求め，半径 r の球面上で積分する。
(4) (3) の結果を用いて，この場合のコンデンサーの電気抵抗を求めよ。
注意： A1 の
の結果をそのまま使ってはいけません。
B2 [4 点] コンデンサーに抵抗値 R の電気抵抗と起電力 V の電池をつないでスイッチを入れる。スイッチ
を入れた瞬間を t = 0 とする。
C
V
R
(1) 時刻 t での コンデンサーの正極板の電荷を Q(t) とする。回路の方程式を解いて Q(t) を求め，時間変化
の様子を図示せよ。
(2) 単位時間当たり発生するジュール熱を時間積分することによって，電気抵抗で発生するジュール熱の総
量を求めよ。
(3) 電池がする仕事の半分がコンデンサーの静電エネルギーとなり，残り半分はジュール熱として散逸する
ことを確かめよ。
(4) たとえ電気抵抗がどんなに小さくとも，(3) の結果に変わりはないことを説明せよ。
B3 [4 点] 半径 R のリングに電気量 Q が一様に分布している。
(1) リングの中心を原点 O とし，リングに垂直に x 軸をとる。このとき，点 x での電場の強さを求めよ。
(2) 点 x での電位を求めよ。ただし，無限遠方を基準点にとる。
(3) 原点に，電気量 Q，質量 M の荷電粒子を置いた。すると，粒子は x 軸に沿ってリングから遠ざかって
行った。このとき，無限遠方での粒子の速さをもとめよ。ただし，粒子はリングの電荷からのクーロン力だ
A.2 第 2 回中間試験
93
けを受けて運動するものとし，重力の影響は考えなくてよい。
O
x
94
付録 A 昨年度の試験問題
A.3 期末試験
問題 1 （ガウスの法則 [8 点]） 対称性の良い電荷分布の場合，ガウスの法則の積分形
ZZ
⃗ · dS
⃗= 1
E
ε0
S
ZZZ
V
ρdV
(A.1)
を使って電場を求めることができる。重要な例が，半径 a の球内部に電荷密度 ρ が一様に分布している問題
である。これについて，以下の問いに答えよ。
(a) 中心からの距離 r の点での電場がどうなるか。0 < r < a と a < r に分けて求めること。
(b) 無限遠方を基準点として， 中心からの距離 r の点での電位 V を求めよ。0 < r < a と a < r に分けて求
めること。
⃗ を計算し，電場 E
⃗ が電位 V を使って
(c) (b) で求めた V について，勾配 ∇V
⃗ = −∇V
⃗
E
(A.2)
⃗ ·E
⃗ = ρ
∇
ε0
(A.3)
と表せていることを確認せよ。
(d) ガウスの法則の積分形から微分形
を導くにはどうすればよいか？簡潔に説明せよ。
⃗ の発散は，至る所で必ずゼロとなる。つまり，
問題 2 （磁束密度の法則 [4 点]）磁束密度ベクトル B
⃗ ·B
⃗ =0
∇
(A.4)
⃗ の回転は一般にゼロではない。つまり，
を満たす。一方，B
⃗ ×B
⃗ ̸= ⃗0
∇
(A.5)
である。
(a) 式 (A.4) が成り立つ理由を述べよ。
(b) 式 (A.4) と (A.5) をともに満たすようなベクトル場の例を図示せよ。矢印をたくさん描いて，ベクトル
場の様子が示されていればよい。
問題 3 （ビオ・サバールの法則 [8 点]） 定常電流 I が作り出す磁場は，ビオ・サバールの法則
⃗ =
dH
I d⃗ℓ × ⃗r
4π r3
(A.6)
で決まる。ビオ・サバールの法則は，ビオとサバールが実験結果から導き出した法則である。
⃗ がどんなベクトルか分かるように明示せよ。この質
(a) 関係式 (A.6) を説明する簡単な図を描き，d⃗ℓ, ⃗r, dH
問の意図は，ビオ・サバールの法則の意味を把握できているか確認することであり，細かなことまで書く必
要はない。
(b) ビオ・サバールの法則の応用例として，ソレノイドコイルが作る磁場を求めてみよう。
(b-1) まず，半径 a の ひとつの円形コイル に電流が流れる場合，円の中心軸に沿って中心から距離 z の点
での磁場 H(z) を求めよ。
(b-2) 十分長いソレノイド (半径 a，単位長さ当たり n 巻き) に電流 I を流したとき，中心軸上の磁場 H を
求めたい。ソレノイドの軸を z 軸にとると，座標が z ′ と z ′ + dz ′ の間にある電流（ndz 個の円電流とみなせ
る）が軸上の点 z に作る磁場は
dH =
で与えられる。空欄に当てはまる数式を答えよ。
