重要な数学公式と定理

重要な数学公式と定理
公式と定理について
2 項定理
自然対数と e
e の関数の微分
微分に関する公式 I
微分に関する公式 II
微分に関する公式 III
合成関数の微分
テーラー展開 I
テーラー展開 II
テーラー展開 III
テーラー展開 IV
テーラー展開 V
テーラー展開 VI
オイラーの関係式
ロピタルの定理 I
ロピタルの定理 II
重要な数学公式と定理
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公式と定理について
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公式と定理について
2 項定理
自然対数と e
e の関数の微分
微分に関する公式 I
微分に関する公式 II
微分に関する公式 III
合成関数の微分
テーラー展開 I
テーラー展開 II
テーラー展開 III
テーラー展開 IV
テーラー展開 V
テーラー展開 VI
オイラーの関係式
ロピタルの定理 I
ロピタルの定理 II
証明を覚えることは重要ではない。
重要なのは，これらの公式や定理を (高校までで習う 2
次方程式の解の公式や微分の公式のように) 使えるよう
になることである．
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2 項定理
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公式と定理について
2 項定理
自然対数と e
e の関数の微分
微分に関する公式 I
微分に関する公式 II
微分に関する公式 III
合成関数の微分
テーラー展開 I
テーラー展開 II
テーラー展開 III
テーラー展開 IV
テーラー展開 V
テーラー展開 VI
オイラーの関係式
ロピタルの定理 I
ロピタルの定理 II
pa
bqn
¸n
nC k a
b
k n k
k 0
が成立する．ただし nC x
2 項定理と呼ぶ．
n!
である．この関係を
x!pn xq!
例えば，n 2, 3 とすれば，
pa
pa
bq2
bq3
a2
a3
2ab b2
3a2 b 3ab2
b3
となることが確認できる．
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自然対数と e
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2 項定理
自然対数と e
e の関数の微分
微分に関する公式 I
微分に関する公式 II
微分に関する公式 III
合成関数の微分
テーラー展開 I
テーラー展開 II
テーラー展開 III
テーラー展開 IV
テーラー展開 V
テーラー展開 VI
オイラーの関係式
ロピタルの定理 I
ロピタルの定理 II
e lim
x
Ñ8
1
1
x
x
で定義される e を自然対数の底と呼ぶ．
e は e 2.71828 という値を取る．
e を底に持つ対数を自然対数と呼ぶ．自然対数を表す場合
には e を省略して
loge x log x
のように書くことができる．
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e の関数の微分
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2 項定理
自然対数と e
e の関数の微分
微分に関する公式 I
微分に関する公式 II
微分に関する公式 III
合成関数の微分
テーラー展開 I
テーラー展開 II
テーラー展開 III
テーラー展開 IV
テーラー展開 V
テーラー展開 VI
オイラーの関係式
ロピタルの定理 I
ロピタルの定理 II
pe q1 ex,
x
1
1
plog xq x
という性質がある．
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微分に関する公式 I
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2 項定理
自然対数と e
e の関数の微分
微分に関する公式 I
微分に関する公式 II
微分に関する公式 III
合成関数の微分
テーラー展開 I
テーラー展開 II
テーラー展開 III
テーラー展開 IV
テーラー展開 V
テーラー展開 VI
オイラーの関係式
ロピタルの定理 I
ロピタルの定理 II
f p xq, gp xq が微分可能であるとすると，次の関係が成立す
る．ただし，a, b は定数で，3 に関しては gp xq 0 とする．
1.
2.
3.