I a2
ndz ′
2 ···
A.3 期末試験
95
(b-3) (b-2) の結果を積分することによって，ソレノイドを流れる電流全体が中心軸上に作る磁場が H = nI
となることを示せ。上の図では，z 軸がソレノイドをはみ出しているように描いているが，ソレノイドは無
限に長いので，いつでもソレノイド内部の磁場を考えているとしてよい。
問題 4 （ストークスの定理 [8 点]）z 軸を中心軸とする無限に長い半径 a の円筒状導線の内部を，一様な電
流密度 j が流れている。このとき， z 軸からの距離 r （ただし 0 < r < a）の点での磁場は
⃗ = − 1 ⃗j × ⃗r
H
2
と書ける（この結果自体は示さなくてよい）。ここで，⃗
r = (x, y, 0), r =
p
x2 + y 2 ， ⃗j = (0, 0, j) である。
原点を中心とする，xy 平面上の円周（半径 a/2）を C とし，この円の内部の領域を S とする 。
⃗ の各成分 Hx ，Hy ，Hz を j, x, y で表せ。
(a) H
⃗ ×H
⃗ を計算せよ（ヒント：z 成分だけ残るので，他の成分は計算しなくて良い）。
(b) Z∇
Z
⃗ ×H
⃗ · dS
⃗ を計算せよ。
(c)
∇
ZS
⃗ · d⃗r の値を計算せよ。ここで，円 C 上の点の位置を表すのに，極座標表示
(d) H
C
⃗r =
³a
2
cos θ,
´
a
sin θ, 0
2
を使うと計算が大変楽になる。もちろん，θ は 0 から 2π まで動く角度の変数である。(c) と (d) の結果を比
べて，きちんと，
ZZ
S
⃗ ×H
⃗ · dS
⃗=
∇
Z
C
⃗ · d⃗r
H
となっただろうか？
問題 5 （変位電流 [6 点]）半径 a の薄い金属円板２枚を距離 d 隔てて平行に置き，平行板コンデンサーを
作る。このコンデンサーの両端に交流電源をつなぎ，コンデンサーに
V = V0 sin (ωt)
96
付録 A 昨年度の試験問題
のように変化する電圧をかける。真空の誘電率を ε0 とする。
(a) 時刻 t に，コンデンサーの極板に流れ込む電流 I を求めよ。
(b) 変位電流について理解していることを説明せよ。
(c) アンペールの法則によれば，変位電流もまた磁場を作るはずである。コンデンサーの極板間の領域で，
中心軸から距離 r 離れた点に変位電流が作る磁場を求めよ。ただし，0 < r < a とする。
問題 6 （電磁誘導の法則 [16 点]） 電磁誘導は，電荷を使わずに電場を作る画期的な方法で，1831 年にマ
イケル・ファラデーが発見した人類史上最も重要な大発見の一つである。電磁誘導によって作られる電場は
誘導電場と呼ばれ，電荷が作る電場とは質的に異なる。
(a) 電磁誘導には，Motional Induction と Transformer Induction がある。それぞれどんな現象か，簡潔に
説明せよ。
(b) 身近な電気製品などで，Motional Induction と Transformer Induction が利用されている例をひとつづ
つ挙げよ。この質問の意図は，知識を問うことではありません。身近な製品が思いつかない場合は，自分で
何か考案しても可。
(c) ファラデーの法則は，磁束 Φ の時間変化と誘導起電力 V を結びつける関係式として
V =−
dΦ
dt
(A.7)
⃗ と磁束密度 B
⃗ の間の関係式
と書かれる。この式から出発して，誘導電場 E
⃗
⃗ ×E
⃗ = − ∂B
∇
∂t
(A.8)
を導く方法を簡潔に説明せよ。ストークスの定理を必ず使うこと。
(d) 下図のように，鉛直上向きに時間変化する磁束密度
B = B0 sin (ωt)
(B0 ，ω は正の定数) がある空間内に，幅 ℓ のコの字型コイルを水平に置いて導体棒を垂直に渡す。コイル左
端には抵抗値 R の電気抵抗が接続されているが，これ以外の抵抗は一切無視してよい。時刻 t = 0 での導体
棒の位置を原点とする x 座標をとる。コイルの左端と原点の距離は a である。
(d-1) 導体棒を，原点に固定する場合，時刻 t に抵抗器を流れる電流を求めよ。
(d-2) 導体棒を，強制的に一定の速度 v で x 軸の正の向きに動かす場合，時刻 t に抵抗器を流れる電流を求
めよ。
(d-3) (d-2) の場合に，抵抗器を流れる電流の振幅を求めよ。