ta f p xq bgp xqu1 a f 1p xq bg1p xq
t f p xqgp xqu1 f 1p xqgp xq f p xqg1p xq
" f p xq *1 f 1p xqgp xq f p xqg1p xq
gp x q
tgp xqu2
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微分に関する公式 II
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2 項定理
自然対数と e
e の関数の微分
微分に関する公式 I
微分に関する公式 II
微分に関する公式 III
合成関数の微分
テーラー展開 I
テーラー展開 II
テーラー展開 III
テーラー展開 IV
テーラー展開 V
テーラー展開 VI
オイラーの関係式
ロピタルの定理 I
ロピタルの定理 II
(2 の証明)
dt f p xqgp xqu
dx
f p x h qg p x
lim
Ñ0
h
! f px
hlim
Ñ0
f 1 p x qg p x q
hq f p xqgp xq
h
f p xq
gp x
gp x hq f p x q
hq h
f p xqg1 p xq
hq gp x q )
h
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微分に関する公式 III
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2 項定理
自然対数と e
e の関数の微分
微分に関する公式 I
微分に関する公式 II
微分に関する公式 III
合成関数の微分
テーラー展開 I
テーラー展開 II
テーラー展開 III
テーラー展開 IV
テーラー展開 V
テーラー展開 VI
オイラーの関係式
ロピタルの定理 I
ロピタルの定理 II
(3 の証明)
" f p xq *
d
dx gp xq
" f p x hq f p x q *
1
hlim
Ñ0 h gp x hq gp xq
! f p x hq f p x q
1
gp x q
hlim
Ñ0 gp x hqgp xq
h
gp x hq gp x q )
f p xq
f 1 p xqgp xq f p xqg1 p xq
tgp xqu2
h
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合成関数の微分
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2 項定理
自然対数と e
e の関数の微分
微分に関する公式 I
微分に関する公式 II
微分に関する公式 III
合成関数の微分
テーラー展開 I
テーラー展開 II
テーラー展開 III
テーラー展開 IV
テーラー展開 V
テーラー展開 VI
オイラーの関係式
ロピタルの定理 I
ロピタルの定理 II
y f p xq は x で微分可能，z gpyq は y で微分可能である
とする．この時，z gp f p xqq は x で微分可能で
dz
dx
が成立する．
(例) z pax
g1pyq f 1p xq
dz dy
dy dx
bq2 とする．y ax
dz
dy
2y 2pax
bq,
b とすれば z y2 で
dy
dx
a
したがって
dz
dx
dz dy
dy dx
2apax
bq
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テーラー展開 I
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公式と定理について
2 項定理
自然対数と e
e の関数の微分
微分に関する公式 I
微分に関する公式 II
微分に関する公式 III
合成関数の微分
テーラー展開 I
テーラー展開 II
テーラー展開 III
テーラー展開 IV
テーラー展開 V
テーラー展開 VI
オイラーの関係式
ロピタルの定理 I
ロピタルの定理 II
関数 f p xq が a, x を含む閉区間で n 回微分可能ならば
f p xq f 1 paq
f 2 paq
f paq
p
x aq
p
x aq2
1!
2!
f pn1q paq
pn 1q! p x aqn1
f pnq pξq
p
x aqn
n!
を満たす ξ が a と x の間に存在する．ただし， f n paq は
f p xq を n 回微分した関数を x a で評価したものである．
この関係はテーラーの定理と呼ばれる．
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テーラー展開 II
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2 項定理
自然対数と e
e の関数の微分
微分に関する公式 I
微分に関する公式 II
微分に関する公式 III
合成関数の微分
テーラー展開 I
テーラー展開 II
テーラー展開 III
テーラー展開 IV
テーラー展開 V
テーラー展開 VI
オイラーの関係式
ロピタルの定理 I
ロピタルの定理 II
テーラーの定理で a 0 とおけば， f p xq が 0, x を含む区間
で n 回微分可能ならば
f p x q f p0 q
f 1 p0q
f 2 p0q 2
x
x
1!
2!
f pn1q p0q n1 f pnq pξq n
x
x
n!
pn 1q!
を満たす ξ が 0 と x の間に存在するということになる．こ
れをマクローリンの定理と呼ぶ．
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テーラー展開 III
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公式と定理について
2 項定理
自然対数と e
e の関数の微分
微分に関する公式 I
微分に関する公式 II
微分に関する公式 III
合成関数の微分
テーラー展開 I
テーラー展開 II
テーラー展開 III
テーラー展開 IV
テーラー展開 V
テーラー展開 VI
オイラーの関係式
ロピタルの定理 I
ロピタルの定理 II
テーラーの定理より， f p xq が a, x を含む閉区間で何回でも
微分可能ならば
f 1 paq
f 2 paq
f p xq f paq
p
x aq
p
x aq2
1!
2!
f pnq paq
n! p x aqn 8̧ f pnq paq
p
x aqn
n!
n0
が成り立つ．このような展開を f p xq の a の周りのテーラー
展開と呼ぶ．
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テーラー展開 IV
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公式と定理について
2 項定理
自然対数と e
e の関数の微分
微分に関する公式 I
微分に関する公式 II
微分に関する公式 III
合成関数の微分
テーラー展開 I
テーラー展開 II
テーラー展開 III
テーラー展開 IV
テーラー展開 V
テーラー展開 VI
オイラーの関係式
ロピタルの定理 I
ロピタルの定理 II
特に a 0 とすれば
f 1 p0q
f 2 p0 q 2
f p xq f p0q
x
x
1!
2!
f pnq p0q n
n! x 8̧ f pnq p0q
xn
n!
n0
が成り立つ．このように a 0 の周りでのテーラー展開
をマクローリン展開と呼ぶ．
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テーラー展開 V
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公式と定理について
2 項定理
自然対数と e
e の関数の微分
微分に関する公式 I
微分に関する公式 II
微分に関する公式 III
合成関数の微分
テーラー展開 I
テーラー展開 II
テーラー展開 III
テーラー展開 IV
テーラー展開 V
テーラー展開 VI
オイラーの関係式
ロピタルの定理 I
ロピタルの定理 II
(例 1) e0
開は
1 と pexq1 ex を用いると，ex のマクローリン展
ex
e0
1
e0
x
1!
x
x2
2!
e0 2
x
2!
e0 n
x
n!
xn
n!
8̧ xn
n!
n 0
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テーラー展開 VI
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公式と定理について
2 項定理
自然対数と e
e の関数の微分
微分に関する公式 I
微分に関する公式 II
微分に関する公式 III
合成関数の微分
テーラー展開 I
テーラー展開 II
テーラー展開 III
テーラー展開 IV
テーラー展開 V
テーラー展開 VI
オイラーの関係式
ロピタルの定理 I
ロピタルの定理 II
(例 1) sin 0 0, cos 0 1 および psin xq1
pcos xq1 sin x を用いると
cos 0
x
sin x sin 0
1!
x3 x5
x 3! 5!
cos x,
sin 0 x2 cos 0 x3 2!
3!
8̧
2n 1
x
p1qn p2n 1q!
2n 1
x
p1qn p2n 1q!
n0
同様に
cos x 1 8̧
x2
2!
x4
4!
2n
x
p1qn p2nq!
2n
x
p1qn p2nq!
n0
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オイラーの関係式
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公式と定理について
2 項定理
自然対数と e
e の関数の微分
微分に関する公式 I
微分に関する公式 II
微分に関する公式 III
合成関数の微分
テーラー展開 I
テーラー展開 II
テーラー展開 III
テーラー展開 IV
テーラー展開 V
テーラー展開 VI
オイラーの関係式
ロピタルの定理 I
ロピタルの定理 II
e のマクローリン展開において， x を ix (ただし i で置き換えると
x
?
1)
n
x3
x4
x5
nx
i 3! 4! i 5! i n! e 1 ix 2
4
3
5
x
x
x
x
1 2! 4! i x 3! 5! cos x i sin x
ix
eix
cos x
x2
2!
i sin x をオイラーの関係式という．
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ロピタルの定理 I
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2 項定理
自然対数と e
e の関数の微分
微分に関する公式 I
微分に関する公式 II
微分に関する公式 III
合成関数の微分
テーラー展開 I
テーラー展開 II
テーラー展開 III
テーラー展開 IV
テーラー展開 V
テーラー展開 VI
オイラーの関係式
ロピタルの定理 I
ロピタルの定理 II
lim f p xq lim gp xq 0 かつ x a の近くで f p xq, gp xq はと
Ña
Ña
もに微分可能で g1 p xq 0 のとき，
x
x
f p xq
lim
xÑa gp xq
f 1 p xq
lim
xÑa g1 p xq
が成り立つ．
この定理はロピタルの定理と呼ばれる．
この定理の条件において，
「lim f p xq lim gp xq 0」を
Ña
Ña
「lim f p xq lim gp xq 8」と置き換えても構わない．また，
x
Ña
x
Ña
「 x Ñ a」のかわりに「 x Ñ 8」または「 x Ñ 8」と置き
換えても構わない．
x
x
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ロピタルの定理 II
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2 項定理
自然対数と e
e の関数の微分
微分に関する公式 I
微分に関する公式 II
微分に関する公式 III
合成関数の微分
テーラー展開 I
テーラー展開 II
テーラー展開 III
テーラー展開 IV
テーラー展開 V
テーラー展開 VI
オイラーの関係式
ロピタルの定理 I
ロピタルの定理 II
(例)
x
lim
xÑ8 e x
sin x
lim
xÑ0 x
1
lim
xÑ8 e x
0
cos x
lim
xÑ0
1
1
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